topo

L3 MAPES 11
Topologie
Notes de cours abrégées
Jean-Marc Schlenker
2007-08
2
Introduction
0.1 Pourquoi la topologie.
Apprentissage d'arguments analytiques de base : découpage des
,
etc.
Applications en mathématique : en analyse fonctionnelle, équations aux dérivées partielles, géométrie algébrique, physique, etc.
0.2 Méthode de travail, etc
Comportement en cours et en TD. Etre actif.
Préparation des exercices, répétition des exercices, apprentissage du cours.
Rigueur dans les raisonnements !
Téléphones portables, retards, comportement général.
0.3 Plan du cours
1. Rappels : suites réelles.
2. Espaces métriques. Notion de distance sur un ensemble.
3. Espaces vectoriels normés. Notion de norme sur un EV.
4. Espaces de Hilbert. Produit scalaire, espaces de dimension innie (pour analyse fonctionnelle). Ouvre vers
la transformée de Fourier et l'analyse.
3
4
Chapitre 1
Rappels sur les suites réelles
1.1 Rappels sur R
Construction des entiers, des rationnels.
Irrationnels.
Def.
√
Exemple de
2.
Majorant, minorant. Borne inf, borne sup. Max et min.
Propriété de la borne supérieure.
Noter que ça n'est pas vrai dans
Q.
1.2 Convergence des suites, continuité
Def.
Suite convergentes. Suites tendant vers l'inni.
Def.
Fonction continue en un point. Fonction continue.
Thm.
Une fonction est continue ssi l'image de toute suite convergente est convergente.
Suites croissantes.
Def, toute suite croissante majorée admet une limite.
Preuve par la propriété de la borne sup.
Suites adjacentes.
Thm.
alors
Soit (v, n), (wn ) telles que :
(vn ) est décroissante,
(wn ) est croissante,
lim vn − wn = 0,
(vn ) et (wn ) sont convergentes
Thm.
et ont la même limite.
La composée de deux applications continues est continue.
1.3 Valeurs d'adhérences
Def.
Suite extraite. Valeur d'adhérence.
Exemple.
Rq.
(un ).
Soit
un = (−1)n
(un )
qui a deux valeurs d'adhérence mais pas de limite.
une suite, et
(vn )
(vn )
(un ).
une suite extraite. Toute suite extraite de
Donc toute valeur d'adhérence de
(vn )
est une valeur d'adhérence de
5
est aussi une suite extraite de
6
CHAPITRE 1.
Thm.
RAPPELS SUR LES SUITES RÉELLES
Toute suite bornée admet une valeur d'adhérence.
Preuve : passer par la suite des minorants,
wn = sup{uk , k ≥ n}.
Croissante, majorée, donc convergente.
Montrer que la limite est une valeur d'adhérence.
Thm.
Une suite bornée est convergente ssi elle admet une unique valeur d'adhérence.
Preuve : si
(un )
est convergente alors sa seule valeure d'adhérence est sa limite. Réciproquement, si non
convergente, on fait apparaître une suite extraite qui a une valeur d'adhérence.
Rq.
C'est faux pour les suites non bornées. Par contre, une suite est convergente ssi elle est bornée est admet
une unique valeur d'adhérence... (exercice).
1.4 Suites de Cauchy
Def.
Remarque.
Thm.
Dans
Remarque.
Toute suite convergente est de Cauchy.
R,
toute suite de Cauchy est convergente.
Ca n'est pas vrai dans
Q
: certaines suites de rationnels ont une limite réelle, mais pas de limite
rationnelle.
1.5 Ouverts, fermés
Def.
Intervalles ouverts, fermés. Intervalle compact.
Def.
Voisinage de
Def.
Sous-ensembles ouverts, c'est un voisinage de chacun de ses points.
Remarque.
Lemme.
Def.
Thm.
∅
sont donc ouverts.
Sous-ensembles fermés, par limite de suites.
Lemme.
Cor.
et
Un intervalle est un sous-ensemble ouvert ssi c'est un intervalle ouvert.
Remarque.
Thm.
R
x ∈ R.
R
et
∅
sont donc fermés.
Un intervalle est un sous-ensemble fermé ssi c'est un intervalle fermé.
Le complémentaire d'un ouvert est un fermé.
Le complémentaire d'un fermé est un ouvert.
Image réciproque d'un ouvert par une application continue. D'un fermé.
Remarque.
L'image directe d'un ouvert (resp. fermé) n'est pas nécessairement un ouvert (resp. fermé).
Exemples.
1.6 Réunion, intersection
Thm.
Toute réunion d'ouverts est ouverte.
1.7.
7
CONTINUITÉ UNIFORME
Cor.
Toute intersection de fermés est fermée.
Thm.
Cor.
Toute réunion nie de fermés est fermée.
Toute intersection nie d'ouverts est ouverte.
Exemple.
∪n [1/n, 2 − 1/n] =]0, 2[. ∩n ] − 1/n, 2 + 1/n[= [0, 2].
1.7 Continuité uniforme
Def.
Ex.
Fonction uniformément continue.
x 7→ sin(x)
est uniformémemt continue sur
pas uniformément continue sur
Thm.
R. x 7→
√
x
est uniformément continue sur
R>0 . x 7→ ex
n'est
R.
Toute fonction continue sur un intervalle
[a, b]
est bornée et atteint ses bornes.
Preuve : toute fonction continue sur un compact atteint son maximum.
Thm.
Cor.
Thm.
Thm des valeurs intermédiaires.
L'image d'un intervalle compact par une application continue est un intervalle compact.
Toute fonction continue sur un intervalle
[a, b]
est uniformément continue.
Preuve : par choix d'une suite de points où l'uniforme continuité n'est pas réalisée et convergence vers une
limite, etc.
8
CHAPITRE 1.
RAPPELS SUR LES SUITES RÉELLES
Chapitre 2
Espaces métriques
Motivations
Modéliser des situations géométriques générales.
Application aux espaces vectoriels normés dans chapitre suivant, eux-même utilises pour l'analyse (espaces
de fonctions).
Situation où on peut faire de la topologie sans trop d'abstraction (cf notion d'espace topologique général).
Sujet d'étude important au cours des 50 dernière années, où des notions importantes ont émergé. Relations
avec d'autres domaines des mathématiques.
2.1 Distances
Def.
Distance : positivité,
Def.
Espace métrique : un ensemble muni d'une distance.
0
ssi égaux, inégalité triangulaire.
2.2 Exemples
Exemple.
Q, R, R2 , Z × Z.
Exemple.
R2
muni de la distance
Exemple.
S2
muni de la distance angulaire. On admet l'inégalité triangulaire.
Exemple.
R2
muni de la distance
Exemple.
Espace l∞ des suites bornées, munies de la distance sup.
Exemple.
Espace
C0∞
Exemple.
Espace
C00
Notation.
Pour
Fin C3, 24/9/
|x| + |y|.
sup(|x|, |y|).
des fonctions réelles régulères à support compact, avec la norme sup.
des fonctions continues à support compact, avec la norme sup.
x, y ∈ Rn
on utilise la notation
hx, yi
9
resp.
kxk.
10
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
Lemme (inégalité de Cauchy-Schwarz pour les suites nies).
hx, yi ≤ kxkkyk ,
avec égalité ssi
x
et
y
sont colinéaires.
Preuve : on utilise ici le produit scalaire euclidien.
∀t, hx − ty, x − tyi ≥ 0 ,
si bien que
kxk2 − 2thx, yi + t2 kyk2 ≥ 0 .
En particulier pour
t = hx, yi/kyk2
on trouve le résultat.
Lemme (inégalité de Minkowski pour les suites).
Sous les même conditions,
kx + yk ≤ kxk + kyk .
avec égalité ssi
x
et
y
sont colinéaires de même direction.
Preuve :
kx + yk2 = hx + y, xi + hx + y, yi ≤ kx + yk.kxk + kx + yk.kyk ,
le résultat suit directement.
Exemple.
Rn
Exemple.
Espace
muni de la distance euclidienne. L'inégalité triangulaire suit de l'inégalité de Minkowski.
l2
des suites de carré sommable, avec la distance correspondante. On montre en utilisant
l'inégalité de Minkowski que la somme de deux suites dans
l2
est dans
l2 ,
puis que l'inégalité triangulaire
s'applique.
2.3 Boules ouvertes, fermées
Ce sont des analogues dans les espaces métriques des intervalles dans
Def.
boules ouvertes, boules fermées.
Exemple.
Def.
R.
Dans
Z × Z,
les singletons sont à la fois des boules ouvertes et des boules fermées.
Voisinage d'un point.
2.4 Suites
Def.
Suite à valeur dans un espace métrique, comme une fonction de
Def.
Suite convergente.
Rq.
Def.
28/9/7
Rq.
Unicité de la limite d'une suite.
Suite de Cauchy.
Toute suite convergente est de Cauchy.
2.5 Sous-espaces, espaces équivalents
Def.
Distance induite sur un sous-ensemble.
N.
2.6.
11
OUVERTS, FERMÉS
Remarque.
Def.
Soit
(E, dE )
un espace métrique, soit
F ⊂ E.
Alors
(F, dF )
est un espace métrique.
Isométrie.
Rq.
Une isométrie est nécessairement injective, mais pas nécessairement surjective.
Def.
Espaces métriques isométriques.
Def.
Distances équivalentes : deux distances
d1
et
d2
E
sur
sont équivalentes si
Id : (E, d1 ) → (E, d2 )
est un
homéomorphisme.
Exemple.
Supposons qu'il existe
c, c0 > 0
tels que pour tout
x, y ∈ E ,
cd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ c0 d1 (x, y) .
Alors
0,
d1
et
d2
sont équivalentes. Plus généralement, s'il existe deux fonctions continues
f, f 0
avec
f (0) = f 0 (0) =
telles que
d1 (x, y) ≤ f (d2 (x, y)), d2 (x, y) ≤ f 0 (d2 (x, y)) .
Exemple.
Sur l2
∩ l∞
les deux distances ne sont pas équivalentes ! Inégalité dans un sens seulement.
2.6 Ouverts, fermés
Def.
Ouverts par boule ouverte contenue...
Def.
Fermés par limite de suites.
Exemple.
Dans
Z × Z,
les singletons sont à la fois ouverts et fermés.
Lemme.
Toute boule ouverte est ouverte.
Lemme.
Toute boule fermée est fermée.
Thm.
Le complémentaire d'un ouvert est un fermé, et réciproquement.
Thm.
Toute réunion d'ouverts est ouverte. Toute intersection de fermés est un fermé.
2.7 Adhérence, intérieur
Def.
Thm.
Adhérence comme le plus petit fermé contenant
L'adhérence de
F
F.
Noté
F.
est l'ensemble des limites de suites d'éléments de
F.
Preuve : délicate ! Il faut montrer que l'ensemble des limites de suites est fermé, pour ça procédé diagonal.
Def.
Sous-ensemble dense d'un espace métrique.
Def.
Intérieur comme le plus grand ouvert inclus dans
Thm.
F.
Le complémentaire de l'adhérence est l'intérieur du complémentaire.
Remarque.
L'adhérence d'une boule ouverte n'est pas nécessairement une boule fermée ! L'adhérence d'une
boule ouverte contient la boule fermée correspondante, réciproque fausse. Exemple dans
Z2 .
Fin C5 du 3/1
0/8
12
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
2.8 Fonctions
Def.
Fonctions continues entre deux espaces métriques.
Thm.
Une fonction est continue en
a
ssi l'image de toute suite convergeant vers
a
est une suite convergeant
vers son image.
Thm.
La composée de deux fonctions continues est continue.
Fonctions à valeurs réelles.
Exemple.
Thm.
d(x, ·)
comme fonction à valeur réelle, continue.
L'image réciproque d'un ouvert (resp. d'un fermé) par une application continue est un ouvert (resp.
fermé).
NB.
En fait c'est une caractérisation possible des fonctions continues.
Homéomorphismes.
2.9 Produit de deux espaces métriques.
Def.
Plusieurs distances possibles, soit
d1
et
Exemples.
R2
Propriété.
Continuité des deux projections.
avec la norme
|x| + |y|
d∞ .
ou la norme sup comme somme de deux copies de
R.
2.10 Espaces complets
Def.
Suites de Cauchy (rappel).
Def.
Espace complet.
Thm.
Tout sous-ensemble fermé d'un espace complet est complet.
Exemple.
(R2 \ {(0, 0)}, d)
Exemple.
(Z × Z, d)
Exemple.
n'est pas complet.
est complet : toute suite de Cauchy est constante à partir d'un certain rang.
l0 , l'espace des suites presque partout nulles,
L2 . Suites de Cauchy non convergentes.
n'est pas complet pour la norme sup et pas non plus
pour la norme
2.11 Théorème du point xe de Picard
Exemple le plus simple de théorème de point xe, mais il en existe beaucoup d'autres ! Important dans
diérentes branches des mathématiques, par exemple dans les équations aux dérivées partielles : on montre
l'existence d'une solution par un théorème de point xe dans un espace de fonctions.
Autre exemple : tout homéomorphisme du disque fermé admet un point xe (pas nécessairement unique).
(Preuve plus subtile...)
Def.
Point xe.
2.12.
13
ESPACES COMPACTS
Def.
Application contactante.
Thm.
Soit
k ∈]0, 1[.
(E, d) un espaces métrique
f admet un unique point
Alors
complet, et soit
f :E →E
une application contractante de rapport
xe.
Preuve : unicité par argument direct. Pour l'existence on considère une suite dénie par itération et on
montre qu'elle est de Cauchy.
NB.
La preuve montre plus : si on dénit une suite par itération à partir d'un point elle converge exponen-
tiellement vite vers le point xe.
NB.
Il existe d'autres théorèmes du point xe, par exemple pour les applications continues d'une boule dans
elle-même.
2.12 Espaces compacts
Def.
Par existence d'une valeur d'adhérence.
Ex.
Dans
R,
les intervalles compacts.
Ex.
Dans
R,
les compacts sont les fermées bornés.
Def.
Rq.
Dans
F ⊂ (E, d)
Si
Lemme.
Def.
Thm.
(E, d),
un sous-ensemble est compact ssi il est compact pour la distance induite.
est compact alors il est fermé. La réciproque est fausse.
Tout sous-espace fermé d'un espace compact est compact.
Dans
(E, d),
un ensemble est relativement compact si son adhérence est compacte.
L'image directe d'un compact par une application continue est compacte.
Preuve : on prend une suite dans l'espaces image, et on montre l'existence d'une sous-suite convergente en
passant dans l'espace de départ.
Def.
Thm.
Soit
f : (E, d) → (F, δ)
une fonction.
f
est uniformément continue si...
Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Thm (Bolzano-Weierstrass.)
Dans
(E, d),
un sous-ensemble est compact ssi de tout recouvrement ouvert
on peut extraire un sous-recouvrement ni.
Lemme.
Soit
d'adhérence de
(un ) une suite dans (E, d). L'ensemble
(un ) sont des points de la suite.
des valeurs de
un
est fermé ssi toutes les valeurs de
Preuve du lemme. Direct, on prend une suite dans cet ensemble.
Preuve du thm. On
admet
Réciproque : on suppose que
que la compacité au sens des suites implique la compacité au sens de BL.
(E, d)
est compact au sens de BL. Soit
(xn )
une suite qui n'admet pas de valeur
d'adhérence. Alors elle admet une sous-suite qui ne prend chaque valeur qu'au plus une fois. On pose
E \ {xn , n ∈ N},
qui est ouvert d'après le lemme, et on choisit pour chaque
mais aucun autre
xk .
n
un ouvert
Un
U =
xn
qui contient
On applique alors le critère de BL, contradiction.
Thm (Borel-Lebèsgue).
Dans
Rn
muni de la distance euclidienne, un ensemble est compact ssi il est fermé
et borné.
Preuve : si compact alors fermé. De plus borné, sinon suite tendant vers l'inni et sans sous-suite convergente.
Réciproquement, on remarque que les bornés de
R
sont relativement compacts, etc.
14
CHAPITRE 2.
ESPACES MÉTRIQUES
2.13 Espaces connexes
Def.
Un espace métrique
(E, d)
Thm.
Rq.
c[0, 1] → E
avec
c(0) = x
et
il existe une chemin continu qui les
L'image d'un espace métrique connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.
Notion naturelle d'espace en un seul morceau.
Def*.
Un espace métrique
Lemme*.
Thm*.
Rq*.
x, y ∈ E
c(1) = y .
est connexe par arcs si pour tout
joint, i.e. une applications continue
(E, d)
(E, d)
est connexe si les seuls sous-ensembles ouverts et fermés sont
est connexe ssi toute fonction continue de
E
dans
{0, 1}
∅
et
E.
est constante.
Tout espace métrique connexe par arc est connexe.
La réciproque est fausse.Exemple : le graphe de
x 7→ sin(1/x)
pour
Thm.
L'image d'un connexe par une application continue est connexe.
Thm.
L'adhérence d'un connexe est connexe.
x 6= 0
auquel on adjoint l'axe
Oy .
Chapitre 3
Espaces vectoriels normés
3.1 Dénition
Def.
E
Soit
un EV, une norme sur
1.
N (x) = 0
2.
N (λx) = |λ|N (x)
3.
N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
ssi
x=0
E
est une fonction
N :E→R
telle que
(séparation),
(homogénéité),
(inégalité triangulaire).
Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme.
Exemple.
NB.
l2 , l∞ , l1
sont en fait des espaces vectoriels normés.
On peut parler d'espace vectoriel normé réel ou complexe.
Proposition.
Dans un EVN
(E, N )
on a
1.
N (−x) = −N (x),
2.
|N (x) − N (y)| ≤ N (x ± y) ≤ N (x) + N (y).
Distance associée à une norme.
N
associée à
Soit
(E, N )
un EVN, on peut dénir une distance sur
E
canoniquement
par :
d(x, y) = N (y − x) .
Preuve : il sut de montrer les trois éléments de la dénition, en particulier l'inégalité triangulaire.
Cor.
Les EVN sont des cas particuliers d'espaces métriques !
Def.
Notion de suite convergente dans un EVN. De même pour les notions d'ouvert et de fermé, intérieur,
adhérence, etc.
3.2 Boule associée à une norme
Boules ouvertes, fermées.
Rq.
Soit
vecteur
Def.
a
la boule ouverte (resp. fermée) de centre
de la boule ouverte de centre
Soit
est dans
Def.
a ∈ E,
Def.
(E, N )
un EVN, soit
0
et de rayon
A ⊂ E. A
a
et de rayon
r
est l'image par la translation de
r.
est convexe ssi pour tout
A.
x, y ∈ A,
le segment d'extrémités
x
et
y
Fin cours 24/1
[parties symétriques d'un EVN]
15
16
CHAPITRE 3.
Def.
[Partie bornée]
Def.
[Diamètre d'une partie d'un EVN]
Lemme.
Soit
(E, N )
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
un EVN, alors
1. toute boule ouverte est une partie convexe bornée de
2. toute boule ouverte (resp. fermée) centrée en
3. le diamètre d'une boule de rayon
r
0
E,
est une partie symétrique,
2r.
est
3.3 Applications continues
thm.
Soit
E, F
des EVN, soit
u : E 7→ F . u
est continue en
0
ssi
∃C > 0, ∀x ∈ E, ku(x)k ≤ Ckxk .
thm.
Soit
E, F
des EVN, soit
u : E 7→ F . u
est continue ssi elle est continue en
0.
3.4 Sous-espaces, produit, isomorphismes entre EVN
Prop.
Def.
Rq.
Norme induite sur un sous-espace vectoriel d'un EVN.
Produit(s) de deux EVN par
N1 , N∞ .
Correspond aux dénitions de
d1 , d ∞
pour les distances associées. Aussi possible pour plus de deux
espaces/
Def.
Isomorphisme entre EV, def par isomorphisme d'EV qui sont en plus des isométries.
Def.
Tiré en arrière d'une norme par un isomorphisme d'EV. Par un morphisme injectif d'EV.
3.5 Normes équivalentes
Def.
Rq.
Normes équivalentes.
Correspond à ce que les distances associées sont équivalentes au sens du chapitre 2 (ou bilipschitz équi-
valentes).
Rq.
Soit
E
équivalente à
Lemme.
un EV muni de trois normes
Soit
E
un EV muni de deux normes
1. une suite est convergente pour
2.
(E, N1 )
N1 , N 2 , N 3 .
Si
N1
est équivalente à
N2
et
N2
à
N3
alors
N1
N3 .
est complet ssi
3. un sous-ensemble de
E
(E, N2 )
N1
N1
et
N2
équivalentes. Alors
ssi elle est convergente pour
N2 ,
est complet,
est ouvert pour
N1
ssi il est ouvert pour
N2 ,
4. de même pour fermé,
5. de même pour compact.
Preuve : si
Def.
N1
et
N2
sont équivalentes alors les distances associées sont équivalentes, d'où le résultat.
EV de dimension nie, si isomorphe en tant qu'EV à
Rn ,
pour
n ∈ N.
est
3.5.
17
NORMES ÉQUIVALENTES
Thm.
Dans un EVN de dimension nie, la boule unité est compacte. NB : à supprimer et à mettre après le
thm sur équivalence des normes en dim nie ! !
Rq.
C'est faux en dimension innie ! Par exemple dans
n = k, 0
Cor.
Thm.
l∞
la suite
(δ n )
dénie par
δ n = (δkn )k
avec
δkn = 1
si
sinon.
Les compacts sont les parties fermées et bornées.
Fin C. 7/11
Sur un EV de dimension nie, tout les normes sont équivalentes.
Preuve : on se place sur
On montre d'abord que
Rn , on va montrer que toute norme N est équivalente
N est continue en 0 pour NE , en majorant
X
N (x) ≤
|xi |N (ei )
à la norme euclidienne
NE .
i
dans une base orthonormée pour
N.
On en déduit que
On considère alors la restriction de
N
on remarque que la borne inf ne peut pas être
fonction de
Cor.
N
est continue pour
à la sphère unité de
0.
NE
NE
en
0
puis en tout point.
qui est continue donc atteint ses bornes, et
On en déduit une majoration et une minoration pour
NE (x).
Dans un EVN de dimension nie, la boule unité est compacte.
N (x)
en
18
CHAPITRE 3.
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Chapitre 4
Espaces de Hilbert
Motivations
Qu'est-ce qu'un espace de Hilbert ? Espace vectoriel (typiquement, de dimension innie) muni d'un produit
scalaire euclidien ou hermitien, qui est complet. Exemple typique :
l2 .
Pourquoi étudier les espaces de Hilbert ?
Analyse fonctionnelle : résoudre des EDP, etc
Mécanique quantique (d'où Hilbert),
Traitement du signal, des images, etc, apparaît partout.
Objectifs :
Bases pour les séries de Fourier.
Géométrie dans les Hilbert, projection sur les convexes, etc.
Bases hilbertiennes, et comment les obtenir.
Compléments intéressants, et utiles pour les applications.
4.1 Produits scalaires
Cadre.
Espace vectoriel sur
K,
c'est à dire sur
R
ou sur
C.
Def.
Produit scalaire euclidien : forme bilinéaire, symétrique, dénie positive. Pour les EV sur
Def.
Produit scalaire hermitien : forme linéaire par rapport au premier facteur, symétrie hermitienne (h(x, y)
h(y, x)),
dénie positive. Pour les EV sur
Exemple.
Cn
R.
=
C.
muni du produit scalaire hermitien usuel.
Def.
Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire euclidien ou hermitien.
NB.
Les produits scalaires hermitiens sont sequilinéaires : linéaire par rapport au premier facteur, antilinéaire
par rapport au 2e facteur. On note aussi que
Def.
h(x, x) ∈ R.
Une forme bilinéaire symétrique (resp. sequilinéaire) est positive si
h(x, x) > 0,
non dégénérée si
∀y ∈ E, h(x, y) = 0 ⇒ x = 0 .
Notation.
Def.
On utilise souvent
h(x, y) = hx, yi.
La norme associée à un produit scalaire euclidien ou hermitien est dénie par :
souvent
kxk.
19
N (x)2 = hx, xi.
Notée
u 14/11
20
CHAPITRE 4.
Lemme.
ESPACES DE HILBERT
Le produit scalaire est uniquement déterminé par la norme associée, en eet pour tout
x, y ∈ E
on
a dans le cas réel :
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi ,
et dans le cas hermitien :
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2Re(hx, yi) ,
Cor.
Si
N
provient d'un produit scalaire alors
N (x + y)2 − N (x)2 − N (y)2
dénit un produit scalaire.
Exemples.
1. la norme de
l2
provient d'un produit scalaire.
2. pas la norme de
l1 .
Argument : restriction à vecteur du type
u = (x, 0, 0, · · ·)
et
v = (0, 1, 0, · · ·).
Alors
N1 (u + v)2 − N1 (u)2 − N1 (v)2 = (|x| + |y|)2 − x2 − y 2
qui n'est pas une forme bilinéaire.
3. ni celle de
l∞ .
Exercice : le montrer.
4.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Lemme.
E
Soit
un EV sur
C
et soit
h
un produit scalaire hermitien sur
E.
Pour tout
x, y ∈ E
on a
|hx, yi| ≤ kxk.kyk ,
avec égalité ssi
Cor.
x
Pour tout
Exemple.
et
y
sont colinéaires.
x ∈ E,
Espace
2
lC
l'application linéaire
y → hx, yi
est continue.
des suites à valeurs complexes dont la somme des carrés converge, muni du produit
scalaire hermitien. Ce produit scalaire est bien déni par l'inégalité appliquée aux sommes nies.
Lemme.
x, y ∈ E ,
Soit
alors
kx + yk ≤ kxk + kyk .
Preuve : on prend le carré et on simplie.
Cor.
Un produit scalaire (hermitien ou euclidien) dénit une norme, et donc une distance associée.
4.3 Géométrie des espaces préhilbertiens
Exemple.
Espace préhilbertien non complet. Par exemple espace des fonctions continues sur
produit scalaire
Exemple.
l2
L2 .
est un espace de Hilbert avec le produit scalaire usuel (réel ou complexe).
Identités du parallélogramme.
Soit
x, y ∈ E ,
alors
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) .
[0, 1]
muni du
4.4.
21
SOUS-ESPACES VECTORIELS, ORTHOGONAL
Identités de la médiane.
Soit
x, a, b ∈ E ,
soit
m = (a + b)/2.
Alors
kx − ak2 + kx − bk2 = 2kx − mk2 + k(a − b)/2k2 .
Preuve : on écrit l'identité du parallélogramme pour
u=x+y
et
v = x − y,
on trouve que :
kuk2 + kvk2 = 2k(u + v)/2k2 + 2k(u − v)/2k2 .
Puis on pose
Def.
u = x − a, v = x − b
et on trouve le résultat.
x, y ,
Angle entre deux vecteurs non nuls
déni par :
cos θ =
Rq.
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2 cos θkxkkyk.
Rq.
Deux vecteurs sont orthogonaux ssi
Rq.
(Thm de Pythagore) Si
x, y
Rehx, yi
.
kxk.kyk
Rehx, yi = 0.
sont orthogonaux, alors
kx + yk = kxk + kyk.
4.4 Sous-espaces vectoriels, orthogonal
Rq.
Il existe des sous-espaces vectoriels non fermés des espaces de Hilbert !
Ex.
Dans
l2 ,
l'espace des suites presque partout nulles.
Def.
Orthogonal
Pté.
V⊥
V⊥
d'un sous-espace vectoriel.
est toujours fermé.
4.5 Projection orthogonale
NB.
Maintenant la complétude est nécessaire, on peut se placer dans un espace de Hilbert mais ça n'est pas
entièrement nécessaire (on peut se limiter à des sous-ensembles complets).
Def.
Espace de Hilbert : préhilbertien complet.
Théorème de projection sur un convexe.
Soit
E
un espaces préhilbertien sur
K,
soit
A⊂E
un sous-
ensemble convexe complet. Alors :
1. pour tout
2.
pA (x)
x ∈ E,
il existe un unique
est l'unique point de
A
pA (x) ∈ A
qui réalise le minimum de la distance à
x
des points de
A,
tel que
∀z ∈ A, Rehx − pA (x), z − pA (x)i ≤ 0 ,
3. si
x, y ∈ E
alors
kpA (x) − pA (y)k ≤ kx − yk.
NB.
Faire un dessin ! Interprétation en termes d'angle obtu entre les deux vecteurs issus de
Cor.
Soit
V ⊂E
V.
un SEV complet, alors, pour tout
x ∈ E , pV (x)
est l'unique point
orthogonal à
Cor.
1.
2.
Soit E préhilbertien, soit V ⊂ E un SEV complet, V 6= {0}.
pV : E → V est K -linéaire, continue, de norme 1,
V = Ker(Id − pV ), V ⊥ Ker(pV ), E = V ⊕ V ⊥ .
Alors :
y∈V
y.
tel que
x−y
est
22
CHAPITRE 4.
Cor.
V ⊂E
Soit
un SEV,
V
ESPACES DE HILBERT
est fermé ssi c'est le noyau d'une forme linéaire continue sur
E.
4.6 Le théorème de représentation de Riesz.
Def.
E∗
l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur
Ex.
φx (y) = hy, xi
Ex.
de formes linéaires non continues sur
Thm.
E
f = φy .
Soit
tel que
pour tout
x ∈ E.
E.
Forme linéaire de norme
un espace de Hilbert, soit
l2 .
kxk.
Rappel en dim nie toute forme lin est continue.
f ∈ E∗
une forme linéaire continue sur
E.
Il existe un unique
y∈E
Preuve. L'unicité est évidente, il faut seulement montrer l'existence.
f 6= 0,
On suppose que
b∈H
⊥
non nul. Pour tout
sinon on peut prendre
x∈E
y = 0.
et en prenant le produit scalaire avec
b
y=
Def.
E = H ⊕ H ⊥.
Soit
:
d'où le résultat avec
φ : x 7→ φx
On a vu que
f (x)b
∈ Ker(f ) = H
f (b)
hx, bi =
L'application
H = Ker(f ).
on a :
x−
Thm.
Soit
f (x)kbk2
,
f (b)
f (b)b
.
kbk2
est un isomorphisme (anti-holomorphe sur
Un morphisme antiholomorphe
u:E→F
C)
de
E
dans
E∗.
est compatible avec la somme mais tel que
u(λx) = λu(x).
4.7 Orthogonalité
On se place dans un espace préhilbertien
Def.
Une famille
i 6= j .
pour
(ui )i∈I
Alors la famille
Ex.√
Dans
i λi u i = 0
Un système
I0 ⊂ I
de vecteurs est un système orthogonal si
(ui )
hui , ui i = 1
(ai )i∈I
ui 6= 0
pour tout
h·, ·i.
pour tout
i
et si de plus
hui , uj i = 0
i.
forme un système libre (les vecteurs sont linéairement indépendants). En eet, si
on voit en prenant le produit scalaire avec
L2 ([0, 2π]) le
(1/ 2π) cos(kx), k ≥ 0.
Def.
le produit scalaire est noté
C'est une famille orthonormée si de plus
Rq.
P
nie
E,
uj
que
λj = 0 .
système orthogonal constitué des fonctions
dans
E
√
x 7→ (1/ 2π) sin(kx), k ≥ 1
et
x 7→
s ∈ E tel que pour tout
P > 0 il existe une partie
I0 ⊂ I1 ⊂ I on ait ks − i∈I1 ai k ≤ . s est la somme
est sommable s'il existe
telle que pour toute partie nie
I1
satisfaisant
de la famille.
Def.
Rq.
Pté.
(ai )i∈I
est absolument sommable si la famille de nombre réels positifs
(kai k)
est sommable.
Dans un espace de Hilbert (complet) toute famille absolument sommable est sommable.
Prenons
I = N.
Si la famille
(ai )i∈N
convergente (resp. absolument convergente).
est sommable (resp. absolument sommable) alors la série
P
ai
est
4.8.
23
BASE HILBERTIENNE
Proposition (inégalité de Bessel).
nombres complexes
(hx, ui i)
Soit
(ui )i∈I
un système orthonormé. Pour tout
est absolument sommable dans
X
C,
x ∈ E,
la famille de
et on a :
|hx, ui i|2 ≤ kxk2 .
i∈I
Preuve : il sut de montrer l'inégalité pour
engendré par les
J ⊂ I
ni. On utilise la projection orthogonale sur le SEV
uj , j ∈ J .
4.8 Base hilbertienne
Def.
somme
Def.
de
Base topologique dans un espace préhilbertien, avec existence de coefs tels que famille sommable de
x.
Soit
E
préhilbertien. Une base hilbertienne est un système orthonormé qui est aussi une base topologique
E.
Procédé d'orthonormalisation de Hilbert-Schmidt, existence de bases hilbertiennes dans un espace de Hilbert
séparable. Polynômes orthogonaux .
Thm.
Soit
E
espace de Hilbert, soit
engendré est dense dans
Thm (égalité de Parseval).
ssi pour tout
x∈E
(ei ) une famille orthogonale. Alors (ei ) est une base de Hilbert ssi le SEV
E.
Soit
(ei )
une famille orthogonale dans
E
Hilbert, c'est une base hilbertienne
on a :
kxk2 =
X
|hx, ei i|2 .
i∈I
Prop.
Si
(ei )
est une base hilbertienne on a aussi pour tout
x=
X
x∈E
hx, ei iei .
i
Prop.
Si
(ei )
est une base hilbertienne on a aussi pour tout
hx, xi =
X
x, y ∈ E
hx, ei ihy, ei i .
i
Def.
Thm.
Espace Hilbert séparable : qui admet une base famille dénombrable dense.
Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne.
Preuve : repose sur le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt. On construit récursivement la famille
(fi )
à partir de la famille
(ei ), i ∈ N.
4.9 Compléments
Théorème de Lax-Milgram
24
CHAPITRE 4.
ESPACES DE HILBERT
Bibliographie
[1] G. Skandalis, Mathématiques pour la licence - topologie et analyse, Dunod, 2001.
25