Mémoire présenté le Octobre 2017
pour l’obtention du diplôme
de Statisticien Mention Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires
Par :
Jérémy PEROMET
Titre : Mesure interne du risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire
Confidentialité : non.
Membre présent du jury de l’Institut
des Actuaires
Entreprise
Caisse des Dépôts
Signature :
Signature :
Membres présents du jury de l’ISUP
Olivier Lopez
Directeur de mémoire en entreprise
Florent WILHELMY
Signature :
Invité
Signature :
Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion
de documents actuariels
Signature du responsable entreprise
Bibliothèque :
Signature du candidat
Secrétariat :
Résumé
Au cours des dernières années, les banques centrales ont eu recours à des outils pour
stimuler l’économie pour lutter contre la crise de 2008. Afin d’éviter la déflation et d’autres
troubles économiques, la BCE a lancé un programme massif d’achat d’obligations appelé
« Quantitative Easing » (QE) en mars 2015 pour stimuler d’urgence une économie affaiblie. Une telle politique monétaire non conventionnelle a un impact sur les taux d’intérêt,
ce qui nécessite un suivi plus étroit du risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire. Dans le cadre d’un tel contexte, ce mémoire se concentre sur la compréhension de la
manière dont les conditions actuelles du marché peuvent affecter les revenus et la rentabilité du Fonds d’Épargne ; tout en analysant les impacts d’une modification de la structure
des courbes de rendement sur la marge nette d’intérêt (MNI) et sur la valeur économique
du bilan (EVE). De plus, les régulateurs examinent de plus près comment mesurer et
couvrir le risque global de taux d’intérêt. Ainsi, ce mémoire fournit une méthode interne
pour mesurer l’IRRBB et analyse les impacts des mouvements de taux d’intérêt sur l’EVE
et la MNI. Le modèle interne du Fonds d’Epargne utilise en particulier deux mesures de
risques, l’EVE avec la Value-at-Risk (VaR) et la MNI avec l’Earning-at-Risk (EaR).
L’objectif du mémoire est de mieux comprendre comment les variations des taux d’intérêt affectent le bilan et le compte de résultat du fonds d’épargne. Ainsi, un point d’honneur est donné à la mesure du risque de taux afin de quantifier son impact pour une saine
gestion actif-passif. Nous allons étudier deux approches pour capturer le risque de taux,
une première approche fondée sur la valeur économique des postes du bilan et hors-bilan,
une seconde basée sur la marge nette d’intérêt.
Les conditions actuelles de taux d’intérêt durablement bas et négatif, font de cette analyse un sujet majeur pour piloter du mieux possible le risque de taux d’intérêt dans sa
globalité.
Au travers de ce mémoire, nous étudierons des modèles statistiques, pour définir correctement des chocs sur les courbes de taux, mais aussi pour les calculs de l’EVE et de la
MNI. Les modèles seront utilisés en gardant à l’esprit leurs hypothèses et limites.
Enfin, nous avons cherché à réconcilier les deux mesures de risque avec comme objectif,
créer un indicateur d’aide à la décision stratégique pour la gestion du risque de taux
d’intérêt. Cet indicateur permet l’analyse sur une période donnée, non seulement les MNI
produites mais également la valeur actuelle nette résiduelle du bilan à l’initiation et à
l’issue de la période. Ainsi, il sera possible de mesurer la création de valeur réellement
produite entre les deux dates. L’indicateur étant inspiré d’une approche en total-return,
nous proposons de le définir comme le « Rendement Total du Portefeuille Bancaire d’Intérêt », que nous abrégerons en BBTRI.
Mots-clés : Risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire, valeur économique,
marge nette d’intérêt, Value at Risk, Earning at Risk, valorisation, projections, gestion
actif/passif.
I
Abstract
The past few years have seen central banks use tools to stimulate an economy that
has kept on struggling since the 2008 crisis. In order to avoid deflation and other economic turmoil, the ECB launched a massive bond-buying program called the Quantitative
Easing (QE) in march 2015 as an emergency stimulus to a weakened economy. Such unconventional monetary policy has an impact on interest rates, and so, requires a closer
monitoring of the Interest Rate Risk in the Banking Book (IRRBB). In such a contest, this
thesis focuses on understanding how current market conditions can affect Fonds d’Epargne’s revenues and profitability while analyzing the impacts of any changes of the term
structure of yield curves on the Net Interest Income (NII) and on the Economic Value of
Equity (EVE) . Additionally, as regulators are taking a closer look on how to measure
and cover the IRRBB. Thus, this thesis provides an intern methodology for measuring
the IRRBB and analyzes the impacts of interest rate moves on the EVE and the NII.
Fonds d’Epargne’s intern model used, in particular, two measures of risk, EVE with an
Value-at-Risk and NII with an Earning-at-Risk.
The purpose of this thesis is to understand how changes in interest rates affect the balance sheet and the profit or loss account of Fonds d’Epargne. Thus, it a point of principal
is given to the measurement of interest rate risk in order to quantify its impact on sound
asset-liability management. We will study two approaches to capturing interest rate risk,
a first approach based on the economic value of balance sheet and off-balance sheet items,
and a second based on the net interest margin.
The current conditions make this analysis a major topic in order to control the interest
rate risk as a whole.
Through this thesis, we will study statistical models, in order to define correctly the shocks
on the yield curves, but also for the calculations of the EVE and the NII. The models will
be used with their assumptions and limitations in mind.
Finally, we sought to reconcile the two risk measures with the objective of creating a
strategic decision support indicator for managing interest rate risk. This indicator allows
the analysis over a given period not only the NMIs produced but also the residual net
present value of the balance sheet at the begining and at the end of the period. Thus,
it will be possible to measure the creation of value actually produced between the two
dates. The indicator is inspired by a total-return approach, and we propose to define it
as the « Banking Book Total Return of Interest », which we will shorten in BBTRI.
Keywords : Interest rate risk in the banking book (IRRBB), economic value, net interest margin, Value-at-Risk, Earning-at-Risk, valorisation, projection, asset and liabilities
management (ALM).
II
Remerciements
Je remercie vivement Florent Wilhelmy, mon maître de stage, de m’avoir très bien encadré tout au long de mon parcours dans son service et après... Merci pour les conseils et
explications toujours très avisés et précis, de m’avoir fait profiter de ses talents scientifiques
et financiers et de m’avoir permis de travailler sur un sujet aussi intéressant et d’actualité.
Je remercie chaleureusement tous mes collègues de l’équipe Risque global de taux et
VAN du bilan : Frédéric Ancher, Jérôme Decroi et Daria Haderer. Merci à eux de m’avoir
fait partager leur connaissances du métier de gestionnaire actif-passif et d’avoir insufflé
une ambiance de travail très positive et encourageante.
Plus généralement, je tiens à remercier également toute l’équipe ALM à laquelle j’ai
été rattaché pendant mon stage, pour leur accueil chaleureux.
Merci enfin à l’ISUP et ses professeurs pour l’enseignement que j’ai reçu ces trois dernières années ; en particulier à son directeur et mon tuteur de mémoire, Olivier Lopez,
pour son aide et le temps qu’il m’a accordé.
III
Table des matières
Introduction générale
1
1
Cadre de travail et problématique ALM
1.1 Les principaux risques bancaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Le risque de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Le risque de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Le risque opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Le risque de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Le risque de liquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Le risque de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les réglementations prudentielles . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Le Comité et les accords de Bâle . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Le risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire
1.2.3 Le cadre standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les problématiques de la gestion ALM . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition de la gestion ALM . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 La gestion ALM du risque de taux . . . . . . . . . . .
1.3.3 Mesure de l’IRRBB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Modèles de calcul
2.1 Modèles de chocs . . . . . . . . .
2.1.1 Cadre standard . . . . . .
2.1.2 Série temporelle . . . . . .
2.1.3 Conclusion . . . . . . . . .
2.2 Méthodes de calculs pour l’EVE .
2.2.1 Méthode des GAPS . . . .
2.2.2 Méthode par actualisation
2.2.3 Conclusion . . . . . . . . .
2.3 Méthodes de calculs pour la MNI
2.3.1 Méthode déterministe . .
2.3.2 Méthode stochastique . . .
2.3.3 Conclusion . . . . . . . . .
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33
3 Application au Fonds d’épargne
3.1 Application au calcul des chocs . . .
3.1.1 Modèle standard . . . . . . .
3.1.2 Modèle économétrique . . . .
3.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . .
3.2 Application du calcul de l’EVE . . .
3.2.1 Méthode GAPS . . . . . . . .
3.2.2 Méthode par actualisation . .
3.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . .
3.3 Application du calcul de la MNI . . .
3.3.1 Calcul de la MNI déterministe
3.3.2 Calcul de la MNI stochastique
3.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . .
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IV
4 Méthode d’agrégation
4.1 Les hypothèses . . . . . . . . . .
4.1.1 Chocs de taux d’intérêt . .
4.1.2 Scénario des taux d’intérêt
4.1.3 Horizon temporel . . . . .
4.2 Approche « Total Return » . . . .
4.2.1 Hypothèses de calcul . . .
4.2.2 Application . . . . . . . .
4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . .
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84
5 Conclusion générale
85
Références
89
A La caisse des dépôts et les livrets réglementés
A.1 Le rôle et la particularité de la CDC . . . . . .
A.2 Les prêts du fonds d’épargne . . . . . . . . . . .
A.3 Livret A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Livret de développement durable . . . . . . . .
A.5 Livret d’épargne populaire . . . . . . . . . . . .
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B Rappels de mathématiques
B.1 Mesure de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Valeur en Risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Conditionnelle Valeur en Risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C Rappels sur les taux d’intérêt
94
C.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
D Courbes de taux utilisés
D.1 Courbe des taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Courbe d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.3 Courbe des taux réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
97
97
97
98
Introduction générale
Au cours des trois dernières années, les banques centrales ont eu recours à des programmes d’achat d’obligations pour stimuler l’économie. Ces méthodes non conventionnelles ont eu un impact direct sur la structure des courbes de taux. Par conséquent, les
taux d’intérêt ont baissé, diminuant ainsi considérablement les coûts d’emprunts pour
atteindre des niveaux plus bas jamais observés auparavant.
Aujourd’hui, de nombreux économistes, gérants d’actifs et autres acteurs du marché se
posent beaucoup de questions sur les conséquences des taux d’intérêt durablement bas et
de ce qui pourrait se produire ensuite. La banque centrale européenne (BCE) a annoncé
le maintien du programme de « Quantitative Easing » (QE) jusqu’à l’horizon de décembre
2017, néanmoins le programme d’achat d’obligation doit être réajusté, ce qui ne sera pas
sans effet sur les courbes des taux. Il est nécessaire de prendre la mesure de ces impacts
sur la valeur des actifs et des passifs ; en effet, un pic des taux d’intérêt a été l’un des
facteurs de la crise de l’épargne et des prêts dans les années 1980.
De ce fait, une des principales occupations des régulateurs bancaires est de savoir si les
banques sont prêtes pour un retour à un environnement « normal » (en particulier, sans
QE). C’est ce contexte qui a conduit les régulateurs à se concentrer davantage sur le risque
de taux dans le portefeuille bancaire. Ainsi, les banques sont tenues de gérer efficacement
le risque de taux faisant partie du pilier II de Bâle III.
L’objectif du mémoire est de mieux comprendre comment les variations des taux d’intérêt affectent le bilan et le compte de résultat du Fonds d’épargne. Ainsi, un point
d’honneur est donné à la mesure du risque de taux afin de quantifier son impact pour
une saine gestion actif-passif. Nous allons étudier deux approches pour capturer le risque
de taux, une première approche fondée sur la valeur économique des postes du bilan et
hors-bilan, une seconde basée sur la marge nette d’intérêt.
Les conditions actuelles des taux d’intérêt font de cette analyse un sujet majeur pour
piloter du mieux possible le risque de taux d’intérêt dans sa globalité.
Ce mémoire étudie la mesure du risque global de taux du Fonds d’épargne de la Caisse
des Dépôts, groupe public français. La particularité de cet établissement bancaire est son
service de l’intérêt général et du développement économique du pays qui en font un investisseur de long terme. En effet, le Fonds d’épargne investit dans des projets de long
terme (fréquemment plus de 50ans) de développement des territoires et dans les entreprises française quelque soit leur taille. De plus, en tant que gestionnaire de mandats
publics, le groupe gère une partie de l’épargne réglementée des Français (Livret A, Livret
d’épargne populaire, Livret de développement durable) et finance, grâce à cette ressource,
des missions d’intérêt général comme le logement social et la politique de la ville.
Les missions qui lui sont confiées impliquent un lien fort entre l’actif et le passif du
bilan. En effet, les dépôts guichets des livrets réglementés sont collectés par les banques
puis, ils sont centralisés au Fonds d’Epargne contre une rémunération égale au taux du
livret auquel est ajouté un spread variable (autour de `30 bp à ce jour). Dans le contexte
actuel, la ressource du Fonds d’épargne est considérée comme étant chère en comparaison
de ce qui peut se trouver sur le marché. La centralisation est faite conformément aux
décrets de centralisation. Les décrets déterminent le taux de centralisation moyen des
établissements bancaires (taux de centralisation actuellement de l’ordre de 59.5%) et pré1
voient d’augmenter le taux de centralisation en cas d’insuffisance des dépôts centralisés
par rapport aux différents encours de prêts du Fonds d’Epargne. Le taux de centralisation
peut être augmenté afin de respecter deux ratios :
1)
Dépôts (LA,LDD,LEP) + Fonds Propres
Prêts
2)
Dépôts (LA, LDD, LEP)
Prêts « Habitat ville »
ě 135%
ě 125%
Cette contrainte réglementaire est là pour assurer que le Fonds d’épargne aura suffisamment de liquidité pour son activité. En revanche, si c’est un confort d’un point de vue
risque de liquidité, cette contrainte est forte d’un point de vue risque de taux et crée un
lien fort entre les prêts et les dépôts.
Le bilan du fonds d’épargne (environ 250Mdse au 31 décembre 2016) peut se résumer
de la manière suivante :
- les ressources sont, pour l’essentiel, constituées d’environ 240Mdse de dépôts dont
la rémunération dépend du taux du livret A (TLA), le reste provenant de fonds
propres et de réserves ;
- les emplois se décomposent en deux blocs, le premier constitué de prêts indexés sur
le livret A, environ 150Mdse, ou non indexés sur ce taux, pour environ 30Mdse,
le second composé d’actifs financiers, pour près de 70Mdse.
Les dépôts sont issus en très grande majorité du livret A et du Livret de développement
durable (LDD), le reste provenant du Livret d’épargne populaire (LEP). Leur rémunération est indexée sur le TLA, déterminé par une formule 1 prenant en considération le taux
d’inflation et les taux monétaires. Les prêts sont à maturité longue, voire très longue,
jusqu’à 60 ans. Ils présentent souvent des clauses de révisabilités, parfois des différés de
remboursement, et leur rémunération ne dépend ni de l’emprunteur, ni de la maturité
de l’opération. Les actifs financiers servent à assurer la liquidité du fonds d’épargne, à
couvrir le risque de taux mais aussi à fournir un supplément de rémunération. Ils sont
majoritairement constitués de titres d’Etat, à taux fixe ou asset-swappés, ainsi que d’obligations indexées inflation française (OATi) et d’obligations indexées inflation européenne
(OATei).
Par ailleurs, la situation de taux bas contraint la gestion du risque global de taux, de par
la formule du TLA, à doubler l’exposition inflation réelle du passif du Fonds d’épargne.
A cela, s’ajoute l’impact de la non application de la formule du livret A depuis février
2013, qui entraine une situation d’autant plus défavorable que la baisse de l’inflation n’est
plus bénéfique. En effet, la rémunération d’une partie de l’actif baisse alors que le coût
du passif est moins étirable voire figé. Enfin, le Quantitative Easing mis en place par la
Banque centrale européenne réduit sensiblement les titres disponibles à l’achat, ne permettant pas au Fonds d’épargne d’acheter le stock d’OATi et d’OATei souhaité pour se
couvrir contre le risque global de taux.
Le risque global de taux résulte :
- du risque sur les portefeuilles d’actifs financiers et de prêts non indexés sur le TLA,
dont les emplois à taux fixe, variable et indexé sur l’inflation sont financés au TLA
1. cf. A.3
2
(les emplois dont l’indice de référence est le TLA, adossés à des ressources TLA,
peuvent être considérés, en première analyse, comme sans risque) ;
- de l’incertitude quant à l’échéance des emplois et ressources au regard de l’importante position de transformation du fonds d’épargne, des emplois qui financent à
long terme avec des ressources à vue.
Le calcul de l’exigence en fonds propres au titre de ce risque représente une part non
négligeable des fonds propres (33%). Pour le Comité de Bâle, un risque ayant une part
aussi importante des fonds propres placerait le fonds d’épargne dans la catégorie des
établissements atypiques à surveiller avec prudence (et à laquelle une exigence en fonds
propres spécifiques peut être appliquée), s’il s’agissait d’un établissement de crédit.
La première partie du mémoire consiste à positionner le cadre réglementaire de travail
ainsi que les problématiques auxquelles est confrontée la gestion actif-passif. Ceci nous
permettra de constater que le risque de taux d’intérêt est un sujet d’inquiétude actuel du
Comité de Bâle qui a publié, en avril 2016, la norme relative au risque de taux d’intérêt
dans le portefeuille bancaire que les banques sont censées appliquer d’ici 2018, dans le but
de mettre à jour une approche renforcée fondée sur le deuxième pilier, publié en 2004.
Dans la seconde partie, nous nous intéresserons aux différents modèles statistiques
permettant de quantifier au mieux le risque de taux. Nous commencerons par présenter
le modèle de chocs des courbes des taux du cadre standard puis le modèle économétrique
interne du fonds d’épargne ; puis nous proposerons deux méthodes d’évaluation du risque
de taux basées sur la valeur économique du bilan (EVE), la première méthode interne,
dite « des gaps de taux », méthode approchée de la seconde, dite « d’actualisation », dans
le sens des recommandations du Comité de Bâle. Enfin, nous étudierons deux autres méthodes fondées sur la marge nette d’intérêt (MNI), la première, déterministe, mesure le
risque de taux sous contrainte d’une trajectoire des taux d’intérêt réalisé par les économistes du fonds d’épargne et la seconde plus complexe, stochastique, permettant la prise
en compte de plusieurs scénarii de l’évolution des taux d’intérêt.
La troisième partie est consacrée aux applications des méthodes exposées en seconde
partie. Les applications sont réalisées sur le bilan du Fonds d’épargne en date d’arrêté
du 31 décembre 2016. Pour des raisons de confidentialité et n’ayant pas de valeur ajoutée
à la compréhension du mémoire, le niveau exact des fonds propres calculés ne sera pas
communiqué, en revanche, les impacts et écarts méthodologiques seront analysés et des
sensibilités seront également étudiées.
Enfin, dans la dernière partie, nous proposons une méthode de réconciliation de l’EVE
et la MNI pour créer un indicateur d’analyse de décisions stratégiques. Ainsi, nous nous
sommes inspirés d’une approche en total-return et avons créé le « Rendement Total du
Portefeuille Bancaire d’Intérêt » (soit en anglais « Banking Book Total Return of Interest ») que nous abrégerons en BBTRI.
3
1
Cadre de travail et problématique ALM
Dans cette première partie, nous adoptons une approche « gestion des risques » afin
de décrire le rôle de l’ALM d’une institution bancaire. Nous commencerons par des rappels sur les différents risques auxquels une banque doit faire face et par quelques aspects
réglementaires. Puis, nous nous intéresserons aux problématiques qui sous-tendent le pilotage ALM avant d’introduire plus en détail les sujets que nous aborderons dans ce rapport.
1.1
Les principaux risques bancaires
Les banques sont soumis à de nombreux risques du fait même de leurs activités ; elles
utilisent en effet les dépôts de leurs clients afin d’investir sur les marchés et ainsi prêter
aux entreprises ou aux ménages. Cela induit inévitablement des risques, parmi lesquels
nous pouvons citer les plus importants :
1.1.1
Le risque de crédit
Le risque qu’une contrepartie (particulier ou entreprise) fasse défaut ou que sa situation économique se dégrade au point de déprécier la créance que la banque détient sur lui.
La mesure du risque de crédit peut se faire par pondération du montant total de créance
par la qualité du débiteur.
1.1.2
Le risque de marché
Le risque de perte ou de dévaluation sur des positions prises suite à des variations des
prix de marché. Il s’applique aux produits de taux, d’actions ou de matières premières.
Il est à noter qu’ici le risque de taux considéré est celui basé sur le « portefeuille de trading », c’est-à-dire sur les positions détenues par la banque dans un objectif de gain à
court terme, par opposition au risque de taux basé sur le « portefeuille bancaire », qui
correspond aux activités de financement et d’investissement de long terme et que nous
verrons en détail tout au long de ce rapport.
1.1.3
Le risque opérationnel
Le risque résultant d’une inadaptation ou d’une défaillance imputable à des procédures,
personnels et systèmes internes ou à des événements extérieurs y compris des événements
de faible probabilité d’occurence mais à fort risque de perte. Ce risque inclut les risques
de fraude interne et externes.
1.1.4
Le risque de change
Le risque induit par les taux de change sur les résultats présents et futurs de la banque.
Par exemple, le fait de payer en Euros ou Dollars peut, en fonction du cours EUR/USD,
être plus ou moins avantageux.
4
1.1.5
Le risque de liquidité
Le risque pour la banque de ne pas pouvoir faire face à ses engagements à un instant
donné. Par exemple, une banque reçoit majoritairement des dépôts à court terme de ses
clients et accorde des prêts à moyen et long terme, il peut alors se créer un décalage entre
les sommes prêtées et les sommes disponibles, si ces dernières deviennent insuffisantes.
1.1.6
Le risque de taux
Le risque de perte de valeur pour un choc de taux.
Par exemple, des prêts à long terme à taux fixe accordés par une banque et financés par
des ressources à court terme, lesquelles sont obtenues à partir de taux variables. De ce fait,
en cas de hausse du marché monétaire, la banque risque de voir le taux de ses ressources
dépasser celui de ses prêts. La situation inverse, à savoir un financement à taux fixe et
prêt à taux variable, peut également générer une baisse de la rentabilité en cas de baisse
des taux d’intérêt.
Ce risque est central dans ce rapport, c’est pourquoi nous approfondirons cette définition
ultérieurement.
Les banques sont donc soumises à de nombreux risques et peuvent être par nature
plus fragiles qu’une autre entreprise plus classique. En effet, l’autorégulation du marché
n’assure pas l’équilibre du système et les faillites bancaires ont davantage de conséquences
négatives sur la société que celles survenants dans d’autres secteurs. Le fonctionnement
du secteur bancaire appelle donc l’intervention d’un régulateur public fort. De ce fait, la
banque est une des activités économiques les plus contrôlées qui soit.
1.2
Les réglementations prudentielles
L’intervention publique dans le secteur bancaire a lieu sur plusieurs niveaux.
Une première idée consiste à limiter les effets négatifs lors de faillites bancaires afin de
couvrir les petits déposants et épargnants, c’est le rôle de l’assurance de dépôts. Il est
important de noter que son effet est aussi préventif, en évitant les paniques des déposants
voulant retirer leurs fonds en cas de difficulté avérées ou non, ce qui aurait pour effet de
précipiter ou d’étendre la faillite.
Un deuxième volet a pour nature la participation des banques centrales dans la régulation du système bancaire au travers de la politique monétaire et de leur rôle de prêteur.
C’est un moyen très utilisé dans le contexte économique actuel via le Quantitative Easing. Cependant, le principal instrument de la politique monétaire est celui dit du « taux
directeur » ; correspondant à un taux d’intérêt très court terme (quelques jours) auquel
les banques commerciales se refinancent auprès de la banque centrale ; dont l’objectif est
de peser sur les conditions de l’offre de crédit des banques. Le rôle de prêteur est d’éviter
les réactions en chaîne de difficultés d’une banque sur l’ensemble du système. Selon certains économistes, cela signifie que la banque centrale s’engage à prêter sans limite (à un
taux qui peut être supérieur au marché) aux banques commerciales qui peuvent fournir
suffisamment de garantie (par exemple sous forme de titres de bonne qualités).
5
D’autres moyens peuvent être mis en œuvre par le biais de la supervision des banques
(notamment l’AMF et l’ACPR) ; en particulier nous allons nous intéresser aux réglementations en vigueur afin d’établir le contexte prudentiel dans lequel nous allons travailler.
1.2.1
Le Comité et les accords de Bâle
Le Comité de Bâle sur le contrôle bancaire 2 a été fondé en 1974 par les gouverneurs
des banques centrales lors du « G10 », rassemble aujourd’hui 27 pays et se situe à la
Banque des Règlements Internationaux à Bâle en Suisse. La mission principale du comité
est de renforcer la sécurité et la fiabilité du système bancaire international ; cela comprend
également l’édition des normes minimales et des directives, l’échange d’informations et la
collaboration entre les autorités de surveillance de chaque pays.
Accords de Bâle 1
Les premières recommandations concrètes du comité ont été formulées en 1988 et mises
en place en 1992. Il s’agit des accords de Bâle 1, lesquels définissent essentiellement un
niveau minimal de fonds propres à respecter via le ratio Cook fixé à 8%.
Cependant, des lacunes sont rapidement mises à jour, notamment sur la prise en compte
de la qualité de l’emprunter lors de l’octroi d’un crédit par une banque.
Accords de Bâle 2
Les recommandations de Bâle 2 sont alors mises en place en 1998 et elles reposent sur
3 célèbres piliers (décrits dans [BCB04a] par exemple) :
- pilier 1 : l’exigence de fonds propres avec l’amélioration du ratio de Cook (pour le
risque de crédit),
- pilier 2 : la procédure de surveillance de la gestion des fonds propres. L’autorité de
contrôle peut augmenter la quantité de fonds propres minimale à détenir par une
banque si elle estime que la stratégie mise en place est trop risquée, notamment
pour la gestion du risque de taux,
- pilier 3 : la discipline de marché. Il s’agit là d’insister sur la transparence des activités bancaires. L’autorité de contrôle s’assure de la bonne qualité des informations
fournies par les banques sur les produits qu’elles proposent.
Dans le contexte de la crise financière de 2008/2009, le G20 de 2008 a mandaté le
Comité de Bâle, le FASB (Financial Accounting Standards Board) et l’IASB (International Accounting Standards Board) pour produire un ensemble de normes prudentielles
et des évolutions dans les normes comptables internationales (IFRS9 et IFRS10) , destinées à promouvoir la stabilité financière et le renforcement du système financier mondial
et d’améliorer la comparabilité des business-modèles bancaires nationaux. Les normalisateurs et régulateurs internationaux doivent d’ici à 2020 atteindre progressivement cet
2. De l’anglais, Basel Comittee on Banking Supervision, abrégé en BCBS.
6
objectif :
- en travaillant de manière intensive à créer une seule norme mondiale de qualité ;
- en travaillant à l’amélioration des directives concernant l’évaluation des titres y
compris des actifs complexes et non liquides surtout en période de crise ;
- en travaillant à corriger les lacunes observées au niveau des normes de comptabilisation et de divulgation des véhicules hors bilan.
C’est dans ce contexte que l’accord de « Bâle III » (cf. [BCB10]) a été publié, le 16
décembre 2010.
Accords de Bâle 3
Afin de définir un ensemble de mesures destinées à renforcer la résilience des banques
internationales et l’application de mesures spécifiques sur le risque de liquidité, le 1er juin
2011, une version complétée a été publiée afin d’ajouter des détails sur le risque de contrepartie.
Cette réponse du Comité de Bâle à la crise financière, vise principalement à :
- renforcer la qualité et le niveau des fonds propres (Tier 1 et 2) ;
- compléter les ratios existants avec la création du ratio de levier et deux ratios de
liquidité ;
- renforcer les exigences prudentielles relatif au risque de contrepartie ;
- renforcer le suivi des activités de marché avec l’introduction d’une mesure de risque
supplémentaire (IRC).
Le risque de taux étant le risque le plus important pour l’étude de ce rapport, nous
allons approfondir cette notion.
1.2.2
Le risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire
Le risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire, que nous abrégerons en
IRRBB 3 , relève du deuxième pilier de Bâle III sur les fonds propres, et a fait l’objet
de recommandations du Comité de Bâle dans le document de 2004,Principles for the management and supervision of interest Rate risk 4 . Les principes énoncent les attentes du
Comité en ce qui concerne la maîtrise, le recensement, la mesure, le suivi ainsi que la
surveillance prudentielle de l’IRRBB.
Le Comité de Bâle a publié, en avril 2016, la norme relative à l’IRRBB 5 , que les
banques sont censées appliquer d’ici 2018, dans le but de mettre à jour une approche
renforcée fondée sur le deuxième pilier, les principaux points sont les suivants :
- fournir des recommandations plus détaillées sur la manière dont les banques devraient gérer l’IRRBB, en particulier sur l’élaboration des scénarios de choc à
3. Interest Rate Risk in the Banking Book
4. www.bis.org/publ/bcbs108.htm
5. www.bis.org/bcbs/publ/d368.htm
7
appliquer à la mesure de l’IRRBB, sur les principales hypothèses de comportement
et de modélisation que les banques devraient envisager pour évaluer leur IRRBB.
Un processus de validation interne devrait être appliqué aux systèmes d’évaluation
internes des banques et aux modèles utilisés pour l’IRRBB ;
- plus de cohérence, de transparence et de comparabilité dans les exigences de communication pour la mesure et la gestion de l’IRRBB. Les banques sont notamment
tenues d’indiquer quel impact auraient des chocs de taux d’intérêt sur la variation
de la valeur économique de leurs fonds propres (∆EVE) et la variation de leur
revenu d’intérêt net (∆NII) ;
- la révision du processus de surveillance prudentielle pour mieux expliciter les facteurs que les autorités de contrôle devraient prendre en considération lorsqu’elles
évaluent le niveau d’exposition des banques à l’IRRBB et leur gestion de ce risque
(par exemple, quand le système d’évaluation interne d’une banque ne leur paraît
pas suffisamment refléter l’IRRBB). Le cadre standard a été actualisé pour mieux
refléter les risques ;
- les autorités de contrôle doivent rendre publics les critères dont elles se servent pour
repérer les banques « hors normes ». Le seuil de repérage a été abaissé : les autorités devraient comparer la variation de l’EVE d’une banque avec 15% de ses fonds
propres de base (Tier 1), dans le cadre d’une série de scénarios de choc de taux
d’intérêt retenus par les superviseurs. Dès lors qu’un examen de l’exposition d’une
banque à l’IRRBB met en évidence une gestion inadéquate de ses fonds propres, de
ses bénéfices ou de son profil de risque global, ou une prise de risque excessive, des
conséquences en termes prudentiels et d’insuffisance de fonds propres réglementaires sont à craindre. Une banque repérée comme « hors norme » est considérée
comme présentant un IRRBB potentiellement inapproprié et doit faire l’objet d’un
examen approfondi.
L’IRRBB désigne le risque, actuel ou futur, auquel sont exposés les fonds propres et
les bénéfices de la banque en cas de mouvements défavorables des taux d’intérêt influant
sur le portefeuille bancaire. Lorsque les taux d’intérêt varient, la valeur actualisée et le
calendrier des flux de trésorerie futurs changent, ce qui modifie la valeur économique de
l’établissement causé par le changement de la valeur sous-jacente des actifs, des passifs et
des éléments hors-bilan. Les variations des taux d’intérêt ont aussi une incidence sur les
bénéfices, car elles modifient les revenus et les dépenses sensibles aux taux d’intérêt, ce
qui agit sur le revenu d’intérêt net. Un IRRBB excessif peut menacer significativement
l’assise financière ou les bénéfices futurs d’une banque, ce qui montre l’importance d’une
bonne gestion de ce risque.
On distingue trois principaux types d’IRRBB :
i) le risque de décalage provient du calendrier de révision des taux et est lié à la
structure par échéance des instruments financiers du portefeuille bancaire. L’importance de ce risque est relatif aux variations de la structure par échéance, qu’elles
soient identiques sur toute la courbe des rendements (risque parallèle) ou qu’elles
diffèrent selon les périodes (risque non parallèle) ;
8
ii) le risque de base décrit l’incidence des variations relatives aux taux d’intérêt pour
les instruments qui ont des échéances similaires mais dont la valorisation repose
sur des indices de taux différents ;
iii) le risque d’option est lié aux positions sur des produits dérivés optionnels ou d’éléments optionnels inclus dans des actifs, des passifs et des postes hors-bilan, qui
autorisent à la banque ou à ses clients de modifier le calendrier ou le niveau de
leurs flux de trésorerie. On distingue le risque d’option automatique et le risque
d’option comportementale.
Ces trois mesures peuvent faire varier la valeur (ou le prix), le coût (ou le rendement)
des actifs, passifs et postes hors-bilan sensibles aux taux d’intérêt.
1.2.3
Le cadre standard
Afin d’accompagner les banques dans la mise en œuvre de cette norme, le Comité propose l’application d’un cadre standard qui peut être exigé par les autorités de contrôle ou
choisi volontairement par les banques. Ce cadre standard détaille les étapes du processus
de mesure de l’IRRBB pour la valeur économique des fonds propres (EVE), en revanche
les étapes du processus de mesure par les revenus d’intérêt nets (NII) ne sont pas détaillées.
- Etape 1. Classer les positions du portefeuille bancaire sensibles aux taux d’intérêt,
selon qu’il s’y prête bien, moins bien ou pas du tout, en trois catégories vues précédemment (rappel de la partie correspondante).
- Etape 2. En fonction de l’échéance de révision des taux, déterminer le classement
des flux de trésorerie (simple translation pour les positions du cadre standard).
Les positions hors cadre standard ou les éléments optionnels des options de taux
d’intérêt automatique inclus doivent être exclues de cette étape et font l’objet d’un
traitement à part. Les dépôts sans échéance sont séparés entre les flux de trésorerie primaires et secondaires ; les options comportementales concernées doivent être
ventilées par des scénarios décrits dans la norme.
- Etape 3. Déterminer le ∆EVE de chaque monnaie à partir de scénario de choc de
taux (des scénarios de chocs prudentiels sont proposés).
- Etape 4. Les variations de valeur des options doivent être ajoutées aux variations de
l’EVE mesurées après avoir réévalué intégralement les options automatiques vendues dans chacun des scénarios et pour chaque monnaie.
- Etape 5. Calculer l’EVE exposée à l’IRRBB. Dans le cadre standard, le ∆EVE est
la valeur maximale des plus fortes baisses cumulées d’EVE résultant des chocs de
taux prudentiels.
Les étapes du cadre standard pour le calcul de l’EVE sont détaillées dans la norme
[BCB16].
9
1.3
Les problématiques de la gestion ALM
Nous allons introduire ici quelques notions et définitions importante en ALM 6 ; la
majorité des notions présentées dans cette section est tiré de [Ada07].
1.3.1
Définition de la gestion ALM
La gestion ALM est la mise en œuvre de moyens coordonnés entre l’actif et le passif
dont la vocation est d’assurer l’atteinte des objectifs stratégiques de l’entreprise avec une
prise de risque conforme aux seuils de tolérance préalablement définis. Nous pouvons citer
la définition officielle de la gestion Actif-Passif 7 :
Définition 1.1 (Gestion Actif-Passif) Méthode globale et coordonnée permettant à une
entreprise et notamment à une banque, de gérer la composition et l’adéquation de l’ensemble de ses actifs et passifs et de son hors-bilan.
Plus concrètement, l’ALM mesure et analyse les différents risques financiers afin d’assurer à la banque, d’une part une meilleure rentabilité et d’autre part de lui permettre de
lisser ses résultats au cours du temps. Elle conduit ainsi à des choix de financement, de
paiement, de couverture et de tarification.
La gestion ALM est pratiquée par des banques, mais aussi par des compagnies d’assurance
ou des entreprises non financières. Dans chacun de ces cas, l’idée est donc de maximiser
un objectif de performance pour un niveau de risque donné.
Nous comprenons aussi que les résultats de la banque sont sensibles aux mouvements
des taux d’intérêt et des coûts de financement. La gestion du bilan doit ainsi limiter
l’exposition de la banque aux risques de taux et de liquidité. Maitriser la sensibilité globale
du résultat de la banque au risque de taux permettra de garantir la marge dégagée et
d’optimiser le résultat obtenu.
1.3.2
La gestion ALM du risque de taux
Afin de comprendre les mécanismes liés au risque de taux, prenons un exemple volontairement simpliste.
Considérons le bilan bancaire simplifié suivant :
A l’actif : un crédit de 10 millions d’Euros, de maturité 10 ans, indexé à OAT 10 ans (noté
rt ) + 1%,
Au passif : une dette de 10 millions d’Euros à taux fixe 2% (taux de refinancement mensuel).
Nous pouvons écrire le résultat en t ě 0 comme :
10 ˆ prt ` 1% ´ 2%q “ 10 ˆ prt ´ 1%q
Il parait clair que le risque est la baisse du taux de l’OAT. Pour couvrir ce risque,
il est possible d’être payeur d’un swap où la banque paie l’OAT et reçoit le taux swap
(définition cf. C.5) correspondant, noté K (en pourcentage), fixé pour une maturité de 10
6. De l’anglais, Asset and Liabilities Management
7. Définition extraite du Journal Officiel du 28 février 1993.
10
ans et un nominal de 10 millions d’Euros. Le résultat de la banque devient alors :
10 ˆ prt ´ 1%q ` 10 ˆ pK ´ rt q “ 10 ˆ pK ´ 1%q
Cet exemple de risque de taux nous permet de comprendre le rôle central de l’ALM,
particulièrement depuis le début de la crise financière de 2007. En effet, nous pouvons
observer la figure suivante :
Figure 1 – Historique de 3 taux Euribor de ces 15 dernières années
Dès lors, nous remarquons un cas de risque de base, en effet l’écart entre les niveaux
des 3 différents taux Euribor a significativement augmenté depuis 2007 et il est aujourd’hui clairement identifiable. Cela met en évidence le rôle de l’ALM.
Nous pouvons distinguer deux méthodes de couvertures. Une première, qualifiée de
micro-couverture, qui consiste à couvrir chaque position du bilan une par une et une
seconde, dite de macro-couverture, qui consiste plutôt à couvrir une exposition globale
du bilan par l’achats d’actifs (sans nécessairement adosser les flux).
Nous définissons ainsi le risque global de taux d’intérêt, correspondant au risque encouru
en cas de variation des taux d’intérêt du fait de l’ensemble des opérations de bilan et
hors-bilan, net des opérations soumises aux risques de marché.
Dans la pratique, nous distinguons clairement la gestion du risque de taux du portefeuille
de négociation (regroupant les opérations valorisées au cours de marché) de celle du portefeuille bancaire, objet de ce mémoire.
1.3.3
Mesure de l’IRRBB
Nous avons défini les deux mesures indiquées par le Comité de Bâle pour gérer sainement le risque de taux d’intérêt, la première fondée sur la valeur économique des fonds
propres (EVE) et la seconde sur la variation de leur revenu d’intérêt net (NII).
11
L’objectif des méthodes d’évaluation de l’IRRBB est de quantifier les effets économiques et du marché sur la portée des activités bancaires. Les systèmes d’évaluation
doivent alors tenir compte de la valeur économique de la banque en cas de choc de taux
d’intérêt mais aussi de la capacité à dégager des bénéfices stables pour assurer la continuité
d’activité. Il est important de souligner que les mesures fondées sur la valeur économique
et sur les bénéfices sont complémentaires.
Voici trois aspects mis en avant par la réglementation :
- résultats : la méthode EVE mesure les variations de la valeur actuelle nette (VAN)
des actifs, passifs et hors-bilan en cas de choc des taux, alors que celle de la NII est
basée sur les variations de rentabilité future dans un horizon donné (bien entendu
la NII influe, à terme, sur le niveau de fond propre et donc sur l’EVE) ;
- horizons d’évaluation : la méthode EVE est calculée jusqu’à extinction de toutes les
positions, tandis que la NII est calculée sur un horizon court terme et ne mesure
pas les risques qui pèsent sur le résultat au-delà de cette période ;
- production et activités futures : la méthode EVE est calculée sans production d’affaires nouvelles avec une gestion en « mort du bilan », c’est-à-dire avec prise en
compte des flux de trésorerie liés à la renégociation des instruments au bilan ou
hors bilan ; contrairement à la méthode NII qui peut prendre en compte l’hypothèse de renouvellement de contrats et d’instruments venant à échéance dans une
perspective de « bilan constant ». La NII peut également être calculée de façon
dynamique avec l’estimation des impacts liés à différents scénarios sur les bénéfices
et activités futures de l’établissement bancaire.
Nous reviendrons plus en détails sur les techniques de mise en œuvre, notamment sur
l’impact des hypothèses sur les trois aspects décrits précédemment.
Dès à présent, nous pouvons distinguer deux approches de type VAN pour évaluer l’exposition au risque de taux.
Approche par sensibilité
C’est une des approches de base pour le calcul de l’EVE qui a été préconisée par le
Comité de Bâle en juillet 2004 [BCB04b].
La mesure du risque global de taux se fait par différence des postes du bilan regroupés
suivant leur type d’indexation des facteurs de risques de taux pour en déduire des impasses de taux ; c’est la méthode dite des « gaps de taux ». Les niveaux de chocs de taux
sont multipliés par les sensibilités du bilan relatif aux chocs de taux.
Cette mesure de risque du taux consiste donc en la réalisation d’un échéancier des emplois,
ressources et hors-bilan. On peut ainsi, soit faire figurer chaque montant sur les colonnes
(encours), soit faire figurer chaque montant venant à échéance dans sa colonne d’échéance.
A partir de cela, le gestionnaire pourra déterminer pour chaque échéance une impasse de
taux (dit aussi de gap de taux). Les gaps permettent de mesurer les déséquilibres du bilan
dans le temps entre les indexations à taux fixe au passif et à l’actif. Ces disparités créent
une incertitude sur les futurs (dans le sens que les écarts sont indexés à taux variables).
12
Trois positions de taux sont ainsi définies dont voici une illustration :
Actif
Taux fixes
Gap
Taux variables
Passif
Actif
Taux fixes
Gap
Taux variables
Taux fixes
Taux variables
Table 1 – Position courte à taux
fixe
Actif
Taux fixes
Taux variables
Passif
Taux fixes
Taux variables
Table 2 – Position longue à taux
fixe
Passif
Taux fixes
Taux variables
Table 3 – Position fermée
Approche actualisation
Afin de donner une vision dynamique des risques et pour compléter celle donnée par
les gaps de taux, nous considérons une méthode de valorisation du bilan.
Cette seconde méthode consiste en l’actualisation des cash flows futurs, en valeur de
marché, de tous les postes du bilan exposés aux changements de taux d’intérêt. Cette
valorisation est faite à partir de la courbe des taux spot puis refaite en appliquant des
chocs sur toutes les maturités des taux de la courbe des taux initiale (avec un effet sur
les facteurs d’actualisation). On définit ainsi la sensibilité en valeur, correspondant à la
différence entre la VAN avant choc et celle après choc des taux. Nous mesurons alors le
risque de taux, à savoir la sensibilité de chacun des postes du bilan à un choc défavorable
et instantané sur la courbe des taux.
L’intérêt de cette approche est de permettre une prise en compte plus fine des effets de
convexité de la courbe des taux d’intérêt, mais aussi plus complexe, comme par exemple
pour le Fonds d’épargne, quelle partie de la formule du livret A est activée ou encore
l’impact des clauses de révisabilité des prêts indexés.
Enfin, la réglementation bancaire, préconise dans la norme d’avril 2016 [BCB16], l’application d’une approche par actualisation des flux pour l’évaluation du risque de taux
d’intérêt.
13
2
Modèles de calcul
Avec des ressources très majoritairement indexées sur le livret A et des emplois non
entièrement indexés sur le même taux, le bilan du fonds d’épargne est largement exposé
au risque de taux. Cette exposition résulte de la volonté d’améliorer le rendement des
placements grâce à une gestion active, mais aussi de la difficulté de prendre des positions
de couvertures « parfaites » en raison du volume important des encours.
2.1
Modèles de chocs
Dans le but de produire une estimation chiffrée de l’IRRBB, il est nécessaire d’appliquer des chocs sur les taux d’intérêt actuels afin de mesurer la modification de la valeur
économique et des bénéfices, et ainsi quantifier l’effet sur les fonds propres. La conception
des scénarios de variation des taux d’intérêt, l’ ampleur et la forme des chocs, sont des
éléments importants dans la gestion du risque de taux.
Nous allons étudier deux façons de concevoir les chocs à appliquer aux taux d’intérêt,
une première extraite des préconisations des autorités de contrôle, une seconde basée sur
l’historique à l’aide d’une modélisation par des séries temporelles.
2.1.1
Cadre standard
Les autorités préconisent six chocs sur les taux d’intérêt pour rendre compte des risques
de déformations des courbes de taux (décalage parallèle et non parallèle). Les six scénarios
reflètent des chocs absolus spécifiques à chaque monnaie. Ces chocs ont été construits sur
la base d’une série temporelle entre 2000 et 2015 pour différentes maturités. Les chocs
mesurent :
i) déplacement parallèle vers le haut,
ii) déplacement parallèle vers le bas,
iii) pentification de la courbe (baisse des taux courts et hausse des taux longs),
iv) pentification de la courbe (hausse des taux courts et baisse des taux longs),
v) hausse des taux courts,
vi) baisse des taux courts.
L’ampleur des chocs est établie par le Comité de Bâle et dont le calibrage sera révisé,
par exemple tous les cinq ans, afin de refléter les conditions économiques au moment de
leur application.
Dans l’approche standard, l’amplitude des chocs parallèles pour chacune des devises
présentes au bilan est égale à 60% du taux d’intérêt moyen calculé à partir d’un historique
quotidien de 16ans. Les chocs ainsi calculés, sont agrégés comme s’ils étaient corrélés à
100% entre les devises. Les chocs définis dans la norme sont à appliquer aux taux nominaux ; aucune précision n’est donnée sur la façon dont il faudrait tenir compte de cette
méthode pour le facteur inflation. Cela rend difficile toute interprétation de la norme pour
les chocs inflations, a fortiori, sur les taux réels.
14
En suivant les directives de la norme, nous obtenons, pour l’euro, les chocs de taux
d’intérêt suivants :
Chocs parallèles : ˘180 bp
Chocs taux courts : ˘255 bp
Chocs taux longs : ˘120 bp
La norme retient les chocs arrondis suivants :
Chocs parallèles : ˘200 bp
Chocs taux courts : ˘250 bp
Chocs taux longs : ˘100 bp
Etant donné l’importance des chocs de taux d’intérêt sur le bilan et compte de résultat
des établissements bancaires, il semble intéressant d’étudier des méthodes internes pour
élargir la palette de chocs.
2.1.2
Série temporelle
Afin de modéliser la dynamique de la variation absolue des taux nominaux et de l’inflation, différentes méthodes internes peuvent être utilisées. Nous pouvons citer trois grandes
familles : économétrique, ACP et stochastique. Nous nous concentrons ici à présenter le
modèle économétrique qui semble plus adapté au contexte du Fonds d’épargne. En effet,
contrairement au modèle stochastique (par exemple, HJM Health-Jarrow-Morton), il présente l’avantage de modéliser, à partir de données réelles, les facteurs de risques retenus,
de prendre en compte leur spécificité (taux négatifs), et de limiter le nombre de retraitements manuels des données. Par ailleurs, le modèle étudié ici permet de simuler des chocs
plus importants qu’avec le modèle ACP.
Les taux présentant des effets d’autocorrélations et d’hétéroscédasticités, un modèle
AR-GARCH semble correspondre.
L’approche AR pose un modèle dans lequel l’observation d’une variable à l’instant t
dépend pour partie d’une ou plusieurs des valeurs prises par cette variable dans le passé.
Le choix du nombre de périodes prises en compte est un élément déterminant de la modélisation.
Les deux facteurs de risque suivent le même type de dynamique avec deux composantes :
- une composante autorégressive (AR) stipulant que la variation en t est fonction de
la variation en t ´ 1,
- une composante GARCH concernant l’évolution de la volatilité.
Pour les chocs de taux nominaux :
"
n
p∆rn qt “ an ` bn p∆rn qt´1 ` ηtn σt´1
`
˘
` n ˘2
2
2
n
n
pσtn q “ ωn ` αn ηt´1
σt´1
` βn σt´1
Et pour l’inflation :
15
"
i
p∆ri qt “ ai ` bi p∆ri qt´1 ` ηti σt´1
˘
` i ˘2
`
2
2
i
i
pσti q “ ωi ` αi ηt´1
` βi σt´1
σt´1
Dans le but de tenir compte des épaisseurs des queues épaisses de l’historique, les aléas
ηtn et ηti suivent des lois de Student, centrées, réduites et corrélées.
Ces deux processus suivent donc des dynamiques similaires. Ils ont chacun deux composantes. La première est la composante autorégressive, elle stipule que la variation en
t est fonction de la variation t ´ 1 ; la seconde concerne l’évolution de la volatilité qu’on
peut assimiler à une volatilité instantanée. Lorsque de fortes variations sont constatées
sur le marché, la volatilité du modèle augmente. Il est à noter que la modélisation de la
volatilité implique une variation symétrique de celle-ci en cas de choc à la hausse ou à la
baisse des aléas η.
La corrélation reliant les deux processus AR-GARCH ne correspond pas à la définition empirique habituelle. Celle-ci est en effet définie comme une corrélation entre variables aléatoires de lois, et non comme une corrélation sur les séries historiques, ρhist “
Corr pp∆rn qt , p∆ri qt q .
Le modèle est estimé sur des données historiques avec un pas journalier dans le but
d’avoir le plus d’historique possible.
Le modèle ainsi construit permet d’obtenir la distribution jointe de la variation annuelle des taux nominaux et inflations à horizon d’un an. Pour cela, on simule une trajectoire de taux nominaux et inflation sur un pas journalier à horizon d’un an, ce qui nous
permet d’obtenir une variation annuelle de taux nominaux et inflations par somme des
260 variations quotidiennes. Cette opération doit être répétée un grand nombre de fois
afin d’obtenir la distribution de la variation taux nominaux et inflation annuelle.
A chaque mise à jour du modèle, il est important de vérifier que le modèle utilisé est
toujours cohérent avec les données actualisées. Pour ce faire, nous proposons de réaliser
des tests statistiques. Ce sont des procédures de décision permettant d’arbitrer entre deux
hypothèses, selon un échantillon de données. La première hypothèse, appelée hypothèse
nulle (notée H0 ) est testée contre l’hypothèse alternative (notée H1 ). L’hypothèse nulle
étant celle que l’on cherche à contrôler, l’erreur dite de première espèce, consistant à rejeter H0 à tort, est l’erreur la plus importante et est noté α. On identifie souvent une erreur
de deuxième espèce, consistant à ne pas rejeter H0 à tort, noté β. On appelle niveau de
confiance d’un test, la probabilité 1 ´ α et la puissance d’un test, la probabilité 1 ´ β.
Notons que plus on réduit α et plus β augmente, dès lors il y a un compromis à réaliser
dans le choix du niveau de confiance accordé au test. La pratique la plus répandue consiste
à fixer le risque α à 1% , 5% ou même 10%.
Une fois le risque α choisi, une variable de décision, appelée statistique du test, est
construite pour la réalisation du test. La région critique Ω du test est l’ensemble des valeurs que prend la variable de décision pour lesquelles le test est rejeté, on note la région
d’acceptation du test Ω le complémentaire de Ω. Ainsi on a P pΩ|H0 q “ α.
Enfin, un test est validé si la variable de décision appartient à la région d’acceptation
16
ou par la valeur de la p-Valeur (plus grande valeur de α qui conduit à ne pas rejeter H0 ).
Ainsi, si la p-Valeur est égale à α˚, H0 est rejetée pour tout risque de première espèce tel
que α˚ ă α et non rejetée si α˚ ą α.
Les tests effectués sont les suivants 8 :
Test de KPSS (Kwiatowski, Phillips, Schmidt, Shin)
- (H0 ) : La série est issue d’un processus stationnaire en tendance.
- (H1 ) : La série n’a pas de tendance stationnaire.
- Statistique : La statistique de test Z est détaillée en annexe et est tabulée.
- Région critique : On rejète H0 au seuil α si Z ą α.
Ce test nous permet de savoir si on peut utiliser en toute rigueur la théorie des séries
temporelles qui modélise les séries stationnaires.
Test de Ljung-Box
- (H0 ) : La série est non autocorrélée.
- (H1 ) : La série est autocorrélée d’ordre au moins 1.
- Conditions : L’échantillon doit être issu d’un processus put q vérifiant l’une des conditions :
(a) Erut |ut´1 , ...s “ 0 et Eru2t |ut´1 , ...s “ σ 2 ą 0
ř
(b) ut est le résidu d’une régression de forme générale : yt “ x1t β ` Li“1 αi yt´i ` ut
(c) ut est le résidu d’une régression telle que : EruT |xt , xt´1 , ..., yt´1 , ..., ut´1 , ut´2 s “
0
ř
- Statistique : Les résidus t sont mis sous la forme suivante : t “ ri“1 ρi t´i ` ut . La
ř
ρp2i
où les ρpi sont des estimations MCO 9
statistique du test est Z “ npn ` 2q ri“1 n´i
des ρi .
- Région critique : Sous H0 , Z suit une loi du χ2 à r degrés de liberté. H0 est rejetée
χ2r
si |Z| ą q1´α
.
Les techniques d’inférence statistiques (tests d’hypothèse, estimation de paramètres, etc...)
reposent souvent sur une hypothèse d’indépendance des observations. Le test de LjungBox justifie l’usage de ces techniques sur les données. En effet s’il y a une autocorrélation
des données, celles-ci ne sont pas indépendantes. Ce test permet en particulier de justifier
la qualité d’une régression ou d’un modèle ARMA basé sur l’indépendance des innovations.
La qualité du test de Ljung-Box est fortement déterminé par le choix du nombre de retards
r. Si ce dernier est trop grand, la puissance du test diminue car le test est de moins en
moins rejeté. Un choix correct de r est de l’ordre de lnpnq où n est la taille de l’échantillon.
Test de Engle
- (H0 ) : La série est conditionnellement homoscédastique.
- (H1 ) : La série est conditionnellement hétéroscédastique.
8. On note qαL le quantile d’ordre α d’une variable aléatoire suivant la loi L
9. MCO : Moindre Carré Ordinaire
17
- Statistique : La statistique de test est Z “ N r2 où N est la taille de l’échantillon
et r2 le coefficient de détermination de la régression donnée par le modèle suivant :
x2t “ a0 ` a1 x2t´1 ` ... ` am x2t´m ` εt avec au moins un aj ‰ 0, j P v1, mw.
- Région critique : Sous H0 , Z suit une loi du χ2 à m degrés de liberté. H0 est rejetée
χ2m
si |Z| ą q1´α
.
Ce test permet d’évaluer si le choix d’un modèles linéaires de type ARMA (ou autres
modèles de variance constante) pour représenter la série temporelle est pertinent. En cas
de rejet du test, des modèles de types GARCH (ou autres modèles de variances non
constante) sont à envisager.
Test de Kolmogorov-Smirnov
- (H0 ) : La série est ajustée à la loi de probabilité spécifiée. F pxq “ F0 pxq, x P R
- (H1 ) : La série n’est pas ajustée à la loi de probabilité spécifiée. F pxq ‰ F0 pxq
- Conditions : L’échantillon est issu d’une famille de variables aléatoires de même loi
F.
- Statistique : La statistique de test est Zn “ maxxPR|Fn pxq´F0 pxq| où Fn est la fonction
de répartition empirique de l’échantillon, F0 celle de la loi à laquelle on compare
l’échantillon. Fn pxq “ Cardtxni ;xi ďxu
- Région critique : La loi de Zn est tabulée dans la table de Kolmogorov. On compare
la statistique aux valeurs de la table. On rejette H0 au risque de α “ 5% dès que
Zn ą 0.369
Ce test permet de savoir si une série suit une distribution spécifique, en particulier sur les
résidus d’une régression suivent la loi supposée en amont. Il existe d’autres tests d’ajustement à une loi comme celui de Cramer-Von-Mises ou encore le test d’Anderson-Darling,
jugés plus puissants par la littérature statistique.
Test de Student
- (H0 ) : La moyenne de la série est égale à µ0 .
- (H1 ) : La moyenne de la série est différente de µ0 .
- Conditions : L’échantillon est issu d’une famille de variables aléatoires inépendantes
et identiquement distribuée de moyenne µ et de variance σ 2 . L’échantillon doit être
gaussien ou de taille suffisamment grande pn ě 30q.
ř
řn
1
où X “ n1 n1 xi et S 2 “ n´1
- Statistique : La statistique du test est Z “ X´µ
S
1 pxi ´
?
n
Xq2
- Région critique : Sous H0 , Z suit une loi de Student à n degrés de liberté. H0 est
Stn
rejetée si |Z| ą q1´
α.
2
Ce test permet de vérifier la moyenne d’un échantillon a une valeur particulière.
2.1.3
Conclusion
Le comité de Bâle donne des chocs de taux à appliquer sur les courbes de taux nominaux en fonction de la maturité. Ces chocs sont construits sur la base d’une série
chronologique allant de 2000 à 2015. En revanche, rien n’est précisé sur la façon dont il
18
faut appliquer cette méthode pour le calibrage des chocs sur l’inflation et sur les taux réels.
Nous avons présenté le modèle économétrique qui semble plus adapté au contexte
du Fonds d’épargne. Effectivement, contrairement aux modèles stochastiques, il présente
l’avantage de modéliser, à partir de données réelles, les facteurs de risques retenus, de
prendre en compte leur spécificité (taux négatifs), et de limiter le nombre de retraitements manuels des données. De plus, nous verrons par la suite que pour mesurer le risque
de taux, nous utilisons une VAR au seuil de 99%. Nous utilisons le modèle série temporelle, calibré sur les variations journalières, pour générer un nombre de couples de chocs
suffisant (100 000) et ainsi obtenir une estimation correcte de la VAR à 99%. Cette méthode d’extrapolation des variations de taux n’est pas possible en considérant des chocs
forfaitaires sur la courbe des taux.
En raison de l’allongement de l’historique disponible, une vérification du paramétrage
du modèle série temporelle doit être effectuée. La mise en place d’une procédure régulière
de validation du modèle permet d’ajuster le paramétrage du modèle aux évolutions de
l’environnement économique ainsi que la possibilité de revoir la loi des aléas ηtn et ηti .
Plus spécifiquement, il est également possible d’utiliser un processus en moyenne mobile
(MA) pour modéliser une variable. Un processus AR et un processus MA peuvent aussi
être utilisés conjointement dans un modèle noté ARMA.
2.2
Méthodes de calculs pour l’EVE
De manière générale, plusieurs approches sont possibles pour mesurer la sensibilité du
bilan au risque de taux. La première, plus simple, consiste à évaluer la différence de valeur
actuelle nette entre deux dates (∆ VAN) du bilan à un choc de taux. Les emplois et ressources sont, en fonction de leur exposition aux risque de taux, répartis sur un échéancier
constitué de bandes de maturité. Pour chaque bande de maturité, les passifs indexés sont
soustraits aux actifs du même index pour déterminer un gap. Les gaps nous permettent
de calculer les amortissements par maturité (différence algébrique entre deux dates consécutives), qui sont ensuite multipliés par la sensibilité de cette maturité pour obtenir le
∆ de VAN selon le niveau de choc. La deuxième approche qui sera présentée repose sur
la détermination de la valeur économique des principaux postes du bilan actualisé par la
méthode classique des « cash-flow actualisés », valeur à laquelle est appliquée un choc.
Cette méthode permet de tenir compte des non-linéarités, des effets croisés des mouvements de taux variables, de l’inflation, des optionnalités, etc. Ainsi, on peut considérer
que la première méthode proposée est une approximation de la seconde.
2.2.1
Méthode des GAPS
Pour mesurer l’exposition du fonds d’épargne au risque de taux, une des méthode
très répandue est la méthode des impasses de taux. En fonction de son risque de taux,
chaque poste du bilan est projeté sur l’échéancier afférent. Lors de cette projection, les
différents postes sont traités en prenant en considération leur échéancier contractuel (par
exemple pour des prêts ou des obligations) ou en faisant une hypothèse conventionnelle
d’écoulement.
19
Les chocs de taux
Les chocs de taux appliqués sur les taux d’intérêt sont les couples issus du modèle série
temporelle présenté précédemment (cf. 2.1.2). 100 000 couples de chocs taux nominaux
/ inflation annuels sont simulés conjointement. La simulation de ces couples prend en
compte la corrélation observée.
Ci-après une représentation d’une distribution de chocs conjoints, taux nominaux (TN)
et taux réels (TR) qu
Figure 2 – Chocs conjoints
Les impasses de taux
L’objectif est de créer un échéancier des actifs, du passif et du hors bilan sur un certain
nombre d’intervalles de temps prédéfinis, en fonction de leur maturité et de leur indexation. Les opérations contractuelles sont échéancées selon leur date de maturité restant à
courir et intègrent un coefficient de remboursement anticipé.
Les opérations non contractuelles comme l’encours du livret A, sont intégrées selon des
conventions/hypothèses propres au Fonds d’épargne. Ces hypothèses ont un impact important sur le résultat du calcul, nous le verrons lors de l’application.
Les options présentes dans les différents produits ne sont par conséquent pas prises en
compte dans cette méthode.
20
Dans un bilan, une impasse de taux est une différence algébrique entre les emplois à
l’actif et les ressources au passif sensibles aux mêmes index de taux d’intérêt et à une
maturité donnée. Dans ce cas, on définit :
Gap Taux Fixes = Actifs à taux fixes - Passifs à taux fixes
Gap Taux Variables = Actifs à taux variables - Passifs à taux variables
Au Fonds d’épargne, nous ajoutons également les gaps de taux indexés inflation, proche
des taux fixes car ils génèrent de l’amortissement alors que le taux variable ne génèrent
pas de gap de taux (à cause d’une sensibilité considérée nulle pour les taux variables).
L’inflation étant un facteur de risque important au Fonds d’épargne avec une sensibilité
aux taux réel non nulle, il convient de représenter les gaps des indices inflation.
Nous pouvons alors obtenir la distribution des gaps suivante :
Figure 3 – Gaps de taux
Nous définissons l’amortissement des gaps comme la différence algébrique des gaps
entre deux dates. Ainsi, si on observe le graphique précédent, nous avons un gap taux fixe
de 8 Mds e en 2016 et ´2 Mds e en 2017 ce qui donne un amortissement de gaps taux
fixe de maturité 1 an de ´10 Mds e.
Les sensibilités
La sensibilité C d’une variable numérique X par rapport à un facteur de risque r est
la variation de X pour une unité de r. Ainsi on définit ∆X “ C ˆ ∆r.
Ou encore, si ∆r ‰ 0, C “ ∆X
.
∆r
Mathématiquement, si X est une fonction dérivable en la variable r, la sensibilité est la
fonction dérivée de X par rapport à r.
Le Fonds d’épargne modélise son bilan comme un portefeuille d’obligations synthétiques et représentatives des gaps. La sensibilité est la variation de valeur de ce portefeuille
induite par un couple de chocs de taux donné. Cette variation est appréciée à l’aide d’une
21
approximation de Taylor à l’ordre 1.
La mesure de sensibilité permet de quantifier l’exposition du bilan aux variations parallèles de la gamme des taux zéros coupons nominaux et réels.
Le besoin en fonds propres
On déduit pour chacun des 100 000 couples de chocs, la variation de valeur du bilan
selon la formule :
∆Vi “
M
ÿ
om
om
AmGapN
.sensiN
.∆riN om
t
t
M
ÿ
`
AmGapReel
.sensiReel
.∆riReel
t
t
t“1
t“1
Avec :
- ∆ri désigne le ième choc annuel de taux (nominal ou réel) de maturité t.
- sensit désigne la sensibilité d’un actif ou d’un passif (sensible aux taux nominaux
ou réel) de maturité t.
- AmGapt désigne l’amortissement d’un gap sur les emplois et ressources (sensible
aux taux nominaux ou réel) de maturité t.
Les 100 000 variations sont ensuite classées de manière croissante. Le 1 000ème pire cas
est retenu comme mesure du risque global de taux ; cela correspondant à une VaR 99%
(cf. B.2).
Cette analyse est effectuée à la fois sur la base du bilan en cours (RGT à date) et sur les
bilans prospectifs (cinq années) pour une étude quinquennale.
2.2.2
Méthode par actualisation
La méthode par actualisation est basée sur les recommandations du Comité de Bâle
sur le contrôle bancaire pour la mesure standard du risque de perte d’EVE. Le cadre
standard est détaillé dans la norme [BCB16], néanmoins nous rappelons les grands principes ici. Il est important de noter que la réglementation explicite le fait de calculer la
perte d’EVE dans chaque monnaie dès qu’elle représente plus de 5% des actifs ou passifs
du portefeuille bancaire sensible au risque de taux, en revanche dans ce mémoire cette
distinction n’est pas faite car le Fonds d’épargne ne possède quasiment que de la monnaie
européenne (Euro) sensible au risque de taux d’intérêt.
Les banques doivent projeter les futurs flux de trésorerie sensibles aux taux d’intérêt
et classer les positions du portefeuille bancaire, selon qu’elles se prêtent bien, moins bien
ou pas du tout au cadre standard.
A l’actif, les flux de trésorerie à retenir sont ceux qui ne sont pas déduits des fonds
propres de base en excluant les immobilisations de types actifs incorporels ou immobiliers
et des actions du portefeuille bancaire.
Au passif, il est nécessaire de prendre en compte l’ensemble du passif, y compris les dépôts
non rémunérés, sans les fonds propres de base du cadre Bâle III.
Enfin, les éléments du hors-bilan sensibles aux taux d’intérêt sont à considérer.
Les flux de trésorerie avec révision doivent répondre à l’une des définitions suivantes :
22
. tout remboursement du principal ;
. toute révision des taux d’intérêt du principal à la date à laquelle la banque ou sa
contrepartie est autorisée à réviser unilatéralement le taux d’intérêt ou, si elle à
lieu plus tôt, à la date à laquelle le taux d’un instrument financier à taux variable
change automatiquement dû à la variation d’une référence extérieure ;
. tout versement d’intérêt sur une tranche du principal dont le taux n’a pas encore
été révisé ou qui n’a pas encore été remboursé.
Les flux de trésorerie sont distribués selon un échéancier contenant 19 tranches temporelles correspondant à une révision de taux à la date tCF .
tCF
Taux
court
terme
Taux
moyen
terme
Taux
long
terme
Intervalles de temps (M : mois , Y : années)
Jour
le jour
(JJ)
[JJ ;1M[
[1M ;3M[
[3M ;6M[
[6M ; 9M[
[2Y ;3Y[ [3Y ;4Y[
[4Y ;5Y[
[5Y ;6Y[
[6Y ;7Y[
[7Y ;8Y[ [8Y ;9Y[
[9Y ;10Y[
[10Y ;15Y[
[15Y ;20Y[
[9M ;1Y[
[1Y ;1.5Y[
[20Y ;8[
Table 4 – Echéancier des flux de trésorerie
Tous les flux de trésorerie avec une révision des taux associés à des actifs, passifs ou
des éléments de hors-bilan sensibles aux taux d’intérêt sont intégrés différemment selon
qu’ils se prêtent bien, moins bien ou pas du tout au cadre standard.
Positions se prêtant à la standardisation
Les flux se prêtant bien à la standardisation sont classés en deux catégories.
i) Positions à taux fixe : ce sont les flux de trésorerie qui sont connus et certains jusqu’à la date d’échéance contractuelle. Par exemple, les dépôts à terme sans risque
de remboursement, les prêts à taux fixe sans option de remboursement anticipé,
prêts hypothécaires et autres produits amortissables. Tous les coupons et remboursements doivent alors être affectés aux points médians les plus proches de l’échéance
prévue par le contrat.
ii) Positions à taux variable : ce sont les flux qui ne sont pas prévisibles au-delà de la
date de révision des taux, mis-à-part le fait que la valeur actualisée serait refixée
au pair. Ces flux peuvent être traités comme des paiements de coupons jusqu’à
la révision suivante et comme un flux de trésorerie unique égal au pair, au point
médian le plus proche de la tranche avec prise en compte de la date de révision.
Ainsi, les positions se prêtant à la standardisation sont, pour les plus importantes, les
positions avec option de taux d’intérêt automatique incorporée où l’option n’est pas prise
23
[1.5Y ;2Y[
en compte pour classer l’échéance du flux.
Positions se prêtant moins bien à la standardisation
Les options automatiques implicites et explicites se prêtent moins bien à la standardisation, cependant elles peuvent être intégrées en calculant une majoration.
Cette majoration se calcule en estimant la valeur de l’option, sous les hypothèses d’une
courbe de rendement dans un certain scénario de choc donné et d’une hausse relative de
la volatilité implicite de 25%, soustraite à la valeur de l’option compte tenu de la courbe
des rendements à la date de valorisation.
Cette variation de valeur est notée dans la norme [BCB16] , ∆F V AOio et ∆F V AOiq ,
selon que l’option automatique valorisée soit vendue « o » ou achetée « q » relativement
au scénario i.
Le risque total résultant des options automatiques dans un scénario de choc de taux
i est :
ÿ
ÿ
KAOi “
∆F V AOio ´ ∆F V AOiq
q
o
Positions ne se prêtant pas à la standardisation
Les positions ne se prêtant pas à la standardisation sont, notamment, les dépôts sans
échéance, les prêts à taux fixe avec risque de remboursement anticipé et les dépôts à terme
avec risque de remboursement anticipé.
Les flux de trésorerie sont ensuite actualisés à une date d’arrêté donnée sur une courbe
de taux.
La valeur de marché de chaque poste du bilan est ainsi obtenue :
- soit en actualisant sur les courbes de taux adéquats actuelles (courbe d’emprunts
d’Etat pour les obligations d’Etat et courbe swap pour les autres postes), les flux
de trésorerie correspondant aux instruments concernés (titres, prêts/emprunts, dépôts), en tenant compte des dates précises de ces flux.
- soit par le biais d’une hypothèse spécifique de valeur de marché.
Pour chaque poste du bilan, des hypothèses d’écoulement doivent être retenues, ainsi
que les méthodes de calcul des cash flows futurs ou de la valeur de marché correspondante
à une date d’arrêté donnée. Contrairement aux titres de taux ou aux prêts, certains postes
du bilan ne s’écoulent pas naturellement. Il est donc nécessaire de spécifier des conventions
ALM d’écoulement pour leur valorisation.
L’écart entre la valeur de marché et la valeur bilan mesure l’excédent économique,
qui correspond par exemple, dans le cas des actifs financiers, aux plus ou moins values
latentes observables. Au total, la somme des excédents économiques de l’ensemble des
postes valorisés donne une indication de la richesse latente de l’établissement bancaire,
ou encore du prix de cession de son bilan.
24
Pour les instruments à taux fixe, l’échéancier des flux futurs est déterminé. En revanche, pour les instruments de taux à flux variables, les flux futurs dépendent du scénario d’évolution de l’index retenu. Les conventions ALM et courbes d’actualisation doivent
être définies pour une bonne valorisation de chaque poste du bilan, aussi bien à l’actif
qu’au passif.
Enfin, la détermination du besoin en fonds propre est déterminée de manière similaire
à la méthode GAP, à l’aide d’une VaR à 99% calculée grâce aux chocs issus du modèle
série temporelle. Ce point est différent de la réglementation puisque le Comité de Bâle
propose des chocs à appliquer sur les courbes de taux dont il faut retenir la pire variation
de valeur comme indicateur EVE.
2.2.3
Conclusion
La mesure de l’IRRBB au travers de l’approche économique est un moyen efficace pour
déterminer le besoin en fonds propres pour couvrir le risque de taux d’intérêt. Que ce soit
dans la méthode GAP ou par actualisation des flux, la VaR est utilisée comme mesure
du besoin en fonds propres associé au risque de taux d’intérêt. La VaR à 99% de la VAN
mesure la perte de valeur économique du bilan anticipée comme pouvant se produire dans
1 scénario sur 100 (un choc centenaire). Elle a vocation à chiffrer un scénario extrême en
termes de destruction de valeur économique à 1 an. Plus elle est élevée, moins le bilan est
couvert, en terme de risque de taux, et plus le besoin en fonds propres est élevé afin de
protéger les scénarios extrêmes auxquels le bilan pourrait être exposé.
Le niveau de couverture de l’IRRBB est sensible aux hypothèses des méthodes utilisées
et doit être la plus juste possible. Un bilan parfaitement couvert en termes de risque de
taux exhibera une sensibilité de la VAN aux chocs de taux très faible. A l’inverse, un bilan
imparfaitement couvert exhibera une sensibilité plus élevée, et une VaR plus élevée. Pour
un établissement aussi sensible à l’inflation qu’est la DFE, et face à la capacité limitée
d’acheter des actifs inflation, l’excédent de dépôts indexés sur le taux du Livret A, et
le risque d’activation ou non du plancher inflation présent dans la formule du livret A
rendent le bilan très sensible aux variations de taux réels.
Dans un cadre de gestion du risque de taux, il est intéressant d’étudier les deux approches pour mesurer l’EVE. En effet, ces méthodes font apparaitre l’ensemble du risque
de taux qui peut être décomposée en deux partie. Une première représentant le risque
« structurel », de montant relativement stable et plus simple en terme de calcul des sensibilités, et une autre partie représentant le risque « optionnel », dont le montant est plus
sensible aux fluctuations des niveaux projetés par les marchés de taux et l’inflation. A
ce titre, nous pouvons, par exemple, considérer l’option de plancher inflation présente
dans la formule du Livret A, comme étant à l’origine d’une partie significative du risque
« conjoncturel ».
Enfin, il faut voir la méthode GAP comme une approximation de la méthode par actualisation, plus simple et plus rapide à appliquer et également plus souple.
25
2.3
Méthodes de calculs pour la MNI
La mesure fondée sur les bénéfices est la seconde méthode recommandée par le Comité
de Bâle. Cette approche est largement utilisée par la plupart des banques commerciales
pour gérer leur risque global de taux d’intérêt, ce qui n’est pas le cas au sein du fonds
d’épargne. En effet, jusqu’à présent au Fonds d’épargne, la marge était étudiée en détails
suivant différents scénarios, en revanche il n’y avait pas de mesure de risque associé à la
marge d’intérêt.
La marge brut et nette d’intérêt dans ce document est une marge hors plus et moins
value (PMV) et hors provision, ce qui donne :
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
,
Produits d’intérêt
/
/
/
/
Charges d’intérêt
/
/
.
Indexation des OATI
Marge nette d’intérêt
Revenus hors-bilan /
/
/
/
Commissions LA
/
/
Commissions LEP
Indemnités de remboursements anticipés
Dividendes
Autres commissions
Frais divers
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
Marge brute
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
-
Certains des éléments cités ci-dessus peuvent être comptabilisés négativement (en particulier les charges d’intérêt, les commissions, etc...).
Afin de pouvoir mesurer les variations de la MNI selon différents scénarios de choc
de taux d’intérêt et de tensions, une banque doit pouvoir prévoir ses bénéfices futurs
dans le cadre d’un scénario économique sur lequel s’appuie son plan d’activité ainsi que
dans des scénarios de stress (chocs d’inflation, hausse des taux d’intérêt, etc...), de façon à
quantifier la différence entre deux hypothèses. Les projections reposent sur des hypothèses
concernant le comportement des marchés, des clients et aussi la réaction de la direction
de l’établissement bancaire face à l’évolution conjoncturelle.
D’un point de vue pratique, le Comité de Bâle identifie trois cas de figure :
a. bilan en extinction : les actifs et passifs en stock ne sont pas remplacés lorsqu’ils
arrivent à leur échéance ;
b. bilan constant : la structure et la taille du bilan sont maintenues en remplaçant à
l’identique ;
c. bilan dynamique : les anticipations de production futures sont incorporées en fonction du scénario considéré de façon cohérente.
Les méthodes fondées sur les bénéfices offrent la possibilité de mesurer la vulnérabilité
à court et moyen terme d’une banque face au risque de taux d’intérêt, sous l’hypothèse
de continuité d’activité.
26
2.3.1
Méthode déterministe
La première approche étudiée pour calculer l’indicateur de risque de la MNI est une
méthode déterministe. Cette méthode est communément utilisée pour évaluer l’aptitude
d’une banque à générer des bénéfices stables sur un horizon moyen terme (par exemple 5
années). Les variations de bénéfices attendues sont communément calculées pour un bilan
constant dans le temps ou pour un bilan dynamique (avec production d’affaires nouvelles).
Dans le cadre du bilan constant, cela signifie que les actifs et passifs en extinction durant
l’horizon de calcul sont remplacés par des produits financiers avec les mêmes caractéristiques. Cette hypothèse, recommandée par le Comité de Bâle, permet de rendre compte
de l’efficacité de la banque à dégager de la marge d’intérêt avec la politique actuelle sur
la gestion des actifs et des passifs.
Dans le cas du bilan dynamique, des hypothèses d’évolution des actifs et passifs sont
proposées. Cette vision permet d’introduire des objectifs guidés par la direction de l’établissement. C’est l’approche la plus appropriée selon le Comité de Bâle.
La trajectoire des taux d’intérêt utilisée pour la projection des taux d’intérêt et de l’inflation est celle du scénario des économistes du Fonds d’épargne. Ce scénario économique
central reflète les prévisions financières et permet de produire les indicateurs. Cependant,
du point de vue de la gestion des risques, il semble intéressant de procéder à la projection des flux en scénario forward, permettant ainsi évaluer la vision « marché » sur la MNI.
Le bilan est ainsi projeté sur un horizon moyen terme (par exemple, cinq années) et
la MNI également. Dans le but de définir une mesure de risque associée à la perte de
bénéfices futurs, nous proposons la mesure de « Bénéfice en Risque » ou plus connu sous
le nom anglais de « Earning-at-Risk », que nous abrégerons en EaR. Elle permet d’apprécier l’incidence de l’évolution des taux sur la marge d’intêret et donc sur les résultats de
l’établissement bancaire éclairant ainsi les décision du gestionnaire de risque.
La définition de l’EaR est assez simple, elle mesure la différence entre un niveau de marge
attendue et un niveau de marge due à un choc sur la courbe des taux. Dans une approche
mesure de risque, nous proposons la définition suivante :
Définition 2.1 (Earning at Risk (EaR)) L’Earning-at-Risk de niveau α pour la marge
attendue Me , notée EaRα pM q est définie par :
EaRα pM q “ Me ´ V aRα pM q
Pour déterminer la valeur de l’EaR, nous devons calculer la V aRα de la marge d’intérêt. Pour cela nous proposons de procéder de la même façon que pour le calcul de la
V aRα de l’EVE, à savoir la réalisation de 100 000 chocs conjoints sur les taux nominaux et
inflations, à l’aide d’un proxy satisfaisant. Les variations sont ensuite classées de manière
croissante et le 1 000ème pire cas est retenu comme mesure et ainsi correspondant à une
VaR 1%.
Ainsi, l’EaR nous donne le montant de marge en risque à un seuil donné. Dans notre cas,
nous retenons un seuil de 1%, et l’EaR nous donne l’écart entre la marge attendue et la
marge associée au choc le plus risqué survenant une fois sur 100 ans.
Le niveau de risque est le même que pour l’EVE, le 1 000ème pire cas sur 100 000 chocs
conjoints, cependant, pour l’EVE on classe par ordre croissant les pertes et on retient
alors le quantile à 99% et pour la MNI on classe le niveau de marge par ordre croissant
27
et on retient donc le quantile à 1%.
Cette analyse peut être effectuée à la fois sur la base du bilan en cours et sur les bilans
prospectifs (cinq années) pour une étude quinquennale.
Le niveau de marge cible attendu peut être défini à l’aide du scénario central des économistes de la banque.
Cette méthode constitue une approche adaptée aux objectifs de gestion interne et de
gestion actif-passif, la principale difficulté réside dans la complexité du bilan à projeter.
En revanche cette méthode repose sur un scénario économique unique ce qui, d’un point
de vue risque, peut se révéler insuffisant. Pour palier à ce problème de trajectoire des
taux d’intérêt, il semble alors intéressant d’étudier une approche stochastique permettant
d’évaluer l’évolution de la MNI pour un grand nombre de trajectoires.
2.3.2
Méthode stochastique
L’approche stochastique est un moyen efficace d’étudier le risque associé aux variations
des taux d’intérêt en simulant un grand nombre de scénarios de leur évolution. Afin de
générer des potentielles futur courbes de taux et en déduire le risque associé sur la marge
d’intérêt, il est nécessaire de préserver l’intégrité interne des courbes de taux.
Rappelons ici deux approches de modélisation bien connues, à savoir le monde risqueneutre et le monde réel (où historique).
Dans l’univers risque neutre, l’objectif est de donner une valeur à un produit financier,
ou encore, valoriser des engagements d’une banque ou d’une assurance. Cela permet ainsi
de donner des valeurs de marché du passif cohérentes avec les marchés financiers, ce qui
est central dans l’évaluation des passifs des assureurs vie dans le cadre de solvabilité 2.
En univers réel, l’objectif est de capter au mieux les risques et les propriétés statistiques
des séries financières. Ce cadre permet notamment de projeter le bilan d’une banque en
simulant plusieurs scénarios économiques. Les applications sont également nombreuses,
déterminer une allocation optimale en maximisant les profits, dans le cadre de solvabilité
2 pour l’ORSA, dans le cadre d’un modèle interne pour déterminer une perte.
Une lecture attentive de la thèse de Monsieur Makram Ben Dbabis (cf. [BD12]) permet
d’approfondir l’evaluation quantitative des risques selon ces deux approches.
L’approche recommandée pour mesurer le risque de perte futur de la MNI est une
approche en monde réel dans l’optique d’une gestion des risques. Ainsi nous générons le
bilan en tenant compte de la dérive de la répartition historique des taux d’intérêt pour
chaque maturité de la courbe de rendement.
Dans ce cadre, il est opportun de proposer un premier modèle de simulations de trajectoires taux et inflation qui puisse être calibré sur l’historique des taux d’intérêt. Cependant, commençons par présenter le modèle utilisé par le service de tarification des prêts
et d’allocation d’actifs :
Modèle Jarrow et Yildirim (2003)
Le modèle de Jarrow et Yildirim est un modèle à trois facteurs permettant de valoriser des produits nominaux et indexés inflation. Ce modèle est devenu populaire dans la
28
littérature financière et permet de valoriser des produits dérivés d’inflation. Le modèle de
Jarrow-Yildirim modélise les taux comme ceci :
Modèle des taux d’intérêt nominaux : les taux nominaux sont modélisés sous
probabilité risque neutre par un modèle de Hull and White (1995) à un facteur :
drn ptq “ rθn ptq ´ an rn ptqsdt ` σn dWn ptq
´
où θn ptq “
Bfn p0,uq
Bu
¯
u“t
` an .fn p0, tq `
2
σn
2an
p1 ´ expp´2an tqq , fn le taux forward
instantané, an et σn sont des paramètres positifs et pWn ptqqtě0 est un mouvement
brownien sous la probabilité risque neutre associée aux taux nominaux.
Une intégration directe (i.e., sans changement de variable préalable) de cette équation différentielle stochastique amène à la relation :
żT
żT
rn pT q ´ rn p0q “
θn ptq.dt ´ an
rn ptq.dt ` σn .Wn ptq
0
0
que l’on peut arranger sous la forme
ż
żT
1 T
σn
rn ptq ´ rn p0q
`
θn ptq.dt ` Wn pT q
rn ptq.dt “ ´
an
an 0
an
0
Modèle des taux réels : les taux réels, sous probabilité risque neutre, suivent la
dynamique du modèle de Hull and White (1995) à un facteur :
drr ptq “ rθr ptq ´ ar rr ptqsdt ` σr dWr ptq
avec les notations analogues au taux nominaux.
Cette équation stochastique est identique à celle des taux nominaux qui peut s’exprimer sous la probabilité risque neutre nominale comme ceci :
drr ptq “ rθr ptq ´ ρr.I .σr .σI ´ ar rr ptqsdt ` σr dWn ptq
Modèle de l’indice des prix à la consommation : l’IPC, sous probabilité risque
neutre, est modélisé par un modèle de Black Scholes classique :
dIptq
“ prn ptq ´ rr ptqqdt ` σI dWI ptq
Iptq
où prn ptqqtě0 et prr ptqqtě0 sont respectivement les processus des taux courts nominal
et réel, σI est un paramètre positif et pWI ptqqtě0 est un mouvement brownien sous
la probabilité risque neutre associée aux taux nominaux.
Cette équation s’intègre, par un changement de variable identique à celui du modèle
de Black-Scholes (application de la formule d’Itô à gpxq “ lnpxq), sous la forme :
ˆ
˙ żT
żT
IpT q
σ2
ln
“
rn ptq.dt ´
rr ptq.dt ´ I T ` σI .WI pT q
Ip0q
2
0
0
şT
şT
Ainsi le calcul littéral explicite des intégrales 0 rn ptq.dt et 0 rr ptq.dt permet
de
´
¯
IpT q
connaître la distribution du taux d’inflation sur la période r0, T s, à savoir ln Ip0q .
29
Calibrage du modèle de Jarrow-Yildirim
La calibration nécessite quatre étapes :
Calibration sur les courbes zéro-coupons
La calibration ne pose pas de problème particulier. L’interpolation spline cubique permet d’avoir des courbes forward instantanées continues.
La calibration doit redonner exactement les cotations Bloomberg sous peine de ne pas
pouvoir calibrer correctement les swaps à la troisième étape.
Calibration du paramètre de retour à la moyenne et de la volatilité par terme des taux nominaux
La calibration se passe en deux étapes successives :
1) Calibration de la retour à la moyenne et d’une volatilité constante ;
2) Calibration d’une structure de volatilité par terme sur la base de la retour à la
moyenne fixée par la première étape.
La structure de volatilité par terme représentent des volatilités instantanées. Une interpolation trimestrielle linéaire peut être faite. La fonction volatilité instantanée est alors
en escalier par période trimestrielle. Il n’est pas anormal que la structure des volatilités
instantanées calibrées présente un profil très heurté. La volatilité intégrée est beaucoup
plus lisse.
Il y a encore quelques années, lorsque les taux n’étaient pas durablement « bas » et
pour éviter que les conventions de marchés ne polluent la calibration, la démarche suivante
était utilisée.
- La cotation Bloomberg des caps à date est prise non pas sur les prix de caps mais
sur les volatilités Black.
- Cette volatilité du modèle de Black est introduite dans un outil donnant les prix
Black qui valorise les mêmes caps que le modèle Jarrow Yildirim.
- La calibration de la retour à la moyenne et de la volatilité constante est lancée avec
comme fonction « objectif » la somme des écarts quadratique entre les prix Black
et les prix JY.
- La calibration de la volatilité par terme est lancée avec comme fonction objectif la
somme des écarts quadratique entre les prix Black et les prix JY. Les volatilités
par terme ont pour valeur initiale le niveau de volatilité constante calibrée.
En revanche, l’inconvénient majeur d’utiliser le modèle de Black pour calibrer la volatilité dans un contexte de taux bas est, si les taux sont très faibles, ce qui est le cas
pour 2016, la volatilité induite par le modèle de Black augmente considérablement pour
conférer un minimum de dispersion. Ainsi les queues de distribution augmentent et donc
la probabilité d’avoir des taux extrêmes augmente également. Ce qui semble aberrant en
pratique et inutilisable pour projeter les taux futurs.
Pour éviter ce problème, différentes solutions existent. Par exemple, un modèle log-normal
décalé peut être envisagé (modèle fréquemment utilisé pour le taux d’inflation) ou encore,
30
le modèle de Bachelier, qui modélise les écarts absolus évitant l’explosion de la volatilité
en période de taux bas.
Si les tests de calibration montrent que le résultat final est peu sensible au niveau
initial de retour à la moyenne alors la calibration est robuste.
Calibration de la retour à la moyenne et de la volatilité par terme des taux réels
Les prix avec ajustement de convexité sont obtenus par parité call put à partir des prix
de caps et floor inflation. Cette étape peut être faite directement à partir des cotations
d’options Bloomberg. Il existe également une cotation de swaps sous Bloomberg obtenue
également par parité call put (mais la méthodologie n’est pas explicitée).
Le retour à la moyenne et la structure des volatilités réelles ne dépendent que de l’ajustement (différence entre les prix avec et sans ajustement). Cette différence n’est que de
quelques points de base (exprimé en taux de swap = prix de la jambe variable / somme des
facteurs d’actualisation). Il est donc primordial d’avoir des données propres pour mener
à terme cette valorisation. C’est pour cette raison que les courbes zéros-coupons doivent
être calibrés exactement lors la première étape sinon cette différence est polluée l’inexactitude sur le prix sans ajustement (entre Bloomberg et l’outil de valorisation).
Si les données obtenues pour l’ajustement ne sont malheureusement pas assez propres.
Il est nécessaire de faire plusieurs ajustements pour obtenir des prix calibrables :
- Une moyenne lissée sur plusieurs jours des ajustements par maturité (exemple : 5
derniers jours ouvrés) ;
- Obtenir les prix sans ajustement des swaps, les corriger avec un ajustement lissé ;
- Même avec cette technique les ajustements sur les premières maturités 2 et 3 ans
(voire 4 ans) ne sont pas conformes à ce que peux donner le modèle (avec des
paramètres acceptables).
- La fonction « objectif » est alors la somme des erreurs quadratiques entre les taux
du swap obtenus précédemment et les résultats du modèle pour les maturités supérieures à 4 ans.
La calibration du retour à la moyenne et de la volatilité par terme des taux réels peut se
faire de manière conjointe avec comme valeurs initiales pour la retour à la moyenne réelle
celle obtenue à la seconde étape pour la retour à la moyenne nominale et pour la volatilité.
La robustesse de la calibration est sensible à la valeur initiale prise pour la volatilité :
il peut être nécessaire de tester plusieurs valeurs initiales. Il est possible que l’utilisation
d’un algorithme d’optimisation modifie la robustesse de cette étape.
Calibration des paramètres de corrélations et de la volatilité de l’inflation
Les trois paramètres de corrélations ainsi que la volatilité de l’indice inflation sont
quant à eux estimés sur les séries historiques.
Ce modèle de Jarrow-Yildirim est un modèle d’AOA qui permet de répliquer les
31
courbes de taux réels et nominaux observées sur le marché, en revanche il s’agit d’un
modèle risque neutre et dans l’approche économique présentée ci-dessus, pour mesurer
efficacement les risques, il est plus rigoureux de simuler en monde réel.
Ainsi, l’objectif de simuler des trajectoires taux et inflation est conservé, il est proposé
de remplacer dans le modèle de Jarrow Yildirim, la diffusion du taux nominal sous forme
Hull and White par un modèle de Diebold, Christensen et Rudebush. Ce modèle a plusieurs atouts :
- Possibilité de calibrer l’historique des courbes de taux ou des prévisions
- Lisibilité du modèle fondé sur l’approche paramétrique de Nelson-Siegel
- Possibilité de calibrer en probabilité risque neutre et de retrouver des formules
fermées pour les swaps inflation 10 zéro-coupon.
Modèle de Diebold, Christensen et Rudebush
La forme du modèle qui est diffusée est telle que la courbe zéro-coupon observée à
toute date t s’écrit :
ˆ
ˆ
˙
˙
ˆ
˙
˙
ˆ
1 ´ e´t{λ2
1 ´ e´t{λ1
1 ´ e´t{λ2
1 ´ e´t{λ1
2
1
´t{λ1
2
´t{λ2
1
`St
`Ct
´e
`Ct
´e
ZCptq “ Lt `St
t{λ1
t{λ2
t{λ1
t{λ2
Dans lequel, la courbe zéro-coupon ZC(t) est dépendante des facteurs :
- de niveau LT
- de pentes St1 et St2
- de courbures Ct1 et Ct2
Les paramètres λ1 et λ2 sont supposés constants et strictement positifs. Ils s’interprètent comme des facteurs de décroissance des poids des facteurs du modèle. En particulier, ils déterminent la maturité pour laquelle les poids des facteurs de courbures atteignent
leur maximum.
L’hypothèse de modélisation dans Diebold et Li est que les 5 composantes Lt , St1 , St2 , Ct1
et Ct2 , sont des processus d’Ornstein-Uhlenbeck :
dXi,t “ κi pθi ´ Xi,t qdt ` νi dWi,t
Avec Xi,t la ième composante du vecteur Xt “ pLt , St1 , St2 , Ct1 , Ct2 q et les mouvements
browniens Wi,t sont généralement supposés indépendants entre eux mais le modèle supporte une matrice de corrélation.
Calibrage du modèle de Diebold, Christensen et Rudebush
Le calibrage des 15 paramètres du modèle de Diebold, Christensen et Rudebush n’est
pas détaillé ici pour ne pas surcharger le rapport. Pour des informations détaillées sur
l’utilisation et la calibration du modèle, il est intéressant de lire le papier original (cf.
[CDR07]).
10. Les swaps inflations sont des swaps de taux classique entre une jambe taux fixe et la seconde variable
indexé inflation
32
Cette démarche permet de générer plusieurs trajectoire du bilan et ainsi de définir la
marge cible comme étant la moyenne des scénarios générés. Pour le calcul de l’EaR, en
restant en modélisation monde réel, il est possible de classer les variations des trajectoires
de MNI de manière croissante et de prendre la valeur du quantile 1%. Pour le calcul de
l’EaR, en monde réel, la valeur du quantile 1% peut être obtenu directement en classant
les trajectoires de MNI de manière croissante et en prenant la valeur du quantile 1%, en
monde risque neutre cette approximation est discutable.
De plus, si la puissance de calcul le permet, il est intéressant de procéder à une série de
chocs (par exemple, 100 000 comme pour le modèle déterministe) pour chaque trajectoire
et d’en déterminer la VaR à 1%.
2.3.3
Conclusion
La projection du bilan est faite avec des hypothèses propres à chaque établissement, le
Comité de Bâle ne précise pas de manière explicite une méthode de calcul. Les établissements bancaires ont pour habitude de gérer de risque le taux sur la base de la MNI. Nous
avons présenté, de manière générale, deux façons de projeter la MNI et de quantifier le
risque sur les taux d’intérêt associé.
Méthode déterministe
La méthode déterministe est très sensible au choix du scénario de taux d’intérêt, ceci
sera largement analysé dans l’application au Fonds d’épargne. En revanche, le Comité
préconise l’utilisation d’un scénario économique, propre à la vision de chaque établissement. Ce scénario peut être très différent du scénario du marché (le scénario forward est
souvent considéré comme étant celui du marché) et donc induire un risque supplémentaire.
Méthode stochastique
Le modèle de Jarrow-Yildirim est un modèle d’AOA qui permet de répliquer les courbes
de taux réels et nominaux observées sur le marché. En revanche, il y a beaucoup de paramètres à régler afin de pouvoir valoriser des produits dérivés. En pratique cela peut être
un handicap car, généralement, les paramètres sont choisis de façon à égaliser les prix du
marché avec les prix du modèle par différents algorithmes d’optimisation. On augmente
ainsi directement la dimension du problème, ce qui oblige à avoir plus de produits observés et plus de temps de calcul pour évaluer les bons paramètres. D’autres modèles sont
proposés pour pallier à cette difficulté, c’est le cas de Brigo et Mercurio (2006) [BM06],
cependant ils sont moins stables pour des projections long terme.
Il convient enfin de préciser que les trois mouvements browniens figurant dans les équations précédentes sont munis d’une structure de corrélation.
Nous avons présenté le modèle de Diebold, Christensen et Rudebush, cependant il
existe d’autres extensions du modèle de Nelson-Siegel. Les différentes extensions disponibles dans la littérature sont résumées dans le tableau ci-dessous :
33
Modèle
Pente 1
Nelson-Siegel
1´ep´ λ q
t{λ
t
Bliss-Nelson-Siegel
Nelson-Siegel-Svensson
Nelson-Siegel-Svensson-
Courbure 1
t
1´ep´ λ q
t{λ
p´ t q
1´e λ1
p´ t q
1´e λ2
t{λ1
t{λ2
p´ t q
p´ t q
1´e λ1
t{λ1
1´e λ1
t{λ1
p´ t q
1´e λ1
p´ t q
1´e λ1
t{λ1
t{λ1
Pente 2
Courbure 2
t
´ ep´ λ q
´
´e
´
´e
´
´e
´ λt
¯
´ λt
¯
´ λt
¯
2
p´ t q
1´e λ2
t{λ2
1
´ ¯2
t
λ2
1
´
´e
´
e
´ λt
¯
2
´ λt
¯
2
Filipovic
t
Bjork-Christensen
Christensen-DieboldRudebusch
1´ep´ λ q
t{λ
p´ t q
1´e λ1
t{λ1
t
1´ep´ λ q
t{λ
p´ t q
1´e λ1
t{λ1
2t
1´ep´ λ q
2t{λ
t
´ ep´ λ q
´
´e
´ λt
1
¯
p´ t q
1´e λ2
t{λ2
p´ t q
1´e λ2
t{λ2
´
´e
Table 5 – Extensions du modèle Nelson-Siegel
Bliss (1997) propose de choisir des facteurs d’échelle différents pour les fonctions de
pente et de courbure. Cependant, cette diversification n’est pas suffisante pour reproduire
toute les formes de courbes.
Bjork-Christensen (1999) introduisent une deuxième fonction de pente, de même forme
mais paramétrée avec un facteur d’échelle λ2 réduit de moitié par rapport à la première
fonction de pente.
Christensen-Diebold-Rudebusch (2007) proposent un modèle avec deux fonctions de pente
et deux fonctions de courbure de mêmes formes, mais paramétrées avec des facteurs
d’échelle différents λ1 et λ2 .
L’avantage de préserver une dimension « monde réel » est de pouvoir utiliser l’EaR
comme mesure de risque de la MNI avec les trajectoires directement modélisées. En effet, en modélisation risque neutre, les trajectoires ne donnent pas directement une bonne
mesure de risque des cas extrêmes car elles sont sensées fournir une bonne approximation
du comportement en moyenne, ce qui est très différent.
34
´ λt
2
¯
3
Application au Fonds d’épargne
Cadre réglementaire et historique
Le Fonds d’épargne a mis en place un modèle interne de mesure de ses risques, dont
la comparaison avec les fonds propres permet de mesurer sa solvabilité.
La loi de modernisation de l’économie du 4 août 2008 et ses décrets d’application étendent
à la CDC et au Fonds d’épargne, sous réserve des adaptations nécessaires, l’obligation faite
aux établissements de crédit de respecter des normes de gestion destinées à garantir leur
liquidité et leur solvabilité. Le décret 2010-411 prévoit que le modèle prudentiel de la CDC
est validé par la Commission de surveillance.
Le modèle prudentiel constitue le cadre de pilotage du Fonds d’épargne de façon à lui
assurer la couverture de ses risques dans une perspective de long terme, ainsi que la liquidité nécessaire à la couverture de ses engagements.
Ce modèle prudentiel s’inscrit dans le cadre bâlois. Le dispositif de Bâle comporte trois
piliers complémentaires et interdépendants : le pilier 1 constitue le socle des exigences
réglementaires minimales ; le pilier 2 invite à procéder à une évaluation des risques en
interne ; enfin, le troisième pilier est centré sur la transparence et la discipline de marché.
Au titre du pilier 2, les établissements doivent mettre en place un dispositif permettant
d’évaluer l’adéquation de leur capital économique avec leur profil de risques et maintenir
en permanence le niveau de capital jugé approprié. C’est le processus d’évaluation du capital interne (ICAAP - internal capital adequacy assessment process). Le Fonds d’épargne
présente son besoin en fonds propres selon une terminologie baloise (pilier I, pilier II) ce
qui peut prêter à confusion du fait que le Fonds d’épargne n’est pas soumis à ce cadre
réglementaire.
L’estimation par le modèle des besoins en fonds propres et du capital économique au
31 décembre 2016 respectent les proportions suivantes :
Facteurs de risque
Pilier I
Risque crédit Prêt
Risque crédit titres
Risque actions
Risque Private Equity
Risque immobilier/infrastructures
Risque opérationnel
Pilier II
Risque global de taux
31/12/2016
68,6%
27,6%
9,2%
23,8%
3,5%
3,4%
1,1%
31,4%
31,4%
Table 6 – Estimation des facteurs de risques pour les besoins en fonds propres
Le calcul du risque global de taux d’intérêt (RGT) vise à évaluer les impacts d’une
évolution adverse des taux d’intérêt. L’exposition au risque global de taux d’intérêt du
Fonds d’épargne est suivie par le Comité des risques et résultats, le Comité trimestriel
de gestion de bilan, présidé par le Directeur général de la Caisse des Dépôts, ainsi que la
Commission de surveillance. Ces comités examinent l’évolution du risque global de taux
35
au travers notamment de la « quinquennale » du Fonds d’épargne ; projection des indicateurs sur les cinq prochaines années ; et valident les orientations de gestion proposées par
le Service gestion actif/passif et allocation d’actifs. Le RGT fait partie intégrante du dispositif de pilotage de la solvabilité du Fonds d’épargne. En effet, le RGT sert notamment
à calibrer le seuil de surveillance du corridor de solvabilité et à déterminer le niveau de
fonds propres cible.
L’importance du taux du livret A
Le taux du livret A a une grande importance sur le bilan du Fonds d’épargne de par
sa présence en volume conséquent à l’actif et au passif.
La formule du livret A, depuis le 1er janvier 2017, est :
ˆ
T LA “ max
I EON IA
`
; I ` 0, 25% ˆ 1|EON IA´I|ď0,25%
2
2
˙
Cette formule comprend plusieurs options :
Le plancher inflation : l’activation du plancher inflation correspond à un environnement économique où les taux courts (Euribor et Eonia) sont inférieurs à l’inflation. Sur les 5 dernières années, ce plancher a été systématiquement activé dans la
formule. L’activation du plancher indexe le taux du livret A uniquement à l’inflation et le déconnecte des taux courts (Eonia et Euribor), ce qui a pour conséquence
un doublement de l’exposition à inflation du passif du Fonds d’épargne.
La possibilité de révision semestrielle : la Banque de France calcule chaque année les 15 janvier et 15 juillet le taux d’intérêt théorique du livret A qui est ensuite
soumis au ministre chargé de l’économie pour décision.
La non application de la formule : la décision finale d’application de la formule
théorique du taux du livret revient au Ministre chargé de l’économie et revêt un
caractère politique important. Ainsi, depuis février 2013, le TLA retenu est supérieur au taux découlant de la stricte application de la formule. La conséquence est
une certaine inertie dans le coût du passif du Fonds d’épargne alors que la rémunération de son actif dépend des taux de marché. Cette situation est défavorable
au Fonds d’épargne dans un environnement de taux bas.
De plus, la formule du livret A induit une position négative à la baisse des taux réels
et encore plus fortement lorsque cette baisse est due à une baisse des taux nominaux et
une hausse de l’inflation.
La structure du bilan du Fonds d’épargne
Voici un aperçu simplifié par index du bilan du Fonds d’épargne au 31 décembre 2016 :
36
12/31/2016
Prêts
Taux fixe
Inflation
Autres index
LA et LEP
Actifs financiers
Taux variable
Taux fixe
Monétaire
Actions
Inflation
Autres actifs
Total Actif
Actif (Mds e) Passif (Mds
182.5
237.0
20.2
214.6
4.2
22.4
5.1
153.0
70.2
10.6
12.3
1.8
0.2
2.2
11.7
1.1
11.7
34.3
1.6
1.7
254.3
254.3
e)
Dépôts yc ICNE
Dépôts LA/LDD
Dépôts LEP
CP, FRBG, rés.
PRC
Emprunts
Pensions
Autres passifs
Total Passif
Table 7 – Bilan simplifié par index sur l’exercice 2016
Les dépôts réglementés représentent 95% du passif au 31/12/2016 et sont intégralement indexés sur le taux du livret A. Ces dépôts sont constitués majoritairement du
livret A et du livret développement durable - LDD (215 Mde) et plus marginalement
par le livret épargne populaire - LEP (22 Mde). En compensation de la centralisation
de l’épargne réglementé, le Fonds d’épargne rémunère les banques collectrices au taux du
livret A auquel est ajouté un spread variable (autour de `30 bp). Dans le contexte actuel,
la ressource du Fonds d’épargne est considérée comme étant chère en comparaison à ce
qui peut se trouver sur le marché.
Les prêts représentent 70% de l’actif au 31/12/2016 (poids en forte augmentation ces
dernières années) et comprennent plusieurs types d’indexation (TLA, Euribor3M, inflation) avec une maturité moyenne de 25 années.
Ces prêts ont les caractéristiques suivantes :
- une durée moyenne de 25 ans ;
- plusieurs modalités d’amortissement existent ( certains prêts dits à double révisabilité ont un amortissement variable avec le taux du livret A) ;
- la révision du prêt intervient à la date anniversaire du prêt et non le jour de
celle du taux du livret A, ce qui induit un décalage entre la révision du taux de
rémunération du passif et celui des revenus des prêts. La plus grande part des prêts
est à révision annuelle ;
- la marge sur le taux du Livret A diffère selon le segment et la génération du prêt.
Les prêts indexés sur le taux du livret A constituent 83% de l’encours des prêts mais
64% des dépôts ce qui constitue l’une des premières sources du risque global de taux.
Le portefeuille d’actifs financiers a pour objectif d’assurer le pilotage des risques de
bilan (taux et liquidité) et de dégager un supplément de ressources destiné à rémunérer la
garantie de l’Etat. Ce portefeuille comporte par conséquent une part importante d’actifs
37
indexés sur l’inflation française ou européenne (34 Mde), enveloppe qui a été progressivement constituée depuis 2003 afin de couvrir l’exposition du bilan à une variation de
l’inflation. Le portefeuille de titres à taux variable est essentiellement composé d’assetswaps, et les positions indexées sur l’Euribor 3 mois sont majoritaires.
Les sources structurelles du risque de taux du Fonds d’épargne
Risque de non adossement actif/passif et de repricing
Les dépôts règlementés, qui constituent 95% du passif à décembre 2016, comportent
une composante d’au moins 50% indexée sur l’inflation.
A l’actif, les prêts indexés sur le taux du livret A (60% de l’actif) sont une couverture
naturelle des dépôts (cf. graphique ci-dessous). Par ailleurs, la forte augmentation des
prêts et des investissements en titres indexés sur l’inflation ont permis de réduire la sensibilité du bilan à une variation de l’inflation. Cependant, l’actif ne peut être exposé dans
les mêmes proportions en raison du manque d’offres de produits indexés sur l’inflation,
sur les marchés financiers. Le bilan du Fonds d’épargne est par conséquent exposé à une
translation de la courbe des taux réels du fait des désadossements potentiels. Ce risque
est également présent sur les positions à taux variable court terme.
Enfin, le portefeuille d’actifs financiers à taux fixe, non compensé par une exposition à
taux fixe au passif, expose faiblement le bilan à une translation de la courbe des taux
nominaux.
Le risque de repricing se manifeste à la suite d’un décalage dans le réajustement des prix
des actifs et des passifs (décalages de date d’effet entre TLA et prêts, ou de fixation des
taux entre les dépôts et les OATi par exemple). Ces éléments constituent des facteurs
d’imperfection de couverture des dépôts par les prêts et les titres.
Figure 4 – Risque de non adossement actif/passif
38
Risque de base
Le risque de base apparait à plusieurs niveaux :
- le taux du livret A dépend directement du taux d’inflation réalisée alors que certains
titres sont indexés sur l’inflation anticipée (OATi, swaps inflation) ;
- l’exposition du bilan à l’inflation est en partie couverte par des titres indexés sur
l’inflation européenne, alors que la formule du TLA est centrée sur l’inflation française ;
- certains actifs sont indexés sur l’Euribor 6 mois, créant au bilan une exposition au
spread 6 mois / 3 mois, en raison d’une indexation de TLA à l’Euribor 3 mois.
Risque lié à la déformation de la courbe des taux
La structure du bilan par indice de taux, fait apparaître des différentiels de montants
et de durées entre l’actif et le passif d’un même indice. En répartissant les index TLA/LEP
entre à 50% sur inflation et 50% sur Euribor, selon une simplification de la formule du
TLA, le constat demeure identique.
Le bilan du Fonds d’épargne est donc exposé à des déformations des courbes de taux réels
et nominaux, compte tenu des différentes maturités présentes dans le bilan.
Risque dû aux composantes optionnelles et comportementales
Le bilan du Fonds d’épargne comprend plusieurs composantes optionnelles à la fois
sur le taux de rémunération des dépôts et le profil d’amortissement des prêts.
La formule du livret A comprend plusieurs options : le plancher inflation, la possibilité
de révision trimestrielle et, de façon plus implicite, l’inertie du TLA à la baisse dans un
contexte de taux, très bas (non application de la formule). Certains prêts contiennent des
options comme les prêts dits à « double révisabilité » dont l’amortissement est d’autant
plus rapide que le TLA est faible.L’encours de prêts est exposé au risque de remboursement anticipé, dépendant de la marge des différents prêts et de l’environnement financier.
L’environnement économique et financier, notamment la baisse des taux et de l’inflation, n’est pas sans conséquence sur l’évolution du risque global de taux. En effet, la
baisse des taux et de l’inflation anticipés à long terme occasionne une accélération de
l’amortissement des prêts indexés et la baisse des assiettes de couverture des titres indexés à l’inflation, ainsi qu’une hausse de la sensibilité aux chocs de taux (impact plus
marqué du choc de taux lorsque les taux sont faibles à cause de l’effet de convexité). La
dynamique de versement de prêts est également moindre dans un contexte économique
dégradé. Par ailleurs, la situation de taux bas a activé le plancher inflation qui double
l’exposition inflation réelle du passif. A cela, s’ajoute l’impact de la non application de la
formule depuis février 2013, qui entraine une situation d’autant plus défavorable que la
baisse de l’inflation n’est plus bénéfique. En effet, la rémunération d’une partie de l’actif
baisse alors que le coût du passif est moins élastique ou figé. Enfin, le quantitative easing
mis en place par la Banque centrale européenne réduit sensiblement les titres disponibles
à l’achat, ne permettant pas au Fonds d’épargne d’acheter le stock d’obligations indexées
souhaité pour compenser le vieillissement du portefeuille d’actifs financiers (la sensibilité
des titres indexés à l’inflation se réduit avec le temps et avec les titres arrivant à échéance).
Le différentiel d’investissement net qui en résulte, par rapport aux prévisions de début
39
2015, entraîne une hausse du RGT de près de 550 Me toutes choses égales par ailleurs.
Une allocation d’actifs visant à maîtriser les risques
L’allocation stratégique d’actifs vise d’une manière générale à :
- maximiser le résultat du Fonds d’épargne,
- améliorer la couverture des BFP par les fonds propres disponibles en maitrisant
les dits besoins,
- maîtriser les risques de manière générale et le risque de liquidité particulièrement.
Ainsi l’allocation obtenue se caractérise notamment par une gestion active du risque
inflation. Ceci se traduit par la mise en œuvre de deux volets traditionnels de la couverture de ce type de risque :
- acquisition d’obligations souveraines indexées,
- mise en place d’un programme de macro-couverture inflation (swaps inflation).
L’exposition au risque de taux d’intérêt du Fonds d’épargne est représentée par l’assiette des encours du bilan et du hors bilan, susceptible d’être affectée par les variations
des conditions de marché. L’impact net des variations du taux d’intérêt est d’autant plus
fort que son activité de transformation est élevée. Ce risque affecte à la fois les revenus
du Fonds d’épargne et la valeur économique de ses instruments financiers sous-jacents.
Il existe trois grandes méthodes de mesure du risque de taux, distinctes mais complémentaires, selon que l’on s’intéresse à l’incidence de la fluctuation des taux sous l’angle :
1. des masses du bilan (actif et passif) non adossées en taux : on fait alors une mesure
de volume par la détermination des impasses ou gaps de taux. Si cette mesure est
facile à mettre en œuvre et renseigne sur l’assiette du risque (masses du bilan qui
ne sont pas assises à l’actif et au passif sur la même référence de taux), elle est peu
propice à la prise en compte des composantes optionnelles ;
2. de la marge d’intérêt : on calcule alors la sensibilité de la marge d’intérêt ou du
résultat (Earnings-at-risk) entre un scénario central et des scénarios alternatifs.
Elle peut venir en appoint à la mesure du gap de taux afin de faciliter et améliorer
la prise de décision puisqu’elle donne l’incidence adverse des taux sur les résultats
courants ou à court terme, dans une optique de continuité d’activité.
3. de la valeur des actifs : reposant sur le principe d’actualisation, cette mesure permet de déterminer la duration, c’est-à-dire, l’échéance moyenne de récupération
des flux futurs d’un actif et/ou la sensibilité de la valeur actuelle nette (VAN)
des actifs financiers renseignant ainsi sur l’impact négatif de la variation des taux
sur la valeur patrimoniale de l’établissement. Si cette mesure a l’avantage d’intégrer les instruments de marchés optionnels, elle présente l’inconvénient de ne pas
donner d’information sur la constitution de la marge dans le temps. Elle est particulièrement utilisée pour mesurer la sensibilité des fonds propres économiques à
la fluctuation des taux d’intérêt.
40
Ces différentes techniques peuvent être implémentées dans une vision statique (mort
de bilan) ou dynamique (continuité d’activité).
Enfin, les dépôts guichets sont collectés par les banques qui distribuent les livrets
réglementées (Livret A, LDD et LEP) puis ils sont centralisés au Fonds d’Epargne conformément aux décrets de centralisation. Les décrets déterminent le taux de centralisation
moyen des établissements bancaires (taux de centralisation actuellement de l’ordre de
59.5%) et prévoient d’augmenter le taux de centralisation en cas d’insuffisance des dépôts
centralisés par rapport aux différents encours de prêts du Fonds d’Epargne. Le taux de
centralisation peut être augmenté afin de respecter deux ratios :
1)
Dépôts (LA,LDD,LEP) + Fonds Propres
Prêts
2)
Dépôts (LA, LDD, LEP)
Prêts Habitat ville
ě 135%
ě 125%
Cette contrainte réglementaire est là pour assurer que le Fonds d’épargne aura suffisamment de liquidité pour son activité. En revanche, si c’est un confort d’un point de vue
risque de liquidité, cette contrainte est forte d’un point de vue risque de taux et crée un
lien fort entre les prêts et les dépôts.
3.1
Application au calcul des chocs
Les chocs à appliquer sur les courbes des taux sont cruciaux pour analyser la solidité
de la banque face aux crises des taux d’intérêt. Devant la grande sensibilité du bilan du
Fonds d’épargne aux taux d’intérêt, la modélisation des chocs de taux nominaux et inflation est importante. De plus, la mesure du besoin en fonds propre au titre du risque
global de taux d’intérêt retenue nécessite la réalisation de chocs de taux d’intérêt, d’où
l’importance du calcul des chocs.
Ci-après les évolutions des taux nominaux, réels et de l’inflation depuis 2004.
Figure 5 – Evolution des taux nominaux, réels et de l’inflation de 2004 à 2016
41
Les courbes de taux d’intérêt peuvent varier de trois façons différentes.
1) Translation
2) Pentification
3) Courbure
Une analyse en composantes principales (ACP) permet de cerner les trois risques principaux de modification de la courbe des taux (translation, pentification, courbure). Des
calculs menés par l’équipe ALM permettent de considérer que le risque de translation
représente à lui seul la majorité de la variance. Il a été ainsi décidé d’appliquer uniquement le risque de translation dans le cadre du calcul du RGT et de ne pas retenir les
risques de pentification et de courbure. En effectuant l’ACP (voir [LPP02] p. 103-119
pour des détails sur l’application), nous pouvons constater que le risque de translation
est le plus important, en revanche, le risque de pentification est également non négligeable.
Figure 6 – Analyse en composantes principales
Ce résultat permet d’expliquer le choix de simplification d’appliquer uniquement une
translation aux courbes des taux dans le cadre du calcul du RGT.
3.1.1
Modèle standard
Le mandat de la BCE étant la stabilisation de l’inflation, il semble logique de calibrer
les chocs sur la base du régime conservateur donc avec des quantiles sur les taux réels
proches des quantiles sur les taux nominaux.
42
La moyenne des taux inflation entre 2004 et 2016 est de 1, 84%, ce qui donne un choc
normatif parallèle de 1, 84 ˆ 100 ˆ 60% 11 “ 111 bp . A l’aide de la formule de Fisher,
nous calculons la chronique des taux réels entre 2004 et 2016, nous obtenons ainsi un
taux moyen de 0, 55%, ce qui donne un choc normatif parallèle de 0, 55 ˆ 100 ˆ 60% “ 33
bp. Ce niveau ne semble pas cohérent avec la variation historique, en effet les taux réels
sont négatifs depuis quelques années ce qui induit un biais dans la moyenne. De ce fait,
nous préférons considérer la chronique des valeurs absolues des taux réels et ainsi le taux
moyen est de 1, 04%, soit un choc annuel de 63bp.
Ce niveau n’est également pas réaliste dans le cadre de la mesure du risque au bilan car
il nous semble trop faible.
Devant la grande sensibilité aux taux réel du bilan du Fonds d’épargne, un modèle
économétrique interne est donc appliqué.
3.1.2
Modèle économétrique
Le modèle utilisé par le service pour les chocs de taux d’intérêt est basé sur deux séries
de taux. La première série de données est un historique journalier de taux swaps nominaux
zéro-coupon Euribor 10 ans, allant du 03 janvier 2000 au 30 juin 2015. La seconde série
est un historique de taux swaps inflation zéro-coupon de maturité 10 ans entre les dates
du 01 juillet 2004 et du 30 juin 2015.
La construction du processus AR-GARCH nécessite que les données utilisées aient certaines propriétés statistiques. Des analyses sont nécessaires en amont du calcul du RGT
afin d’assurer la qualité statistique des données utilisées. En effet, le respect de propriétés statistiques est nécessaire pour certaines méthodes de calibrage basées sur des séries
chronologiques.
La notion de stationnarité est importante dans la modélisation des séries temporelles
afin de déterminer le processus économétrique à retenir. Dans le cas présent, la non stationnarité des séries inflation et taux nominal invaliderait le recours à un processus ARGARCH. C’est dans ce but que le test de KPSS est effectué et permet d’éliminer tout
doute quant à ce critère.
Par ailleurs, la standardisation des résidus selon une distribution connue permet notamment de leur appliquer des techniques usuelles telles que le calcul de corrélation. Deux
alternatives ont été envisagées pour la construction du modèle : une loi normale ou une
loi de Student.
La loi de Student présente des queues de distribution épaisses ce qui a été un critère déterminant dans sa sélection. Par ailleurs, une loi de Student est paramétrée selon
un nombre de degrés de liberté, caractérisant l’épaisseur de sa queue de distribution, i.e.
plus le degré de liberté est élevé, plus la queue de distribution sera épaisse (voir ci-dessous).
11. cf. norme relative à l’IRRBB d’avril 2016 [BCB16], p.50, tableau des paramètres globaux de référence des chocs de taux d’intérêt
43
Figure 7 – Densité des lois de Student à 5 et 10 degrés de liberté
Initialement, pour tenir compte des valeurs extrêmes observées sur l’historique, il a
été retenu 10 degrés de liberté pour les taux nominaux (TN) et de 5 pour l’inflation (TI).
Figure 8 – Densité d’une loi de student à 5 ddl et des résidus de l’AR sur la série inflation
Par exemple, en étudiant la densité d’une loi de student à 5 ddl et les résidus de l’AR
sur la série inflation, le modèle semble toujours un bon moyen pour fournir des chocs annuels. Des tests statistiques doivent cependant être effectués pour valider ces hypothèses,
c’est que nous montrons ci-après.
La projection des 2 séries de taux se fait conjointement sur 100 000 simulations. La simulation d’un couple de variables aléatoires de Student nécessite d’avoir recours à une
transformée de Cholesky et au coefficient de corrélation des résidus des processus GARCH.
44
Les éléments relatifs à l’hétéroscédasticité, correspondant à l’existence d’une volatilité
non constante de la variance de la série observée, sont analysés à l’aide du test de Engle.
La présence ou l’absence d’autocorrélation des données influence fortement la modélisation utilisée pour construire les courbes de taux stressés. En l’absence d’autocorrélation,
le processus AR ne peut pas être employé. A l’aide du test de Ljung-Box nous confirmons
la présence d’autocorrélation sur la série de données.
L’adéquation entre la distribution des résidus du modèle et la loi supposée en amont est
évalué avec le test de Kolmogorov-Smirnov.
Enfin, un test de Student est effectué pour vérifier la moyenne nulle des résidus.
Les tests donnent les résultats suivant :
Série inflation
Tests statistiques
Risque d’erreur
Résultat
Conclusion
KPSS
5%
Non-Rejet H0
Série stationnaire
Ljung-Box
5%
Rejet H0
Série autocorrélée
Engle
5%
Rejet H0
Série hétéroscédastique
Kolmodorov-Smirnov
5%
Rejet H0
Série non ajustée à
la loi de student (ddl5)
Student
5%
Non-Rejet H0
Série de moyenne nulle
Table 8 – Résultats des tests statistiques / Inflation
Les résultats de ces différents tests permettent de valider les hypothèses retenues pour
l’estimation des chocs de taux inflation.
Toutefois, le test de Kolmogorov-Smirnov, invalide l’utilisation d’une loi de Student de
5 degrés de liberté. En modifiant à 4 degrés de liberté, nous obtenons une p-Valeur de
8%, validant ainsi le test. Il est alors suggéré de modifier les degrés de liberté de la loi de
Student à 4 pour la série inflation afin d’utiliser ce modèle dans le respect des tests.
45
Série des taux nominaux
Tests statistiques
Risque d’erreur
p-Valeur
Conclusion
KPSS
5%
Non-Rejet H0
Série stationnaire
Ljung-Box
5%
Rejet H0
Série autocorrélée
Engle
5%
Rejet H0
Série hétéroscédastique
Kolmodorov-Smirnov
5%
Non-Rejet H0
Série ajustée à la
loi de student (ddl10)
Student
5%
Non-Rejet H0
Série de moyenne nulle
Table 9 – Résultats des tests statistiques / taux nominaux
Les résultats de ces tests permettent également de valider les hypothèses retenues pour
l’estimation des chocs de taux nominaux.
La validation du modèle AR(1)-GARCH(1,1) avec des résidus standardisés corrélés,
loi de Student à 5 degrés de liberté pour les chocs inflation et loi de Student à 10 degrés
de liberté pour les chocs nominaux, a été faite il y a quelques années maintenant. Cependant, ce modèle engendre fréquemment des chocs de `300bp ce qui est exagéré dans un
contexte de taux d’intérêt durablement bas. Afin de corriger cet effet, des études approfondies sur la modélisation des chocs de taux à l’aide des séries temporelles, prenant en
compte l’allongement de l’historique disponible, ont été menées. Elles ont permis de balayer un très grand nombre de modèles de la famille ARMA-GARCH avec différentes lois
pour les résidus. Ce travail complémentaire suggère l’utilisation d’un modèle ARMA(0,0)EGARCH(1,2) pour les chocs, avec des résidus standardisés de loi de Student à 9 degrés
de liberté pour les taux nominaux et 5 degrés de liberté pour l’inflation.
Ce changement n’est toujours pas effectif à cette date, c’est pourquoi dans la suite,
lorsque nous utiliserons le modèle de chocs historique pour le calcul du risque global
de taux, nous utiliserons comme référence le modèle en production à savoir AR(1)GARCH(1,1) avec des lois de student sur les résidus de 10 degrés de liberté pour les
taux nominaux et de 5 pour l’inflation.
Les chocs du modèle série temporelle sont plus conservateurs que ceux préconisés par
le Comité de Bâle.
D’ailleurs, si l’on calcule les quantiles à 99% de variations mensuelles (ce qui permet
d’avoir plus de données) sur chacune des grandeurs individuelles, il en ressort en effet que
l’amplitude des chocs extrêmes des taux réels est du même ordre de grandeur que celle
des chocs extrêmes des taux nominaux. De plus, le risque se réalise historiquement en cas
46
d’une baisse des taux nominaux concomitante avec une hausse de l’inflation.
Quantile 99% annuel
A la hausse
A la baisse
Inflation
87
-96
Taux nominaux
129
-135
Taux réels
108
-144
Table 10 – Quantile 99% des chocs annuel historiques
Enfin, le résultat de l’ACP faite en introduction, conforte le choix d’appliquer uniquement une translation aux courbes des taux dans le cadre du calcul du RGT. Cependant,
le comité de bâle préconise de prendre en compte les risques liés à la pentification et à
la courbure comme facteur de risque. Une mise à jour régulière de l’ACP permettrait de
justifier cette exclusion.
3.1.3
Conclusion
La réglementation ne fait pas référence aux chocs à appliquer sur la courbe d’inflation,
nous avons donc repris la méthode expliquée dans la norme relative à l’IRRBB. Cependant, cette méthode nous donne des chocs sur les taux réels de 33 bp si l’on considère des
chocs relatifs et 63 bp si l’on considère des chocs absolus. Les niveaux ne nous semblent
pas réalistes dans le cadre de la mesure du risque global de taux et ils nous semblent trop
faibles devant l’importance du taux réel sur le bilan du Fonds d’épargne.
De ce fait, au Fonds d’épargne, il semble plus approprié d’utiliser un modèle interne
pour réaliser les chocs sur les courbes de taux. C’est pourquoi le modèle AR-GARCH a
été utilisé.
Cependant, compte tenu de l’environnement actuel des taux d’intérêt durablement très
bas, le modèle fourni des chocs de 300bp à une fréquence non négligeable. Une étude
menée l’année précédente à montrer qu’il était possible de remplacer ce modèle AR(1)GARCH(1,1) par un modèle ARMA(1)-EGARCH(1,2). Ce dernier, n’étant toujours pas
validé et voulant être au plus proche de la réalité opérationnelle, nous ne l’avons pas
retenu pour nos analyses sur le risque global de taux.
3.2
Application du calcul de l’EVE
L’adéquation des fonds propres au regard de l’IRRBB est examiné en lien avec les
risques pesant sur la valeur économique du Fonds d’épargne, car les risques sont inhérents
47
aux actifs, passifs et éléments de hors-bilan de l’établissement. De par la structure du
Fonds d’épargne, le risque de variation de taux d’intérêt a un impact significatif sur sa
valeur économique, c’est pourquoi l’évaluation du besoin en fonds propres au regard de
l’IRRBB est prise très au sérieuse et mène à une modélisation interne.
3.2.1
Méthode GAPS
La méthode des gaps a été l’une des premières méthodes développées pour mesurer
l’exposition au risque de taux et continue à être largement utilisée par les banques françaises.
Le Fonds d’épargne a mis en place, dans le cadre de son modèle prudentiel, un dispositif interne d’évaluation du besoin en fonds propres au titre du risque global de taux ;
c’est la méthode des « gaps de taux d’intérêt ».
Le RGT constitue le premier risque auquel est exposé le Fonds d’épargne avec plus de
30% du besoin en fonds propre. Cette méthodologie a été adaptée par l’équipe ALM afin
de tenir compte du risque lié à l’indexation de son passif à l’inflation. La modélisation
retenue repose sur deux échéanciers d’impasses, l’un pour le taux nominal, l’autre pour
l’inflation et l’application de 100 000 couples de chocs de taux nominaux et réels à ces
amortissements.
Le fond d’épargne retient deux axes de risques de taux : le risque à taux fixe et le risque
à taux réel (équivalent au risque inflation). Le taux réel est préféré au taux d’inflation
anticipée pour des raisons d’ordre technique. En effet, la couverture du risque inflation du
bilan du fonds d’épargne est réalisée à l’aide d’achats d’OATi, cotées en taux réel, plutôt
que par des swaps d’inflation, cotés en inflation anticipée. De plus, l’historique de données
est plus profond sur les taux réels. En tout état de cause, taux réel et taux d’inflation
anticipée sont liés par la formule de Fisher :
1 ` T auxinf lation “
1 ` T auxnominal
1 ` T auxréel
Les opérations de bilan et de hors bilan du Fonds d’épargne sont réparties sur deux
échéanciers en fonction de leur durée résiduelle et de leur type d’indexation :
- Gap taux fixe : comprend les fonds propres simulés au passif et toutes les transactions à taux fixe ainsi que l’ensemble de la partie prédéterminée des contrats à
taux révisables ;
- Gap taux inflation : il est constitué des opérations indexées sur l’inflation. Elle
regroupe notamment tous les dépôts, les prêts indexés inflation et les actifs financiers indexés inflation, TLA, LEP et LDD. Les transactions regroupent l’ensemble
des transactions concernées par le gap de taux par centre de profits et par catégorie
de produits.
48
Les produits indexés sur le taux du livret A sont, par simplification, projetés sur 50%
sur le taux variable et pour 50% sur la courbe d’inflation. Il est à noter que le gap taux
variable ne rentre pas dans le périmètre d’analyse du risque global de taux. En effet, les
gaps de taux variable sont négligeables, l’impact d’un mouvement des taux nominaux sur
la valeur des contrats à taux variables est nul.
La construction des scénarios d’écoulement est utilisée d’une part pour l’estimation
du risque global de taux et d’autre part pour l’évaluation du risque de liquidité.
Les conventions d’écoulement du passif sont les suivantes :
Dépôts LA/LDD : de 0 à 5 ans, le taux de décollecte est calculé à partir des taux
historiques sur les maturités 1 mois, 3 mois, 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans et 5 ans
(quantile 99%). Entre 5 et 40 ans, une décollecte exponentielle, de la forme e´k.t,
approximant l’amortissement de l’actif. Au-delà de 40 ans il y a extinction linéaire
sur 1 an pour forcer le stock à 0.
Dépôts LEP : de 0 à 5 ans, le taux de décollecte du LEP est le même que pour les
dépôts LA/LDD, puis extinction linéaire.
Fonds propres : modèle d’extinction dont l’écoulement suit celui du total des actifs
tout en maintenant une proportionnalité par rapport aux actifs dans le bilan.
A l’actif, les profils d’amortissement des prêts du Fonds d’épargne sont sensibles à
plusieurs paramètres. En effet les modalités de révision des prêts indexés TLA impactent
le profil d’amortissement des prêts (les modalités de résivabilités des prêts sont rappelés
en Annexe A.2).
Le Fonds d’épargne octroie trois grandes typologies de prêts dont deux sont caractérisées
par une révision du profil d’amortissement en fonction du niveau des taux (prêts dit à
« révisabilité double » et prêts à « révisabilité double limitée »).
Les profils d’amortissement des prêts sont communiqués par le service spécifique de la
direction des prêts du fonds d’épargne. Cela permet ensuite de dissocier la part d’amortissement du capital de la part intérêt et de projeter, sur les différents gaps, ces deux
métriques. Seul l’amortissement rentre en ligne de compte pour le calcul du RGT. Par
ailleurs, dans le cadre de la quinquennale, des prévisions de TLA sont appliquées sur les
5 dates de calcul ce qui nécessite de recalculer les amortissements à partir de courbes
de taux futures. Nous devons par conséquent s’assurer que les échéanciers des prêts sont
cohérents avec le mode de révision et la prévision TLA effectués dans les gaps.
De plus, on fait l’hypothèse de versement des prêts sur une période de 5 ans. Cette
hypothèse de versement des prêts se retrouve également dans les gaps de liquidités statiques. Cette hypothèse est justifiée par la mission sociale qu’a le fonds d’épargne.
49
Figure 9 – Profil d’amortissement des prêts du FE au 31 décembre 2016 avec hypothèse
de versements de prêts
Cette dynamique se retrouve en particulier dans le profil d’amortissement des prêts
indexés TLA et explique la croissance du volume de prêts sur les 5 premières années (cf.
graphique ci-dessous). Après 5 ans les prêts sont amortis progressivement selon le capital
restant dû mais sans prise en compte de la modulation des échéanciers en fonction du
niveau de taux pour les prêts à révisabilité double.
Les encours des titres obligataires sont mesurés en valeur de bilan et intègrent les
surcotes/décotes. Cependant, la prise en compte de la valeur de marché des titres ne peut
pas être appliquée dans la méthode des gaps mais sera intégrée dans la méthode par actualisation. En effet, les titres ne sont pas actualisés individuellement comme en méthode
par actualisation, mais sont multipliés par une sensibilité.
Figure 10 – Gaps inflation au 31 décembre 2016
Nous remarquons bien ici l’hypothèse de production pendant les 5 premières années.
50
Les instruments indéxés inflations s’écoulent de façon similaire et à la même vitesse au
passif et à l’actif. En revanche, on note tout de même un volume des encours plus important au passif qu’à l’actif, ceci est une conséquence du volume important des dépôts
Livret A au passif et le manque d’actifs inflations sur le marché.
Figure 11 – Gaps taux fixe au 31 décembre 2016
Nous remarquons ici un écoulement plus rapide des actifs à taux fixe que le passif
indexé taux fixe. Ceci est la conséquence, d’une part à l’actif, de la difficulté de réaliser
des prêts à taux fixe, des taux négatifs sur les OAT qui font baisser les encours des actifs
à taux fixe, d’autre part au passif, de l’importance des fonds propres qui s’écoulent en
maintenant une proportion de tout les actifs du bilan, et de l’écoulement des emprunts à
taux fixe.
Une fois les amortissements des gaps de taux calculé, nous réalisons des sensibilités
fondées sur les prix d’obligations assimilables du trésor français.
La sensibilité est une mesure de la variation économique d’un instrument financier face à
une faible modification du niveau des taux (formulée par Frédérick Macaulay en 1938).
Nous réalisons deux types de calcul de sensibilité pour quantifier le RGT :
- un calcul de sensibilité des taux fixes par rapport aux taux nominaux qui s’appuie
sur les prix des OAT observés sur le marché de la dette d’état ;
- un calcul de sensibilité de l’inflation par rapport aux taux réels qui fait apparaître
l’effet d’une variation de taux réels sur les gaps de taux inflation.
La sensibilité ayant des propriétés additives, nous calculons la variation de valeur du
bilan en pondérant chaque maturité d’amortissement des gaps par des sensibilités unitaires. Le calcul des sensibilités est cohérent avec l’hypothèse de gestion du risque global
de taux : tous les taux sont supposés varier du même montant c’est-à-dire que la courbe
des taux subit une simple translation.
51
La méthode d’évaluation des sensibilités est basée sur différents niveaux de chocs de
taux. Elle mesure les sensibilités partielles selon différents scénarios de taux qui permettent
de quantifier l’impact de plusieurs niveaux de déformations possibles des courbes de taux
nominale et réelle. Les 2 chocs de taux correspondant au quantile à 99% sont retenus. Il
est à noter que la méthode du comité de Bâle ne précise pas une méthode spécifique pour
les taux réels ou l’inflation.
Nous calculons les sensibilités unitaires en appliquant un couple de chocs de taux correspondant aux scénarios 99%. Les chocs adverses pour ce scénario sont de ´117bp pour les
taux nominaux, ´202bp pour les taux réels et donc 86bp pour l’inflation.
Voici la répartition des chocs utilisés :
Figure 12 – Chocs de taux appliqués au 31/12/2016
Ensuite, nous calculons les sensibilités des taux nominaux et réels comme présenté
précédemment (cf. 2.2.1). D’un point de vue opérationnel, la sensibilité d’un titre de
maturité n à un choc de m points de base peut se calculer de la façon suivante :
ř
Cn Pkm ` Pnm
Sn pmq “ řk
´1
0
0
k C n Pk ` Pk
où Cn est le taux zéro-coupon d’un titre de maturité n et Pkm est le prix zéro-coupon de
maturité k après un choc parallèle de m bp sur la courbe des taux.
52
Figure 13 – Sensibilité calculée au 31/12/2016 (25bp)
Nous procédons à une approche de type VaR par scénarios de chocs conjoints : déduction de la perte de valeur (BFP au titre du RGT) pour un seuil de 99% ; soit le 1 000ème
scénario le plus défavorable.
Figure 14 – Distribution de la valeur économique
Attention toutefois, la sensibilité calculée ne donne des résultats satisfaisants que pour
des faibles variations de taux. Le résultat des sensibilités provient d’un développement de
Taylor à l’ordre 1. Une telle approximation donne des résultats d’autant moins précis que
la variation considérée est forte :
- les effets d’une baisse des taux sont sous estimés ;
- les impacts d’une hausse des taux sont surestimés
Afin d’obtenir une précision accrue, on pourrait inclure un ajustement de convexité
c’est-à-dire une mesure de variation de valeur à l’ordre 2. Toutefois une utilisation de la
53
convexité conduirait à modifier la formule du RGT. En effet, la variation de valeur du
bilan dVt (en date t ě 0) suite à une variation d’un facteur de risque (taux nominaux
ou taux réels) peut s’exprimer par un développement de Taylor à l’ordre 2 comme une
fonction des taux zéro-coupon Rpt, θi q (représentant le facteur de risque) :
30
1 ÿ
B 2 Vt
BVt
dRpt, θi q `
dRpt, θi qdRpt, θj q
dVt »
BRpt, θi q
2 i,j“1 BRpt, θi qBRpt, θj q
i“1
30
ÿ
L’horizon d’analyse est composée de 30 maturités différentes. (Il existe donc 435 possibilités de dérivées partielles secondes différentes possibles BRpt, θi qBRpt, θj q). Cela peut
constituer une surcharge d’information.
Une première approche afin de simplifier la mesure de convexité serait d’ignorer les dérivées croisées et de se focaliser que les dérivées secondes telle que i “ j.
Une seconde approche implique de mesurer une convexité unique fondée sur la dérivée
seconde associée à un mouvement parallèle de la gamme des taux.
Une dernière approche est de calculer la convexité par rapport au premier facteur obtenu
par l’analyse en composantes principales.
En supposant que les facteurs de risques (courbes de taux nominaux et réels) subissent
une translation (variation parallèle et identique sur toutes les maturités), il est possible
de simplifier la variation de valeur du bilan selon la première approche :
dVt »
30
1 ÿ
B 2 Vt
BVt
dRptq `
d2 Rptq
2 Rpt, θ q
BRpt,
θ
q
2
B
i
i
i,j“1
i“1
30
ÿ
La première partie de cette relation permet d’établir la sensibilité. La convexité est
mesurée à partir du second terme (dérivée seconde partielle) de l’équation.
Un justement de la formule du calcul RGT serait nécessaire. Le calcul du RGT se fait
en mesurant la variation de valeur du bilan à partir de la formule suivante :
∆Vi “
M
ÿ
om
om
AmGapN
.sensiN
.∆riN om `
t
t
t“1
M
ÿ
AmGapReel
.sensiReel
.∆riReel
t
t
t“1
Le passage à une approximation d’ordre 2 selon la première approche, nécessite un
ajustement de chaque membre de la formule du RGT :
Ajust “ `0, 5 ˆ AmGap2t .sensit .∆r2
Ceci augmente de 77% le niveau de fonds propres ; cet impact est important et ouvre
une piste intéressante d’évolution de la méthode possible.
Afin d’évaluer le comportement du niveau de fonds propres au titre du RGT en méthode GAPS, il est intéressant d’étudier les sensibilités du RGT aux taux d’intérêt (nominaux et réel).
54
Figure 15 – Sensibilité du RGT
Nous observons clairement la sensibilité à la baisse des taux réels, ce qui est conforme
avec nos intuitions.
Enfin, aucun texte règlementaire ne traite le cas de dépôts sans échéance collectés par
des banques tierces puis partiellement centralisés dans la banque qui calcule son risque
de taux d’intérêt.
Le cas du Fonds d’Epargne est donc unique, d’autant plus unique que les règles de centralisation sont définies par décrets qui automatisent la hausse du taux de centralisation
selon le respect d’indicateurs de liquidité.
S’il est théoriquement possible d’écouler les guichets sous contrainte des décrets, ce qui
revient simplement à ralentir l’écoulement tant que le taux de centralisation augmente
sans atteindre 100%, l’écoulement des guichets présente de nombreux inconvénients :
- Cela ignore que les décrets, la formule du Livret A et la latitude dont disposent
les pouvoirs publics de déroger à la formule sont précisément là pour gérer le
risque de collecte guichet en regard de la mission de service public confiée au fonds
d’Epargne. Ecouler le guichet revient à ignorer que la préoccupation première de
la puissance publique est de permettre la poursuite de la mission de service public
du Fonds d’Epargne. La capacité de fixer la rémunération l’épargne réglementée
au niveau optimal est un argument fort en faveur de la capacité dans la durée à
drainer l’épargne guichet nécessaire, d’autant que plus de 40, 5% de l’épargne guichet est aujourd’hui automatiquement transférable des banques collectrices vers le
Fonds d’Epargne en cas de besoin via l’application automatique des décrets.
55
- A moins de choisir un écoulement très long des dépôts guichet avec une loi par
définition arbitraire ou instable, écouler les dépôts guichet créerait l’illusion que
le risque de taux provient d’un excédent d’actifs indexés Livret A alors que les
décrets organisent précisément le contraire : la gestion du risque de liquidité du
Fonds d’Epargne lui impose de disposer d’un matelas de liquidités structurel qui
a son tour est susceptible de créer un risque de taux. L’écoulement des dépôts
centralisés fait a contrario l’hypothèse que le risque de liquidité ne se réalisera pas
et que les dépôts guichets seront suffisants pour « a minima » permettre au Fonds
d’Epargne de remplir sa mission de service public.
En changeant les hypothèses, nous pouvons constater un écart, parfois non négligeable
du niveau de RGT.
Hypothèses
Impact
Sans Fonds Propres
´66%
Indexation TLA 100% Infl.
`300%
Vitesse d’écoulement ´10%
`80%
Vitesse d’écoulement `10%
´70%
Table 11 – Sensibilité des hypothèses d’écoulements
Nous pouvons constater que les hypothèses d’écoulement impactent sensiblement le
niveau estimé du RGT. Toutefois, les hypothèses actuelles font sens au regard :
- de l’horizon de long terme du Fonds d’épargne ;
- de la règle de centralisation des dépôts ;
- de l’utilisation qui est faite des dépôts.
3.2.2
Méthode par actualisation
La valorisation du bilan présentée ici consiste à calculer explicitement la valeur actuelle nette du bilan à une date d’arrêté donnée par l’actualisation des flux futurs sur une
courbe de taux.
Projection des flux sur scénario forward
Pour les instruments à taux fixe, l’échéancier des flux est déterminé. En revanche, ce
n’est pas le cas des instruments de taux variables, les flux futurs dépendent du scénario
d’évolution de l’index retenu.
56
La projection des flux liés aux instruments de taux d’index variable est faite sur le
scénario forward. Plusieurs index forward sont ainsi reconstitués :
- l’évolution forward du taux Euribor 3M est déduite de la courbe de taux swap
Euribor zéro-coupon ;
- l’évolution « forward » de l’Eonia est déduite des taux Euribor 3M forward par
application d’un spread variable ;
- le taux d’inflation France forward est issu de la courbe zéro-coupon des taux réels
d’Etat et de la courbe d’Etat nominal.
Conventions ALM
Les méthodes de valorisation et les hypothèses faites pour chaque poste du bilan sont
les suivantes :
Au passif
Dépôts : fonte des dépôts LEP calibrée sur l’historique pour les cinq premières années
puis linéaire en dix années (les ICNE ne sont pas capitalisés). Fonte des dépôts
LA et LDD calibrée sur l’historique pour les cinq premières années, suivie d’une
fonte exponentielle (de la forme f ptq “ expp´k.tq )au même rythme que les actifs
du Fonds d’épargne. L’hypothèse d’écoulement des dépôts à vue en cinq années,
correspondant à la pratique bancaire usuelle, n’est pas compatible avec les produits
d’épargne centralisés à la DFE.
Pour les instruments à taux indexés sur le taux du livret A, la projection des
flux tient compte de la formule d’indexation du taux du Livret A. La formule
d’indexation est appliquée aux taux implicites aux courbes des taux nominales et
réelles (Euribor 3M forward, Eonia forward et inflation forward). La composante
Eonia est obtenue en appliquant un spread variable dans le temps sur l’Euribor 3M.
Ces flux sont ensuite actualisés sur la courbe swap Euribor zéro-coupon, c’est-àdire à partir des facteurs d’escompte déduits des taux zéro-coupon reconstruits à
partir de la courbe Swap Euribor en date de valorisation.
Emprunts : les échéanciers sont connus. Les cash flows sont actualisés sur la courbe
Swap Euribor zéro-coupon en raison de la nature bancaire de la contrepartie.
Provisions prêts douteux : la valeur de marché de ce poste est considérée comme égale
à la valeur bilan en date d’arrêté. Ces provisions sont supposées couvrir un risque
avéré (les prêts douteux seront tous des impayés), une logique de prudence étant
alors adoptée. L’excédent économique de ce poste est donc de zéro.
Fonds propres : la valeur de marché des fonds propres est considérée comme nulle. En
effet, sur ce poste, aucune hypothèse d’évolution, ni de rémunération n’est faite.
Ainsi l’excédent économique des fonds propres correspond à la valeur bilan de ceuxci en date d’arrêté.
57
A l’actif
Prêts à taux fixe et prêts indexés : quelle que soit la nature de leur indexation, la valeur actuelle nette des prêts s’obtient en actualisant leurs flux futurs, obtenus à
partir des scénarii de taux forward et des caractéristiques financières des prêts, à
la date de valorisation.
Ils sont valorisés sur la courbe Swap Euribor zéro-coupon, augmentée d’un spread
de crédit représentatif d’une prime de risque structurelle.
Versements de prêts futurs : la valorisation du bilan tient compte d’une production
nouvelle de prêts sur une durée de cinq années.
Cette hypothèse correspond à l’inertie de la production, régie par une mission
d’intérêt général de financement du logement social, et tient compte de l’obligation qu’à la Caisse des dépôts de satisfaire à ses engagements de prêts en hors-bilan
( 30 Mdse au 21/12/2016). Par ailleurs, certains segments d’intervention du Fonds
d’épargne obéissent à des objectifs définis sous forme d’enveloppes de prêts pluriannuelles, dont l’horizon est de l’ordre de cinq années. Même dans une situation
de forte décollecte, la production de prêts ne pourrait être interrompue rapidement.
Cette hypothèse couvre donc non seulement l’intégralité des engagements pris en
date d’arrêté, mais tient compte en outre d’une production future de prêts.
La totalité de la production nouvelle de prêts sur les cinq années suivant la date
d’arrêté fait l’objet d’une valorisation, dans les mêmes conditions que les prêts en
stock. La courbe d’actualisation des cash flows futurs est également la courbe Swap
Euribor zéro-coupon augmentée d’un spread de crédit.
Subventions aux prêts : les subventions aux prêts sont également considérées ayant
une valeur de marché nulle ; en effet la valeur des bonifications dont bénéficie le
Fonds d’épargne est prise en compte à travers sa valeur bilan inscrite en comptabilité en date d’arrêté. La richesse latente correspondante est la valeur absolue de
cette valeur bilan.
Surcotes/décotes prêts et emprunts : la valeur marché des surcotes/décotes sur prêts
et emprunts est considérée comme nulle en date d’arrêté ; l’excédent économique
de ce poste est égal à la valeur absolue de la valeur bilan à cette date.
Titres de taux : les niveaux de valorisation présentés pour les titres de taux correspondent aux valorisations issues d’un progiciel qui extrait des données Bloomberg.
Les valorisations calculées par l’outils ALM sont utilisées pour en évaluer les sensibilités. En effet, l’outil ALM n’est pas alimenté à ce stade par un nombre suffisant
de courbes d’actualisation et ne permet pas non plus de recalculer des spreads
implicites à partir des cours (la valeur de marché ainsi calculée est donc insuffisamment précise). Le calcul des sensibilités sur la base d’un nombre réduit de
courbes d’actualisation est une approximation satisfaisante au premier ordre, dans
la mesure où les variations de taux considérées sont des translations sans modifi58
cations des spreads de crédit.
Actions : la valeur de marché des actions en date d’arrêté correspond à la valeur de
marché « mark-to-market » (valeur de bilan brute complétée des plus ou moins values latentes à cette même date). La valeur de bilan inscrite en comptabilité et dans
le tableau de valorisation sont déduites d’une estimation de la valeur fondamentale
des actions, en cohérence avec l’intention de gestion de moyen terme du portefeuille.
Liquidités : ce poste correspond au solde de liquidité du bilan. L’hypothèse faite est
que la valeur de marché est égale à la valeur bilan.
La courbe des taux Euribor (cf. Annexe D des courbes de taux utilisées au 31/12/2016)
nous permet d’établir le scénario forward du marché et ainsi obtenir la courbe des taux
forwards associées (cf. Annexe C.2 pour calcul des taux forward).
A cela s’ajoute une gestion des taux négatifs avec les hypothèses suivantes :
- les taux nominaux ne peuvent pas descendre en dessous d’un floor de ´0, 6%.
- l’inflation ne peut pas descendre en dessous de ´10%.
Cela nous permet de projeter le taux du livret A futur dans le scénario forward (cf.
3.2.1 fig.17).
Ensuite, nous valorisons chaque poste du bilan et appliquons les chocs issus du modèle
de série temporelle vu précédemment. Ceci, nous permet finalement de calculer la valeur
des fonds propres économiques comme étant la différence entre la valeur économique de
l’actif et celle du passif. Nous obtenons ainsi la distribution de la valeur économique
suivante :
Figure 16 – Distribution de la valeur économique
Avec cette méthode de calcul de l’EVE nous évaluons à l’aide d’une VaR à 99%, ob59
tenue avec un choc de ´170bp sur les taux nominaux ´160bp sur les taux réels et donc
de ´10bp sur l’inflation.
Les sensibilités de cette méthode sont similaires à la méthode GAP, de plus elle présente l’avantage d’être plus rigoureuse sur certaines hypothèses. En particulier, l’hypothèse
du choix d’indexation des produits financiers indexés sur le TLA est supprimée.
En revanche, cette méthode est plus longue à paramétrer et les calculs sont d’autant
plus longs à être effectués que le bilan du fonds d’épargne est complexe. Cette approche
constitue une évolution intéressante de la méthode GAP et va dans le sens de la nouvelle
réglementation sur l’IRRBB.
3.2.3
Conclusion
Dans un premier temps, les gaps mesurés par le Fonds d’épargne ne permettent pas de
prendre en compte le risque de base et de repricing. En effet, l’hypothèse de mort de bilan
suppose que les comptes sont pris à un instant donné (spot ou forward) sans simuler de
nouvelles opérations (c’est-à-dire sans tenir compte de l’activité à venir à partir de cette
date). Le pas de temps annuel (30 intervalles réguliers de pas annuels) ne permet pas de
prendre les décalages dans la fixation des taux entre certains postes du bilan (date d’effet
entre TLA et prêts, ...) et des différences d’indexation (spread 6 mois / 3 mois) pour
les postes du bilan à taux variable. De plus, un seul facteur de risque est modélisé pour
l’inflation. Les opérations indexées sur l’inflation européenne sont projetées sur l’inflation
anticipée française. Les anticipations d’inflation implicites à la cotation des produits indexés sur l’inflation peuvent être différentes des anticipations réelles des acteurs en raison
d’inefficiences du marché.
Ensuite, les gaps prennent en compte les remboursements anticipés des prêts mais
n’intègrent pas le hors bilan car ils n’intègrent pas une quote-part du hors bilan (credit
conversion factor) dans ses échéanciers de prêts. Le risque de remboursement anticipé
survient lorsque le taux de replacement est inférieur au taux de prêt initial. La plupart
des prêts étant indexée sur le TLA, ce risque dépend du niveau relatif de l’inflation et
des taux, ainsi que des marges proposées par les autres organismes prêteurs. On applique
alors sur l’échéancier du portefeuille un taux de remboursement anticipés.
De plus, le calcul de la sensibilité aux taux réels repose sur les taux swap inflation et
non sur les OAT indexées sur l’inflation (OATi) en raison de l’étroitesse du marché des
OATi ne permettant pas d’avoir une courbe avec suffisamment de points de maturité ni
suffisamment longue. En revanche la méthode présente l’avantage de prendre en compte
les variations (à la hausse et à la baisse) des taux d’intérêt et d’être relativement simple
à implémenter.
Le besoin en fonds propre est donné à l’aide d’une approche de type VaR à 99%.
En utilisant une mesure de risque cohérente (cf. B.1) de type C-VaR (cf. B.3), le RGT
augmente de 31% en méthode GAPS et de 10% en méthode par actualisation. Compte
tenu de l’importance du risque que représente le RGT, il semble important d’étudier des
mesures de risques plus prudente.
60
En outre, un écart du RGT est constaté, selon qu’on utilise la méthode GAPS ou
par actualisation. Ce phénomène est du à la différence méthodologique qu’il existe entre
ces deux méthodes, la méthode GAPS est considérée comme une approximation de la
méthode par actualisation comme expliqué en introduction de l’application au calcul de
l’EVE. Cet écart méthodologique induit, à ce jour, une hausse du calcul du RGT 21% en
méthode par actualisation.
Enfin, les conventions d’écoulement des dépôts sont complexes à modéliser car il s’agit
de refléter toute la spécificité du Fonds d’Epargne et de l’organisation de l’épargne règlementée en France.
Le décret de 125% couvre uniquement le risque de liquidité attaché aux prêts en faveur
du logement social et de la politique de la ville mais fonctionne quel que soit le taux de
centralisation atteint entre 59, 5% (taux actuel) et 100%.
Le décret de 135% couvre tous les types de prêts mais a une portée limitée puisqu’il n’est
applicable que lorsque le taux de centralisation est compris entre 59, 5% et 65%. Appliquer
ce décret pour l’ensemble de l’écoulement reviendrait donc à renforcer drastiquement les
conséquences du choix de ne pas écouler l’épargne guichet puisque le potentiel d’augmentation du taux de centralisation est très limité et égal aujourd’hui à 5, 5% au lieu de 40, 5%.
Nous mesurons bien ici l’importance des hypothèses d’écoulement, d’affectation des
produits indexés et de mesure de risque. Ces indicateurs évaluent, avec humilité, le besoin
en fonds propre afin de faire face à une perte de valeur économique pour un choc de taux
d’intérêt.
3.3
Application du calcul de la MNI
L’analyse de la MNI explique, en quelque sorte, les variations de valorisation, notamment grâce à :
‚ Produit et charge d’intérêt : Actif / Passif / Hors Bilan
‚ Détails par postes comptables : Titres / Dépôts / Prêts / Liquidité
‚ Détails des Prêts : Production / Stock
‚ L’effet retard du au fixing des prêts
Avant toute chose, pour bien comprendre les trajectoires présentées dans l’application
du calcul de la MNI, un effet propre d’importance non négligeable au Fonds d’épargne à
prendre en compte est celui de « l’effet retard ».
L’effet retard correspond au décalage de l’indexation des prêts indexés livret A (révision
annuelle avec TLA pré-déterminé) par rapport au taux de rémunération des dépôts (révision semestrielle). Les prêts indexés TLA sont censés couvrir la charge d’intérêt sur les
dépôts, or, ce n’est pas le cas. En effet, les prêts TLA à reset annuel ont un taux prédéterminé ce qui signifie que les intérêt que l’on va toucher l’année n seront fixés au TLA
de l’année n-1.
A l’heure actuelle 80% des prêts TLA sont annuels et 20% trimestriels.
61
. Si le TLA monte, l’effet retard fait baisser la marge de la DFE.
. Si le TLA baisse, l’effet retard augmente la marge de la DFE.
Cet effet n’est pas négligeable, comme l’atteste le graphique ci-dessous :
Figure 17 – Effet retard sur la trajectoire de la MNI
Ainsi, une mesure pour éviter un déficit de la MNI est le refixing des prêts à une
fréquence trimestrielle et non annuelle afin d’être moins exposé, au sens de la MNI, aux
variations du TLA.
L’approche par bilan en extinction étant jugé peu représentative du risque de taux
d’intérêt sur la marge ne sera pas étudié. L’approche en extinction est toutefois étudiée
dans le cadre du calcul de l’EVE. Pour des raisons opérationnelles, la méthode basée sur
un bilan constant a également été écartée dans ce mémoire. En effet, le paramétrage actuel
de l’outil utilisé au sein de l’ALM de la DFE est programmé pour générer des projections
du bilan de manière dynamique selon chaque scénario de taux d’intérêt. Ainsi, nous évaluerons le risque de taux d’intérêt sur la MNI selon une approche en bilan dynamique.
3.3.1
Calcul de la MNI déterministe
Construction du scénario économique
La construction du scénario économique central d’évolution des taux d’intérêt et de
l’inflation de la DFE est établie à partir de la date d’arrêté comptable sur laquelle s’appuie
le reporting officiel du Fonds d’Epargne. Ce scénario économique va refléter les prévisions
62
financières de la Direction du Fonds d’Epargne pour différents horizons et permet de produire différents indicateurs ALM.
Scénario d’inflation
Les prévisions d’inflation mensuelles sur un horizon à deux ans sont élaborées par
une équipe d’économistes. L’équipe ALM déduit de ces prévisions et de l’inflation en glissement annuel cible à long terme, un scénario d’inflation glissement annuel en pas mensuel.
Scénario d’évolution des taux d’intérêt
La prévision de l’évolution des taux nominaux de maturités 2, 5 et 10ans, de l’Eonia et de l’Euribor3M est communiquée à l’équipe ALM par l’économiste de la DFE.
Les anticipations de taux long terme, synonyme d’un scénario structurel, sont élaborées
conjointement par trois départements de la Caisse des dépôts. Les anticipations de taux
aux horizons moyens et courts termes sont élaborées avec les gérants de taux de la DFE.
Au delà d’un horizon donné les taux sont considérés stables pour chaque maturité.
Afin de retrouver le chemin du taux du livret A pour un horizon long terme (environ
30 années), l’équipe ALM réalise une interpolation linéaire et mensuelle sur les taux Eonia
et Euribor. L’obtention du chemin mensuel d’inflation en glissement annuel, nécessaire au
calcul du TLA, est déjà calculée.
Les chemins de taux du trésor (OAT) sont interpolés linéairement et mensuellement selon
les prévisions des chemins des taux 2, 5 et 10 ans de l’économiste.
Pour compléter les chemins des autres maturités, le modèle de taux de Nelson-SiegelSvensson (cf. 2.3.3) a été retenu. En effet, pour chaque date, la fonctionnelle des taux
zéro-coupon est calibrée par les points 1jour, 2, 5 et 10 ans fournis par l’économiste. Ceci
permet d’avoir tous les points de la courbe des taux trésor zéro-coupon à une date donnée.
Il suffit par la suite de couponner ces taux pour se ramener à la courbe de taux à une
date donnée.
Les trajectoires de taux nominaux de la courbe swap sont obtenues à partir des chemins
des taux OAT auxquels une matrice de spread (OAT-Swap) est additionnée.
La matrice de spread est obtenue à partir de la courbe des swaps-spreads spot, des
prévisions du swap-spread structurel pour les maturités supérieures à 1an et des prévisions
du chemin de swap-spread Euribor3M (différence entre les prédictions de l’économiste du
chemin du taux Euribor3M et du chemin du taux 3M de la courbe OAT fourni par le
modèle NSSF. Pour les maturités supérieures à 12 mois, le spread tend linéairement du
spread spot vers le spread 3M à la prochaine date de prévision de ce dernier. Les chemins
des spreads de ces maturités sont tous égaux à celui du spread de la maturité 3M.
63
Voici la trajectoire d’évolution du taux du livret A vu par les économistes du Fonds
d’épargne au 31 décembre 2016 :
Figure 18 – Prévision du Taux du Livret A
Les trajectoires des taux d’intérêt sont donc modélisées avec les anticipations faites
par les économistes. Pour pouvoir projeter la marge de façon dynamique il est nécessaire
de récupérer, auprès des services concernés :
- les prévisions de collectes du livret A, LEP et LDD ;
- les prévisions de production des prêts ;
- l’allocation d’actifs.
Ces hypothèses sont fournies par des services annexes de l’ALM, elles sont gérées
comme des contraintes pour nos modélisations.
Afin de montrer la sensibilité de la marge d’intérêt aux variations des taux d’intérêt,
nous analysons sous différents angles la MNI.
Analyse de la marge d’intérêt
La MNI étant fortement sensible à la hausse de l’inflation, nous étudions les chocs
d’inflations qui l’annulent.
64
Figure 19 – Points morts de la MNI aux chocs inflations
Ce graphique nous confirme que la MNI s’annule en cas de chocs parallèles à la hausse
de l’inflation. Nous remarquons là une première illustration de l’effet retard. En effet, la
prévision du TLA est à la hausse quasi-uniforme jusqu’en 2019, puis se stabilise jusqu’en
2023, ce qui implique qu’une hausse de l’inflation a d’autant plus d’impact sur la MNI
que la hausse régulière du TLA. Ceci explique la baisse du niveau de choc annulant la
MNI jusqu’en 2019 où il est proche de 100bp.
Quand on analyse l’historique d’inflation et que l’on calcule l’écart-type sur la variation
annuelle du fixing « inflation française », nous remarquons que les chocs annulant la MNI
ne sont pas si hors norme. En effet, l’écart-type sur la variation annuelle de l’inflation
française vaut entre 60 et 150 bp selon la période considérée (entre 2002 et 2016 l’écarttype est de 128, 1, entre 2007 et 2016 nous calculons 148, 3, enfin entre 2012 et 2016 on
obtient 62, 4).
En considérant les 100 000 chocs modélisés, nous obtenons les probabilités d’occurrences
suivantes :
Années
2017
2018
2019
2020
2021
Chocs TI (bp)
`255
`160
`105
`120
`180
Probabilités
0, 07%
0, 38%
1, 54%
1, 00%
0, 24%
Table 12 – Probabilités d’occurrences des points morts (TI) de la MNI
Analysons maintenant les points morts de la MNI pour des chocs parallèles de taux
nominaux.
65
Figure 20 – Points morts de la MNI aux chocs nominaux
Une fois encore, nous constatons l’impact de l’effet retard, avec un effet négatif sur la
MNI du fonds d’épargne en cas de hausse du TLA.
De même, en considérant les 100 000 chocs modélisés, nous obtenons les probabilités
d’occurrences suivantes :
Années
2017
2018
2019
2020
2021
Chocs TN (bp)
-500
-305
-125
-135
-150
0, 00%
0, 02%
6, 75%
5, 01%
3, 06%
Probabilités
Table 13 – Probabilités d’occurrences des points morts (TN) de la MNI
Nous remarquons que les chocs sur les taux nominaux qui annulent la MNI sont plus
forts que les variations historiques observées. L’écart-type maximal sur l’EONIA est de
110, 5 et de 119, 5 pour l’Euribor 6M entre les périodes de 2007 à 2016. Les points morts
de la MNI aux chocs nominaux ne se sont jamais produits historiquement, néanmoins ils
ne sont pas si éloignés que ça.
Cependant, même si ces chocs ont une probabilité non nulle (déduite de notre modèle
série temporelle) de se produire, les taux actuels sont si bas qu’ils seraient bien inférieurs
au seuil fixé de ´0, 6%. De ce fait, ces chocs nous semblent peut réalistes dans cet environnement de taux bas.
Ci-après, des sensibilités, toute chose égale par ailleurs, de la MNI à des chocs d’inflations et des taux nominaux.
66
Figure 21 – Sensibilité de la MNI à l’inflation
Nous remarquons que la MNI diminue lors d’un choc positif d’inflation, ce qui est
cohérent avec la structure du bilan du Fonds d’épargne très sensible à une hausse de
l’inflation et donc du TLA.
Le choc annulant la MNI (+105bp d’inflation en 2019) est clairement observable ici, ce
point est à surveiller attentivement et des mesures devront être prises sur la production
des affaires nouvelles.
Les mêmes sensibilités de la MNI sur les taux nominaux.
Figure 22 – Sensibilité de la MNI aux taux nominaux
67
Nous remarquons que la MNI diminue lors d’un choc négatif des taux nominaux, ce
qui est cohérent avec la structure du bilan du Fonds d’épargne. En effet, ceci est encore
directement lié à la formule du livret A qui induit un risque quasi-permanent sur le Fonds
d’épargne en cas de baisse des taux réels.
Le choc annulant la MNI (-125bp d’inflation en 2019) est encore bien visible ici.
Calcul de l’Earning-at-Risk
Nous procédons maintenant à une projection du bilan suivant les 100 000 chocs du modèle de série temporelle. L’objectif étant d’obtenir une EaR1% , mesure de risque de la MNI.
Voici les résultats des simulations :
Années
2017
2018
2019
2020
2021
EaR1% (% MNI)
48%
79%
135%
175%
164%
Chocs TI (bp)
119
153
128
-8,4
-9,6
Chocs TN (bp)
-23,6
34,3
-51,8
-208,1
-204
Table 14 – Earning-at-Risk de la MNI
Nous mesurons, par le moyen d’une Earning-at-Risk au niveau de 1%, que près de
50% de la MNI est en risque à un an, pour atteindre plus de 100% en 2019. Cet indicateur
nous montre une fois de plus, avec les données au 31 décembre 2016, que l’année 2019 est
à surveiller attentivement.
Figure 23 – Evolution de l’EaR 1%
68
3.3.2
Calcul de la MNI stochastique
L’approche stochastique pour le calcul de la MNI constitue une méthode intéressante
pour tenir compte des optionalités du bilan du Fonds d’épargne.
Au regard de la formule du TLA, l’optionalité est principalement liée à :
- la possible présence d’un minimun égal au taux d’inflation augmenté de 25bp ;
- la valeur absolue de la variation du TLA entre deux révisions ne peut excéder
150bp ;
- une option implicite réside dans la présence d’un « seuil psychologique » ;
- mode de révisabilité des prêts (double révisabilité, plancher à 0% des prêts).
L’optionalité du bilan implique une valorisation stochastique.
La valorisation des prêts indexés sur le taux du livret A est réalisée par simulation de
Monte-Carlo afin de pouvoir reproduire l’aspect optionnel régissant l’évolution de ce taux.
Cette valorisation stochastique consiste à calculer la moyenne des valeurs des postes du
bilan sur les trajectoires.
Le modèle retenu par le Fonds d’épargne pour la tarification des prêts et allocation
d’actif est le modèle de Jarrow-Yildirim, le taux court nominal suivant un Hull-White
un facteur ou deux facteurs, le taux court réel un Hull-White un facteur et l’index CPI
un brownien géométrique dont le drift dépend de l’écart entre taux courts, nominal et réel.
Rappel du modèle de Jarrow-Yildirim (cf. 2.3.2) :
Modèle des taux d’intérêt nominaux : les taux nominaux sont modélisés sous
probabilité risque neutre par un modèle de Hull and White (1995) à un facteur :
drn ptq “ rθn ptq ´ an rn ptqsdt ` σn dWn ptq
´
où θn ptq “
Bfn p0,uq
Bu
¯
u“t
` an .fn p0, tq `
2
σn
2an
p1 ´ expp´2an tqq , fn le taux forward
instantané, an et σn sont des paramètres positifs et pWn ptqqtě0 est un mouvement
brownien sous la probabilité risque neutre associée aux taux nominaux.
Une intégration directe (i.e., sans changement de variable préalable) de cette équation différentielle stochastique amène à la relation :
żT
rn pT q ´ rn p0q “
żT
θn ptq.dt ´ an
0
rn ptq.dt ` σn .Wn ptq
0
que l’on peut arranger sous la forme
żT
0
rn ptq ´ rn p0q
1
rn ptq.dt “ ´
`
an
an
żT
θn ptq.dt `
0
σn
Wn pT q
an
Modèle des taux réels : les taux réels, sous probabilité risque neutre, suivent la
dynamique du modèle de Hull and White (1995) à un facteur :
drr ptq “ rθr ptq ´ ar rr ptqsdt ` σr dWr ptq
69
avec les notations analogues au taux nominaux.
Cette équation stochastique est identique à celle des taux nominaux qui peut s’exprimer sous la probabilité risque neutre nominale comme ceci :
drr ptq “ rθr ptq ´ ρr.I .σr .σI ´ ar rr ptqsdt ` σr dWn ptq
Modèle de l’indice des prix à la consommation : l’IPC, sous probabilité risque
neutre, est modélisé par un modèle de Black Scholes classique :
dIptq
“ prn ptq ´ rr ptqqdt ` σI dWI ptq
Iptq
où prn ptqqtě0 et prr ptqqtě0 sont respectivement les processus des taux courts nominaux et réels, σI est un paramètre positif et pWI ptqqtě0 est un mouvement brownien
sous la probabilité risque neutre associée aux taux nominaux.
Cette équation s’intègre, par un changement de variable identique à celui du modèle
de Black-Scholes (application de la formule d’Itô à gpxq “ lnpxq), sous la forme :
˙ żT
ˆ
żT
σ2
IpT q
rn ptq.dt ´
rr ptq.dt ´ I T ` σI .WI pT q
“
ln
Ip0q
2
0
0
şT
şT
Ainsi le calcul littéral explicite des intégrales 0 rn ptq.dt et 0 rr ptq.dt permet
de
´
¯
IpT q
connaître la distribution du taux d’inflation sur la période r0, T s, à savoir ln Ip0q .
Ce modèle, ainsi défini, est un modèle risque neutre. Pour l’étude de la marge stochastique il est préférable d’utiliser des modèles monde réel afin de conserver les risques
associés aux postes du bilan, et ainsi de pouvoir utiliser les niveaux de marge projetés
pour définir, de façon plus rigoureuse, l’EaR à 1%.
Pour rendre ce modèle risque en un modèle monde réel, nous avons envisagé plusieurs
solutions.
Une première façon de faire est d’ajouter d’une prime de risque à la diffusion des taux
d’intérêt du modèle. Cette prime de risque peut être vue comme l’écart entre un prix de
vente d’un actif financier X et l’espérance mathématique de ce même actif financier. On
peut donc définir la prime de risque ρ, comme une mesure du coût psychologique qu’un
agent associe au risque perçu dans l’achat de l’actif financier. D’où
ρ “ ErXs ´ pvpXq
avec pvpXq le prix de vente de l’actif financier.
La difficulté réside dans la mesure de la prime de risque associée à chaque actif financier présent dans le bilan. Afin de définir correctement cette prime de risque, en fonction
notamment des taux et de la classe d’actif, une étude approfondie doit être menée et
constitue est une piste intéressante mais qui nous emmènerai trop loin du sujet principal
de ce mémoire.
Le calibrage du modèle est donné par l’équipe en charge de l’allocation d’actif et de
tarification des prêts, en revanche, si l’on veut utiliser ce modèle pour le calcul de la MNI
stochastique, il nous faut vérifier que la diffusion est cohérente avec la réalité du marché
à date d’utilisation.
70
Le calibrage des corrélations et de la volatilité de l’inflation se fait sur données historiques
et le calibrage du modèle au 31 décembre 2016 est le suivant :
Paramètre
Calibrage
an
ar
σn
σr
σI
ρnr
ρnI
ρrI
6, 1956.10´14
0, 7905
0, 0066
0, 0228
0, 0116
0, 4217
0, 2691
´0, 0806
Table 15 – Paramètres du modèle de Jarrow-Yildirim au 31 décembre 2016
Nous pouvons remarquer que le terme an est quasiment nul et que le terme ar est
également proche de 0. Ceci à pour effet que les distribution n’ont pratiquement pas de
retour à la moyenne. Ceci est un point intéressant, le fait qu’il y ait une force de retour
à la moyenne très faible sur les taux est un compromis acceptable à l’utilisation de ce
modèle risque neutre pour notre étude.
L’objet des deux premiers tests que nous avons réalisés est de vérifier la convergence
du déflateur nominal et réel en t vers le prix zéro coupon nominal de maturité t.şOn vérifie
QN ´ 0t npsqds
re
que le prix théorique est égal à la moyenne desş prix simulés ; PN p0, tq
“
E
|F0 s
ş
QR ´ 0t rpsqds
QN ´ 0t npsqds Iptq
|F0 s pour le
pour le taux nominal et PR p0, tq “ E re
|F0 s “ E re
Ip0q
taux réel. Les graphiques ci-dessous représentent l’écart relatif entre le prix simulé et le
prix théorique.
Figure 24 – Ecart relatif simulé et théorique sur le déflateur nominal
71
Figure 25 – Ecart relatif simulé et théorique sur le déflateur réel
L’erreur relative est nettement inférieure à 5% dans les deux cas, ce qui indique une
bonne simulation des taux nominaux et réels.
L’importance du livret A dans le bilan du Fonds d’épargne est telle qu’il est important
de vérifier que l’EONIA est correctement diffusé. Etant donné que l’EONIA est déduit du
taux Euribor 3mois auquel est ajouté un spread, nous avons réalisé un test sur la diffusion
du taux Euribor 3mois.
L’objet de ce test est de vérifier la valeur de marché obtenue par simulation sur l’Euribor
3 mois et la valeur de marché obtenue par formule analytique. Le graphique ci-dessous
représente l’écart relatif entre le prix simulé et le prix théorique.
Figure 26 – Test sur les taux Euribor 3mois
L’erreur relative est inférieure à 5%, nous sommes satisfaits de la diffusion des taux
Euribor 3mois.
Enfin, nous avons réalisé un test permettant de vérifier que la volatilité de l’IPC simulée est cohérente avec la valeur théorique attendue. Le graphique ci-dessous représente
72
l’écart relatif entre la volatilité simulée et la volatilité théorique (cf. [BBK04] pour la solution de l’équation de volatilité du modèle, nous sommes dans le cas : aN “ 0 et aR “ 0).
Figure 27 – Ecart relatif simulé et théorique sur la volatilité de l’inflation
Figure 28 – Allure des courbes simulée et théorique de la volatilité de l’inflation
L’erreur relative est inférieure à 5%, l’allure des courbes simulées et théoriques étant
très proche, nous considérons la simulation correcte.
Enfin, nous simulons la MNI sur 5 années sur un grand nombre de trajectoires des
taux d’intérêt.
73
Figure 29 – Projection stochastique de la MNI
De cette projection, nous retenons le quantile 1% à l’horizon souhaité.
Les résultats du calcul de l’EaR avec ce modèle stochastique sont les suivants :
Années
2017
2018
2019
2020
2021
EaR1% (% MNI)
33%
88%
124%
170%
162%
Table 16 – Earning-at-Risk de la MNI stochastique
Nous obtenons des résultats similaires qu’en méthode déterministe. Le niveau d’EaR
du modèle déterministe est de 5%, en moyenne sur les 5 années, plus élevé qu’en méthode
stochastique. Cette écart peut s’expliquer par le fait que le modèle déterministe évalue
l’EaR avec les chocs issus du modèle série temporelle AR(1)-GARCH(1,1) calibré sur
l’historique, alors que le modèle stochastique est calibré en risque neutre et sous-estime
donc les rendements.
3.3.3
Conclusion
Dans notre première approche de la MNI, nous étudions les risques des variations de
taux d’intérêt sur la base du scénario central des économistes du fonds d’épargne, or ce
74
n’est pas sans conséquence.
En effet, l’hypothèse sur la trajectoire de taux a un impact sur la MNI :
Figure 30 – Impact sur la trajectoire de MNI du scénario de taux utilisé
Nous observons distinctement un écart entre la projection de MNI en scénario central
des économiste et celle du scénario des taux forwards. Nous pouvons analyser cette différence comme un stress-test significatif sur la MNI, dans la mesure où le scénario des taux
forwards est issu des marchés de taux.
De plus, la marge en risque calculé grâce à l’EaR nous montre qu’en cas de hausse
constante de l’inflation de plus de 1% par rapport à la prévision (soit plus de 3% d’inflation), la marge nette d’intérêt est totalement en risque dans trois ans. Compte tenu
de l’environnement actuel, cela peut sembler peu réaliste, néanmoins, il semble nécessaire
d’envisager des solutions pour éviter un déficit de MNI en 2019.
Dans notre approche stochastique, l’utilisation du modèle risque neutre de JarrowYildirim n’est pas sans limites dans la mesure où il faut réunir des conditions peu réalisables telles que des instruments financiers liquides sur un marché profond. Cela nous
ramène naturellement à la définition des marchés incomplets dont la présence rend l’évaluation du prix des flux futurs plus complexe. En effet, dans une telle situation, on ne
peut déduire des observations du marché un unique processus qui permet d’associer un
montant à un flux aléatoire. Or, pour l’essentiel des engagements des banques, la situation d’incomplétude est fréquente, ce qui est le cas du Fonds d’épargne avec des prêts
hors normes et l’impossibilité de couvrir totalement le risque de hausse d’inflation car le
marché des OATi et OATei est peu profond.
Il serait possible d’abandonner l’idée de calibrer le modèle de Jarrow-Yildirim sur les
75
taux zéro-coupon mais ce modèle de taux courts ne se prête pas à une réplication des
formes historique des courbes de taux. Le choix de calibration historique actuelle est discutable car elle fait l’hypothèse d’une recalibration sur courbes zéro-coupons sur chaque
journée passée alors que l’équation de diffusion est calibrée pour toutes les trajectoires
futures sur les données de la courbe zéro-coupon spot.
Enfin, il semble intéressant de développer une étude de marge stochastique en environnement monde réel afin d’être au plus proche du rendement réel observé. Néanmoins,
dans l’environnement actuel de rendement des taux très bas, et le fait que l’étude de la
MNI se fasse sur un horizon court terme, l’écart méthodologique qui existe entre modèle
risque-neutre et monde réel est à relativiser dans le cas du Fonds d’épargne où l’allocation
d’actif se fait quasi intégralement sur le marché de taux.
76
4
Méthode d’agrégation
Les principales différences entre l’approche EVE et celle par la MNI sont notamment
la mesure du résultat et l’horizon temporel. En effet, nous avons vu précédemment que
nous calculons pour la marge d’intérêt en bilan constant, alors que l’EVE est en mort du
bilan, de plus les mesures de risques associées ne sont pas identiques. Le risque est mesuré
avec une VaR pour l’EVE et c’est une EaR pour la marge.
- Mesure du résultat : la méthode basée sur la valeur économique calcule la variation
de valeur actuelle nette du bilan dans le cas de stress sur les taux d’intérêt. Il faut
alors décider si le résultat doit prendre la forme d’une variation de valeur économique des fonds propres, l’EVE, auquel cas ils sont soit exclus du calcul, soit inclus
avec une duration très courte (à un jour par exemple) ; ou une autre variation de
la valeur économique indépendante des fonds propres, auquel cas soit on exclut le
portefeuille d’actifs financés, soit on inclut les fonds propres en ajustant avec la
même duration que les actifs qu’ils sont censés financer. La mesure fondée sur les
bénéfices est quand à elle axée sur la variation de marge future. Du fait que les
bénéfices futurs influent sur le niveau futur des fonds propres, ces deux mesures se
rejoignent, en revanche les variations de valeur estimées incluent des ajustements
du résultat net au delà de l’horizon de calcul des bénéfices.
- Horizon temporel : l’EVE reflète les écarts de valeur par rapport aux fonds propres
en mort du bilan, c’est à dire que toutes les positions s’éteignent au fur et à mesure sans être remplacées. La mesure de la MNI ne couvre qu’un horizon défini à
l’avance et souvent court (de 1an à 5ans) alors que les risques continuent d’influer
sur le compte de résultat au-delà de cette période.
- Flux considérés : la mesure économique porte sur les variations des flux de trésorerie afférents aux instruments en stock, sans production d’affaires nouvelles. Les
méthodes fondées sur les bénéfices reposent sur un bilan statique ou avec des hypothèses de production future.
Fort de ce constat, il convient de définir des hypothèses cohérentes pour pouvoir rassembler de la meilleur façon possible l’EVE et la MNI.
4.1
4.1.1
Les hypothèses
Chocs de taux d’intérêt
Les chocs sur les taux d’intérêt sont simulés dans les deux approches, que ce soit en
EVE ou en MNI, à l’aide d’un modèle de série temporelle, AR-GARCH(1,1). Cette méthode fait toujours sens dans une optique d’association de ces deux indicateurs. De plus,
ce modèle interne est abouti, dans le sens où il a récemment été revu, il permet de générer
100 000 chocs conjoints et facilite ainsi la mesure de la VaR utilisée pour mesurer la perte
de valeur économique et pour l’EaR de l’approche par les bénéfices.
77
4.1.2
Scénario des taux d’intérêt
Le scénario d’évolution des taux d’intérêt est ce qui éloigne le plus l’EVE et la MNI. En
effet, pour le calcul de l’EVE, on prend pour hypothèse les trajectoires des taux forwards
à date d’étude, alors que pour quantifier la MNI, nous prenons les trajectoires données
par les économistes du Fonds d’épargne.
Cette différence est importante car elle change la trajectoire du livret A ; compte tenu
de l’importance du taux du livret A dans le bilan du Fonds d’épargne ce n’est pas négligeable. Voici le chemin du TLA vu par les économistes (en orange) et vu par le marché
en forward (en bleu) :
Figure 31 – Trajectoires du TLA
Afin de rester le plus neutre possible au risque, nous retenons le scénario forward du
marché pour réconcilier les deux indicateurs. Cela à l’avantage de considérer plusieurs
visions économiques des taux futurs et pas uniquement celle apportée par les économistes
du Fonds d’épargne. De plus, la vision forward à l’avantage d’être facilement calculable à
n’importe quelle date future grâce à la formule de calcul des taux forward.
4.1.3
Horizon temporel
L’horizon temporel est significativement différent dans les deux approches, long terme
pour l’EVE (aussi long que le bilan l’est) et court terme pour la MNI (horizon de cinq
ans en général). En revanche, pour mesurer le risque de taux d’intérêt la valeur à un an
est regardé. En effet, pour l’approche économique, nous regardons la valeur de la V aR99%
78
à un an et de même pour la valeur de l’EaR1% pour l’évaluation de la perte de marge.
Cependant, la différence fondamentale des deux approches réside dans le comportement du bilan. Effectivement, la perte de valeur économique est évalué en extinction du
bilan, alors que la perte de marge est mesurée en bilan constant ou dynamique.
Plusieurs possibilité sont envisageables pour rassembler les deux visions, nous en citerons deux :
- Nous pouvons par exemple calculer une MNI en extinction du bilan, mais alors
nous perdrions tout le sens de prévision de marge car il n’y aurait pas de nouveau
prêt qui viendrait remplacer ceux qui s’amortissent et donc la marge ne pourrait
que baisser dans le temps.
- Nous pouvons également évaluer la valeur économique avec une vision de bilan
constant ou de continuité d’activité avec prévision de la nouvelle production. Sous
certaines conditions de régularité, cette possibilité est envisageable. D’un point de
vue opérationnel, nous avons écarté cette possibilité car elle aurait demandé une
reconfiguration de l’outil ALM, utilisé pour valoriser le bilan, trop importante.
Nous considérons que la vision extinction du bilan pour calculer l’EVE est importante
car elle permet d’évaluer la valeur du bilan à la date de calcul sans hypothèses, plus ou
moins forte, de production future, ce qui, du point de vue gestion de risque semble nécessaire.
Pour réconcilier du mieux possible les indicateurs, en gardant une vision de saine
gestion de risque, nous proposons une approche de type « Total Return », fréquemment
étudiée pour valoriser des actions qui versent des dividendes.
79
4.2
Approche « Total Return »
L’approche « Total Return » est bien connue quand il s’agit d’action. En effet, il s’agit
de prendre en compte les dividendes perçus dus à la détention d’une action versant des
dividendes, mais aussi en incluant les plus ou moins values réalisées sur la revente du titre
en question.
Nous proposons de réconcilier l’EVE et la MNI selon une approche similaire, ci-dessous
un schéma permettant d’imager le procédé.
Figure 32 – Total Return
L’idée est donc de calculer la valeur économique à date (t=0), de projeter le bilan sur
cinq années en calculant tout les ans la MNI puis, calculer la valeur économique dans cinq
ans.
Enfin, l’indicateur que l’on calcule est l’écart d’EVE entre la date de calcul et dans
cinq ans puis on ajoute la somme des MNI durant les cinq années. Nous avons décidé
d’appeler cet indicateur, le « Rendement Total du Portefeuille Bancaire d’Intérêt » (soit
en anglais « Banking Book Total Return of Interest »), et nous l’abrégerons en BBTRI.
Soit donc la formule suivante :
BBT RI “ ∆EV E `
5
ÿ
M N Ii
i“1
où ∆EV E “ EV1 ´ EV0 .
4.2.1
Hypothèses de calcul
Un consensus sur les hypothèses de calcul doit être établi pour que cette approche soit
la plus cohérente possible.
Hypothèse sur la trajectoire des taux d’intérêt
Pour projeter le bilan il est nécessaire d’avoir une hypothèse d’évolution des taux d’intérêt pour l’horizon de calcul, soit pour les cinq prochaines années. Pour cela, nous avons
80
le choix entre :
‚ les trajectoires des taux forward, utilisées dans le calcul de l’EVE, qui présente l’avantage d’être facilement calculable à une date future et d’être, plus ou moins, une
vision du marché.
‚ les trajectoires des économistes, utilisées dans le calcul de la MNI, qui est une anticipation des taux futurs faite par les économistes du Fonds d’épargne. L’inconvénient
majeur de ces trajectoires est d’un point de vue opérationnel. En effet, l’outil utilisé
pour la valorisation du bilan ne permet pas, à ce jour, le calcul des taux futurs
d’actualisation à partir du scénario des économistes.
Au regard des contraintes opérationnelles et d’hypothèse la moins forte possible, nous
avons décidé de retenir les trajectoires des taux forward.
Hypothèse sur l’horizon
Pour calculer la valeur économique du bilan, nous valorisons le bilan à date et au
terme de cinq années de production, en tenant compte de la durée totale des instruments
présents dans le bilan.
La MNI est calculé année par année à date de l’arrêté comptable de décembre.
Hypothèse de production
Pour évaluer le bilan pendant les cinq années, nous retenons les hypothèses utilisées
pour la projection de la MNI, à savoir :
- les prévisions de collectes du livret A, LEP et LDD ;
- les prévisions de production des prêts ;
- l’allocation d’actifs.
En revanche, il n’y a pas d’allocation d’actifs prévue à date dans cinq ans. Pour compenser cette absence d’hypothèse, nous retenons la performance moyenne prévue durant
les cinq années de continuité d’activité, et valorisons dans le compte de liquidité. En effet,
en théorie il faudrait allouer la liquidité dans des actifs pour obtenir un meilleur rendement ou pour couvrir les engagements jugés risqués.
4.2.2
Application
Partant du bilan de décembre 2016, rappelé ci-dessous :
81
Prêts
Taux fixe
Inflation
Autres index
LA et LEP
Actifs financiers
Taux variable
Taux fixe
Monétaire
Actions
Inflation
Autres actifs
Total Actif
12/31/2016
Actif (Mds e) Passif (Mds
182.5
237.0
20.2
214.6
4.2
22.4
5.1
153.0
70.2
10.6
12.3
1.8
0.2
2.2
11.7
1.1
11.7
34.3
1.6
1.7
254.3
254.3
e)
Dépôts yc ICNE
Dépôts LA/LDD
Dépôts LEP
CP, FRBG, rés.
PRC
Emprunts
Pensions
Autres passifs
Total Passif
Table 17 – Bilan simplifié par index sur l’exercice 2016
Nous pouvons ainsi valoriser le bilan à date et cela donne une richesse latente (VAN
de l’actif - VAN du passif), pour l’arrêté de décembre 2016.
Au terme de cinq années de production, nous envisageons le bilan de décembre 2021
ci-dessous :
Prêts
Taux fixe
Inflation
Autres index
LA et LEP
Actifs financiers
Taux variable
Taux fixe
Monétaire
Actions
Inflation
Liquidité
Autres actifs
Total Actif
12/31/2021
Actif (Mds e) Passif (Mds
216,5
270.3
16.5
243.2
3.5
27.1
3.5
193
78.1
14.7
0.3
3.5
0.3
5.5
5.7
11.7
20.1
37.7
0.6
2.6
294.6
294.6
e)
Dépôts yc ICNE
Dépôts LA/LDD
Dépôts LEP
CP, FRBG, rés.
PRC
Emprunts
Autres passifs
Total Passif
Table 18 – Bilan simplifié par index sur l’exercice prévisionnelle 2021
Ce qui nous donne une richesse latente (VAN de l’actif - VAN du passif) pour l’arrêté
de décembre 2021.
82
Figure 33 – Décomposition du BBTRI
La décomposition de l’indicateur nous permet de représenter les MNI (bleu foncé) sur
les cinq années et de les comparer à la variation de valeur économique (orange) au terme
de cinq ans.
Nous procédons à quelques chocs arbitraires parallèles sur les courbes de taux pour
comprendre comment se comporte cet indicateur.
Figure 34 – Déformation du BBTRI p/r à des chocs parallèles
83
Le BBTRI semble se comporter de la façon attendue, à savoir la baisse de la valeur
de l’indicateur en cas de baisse des taux réels. C’est ce que l’on observe ici, la baisse des
taux nominaux fait plonger le niveau de notre indicateur, de même en cas de hausse de
l’inflation.
4.3
Conclusion
Les banques françaises surveillent de très près leur MNI, mais la VAN n’est utilisée
généralement que comme base de l’Outlier Test. Ce n’est pas le cas au Fonds d’Epargne,
où les deux indicateurs sont surveillés. Pour autant, ces deux indicateurs peuvent donner
des informations différentes sur le risque de taux, qui ne sont pas aisées à réconcilier.
L’utilisation qui est faite des deux mesures fait cependant qu’il n’est pas possible de
les réconcilier si aisément :
- l’EVE prend bien en compte le long terme, mais est mesurée sur un bilan en extinction, par exemple à des fins de dimensionnement de la couverture.
- la MNI future prend en compte la nouvelle production de prêts, le renouvellement
du portefeuille d’actifs financiers, mais est focalisée sur le court terme.
Chacune de ces deux mesures a donc une vision partielle de l’entreprise, et ne peut servir
à analyser l’impact des décisions stratégiques.
De plus, dans un exemple de swap de taux receveur de taux fixe, l’augmentation de la
MNI sur les premières années sera ainsi compensée par la dégradation de la VAN à l’issue
de la période d’analyse. Sur la base d’un scénario forward, la mise en place du swap sera
donc neutre en Total Return, ce qui est bien l’effet attendu. En revanche, il modifiera les
sensibilités en cas de choc de taux, ce qui est également attendu. En ce sens, l’approche
en Total Return est intéressante et devrait être étudiée à chaque production quinquennale
interne du Fonds d’épargne.
84
5
Conclusion générale
Depuis les accords « Bâle III », et la publication, par le Comité de Bâle en avril 2016,
de la norme relative à au risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire que les
banques sont censées appliqué d’ici 2018, l’affinement de la gestion du risque de taux
d’intérêt devient une préoccupation majeure pour les banques. En effet, relevant du « pilier II », les banques, pour une majorité, évaluent leur risque de taux d’intérêt selon
l’approche de la marge d’intérêt et n’allouent pas de fonds propres au titre du risque de
taux. C’est dans cette démarche d’optimisation que nous avons effectué ce travail d’analyse d’un modèle interne pour l’évaluation du risque global de taux d’intérêt. L’objectif de
ce document était donc de proposer une étude détaillée de l’IRRBB, dont une des forces
est de se nourrir du bilan du Fonds d’épargne, très exposé au risque de taux d’intérêt et
d’inflation. C’est pourquoi, nous avons proposé plusieurs méthodes pour appréhender ce
risque. En effet un des enjeux de la modélisation est de pouvoir calculer de façon pertinente des mesures telles la variation de capital économique (EVE) ou la marge nette
d’intérêt (MNI), les deux composantes primordiales de la norme relative à l’IRRBB. De
plus, nous avons cherché à réconcilier ces deux indicateurs autour d’un unique indicateur
permettant d’analyser l’impact des décisions stratégiques, aussi bien du point de vue la
rentabilité qu’en tenant compte des risques prévisionnels.
Cette étude a permis de décrire différentes applications en mettant en relief les sensibilités de certaines hypothèses et les écarts méthodologiques. A commencer par le modèle
de chocs sur la courbe des taux (cf. 2.1.2) , nous avons proposé d’utiliser un modèle série
temporelle calibré sur l’historique d’évolution journalier des taux d’intérêt pour en extrapoler des chocs annuels nous permettant d’utiliser la mesure de VaR, présente dans nos
indicateurs. On peut, imaginer d’autres approches permettant d’obtenir des estimations
de la VaR que celle décrite dans le document, notamment en utilisant une méthode de
Monté-Carlo, plus difficile pour la mise en œuvre opérationnelle.
De plus, nous avons étudié les deux approches du Comité de Bâle et avons proposé
des méthodes de calculs associés.
Une première approche, axée sur le capital économique, permettant aujourd’hui au
Fonds d’épargne de définir le besoin en fond propres au titre du risque global de taux
avec la méthode des GAP de taux, approximation l’approche par actualisation (cf. 2.2.1
et 2.2.2). La méthode des GAP, bien qu’en apparence simpliste, nous permet de bien
comprendre les sensibilités du bilan face aux variations sur la courbe des taux d’intérêt.
Pour étudier plus finement le risque, il est intéressant de procéder à l’actualisation des
flux (ligne à ligne) du bilan comme pour la méthode par actualisation. Cette seconde
approche présente l’avantage de quantifier à leur plus juste valeur les produits indexés sur
le livret A, mais dans le cas du bilan du Fonds d’épargne, cette méthode est beaucoup
plus gourmande en temps de calcul et de stockage des données.
La seconde approche, fondée sur les bénéfices, offre la possibilité de mesurer la vulnérabilité à court et moyen terme d’une banque face au risque de taux d’intérêt, sous
l’hypothèse de continuité d’activité. Afin de quantifier le risque de taux d’intérêt sur
MNI, nous avons fait le choix de l’Earning-at-Risk. Cette mesure, complémentaire à la
vision économique, permet d’étudier la prévision de marge d’intérêt futur selon différents
85
scénario de taux. Cet indicateur permet au Fonds d’épargne de quantifier le pourcentage
de marge d’intérêt en risque. Pour calculer l’EaR, nous avons proposé deux méthodes. Une
première déterministe, basée sur le scénario central des économistes du Fonds d’épargne,
ayant l’avantage d’être en lien avec la politique de la banque et rapidement calculable. En
revanche, elle n’inclut pas la vision du marché sur la trajectoire des taux futurs, ce qui,
d’un point de vue de la gestion des risques, semble ne pas refléter la totalité du risque.
C’est pourquoi nous avons proposé une méthode stochastique permettant d’étendre les
trajectoires de taux possibles. S’agissant de la MNI, il aurait été préférable d’utiliser un
modèle monde réel de diffusion des taux d’intérêt (par exemple celui présenté en B.1) pour
l’application, pour des raisons opérationnelles ceci n’était pas possible, et inévitablement,
cela a un léger impact sur le niveau d’EaR analysé dans ce document.
Ces outils évoluent et s’adaptent sans cesse aux différentes avancées techniques en
matière de modélisation de risque. C’est ce que l’on peut constater avec les nombreux
travaux portant sur le capital économique d’un portefeuille et l’utilisation de mesures
comme la VaR de crédit.
Nous avons également créé un indicateur complémentaire à ceux de l’EVE et de la MNI,
permettant de mesurer l’impact des décisions stratégiques en prenant en compte l’ensemble de leurs impacts, sur le long terme, le « BBTRI ».
Pour produire cet indicateur, il convient de le calculer en prenant en compte :
- une projection quinquennale du bilan sur la base des hypothèses de continuité
d’activité,
- la MNI calculée sur chaque période,
- la VAN initiale et la VAN finale, sur la base d’hypothèses d’écoulement du bilan.
Cet indicateur est nouveau au Fonds d’épargne et demande à être testé dans les conditions
réelles d’utilisations.
Enfin, rappelons que la mesure du risque global de taux d’intérêt a pour objet de
mesurer le risque de taux contenu dans le bilan. Au Fonds d’épargne, elle permet de dimensionner le besoin en fonds propres, et de mesurer le risque résiduel après couverture
par des actifs indexés à l’inflation. Récemment, un projet de refonte de son modèle interne
du calcul du besoin en fonds propres au titre du risque global de taux a été entamé. Ainsi,
l’objectif de ce mémoire était de prendre part à la modélisation d’une mesure optimale du
RGT. Ces outils restent toutefois perfectibles en fonction de l’utilisation que l’on en fait
du fait des changement d’hypothèses, en particulier les prévisions de collectes du Livret
A, les prévisions de signatures des prêts futurs, mais aussi des variations de marché et des
changements possible de la politique du gouvernement.
86
Table des figures
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Historique de 3 taux Euribor de ces 15 dernières années . . . . . . . . . .
Chocs conjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gaps de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risque de non adossement actif/passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution des taux nominaux, réels et de l’inflation de 2004 à 2016 . . . .
Analyse en composantes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Densité des lois de Student à 5 et 10 degrés de liberté . . . . . . . . . . .
Densité d’une loi de student à 5 ddl et des résidus de l’AR sur la série
inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profil d’amortissement des prêts du FE au 31 décembre 2016 avec hypothèse
de versements de prêts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gaps inflation au 31 décembre 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gaps taux fixe au 31 décembre 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chocs de taux appliqués au 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité calculée au 31/12/2016 (25bp) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution de la valeur économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité du RGT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution de la valeur économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effet retard sur la trajectoire de la MNI . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prévision du Taux du Livret A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Points morts de la MNI aux chocs inflations . . . . . . . . . . . . . . . .
Points morts de la MNI aux chocs nominaux . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité de la MNI à l’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité de la MNI aux taux nominaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution de l’EaR 1% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecart relatif simulé et théorique sur le déflateur nominal . . . . . . . . .
Ecart relatif simulé et théorique sur le déflateur réel . . . . . . . . . . . .
Test sur les taux Euribor 3mois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecart relatif simulé et théorique sur la volatilité de l’inflation . . . . . . .
Allure des courbes simulée et théorique de la volatilité de l’inflation . . .
Projection stochastique de la MNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impact sur la trajectoire de MNI du scénario de taux utilisé . . . . . . .
Trajectoires du TLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Total Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposition du BBTRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Déformation du BBTRI p/r à des chocs parallèles . . . . . . . . . . . . .
Courbe des taux nominaux 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbe d’inflation 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbe des taux réels 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Liste des tableaux
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Position courte à taux fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Position longue à taux fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Position fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Echéancier des flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extensions du modèle Nelson-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estimation des facteurs de risques pour les besoins en fonds propres
Bilan simplifié par index sur l’exercice 2016 . . . . . . . . . . . . . .
Résultats des tests statistiques / Inflation . . . . . . . . . . . . . .
Résultats des tests statistiques / taux nominaux . . . . . . . . . . .
Quantile 99% des chocs annuel historiques . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité des hypothèses d’écoulements . . . . . . . . . . . . . . .
Probabilités d’occurrences des points morts (TI) de la MNI . . . . .
Probabilités d’occurrences des points morts (TN) de la MNI . . . .
Earning-at-Risk de la MNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paramètres du modèle de Jarrow-Yildirim au 31 décembre 2016 . .
Earning-at-Risk de la MNI stochastique . . . . . . . . . . . . . . .
Bilan simplifié par index sur l’exercice 2016 . . . . . . . . . . . . . .
Bilan simplifié par index sur l’exercice prévisionnelle 2021 . . . . . .
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46
47
56
65
66
68
71
74
82
82
Références
[Ada07]
Alexandre Adam. Handbook of Asset and Liability Management. Wiley Finance
Series, 2007.
[BBK04] Nabyl Belgrade, Eric Benhamou, and Etienne Koehler. A market model for
inflation. SSRN, Janvier 2004.
[BCB04a] BCBS. Convergence internationale de la mesure et des normes de fonds propres.
Juin 2004.
[BCB04b] BCBS. Principles for the management and supervision of interest rate risk.
July 2004.
[BCB10]
BCBS. Basel iii : A global regulatory framework for more resilient banks and
banking systems. Décembre 2010.
[BCB16]
BCBS. Norme risque de taux d’intérêt dans le portefeuille bancaire. Avril
2016.
[BD12]
Makram Ben Dbabis. Modèles et méthodes actuarielles pour l’évaluation quantitative des risques en environnement solvabilité II. PhD thesis, Université
Paris Dauphine, HAL, 2012.
[BM06]
Damiano Brigo and Fabio Mercurio. Interest Rate Models - Theory and Practice, 2nd Edition. Springer-Verlag, 2006.
[BPJ11]
François Bonnin, Frédéric Planchet, and Marc Juillard. Application de techniques stochastiques pour l’analyse prospective de l’impact comptable du risque
de taux. Bulletin Français d’Actuariat, Institut des Actuaires, 2011.
[CDR07] J.H.E. Christensen, F.X. Diebold, and G.D. Rudebush. The affine arbitragefree class of Nelson-Siegel term structure Models. Federal Reserve Bank of San
Francisco, 2007.
[Cha]
John N Chalouhi. Interest Rate Risk in the Banking Book.
[DL06]
F.X. DIEBOLD and C. LI. Forecasting the term structure of government bond
yields. Journal of Econometrics, vol 130, no 2, 2006.
[EBA15]
EBA. Guidelines on the management of interest rate risk arising from nontrading activities. 2015.
[Eng02]
William B English. Risque de taux d’intérêt et marges d’intérêts nettes des
banques. 2002.
[LPP02]
S Lardic, P Priaulet, and S Priaulet. Beyond Duration. Journal of Bond
Trading and Management, 2002.
[MP00]
Lionel Martellini and Philippe Priaulet. Produits de taux d’intérêt, méthodes
dynamiques d’évaluation et de couverture. Economica, 2000.
[Pap05]
Bis Papers. Zero-coupon yield curves : technical documentation. BIS, Monetary and Economic Department, 2005.
[Wil10]
Florent Wilhelmy. Analyse des modèles de taux d’intérêts pour la gestion actifpassif. PhD thesis, Institut des Actuaires, 2010.
89
A
La caisse des dépôts et les livrets réglementés
A.1
Le rôle et la particularité de la CDC
La Caisse des Dépôts est un groupe public, investisseur de long terme au service de
l’intérêt général et du développement économique du pays.
Créée en 1816 dans le but de restaurer la confiance suite à la crise financière, sa mission
première est de recevoir, conserver et rendre les valeurs qui lui sont confiées.
La Caisse des Dépôts peut gèrer en toute sécurité les fonds qui lui sont confiés grâce au
modèle économique mis en place mais qui exige que le groupe soit toujours plus performant.
Investisseur de long terme, la Caisse des Dépôts investit dans des projets de développement des territoires et dans les entreprises françaises quelque soit leur taille. De plus,
en tant que gestionnaire de mandats publics, le groupe gère une partie de l’épargne réglementée des Français (Livret A, LEP, LDD) et finance, grâce à cette ressource, des
missions d’intérêt général comme le logement social et la politique de la ville. Elle gère
en toute sécurité des fonds protégés par la loi tels que les consignations, les fonds confiés
aux notaires ainsi qu’aux autres professions juridiques et assure la tenue de compte de
l’ACOSS 12 . Elle offre à ses clients un haut niveau de service bancaire, elle gère notamment
plus de 50 régimes de retraite du secteur public, soit la retraite d’un Français sur cinq.
Ses filiales opérationnelles exercent des activités dans des domaines concurrentiels tels que
l’assurance, le capital-investissement, l’immobilier, les services aux collectivités.
A.2
Les prêts du fonds d’épargne
Le Fonds d’épargne octroie trois grandes typologies de prêts dont deux sont caractérisées par une révision du profil d’amortissement en fonction du niveau des taux (prêts dit
à « révisabilité double » et prêts à « révisabilité double limitée »).
La révisabilité consiste à impacter une ou plusieurs caractéristiques du prêt en fonction
de la variation d’un index prédéfini, le TLA la plupart du temps.
Les modalités de révision sont de trois types :
1. La révisabilité simple : seul le taux du prêt est révisé : ce taux est revu en fonction
de l’évolution de l’index de référence.
2. La double révisabilité : cette modalité est spécifique à la Caisse des Dépôts. Le
terme « double révisabilité » implique la révision simultanée de deux caractéristiques du prêt (le taux d’intérêt et le taux de progressivité de l’échéance).
- Le taux d’intérêt est revu en fonction des changements de l’index de référence
et le taux de progressivité de l’échéance est calculé à partir d’un coefficient de
révision.
- La progressivité de l’échéance consiste à appliquer un taux de progression, sur
chacune des échéances, à partir du début de la phase d’amortissement.
- Il faut préciser qu’en double révisabilité, la durée du prêt n’est jamais ajustable. Plus le taux de progressivité de l’échéance est élevé, plus le montant de
12. Agence Centrale des Organismes de Sécurité Sociale
90
l’échéance calculé est relativement faible au début de la vie du prêt. Ainsi, en
cas de hausse (baisse) du Livret A, le taux de progressivité augmente (diminue),
l’amortissement du prêt est donc ralenti (accéléré).
- La double révisabilité permet de lisser l’impact de la variation à la hausse
comme à la baisse du taux d’intérêt, limitant ainsi la variation des échéances
et donc l’impact sur la trésorerie de l’emprunteur.
- A chaque modification de l’index de référence, un nouveau tableau d’amortissement est donc calculé tenant compte du taux d’intérêt et du taux de progressivité de l’échéance révisés. Le calcul des échéances futures se fait sur la base
du capital restant dû mathématique et de la durée résiduelle.
3. La double révisabilité limitée : c’est le même principe que la double révisabilité
avec une révision simultanée du taux d’intérêt et du taux de progressivité de
l’échéance. La notion de « limitée » se traduit par l’introduction d’un taux de
progressivité de l’échéance « plancher », par exemple 0% ou 0, 5%. En d’autres
termes, en cas de baisse des taux, le taux de progressivité est révisé à la baisse
mais pas en-deçà d’un certain niveau.
A.3
Livret A
Le livret A est un compte d’épargne rémunéré dont les fonds sont disponibles à tout
moment. Les intérêts sont exonérés d’impôts sur le revenu et de prélèvements sociaux.
En France, tous les établissements bancaires peuvent proposer un livret A à leur clients.
Il est cependant interdit de détenir plusieurs livret A ou de détenir en plus un compte
spécial sur livret du Crédit Mutuel (le livret Bleu), sauf s’il a été ouvert avant septembre
1979. Le plafond du livret A est fixé à 22950e pour les particulier et à 76500e pour les
associations.
Ce livret fonctionne comme un compte d’épargne ordinaire, chaque détenteur peut recevoir une carte de retrait utilisable dans les distributeurs du réseau de la banque. Si, au
bout de 10 ans, aucune opération n’a été effectuée, les fonds du compte livret A sont
obligatoirement transférés à la Caisse des Dépôts qui le conserve pendant 20 ans ; puis, si
le titulaire ou un de ses ayants-droits ne les a pas réclamés, alors les fonds sont définitivement conservés par l’Etat.
La rémunération du livret A est, en général, fixé par une formule qui est calculée tout
les six mois par le trésor public, ainsi le taux du livret ne peut changer, en principe, que
le 1er février ou le 1er août.
La formule du livret A, depuis 1er janvier 2017, est :
ˆ
T LA “ max
I EON IA
`
; I ` 0, 25% ˆ 1|EON IA´I|ď0,25%
2
2
˙
La Banque de France calcule chaque année les 15 janvier et 15 juillet le taux d’intérêt
théorique du livret A qui est ensuite soumis au ministre chargé de l’économie pour décision. Toutefois, lorsque la Banque de France estime que la variation de l’inflation ou des
marchés monétaires est très importante, la révision peut également intervenir au 15 avril
ou au 15 octobre.
Depuis janvier 2009 la variation du taux du Livret A ne peut pas dépasser plus de 150bp,
91
à la hausse ou à la baisse, entre deux fixations consécutives. Le taux du LEP est égal à
celui du livret A augmenté de 50bp.
Avec :
EON IA est la moyenne semestrielle de l’EONIA.
I est la moyenne semestrielle de l’inflation Year-On-Year.
A.4
Livret de développement durable
Le compte pour le développement industriel a été créé en 1983 (loi 83-607 du 8 juillet
1983). C’était un produit d’épargne distribué par l’ensemble des banques sur le territoire
français et était totalement défiscalisé. Il faisait partie des produits d’épargne dont les modalités sont directement fixées par l’État ( « épargne administrée »). Le 10 octobre 2006,
le premier ministre Dominique de Villepin annonce le relèvement du plafond et l’extension de l’utilisation des ressources au financement des équipements d’économies d’énergie,
d’énergies renouvelables à destination des particuliers et éligible au crédit d’impôt ciblé
sur ces équipements créant ainsi le livret de développement durable (LDD).
Depuis le 9 décembre 2016, le LDD est remplacé par le LDDS et garde les mêmes caractéristiques que son prédécesseur. La modification tient au principe que les banques doivent
annuellement proposer à leurs clients d’affecter une partie des sommes du LDDS sous
forme de don à des entreprises de l’économie sociale et solidaire.
Depuis 2003, le taux d’intérêt du LDD est le même que celui du livret A, soit aujourd’hui
de 0, 75%.
A.5
Livret d’épargne populaire
Le livret d’épargne populaire (LEP) est, en France, un livret d’épargne défiscalisé, réservé aux personnes à bas revenu (mission d’accessibilité bancaire) et présentant un taux
de rémunération avantageux en comparaison avec les autres livrets d’épargne défiscalisés.
Les caractéristiques du livret d’épargne populaire sont les suivantes.
Minimum de versement : 30 e à l’ouverture.
Versement mensuel : 0 e (versement libre).
Plafond des dépôts : 7 700 e (hors capitalisation des intérêts).
Taux de rémunération : 1,25 % nets au 1er août 2015.
Calcul des intérêts : les intérêts sont calculés en application de la règle des quinzaines
et capitalisés au 31 décembre de chaque année. Les intérêts cumulés et dépassant
le plafond sont eux-mêmes productifs d’intérêt.
Fiscalité : aucun impôt ni aucune cotisation sociale ne s’appliquent aux intérêts.
92
B
Rappels de mathématiques
B.1
Mesure de risque
Soit X une variable aléatoire qui représente une position financière, on appelle mesure
du risque une fonction telle que quantifie le risque de X. Il existe un nombre important
de mesures du risque, nous nous intéresserons à la Value en risque (VaR), mesure du
risque employée dans la plupart des compagnies et des réglementations, ainsi qu’à la
Conditionnelle Valeur en Risque (C-VaR), qui est une mesure du risque qui a l’avantage
de vérifier la propriété de cohérence :
Définition B.1 (Mesure de risque cohérente) Soit Ω un ensemble et une fonction
f : Ω ÞÝÑ R.
f est une mesure de risque cohérente si pour tout X, Y P Ω, elle satisfait les conditions
suivantes :
1) Monotonie : Si X ď Y alors f pXq ď f pY q
2) Invariance : @m ě 0, f pX ` mq ě f pXq ` m
3) Homogénéité positive : @λ ě 0, f pλXq “ λf pXq
4) Sous additivité : f pX ` Y q ď f pXq ` f pY q
On peut trouver différentes définitions pour les mesures du risque. On trouve notamment des divergences au niveau de la monotonie et de l’invariance, cependant dans le
contexte bancaire cette définition me parait plus adaptée. Par exemple, l’invariance peut
être interprétée pour le capital requis par l’ajout d’une position financière sans risque mais
qui n’ajoute pas de risque supplémentaire.
B.2
Valeur en Risque
Définition B.2 (Valeur en risque (VaR)) La Valeur en Risque de niveau α pour la
distribution X, notée V aRα pXq est définie par :
V aRα pXq “ inf tx P R|FX pxq ď αu
Il faut noter que la VaR n’est pas une mesure de risque cohérente. En effet, prenons
l’exemple suivant :
Soit des obligations de 100 sociétés. On suppose que chaque obligation vaut 100 en t
et vaudra :
‚ 105 en t ` 1 si la société ne fait pas défaut ;
‚ rien en t ` 1 si la société fait défaut.
On suppose que les défauts sont iid de probabilité 2%.
‚ La perte Li de l’obligation i prend la valeur 100 avec probabilité 2% ;
‚ ´5 avec probabilité 98%.
93
Nous avons alors :
Li “ 105.1tdéf autu ´ 5
On se donne un portefeuille A, concentré, contenant 100 obligations de la société 1
et un portefeuille B, parfaitement diversifié, contenant 1 obligation de chacune des 100
sociétés.
Les pertes de A et B sont :
LA “ 100.L1 “ 10500.1tdéf autu ´ 500, LB “
100
ÿ
Li “ 105.
i“1
100
ÿ
1tdéf autu ´ 500
i“1
En calculant la VaR à 95%, on obtient :
V aRA “ ´500 et V aRB “ 25
Ainsi nous montrons bien que la VaR, dans cet exemple, ne respecte pas la propriété
de sous-additivité. De plus, avec B on perd 25 avec une probabilité d’environ 5%. Avec A
la probabilité de perdre quelque chose est inférieure à 5% mais quand on perd, on perd
tout !
B.3
Conditionnelle Valeur en Risque
Définition B.3 (Conditionnelle Valeur en Risque (C-VaR)) La Conditionnelle Valeur en Risque de niveau α pour la distribution X, notée C-V aRα pXq est définie par :
C.V aRα pXq “ ErX|X ě V aRα pXqs
La C-VaR représente donc la perte moyenne au-delà de la VaR de niveau α. Elle est
une mesure de risque cohérente, son utilisation peut-être préférable pour mesurer des
risques importants, mais elle est plus difficile à calculer et ne donne pas exactement la
même information que la VaR.
C
C.1
Rappels sur les taux d’intérêt
Definitions
Définition C.1 (Taux spot) On appelle taux spot sans risque de maturité τ à la date
t le taux de rendement Rt pτ q fixé en continue à la date t correspondant à une opération
sans risque rapportant 1 euro en τ . Comme acheter une unité de Bpτ q à la date t rapporte
1 euro en τ , il doit satisfaire :
Bpτ q “ e´Rt pτ qpτ ´tq
On appelle courbe des taux à l’instant t, l’application :
τ P rt, T s ÞÝÑ Rt pτ q
94
Définition C.2 (Taux forward) Le taux forward est un taux d’intérêt qui s’applique à
une période dont le départ se situe à une date future au-delà des dates de valeur conventionnelles. Souvent ce terme désigne des taux d’intérêt implicite.
Derrière le terme de taux forward plusieurs détails sont à donner.
On appelle zéro-coupon forward fixé à la date t d’échéance τ1 ě t et de maturité τ2 ě τ1 ,
un produit dont le prix est fixé en t, qui est effectivement livré en τ1 et qui livrera à son
acheteur 1 euro en τ2 . En l’absence d’opportunité d’arbitrage, son prix Bt pτ1 , τ2 q est donné
par :
Bt pτ1 , τ2 q “
Bt pτ1 q
Bt pτ2 q
En particulier, on a Bt pt, τ2 q “ Bt pτ2 q
On appelle donc taux forward fixé à la date t avec comme échéance τ1 ě t et de maturité
τ2 ě τ1 , le rendemande Rt pτ1 , τ2 q fixé de façon continue à la date t correspondant ainsi
à une opération sans risque consistant à placer une somme d’argent en τ1 de façon à
percevoir 1 euro en τ2 . On a donc
Bpτ1 , τ2 q “ eRt pτ1 ,τ2 qpτ2 ´τ1 q
On appelle courbe des taux forward à l’instant t d’échéance τ1 , la fonction :
τ2 P rτ1 , T s ÞÝÑ Rt pτ1 , τ2 q
Le taux forward instantané, ft pτ1 q est la limite du taux forward quand τ2 Ñ τ1 , en supposant que cette limite existe on a :
˙
ˆ
lnpBt pτ1 , τ2 qq
ft pτ1 q :“ lim Rt pτ1 , τ2 q “ lim ´
“ ´∇τ lnpBt pτ qq
τ2 Ñτ1
τ2 Ñτ1
pτ2 ´ τ1 q
Ainsi on obtient :
Bpτ q “ e
´
şT
t
ft puqdu
1
; Rt pτ q “
τ
żT
ft puqdu
t
Il est habituel d’identifier le taux court comme un taux forward instantanée :
rt “ ft ptq “ lim ft pτ q
τ Ñt
Définition C.3 (Taux EURIBOR) Les taux EURIBOR (Euro Interbank Offered Rate)
sont des taux de référence du marché monétaire de la zone Euro et sont publiés par la
FBE (Fédération Bancaire de l’Union Européenne). Pour une échéance T donnée (T ď 1
an), le taux EURIBOR est calculé comme le taux moyen auquel un échantillon de banques
Européenne (connu à l’avance) déclarent être d’accord pour prêter à une contrepartie jugée
sans risque sur la durée r0, T s.
Le taux EURIBOR 3 mois est une référence sur le marché des swaps, nous l’utilisons
notamment dans la partie (A DEFINIR) pour modéliser les chocs de taux.
Les taux EURIBOR font partie d’une famille plus importante : les taux IBOR (Interbank
Offered Rate). Par exemple, à Londres la BBA (British Bankers’ Association) fournit le
LIBOR.
95
Définition C.4 (Taux EONIA) L’EONIA (Euro OverNight Index Average) est le taux
quotidien de référence des dépôts interbancaires effectués au jour le jour dans la zone Euro.
C’est la moyenne des taux utilisés par un large échantillon de grandes banques pendant
la journée sur le marché interbancaire de l’Euro (pondérés par les montants associés pour
les dépôts et prêts allant jusqu’au jour ouvré suivant).
Il est calculé par la FBE et fourni en France par la FBF (Fédération Bancaire Française)
le lendemain ouvré vers 9 heures.
C’est est un taux dit « jj » (au jour-le-jour), c’est-à-dire un taux applicable d’un jour
ouvré au suivant. Aux Etats-Unis, par exemple, le taux jj de référence est celui des Fed
Funds.
Dans les modèle de taux court, l’EONIA est obtenu comme résultat des simulations, il
s’agit du taux d’intérêt instantané.
Définition C.5 (Swap de taux d’intérêt) Un swap de taux d’intérêt est une opération dans laquelle deux contreparties signent un accord de prêt et d’emprunt dans une
même devise, pour un même montant nominal mais sur des taux de références différents.
Le swap de taux consiste à échanger à des dates fixes, un flux d’intérêt à taux fixe contre
un flux d’intérêt à taux variable, d’où le nom de swap de taux d’intérêt.
Nous distinguons alors deux types de taux, les taux fixes et les taux variables, ainsi nous
sommes menés à considérer deux types swaps :
- Les swaps taux fixe / taux variable ; ce contrat prévoit qu’une partie paie le taux
d’intérêt fixe et l’autre partie verse en retour le taux variable. Par convention, le
vendeur de ce swap paie le taux variable et reçoit le taux fixe.
- Les swaps taux variable / taux variable ; une partie prête (resp. emprunte) sur une
référence de taux variable et emprunte (resp. prête) sur une autre référence de taux
variable. Ce swap est aussi appelé « basis swap ».
Il est fréquent d’utiliser les termes de swap « payeur », dans le cas d’emprunt à taux
fixe et prêt à taux variable ; ou de swap « receveur », lors d’un prêt à taux fixe et emprunt
à taux variable.
Voici un exemple simple d’utilisation des swaps de taux d’intérêt :
En début d’année une entreprise a souscrit un prêt sur 10 ans à taux variable indexé
sur l’EURIBOR 3 mois. En fin d’année elle anticipe une hausse de taux et veut donc se
couvrir contre les fluctuations des cours. L’entreprise conclut alors un swap de taux à 9
ans avec une banque, lui permettant ainsi d’échanger ses intérêts à taux variable contre
des intérêts à taux fixe 3% (par exemple).
L’entreprise paye l’EURIBOR 3 mois pour son prêt initial et un taux fixe de 3% à la
banque, en contrepartie elle reçoit l’EURIBOR 3 mois de l’organisme financier.
Finalement, pour l’entreprise, cela est équivalent à payer le taux fixe de 3% + frais
(marges commerciales des prêteurs, frais bancaires, par exemple).
96
D
D.1
Courbes de taux utilisés
Courbe des taux nominaux
Ci-dessous la courbe des taux nominaux, construite à partir des taux Euribor (pour
le court terme, Ticker Bloomber : EUR) et Swap-Euribor (pour le long terme, Ticker
Bloomberg : EUSA) au 31 décembre 2016.
Figure 35 – Courbe des taux nominaux 31/12/2016
D.2
Courbe d’inflation
Ci-dessous la courbe des taux nominaux, construite à partir des taux Swap-inflation
(Ticker Bloomberg : FRSWI) au 31 décembre 2016.
97
Figure 36 – Courbe d’inflation 31/12/2016
D.3
Courbe des taux réels
Ci-dessous la courbe des taux réels, construite à l’aide des taux nominaux et inflation
avec la formule de Fisher.
Figure 37 – Courbe des taux réels 31/12/2016
98
