2007 SI TSI GE

Concours National Commun 2007
Filière TSI 1
Partie Génie Électrique
L’étude qui va suivre est limitée à la chaîne de mise en rotation de la charge (tête de
vissage). Où un variateur de vitesse, commande un moteur à courant continu.
La machine à courant continu à excitation séparée est insérée dans une boucle
d’asservissement selon le schéma de la figure 1 en ANNEXE page 8. Elle est couplée à une
génératrice tachymétrique qui fournit une tension proportionnelle à la fréquence de rotation
du système eg = Kg.Ω.
Le sujet est composé de six parties qui peuvent être traitées de façon indépendante:
 Première partie : Redresseur seul ;
 Deuxième partie : Ensemble redresseur + filtre;
 Troisième partie : Hacheur;
 Quatrième partie : Commande du hacheur ;
 Cinquième partie : Etude du filtre passe-bas ;
 Sixième partie : Modélisation de la machine à courant continu.
La partie asservissement de la vitesse n’est pas étudiée.
La figure 2 donne le synoptique du réseau d’alimentation de la machine à courant continu :
HACHEUR FILTRE
REDRESSEUR
DOUBLE
ALTERNANCE
NON COMMANDE
Réseau
230V – 50 Hz
Commande
U
1
U
2
U
3
U
4
M
Figure 2
Première partie : Redresseur seul :
Les diodes sont supposées parfaites.
D
4
i
e
V
AK4
V
AK3
V
AK2
V
AK1
i
4
i
3
i
2
i
1
U
2
Charge
résistive
D
3
D
2
D
1
230V – 50 Hz
U
1
R
Figure 3
Concours National Commun 2007
Filière TSI 2
Question 1. Sur le document réponse 1 (page 9), compléter le chronogramme de la tension
U2=f(t) (ici on considérera que le filtre est remplacé par une résistance pure
(figure 3, page 1).
En déduire la valeur maximale de la tension U2 (U2MAX) et sa période (TU2).
Question 2. Sur le document réponse 2 (page 10), compléter le chronogramme de la
tension VAK1(t) (tension aux bornes de la diode D1) et i1(courant traversant D1
dans le sens indiqué par la figure 3).
N.B : pour cette question on prendra R= 100Ω.
Deuxième partie : ENSEMBLE REDRESSEUR + FILTRE :
Question 3. Quel composant électronique permet de réaliser le filtrage de la tension U2 ?
Question 4. Sur le document réponse 1 (page 9), compléter le chronogramme de la tension
U3(t) (on considère que le filtre est parfait).
Troisième partie : HACHEUR :
La machine à courant continu est alimentée par le convertisseur dont le schéma est donné
par la figure 4. Les ordres d'ouvertures et de fermetures des interrupteurs commandés (T1, T2,
T3, et T4) sont élaborés à partir d'une tension de contrôle Vcom.
T1, T2, T3 et T4 sont des transistors de type NPN qui fonctionnent en commutation
(interrupteurs unidirectionnels en courant commandés à l'ouverture et la fermeture); à l'état
fermé, ils ne présentent pas de chute de tension à leurs bornes.
D’1, D’2, D’3 et D’4 : diodes dites de roue libre, sont concidèrées parfaites.
L
V
T4
V
T3
V
T2
I
D’4
I
D’3
I
D’2
I
T3
I
T4
I
T2
V
T1
I
D’1
I
T1
D’
3
D’
4
D’
2
D’
1
T
1
T
2
T
4
T
3
U
3
U
4
i
c
= I
M
Figure 4
( la commande n’est pas représenté dans ce schéma)
U
3
: tension d'entrée du hacheur supposée constante et égale à 325.3v.
U
4
: tension de sortie du hacheur (tension aux bornes de la machine).

Concours National Commun 2007
Filière TSI 3
La charge du hacheur comprend l’induit de la machine à courant continu en série avec
une bobine. L’inductance L de la bobine est suffisante pour admettre que l’intensité ic du
courant traverssant l’induit du moteur est constante et égale à I.
Question 5. Le document réponse 3 (page 11) présente l’évolution de la tension U4 pendant
une période de fonctionnement du hacheur.
Indiquer, sur ce document, les transistors du hacheur qui conduisent et ceux qui
sont bloqués (un exemple est donné sur le document réponse 3).
Question 6. Établir l’expression de la valeur moyenne de la tension U4 (notée U4moy )aux
bornes du moteur lors de cette période de fonctionnement en fonction de α et
U4max. En déduire l’expression de la puissance moyenne (Pmoy) absorbée par
l’induit en fonction de α, U4max et I.
Question 7. Comment varie le signe de la la tension moyenne de U4 en fonction de α.
Question 8. Sur le document réponse n°4 (page 12), pour chacun des quatre cas de
fonctionnement:
a. Déduire le signe de
U
4moy
.
b. Donner le signe de
P
moy
.
c. Quel est le régime de fonctionnement de la machine à courant continu (moteur
ou génératrice) ?
Remarque : La manière de récupératiopn d’énergie lors d’un fonctionnement en génératrice
n’est ni représentée ni traitée ici.
Quatrième partie : Commande du Hacheur :
Les amplificateurs opérationnels sont considérés comme idéaux et alimentés
symétriquement entre +Vcc et – Vcc où
15
cc
V
=
v.
Les tensions de saturation sont considérées égales à +Vcc et – Vcc .
On désire commander le hacheur pour avoir la relation
U4moy = K.Vcom . où K est constante
propre au montage.
Le principe de la commande est donné à la figure 5
page 4 ; où une tension de
commande
Vcom est comparée avec la tension issue d’un générateur de signaux triangulaire
VG (sa structure est détaillée à la figure 6 page 4 ).
L'ensemble sert à élaborer deux signaux V
14
et V
23
utilisés pour la commande des transistors.
Lorsque la tension de sortie d'un amplificateur opérationnel est au niveau + V
cc
, les
interrupteurs associés sont commandés à la fermeture ; quand cette tension est au niveau - V
cc
,
les interrupteurs associés sont commandés à l'ouverture.
La tension V
G
est définie sur le document réponse 5 page 13 ; sa période est T, elle
évolue entre
+ VGM et – VGM .
Concours National Commun 2007
Filière TSI 4
V
com
V
G
V
G
V
23
V
14
Vers la commande
de T
2
et T
3
Vers la commande
de T
1
et T
4
V
com
Générateur
de
signaux
-
∞
A.O.P1
+
-
∞
A.O.P2
+
Figure 5
V
G
R
3
R
2
R
1
+
∞
A.O.P3
-
V
G
V
C i
R
4
R
4
-
∞
A.O.P4
+
Figure 6 : Générateur de signaux triangulaire.
I. Étude du générateur de signaux triangulaire (fig.6) :
On considère le montage de la figure 7 page 5 , avec la caractéristique idéale de l’A.O.P :
I
-
=0
I
+
=
ε
εε
ε
V
G
V
R
3
= 6,8kΩ.
R
2
= 20 kΩ
R
1
= 10 kΩ
+
∞
A.O.P3
ε
εε
ε
V
+Vcc
-Vcc
Figure 7

Concours National Commun 2007
Filière TSI 5
Question 9. Donner l’expression de V en fonction de ε
εε
ε , VG , R1 et R2 . faire l’application
numérique.
Question 10. Au départ on suppose que V = - Vcc ; V
G
augmente à partir de –V
GM
; pour
quelle valeur de
G h
V V
=
, y a-t-il basculement de V? V
G
diminue à partir de V
h
; pour
quelle valeur de
G b
V V
=
, y a-t-il basculement de V?
Question 11. V
G
(t) est représenté dans le document réponse 5 page 13 .
On prend +VGM = Vh et –VGM = Vb .
a.
Tracer V = f (t) pour 0 ≤ t ≤ 2T.
b.
Représenter
( )
G
V g V
=
en précisant les valeurs numériques caractéristiques de
V
G
et V. Quelle fonction remplit ce montage.
VG
V
C i
R4
R4
-
∞
A.O.P4
+
Figure 8
Question 12. A partir de la figure 8, donner l’équation différentielle reliant V
G
(t) et V (t).
Phase de montée de VG (t) : (l’allure de V
G
donnée par le document de réponse 5
page 13 ).
Question 13. En utilisant le résultat de la question 11 et en intégrant l’équation différentielle
de la question 12, établir l’expression de V
G
(t) en fonction de V
cc
, R
4
, C et V
GM
.
Question 14. En appelant T la période de V
G
(t) et en écrivant que V
G
(t=T/2) = V
GM
,
déterminer l’expression de T en fonction de V
cc
, R
4
, C, V
GM
.
II. Tension de commande des transistors : (figure 5 page 4)
On considère le cas où Vcom>0
Question 15. Représenter les signaux V
14
et V
23
sur le document réponse N° 6 page 14 .
Question 16. Calculer la date t1 en fonction de V
com
, R
4
, C, Vcc et V
GM
.
Question 17. Repérer αT sur le document réponse N° 6 page 14 et l’exprimer en foction de
t1 .
Question 18. En déduire α en fonction de V
com
et de V
GM
. Exprimer ensuite la constante K
définie précedemment. En déduire sa valeur numérique.
Concours National Commun 2007
Filière TSI 6
Cinquième partie : Etude du filtre passe-bas :
La tension délivrée par la génératrice tachymétrique présente une ondulation gênante.
Alors il est nécessaire d’employer le filtre de la figure 9, où l’A.O.P5 est supposé idéal.
e
2
C
1
2C
1
R R
eg
-
∞
A.O.P5
+
Figure 9
Question 19.
Etablir l’expression de la fonction de transfert
( )
(
)
( )
2
E jw
T jw
Eg jw
= où
(
)
2
E jw
et
(
)
Eg jw
sont les vecteurs complexes correspondant à e
2
(t) et eg(t).
mettre l’expression sous la forme
2
0 0
1
2
1
m jw
j w
w w
+ +
, en déduire
0
w
et m.
Question 20. Tracer le diagramme asymptotique de Bode (gain et argument) de
(
)
T jw
.
Calculer le gain
(
)
20log
T jw
pour w = w
0
. Que peut-on dire de la pulsation
propre
0
w
?
Question 21.
Le moteur tournant à une vitesse constante, l’expression de la tension délivrée
par la génératrice peut s’écrire :
0
( ) sin( )
gM g
eg t U E w t
= +
. Quelle est
l’expression de la tension du filtre e
2
(t) dans le cas où
g c
w w
>>
. Où
c
w
est la
pulsation de coupure du filtre.
Sixième partie : Modélisation de la machine à courant continu :
L’objectif de cette partie est de déterminer un modèle de la MCC sous forme de schéma bloc.
On note
(
)
p
Ωet
(
)
4
U p
les transformées de Laplace de
(
)
t
Ωet
(
)
4
U t
. On considère les
conditions initiales nulles :
(
)
0 0
t
Ω = =
et
(
)
4
0 0
U t
= =
.
Les équations relatives au fonctionnement de la MCC sont :

Concours National Commun 2007
Filière TSI 7
4
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
me m r
m t
e
m
d t
J C t C t
dt
C t K i t
E t K t
di t di t
u t E t R i t L L
dt dt
Ω
= −
=
= Ω
= + + +
J
me
est le moment d'inertie équivalent ramené à
l'arbre moteur.
Ω est la vitesse angulaire de l'arbre moteur;
C
m
est le couple moteur.
C
r
est le couple résistant.
E est la force contre électromotrice;
K
t
est la constante de couple.
K
e
est la constante de force contre électromotrice.
R est la résistance d'induit.
L
m
est l'inductance d'induit.
L est l'inductance de la bobine de lissage;
i est le courant d'induit.
Question 22. Compléter le schéma bloc de la MCC.
+
-
+
-
Cr (p)
U
4
(p) I (p) Cm (p)
Ω
(
p)
Question 23. On suppose que C
r
(p)=0, déterminer la fonction de transfert
(
)
( )
4
p
U p
Ω de la
MCC.
Question 24.
Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme
(
)
( )
2
4
0 0
1 2
p
U p
p p
w w
β
ξ
Ω=
+ +
, donner les expressions de β , ξ et w
0
.
Concours National Commun 2007 8
V
com
u
e
1
e
2
eg
Génératrice tachymétrique
ANNEXE
:
Schéma de principe de l’asservissement de la vitesse de la
machine à courant continu
Réseau
230V – 50 Hz
U
3
U
2
U
1
U
4
Ω
Filtre passe-
bas
Amplificateur de
différence
Référence de
vitesse
Correcteur
REDRESSEUR
DOUBLE
ALTERNANCE
NON COMMANDE
FILTRE
HACHEUR
M
Commande
V
14
V
23
Figure 1

Concours National Commun 2007
9
U
1
t
U
2
t
Document réponse 1
A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique
à la fin de l'épreuve
U
3
t
Question 1
Question 4
Concours National Commun 2007
10
Document réponse 2
A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique
à la fin de l'épreuve
U
1
t
t
V
AK1
Question 2
i
1