Concours National Commun 2007 Concours National Commun 2007 Question 1. Partie Génie Électrique L’étude qui va suivre est limitée à la chaîne de mise en rotation de la charge (tête de vissage). Où un variateur de vitesse, commande un moteur à courant continu. La machine à courant continu à excitation séparée est insérée dans une boucle d’asservissement selon le schéma de la figure 1 en ANNEXE page 8. Elle est couplée à une génératrice tachymétrique qui fournit une tension proportionnelle à la fréquence de rotation du système eg = Kg.Ω. Le sujet est composé de six parties qui peuvent être traitées de façon indépendante: Première partie : Redresseur seul ; Deuxième partie : Ensemble redresseur + filtre; Troisième partie : Hacheur; Quatrième partie : Commande du hacheur ; Cinquième partie : Etude du filtre passe-bas ; Sixième partie : Modélisation de la machine à courant continu. La partie asservissement de la vitesse n’est pas étudiée. La figure 2 donne le synoptique du réseau d’alimentation de la machine à courant continu : Commande Réseau 230V – 50 Hz U1 REDRESSEUR DOUBLE ALTERNANCE NON COMMANDE U2 U3 FILTRE HACHEUR U4 M Sur le document réponse 1 (page 9), compléter le chronogramme de la tension U2=f(t) (ici on considérera que le filtre est remplacé par une résistance pure (figure 3, page 1). En déduire la valeur maximale de la tension U2 (U2MAX) et sa période (TU2). Question 2. Sur le document réponse 2 (page 10), compléter le chronogramme de la tension VAK1(t) (tension aux bornes de la diode D1) et i1(courant traversant D1 dans le sens indiqué par la figure 3). N.B : pour cette question on prendra R= 100Ω. Deuxième partie : ENSEMBLE REDRESSEUR + FILTRE : Question 3. Quel composant électronique permet de réaliser le filtrage de la tension U2 ? Question 4. Sur le document réponse 1 (page 9), compléter le chronogramme de la tension U3(t) (on considère que le filtre est parfait). Troisième partie : HACHEUR : La machine à courant continu est alimentée par le convertisseur dont le schéma est donné par la figure 4. Les ordres d'ouvertures et de fermetures des interrupteurs commandés (T1, T2, T3, et T4) sont élaborés à partir d'une tension de contrôle Vcom. T1, T2, T3 et T4 sont des transistors de type NPN qui fonctionnent en commutation (interrupteurs unidirectionnels en courant commandés à l'ouverture et la fermeture); à l'état fermé, ils ne présentent pas de chute de tension à leurs bornes. D’1, D’2, D’3 et D’4 : diodes dites de roue libre, sont concidèrées parfaites. Figure 2 IT1 Première partie : Redresseur seul : Les diodes sont supposées parfaites. T1 i1 VAK1 ID’1 VT1 IT3 D’1 T3 VT3 D2 U3 VAK2 L M ie ic = I 230V – 50 Hz IT2 U2 U1 ID’2 R T2 D4 D3 i4 VAK3 VT2 D’2 IT4 U4 T4 ID’4 VT4 Charge résistive i3 Figure 3 Figure 4 ( la commande n’est pas représenté dans ce schéma) U3 : tension d'entrée du hacheur supposée constante et égale à 325.3v. U4 : tension de sortie du hacheur (tension aux bornes de la machine). Filière TSI D’3 i2 D1 VAK4 ID’3 1 Filière TSI 2 D’4 Concours National Commun 2007 Concours National Commun 2007 La charge du hacheur comprend l’induit de la machine à courant continu en série avec une bobine. L’inductance L de la bobine est suffisante pour admettre que l’intensité ic du courant traverssant l’induit du moteur est constante et égale à I. Question 5. Question 6. Question 7. VG Générateur de signaux Le document réponse 3 (page 11) présente l’évolution de la tension U4 pendant une période de fonctionnement du hacheur. Indiquer, sur ce document, les transistors du hacheur qui conduisent et ceux qui sont bloqués (un exemple est donné sur le document réponse 3). ∞ A.O.P1 Vers la commande de T1 et T4 + Vcom Vcom - Établir l’expression de la valeur moyenne de la tension U4 (notée U4moy )aux bornes du moteur lors de cette période de fonctionnement en fonction de α et U4max. En déduire l’expression de la puissance moyenne (Pmoy) absorbée par l’induit en fonction de α, U4max et I. Comment varie le signe de la la tension moyenne de U4 en fonction de α. V14 ∞ A.O.P2 Vers la commande de T2 et T3 + V23 VG Figure 5 Question 8. Sur le document réponse n°4 (page 12), pour chacun des quatre cas de fonctionnement: a. Déduire le signe de U4moy. b. Donner le signe de Pmoy. c. Quel est le régime de fonctionnement de la machine à courant continu (moteur ou génératrice) ? R2 i R1 ∞ A.O.P3 - - VG ∞ A.O.P4 + V R3 Quatrième partie : Commande du Hacheur : C R4 + Remarque : La manière de récupératiopn d’énergie lors d’un fonctionnement en génératrice n’est ni représentée ni traitée ici. - VG R4 Les amplificateurs opérationnels sont considérés comme idéaux et alimentés symétriquement entre +Vcc et – Vcc où Vcc = 15 v. Les tensions de saturation sont considérées égales à +Vcc et – Vcc. On désire commander le hacheur pour avoir la relation U4moy = K.Vcom. où K est constante propre au montage. Le principe de la commande est donné à la figure 5 page 4; où une tension de commande Vcom est comparée avec la tension issue d’un générateur de signaux triangulaire VG (sa structure est détaillée à la figure 6 page 4). L'ensemble sert à élaborer deux signaux V14 et V23 utilisés pour la commande des transistors. Figure 6 : Générateur de signaux triangulaire. I. Étude du générateur de signaux triangulaire (fig.6) : On considère le montage de la figure 7 page 5, avec la caractéristique idéale de l’A.O.P : R2 = 20 kΩ V R1 = 10 kΩ Lorsque la tension de sortie d'un amplificateur opérationnel est au niveau + Vcc, les interrupteurs associés sont commandés à la fermeture ; quand cette tension est au niveau - Vcc, les interrupteurs associés sont commandés à l'ouverture. +Vcc I+= ε VG I-=0 La tension VG est définie sur le document réponse 5 page 13 ; sa période est T, elle évolue entre + VGM et – VGM. + ∞ A.O.P3 -Vcc R3 = 6,8kΩ. Figure 7 Filière TSI 3 ε V Filière TSI 4 Concours National Commun 2007 Concours National Commun 2007 Question 9. Donner l’expression de V en fonction de ε, VG, R1 et R2. faire l’application numérique. Cinquième partie : Etude du filtre passe-bas : La tension délivrée par la génératrice tachymétrique présente une ondulation gênante. Alors il est nécessaire d’employer le filtre de la figure 9, où l’A.O.P5 est supposé idéal. Question 10. Au départ on suppose que V = - Vcc ; VG augmente à partir de –VGM; pour quelle valeur de VG = Vh , y a-t-il basculement de V? VG diminue à partir de Vh ; pour quelle valeur de VG = Vb , y a-t-il basculement de V? 2C1 Question 11. VG (t) est représenté dans le document réponse 5 page 13. On prend +VGM = Vh et –VGM = Vb. a. Tracer V = f (t) pour 0 ≤ t ≤ 2T. b. Représenter V = g (VG ) en précisant les valeurs numériques caractéristiques de VG et V. Quelle fonction remplit ce montage. i + e2 C1 Figure 9 R4 Question 19. Etablir l’expression de la fonction de transfert T ( jw ) = ∞ A.O.P4 E2 ( jw ) Eg ( jw ) où E2 ( jw ) et Eg ( jw ) sont les vecteurs complexes correspondant à e2(t) et eg(t). + V A.O.P5 R eg C - - ∞ R VG mettre l’expression sous la forme R4 Figure 8 Question 12. A partir de la figure 8, donner l’équation différentielle reliant VG (t) et V (t). Phase de montée de VG (t) : (l’allure de VG donnée par le document de réponse 5 page 13). Question 13. En utilisant le résultat de la question 11 et en intégrant l’équation différentielle de la question 12, établir l’expression de VG (t) en fonction de Vcc, R4, C et VGM. 1 jw 2m 1+ j w+ w0 w0 2 , en déduire w0 et m. Question 20. Tracer le diagramme asymptotique de Bode (gain et argument) de T ( jw ) . Calculer le gain 20 log T ( jw ) pour w = w0. Que peut-on dire de la pulsation propre w0 ? Question 21. Le moteur tournant à une vitesse constante, l’expression de la tension délivrée par la génératrice peut s’écrire : eg (t ) = U 0 + EgM sin( wg t ) . Quelle est l’expression de la tension du filtre e2(t) dans le cas où wg >> wc . Où wc est la pulsation de coupure du filtre. Question 14. En appelant T la période de VG (t) et en écrivant que VG (t=T/2) = VGM, déterminer l’expression de T en fonction de Vcc, R4, C, VGM. II. Tension de commande des transistors : (figure 5 page 4) Sixième partie : Modélisation de la machine à courant continu : L’objectif de cette partie est de déterminer un modèle de la MCC sous forme de schéma bloc. On note Ω ( p ) et U 4 ( p ) les transformées de Laplace de Ω ( t ) et U 4 ( t ) . On considère les conditions initiales nulles : Ω ( t = 0 ) = 0 et U 4 ( t = 0 ) = 0 . On considère le cas où Vcom>0 Les équations relatives au fonctionnement de la MCC sont : Question 15. Représenter les signaux V14 et V23 sur le document réponse N° 6 page 14. Question 16. Calculer la date t1 en fonction de Vcom, R4, C, Vcc et VGM. Question 17. Repérer αT sur le document réponse N° 6 page 14 et l’exprimer en foction de t1 . Question 18. En déduire α en fonction de Vcom et de VGM. Exprimer ensuite la constante K définie précedemment. En déduire sa valeur numérique. Filière TSI 5 Filière TSI 6 e2 Référence de vitesse Amplificateur de différence U4 Question 22. Compléter le schéma bloc de la MCC. e1 Génératrice tachymétrique Ω Jme est le moment d'inertie équivalent ramené à l'arbre moteur. Ω est la vitesse angulaire de l'arbre moteur; Cm est le couple moteur. Cr est le couple résistant. E est la force contre électromotrice; Kt est la constante de couple. Ke est la constante de force contre électromotrice. R est la résistance d'induit. Lm est l'inductance d'induit. L est l'inductance de la bobine de lissage; i est le courant d'induit. M d Ω(t ) J me dt = Cm (t ) − Cr (t ) C (t ) = K i (t ) m t E (t ) = K e Ω(t ) u (t ) = E (t ) + R i (t ) + L di (t ) + L di (t ) m 4 dt dt Filtre passebas eg Concours National Commun 2007 Ω ( p) U4 ( p) Concours National Commun 2007 MCC. Question 24. Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme Ω( p) β = , donner les expressions de β, ξ et w0. 2 U4 ( p) p p 1 + 2ξ + w0 w0 Filière TSI 7 8 Correcteur Vcom V14 Commande V23 de la Figure 1 Question 23. On suppose que Cr(p)=0, déterminer la fonction de transfert ANNEXE : Schéma de principe de l’asservissement de la vitesse de la machine à courant continu - U3 HACHEUR Ω(p) FILTRE - U2 + U1 I (p) REDRESSEUR DOUBLE ALTERNANCE NON COMMANDE + Réseau 230V – 50 Hz U4 (p) u Cr (p) Cm (p) Concours National Commun 2007 Concours National Commun 2007 Document réponse 1 Document réponse 2 A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique à la fin de l'épreuve A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique à la fin de l'épreuve U1 U1 t t U2 VAK1 Question 1 t t U3 Question 4 i1 Question 2 t 9 10 Concours National Commun 2007 Concours National Commun 2007 Document réponse 4 Document réponse 3 A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique à la fin de l'épreuve A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique à la fin de l'épreuve Question 8 tc : temps de conduction T : période du signal U4 α= Cas n°1 Cas n°2 U4 tc : Rapport cyclique T U4 +U4max +U4max αΤ + U4MAX 0 αΤ t 0 T T/2 T/2 t T -U4max -U4max t tc ic T ic t 0 I - U4MAX I t 0 T1 T/2 T/2 a/……………………………….. a/…………………………. b/……………………………… b/…………………………… c/……………………………….. c/…………………………… …… T2 T3 Cas n°3 U4 T4 +U4max +U4max αΤ 0 Question 5 αΤ t T/2 T 0 -U4max -U4max ic 0 Cas n°4 U4 t T/2 T/2 T T/2 T t ic T I Exemple : I t Transistor 0 a/……………………………… a/………………………………… b/……………………………… b/……………………………… c/……………………………… …….. c/………………………………… ………. L'absence de trait indique que le transistor est bloqué Le trait fort indique que le transistor est passant 11 12 Concours National Commun 2007 Concours National Commun 2007 Document réponse 5 Document réponse 6 A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique à la fin de l'épreuve A agrafer sur la copie de composition de l’épreuve du génie électrique à la fin de l'épreuve Question 15 VG VG +VGM VCom>0 +VGM T 0V 2T t t1 T/2 T 3T/2 2T t -VGM -VGM V14 Question 11.a V +VCC 0V t1 t -VCC V V23 Question 11.b +VCC VG t1 t -VCC 13 14
