FILTROS DIGITALES FIR

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FILTROS DIGITALES FIR.
 Filtro digital FIR.
 Diseño de Filtros FIR usando diferentes métodos.
 Ejemplos de Programación.
Los filtros digitales han venido reemplazando a los filtros análogos en una gran variedad de
aplicaciones industriales. La comodidad del diseño, así como la calidad de la respuesta en
frecuencia hacen de este tipo de herramientas una posibilidad excelente para el procesamiento
digital de señales. Existen una gran variedad de métodos de diseño de este tipo de filtros, así
como la posibilidad de implementarlos muy fácilmente en un dispositivo digital como un DSP u
otro elemento que permita realizar el algoritmo de convolución, ya que básicamente un filtro FIR
es el proceso de convolución entre dos vectores.
5.1 INTRODUCCION.
Una de las principales aplicaciones que se tiene en el procesamiento de señales es
precisamente los filtros. Un filtro es un sistema que tiene la capacidad de tener diferentes
comportamientos dependiendo la frecuencia de la señal de entrada. Un filtro digital es
básicamente una ecuación de diferencias finitas que permite generar un comportamiento a la
salida en forma variable dependiendo el espectro de frecuencia.
El ancho de banda (BW) se define como el espectro de frecuencia sobre el cual el filtro permite
tener alguna respuesta. Es importante saber que para que haya un funcionamiento óptimo, la
señal de entrada debe tener una BW limitado, es decir que se conozca la máxima frecuencia de
entrada, para poder determinar la Frecuencia de Muestreo () necesaria para cumplir con
Nyquist. Si eventualmente la señal de entrada no tuviera una frecuencia máxima conocida, o si
por limitaciones de Hardware se tuviera una restricción en cuanto a la , se hace necesario
limitar el BW a la entrada con un filtro análogo, tal y como se muestra en la figura 5.1.
Como puede observarse en dicha figura, la señal de entrada tiene un espectro de frecuencia
mayor que 
, razón por la cual se debe aplicar un filtro pasabajo que limite el ancho de
banda final hasta 
, para evitar el fenómeno de aliasing
1
, es decir frecuencia por encima de
la frecuencia máxima permitida, que en un sistema de procesamiento digital va a generar
señales indeseables.
1
Aliasing: Frecuencias no deseadas que aparecen cuando la señal digitalizada es más alta que la mitad de la
frecuencia de muestreo.

Señal
Entrada
Filtro
Pasabajo
Fc < Fs/2
Señal
Salida
Fs/2 Fs/2
F F
Figura 5.1
Dentro de los diseños e implementaciones de filtros digitales existen básicamente dos opciones,
dependiendo de la respuesta que tenga el sistema al impulso unitario. De ahí que se clasifiquen
en filtros FIR o IIR, según sea que tengan repuesta finita al impulso o respuesta infinita al
impulso unitario. En la siguiente sección se describirá detalladamente el concepto de repuesta al
impulso unitario.
5.2 RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO.
Un sistema digital básico tiene una entrada tradicionalmente llamada x[n] y una salida y[n]. Tanto
x[n] como y[n] son señales discretas, las cuales son representadas por vectores
unidimensionales. Si el sistema se excita a la entrada por un impulso unitario , el sistema
tendrá a la salida una respuesta única a esta excitación, la cual es llamada como Respuesta al
Impulso Unitario o h[n]. El impulso unitario  se representa matemáticamente como:
o 
Ejemplo 5.1
Hallar la respuesta al impulso unitario en el siguiente sistema:

T T
+
X[n]
Y[n]
Figura 5.2
Como podemos observar, el sistema descrito en la figura 5.1 puede ser representado por la siguiente ecuación
de diferencias:
O simplificando 
De tal forma que se remplazamos a x[n] por  tenemos que:
O equivalente a 
5.2.1 Respuesta Finita al Impulso Unitario FIR.
Si se analiza el ejemplo 5.1 se puede observar que el vector h[n], el cual representa la salida o
respuesta al impulso unitario, tiene una longitud finita, es decir que luego de algunos datos el
sistema queda permanentemente en un valor de 0, con lo cual se puede decir que el vector h[n]
es un vector de longitud finita, en el caso del ejemplo, de longitud 2. Si se tiene este
comportamiento se dice que el filtro es tipo FIR, esto es, Filtro de Respuesta Finita al Impulso
Unitario.
Todos los filtros que no tienen realimentación, es decir, que en la ecuación de diferencias
solamente dependen de componentes retrasadas de x[n], y no de valores de y[n-k], para
cualquier k, se denominan filtros FIR, ya que siempre llegarán a un valor estable en 0. Ahora
bien, un filtro realimentado, es decir que dependa de algún componente y[n-k], puede también
llegar a ser un filtro FIR, sin embargo en el presente texto se considerará como regla general
solamente los sistemas no realimentados para efectos de análisis de filtros FIR.
5.2.2 Respuesta Infinita al Impulso Unitario IIR.
Si un filtro al ser excitado a la entrada con un impulso unitario presenta a la salida un vector y[n],
el cual tiene longitud infinita, es decir, que nunca va a llegar a estar estable en 0, se le denomina
Filtro de Respuesta Infinita al Impulso Unitario IIR. Para que un filtro se comporte de esta forma,
necesariamente debe estar realimentado, es decir, debe depender tanto de x[n-k], como de
y[n-m].

Ejemplo 5.2
Considere el siguiente sistema, y analice el comportamiento para cuando la entrada x[n] es un impulso unitario.
T
+
X[n] Y[n]
Figura 5.3
La ecuación de diferencias que representa el sistema discreto descrito en la figura 5.3 es:
En la siguiente tabla se tabula todo el comportamiento del sistema cuando es excitado con un impulso unitario.
n
0
1
2
3
4
X[n]
1
0
0
0
0
Y[n-1]
0
1
Y[n]
1
Tabla 5.1
De tal forma que la respuesta al impulso h[n] queda como:
Esta ecuación siempre será diferente de 0, con lo cual se puede decir que tiene una longitud infinita, por tal
razón dicho filtro se puede considerar un filtro IIR.
5.3 FORMA CANONICA DE UN FILTRO FIR.
Un filtro FIR tiene una representación canónica tanto en forma gráfica, en forma de ecuación de
diferencias y en forma de Función de Transferencia (En función de la transformada Z).
La ecuación general en forma de diferencias finitas está dada por:
Donde h (k) corresponden a los coeficientes propios del filtro, los cuales son función de:
 Frecuencia de Muestreo
 Tipo del filtro (LPF, HPF, BPF o SBF)
2
 Frecuencias de corte (
hl FF ,
)
2
LPF = Filtro Pasabajo, HPF = Filtro Pasaalto, BPF = Filtro Pasabanda y SBF = Filtro de Rechazo

Y N es el orden del filtro, el cual al ser bastante grande genera un mayor grado de selectividad
en el filtro.
En una sección posterior se analizará la forma de calcular los coeficientes característicos del
filtro. Como se puede observar, la ecuación descrita anteriormente corresponde a la
multiplicación de dos vectores, uno que corresponde a los coeficientes, el cual no cambia
durante todo el proceso, mientras que el otro, el de x[n-k], va cambiando a medida que avanza el
tiempo y representa las últimas k muestras que el sistema ha tomado de la señal de entrada. Es
decir, que la salida actual depende de las últimas k muestras de entrada solamente y no
depende de algún estado previo de salida, lo cual obligaría a tener un sistema realimentado.
Otra forma de observar el sistema FIR es a través de una forma gráfica. En la figura 5.4
podemos observar la topología para este sistema:
T
h(0)
h(1)
h(2)
h(N-1)
+
+
+
.
..
.
Y[n]
X[n]
T
T
T
.
Figura 5.4
Por último, se representa el sistema en forma de su Función de Transferencia en el dominio Z,
es decir en el dominio de la frecuencia discreta, de la siguiente forma:
Siendo 
En donde se observa que la Función tiene la misma cantidad de ceros y polos, estos últimos
ubicados todos en el origen, evitando la posible realimentación en el sistema, aspecto que si
sucede en un filtro IIR, tal y como se observará en el siguiente capítulo.