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ElectroCinetique II

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INSA
1 ER C YCLE I NGÉNIEUR
INSTITUT NATIONAL
DES SCIENCES
APPLIQUÉES
CENTRE VAL DE LOIRE
DE L’ENSI DE
Campus
deBourges
L'école de la
maîtrise des risques
B OURGES
UE S CIENCE A PPLIQUÉES
S UPPORT
DE
C OURS
D ’É LECTRO C INÉTIQUE
David FOLIO
II
<david.folio@insa-cvl.fr>
http://perso.ensi-bourges.fr/dfolio/Teaching.php
L’objet de se support de cours n’est pas de fournir le cours complet d’électrocinétique. Il s’agit plutôt
d’un guide pour vous aider à suivre et comprendre le cours. Il vous appartient de le compléter et de
l’enrichir des différents éléments abordé en cours et en TD.
Année Universitaire : 2013–2014
ii
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
Table des matières
IV Régime sinusoïdal
IV.1 Les signaux électriques . . . . . . . . . . .
IV.2 Représentation d’une grandeur sinusoïdale
IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé . . . .
IV.4 Puissances en régime alternatif . . . . . .
.
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.
.
1
1
3
5
11
V Réponses fréquentielles
V.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.3 Filtrage analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
19
25
VI Amplificateurs
VI.1 L’Amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
33
A Références Bibliographiques
41
iii
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TABLE DES MATIÈRES
iv
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
Chapitre IV
LE
RÉGIME VARIABLE SINUSOÏDAL
L’objectif est d’étudier le comportement des circuits linéaires lorsqu’ils sont soumis à un signal
électrique variable. Plus particulièrement, on s’intéressera aux signaux alternatifs sinusoïdaux.
IV.1
Les signaux électriques
Un signal électrique peut être caractérisé par sa forme : continue ou variable, périodique ou
non, unidirectionnel ou alternatifs, etc. On distingue également :
les signaux analogiques : variation continue dans le temps des signaux électriques
,→ Information : valeurs instantanées des grandeurs électriques
les signaux numériques : variation binaire des signaux électriques
,→ Codage de l’information
IV.1.1
Le régime variable
Contrairement au régime continu où les grandeurs électriques sont constantes par rapports
aux temps, les grandeurs du régime variable évoluent en fonction du temps.
exp(-t/τ)
Sinus
Carré
Triangle
Sinc
Train d'impulsion
Dents de scie
τ
T
Fig. IV.1 – Quelques exemples de signaux variables
IV.1.2
Les signaux périodiques
Parmi la multitude de signaux variables, on s’intéresse principalement aux signaux électriques
périodiques.
Définition 1 (Signaux périodiques). Un signal temporel est périodique de période T ssi :
x(t + kT ) = x(t), ∀t ∈ R+ , ∀k ∈ N
(IV.1)
1
t
IV.1 Les signaux électriques
2
Caractéristiques des signaux périodique :
1
La fréquence f =
s’exprimant en Hertz (Hz) ;
T
,→ Toutefois, on préfère souvent raisonner en termes de pulsation (aussi appelée
fréquence angulaire) : ω = 2πf = 2π
(rad/s).
T
b = max(x) − min(x)
La valeur crête à crête : Xpp = X
Caractéristiques des signaux périodique :
La composante continue qui représente
la grandeur moyenne :
Z
1 T
hxi = X = Xmoy =
x(t)dt (IV.2)
T 0
t
La valeur moyenne est une grandeur algébrique, est indépendante de la période T
du signal. Elle est nulle pour un signal symétrique.
La valeur efficace (ou RMS – Eng.: Root Mean Square) :
s
Xeff = X =
1
T
Z
T
x2 (t)dt =
p
(IV.3)
hx2 i
0
La valeur efficace Ueff d’une tension u(t), correspond à la valeur de la tension
continue constante U0 qui produirait les mêmes effets (eg. même dégagement de chaleur)
sur un dipôle purement résistif.
Exercice IV.1. Pour les différents signaux du tableau ci-dessous, retrouver les résultats correspondants (NB : le tracé des signaux peut aider).
Signaux
Sinus :
Carré :
x(t)
A sin(2πf t)
(
A t ∈ [0, T2 ]
−A t ∈ [ T2 , T ]
1
Dents de scie : 2A f t −
− ft
−A
2
1
Triangle :
2A f t −
− ft
−A
2
hxi
0
Xeff
0
A
0
A
√
3
0
A
√
3
A
√
2
,→ avec t le temps, A l’amplitude, f = 1/T la fréquence, et bxc la partie entière de x .
IV.1.3
Le régime harmonique
Grâce aux outils d’analyse de Fourier, on sait que tous les signaux périodiques x(t) (et sous
certaines conditions que l’on supposera valides ici) peuvent se décomposer en somme de sinus
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
3
Chap. IV Régime sinusoïdal
et cosinus de fréquences multiples de la fréquence fondamentale f0 , soit :
x(t) = c0 +
= c0 +
∞
X
k
∞
X
{ak cos(kωt + αk ) + bk sin(kωt + βk )}
{e
xk (t)}
k
où c0 représente la composante continue (valeur moyenne), et {e
xk (t)} la k ième harmonique.
Ainsi, tout signal électrique périodique de valeur instantanée x(t) peut être décomposée en
une composante continue hxi et une composante alternative (ou ondulation) x
e(t) de valeur
moyenne nulle :
X
x(t) = hxi + x
e(t),
avec x
e(t) =
{e
xk (t)}
(IV.4)
k
Le théorème de superposition permet alors d’utiliser les principaux termes de cette décomposition afin de décomposer l’étude d’un circuit linéaire alimenté en régime périodique quelconque
en somme de circuit alimenté par des signaux alternatifs sinusoïdaux.
IV.2
Représentation d’une grandeur sinusoïdale
Un signal alternatif sinusoïdal x(t) se définit par :
x(t) = A sin(ωt + ϕ)
A l’amplitude,
ϕ la phase (eg. en rad)
ω la pulsation (eg. en rad/s).
(IV.5)
Caractéristiques des signaux alternatifs sinusoïdaux
Valeur moyenne : hxi = X = Xmoy = 0
A
Valeur efficace : Xeff = X = √
2
Valeur crête à crête : Xpp = 2A
Les caractéristiques ci-dessus ne sont vrai que pour les signaux alternatifs sinusoïdaux
La forme temporelle d’une grandeur sinusoïdale est souvent peu “pratique” à
manipuler.
On préfère généralement exploiter des représentations analogues plus simples à
exploiter.
IV.2.1
Représentation complexe
Rappels mathématiques
Rappels mathématiques : soit g ∈ C, et 2 = −1
©
Coordonnées cartésiennes :
• forme algébrique : g = a + b
→
−
• forme vectorielle : g = (a, b)
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
Coordonnées polaires :
• forme exponentielle : g = ρ eθ
• forme trigonométrique : g
=
ρ(cos θ +  sin θ)
→
−
• forme vectorielle : g = (ρ, θ) = ρ∠θ
IV.2 Représentation d’une grandeur sinusoïdale
4
Caractéristiques d’une grandeur complexe g ∈ C :
√
p ∗
g g
• son module : | g | = ρ = a2 + b2 =
• son argument : arg g = θ = atan2(b, a)
Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale
Représentation complexe d’une√grandeur sinusoïdale :
Forme temporelle x(t) = X 2 sin(ωt + ϕ)
Forme complexe :
x(t) = X e(ωt+ϕ) = X eϕ eωt
= X eωt
,→ X = X eϕ est l’amplitude complexe associée à x(t).
Opérations sur les grandeurs sinusoïdales
Addition et soustraction 7→ eg. forme cartésienne
multiplication et division 7→ eg. la forme polaire
dx
= ω · x
Dérivation :
dt
Z
IV.2.2
Intégration :
xdt=
1
ω
·x
Représentation de Fresnel
Définition 1 (Représentation de Fresnel). Cette représentation permet, à l’aide d’une
construction géométrique simple, de réaliser des opérations sur plusieurs fonctions sinusoïdales
de même pulsation ω.
√
,→ Associer à la grandeur sinusoïdale x(t) = X 2 sin(ωt + ϕ)
−
Le vecteur de Fresnel : →
x = {X, ϕ}
Il est d’usage de considérer la valeur efficace X = Xeff à la place de l’amplitude,
dans le module du nombre complexe et du module du vecteur de Fresnel.
√
√
Exercice IV.2. Soit x1 (t) = X1 2 sin(ωt + ϕ1 ) et x2 (t) = X2 2 sin(ωt + ϕ2 ), 2 signaux
sinusoïdaux. Déterminer les paramètres des signaux suivants :
(a) xa (t) = x1 (t) + Kx2 (t)
(b) xb (t) = x1 (t) −
d x2 (t)
dt
ϕ=0
ϕ=0
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
5
Chap. IV Régime sinusoïdal
IV.3
Circuits en régime sinusoïdal forcé
Circuits RLC série en régime sinusoïdal
Circuits RLC ≡ Circuits linéaires du 2nd ordre
,→ Equations différentielles du 2nd ordre
LC
d uC
d2 uC
+ uC (t) = u(t)
2 + RC
dt
dt
La solution : y(t) = yh (t) + yp (t)
• yh (t) : la solution homogène
•
•
R
ξ = 2L
: amortissement
1
ω0 = √LC
: pulsation
propre
yh (t) = A1 er1 t +A2 er2 t
,→ obtenue sans second membre (ie. régime RLC propre, cf. chap III)
•
yp (t) : la solution particulière
,→ Même “nature” que u(t), soit yp (t) = B1 cos(ωt + φ)
(régime sinusoïdal
forcé)
Régime transitoire
Régime permanent
x(t)
Fig. IV.2
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé
IV.3.1
6
Dipôles en régime sinusoïdal
Un dipôle ne comportant que des dipôles linéaires passifs, soumis à
une tension sinusoïdale v(t) de fréquence f , est traversé, en régime
permanent, par un courant sinusoïdal i(t) de même fréquence.
i(t)
Z
v(t)
Signaux électriques alternatifs sinusoïdaux :
√
√
Tension v(t) = V 2 sin(ωt + θv )
Courant i(t) = I 2 sin(ωt + θi )
→
−
→
−
• Vecteur de Fresnel v = {V ; θv }
• Vecteur de Fresnel i = {I; θi }
• Tension d’amplitude complexe V =
• Courant d’amplitude complexe I =
V eθv
I eθi
,→ On définit le déphasage courant/tension : φ = θv − θi
IV.3.2
Notion d’impédance et d’admittance
V
L’impédance d’un dipôle est un nombre complexe définit par : Z =
I
Forme exponentielle : Z= Z eφ
Forme trigonométrique : Z = Z(cos φ +  sin φ)
→
−
Forme vectorielle : Z = {Z; φ}
U
7→ impédance apparente du dipôle
• Module : | Z | = Z =
I
• Argument : arg Z = φ = θv − θi
(exprimé en Ω) ;
,→ déphasage par rapport à la source utilisée comme référence de phase (eg. en
rad)
Forme algébrique : Z = R + X
• R = Z cos φ
7 partie réelle dite résistive
→
(exprimé en Ω) ;
• X = Z sin φ
7 partie imaginaire dite réactive ou réactance (exprimé en Ω).
→
La notion d’impédance permet d’étendre la loi d’Ohm aux signaux sinusoïdaux.
L’admittance d’un dipôle est l’inverse de l’impédance : Y = Z −1 =
Forme algébrique : Y = G + B
• G = Re (Y )
7 conductance
→
• B = Im (Y )
7 susceptance
→
Exercice IV.3. Montrer que G =
IV.3.3
I
V
(exprimé en 1/Ω ou S) ;
(exprimé en 1/Ω ou S).
R
R2 +X 2
et B =
−X
R2 +X 2
Les associations de dipôles
Dipôles en série
n dipôles linéaires sont associés en série ssi ils
sont sur une même branche. Les dipôles sont
parcourus par le même courant d’intensité I :
n
n
X
X
V =
Vk =I
Zk
k
k
,→ L’impédance équivalente : Z eq =
n
X
Zk
k
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
7
Chap. IV Régime sinusoïdal
Admittances en parallèle
n dipôles linéaires sont associés en parallèle
ssi ils ont la même d.d.p. à leurs bornes. L’intensité I totale du courant traversant l’associan
n
X
X
tion vaut :
I=
Yk
Ik = V
k n
X
,→ L’admittance équivalente : Y eq =
k
Yk
k
IV.3.4
Impédances des dipôles passifs linéaires
Résistance idéale R :
(IV.6)
u(t) = Ri(t)
,→ L’impédance d’une résistance idéale : Z R = R.
Condensateur idéal de capacitéZC
1
u(t) =
i(t)dt
C
⇔
,→ L’impédance d’un condensateur idéal : Z C =
Bobine idéale d’inductance L
u(t) = L
d i(t)
dt
⇔
U=
1 1
·
I
ω C
(IV.7)
1
.
Cω
U = ω · L I
(IV.8)
,→ L’impédance d’une bobine idéale : Z L = Lω.
Dipôle
u(t) ↔ i(t)
U ↔I
(valeur efficace)
Résistance Linéaire
u(t) = Ri(t)
U = RI
u(t) = L di(t)
dt
U = LωI
i(t) = C du(t)
dt
U=
Inductance pure
Condensateur parfait
1
Cω I
Circuits RLC série en régime sinusoïdal
Exercice IV.4. Un dipôle AB, formé d’une association en
série d’une résistance parfaite R, d’une bobine parfaite
L et d’un condensateur parfait
√ C, est parcouru par un
courant d’intensité : i(t) = I 2 sin(ωt).
1. Déterminer la tension u aux bornes du dipôle ?
2. Qu’elle est l’impédance équivalente Z ?
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
Impédance
Complexes
Représentation de
Fresnel
IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé
8
Définition 1 (Résonance). On appelle résonance, l’obtention d’une amplitude maximum
pour une grandeur électrique donnée.
La fréquence correspondante fr , correspond à la fréquence de résonance.
Pour les circuits RLC
Résonance d’intensités
• Il y a résonance d’intensité à la fréquence : fr = f0 = √1
2π LC
• Si le circuit présente peu d’amortissement (eg. résistance faible) la résonance est
aigüe et la valeur de l’intensité maximum importante : Imax = UR
Résonance de charge (dans la capacité)
• Laq
fréquence de résonance√ dépend du facteur de qualité. On montre que : fr =
f0 1 − 2Q1 2
(si Q > 22 ), avec Q le facteur de qualité.
• Il existe une surtension capacitive à la résonance. Notamment, il est facile de
montrer que : Uc (ω0 ) = QU
IV.3.5
Études des circuits linéaires
Les différentes lois vues en régime continu (cf. chapitre III, semestre 1) restent valide en
régime sinusoïdal. Il s’agit simplement de remplacer les amplitudes réelles (et constantes)
des tensions et des intensités par les amplitudes complexes correspondantes. De
même, il s’agit de remplacer la notion de résistance équivalente par celle de l’impédance
équivalente.
Les lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff
(rappels)
ère
1 loi de Kirchhoff : la loi des nœuds
X
X
is (t)
ie (t) =
sortant
entrant
2ème loi de Kirchhoff :
• la loi des branches :
X
Vk (t)
V (t) =
k∈branche
•
la loi des mailles :
X
Vk (t) = 0
k∈branche
Dans l’ARQS, les lois de Kirchhoff sont TOUJOURS VÉRIFIÉS. Que le circuit
électrique soit linéaire ou non, contenant des composants passifs ou actifs, en
régime continu ou variable, etc.
Le modèle de Thévenin
Théorème IV.3.1 (Thévenin). Tout circuit électrique linéaire à deux bornes, est ÉQUIVALENT à une source de tension idéale V Th , dite source de Thévenin, en série avec une
impédance unique Z Th .
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
Chap. IV Régime sinusoïdal
V
+
Détermination de V Th :
B
≡
ZTh
vTh
+
v
A
Charge
+
i
I A
Charge
ci
r
qucuit
el li
co né
nq ai
ue re
9
B
la tension à vide aux bornes du dipôle
Détermination de Z Th : l’impédance équivalente vue entre les deux bornes du dipôle
lorsque toutes ses sources indépendantes sont éteintes.
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé
10
Le modèle de Norton
Théorème IV.3.2 (Norton). Tout circuit électrique linéaire à deux bornes, est équivalent à
une source de courant idéale d’amplitude complexe I N , dite générateur de Norton, en parallèle
avec une admittance unique Y N .
+
YN =
1
ZN
≡
iN
Charge
V
YN
Charge
ci
r
qucuit
el li
co né
nq ai
ue re
+
Détermination de I N :
i A
I A
v
B
B
le courant de court-circuit du dipôle
: l’admittance équivalente vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes
ses sources indépendantes sont éteinte.
Les sources liées ne sont jamais éteintes !
Équivalence entre les modèles de Thévenin et de Norton
Les représentations de Thévenin et de Norton sont équivalente
v
B
iN
v
Charge
vTh
+
≡
YN
ZTh
i A
A
Charge
i
B
,→ On peut remplacer une représentation par l’autre de manière équivalente !
Les modèles de Thévenin et de Norton sont reliés :
Même impédance équivalente : Z Th = Z N = Z eq = Y1
eq
et V Th = I N Z eq
ou
I N = V Th Y eq
On distingue 2 types de sources : les sources liées, dont les caractéristiques dépendent
d’un autre élément du circuit, et les sources indépendantes.
Lorsqu’on doit éteindre une source (théorèmes de superposition, de Thévenin, de Norton, etc.) on
éteint UNIQUEMENT les sources INDEPENDANTES, et JAMAIS les sources LIÉES.
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
11
Chap. IV Régime sinusoïdal
IV.4
Puissances en régime alternatif
IV.4.1
Énergie et Puissance électrique
Définition IV.4.1 (Énergie). En physique, l’énergie correspond à la capacité de faire un
travail, c-à-d. d’agir
(unité joules : J)
Différentes formes d’énergies :
dé
a
ch
e
rg
,é
nv
e
ss
r ti
lum
s
ine
rs
eu
ph
c en
o to
ce
vol
t
es
a ïq u
Energie
RAYONNANTE ca
pte
chimioluminescence
photochimie,
photosynthèse
olyse
électr
mac
therm
olys
MECANIQUE
h ine
s tou
p i é z o - r n a n t e,
électricité
pompes
de
ray
nd
on
es c
ne
combu
fermen stion,
tation
Energie
CHIMIQUE
iles
urs, p
ulate
accum
explosions
géné
rateu
r s élec t r
iq u es
Energie
Energie
ELECTRIQUE
in c a
urs
en
m
en
ts
Energie
THERMIQUE
s, chocs
frottement
moteu
réacteurs
nucléaire
ol
e
turbines
hydrauliques
Energie
NUCLEAIRE
ce
re
ai
co
le
o
c tr
e,
rmiqu
rs the rbines
tu
Energie
HYDRAULIQUE
co
effet joule (rés
istance électriques, fours, etc.)
n ve
r t is s e
urs thermoélectriques, thermoïoniques, magné
od y
t oh y dr
i qu
na m
es
L’énergie constitue “un pont” entre les différents domaines de la physique
Conservation de l’énergie :
Rien ne se perd, rien ne se crée tout se transforme (Lavoisier, 1789)
Z t2
,→ L’énergie électrique : E =
v(t) · i(t)dt
t1
Définition 1 (Puissance). En physique, la puissance est la quantité d’énergie par unité
de temps fournie par un système à un autre. La puissance p(t) est un débit d’énergie :
d E(t)
(unité watt : W)
p(t) =
dt
Définition 2 (Puissance électrique). La puissance électrique
instantanée échangé par un dipôle est définit par le produit :
p(t) = v(t) · i(t)
i(t)
(IV.9)
Z
v(t)
,→ La puissance électrique se mesure au moyen d’un wattmètre
IV.4.2
Puissance électrique instantanée
Puissance électrique instantanées p(t) est une grandeur algébrique :
si p(t) ≥ 0, alors il s’agit d’une puissance consommée par le dipôle ⇔ dipôle
récepteur
sinon p(t) ≤ 0, alors il s’agit d’une puissance fournie par le dipôle ⇔ dipôle
générateur
Ceci est vrai pour la convention récepteur
En convention générateur c’est l’inverse !
Puissance instantanée en régime alternatif sinusoïdal
En régime alternatif sinusoïdal les grandeurs électriques sont caractérisées par :
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
IV.4 Puissances en régime alternatif
12
√
• tension : u(t) = √
U 2 cos(ωt + θu )
• courant i(t) = I 2 cos(ωt + θi )
L’expression de la puissance instantanée lorsque la tension et le courant sont des fonctions
sinusoïdales du temps conduit à :
p(t) = u(t) · i(t) = U I cos (θu − θi ) + U I cos (2ωt + θu + θi )
(IV.10)
La puissance instantanée expression correspond ainsi à la somme de deux termes :
• une composante alternative correspondant à la puissance fluctuante :
pf (t) = U I cos (2ωt + θu + θi )
(IV.11)
• une composante continue correspondant à la puissance active :
(IV.12)
P = U I cos (φ)
On peut choisir arbitrairement d’annuler une des phases à l’origine, en posant par exemple
θu = 0.
La puissance est le produit de deux fonctions sinusoïdales, il ne s’agit donc pas d’une
opération linéaire.
IV.4.3
Puissance active
Puissance active P
Dans le cas d’un fonctionnement périodique de période T , on définit la puissance
moyenne reçue par le dipôle sur une période :
P = Pmoy
1
= hp(t)i =
T
Z
T
u(t)i(t) · dt = hu(t)i(t)i
(IV.13)
0
,→ Pour des signaux alternatifs sinusoïdaux : P = U I cos (φ)
IV.4.4
La seule a être physiquement une puissance
Liée à un transformation d’énergie
Le rendement est un rapport de puissances actives
Puissance apparente, puissance réactive
Puissance apparente S = U I
(unité : Volt-Ampère – V A)
,→ Définie la valeur maximale pouvant-être prise par la puissance active
Puissance de dimensionnement : section des câbles
P
Facteur de puissance k =
|k| ∈ [0; 1]
S
,→ Rend compte de l’efficacité qu’a un dipôle pour consommer de la puissance électrique
Caractéristique d’un récepteur électrique
En régime sinusoïdal : k = cos φ
Puissance réactive Q
(unité : Volt-Ampère-Réactif – VAR)
Phénomènes d’accumulation électrostatiques ou magnétiques
,→ Illustre les effets réactifs du circuit
En régime sinusoïdal : Q = U I sin φ
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
13
Chap. IV Régime sinusoïdal
On considère les valeurs efficaces des signaux : U = Ueff et I = Ieff
Relation entre puissance
,→ Puissance apparente complexe :
s = U · I∗
,→ s= P + Q, ou encore s = S eφ
S
φ
Im
(IV.14)
P
Triangle des puissances :
Q
Re
Les puissances S et Q n’ont pas de sens “physique”
,→ Seule la puissance active P à un sens “physique”
Les unités sont différentes des Watts alors qu’elles sont homogènes à une puissance afin de respecter
le principe physique qui autorise d’additionner des grandeurs de mêmes unités. En effet additionner
des puissances actives avec des puissances réactives ou apparentes n’a aucun sens physique.
Les expressions de P , Q, S et k présentées ne sont vraies que pour les régimes
alternatifs sinusoïdaux !
Théorème IV.4.2 (Boucherot). La puissance active d’un système est la somme des puissances actives P des éléments le constituant, de même pour la puissance réactive Q.
Le théorème de Boucherot ne s’applique pas à la puissance apparente S !
,→ Le théorème de Boucherot traduit le principe de la conservation de l’énergie électrique.
u
i
P,
1 Q1
... P,
P,
2 Q2
n Qn
}
S=UI
STotal
S1
P1
P2
φ1 Q
1
S2
Sn
Q2
...
Qn
Pn
Fig. IV.3 – Illustration du théroème de Boucherot
Exercice IV.6. Soit un dipôle d’impédance Z = R + X, traversé par un courant sinusoïdal de
valeur efficace I.
1. Démontrer les résultats suivants : P = Re{Z}I 2 , Q = Im{Z}I 2 et S = |Z| I 2
2. Faire de même lorsque l’on considère une admittance Y = G + B
3. Déterminer les différentes puissances lorsque le dipôle est une résistance pure R, une bobine
idéale L et une capacité idéale C (cf. table IV.1)
Remarque IV.2. Selon la valeur de la puissance réactive Q, on peut conclure :
Si Q > 0 : ...
Si Q < 0 : ...
Si Q = 0 : ...
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
IV.4 Puissances en régime alternatif
14
Dipôle
Résistance
P
Q
Inductance
Condensateur
Table IV.1
IV.4.5
Relèvement d’un facteur de puissance
Nécessité de relever le facteur de puissance k...
Les appareil électrique consomme une puissance déterminée : Ps = Us Is cos φ...
• La puissance Ps est imposée par la charge
Ex.: Une ampoule de 10W
• La tension Ue est fixée par le générateur
Ex.: U = 220 V
,→ Le courant Ie est d’autant plus grand que le facteur de puissance k est faible
Le courant doit être transporté sur de longue distance par des câbles électriques
• Impédance d’une ligne électrique : Z l =
Ligne
Rl + Xl
ie
is
2
• Pertes Joules : PJ = Rl I
Zl
• Puissance réactive : Q = Xl I 2
ue
us
C
C
• Chute de tension en ligne : ∆U =
Rl Ps +Xl Qs
...
Us
charge
•
Rendement : η =
Ps
...= 1PJ
Pe
1+ P
s
,→ Pour améliorer le rendement il faut augmenter le facteur de puissance k =
cos ϕ
Les fournisseurs d’électricités pénalisent les installations ayant k < 0.9 !
IV.4.6
Adaptation d’impédance
Objectif : optimiser le transfert d’une puissance électrique entre un émetteur (source)
et un récepteur électrique (charge)
Générateur
de tension sinusoïdal : ug (t)
√
Ug 2 cos(ωt)
+ impédance interne : Z g = Rg + Xg
Charge : Z u = Ru + Xu
Puissance reçue par la charge : Pu
Re{Z u }I 2 ,
U
avec I = Z +gZ , on a :
g
u
Générateur
=
Zg
i(t) Charge
+
Zu
ug(t)
=
Pu =
Ru Ug2
(Rg + Ru )2 + (Xg + Xu )2
,→ But : maximiser la puissance Pu reçue
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
15
Chap. IV Régime sinusoïdal
Pour maximiser la puissance Pu , avec Ug , Rg et Xg fixée :
il faut que Xu = −Xg
Ru
déterminer Ru qui rend la fonction f (Ru ) = (R +R
maximale
)2
g
u
Pour que le générateur fournisse le maximum de puissance à la charge, il faut : Z u = Z ∗ g .
On dit alors qu’il y a “adaptation d’impédance”.
Si (Ru , Xu ) sont fixées, il faut intercaler un quadripôle entre le générateur et la charge (cf.
TD).
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
IV.4 Puissances en régime alternatif
16
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
Chapitre V
É TUDES
V.1
DES RÉPONSES FRÉQUENTIELLES
Du régime transitoire au régime permanent
Régime transitoire : régime de fonctionnement d’un circuit entre le moment où
aucun courant ne circule et celui où s’établit un régime
permanent.
,→ Caractérisé par un taux d’amortissement, un temps de relaxation ou encore un
facteur de qualité.
Régime permanent : régime de fonctionnement d’un circuit qui se maintient pendant un temps infiniment long.
,→ Il peut être un régime continu (statique, cf. S1) ou un régime variable (régime sinusoïdal
permanent)
Régime transitoire
Régime permanent
x(t)
Fig. V.1
V.1.1
Réponse d’un circuit électrocinétique
étudier le comportement d’un circuit linéaire alimenté par une source
sinusoïdale.
Il s’agit de caractériser la tension u(t) aux bornes d’un composant, ou le courant i(t)
circulant dans un composant.
Soit un circuit linéaire quelconque :
• x(t) : l’excitation
Source
Charge
iin
iout
•
y(t) : la réponse
vg
x( t )
vin
éa
i
sion vin (t) ou en courant iin (t)
Zg
lin
,→ L’excitation peut être en ten-
re
Objectif :
y( t )
vout
,→ La réponse peut être en tension vout (t) ou en courant iout (t)
L’excitation est à présent un signal alternatif sinusoïdal :
• X la valeur efficace,
√
• ϕ la phase (eg. en rad)
x(t) = X 2 sin(ωt + ϕ)
(V.1)
• ω la pulsation (eg. en rad/s).
17
Zu
V.1 Introduction
18
Les circuits linéaires sont caractérisés dans le cas général par une équation différentielle
à coefficient constant avec second membre de la forme générale suivante :
ap
d y(t)
d x(t)
dq x(t)
dp y(t)
+
.
.
.
+
a
+
a
y(t)
=
b
x(t)
+
b
+
.
.
.
+
b
1
0
0
1
q
dtp
dt
dt
dtq
(V.2)
Définition 1 (Ordre d’un circuit). L’ordre, noté n, d’un circuit linéaire correspond à
l’ordre de son équation différentielle, c-à-d l’ordre de dérivation le plus élevé, soit : n =
max(p, q).
La réponse y(t) du système s’obtient en résolvant l’équation différentielle. Les solutions
sont de la forme :
y(t) = yh (t) + yp (t)
yh (t) est la solution sans second membre (équation homogène)
yh (t) =
n
X
•
•
Ak erk t
k=1
Ak : déduit à partir des conditions initiales
rk les solutions de l’équation caractéristique :
an rkn + . . . a2 rk2 + a1 rk + a0 = 0
yp (t) est une solution particulière qui est de même “nature” que x(t)
• si x(t) = Cste alors yp (t) = Cste et le régime permanent continu (cf. cours
d’électrocinétique I) ;
• si x(t) est sinusoïdale, alors yp (t) est sinusoïdale et le régime permanent est
sinusoïdal de même fréquence.
Circuits linéaires du 1er ordre
Circuits linéaires du 1er ordre ≡ équations différentielles du 1er ordre :
τ
dy
+y(t) = x(t) (V.3)
dt
x(t) l’excitation du système
y(t) la réponse du système
τ : constante de temps caractéristique du
circuit
,→ Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t)
la solution homogène :
yh (t) = A e−t/τ ;
,→ Ak : déduit à partir des conditions initiales
yp (t) : la solution particulière
,→ Même “nature” que x(t), soit yp (t) = B1 cos(ωt + φ)
Circuits linéaires du 2nd ordre
Circuits linéaires du 2nd ordre ≡ équations différentielles du 2nd ordre :
x(t) l’excitation
y(t) la réponse
dy
d2 y
+ ω02 y(t) = ω02 x(t) (V.4)
2 + 2ξ
dt
dt
ω0 : la pulsation propre du système
ξ : coefficient qui quantifie l’amortissement du système
,→ Facteur de qualité Q = ω2ξ0
Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t)
la solution homogène :
yh (t) = A1 er1 t +A2 er2 t
,→ r1,2 : racine de l’équation caractéristique
,→ A1,2 : déduit à partir des conditions initiales
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
19
Chap. V Réponses fréquentielles
yp (t) : la solution particulière
b cos(ωt + φ)
,→ Même “nature” que x(t), soit yp (t) = A
Exemple :
Circuit R-C ≡ Circuits linéaires du 1er ordre
,→ équations différentielles du 1er ordre
d uc
+ uc (t) = −Eω sin(ωt)
dt
L’excitation : x(t) = E cos ωt
La réponse du circuit : y(t) = yh (t) + yp (t)
,→ Montrer que la solution générale s’écrit :
ECω
1
−t/τ
i(t) = λ e
+p
cos ωt + atan
RCω
1 + (RCω)2
RC
Cet exemple à priori très simple (2 composants seulement : R et C ! !) montre que les
calculs ne sont pas très simples. Il faut dans un premier temps déterminer une équation
différentielle, rechercher ensuite une solution particulière en l’injectant dans l’équation
différentielle. . .
La forme temporelle d’une grandeur sinusoïdale est souvent peu “pratique” à
manipuler. On préfère généralement exploiter des représentations analogues plus
simples à exploiter.
L’utilisation des grandeurs complexes, n’ont de sens que pour des circuits
linéaires en régime alternatif sinusoïdal !
Le régime sinusoïdal forcé
Un dipôle ne comportant que des dipôles linéaires passifs, soumis à
une tension sinusoïdale v(t) de fréquence f , est traversé, en régime
permanent, par un courant sinusoïdal i(t) de même fréquence.
i(t)
Z
v(t)
Lorsque le régime transitoire s’est dissipé, toutes les grandeurs électriques oscillent de façon
sinusoïdale à la même fréquence que l’excitateur
Régime sinusoïdal forcé
Le régime sinusoïdal forcé correspond à la solution particulière du circuit. Elle est du type :
√
yp (t) = A 2 cos(ωt + φ)
où A la valeur efficace, et le déphasage φ sont à déterminer.
V.2
Réponse en fréquence des circuits linéaires
On s’intéresse ici à la réponse fréquentielle des réseaux linéaires par opposition à la réponse
temporelle étudiée jusqu’à présent.
Définition 1 (Réponse temporelle). L’analyse temporelle d’un circuit correspond à l’étude
de sa réponse effectuée à partir de son équation différentielle et des conditions initiales :
réponse indicielle.
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires
20
vin
iout
y( t )
éa
i
x( t )
re
iin
lin
Définition 2 (Réponse fréquentielle). La réponse en fréquence d’un système est la caractérisation du comportement
du système (électrique, mécanique, optique, etc.) à un signal d’excitation de fréquence variable (mais d’amplitude
constante) à son entrée.
vout
L’association de dipôles linéaires dont l’impédance est liée à la fréquence permet de réaliser des
circuits dont l’une au moins des grandeurs a une valeur qui dépend de la fréquence d’excitation.
V.2.1
Le quadrîpole
De nombreux circuit peuvent être représenté par une “boite”
munie de 2 bornes d’entrée et 2 bornes de sortie.
Définition 3 (Quadripôle). Un quadripôle est un circuit
électrique dont on considère l’entrée entre deux bornes et
la sortie entre deux bornes.
1
Iin
Vin
Iout
Q
Vout
2
3
4
,→ Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente.
Remarque V.1. Par convention on adopte une convention générateur à l’entrée, et récepteur à
la sortie.
Un quadripôle est linéaire s’il ne contient que des composants linéaires.
Un quadripôle linéaire ne contient pas de sources indépendantes.
,→ Si le circuit est linéaire, les grandeurs d’entrée et de sortie x(t) et y(t) sont reliées
par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du type :
d x(t)
dq x(t)
dp y(t)
d y(t)
+
a
y(t)
=
b
x(t)
+
b
+
.
.
.
+
b
ap
+
.
.
.
+
a
0
0
1
q
1
dtp
dt
dt
dtq
Un quadripôle est passif s’il ne possède que des éléments passifs .
,→ Dans ce cas, la puissance moyenne en sortie est toujours inférieure ou égale à la
puissance moyenne en entrée.
Un quadripôle est actif s’il possède au moins une source d’énergie.
On s’intéresse ici uniquement aux quadripôles passifs linéaires et à leur fonction de
transfert.
Gain et décibel
Un quadripôle est caractérisé par son gain
,→ Le gain désigne la capacité d’un circuit à augmenter/diminuer la puissance ou
l’amplitude d’un signal.
Pout
Gain en puissance : Gp =
Pin
• Pin = Pa puissance absorbée à l’entrée
• Pout = Pu puissance utilisée par la charge à la sortie
vout
Gain en tension : Gv =
vin
iout
Gain en courant : Gi =
iin
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
21
Chap. V Réponses fréquentielles
,→ Utilisé seul, le terme de gain est ambigu car on ne sait pas s’il se réfère à un gain
en tension, courant ou puissance.
Pour caractériser la réponse fréquentielle, la pulsation ω est susceptible de varier dans
une très large gamme de fréquence : de < 0.1 Hz pour les très basses fréquences à
> 1MHz pour les hautes fréquences. Ainsi, le gain G est susceptible lui aussi de varier
dans une large gamme de fréquence. Pour cela on introduit une échelle logarithmique
basé sur les décibel (dB) :
Pout
Gain en puissance : GdB
p = 10 log10
Pin
v
out
Gain en tension : GdB
v = 20 log10
vin
i
out
Gain en courant : GdB
i = 20 log10
iin
Définition 4 (bel). Le bel (B) est unité de mesure logarithmique du rapport entre
deux puissances :
P2
X B = log10
(V.5)
P1
Le bel est une grandeur sans dimension en dehors des unités SI.
,→ Le bel n’est pas l’unité la plus fréquente, on lui préfère généralement le décibel (dB)
.
V.2.2
La fonction de transfert
La relation entre l’entrée x et la sortie y est caractérisée par la fonction de transfert 1
h(t) :
y(t) = x(t) ~ h(t)
L’étude et la caractérisation de la réponse des quadripôles se fait à travers l’étude de sa
fonction de transfert.
Fonction de transfert en régime sinusoïdal :
√
l’excitation s’écrit :
x(t) = X 2 cos(ωt),
√
ou en sous forme complexe
x = X 2 eωt
√
la réponse s’écrit : y(t) = Y 2 cos(ωt
√ + φ),
ou en sous forme complexe y = Y 2 e(ωt+φ)
iin
x(ω)
vin
iout
H(ω)
y(ω)
vout
y
x
,→ La fonction de transfert correspond au gain complexe du circuit.
La fonction de transfert d’un système est définit par : H(ω) ≡
On considère généralement le gain en tension, conduisant à la fonction de transfert :
H(ω) = G(ω) = Gv (ω) =
v out
v in
(V.6)
Caractéristique des fonctions de transfert
N (ω)
sont caractérisés par :
D(ω)
Ordre n : pour q = degres(N (ω)) et p = degres(D(ω)) alors n = max(p, q)
Les fonctions de transfert H(ω) =
1. ’~’ correspond à l’opérateur de convolution
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Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires
22
,→ En pratique seul les systèmes ayant p ≥ q existent. On parle alors de système
causaux.
Ainsi l’ordre des fonctions de transfert est souvent caractérisé par : n = p
Module ou gain : G(ω) = |H(ω)|
,→ on a alors le gain en décibel : GdB (ω) = 20 log |H(ω)|
Ce n’est vrai que pour les gains en tension et en courant !
Argument ou phase : ϕ(ω) = arg (H(ω))
,→ ϕ correspond au déphasage entre la sortie et l’entrée : ϕ = θy − θx
,→ Ainsi la fonction de transfert peut se mettre sous la forme : H(ω) = G(ω) eϕ(ω)
Pulsation de coupure ωc
• La pulsation ωc pour laquelle le gain en puissance chute de moitié définit la
pulsation de coupure à −3dB, soit :
max (Gp (ω))
Gp (ωc ) =
•
ω
2
(V.7)
Hmax
De même pour les fonctions de transferts, il vient : H(ωc ) = √
2
√
Remarque V.2 (−3dB). −20 log10 ( 2) = −3.01029 ' −3dB
Dans certain cas, on peut vouloir s’intéresser à d’autres pulsation de coupure.
Ex.: à −6dB, −12dB, etc.
(ω)
sont généralement exprimées par leur
En outre, les fonctions de transfert H(ω) = N
D(ω)
forme canonique, c’est-à-dire que leurs numérateurs (N (ω)) et dénominateurs (D(ω)) sont
des polynômes en (ω). Ces polynômes sont ordonnés de manière croissante (forme de Bode)
ou de manière décroissante (forme de Laplace) :
(ω)m + . . . + a1 ω + a0
Forme de Laplace : H(ω) =
(ω)n + . . . + b1 ω + b0
am (ω)m + . . . + a1 ω + 1
Forme de Bode : H(ω) =
bn (ω)n + . . . + b1 ω + 1
Afin de faciliter l’étude des fonctions de transfert, ces polynômes sont décomposés en des
produits de polynômes d’ordre 1 ou 2. Ainsi, on montre facilement que toutes fonctions de
transfert H(ω) peut s’écrire par un produit de termes élémentaires décrite selon les formes de
Bode ou de Laplace données dans le tableau V.1.
Ordre 1 :
Ordre 2 :
Bode
ω
1+
ω1 2
1 ω
ω
1+
+
Q ω0
ω0
Laplace
⇔
ω + ω1
⇔ (ω)2 +
ω0
ω + ω02
Q
Table V.1 – Formes canoniques des cellules d’ordre 1 et 2.
,→ ω1 et ω0 sont les pulsations propres et Q le facteur de qualité.
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
23
Chap. V Réponses fréquentielles
Représentation d’une fonction de transfert : diagramme de Bode
Le diagramme de Bode d’un système de réponse fréquentielle H(ω) est constitué de
deux courbes :
1. la courbe de gain : GdB (ω) = 20 log10 |H(ω)|
0
-10
-10
Gain (dB)
0
-20
-20
-30
-30
-40
0
-40
0
Phase (deg)
Phase (deg)
Gain (dB)
2. la courbe de phase : ϕ(ω) = arg (H(ω))
-45
-90
10
20
30
40
50
60
Pulsation ω (rad/s)
70
80
90
100
-45
-90
10
-1
V.2-a Tracés linéaire
10
0
Pulsation ω (rad/s)
10
1
10
2
V.2-b Tracés logarithmique
Fig. V.2 – Diagramme de Bode : courbe de gain et de phase
Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d’un
système
L’échelle des pulsations ω doit être logarithmique
l’intervalle qui sépare ω et 10 × ω est appelé une décade.
La pente d’une courbe de gain en dB est donc exprimée en dB/déc.
Remarque V.3 (Pulsation réduite). Les fonctions de transferts H(ω) peuvent être
ω
exprimées en fonction de la pulsation réduite : x =
7 H(x), ω0 correspond à
→
ω0
la pulsation caractéristique.
On peut ainsi représenter le diagramme de Bode en fonction de log(x).
Propriété des fonctions de transfert et des diagrammes de Bode :
Si une fonction de transfert H(ω) peut s’écrire sous la forme de produit de fonctions
de transfert : H(ω) = H 1 (ω) × H 2 (ω) . . .
alors :
dB
dB
dB
• G (ω) = G1 (ω) + G2 (ω)
• ϕ(ω) = ϕ1 (ω) + ϕ2 (ω)
,→ Le diagramme de Bode H(ω) correspondant peut être tracé en faisant la somme
des diagrammes de Bode de H 1 (ω), H 2 (ω). . .
Tracé de Bode
Étude asymptotique : on cherche le comportement du gain et de la phase aux
extrêmes de la bande fréquentielle applicable au circuit, c’est-à-dire lorsque ω → 0
et ω → ∞.
©
Expression de la pulsation de coupure : ω = ωc
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires
24
Exemple V.2.1. Soit la fonction de transfert :
H(ω) =
0
Gain (dB)
-10
-20
Étude asymptotique :
• Pour ω ω0 :
,→ H(ω) ≈ 1, GdB = 0 et ϕ = 0
-30
•
Phase (deg)
-40
0
10
Pour ω ω0 :
1
,→ H(ω) ≈ ω
, GdB = −20 log ω
π
et ϕ = − 2
-45
-90
1
1 + ω/ω0
-1
10
0
Pulsation ω (rad/s)
10
1
10
2
Expression de la pulsation de cou1
pure :
H(ω c ) = 1+
• GdB (ωc ) = −3dB, et ϕ(ωc ) = − π4
Exercice V.1 (Dérivateur). En régime alternatif sinusoïdal, on obtient l’expression complexe
de la dérivée d’une grandeur en la multipliant par ω. La fonction de transfert correspondante
est alors donnée par :
ω
H(ω) =
=x
ω0
1. Donné le diagramme de Bode correspondant.
Exercice V.2 (Intégrateur). En régime alternatif sinusoïdal, on obtient l’expression complexe
de l’intégrale d’une grandeur en la divisant par ω. La fonction de transfert correspondante est
alors donnée par :
1
ω0
=
H(ω) =
ω
x
1. Donné le diagramme de Bode correspondant.
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
25
Chap. V Réponses fréquentielles
V.3
V.3.1
Filtrage analogique
Généralités sur les filtres
Définition V.3.2 (Les Filtres). Un filtre est un circuit qui “conditionne” (ou filtre) certaines parties du signal d’entrée.
Les filtres sont des outils utilisés dans le domaine du traitement
du signal, ils servent principalement à séparer des signaux dans le
domaine fréquentiel. Dans certains cas particuliers (plus rare) on
utilise également les filtres électroniques pour retarder un signal
(travail dans le domaine temporel). Plus précisément, le filtre
permet de modifier (ou de filtrer ) certaines parties d’un signal
d’entrée dans le domaine temps et dans le domaine fréquence.
L’opération de filtrage permet donc :
• d’éliminer (ou atténuer) les signaux indésirable
• d’isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences utiles.
,→ Séparation des signaux utiles des signaux indésirable
Classifications
Il existe différentes familles de filtres (électronique) selon leurs domaines d’applications et la
nature des signaux manipuler :
• Filtrage numérique
(avec composant programmable, eg. DSP)
• Filtrage à capacités commutées
(avec condensateur + interrupteur)
• Filtrage analogique
(avec composants linéaires R, L,C, AOP)
En particulier, les filtres analogiques se décomposent en deux catégories :
• Les filtres passifs, avec uniquement des composants passifs R, L et C)
• Les filtres actifs, avec des composants passifs R et C et au moins un composant actif
(eg., transistors, AOP)
On ne s’intéressera ici qu’aux filtres analogiques passifs linéaires.
Le Filtre est un Quadripôle
D’autre part le filtre peut être également vue comme
un “quadripôle” caractérisé par sa transmittance (ie. sa
fonction de transfert) :
H(ω) =
xout (ω)
xin (ω)
1
Iin
Vin
2
Iout
Q
Vout
3
4
H(ω) correspond alors à la fonction de transfert du filtre
Fig. V.3 – Filtres ≡ Quadripôles
dans le domaine fréquentielle.
En particulier, les filtres analogique sont généralement représenté par la forme canonique de
leur fonction de transfert.
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
V.3 Filtrage analogique
26
filtre : H(ω) =
vout
vin
Source
re
x( t )
vin
vg
iout
éa
i
Zg
iin
lin
On s’intéresse ici uniquement au cas où
la charge Zu à une impédance infinie.
On dit alors que l’étude du filtre se fait
en sortie ouverte car iout (t) = 0 et que
la fonction de transfert est intrinsèque au
y( t )
Charge
Zu
vout
Zu =∞
Généralement les filtres sont classés selon la forme (ie. nature) de leur fonction de transfert.
Ainsi les filtres les plus courants sont les suivants :
1. filtre passe-bas : ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de coupure.
2. filtre passe-haut : ne laisse passer que les fréquences au-dessus d’une fréquence de coupure. Il
atténue les autres (basses fréquences).
3. filtre passe-bande : ne laisse passer qu’une certaine bande de fréquences (et atténue tout ce
qui est au-dessus ou en dessous).
4. filtre rejecteur ou coupe-bande : le complémentaire du passe-bande, il atténue une plage de
fréquences.
5. filtre passe-tout ou déphaseur : filtre qui a idéalement un gain unitaire sur toute la plage de
fréquence utilisée. Il est utilisé pour modifier la phase d’un système.
Passe Bas
Passe Haut
Passe Bande
Coupe Bande
fc
f cb f 0 f ch
f cb f 0 f ch
fc
Table V.2 – Différents types (ou classes) de filtres.
V.3.2
Filtres du 1er ordre
Filtres passe-bas du 1er ordre
Un filtre passe-bas du premier ordre à pour fonction de transfert :
1
H(ω) = G0
1 + x
(V.8)
ω
est la pulsation réduite
ω0
G0 est le gain statique
x=
1
Exemple V.3.3 (Circuit RC).
ZR = R, ZC = Cω
, et
iout = 0
vout
H(ω) =
vin
Diagramme de Bode
• x→0:
GdB = 0, et
ϕ=0
• x→∞:
GdB = −20 log x, et
ϕ = −90°
• ωc = ω0
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
27
Chap. V Réponses fréquentielles
Filtres passe-haut du 1er ordre
Un filtre passe-haut du premier ordre à pour fonction de transfert :
x
H(ω) = G0
1 + x
(V.9)
ω
est la pulsation réduite
ω0
G0 est le gain statique
x=
1
Exemple V.3.4 (Circuit RC).
ZR = R, ZC = Cω
, et
iout = 0
vout
H(ω) =
vin
Diagramme de Bode
• x→0:
GdB = −20 log x, et
ϕ = 90°
• x→∞:
GdB = 0, et
ϕ=0
• ωc = ω0
Iin
Iout
C
Vin
R
Vout
Composition de filtres du 1er ordre
Très souvent une fonction de transfert peut se mettre sous la forme d’un produit ou
d’un rapport de fonctions de transfert d’ordre 1 comme :
H(ω) = G0
On pose alors :
H1 (ω) = 1 +
H2 (ω) = 1 +
ω
ω1
ω
ω2
1+
1+
ω
ω1
ω
ω2
(V.10)
7→ H(ω) = G0 HH12 (ω)
(ω)
Diagramme de Bode :
dB
dB
• GdB = GdB
0 + G1 (ω) − G2 (ω)
• ϕ = ϕ0 + ϕ1 (ω) − ϕ2 (ω)
Filtres du 2nd ordre
V.3.3
On s’intéresse à présent aux fonctions de transfert du second ordre.
Toute l’étude sera menée sur le circuit RLC série. Dans la pratique, on utilise des circuits
autres que le RLC série mais on pourra toujours se ramener à la forme canonique en utilisant
les grandeurs caractéristiques telles que le facteur de qualité Q, la pulsation réduite x = ωω0
avec ω0 la pulsation propre du circuit.
uR
uL uC
En effet, on rappel qu’un circuit RLC constitue
un circuits linéaires du 2nd ordre
,→ Equations différentielles du 2nd ordre
R L C
uin(t)
• ω0 = √ 1
: pulsation
LC
2
d uC
d uC
propre
LC
+ RC
+ uC (t) = u(t)
R
dt
dt2
• ξ = 2L
: amortissement
1
0
• Q = Lω
= RCω
: facR
0
teur de qualité
La solution : y(t) = yh (t) + yp (t)
• yh (t) : la solution homogène
yh (t) = A1 er1 t +A2 er2 t
,→ obtenue sans second membre (ie. régime RLC propre, cf. chap III)
• yp (t) : la solution particulière
,→ Même “nature” que u(t), soit yp (t) = B1 cos(ωt + φ)
(régime sinusoïdal
forcé)
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
V.3 Filtrage analogique
28
Filtres passe-bas du 2nd ordre
Un filtre passe-bas du 2nd ordre à pour fonction de transfert (forme canonique) :
H(ω) = G0
1+
x
Q
1
+ (x)2
(V.11)
ω
est la pulsation réduite
ω0
G0 est le gain statique
Q : facteur de qualité
x=
1
Exemple V.3.5 (Circuit RLC passe-bas). Soit ZR = R, ZC = Cω
, ZL = Lω, iout = 0 et
uC
uout = uC . La fonction de transfert est définie par : H(ω) =
uin
Diagramme de Bode
x→0:
GdB = 0, et
ϕ=0
x→∞:
GdB = −40 log x, et
ϕ = −180°
ωc = ω0
q
1 − 2Q1 2 , ssi Q > √12 . On dit alors qu’il y
GdB passe par un maximum pour xr =
4 4Q
a résonance en tension. Ce maximum vaut alors : GdB
=
10
log
max
Q4 −1
,→ Si Q <
√1
2
il n’y a pas de résonance, et GdB (x) est strictement décroissante.
Filtre passe-bas du second ordre
50
Q=10
Gain (dB)
0
Q=0.1
-50
-100
-150
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
10
-3
10
-2
10
-1
0
10
Pulsation réduite x (rad/s)
10
1
10
2
10
3
Fig. V.4 – Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas d’ordre 2
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
29
Chap. V Réponses fréquentielles
Filtre passe-haut du second ordre
50
Q=10
Gain (dB)
0
Q=0.1
-50
-100
-150
180
Phase (deg)
135
90
45
0
10
-3
10
-2
10
-1
0
10
Pulsation réduite x (rad/s)
10
1
10
2
10
3
Fig. V.5 – Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut d’ordre 2
Filtres passe-haut du 2nd ordre
Un filtre passe-haut du 2nd ordre à pour fonction de transfert (forme canonique) :
(x)2
H(ω) = G0
1 + x
+ (x)2
Q
(V.12)
ω
est la pulsation réduite
ω0
G0 est le gain statique
Q : facteur de qualité
x=
Exemple V.3.6 (Circuit RLC passe-haut). Soit ZR = R, ZC =
uL
uout = uL . La fonction de transfert est définie par : H(ω) =
uin
1
,
Cω
ZL = Lω, iout = 0 et
Filtres passe-bande
Un filtre passe-bande à pour fonction de transfert (forme canonique) :
1
x
H(ω) = G0
=
G
0
x
1 + Q + (x)2
1 + Q x − x1
ω
x=
est la pulsation réduite
ω0
G0 est le gain statique
0
Q = ω ω−ω
: facteur de qualité
c2
c1
(V.13)
La bande passante BP d’un filtre passe-bande est l’intervalle de pulsations [ωc1 ; ωc2 ]
qui correspond aux pulsations telles que :
Gmax
∀x ∈ [xc1 ; xc2 ],
G(x) ≥ √
2
,→ Plus Q est grand plus la BP est étroite, le filtre est dit alors sélectif
1
Exemple V.3.7 (Circuit RLC passe-bande). ZR = R, ZC = Cω
, ZL = Lω, iout = 0 et
uR
uout = uR . La fonction de transfert est définie par : H(ω) =
uin
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
V.3 Filtrage analogique
30
Filtre passe-bande du second ordre
20
Q=10
Gain (dB)
0
-20
Q=0.1
-40
-60
-80
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
10
-3
10
-2
10
-1
0
10
Pulsation réduite x (rad/s)
10
1
10
2
10
3
Fig. V.6 – Diagramme de Bode d’un filtre passe-bande d’ordre 2
Filtres coupe-bande
Un filtre coupe-bande (ou rejecteur de bande) à pour fonction de transfert (forme
canonique) :
x
1
H(ω) = G0
=
G
(V.14)
0
x
1 + Q + (x)2
1 + Q x − x1
ω
est la pulsation réduite
ω0
G0 est le gain statique
Q : facteur de qualité
x=
Exemple V.3.8 (Circuit RLC coupe-bande).
uout = uL + uC
uL + uC
H(ω)=
uin
ZR = R, ZC =
1
,
Cω
ZL = Lω, iout = 0 et
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
Chapitre VI
L ES A MPLIFICATEURS
Dans ce chapitre, nous allons présenter et étudier un nouveau composant actif : l’amplificateur
opérationnel (AOP). C’est un composant très utilisé en électronique car il permet de faire de
nombreuses opérations sur les signaux.
En effet, les amplificateurs sont utilisés pratiquement partout. Ils servent à amplifier, filtrer, détecter, transformer des signaux, etc. Suivant les domaines d’utilisations, différents composants
électroniques permettent de réaliser la fonction amplifier.
VI.1
L’Amplification
VI.1.1
Généralités sur les amplificateurs
Fonction : amplifier la puissance du “signal d’entrée”.
Définition 1 (Amplificateurs). Un amplificateur est un système électrique capable
de transformer une partie de l’énergie qu’il
reçoit d’une source et d’un circuit d’alimentation en un signal de sortie dont la
u
≈
η = PcP+P
a
puissance à augmenter.
,→ La puissance à la sortie est supérieur à la puissance du signal d’entée.
Pu
Pa
Un amplificateur est constitué d’un ensemble de composants passifs actif pouvant amplifier des courants ou tensions. Pour que l’amplificateur puisse fonctionner, il est
nécessaire de l’alimenter avec une tension d’alimentation (eg. continue).
Tout amplificateur doit être alimentée par une source d’énergie externe
,→ L’alimentation des amplificateurs ne sera pas considérer dans se cours.
S’il fonctionne en régime linéaire, l’amplificateur est caractérisée par son gain K(ω) =
out
(en puissance, en tension ou en courant) qui correspond au rapport entre les signaux
in
de sortie et d’entrée.
Xin
Tension
Courant
Xout
Tension
Tension
Tension
Courant
Courant
Courant
Type de gain
Tension
Trans-résistance
Transconductance
Courant
K
Av = vvout
in
rm = viout
in
gm =
iout
vin
Ai =
iout
iin
Table VI.1 – Différents type de gain selon la nature des signaux d’entrée et de sortie.
31
VI.1 L’Amplification
VI.1.2
32
Classifications des Amplificateurs
Il existe une grande quantité de classifications, elles découlent souvent des différentes caractéristiques du schéma de l’amplificateur. Toutes ces caractéristiques ont une influence sur les
paramètres et les performances de l’amplificateur. Afin de décrire un amplificateur, on peut
ainsi les classés selon :
• Classification par plage de fréquences
,→ Ex.: continue f = 0Hz, audio B=[20 ;20k]Hz, bande étroite, bande large, etc. . .
• Classification par fonction d’amplification
,→ Ex.: amplificateurs linéaires, amplificateurs différentiels, amplificateurs audio ou
vidéo, etc. . .
• Classification par type de montage pour les étages amplificateurs à transistors.
• Classification par classe de puissance :
Classe A : la totalité du signal d’entrée est utilisée (100%)
Classe B : la moitié du signal d’entrée est utilisée (50%)
Classe C : moins de la moitié du signal d’entrée est utilisée
Classe D . . . H, etc.
• etc. . .
VI.1.3
Les Applications
À l’origine le terme “amplificateur ” désignait principalement les composants destinés à effectuer
divers “opérations arithmétiques”. Depuis, l’emploi des amplificateurs dans les appareils c’est
généralisé du fait de ses bonnes performances et de sa simplicité. Il est ainsi souvent utilisé
pour transformer des signaux analogiques et numériques. On le retrouve ainsi dans un grand
nombre d’applications :
Amplificateur linéaire
Amplificateurs de précision
Amplificateurs à gains programmables
Amplificateurs faible consommation
Amplificateur de puissance
Amplificateur à collecteur ouvert
Amplificateur d’isolement, etc. . .
VI.1.4
Amplificateur non-linéaire
Convertisseur Numérique ↔ Analogique
Fonction logique (NOR, NAND. . . )
Mise en forme des signaux, horloge,
astables. . .
Amplificateurs intégrés
La conception d’un amplificateur est toujours un compromis entre plusieurs facteurs comme
le coût, la consommation énergétique, les imperfections des composants et le besoin de rendre
l’amplificateur compatible avec le générateur du signal d’entrée et la charge en sortie.
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
33
Chap. VI Amplificateurs
Pour faciliter l’utilisation des amplificateurs, ils sont
souvent disponible sous la forme d’un circuit intégré.
Un circuit intégré (CI) est lui-même un type de
composant constitué de plusieurs composants sous
forme miniaturisée. Le circuit intégré permet de reproduire une ou plusieurs fonctions électroniques plus
ou moins complexes, facilitant sa mise en œuvre. Ils
contient principalement des transistors, des diodes,
des résistances, des condensateurs, plus rarement des
inductances car elles sont difficile miniaturiser.
Fig. VI.1 – Exemple de schéma interne
(LM 741)
Le plus connu des amplificateurs intégrés est l’amplificateur opérationnel (souvent appelé
ampli-op, AOP, AO), mais il existe une multitude d’amplificateurs intégrés spécialement conçus
pour une application précise. Par exemple, les amplificateurs d’instrumentations pour amplifier
les signaux issus de capteurs, les amplificateurs audio ou les drivers de lignes ADSL pour
amplifier les signaux ADSL avant qu’ils ne soient envoyés sur une ligne téléphonique.
VI.2
L’Amplificateur Opérationnel (AOP)
VI.2.1
Présentation de l’AOP
Définition 1 (Amplificateur Opérationnel). L’Amplificateur Opérationnel (souvent appelé
ampli-op, AOP, AO, ALI, AIL) est un amplificateur différentiel. Il s’agit d’un amplificateur
électronique qui amplifie la différence de potentiel électrique présente à ses entrées.
Amplificateur Opérationnel (AOP) est ainsi un composant actif à 8 bornes :
2 bornes d’entrées, notées V+ et V−
1 borne de sortie : Vout
2 bornes d’alimentation1 , notées +Vcc
et −Vcc
2 bornes de réglages, noté offset
1 borne non connectée
Symboles :
offset
v+ Vd
v−
∞
Vout
−
−Vcc
Notation européenne
8 NC
2
7 Vcc
V−
3
-Vcc 4
+Vcc
+
1
V+
v+ V
d
v−
+
6 Vout
5
offset
+Vcc
Vout
−
−Vcc
Notation américaine
,→ Afin de simplifier les schémas, on ne représentera plus nécessairement les bornes
d’alimentation. Mais il ne faut pas oublier qu’elles existent toujours.
1. Il ne faut jamais oublier de brancher en premier l’alimentation de l’AOP, et de la déconnecter en dernier.
Dans le cas contraire il y a risque de destruction des composants.
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP)
34
Par convention on adopte :
À l’entrée la convention récepteur
• L’entrée ’−’ ; s’appelle entrée inverseuse
• L’entrée ’+’ ; s’appelle entrée non-inverseuse
• La tension différentielle d’entrée est définie par :
Vd ≡ V+ − V−
• Les courants i+ et i− sont appelés courants de
polarisation.
À la sortie la convention générateur
,→ Amplificateur différentiel, donc a priori on aurait : Vout = KVd
VI.2.2
i+
v+
Vd
i−
v−
+
∞ i+
−
Vout
Caractéristiques
Caractéristique statique
Une caractéristique2 est dite statique lorsqu’elle correspond à des grandeurs constantes
dans le temps.
À régime linéaire, où Vout = Ad0 (Vd − Voffset )
,→ Ad0 correspond au gain différentiel statique,
typiquement Ad0 ≈ 105
,→ Voffset correspond à la tension de décalage,
typiquement Voffset ≈ 0.1 V
+Vsat
Vout
3
ε1
ε+
Vd
-Vsat
Á et  régime de saturation (domaine non2
linéaire)
,→ Les tensions de saturation sont telles que
+Vsat ≈ −Vsat et ±Vsat < Vcc .
,→ L’AOP peut fonctionner selon deux modes de fonctionnement : linéaire et saturé
Caractéristique dynamique
,→ En régime sinusoïdal et en mode linéaire le comportement des AOP peut être
caractériser par son gain complexe :
Ad0
Ad (ω) =
(filtre passe-bas du 1er ordre)
1 +  ωωc
Caractéristique idéale
Vout
Des courants de polarisation nuls :
+Vsat
i+ = 0 A et i− = 0 A
,→ Vue de l’entrée, l’AOP est équi1
valent à une résistance très grande
(infinie)
Une tension de décalage nulle :
2
Voffset = 0 V
-Vsat
Un gain différentielle statique infinie :
Ad0 → ∞
,→ SSi l’AOP est dans sa zone linéaire, alors Vd = 0 ⇔ V+ = V−
3
Vd
2. Rappel : la caractéristique électrique décrit le comportement du composant.
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
35
Chap. VI Amplificateurs
Si l’AOP est dans sa zone de saturation :
Si Vd > 0 ⇒ Vout = +Vsat
Si Vd < 0 ⇒ Vout = −Vsat
VI.2.3
Étude du Fonctionnement des AOP idéaux
Fonctionnement sans rétroaction
On a : Vd = V+ − V−
La présence de la moindre tension à l’entrée vin
entraîne la saturation de l’AOP :
• si Vin > Vref , alors :
.......................
• si Vin < Vref , alors :
.......................
,→ Le fonctionnement n’est jamais linéaire, on obtient un montage comparateur
Exercice VI.1. Pour le montage comparateur ci-dessus les caractéristiques de l’AOP
sont les suivantes : ±Vsat = 15 V. On fixe Vref = 5 V, et vin est un signal alternatif
sinusoïdal d’amplitude 10 V. Tracer l’allure du signal de sortie vout .
Pour que l’AOP puisse fonctionner dans son régime linéaire, il est nécessaire qu’il y ait une
rétroaction de la sortie sur une des entrées.
Fonctionnement avec une rétroaction
Principe de la rétroaction (Eng.: feedback) :
Une rétroaction consiste à ré-injecter une fraction β du signal de sortie Xout vers l’entrée du
système
A
Xout =
Xin = KXin
1 ± βA
,→ K = XXout
le gain global du système
in
±?
β X out
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
A
β
X out
ici A définit la chaîne d’action, et β le taux de rétroaction.
Si βA > 0 la rétroaction est dite positive
Si βA < 0 la rétroaction est dite négative ou contre-réaction
Application à l’AOP
©
+ X in± β X out
X in
VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP)
36
Si la sortie Vout est reliée à V+ : rétroaction positive
• Si Vout augmente, V+ augmente, faisant augmenter Vd , et Vout doit donc encore plus
augmenter, V+ augmente, . . .
• Une rétroaction positive conduit à un emballement (instabilité) du système.
β
Vd
+
−
A
Vout
Si la sortie Vout est reliée à V− : rétroaction négative
• Si Vout augmente, V− augmente, faisant diminuer Vd , Vout doit donc diminuer
• Une rétroaction négative a tendance à stabiliser le système.
Conséquence des rétroactions
Si rétroaction uniquement sur l’entrée non-inverseuse : alors l’AOP est en régime de
saturation.
,→ C’est systématique, il n’y a pas d’exception
Si rétroaction uniquement sur l’entrée inverseuse : alors l’AOP est en régime linéaire.
,→ Il y a quelques “rare” exceptions
S’il y a deux rétroactions, une sur l’entrée inverseuse et une autre sur l’entrée non
inverseuse, l’AOP peut être aussi bien en régime linéaire qu’en régime de saturation.
,→ Cas non abordé cette année. . .
VI.2.4
Circuit à base d’AOP Idéal
Montages de base en régime linéaire
Montage amplificateur non-inverseur
Considérons le montage ci-contre et cherchons la relation entre
la tension de sortie Vout et la tension d’entrée Vin
Contre-réaction : la sortie est reliée à l’entrée inverseuse
,→ L’AOP est en régime linéaire, conduisant à Vd = 0
Rappel du théorème de Millman
N
X
VM =
Ek Yk
k=1
N
X
k=1
Yk
Z1
Z2
ZK
ZN
E1
E2
EK
EN
VM
Appliquer le théorème de Millman à la sortie de l’AOP est au mieux inutile, sinon
faux !
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
37
Chap. VI Amplificateurs
Montage amplificateur inverseur
Considérons le montage ci-contre et cherchons la relation entre
la tension de sortie Vout et la tension d’entrée Vin
Contre-réaction : la sortie est reliée à l’entrée inverseuse
,→ L’AOP est en régime linéaire, conduisant à Vd = 0
Exercice VI.2. Montrer que lorsque
1. Z2 est une capacité C et Z1 une résistance R, on a un montage dérivateur :
vout (t) = −RC
d vin
dt
2. Z1 est une capacité C et Z2 une résistance R, on a un montage intégrateur Z
:
1
vout (t) = −
vin dt
RC
Remarque VI.1. Aucune hypothèse n’est fait sur la nature des grandeurs électriques.
Ainsi on peut aussi bien considérer le cas où la tension d’entrée Vin est continue ou
variable (eg. régime alternatif sinusoïdal). Dans ce dernier cas il s’agit de considérer les
grandeurs complexes et raisonner en impédance complexe.
Dans les montages amplificateurs linéaires, l’AOP nécessite une contre-réaction !
,→ L’AOP peut ainsi être en régime linéaire, conduisant à Vd = 0
Suiveur
Convertisseur courant à tension
Amplificateur différentielle
Amplificateur sommateur
Table VI.2 – Autres exemples de montages amplificateurs linéaires
Exercice VI.3. Pour les montages amplificateurs linéaires du tableau VI.3, exprimer la tension
de sortie Vout en fonction des éléments du montage et des grandeurs d’entrées.
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP)
38
Montages non-linéaire
Nous avons vu que l’AOP sans réaction fonctionne en régime non-linéaire. De même, en reliant
la sortie à l’entrée non-inverseuse induit une rétroaction positive, plaçant l’AOP dans son
régime non-linéaire. Dans ce cas sont comportement est définit par :
• Si Vd > 0 ⇒ Vout = +Vsat
• Si Vd < 0 ⇒ Vout = −Vsat
Comparateur à deux seuils non-inverseur
Comparateur à deux seuils inverseur
Vout
Vout
+Vsat
+Vsat
Vin
Vin
Cycle d’hystérésis
Cycle d’hystérésis
Table VI.3 – Autres exemples de montages amplificateurs linéaires
VI.2.5
Filtrage Actif
L’AOP peut être utilisé dans son régime linéaire pour réaliser du filtrage actif. En effet,
l’AOP est un composant actif. Il s’agit ainsi généralement de lui associé des résistances
et des capacités.
Filtre actif du 1er ordre :
Intégrateur :
R2
R1
Vin
−
+
C
Vout
H(ω) = −
R2
1
R1 1+R2 Cω
H(ω) = −
R2 Cω
1 + R1 Cω
Dérivateur :
R2
R1 C
vin
−
+
vout
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
39
Chap. VI Amplificateurs
Filtre actif du 2nd ordre :
Filtre passe-bande du 2nd ordre
R2
R1 C1
Vin
−
+
C2
Vout
H(ω) = −
R2 C1 ω
(1 + R1 C1 ω) (1 + R2 C2 ω)
Filtre actif d’ordre supérieur :
L’impédance d’entrée des AOP étant très élevé (ie. i+ = 0 et i− ), il est possible de
cascader des cellules de filtre actifs élémentaires pour construire des filtres d’ordres
supérieur (contrairement aux filtres passifs) :
⇔
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
H(ω) = H1 (ω) × H2 (ω) × . . .
VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP)
40
Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II
Annexe A
R ÉFÉRENCES B IBLIOGRAPHIQUES
Pour en savoir plus en Électrocinétiques
[1] R. Noel, J.M. Brébec, P. Denève, T. Desmarais, M. Ménétrier, B. Noël, and C. Orsini.
Électronique/Électrocinétique 1ère année MPSI-PCSI-PTSI. Hachette, 2003.
[2] Emmanuel Desvoivres. Électrocinétique, 1ère année MPSI PCSI PTSI: exercices corrigés
Lavoisier, 2004.
[3] Jean-Marie PARISI. Électrocinétique, électronique, 2ème période: MPSI PCSI PTSI:
rappels de cours, méthodes, exercices corrigés. Lavoisier, 2004.
[4] B. Gendreau and C. Gripon. Électrocinétique: MPSI-PCSI-PTSI. Classe prépa. Nathan,
2006.
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[6] Becherrawy Tamer. Électrocinétique: cours et exercices corrigés. Lavoisier, 2008.
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[8] J.P. Brodier, P. Horowitz, J.P. Charlier, W. Hill, and J.C. Sabatier. Traité de l’électronique analogique et numérique: Techniques analogiques. Number 1 in La Bibliothèque
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[10] M. GIRARD. Amplificateurs operationnels. Number 1 in Electronique analogique.
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Principes
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