Thermique Notions fondamentales Jean-Martial Cohard [email protected] Thermique : Introduction Pourquoi étudier la thermique en génie civil ? climatisation Eau chaude chauffage Le confort est il la seule raison ? … Thermique : Introduction Quelle facture pour notre petit confort ? Consommation énergétique Par secteur en Mtep (million de tonnes équivalent pétrole) = 41,868 PJ Facture énergétique par énergie en Milliard de francs courants Source :www.industrie.gouv.fr/energie Thermique : Introduction L’évolution de la consommation pour le secteur résidentiel tertiaire pourcentage de la consommation d'énergie pour le secteur résidentiel 40% 33.13% 31.28% 29.53% 26.73% 25.65% 25.20% 25.72% 25.27% 20% consomation par énergie pour le secteur résidentiel tertiaire 120.00 0% 1970 1973 1979 1985 1990 1995 2000 2004 100.00 80.00 bois électricité (tep) 60.00 charbon (tep) pétrole (tep) gaz (tep) 40.00 20.00 0.00 1973 1979 1985 1990 1995 1998 1999 2000 2002 2003 2004 Thermique : Introduction Les réactions pour alléger les charges : Mise en place de réglementation 1974 1976 1980 1982 1983 1988 Naissance du coefficient G 1ère réglementation pour Lancement du 1er label : Arrivée du coefficient B le secteur non résidentiel, le Label Haute Isolation (B comme "Besoins de chauffage"). Les niveaux d’isolation du Label Haute Isolation deviennent obligatoires pour tous les logements. Fait nouveau : les apports solaires sont déduits des déperditions pour calculer les besoins de chauffage Lancement des labels Haute Performance Energétique (HPE) et Solaire Introduction du coefficient C (C comme "Consommations") ;1er (G comme "déperditions Globales") Apparition du coefficient G1 Economies cumulées depuis 1986 Par secteur en Mtep renforcement de la réglementation pour le secteur non résidentiel ; progression des labels HPE et Solaire L’exigence réglementaire porte désormais sur la consommation C, Source :www.industrie.gouv.fr/energie Thermique : Introduction Lutter contre l’effet de serre émission de CO2 en Million de tonnes 900 Le protocole de Kyoto préconise un retour au niveau de 1990 pour le total 800 700 600 500 624 541 400 300 368 440 555 574 479 475 505 492 467 498 485 483 477 492 501 498 460 470 483 474 200 100 78 92 142 167 142 138 133 114 131 128 126 115 117 127 117 123 120 115 119 111 119 121 19 60 19 65 19 70 19 73 19 75 19 80 19 85 19 90 19 91 19 92 19 93 19 94 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 20 00 01 (e ) 20 02 20 03 20 04 0 Les prévisions pour 2010 sont de l’ordre de 122 Mt pour le bâtiment secteur batiment total France Pour le secteur bâtiment L’effort d’économie représente 16,6% du total des émissions Thermique : Introduction Les enjeux d’aujourd’hui : La RT 2000 … 2005 … 2012 1 Un enjeu planétaire 3 Un enjeu de compétitivité Lutter contre l’effet de serre Etre présent sur le marché européen et à l’international 2 Un enjeu social 4 Un enjeu de simplification Maîtriser les loyers et les charges Favoriser l’application de la réglementation et l’innovation. Pour que chacun puisse trouver un logement correspondant à ses capacités financières, Les préoccupations actuelles d’économie d’énergie intègrent elles aussi cet aspect. Thermique : Introduction Principes de la RT2000 -Consommation C < Cref • Des exigences à satisfaire : -Température Tic <Ticref -Performance des matériaux et des installations • Des outils de calcul pour les coefficients Ubat (W/K.m2), C, … • Des solutions technologiques agréées pour satisfaire la réglementation • Deux démarches possibles mettre en place les solutions proposées Utiliser les logiciels de calcul pour optimiser les installations Thermique : Introduction Objectifs du cours comprendre les processus d’échange thermique entre différents milieux pour : • décoder les coefficients proposés par la réglementation, • Choisir des matériaux isolants, • Concevoir des éléments de structure pour casser les ponts thermiques, • Estimer le séchage d’un ouvrage en béton, Thermique : Introduction Plan du cours I- INTRODUCTION II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE 1- Les grandeurs thermiques 2- Les modes de transmission de la chaleur III- CONDUCTION THERMIQUE 1- Régime permanent 2- Régime transitoire 3- Analogie avec l’électricité T2 T1 T∞ < TS Q T1> T2 Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T IV- CONVECTION THERMIQUE 1- Introduction 2- Convection naturelle 3- Convection forcée V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT 1- Généralité 2- Quelques définitions 3- Interaction rayonnement-matière 4- Rayonnement électromagnétique et température 5- Lois fondamentales du rayonnement 6- Transfert par rayonnement entre surfaces Q TS T1 T2 Q Thermique : Introduction Qu’est-ce que la chaleur? La grande Ennéade d’Héliopolis nous renseigne sur le sujet : • Rê-Atoum - le dieu solaire créateur de l’univers • Sekhmet - une déesse qui évoque la toute puissance des radiations solaires. Elle incarne l’œil flamboyant de l’astre solaire • Tefnout - la chaleur, le souffle humide, une incarnation de Sekhmet Thermique : Introduction Qu’est-ce que la chaleur? – Joseph Black (1728 - 1799) est plus éloquent • La théorie calorique: un fluide invisible, indestructible et sans masse qui migre d’un corps chaud vers un corps plus froid. – Antoine Lavoisier (1743 – 1794) nous renseigne • «un fluide très subtil, très élastique, qui environne de toutes parts la planète que nous habitons, qui pénètre avec plus ou moins de facilité les corps qui la composent, et qui tend lorsqu'il est libre, à se mettre en équilibre dans tous ». Thermique : Introduction Qu’est-ce que la chaleur? Benjamin Thompson (1753 – 1814) « It is hardly necessary to add, that anything which any insulated body [...] can continue to furnish without limitation, cannot be a material substance; and it appears to me to be extremely difficult, if not quite impossible, to form any distinct idea of anything capable of being excited and communicated in the manner the heat was excited and communicated in these experiments, except it be motion. » James P. Joule (1818 – 1889) Illustration du premier principe de la thermodynamique : ∆U = W + Q Thermique : Introduction Qu’est-ce que la Température? T1 La température caractérise l’état d’énergie de la matière : l’agitation des molécules pour un fluide, Les vibrations des atomes pour les solides Thermique : Introduction Les modes de transmission de la chaleur T∞ < TS T2 T1 Q T1> T2 T1 Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T Q T2 Q TS Conduction thermique Conduction thermique échange de chaleur entre deux points d'un solide ou encore d'un liquide (ou d'un gaz) immobile et opaque. L’énergie de vibration (ou d’agitation) se transmet d’atome à atome (de molécule à molécule). C’est un transfert lent. transfert de chaleur dans la matière avec mouvement macroscopique de la matière. Ce type de transfert n’intervient que pour les liquides et les gaz (C’est le fluide en mouvement qui transporte de la chaleur). Rayonnement échange de chaleur entre deux parois séparées par un milieu transparent ou semi-transparent. Les matériaux ont la propriété d’absorber ou d’émettre des photons qui emporte l’énergie. L’énergie emportée ou absorbée fait varier la température du matériaux. Il s’agit d’un transfert à distance quasi-instantané sans nécessité de support matériel. Thermique : Introduction Chaleur latente, chaleur sensible T1 T2 Tf T0 = 0° = cste T0 = 0° = cste Tf Q1→2 = m.cp.(T1 – T2) cp : chaleur spécifique Q = m.L L : coef de chaleur latente m : masse des glaçons Thermique : Introduction Plan du cours I- INTRODUCTION II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE 1- Les grandeurs thermiques 2- Les modes de transmission de la chaleur III- CONDUCTION THERMIQUE 1- Régime permanent 2- Régime transitoire 3- Analogie avec l’électricité T2 T1 T∞ < TS Q T1> T2 Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T IV- CONVECTION THERMIQUE 1- Introduction 2- Convection naturelle 3- Convection forcée V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT 1- Généralité 2- Quelques définitions 3- Interaction rayonnement-matière 4- Rayonnement électromagnétique et température 5- Lois fondamentales du rayonnement 6- Transfert par rayonnement entre surfaces Q TS T1 T2 Q Conduction thermique Qu’est ce que la conduction Dans les liquides : Agitation moléculaire (mouvement brownien) T1 Dans les solides : Vibration des molécules T2 Q T1> T2 T1 T2 Q T1> T2 Conduction thermique Notre appréciation de la conduction La céramique nous paraît chaude lorsqu’elle est vide à température ambiante. Elle conduit mal la chaleur de notre main. De même lorsqu’elle est pleine de café chaud, on ne se brûle pas (trop) les doigts … La cuillère en argent nous paraît fraîche lorsqu’elle est à température ambiante. Elle conduit bien la chaleur de notre main, et l’emporte facilement pour augmenter sa température. De même lorsqu’elle est dans le café chaud, elle s’échauffe rapidement … Conduction thermique Régime permanent, régime transitoire Régime transitoire : Exemple : une barre à la température T2 dont une extrémité est plongée subitement à la température T1. La température T(x) dans la barre varie en fonction du temps. Régime permanent : T1, T(x), T2, sont constant . La température ne varie pas au court du temps. T1 y z T(x) T2 dS T1 x T(x) T1 T2 z T(x) T2 dS x T(x) P1→2 T1 x T2 P1→2 t t3 4 t t1 2 x Conduction thermique Régime permanent : Joseph FOURIER Rien ne prédestinait Joseph Fourier à connaître une telle célébrité. Né en 1768 dans une famille modeste, il se révèle très tôt doué pour les lettres et les sciences. Mais c 'est l'étude des mathématiques qui provoque chez lui enthousiasme et passion. En 1789, il viendra à Paris, devant l'Académie, lire son premier mémoire sur les équations algébriques. Joseph Fourier va ensuite enseigner à Auxerre puis deviendra élève de la promotion de l'Ecole Normale de l'an 3, enseignera les mathématiques à l'Ecole Polytechnique. Il participera ensuite à l'expédition d'Egypte et sera chargé à son retour en France, d'écrire la préface historique de l'ouvrage qui regroupe l'ensemble des observations faites au cours de l'expédition. C'est en 1802, que Joseph Fourier est nommé Préfet de l’Isère. Grâce à sa puissance de travail, il réalisera au cours de son mandat de grands travaux : assèchement des marais de Bourgoin, tracé de la route de Grenoble à Turin. Il prêtera aussi une grande attention à tous les niveaux de l'enseignement mis en place dans les lycées (1804) et la faculté des Sciences (1811) qui porte aujourd'hui son nom. De retour à Paris, il entrera à l'Académie en 1816, tout en continuant ses travaux de recherche concernant la propagation de la chaleur, les températures du globe terrestre et des espaces planétaires, constituant son œuvre sous le titre " Théorie analytique de la chaleur ". En 1826, il entre à l'Académie Française et, malgré sa maladie, travaillera inlassablement jusqu'à la fin de sa vie. Il meurt le 17 Mai 1830. Conduction thermique Régime permanent : Loi de FOURIER Intérieur Tint > Text Mur Extérieur L S Text Pint→ext Pint→ext = dQint→ext /dt = - λ.S/L . (T ext - Tint) Pint→ext est le flux de chaleur à travers la surface S Conduction thermique Loi de FOURIER : commentaire • • La conductivité thermique est définie par la loi de Fourier : – flux de chaleur qui traverse une surface unitaire (1 m2) en présence d'un gradient de température unitaire (1° K). T Mur Tint > Text Le signe négatif provient de la pente du gradient L • Le flux de chaleur est une quantité vectorielle : S dP/dS = - λ .grad(T) = - λ .∇ (T) • Text Q La direction du flux de chaleur sera toujours normale à une surface isotherme n Isotherme T=cste Q x Conduction thermique La conductivité thermique La conductivité thermique est la faculté d'un matériau à transporter (transférer) de la chaleur par un processus de diffusion appelé conduction thermique. Elle dépend : gaz matériaux amorphes isolants liquides organiques solutions aqueuses poudres mat. réfractaires cristal métaux liquides métaux - des matériaux 10-3 - de la température Exemple : variation de la conductivité du béton 10-2 10-1 1 101 λ (W.m-1.K -1) 102 103 Conduction thermique La conductivité thermique La conductivité thermique dépend : - de l’humidité Exemple : variation de la conductivité des matériaux minéraux (brique, béton) en fonction de l’humidité relative - de la densité du matériaux, de son passé, … Conduction thermique Matériaux isotropes, orthotropes, … Pour un matériaux isotropes (dont les propriétés sont identiques dans toutes les directions) la loi de Fourier s’exprime donc : dP/dS = - λ .grad(T) = - λ .(dT/dx i + dT/dy j + dT/dz k) lorsque l'orientation des fibres devient importante (bois, aggloméré, laminé), la loi de Fourier devient plus compliquée : dP/dS = - grad(λ . T) = - (λx . dT/dx i + λy . dT/dy j + λz . dT/dz k) lorsque le milieu est complètement anisotropique, comme dans les cristaux, la loi de Fourier devient : dP/dS = - (λxx . dT/dx + λxy . dT/dy + λxz . dT/dz) i + … Conduction thermique Généralisation: Loi de Poisson z y C x C’ dz dy D D’ B dPx A Soit un volume élémentaire dV, cube élémentaire de côtés dx, dy, dz, le milieu étant au repos.. dx dPx+dx B’ A’ Exprimons le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube par la face ABCD, de normale entrante n (1, 0, 0) : dPx = - λ.grad(T(x)).S.n = - λ . ∂T/∂x . dy.dz Exprimons le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube par la face A’B’C’D’, de normale entrante n’ (-1, 0, 0) : dPx+dx = - λ.grad(T(x+dx)).S . n’ le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube dans la direction x est donc : dP = dPx + dPx+dx dP/dV = λ . (∂2T/ ∂x2) . dx.dy.dz = λ .∇ 2T De même dans toutes les directions … : = λ . (∂T/ ∂x + (∂2T/ ∂x2).dx). dy.dz Conduction thermique Généralisation: Loi de Laplace Pour dV à l’équilibre : Pas d’accumulation de chaleur 0 = λ .∇2T équation de Laplace valable pour : milieu homogène et isotrope, sans sources de chaleur internes, régime permanent. En présence de source interne de chaleur volumique q [W/m3] (exemple béton qui fait prise q = 350 W/m3) le raisonnement sur l’équilibre du volume dV conduit : 0 = λ .∇2T + q (milieu homogène et isotrope, régime permanent) Conduction thermique Exemple : cas de la géométrie plane - Transfert unidimensionnel (gradient supposé dans une seule direction), pensez-vous à des exemples? - État permanent (lorsque T est indépendant de t) Intérieur Tint > Text T Mur Extérieur L S Text Q x Conduction thermique Exemple : cas de la géométrie plane Équation de diffusion générale sans source de chaleur interne : 0 = ∇ 2T Comment obtenir une expression générale pour la distribution de température? –Analyse par séparation des variables et intégration double sur la variable indépendante (ici x) ∂T/∂x = C1 ∂T = C1. ∂x T = C1.x + C2 Conduction thermique Exemple : cas de la géométrie plane Avec T(0) = Tint et T(L) = Text on obtient : T = (Text – Tint)/L .x + Tint Intérieur Tint > Text T Mur Extérieur L S Text Q x Conduction thermique cas de la géométrie plane : flux Donc si λ=cte et qu’il n’y a pas de source de chaleur (q=0), le taux de transfert de chaleur est : P = - λ . ∂T/∂x . S = - λ . S . ∆T / L = - λ . S . (Text – Tint) / L Conduction thermique Analogie avec l’électricité: Résistance thermique Il existe une façon simple d'analyser les problèmes de transfert unidimensionnels : On définit une résistance au passage de la chaleur RTH analogue à celle qui régit le passage du courant électrique. RTH = L / λ . S On a alors les correspondances suivantes Thermique électricité ∆T = - (L/λS).P ∆V = R.I λ(T) σ(T) température T V potentiel électrique puissance thermique P I intensité de courant Résistance thermique L/λS R Résistance électrique Loi de Fourier conductivité thermique Loi d’Ohm conductivité électrique Conduction thermique Analogie avec l’électricité: Résistance thermique On utilise les mêmes symboles Résistance thermique Capacité thermique Masse thermique (Tamb) les mêmes lois sont applicables R1 R2 R = R1+R2 En série R1 1/R = 1/R1 + 1/R2 R2 En parallèle Conduction thermique Analogie avec l’électricité: exemple Polystyrène λ= 0,04 W.m-1.K –1 e = 6 cm Platre λ= 0,5 W.m-1.K –1 e = 2 cm T béton λ= 1,75 W.m-1.K –1 e = 20 cm Mur Extérieur Intérieur L Tint > Text Text S air λ= 0,023 W.m-1.K –1 e = 2 cm x Q RTH = ? Conduction thermique Résistance thermique et coefficient global Coefficient global de transfert de chaleur. – Avec des composites, on parle le plus souvent pour caractériser une structure de coefficient global de transfert de chaleur, U, ce qui donne pour l'expression du flux de chaleur total P = U . S . ∆T – Donc, U = 1 / (RTH .S) [W.K ] –1 – Ce coefficient est largement employé en industrie (même en génie civil avec Ubat) Conduction thermique Résistance de contact • Savez-vous ce dont il s’agit? • Que se passe-t-il si l'interface entre deux matériaux n'est pas parfaite? – chute de température à l'interface de deux matériaux – variation de température imputable à ce qui est défini comme une résistance de contact: Rth,c = ∆T / P • Effet dû au fini de surface des matériaux en contact – contact non-continu; – surfaces irrégulières; – petites bulles d'air emprisonnées. Conduction thermique Résistance de contact Que se passe-t-il physiquement? – Transfert effectif par conduction aux points de contact et par la conduction à travers les bulles de fluide qui emplissent les interstices à la surface de contact. La convection est négligeable. – Équivalent de deux résistances thermiques en parallèle. – Contribution majeure par les interstices car il y a en fait peu de points de contact solide-solide, spécialement si deux surfaces sont très rugueuses. Donc effet isolant. – Echange de chaleur par rayonnement (voir suite du cours) Pour augmenter la résistance Rth,c est-il préférable de mettre un fluide ayant une large conductivité thermique ou non? –Graisses thermiques, plomb, indium, étain. Conduction thermique Résistance de contact fluide/solide De même on défini une résistance thermique d’interface entre un environnement fluide et un solide –Rr = (Text – TS2) / PS2→ext = (TS1 - Tint) / Pint→S1 = 1 / (hrS) T Intérieur Tint > Text Mur S2 L S1 Extérieur Text x Q Rr1 RMur Rr2 = R = Rr1 + RMur+ Rr2 Conduction thermique Régime transitoire : Equation de la chaleur z y C x C’ D D’ dz dy B dPx A dx dPx+dx B’ A’ La différence de flux pendant le temps dt sert au réchauffement (ou refroidissement) de l’élément de Volume pendant le temps dt le volume reçoit donc une énergie : P.dt = m.Cp.(T(t+dt)-T(t)) = ρ.V.Cp.dT On en déduit : P/V = ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T Équation de la chaleur : ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T Conduction thermique Régime transitoire : Diffusivité thermique ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T On définit alors la diffusivité thermique D : D = λ / ρ.Cp dT/dt = D .∇ 2T D caractérise la capacité d’un matériaux à diffuser la chaleur. Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul Soit un mur initialement à la température T0 installé subitement dans un milieu à la température Text Text T Mur Text Text T Mur L Tmur(t) Tmur(t) S L Évolution réelle S Évolution simplifiée : Tmur = T(x,t) = T(t) Text Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul L’énergie cédée pendant le temps dt par le mur est égale au flux à travers les surfaces extérieure du mur - ρ.V.Cp.dT/dt = - 2/ Rth,c .(Text - T(t)) En intégrant …. L’énergie cédée pendant le temps dt par le mur est égale au flux à travers les surfaces extérieure du mur T(t) = Text + (T0 - Text ) exp(-t/τ) Avec τ = ρ.V.Cp.Rth,c /2 Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul Analogie thermique/électrique Rth.C Cth Rth.C T0 Text (Masse thermique) Rth.C : résistance thermique d’échange entre l’air et le mur Cth = ρ.Cp.V : Capacité thermique du mur Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul Limitation de la méthode : Lorsque le processus de transfert de chaleur vers le fluide est plus rapide que le processus de conduction à l’intérieure du matériaux, l’hypothèse de gradient nul n’est plus valable : Si on considère pendant un court instant le régime comme permanent alors pour 2 surface S1 et S2 distante de Lc, λS/Lc (TS1 - TS2) = 1/ Rth.C(TS,2 - T∞) On défini le nombre dit de Biot, Bi, tel que: Bi = Lc / (Rth.C .S.λ) ; Bi = Rc / Rth.C ; Bi = ( TS,1 - TS,2 ) / ( TS,2 - T∞ ). Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul Limitation de la méthode : • Nous obtenons un critère de validité – un faible Bi indique une faible baisse de température dans le solide – un large Bi indique un grand gradient de température dans le solide – la méthode du gradient nul est donc valide pour de faibles Bi Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul Limitation de la méthode : • Première étape d'une analyse – calcul du nombre de Biot basé sur Lc: Bi*= L / Rth.C .S.λ < 0.1 – où Lc est une longueur caractéristique du système considéré: Lc = V/A • – cette définition de Lc aide lorsque le solide possède une forme complexe. Longueur caractéristique Lc – Pour une plaque plane immergée: L/2 – Pour une plaque isolée d'un côté: L – Pour un cylindre: r/2 – Pour une sphère: r/3 * Cette définition de Bi basée sur Lc n’est valide que lors de calculs avec la méthode du gradient nul !!! Conduction thermique Les nombres adimensionnels Le nombre de Biot Bi caractérise le rapports des transferts thermique à la surface sur les transferts à l’intérieur du solide Bi = L / Rth.C .S.λ Il existe un autre nombre sans dimension très important en conduction transitoire, le nombre de Fourier équivalent à un temps adimensionnel qui caractérise la diffusion dans le matériaux t λLt = = Bi ⋅ Dt2 = Bi ⋅ Fo ρVCpRth RthSλ.ρL2Cp L Dt Fo ≡ 2 L Le problème se réduit donc à l’équation suivante : (T(t) - Text)/(T0 - Text ) = exp(-Bi.Fo) Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode analytique lorsque le gradient de température dans le solide ne peut être supposé négligeable, que Bi est supérieur à 0.1, Il faut recourir à une solution analytique Initiale T (r ,0) = Ti ; Au centre ∂T = 0; ∂r r = 0 Surface exposée ∂T −λ = h[T ( L, t ) − T∞ ] ∂r r = L Température T ( r , t ) − T∞ * Θ ≡ ; Ti − T∞ Distance r r* ≡ ; L Temps αt * t ≡ 2 = Fo L Conduction thermique Réponse impulsionnelle : méthode analytique Expression de l’équation et des conditions aux limites de manière Adimensionelle ∂ 2 Θ* ∂r *2 Θ* (r * ,0) = 1; ∂Θ* ∂r * ∂ Θ* = ∂Fo = 0; r * =0 ∂Θ* ∂r * Bi = L / Rth.C .S.λ = − BiΘ* (1, Fo) r * =1 Conduction thermique pourquoi les nombres adimensionnels • Nombre de variables indépendantes pour la solution sans dimensions * Θ = Θ ( r , Bi, Fo ) * * • Nombre de variables indépendantes pour la solution avec dimensions T = T(r, t, Ti, T∞, L, λ, ρ, Cp, Rth) Conduction thermique la solution pour le mur plan immergé – Solution exacte: développement en série de Fourier ∞ θ − T T ∞ θ* ≡ = = ∑ Cn exp(−ζ n2 Fo) cos(ζ n r * ) θ i Ti − T∞ n =1 Dt 4 sin ζ n Cn = ; ζ n tan ζ n = Bi; Fo = 2 2ζ n + sin (2ζ n ) L – Solution approximative (le premier terme si Fo>0.2): T − T∞ = C1 exp(−ζ 12 Fo) cos(ζ 1r * ) Ti − T∞ Conduction thermique signification de cette solution T − T∞ = C1 exp(−ζ 12 Fo) cos(ζ 1r* ) Ti − T∞ La variation dans le temps La température au centre d’une plaque immergée ou sur une paroi isolée La variation dans l’espace La température varie en s’approchant de la paroi en contact avec le fluide C1 exp(−ζ 12 Fo) cos(ζ 1r * ) Note: Lors du calcul du nombre de Biot, L est la demi-épaisseur d’une plaque immergée et r0 sera le rayon d’un cylindre ou d’une sphère. Cette définition du nombre de Biot est différente de celle employée pour valider la méthode du gradient nul. Conduction thermique extension de cette solution Il est possible d'utiliser les mêmes solutions : • lorsque l'une des faces de la plaque est isolée car lors de l'immersion complète d’une plaque, la surface à r=0 (milieu) est une surface adiabatique. • lorsqu'une température est imposée sur une surface. C'est l'équivalent de poser un nombre de Biot infini Conduction thermique Remarque supplémentaire pour le calcul de Bi, lorsqu’un solide est recouvert d’une mince couche protectrice, le calcul de cette quantité devient: UL = Bi λ où U est le coefficient d’échange global comportant toutes les résistances en jeu, par exemple: 1 U.S = RTH /S + R c'',t / S Note: en géométrie cartésienne, S peut être éliminée de l’expression précédente. Rc",t h Conduction thermique Cas du solide semi infini - si un tel solide existait physiquement, une modification d'une condition à l'une des frontières (par exemple la face 1 du solide) ne serait jamais perçue à l'autre bout (face 2) situé à l'infini; - si après un temps t donné pour un problème impliquant un solide fini, la face 2 initialement à Ti reste à cette même température malgré un changement à la face 1, on considère le solide comme étant semi-infini au sens thermique (cas des isolants). Face 1 T(x,0) = Ti -kdT/dx|x=0 =q0’’ Face 2 T(∞,t) = Ti Conduction thermique Cas du solide semi infini Cas 1: Température de surface imposée Cas 2: Flux de chaleur imposé Cas3: Convection thermique pariétale Conduction thermique Cas du solide semi infini • Solutions analytiques disponibles: – Cas no1: Température de surface constante r T − Ts = erf ; Ti − Ts 2 αt q (t ) = '' s λ(Ts − Ti ) παt – Cas no.2: Flux thermique constant '' r 2q0'' (αt / π )1/ 2 q 2 0x T − Ts = exp(− x / 4αt ) − erfc λ λ 2 αt – Cas no.3: Convection surfacique r hx h 2αt α r T − Ti h t = erfc + − exp + 2 ⋅ erfc α T∞ − Ti λ λ λ 2 αt 2 t Conduction thermique Cas du solide semi infini • Note sur le solide semi-inifini – lorsque h est supposé infini (cas no.3) Ts = T∞ et la solution de ce cas se simplifie à celle du cas no.1. – si deux solides semi-infinis sont en contact l'un avec l'autre, chaque surface en contact aura la même température Ts et le flux provenant du solide chaud sera égal à celui qui entrera dans le solide froid. Thermique : Introduction Plan du cours I- INTRODUCTION II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE 1- Les grandeurs thermiques 2- Les modes de transmission de la chaleur III- CONDUCTION THERMIQUE 1- Régime permanent 2- Régime transitoire 3- Analogie avec l’électricité T2 T1 T∞ < TS Q T1> T2 Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T IV- CONVECTION THERMIQUE 1- Introduction 2- Convection naturelle 3- Convection forcée V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT 1- Généralité 2- Quelques définitions 3- Interaction rayonnement-matière 4- Rayonnement électromagnétique et température 5- Lois fondamentales du rayonnement 6- Transfert par rayonnement entre surfaces Q TS T1 T2 Q Convection Thermique Introduction Couche de fluide à vitesse faible : conduction prépondérante Couche de fluide en mouvement : transport prépondérant V Mur Mouvement du fluide T Q x S TS > Tenv Tenv Convection Thermique Introduction Le transfert de chaleur par convection est un problème qui fait intervenir : - La conduction thermique - La mécanique des fluides problème trop complexe pour être abordé analytiquement : Utilisation d’une loi empirique de type Fourier …. Convection Thermique Loir de Fourier Modifier Pparoi→fluide = -hr(Tfluide - Tparoi) [W/m ] 2 Où hr est le coefficient d’échange thermique par convection ou « coefficient de convection » exprimé en [W/(m2K)] Que vaut h ? Conduction : Comme λ, h dépend des propriétés du fluide (T, ρ, Hr, …) Mécanique des fluides : h dépend de l’écoulement (laminaire, turbulent, naturel, forcé, interne, externe, …) Convection Thermique Ordre de grandeur de h air naturelle forcée eau turbulente bouillante 1 10 102 103 h (W.m-2.K -1) 104 105 vapeur Mélange air/vapeur Convection Thermique Convection forcée– convection naturelle Q vent Q Q intérieur extérieur Convection Naturelle Analyse dimensionnelle Variables du problème : ρ: Cp: µ: λ: β: D: ∆T: g: h: masse volumique [kg/m3], chaleur spécifique du fluide [J/kg.K], viscosité dynamique du fluide [kg/m.s], conductivité thermique du fluide [W/m.K], coefficient de dilatation du fluide [K-1], dimension caractéristique de la surface d'échange [m], différence de température entre le mur et le fluide [K], accélération de la pesanteur [m/s2], coefficient d’échange [W/m².K]. Les grandeurs fondamentales masse, temps longueur, et température sont utilisées D’après le théorème de Vaschy buckingham le problème peut s’exprimer en fonction de 9-4 = 5 variables sans dimension de la forme : ρ .Cp .µ .λ .β .D .∆ T .g .h = P a b a c b d c e d f e j k k l l f j m kg m² kg kg × m 1 kg m3 . s ² × K . m × s . s 3 × K . K .[ m ] .[ K ] . s ² . s 3 × K = 0 Convection Thermique Analyse dimensionnelle - Les groupements ainsi formés on obtient 4 équations à 9 inconnues a,b,c, … - En choisissant les valeurs de 5 coefficients on obtient les 5 variables adimensionnelles qui définissent le problème. On retrouve ainsi les nombres de Reynolds Re, le nombre de Nusselt Nu, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Grashof Gr et le nombre de Stanton St. Convection Thermique Nombre de REYNOLDS ρ ×V× D Re = µ ρ v D µ : masse volumique du fluide [kg/m3], : vitesse moyenne du fluide [m/s], : plus petite dimension géométrique du problème [m], : viscosité dynamique du fluide [Pa.s]. x Couche limite Zone turbulente Re > 40000 Rapport entre les force d’inertie et les force de frottement : Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante xc Zone de transition Zone laminaire Re < 2000 Tair Tp > Tair Convection Thermique Nombre de Nusselt Nu = h × D λ h λ D : coefficient d'échange convectif en [W/m².K], : conductivité thermique du fluide en [W/m.K]. : plus petite dimension géométrique du problème [m], Tp > Tair T Rapport de la quantité de chaleur échangée par convection à la quantité de chaleur échangée par conduction : Nu petit : conduction prépondérante Nu grand : convection prépondérante (T = cte par mélange) Couche limite thermique Conduction prépondérante Nu <1 Convection turbulente prépondérante 10 < Nu < 104 Convection laminaire prépondérante 1 < Nu < 10 Tair Convection Thermique Nombre de Prandtl µ × Cp Pr = λ Cp : capacité thermique massique du fluide en [J/kg.K], λ : conductivité thermique du fluide en [W/m.K], µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s]. Caractérise la distribution des vitesses par rapport à la distribution des températures, c’est une caractéristique du fluide : Pr eau : 6,8 Pr air à 20°C : 0,71 Convection Thermique Nombre de Grashof, nombre de Rayleigh g × β × ρ ² × D3 × ∆ T Gr = µ² g × β × D3 × ∆ T Ra = Pr.Gr = α ×υ β: dilatabilité du fluide en [K-1] , ∆T : différence de température entre fluide et paroi : T = Tparoi – Tfluide ρ : masse volumique du fluide [kg/m3], D : plus petite dimension géométrique du problème [m], µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s]. α = λ/ (ρ x Cp) : diffusivité thermique [m²/s] , ν = µ/ρ : viscosité cinématique du fluide [m²/s]. Rapport des forces de flotabilité et des forces de viscosité : Le nombre de Rayleigh remplace le nombre de Reynolds pour caractériser les écoulements en convection naturelle Convection Thermique Cas particuliers : paroi verticale Dans la zone turbulente (Rax > 109), le nombre de Nusselt est donné par : x 2/5 Couche limite Nu x = Zone turbulente Raxc = 109 xc Zone de transition Zone laminaire Tair Tp > Tair 1/15 0,0248× (Rax ) × (Pr) 2/3 2/5 1+ 0,494× ( Pr) Dans la partie laminaire (Rax < 109), le nombre de Nusselt intégré entre 0 et x vaut : Nu x = A × Ra x 1/ 4 avec A fonction du nombre de Prandtl Convection Thermique Cas particuliers : plaques horizontales T∞ < TS TS Convection au dessus d’une plaque chaude Ex : plancher chauffant Nu = 0,54 Ra 2.104 < Ra < 8.106 1/4 Nu = 0,15 Ra1/3 8.106 < Ra < 1011 T∞ > TS Convection en dessous d’une plaque froide Ex : sous le toit. TS Nu = 0,27 Ra1/4 3.105 < Ra < 3.1010 T∞ < TS Nu = 0,07 Ra1/4 3.1010 < Ra < 1.1013 Convection en dessous d’une plaque chaude TS T∞ > TS TS Convection au dessus d’une plaque froide Convection Thermique Ra < 2.103 Convection en espace limité Ra > 2.103 Convection en espace limité (L < H) Conduction pure Convection libre T2 T2 T2 H L T1 T1 T1 Nu = 0,18 * (Ra)1/4 Convection Forcée Analyse dimensionnelle Variables du problème : ρ: masse volumique[kg/m3], Cp: chaleur spécifique du fluide [J/kg.K], µ: viscosité dynamique du fluide [kg/m.s], λ: conductivité thermique du fluide [W/m.K], D : dimension permettant de calculer la surface d'échange[m], h: coefficient d’échange [W/m².K], V: vitesse moyenne du fluide [m /s]. Les grandeurs fondamentales masse, temps longueur, et température sont utilisées D’après le théorème de Vaschy buckingham le problème peut s’exprimer en fonction de 7-4 = 3 variables sans dimension On retrouve alors les nombres de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et le nombre de Reynolds Re Convection Forcée Ecoulement interne Régime laminaire TS V Pour A grand : Nu= 3,65 Pour A petit : Nu x = 1,077 × A − 1 / 3 x 1 A= × Dh Re Dh × Pr Convection Forcée Ecoulement interne TS Régime turbulent V Pour des liquide, L / D > 60 et 10 000 < Re < 120 000 Nu = 0,023 × Re 0,8 × Pr 0, 4 Pour des gaz 104 < Re < 5.106 et 0,6 < Pr < 2500 Nu = 0.021 × Re 0.8 × Pr 0.43 × Pr fluide Pr paroi Pour L / D < 60 ( tube court ) Nu = 0.021 × Re 0.8 × Pr 0.43 × Pr fluide Pr paroi 0.43 0.43 ( ) 0,7 × 1+ D L Convection Forcée Ecoulement externe autour d’un tube Faible Reynolds dans l’air ( 0,02 < Re < 140 ) : Régime laminaire ( 1 < Re < 1 000 ) : Nu = (A + B.Ren).(Tf/Ttube)a ( Nu = 0,43 + 0,5 × Re 0,5 ) × Pr Régime turbulent ( 1 000 < Re < 2.105 ) : Nu = 0,25 × Re × Pr 0, 6 0 , 38 0 , 38 Pr fluide × Pr paroi Pr fluide × Pr paroi 0 , 25 0 , 25 Convection Calcul du flux de chaleur ? Caractériser le régime de convection : forcée – naturelle Caractériser la géométrie du problème : dimension caractéristique Caractériser l’écoulement : interne - externe, laminaire – turbulent Calculer les valeurs de Pr, Ra ou Re Calculer Nu Le flux de chaleur s’écrit alors : Pparoi→fluide = -λ.Nu/D (Tfluide - Tparoi) = - h (Tfluide - Tparoi) = - (Tfluide - Tparoi) /Rthc [W/m ] 2 Convection thermique Comment accroître les échanges par convection • Par exemple, T∞ = 20oC h∞ = 10 W/m2K Te = 90oC he = 100 W/m2K λ = 400 W/mK Di=2cm, Do = 2,1cm, L=1m Convection thermique Comment accroître les échange par convection • Analyse de l'écoulement interne – q = ∆T/R T – ∆T = Te-T∞ = 70K – R∞ = 1/h∞ A∞ = 1/(10.2π. 1,05e-2 .1) = 1,515 K/W – Rc = ln(2,1/2)/(2π .k.L) = 1,94e-5K/W = 0 – Re = 1/heAe = 1/(100.2.π.1e-2 1) = 0,159 K/W – – RT = 1,674 K/W q = 41,8 W • Que faire pour augmenter le transfert de chaleur, comme dans un radiateur par exemple? T∞ h A∞ Convection thermique Comment accroître les échange par convection • Qu'est-ce qu'une ailette? – Un ajout de surface sur l'un des côtés d'une surface d'échange thermique. Convection thermique Les ailettes • Comment construit-on ces surfaces étendues? – Usinage à même un bloc de métal ($$$$$$) – Pression, collage ou soudage d'une ailette d'un matériau conducteur de façon à minimiser la résistance thermique de contact. Si les ailettes ne sont pas usinées à même les faces; La résistance devra être de beaucoup inférieure à celle de l'ailette elle même. Convection thermique Les ailettes • Exemples industriels? – Radiateurs, micro-processeurs, frigos, climatiseurs, etc. Convection thermique Les ailettes • Sur des plaques (écoulements externes) Convection thermique Les ailettes • Dans des tubes (écoulements internes) Convection thermique Les ailettes • Dans des échangeurs (écoulements externes) Convection thermique Les ailettes • Comment quantifier l'effet des ailettes – Analyse différentielle et bilan d'énergie Convection thermique Les ailettes : Équation générale Par conservation de l’énergie, et d’après la loi de Fourier qx = qx+dx +dq conv= - λ.Ac(x).dT/dx et puisque, qx+dx = qx + (dqx/dx).dx + … alors qx+dx = - λ. Ac(x).dT/dx – λ.[d(Ac(x)..dT/dx)/dx] . dx +… et le terme convectif s’exprime tel que : dq conv= h.dAS.(T - T∞) Convection thermique Les ailettes • Équation générale de l’ailette En combinant toutes ces équations, [d(Ac(x).dT/dx)/dx] – h/λ.dAS/dx.(T - T∞) = 0 Ou encore d2T/dx2 + (1/Ac.dAc/dx). dT/dx - (1/Ac.h/λ.dAS/dx).(T - T∞) = 0 Convection thermique Y-a-t-il un type d'ailette plus souvent utilisé? – Oui, l'ailette à section constante • Plus facile à construire • Plus facile à analyser Convection thermique Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px) Équation simplifiée 2 hP d T (T − T∞ ) = 0 + − 2 dx λAc En définissant un excès de température tel que Θ( x) ≡ T ( x) − T∞ Une équation générale simple est obtenue pour la distribution de température dans l’ailette d Θ 2 − m Θ=0 2 dx 2 Convection thermique Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px) Solution générale de l'équation précédente Θ( x ) = C1 exp( mx ) + C2 exp( − mx ) Où le paramètre m est défini tel que: (eq.3.65) m ≡ 2 hP λAc Pour obtenir une solution particulière, il faut considérer les différentes conditions aux frontières possibles Convection thermique Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px) • Conditions aux frontières – à la base, – au bout de l'ailette, • convection • flux négligeable Tb, Θb = Tb-T∞ • température prescrite hΘ (L) = -λ dΘ/dx(L) dΘ/dx(x=L)=0 Θ (L) = ΘL • ailette infiniment longue Θ (L) = 0 Convection thermique Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px) Schéma, cas de la convection au bout de l'ailette Convection thermique Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px) – Solution, cas de la convection au bout de l'ailette Θ cosh m( L − x ) + (h / mk ) sinh m( L − x ) = Θb cosh mL + (h / mk ) sinh mL – Solution, cas du flux négligeable au bout de l'ailette Θ cosh m( L − x ) = Θb cosh mL Convection thermique Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px) – Solution, cas de la température prescrite au bout de l'ailette Θ (Θ L / Θ b ) sinh mx + sinh m( L − x ) = Θb sinh mL – Solution, cas de la longue ailette Θ = exp( − mx ) Θb Convection thermique Performance de l'ailette – L'ailette augmentera-t-elle vraiment le transfert? – Il faut comparer le taux de transfert avec et sans l’ailette. – L’efficacité (effectiveness) est définie telle que: ε ail = qail = qail ≥ 2 qsans ail hAb Θ b – Cas de l'ailette longue • εail = ∫ h.θ(x)dAs / hAbθb = (λP/hAc)0,5 • grand λ • grand rapport P/Ac, ailettes minces • petit h, gaz tel l'air Convection thermique Performance de l'ailette L'ailette augmentera-t-elle vraiment le transfert? – Il faut aussi évaluer ce que l’ailette transfère par rapport au transfert qui se produirait si toute l’ailette était à la température de la base. – Le rendement (efficiency) est défini tel que: η ail = qail = qail ≤ 1 qidéal ail hAail Θb Thermique : Introduction Plan du cours I- INTRODUCTION II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE 1- Les grandeurs thermiques 2- Les modes de transmission de la chaleur III- CONDUCTION THERMIQUE 1- Régime permanent 2- Régime transitoire 3- Analogie avec l’électricité T2 T1 T∞ < TS Q T1> T2 Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T IV- CONVECTION THERMIQUE 1- Introduction 2- Convection naturelle 3- Convection forcée V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT 1- Généralité 2- Quelques définitions 3- Interaction rayonnement-matière 4- Rayonnement électromagnétique et température 5- Lois fondamentales du rayonnement 6- Transfert par rayonnement entre surfaces Q TS T1 T2 Q Transfert Thermique : Rayonnement Principe physique Échelle microscopique Échelle macroscopique Qi , λ i T2 atome Transfert Thermique : Rayonnement Principe physique L’énergie émise par un photon s’écrit : Qi = h.νi = (h.c)/λi h est la constante de Planck ν est la fréquence de la radiation λ est la longueur d'onde de la radiation c est la vitesse de propagation de la radiation Transfert Thermique : Rayonnement Les ondes émises – Spectrale: l'émission dépend de la longueur d'onde – Directionnelle: l'émission dépend de la direction de propagation Transfert Thermique : Rayonnement Notion de spectre Φ est le flux d’énergie rayonné dans tout l’espace 1 1014 Eλ Eλi = ni Qi (λi) 13 8 10 6 1013 φ = ∫Eλi dλ 4 10 13 2 1013 0 0 5.0 10-7 1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6 longueur d'onde (m) Transfert Thermique : Rayonnement Les différentes longueurs d’onde Transfert Thermique : Rayonnement Notion d’angle solide – rapport entre la surface élémentaire, dAn, sur une sphère de rayon r par le rayon de cette sphère au carré. – région qui contient tous les rayons issus d’un point situé au centre d’une sphère qui interceptent une surface dAn Transfert Thermique : Rayonnement angle solide dAn au point dA Ω n dAn= r2 sinθ dθ dφ r dθ r sinθ r r sinθ dφ dA dω ≡ dφ dAn r 2 = sin θ dθ dϕ Transfert Thermique : Rayonnement Intensité de rayonnement L’intensité de rayonnement I, est le flux énergétique dΦ émis dans une direction (portion) donnée de l’espace dω. I est directionnelle I = dΦ / dω [W/sr] Transfert Thermique : Rayonnement Indicatrice de l’intensité C'est la figure décrite par l’extrémité d’un vecteur dont l’origine est l’élément de surface et dont le module est proportionnel à l’intensité dans la direction de la surface n n Ion θ x Ion θ Iox O O Iox x Transfert Thermique : Rayonnement Luminance d’une source La luminance L de dA selon l’axe Ox, est le flux rayonné par (dA) dans cette direction par unité d’angle solide et par unité de surface apparente (surface projetée sur le plan normal à la direction). L est directionnelle. L = dΦ / (dω.dA.cosθ) dΦ = L.dA.cosθ.dω [W/m2.sr] Transfert Thermique : Rayonnement Emittance d’une source L’émittance E (ou radiance ou pouvoir émissif total) est le flux d’énergie par unité de surface émis par un corps dans toutes les directions d’un demi-espace (2π [sr]). L’émittance est une grandeur hémisphérique : E = dΦ / dA E = ∫2π L.cosθ.dω [W/m2] Transfert Thermique : Rayonnement Loi de Lambert Un corps suit la loi de Lambert si sa luminance est indépendante de la direction. On dit qu’un tel corps a une émission parfaitement diffuse ou isotrope. L’indicatrice de l’intensité d’un corps qui suit la loi de Lambert est un cercle. Pour un corps suivant la loi de Lambert : E=πxL Transfert Thermique : Rayonnement Irradiation totale ou éclairement C’est le flux d’oém provenant de tout le demi-espace libre vers un élément de surface réceptrice (dA) : G = dΦ / dA [W/m2] dΦ Transfert Thermique : Rayonnement Les grandeurs monochromatiques Les grandeurs du rayonnement qui concernent une longueur d’onde déterminée sont appelées grandeurs monochromatiques. Iλ = dΦλ / (dω.dλ) Lλ = dΦλ / (dω.dA.cosθ.dλ) Eλ = dΦλ / (dA.dλ) [W/sr.µm] [W/m2.sr.µm] [W/m2.µm] Les relations entre les grandeurs monochromatique et les grandeurs spectrales s’écrivent aussi : I = ∫ Iλ .dλ L = ∫ Lλ .dλ E = ∫ Eλ .dλ Transfert Thermique : Rayonnement Interaction rayonnement matière I: Iλr : Iλt : Iλa : Eλi : est l’énergie incidente est l’énergie réfléchie est l’énergie transmise par le matériaux est l’énergie absobée par le matériaux est l’énergie émise par le matériaux n Eλi Ιλi θi θr Iλa On définit alors les coefficients suivant : le coefficient de réflexion ρ(λ) = Iλr / I, le coefficient de transmission τ(λ) = Iλt / I, le coefficient d'absorption α(λ) = Iλa / I. On a alors : ρ + τ + α = 1 Ιλt Ιλr Transfert Thermique : Rayonnement Interaction rayonnement matière : exemple τ(λ) = incidence normale les rayonnements réfléchis et transmis peuvent varier en fonction de la direction. La direction θr = θi est appelé direction spéculaire Verre ordinaire e=3 mm 0,75 Verre spécial catathermique 0,5 0,25 1 2 3 4 5 λ (µm) Transfert Thermique : Rayonnement Les corps noirs – Propriétés: • Absorbe toute radiation de toutes fréquences et de toutes directions; Soit : α = 1 et ρ = τ = 0 • Pour une température et longueur d'onde données aucun corps ne peut émettre plus d'énergie qu'un corps noir; • Le corps noir émet de façon diffuse. Il suit la loi de Lambert : E = π L Transfert Thermique : Rayonnement Loi de planck relation de l’émissivité spectrale en fonction de la température • h: constante de Planck 6.6x10-34 Js • k: constante de Boltzmann 1.4x10-23 J/K • c0: vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1 1014 Eλ 2π hc02 Eλ ,b (λ , T ) = 5 λ [exp(hc0 / λkT )− 1] 8 1013 6 1013 4 1013 2 1013 0 0 5.0 10-7 1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6 longueur d'onde (m) Transfert Thermique : Rayonnement Courbe Eλ à T constant Transfert Thermique : Rayonnement Loi de Wien (1864-1928) – Découverte expérimentale – Dérivée de la loi de Planck pour λ égale zéro – Maximum du pouvoir émissif λmax T = constante = 2897.8 µm K – Cas du soleil à λmax=0.5 µm – Objet à 1000 K seule une petite portion visible dans le rouge, λmax = 2.9 µm – Objet à 300 K λmax = 9.7 µm rayonnement infra rouge Transfert Thermique : Rayonnement Loi de Stephan (1835 – 1893) Boltzmann (1844-1906) –Découverte expérimentale attendue depuis près d'un demi-siècle –Intégrale de la loi de Planck sur tout λ –Pouvoir émissif total Eb = σ T4 W/m2 ou la constante σ = 5.67x10-8 W/m2 K4. –Cette constante est connue sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann Transfert Thermique : Rayonnement Emission par bande : Fraction d’énergie – la fraction d'énergie (F) émise pour une longueur λ est le rapport entre l’énergie émise jusqu’à la longueur d'onde l et l’énergie totale émise par le corps noir à la même température – Mathématiquement: λ ∫E λ ,b F(0→λ ) = 0 ∞ ∫E λ ,b λ dλ ∫E λ ,b = 0 dλ 0 λT Eλ ,b = ∫ 5 d (λT ) σ 0 T dλ σT 4 Transfert Thermique : Rayonnement Emission par bande : Fraction d’énergie F(λ.T) est une fonction du produit λ.T seulement. La fonction F(λ.T) est représentée sur la figure ci-dessous F0-λT λ.T (µm.K).10-4 Transfert Thermique : Rayonnement Emission par bande – Pour connaître l'émission entre λ1et λ2 : F( λ 1 → λ 2 ) = F( 0→ λ 2 ) − F( 0→ λ 1 ) Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels – Peu de surfaces réelles émettent comme des corps noirs; – Puisque le corps noir présente un maximum et que les relations énergietempérature qui le caractérise sont simples, il est utile de l'employer comme référence; – Les propriétés d'une surface réelle sont donc toujours comparées à celle du corps noir dans la même situation; – Malheureusement, la distribution spectrale de Planck peut ne pas être valide pour des corps non-noirs de même pour la distribution directionnelle (non-diffuse). Distribution spectrale Distribution directionnelle Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Emissivité – émissivité spectrale directionnelle : – émissivité totale directionnelle : Lλ ,e (λ , Ω, T ) ε λ ,Ω (λ , Ω, T ) = Lλ ,b (λ , T ) Ω, T ) L ( e ε Ω (Ω, T ) = Lb (T ) – émissivité spectrale hémisphérique : – émissivité totale hémisphérique : Eλ (λ , T ) ε λ (λ , T ) = Eλ , b ( λ , T ) E (T ) ε (T ) = Eb (T ) Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels – L'émissivité de surfaces métalliques est généralement petite: jusqu'à 0.02 pour les surfaces d'or polies. – L'émissivité des non-conducteurs est grande comparée à celle des métaux, généralement plus de 0.6 – ε eau est autour de 0.97 Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Loi de Kirshoff Iλi = Gλi n Lλi,b Lλi = ελi Lλi,b θi Ιλr + Ιλt Gλi,a = αλi Gλi αλi = ελi Attention : α ≠ ε Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : extension de la Loi de Kirshoff -La loi de Kirchhoff ne s’applique qu’à des grandeurs directionnelles et monochromatiques. - l’absorptivité totale d’un corps dépend non seulement du corps lui-même, mais aussi du spectre du rayonnement incident, -l’émissivité totale est une propriété intrinsèque du corps. On peut toutefois généraliser la loi de Kirchhoff dans les cas particuliers suivants : Rayonnement incident gris ou Surface émissive grise : → → ε δ ,T = α δ ,T Rayonnement incident isotrope Surface à émission isotrope : ε λ (T) = α λ (T) pour toute surface dans une enceinte à l’équilibre thermique : α=ε Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Facteurs de forme • • • • • Jusqu’à présent, l'attention a été limitée à une seule surface. Dans cette section les échanges entre plusieurs surfaces sont considérés. L'échange entre surfaces dépend de la disposition des surfaces les unes par rapport aux autres. Nous supposerons que le milieu qui sépare les surfaces est d'abord transparent. Il nous faut d'abord considérer la notion de facteur d'angle qui physiquement représente comment une surface en voit une autre. Le facteur de forme (ou facteur d’angle) Fij est défini comme la fraction de la radiation quittant une surface i qui est interceptée par une surface j. Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Facteurs de forme • Géométrie – Considérons deux éléments différentiels de surface dAi et dAj arbitrairement orientés l'un par rapport à l'autre. Ces éléments peuvent être liés l'un à l'autre par une droite R qui forme les angles θi et θj par rapport aux normales ni et nj d Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Facteurs de forme • Description mathématique de F12 – En employant la définition de l'intensité de radiation dΦ 12 = L10 cosθ 1dS1d Ω 12 = L10 cos θ 1 × cos θ 2 dS1dS 2 d² – Supposant que la surface i émet et réfléchit de façon diffuse, le taux de transfert total quittant une surface Ai et reçu par une surface Aj est Φ 12 = ∫∫ S1 S 2 L10 cos θ 1 × cos θ 2 cos θ 1 × cos θ 2 dS1dS 2 = L10 ∫ ∫ dS1dS 2 d² d² S1 S 2 – Introduisant la définition du facteur d'angle F12 = 1 cos θ 1 × cos θ 2 dS1dS 2 ∫ ∫ S1 S1 S2 π × d² – et similairement pour F21 Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Facteurs de forme • Relation de réciprocité Ai Fij = A j F ji N • Relation de sommation ∑ j= 1 • Fij = 1 Conséquence – Pour une enceinte constituée de N surfaces, nous avons N 2 facteurs d'angle dont N peuvent être obtenus par la relation de sommation et N (N -1)/2 par celle de réciprocité. Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Facteurs de forme • Exercice - Les sphères concentriques – Quels sont les facteurs d'angle de deux sphères concentriques suivantes? • Solution : – Analyse: N =2, N 2 = 4 (F11, F12, F21, F22). N(N -1)/2 facteurs existent pour déterminer les autres donc 1. • Puisque 1 ne se voit pas: F11 = 0 • Puisque toute la radiosité de 1 est interceptée par 2: F12 = 1 d'ailleurs F11 + F12 = 1 • Par réciprocité, F21 = A1/A2 • Par sommation, F22 = 1 - A1/A2 Transfert Thermique : Rayonnement Les corps réels : Facteurs de forme • Exercice - Les trois surfaces identiques – Quels sont les facteurs d'angle de trois surfaces identiques disposées en triangle équilatéral? – Schéma: – Analyse: N =3, N 2 = 9, N(N -1)/2 = 3 facteurs requis pour déterminer les 6 autres. •Puisque 1, 2 et 3 ne se voient pas elles-mêmes: F11 = 0, F22 = 0, F33 = 0 •Puisque toute la radiosité de 1 est interceptée également par 2 et 3 : F12 = F13 = 0.5 et réciproquement pour les autres surfaces Thermique Notions fondamentales Jean-Martial Cohard [email protected]
