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M1 TranspJMC Thermique05

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Thermique
Notions fondamentales
Jean-Martial Cohard
Jean-martial.cohard@ujf-grenoble.fr
Thermique :
Introduction
Pourquoi étudier la thermique en génie civil ?
climatisation
Eau chaude
chauffage
Le confort est il
la seule raison ? …
Thermique :
Introduction
Quelle facture pour notre petit confort ?
Consommation énergétique
Par secteur en Mtep
(million de tonnes équivalent pétrole) = 41,868 PJ
Facture énergétique
par énergie
en Milliard de francs courants
Source :www.industrie.gouv.fr/energie
Thermique :
Introduction
L’évolution de la consommation pour
le secteur résidentiel tertiaire
pourcentage de la consommation d'énergie pour le secteur
résidentiel
40%
33.13%
31.28%
29.53%
26.73%
25.65%
25.20%
25.72%
25.27%
20%
consomation par énergie pour le secteur résidentiel tertiaire
120.00
0%
1970
1973
1979
1985
1990
1995
2000
2004
100.00
80.00
bois
électricité (tep)
60.00
charbon (tep)
pétrole (tep)
gaz (tep)
40.00
20.00
0.00
1973 1979 1985 1990 1995 1998 1999 2000 2002 2003 2004
Thermique :
Introduction
Les réactions pour alléger les charges :
Mise en place de réglementation
1974
1976
1980
1982
1983
1988
Naissance du coefficient G
1ère réglementation pour
Lancement du 1er label :
Arrivée du coefficient B
le secteur non résidentiel,
le Label Haute Isolation
(B comme "Besoins de
chauffage"). Les niveaux
d’isolation du Label Haute
Isolation deviennent
obligatoires pour tous les
logements. Fait nouveau :
les apports solaires sont
déduits des déperditions
pour calculer les besoins
de chauffage
Lancement des labels
Haute Performance
Energétique (HPE) et
Solaire
Introduction du coefficient
C (C comme
"Consommations") ;1er
(G comme "déperditions
Globales")
Apparition du coefficient G1
Economies cumulées depuis 1986
Par secteur en Mtep
renforcement de la
réglementation pour le
secteur non résidentiel ;
progression des labels HPE
et Solaire
L’exigence réglementaire
porte désormais sur la
consommation C,
Source :www.industrie.gouv.fr/energie
Thermique :
Introduction
Lutter contre l’effet de serre
émission de CO2 en Million de tonnes
900
Le protocole de Kyoto préconise un retour
au niveau de 1990 pour le total
800
700
600
500
624
541
400
300
368
440
555 574
479 475 505 492 467
498 485 483 477 492 501 498
460 470 483 474
200
100
78 92
142 167 142 138 133 114 131 128 126 115 117 127 117 123 120 115 119 111 119 121
19
60
19
65
19
70
19
73
19
75
19
80
19
85
19
90
19
91
19
92
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
20 00
01
(e
)
20
02
20
03
20
04
0
Les prévisions pour 2010 sont de l’ordre
de 122 Mt pour le bâtiment
secteur batiment
total France
Pour le secteur bâtiment L’effort
d’économie représente 16,6% du total des
émissions
Thermique :
Introduction
Les enjeux d’aujourd’hui :
La RT 2000 … 2005 … 2012
1 Un enjeu planétaire
3 Un enjeu de compétitivité
Lutter contre l’effet de serre
Etre présent sur le marché
européen et à l’international
2 Un enjeu social
4 Un enjeu de simplification
Maîtriser les loyers et les charges
Favoriser l’application de la
réglementation et l’innovation.
Pour que chacun puisse trouver un logement
correspondant à ses capacités financières, Les
préoccupations actuelles d’économie d’énergie
intègrent elles aussi cet aspect.
Thermique :
Introduction
Principes de la RT2000
-Consommation C < Cref
• Des exigences à satisfaire :
-Température Tic <Ticref
-Performance des matériaux et des installations
• Des outils de calcul pour les coefficients Ubat (W/K.m2), C, …
• Des solutions technologiques agréées pour satisfaire la réglementation
• Deux démarches possibles
mettre en place les solutions proposées
Utiliser les logiciels de calcul pour optimiser
les installations
Thermique :
Introduction
Objectifs du cours
comprendre les processus d’échange thermique
entre différents milieux pour :
• décoder les coefficients proposés par la réglementation,
• Choisir des matériaux isolants,
• Concevoir des éléments de structure pour casser les ponts thermiques,
• Estimer le séchage d’un ouvrage en béton,
Thermique :
Introduction
Plan du cours
I- INTRODUCTION
II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE
1- Les grandeurs thermiques
2- Les modes de transmission de la chaleur
III- CONDUCTION THERMIQUE
1- Régime permanent
2- Régime transitoire
3- Analogie avec l’électricité
T2
T1
T∞ < TS
Q
T1> T2
Mouvement de fluide
forcé ou induit par ∆T
IV- CONVECTION THERMIQUE
1- Introduction
2- Convection naturelle
3- Convection forcée
V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT
1- Généralité
2- Quelques définitions
3- Interaction rayonnement-matière
4- Rayonnement électromagnétique et température
5- Lois fondamentales du rayonnement
6- Transfert par rayonnement entre surfaces
Q
TS
T1
T2
Q
Thermique :
Introduction
Qu’est-ce que la chaleur?
La grande Ennéade d’Héliopolis nous renseigne sur le sujet :
• Rê-Atoum - le dieu solaire créateur de l’univers
• Sekhmet - une déesse qui évoque la toute puissance
des radiations solaires. Elle incarne l’œil flamboyant
de l’astre solaire
• Tefnout - la chaleur, le souffle humide, une
incarnation de Sekhmet
Thermique :
Introduction
Qu’est-ce que la chaleur?
– Joseph Black (1728 - 1799) est plus éloquent
• La théorie calorique: un fluide invisible,
indestructible et sans masse qui migre d’un corps
chaud vers un corps plus froid.
– Antoine Lavoisier (1743 – 1794) nous renseigne
• «un fluide très subtil, très élastique, qui environne
de toutes parts la planète que nous habitons, qui
pénètre avec plus ou moins de facilité les corps
qui la composent, et qui tend lorsqu'il est libre, à
se mettre en équilibre dans tous ».
Thermique :
Introduction
Qu’est-ce que la chaleur?
Benjamin Thompson (1753 – 1814)
« It is hardly necessary to add, that anything which any insulated body
[...] can continue to furnish without limitation, cannot be a material
substance; and it appears to me to be extremely difficult, if not quite
impossible, to form any distinct idea of anything capable of being excited
and communicated in the manner the heat was excited and
communicated in these experiments, except it be motion. »
James P. Joule (1818 – 1889)
Illustration du premier
principe de la
thermodynamique :
∆U = W + Q
Thermique :
Introduction
Qu’est-ce que la Température?
T1
La température caractérise l’état d’énergie de
la matière :
l’agitation des molécules pour un fluide,
Les vibrations des atomes pour les solides
Thermique :
Introduction
Les modes de transmission de la chaleur
T∞ < TS
T2
T1
Q
T1> T2
T1
Mouvement de fluide
forcé ou induit par ∆T
Q
T2
Q
TS
Conduction thermique
Conduction thermique
échange de chaleur entre deux
points d'un solide ou encore d'un
liquide (ou d'un gaz) immobile et
opaque. L’énergie de vibration (ou
d’agitation) se transmet d’atome à
atome (de molécule à molécule).
C’est un transfert lent.
transfert de chaleur dans la matière
avec mouvement macroscopique de
la matière. Ce type de transfert
n’intervient que pour les liquides et
les gaz (C’est le fluide en
mouvement qui transporte de la
chaleur).
Rayonnement
échange de chaleur entre deux parois séparées
par un milieu transparent ou semi-transparent.
Les matériaux ont la propriété d’absorber ou
d’émettre des photons qui emporte l’énergie.
L’énergie emportée ou absorbée fait varier la
température du matériaux. Il s’agit d’un transfert à
distance quasi-instantané sans nécessité de
support matériel.
Thermique :
Introduction
Chaleur latente, chaleur sensible
T1
T2
Tf
T0 = 0° = cste
T0 = 0° = cste
Tf
Q1→2 = m.cp.(T1 – T2)
cp : chaleur spécifique
Q = m.L
L : coef de chaleur
latente
m : masse des glaçons
Thermique :
Introduction
Plan du cours
I- INTRODUCTION
II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE
1- Les grandeurs thermiques
2- Les modes de transmission de la chaleur
III- CONDUCTION THERMIQUE
1- Régime permanent
2- Régime transitoire
3- Analogie avec l’électricité
T2
T1
T∞ < TS
Q
T1> T2
Mouvement de fluide
forcé ou induit par ∆T
IV- CONVECTION THERMIQUE
1- Introduction
2- Convection naturelle
3- Convection forcée
V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT
1- Généralité
2- Quelques définitions
3- Interaction rayonnement-matière
4- Rayonnement électromagnétique et température
5- Lois fondamentales du rayonnement
6- Transfert par rayonnement entre surfaces
Q
TS
T1
T2
Q
Conduction
thermique
Qu’est ce que la conduction
Dans les liquides :
Agitation moléculaire
(mouvement brownien)
T1
Dans les solides :
Vibration des molécules
T2
Q
T1> T2
T1
T2
Q
T1> T2
Conduction
thermique
Notre appréciation de la conduction
La céramique nous paraît chaude
lorsqu’elle est vide à température
ambiante. Elle conduit mal la chaleur
de notre main. De même lorsqu’elle
est pleine de café chaud, on ne se
brûle pas (trop) les doigts …
La cuillère en argent nous paraît
fraîche lorsqu’elle est à température
ambiante. Elle conduit bien la chaleur
de notre main, et l’emporte
facilement pour augmenter sa
température. De même lorsqu’elle est
dans le café chaud, elle s’échauffe
rapidement …
Conduction
thermique
Régime permanent, régime transitoire
Régime transitoire :
Exemple : une barre à la température T2
dont une extrémité est plongée
subitement à la température T1. La
température T(x) dans la barre varie en
fonction du temps.
Régime permanent :
T1, T(x), T2, sont constant
. La température ne varie
pas au court du temps.
T1
y
z
T(x)
T2
dS
T1
x
T(x)
T1
T2
z
T(x)
T2
dS
x
T(x)
P1→2
T1
x
T2
P1→2
t
t3 4
t
t1 2
x
Conduction
thermique
Régime permanent : Joseph FOURIER
Rien ne prédestinait Joseph Fourier à connaître une telle célébrité. Né en
1768 dans une famille modeste, il se révèle très tôt doué pour les lettres et
les sciences. Mais c 'est l'étude des mathématiques qui provoque chez lui
enthousiasme et passion. En 1789, il viendra à Paris, devant l'Académie,
lire son premier mémoire sur les équations algébriques. Joseph Fourier va
ensuite enseigner à Auxerre puis deviendra élève de la promotion de
l'Ecole Normale de l'an 3, enseignera les mathématiques à l'Ecole
Polytechnique. Il participera ensuite à l'expédition d'Egypte et sera
chargé à son retour en France, d'écrire la préface historique de l'ouvrage
qui regroupe l'ensemble des observations faites au cours de l'expédition.
C'est en 1802, que Joseph Fourier est nommé Préfet de l’Isère. Grâce à
sa
puissance de travail, il réalisera au cours de son mandat de grands
travaux : assèchement des marais de Bourgoin, tracé de la route de
Grenoble à Turin. Il prêtera aussi une grande attention à tous les niveaux
de l'enseignement mis en place dans les lycées (1804) et la faculté des
Sciences (1811) qui porte aujourd'hui son nom. De retour à Paris, il
entrera à l'Académie en 1816, tout en continuant ses travaux de recherche
concernant la propagation de la chaleur, les températures du globe
terrestre et des espaces planétaires, constituant son œuvre sous le titre "
Théorie analytique de la chaleur ". En 1826, il entre à l'Académie
Française et, malgré sa maladie, travaillera inlassablement jusqu'à la fin
de sa
vie. Il meurt le 17 Mai 1830.
Conduction
thermique
Régime permanent : Loi de FOURIER
Intérieur
Tint > Text
Mur
Extérieur
L
S
Text
Pint→ext
Pint→ext = dQint→ext /dt = - λ.S/L . (T ext - Tint)
Pint→ext est le flux de chaleur à travers la surface S
Conduction
thermique
Loi de FOURIER : commentaire
•
•
La conductivité thermique est définie par la loi de Fourier :
– flux de chaleur qui traverse une surface unitaire (1 m2) en présence
d'un gradient de température unitaire (1° K).
T
Mur
Tint > Text
Le signe négatif provient de la pente du gradient
L
•
Le flux de chaleur est une quantité vectorielle :
S
dP/dS = - λ .grad(T) = - λ .∇ (T)
•
Text
Q
La direction du flux de chaleur sera toujours normale à une surface
isotherme
n
Isotherme T=cste
Q
x
Conduction
thermique
La conductivité thermique
La conductivité thermique est la faculté d'un
matériau à transporter (transférer) de la
chaleur par un processus de diffusion appelé
conduction thermique. Elle dépend :
gaz
matériaux amorphes isolants
liquides organiques
solutions aqueuses
poudres
mat. réfractaires
cristal
métaux liquides
métaux
- des matériaux
10-3
- de la température
Exemple : variation de la conductivité du
béton
10-2
10-1
1
101
λ (W.m-1.K -1)
102
103
Conduction
thermique
La conductivité thermique
La conductivité thermique dépend :
- de l’humidité
Exemple : variation de la conductivité des
matériaux minéraux (brique, béton) en
fonction de l’humidité relative
- de la densité du matériaux, de son
passé, …
Conduction
thermique
Matériaux isotropes, orthotropes, …
Pour un matériaux isotropes (dont les propriétés sont identiques dans
toutes les directions) la loi de Fourier s’exprime donc :
dP/dS = - λ .grad(T) = - λ .(dT/dx i + dT/dy j + dT/dz k)
lorsque l'orientation des fibres devient importante (bois, aggloméré,
laminé), la loi de Fourier devient plus compliquée :
dP/dS = - grad(λ . T) = - (λx . dT/dx i + λy . dT/dy j + λz . dT/dz k)
lorsque le milieu est complètement anisotropique, comme dans les
cristaux, la loi de Fourier devient :
dP/dS = - (λxx . dT/dx + λxy . dT/dy + λxz . dT/dz) i + …
Conduction
thermique
Généralisation: Loi de Poisson
z
y
C
x
C’
dz
dy
D
D’
B
dPx
A
Soit un volume élémentaire dV, cube
élémentaire de côtés dx, dy, dz, le milieu
étant au repos..
dx
dPx+dx
B’
A’
Exprimons le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le
cube par la face ABCD, de normale entrante n (1, 0, 0) :
dPx
= - λ.grad(T(x)).S.n = - λ . ∂T/∂x . dy.dz
Exprimons le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le
cube par la face A’B’C’D’, de normale entrante n’ (-1, 0, 0)
:
dPx+dx
= - λ.grad(T(x+dx)).S . n’
le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube dans
la direction x est donc :
dP
= dPx + dPx+dx
dP/dV
= λ . (∂2T/ ∂x2) . dx.dy.dz
= λ .∇ 2T
De même dans toutes les directions … :
= λ . (∂T/ ∂x + (∂2T/ ∂x2).dx). dy.dz
Conduction
thermique
Généralisation: Loi de Laplace
Pour dV à l’équilibre : Pas d’accumulation de chaleur
0 = λ .∇2T
équation de Laplace valable pour : milieu homogène et isotrope, sans sources de
chaleur internes, régime permanent.
En présence de source interne de chaleur volumique q [W/m3] (exemple béton
qui fait prise q = 350 W/m3) le raisonnement sur l’équilibre du volume dV conduit :
0 = λ .∇2T + q
(milieu homogène et isotrope, régime permanent)
Conduction
thermique
Exemple : cas de la géométrie plane
- Transfert unidimensionnel (gradient supposé dans une seule
direction), pensez-vous à des exemples?
- État permanent (lorsque T est indépendant de t)
Intérieur
Tint > Text
T
Mur
Extérieur
L
S
Text
Q
x
Conduction
thermique
Exemple : cas de la géométrie plane
Équation de diffusion générale sans source de chaleur interne :
0 = ∇ 2T
Comment obtenir une expression générale pour la distribution de
température?
–Analyse par séparation des variables et intégration double
sur la variable indépendante (ici x)
∂T/∂x = C1
∂T = C1. ∂x
T = C1.x + C2
Conduction
thermique
Exemple : cas de la géométrie plane
Avec T(0) = Tint et T(L) = Text on obtient :
T = (Text – Tint)/L .x + Tint
Intérieur
Tint > Text
T
Mur
Extérieur
L
S
Text
Q
x
Conduction
thermique
cas de la géométrie plane : flux
Donc si λ=cte et qu’il n’y a pas de source de chaleur (q=0),
le taux de transfert de chaleur est :
P = - λ . ∂T/∂x . S
= - λ . S . ∆T / L
= - λ . S . (Text – Tint) / L
Conduction
thermique
Analogie avec l’électricité: Résistance thermique
Il existe une façon simple d'analyser les problèmes de transfert
unidimensionnels :
On définit une résistance au passage de la chaleur RTH analogue
à celle qui régit le passage du courant électrique.
RTH = L / λ . S
On a alors les correspondances suivantes
Thermique
électricité
∆T = - (L/λS).P

∆V = R.I
λ(T)

σ(T)
température
T

V
potentiel électrique
puissance thermique
P

I
intensité de courant
Résistance thermique
L/λS

R
Résistance électrique
Loi de Fourier
conductivité thermique
Loi d’Ohm
conductivité électrique
Conduction
thermique
Analogie avec l’électricité: Résistance thermique
On utilise les mêmes symboles
Résistance thermique
Capacité thermique
Masse thermique (Tamb)
les mêmes lois sont applicables
R1
R2
R = R1+R2
En série
R1
1/R = 1/R1 + 1/R2
R2
En parallèle
Conduction
thermique
Analogie avec l’électricité: exemple
Polystyrène
λ= 0,04 W.m-1.K –1
e = 6 cm
Platre
λ= 0,5 W.m-1.K –1
e = 2 cm
T
béton
λ= 1,75 W.m-1.K –1
e = 20 cm
Mur
Extérieur
Intérieur
L
Tint > Text
Text
S
air
λ= 0,023 W.m-1.K –1
e = 2 cm
x
Q
RTH = ?
Conduction
thermique
Résistance thermique et coefficient global
Coefficient global de transfert de chaleur.
– Avec des composites, on parle le plus souvent pour caractériser
une structure de coefficient global de transfert de chaleur, U, ce
qui donne pour l'expression du flux de chaleur total
P = U . S . ∆T
– Donc,
U = 1 / (RTH .S)
[W.K ]
–1
– Ce coefficient est largement employé en industrie (même en
génie civil avec Ubat)
Conduction
thermique
Résistance de contact
• Savez-vous ce dont il s’agit?
• Que se passe-t-il si l'interface entre deux matériaux n'est
pas parfaite?
– chute de température à l'interface de deux matériaux
– variation de température imputable à ce qui est défini comme une résistance de
contact:
Rth,c = ∆T / P
• Effet dû au fini de surface des matériaux en contact
– contact non-continu;
– surfaces irrégulières;
– petites bulles d'air emprisonnées.
Conduction
thermique
Résistance de contact
Que se passe-t-il physiquement?
– Transfert effectif par conduction aux points de contact et par la conduction
à travers les bulles de fluide qui emplissent les interstices à la surface de
contact. La convection est négligeable.
– Équivalent de deux résistances thermiques en parallèle.
– Contribution majeure par les interstices car il y a en fait peu de points de
contact solide-solide, spécialement si deux surfaces sont très rugueuses.
Donc effet isolant.
– Echange de chaleur par rayonnement (voir suite du cours)
Pour augmenter la résistance Rth,c est-il préférable de
mettre un fluide ayant une large conductivité thermique
ou non?
–Graisses thermiques, plomb, indium, étain.
Conduction
thermique
Résistance de contact fluide/solide
De même on défini une résistance thermique d’interface entre un environnement
fluide et un solide
–Rr = (Text – TS2) / PS2→ext = (TS1 - Tint) / Pint→S1 = 1 / (hrS)
T
Intérieur
Tint > Text
Mur
S2
L
S1
Extérieur
Text
x
Q
Rr1
RMur
Rr2
=
R = Rr1 + RMur+ Rr2
Conduction
thermique
Régime transitoire : Equation de la chaleur
z
y
C
x
C’
D
D’
dz
dy
B
dPx
A
dx
dPx+dx
B’
A’
La différence de flux pendant le temps dt sert au réchauffement (ou refroidissement)
de l’élément de Volume
pendant le temps dt le volume reçoit donc une énergie :
P.dt = m.Cp.(T(t+dt)-T(t))
= ρ.V.Cp.dT
On en déduit :
P/V = ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T
Équation de la chaleur :
ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T
Conduction
thermique
Régime transitoire : Diffusivité thermique
ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T
On définit alors la diffusivité thermique D :
D = λ / ρ.Cp
dT/dt = D .∇ 2T
D caractérise la capacité d’un matériaux à diffuser la chaleur.
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul
Soit un mur initialement à la température T0 installé subitement dans un
milieu à la température Text
Text
T
Mur
Text
Text
T
Mur
L
Tmur(t)
Tmur(t)
S
L
Évolution réelle
S
Évolution simplifiée :
Tmur = T(x,t) = T(t)
Text
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul
L’énergie cédée pendant le temps dt par le mur est égale au flux à travers les surfaces
extérieure du mur
- ρ.V.Cp.dT/dt = - 2/ Rth,c .(Text - T(t))
En intégrant ….
L’énergie cédée pendant le temps dt par le mur est égale au flux à travers les surfaces
extérieure du mur
T(t) = Text + (T0 - Text ) exp(-t/τ)
Avec
τ = ρ.V.Cp.Rth,c /2
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul
Analogie thermique/électrique
Rth.C
Cth
Rth.C
T0
Text (Masse thermique)
Rth.C : résistance thermique d’échange entre l’air et le mur
Cth = ρ.Cp.V : Capacité thermique du mur
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul
Limitation de la méthode :
Lorsque le processus de transfert de chaleur vers le fluide est plus rapide que le
processus de conduction à l’intérieure du matériaux, l’hypothèse de gradient nul
n’est plus valable :
Si on considère pendant un court instant le régime comme permanent alors pour
2 surface S1 et S2 distante de Lc,
λS/Lc (TS1 - TS2) = 1/ Rth.C(TS,2 - T∞)
On défini le nombre dit de Biot, Bi, tel que:
Bi = Lc / (Rth.C .S.λ) ;
Bi = Rc / Rth.C ;
Bi = ( TS,1 - TS,2 ) / ( TS,2 - T∞ ).
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul
Limitation de la méthode :
•
Nous obtenons un critère de validité
– un faible Bi indique une faible baisse de température dans le solide
– un large Bi indique un grand gradient de température dans le solide
– la méthode du gradient nul est donc valide pour de faibles Bi
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul
Limitation de la méthode :
•
Première étape d'une analyse
– calcul du nombre de Biot basé sur Lc:
Bi*= L / Rth.C .S.λ < 0.1
– où Lc est une longueur caractéristique du système considéré:
Lc = V/A
•
– cette définition de Lc aide lorsque le solide possède une forme complexe.
Longueur caractéristique Lc
– Pour une plaque plane immergée:
L/2
– Pour une plaque isolée d'un côté:
L
– Pour un cylindre:
r/2
– Pour une sphère:
r/3
* Cette définition de Bi basée sur Lc n’est valide que
lors de calculs avec la méthode du gradient nul !!!
Conduction
thermique
Les nombres adimensionnels
Le nombre de Biot Bi caractérise le rapports des transferts thermique à la
surface sur les transferts à l’intérieur du solide
Bi = L / Rth.C .S.λ
Il existe un autre nombre sans dimension très important en conduction
transitoire, le nombre de Fourier équivalent à un temps adimensionnel qui
caractérise la diffusion dans le matériaux
t
λLt
=
= Bi ⋅ Dt2 = Bi ⋅ Fo
ρVCpRth
RthSλ.ρL2Cp
L
Dt
Fo ≡ 2
L
Le problème se réduit donc à l’équation suivante :
(T(t) - Text)/(T0 - Text ) = exp(-Bi.Fo)
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode analytique
lorsque le gradient de température dans le solide ne peut être supposé négligeable, que Bi
est supérieur à 0.1, Il faut recourir à une solution analytique
Initiale
T (r ,0) = Ti ;
Au centre
∂T
= 0;
∂r r = 0
Surface exposée
∂T
−λ
= h[T ( L, t ) − T∞ ]
∂r r = L
Température
T ( r , t ) − T∞
*
Θ ≡
;
Ti − T∞
Distance
r
r* ≡ ;
L
Temps
αt
*
t ≡ 2 = Fo
L
Conduction
thermique
Réponse impulsionnelle : méthode analytique
Expression de l’équation et des conditions aux limites de manière Adimensionelle
∂ 2 Θ*
∂r
*2
Θ* (r * ,0) = 1;
∂Θ*
∂r *
∂ Θ*
=
∂Fo
= 0;
r * =0
∂Θ*
∂r *
Bi = L / Rth.C .S.λ
= − BiΘ* (1, Fo)
r * =1
Conduction
thermique
pourquoi les nombres adimensionnels
• Nombre de variables indépendantes pour la solution
sans dimensions
*
Θ = Θ ( r , Bi, Fo )
*
*
• Nombre de variables indépendantes pour la solution
avec dimensions
T = T(r, t, Ti, T∞, L, λ, ρ, Cp, Rth)
Conduction
thermique
la solution pour le mur plan immergé
– Solution exacte: développement en série de Fourier
∞
θ
−
T
T
∞
θ* ≡ =
= ∑ Cn exp(−ζ n2 Fo) cos(ζ n r * )
θ i Ti − T∞ n =1
Dt
4 sin ζ n
Cn =
; ζ n tan ζ n = Bi; Fo = 2
2ζ n + sin (2ζ n )
L
– Solution approximative (le premier terme si Fo>0.2):
T − T∞
= C1 exp(−ζ 12 Fo) cos(ζ 1r * )
Ti − T∞
Conduction
thermique
signification de cette solution
T − T∞
= C1 exp(−ζ 12 Fo) cos(ζ 1r* )
Ti − T∞
La variation dans le temps
La température au centre d’une plaque immergée
ou sur une paroi isolée
La variation dans l’espace
La température varie en s’approchant de la paroi
en contact avec le fluide
C1 exp(−ζ 12 Fo)
cos(ζ 1r * )
Note: Lors du calcul du nombre de Biot,
L est la demi-épaisseur d’une
plaque immergée et r0 sera le rayon d’un cylindre ou d’une sphère.
Cette définition du nombre de Biot est différente de celle employée
pour valider la méthode du gradient nul.
Conduction
thermique
extension de cette solution
Il est possible d'utiliser les mêmes solutions :
• lorsque l'une des faces de la plaque est isolée car lors de l'immersion complète d’une
plaque, la surface à r=0 (milieu) est une surface adiabatique.
• lorsqu'une température est imposée sur une surface. C'est l'équivalent de poser un
nombre de Biot infini
Conduction
thermique
Remarque supplémentaire
pour le calcul de Bi, lorsqu’un solide est recouvert d’une mince couche protectrice, le
calcul de cette quantité devient:
UL
=
Bi
λ
où U est le coefficient d’échange global comportant toutes les résistances en jeu, par
exemple:
1
U.S =
RTH /S + R c'',t / S
Note: en géométrie cartésienne, S peut être éliminée
de l’expression précédente.
Rc",t
h
Conduction
thermique
Cas du solide semi infini
- si un tel solide existait physiquement, une modification d'une condition à
l'une des frontières (par exemple la face 1 du solide) ne serait jamais
perçue à l'autre bout (face 2) situé à l'infini;
- si après un temps t donné pour un problème impliquant un solide fini, la
face 2 initialement à Ti reste à cette même température malgré un
changement à la face 1, on considère le solide comme étant semi-infini
au sens thermique (cas des isolants).
Face 1
T(x,0) = Ti
-kdT/dx|x=0 =q0’’
Face 2
T(∞,t) = Ti
Conduction
thermique
Cas du solide semi infini
Cas 1: Température de
surface imposée
Cas 2: Flux de
chaleur imposé
Cas3: Convection
thermique pariétale
Conduction
thermique
Cas du solide semi infini
•
Solutions analytiques disponibles:
– Cas no1: Température de surface constante
 r 
T − Ts
= erf 
;
Ti − Ts
 2 αt 
q (t ) =
''
s
λ(Ts − Ti )
παt
– Cas no.2: Flux thermique constant
''
 r 
2q0'' (αt / π )1/ 2
q
2
0x

T − Ts =
exp(− x / 4αt ) −
erfc
λ
λ
 2 αt 
– Cas no.3: Convection surfacique
 r

 hx h 2αt 
α
 r 
T − Ti
h
t

= erfc
+
 − exp + 2  ⋅ erfc

α
T∞ − Ti
λ
λ
λ
 2 αt 
2
t




Conduction
thermique
Cas du solide semi infini
•
Note sur le solide semi-inifini
– lorsque h est supposé infini (cas no.3) Ts = T∞ et la solution de ce cas se simplifie à
celle du cas no.1.
– si deux solides semi-infinis sont en contact l'un avec l'autre, chaque surface en
contact aura la même température Ts et le flux provenant du solide chaud sera égal
à celui qui entrera dans le solide froid.
Thermique :
Introduction
Plan du cours
I- INTRODUCTION
II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE
1- Les grandeurs thermiques
2- Les modes de transmission de la chaleur
III- CONDUCTION THERMIQUE
1- Régime permanent
2- Régime transitoire
3- Analogie avec l’électricité
T2
T1
T∞ < TS
Q
T1> T2
Mouvement de fluide
forcé ou induit par ∆T
IV- CONVECTION THERMIQUE
1- Introduction
2- Convection naturelle
3- Convection forcée
V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT
1- Généralité
2- Quelques définitions
3- Interaction rayonnement-matière
4- Rayonnement électromagnétique et température
5- Lois fondamentales du rayonnement
6- Transfert par rayonnement entre surfaces
Q
TS
T1
T2
Q
Convection
Thermique
Introduction
Couche de fluide à vitesse faible :
conduction prépondérante
Couche de fluide en mouvement :
transport prépondérant
V
Mur
Mouvement
du fluide
T
Q
x
S
TS > Tenv
Tenv
Convection
Thermique
Introduction
Le transfert de chaleur par convection est un problème
qui fait intervenir :
- La conduction thermique
- La mécanique des fluides
problème trop complexe pour être abordé
analytiquement :
Utilisation d’une loi empirique de type Fourier ….
Convection
Thermique
Loir de Fourier Modifier
Pparoi→fluide = -hr(Tfluide - Tparoi)
[W/m ]
2
Où hr est le coefficient d’échange thermique par convection ou « coefficient de
convection » exprimé en [W/(m2K)]
Que vaut h ?
Conduction :
Comme λ, h dépend des propriétés du fluide (T,
ρ, Hr, …)
Mécanique des fluides :
h dépend de l’écoulement (laminaire, turbulent,
naturel, forcé, interne, externe, …)
Convection
Thermique
Ordre de grandeur de h
air
naturelle
forcée
eau
turbulente
bouillante
1
10
102
103
h (W.m-2.K -1)
104
105
vapeur
Mélange
air/vapeur
Convection
Thermique
Convection forcée– convection naturelle
Q
vent
Q
Q
intérieur
extérieur
Convection
Naturelle
Analyse dimensionnelle
Variables du problème :
ρ:
Cp:
µ:
λ:
β:
D:
∆T:
g:
h:
masse volumique [kg/m3],
chaleur spécifique du fluide [J/kg.K],
viscosité dynamique du fluide [kg/m.s],
conductivité thermique du fluide
[W/m.K],
coefficient de dilatation du fluide [K-1],
dimension caractéristique de la surface d'échange [m],
différence de température entre le mur et le fluide [K],
accélération de la pesanteur [m/s2],
coefficient d’échange
[W/m².K].
Les grandeurs fondamentales masse, temps longueur, et température sont utilisées
D’après le théorème de Vaschy buckingham le problème peut s’exprimer en fonction
de 9-4 = 5 variables sans dimension de la forme :
ρ .Cp .µ .λ .β .D .∆ T .g .h = P
a
b
a
c
b
d
c
e
d
f
e
j
k
k
l
l
f
j  m
 kg   m²   kg   kg × m   1 
 kg 
 m3  .  s ² × K  .  m × s  .  s 3 × K  .  K  .[ m ] .[ K ] .  s ²  .  s 3 × K  = 0
Convection
Thermique
Analyse dimensionnelle
- Les groupements ainsi formés on obtient 4 équations à 9 inconnues a,b,c, …
- En choisissant les valeurs de 5 coefficients on obtient les 5 variables adimensionnelles
qui définissent le problème. On retrouve ainsi les nombres de Reynolds Re, le nombre de
Nusselt Nu, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Grashof Gr et le nombre de
Stanton St.
Convection
Thermique
Nombre de REYNOLDS
ρ ×V× D
Re =
µ
ρ
v
D
µ
: masse volumique du fluide
[kg/m3],
: vitesse moyenne du fluide
[m/s],
: plus petite dimension géométrique du problème [m],
: viscosité dynamique du fluide [Pa.s].
x
Couche limite
Zone turbulente
Re > 40000
Rapport entre les force d’inertie et les force de frottement :
Re petit
: frottement prépondérant
Re grand
: inertie prépondérante
xc
Zone de transition
Zone laminaire
Re < 2000
Tair
Tp > Tair
Convection
Thermique
Nombre de Nusselt
Nu = h × D
λ
h
λ
D
: coefficient d'échange convectif en [W/m².K],
: conductivité thermique du fluide en [W/m.K].
: plus petite dimension géométrique du problème [m],
Tp > Tair
T
Rapport de la quantité de chaleur échangée par convection
à la quantité de chaleur échangée par conduction :
Nu petit
: conduction prépondérante
Nu grand
: convection prépondérante (T = cte par
mélange)
Couche limite
thermique
Conduction
prépondérante
Nu <1
Convection
turbulente
prépondérante
10 < Nu < 104
Convection
laminaire
prépondérante
1 < Nu < 10
Tair
Convection
Thermique
Nombre de Prandtl
µ × Cp
Pr =
λ
Cp : capacité thermique massique du fluide en [J/kg.K],
λ : conductivité thermique du fluide en [W/m.K],
µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].
Caractérise la distribution des vitesses par rapport à la
distribution des températures, c’est une caractéristique du
fluide :
Pr eau
: 6,8
Pr air à 20°C : 0,71
Convection
Thermique
Nombre de Grashof, nombre de Rayleigh
g × β × ρ ² × D3 × ∆ T
Gr =
µ²
g × β × D3 × ∆ T
Ra = Pr.Gr =
α ×υ
β: dilatabilité du fluide en [K-1] ,
∆T : différence de température entre fluide et paroi : T = Tparoi – Tfluide
ρ : masse volumique du fluide
[kg/m3],
D : plus petite dimension géométrique du problème [m],
µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].
α = λ/ (ρ x Cp)
: diffusivité thermique [m²/s] ,
ν = µ/ρ
: viscosité cinématique du fluide [m²/s].
Rapport des forces de flotabilité et des forces de viscosité :
Le nombre de Rayleigh remplace le nombre de Reynolds
pour caractériser les écoulements en convection naturelle
Convection
Thermique
Cas particuliers : paroi verticale
Dans la zone turbulente (Rax > 109), le
nombre de Nusselt est donné par :
x
2/5
Couche limite
Nu x =
Zone turbulente
Raxc = 109
xc
Zone de transition
Zone laminaire
Tair
Tp > Tair
1/15
0,0248× (Rax ) × (Pr)
2/3 2/5
 1+ 0,494×

(
Pr) 


Dans la partie laminaire (Rax < 109), le
nombre de Nusselt intégré entre 0 et x vaut :
Nu x = A × Ra x
1/ 4
avec A fonction du nombre de Prandtl
Convection
Thermique
Cas particuliers : plaques horizontales
T∞ < TS
TS
Convection au dessus
d’une plaque chaude
Ex : plancher chauffant
Nu = 0,54 Ra
2.104 < Ra < 8.106
1/4
Nu = 0,15 Ra1/3
8.106 < Ra < 1011
T∞ > TS
Convection en dessous
d’une plaque froide
Ex : sous le toit.
TS
Nu = 0,27 Ra1/4
3.105 < Ra < 3.1010
T∞ < TS
Nu = 0,07 Ra1/4
3.1010 < Ra < 1.1013
Convection en dessous
d’une plaque chaude
TS
T∞ > TS
TS
Convection au dessus
d’une plaque froide
Convection
Thermique
Ra < 2.103
Convection en espace limité
Ra > 2.103
Convection en espace
limité (L < H)
Conduction pure
Convection libre
T2
T2
T2
H
L
T1
T1
T1
Nu = 0,18 * (Ra)1/4
Convection
Forcée
Analyse dimensionnelle
Variables du problème :
ρ:
masse volumique[kg/m3],
Cp:
chaleur spécifique du fluide [J/kg.K],
µ:
viscosité dynamique du fluide
[kg/m.s],
λ:
conductivité thermique du fluide
[W/m.K],
D :
dimension permettant de calculer la surface
d'échange[m],
h:
coefficient d’échange
[W/m².K],
V:
vitesse moyenne du fluide [m /s].
Les grandeurs fondamentales masse, temps longueur, et température sont utilisées
D’après le théorème de Vaschy buckingham le problème peut s’exprimer en fonction
de 7-4 = 3 variables sans dimension
On retrouve alors les nombres de Nusselt Nu, de
Prandtl Pr et le nombre de Reynolds Re
Convection
Forcée
Ecoulement interne
Régime laminaire
TS
V
Pour A grand :
Nu= 3,65
Pour A petit :
Nu x = 1,077 × A − 1 / 3
 x 
1
A= 
×
 Dh  Re Dh × Pr
Convection
Forcée
Ecoulement interne
TS
Régime turbulent
V
Pour des liquide, L / D > 60 et 10 000 < Re < 120 000
Nu = 0,023 × Re 0,8 × Pr 0, 4
Pour des gaz 104 < Re < 5.106 et 0,6 < Pr < 2500
Nu = 0.021 × Re
0.8
× Pr
0.43
×  Pr fluide 
 Pr paroi 
Pour L / D < 60 ( tube court )
Nu = 0.021 × Re
0.8
× Pr
0.43
×  Pr fluide 
 Pr paroi 
0.43
0.43
( )
0,7


×  1+ D
L 

Convection
Forcée
Ecoulement externe autour d’un tube
Faible Reynolds dans l’air ( 0,02 < Re < 140 ) :
Régime laminaire ( 1 < Re < 1 000 ) :
Nu = (A + B.Ren).(Tf/Ttube)a
(
Nu = 0,43 + 0,5 × Re
0,5
) × Pr
Régime turbulent ( 1 000 < Re < 2.105 ) :
Nu = 0,25 × Re × Pr
0, 6
0 , 38
0 , 38
 Pr fluide
×
 Pr
 paroi
 Pr fluide
×
 Pr
 paroi




0 , 25




0 , 25
Convection
Calcul du flux de chaleur ?
Caractériser le régime de convection : forcée – naturelle
Caractériser la géométrie du problème : dimension caractéristique
Caractériser l’écoulement : interne - externe, laminaire – turbulent
Calculer les valeurs de Pr, Ra ou Re
Calculer Nu
Le flux de chaleur s’écrit alors :
Pparoi→fluide = -λ.Nu/D (Tfluide - Tparoi)
= - h (Tfluide - Tparoi)
= - (Tfluide - Tparoi) /Rthc
[W/m ]
2
Convection
thermique
Comment accroître les échanges par convection
• Par exemple,
T∞ = 20oC
h∞ = 10 W/m2K
Te = 90oC
he = 100 W/m2K
λ = 400 W/mK
Di=2cm, Do = 2,1cm, L=1m
Convection
thermique
Comment accroître les échange par convection
• Analyse de l'écoulement interne
– q = ∆T/R
T
–
∆T = Te-T∞ = 70K
–
R∞ = 1/h∞ A∞ = 1/(10.2π. 1,05e-2 .1) = 1,515 K/W
–
Rc = ln(2,1/2)/(2π .k.L) = 1,94e-5K/W = 0
–
Re = 1/heAe = 1/(100.2.π.1e-2 1) = 0,159 K/W
–
–
RT = 1,674 K/W
q = 41,8 W
• Que faire pour augmenter le transfert de chaleur, comme
dans un radiateur par exemple?
T∞
h
A∞
Convection
thermique
Comment accroître les échange par convection
• Qu'est-ce qu'une ailette?
– Un ajout de surface sur l'un des côtés d'une surface d'échange thermique.
Convection
thermique
Les ailettes
• Comment construit-on ces surfaces étendues?
– Usinage à même un bloc de métal ($$$$$$)
– Pression, collage ou soudage d'une ailette d'un matériau conducteur de façon à
minimiser la résistance thermique de contact. Si les ailettes ne sont pas usinées à
même les faces; La résistance devra être de beaucoup inférieure à celle de l'ailette
elle même.
Convection
thermique
Les ailettes
• Exemples industriels?
– Radiateurs, micro-processeurs, frigos, climatiseurs, etc.
Convection
thermique
Les ailettes
• Sur des plaques (écoulements externes)
Convection
thermique
Les ailettes
• Dans des tubes (écoulements internes)
Convection
thermique
Les ailettes
• Dans des échangeurs (écoulements externes)
Convection
thermique
Les ailettes
• Comment quantifier l'effet des ailettes
– Analyse différentielle et bilan d'énergie
Convection
thermique
Les ailettes : Équation générale
Par conservation de l’énergie, et d’après la loi de Fourier
qx = qx+dx +dq conv= - λ.Ac(x).dT/dx
et puisque,
qx+dx = qx + (dqx/dx).dx + …
alors
qx+dx = - λ. Ac(x).dT/dx – λ.[d(Ac(x)..dT/dx)/dx] . dx +…
et le terme convectif s’exprime tel que :
dq conv= h.dAS.(T - T∞)
Convection
thermique
Les ailettes
• Équation générale de l’ailette
En combinant toutes ces équations,
[d(Ac(x).dT/dx)/dx] – h/λ.dAS/dx.(T - T∞) = 0
Ou encore
d2T/dx2 + (1/Ac.dAc/dx). dT/dx - (1/Ac.h/λ.dAS/dx).(T - T∞) = 0
Convection
thermique
Y-a-t-il un type d'ailette plus souvent utilisé?
– Oui, l'ailette à section constante
• Plus facile à construire
• Plus facile à analyser
Convection
thermique
Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)
Équation simplifiée
2
 hP 
d T
(T − T∞ ) = 0
+ −
2
dx
 λAc 
En définissant un excès de température tel que
Θ( x) ≡ T ( x) − T∞
Une équation générale simple est obtenue pour la distribution
de température dans l’ailette
d Θ
2
−
m Θ=0
2
dx
2
Convection
thermique
Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)
Solution générale de l'équation précédente
Θ( x ) = C1 exp( mx ) + C2 exp( − mx )
Où le paramètre m est défini tel que: (eq.3.65)
m ≡
2
hP
λAc
Pour obtenir une solution particulière, il faut considérer les différentes conditions aux
frontières possibles
Convection
thermique
Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)
• Conditions aux frontières
– à la base,
– au bout de l'ailette,
• convection
• flux négligeable
Tb,
Θb = Tb-T∞
• température prescrite
hΘ (L) = -λ dΘ/dx(L)
dΘ/dx(x=L)=0
Θ (L) = ΘL
• ailette infiniment longue
Θ (L) = 0
Convection
thermique
Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)
Schéma, cas de la convection au bout de l'ailette
Convection
thermique
Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)
– Solution, cas de la convection au bout de l'ailette
Θ cosh m( L − x ) + (h / mk ) sinh m( L − x )
=
Θb
cosh mL + (h / mk ) sinh mL
– Solution, cas du flux négligeable au bout de l'ailette
Θ cosh m( L − x )
=
Θb
cosh mL
Convection
thermique
Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)
– Solution, cas de la température prescrite au bout de
l'ailette
Θ (Θ L / Θ b ) sinh mx + sinh m( L − x )
=
Θb
sinh mL
– Solution, cas de la longue ailette
Θ
= exp( − mx )
Θb
Convection
thermique
Performance de l'ailette
– L'ailette augmentera-t-elle vraiment le transfert?
– Il faut comparer le taux de transfert avec et sans l’ailette.
– L’efficacité (effectiveness) est définie telle que:
ε ail = qail = qail ≥ 2
qsans ail hAb Θ b
– Cas de l'ailette longue
• εail = ∫ h.θ(x)dAs / hAbθb = (λP/hAc)0,5
• grand λ
• grand rapport P/Ac, ailettes minces
• petit h, gaz tel l'air
Convection
thermique
Performance de l'ailette
L'ailette augmentera-t-elle vraiment le transfert?
– Il faut aussi évaluer ce que l’ailette transfère par rapport
au transfert qui se produirait si toute l’ailette était à la
température de la base.
– Le rendement (efficiency) est défini tel que:
η ail = qail = qail ≤ 1
qidéal ail hAail Θb
Thermique :
Introduction
Plan du cours
I- INTRODUCTION
II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE
1- Les grandeurs thermiques
2- Les modes de transmission de la chaleur
III- CONDUCTION THERMIQUE
1- Régime permanent
2- Régime transitoire
3- Analogie avec l’électricité
T2
T1
T∞ < TS
Q
T1> T2
Mouvement de fluide
forcé ou induit par ∆T
IV- CONVECTION THERMIQUE
1- Introduction
2- Convection naturelle
3- Convection forcée
V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT
1- Généralité
2- Quelques définitions
3- Interaction rayonnement-matière
4- Rayonnement électromagnétique et température
5- Lois fondamentales du rayonnement
6- Transfert par rayonnement entre surfaces
Q
TS
T1
T2
Q
Transfert Thermique :
Rayonnement
Principe physique
Échelle microscopique
Échelle macroscopique
Qi , λ i
T2
atome
Transfert Thermique :
Rayonnement
Principe physique
L’énergie émise par un photon s’écrit :
Qi = h.νi = (h.c)/λi
h est la constante de Planck
ν est la fréquence de la radiation
λ est la longueur d'onde de la radiation
c est la vitesse de propagation de la radiation
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les ondes émises
– Spectrale: l'émission dépend de la longueur d'onde
– Directionnelle: l'émission dépend de la direction de propagation
Transfert Thermique :
Rayonnement
Notion de spectre
Φ est le flux d’énergie rayonné dans tout l’espace
1 1014
Eλ
Eλi = ni Qi (λi)
13
8 10
6 1013
φ = ∫Eλi dλ
4 10
13
2 1013
0
0 5.0 10-7
1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6
longueur d'onde (m)
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les différentes longueurs d’onde
Transfert Thermique :
Rayonnement
Notion d’angle solide
– rapport entre la surface élémentaire, dAn, sur une sphère de rayon r par le rayon de
cette sphère au carré.
– région qui contient tous les rayons issus d’un point situé au centre d’une sphère qui
interceptent une surface dAn
Transfert Thermique :
Rayonnement
angle solide dAn au point dA
Ω
n
dAn= r2 sinθ dθ dφ
r dθ
r sinθ
r
r sinθ dφ
dA
dω ≡
dφ
dAn
r
2
= sin θ dθ dϕ
Transfert Thermique :
Rayonnement
Intensité de rayonnement
L’intensité de rayonnement I, est le flux énergétique dΦ émis dans une direction (portion)
donnée de l’espace dω. I est directionnelle
I = dΦ / dω [W/sr]
Transfert Thermique :
Rayonnement
Indicatrice de l’intensité
C'est la figure décrite par l’extrémité d’un vecteur dont l’origine est l’élément de surface et
dont le module est proportionnel à l’intensité dans la direction de la surface
n
n
Ion
θ
x
Ion
θ
Iox
O
O
Iox
x
Transfert Thermique :
Rayonnement
Luminance d’une source
La luminance L de dA selon l’axe Ox, est le flux rayonné par (dA) dans cette direction
par unité d’angle solide et par unité de surface apparente (surface projetée sur le plan
normal à la direction). L est directionnelle.
L = dΦ / (dω.dA.cosθ)
dΦ = L.dA.cosθ.dω
[W/m2.sr]
Transfert Thermique :
Rayonnement
Emittance d’une source
L’émittance E (ou radiance ou pouvoir émissif total) est le flux d’énergie par unité de
surface émis par un corps dans toutes les directions d’un demi-espace (2π [sr]).
L’émittance est une grandeur hémisphérique :
E = dΦ / dA
E = ∫2π L.cosθ.dω
[W/m2]
Transfert Thermique :
Rayonnement
Loi de Lambert
Un corps suit la loi de Lambert si sa luminance est indépendante de la direction. On dit
qu’un tel corps a une émission parfaitement diffuse ou isotrope. L’indicatrice de l’intensité
d’un corps qui suit la loi de Lambert est un cercle.
Pour un corps suivant la loi de Lambert :
E=πxL
Transfert Thermique :
Rayonnement
Irradiation totale ou éclairement
C’est le flux d’oém provenant de tout le demi-espace libre vers un élément de surface
réceptrice (dA) :
G = dΦ / dA
[W/m2]
dΦ
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les grandeurs monochromatiques
Les grandeurs du rayonnement qui concernent une longueur d’onde
déterminée sont appelées grandeurs monochromatiques.
Iλ = dΦλ / (dω.dλ)
Lλ = dΦλ / (dω.dA.cosθ.dλ)
Eλ = dΦλ / (dA.dλ)
[W/sr.µm]
[W/m2.sr.µm]
[W/m2.µm]
Les relations entre les grandeurs monochromatique et les grandeurs spectrales
s’écrivent aussi :
I = ∫ Iλ .dλ
L = ∫ Lλ .dλ
E = ∫ Eλ .dλ
Transfert Thermique :
Rayonnement
Interaction rayonnement matière
I:
Iλr :
Iλt :
Iλa :
Eλi :
est l’énergie incidente
est l’énergie réfléchie
est l’énergie transmise par le matériaux
est l’énergie absobée par le matériaux
est l’énergie émise par le matériaux
n
Eλi
Ιλi
θi
θr
Iλa
On définit alors les coefficients suivant :
le coefficient de réflexion
ρ(λ) = Iλr / I,
le coefficient de transmission τ(λ) = Iλt / I,
le coefficient d'absorption
α(λ) = Iλa / I.
On a alors : ρ + τ + α = 1
Ιλt
Ιλr
Transfert Thermique :
Rayonnement
Interaction rayonnement matière : exemple
τ(λ) = incidence normale
les rayonnements réfléchis et transmis
peuvent varier en fonction de la direction.
La direction θr = θi est appelé direction
spéculaire
Verre ordinaire
e=3 mm
0,75
Verre spécial
catathermique
0,5
0,25
1
2
3
4
5
λ (µm)
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps noirs
– Propriétés:
• Absorbe toute radiation de toutes fréquences et de toutes directions;
Soit : α = 1 et ρ = τ = 0
• Pour une température et longueur d'onde données aucun corps ne peut
émettre plus d'énergie qu'un corps noir;
• Le corps noir émet de façon diffuse. Il suit la loi de Lambert : E = π L
Transfert Thermique :
Rayonnement
Loi de planck
relation de l’émissivité spectrale en fonction de la température
• h: constante de Planck 6.6x10-34 Js
• k: constante de Boltzmann 1.4x10-23 J/K
• c0: vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
1 1014
Eλ
2π hc02
Eλ ,b (λ , T ) = 5
λ [exp(hc0 / λkT )− 1]
8 1013
6 1013
4 1013
2 1013
0
0 5.0 10-7 1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6
longueur d'onde (m)
Transfert Thermique :
Rayonnement
Courbe Eλ à T constant
Transfert Thermique :
Rayonnement
Loi de Wien (1864-1928)
– Découverte expérimentale
– Dérivée de la loi de Planck pour λ égale zéro
– Maximum du pouvoir émissif
λmax T = constante = 2897.8 µm K
– Cas du soleil à λmax=0.5 µm
– Objet à 1000 K seule une petite portion visible dans le rouge, λmax = 2.9 µm
– Objet à 300 K λmax = 9.7 µm rayonnement infra rouge
Transfert Thermique :
Rayonnement
Loi de Stephan (1835 – 1893) Boltzmann (1844-1906)
–Découverte expérimentale attendue depuis près d'un demi-siècle
–Intégrale de la loi de Planck sur tout λ
–Pouvoir émissif total
Eb = σ T4 W/m2
ou la constante
σ = 5.67x10-8 W/m2 K4.
–Cette constante est connue sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann
Transfert Thermique :
Rayonnement
Emission par bande : Fraction d’énergie
– la fraction d'énergie (F) émise pour une longueur λ est le rapport entre l’énergie
émise jusqu’à la longueur d'onde l et l’énergie totale émise par le corps noir à la
même température
– Mathématiquement:
λ
∫E
λ ,b
F(0→λ ) =
0
∞
∫E
λ ,b
λ
dλ
∫E
λ ,b
=
0
dλ
0
λT
Eλ ,b
= ∫ 5 d (λT )
σ
0 T
dλ
σT 4
Transfert Thermique :
Rayonnement
Emission par bande : Fraction d’énergie
F(λ.T) est une fonction du produit λ.T seulement. La fonction F(λ.T) est représentée
sur la figure ci-dessous
F0-λT
λ.T (µm.K).10-4
Transfert Thermique :
Rayonnement
Emission par bande
– Pour connaître l'émission entre λ1et λ2 :
F( λ 1 → λ 2 ) = F( 0→ λ 2 ) − F( 0→ λ 1 )
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels
– Peu de surfaces réelles émettent comme des corps noirs;
– Puisque le corps noir présente un maximum et que les relations énergietempérature qui le caractérise sont simples, il est utile de l'employer comme
référence;
– Les propriétés d'une surface réelle sont donc toujours comparées à celle du corps
noir dans la même situation;
– Malheureusement, la distribution spectrale de Planck peut ne pas être valide pour
des corps non-noirs de même pour la distribution directionnelle (non-diffuse).
Distribution spectrale
Distribution directionnelle
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Emissivité
– émissivité spectrale directionnelle :
– émissivité totale directionnelle :
Lλ ,e (λ , Ω, T )

ε λ ,Ω (λ , Ω, T ) =
Lλ ,b (λ , T )

Ω, T )

L
(
e
ε Ω (Ω, T ) =
Lb (T )
– émissivité spectrale hémisphérique :
– émissivité totale hémisphérique :
Eλ (λ , T )
ε λ (λ , T ) =
Eλ , b ( λ , T )
E (T )
ε (T ) =
Eb (T )
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels
– L'émissivité de surfaces métalliques est généralement petite: jusqu'à 0.02 pour les
surfaces d'or polies.
– L'émissivité des non-conducteurs est grande comparée à celle des métaux,
généralement plus de 0.6
– ε eau est autour de 0.97
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Loi de Kirshoff
Iλi = Gλi
n
Lλi,b
Lλi = ελi Lλi,b
θi
Ιλr + Ιλt
Gλi,a = αλi Gλi
αλi = ελi
Attention : α ≠ ε
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : extension de la Loi de Kirshoff
-La loi de Kirchhoff ne s’applique qu’à des grandeurs directionnelles et monochromatiques.
- l’absorptivité totale d’un corps dépend non seulement du corps lui-même, mais aussi du spectre
du rayonnement incident,
-l’émissivité totale est une propriété intrinsèque du corps.
On peut toutefois généraliser la loi de Kirchhoff dans les cas particuliers suivants :
Rayonnement incident gris ou Surface émissive grise :
→ 
→ 
ε  δ ,T  = α  δ ,T 




Rayonnement incident isotrope Surface à émission isotrope :
ε λ (T)
= α
λ
(T)
pour toute surface dans une enceinte à l’équilibre thermique :
α=ε
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Facteurs de forme
•
•
•
•
•
Jusqu’à présent, l'attention a été limitée à une seule surface. Dans cette section les
échanges entre plusieurs surfaces sont considérés.
L'échange entre surfaces dépend de la disposition des surfaces les unes par rapport
aux autres.
Nous supposerons que le milieu qui sépare les surfaces est d'abord transparent.
Il nous faut d'abord considérer la notion de facteur d'angle qui physiquement
représente comment une surface en voit une autre.
Le facteur de forme (ou facteur d’angle) Fij est défini comme la fraction de la radiation
quittant une surface i qui est interceptée par une surface j.
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Facteurs de forme
•
Géométrie
– Considérons deux éléments différentiels de surface dAi et dAj arbitrairement
orientés l'un par rapport à l'autre. Ces éléments peuvent être liés l'un à l'autre par
une droite R qui forme les angles θi et θj par rapport aux normales ni et nj
d
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Facteurs de forme
•
Description mathématique de F12
– En employant la définition de l'intensité de radiation
dΦ
12
= L10 cosθ 1dS1d Ω 12 = L10
cos θ 1 × cos θ 2
dS1dS 2
d²
– Supposant que la surface i émet et réfléchit de façon diffuse, le taux de transfert
total quittant une surface Ai et reçu par une surface Aj est
Φ 12 =
∫∫
S1 S 2
L10
cos θ 1 × cos θ 2
cos θ 1 × cos θ 2
dS1dS 2 = L10 ∫ ∫
dS1dS 2
d²
d²
S1 S 2
– Introduisant la définition du facteur d'angle
F12 =
1
cos θ 1 × cos θ 2
dS1dS 2
∫
∫
S1 S1 S2
π × d²
– et similairement pour F21
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Facteurs de forme
•
Relation de réciprocité
Ai Fij = A j F ji
N
•
Relation de sommation
∑
j= 1
•
Fij = 1
Conséquence
– Pour une enceinte constituée de N surfaces, nous avons N 2 facteurs d'angle dont
N peuvent être obtenus par la relation de sommation et N (N -1)/2 par celle de
réciprocité.
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Facteurs de forme
•
Exercice - Les sphères concentriques
– Quels sont les facteurs d'angle de deux sphères concentriques suivantes?
•
Solution :
– Analyse: N =2, N 2 = 4 (F11, F12, F21, F22). N(N -1)/2
facteurs existent pour déterminer les autres donc 1.
• Puisque 1 ne se voit pas: F11 = 0
• Puisque toute la radiosité de 1 est interceptée
par 2: F12 = 1 d'ailleurs F11 + F12 = 1
• Par réciprocité, F21 = A1/A2
• Par sommation, F22 = 1 - A1/A2
Transfert Thermique :
Rayonnement
Les corps réels : Facteurs de forme
•
Exercice - Les trois surfaces identiques
– Quels sont les facteurs d'angle de trois surfaces identiques disposées en triangle
équilatéral?
– Schéma:
–
Analyse: N =3, N 2 = 9, N(N -1)/2 = 3 facteurs requis pour déterminer les 6 autres.
•Puisque 1, 2 et 3 ne se voient pas elles-mêmes:
F11 = 0, F22 = 0, F33 = 0
•Puisque toute la radiosité de 1 est interceptée également par 2 et 3 : F12 = F13 =
0.5 et réciproquement pour les autres surfaces
Thermique
Notions fondamentales
Jean-Martial Cohard
Cohard@hmg.inpg.fr
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