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Formulation de Dirac de la mécanique
quantique
E C O L E N AT I O N A L E S U P É R I E U R E D E T E C H N I Q U E S AVA N C É E S
L A B O R AT O I R E D E M AT H É M AT I Q U E S A P P L I Q U É E S
- p. 1/16
Rappel sur les postulats
- p. 2/16
Rappel sur les postulats
Postulat 1 : Etat quantique
Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable
représenté par une fonction à valeur complexe
Produit scalaire ↔ Probabilité de transition
2
P (Ψ → Φ) = |(Ψ, Φ)|
- p. 2/16
Rappel sur les postulats
Postulat 1 : Etat quantique
Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable
représenté par une fonction à valeur complexe
Produit scalaire ↔ Probabilité de transition
2
P (Ψ → Φ) = |(Ψ, Φ)|
Postulat 2 : Mesure, observable
b (observable)
Grandeur physique A ↔ Opérateur auto-adjoint A
b ↔résultats de la mesure de A,
Valeurs propres de A
b ↔états quantiques correspondants à ces mesures.
Vecteurs propres de A
b
Valeur moyenne de A dans l’état Ψ : hAi = Ψ, AΨ
- p. 2/16
Rappel sur les postulats
Postulat 1 : Etat quantique
Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable
représenté par une fonction à valeur complexe
Produit scalaire ↔ Probabilité de transition
2
P (Ψ → Φ) = |(Ψ, Φ)|
Postulat 2 : Mesure, observable
b (observable)
Grandeur physique A ↔ Opérateur auto-adjoint A
b ↔résultats de la mesure de A,
Valeurs propres de A
b ↔états quantiques correspondants à ces mesures.
Vecteurs propres de A
b
Valeur moyenne de A dans l’état Ψ : hAi = Ψ, AΨ
Postulat 3 : Évolution temporelle
b est l’observable associée à l’énergie totale contenue dans le système.
H
∂Ψ
b
= HΨ
i~
∂t
Eq. de Schrödinger
Mécanique classique : {, } −→ Mécanique quantique
−i
~
[, ].
- p. 2/16
Notations de Dirac
- p. 3/16
Notations de Dirac
−−→
Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées
Notation de Dirac : |Ψt i
2
2
P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)|
- p. 3/16
Notations de Dirac
−−→
Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées
Notation de Dirac : |Ψt i
2
2
P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)|
Formes : E∗
F|Ψt i :
E
→
|Φt′ i 7→
C
F|Ψt i (|Φt′ i) = (|Ψt i , |Φt′ i)
- p. 3/16
Notations de Dirac
−−→
Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées
Notation de Dirac : |Ψt i
2
2
P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)|
Formes : E∗
F|Ψt i :
E
→
|Φt′ i 7→
C
F|Ψt i (|Φt′ i) = (|Ψt i , |Φt′ i)
Dirac introduit la notation
F|Ψt i ( . ) = hΨt |
ainsi
(|Ψt i , |Φ i) = hΨt | |Φ i : bra c ket : hΨt |Φ i :
t′
t′
t′
|Φt′ i ∈ E ket
hΨt | ∈ E∗ bra
- p. 3/16
Notations de Dirac
−−→
Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées
Notation de Dirac : |Ψt i
2
2
P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)|
Formes : E∗
F|Ψt i :
E
→
|Φt′ i 7→
C
F|Ψt i (|Φt′ i) = (|Ψt i , |Φt′ i)
Dirac introduit la notation
F|Ψt i ( . ) = hΨt |
ainsi
(|Ψt i , |Φ i) = hΨt | |Φ i : bra c ket : hΨt |Φ i :
t′
t′
t′
|Φt′ i ∈ E ket
hΨt | ∈ E∗ bra
finalement
2
(|Ψt i , |Φt′ i) = hΨt |Φt′ i et P (Ψt → Φt′ ) = |hΨt |Φt′ i|
- p. 3/16
Propriétés
- p. 4/16
Propriétés
kΨk = hΨ|Ψi
= 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système
- p. 4/16
Propriétés
kΨk = hΨ|Ψi
= 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système
hΨ|Φi = hΦ|Ψi
- p. 4/16
Propriétés
kΨk = hΨ|Ψi
= 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système
hΨ|Φi = hΦ|Ψi
∀ (λ, µ) ∈ C2 ,
hλΨ|µΦi = λµ hΨ|Φi
- p. 4/16
Propriétés
kΨk = hΨ|Ψi
= 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système
hΨ|Φi = hΦ|Ψi
∀ (λ, µ) ∈ C2 ,
hλΨ|µΦi = λµ hΨ|Φi
(|Ψi , λ1 |Φ1 i + λ2 |Φ2 i) = λ1 hΨ|Φ1 i + λ2 hΨ|Φ2 i
- p. 4/16
Propriétés
kΨk = hΨ|Ψi
= 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système
hΨ|Φi = hΦ|Ψi
∀ (λ, µ) ∈ C2 ,
hλΨ|µΦi = λµ hΨ|Φi
(|Ψi , λ1 |Φ1 i + λ2 |Φ2 i) = λ1 hΨ|Φ1 i + λ2 hΨ|Φ2 i
(λ1 |Ψ1 i + λ2 |Ψ2 i , |Φi) = λ1 hΨ1 |Φi + λ2 hΨ2 |Φi
- p. 4/16
B : Base de H
- p. 5/16
B : Base de H
B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que
X
∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi =
βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique.
n∈I
- p. 5/16
B : Base de H
B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que
X
∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi =
βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique.
n∈I
βn repère la projection de |Ψi sur la droite engendrée par |Ψn i
βn = F|Ψn i (|Ψi) = hΨn |Ψi
- p. 5/16
B : Base de H
B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que
X
∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi =
βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique.
n∈I
βn repère la projection de |Ψi sur la droite engendrée par |Ψn i
βn = F|Ψn i (|Ψi) = hΨn |Ψi
la décomposition de |Ψi s’écrira donc
X
X
|Ψi =
hΨn |Ψi |Ψn i =
|Ψn i hΨn |Ψi
n∈I
n∈I
- p. 5/16
B : Base de H
B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que
X
∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi =
βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique.
n∈I
βn repère la projection de |Ψi sur la droite engendrée par |Ψn i
βn = F|Ψn i (|Ψi) = hΨn |Ψi
la décomposition de |Ψi s’écrira donc
X
X
|Ψi =
hΨn |Ψi |Ψn i =
|Ψn i hΨn |Ψi
n∈I
X
|Ψn i hΨn | = Id
n∈I
Relation de fermeture
n∈I
- p. 5/16
Exemple : le théorème de Pythagore
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
I = {1, 2}
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi
I = {1, 2}
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
I = {1, 2}
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
= hΨ|
X
n∈I
!
|Ψn i hΨn | |Ψi
I = {1, 2}
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
= hΨ|
X
|Ψn i hΨn | |Ψi
n∈I
=
X
!
hΨ|Ψn i hΨn |Ψi
n∈I
I = {1, 2}
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
= hΨ|
X
|Ψn i hΨn | |Ψi
n∈I
=
!
X
hΨ|Ψn i hΨn |Ψi
X
hΨn |Ψi hΨn |Ψi
n∈I
=
n∈I
I = {1, 2}
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
= hΨ|
X
!
|Ψn i hΨn | |Ψi
n∈I
=
X
hΨ|Ψn i hΨn |Ψi
X
hΨn |Ψi hΨn |Ψi
X
|hΨn |Ψi|
n∈I
=
n∈I
I = {1, 2}
=
2
n∈I
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
= hΨ|
X
!
|Ψn i hΨn | |Ψi
n∈I
=
X
hΨ|Ψn i hΨn |Ψi
X
hΨn |Ψi hΨn |Ψi
X
|hΨn |Ψi|
X
|βn |
n∈I
=
n∈I
=
I = {1, 2}
2
n∈I
=
2
n∈I
- p. 6/16
Exemple : le théorème de Pythagore
hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi
= hΨ|
X
!
|Ψn i hΨn | |Ψi
n∈I
=
X
hΨ|Ψn i hΨn |Ψi
X
hΨn |Ψi hΨn |Ψi
X
|hΨn |Ψi|
X
|βn |
n∈I
=
n∈I
=
2
n∈I
I = {1, 2}
=
2
n∈I
=
- p. 6/16
1 si l’état est normalisé ...
Opérateurs
- p. 7/16
Opérateurs
b |Φi
Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A
- p. 7/16
Opérateurs
b |Φi
Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A
b |Φi est ambigüe !
La notation hΨ| A
- p. 7/16
Opérateurs
b |Φi
Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A
b agit sur |Φi
Si A
b |Φi est ambigüe !
La notation hΨ| A
b |Φi = |Ψi , A
b |Φi = A
b† |Ψi , |Φi
hΨ| A
- p. 7/16
Opérateurs
b |Φi
Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A
b agit sur |Φi
Si A
b agit sur |Ψi
Si A
b |Φi est ambigüe !
La notation hΨ| A
b |Φi = |Ψi , A
b |Φi = A
b† |Ψi , |Φi
hΨ| A
b |Φi = A
b |Ψi , |Φi = |Ψi , A
b† |Φi
hΨ| A
- p. 7/16
Opérateurs
b |Φi
Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A
b agit sur |Φi
Si A
b agit sur |Ψi
Si A
b |Φi est ambigüe !
La notation hΨ| A
b |Φi = |Ψi , A
b |Φi = A
b† |Ψi , |Φi
hΨ| A
b |Φi = A
b |Ψi , |Φi = |Ψi , A
b† |Φi
hΨ| A
b est auto-adjoint, i.e. A
b=A
b† : pas de problème, sinon on prendra comme
Si A
convention
b := A
b† |Ψi
hΨ| A
- p. 7/16
Opérateurs
b |Φi
Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A
b agit sur |Φi
Si A
b agit sur |Ψi
Si A
b |Φi est ambigüe !
La notation hΨ| A
b |Φi = |Ψi , A
b |Φi = A
b† |Ψi , |Φi
hΨ| A
b |Φi = A
b |Ψi , |Φi = |Ψi , A
b† |Φi
hΨ| A
b est auto-adjoint, i.e. A
b=A
b† : pas de problème, sinon on prendra comme
Si A
convention
b := A
b† |Ψi
hΨ| A
Ainsi ainsi dans tous les cas
 c |Φi
 |Ψi , M
c |Φi =
hΨ| M
c, |Φi = M
c† |Ψi , |Φi = |Ψi , M
c |Φi
 hΨ| M
- p. 7/16
Juste pour la forme...
en deux tours de manivelle
c† |Ψi = hΦ| M
c |Φi = |Ψi , M
c |Φi = M
c† |Ψi
c† |Ψi , |Φi = |Φi , M
hΨ| M
- p. 8/16
Juste pour la forme...
en deux tours de manivelle
c† |Ψi = hΦ| M
c |Φi = |Ψi , M
c |Φi = M
c† |Ψi
c† |Ψi , |Φi = |Φi , M
hΨ| M
- p. 8/16
Juste pour la forme...
en deux tours de manivelle
c† |Ψi = hΦ| M
c |Φi = |Ψi , M
c |Φi = M
c† |Ψi , |Φi = |Φi , M
c† |Ψi
hΨ| M
- p. 8/16
Juste pour la forme...
en deux tours de manivelle
c† |Ψi = hΦ| M
c |Φi = |Ψi , M
c |Φi = M
c† |Ψi , |Φi = |Φi , M
c† |Ψi
hΨ| M
- p. 8/16
Juste pour la forme...
en deux tours de manivelle
c† |Ψi = hΦ| M
c |Φi = |Ψi , M
c |Φi = M
c† |Ψi
c† |Ψi , |Φi = |Φi , M
hΨ| M
- p. 8/16
Juste pour la forme...
en deux tours de manivelle
c† |Ψi = hΦ| M
c |Φi = |Ψi , M
c |Φi = M
c† |Ψi
c† |Ψi , |Φi = |Φi , M
hΨ| M
Petits rappels ...
∀λ ∈ C,
c†
M
c+N
b
M
cN
b
M
†
c
=M
†
c =λM
c†
λM
†
†
c† + N
b†
=M
b† M
c†
=N
- p. 8/16
Observables
- p. 9/16
Observables
La mesure de la grandeur physique A donne le résultat an
- p. 9/16
Observables
La mesure de la grandeur physique A donne le résultat an
b |Ψn i = an |Ψn i
A
Le système est dans l’état |Ψn i
b associé à la valeur propre an .
qui est un ket propre de l’observable A
- p. 9/16
Observables
La mesure de la grandeur physique A donne le résultat an
b |Ψn i = an |Ψn i
A
Le système est dans l’état |Ψn i
b associé à la valeur propre an .
qui est un ket propre de l’observable A
Ensemble de tous les résultats de mesure possible
b : S = {· · · , an , · · · }
Spectre de A
Il peut être discret (⇔ N) ou continu (⇔ R)
- p. 9/16
Le spectre discret
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
an , am ∈ R
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
les 2 calculs doivent donner le même résultat :
an hΨm |Ψn i = am hΨm |Ψn i ⇒ ( an − am ) hΨm |Ψn i = 0
- p. 10/16
Le spectre discret
S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable.
Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i
b |Ψn i = an |Ψn i et A
b |Ψm i = am |Ψm i
A
D
an , am ∈ R
E
b=A
b†
b |Ψn , mais A
2 façons de calculer Ψm | A
E
D
b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i
= |Ψm i , A
À droite : Ψm |c
A |Ψn
E
D
b† |Ψm i , |Ψn i = A
b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i)
= A
À gauche : Ψm |c
A |Ψn
= am hΨm |Ψn i
les 2 calculs doivent donner le même résultat :
an hΨm |Ψn i = am hΨm |Ψn i ⇒ ( an − am ) hΨm |Ψn i = 0
an 6= am ⇒ hΨm |Ψn i = 0
2 kets propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux
- p. 10/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
- p. 11/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
2
P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| =
X
2
αn hΨn |Ψm i
n∈I
=
X
2
αn δnm
2
2
= |αm | = |αm |
n∈I
- p. 11/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
2
P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| =
X
2
αn hΨn |Ψm i
n∈I
=
X
2
αn δnm
2
2
= |αm | = |αm |
n∈I
- p. 11/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
2
P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| =
X
2
αn hΨn |Ψm i
n∈I
=
X
2
αn δnm
2
2
= |αm | = |αm |
n∈I
- p. 11/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
2
P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| =
X
2
αn hΨn |Ψm i
n∈I
=
X
2
αn δnm
2
2
= |αm | = |αm |
n∈I
|Ψm i : état dans lequel le résultat d’une mesure de A donne am
- p. 11/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
2
P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| =
X
2
αn hΨn |Ψm i
n∈I
=
X
2
αn δnm
2
2
= |αm | = |αm |
n∈I
|Ψm i : état dans lequel le résultat d’une mesure de A donne am
Si |Ψm i est le seul ket propre associé à am , (état non dégénéré)
2
2
P (am ) = |hΨ|Ψm i| = |αm |
- p. 11/16
Probabilité d’une mesure (discret)
b forment une base de E.
Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A
X
X
αn hΨn |
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi =
αn |Ψn i ou bien hΨ| =
n∈I
n∈I
2
P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| =
X
2
αn hΨn |Ψm i
n∈I
=
X
2
αn δnm
2
2
= |αm | = |αm |
n∈I
|Ψm i : état dans lequel le résultat d’une mesure de A donne am
Si |Ψm i ∈ E (|Ψm1 i , |Ψm2 i , · · · , |Ψmℓ i , · · · ) (état dégénéré)
b |Ψm1 i = am |Ψm1 i ,
A
b |Ψm2 i = am |Ψm2 i , · · · , A
b |Ψmℓ i = am |Ψmℓ i , · · · ,
A
chacun de ces états indépendants réalise une mesure de A ayant am pour résultat.
La formule de la probabilité des évènements indépendants assure que
X
X
2
2
P (am ) =
|hΨ|Ψmℓ i| =
|αmℓ |
- p. 11/16
ℓ
ℓ
Le spectre continu !
- p. 12/16
Le spectre continu !
L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1...
d
Pb = −i~
dq
- p. 12/16
Le spectre continu !
L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1...
d
Pb = −i~
dq
Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier
ia
d |πa i
=
|πa i
dq
~
∀q ∈ R
- p. 12/16
Le spectre continu !
L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1...
d
Pb = −i~
dq
Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier
ia
d |πa i
=
|πa i
dq
~
la solution de cette équation est immédiate
iaq
|π0 i
∀q ∈ R |πa i = exp
~
∀q ∈ R
avec |π0 i indépendant de q
- p. 12/16
Le spectre continu !
L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1...
d
Pb = −i~
dq
Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier
ia
d |πa i
=
|πa i
dq
~
la solution de cette équation est immédiate
iaq
|π0 i
∀q ∈ R |πa i = exp
~
∀q ∈ R
avec |π0 i indépendant de q
le « vecteur propre » associé à chaque réel a est une fonction de q ;
l’ensemble E = {|πa i , a ∈ I ⊂ R} n’est pas dénombrable.
Il ne peut plus servir de base pour E !
- p. 12/16
Le spectre continu !
L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1...
d
Pb = −i~
dq
Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier
ia
d |πa i
=
|πa i
dq
~
la solution de cette équation est immédiate
iaq
|π0 i
∀q ∈ R |πa i = exp
~
∀q ∈ R
avec |π0 i indépendant de q
le « vecteur propre » associé à chaque réel a est une fonction de q ;
l’ensemble E = {|πa i , a ∈ I ⊂ R} n’est pas dénombrable.
Il ne peut plus servir de base pour E !
- p. 12/16
Le spectre continu !
Par contre, on a toujours
D
E
πa′ | Pb |πa =
(
a hπa′ |πa i
a′ hπa′ |πa i
⇒
hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′
- p. 13/16
Le spectre continu !
Par contre, on a toujours
D
E
πa′ | Pb |πa =
X
(
a hπa′ |πa i
a′ hπa′ |πa i
|Ψn i hΨn | = Id
n∈I
spectre discret
→
hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′
⇒
Id =
R
a∈I
|πa i hπa | da
spectre continu
- p. 13/16
Le spectre continu !
Par contre, on a toujours
D
E
πa′ | Pb |πa =
X
(
a hπa′ |πa i
a′ hπa′ |πa i
|Ψn i hΨn | = Id
→
hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′
⇒
Id =
n∈I
spectre discret
R
a∈I
|πa i hπa | da
spectre continu
On peut toujours écrire
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi = Id |Ψi =
Z
|πa i hπa |Ψi da
a∈I
- p. 13/16
Le spectre continu !
Par contre, on a toujours
D
E
πa′ | Pb |πa =
X
(
a hπa′ |πa i
a′ hπa′ |πa i
|Ψn i hΨn | = Id
hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′
⇒
→
Id =
n∈I
spectre discret
R
a∈I
|πa i hπa | da
spectre continu
On peut toujours écrire
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi = Id |Ψi =
Z
|πa i hπa |Ψi da
a∈I
en projettant sur |πa′ i, il vient
hπa′ |Ψi =
Z
hπa′ |πa i hπa |Ψi da
a∈I
- p. 13/16
Le spectre continu !
Par contre, on a toujours
D
E
πa′ | Pb |πa =
X
(
a hπa′ |πa i
a′ hπa′ |πa i
|Ψn i hΨn | = Id
hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′
⇒
→
Id =
n∈I
spectre discret
R
a∈I
|πa i hπa | da
spectre continu
On peut toujours écrire
∀ |Ψi ∈ E,
|Ψi = Id |Ψi =
Z
|πa i hπa |Ψi da
a∈I
en projettant sur |πa′ i, il vient
hπa′ |Ψi =
Z
hπa′ |πa i hπa |Ψi da
a∈I
⇒ hπa′ |πa i = δ (a − a′ )
Distribution de Dirac, 1930
- p. 13/16
b?
Et pour Q
- p. 14/16
b?
Et pour Q
En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque
b |Ψi = q |Ψi
Q
- p. 14/16
b?
Et pour Q
En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque
b |Ψi = q |Ψi
Q
b avec la valeur propre a
Soit |χa i un vecteur propre de Q
b |χa i = q |χa i = a |χa i
Q
∀q ∈ R
- p. 14/16
b?
Et pour Q
En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque
b |Ψi = q |Ψi
Q
b avec la valeur propre a
Soit |χa i un vecteur propre de Q
b |χa i = q |χa i = a |χa i
Q
∀q ∈ R
la seule possibilité est de choisir
∀q ∈ R
|χa i = δ(q − a) |χ0 i
avec |χ0 i indépendant de q
- p. 14/16
b?
Et pour Q
En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque
b |Ψi = q |Ψi
Q
b avec la valeur propre a
Soit |χa i un vecteur propre de Q
b |χa i = q |χa i = a |χa i
Q
∀q ∈ R
la seule possibilité est de choisir
∀q ∈ R
|χa i = δ(q − a) |χ0 i
avec |χ0 i indépendant de q
Bilan, en représentation q le vecteur propre associé au réel a est
b;
la distribution δ(q − a) |χ0 i pour l’opérateur Q
b
la fonction exp(i aq
~ ) |π0 i pour l’opérateur P .
- p. 14/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi)=
=
=
=
Z
Z
Z
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
hΨ|χa i ψa (q) da
hχa |Ψi ψa (q) da
2
ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)|
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) =
Z
=
Z
=
Z
=
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
hΨ|χa i ψa (q) da
hχa |Ψi ψa (q) da
2
ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)|
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) =
Z
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
= hΨ|χa i ψa (q) da
Z
= hχa |Ψi ψa (q) da
Z
2
= ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)|
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) =
=
Z
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
hΨ|χa i ψa (q) da
Z
= hχa |Ψi ψa (q) da
Z
2
= ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)|
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) =
=
=
=
Z
Z
Z
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
hΨ|χa i ψa (q) da
hχa |Ψi ψa (q) da
ψa (q) ψa (q) da =
Z
2
|ψa (q)| da
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) =
=
=
=
Z
Z
Z
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
hΨ|χa i ψa (q) da
hχa |Ψi ψa (q) da
ψa (q) ψa (q) da =
Z
2
|ψa (q)| da
La fonction ψa (q) = hχa |Ψi représente l’état Ψ en variable q.
- p. 15/16
La fonction d’onde
On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi =
Z
|χa i hχa |Ψi da
Z
Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da
Et calculons
hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) =
=
=
=
Z
Z
Z
|Ψi ,
Z
|χa i ψa (q) da
hΨ|χa i ψa (q) da
hχa |Ψi ψa (q) da
ψa (q) ψa (q) da =
Z
2
|ψa (q)| da
La fonction ψa (q) = hχa |Ψi représente l’état Ψ en variable q.
Si Ψ est normalisé, ψa (q) s’interprète comme une probabilité de présence.
hχa |Ψi = ψa (q) : fonction d’onde en variable q.
- p. 15/16
La fonction d’onde
b vérifie maintenant
En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q
d |χa i
b
= a |χa i
Q |χa i = i~
dp
∀p ∈ R
- p. 16/16
La fonction d’onde
b vérifie maintenant
En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q
la solution est à présent
∀Φ ∈ E
d |χa i
b
= a |χa i
Q |χa i = i~
dp
∀p ∈ R
∀p ∈ R
|χa i = e−iap/~ |χ0 i
hχa |Φi = φa (p) : fonction d’onde en variable p.
- p. 16/16
La fonction d’onde
b vérifie maintenant
En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q
la solution est à présent
∀Φ ∈ E
d |χa i
b
= a |χa i
Q |χa i = i~
dp
∀p ∈ R
∀p ∈ R
|χa i = e−iap/~ |χ0 i
hχa |Φi = φa (p) : fonction d’onde en variable p.
On montre assez vite que φa (p) est la transformée de Fourier de ψa (q).
Z
i
1
dq
ψ
(q)
exp
−
φa (p) = F [ψa (q)] (p) =
pq
a
1/2
~
(2π~)
- p. 16/16
La fonction d’onde
b vérifie maintenant
En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q
la solution est à présent
∀Φ ∈ E
d |χa i
b
= a |χa i
Q |χa i = i~
dp
∀p ∈ R
∀p ∈ R
|χa i = e−iap/~ |χ0 i
hχa |Φi = φa (p) : fonction d’onde en variable p.
On montre assez vite que φa (p) est la transformée de Fourier de ψa (q).
Z
i
1
dq
ψ
(q)
exp
−
φa (p) = F [ψa (q)] (p) =
pq
a
1/2
~
(2π~)
les relations entre les variables p et q conjuguées de Fourier, sont à l’origine du
principe d’indétermination de Heisenberg
∆p.∆q ≥
~
2
- p. 16/16
Commutation et indétermination
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
(
h
i
b |ψn i = an |ψn i
A
b B
b =0
⇔
A,
∀n
b |ψn i = bn |ψn i
B
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
(
h
i
b |ψn i = an |ψn i
A
b B
b =0
⇔
A,
∀n
b |ψn i = bn |ψn i
B
Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
(
h
i
b |ψn i = an |ψn i
A
b B
b =0
⇔
A,
∀n
b |ψn i = bn |ψn i
B
Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn
Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A.
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
(
h
i
b |ψn i = an |ψn i
A
b B
b =0
⇔
A,
∀n
b |ψn i = bn |ψn i
B
Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn
Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A.
On peut mesurer A et B simultanement !
h
i
b B
b = 0 ⇔ ∆A.∆B = 0
A,
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
(
h
i
b |ψn i = an |ψn i
A
b B
b =0
⇔
A,
∀n
b |ψn i = bn |ψn i
B
Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn
Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A.
On peut mesurer A et B simultanement !
h
i
b B
b = 0 ⇔ ∆A.∆B = 0
A,
h
i
b Pb = i Id ⇒ ∆q.∆p 6= 0
Q,
~
- p. 17/16
Commutation et indétermination
Un résultat connu :
Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires
si et seulement s’ils commutent
(
h
i
b |ψn i = an |ψn i
A
b B
b =0
⇔
A,
∀n
b |ψn i = bn |ψn i
B
Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn
Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A.
On peut mesurer A et B simultanement !
h
i
b B
b = 0 ⇔ ∆A.∆B = 0
A,
h
i
b Pb = i Id ⇒ ∆q.∆p 6= 0
Q,
~
Conclusion
En mécanique quantique il est fondamental de déterminer les observables qui
commutent entre elles pour le problème considéré.
- p. 17/16
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