Formulation de Dirac de la mécanique quantique E C O L E N AT I O N A L E S U P É R I E U R E D E T E C H N I Q U E S AVA N C É E S L A B O R AT O I R E D E M AT H É M AT I Q U E S A P P L I Q U É E S - p. 1/16 Rappel sur les postulats - p. 2/16 Rappel sur les postulats Postulat 1 : Etat quantique Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable représenté par une fonction à valeur complexe Produit scalaire ↔ Probabilité de transition 2 P (Ψ → Φ) = |(Ψ, Φ)| - p. 2/16 Rappel sur les postulats Postulat 1 : Etat quantique Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable représenté par une fonction à valeur complexe Produit scalaire ↔ Probabilité de transition 2 P (Ψ → Φ) = |(Ψ, Φ)| Postulat 2 : Mesure, observable b (observable) Grandeur physique A ↔ Opérateur auto-adjoint A b ↔résultats de la mesure de A, Valeurs propres de A b ↔états quantiques correspondants à ces mesures. Vecteurs propres de A b Valeur moyenne de A dans l’état Ψ : hAi = Ψ, AΨ - p. 2/16 Rappel sur les postulats Postulat 1 : Etat quantique Ψ vecteur de l’espace de Hilbert E des fonctions de carré sommable représenté par une fonction à valeur complexe Produit scalaire ↔ Probabilité de transition 2 P (Ψ → Φ) = |(Ψ, Φ)| Postulat 2 : Mesure, observable b (observable) Grandeur physique A ↔ Opérateur auto-adjoint A b ↔résultats de la mesure de A, Valeurs propres de A b ↔états quantiques correspondants à ces mesures. Vecteurs propres de A b Valeur moyenne de A dans l’état Ψ : hAi = Ψ, AΨ Postulat 3 : Évolution temporelle b est l’observable associée à l’énergie totale contenue dans le système. H ∂Ψ b = HΨ i~ ∂t Eq. de Schrödinger Mécanique classique : {, } −→ Mécanique quantique −i ~ [, ]. - p. 2/16 Notations de Dirac - p. 3/16 Notations de Dirac −−→ Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées Notation de Dirac : |Ψt i 2 2 P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)| - p. 3/16 Notations de Dirac −−→ Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées Notation de Dirac : |Ψt i 2 2 P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)| Formes : E∗ F|Ψt i : E → |Φt′ i 7→ C F|Ψt i (|Φt′ i) = (|Ψt i , |Φt′ i) - p. 3/16 Notations de Dirac −−→ Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées Notation de Dirac : |Ψt i 2 2 P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)| Formes : E∗ F|Ψt i : E → |Φt′ i 7→ C F|Ψt i (|Φt′ i) = (|Ψt i , |Φt′ i) Dirac introduit la notation F|Ψt i ( . ) = hΨt | ainsi (|Ψt i , |Φ i) = hΨt | |Φ i : bra c ket : hΨt |Φ i : t′ t′ t′ |Φt′ i ∈ E ket hΨt | ∈ E∗ bra - p. 3/16 Notations de Dirac −−→ Vecteur d’état quantique Ψ à l’instant t, notation Ψ (t), Ψt , déja utilisées Notation de Dirac : |Ψt i 2 2 P (Ψt → Φt′ ) = |(Ψt , Φt′ )| = |(|Ψt i , |Φt′ i)| Formes : E∗ F|Ψt i : E → |Φt′ i 7→ C F|Ψt i (|Φt′ i) = (|Ψt i , |Φt′ i) Dirac introduit la notation F|Ψt i ( . ) = hΨt | ainsi (|Ψt i , |Φ i) = hΨt | |Φ i : bra c ket : hΨt |Φ i : t′ t′ t′ |Φt′ i ∈ E ket hΨt | ∈ E∗ bra finalement 2 (|Ψt i , |Φt′ i) = hΨt |Φt′ i et P (Ψt → Φt′ ) = |hΨt |Φt′ i| - p. 3/16 Propriétés - p. 4/16 Propriétés kΨk = hΨ|Ψi = 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système - p. 4/16 Propriétés kΨk = hΨ|Ψi = 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système hΨ|Φi = hΦ|Ψi - p. 4/16 Propriétés kΨk = hΨ|Ψi = 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système hΨ|Φi = hΦ|Ψi ∀ (λ, µ) ∈ C2 , hλΨ|µΦi = λµ hΨ|Φi - p. 4/16 Propriétés kΨk = hΨ|Ψi = 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système hΨ|Φi = hΦ|Ψi ∀ (λ, µ) ∈ C2 , hλΨ|µΦi = λµ hΨ|Φi (|Ψi , λ1 |Φ1 i + λ2 |Φ2 i) = λ1 hΨ|Φ1 i + λ2 hΨ|Φ2 i - p. 4/16 Propriétés kΨk = hΨ|Ψi = 1 si Ψ correspond à l’état physique d’un système hΨ|Φi = hΦ|Ψi ∀ (λ, µ) ∈ C2 , hλΨ|µΦi = λµ hΨ|Φi (|Ψi , λ1 |Φ1 i + λ2 |Φ2 i) = λ1 hΨ|Φ1 i + λ2 hΨ|Φ2 i (λ1 |Ψ1 i + λ2 |Ψ2 i , |Φi) = λ1 hΨ1 |Φi + λ2 hΨ2 |Φi - p. 4/16 B : Base de H - p. 5/16 B : Base de H B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que X ∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi = βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique. n∈I - p. 5/16 B : Base de H B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que X ∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi = βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique. n∈I βn repère la projection de |Ψi sur la droite engendrée par |Ψn i βn = F|Ψn i (|Ψi) = hΨn |Ψi - p. 5/16 B : Base de H B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que X ∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi = βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique. n∈I βn repère la projection de |Ψi sur la droite engendrée par |Ψn i βn = F|Ψn i (|Ψi) = hΨn |Ψi la décomposition de |Ψi s’écrira donc X X |Ψi = hΨn |Ψi |Ψn i = |Ψn i hΨn |Ψi n∈I n∈I - p. 5/16 B : Base de H B = {|Ψn i n ∈ I} où I est un ensemble dénombrable, tel que X ∀ |Ψi ∈ E, la décomposition |Ψi = βn |Ψn i avec βn ∈ C soit unique. n∈I βn repère la projection de |Ψi sur la droite engendrée par |Ψn i βn = F|Ψn i (|Ψi) = hΨn |Ψi la décomposition de |Ψi s’écrira donc X X |Ψi = hΨn |Ψi |Ψn i = |Ψn i hΨn |Ψi n∈I X |Ψn i hΨn | = Id n∈I Relation de fermeture n∈I - p. 5/16 Exemple : le théorème de Pythagore - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore I = {1, 2} - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi I = {1, 2} - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi I = {1, 2} - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi = hΨ| X n∈I ! |Ψn i hΨn | |Ψi I = {1, 2} - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi = hΨ| X |Ψn i hΨn | |Ψi n∈I = X ! hΨ|Ψn i hΨn |Ψi n∈I I = {1, 2} - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi = hΨ| X |Ψn i hΨn | |Ψi n∈I = ! X hΨ|Ψn i hΨn |Ψi X hΨn |Ψi hΨn |Ψi n∈I = n∈I I = {1, 2} - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi = hΨ| X ! |Ψn i hΨn | |Ψi n∈I = X hΨ|Ψn i hΨn |Ψi X hΨn |Ψi hΨn |Ψi X |hΨn |Ψi| n∈I = n∈I I = {1, 2} = 2 n∈I - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi = hΨ| X ! |Ψn i hΨn | |Ψi n∈I = X hΨ|Ψn i hΨn |Ψi X hΨn |Ψi hΨn |Ψi X |hΨn |Ψi| X |βn | n∈I = n∈I = I = {1, 2} 2 n∈I = 2 n∈I - p. 6/16 Exemple : le théorème de Pythagore hΨ|Ψi = hΨ| Id |Ψi = hΨ| X ! |Ψn i hΨn | |Ψi n∈I = X hΨ|Ψn i hΨn |Ψi X hΨn |Ψi hΨn |Ψi X |hΨn |Ψi| X |βn | n∈I = n∈I = 2 n∈I I = {1, 2} = 2 n∈I = - p. 6/16 1 si l’état est normalisé ... Opérateurs - p. 7/16 Opérateurs b |Φi Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A - p. 7/16 Opérateurs b |Φi Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A b |Φi est ambigüe ! La notation hΨ| A - p. 7/16 Opérateurs b |Φi Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A b agit sur |Φi Si A b |Φi est ambigüe ! La notation hΨ| A b |Φi = |Ψi , A b |Φi = A b† |Ψi , |Φi hΨ| A - p. 7/16 Opérateurs b |Φi Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A b agit sur |Φi Si A b agit sur |Ψi Si A b |Φi est ambigüe ! La notation hΨ| A b |Φi = |Ψi , A b |Φi = A b† |Ψi , |Φi hΨ| A b |Φi = A b |Ψi , |Φi = |Ψi , A b† |Φi hΨ| A - p. 7/16 Opérateurs b |Φi Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A b agit sur |Φi Si A b agit sur |Ψi Si A b |Φi est ambigüe ! La notation hΨ| A b |Φi = |Ψi , A b |Φi = A b† |Ψi , |Φi hΨ| A b |Φi = A b |Ψi , |Φi = |Ψi , A b† |Φi hΨ| A b est auto-adjoint, i.e. A b=A b† : pas de problème, sinon on prendra comme Si A convention b := A b† |Ψi hΨ| A - p. 7/16 Opérateurs b |Φi Comment noter efficacement le produit scalaire |Ψi , A b agit sur |Φi Si A b agit sur |Ψi Si A b |Φi est ambigüe ! La notation hΨ| A b |Φi = |Ψi , A b |Φi = A b† |Ψi , |Φi hΨ| A b |Φi = A b |Ψi , |Φi = |Ψi , A b† |Φi hΨ| A b est auto-adjoint, i.e. A b=A b† : pas de problème, sinon on prendra comme Si A convention b := A b† |Ψi hΨ| A Ainsi ainsi dans tous les cas c |Φi |Ψi , M c |Φi = hΨ| M c, |Φi = M c† |Ψi , |Φi = |Ψi , M c |Φi hΨ| M - p. 7/16 Juste pour la forme... en deux tours de manivelle c† |Ψi = hΦ| M c |Φi = |Ψi , M c |Φi = M c† |Ψi c† |Ψi , |Φi = |Φi , M hΨ| M - p. 8/16 Juste pour la forme... en deux tours de manivelle c† |Ψi = hΦ| M c |Φi = |Ψi , M c |Φi = M c† |Ψi c† |Ψi , |Φi = |Φi , M hΨ| M - p. 8/16 Juste pour la forme... en deux tours de manivelle c† |Ψi = hΦ| M c |Φi = |Ψi , M c |Φi = M c† |Ψi , |Φi = |Φi , M c† |Ψi hΨ| M - p. 8/16 Juste pour la forme... en deux tours de manivelle c† |Ψi = hΦ| M c |Φi = |Ψi , M c |Φi = M c† |Ψi , |Φi = |Φi , M c† |Ψi hΨ| M - p. 8/16 Juste pour la forme... en deux tours de manivelle c† |Ψi = hΦ| M c |Φi = |Ψi , M c |Φi = M c† |Ψi c† |Ψi , |Φi = |Φi , M hΨ| M - p. 8/16 Juste pour la forme... en deux tours de manivelle c† |Ψi = hΦ| M c |Φi = |Ψi , M c |Φi = M c† |Ψi c† |Ψi , |Φi = |Φi , M hΨ| M Petits rappels ... ∀λ ∈ C, c† M c+N b M cN b M † c =M † c =λM c† λM † † c† + N b† =M b† M c† =N - p. 8/16 Observables - p. 9/16 Observables La mesure de la grandeur physique A donne le résultat an - p. 9/16 Observables La mesure de la grandeur physique A donne le résultat an b |Ψn i = an |Ψn i A Le système est dans l’état |Ψn i b associé à la valeur propre an . qui est un ket propre de l’observable A - p. 9/16 Observables La mesure de la grandeur physique A donne le résultat an b |Ψn i = an |Ψn i A Le système est dans l’état |Ψn i b associé à la valeur propre an . qui est un ket propre de l’observable A Ensemble de tous les résultats de mesure possible b : S = {· · · , an , · · · } Spectre de A Il peut être discret (⇔ N) ou continu (⇔ R) - p. 9/16 Le spectre discret - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A an , am ∈ R - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i les 2 calculs doivent donner le même résultat : an hΨm |Ψn i = am hΨm |Ψn i ⇒ ( an − am ) hΨm |Ψn i = 0 - p. 10/16 Le spectre discret S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } est dénombrable. Considérons deux kets propres |Ψn i et |Ψm i b |Ψn i = an |Ψn i et A b |Ψm i = am |Ψm i A D an , am ∈ R E b=A b† b |Ψn , mais A 2 façons de calculer Ψm | A E D b |Ψn i = an (|Ψm i , |Ψn i) = an hΨm |Ψn i = |Ψm i , A À droite : Ψm |c A |Ψn E D b† |Ψm i , |Ψn i = A b |Ψm i , |Ψn i = am (|Ψm i , |Ψn i) = A À gauche : Ψm |c A |Ψn = am hΨm |Ψn i les 2 calculs doivent donner le même résultat : an hΨm |Ψn i = am hΨm |Ψn i ⇒ ( an − am ) hΨm |Ψn i = 0 an 6= am ⇒ hΨm |Ψn i = 0 2 kets propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux - p. 10/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I - p. 11/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I 2 P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| = X 2 αn hΨn |Ψm i n∈I = X 2 αn δnm 2 2 = |αm | = |αm | n∈I - p. 11/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I 2 P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| = X 2 αn hΨn |Ψm i n∈I = X 2 αn δnm 2 2 = |αm | = |αm | n∈I - p. 11/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I 2 P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| = X 2 αn hΨn |Ψm i n∈I = X 2 αn δnm 2 2 = |αm | = |αm | n∈I - p. 11/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I 2 P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| = X 2 αn hΨn |Ψm i n∈I = X 2 αn δnm 2 2 = |αm | = |αm | n∈I |Ψm i : état dans lequel le résultat d’une mesure de A donne am - p. 11/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I 2 P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| = X 2 αn hΨn |Ψm i n∈I = X 2 αn δnm 2 2 = |αm | = |αm | n∈I |Ψm i : état dans lequel le résultat d’une mesure de A donne am Si |Ψm i est le seul ket propre associé à am , (état non dégénéré) 2 2 P (am ) = |hΨ|Ψm i| = |αm | - p. 11/16 Probabilité d’une mesure (discret) b forment une base de E. Les vecteurs propres {· · · , |Ψn i , · · · } de A X X αn hΨn | ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = αn |Ψn i ou bien hΨ| = n∈I n∈I 2 P (|Ψi → |Ψm i) = |hΨ|Ψm i| = X 2 αn hΨn |Ψm i n∈I = X 2 αn δnm 2 2 = |αm | = |αm | n∈I |Ψm i : état dans lequel le résultat d’une mesure de A donne am Si |Ψm i ∈ E (|Ψm1 i , |Ψm2 i , · · · , |Ψmℓ i , · · · ) (état dégénéré) b |Ψm1 i = am |Ψm1 i , A b |Ψm2 i = am |Ψm2 i , · · · , A b |Ψmℓ i = am |Ψmℓ i , · · · , A chacun de ces états indépendants réalise une mesure de A ayant am pour résultat. La formule de la probabilité des évènements indépendants assure que X X 2 2 P (am ) = |hΨ|Ψmℓ i| = |αmℓ | - p. 11/16 ℓ ℓ Le spectre continu ! - p. 12/16 Le spectre continu ! L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1... d Pb = −i~ dq - p. 12/16 Le spectre continu ! L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1... d Pb = −i~ dq Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier ia d |πa i = |πa i dq ~ ∀q ∈ R - p. 12/16 Le spectre continu ! L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1... d Pb = −i~ dq Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier ia d |πa i = |πa i dq ~ la solution de cette équation est immédiate iaq |π0 i ∀q ∈ R |πa i = exp ~ ∀q ∈ R avec |π0 i indépendant de q - p. 12/16 Le spectre continu ! L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1... d Pb = −i~ dq Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier ia d |πa i = |πa i dq ~ la solution de cette équation est immédiate iaq |π0 i ∀q ∈ R |πa i = exp ~ ∀q ∈ R avec |π0 i indépendant de q le « vecteur propre » associé à chaque réel a est une fonction de q ; l’ensemble E = {|πa i , a ∈ I ⊂ R} n’est pas dénombrable. Il ne peut plus servir de base pour E ! - p. 12/16 Le spectre continu ! L’exemple de l’opérateur impulsion Pb en représentation q avec ℓ = 1... d Pb = −i~ dq Un vecteur propre |πa i de Pb associé à la valeur propre a devra donc vérifier ia d |πa i = |πa i dq ~ la solution de cette équation est immédiate iaq |π0 i ∀q ∈ R |πa i = exp ~ ∀q ∈ R avec |π0 i indépendant de q le « vecteur propre » associé à chaque réel a est une fonction de q ; l’ensemble E = {|πa i , a ∈ I ⊂ R} n’est pas dénombrable. Il ne peut plus servir de base pour E ! - p. 12/16 Le spectre continu ! Par contre, on a toujours D E πa′ | Pb |πa = ( a hπa′ |πa i a′ hπa′ |πa i ⇒ hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′ - p. 13/16 Le spectre continu ! Par contre, on a toujours D E πa′ | Pb |πa = X ( a hπa′ |πa i a′ hπa′ |πa i |Ψn i hΨn | = Id n∈I spectre discret → hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′ ⇒ Id = R a∈I |πa i hπa | da spectre continu - p. 13/16 Le spectre continu ! Par contre, on a toujours D E πa′ | Pb |πa = X ( a hπa′ |πa i a′ hπa′ |πa i |Ψn i hΨn | = Id → hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′ ⇒ Id = n∈I spectre discret R a∈I |πa i hπa | da spectre continu On peut toujours écrire ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = Id |Ψi = Z |πa i hπa |Ψi da a∈I - p. 13/16 Le spectre continu ! Par contre, on a toujours D E πa′ | Pb |πa = X ( a hπa′ |πa i a′ hπa′ |πa i |Ψn i hΨn | = Id hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′ ⇒ → Id = n∈I spectre discret R a∈I |πa i hπa | da spectre continu On peut toujours écrire ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = Id |Ψi = Z |πa i hπa |Ψi da a∈I en projettant sur |πa′ i, il vient hπa′ |Ψi = Z hπa′ |πa i hπa |Ψi da a∈I - p. 13/16 Le spectre continu ! Par contre, on a toujours D E πa′ | Pb |πa = X ( a hπa′ |πa i a′ hπa′ |πa i |Ψn i hΨn | = Id hπa′ |πa i = 0 si a 6= a′ ⇒ → Id = n∈I spectre discret R a∈I |πa i hπa | da spectre continu On peut toujours écrire ∀ |Ψi ∈ E, |Ψi = Id |Ψi = Z |πa i hπa |Ψi da a∈I en projettant sur |πa′ i, il vient hπa′ |Ψi = Z hπa′ |πa i hπa |Ψi da a∈I ⇒ hπa′ |πa i = δ (a − a′ ) Distribution de Dirac, 1930 - p. 13/16 b? Et pour Q - p. 14/16 b? Et pour Q En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque b |Ψi = q |Ψi Q - p. 14/16 b? Et pour Q En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque b |Ψi = q |Ψi Q b avec la valeur propre a Soit |χa i un vecteur propre de Q b |χa i = q |χa i = a |χa i Q ∀q ∈ R - p. 14/16 b? Et pour Q En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque b |Ψi = q |Ψi Q b avec la valeur propre a Soit |χa i un vecteur propre de Q b |χa i = q |χa i = a |χa i Q ∀q ∈ R la seule possibilité est de choisir ∀q ∈ R |χa i = δ(q − a) |χ0 i avec |χ0 i indépendant de q - p. 14/16 b? Et pour Q En représentation q , et dans un état |Ψi quelconque b |Ψi = q |Ψi Q b avec la valeur propre a Soit |χa i un vecteur propre de Q b |χa i = q |χa i = a |χa i Q ∀q ∈ R la seule possibilité est de choisir ∀q ∈ R |χa i = δ(q − a) |χ0 i avec |χ0 i indépendant de q Bilan, en représentation q le vecteur propre associé au réel a est b; la distribution δ(q − a) |χ0 i pour l’opérateur Q b la fonction exp(i aq ~ ) |π0 i pour l’opérateur P . - p. 14/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi)= = = = Z Z Z |Ψi , Z |χa i ψa (q) da hΨ|χa i ψa (q) da hχa |Ψi ψa (q) da 2 ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)| - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) = Z = Z = Z = |Ψi , Z |χa i ψa (q) da hΨ|χa i ψa (q) da hχa |Ψi ψa (q) da 2 ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)| - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) = Z |Ψi , Z |χa i ψa (q) da = hΨ|χa i ψa (q) da Z = hχa |Ψi ψa (q) da Z 2 = ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)| - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) = = Z |Ψi , Z |χa i ψa (q) da hΨ|χa i ψa (q) da Z = hχa |Ψi ψa (q) da Z 2 = ψa (q) ψa (q) da = |ψa (q)| - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) = = = = Z Z Z |Ψi , Z |χa i ψa (q) da hΨ|χa i ψa (q) da hχa |Ψi ψa (q) da ψa (q) ψa (q) da = Z 2 |ψa (q)| da - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) = = = = Z Z Z |Ψi , Z |χa i ψa (q) da hΨ|χa i ψa (q) da hχa |Ψi ψa (q) da ψa (q) ψa (q) da = Z 2 |ψa (q)| da La fonction ψa (q) = hχa |Ψi représente l’état Ψ en variable q. - p. 15/16 La fonction d’onde On peut toujours écrire |Ψi = Id |Ψi = Z |χa i hχa |Ψi da Z Posons hχa |Ψi = ψa (q), on a alors |Ψi = |χa i ψa (q) da Et calculons hΨ|Ψi = (|Ψi , |Ψi) = = = = Z Z Z |Ψi , Z |χa i ψa (q) da hΨ|χa i ψa (q) da hχa |Ψi ψa (q) da ψa (q) ψa (q) da = Z 2 |ψa (q)| da La fonction ψa (q) = hχa |Ψi représente l’état Ψ en variable q. Si Ψ est normalisé, ψa (q) s’interprète comme une probabilité de présence. hχa |Ψi = ψa (q) : fonction d’onde en variable q. - p. 15/16 La fonction d’onde b vérifie maintenant En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q d |χa i b = a |χa i Q |χa i = i~ dp ∀p ∈ R - p. 16/16 La fonction d’onde b vérifie maintenant En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q la solution est à présent ∀Φ ∈ E d |χa i b = a |χa i Q |χa i = i~ dp ∀p ∈ R ∀p ∈ R |χa i = e−iap/~ |χ0 i hχa |Φi = φa (p) : fonction d’onde en variable p. - p. 16/16 La fonction d’onde b vérifie maintenant En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q la solution est à présent ∀Φ ∈ E d |χa i b = a |χa i Q |χa i = i~ dp ∀p ∈ R ∀p ∈ R |χa i = e−iap/~ |χ0 i hχa |Φi = φa (p) : fonction d’onde en variable p. On montre assez vite que φa (p) est la transformée de Fourier de ψa (q). Z i 1 dq ψ (q) exp − φa (p) = F [ψa (q)] (p) = pq a 1/2 ~ (2π~) - p. 16/16 La fonction d’onde b vérifie maintenant En représentation p, le vecteur propre |χa i de Q la solution est à présent ∀Φ ∈ E d |χa i b = a |χa i Q |χa i = i~ dp ∀p ∈ R ∀p ∈ R |χa i = e−iap/~ |χ0 i hχa |Φi = φa (p) : fonction d’onde en variable p. On montre assez vite que φa (p) est la transformée de Fourier de ψa (q). Z i 1 dq ψ (q) exp − φa (p) = F [ψa (q)] (p) = pq a 1/2 ~ (2π~) les relations entre les variables p et q conjuguées de Fourier, sont à l’origine du principe d’indétermination de Heisenberg ∆p.∆q ≥ ~ 2 - p. 16/16 Commutation et indétermination - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent ( h i b |ψn i = an |ψn i A b B b =0 ⇔ A, ∀n b |ψn i = bn |ψn i B - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent ( h i b |ψn i = an |ψn i A b B b =0 ⇔ A, ∀n b |ψn i = bn |ψn i B Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent ( h i b |ψn i = an |ψn i A b B b =0 ⇔ A, ∀n b |ψn i = bn |ψn i B Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A. - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent ( h i b |ψn i = an |ψn i A b B b =0 ⇔ A, ∀n b |ψn i = bn |ψn i B Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A. On peut mesurer A et B simultanement ! h i b B b = 0 ⇔ ∆A.∆B = 0 A, - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent ( h i b |ψn i = an |ψn i A b B b =0 ⇔ A, ∀n b |ψn i = bn |ψn i B Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A. On peut mesurer A et B simultanement ! h i b B b = 0 ⇔ ∆A.∆B = 0 A, h i b Pb = i Id ⇒ ∆q.∆p 6= 0 Q, ~ - p. 17/16 Commutation et indétermination Un résultat connu : Une base propre est commune à deux opérateurs linéaires si et seulement s’ils commutent ( h i b |ψn i = an |ψn i A b B b =0 ⇔ A, ∀n b |ψn i = bn |ψn i B Si une mesure de A donne an on sait qu’une mesure de B donnera bn Cette mesure de B ne « détruit » pas l’état du système pour A. On peut mesurer A et B simultanement ! h i b B b = 0 ⇔ ∆A.∆B = 0 A, h i b Pb = i Id ⇒ ∆q.∆p 6= 0 Q, ~ Conclusion En mécanique quantique il est fondamental de déterminer les observables qui commutent entre elles pour le problème considéré. - p. 17/16