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ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE V

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ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE VERTICALE
CHAUFFEE HORIZONTALEMENT ET CONFINANT UN FLUIDE NONNEWTONIEN DE TYPE OSTWALD-DE WAELE
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5 authors, including:
M. Lamsaadi
Mohammed Hasnaoui
Université Sultan Moulay Slimane
Cadi Ayyad University
28 PUBLICATIONS 282 CITATIONS
211 PUBLICATIONS 2,411 CITATIONS
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SEE PROFILE
Ahmed Bahlaoui
A. Raji
University Sultan Moulay Sliman
Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal
27 PUBLICATIONS 199 CITATIONS
69 PUBLICATIONS 569 CITATIONS
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12èmes Journées Internationales de Thermique
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE VERTICALE
CHAUFFEE HORIZONTALEMENT ET CONFINANT UN FLUIDE NON-NEWTONIEN
DE TYPE OSTWALD-DE WAELE
Mohamed LAMSAADI*, Mohamed NAÏMI*, Mohammed HASNAOUI**, Ahmed BAHLAOUI*,
Abdelghani RAJI*
*
Equipe de Modélisation des Ecoulements et des transferts, Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences et Techniques,
UFR de Chimie Appliquée et Sciences de l’Environnement, Béni-Mellal, Maroc.
**
Laboratoire de Mécanique des fluides et d’Energétique, Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences Semlalia,
Département de Physique, UFR de Thermique et Mécanique des Fluides, B.P. 2390, Marrakech, Maroc.
E-mail : naimi@fstbm.ac.ma; lamsaadima@yahoo.fr
INTRODUCTION
La convection naturelle dans les fluides confinés a fait
l’objet de diverses investigations à cause de son
importante implication dans différentes situations
industrielles (voir Ostrach, 1988). Une revue de la
littérature indique que la plupart des contributions
scientifiques relatives à ce phénomène ont porté sur le cas
de la cavité rectangulaire horizontale, (voir par exemple
Amari et al. (1994) et Lamsaadi et al. (2005)), alors que
celle disposée verticalement n’a reçu jusqu’à présent que
peu d’attention bien qu’elle soit manifeste en pratique.
D’autre part, peu de travaux ont concerné la convection
naturelle dans les fluides à comportement rhéologique
non-Newtonien. Cette situation n’est pas due au manque
d’applications pratiques puisque la majorité des fluides
utilisés dans les industries agro-alimentaires, chimiques,
pétrochimiques et biomédicales sont caractérisés par un
comportement rhéologique complexe. Elle s’explique par
la difficulté à appréhender physiquement les mouvements
convectifs et à les modéliser mathématiquement.
La présente étude aborde donc cet aspect tout en
considérant le cas d’un fluide non-Newtonien, dont la loi
de comportement est de type Ostwald-De Waele, confiné
dans une cavité verticale chauffée horizontalement à
l’aide d’une densité de flux de chaleur uniforme, les
parois verticales étant isolées. Les équations de la
convection résultantes sont résolues numériquement dans
leur intégralité par le biais d’une approche aux différences
finies. Les résultats correspondant sont confrontés à ceux
obtenus à partir de l’approximation d’écoulement pour
une cavité de grand rapport d’aspect. L’effet des
différents paramètres, notamment celui du nombre de
Rayleigh et de l’indice de comportement, est analysé.
EQUATIONS GOUVERNANT LA CONVECTION
Sous les hypothèses de la convection, communément
utilisées, les équations adimensionnelles de la vorticité
( Ω ), de l’énergie (T) et de la fonction de courant ( ψ )
s’écrivent respectivement:
⎡ ⎡∂2Ω ∂2Ω ⎤
∂Ω ∂( u Ω ) ∂( vΩ )
+
+
= Pr ⎢ µ a ⎢ 2 +
⎥
∂t
∂x
∂y
∂y 2 ⎦
⎣⎢ ⎣ ∂x
(1)
⎡ ∂µ ∂ Ω ∂ µ a ∂ Ω ⎤ ⎤
+
S
+ 2⎢ a
+
⎥
Ω
⎥
∂ y ∂ y ⎦ ⎥⎦
⎣ ∂x ∂x
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005
où u =
∂T ∂( uT ) ∂( vT ) ∂ 2 T ∂ 2 T
+
+
= 2 + 2 et
∂t
∂x
∂y
∂x
∂y
(2)
∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
= −Ω ,
∂x 2 ∂y 2
(3)
∂ψ
∂ψ
∂v ∂u
, Ω=
,
−
,v = −
∂y
∂x
∂x ∂y
⎡ ⎡⎛ ∂ u ⎞ 2 ⎛ ∂ v ⎞ 2 ⎤ ⎡ ∂ u ∂v ⎤ 2 ⎤
µ a = ⎢2 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + ⎢ + ⎥ ⎥
⎢ ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ ⎥⎦ ⎣ ∂ y ∂x ⎦ ⎥
⎦
⎣
n −1
2
et
⎡⎡ ∂ 2 µ
∂ 2 µ a ⎡ ∂u ∂ v ⎤ ⎤
∂ 2 µ a ⎤ ⎡ ∂ v ∂u ⎤
2
−
S Ω = Pr ⎢⎢ 2 a −
+
⎢ − ⎥⎥
⎥
⎥⎢
∂ x∂ y ⎣ ∂ x ∂ y ⎦ ⎥⎦
∂ y2 ⎦ ⎣∂x ∂ y ⎦
⎢⎣⎣ ∂x
∂T
− PrRa
∂y
Les conditions aux limites associées au problème sont:
u = v = ψ = ∂T ∂x = 0 en x = 0 et A
et
(4)
u = v = ψ = ∂T ∂ y + 1 = 0 en y = 0 et 1
Les paramètres adimensionnels suivants :
(k ρ ) L ′2− 2n et
A = H ′ L ′ , Pr =
α 2− n
g β L′2 n +2q′
Ra =
(5)
(k ρ ) α n λ
sont, respectivement, le rapport d’aspect de la cavité, les
nombres de Prandtl et de Rayleigh généralisés.
Le transfert de chaleur est caractérisé par le nombre de
Nusselt définit par:
1
Nu =
(6)
T ( A / 2 , 0) − T ( A / 2,1)
SOLUTION NUMERIQUE
Les équations gouvernantes sont résolues en utilisant
l’approche aux différences finies centrées dans un
maillage régulier. L’intégration des équations (1) et (2)
est effectuée à l’aide de la méthode implicite des
directions alternées (ADI). L'équation (3), elle, est traitée
par la méthode de sur-relaxation successive par point
(PSOR) avec un facteur de relaxation optimal calculé par
la formule de Franckel (Roache, 1982). Pour une cavité
ayant A = 12 la grille uniforme de 241×41 de taille a été
trouvée suffisante pour modéliser l’écoulement et le
transfert au sein de la cavité considérée.
259
12èmes Journées Internationales de Thermique
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−m
ANALYSE DE L’ECOULEMENT PARALLELE
Dans le cas d’une cavité ayant A >> 1 l’écoulement
présente un aspect parallèle et une stratification thermique
(Kimura et al. (1984), Vasseur et al (1987) et Mamou et
al. (1996)), ce qui se traduit par:
u ( x , y ) = u ( y ) , v ( x , y ) = 0 , ψ ( x , y ) = ψ ( y ) et
(7)
T (x , y ) = C ( A / 2 − x ) + θ ( y )
où la constante C n’est autre que le gradient vertical de
température. Moyennant une telle approximation, le
système d’équations (1)-(4) devient :
n −1
⎡
⎤
dθ
d 2ψ ⎥
d 2 ⎢ d 2ψ
(8)
+ Ra
=0
2 ⎢
2
2 ⎥
dy
dy
dy
dy
⎣
⎦
dψ d 2 θ
C
=
(9)
d y dy 2
ψ = dψ dy = dθ dy + 1 = 0 en y = 0 et 1
(10)
C est déterminée par l’intégration de l’équation (2),
sur le volume de contrôle, choisi arbitrairement dans la
figure 1, en prenant en compte les conditions aux limites
(4) et en raccordant avec la région de l’écoulement
parallèle. Soit
1
1
C = u ( y ) θ ( y )dy =
∫
∫ ψ ( y ) dy
0
1
1 + ψ 2 ( y ) dy
∫
0
(11)
0
La fonction de courant, ψ , la température, T, et la
constante, C, sont obtenues à partir des équations (8)-(11)
en combinant la méthode itérative de Jacobi et la méthode
d’intégration de Simpson.
ANALYSE D’ECHELLE
Dans cette section, une analyse d’échelle est
développée pour prédire l’intensité de transfert de chaleur
en fonction de Ra et n. Ainsi, au voisinage immédiat des
parois verticales, où la majorité du mouvement du fluide a
lieu dans une couche limite mince d’épaisseur δy ′ << L ′ ,
en considérant les équations (1) et (2), on peut écrire
respectivement :
n(δu )n
δT
~ Ra
(12)
n+ 2
δy
(δy )
et
DT
δT
~
(13)
H
(δy )2
où DT est la différence de température, entre les parois
supérieures et inférieures, dont l’échelle peut être
déterminée à partir de la conservation d'énergie dans le
volume de contrôle (Fig. 1). Soit
DT
~ δuδT δy
(14)
H
D’autre part, la condition (10) requière
δT
~1
(15)
δy
Par conséquent, des équations précédentes découlent
les échelles suivantes :
δu
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005
−m
3m 2
⎛ Ra ⎞
⎛ Ra ⎞
⎛ Ra ⎞
(16)
et δT ~ ⎜
⎟
⎟ , δu ~ ⎜
⎟
n
n
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ n ⎠
Ce qui donne, comme échelle, pour le nombre de
Nusselt
δy ~ ⎜
m
⎛ Ra ⎞
(17)
Nu ~ ⎜
⎟
⎝ n ⎠
où m = 2 / (5n + 4 ) .
Ainsi, en adoptant la même procédure que Bian et al.
(1994) et en tenant compte des résultats de l’analyse de
l’écoulement parallèle, Nu peut être écrit en régime de
couche limite comme suit
(
)
⎛ Ra ⎞
Nu = − 0.08 n 2 + 0.264 n + 0.155 ⎜
⎟
⎝ n ⎠
m
(18)
RESULTATS ET DISCUTIONS
Le problème de convection naturelle au sein de la
cavité considérée est gouverné par le rapport d’aspect, A ,
l’indice de comportement, n, le nombre de Prandtl, Pr, et
le nombre de Rayleigh, Ra . Pour inclure les
comportements pseudo-plastique ( 0 < n < 1 ), Newtonien
( n = 1 ) et dilatant ( n > 1 ), on a affecté à n les valeurs
0.6, 1.0 et 1.4. Pour les fluides non-Newtoniens, les
valeurs rencontrées pour Pr sont très élevées ce qui rend
négligeable la contribution des termes convectifs dans le
membre de gauche de l’équation (1). Par conséquent, la
convection thermique devient insensible aux variations de
ce paramètre pour les grandes valeurs de celui-ci. Aussi,
les simulations numériques ont montré qu’à partir de
A = 12 , l’influence du confinement latéral ne se fait plus
sentir et l’écoulement garde un aspect parallèle et une
stratification thermique dans la région centrale de la
cavité, ce qui justifie, donc, le choix de cette valeur de A.
Il en résulte que les paramètres de contrôle de l’étude sont
n et Ra.
Des configurations des champs d’écoulement et de
température, obtenues numériquement pour Ra = 10 4 et
différentes valeur de n , sont présentées dans la figure 2.
Comme on peut le voir, pour tous les cas étudiés,
l’écoulement présente un aspect parallèle et une
stratification thermique dans la région centrale de la
cavité. D’autre part, une couche limite d'épaisseur
constante se développe à proximité des parois verticales
alors que le fluide est pratiquement immobile (stagnant)
ailleurs. Ceci se traduit par des lignes de courant serrées,
au voisinage des bords rigides verticaux, et des
isothermes aplaties, dans le cœur de la cavité. Cette
tendance, qu’on peut avoir aussi en augmentant Ra à n
fixe (résultats non présentés ici), est d’autant manifeste
que n est petit.
La figure 3 dans laquelle sont reportées les valeurs de
l’intensité de courant, ψc , en fonction de Ra, pour
différentes valeurs de n, montre clairement l’excellent
accord entre la solution numérique (symboles) et celle
basée sur l’analyse de l’écoulement parallèle (traits
continus), ce qui témoigne de la validité de
l’approximation de l’écoulement parallèle. Dans la figure
4, les résultats sont comparés, en termes de nombre de
Nusselt, à ceux issus de l’analyse d’échelle (traits
discontinus). Un excellent accord est observé pour
260
12èmes Journées Internationales de Thermique
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ra n > 5× 10 3 . Dans une telle situation, les variations de Vasseur, P., Satish, M. G. et Robillard, L. “Natural
Convection in a Thin, Inclined, Porous Layer Cavity
Nu avec Ra n , représentées en échelle logarithmique,
Heated by a Constant Heat Flux ”, Int. J. Heat Mass
montrent une parfaite linéarité pour toutes les valeurs de n Transfer 30, 537 (1987).
considérées, confirmant ainsi l’existence d’un régime de
couche limite pour les grandes valeurs de Ra ou les petites
valeurs de n .
Pour ce qui est de l’influence de n, comme le montrent
ces deux figures, une augmentation de ce paramètre
conduit à une réduction de la convection thermique alors
que sa diminution produit l’effet contraire. Ceci indique
que le comportement pseudo plastique ( 0 < n < 1 ) a
L′
tendance à favoriser la convection thermique alors que
celui dilatant ( n > 1 ) agit dans le sens de la défavoriser.
CONCLUSION
Dans la présente étude, le phénomène de la convection
naturelle dans une cavité rectangulaire verticale élancée
( A = 12 ), chauffée horizontalement et remplie d’un fluide
non-Newtonien, a été entreprise par voie numérique et à
l’aide de l’approximation de l’écoulement parallèle. Les
résultats obtenus montrent un accord parfait entre ces
deux approches d’une part, et avec celle de l’analyse
d’échelle, pour Ra n > 5× 10 3 , d’autre part. Enfin, l’effet
de la rhéologie est tel que la convection thermique est
favorisée par le caractère pseudo-plastique ( 0 < n < 1 ) et
défavorisé par celui dilatant ( n > 1 ).
q′
q′
H′
Volume de contrôle
x ′, u ′
y ′, v ′
Fig. 1 : Modèle physique et système de coordonnées
REFERENCES
Amari B., Vasseur P.et Bilgen E., « Natural convection of
non-Newtonian fluids in a horizontal porous layer »,
Warme-und Stoffubertragung, Vol. 29, pp. 185-193,
(1994).
Bian W., Vasseur P. et Bilgen E., « Natural convection of
non-Newtonian fluids in an inclined porous layer »,
Chem. Eng. Comm, Vol. 129, pp. 79-97 (1994).
Kimura, S. et Bejan, « The Boundary Layer Natural
Convection Regime in a Rectangular Cavity with
Uniform Heat Flux from the Side », J. Heat Transfer 106,
98 (1984).
Lamsaadi M., Naïmi M. et Hasnaoui M., « Natural
convection of non-Newtonian power law fluids in a
shallow horizontal rectangular cavity uniformly heated
from below », Heat and Mass Transfer, Vol. 41, pp. 239249 (2005).
Mamou. M, Vasseur P. et Bilgen E., « Analytical and
numerical study of double-diffusive convection in a
vertical enclosure », Heat and Mass Transfer, Vol. 32, pp.
115-125 (1996).
Ostrach. S, « Natural convection in enclosures », J. Heat
Transfer, Vol. 110, pp.1175-1190 (1988).
Roache, P. J., « Computational fluid dynamics »,
Hermosa Publishers, Albuquerque, New Mexico,
(1982).
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005
n = 0.6
n = 1.0
n = 1.4
Fig. 2 : Lignes de courant (à gauche) et isothermes (à
droite) pour A = 12 , Ra = 10 4 et différentes valeurs de n.
261
12èmes Journées Internationales de Thermique
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
Solution
numérique
n = 0.6
n = 0.8
n = 1.0
n = 1.2
n = 1.4
5
4
ψc
3
Solution
d'écoulement parallèle
2
1
0
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Ra
Fig. 3 : Evolution de la fonction de courant ψc au centre
de la cavité avec Ra pour différentes valeurs de n.
20
Solution
numérique
n = 0.6
n = 0.8
n = 1.0
n = 1.2
n = 1.4
10
8
6
Nu
Solution
d'écoulement parallèle
Relation corrélée Eq.(17)
4
2
1
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Ra/n
Fig. 4 : Evolution du Nu au centre de la cavité avec Ra
pour différentes valeurs de n.
Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005
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