5q3ph-exercices avec les corriges

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Série 1: Thermodynamique classique
EXERCICE 1:
Un compresseur formé par un récipient, fermé par un piston mobile, contient 2 g de
l’hélium ( gaz parfait, monoatomique ) dans les conditions ( P1 , V1 ). On opère une
compression adiabatique, de façon réversible, qui amène le gaz dans les conditions ( P 2 , V2 ).
Sachant que P1 = 1 atm, V 1= 10 litres et P2 = 3 atm. Déterminer :
a - Le volume final V2 ?
b - Le travail reçu par le gaz ?
c - La variation d’énergie interne du gaz ?
d - En déduire l’élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T1
On donne :
- le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constants: =
=
- constante des gaz parfaits : R = 8,3 S.I.
Solution 1:
a- on a P1
= P2
soit V2 = V1
d’où V 2 = 10
= 5,16 l
b- Pour une transformation adiabatique on écrit :
W=-
avec P
= cte = K1 d’où W = -
=

W = = 822 J
c- La variation de l’énergie interne est égale à :
U2 - U2 = W + Q = W ( car Q = 0 ) ; donc U2 - U1 = 822 J
d- Pour n moles de gaz parfait, on a :
U2 - U2 = W = n CV ( T2 – T1 )
or =

et CP - CV = R ( pour une mole )  CV =
d’où   W = n
 ou bien ( T2 – T1 ) =
( T2 – T1 )

( T2 – T1 ) = 132 ° K
1
autre méthode : Dans  on remplace P V = n R T et on trouve 
EXERCICE 2:
Pour vérifier que la quantité de chaleur est une fonction qui dépend du chemin suivi,
on considère un gaz parfait diatomique ( CV = 5/2 R ) qui est porté réversiblement d’un état
initial i à un état final f par 3 chemins différents iaf, ibf, icf .
· iaf : isochore suivie d’une isobare
· ibf : isobare suivie d’une isochore
· icf : chemin rectiligne direct.
Calculer la quantité de chaleur échangée dans les trois cas en fonction de la température de
l’état initial Ti sachant que : Pf= 2 P i et Vf = 2 Vi . Conclusion ?.
Solution 2:
La quantité de chaleur élémentaire peut s’exprimer en fonction de deux variables que l’on
choisira. Les trois formes classiques sont (pour 1 mole) :
Q = C V dT + l dT
Q = C P dT + h dT

Q = dP + dV
iaf : isochore suivie d’une isobare
Q=
=
+
= CV ( T a – T i ) + CP ( Tf - Ta ) 
En f on a Pf Vf = R Tf et en i on a Pi Vi = R Ti d’où Tf = 4 Ti
De même en a on a Pf Vi = R Ta (car Pf = P a isobare et Va = Vi isochore )
Dans  on a Q = CV ( 2Ti – Ti ) + CP ( 4T i - 2Ti ) ; or CV =
d’où
Q=
R et CP =
R
R Ti
2
ibf : isobare suivie d’une isochore
On trouve Q =
R Ti



 icf : chemin rectiligne direct.
Q = dP + dV = CV
dP + CP
dV
or P = k V car c’est une transformation linéaire














Q = CV
k dV + CP k
Q = ( CV + CP )
V
dV = ( C V + CP )
=
( CV + CP )
or k V i = R Ti d’où
V dV
k
Q=
R Ti
Conclusion : Q n’est pas une différentielle totale exacte.
EXERCICE 3 :
Une ensileuse fonctionne selon un cycle ABCA décrit comme suit :
1 - Le gaz parfait est amené de l’état A ( PA , VA , TA ) à l’état B ( PB , VB , TB ) par une
transformation à volume constant. Sachant que PB = 2 PA , calculer TB en fonction de TA ?
2 - Le gaz subit ensuite une détente isotherme qui l’amène à un état C ( PC , VC, TC ) de telle
sorte que PC = PA . Calculer VC en fonction de VA ?
3 - Le gaz revient alors à son état initial A par une transformation à pression constante.
a - Faire un schéma du cycle ABCA dans le diagramme de CLAPEYRON.
b - Calculer le travail total W échangé par le gaz pendant le cycle ABCA avec le milieu
extérieur. Exprimer ce travail en fonction des variables PA et VA
1°) D’après la loi des gaz parfaits on a :
nR =
=
or PB = 2 PA et VB = VA
=
D’où

TB = 2 TA
2°) De B à C , le gaz a subit une transformation isotherme on écrit :
nR =
=
Or PC = P A =
et TC = TB
3
donc

=
VC = 2 VB =
2 VA
3°)
ab- Soit W le travail fournit au gaz pendant le cycle :
W = W AB + WBC + WCA
avec :
W AB = 0 transformation isochore ;
WBC =-
= nRTB
=-PBVB
=- 2 PAVA Ln 2 car la transformation est
isotherme ;
WCA = - P A ( VA - VC ) = P AVA transformation isobare ;
Donc: W = W AB + WBC + W CA = PAVA ( 1 - 2 Ln 2 ) = - 0,4 PAVA
Conclusion : Ce travail est négatif : c’est donc le gaz qui fournit du travail au milieu extérieur.
Le cycle parcouru dans le sens ABCA est moteur.
Série 2 : Le premier principe de la thermodynamique
EXERCICE 1 :
En hiver et afin d’éviter le gel, on chauffe une serre contenant 812 g d’air (gaz supposé
parfait) dont la température s’élève de 2° C à 16° C. Calculer :
a - la variation d’énergie interne de l’air au cours de cet échauffement ?
b - la quantité de chaleur reçue par le gaz, si ce dernier a fourni un travail de 846,4 joules.
On donne: La masse molaire de l’air M = 29 g /mole, R = 8,32 S.I. ;
Le rapport des chaleurs massiques de l’air = C P /Cv = 1,4
Solution 1 :
4
a - La variation d’énergie interne de n moles de gaz parfait : U = n CV T
L’air est un gaz parfait diatomique : CV =
U =
8,32
R donc :
14 = 8153,6 J
b - On a : U = W + Q ou U = W + Q
La quantité de chaleur échangée par le gaz (l’air) est :
Q = U - W Or W = - 846,4 car l’air a fourni un travail,
d’où Q = 8153,6 - ( - 846,4 ) = 9000 J
EXERCICE 2 :
L’état initial d’une mole de gaz parfait est caractérisé par P0 = 2.105 Pascals, V0 = 14
litres. On fait subir successivement à ce gaz:
- une détente isobare, qui double son volume,
- une compression isotherme, qui le ramène à son volume initial,
- un refroidissement isochore, qui le ramène à l’état initial (P0 , V0 ).
a - A quelle température s’effectue la compression isotherme ? En déduire la pression
maximale atteinte. Représenter le cycle de transformation dans le diagramme (P, V )
b - Calculer le travail, la quantité de chaleur et la variation d’énergie interne échangés par le
système au cours de chaque transformation ?. Faire le bilan du cycle ?.
On donne : constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K-1 .
Solution 2 :
a - L’état initial du gaz, représenté par le point A0, est caractérisé par :
P 0 = 2 105 Pa ; V0 = 14 10-3 m3 ; T0 =
= 336,78 °K
A la fin de la détente isobare, l’état du gaz, représenté par le point A1, est caractérisé par :
P 1 = P0 ; V1 = 2 V0 ; T1 =
=
= 2 T0 = 673,56 °K
de la compression isotherme, l’état du gaz représenté par le point A2, est
caractérisé par
 A la fin
5
P2 =
= 2 P0 ( d ‘après la loi de Mariotte ) ; V0 ; 2 T0
P2 = 2 P0 = 4 105 Pa
La pression maximale du gaz est donc :
bu Au cours de la détente isobare A0A1 on a :
W1 = - P0 ( 2 V 0 - V0 ) = - P 0 V0 = - 2800 J
Q1 = C P ( T1 - T0 ) =
8,314
336,78 = 9800 J
u Au cours de la compression isotherme A1A2 on a :
W2 = R T 1 ln
Q2 =
= 2 R T 0 ln 2 = 3881,61 J
= R T 1 ln
= - 2 R T0 ln 2
= - 3881,61 J
u Au cours du refroidissement isochore A2A0 on a :
W3 = 0 J ( à volume constant)
Q3 = C V ( T0 - T1 ) = -
8,314
336,78 = -7000 J
Transformation W en J
Q en J
Isobare
9800
7000
-2800

U= W+Q en J
Isotherme
3881,61
-3881,61
0
Isochore
0
-7000
-7000
total
1081,61
- 1081,61
0
Au cours du cycle :
Le bilan mécanique du cycle est donc : W = W1 W2 W3 1081,61 J /mole.
La quantité de chaleur échangée est donc : Q = - W = - 1081,61 J / mole
La variation de l’énergie interne est nulle car c’est une fonction d’état.
W est positif, Q est négatif ; par conséquent, le système a reçu un travail qu’il a intégralement
restitué au milieu extérieur sous forme de chaleur.
6
EXERCICE 3 : TRAVAIL DU CŒUR
Le travail effectué par un système peut dans certains cas s’exprimer, par le produit d’une
pression P (grandeur intensive ), par une variation de volume V (grandeur extensive ).
1- Montrer que le produit P V a la dimension d’un travail.
2- Sachant que chaque pulsation fait circuler du sang ; avec P1 la pression sanguine dans le
ventricule droit, et V1= V1 le volume de celui-ci complètement rempli
Soient P 2 et V2 ces mêmes grandeurs pour le ventricule gauche. On suppose constantes les
pressions P 1 et P2 et le travail des oreillettes négligeable par rapport à celui des ventricules.
a - Exprimer le travail du cœur pour une pulsation ?
b - Exprimer la puissance du « moteur » cardiaque sachant qu’il a n pulsations par minute.
c - Calculer ce travail et cette puissance sachant que :
P1 = 3 cm Hg ; P2 = 9 cm Hg ; V1 = V2 = 71 cm3
n = 65 pulsations par minute
d - Le rendement énergétique du muscle cardiaque sera pris égal à celui du muscle strié, c’est
à dire à 20% . Calculer la puissance fournie au muscle cardiaque par l’organisme. e L’énergie consommée par jour par ce sujet au repos (métabolisme basal ) correspond à 1600
Kcal. Calculer la fraction de cette énergie totale utilisée par le cœur ?.
Solution 3 :
2- a ) Pendant une pulsation, le cœur droit expulse le volume V1 à la pression constante P1 et
le cœur gauche expulse le volume V2 à la pression constante P2 ; Donc le travail cardiaque
fourni pendant une pulsation est : W = P1 V1 + P2 V2
b ) La puissance du moteur cardiaque est égale au travail qu’il fournit pendant 1 seconde.
Pendant 60 s, le cœur fournit n ( P 1 V1 + P2 V2 ). Donc : P =
c ) A.N : V1 = V2 = 71 10 –6 m 3 , n = 65
P1 = 3 cm Hg = 4 103 Pa ; P2 = 9 cm Hg = 12 103 Pa
Donc
W = 1,14 Joule et P = 1,23 Watt
d ) Si est le rendement du cœur, et si P’ est la puissance fournie au cœur par l’organisme :
= P/ P’ P’ = / P
 P’ = 6,15 Watts
e ) L’énergie que l’organisme fournit au cœur pendant 24 h est :
W’ = 24 x 60 x 60 x P’ = 531360 J
7
Or un sujet au repos consomme au total en 24 h :
E = 1600 kcal = 4,18 1600 103 J = 6688000 J .
D’après le premier principe, l’énergie que l’organisme fournit au cœur est une fraction de
l’énergie totale consommée par le sujet au repos. La fraction de cette énergie utilisée par le
cœur est donc :
x = 7,9 %
x=
Le cœur consomme donc à peu près 8 % de l’énergie totale consommée par le sujet. Le reste
de cette énergie est utilisé plus spécialement par le fonctionnement des autres organes :
poumons, cerveau, rein,…..( les muscles ne travaillent pas, puisque le sujet est au repos).
Série 3: Le second principe de la thermodynamique
EXERCICE 1:
Une personne respire 12 l d’air par minute à la température de 20 °C et le rejette à 45 °C.
En considérant que l’air est un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mole ;
calculer la quantité de chaleur fournie pour le réchauffement de l’air respiré en 24 heures. On
suppose que la composition de l’air reste inchangée entre l’inspiration et l’expiration sous une
pression constante d’une atmosphère.
On donne : la masse volumique de l’air = 1,24 Kg.m-3 ;
la constante des gaz parfaits R = 8,32 S.I.
Solution 1:
La masse d’air réchauffée en 24 h est : m = V n 24
avec : masse volumique , V : volume d’air, n24 : nombre de minutes en 24 h
d'où m = 1,24x 12 10 –3 x60x 24 = 21,427 kg
Le nombre de moles d’air est : n =
=
= 738,86 moles.
La quantité de chaleur fournie pour le réchauffement de l’air respiré en 24 h est :
Qp = n Cp T
Qp = 738,86
avec Cp =
R gaz diatomique
8,32 x ( 45 – 20 ) = 537,882 KJ
538 KJ
Remarque :on utilise Cp car la pression est supposée constante, alors que le volume varie au
cours de la transformation.
EXERCICE 2:
a- Calculer la pression atmosphérique à l’altitude z ; sachant que les conditions
atmosphériques au sol sont caractérisées par la température T 0 et la pression P0 et que la
température varie avec l’altitude selon la loi : T = T0 – k z .
b- Déterminer la relation liant l’altitude z à la pression P au cours de l’ascension d’une
masse d’air (en le supposant comme gaz parfait) qui s’élève dans l’atmosphère sans échange
de chaleur avec l’extérieur (d’une façon adiabatique).
On donne : z = 4000 m ; P0 = 750 mm Hg ; T0 = 293 °K; g = 10 m s-2
k = 0,005 °K /m ; 0 = 1,19 Kg.m-3 ; = CP /Cv = 1,4
8
Solution 2:
1- La différence de pression entre deux points d’altitude z et z + dz est donnée par
l’équation de l’hydrostatique : dP = - g dz où la masse volumique de l’air ( gaz supposé
parfait) est : =
avec PV = RT , soit =
on en déduit dP = - P
dz , soit
=-
Intégrons entre l’altitude O et l’altitude z ; il vient : Ln
=
Ln
La relation pression - altitude s’écrit donc : P(z) = P0
2- Relation ( T, P )
Lorsque la masse d’air passe de l’altitude z à l’altitude voisine z + dz, sa pression passe de P
à P + dP et sa température de T à T + dT de façon à satisfaire la loi adiabatique
que l’on écrit sous la forme différentielle :
+
=0
= cte
¬
· Relation ( P, z )
L’équation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit :
dP = - g dz avec PV = RT pour une mole d’air,
donc : =
=
- ,
soit dP = -
g dz ou
+
dz = 0
®
· Relation ( T, z )
Éliminons la pression P entre ¬ et ®, il vient : dT +
dz = 0
On en déduit le gradient vertical de température, correspondant à l’équilibre adiabatique de
l’atmosphère Ka =
¯ on pose Ka = -
=-
=cte
A.N
Ka = - 9,76 10-3 k / m
Le gradient thermique K a est constant, si on suppose et g constants,
on obtient donc en intégrant ¯ T = Ka z + T 0 ,
soit T = T0
° et P = P0
± car
= cte
La masse volumique de l’air à l’altitude z est d’après -, ° et ± :
=
EXERCICE 3:
On considère un cylindre horizontal de volume invariable qui est divisé en deux
compartiments A et B par un piston mobile se déplaçant sans frottements. On suppose que les
deux compartiments et le piston sont athermanes et qu’à l’instant initial les deux
compartiments A et B ont le même volume V0 = 2 l d’hélium (gaz parfait), à la pression P0 =
9
1 atm, et à la température T0 = 273 °K , = 5 / 3 ; le gaz du compartiment C1 reçoit à l’aide
d’une résistance chauffante, de la chaleur du milieu extérieur.
Déterminer :
1- Les pressions, les volumes et les températures des compartiments C1 et C2, lorsque la
pression du gaz contenu dans C1 devient P1 = 3P0
2- La variation d’énergie interne du gaz dans C1 et C2 et l’énergie fournie par la résistance
chauffante.
Solution 3 :
1- L’équilibre mécanique se traduit par P1 = P2 = 3P0 = 3 atm
dans le compartiment C2 le gaz a subi une transformation adiabatique donc :
P0
= P2
 V2 = V0
 V2 = 1,03 l et V1 = 2 V0 - V2 = 2,97 l
Pour T2 = T0
 T2 = 423,7 °K
Pour T1 on utilise P V = n R T  T 1 = T0
= 1216 °K
2- U1 = n C V ( T1 – T0 ) or CV =
U1 =
( T1 – T0 ) =
De même U2 =
= 1040 KJ
= 164 KJ
La résistance électrique a fourni l’énergie : E = U1 + U2 = 1204 KJ
EXERCICE 4:
10
On considère un cylindre fermé, dont les parois sont adiabatiques. Les deux compartiments A
et B, séparés par un piston qui est fixe au départ, contiennent de l’air. Dans A l’air est dans
l’état ( P0,V0,T0 ) et dans B, il est dans l’état ( 2P0,V0,T0 ). On considère le piston mobile,
lorsque l’équilibre est établi, détermine la pression finale P1 de l’air, ainsi que les volumes et
les températures du gaz, dans chaque compartiment. On admettra que le déplacement du
piston s’effectue de façon quasi-statique.
A.N : P0 = 1 atm ; = 7 / 5 ; V0 = 2 l ; T0 = 300 °K.
Série 4: Le second principe de la
thermodynamique : Les cycles
EXERCICE 1:
Cycle de Beau de Rochas ou Otto
Pour faire fonctionner une moissonneuse-batteuse, on utilise n moles d’un gaz parfait
qui décrivent le cycle de Beau de Rochas dans le sens indiqué sur la figure. Les
transformations DA et BC sont des adiabatiques alors que les transformations CD et AB
sont des isochores. On désigne par a =V2 / V1 le rapport des volumes (taux de
compression). Cv est supposé constant pendant tout le cycle.
1– Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz pendant l’explosion AB en fonction de T A et
TB .
2– Déterminer le travail W fourni pendant le cycle en fonction des températures.
3– En déduire le rendement du cycle en fonction des températures.
4– Montrer que ce rendement s’exprime simplement en fonction de a et de 
5– Donner l’expression de la variation d’entropie au cours des différentes transformations
Application numérique : a = 9 ; = 1,4.
Solution 1:
1- S’il y a n moles de gaz parfait dans le cylindre on a :
Q AB = n CV ( TB - TA )
QAB est positif
2- WAB = WCD = 0 puisque AB et CD sont isochores.
WBC = UBC = n CV ( TC - TB ) puisque BC est adiabatique.
WDA = UDA = n CV ( TA - TD ) puisque DA est adiabatique.
W
= WBC + WDA = n CV ( TC - TB + TA - TD ) négatif.
11
3-  =
4-
=
=
=
D’où
=
et
=
SAB = n CV ln
= a( 1 - ) et  = 1 - a( 1 - ) = 0,585
=
; SBC = 0 ; SCD = n C V ln
et SDA = 0
EXERCICE 2:
Une centrale thermique électrique, qu’elle soit alimentée en combustible nucléaire ou fossile,
est une machine thermique qui fonctionne selon le cycle de Carnot entre la température du
réacteur (ou du foyer) et celle du milieu ambiant représenté en général par un fleuve (ou une
autre masse d’eau). On considère une centrale nucléaire moderne de 750000 KW ; la
température du réacteur atteint 315 °C et on dispose d’un fleuve à 21 °C.
1– Quel rendement thermique maximal peut-on obtenir de la centrale et quelle quantité
minimale de chaleur doit être rejetée dans le fleuve ?
2 – Si le rendement théorique effectif de la centrale est 60 % du rendement théorique
maximal, quelle quantité de chaleur doit être rejetée dans le fleuve et quelle sera
l’augmentation de la température de ce dernier si son débit est 165 m3 / s ?
Solution 2:
Cycle de Carnot 
1- Le rendement =

=1-
voir le cours
= 1-
= 0,5
Dans ce cas 50 de chaleur sont convertis en travail et 50 de chaleur sont rejetés dans le
fleuve,
or W = 750 000 kW = 760 10 6 J / s et
= 0,5 avec U = W + Q1 + Q2 = 0
D’où Q2 = 750 000 KW = 750 106 J / s
2- Si le rendement réel = 60 de la valeur théorique, on a  = 0,6= 0,6 0,5 = 0,30
or  =

=
=
= 2,5 109 J / s
12
Les 70  de cette quantité qui ne sont pas convertis en travail, sont rejetés dans le fleuve ,
donc :
Q 2 = 0,7 ( 2,5 10 9 ) = 1,75 109 J / s = 1750 000 KW
On a le débit 165 m3 / s = 165 103 kg / s ; puisque Q2 = m C T
T =
=
= 2 ,54 °K
Cette élévation de température provoquée par une centrale thermique est appelée aussi
pollution thermique.
EXERCICE 3:
Le moteur d’un tracteur fonctionne selon le cycle de Diesel : de l’air supposé gaz
parfait, parcourt le cycle idéal ABCDA représenté sur la figure. A la fin de l’admission (non
représentée), le gaz est dans l’état A(PA ,V A , TA ). AB et CD sont des transformations
adiabatiques réversibles. L’injection s’effectue entre B et C et l’ouverture entre D et A.
Les rapports volumiques sont VA / VB = a et Vc / V B = b.
1 – Déterminer le rendement du cycle en fonction des températures, puis en fonction de a et
de b.
2 – Calculer le rendement du cycle ainsi que les différentes températures et pressions du
gaz ?.
on donne : PA = 1 atm, T A = 288 °K, a =16, b = 2 et = 1,4.
3 – Déterminer la variation de l’entropie et la variation de l’énergie interne au cours des
différentes transformations en fonction de n.
Solution 3:
1- Q AB = QCD = 0
Pour l’isobare : QBC = n CP ( TC - TB )
positif
13
pour l’isochore : QDA = n CV ( TA - TD ) négatif
le travail du cycle : W = - (QBC + QDA )
le rendement du cycle : =
=
En exprimant les températures : TB = TA
On obtient :
2-
, TC = TB b , TD = TA
=
 = 61,38  , TB = 873 °K , TC = 1746 °K et TD = 760 °K
P B = PA a = 48,5 atm et PD = PB
SAB = SCD = 0 ; SBC = n Cp ln
SDA = n Cv ln
= n C v ln
= 2,64 atm
= n Cp ln b = n
R ln 2 = 20,17 J/ °K
= -n Cv ln b = - n Cv ln b
SDA = - SBC = - 20,17 J/ °K
UAB =
=
=
= 12153 n.
UBC = n Cp ( TC – TB ) – P (VC – VB ) = n Cv ( TC – TB ) = 18136 n.
UCD =
=
UDA = n Cv ( TA – TD ) = n
=
= -20484 n.
8,31 ( 288 – 760 ) = -9805 n.
Vérifier que UAB + UBC + UCD + UDA = 0
Série 5:
Changement de phase d'un corps pur
14
EXERCICE 1 :
On considère 600 g d’eau à la température t = 60 °C qu’on mélange à 500 g de glace à
la température t2 = - 14 °C.
Si la température d’équilibre tf est supposée nulle, déterminer les masses finales respectives
d’eau et de glace?
On donne : Ce = 1 cal / g °K , Cg = 0,5 cal / g °K , Lf = 80 cal / g
Solution1:
A la température tf = 0 °C ,quand il y a changement de phase :
ou bien on a fusion d’une partie de la glace,
ou bien on a solidification d’une partie du liquide.
Dans les deux cas on écrit ; Qp = x L avec :
x > 0 si le changement d’état est une fusion.
x < 0 si le changement d’état est une solidification.
Conclusion :
est la quantité de glace ou de liquide qui s’est transformée.
On écrit : ( en tenant compte que tf = 0 °C )
U = 0 = Qeau + Q glace + x L = 0
d’où me Ce ( Tf - T1 ) + mgCg ( Tf - T2 ) + x L = 0
x = -
x = -
= 406,25 g
Comme x > 0 , donc il y a 406,25 g de glace qui s’est transformée en eau ; on obtient :
600 + 406,25 g = 1006,25 g d’eau
500 – 406,25
= 93,75 g de glace
Exercice 2:
1- a)1 litre d’eau liquide est introduit dans une enceinte vide de 5 m3. La température est
fixe et vaut 50 °C. En utilisant la formule de Duperray, expliquer que se passe-t-il ?
15
b) En admettant que la vapeur d’eau se comporte comme un gaz parfait, combien y a-til d’eau vaporisée à l’équilibre ?
2- Dans un récipient clos de 5 m3 contenant de l’air sec à la pression 0,8 atm et à la
température de 50 °C, on introduit 1 litre d’eau.
a) Que se passe-t-il en supposant que la température est maintenue fixe?
b) Quelles sont à l’équilibre les valeurs de la pression partielle de l’air, de l’eau
vaporisée, et de la pression totale ? quelle est la quantité d’eau vaporisée ?
Solution 2:
1- a ) Pour calculer la pression de vapeur saturante de l’eau à t = 50 °C, utilisons la
formule de Duperray PS = fS(T) = P0
( P 0 = 1 atm et t en °C ) ;
On trouve PS = 0,062 atm = 6331 Pa.
L’eau introduite dans l’enceinte vide, va se vaporiser jusqu’à ce que la pression de la vapeur
atteigne la valeur de la pression de vapeur saturante.
b ) A l’équilibre, on suppose que l’eau vaporisée occupe tout le volume de l’enceinte, (
c’est à dire 5 m3 ) et que cette vapeur d’eau ( à PS = 6331 Pa ) se comporte comme un gaz
parfait ;
le nombre de moles vaporisées est alors n =
=
= 11,8 moles
ce qui correspond à m = n M = 11,8 18 = 212 g d’eau.
2- Dans un récipient clos de 5 m3, où la pression initiale d’air
est 0,8 atm à 50 °C, l’eau
introduite va s’évaporer jusqu’à ce que la pression partielle de l’eau atteigne la pression de
vapeur saturante ( calculée en 1- a ).
A l’équilibre, la pression partielle de l’air est 0,8 atm, la pression de l’eau vaporisée vaut
0,062 atm et la pression totale vaut 0,862 atm.
Pour l’évaporation seule compte la pression partielle de vapeur ( qui est la même que
précédemment ) : la quantité d’eau vaporisée sera donc la même, soit 212 g.
Exercice 3: Formule de Clapeyron. Point triple de l’eau
On se propose d’étudier les équilibres entre les phases solide, liquide et gazeuse de l’eau
au voisinage du point triple qui correspond à une température t0 = 0,01 °C.
1- Donner l’équation de l’isotherme relative à 1 g d’eau pour la température de 0 °C, en
admettant que la vapeur d’eau peut être assimilée à un gaz parfait, et sachant que la pression
16
de vapeur saturante de la glace est, à 0 °C, de 4,60 mm de mercure. On exprimera les
volumes en cm 3 et les pressions en mm de mercure.
2- On admet que la courbe de sublimation et la courbe de fusion peuvent être assimilées à des
droites entre 0 °C et la température du point triple.
Sachant que la chaleur de sublimation de la glace à 0 °C est égale à 684 cal/g, calculer la
pression du point triple.
3- Calculer la chaleur de fusion de la glace à la température de 0 °C.
On donne : uS = 1 cm3/g , uL = 1,09 cm3/g et Vmolaire (de la vapeur d’eau) : = 22,4 litres.
Solution 3:
1- L’équation de l’isotherme est p v = cte. Le point
p = 4,6 mm Hg = 613,3 Pa , v = vv =
= 205,603 m3
(car 760x0,022 = 1xRx273 et 4,6xV = (1/18) xRx273 v = 205,603 m3 )
appartient à l’isotherme, donc :
p v = 126096 J
2- La chaleur de sublimation est donnée par la formule de Clapeyron , en négligeant le
volume massique du solide par rapport à celui de la vapeur, on obtient :
Ls = T v V
( car Ls = T( vV - v S )
et vS « v V )
D’où

=
= 0,51 Pa = 0,004 mm Hg
et la pression du point triple :
P T = 4,60 + 0,004 = 4,604 mm Hg.
3- La chaleur de fusion est donnée par la formule de Clapeyron :
LF =
Avec dPF = PF = 760 – 4,604 = 755,396 mm Hg , dT = T= 0,01 °K.
Par suite,
17
= 349570 J/kg = 83,63 cal/g
LF =
Série 6: Air humide
EXERCICE 1 :
Un récipient de volume V = 1 m3 fermé, contient de l’air humide dont les
caractéristiques sont : la température t1 = 20 °C, la pression P = 1 bar et l’humidité relative
1 = 0,5 .
1- Calculer l’humidité absolue x1 ?
2- Comment faut-il faire varier la température, à volume constant, pour amener cet air à la
saturation ?
Solution 1 :
1- A l’état initial, on a : V = 1 m 3 , t1 = 20 °C , P1 = 1 bar , 1 = 0,5
On a x1 = 0,622
or d’après la table PS,20°C = 23,369 m bar
D’où x1 = 0,622
= 0,007353 kg / kg AS
2- A la saturation, on a : = 1 et xS = x1
d’où
xS = 0,622
donc
= 0,00735 kg / kg AS
= 0,011 816 =
on obtient PS = 11,684 m bar
d’après la table puisque PS 9,2°C = 11,629 m bar et PS 9,3°C = 11,707 m bar.
alors
t2 = 9,2 °C
Exercice 2 :
De l’air humide qui se trouve dans un état initial, caractérisé par sa température t1 = 18
°C, sa pression P1 = 1 bar et son humidité relative 1 = 0,8 , est refroidi à pression constante
et sans échange de matière avec le milieu extérieur jusqu’à la température de 4 °C .
1- Quelle est la production d’eau liquide par Kg d’air sec ?
2- Quelle est la quantité de chaleur à soustraire à cet air humide par Kg d’air sec ?
3- A partir de quelle température un brouillard commence-t-il à se former ? .
Solution 2 :
18
1- On a à l’état e1 : t1 = 18 °C , P1 = 1 bar , 1 = 0,8
or
PS,18°C = 20,623 mbar ( voir la table )
d’où
x2 = 0,622
= 0,010434 kg/kg AS
à 4 °C on est à la saturation : 1 = 1 et PS,4°C = 8,129 mbar
donc x2,S = 0,622
= 0,005097 kg/kg AS
La production d’eau liquide par kg d’air sec est égale à :
xL = x2 - x2,S = 0,0053 kg/kg AS
2- La quantité de chaleur à soustraire à cet air humide par kg d’air sec est :
1ère méthode :
h ( KJ/Kg AS) = 1,01 t + xS ( 2500 + 1,85 t ) + ( x – xS) 4,18 t
où t est la température de rosée (saturation) , on a t = 14,5 °C(voir (c))
d’où h = 1,01 14,5 0,005097 ( 2500 + 1,85 14,5 ) + 0,0053 4,18 14,5
h = 27,6 KJ/Kg AS
2 ème méthode : (voir cours)
3- Le brouillard commence à se former à partir de la température de rosée (saturation), on
écrit :
x2 = 0,622
ou bien
0,010434 = 0,622
D’où PS = 16,498 d’après la table t = 14,4 °C = 14,5 °C ?
Exercice 3 :
3
Un cylindre de volume V1 = 2 dm fermé par un piston, contient initialement de l’air
humide à la température t1=15 °C, à la pression P1 = 1 bar, et à l’humidité relative 1 = 0,2 .
1- Quelle augmentation de pression isotherme (piston lentement enfoncé dans le cylindre)
faut-il faire subir à cet air pour l’amener à la saturation ?.
2- Calculer la masse d’eau liquide par Kg d’air sec qui apparaît si la variation de la pression
réalisée est égale à 1,25 fois celle qui est juste suffisante pour provoquer la saturation ?.
Solution 3 :
19
1- A l’état initial, on a : V1 = 2 dm3 , t1 = 15 °C , P 1 = 1 bar , 1 = 0,2
A la saturation, on a : = 1 et P = P2 – P1
Pour une transformation qui garde à l’état de vapeur toute l’eau contenue dans le cylindre, on
a:
mV = cte d’où x =
= cte
Soit e2 l’état de saturation, lorsqu’il est atteint par augmentation de pression isotherme sans
qu’il y a production du liquide,
on a x1 = 0,622
or d’après la table PS,15°C = 17,04 m bar
d’où x1 = 0,622
= 0,002127 kg / kg AS
Or à l’état e2 de saturation, on a : x2 = x1 = cte ,
d’où
1 = 1 et x2 = 0,622
donc P2 = PS,15°C +
On obtient
= PS,15°C
car x2 = x1
= 5000 m bar 4993 m bar
P 2 = 17,04
et par conséquent P = P2 – P1 = 4,993 – 1 = 3,993 m bar 4 bar
2- On a x3L = x3 - x3S ( x3L est la masse d’eau liquide )
or x3 est donnée d’après a-) on a
on écrit P’ = 1,25 P
x1 = x3
( à la Saturation )
P 3-P1 = 1,25(P2-P1) =1,25 4 = 5 bar , On obtient : P3 = 5 + P1 = 6 bar ,
xS,3 = 0,622
= 0,622
= 0,00177 kg/kg AS
D’où la masse du liquide par kg d’air sec :
x3L = x3 - x3,S = 2,13 10-3 – 1,77 10-3 kg = 0,36 10 -3 kg/kgAS = 0,36 g/kg AS
20
x3L = 0,36 g/kg AS
Les exercices des examens
Exercice 1: prélèvement d'une masse d’eau dans de l'air humide
Un volume de 60 m3 d’air, dont l’humidité relative est de 80 à 24,5 °C, est
entièrement séché, après son passage dans un séchoir.
Quelle est la masse d’eau prélevée ?
On donne : La masse molaire d’eau vapeur : M = 18 g/mole
pour la pression de saturation de H2O voir tableau ci-après
tableau de la pression de saturation de H2 O
en millibars en fonction de la température
21
Exercice 2: fabrication de cubes de glace à l'aide d'un réfrigérateur
Quel est le travail total fournit par un réfrigérateur au cours de la fabrication 4 kg de
cubes de glace à partir d’une eau initialement à 0 °C. On suppose que la température du
milieu extérieur est 17 °C.
On donne : La chaleur latente de fusion de la glace à 0 °C est 333,5 kJ/kg.
Indication : Vous pouvez calculer directement l’efficacité du réfrigérateur en
fonction des températures et en déduire le travail demandé.
22
Exercice 3: théorie cinétique des gaz parfaits
Calculer pour la température t = 17 °C, l’énergie cinétique moyenne ec d’une
molécule d’oxygène et sa vitesse quadratique moyenne de translation
?
On donne : La masse molaire d’oxygène : M = 32 g/mole
Constante de Boltzmann : k = 1,38. 10-23J/K
Nombre d’Avogadro
: N = 6,023. 1023
Exercice 4: mélange de glace et d’eau
On mélange 0,1 kg de glace à 0 °C et 100 g d’eau à 60 °C.
Calculer la variation de l’entropie de l’univers ?
On donne : Ce = 4180 J/kg °K ;
Lf = 333. 103 J/ kg.
23
Exercice 5: Cycle de Joule : rendement d'un moteur
Le moteur d’un tracteur fonctionne selon le Cycle de Joule : n moles de l’air
supposé gaz parfait, parcourt le cycle idéal ABCDA représenté sur la figure.
AB : compression isentropique
BC : combustion isobare
CD : détente isentropique
DA : refroidissement isobare
Déterminer le rendement du cycle en fonction du rapport des pressions a = PB / PA ; et
calculer sa valeur numérique ?
On donne
a = 2,3 et = 1,4
24
Exercice 6:
refroidissement d'une masse d’eau par un réfrigérateur
Une masse d’eau liquide m = 3kg, initialement en équilibre thermique
avec l’atmosphère à 70°C, est refroidie à pression constante jusqu’à 20°C, au
moyen d’un réfrigérateur fonctionnant d’une façon quasi-statique entre la masse
d’eau et l’atmosphère. Quel est le travail total fournit par le réfrigérateur au cours
de ce refroidissement ?
On donne : pour l’eau C e = 1 cal/g°K.
Exercice 7: air humide : installation d’air conditionné,
Dans une installation d’air conditionné, l’air humide caractérisé par sa
température t1 = 15,8 °C, par sa pression P = 1 bar et par son humidité relative 1 =
0,9 , est d’abord refroidi jusqu’à 10,3 °C pour éliminer une partie de son humidité,
ensuite il est chauffé jusqu’à ce que son enthalpie h ( sans tenir compte de la
quantité de l’eau liquide éliminée ) soit égale à 42866,71313 J/kg A.S pour être
envoyé dans une grande salle.
Encadrer obligatoirement les valeurs utilisées dans le tableau
Déterminer le pourcentage de vapeur d’eau éliminé de l’air et calculer
l’humidité relative finale ?
On donne : h = 1,01 t + x (2500 + 1,85 t) + 4,18 xL t …
25
Exercice 8: Un cylindre immergé dans un calorimètre contenant de l’eau et de
la glace
Un cylindre de 1 dm2 de section est fermé par un piston situé à 50 cm du
26
fond; le cylindre contient de l’air sous une pression de 75 cm de mercure.
Il est immergé dans un calorimètre contenant de l’eau et 10 g de glace. On enfonce
le piston de 20 cm d’une façon réversible, calculer la masse de glace fondue.
On donne : chaleur de fusion de la glace : 335 KJ/kg. L’air est assimilé à un gaz
parfait.
Exercice 9: Évolution de la glace en contact de l'extérieur
1 kg de glace pris à -10 °C est mis en contact avec un milieu extérieur à 25 °C,
Calculer la variation d’entropie :
a- de cette masse d’eau
b- de la source
27
c- de l’univers
On donne :
CPg (glace) = 2090 J/kg °K ; CPe ( liquide) = 4180 J/kg °K
L f (chaleur latente de fusion de la glace à 273 °C ) = 333 KJ/kg
28
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