DS5 : Electrostatique, magnétostatique et chimie DS n° 5 Electrostatique, magnétostatique et chimie problème I : Micropompe electrostatique MP BANQUE PT - EPREUVE I-B Etude d'une micropompe électrostatique Première partie : électrostatique 1.1. Etude d'un fil infini uniformément chargé. I.1.1. Le vecteur E est contenu dans les plans de symétrie. Or, tout plan passant par le fil est plan de symétrie ainsi que tout plan perpendiculaire au plan de symétrie. Donc E est un vecteur radial. I.1.2. On applique le théorème de Coulomb : d E = 1 λ.dz2 u avec u = MP 4πε0 (MP ) MP Or : z = R.tgθ ⇒ dz = R .dθ cos 2 θ et MP = R cos θ 1 λ .dθ.u En remplaçant, il vient : d E = 4πε0 R I.1.3. La composante efficace d E ef du champ est sa projection sur Ox : d E ef = dE. cos θ.i . π Et E = ∫ 2π dE ef = − 2 π λ 2 cos θ.dθ ⇒ 4πε0 R ∫− π2 E= λ .i 2πε0 R I.1.4. On applique le théorème de Gauss en utilisant un cylindre de hauteur h ayant pour axe le fil : λh = 2πRhE ⇒ E= λ .i 2πε0 R ε0 x I.2. Etude d'une chargée. σ.dy I.2.1. La bande de largeur dy crée en P dE' = 2πε0 .R Pour des raisons de symétrie, le champ électrique est porté par Ox. σ.dy La composante efficace est donc : dE = . cos α 2πε0 .R Avec : y = x.tgα : dy = plaque infinie x .dα cos 2 α uniformément R= x cos α et ⇒ dE = σ .dα 2πε0 π σ i ⇒ E = ∫ 2π dE soit E = − 2 ε0 2 I.2.2. Tout plan Donc E contenu perpendiculaire dans tous à ces la plaque plans est est plan normal de à symétrie. la plaque. On applique le théorème de Gauss en utilisant comme surface fermée un cylindre de génératrices perpendiculaires à la plaque et de bases S symétriques par rapport à la plaque. E= σ i E.2S = σS ⇒ Donc : 2ε 0 ε0 Page 1 P dE' x R α y dy BANQUE PT - EPREUVE I-B I.2.3. A.N. Avec σ = 7,11.10-5 C.m-2, E = 4,0.106 V.m −1 y I.3. Etude de deux plaques infinies uniformément chargées. I.3.1. Expression des champs en tout point de l'espace : x < 0 : EA = − σ . i x < e : EB = σ . i 2ε 0 2ε 0 et σ x > 0 : EA = .i x > e : EB = − σ . i 2ε 0 2ε 0 σ −σ x O A I.3.2. En superposant les deux champs, on obtient : Entre les armatures : E= σ .i ε0 A l' extérieur des armatures : E = 0 Les lignes de champ sont perpendiculaires aux plaques. B I.3.3. La différence de potentiel VA- VB se calcule à partir de : E = −gradV . σ Soit : dV = -E.dx ⇒ VA − VB = E.e ou VA − VB = .e ε0 I.3.4. A.N. Avec σ = 7,11.10-5 C.m-2 et e = 5 µm, on obtient : VA − VB = 40,2 V I.3.5. La capacité C du condensateur formé par les deux surfaces S en regard est telle que C = σS = CV. εS Soit : C = 0 . e I.3.6. La force électrostatique F qui s'exerce sur la surface S d'une plaque en fonction est telle que : σ 2 .S i = −F FB = q B .E A soit F = −σS σ ⇒ FB = − A 2ε 0 2ε 0 I.3.7. La pression électrostatique Pel définie comme le module σ2 de la force par unité de surface Pel = F vaut donc : Peel = 2ε0 S I.3.8. A.N. Pour σ = 7,11.10-5 C.m-2 Pel = 286 N.m −2 Deuxième partie : étude d'un condensateur II.1. Etude à charge Q constante II.1.1. L'énergie électrostatique E est égale au travail fourni par l'opérateur pour apporter les charges de l'infini jusque sur les armatures. Soit un état intermédiaire où les charges sont yQ et le potentiel yV (y < 1 ). Apportons depuis l'infini la charge Q.dy. Cette charge passed u potentiel nul de l'infini au potentiel yV. Le travail fourni est donc : dW = yV.Qdy et par conséquent : dE = yV.Qdy ⇒ Fel 1 y2 E = ∫ QV.y.dy = QV ⇒ E = 1 QV 0 2 2 0 1 Fop x 2 2 1Q 1 Q .x Avec Q = VC, on obtient : E = soit E = 2 ε0S 2 C Il. 1.2. Le travail δWop fourni par l'opérateur sert à augmenter l'énergie du condensateur; donc : dE = δWop Avec δWel = δWel , il vient : 2 Q2 1 Q .i II.1.3. Pour un déplacement dx, on explicite δWop : δWop = 1 .dx = Fop .dx ⇒ Fop = 2 ε 0S 2 ε 0S Page 2 dE = −δWel BANQUE PT - EPREUVE I-B 2 1 Q .i II.1.4. On en déduit l'expression du vecteur Fel = − 2 ε0S II.2. Etude à tension G constante. II.2.1. Lorsque la charge du condensateur varie de δQ, le générateur fournit l'énergie : δWG = U.δQ E = 1 QU , 2 Avec il vient dE = 1 U.δ Q 2 : A 2 1 ε S.U On a donc : δWG = 2.dE avec E = 0 2 x B II.2.2. L'augmentation d'énergie du condensateur est égal à la somme des énergies fournies par le générateur et l'opérateur. Soit : δWG + δWop = dE II.2.3. En remplaçant δWG par l'expression de II.2.1 il vient : δWop = −dE dE . i Soit : Fop .dx = −Fel .dx = −dE ou Fop = − Fel = − dx εS ε 0S.U 2 Q2 1εS 1 , on obtient : dE = − 1 02 U 2 = − 1 En dérivant la relation E = . Donc Fop = −Fel = 02 U 2 . i 2 x dx 2 x 2 x 2 Cx 2 1 Q .i Cette relation s'écrit aussi : Fop == On retrouve le même résultat qu'à la question II.1. 2 ε 0S II.2.4. A.N. Pour U = 40V, x = 5 µm et S = 12,56 mm2 il vient : Fel = 3,55 mN II.3. Etude de l'équilibre des plaques d'un condensateur et d'un ressort. II.3.1.1. Force d'élasticité exercée par un ressort : FR = k (e − x ). i II.3.1.2. La position x = 0 est une position d'équilibre stable car la force électrostatique devient très grande mais l'armature fixe empêche l'armature mobile de se déplacer. Il apparaît une force de réaction de l'armature fixe sur l'armature mobile. La cale collée sur l'armature fixe est équivalente à un diélectrique et empêche les deux armatures de venir en contact. II.3.1.3. Les deux forces à considérer sont : 2 FR = k (e − x ) et Fel = CU 1 2 x Deux cas peuvent se rencontrer selon que les deux courbes se coupent ou non. F F Fel CAS I CAS II E2 Fel FR FR E1 x x Page 3 x BANQUE PT - EPREUVE I-B • Cas I : les deux courbes ne se coupent pas; les deux forces ne sont jamais égales. La seule position d'équilibre est x = 0. • Cas II : les deux courbes se coupent en deux points E1 et E2; en ces points les deux forces sont égales en norme et opposées; on a donc deux positions d'équilibre. En E1, si on écarte légérement l'armature mobile de sa position d'équilibre en augmentant x, on constate que Fel > FR; donc le résultante des forces a tendance à ramener le système vers l'équilibre. Donc : E1 = Equilibre stable En E2, les propriétés sont inversées. Donc : E 2 = Equilibre instable On peut retrouver ces résultats par un calcul classique en déterminant le signe de la dérivée seconde de l'énergie. II.3.1.4. Le cas limite est celui où les deux courbes sont tangentes. L'équation Fel(x) = FR(x) qui a en général 3 racines dont une racine négative, possède alors deux racines positives confondues et les deux courbes admettent la même tangente au point de contact. On a donc : ε SU 2 ε SU 2 (2) (1) et en dérivant : − k = − 0 3 k (e − x )= 1 0 2 2 x x ε SU 2 ε SU 2 2e ⇒ 2(e − x )= x ⇒ x l = La combinaison des relations (1) et (2) donne : 0 3 (e − x )= 1 0 2 3 2 x x ε SU D'où : k e − 2e = 1 0 c21 3 2 2e 3 2 ⇒ U c1 = 8ke3 27ε 0S II. 3.1.5. A.N. Pour k = 1,186104 Nm-1 et e = 5 µm on obtient : U c1 = 62,9 V II.3.2. Prise en compte de la cale isolante. II.3.2.1. Le système est équivalent à deux condensateur en série; donc : 1 = 1 + 1 Ceq Cair Cdié Soit : 1 = 1 (e − e )+ e1 = eequi ⇒ e = e − e 1− 1 equi 1 1 Ceq ε 0S ε r ε0S εr II.3.2.2. Posons Les relations (1) et (2) de K 2 K k (e − x )= (1') et − k = − (x − x 0 )2 (x − x 0 )3 (1') ⇒ 2e + x 0 K k e − = 2 3 2e + x 0 x− 3 ε SU 3 D'où : 4k (e − x 0 ) = 0 27 2 2 ⇒ Uc2 = . ε0SU 2 . 2 la II.3.1.4. s'écrivent alors : 2e + x 0 (2') ⇒ (x − x 0 )= 2(e − x ) ⇒ x l = ou x l = 0,697.e 3 x 0 = e1 1− 1 ε r question x K k e − 0 = 2 3 3 2e 2 x 0 − 3 3 ⇒ K=− et ⇒ K k (e − x )= 0 3 4 (e − x )2 0 9 8ke3equi 27ε0S II.3.2.3. A.N. Pour εr = 12 et e1 = 0,5 µm, U c 2 = 54,4 V II.3.2.4. Lorsque les deux armatures sont collées, elles restent collées tant que U reste supérieure à une tension pour laquelle Fel = FR avec x = e1. critique Uc3 Soit : ε SU 2 k (e − e1 )= 1 0 2 2 e 1 εr ⇒ II.3.2.5. A.N. Pour εr = 12 et e1 = 0,5 µm U c3 =1,3 V Page 4 U c3 = 2k (e − e1 )e12 ε0Sε 2r 1 Acide sulfurique
