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DS5-ES-correction

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DS5 : Electrostatique, magnétostatique et chimie
DS n° 5
Electrostatique, magnétostatique et chimie
problème I : Micropompe electrostatique
MP
BANQUE PT - EPREUVE I-B
Etude d'une micropompe électrostatique
Première partie : électrostatique
1.1. Etude d'un fil infini uniformément chargé.
I.1.1. Le vecteur E est contenu dans les plans de symétrie.
Or, tout plan passant par le fil est plan de symétrie ainsi que tout plan
perpendiculaire au plan de symétrie. Donc
E est un vecteur radial.
I.1.2. On applique le théorème de Coulomb :
d E = 1 λ.dz2 u avec u = MP
4πε0 (MP )
MP
Or : z = R.tgθ ⇒ dz =
R .dθ
cos 2 θ
et MP = R
cos θ
1 λ .dθ.u
En remplaçant, il vient : d E =
4πε0 R
I.1.3. La composante efficace d E ef du champ est sa projection sur Ox : d E ef = dE. cos θ.i .
π
Et E = ∫ 2π dE ef =
−
2
π
λ
2
cos θ.dθ ⇒
4πε0 R ∫− π2
E=
λ .i
2πε0 R
I.1.4. On applique le théorème de Gauss en utilisant un cylindre de hauteur h ayant pour axe le fil :
λh = 2πRhE ⇒
E= λ .i
2πε0 R
ε0
x
I.2.
Etude
d'une
chargée.
σ.dy
I.2.1.
La bande de largeur dy crée en P
dE' =
2πε0 .R
Pour des raisons de symétrie, le champ électrique est porté par Ox.
σ.dy
La
composante
efficace
est
donc
:
dE =
. cos α
2πε0 .R
Avec : y = x.tgα : dy =
plaque
infinie
x .dα
cos 2 α
uniformément
R= x
cos α
et
⇒
dE = σ .dα
2πε0
π
σ i
⇒ E = ∫ 2π dE soit E =
−
2
ε0
2
I.2.2.
Tout
plan
Donc
E
contenu
perpendiculaire
dans
tous
à
ces
la
plaque
plans
est
est
plan
normal
de
à
symétrie.
la
plaque.
On applique le théorème de Gauss en utilisant comme surface fermée un cylindre de
génératrices perpendiculaires à la plaque et de bases S symétriques par rapport à la
plaque.
E= σ i
E.2S = σS
⇒
Donc
:
2ε 0
ε0
Page 1
P
dE'
x
R
α
y
dy
BANQUE PT - EPREUVE I-B
I.2.3. A.N. Avec σ = 7,11.10-5 C.m-2, E = 4,0.106 V.m −1
y
I.3. Etude de deux plaques infinies uniformément chargées.
I.3.1. Expression des champs en tout point de l'espace :
x < 0 : EA = − σ . i
x < e : EB = σ . i
2ε 0
2ε 0
et
σ
x > 0 : EA =
.i
x > e : EB = − σ . i
2ε 0
2ε 0
σ
−σ
x
O
A
I.3.2. En superposant les deux champs, on obtient :
Entre les armatures :
E= σ .i
ε0
A l' extérieur des armatures : E = 0
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux plaques.
B
I.3.3. La différence de potentiel VA- VB se calcule à partir de : E = −gradV .
σ
Soit : dV = -E.dx ⇒ VA − VB = E.e ou VA − VB = .e
ε0
I.3.4. A.N. Avec σ = 7,11.10-5 C.m-2 et e = 5 µm, on obtient : VA − VB = 40,2 V
I.3.5. La capacité C du condensateur formé par les deux surfaces S en regard est telle que C = σS = CV.
εS
Soit : C = 0 .
e
I.3.6. La force électrostatique F qui s'exerce sur la surface S d'une plaque en fonction est telle que :
σ 2 .S i = −F
FB = q B .E A soit F = −σS σ ⇒ FB = −
A
2ε 0
2ε 0
I.3.7. La pression électrostatique Pel définie comme le module
σ2
de la force par unité de surface Pel = F vaut donc : Peel =
2ε0
S
I.3.8. A.N. Pour σ = 7,11.10-5 C.m-2 Pel = 286 N.m −2
Deuxième partie : étude d'un condensateur
II.1. Etude à charge Q constante
II.1.1. L'énergie électrostatique E est égale au travail fourni par l'opérateur
pour apporter les charges de l'infini jusque sur les armatures.
Soit un état intermédiaire où les charges sont yQ et le potentiel yV (y < 1 ).
Apportons depuis l'infini la charge Q.dy. Cette charge passed u potentiel nul de l'infini
au potentiel yV. Le travail fourni est donc : dW = yV.Qdy et par conséquent : dE =
yV.Qdy ⇒
Fel
1
 y2 
E = ∫ QV.y.dy = QV   ⇒ E = 1 QV
0
2
 2 0
1
Fop
x
2
2
1Q
1 Q .x
Avec Q = VC, on obtient : E =
soit E =
2 ε0S
2 C
Il. 1.2. Le travail δWop fourni par l'opérateur sert à augmenter l'énergie du condensateur; donc : dE = δWop
Avec
δWel = δWel ,
il
vient
:
2
Q2
1 Q .i
II.1.3. Pour un déplacement dx, on explicite δWop : δWop = 1
.dx = Fop .dx ⇒ Fop =
2 ε 0S
2 ε 0S
Page 2
dE = −δWel
BANQUE PT - EPREUVE I-B
2
1 Q .i
II.1.4. On en déduit l'expression du vecteur Fel = −
2 ε0S
II.2.
Etude
à
tension
G
constante.
II.2.1. Lorsque la charge du condensateur varie de δQ, le générateur fournit l'énergie :
δWG = U.δQ
E = 1 QU ,
2
Avec
il
vient
dE = 1 U.δ Q
2
:
A
2
1 ε S.U
On a donc : δWG = 2.dE avec E = 0
2 x
B
II.2.2. L'augmentation d'énergie du condensateur est égal à la somme des énergies fournies par le générateur et
l'opérateur. Soit : δWG + δWop = dE
II.2.3.
En
remplaçant
δWG
par
l'expression
de
II.2.1
il
vient
:
δWop = −dE
dE . i
Soit : Fop .dx = −Fel .dx = −dE ou Fop = − Fel = −
dx
εS
ε 0S.U 2
Q2
1εS
1
, on obtient : dE = − 1 02 U 2 = − 1
En dérivant la relation E =
. Donc Fop = −Fel = 02 U 2 . i
2 x
dx
2 x
2 x
2 Cx
2
1 Q .i
Cette relation s'écrit aussi : Fop ==
On retrouve le même résultat qu'à la question II.1.
2 ε 0S
II.2.4. A.N. Pour U = 40V, x = 5 µm et S = 12,56 mm2 il vient : Fel = 3,55 mN
II.3. Etude de l'équilibre des plaques d'un condensateur et d'un ressort.
II.3.1.1. Force d'élasticité exercée par un ressort :
FR = k (e − x ). i
II.3.1.2. La position x = 0 est une position d'équilibre stable car la
force électrostatique devient très grande mais l'armature fixe empêche
l'armature mobile de se déplacer. Il apparaît une force de réaction de
l'armature fixe sur l'armature mobile.
La cale collée sur l'armature fixe est équivalente à un diélectrique et
empêche les deux armatures de venir en contact.
II.3.1.3. Les deux forces à considérer sont :
2
FR = k (e − x ) et Fel = CU 1
2 x
Deux cas peuvent se rencontrer selon que les deux courbes se coupent ou non.
F
F
Fel
CAS I
CAS II
E2
Fel
FR
FR
E1
x
x
Page 3
x
BANQUE PT - EPREUVE I-B
• Cas I : les deux courbes ne se coupent pas; les deux forces ne sont jamais égales.
La seule position d'équilibre est x = 0.
• Cas II : les deux courbes se coupent en deux points E1 et E2; en ces points les deux forces sont égales en
norme et opposées; on a donc deux positions d'équilibre.
En E1, si on écarte légérement l'armature mobile de sa position d'équilibre en augmentant x, on
constate que Fel > FR; donc le résultante des forces a tendance à ramener le système vers l'équilibre.
Donc : E1 = Equilibre stable
En E2, les propriétés sont inversées. Donc : E 2 = Equilibre instable
On peut retrouver ces résultats par un calcul classique en déterminant le signe de la dérivée seconde de l'énergie.
II.3.1.4. Le cas limite est celui où les deux courbes sont tangentes.
L'équation Fel(x) = FR(x) qui a en général 3 racines dont une racine négative, possède alors deux racines
positives confondues et les deux courbes admettent la même tangente au point de contact. On a donc :
ε SU 2
ε SU 2
(2)
(1)
et en dérivant : − k = − 0 3
k (e − x )= 1 0 2
2 x
x
ε SU 2
ε SU 2
2e
⇒ 2(e − x )= x ⇒ x l =
La combinaison des relations (1) et (2) donne : 0 3 (e − x )= 1 0 2
3
2 x
x
ε SU
D'où : k e − 2e  = 1 0 c21
3  2  2e 

 
 3 
2
⇒
U c1 =
8ke3
27ε 0S
II. 3.1.5. A.N. Pour k = 1,186104 Nm-1 et e = 5 µm on obtient : U c1 = 62,9 V
II.3.2. Prise en compte de la cale isolante.
II.3.2.1. Le système est équivalent à deux condensateur en série; donc : 1 = 1 + 1
Ceq Cair Cdié
Soit :
1 = 1 (e − e )+ e1  = eequi ⇒ e = e − e 1− 1
equi
1
1
Ceq ε 0S 
ε r  ε0S
 εr
II.3.2.2.
Posons
Les
relations
(1)
et
(2)
de
K
2
K
k (e − x )=
(1') et − k = −
(x − x 0 )2
(x − x 0 )3
(1') ⇒
 2e + x 0 
K
k e −
=
2
3  

2e + x 0 
x−

3 

ε SU
3
D'où : 4k (e − x 0 ) = 0
27
2
2
⇒ Uc2 =

 .

ε0SU 2
.
2
la
II.3.1.4.
s'écrivent
alors
:
2e + x 0
(2') ⇒ (x − x 0 )= 2(e − x ) ⇒ x l =
ou x l = 0,697.e
3


x 0 = e1 1− 1 
ε
r 

question
x 

K
k e − 0  =
2
 3 3   2e 2 x 0 
 −

3 
 3
⇒
K=−
et
⇒
K
k (e − x )=
0
3
4 (e − x )2
0
9
8ke3equi
27ε0S
II.3.2.3. A.N. Pour εr = 12 et e1 = 0,5 µm, U c 2 = 54,4 V
II.3.2.4. Lorsque les deux armatures sont collées, elles restent collées tant que U reste supérieure à une tension
pour
laquelle
Fel
=
FR
avec
x
=
e1.
critique
Uc3
Soit
:
ε SU 2
k (e − e1 )= 1 0 2
2 e 
 1
 εr 
⇒
II.3.2.5. A.N. Pour εr = 12 et e1 = 0,5 µm U c3 =1,3 V
Page 4
U c3 =
2k (e − e1 )e12
ε0Sε 2r
1
Acide sulfurique
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