Les capteurs 62 exercices et problèmes CO[[igés 2e édition RESSOURCES [!]�[!] iii � 1 :, [!] NUMÉRIQUES . 111ustration de couverture : On the road © MC_PP-Fotolia.com d'enseignement supérieur, provoquant une Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d'alerter le lecteur sur la menace que revues, ou point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres représente pour l'avenir de l'écrit, particulièrement dans le domaine nouvelles et de les foire éditer cor­ DANGER de l'édition technique et universi­ rectement est aujourd'hui menacée. taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute reproduction, portielle ou totale, photocopillag e. Le Code de Io propriété intellec­ de la présente publication est tuelle du 1er juillet 1992 interdit interdite sons autorisation de LE Pl«lTOCOPllAGE l'auteur, de son éditeur ou du en effet expressément la photoco­ TUE LE LIVRE Centre fronçais d'exploitation du pie à usage collectif sons autori­ sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20 rue des s'est généralisée dans les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris) @) , "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u . © Dunod, Paris, 2005, 2013 ISBN 978-2-10-070292-3 Le Code de Io propriété intellectuelle n'outorisont, oux termes de l'orticle L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle Faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue­ rait donc une contrefaçon sanctionnée par les ar ticles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.biblio-scientifique.net 111ustration de couverture : On the road © MC_PP-Fotolia.com d'enseignement supérieur, provoquant une Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d'alerter le lecteur sur la menace que revues, ou point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres représente pour l'avenir de l'écrit, particulièrement dans le domaine nouvelles et de les foire éditer cor­ DANGER de l'édition technique et universi­ rectement est aujourd'hui menacée. taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute reproduction, portielle ou totale, photocopillag e. Le Code de Io propriété intellec­ de la présente publication est tuelle du 1er juillet 1992 interdit interdite sons autorisation de LE Pl«lTOCOPllAGE l'auteur, de son éditeur ou du en effet expressément la photoco­ TUE LE LIVRE Centre fronçais d'exploitation du pie à usage collectif sons autori­ sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20 rue des s'est généralisée dans les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris) @) , "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u . © Dunod, Paris, 2005, 2013 ISBN 978-2-10-070292-3 Le Code de Io propriété intellectuelle n'outorisont, oux termes de l'orticle L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle Faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue­ rait donc une contrefaçon sanctionnée par les ar ticles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.biblio-scientifique.net 111ustration de couverture : On the road © MC_PP-Fotolia.com d'enseignement supérieur, provoquant une Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d'alerter le lecteur sur la menace que revues, ou point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres représente pour l'avenir de l'écrit, particulièrement dans le domaine nouvelles et de les foire éditer cor­ DANGER de l'édition technique et universi­ rectement est aujourd'hui menacée. taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute reproduction, portielle ou totale, photocopillag e. Le Code de Io propriété intellec­ de la présente publication est tuelle du 1er juillet 1992 interdit interdite sons autorisation de LE Pl«lTOCOPllAGE l'auteur, de son éditeur ou du en effet expressément la photoco­ TUE LE LIVRE Centre fronçais d'exploitation du pie à usage collectif sons autori­ sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20 rue des s'est généralisée dans les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris) @) , "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u . © Dunod, Paris, 2005, 2013 ISBN 978-2-10-070292-3 Le Code de Io propriété intellectuelle n'outorisont, oux termes de l'orticle L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle Faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue­ rait donc une contrefaçon sanctionnée par les ar ticles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.biblio-scientifique.net P RÉFAC E DE LA 1ere ÉDITION ... "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � La mesure est une étape cruciale dans 1' acquisition scientifique de la connaissance et le capteur est un composant incontournable de tout système moderne de mesure : il constitue l'interface obligée entre monde réel et électronique du système de trai­ tement. Dans son principe, le capteur met en œuvre un phénomène par lequel la grandeur qui est l'objet de la mesure (le mesurande) détermine, de façon univoque, la valeur de l'une des caractéristiques électriques du capteur ; un circuit électrique - le conditionneur - est fréquemment associé au capteur afin de délivrer sous la forme la plus adéquate le signal électrique, support de l'information, qui sera traité par l' élec­ tronique du système. La qualité d'une mesure est donc de façon primordiale déterminée, d'une part, par le choix judicieux du capteur et de son conditionneur et, d'autre part, par l'exploita­ tion pertinente de leurs qualités métrologiques. Pour un même mesurande, il existe généralement divers types de capteurs basés sur des phénomènes différents et dotés de caractéristiques métrologiques spécifiques. En fonction des conditions imposées par le problème particulier à résoudre (volume disponible, étendue de mesure, bande passante, temps de réponse... ), il faut savoir choisir le capteur et le conditionneur les plus appropriés. Le capteur et son conditionneur ayant été choisis, il faut que l 'utilisateur sache en disposer afin de minimiser les perturbations apportées au processus (discrétion) ou subies de son chef (grandeurs d'influence). Ce sont tous ces aspects que Pascal Dassonvalle aborde avec beaucoup de péda­ gogie dans cet ouvrage. La multiplicité des types de capteurs étudiés, la diversité des situations expérimentales envisagées font de cet ouvrage une mine d'informations utiles. Pour tous ceux qui souhaitent réaliser une instrumentation de qualité, les exercices et problèmes présentés dans l'ouvrage de P. Dassonvalle constituent un excellent en­ traînement pour apprendre à éviter les pièges et pour savoir choisir les bonnes solu­ tions : cet ouvrage sera, à coup sûr, un précieux outil de formation. Georges Asch Professeur à 1 'université de Lyon 1 = � -0 0 " = Ci @ V www.biblio-scientifique.net TA B L E D ES M ATI È R ES Cette table des matières multicritère permet au lecteur de sélectionner des exercices et problèmes en fonction de la discipline majoritaire (physique, électronique, etc.) et du niveau de difficulté (noté de* à*** du plus faible au plus fort). Les thèmes traités sont classés selon trois disciplines : • • • E : électronique, circuits électriques ... P : physique S : statistiques, mathématiques ... Selon que les disciplines marquent plus ou moins fortement un exercice ou un problème, les lettres qui les indexent sont majuscules ou minuscules. Com pléments e n l i g n e Le symbole @ dans les titres des exercices e t des problèmes indique que les données peuvent être téléchargées. Le symbole ilID dans les titres des exercices et des problèmes indiquent que les corrigés peuvent être téléchargés. Tous ces éléments sont téléchargeables gratuitement sur : La page web de l'auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u TITRE DE L'EXERCICE no Potentiomètre linéaire en capteur de position push-pull Capteur capacitif push-pull à glissement du diélectrique Étalonnage indirect - Régression linéaire@ Capteur de niveau capacitif Montage potentiométrique d'une résistance thermométrique Erreur de finesse d'un oscilloscope 1 2 3 4 5 6 VI www.biblio-scientifique.net Nature E Ep Difficulté Page * 5 * s ** E * E * E * 2 8 11 14 17 Table des matières TITRE DE L'EXERCICE no 7 Capteur du second ordre Capteur à condensateur d'épaisseur variable Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie Capteur inductif à réluctance variable Choix d'un capteur de température Utilisation des jauges d'extensométrie sur un corps d'épreuve cylindrique Effet de la résistance des fils de liaison du capteur dans un pont Effet d'un mauvais appariement sur un pont résistifs à quatre capteurs Effet de la résistance des fils de liaison d'un capteur alimenté en courant Étalonnage direct - Évaluation des différents types d'erreurs@ à quatre jauges Correction de la dérive thermique d'un pont d'extensométrie push-pull Linéarisation de rapport potentiométrique - Mesure d'intensité lumineuse@ Capteur de pression sonore aquatique piézoélectrique Qualification en production d'un capteur à réluctance variable Mesure télémétrique et statistique de mesure@ Tachymètre optique Capteur de pression à tube borgne et jauges d'extensométrie Piézoélectricité - Choix du piézoélectrique Capteur à courants de Foucault - Mesure de résistivité iJ Relation mesurande-signal de mesure - Dérive thermique Capteur de pression - Dérive thermique "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u iJI Potentiomètre rotatif - Effet de la dérive thermique Résistance thermométrique en montage potentiométrique ..: � "O c::::l '-' '-' � �0 :; "' 0c:c: c: .S: ü:::l "O 12 o. Capteur de déplacement capacitif - Non-linéarité Capteur de température - Linéarisation i:Jil il!Jl Défaut d'un potentiomètre utilisé en capteur angulaire Capteur capacitif - Effet de la dilatation Photodiode à deux cadrans utilisée en capteur d'angle Capteur angulaire sans contact Capteur de débit à magnétorésistance 9 10 11 Jauge d'extensométrie capacitive haute température de Wheatstone 8 à tube Venturi - Tension de mode commun i!JJ 12 13 Difficulté Page E * eP ** 24 Nature EP p EP p ** ** ** ** eP ** E ** E ** E ** 17 5 *** 19 Es ** 20 EP *** 22 5 14 15 16 18 21 23 24 25 E 5 Pe ** p 28 E 30 31 32 33 34 35 36 37 *** ** EP 29 *** E 26 27 ** E ** *** ** ** E ** E ** EP ** EPS ** Ep ** Ep ** EP *** EP *** EP *** 20 27 32 37 42 45 48 52 55 58 63 66 69 75 80 85 89 92 95 98 101 104 107 109 112 117 120 124 130 134 2 B:::l rS -00 c::::l a @ VII www.biblio-scientifique.net Les capteurs TITRE DU PROBLÈME Mesure de la température de l'eau d'une installation de chauffage central Jauge de Pirani Utilisation de capteurs de température pour la mesure de la vitesse d'un fluide Jauges d'extensométrie - Électronique de séparation contrainte Température Capteur résistif non linéaire@ Capteur à réluctance variable Linéarisation aval il i!lJl Principe du thermocouple et lois élémentaires@ Thermométrie par résistance - Linéarisation Système de pesée à jauges d'extensométrie Photorésistance - LDR : fonctionnement et utilisation pour le centrage d'un ruban défilant Thermométrie à diode Capteur capacitif de pression à déformation de membrane Accéléromètre piézorésistif basses fréquences Capteur de courant Ampèremètre à fibre optique à ceinture de Rogowski Transformateur différentiel (LV DT) Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d'angle @rJ à distance de la température d'un corps 181 Étude d'une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination Pince ampèremétrique AC-DC Capteur angulaire robuste@ li Anémomètre à fil chaud Thermocouple, thermopile et pyromètre optique@ Photodiode à effet latéral unidirectionnelle� Capteur de proximité capacitif "'O 0 c :J 0 (V) .--t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u Natu re Difficulté Page 2 eP ** EP ** 144 4 Ep ** 6 E ** EPS *** 8 E ** eP *** ES ** eP *** eP *** 13 EP *** eP *** 15 eP *** eP *** eP *** EP *** no 1 3 5 7 9 10 11 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 VIII www.biblio-scientifique.net Ep p EP ** *** *** EP *** EPS *** EP *** EP *** EP *** EP *** 138 150 154 161 166 175 178 189 198 207 216 224 235 247 253 262 271 274 278 290 296 305 319 329 AVANT-P ROPOS « Je suis régulièrement soumis de la part de mes étudiants à la question : existe-t-il un livre d'exercices en physique des capteurs ? » Ce à quoi je suis bien obligé de répondre par la négative. Cette même question est posée régulièrement à de nombreux collègues qui en­ seignent la même discipline à l'université ou en école d'ingénieurs. Si je peux conseiller à mes étudiants la lecture de la référence dans le domaine du professeur G. Asch aux éditions Dunod, force est de constater qu'ils restent en attente d'un moyen plus immédiat de se préparer à leurs examens. 11 m'a donc semblé intéressant de réaliser, bien modestement, un tel ouvrage. Cet ouvrage est destiné à différentes catégories de lecteurs. 11 permettra aux étudiants universitaires et élèves ingénieurs de se confronter, au travers de cas pratiques, au contexte pluridisciplinaire de la matière. Pour les enseignants de la thématique capteurs cet ouvrage pourra être une source d'inspiration pour leurs propres sujets d'examens. La discipline étant par na­ ture pluridisciplinaire (physique, électronique, métrologie, etc.), les sujets en ques­ tion sont souvent longs et délicats à mettre au point. Les enseignants des matières connexes pourront y trouver des illustrations pour certains de leurs enseignements. Le but de l'ouvrage est d' aborder, au travers de problèmes concrets, l 'énorme diversité du monde des capteurs (physique, métrologie, modélisation, électronique, traitement du signal, etc.). J'ai cherché à rester le plus simple possible dans chacun des domaines traités. Les problèmes corrigés sont volontairement pluridisciplinaires et portent sur un large champ d' application de la physique des capteurs ; l'ensemble des différents aspects depuis la conception jusqu'à la mise en œuvre étant abordé. Le plus souvent possible les énoncés comprennent des schémas, permettant une meilleure compréhension de la problématique, et les corrigés des courbes, générali­ sant souvent les calculs qui viennent d'être effectués. Bien évidemment, les sujets abordés ne prétendent pas constituer une base de sa­ voir exhaustif de la thématique. Les thèmes traités figurent sous deux types de présentation : • Les exercices, dont la thématique n' aborde souvent qu'un aspect de la problèma­ tique des capteurs (physique, électronique, statistique, etc.). Chaque exercice est construit autour de la compréhension d'un point scientifique précis ou d'une diffi­ culté technique de mise en œuvre. «Les capteurs en instrumentation industrielle» « "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ....... ..c @ O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " "' " " '" = ·C0 ="' " 0" " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ », IX www.biblio-scientifique.net Les capteurs • À Les problèmes, par nature plus complets et pluridisciplinaires, et dont la problé­ matique englobe à la fois les principes physiques et les difficultés techniques de mise en oeuvre. Chaque problème est accompagné d'une présentation du thème traité et d'une conclusion sous la forme d'un développement technique, technico­ économique ou sur les variantes que l'on pourrait apporter à la problématique trai­ tée. propos de la d e u x iè m e édition Cette seconde édition compte douze nouveaux exercices qui portent notamment sur les capteurs à courants de Foucault, les potentiomètres rotatifs ou les capteurs capa­ citifs. Co m pléments e n l i g n e Certains exercices et problèmes nécessitent d'utiliser un grand nombre de données ; les données à télécharger sont présentées sous deux formats : Excel (97) et Matlab. Les titres des exercices et problèmes dont les données peuvent être téléchargées sont suivis du signe @ dans la table des matières. Onze corrigés d'exercices et de problèmes ne figurent pas dans l'ouvrage mais sont également téléchargeables. Ces corrigés sont signalés dans la table des matières par le symbole 11. Com pléments e n l i g n e Les données e t les corrigés sont téléchargeables gratuitement sur : La page web de l'auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l'adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u X www.biblio-scientifique.net Avant-propos Re merciements Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à tous ceux, qui à des degrés divers, ont contribué à la publication de cet ouvrage : • • • Professeur Georges Asch, que je remercie chaleureusement de m'avoir fait l'hon­ neur de relire cet ouvrage, dont les critiques et suggestions m' ont été précieuses et l 'écoute toujours bienveillante. Mes collègues Valérie Douay (ESIEE-Paris) et Laurent Baroux (ESIEE-Amiens) pour leur relecture du manuscrit, leurs remarques constructives et leur bonne hu­ meur. Enfin, je tiens à remercier les laboratoires de recherche et les sociétés qui m'ont spontanément confié les illustrations de cet ouvrage : Analog Devices BOC Edwards Cedip (dorénavant Flir) Honeyvell ifm-electronic KIMO LEM National Semicondutor (dorénavant Texas Instruments) Prosensor Raytek Sensorex TWK Ulis htt : / / w ww. a nalog. c om; p http://www.httepdwardsvacuum. c om : / / w ww. fl i r . com/fr/; httphttp: ://www.//www. honeywell. c om ; ifm -el e ctronic. c om htt : / / w ww. k i m o.f r ; p http://www. lem.com ; htt : / / w ww. rosensor . com p p htthttp://w:/ww.rayt e k. c om ; / w ww. s ensorex.f r p htt : / / w ww. t wk. d e ; p htt : / / www. u li s -i r. c om p Vishayhttp://www. vishay. com. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u http://www. ti.com � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ XI www.biblio-scientifique.net 1:J 0 c :J 0 (V) r-1 0 N @ L 01 ï:::: >­ Q. 0 u .µ www.biblio-scientifique.net "'Cl 0 c :::J 0 (V) ...-l 0 N @ .µ ..c Ol ï:::: >­ Q. 0 u www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Pote n t i o m èt re l i n éa i re e n ca pte u r d e pos i t i o n push-pu l l Énoncé Un capteur de déplacement rectiligne est constitué d'un potentiomètre linéaire sché­ matisé sur la figure 1 . 1. On désigne par .6.x la valeur du déplacement du curseur par rapport à la position milieu que l'on prend pour origine de 1' axe x. +l ___ ...._,_ _ -+-.. .. -- 2Ro 0 Lll -l -+-'......-'--��-- Le capteur "'O 0 c ::J 0 (V) Le montage F i g u re 1 . 1 - Potentiomètre linéaire en capteur push-pull ...... 0 N Ill La course utile du potentiomètre est 2l = 1 0 cm et sa résistance totale est 2Ro. En déduire l'expression des résistances Rb(.6.x) et Rh(.6.x) du potentiomètre (voir fi­ gure 1 . 1 ) pour un déplacement .6.x du curseur par rapport à la position milieu . @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 16 Le potentiomètre est monté suivant le schéma de la figure 1 . 1 . La tension de mesure Vmes , image de la position du curseur, est mesurée par une électronique d'im­ pédance d'entrée Rapp · Exprimer Vmes en fonction de Rb(.6.x), Rh(.6.x), Rg, Rapp et Vg . mJ Que devient cette expression pour Rapp >> Ro ? lm En déduire la sensibilité S mes de la mesure. 2 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 œ Quelle valeur doit-on donner à R9 pour que cette sensibilité soit maximale ? Que deviennent dans ce cas Vmes et S mes ? Calculer la sensibilité réduite Sr· ID Afin d'assurer un fonctionnement correct du capteur, le constructeur a fixé une limite Vmax = 0,2 m.s- 1 pour la vitesse de déplacement v du curseur. En admettant que le curseur a un mouvement sinusoïdal d' amplitude a = 1 cm autour d'une position xo donnée, calculer la fréquence maximale max des déplacements que l'on peut traduire avec ce système. f Corrigé détaillé Ill On a directement d' après la figure 1.1 : ( tu) ( ) Rb(/ix) = 2Ro Ro + Tt/ix = Ro 1 + l Rh(/ix) = 2Ro /ix Ro - - /ix = Ro 1 2l l (1.1) - IB Compte tenu du montage réalisé, la tension de mesure est donnée par : (1.2) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ mJ Pour Rapp ( 1 .2) devient : >> Ro a fortiori Rapp Vmes - _ >> Rb(/ix) et Rapp » Rh(/ix), en utilisant (1.1), ( ) /ix Rb(/ix) Ra l+ V9 V9 l Rg + Rh(/ix) + Rb(/ix) R9 2Ro _ + Sous cette approximation la mesure est linéaire. llJ La sensibilité de la mesure est donnée par : S mes _ 11Vmes /ix V9 Ro R9 + 2Ro l 3 www.biblio-scientifique.net 1 • Potentiomètre linéaire en capteu r de position push-pull œ Pour que cette sensibilité soit maximale on doit avoir Rg = O. Dans ce cas, on a alors : ( --l ) l Vmes = 1 + llx Vg Vg et S mes = 2z La sensibilité réduite s'en déduit immédiatemment et on a : 1 1 S r = - S mes = - = 0, 1 V/cm.V Vg 2l !max Vmax/2na 3,2 ID Comme on a x = xo + a sin wt, la vitesse de déplacement du curseur est donné par v = wa cos wt, on en déduit = = Hz. -0 0 c ::J 0 (V) .--1 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 4 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Capte u r capac i t i f pu s h-pu l l à g l i ssement d u d i é l ectr i q u e Énoncé 2. 1 , On considère la structure de la figure constituée de deux condensateurs plans identiques C 1 et C2 , de surface carrée ou rectangulaire d'aire A, entre les armatures desquels se déplace selon l'axe x un noyau diélectrique de permittivité relative Er . l X 1 l 1 Fig u re 2. 1 - Condensateur à diélectrique glissant g) Le noyau étant à sa position initiale, centré en x "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" .3 ü " = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 = 0, déterminer l'expression des capacités C 1 (x = 0) = C2 (x = 0) que l'on notera Co (on négligera pour cela les effets de bords et le couplage possible entre les deux condensateurs). On donne 1 12 2 Eo = 8,85 . 1 0- F. m- Er= e = 1 mm et A= 6 cm , 3, . g) Le noyau est déplacé de x de sa position d'origine, déterminer les expressions de C1 (x) et C2 (x). Les écrire sous la forme Ci (x) = Co + !1 C l (x) et C2 (x) = Co + !1 C2 (x) en précisant les expressions de !1C1 (x) et de !1C2 (x) en fonction de Co, x, l et Er . g) Les deux condensateurs sont montés dans un circuit en pont selon le schéma de la figure et Vg. 2.2. Exprimer la tension différentielle de mesure Vmes en fonction de x, l, Er " = Ci @ 5 www.biblio-scientifique.net 2 • Capteur capacitif push- p u l l à gl issement d u diélectrique R I,______ V, nes R Fig u re 2.2 - Montage du capteur g) En déduire la sensibilité S de la mesure. On donne : l 2 cm et V9 = = 10 V. fm Quelles sont les valeurs de l'étendue de mesure E . M. et de l'excursion de V mes ? Corrigé détaillé gJ Le diélectrique étant centré, chaque condensateur équivaut à la mise en parallèle de deux condensateurs plans de surface A/2, l'un de diélectrique de permittivité Eo, l' autre de permittivité ErEo. On a donc immédiatement : EoA ErEoA + 2e 2e Co = - = EoA - ( 1 + Er) = 10,62 pF 2e g) Si le diélectrique est déplacé d' une quantité x, on a alors : ErEo A l Eo A l C1 (x) = - - - - x + - -+x e l 2 e l 2 ( ) -0 0 c ::J 0 (V) = ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u [ - ( ) ( )] [ EoA 2x Er - 1 -(Er + 1) 1 + 2e l Er + 1 De même, on obtient : - = Co 1 + 2x Er - 1 l Er + 1 - ( )] = Co + LiC 1 (x) Eo A l ErEo A l C2 (x) = - +x + --x e l 2 e l 2 -- ( ) [ ( ) ( 1 )] [ -- EoA 2x Er - 1 = - (Er + 1) 1 - 2e l Er + 2x Er - 1 = Co 1 - l Er + 1 ( )] = Co + LiC2 (x) Les deux condensateurs fonctionnent en mode push-pull puisque LiC2 (x) 6 www.biblio-scientifique.net = -LiC 1 (x). Exercice 2 g) D'après la figure 2.2, il vient en notant respectivement Z1 et Z2 les impédances des condensateurs C 1 (x) et C2 (x) : La mesure est linéaire puisque le signal de mesure, ici la tension Vmes , est proportion­ nelle au déplacement x. g) On en déduit la sensibilité de la mesure donnée par : S = Vmes - X ( ) 1 Sr - 1 Vg = 2,5 V/cm [ Sr + 1 =- fm Au maximum x = ±l/2, ce qui correspond à l'étendue de mesure : = [- l em, + l em ] Il vient alors Vmes E [-2,5 V, + 2,5 V]. E.M. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u " = "' " " '" ·C0 § " 0 " " .3 ü 2o.. = 2 � = � -0 0 " = Ci @ 7 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Éta l o n n a g e i n d i rect Rég re s s i o n l i n éa i re @ Énoncé On réalise une sonde de température à partir d'un capteur de température bas coût. Cette sonde délivre une tension Vmes(t) fonction de la température t (exprimée en °C) à laquelle elle est soumise. Pour étalonner cette sonde, on la place dans une enceinte thermostatée dont on fait varier la température sur l'étendue de mesure E .M. = [O °C ; 100 °C]. La température est mesurée à l'aide d'une sonde thermo­ métrique Ptl OO de précision. On réalise ainsi un étalonnage indirect pour lequel on considère que la température donnée par la sonde Ptl OO est parfaitement exacte. Les résultats des mesures sont consignés dans le tableau 3.1. Tableau 3. 1 - Étalonnage de l a sonde thermique t°C Vmes t°C Vmes t°C -0 0 c ::J 0 Vmes 3,35 26 43,00 424 68,26 671 8,80 1 1 ,66 1 7,66 22, 1 2 1 20 1 68 83 215 45,20 47, 1 9 49,95 51 ,83 497 476 500 443 77,33 78, 1 8 80, 1 8 82,82 745 773 759 790 30, 1 1 302 59,59 583 82,91 799 3 1 ,83 328 59,86 592 85,69 823 36,44 38,81 390 355 6 1 ,67 64, 1 0 627 594 9 1 ,76 92,51 878 884 39,86 390 67,84 660 99,59 936 (V) ...... Ill Sur l'étendue de mesure E .M., on cherche à modéliser le comportement de la 0 N sonde par l'approximation linéaire Vmes = VmesO + at. Déterminer les expressions VmesO et a obtenues à partir des N points expérimentaux (ti , Vmes,i ) donnés dans le ta­ bleau et en calculer la valeur. Pour ceci, on cherchera à minimiser l'écart quadratique moyenx2 entre l'approximation linéaire et les points expérimentaux. On réalise alors une régression linéaire au sens des moindres carrés. @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 16 Estimer la sensibilité S dVmes/dt. = @ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage). 8 www.biblio-scientifique.net Exercice 3 BJ Donner l'écart de linéarité ê, plus grand écart sur l'étendue de mesure entre la caractéristique réelle et 1' approximation linéaire donnée par la droite. Il) Calculer l'erreur de linéarité err, écart de linéarité normalisé à l'excursion de Vmes(t) sur l'étendue de mesure E.M. Corrigé détaillé ID L'écart quadratique moyen entre les N points expérimentaux et l'expression linéaire approximative est donné par : 2 1 L.J (Vmes,i - (VmesO + œti))2 X = -N �i=l Les valeurs de VmesO et a qui vont permettre d'ajuster au mieux la droite d'équa­ tion Vmes = VmesO + œt aux résultats expérimentaux doivent rendre la valeur de x2 minimale. On doit donc avoir : N 2 ax2 = =0 + .t=l (Vmes,i - (VmesO œti)) a VmesO - N I N ox2 2 - =I - (VmesO + œtï)). ti = 0 oœ N i=l (Vmes,i - - Ceci peut être développé selon : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u @ N ..: � "O c: :::l '-' '-' � �0 :; "' c: 0 c: I Vmes,i - NVmesO - a I ti �I N N i=l i=l N o. :::l a @ N 0 i=l La résolution en a et VmesO de ce système d'équations conduit à : c: -0 0 c: = �I I Vmes,Ji - VmesO I ti - a I tI = Û .S: ü :::l "O 12 2 B:::l rS N a= N N N I tiVmes,i - I ti I Vmes,i i=l i= 1 i=I. t (t I ������ N tf- t 9 www.biblio-scientifique.net 3 • Étalonnage i n d i rect - Régression li néaire Vmes = N N N i=l i= l i= l N L tf L Vmes,i - L L tiVmes,i fj i=l Nt Ç- (t l;r ------- En appliquant ces résultats aux données de l'étalonnage (tableau 3.1 ), on obtient : a = 9,5 mV. °C- I et Vmeso = 1 1 ,4 mV La figure 3.1 présente le tracé des points expérimentaux et de la meilleure approxi­ mation linéaire (droite de régression au sens des moindres carrés). v;nes (V) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 "'O 0 c ::J 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 f (OC) 100 Fig u re 3. 1 - Points expérimentaux (U) et droite de régression ( - ) (V) ...... 0 N 16 La sensibilité S n'est rien d'autre que la pente de la droite de régression, c'est­ à-dire s = a = 9,5 mv.0c-1 @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u • Ill L'écart de linéarité ou plus grand écart sur 1' étendue de mesure entre les points expérimentaux et les valeurs calculées selon l'approximation linéaire est s = 2 1 mV (pour t 99,59 °C). = Il) L'erreur de linéarité est alors donnée par : err = ë/ (VmesC99,59) - VmesC3,35)) � 10 www.biblio-scientifique.net 2,5 % EX E RCIC E : Ca pte u r d e n i vea u capac i t i f Énoncé On désire réaliser un capteur de niveau pour une cuve d'huile. Soit le condensateur plan schématisé figure 4. 1 dont les armatures sont de surface S et de hauteur h. Le condensateur est initialement dans l'air (permittivité t:1). Un liquide, de l'huile de permittivité monte jusqu'à une hauteur x mesurée à partir du bas des armatures ; soit C(x) la capacité correspondante du condensateur. t:2 , "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: X ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2 2 B o.. :::l � "°0 c::l Ci @ h F i g u re 4 . 1 - Schéma de principe du capteur ED Déterminer l' expression de la capacité C(x). Ill Calculer les capacités minimale et maximale du capteur ainsi que les im­ pédances correspondantes sous une alimentation sinusoïdale à 1 0 kHz. On donne E1 = Eo = 8,85 . 10- 1 2 F/m, E2 = 4t:o, S = 2 . 1 0-2 m2 , e = 5 mm et h = 1 m. EIJ Le capteur est monté dans un circuit en pont selon le schéma de la figure 4.2. Le condensateur Cu est un condensateur variable dont on règle la valeur à Co = C(x = 0). ll www.biblio-scientifique.net 4 • Capteur de niveau capacitif Donner l'expression de la tension différentielle de mesure Vmes en fonction de et V9. On donne V9 = l O V. s1 ,s2 x, h, F i g u re 4.2 - Circuit de conditionnement du capteur Il) Montrer que quelle que soit la forme que l'on donne aux deux armatures, par exemple deux tubes coaxiaux ou une tige et la paroi extérieure de la cuve si elle est métallique, on obtient un résultat similaire. œ Quel problème majeur peut fausser la mesure ? Corrigé détaillé ED Tout se passe comme si on était en présence de deux condensateurs plans en C1 , C , S 1 S 2 2 parallèle : un condensateur de capacité de surface et dont le diélectrique est de permittivité et un condensateur de capacité de surface et dont le diélectrique est de permittivité La capacité du condensateur résultant est donc donnée par : s1 s . 2 "'O 0 c ::J 0 (4. 1 ) (V) s1 S -(S s2 -s1 )x s1S [ + (s2s-s1 ) x ] Co Kx) 1 Zc(x) = l/)C(x)w ...... 0 N =-+ e eh @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u =- 1 e . - = h (1 + n'est pas En régime permanent sinusoïdal, l e capteur d'impédance linéaire pour une mesure proportionnelle à son impédance, il est linéaire pour une mesure proportionnelle à son admittance. EfJ (4. 1 ) permet d'obtenir = Cmin = C(x = = Co = C.nax = C(x = 35,4 pF et h) 0) 141 , 6 pF. Les impédances correspondantes à une fréquence f = l O kHz sont = 0) 1 = 449,6 kQ et = h)I = 1 1 2,4 kQ. IZ(x IZ(x 12 www.biblio-scientifique.net Exercice 4 El) On a Cu = Co = C(x = 0), compte tenu de (4. 1) la tension de mesure s'écrit : ( 1) C(x) - Co Vg Zo (4'2) Vg = C(x) + Co 2 Zc + Zo - 2 ( 1 + Kx) - 1 Vg Kx Vg = --= (1 + Kx) + 1 2 2 + Kx 2 Vg 1 = KxKx 4 1+2 (4.2) et la courbe de la figure 4.3 montrent clairement que la mesure est non-linéaire. Vmes = --- 2 v;nes (V) x(m) 0,5 Fig u re 4.3- Évolution de la tension de mesure EIJ Quelle que soit la géométrie donnée aux armatures, on a Co = ch où c est la capacité par unité de longueur du capteur. Si x =f:. 0, on a : [ ( (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ) �i = Co ( 1 + Kx) C(x) = c(h - x) + E2cx = ch 1 + E2 El h êJ El "'O 0 c :J 0 � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü= 2 o.. 2 � ""' = � -0 0 " = Ci @ La valeur de la capacité dépend via Co de la géométrie au travers de c. En revanche, une fois le pont équilibré pour x = 0, c'est-à-dire une fois réglé Cu = Co, la tension de mesure garde la même forme. Ce type de mesure est habituellement réalisé à l'aide de condensateurs cylindriques, ce qui réduit les perturbations par effet de bord (effets négligés dans ce qui précède). œ Le phénomène le plus gênant qui peut entacher la mesure est lié à la viscosité de l'huile. Celle-ci peut former une couche résiduelle à la surface des armatures, si bien que même avec une cuve vide on peut avoir Cu =f:. C(x = 0) et donc Vmes =f:. 0, simulant par là une cuve non vide. On peut améliorer le procédé en réglant la valeur de Cu à chaque fois que 1' on est certain que la cuve est vide. 13 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : M o n tag e pote n t i o m é t r i q u e d ' u n e ré s i sta n ce the rmométriq ue Énoncé On désire mesurer la température par une résistance thermométrique de nickel dont le comportement avec la température T exprimée en °C est donné par : R(T) = Ro( l + AT + BT2 ) avec Ro = 100 n, A = 5,49 1 67 . 1 0-3 /°C et B = 6,66667 . 10-6/°C2 . La résistance thermométrique est montée en série avec une résistance fixe R et le tout est alimenté par une source de tension de fem V9 = 1 V et de résistance interne R9 = 50 n. BI Donner l'expression de la tension de mesure VmesCT) prise aux bornes de la résistance thermométrique. mJ On choisit comme référence de température To 0 °C et on limite 1' étendue de mesure à E .M. ± 10 °C. Donner l'expression de la variation 11R(T) de la valeur = = "'O 0 c ::J 0 de la résistance the rmométrique pour une température T à partir de la référence prise pour To. ...... (V) mJ En déduire la variation /1 Vmes correspondante. 0 N @ eJ Quelle valeur donner à R pour avoir un maximum de sensibilité (on ne consi­ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u dérera pour cela que la partie linéaire /1 Vmes,lin de 1' expression /1 Vmes ? � Donner dans ce cas l 'expression de la sensibilité en fonction de A, B et T. m Que devient cette sensibilité dans le cas d'une approximation linéaire du fonc­ tionnement ? 14 www.biblio-scientifique.net Exercice 5 Corrigé détaillé BI La tension de mesure s'écrit simplement : Vmes ( T ) - R(T) Vg Rg + R + R(T) 1 (5 ) . m) Avec R(T = 0) = Ro et R(T) = R0(1 + A T + BT2 ) = R(O) + 1'1R, il vient pour la variation de la résistance du capteur 1'1R = Ro(AT mJ En utilisant (5. 1), il vient : 1'1Vmes = = + BT2). ) Ro Ro + 1'1R Vg Rg R + Ro 1'1R Rg + R + Ro (Rg + R)M M (Rg + R + Ro)2 + Rg + R Ro Vmes(T) - VmesCO) = ( + (1 + ) + � (5.2) Il) L' approximation linéaire de la variation de la tension de mesure est obtenue en 1 prenant le développement à l' ordre de (5.2) : 1'1Vmes,ltn · À 1'1R donné, il convient de rendre l'1 Vmes,lin maximum. Pour cela on annule la dérivée de 1'1 Vmes,lin par rapport à Rg R, soit : + "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u (Rg + R)l'1R Vg (Rg + R + Ro)2 d/'1 Vmes,lin d(Rg + R) � --- = ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � (5.3) conduit à choisir R = R0 - Rg Vg = + Ro - (Rg R) 1'1R = O (Rg + R Ro)3 + (5.3) 50 n. m:I Compte tenu de ce choix, la variation de la tension de mesure s'écrit maintenant : = � -0 0 " = Ci @ 15 www.biblio-scientifique.net 5 • Montage potentiométrique d'une résistance thermométrique Pour la sensibilité, il vient : (5 .4) Ba Sous l'approximation linéaire (développement à l'ordre 0 de (5.4)), la sensibi­ lité devient constante et est donnée par : S = � AV = 1 ,373 mV/°C "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 16 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Erre u r d e fi n e s s e d ' u n o s c i l l o s c o pe Énoncé On mesure la tension aux bornes de la bobine d'un circuit RLC série. Le circuit est alimenté en sinusoïdal à la fréquence de résonance. L' appareil de mesure est un os­ cilloscope dont l'impédance d'entrée est modélisée par une résistance Re en parallèle avec un condensateur Cc. L Impédance d' entrée de 1' oscilloscope Circuit Fig u re 6. 1 - Le circuit et l'impédance d'entrée de l'oscilloscope "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = œJ Calculer, en fonction de Ve, l' amplitude complexe Vs de la tension de sortie en l'absence de l'oscilloscope. On donne R Re = 1 MQ et Cc = 2 pF. = 1 00 Q, L = 10 mH, C = 100 pF, � Calculer Vmes ' amplitude de la tension de sortie en présence de 1' oscilloscope. Pour cela on utilisera le théorème de Thévenin et on calculera de façon explicite la force électromotrice VTh du générateur équivalent de Thévenin et son impédance interne ZTh. aJ Calculer l'erreur de finesse de la mesure (Vs - Vmes )/Vs , puis son module. Ci @ 17 www.biblio-scientifique.net 6 • Erreur de finesse d'un oscil loscope Corrigé détaillé œJ D' après la figure 6. 1 , on a : Le circuit étant alimenté en sinusoïdal à la pulsation de résonance wo 1 06 rd.s- 1 , la tension de sortie est alors donnée par : = l/ YLC. soit [B On détermine les caractéristiques de générateur équivalent de Thevenin selon la méthode classique. L'impédance équivalente de Thévenin ZTh est l'impédance vue des bornes de sortie lorsque le générateur alimentant le circuit est éteint, c'est-à-dire ici lorsque Ve = O. On a : ZTh = ZLf/(Zc + R) = ( ) 1 . -jLwo R + 1Cwo l J"Lwa + R + -. 1Cwo = L -(1 + jRCwo) RC = 1 06 + jlO4 La force électromotrice VTh du générateur équivalent de Thévenin n'est ici nen d' autre que Vs . L'impédance d'entrée Zc de l'oscilloscope est donnée par : -0 0 c ::J 0 .... (V) 106 --1 + 2j 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u = 106 --(l - 2j) 5 Le circuit connecté à l' oscilloscope est donc équivalent au circuit représenté fi­ gure 6.2 où Vmes est la tension mesurée aux bornes de la bobine (Vs en l'absence de l'oscilloscope). 11 vient : 18 www.biblio-scientifique.net Exercice 6 Circui t Oscillo scope Fig u re 6.2- L'oscil loscope connecté au circuit � L'erreur de finesse est alors donnée par : 1 , 1 961 + 0,4020j 1 ,5921 l(Vmes - Vs )/Vs l:::::: 0,79, ce qui constitue une erreur très importante. L' appareil de me­ sure, c'est-à-dire l'oscilloscope, n'est pas adapté au type de mesure à réaliser. Cepen­ dant, comme l'erreur est parfaitement déterminée par la donnée des deux impédances Zc et ZTh, cette erreur peut être facilement corrigée. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u " = "' " " '" ·C0 § " 0 " " .3 ü= 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 19 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Ca pte u r d u s e co n d o rd re Énoncé Soit un capteur d'accélération capacitif dont les caractéristiques métrologiques sont indiquées dans le tableau 7 . 1 . Tableau 7. 1 - Caractéristiques principales du capteur Min ±2 Étendue de mesure Erreur de linéarité 225 10 13 Sensibilité Fréquence de coupure à +3 dB Fréquence de résonance Typ ±3 0,2 250 12 Unités Max g 275 % de E.M. 18 mV /g kHz kHz fil Déterminer la fréquence propre fo typique du capteur ainsi que son facteur d' amortissement §. g) On désire réaliser un inclinomètre à partir de cet accéléromètre, c'est-à-dire mesurer l'angle entre le bâti de l'inclinomètre et l'horizontale (voir figure 7.1). L'ac­ céléromètre mesure la composante de l' accélération de la pesanteur selon l' axe Oz (axe de sensibilité de l'accéléromètre) et une unité de conditionnement du signal en extrait la valeur de l' angle d'inclinaison a. -0 0 c ::J 0 (V) Axe de sensibilité du capteur ...... 0 N ' @ ' .µ ..c Ol ·;:::: > a. 0 u \ ' ' Bâti 0 \ ... ... ... a -JHorizontale ---------------- ' ' ' ' ' ' -------------· z F i g u re 7. 1 - Schéma de principe de l'inclinomètre 20 www.biblio-scientifique.net Exercice 7 On suppose que la variation maximale du mesurande correspond au passage de la position verticale (0 g mesuré) à la position horizontale ( 1 g mesuré). Déterminer graphiquement la durée d'attente T nécessaire avant d'effectuer une nou­ velle mesure de l'inclinaison après un changement de celle-ci pour que l'erreur reste inférieure à 1 %. + Corrigé détaillé fal Soient a(t) le mesurande, c'est-à-dire ici l'accélération, et V(t) le signal de sor­ tie du capteur, ici la tension délivrée par le capteur. Le capteur est un dispositif du second ordre puisqu'il férentielle liant a(t) et V(t) s'écrit : A d2 ; v t) dt + B En régime forcé sinusoïdal, avec a(t) V(t) = dV(t) dt = + CV(t) y = a résonance. L'équation dif­ a(t) (7. 1 ) aexpj(2nft), le signal de sortie s'écrit : + Vexpj(2nft <p) Reporté dans (7 . 1 ), ceci conduit en notation complexe à : En posant fo = ...)C/4n2A fréquence propre du capteur et � = B/2 YAC coefficient d'amortissement, il vient pour la sensibilité S ( f) et le déphasage <p( f) du capteur : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ....... @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 u V � ""' " = ·C0 = "' " 0 " " = ""' 2 o.. 2 � 2 (i - (�n +4Ç2 (�r "' " " '" .3 ü 1 1 s ( f) = - = - ---;:::=== a C <p( f) = - arctan (7.2) 2� = � -0 0 " = Ci @ En faisant tendre f vers 0 dans l'expression de la sensibilité, on remarque que 1/C n'est rien d' autre que la sensibilité en régime statique S (0). 21 www.biblio-scientifique.net 7 • Capte u r du second ordre L'étude de la sensibilité montre que pour g � 1/ Yl, celle-ci passe par un maximum : il y a résonance. La fréquence de résonance fr est obtenue en cherchant le maximum de l'expression sous la racine de (7.2), soit pour : (1a r = 1 - 2g2 (7 .3) La fréquence de coupure à + 3 dB est obtenue en résolvant S ( f) conduit à : = 1 _ 21;2 ± _ 21;2 )2 _ �(! (�r = � S (0) Yi, ce qui · (7.4) !ch La solution avec le signe - correspond à la fréquence de coupure à +3 dB à la montée dans le pic de résonance et la solution avec le signe + correspond à la fré­ est quence de coupure notée à +3 dB à la descente du pic de résonance. Seul ici une donnée du problème. À partir de (7.3) et (7.4), il vient : !ch 2 et g !ch (!5 - !!:) = --- (7.5) 2f5 À partir des données du tableau 7 . 1 , fch = 12 kHz et j� = 18 kHz , (7 .5) permet d'obtenir fo = 1 9,5 kHz et g = 0,27. La fréquence de coupure haute est alors = 22,5 kHz et la fréquence de coupure à -3 dB, se calculant classiquement en résolvant S ( f) = S (0)/ Yl, est f = 28 , 7 kHz. La courbe de la figure 7 .2 récapitule ces résultats. fch c V(f)/V(O) 11 1 11 1 -0 0 c ::J 0 11 1 1 J2 --- ---------------------------------- -----+-- - (V) ...... 0 N - - - @ ---- ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 1/Fi o -- ----- '1 1 1 1 1 i1 1 t l - - ---- --- -- --·-- ------ -..1. --.- --L--l.- ------------------- --------- ------------------------- 1 !1 + '' ) ' 1 11 --- fcb l 11 �+ 11 1 1 - ' ) ' � - - --------·---------- -- 1 1 1 ----------------- 1 f,. lc1i fc �� l 1� 11 � 10 � 1 00 F i g u re 7.2 - Courbe de réponse en fréquence du capteur 22 www.biblio-scientifique.net Exercice 7 g) Dans le domaine de Laplace (7 . 1 ) devient : A p2 V( p) + BpV( p) + CV( p) = a( p) . Au maximum le capteur subit un échelon d' accélération d'amplitude + 1 g, d'où a(p) = ao/p avec ao = 1 g. On a alors : 1 ao ao 1 1 V( p) (7.6) = 2 B p p + Bp + C p C 2 p + P+ 1 C C En introduisant la pulsation propre wo = 2 fo et de nouveau le facteur d'amortisse­ ment �. il vient : 1 ao w2 (7 .7) V( p) = __Q C p p2 + 2�wop + w6 =A ::; n ) (A Ici � 1/ Y2, si bien qu'en remontant à l'original V(t) et en posant Vo = ao/C soit 250 mV, on obtient : V(t) = ( - x��-��t) ( F' e Vo 1 sin wot + arcsin R)) (7 .8) Les courbes de la figure 7 .3 présentent 1' évolution de V(t)/Vo à des échelles de temps différentes. t)/ 1 ,5 V( � f-----,-----.,---, 0,5 "'O 0 c :J 0 ""'""' ....... '"" "'"" ""' " (V) .-t 0 N @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 u t ( 1 0-4 s) - ---'--------'-----'---+ 0 '------'-----'-----'---0 3 2 V(t)/� 1 ,01 � 99 .. - - - - - ---------------------- --------------------------------------------- = ·C0 = 0 .3 ü = 2 o.. 2 � = � -0 0 = Ci @ 0 , - -·-- - - - - - - � � � � - � t ( l 0-4 s) � � � � � � ---3 2 F i g u re 7.3- Réponse du capteur à un échelon La réponse du capteur est pseudo-périodique. Graphiquement on détermine que passé une durée T :::::: 0, 1 2 ms après l'application de l'échelon, le signal de sortie du capteur reste, à 1 % près, autour de sa valeur finale. 23 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Ca pte u r à co n d e n sate u r d 'é pa i s s e u r va r i a b l e Énoncé 1' Soit un capteur de déplacement (représenté figure 8. 1 ) constitué par un condensateur plan dont épaisseur x varie de �x autour de son épaisseur au repos e = 1 mm. La surface des armatures de ce condensateur est S . On suppose que le milieu dans lequel se trouve le capteur est l'air assimilé au vide de permittivité électrique so. Armature mobile Armature fix e Fig u re 8. 1 - Schéma de principe du capteur ED Donner 1 'expression de Zc(x) en régime permanent sinusoi"dal à la pulsation w. E6 Le capteur est monté en série avec un condensateur réglable, d'impédance Z , dont la valeur sera fixée à celle du capteur au repos, c'est-à-dire pour �x = O. Le dipôle ainsi constitué est alimenté à la pulsation w, par un générateur de tension de fem sinusoïdale d'amplitude Vg et d'impédance interne nulle. Donner 1' expression de la tension de mesure Vmes prise aux bornes de Zc(x) en fonc­ tion de �x, e et Vg . "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u œ En considérant un fonctionnement en petits signaux tel que �X donner l' approximation linéaire Vmes,lin de Vmes· Donner l'expression de �Vmes,fin , variation de la tension de mesure par rapport à sa valeur au repos. << e, œ Quelle est la sensibilité réduite s r de la mesure ? Gm Conclure quant au dimensionnement du capteur pour avoir une bonne sensibi­ lité et en déduire le domaine d'application de ce type de capteur de déplacement. 24 www.biblio-scientifique.net Exercice 8 ED On alimente le capteur par une source de courant parfaite, sinusoïdale, d' ampli­ w. tude !9 et de pulsation Donner les expressions de la tension de mesure Vmes prise aux bornes du capteur et de sa variation mes par rapport à sa valeur à la position de repos. �V EIJ On utilise maintenant le même principe de capteur mais en fonctionnement push-pull comme schématisé figure 8.2. ! e-D.x !e+D.x ,,.._ _ � Armature fixe �-� Armature mobile Armature fixe Fig u re 8.2 - Principe du capteur en mode push-pull w, L'ensemble est alimenté à la pulsation par une source de tension sinusoïdale d'am­ plitude V9 et d'impédance interne nulle. Donner l'expression de la tension de mesure puis de sa variation Vmes prise aux bornes de mes· Quelle est la sensibilité réduite de la mesure ? Zc(x), Sr �V Corrigé détaillé Ell Le condensateur étant plan et alimenté en reg1me sinusoïdal, on a "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Zc(x) 1/jC(x)Zc(x)w C(x) &oS /x &oS /(e + �x)�x. Zc(x) (e + �x)/j&oSw. E!J Z Zco Zc(x e/j&oSw, Zc(X) 2ee ++�X�x ( ) Z + Zc(x) �x �x. EIJ �x/e, e(2e(ll ++ �x/2e) �x/e) (1 + �x/e)(l - �x/2e)-2 ( + �x2e ) 2 'fin = L'impédance ..: � "O c::::l '-' '-' � �0 :; "' c:0 c: c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B:::l rS -00 c::::l a @ Comme avec = = est donc une fonction linéaire de = = = Vmes = La présence de terme en en fonction de 0) = = soit on a pour la tension de mesure : V9 = 8. 1 V9 au dénominateur entraîne que la mesure n'est pas linéaire L'approximation linéaire de Vmes est donnée par le développement limité de soit : (8. 1 ) au premier ordre en Vmes = V9 � V9 � 1 - V9 - = Vmes 25 www.biblio-scientifique.net 8 • Capte u r à condensateur d'épaisse u r variable On en déduit la variation de Vmes par rapport à sa valeur à la position de repos : Lix Li Vmes' lin = - Vg 4e EIJ Pour Lix = 0 on a Vmes(Lix = 0) = Vmes, lin(Lix = 0) = Vo = V9/2. La sensibilité réduite de la mesure est donc : Sr _ _...!:.._ Vmes,lin - Vo tu V9 1 1 Li Vmes, 1i·n = - = 250 mV/mm.V 4e V9 Lix (8.2) Em Pour obtenir une bonne sensibilité, il est nécessaire que e soit petit, ce qui limite l'excursion Lix (risque de court-circuit entre les deux armatures du condensateur). L'utilisation de ce type de capteur est donc limitée aux mesures de faibles déplace­ ments. ED Si l' alimentation se fait par une source de courant, la tension de mesure devient : (e + Lix) Vmes = Zc(x)/9 = . 19 Jt:oS w La variation de la tension de mesure par rapport à sa valeur pour Lix = 0, c'est-à-dire Va = el9/}t:0S w, s'écrit : Lix LiVmes = . 19 Jt:oS w La tension de mesure est une fonction linéaire du déplacement. E6 La tension de mesure est maintenant donnée par : -0 0 c ::J 0 Par rapport à la tension de mesure à la position de repos Lix = 0 donnée par V9/2, la variation de la tension de mesure est : (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u La sensibilité réduite s'écrit alors : Sr _ 1 LiVmes 1 = - = 500 mV/mm.V 2e V9 Lix _ _ -- Le fonctionnement est parfaitement linéaire et la sensibilité est doublée par rapport au cas du montage à un seul condensateur (voir (8.2)). 26 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : I n fl u e n ce d e l a ré s i sta n ce t ra n sve rs a l e d e s j a u g e s d 'exte n so m é t r i e Énoncé 1. Étude d ' u n brin d ' u n e j a u g e d'exte n sométrie On considère un fil cylindrique, rectiligne, de longueur l, de section s = 10-2 mm2 , de résistance r égale au repos à R = 10 n, dont le matériau est de module d'Young 2 11 E = 1,6 . 10 N.m- et de coefficient de Poisson v = 0,3. Ce fil est placé dans un pont de Wheatstone alimenté par une source de courant par­ faite, 19 = l O mA (voir figure 9.1). "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ R R r R Fig u re 9. 1 - Circuit de conditionnement À l'équilibre mécanique, le fil n'étant soumis à aucune contrainte, les quatre résis­ tances du pont sont égales et le pont est équilibré. Dl On soumet le fil à une force de traction F Déterminer la contrainte appliquée a-. = 4 N dans le sens de sa longueur. 2 . 109 N.m -2 , véri­ fier que la contrainte subie par le fil demeure dans le domaine élastique. lifJ Sachant que la limite élastique du matériau utilisé est 0-1 = B) Calculer la variation relative 111/l de la longueur du fil. 27 www.biblio-scientifique.net 9 • Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie lilJ Établir l'expression de la tension de mesure différentielle du pont, Vmes • en fonction de /9, R et r, nouvelle valeur de la résistance du fil. œ Sachant que cette tension de déséquilibre du pont est de 0, 1 3 mV lorsqu'on ap­ plique la force de traction F au fil, calculer la variation relative !iR/R de la résistance de ce dernier. li!a En déduire le coefficient de jauge K du fil. I l . Réa l i sation d e la jauge a On réalise une jauge d'extensométrie (voir schéma figure 9.2) avec du fil du type précédent et on se propose de calculer son coefficient de jauge Kj en fonction du coefficient de jauge K du brin étudié précédemment. La jauge est constituée de n brins longitudinaux de longueur l et de brins transversaux de longueur totale a. � En l'absence de contrainte donner les ex- 1 2345 n F i g u re 9.2 - Jauge d'extensométrie pressions de la résistance longitudinale R1 (celle des brins longitudinaux), la résistance transver­ sale R1 (celle des brins transversaux) et la résis­ tance totale Rj. � La jauge est parfaitement collée sur une barre cylindrique parallèlement à l' axe de celle­ ci (voir figure 9.3). La barre, constituant le corps d'épreuve, est de longueur au repos L, de mo­ dule d'Young Eo et de coefficient de Poisson vo. Elle est soumise selon son axe à une contrainte O'"o inférieure à la limite élastique. -00 c::J 0 ...... (V) 0 N @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 F i g u re 9.3- Le corps d'épreuve équipé de la jauge Calculer en fonction de K, n a, l, O'"Q, Eo et vo, la variation relative de R1, la variation relative de Rt et en déduire la variation relative de Rj. 1 � Établir 'expression du coefficient de jauge Kj = (!iRj/Rj) / (!iL/L) de la jauge en fonction de K, n a, l, et vo. Plie) On pose petit. a = Rt!R1. Donner l'expression approchée de Kj dans le cas où a est 28 www.biblio-scientifique.net Exercice 9 Qlll La jauge est utilisée sur deux supports métalliques différents : un acier de co­ efficient de Poisson v1 = 0,28 et un alliage d'aluminium de coefficient de Poisson v2 0,35 ; les facteurs de jauge étant respectivement K11 et K12· Calculer l'écart relatif ôK/K = I K11 - K12l !K sur le coefficient de jauge. = Pit) Déterminer les valeurs maximales de ôK/K < 10-2 puis ôK/K < 10-3 . œ PllJ Comment réduire pratiquement le rapport compatibles avec un écart relatif œ = Rt!R1 ? Les conditions de la question précédente sont-elles rédhibitoires compte tenu du fil utilisé ? On étudiera, par exemple, la possibilité de réaliser une jauge carrée de 3 mm de côté. Corrigé détaillé 1. Étude d ' u n brin d ' u n e j a u g e d'exte n sométrie Dl La contrainte appliquée se calcule immédiatement comme le rapport de la force à la section, cr = 4.108 N.m 2 - . � Ce résultat reste inférieur à la limite élastique cr1 = bien dans le domaine élastique. 2 . 1 09 N.m -2 , on reste donc D) La variation relative de la longueur du fil est donnée par la loi de Hooke : "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >- a. 0 u 111 l � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = = (T = E 2 ' 5 . 10-3 (9. 1 ) Pl) Le pont étant alimenté en courant, la tension différentielle de mesure est donnée par : Vmes · = r - R 1 2R(r + R) r-R ·-· R/9 19 = r + R 2 r + 3R r + 3R -- (9.2) � En l'absence de contrainte la résistance du fil est R. Sous contrainte, on note cette résistance r = R + !1R. On a en inversant (9.2) : !1R R = 4Vmes R/9 - Vmes = 5,2. 1 0-3 (9.3) Ci @ 29 www.biblio-scientifique.net 9 • Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie Ba On en déduit, d'après (9. 1), (9.3) et à partir de la loi de comportement de la jauge d'extensométrie, à savoir M/R = Kf),.ljl, que K = 2,083 ce qui est cohé­ rent puisque le fil constitue une jauge d'extensométrie métallique pour laquelle on a K � 2. I l . Réa l i sation de la jauge n � Au repos, comme il y a brins longitudinaux en série de résistance individuelle R, la résistance totale des brins longitudinaux est donc R1 = nR. La longueur totale des brins transversaux étant a, le fil étant au repos de résistance par unité de longueur R/l, la résistance totale des brins transversaux est = a /l. La résistance totale de la jauge au repos est donc donnée par j = a/l) Ri R R (n + R. Da Sous l'action de la contrainte axiale cro, le cylindre se déforme. Restant en­ dessous de la limite élastique, les déformations sont données par la loi de Hooke. Selon la direction parallèle à la contrainte, la déformation est f),.L/L = cr0/Eo. Le périmètre p de la barre se déforme comme son rayon p, donc selon une direction perpendiculaire à la contrainte et on a /)..p/p = /)..p/p = -vocro/Eo = -vof),.L/L. Comme le collage est parfait, les brins longitudinaux de la jauge sont amenés à suivre la déformation longitudinale du cylindre. Le fil de la jauge étant de facteur de jauge K, on a : f),.L /),./ /).. ( l) = K- = K(9.4) =K ( l) L l -f),.RR11 --nn Les brins transversaux sont amenés à suivre la déformation du périmètre de la barre, d'où : "'O0 c::J 0 (9.5) � (9.4) et (9.5) conduisent à : 0 N f),.R1 + Rr R1 Mc R· R1 + Rr R1 + Rr R1 R1 + Rr Rt f),.L f),.L nR · KaR/l · Kv0= (n + Ï) R L (n + Ï) R L n v:7 �L = K + n -l L f),.RJ· @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 J = f),.Rt + f),.Rt = (- ) 30 www.biblio-scientifique.net (9.6) Exercice 9 ( œ Le facteur de jauge Kj se déduit immédiatement de (9.6) et il vient : (9.7) Plie) Avec a = Rt!Rt = a/nl petit, au premier ordre en a, (9.7) devient : ( a n - v0 1 - VQŒ l Kj = K a = K l +a n+- l l ) � K ( 1 - ( 1 + vo )a) (9.8) La résistance des brins transversaux a pour effet de réduire le facteur de jauge. En effet idéalement (avec a = 0), selon (9.8), on a Kj = K. Plll Le calcul de ôK/K est immédiat. À partir de 1 'expression approchée de Kj donnée par (9.8), on obtient : Qlt.j Pour ôK/K a = a/nl < 1/70. < 1 0-2 , on doit avoir a = a/n l < 1/7 et pour ôK/K < 1 0-3 , PllJ Pour réduire le rapport a = Rt!Rt et donc l'erreur qui s'introduit sur le facteur "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N ....... ..c @ O'l ·;:::: >- a. 0 u de jauge lorsqu'on colle la jauge sur des matériaux de coefficients de Poisson diffé­ rents, il suffit que la longueur l des brins de la jauge soit grande et que leur nombre n soit le plus important possible pour une largeur de la jauge a donnée. Ce faisant la jauge est moins ponctuelle et fournit une valeur moyenne, sur sa surface, de la contrainte subie. � Le fil utilisé est de section s = 10-2 mm2 , soit de diamètre 0, 1 1 mm. Pour ôK/K < 1 0-2 , on doit avoir a < 1 /7 ce qui est facilement réalisable. Prenons, ·C0 par exemple, une jauge carrée de 3 mm de côté, il faut alors avoir n > 7. Chaque brin = étant de diamètre 0, 1 1 mm, 7 brins occupent une largeur de 0, 77 mm ce qui reste 0 inférieur aux 3 mm de largeur de la jauge. .3 ü En revanche, pour ôK/K < 1 0-3 et toujours pour une jauge carrée de 3 mm de côté, 2 on devrait avoir au minimum 70 brins ce qui occuperait une largeur de 7, 7 mm soit 2 � � plus que les 3 mm de largeur de la jauge. C'est donc impossible avec un tel fil. ""' " = "' " " '" "' " " " = ""' o.. = -0 0 " = Ci @ 31 www.biblio-scientifique.net 10 EX E RCIC E : Ca pte u r i n d u c t i f à ré l u cta n ce va r i a b l e Énoncé 1. Étude d u capte u r Soit le circuit magnétique de la figure 10. 1 . �----·---+--h1 -·,.4-1-_ Contour f Ligne de champ Fer doux .--. e F i g u re 1 0. 1 - Schéma de principe du capteur "'O0 c::J 0 (V) Le corps du circuit magnétique est réalisé en fer doux feuilleté. On suppose que les lignes de champ sont parfaitement guidées par le circuit magnétique et que l'entrefer e est suffisamment petit (on néglige les lignes de champ pouvant fuir dans la région symbolisée en gris sur la figure 10.1 ). 0 N ...... ---7 @ 11111 Donner l'expression de la circulation du champ magnétique H sur la fibre moyenne, contour moyen r, sachant que la bobine possède N spires et que l' intensité ......cOl... ·;:::>: a. u0 du courant la parcourant est l. ---7 Ilet) Sachant que l'induction magnétique B est à flux conservatif, que la section S du circuit magnétique est supposée constante, donner les relations liant l 'induction ---7 ---7 ---7 magnétique B aux champs dans l'air, Hain et dans le fer doux, Hfer · On notera µo la perméabilité magnétique de l'air (assimilé au vide) et µ = µrµo celle du fer doux. 32 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 0 1(111 Donner l'expression du flux d'induction magnétique au travers de la bobine, puis l'exprimer en fonction de l'inductance propre L de la bobine. llell En appelant / la longueur du contour r dans le fer doux, donner l'expression de l'inductance L. lleJ1 Si on alimente la bobine par un courant sinusoïdal de pulsation w, quelle est l'expression de son impédance Z(e) ? Que conclure quant au capteur de position ainsi réalisé (e pouvant varier) ? I l . Mo ntage p u s h -pu l l lleld Deux capteurs du même type que le précédent sont montés en push-pull comme le schématisent les figures 1 0.2 et 10.3. En position de repos, les distances des pièces en U à la pièce mobile sont égales à eo. Point A "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..cO'l ·;:::>-: a. u0 F i g u re 1 0.2 - Fonctionnement en mode push-pull ..: c �"O c: :::l � '-' '-' R �0 :; "' c:0 c: .S:ü "O:::l12 A B c: R o. 2 B:::l rS -00 c: :::l a @ D F i g u re 1 0.3 - Conditionnement 33 www.biblio-scientifique.net 10 • Capteur ind uctif à réluctance variable Donner l'expression de la tension de mesure en fonction de wVg , Z1 et Z2 puis w Vg, Li et L2 . l(IJN Montrer que le pont est équilibré pour Lix = O. lle!:I Calculer la variation Li Vmes de la tension de mesure pour Lix * 0 par rapport à sa valeur pour Lix = O. llel1 Calculer la sensibilité globale S mes du système de mesure. On donne l= = 2 mm , Vg = l O V , µr = 400. llelltl La perméabilité relative r n'est pas une constante mais dépend de la fré­ µ première approximation on peut considérer que quence du champ magnétique. En l'on a : 1 (10.1) = µ, M �l +(�f rµ représente la perméabilité relative statique et la fréquence de coupure. Calculer la fréquence maximale de l'alimentation, ! pour que la sensibilité glo­ 6 cm , eo f fe max . bale reste supérieure à S min = 1 ,5 mVhtm . On donne fe = 500 Hz . Corrigé détaillé 1. Étude d u capte u r ---? 1(181 La circulation du champ magnétique H sur la fibre moyenne T s'exprime sim- "'O g::J o plement à l'aide du théorème d' Ampère par : (V) ...... 0 N J---?H · dl = NI @ ....... .c ·;:::Ol >: a. 8 r ( 10.2) -+ llef:.I Puisque l'on néglige les fuites de flux, le circuit magnétique de fer doux ---? constitue un tube de champ. B étant à flux conservatif, on a : <P = J B dS = ste. · c Section du circuit magnétique 34 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 0 B dS Comme le long de chaque fibre du circuit magnétique et sont colinéaires et comme la section du circuit magnétique est constante, on en déduit que B est constant dans le circuit magnétique et l'entrefer. Soit en utilisant les perméabilités magnétiques de l'air et du fer doux : --7 B = --7 µoHair = --7 µHjer = --7 µrµoHjer (10.3) 11111 Le flux magnétique au travers de la bobine est donné par : if> = I B. dS = = LI NBS (10.4) Bobine 2 IH · dl= IH · dl+ IH·dl= Nl 11111 La circulation (1 0. ) le long du contour r peut encore s'écrire : r,air r,fer r ( 10.5) Ce qui devient en utilisant les résultats (10.3) et ( 10.4) : B B N2 BS -l+ -2e = -- L µ µo On en déduit l'expression de l ' inductance de la bobine : N2S L = -l + ­2e µ (10.6) µo 11111 La bobine étant alimentée en sinusoïdal, l'impédance de la bobine en régime "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l >-: a. 0 u Z(e) = jL(e)w permanent s'écrit en négligeant la résistance du fil. Le capteur de dé­ placement réalisé en faisant varier l'entrefer a une impédance qui est une fonction non linéaire de e. � ""' " = "' " " '" ·C0 = 0 "' " e I l . Mo ntage p u s h -pu l l 1111#1 La tension différentielle de mesure est donnée par : " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � ( 1 0.7) = � -0 0 " = Ci @ 11114 Pour Lix = = 0, L 1 L2 soit Vmes = 0, le pont est équilibré. 35 www.biblio-scientifique.net 10 • Capteur ind uctif à réluctance variable lle!:I Pour �x * 0, le fonctionnement étant push-pull, on a L 1 = L(eo - �x) et Li = L(e0 + �x). En utilisant (10.6), (10.7) devient : Vmes(�x * 0) = Vmes (�x = 0) + �Vmes N2 S N2 S ---- ---N2S -- ---N2S -------l l 2(eo + �x) -+ Vg �X µ µo V9 cos wt cos wt = l 2 - + 2e0 + l 2(eo + �x) / 2(eo - �x) µr -+ -+ µo µ µ -+ µ 2(eo - �x) µo La tension de mesure étant proportionnelle au déplacement, la mesure est linéaire. lleJ#J La sensibilité de la mesure est donnée par : S mes = 1 l - + 2e0 µr V9 = 2,41 mV/µm llellt) Compte tenu du comportement de type premier ordre de la perméabilité ma­ gnétique, la sensibilité en régime dynamique s'écrit : 1 Smes = f)2 �-(- µro 1+ fc Pour garder une sensibilité supérieure à doit rester inférieure à : "'O0 c::J 0 (V) .... 0 N fmax @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 = f�· 1 - S min + 2eo = 1 , 5 mV/µm, la fréquence d'utilisation [ (-- )]2 S mm ro µ f Vg Vg - 2eo . - 1 = 8,9 kHz 36 www.biblio-scientifique.net l l EX E RCIC E : J a u g e d 'exte n s o m é t r i e ca pac i t i ve h a u te te m pé rat u re Énoncé On cherche à enregistrer les déformations d'une structure pour laquelle, pour des raisons de températures élevées, l' utilisation de jauges d'extensométrie collées clas­ siques est impossible. On se propose d'étudier la jauge capacitive de la figure 1 1 . 1 . L Fixation vissée Fig u re 1 1 . 1 - Principe de la jauge capacitive hautes températures "'O0 c:J 0 (V) r-l 0 N © ..cOl ï::::>a. 0 u .µ C1 2 C et 1 3 sché­ Les trois métallisations forment les armatures de deux condensateurs matisés figure 1 1 . 2. L' aire des armatures est S , leur longueur l et la distance entre les armatures e. La permittivité électrique de l'air environnant est considérée égale à :�.= celle du vide, t:o. "Oc:: ::l l rJ ]8 c::0 c:: (2) (3 ) .S: u "O::l§. X 2 B::l � l -00 c:: 0::l Fig u re 1 1 .2 - Armatures des condensateurs de la jauge @ <.) ::l "' c:: 37 www.biblio-scientifique.net 11 • Jauge d'extensométrie capacitive haute température 1111 À l'origine l'armature (1) se trouve au milieu des armatures (2) et (3). Don­ ner l'expression des capacités des condensateurs C 1 2 et C 1 3 ainsi formés. On note Co = soS/2e. 111"1 On considère que la distance entre le milieu de l'armature (1) et la fixation vissée est initialement de longueur L. La structure subit une contrainte cr orientée selon la direction x. En déduire le déplacement �x de l'armature (1) par rapport aux armatures (2) et (3) si le matériau de la structure est de module d'Young E. 1111 Donner alors les nouvelles expressions de C 1 2 et C 1 3 en fonction de �L, l et C0. 1111 Les condensateurs sont montés en demi-pont push-pull avec deux résistances fixes selon le schéma de la figure 1 1 .3. Le pont est alimenté en alternatif par une source de tension de fem V9, de pulsation w9 et d'impédance interne négligeable. Donner l'expression de la tension de mesure en fonction de C1 2 , C 13 et des caracté­ ristiques de l'alimentation puis de �L, l et des caractéristiques de l'alimentation. Cu vg I R V,nes c12 Fig u re R 1 1 .3 - Alimentation du capteur 1111 Face à quel type de modulation se trouve-t-on ? Y-a-t'il ou non conservation "'O0 c::J 0 (V) de la porteuse ? De façon à disposer d'une tension Vmes référencée à la masse, la tension Vmes du pont de la figure 1 1. 3 est utilisée comme entrée d'un amplificateur d'instrumentation de gain unité. À la sortie de ce dernier, on dispose d'une tension Vmes référencée à la masse. 0 N ...... @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 llld Pour récupérer l'information intéressante, on se propose de réaliser la détec­ tion synchrone de la figure 1 1 .4 où k est une constante, Vref une tension continue constante et où toutes les tensions sont référencées à la masse. 38 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 1 vmes kVg X V,4 COSW / z z y Filtre passe-bas V XY W c << w g �· F i g u re 1 1 .4 - Détection synchrone Déterminer l'expression de la tension de sortie Vs du montage. 11*4 On s'intéresse maintenant aux effets parasites et premièrement à l'effet de la température au travers de la dilatation thermique des matériaux. Comment réaliser le support des armatures (2) et (3) pour que la dilatation thermique du support et de la structure n'entraîne pas de déplacement parasite ? L1x 111:1 Expliquer pourquoi la dilatation thermique du support ayant pour effet d'en­ e e=1 2 e23 traîner une variation de l'épaisseur des condensateurs est sans effet sur la mesure. 111#1 Expliquer comment on peut s'affranchir d'un défaut de fabrication qui don­ nerait des épaisseurs différentes toujours avoir Vmes = 0 pour L1L et O. aux condensateurs C1 2 C1 3 et de façon à 111lt) En supposant tous les problèmes précédents réglés, quelle source d'erreur subsiste sur la mesure de la valeur de la contrainte a-. Corrigé détaillé "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u 1111 Les capacités des deux condensateurs plans formés par les métallisations � sont : ""' " = "' " " '" - ·C0 = 0 "' " " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � llf.j La déformation c'est-à-dire : = � -0 0 " = Ci @ C1 2 = soS2e = Co C13 = soS2e = Co s;; s;; = - = L1x et - L1L/L de la structure est donnée par la loi de Hooke, L1L L aE Comme la jauge est solidaire de la structure a-L/E. L1x = ( 1 1 . 1) L1L, d'où d'après ( 1 1 . 1 ), 39 www.biblio-scientifique.net 11 • Jauge d'extensométrie capacitive haute température 1111 Considérant ce déplacement, on a alors : C1 2 = ( t:o S � e l 2 ( _ ) !J.L = 2!J.L C13 = Co 1 + 1 - ) ( t:oS l 2e _ ) ( 2!J.L = Co l l _ 2!J.L l ) ( 1 1 .2) 1111 La tension de mesure instantanée est donnée par : 1 Vmes U) = Re ( 1 1 jC 1 2 wg --- ) + 1 jC 1 3wg --- 2 Vg exp jwgt ( 1 1 .3) - C 1 3 - C 1 2 Vg - COS Wgt C 1. 3 + C .1 2 2 En utilisant ( 1 1 .2), ( 1 1 .3) devient : ( 1 1 .4) 1111 Le signal donné par ( 1 1 .4) se trouve sous forme de modulation d' amplitude (modulation de l'amplitude du signal Vg cos wgt par l'évolution temporelle de !J.L/l) sans conservation de la porteuse (absence de Wg dans le spectre de Vmes). llld Le signal de sortie V(t) du multiplieur est donné par : V(t) = "'O0 c::J 0 (V) VmesU)kVg !J.L VJ !J.L VJ 1 cos wg t = -k- cos2 Wgt = -kl Vref l Vref Vref + cos 2wgt 2 ( 1 1 .5) Le passage dans le filtre passe-bas supprime la composante haute-fréquence de ( 1 1 .5) et on obtient : !J.L VJ ( 1 1 .6) Vs (t) = -k21 Vref 0 N ...... @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 La détection synchrone permet donc de récupérer le signal utile, à savoir un signal directement proportionnel au mesurande a- au travers de !J.L qui lui est proportionnel. llM Pour que la dilatation thermique du support et de la structure n'entraîne pas de déplacement !!lx parasite, il suffit que les deux matériaux aient même coefficient de dilatation linéique. Si possible, le capteur sera donc construit dans le même matériau que la structure porteuse. 40 www.biblio-scientifique.net Exercice 111:1 11 e n'intervenant pas dans l'expression de Vmes(t) s'il est le même pour les deux condensateurs, l'effet de la dilatation thermique dans la direction verticale est sans influence sur la qualité de la mesure. lilljJ Si les épaisseurs e 12 et e23 sont différentes, il suffit de rééquilibrer le pont R� R� = ( C 12C+13C 13 R R+�R ) 0 0 = ( e 13e12+ e 12 - R0 R+�R0 ) R'0 e12 R'0 + R"0 pour .6.x = 0 en utilisant des résistances résistances de telle façon que l'on ait : R Vmes (f) et - / ' Soit : de valeurs différentes à la place des 11 Vg COS Wgf " Vg cos Wgf =0 En revanche, ceci ne corrige pas complètement le défaut puisque pour .6.x -::f:. 0 on a : ( 2.6.L 1 C 12 = 2eoS l e12 - Ce qui entraîne : Vmes(t) "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ( ( - ) et ( eoS 1 + 2.6.L C13 = 2en l -- ) -- = C 12C+1 3C 13 - R R'+ORo Vg COS Wgf o e12 e12 (1 + 2.6.L/l) = e13 (1 - 2.6.L/l) + e 12 ( 1 + 2.6.L/l) e 13 + e 12 = 4e 12 e 13 2 e12.6.L/- le 13 Vg cos Wgf (e1 2 + e n) 1 + 2 e1 2 + e13 .6.L/l / 11 ) ) Vg COS Wgf = La différence d'épaisseur entraîne une non-linéarité de la mesure. 0 llllt) Si tous les problèmes précédents sont résolus, la tension de sortie du condi­ .3 ü tionneur du signal est Vs(t) = kV� .6.L/2lVref . Celle-ci est proportionnelle au déplace­ 2 ment engendré par la contrainte a- puisque l'on a .6.L/L a-JE. Le problème qui se 2 � pose vient du fait que le module d'Young du matériau de la structure dépend en fait � -0 de la température. Si on désire effectuer une mesure précise de la contrainte, il faudra 0 Ci mesurer cette température. @ "' " " " = = ""' o.. = " = 41 www.biblio-scientifique.net 12 EX E RCIC E : C h o i x d ' u n capte u r d e te m pé rat u re Énoncé On désire mesurer la température à l'intérieur d'une enceinte soumise à de brusques variations de température (c'est en fait la chambre de com­ bustion d'un moteur à explosion monocylindre schématisé figure 12.1 ). La mesure de la température est effectuée par un thermocouple. Capteur ' Enceinte �ap Ir---� Extérieur T,,xt Fig u re 1 2. 1 - Principe de la mesure La quantité de chaleur passant pendant dt d'un milieu 2 à la température T2 à un milieu 1 à la température T1 est donnée en première approximation par : (12. 1 ) K représente le coefficient d'échange calorifique entre le milieu 1 et le milieu 2. On donne : Text : La température supposée constante du milieu extérieur à l 'enceinte (en K). Tcap : La température du capteur (en K). Tenc : La température du milieu intérieur à l'enceinte (en K) . Kext : Le coefficient d'échange calorifique du capteur avec l'extérieur (en W /K). Kenc : Le coefficient d'échange calorifique du capteur avec l'enceinte (en W /K). M : La masse du capteur (en kg). C : La capacité calorifique du capteur (en J.kg -l .K -l ). "'O0 c::J 0 (V) ...... 0 N @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 itji Établir le bilan énergétique lors d'une variation dTcap de la température du capteur pendant l'intervalle élémentaire de temps dt. 42 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 2 lt...ff-'I On suppose que la température extérieure est constante et on pose : (12.2) Calculer dans le domaine de Laplace la fonction de transfert : Conclure quant au comportement du système. lt..IJ Le moteur tournant à 730 tours/minute, l' évolution de la température à l'in­ térieur de l'enceinte est rapide (explosion du mélange comburant). Choisir le capteur le plus adapté parmi les trois proposés dans le tableau 12. 1 . Tableau 1 2. 1 - Caractéristiques des thermocouples M (kg) C (J/kg.K) Kext (W/K) Kenc (W/K} Thermocouple n ° 1 5 . 1 0-3 8360 9 36 Thermocouple n ° 2 o,5. 1 0-3 3230 3 1 75 Thermocouple n ° 3 2 . 1 0-3 5210 8 61 lt.tl On fait l'approximation grossière que la température dans l'enceinte varie si­ nusoïdalement, la température extérieure restant contante et égale à 20 °C. Calculer les valeurs extrêmes de la température de l'enceinte sachant que les valeurs extrêmes données par le capteur sont 288,8 ° C et 960,6 ° C. On rappelle qu'à une température de 0 °C correspond une température absolue de 273 , 1 5 K . "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N ....... ..c @ ·;:::O'l : >a. 0 u Corrigé détaillé �""' " "' " " '" = ·C0 ="' " 0" " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " ltji Tenant compte de (12. 1), le bilan thermique s'écrit pour des températures ex­ primées en Kelvin : MCdTcap = Kenc(Tenc - Tcap)dt - Kext(Tcap - Text )dt lt...ff-'I Cette égalité peut être réécrite en tenant compte du fait que la température extérieure est constante et en utilisant ( 1 2.2) : (1 2.3) = Ci @ 43 www.biblio-scientifique.net 12 • Choix d'un capteur de température En calculant la transformée de Laplace de ( 12.3) où p désigne la variable du domaine de Laplace, on obtient la fonction de transfert : liTcap( Kenc liTenc( Kext Kenc Kext Ke c n p) p) + 1 MC + l+ p ( 12.4) Cette forme est représentative d'un comportement passe-bas du premier ordre. lt..11 Le moteur tourne à 730 tours/mn ce qui correspond à une fréquence f de 1 2 , 1 7 Hz. En l'absence d'autre information ou critère de choix, il est naturel de choisir le ther­ mocouple le plus à même de suivre l'évolution temporelle de la température à l'inté­ rieur de l'enceinte c'est-à-dire celui présentant la fréquence de coupure la plus élevée. Cette fréquence de coupure est donnée d'après ( 12.4) par : fc Kext Kenc = 1 2n + MC La tableau 12.2 donne les valeurs des fréquences de coupure des trois thermocouples proposés. Tableau 1 2.2- Fréquences de coupure 1 /c(Hz ) Thermocouple n ° 1 0, 1 7 Thermocouple n ° 2 1 7,54 Thermocouple n° 3 1 ,05 Compte tenu de ce qui précède, le choix se porte donc sur le thermocouple n° 2. ltal Pour une évolution sinusoïdale de la température à l'intérieur de l'enceinte, ( 1 2.4) permet d'établir l' expression de la transmittance qui s'écrit : -00 c::J 0 (V) G= 0 N ...... fc f liTcap Kenc liTenc Kext Kenc ...j -­ 1 l + (J/Jc_.)2 + ( 1 2.5) Avec = 17,54 Hz et = 12, 17 Hz , on tire G = 0,81. La température de l'enceinte est alors donnée à partir de ( 1 2.2) et ( 1 2.5) par : @ .1:: Ol ·;:::: � Tenc 8 = �-� + G Text Cette dernière expression permet de calculer les températures extrêmes prises par l'intérieur de l' enceinte à partir des températures données par le thermocouple, à sa­ v01r : = 353 °C = 1 1 84 °C et Tenc,max Tenc,min 44 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : U t i l i sat i o n d e s j a u g e s d 'exte n s o m é t r i e s u r u n co r p s d 'é p re u ve cyl i n d r i q u e 1 3 Énoncé Considérons le corps d'épreuve cylindrique de la figure 1 3 . 1 , de rayon r et de hau­ teur h. Le cylindre est constitué d'un matériau de module d'Young E et de coefficient de Poisson v. Sur ce cylindre, on a collé huit jauges d' extensométrie selon la géomé­ trie représentée figure 1 3 . 1 . On suppose le collage parfait et les jauges idéales. J1' "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ......cO'l... ·;:::>-: a. u0 Fig u re 1 3. 1 - Le corps d'épreuve équipé des jauges ..: � Les jauges sont montées en pont selon le schéma de la figure 13.2. "O c::::l '-' '-' J� � �0 :; "' c:0 c: .S:ü 12 2 B:::l rS -00 c: a:::l @ c: :::l "O o. � .h_ .li .li' vmes J; � .'4 J� Fig u re 1 3.2 - Circuit de conditionnement 45 www.biblio-scientifique.net 13 • Utilisation des jauges d'extensométrie sur u n corps d'épreuve cylindrique 101 Calculer les valeurs des différentes résistances du pont puis la tension de me­ sure différentielle. Les huit jauges sont supposées identiques de même résistance au repos R = 1 00 .Q et de même facteur de jauge K = 2. lft.j Le cylindre de 300 mm2 de section est en acier (E 2 · 105 N/mm2 et v = 0,3). � On se limite à une contrainte crmax = tique). Calculer la masse qu'il faut poser sur le cylindre pour exercer cette contrainte. 10-4 E (de l'ordre du dixième de la limite élas­ ldl Calculer la variation maximale de la résistance d'une jauge. On désire effectuer des mesures à 1 % près, montrer que dans ces conditions l'erreur de linéarité de la tension de mesure peut être négligée. 101 Montrer simplement que le type de montage utilisé permet d'éviter des pro­ blèmes liés à une contrainte non parfaitement axiale. Corrigé détaillé 101 Le cylindre est de hauteur h et de périmètre p 2nr. La contrainte appliquée = est selon l' axe du cylindre si bien que, suivant la loi de Hooke, !3.h/h = t:;; = cr/E et !3.p/p = !3.r/r = ê.L = -vcr/E. Les jauges, de longueur l et de résistance R au repos, sont collées sur le cylindre qui impose ses déformations (co11age parfait). Chaque jauge n'est sensible qu'aux variations de sa longueur (jauge idéale). On a donc, pour les jauges 11 , Ji , h et J� , !3.l/l = !3.h/h = t:;; et pour les jauges h , J�, 14 et J�, !3.l/l = !3.p/p = t:.L = -vt:11• D'où : Ri = 2R(l + !3.R/R) = 2R(l + K!3.l/l) = 2R(l + Kt:;;) = R3 "'O0 c::J 0 (V) R2 = 2R(l + !3.R/R) = 2R(l + K!3.l/l) = 2R(l - vKt:;;) = R4 0 N ...... Ce qui conduit à 1 'expression de la tension de mesure : @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 (13.1) = 300mm 2 , Fmax force correspond au poids d'une masse d'environ 600 kg. lft.j On a crmax = 10-4E d'où avec S = 10-4ES = 6 000 N. La 1111 À cette contrainte maximale correspond une déformation maximale ê// = 10-4 et une variation maximale de la résistance d' une jauge M = KRt:;; 46 www.biblio-scientifique.net = 0,02 n. Exercice 1 3 L'approximation linéaire de Vmes est donnée par : ( 1 3 .2) L'erreur relative de linéarité introduite en utilisant terminer s11 (donc cr) est donnée par : ( 1 3 .2) au lieu de ( 1 3. 1 ) pour dé­ mes mes.Lin mes V -V ----- = -Ks110 - v) V o-4, Pour la valeur maximale de la contrainte, il vient lôVmes/Vmes I 1 ,4. 1 valeur très inférieure à 1 %. Cette erreur est négligeable et on peut se contenter de l'expres­ sion ( 1 3 .2) pour évaluer la valeur de la tension de mesure. '.:::::'. 101 La contrainte n'étant plus axiale, la situation peut être schématisée comme sur la figure 1 3.3 . Contrainte axiale Contrainte non axiale F F cr 11 11111 Répartition de la contrainte selon un diamètre du cylindre "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u F i g u re 1 3.3 - Contrainte axiale et non axiale � ""' " = "' " " '" ·C0 = 0 "' " " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = Chaque résistance du pont est constituée d'un couple de jauges en regard. Au premier ordre, la contrainte supplémentaire subie par une des jauges d'un couple est subie en moins par l ' autre jauge. On peut donc écrire dans le cas d'une contrainte non-axiale : Ri = (R + !::.R + œR) + (R + M - œR) = 2(R + M) L'expression des résistances du pont est identique à celle obtenue dans le cas d'une contrainte purement axiale. Au premier ordre, il n'y a donc pas d'effet sur la tension de mesure. � -0 0 " = Ci @ 47 www.biblio-scientifique.net 14 EX E RCIC E : Effet d e l a ré s i sta n ce d e s fi l s d e l i a i s o n d u ca pte u r d a n s u n po n t d e Wh eatsto n e Énoncé On considère une résistance thermométrique Ptl OO de résistance Rc(T) = Ro( l + œT) où T représente la température en °C, Ro = 1 00 Q la résistance à 0 °C et œ = 3,85 . 10-3 0c- 1 le coefficient de température. Cette résistance est placée dans un pont de Wheatstone schématisé figure 14.1 . Le pont est alimenté par une source de tension de force électromotrice Vg et de résis­ tance interne négligeable. RI R V,nes Re vg R F i g u re 1 4. l - Montage en pont du capteur "'O0 c::J 0 (V) IGll On se limite à l'étendue de mesure [O °C ; 1 00 °C] et on équilibre le pont 0 N pour la valeur To = 50 °C de la température pour laquelle on pose Rc(To) = Rco· L'impédance des fils de liaison liant le capteur au reste du montage est totalement négligeable (le capteur est physiquement proche du pont). Déterminer la valeur de Ri qui permet d'équilibrer le pont. ...... @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 IGf.j On limite le courant I dans la Ptl OO à moins de 5 mA afin de pouvoir négliger l' auto échauffement. Fixer la valeur maximale de la tension d' alimentation permet­ tant cette limitation du courant. 48 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 4 IGIJ Établir l'expression de la tension différentielle de mesure pour une valeur quelconque de la température pour laquelle on posera : Vmes (T) = VmesCTo + fl T) = Vmes,O + 11Vmes En déduire une approximation au premier ordre en flRc/Rco de la sensibilité de la mesure S mes = /1 Vmes/flT . IGll Le capteur est maintenant mis en service mais à grande distance de l'élec­ tronique constituée par le pont, de son alimentation et du système de mesure de la tension différentieIIe. La résistance des fils de liaison du capteur à son électronique n'est plus négligeable. Celle-ci est modélisée selon la figure 1 4.2 par deux résistances supplémentaires r. R V,,,es,2 R F i g u re 1 4.2 - Montage en pont, capteur éloigné "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u Calculer la tension de déséquilibre Vmes, 2r du pont dans ce cas puis l'erreur ôV2r entraînée par les fils de liaison. Calculer la valeur maximale de r pour que l'erreur introduite sur la mesure d'une température reste inférieure à ôT = 0,2 °C. On suppose que le fil de liaison est un fil de cuivre de diamètre d = 0,5 mm et de résistivité 1 ,72. 10 - 8 n.m. Calculer la � longueur des fils de liaison qui correspondent à cette résistance. ""' " = "' " " '" ·C0 Corrigé détaillé = 0 "' " " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 IGll D' après le montage de la figure 14. 1 , la tension différentielle de mesure est donnée par : ( 14. 1 ) " = Ci @ 49 www.biblio-scientifique.net 14 • Effet de la résistance des fi ls de liaison du capteur dans un pont de Wheatstone Pour une température T0 = 50 °C on a : Rc(To) = Rco = Ro( l + 3,85 . 10-3 · 50) = 1 19,25 Q À l'équilibre du pont, on doit avoir Vme/To) = Vmes,O = 0 soit Ri = Rco· llf.j Le courant maximal circulant dans la Ptl OO est donné pour la valeur minimale de la résistance de la branche potentiométrique la contenant, soit Rco + Ro = 219,25 Q à T = 0 °C. Pour limiter le courant T à moins de 5 mA, il suffit de fixer à Vg < l , 1 0 V. lllU La tension de déséquilibre du pont s'écrit : Comme Mc = RoœtiT avec tiT = T - To, on peut encore écrire : Vmes = ti Vmes = œRotiT -( --) Vg 4Rco 1 œRotiT l+ 2Rco En première approximation, on a avec Vg = 1 , 1 0 V : S mes = tiVmes ti T � œRo -- Vg = 0,88 mv.c- J 4Rco (14.2) 1111 On prend maintenant en compte la résistance des fils de liaison. La tension de déséquilibre du pont est donnée par ( 14. 1 ) dans laquelle Re = Rco + tiRc doit être remplacée par Re = Rco + 2r + Mc, soit : "'O0 c::J 0 (V) .... Vmes' 2r = 0 N @ 2r + tiRc (Re + 2r) - Rco Vg Vg -= ((Re + 2r) + Rco) 2 (2Rco + 2r + tiRc) 2 Ceci conduit à une erreur donnée par : ......cOl... ·;:::>: a. u0 ( ôV2r = Vmes, 2r - Vmes 2r + tiRc tiRc = 2Rco + 2r + Mc 2Rco + tiRc 1 4rRco (2Rco + fiRc)2 2r l+ 2Rco + Mc ( 50 www.biblio-scientifique.net ) ) Vg 2 Vg 2 Exercice 1 4 Cette erreur est d'autant plus grande que l'on se rapproche de la borne inférieure de l'étendue de mesure, à savoir 0 °C. Le maximum de cette erreur est donc donné pour Mc = Ro - Rco, soit : oV2r, max - (Rco4rRcoRo)2 + ( ) 1 l + Vg � 2 2r Rco + Ro ( 14. 3) L'erreur maximale acceptée oT restant faible, la sensibilité du dispositif est proche de celle donnée par (1 4.2). On a donc c5V2r, max S mes ÔT. La valeur maximale de r est obtenue en inversant (14.3) : :::::: r= ( (Rco + Ro)2 S mesôT 2 Rco Vg - (Rco + Ro)S mes ôT ) = 32,5 mn À cette valeur de résistance des fils de liaison, correspond une longueur donnée par l = nd2 r/4p = 37 cm. "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ......cO'l... ·;:::>: a. u0 " = "' " " '" ·C0 § " 0 " " .3 ü= 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 51 www.biblio-scientifique.net 1 5 EX E RCIC E : Effet d ' u n m a u va i s a p pa r i e m e n t s u r u n p o n t à q u at re ca pte u rs ré s i s t i fs Énoncé On considère le pont de la figure 1 5 . 1 où les quatre résistances sont des jauges d'extensomé­ trie à trame pelliculaire collées sur une structure porteuse. R2 vg mes i..jl Donner l'expression de V en fonction de Vg, et On supposera que la ré­ sistance interne de la source de tension est totalement négligeable. R1 , R2 , R3 R4. F i g u re RI vmes R3 R4 1 5 . 1 - Montage en pont ''*A En l'absence de déformation de la structure sur laquelle les jauges sont col­ lées, les quatre jauges présentent une résistance de la tension de mesure. valeur, notée V meso, Ro = 120 n. Calculer dans ce cas la 1..10 Selon la façon dont elles sont collées sur la structure, chaque jauge enregistre une déformation ±E lorsque la structure porteuse est soumise à une contrainte. Don­ ner les expressions de et en fonction de et de variation des résis­ tances par rapport à la valeur de référence provoquée par les déformations ±E. On note K le facteur de jauge. "'O0 c::J 0 (V) R 1 , R2 , R3 R4 Ri 0 N ...... Ro t:. R , Ro mes R4 i.."11 En déduire 1' expression de 1 'évolution /1 Vmes de V @ aux déformations. ......cOl... ·;:::>: a. u0 , On change une des jauges défectueuses, ce sera ....,. par rapport à VmesO due (les autres étant inchan­ gées). Malheureusement, celle-ci présente une résistance au repos non plus égale à son facteur de jauge restant égal à K. mais à Donner la nouvelle valeur de la tension de mesure (au repos) que l'on notera uo. Pour alléger l' écriture, on pose r = Ro Ro + r, aR0. 52 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 5 l..id La structure porteuse subit de nouveau une contrainte entraînant une déforma­ tion des jauges. En posant k = Ks, calculer la nouvelle expression de la tension de mesure notée v;nes en fonction de k, et Vg. a l..ti Montrer que ce résultat peut se mettre sous la forme de la somme de l'ex­ pression de la tension Vmes de la question 4, de uo et d'un troisième terme, noté A, fonction de k, et Vg. k et étant faibles, donner une expression approchée a de A . a a l..f:I Calculer l'erreur ôV = V�es - Vmes commise sur la mesure. l.."IJ Identifier les deux termes constituant l'erreur précédente. Pour r 1 0-2 R0, Vg = 5 V et M = 10-3 R, calculer numériquement les trois termes de V�es et conclure quant à la correction à apporter. = Corrigé détaillé (15.1) ''*.J Au repos comme toutes les jauges sont de résistance Ro, on a immédiatement VmesO = O. Le pont est équilibré au repos. l.."IJ Pour un push-pull en pont entier une des deux possibilités est : "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ..cO'l ·;:::>-: a. u0 ....... R l = Ro + !sR R2 = Ro - !sR R3 = Ro + !sR R4 = Ro - !sR par définition du coefficient de jauge, !sR = KsR0. L'autre possibilité consiste a ..�: avec "Oc: inverser tous les signes devant les !sR. :::l '-''-' l.."11 On en déduit : �0 :; !sR (Ro + !sR)2 - (Ro - !sR)2 c:0 = Vg lsVmes = Vmes - VmesO = Vmes = Vg c: Ro 4R02 .S:ü "O:::l12 ....,. au repos. Il vient immédiatement en utilisant le 1 Ici R4 = Ro + r = Ro(I 2 résultat ( 15.1) : B:::l rS RÜ - Ro(Ro r) -00 rRo u0 c::::l -Vg Vg - Vg a 2Ro(2Ro + r) 2(2 2Ro(2Ro + r) @ � "' c: + a) o. + a+a) 53 www.biblio-scientifique.net 15 Effet d'un mauvais appariement sur un pont à quatre capteurs résistifs • l..Jd Sous une contrainte appliquée à la structure porteuse provoquant une défor­ l +a). !ir = Ra(l = Ra+ r R4 -k)( (15.1), , (Ra + !1R)2 -(Ra -!iR)(Ra + r - !iR) r !ir) 2Ra(2Ra l -k)2 + k)2 -(1 -k)2 (1 4k -a( 2 (2 + a(l - k)) 2 (2 + a(l -k)) ua ..fi - ua = 24k(2-a(la(l-k)- k))2 -k + 2(2a = ka2 (2 k(2 + a) -a = (15.2) a)(2 a(l -k)) (15.2), a a = ka-(2k ua ua + a. ..j:I ua, r .. a, a, !iR k, r= 5,010-2Ra,ua = -12,10-43Ra = 5-7,4 a a 10-= -5,2 0k.10-510-3 , = -12,4 3 k 15. 2 ua 2.102.10-3 a 10-2 . M mation des jauges, on a l'expression on obtient : Vmes = = l . Vg + (1 + a) En posant V�es = Vmes + A En reportant dans V'mes - Vmes A Vg + A, A s'écrit : Vg + Tous calculs faits, on trouve : Vg = + En ne gardant que la partie principale de A, soit : + Vg + a) Vg on obtient la valeur approchée a)Vg 8 L'erreur commise sur la mesure est donc ôV = V�es - Vmes = l Vg +A de � l "IJ L'erreur est la somme de deux termes. Le premier, ne dépendant que de dépendant de via peut être via est l'erreur de zéro. Le deuxième terme, qualifié d'erreur de sensibilité. Avec = et Vg = V , soit = et = il vient M = mV, mV, v:nes mV. On re­ mV et Vmes marque que l' erreur ôV = V�es - Vmes mV est essentiellement due à l'erreur de zéro, c'est donc cette dernière qui doit être corrigée. La figure présente les tensions Vmes ' et v:nes pour variant de à pour = "'O0 c::J 0 (V) 0 N ...... 10 @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 mV V.ne 0 F i g u re 1 5.2 - Effet d'un mauvais appariement des jauges sur la tension de mesure -1 0 -20 -2 -1 0 Uo 1 54 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Effet d e l a ré s i sta n ce d e s fi l s d e l i a i so n d ' u n ca pte u r ré s i s t i f a l i m e n té e n c o u ra n t 16 Énoncé On considère une résistance thermométrique Ptl OO de résistance Rc(T) = Ro(l + œT) où T représente la température en °C, Ro = 100 Q la résistance à 0 °C et œ = 3,85 . 1 0-3 0c- 1 le coefficient de température. On dispose, pour alimenter cette ré­ sistance thermométrique, d'une carte de condition­ nement fournissant une sortie de courant parfaite calibrée à I = mA, les deux entrées différentielles d'un amplificateur d'instrumentation, la borne de sortie de ce dernier et une borne de masse. La ré­ sistance ajustable R permet de faire varier le gain G de l'amplificateur et les impédances d' entrée de ce dernier sont considérées infinies. La carte est sché­ matisée figure 16. 1 . 5 "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u � ""' " = F i g u re 1 6. 1 - Carte de conditionnement IGll La PtlOO est directement connectée entre à la source de courant et la masse et ses bornes sont reliées à l'amplificateur d'instrumentation (voir figure 1 6.2). Les fils ·C0 de liaison sont de longueur négligeable . = 0 Déterminer l' expression de la tension de mesure Vmes et calculer la sensibilité de la mesure S mes = � Vmesl�T. .3 "' " " '" "' " " " ü = ""' 2 o.. 2 � = Quel doit être le réglage du gain de l' amplificateur d'instrumentation pour obtenir une sensibilité S mes = 0, 1 V.°C- I ? � -0 0 " = Ci @ 55 www.biblio-scientifique.net 16 • Effet de la résistance des fi l s de l iaison d'un capteur résistif alimenté en courant V mes Figure 1 6.2 - Montage 2 - G(e+ - e- - ) fils de résistance négligeable luf.J La Ptl OO est maintenant mise en service à distance de la carte et on doit donc tenir compte de la résistance des fils de liaison. Ces fils de liaison sont des fils de cuivre de résistivité p = n.m, de diamètre d = mm et de longueur l = m. Chaque fil est modélisé par sa résistance r (voir figure 5 1,72.10-8 0,516.3). Vmes - G( e + - "'O0 c::J 0 (V) ...... 0 N Figure V mes, · 2 ôV2 = Vmes,2 - Vmes oT2 @ ....... .c ·;:::Ol >: a. u0 1 6.3 - Montage 2 -) e fils réels Déterminer la nouvelle tension de mesure En déduire l'erreur sur la tension de mesure introduite par la résistance des fils de liaison. Que11e est alors l 'erreur engendrée sur la mesure de la température ? ICll Pour pa11ier cette erreur, on modifie le montage pour obtenir un montage clas­ sique dit à quatre fils : deux fils amenant le courant à la résistance thermométrique et deux fils servant à la prise de tension aux bornes de celle-ci (voir figure 16.4). 56 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 6 r' r r r' F i g u re 1 6.4 - Montage 4 fils Déterminer la nouvelle tension de mesure Vmes,4 et conclure. Corrigé détaillé 11511 Les impédances d'entrée de l'amplificateur d'instrumentation peuvent être considérées comme infinies. D'après le montage de la figure 16.2, le courant circu­ lant dans la Ptl OO est le courant I délivré par la source. La tension de mesure s'écrit donc simplement : Vmes = G(e+ - e- ) = GRc(T)I = GRol(l + aT) (16.1) /1 La sensibilité de l a mesure est donnée par S mes = Vmes/11T = GRola. Pour obtenir S mes = 0, 1 V.0c- 1 , il suffit de régler le gain de l 'amplificateur à G = 5 1 ,95. "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u l[!t) La tension de mesure s'écrit maintenant : Vmes, 2 = G(e+ - e- ) = G(Rc(T) + 2r)l = Gl (Ro(l + aT) � + 2r) (1 6 2) . La résistance des fils de liaison introduit donc une erreur sur la tension de mesure donnée par c5V2 = Vmes,2 - Vmes = Gl2r. La résistance des fils est donnée par la loi ·C0 d'Ohm, soit r = pl/S = 438 mQ. L'erreur commise sur la tension de mesure est donc = 0 de oV2 = 228 mV, ce qui correspond à une erreur commise sur la température donnée par ôT2 = ôV2/S mes = 2,28 °C. .3 ""' " = "' " " '" "' " " " ü = ""' 2 o.. 2 � i(;IJ Les impédances d'entrée de l'amplificateur étant infinies, on a immédiate- ment : Vmes,4 = G(e+ - e- ) = GRc(T)l = GRol( l + aT) -0 0 On retrouve un résultat identique à ( 1 6. l ). La longueur des fils de liaisons ne joue Ci @ plus aucun rôle et ne perturbe donc plus la mesure. = � " = 57 www.biblio-scientifique.net 1 7 EX E RCIC E : Éta l o n n a g e d i rect Éva l u at i o n d e s d i ffé re n t s type s d 'e r re u rs @ Énoncé On réalise l'étalonnage d'une balance. Le corps d' épreuve et les capteurs qui ne sont pas décrits ici permettent une charge maximale de 1 00 g. Le plateau de la balance a une masse supposée exacte de 50 g, si bien que la portée maximale utile est réduite à 50 g. La tension de mesure V analogique délivrée par 1' électronique de conditionnement des capteurs est lue sur un microvoltmètre de précision suffisante. On dispose de masses étalons et on réalise dix séries différentes de mesures en aug­ mentant la charge ou en la diminuant. Les résultats sont donnés dans le tableau où la tension de mesure V en volt est donnée pour différentes charges (en gramme) du plateau de la balance, les symboles î ou L indiquent un cycle de mesures respec­ tivement à charge croissante ou décroissante. mes 17.1 mes Tableau 1 7. 1 - Tension de mesure en fonction de la charge de la balance (hors plateau) "'O0 c::J 0 (V) Série 1 @ Série 3 Charge du plateau Série 2 0 N ...... Série 4 ......cOl... ·;:::>: a. u0 Série 5 Série 6 Série 7 Série 8 Série 9 Série 10 î î î î î l l l l l 1 ,000 5, 140 5, 1 34 5, 143 5, 144 5, 137 5, 1 3 5 5, 141 5, 142 5, 141 5, 144 1 0,000 6,050 6,050 6,043 6,045 6,044 6,041 6,044 6,030 6,037 6,036 20,000 7,042 7,049 7,039 7,059 7,043 7,025 7,038 7,029 7,046 7,031 30,000 8,045 8,053 8,045 8,043 8,037 8,040 8,038 8,029 8,019 8,036 40,000 9,047 9,033 9,051 9,059 9,038 9,026 9,041 9,040 9,051 9,041 @ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage). 58 www.biblio-scientifique.net 49,000 9,953 9,957 9,929 9,931 9,951 9,929 9,939 9,925 9,935 9,935 Exercice 17 lfjl Déterminer par régression linéaire la meilleure droite au sens des moindres carrés passant par ces points de mesure. On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés, d'équation y = ax + b, passant par N couples de points de mesure (xi, YJ sont donnés par : a= N N N i=l i= I i=l t, -(t, J N I XiYi I Xi I Yi -- -- N xi x En déduire une première estimation de la sensibilité S mes de la mesure. lf#.:.a Évaluer l'erreur d'hystérésis eh que l'on exprimera en pourcentage de l'éten­ due de mesure. Pour cela on tracera les écarts des points expérimentaux à la droite de régression linéaire en ayant soin de distinguer s'ils appartiennent à une série de mesures effectuée à charge croissante ou à charge décroissante. IJ.&1 Évaluer 1' erreur de fi.délité traduisant la dispersion des mesures autour de leurs valeurs moyennes toutes choses égales par ailleurs. En donner la valeur ef en pour­ centage de l'étendue de mesure. "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l : >a. 0 u IJ411 Évaluer l'erreur de linéarité. � ""' " = "' " " '" IMi Déterminer l'erreur de zéro et conclure. IN#J Afin d'obtenir un affichage numérique, la tension de mesure Vmes est passée au travers d'un convertisseur analogique-numérique l ü bits et de tension de référence = Vref = Déterminer l'erreur de résolution. Exprimer sa valeur eq en pourcentage 0 de 'étendue de mesure. ·C0 "' " " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � 5 V. 1 ltb Déterminer 'erreur de précision eP de la balance. 1 = � -0 0 " = Ci @ 59 www.biblio-scientifique.net 17 • Étalonnage direct - Évaluation des différents types d'erreurs Corrigé détaillé 1fi1 (17 . 1 ) permet de déternùner la meilleure droite au sens des moindres carrés passant par les résultats expérimentaux du tableau 17 . 1 . Pour les valeurs de la charge, la masse du plateau est ajoutée à chacune des charges du tableau. Tous calculs faits, on trouve a = 99,97 mV/g et b = 42, 1 8 mV. En prenùère approximation, la sensibilité est donnée par S 99,97 mV/g. mes = lf#"I À partir de ce résultat, on évalue pour les différentes valeurs de charge, l'écart entre les mesures du tableau 17.1 et les valeurs données par la droite des moindres carrés. Les résultats figurent sur la courbe de la figure 17 . 1 . Ecart (mV) +20 >--��� 0 0 0 0 ® 0 +10 0 0 0 * � � § t * 0 0 9 � + � 0 0 * -10 + * -00 c::J 0 (V) * -20 75 0 N ...... @ F i g u re 1 7. 1 - Écarts en mV à la droite de régression, o charge totale croissante et * charge totale décroissante 8 Au vu de ce résultat, il semble qu' à charge donnée il existe une différence entre les mesures faites à charge croissante et celle faites à charge décroissante. Un effet d'hys­ térésis est donc à prendre en compte. Une estimation de l'erreur d'hystérésis peut être donnée en effectuant les moyennes des écarts sur les différentes séries pour chaque charge (élinùnation de la dispersion ou erreur de fidélité). Les résultats sont reportés figure 17 .2. ....... ..c Ol ·;:::: > a. 60 www.biblio-scientifique.net Exercice 17 Moyenne des écarts (mV) 0 0 0 * 0 -6 * 50 75 Charge (g) 100 F i g u re l 7.2 - Moyenne des écarts en mV à la droite de régression, o charge totale croissante et * charge totale décroissante L'écart d'hystérésis est estimé par la plus grande des valeurs, soit -8 mV pour une charge de 30 g du plateau. Compte tenu de l'estimation de la sensibilité, ceci corres­ pond à -8 mV/99,97 mv.g- 1 -0,08 g. En divisant ce résultat par l'étendue de me­ sure E.M., on obtient l'erreur d'hystérésis eh = ±0,08 g/50 g = ±0, 1 6 % de l'étendue de mesure. � ltM On calcule les écarts-types des données à même charge en séparant mesures "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � à charge croissante et mesures à charge décroissante de façon à supprimer l'effet de l'erreur d'hystérésis, cette dernière n' étant pas négligeable. Pour les deux fois cinq groupes de mesures, on obtient les écarts-types (exprimés en mV) regroupés dans le tableau 1 7 .2. ""' " = Tableau "' " " '" 1 7.2 - Écarts-types des mesures ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � î ! Charge du plateau 20,000 30,000 1,000 1 0,000 4,2 3,5 7,7 3,2 5,4 8,4 40,000 49,000 5,4 1 0, 5 1 3,3 8,7 8,7 5,5 L'écart de fidélité est estimé à deux fois la plus grande de ces valeurs, soit environ 27 mV pour une charge de 50 g du plateau. Compte tenu de l'estimation de la sensi­ Ci bilité, ceci correspond à 27 mV/99,97 mv.g- 1 0,27 g. @ = � -0 0 " = � 61 www.biblio-scientifique.net 17 • Étalonnage direct - Évaluation des différents types d'erreurs En divisant ce résultat par l'étendue de mesure E.M., on obtient l'erreur de finesse f = ± 0,27 g/50 g = ± 0,53 % de l'étendue de mesure. e lfAI Pour dissocier l'erreur de linéarité de l'erreur d'hystérésis, cette dernière n'étant pas négligeable, il est nécessaire de traiter séparément les données à charge croissante de celles à charge décroissante. De nouvelles régressions linéaires sur ces données prises séparément donnent ar = 100,54 mV/g et br = 40,42 mV à charge croissante et a1 = 99,90 mV/g et b1 = 43 ,94 mV à charge décroissante. À partir de ces valeurs, on peut déterminer l'écart des valeurs moyennes pour chaque groupe de mesures à charge donnée à la droite de régression correspondant. Ces ré­ sultats, exprimés en mV, sont reportés dans le tableau 17.3. Tableau 1 7.3- Écarts des moyennes aux droites de régression î l 1,000 -3,5 +2,0 1 0,000 +2,8 -0, 1 Charge du plateau 20,000 30,000 +2, 1 -0,2 -2,6 -3.4 40,000 +0,3 +5,3 49,000 -1,5 -1,2 Ces valeurs ne semblent pas exprimer de tendance et de plus elles restent toujours inférieures aux écarts-types du tableau 1 7 .2. En l'état, on ne peut donc pas conclure qu'il existe une erreur de linéarité. lt41 L'erreur de zéro qui amène une erreur de justesse peut être estimée grâce à la régression effectuée à la question 1 , soit 42,2 mV, ce qui correspond à la moyenne des erreurs de zéro déterminées par les deux régressions de la question 4. Cette erreur se reproduisant toujours identiquement à elle-même, il est licite de la retrancher des valeurs en jouant sur le réglage du zéro de l'électronique de conditionnement. Pour la suite, on considérera que ceci a été effectué. "'O0 c::J 0 (V) ltJd On commence par retrancher 5 V (tension précise disponible puisque c'est la Vmes tension de référence du convertisseur) de façon à ramener l'excursion de entre 0 et 5 V. Le convertisseur étant un convertisseur 10 bits et la tension de référence de 5 V, la valeur q du quantum est environ 5 mV, q = 5 V/1 024 = 4,88 mV plus exacte­ ment. L'erreur de résolution est donc ± 2,5 mV ce qui donne ± 0,025 g compte tenu de la sensibilité. En pourcentage de 1 'étendue de mesure, 1 'erreur de résolution est = 0,05 %. 0 N ...... @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 eq lf#4 Les différents types d'erreurs étant non-corrélés et la correction de l'erreur de zéro étant supposée effectuée, 1 'erreur de précision de la balance est donnée par = + + soit tous calculs faits ± 0,55 % de l'étendue de mesure soit encore ± 0,28 g. ep �e� e} e� 62 www.biblio-scientifique.net 18 EX E RCIC E : C o r rect i o n d e l a d é r i ve t h e r m i q u e d ' u n po n t d 'exte n so m é t r i e p u s h - p u l l à q u at re Jauges • Énoncé On considère le pont de la figure 1 8 . 1 constitué de quatre jauges d'extensométrie. Rz Rg vg Figure (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 RI R4 Les quatre jauges du pont sont identiques, de valeur de résistance au repos = 1 20 .Q et de facteur de jauge = 2 à la température = 0 °C considérée comme température de référence. Les jauges sont collées sur une structure qui leur transmet une déformation ±s, le pont fonctionnant en mode push-pull complet. On note aR le coefficient d'évolution thermique de la résistance d'une jauge au re­ pos, c'est-à-dire que l'on a = + ŒRT) avec ŒR = 2,0 . 1 0-5 De même on 5 -l note aK = 1 ,2. 10- °C le coefficient d'évolution thermique du facteur de jauge, c'est-à-dire que l'on a = + aKT). Ko R Ro(l K Ko(l V R 1 , R2,Ro,RR3g To 0c-1 . 11:11 Donner l'expression de mes en fonction de il:f.j Établir les expressions de pression de Ci S r = Vmes/s. @ " = -V,nes 1 8. 1 - Circuit de conditionnement en pont Ro "'O 0 c :J 0 R3 VVg . mes en fonction de Ko , s, et et Vg, Rg, Ri, R2, R3 R4. RV4g. To = et à 0 °C et donner l'ex­ Calculer la sensibilité réduite 63 www.biblio-scientifique.net 18 • Correction de la dérive thermique d'un pont d'extensométrie push-p u l l ... 11:11 La température est maintenant T. Donner les nouvelles expressions des résis­ tances des jauges et donner au premier ordre en T l'expression de la variation de la résistance de la jauge liée à la déformation ë. 11:11 Établir la nouvelle expression de la tension de mesure. ll:J1 Pour que la tension de mesure soit indépendante de la température, on place en série avec la résistance Rg de la source, une résistance de compensation dont la va­ leur de la résistance est donnée en fonction de la température par Re = Rco(l + œcT). Quelle relation doit vérifier Œc ? On donne Rg = 50 n et Rco = 120 n. ll:l#J Déterminer l'expression de la nouvelle tension de mesure et calculer la nou­ velle sensibilité réduite. Corrigé détaillé 11:11 On a immédiatement d'après la figure 18.1 : (1 8.1) ll:f) À To = 0 °C , le pont fonctionnant en push-pull complet, on a : -00 c::J 0 (V) R i = Ro [ 1 + Koë] R2 = Ro [ 1 - Koë] R3 = Ro [ 1 + Koë] R4 = Ro [ 1 - Koë] 0 N ...... Soit en remplaçant dans ( 1 8 . 1 ) : @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 La sensibilité réduite est donnée par : S r = Ko Ro --­ Ro + Rg 64 www.biblio-scientifique.net ( 1 8 .2) Exercice 1 8 11:11 Compte tenu de l'évolution de la résistance au repos et de l'évolution du co­ efficient de jauge, on a maintenant : Ri = Ro(l + œRT) [ l + Ko( l + œKT)t:] R3 = Ro(l + œRT) [ l + Ko( l + œKT)t:] R2 = Ro(l + œRT) [ l - Ko( l + œKT)t:] R4 = Ro(l + œRT) [ l - Ko( l + œKT)t:] Au premier ordre en T, on peut écrire avec i E { 1 , 2,3 ,4} : Ri = = � œRT) + Ro(l + œRT)(- l )i+ I Ko(l + œKTk Ro(l + œRT) ( l ) i+ I KoRo [ l (œR + œK )T] Ro(l + œRT) + (- l )i+ l KoRo(l + f3T)c Ro(l + + + - c On a f3 = ŒR + ŒK = 3 , 2. 10-5 °C - 1 . 11:11 L'expression de la tension de mesure devient tous calculs faits : Vmes = + RoKot:(l f3T) Vg Ro(l œRT) R9 ( 1 8 .3) + + + + + ll:J1 Pour obtenir la nouvelle expression de la tension de mesure, il suffit de rem­ Vmes = = R9 + RcoO œcT). Il vient : RoKot:(l f3T) Vg Ro(l + ŒRT) Rg + RcoO + ŒcT) placer dans ( 1 8.3) R9 par R9 + Re Pour que Vmes soit indépendant de la température, il suffit que 8Vmes/8T tous calculs faits : f3(Ro + Rco + R9) - œRRo Œc = = 5 , 7 . 1 0_5 C -1 Rco = 0, soit o "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ll:l#J La tension de mesure s'écrit alors : RoKot:(l + f3T) Vg Ro(l + œRT) + R9 + Rco + f3(Ro R9 + Rco)T RoœRT RoKot: = Vg ·C0 Ro + R9 + Rco = 0 La nouvelle expression de la sensibilité réduite est donnée par : .3 Ro ü ( 1 8 .4) = Ko S r 2 Ro Rco R9 2 � La suppression, au premier ordre, de la dépendance à la température s'effectue � -0 en contrepartie d'une baisse de la sensibilité puisque l'expression de S r donnée 0 Ci par ( 1 8.4) est clairement inférieure à celle donnée par ( 1 8.2). @ � ""' " = "' " " '" Vmes = + - "' " " " = ""' o.. + + = " = 65 www.biblio-scientifique.net 19 EX E RCIC E : Li n é a r i s at i o n d u ra p po rt pote n t i o m é t r i q u e M e s u re d ' i n te n s i té l u m i n e u s e@ Énoncé On considère une photorésistance ou LDR dont la résistance varie avec l'éclairement E auquel elle est soumise. La caractéristique de la photorésistance est donnée par R = Robsc/IRE où Robsc est la résistance présentée dans l'obscurité et où Re = KE-a avec K et a des constantes. Un étalonnage a été réalisé à l'aide d'un luxmètre et d'un ohmmètre de précision. Les résultats sont reportés dans le tableau 1 9. 1 . Tableau 1 9. 1 - Étalonnage de la LDR E (lx) R (k!!) E (lx) R (k!!) "'O0 c::J 0 (V) 501 3 0, 141 710 1, 375 4 1 28 0, 1 79 621 1 ,5 1 1 3321 0,242 507 2,041 241 5 0,329 433 2,377 1 558 0,525 312 3,524 1 001 0,970 201 5,362 Dans l'obscurité totale, la LDR présente une résistance Robsc llljll Déterminer les caractéristiques de la LDR. 0 N ...... 951 0,990 1 05 1 2,826 = 820 1 , 1 40 55 25,512 6,032 MQ. llljf.J La LDR est montée en série avec une résistance variable Ru . Le dipôle ainsi @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 constitué est alimenté par une source de tension de fem Vg = 5 V et de résistance in­ terne négligeable. La tension de mesure Vmes est prise aux bornes de la LDR. Quelle valeur doit-on donner à Ru de façon à linéariser la mesure de l'éclairement autour de la valeur Eo = 1000 lux ? llljll Calculer l'erreur de linéarité résiduelle. @ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage). 66 www.biblio-scientifique.net Exercice 1 9 Corrigé détaillé IPll Compte tenu de la valeur maximale de R donnée dans le tableau 19.1 et de la valeur de Robsc' on peut considérer que pour les valeurs d'éclairement don­ nées on a R KE-a. En prenant le logarithme de cette expression, on obtient ln R = ln K œ ln E. Une régression linéaire au sens des moindres carrés amène œ = 1 , 148 et ln K = 14,752 (voir figure 19.1). En première approximation, sur l'étendue de mesure donnée, la résistance de la LDR peut donc s'écrire : � - R ln R � KE-a = 2,551. 1 06 E- 1 • 148 n ( 1 9. 1 ) 10 5 "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Fig u re � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � 5 9 ln E 1 9. 1 - Points d'étalonnage et droite de régression par les moindres carrés ipt.j La tension de mesure est donnée par : R Vmes + Vg = R Ru Pour que cette tension de mesure soit la plus linéaire possible autour de Eo = 1000 lx, il suffit qu'en ce point, la tension de mesure présente un point d'inflexion, soit : = � -0 0 " = Ci @ Eo =0 ( 1 9.2) 67 www.biblio-scientifique.net 19 • Li néarisation d u rapport potentiométrique - Mesure d'i ntensité lumineuse On pose Ro = R(Eo). Tous calculs faits, ( 19.2) entraîne : ( 19.3) Avec ( 19.1 ), on obtient : d2 R dR _1 et -2 = a(a + l )E -2R -aE R ( 19.4) dE dE En remplaçant ( 1 9.4) dans ( 1 9.3), il vient : a- 1 a- 1 Ru = -- Ro = --KE0a = 63, 2 1 1 Q ( 19.5) a+ l a+ l On remarque selon ( 19.5) que cette technique de linéarisation n'est possible que si a > 1. Comme le montre la figure 19.2, le fonctionnement autour du point Eo = 1000 lx est quasiment linéaire. Le décalage entre la position réelle du point d'inflexion pour E 1275 lx et Eo = 1 000 lx provient de l'effet des erreurs expérimentales sur les données (tableau 19.1) et de l'approximation R � RE. -= � v;nes (V) , "'O0 c::J 0 (V) ...... · · ······ ,. ,/ Approximation linéaire au sens des moi ndres carrés 4 0 N @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 0 Fig ure 1000 1 9.2 - Tension de mesure E(lux) 2000 11#11 Une régression linéaire sur l'étendue de mesure [55 lx ; 50 1 3 lx] donne en volt l' approximation linéaire suivante de - 3 , 1 1 0. 1 0-4 · E+4,9785. L'écart de linéarité est de 54 mV, ce qui conduit à une non-linéarité résiduelle de l'ordre de 3 , 5 %. Vmes• Vmes,lin = 68 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Capte u r d e p re s s i o n s o n o re aq u at i q u e p i é zoé l ect r i q u e 20 Énoncé 1. Étude d u capte u r On cherche à réaliser un capteur de pression dynamique à partir d'un matériau piézo­ électrique. On rappelle que pour un matériau piézoélectrique, l'excitation électrique � � D et la polarisation P sont reliées au tenseur de contrainte CF et au champ électrique � E par : - � avec : - CF CFxy CF = CFyx CFyy CFzx CFzy xx "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � D = d CF + E: E CFxz CFyz CFzz X= � et � P = d CF + EoX - � E xx Xxy Xxz yx Xyy Xyz zx Xzy Xzz Pour ce matériau, dans la base des vecteurs propres de la susceptibilité on a = l l t:o . Le tenseur piézoélectrique prend alors la forme : Eü � ""' " "' " " '" = ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 o.. 2 � 0 d= 0 dzxx 0 0 dzyy 0 0 dzzz 0 dyyz 0 dxzx 0 0 0 0 0 V i, (20. 1 ) 10. 10- 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 1 0- 1 2 20. 10- 1 2 2 . 1 0 - 1 2 - 3 0. 1 0- 1 2 0 0 0 = � -0 0 " t:.(111 Expliciter précisément dans le cas général, les différentes contraintes qm Ci peuvent engendrer différentes composantes de polarisation du matériau. @ = 69 www.biblio-scientifique.net 20 • Capteur de pression sonore aq uatique piézoélectrique trof.J Dans le cas de la mesure de la pression Po d'un fluide isobare, quelles sont les .. seules contraintes qui subsistent ? Quelle relation les relie entre elles ? En déduire les faces d'un bloc du matériau qu'il faut métalliser pour réaliser un capteur de pression piézoélectrique (voir figure 20. 1 ) ? 1 1 if y : 1 1 / 1 z I'----< 1 / 0 ,J! , Yo z 0 / / / ' ' / / / _ _ _ _ _ Xo X Fluide à la pression Po Fig u re 20. l - Bloc de matériau piézoélectrique t.:.OIJ Montrer que dans ce cas la partie de la polarisation liée à la contrainte (c'est­ k à-dire d · a-) n'a qu'une composante selon z qui s' écrit po. ti•ll À partir de l'expression de 1'excitation électrique D, montrer que le générateur de courant lg ainsi créé est de la forme : (20.2) On précisera l'expression de K et celle de Cg (capacité du condensateur constitué par les métallisations et aux bornes duquel est présente la tension V) en fonction de 1 mm. On rappelle que 1 cm et zo xo, yo, zo, et su.· On donne xo Yo 12 1 Szz = 1 lso et que so = 8 , 85. 10- F.m- . "'O0 c::J 0 (V) k 0 N ...... = = = Pi•li Déterminer la résistance de fuite Rg (résistance interne) du condensateur ainsi @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 réalisé. On donne la résistivité du matériau diélectrique utilisé, p = 10 13 n.m . I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement On considère que ce capteur est connecté à un amplificateur de charge (schéma fi­ gure 20.2) où l'amplificateur opérationnel, de gain en boucle ouverte A, ne peut être considéré idéal. Le câble est de résistance de fuite Re = 500 Mn et de capacité para­ site Cc = 1 pF. La capacité de contre-réaction de l' amplificateur est Co = l O pF. 70 www.biblio-scientifique.net Exercice 20 f-(p) î ��----�----�����- Capteur Figure Câble Amplificateur î V,(p) 20.2 - Montage de conditionnement du capteur ti•ld Donner dans le domaine de Laplace le schéma électrique équivalent du cap­ teur. t.:.i;.H En posant R R //Rc + Cc, C C9 9 ) p p) p)/po( p) = et = donner l'expression de la tension de sortie Vs( dans le domaine de Laplace, puis celle de la fonction de transfert H( = Vs ( du montage. Que devient Vs(P) si A peut être considéré comme infini ? t.•ul:I Conclure quant à la forme de cette fonction de transfert. t.11@ Donner 1' expression de la pulsation de coupure A = 104 . t.:.ulleJ Donner l'expression du gain Go Wc du montage. On donne dans la bande passante. t�ulll Réécrire l'expression de la fonction de transfert de la question II.2 en fonc­ Go "'O0 c:J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c ·;:::O'l >-: a. u0 tion de et Wc. On s'intéresse maintenant à l'utilisation de ce système qui sera placé à l'arrière d'une hélice. Dès que la vitesse de rotation de l'hélice est suffisante, elle crée dans son sillage un tourbillon dans lequel apparaissent des zones de dépression. L'eau se va­ porise pour former des bulles de vapeur d'eau, c'est le phénomène de cavitation. Ces bulles implosent dès qu'elles se retrouvent dans une zone où la pression est suffisante. Ces implosions créent des trains d'ondes sonores qui se propagent (voir figure 20.3). La répartition temporelle et l'intensité de ces implosions sont caractéristiques de l'hé­ ..: �"O lice et de sa vitesse (signature de l'hélice). Le phénomène de cavitation est néfaste et c: diminue le rendement de la propulsion. '-' :::l � '-' f �0 :; "' c:0 c: .S:ü "O:::l12 2 B rS -00 c: c: o. V Hélice :::l :::l a @ Fig ure sonore 20.3 - Mesure de la signature de l'hélice 71 www.biblio-scientifique.net 20 • Capteur de pression sonore aq uatique piézoélectrique L'expérience montre que pour l'hélice étudiée, l'implosion d'une bulle induit une onde de surpression dont le spectre en fréquence contient principalement des compo­ santes hautes fréquences (w » Wc) · L'amplitude moyenne t:.p des surpressions par rapport à la pression normale du fluide est de l'ordre de 1 03 Pa et on peut supposer que cette surpression est de longueur d'onde bien supérieure aux dimensions du bloc du matériau piézoélectrique. t:.t18t) Calculer dans ce cas l 'amplitude de la tension sion d'une bulle. Vs caractéristique de l'implo­ Corrigé détaillé 1. Étude d u capte u r t.:.(181 Vu la forme (20. 1 ) du tenseur diélectrique, on remarque qu'une polarisation Px peut prendre naissance dans la direction x sous une contrainte du type crzx· De même, une polarisation Py peut prendre naissance sous une contrainte cryz et une polarisation Pz sous des contraintes crxx ' cryy ou crzz· t.:.(1f) Dans le cas de l'immersion dans un fluide, seule une contrainte hydrostatique subsiste et on a crxx = cryy = crzz = Po et crzx = cryz = 0. Une seule polarisation apparait alors selon la direction z. Il faut donc métalliser les faces perpendiculaires à la direction z de façon à réaliser un condensateur. - t.:.(111 Pz est donnée dans ce cas par : -00 c::J 0 (V) 0 N ...... Compte tenu des valeurs des coefficients du tenseur diélectrique, il vient k = 8. 10- 1 2 C.N- 1 . @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 t.:.(111 Selon l'axe z, on a Dz = Pz + Ezz Ez = kpo + Ezz Ez , soit en multipliant par la surface xoyo des métallisations et en dérivant par rapport au temps : dDz xoyo -dt = dEz dpo kxoyo - + EzzXoYo dt dt V En négligeant les effets de bords, on a Ez = - V/zo où représente la tension aux bornes du condensateur plan réalisé par les métallisations du bloc piézoélectrique. 72 www.biblio-scientifique.net Exercice 20 On a alors : dDz dpo xoyo dV xoyo - = kxoyo - - &zz -- -dt dt zo dt Or EzzXoYolzo n'est rien d'autre que la capacité Cg du condensateur plan. CgdV/dt représente le courant circulant dans le condensateur et x0y0dDz/dt le courant délivré au circuit extérieur. kxoyodpo/dt = Kdpo/dt représente donc le générateur de courant constituant un des éléments du schéma équivalent du capteur. On a : dDz dV dpo =K = xoyo dt + Cg dt dt !9 Ceci correspond bien à la forme proposée par l'équation (20.2). Numériquement on obtient : K = 8. 1 0- 1 6 A.s.Pa- 1 et Cg = 9,72 pF t�leJ1 La résistance de fuite du condensateur est donnée par la loi d'Ohm : zo Rg = p - = 1 08 MQ xoyo I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement t�llld Dans le domaine de Laplace, le système est donc équivalent à un générateur de courant "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u !9 schématisé figure 20.4 ci-dessous. Fig u re 20.4 - Générateur de courant équivalent ""'" "'" '"" � = t;.{1f4 Dans le domaine de Laplace, la tension de sortie peut s'écrire : Vs( p) = -As(p) = s( p) - ·C0 lg( p) - l( p) R avec s( p) = /( p) Cop l + RCp "'" Il vient en résolvant (20.3) : 0 "" .3 ü Vs ( p) = ""'2 1 (20.3) = = 2 � o.. = � -0 0 " Ci @ = ARlg( p) + RCp RCo(l + A)p + En posant lg( p) = pKp0( p) on obtient la fonction de transfert du montage : H( p) = Vs ( p) = Po( p) _ 1 + ARKp RCp + RC0(1 + A)p (20.4) 73 www.biblio-scientifique.net 20 • Capteur de pression sonore aq uatique piézoélectrique Si A peut être considéré comme infini, on obtient : Le montage réalise une intégration du courant I9(p). t.J1J:I (20.4) constitue la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du premier ordre. t.11@ Sa pulsation de coupure est simplement donnée par : Wc = 1 = 2.10-2 rad.s- 1 ( 1 R (C + + A)Co) t�lllleJ Dans la bande passante, donc à hautes fréquences, le gain Go est donné par : Go = - AKR R (C + ( 1 + A)Co) K Co � -- � - 8 . 1 0-s V.Pa- 1 (20.5) t�lllll En utilisant les expressions (20.4) et (20.5), la fonction de transfert s'écrit plus simplement : H( p) = PVso(( pP)) = P Go p + Wc t.Jelt) On se trouve dans la bande passante du capteur (w >> wc) et comme la lon­ gueur d'onde est grande devant les dimensions du capteur, la surpression est ressentie comme une surpression hydrostatique. On a donc simplement : Vs = Go!ip = -80mV "'O0 c::J 0 (V) 0 N ...... @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 74 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Qu a l i fi cat i o n e n p rod u ct i o n d ' u n ca pte u r à ré l u ct a n ce va r i a b l e 21 Énoncé On considère une production de capteurs de proximité inductifs. Leur principe est celui d'une inductance dont la valeur varie en fonction de la distance à une cible ferromagnétique (voir figure 2 1 . 1 ). Aimant .. � Connections électriques X Bobinage Fig ure "'O0 c:J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u :�.= "Oc:: ::l rJ ]8 <.) ::l "' c:: 0c:: c:: .S: u � ·�� �� Cible ferromagnétique 2 1 . l - Tête à réluctance variable Un client commande une grosse quantité de ces capteurs qui ne seront utilisés, au maximum, que sur l'étendue de mesure E.M. définie par les distances extrêmes x 1 = 2 mm et x2 = 1 6 mm. Chaque inductance doit être testée afin de garantir une sensibilité et une non-linéarité restant dans des tolérances imposées par le client. Pour rester compatible avec ses impératifs de production, le fabricant ne peut se permettre de tester chaque inductance que pour trois distances à la cible. Le fabricant règle ses paramètres de production de façon à ce que la caractéristique moyenne des inductances soit : "O::l§. 2 B::l � -00 c:: 0::l On donne @ L(x) = L(x = 0) = 1 50 µH et L(x = 0) (1 + kx)2 (21 1 ) . k = 45. 10-3 mm- 1 75 www.biblio-scientifique.net 21 • Qualification en production d'un capteur à réluctance variable t..111 Déterminer la sensibilité réelle S c(x) de l'inductance et la calculer au point milieu de l'étendue de mesure. t..lf.j Les distances auxquelles on mesure la valeur de l'inductance de chaque cap­ teur sont x1 = 2 mm, x2 = 16 mm et la distance moyenne xo = 9 mm. Calculer les valeurs des inductances correspondantes pour une caractéristique idéale donnée par (2 1 . 1 ). t..llJ Déterminer l'équation de la meilleure droite (D3 ) au sens des moindres carrés. On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés, d'équation y ax + et passant par N couples de points de mesure (xi, YJ, sont b donnés par : N N N N I XiYi - I Xi I Yi i=l i=l i=l a = ------N N b = t xf - (t xJ N N N (21.2) L: x7 l:: Yi - L: xi L: xiYi ;= J N t {t:J� xf - t..111 Tracer la caractéristique idéale et la droite (D3 ) de régression. En déduire une approximation S 3 de la sensibilité et 1'erreur de linéarité ë3 donnée par le plus grand écart en valeur absolue entre la caractéristique idéale et la droite de régression, écart normalisé à l'excursion de la valeur de l ' inductance sur l'étendue de mesure. "'O0 c::J 0 (V) .... t..111 À partir des courbes de la question précédente, montrer que la régression par les moindres carrées, n'est pas la méthode la plus adaptée pour déterminer la meilleure droite approchant la caractéristique réelle. 0 N @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 t..lld Cette constatation peut amener le constructeur à rejeter une inductance comme non-conforme en surestimant son erreur de linéarité. Pour pallier le problème, on uti­ lise une deuxième droite construite comme suit. On détermine tout d'abord l'équation de la droite (D2 ) passant par les deux extrémités de l'étendue de mesure puis celle de la droite (D 1) passant par le milieu de 1'étendue de mesure et parallèle à la pre­ mière. La meilleure droite, notée (Dm), approchant au mieux la caractéristique idéale, sera prise égale à la moyenne des deux droites précédentes. Déterminer l'équation de (Dm). 76 www.biblio-scientifique.net Exercice 2 1 t.jli Tracer la caractéristique idéale et la droite (Dm). Quelles sont alors l'approxi­ mation S m de la sensibilité et l'erreur de linéarité Sm ? t.jl:I Sur un composant idéal, déterminer en mm 1' erreur de linéarité que le constructeur peut garantir. Corrigé détaillé t.jli La sensibilité est donnée par : Sc = dL(x) 2kL(x = 0) =dx ( 1 + kx) 3 -- (21 .3) ---- Au milieu de l' étendue de mesure proposée, c'est-à-dire en x0 = 9 mm, on a S c (xo) = -4,87 �tH/mm. t.jf:J Avec (21 . 1 ), il vient immédiatement pour xi = 2 mm, x2 = 1 6 mm et xo = 9 mm respectivement L1 = 1 26,25 µH, Li = 50, 70 �tH et Lo = 75,99 µH. t.jll Avec (21 .2), les trois couples de points précédents donnent a 3 = -5,40 �tH/mm et b3 = 1 32,88 µH. t.jll La caractéristique idéale et la droite de régression par les moindres carrés sont représentées figure 21 .2. ( µ H) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � 100 ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü 50 = ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 Fi g ure � � � � � � � _.__.. 2 6 12 x (mm) 16 2 1 .2 - Caractéristique idéale et droite d e régression L'approximation S3 de la sensibilité n'est rien d'autre que le coefficient directeur de Ci la droite de régression, soit S 3 = -5,40 �tH/mm. @ " = 77 www.biblio-scientifique.net 21 • Qualification en production d'un capteur à réluctance variable Pour obtenir l'erreur de linéarité &3 on trace l'écart en valeur absolue entre la droite de régression et la caractéristique idéale (voir figure 21 .3). La figure 2 1 .3 montre clairement que l'écart maximal est d'environ 8,6 �tH pour x = 8 mm. Sur l'étendue de mesure, l'excursion de la valeur de l'inductance est de 1 26,25 - 50,70 = 75,55 �tH, ce qui entraîne une erreur de linéarité &3 = 1 1 ,4 % E.M. 10 Fi g ure (µH) 12 16 6 x (mm) � � � � � � � � � - 2 1 .3 - Valeur absolue d e l'écart entre l a caractéristique idéale et l a droite de régression t..111 Sur les courbes de la figure 2 1 .2 et 2 1 .3, il apparaît clairement que la droite de régression par les moindres carrés n'est pas la meilleure droite approchant la caracté­ ristique réelle. En effet, cette droite s'écarte trop de la caractéristique réelle au milieu de l 'étendue de mesure. L'idéal serait de pouvoir ramener l'écart, en valeur absolue, à la même valeur au milieu de l'étendue de mesure qu'à ses extrémités. t..Jld L'équation de la droite (D2) passant par les deux couples de points extrêmes de 1 'étendue de mesure est donnée par : "'O0 c::J 0 (V) L = a2x + h2 = L2x 1 - L1 x2 Li - L2 x + ----x 1 - X2 Xt - X2 Après calcul, on obtient a2 = -5 ,40 µH/mm et h2 = 137,04 �tH. L'équation de la droite (D i ) passant par le milieu de l'étendue de mesure et parallèle à (D2) est donnée par : 0 N ...... @ ......cOl... ·;:::>: a. u0 L = a 1 x + h 1 = a2x + (Lo - a2xo) Après calcul, on obtient a 1 = -5,40 µH/mm et h1 La droite moyenne (Dm) est donc d'équation : L = Gm X + hm = a2x + = 124,55 �tH. hi + h2 2 Après calcul, on obtient am = -5 ,40 µH/mm et hm = 130,80 µH. 78 www.biblio-scientifique.net Exercice 2 1 t..IM Les droites (D3), (D2), (Di) (Dm) et à la caractéristique idéale figure 2 1 .5. sont représentées figure 21.4 et les écarts (µH) x (mm) ��������-- Fig ure 6 2 16 12 2 1 .4 - Caractéristique idéale et les deux droites d'approximation (µH) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Fig ure (D ), (D ), (Di) (Dm) 3 2 Sm = 4 (D m) x= Em = t..ll:t 11,4 (x2 - x1 ) = 1,6 (x2 -xi) = 2 1 .5 - Écarts à la caractéristique idéale � ""' " "' " " '" = ·C0 = "' " 0 " " .3 ü= ""' 2 o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Les pentes des différentes droites et sont rigoureusement iden­ tiques, on a donc 5 , 0 µH/mm. L'écart maximal entre la caractéristique idéale et la droite est d'environ de 6,5 �tH pour 8 mm (voir courbe figure 21 .5). Sur l'étendue de mesure, ceci entraîne une erreur de linéarité 8,6 % E.M . - En utilisant la droite de régression par les moindres carrés, l'erreur de linéa­ rité est % mm alors qu'en utilisant la méthode de la droite moyenne, l'erreur calculée n'est plus que de 8 , 6 % 1,2 mm. · · 79 www.biblio-scientifique.net 22 EX E RCIC E : M e s u re té l é m é t r i q u e et stat i s t i q u e d e m e s u re @ Énoncé On considère un prototype de télémètre laser en temps de vol. L'étendue de mesure est comprise entre 1 et 1 OO m et le signal de sortie du télémètre est analogique. Lors d'un étalonnage, ce signal de sortie est échantillonné par une électronique haut de gamme. Cette dernière assure une résolution sur la tension de sortie correspondant au centième de millimètre. Le télémètre est placé à une distance d = 10 m d'une cible, distance mesurée de façon supposée exacte. Le télémètre est interfacé avec une informatique permettant de stocker les valeurs relevées. On effectue une série de N = 1 0 000 mesures. Pour chaque valeur de dis­ tance télémétrique, l'informatique soustrait 1 0 m générant ainsi une variable notée X prenant les valeurs Xi (i = 1 à 1 0 000) (voir histogramme des données figure 22. 1 ). "'O 0 c ::J 0 (V) 1 00 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: >a. 0 u o L- �........, ..._ � -10 Fi g ure __,........ . ...._ .__ � � � � � � � � -5 0 +5 X ---1. .+ � � +10 22.1 - Histogramme des données @ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage) 80 www.biblio-scientifique.net Exercice 22 Deux grandeurs sont calculées directement à partir des données : A= N 1I - N i= t xi = 0,059 mm et B= N I 1 (xi - A)2 = 3,027 mm N i= l tlji Déterminer la meilleure estimation de la distance télémétrique mesurée par le télémètre m et la meilleure estimation s de l'écart-type de la distribution des valeurs mesurées. t/l'.j On fait l'hypothèse que la distribution des données est normale et on se pro­ pose de tester la validité de cette hypothèse. Pour cela les données sont regroupées en 1 0 classes ek non vides dont les effectifs Mk sont reportés dans le tableau 22. 1 . Tableau 22. l - Effectifs des dix classes ek Mk ek Mk [m - 4s ; m - 3s] [m - 3s ; m - 2 s] [m - 2s ; m - s] [m - s ; m - 0,Ss] [m - 0,Ss ; m] 10 [m; m + O, Ss] 1 895 196 1 378 1 536 1 899 [m + O ,S s; m + s] [m + s; m + 2 s] [m + 2s ; m + 3s] [m + 3s; m + 4s] 1 393 1 470 213 9 Estimer les effectifs Ek de ces classes si on admet comme exacte l'hypothèse de nor­ malité. Pour cela on donne dans le tableau 22.2, la probabilité Pu qu' a une variable distri­ buée selon une loi normale d'être située dans l 'intervalle [µ - u · cr ; µ + u · cr] pour 0,5 � u � 5 et où µ et cr sont respectivement la moyenne et l'écart-type de la distri­ bution. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Tableau 22.2- Probabilité Pu(x) = P(µ - u <T ::; x ::; µ + u . <T) lorsque X est distribué selon une loi normale de moyenne µ et d'écart-type <T · � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0" u 5 4,5 4 3,5 3 Pu 1 - 6 . 1 0-7 1 - 7.10-6 1 - 6. 1 0-S 0,9995 0,9973 u 2,5 2 1,5 1 0,5 Pu 0,9876 0,9545 0,8664 0,6827 0,3829 " .3 ü= 2 o.. 2 � ""' Calculer le x6 réduit correspondant. On rappelle que celui-ci est donné par : = � -0 0 (22 . 1 ) " = Ci @ 81 www.biblio-scientifique.net 22 • Mesure télémétrique et statistique de mesure où d est le nombre de degrés de liberté. Conclure quant à l'hypothèse de normalité de la distribution des données. On se contentera d'une conclusion qualitative sans chercher à évaluer le degré de confiance de cette conclusion. t..lt#) À partir de ces données, peut-on conclure quant à l'existence d'une erreur systématique ? t..lt..fll Donner une estimation de l'incertitude lors d'une mesure individuelle x avec un degré de confiance de 95 %. t..lt41 Une des mesures individuelles donne Xi = 1 1 ,259 mm. Peut-on ou non conclure quant à l'éventuel caractère aberrant de cette mesure ? t..ltJd L'opération d'étalonnage étant terminée, on suppose que le télémètre est suf­ fisamment rapide pour remplacer une mesure unique par la moyenne de 8 mesures afin d' améliorer la précision. Une mesure, que l'on notera :X devient donc la moyenne de 8 mesures consécutives pendant la durée desquelles le mesurande est supposé ne pas évoluer. Donner les meilleures estimations de la moyenne et de l'écart-type de la variable X. En déduire l'incertitude sur la mesure d'une valeur :X avec un degré de confiance de 95 % . t..t•4 La mesure du télémètre doit être affichée sur un écran LCD. Combien de digits faut-il prévoir ? Corrigé détaillé t..ltll La meilleure estimation de la valeur vraie de la variable X est la moyenne µ "'O 0 c ::J 0 (V) estimée ici à partir des valeurs mesurées xi , soit la moyenne 0 N ...... m= @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u A= m des mesures : 1 N I Xi = 0,059 mm N i=l - Notons que, puisqu'il s'agit d'un étalonnage, µ est ici connue et vaut µ = O. La meilleure estimation s de 1 ' écart-type cr de la distribution est : s= N 1 '1 (xi N- 1 � i=I -- m)2 = Œ = B N- 1 82 www.biblio-scientifique.net 3,027 mm Exercice 22 tj.>;,a La loi normale étant symétrique par rapport à la moyenne, on a : P(µ - u . a- � X � µ) Pu (x) -2 m et s étant les meilleurs estimateurs de µ et a-, les effectifs estimés Ek se calculent aisément à partir des données du tableau 22.2. Par exemple l'effectif E 1 de la classe e 1 = [m - 4s ; m - 3s] est donné par : ( = P(µ � X � µ + u . a-) N P(µ - 4 a- � X � µ) - P(µ - 3 . a- � X � µ) . . ) ( = P4(x) P3 (x) N . -- - -2 2 - 6 1 0-5 = 1 0 000 = = c 13,2 � ) ; 0,9 73 _ ) On procède de même pour chaque classe dont l'effectif estimé est reporté dans le tableau 22.3. Tableau 22.3- Effectifs estimés ek [m - 4s ; m - 3s] [m - 3s ; m - 2s] [m - 2s ; m - s] [m - s ; m - 0 , 5s] [m - 0 ,5 s ; m] ek [m ; m + 0, 5s] [m + 0,5s ; m + s] [m + s ; m + 2 s] [m + 2 s ; m + 3s] [m + 3s ; m + 4s] Ek Ek "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" 1 3,2 1 914,6 2 1 4,0 1498,8 1 359, 1 1 359, 1 1 498,8 2 1 4,0 1 914,6 1 3,2 Afin d'évaluer le x6 réduit, il faut déterminer le nombre de degrés de liberté d in­ tervenant dans ce calcul. Il y a 1 0 classes et 3 paramètres issus des données sont nécessaires pour calculer l'effectif estimé de chaque classe, paramètres qui sont N et les estimateurs m et s. Le nombre de degré de liberté est donc d = 1 0 - 3 = 7. Le x6 se calcule alors aisément selon (22. 1) et on obtient x6 = 0,93. Cette valeur étant très proche de 1 , on peut conclure que le comportement normal de la variable X est tout à fait probable. tj.#) Comme il s'agit d'un étalonnage, on connaît la valeur exacte µ O On a fait = . une estimation m = 0,059 mm (moyenne des mesures) de la valeur connue de µ. Si on 0 recommençait une série de N mesures, on obtiendrait une nouvelle estimation m' de .3 µ. Le théorème central limite montre que ces estimations sont réparties selon une loi ü normale autour de la valeur vraie µ avec un écart-type, dit écart-type de la moyenne, 2 donné par O-m = a-/ YN où a- est l'écart-type de la population d'origine estimé ici par 2 � � s = 3,027 mm. On a ici O-m = 3,027/1 00 = 0,030 mm. Comme m = 0,059 mm, cette -0 0 valeur s'écarte de 0,059/0.030 '.::::'. 2 écarts-types de sa valeur moyenne µ. La probabi­ Ci lité en est donnée par le tableau 22.2, soit P(m 2: µ + 2a-) = ( 1 - P2 )/2 = 0,0228 soit @ ·C0 = "' " " " = ""' o.. = " = 83 www.biblio-scientifique.net 22 • Mesure télémétrique et statistique de mesure environ 2 %. Devant cette probabilité faible, il est assez difficile de conclure. On peut simplement dire qu'il existe une erreur systématique mais en ayant 2 % de chance que cette affirmation soit fausse. Dans un cas comme celui-ci, il est plus prudent de recommencer une ou plusieurs séries de mesures avant de se prononcer. tlJGI L'incertitude estimée (selon la norme ISO/R 1 938- 1 97 1 ) est donnée avec un seuil de confiance de 95 % par ±20'" puisque 95 % correspond d'après le tableau 22.2 à la probabilité de trouver une mesure dans l'intervalle [µ - 20'" ; µ + 20'"]. Ici une in­ certitude de mesure est donc 6,05 mm. t/41 Avec Xi = 1 1 ,259 mm, on se trouve à environ plus de t = ( 1 1 ,259 0,059)/3 ,027 = 3,70 écarts-types de la valeur moyenne. La loi étant normale, ceci correspond d'après le tableau 22.2 à une probabilité P comprise entre ( 1 - P3,5 )/2 et (1 - P4)/2, soit entre 2,5. 10-4 et 3 . 1 0-5 . Le critère de Chauvenet précise que si N P < 1/4, la valeur en cause peut être considérée comme aberrante. Ici, on a 0,3 < N P < 2,5 et donc, la valeur Xi = 1 1 ,259 mm n'est pas une valeur aberrante selon le critère de Chauvenet. · · t/Jd La meilleure estimation de la moyenne de la variable X reste la valeur m pré­ cédemment calculée et la meilleure estimation de l 'écart-type de X est donnée par s;x = s/ Ys = 1 ,070 mm. Avec un degré de confiance de 95 %, l'incertitude commise lors d'une mesure x est donc comme à la question 4 donnée par ±2s:x = 2, 1 4 mm. t/•4 Comme l'incertitude se mesure en millimètre, le plus petit digit doit afficher le millimètre. Comme la portée maximale est d'environ 1 00 m, l'écran doit pouvoir afficher 99,999 m. On doit donc prévoir un affichage à 5 digits. "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 84 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Tac h y m è t re o pt i q u e 23 Énoncé On considère le tachymètre de la figure 23. 1 , constitué d'un disque percé de N ou­ vertures et solidaire d'un arbre moteur tournant à la vitesse angulaire Wmes · De part et d' autre du disque et à hauteur des ouvertures sont situées une diode électrolumi­ nescente (LED) et une photodiode de réception (PD), toutes deux fonctionnant dans le domaine infrarouge. LED -t (Ülll(!S "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Fig u re 23. l - Principe du tachymètre � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0" " .3 ü= 2 o.. 2 � ""' = � -0 0 Les tensions instantanées seront notées en minuscules et les tensions continues ou les amplitudes des tensions instantanées en majuscules. Le circuit électronique de conditionnement est représenté figure 23.2. Le NE555 est monté en monostable. La sortie v2 est à la masse tant que v1 > E/3. Si v1 passe en dessous de E/3, la sortie bascule vers la valeur E et ceci pour une durée T = l , lRC . L'amplificateur opérationnel est supposé idéal. tJll Polarisée, la diode électroluminescente présente à ses bornes une tension VLED = 1 , 7 V pour un courant hED = 50 mA la traversant. Calculer la valeur de Ci la résistance de protection R 1 On donne E = 1 5 V. @ " = • 85 www.biblio-scientifique.net 23 • Tachymètre optique E / / Rz R 7 V1 RI � � Fi g ure 8 4 3 Vz NE555 c l 62 15 23.2 - Schéma du circuit de conditionnement tD..I Quelle est la valeur de l' amplitude V1 de v 1 lorsque la photodiode n'est pas éclairée par la diode électroluminescente ? On considèrera que le courant d'obscurité de celle-ci est nul. Lors du passage d'une ouverture du disque devant l'ensemble diode-photodiode, la tension v 1 se comporte en première approximation comme une impulsion rectangu­ laire de largeur faible. Compte tenu de la divergence de l'émission de la diode élec­ troluminescente, de sa distance à la photodiode et de la surface active de celle-ci, on peut estimer la puissance reçue par la surface active de la photodiode éclairée à P = 5 �tW. Calculer la valeur de la résistance R2 pour assurer une tension v 1 d'am­ plitude V1 = 4 V lorsque la photodiode est éclairée sachant que sa sensibilité est SpD = 0,5 A/W. "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Pm Pour que le dispositif précédent fonctionne correctement, on considère qu' avant qu'une nouvelle impulsion v 1 n'arrive, il faut attendre, après le retour de v2 à l 'état stable, une durée de récupération égale à T. Donner la fréquence maximale !max de fonctionnement du monostable précédent. 86 www.biblio-scientifique.net Exercice 23 tDI En déduire la fréquence maximale de rotation du disque donc de l'arbre mo­ teur et calculer la valeur du produit RC pour que la valeur maximale de la vitesse de rotation soit de 12 000 tours/min. On donne N = 6. tHi Donner la fonction de transfert de 1' étage de l'amplificateur opérationnel de la figure 23.2 et montrer que cet étage réalise un filtre. Pm Les valeurs de R4 et C4 sont choisies de façon à ce que la pulsation de coupure du filtre soit de 1'ordre de quelques hertz donc très inférieure à la vitesse angulaire de rotation du disque. Que représente alors la tension instantanée u3 ? Wc tJii Déterminer l'expression de u3 . Calculer la sensibilité de la mesure S mes = !:J.u3/!:J.fmes où fmes représente la fréquence de rotation de l' arbre moteur. On donne R4 = 2R3 . Corrigé détaillé tDI On a immédiatement R 1 = (E - VLEo) lhED = 266 Q. tD.J La photodiode n'étant pas éclairée, le seul courant qui circule est le courant d' obscurité considéré ici comme nul. La chute de tension aux bornes de la résistance R2 est donc nulle et on a V1 = E. Le courant délivré par la photodiode éclairée est lpo = S poP = 2,5 µA. On désire avoir alors V1 = 4 V. Il convient de choisir R2 = (E V1 ) /lpo = 4,4 MQ. - "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u tHI Compte tenu du temps de récupération, la période minimale de répétition des impulsions de ui est de 2T et donc la fréquence maximale fmax = 1/2T. � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0" " .3 ü= 2 o.. 2 � ""' tDI Le disque étant percé de N ouvertures, la fréquence maximale de rotation de l' arbre est égale à !mes, max = fi.nax/N = 1/(2NT). Pour une vitesse maximale de rota­ tion de 1' axe de 1 2 000 tours/min soit une fréquence !mes, max = 200 Hz, on obtient : T = 1/(2Nfmes, max ) = 416,7 �LS soit RC = T/1 , 1 = 378,8 µs (23 . 1 ) tHi La fonction de transfert du dernier étage du circuit de la figure 23.2 est donnée par : 1 = (23.2) � -0 0 Cette fonction de transfert correspond à celle d'un filtre passe-bas de pulsation de Ci coupure Wc = l/R4C4 . @ " = 87 www.biblio-scientifique.net 23 • Tachymètre optique tU;:j L' arbre moteur tournant à une vitesse angulaire bien supérieure à la pulsation de coupure Wc = I/R4C4 du filtre passe-bas, ce dernier ne laisse passer que la valeur moyenne ou composante continue du signal v2 présent à son entrée. tJli La figure 23.3 donne le chronogramme du signal v2 à l'entrée du filtre pour une fréquence f des impulsions v2 ( t) v1. l/J E Fig ure 23.3 - Signal d'entrée du filtre La valeur moyenne v2 du signal V2 = v2 est donnée par : ( ) TE + �f - r o fTE 1 f = Compte tenu de (23.2), le signal de sortie v3 est : Soit encore en utilisant la fréquence de rotation de l ' arbre moteur !mes = JIN : -0 0 c ::J 0 (V) .... La sensibilité du système de mesure est donnée par : 0 N @ S mes ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u = �v3 �Jmes =- R4 R3 NTE Compte tenu des données numériques, il vient S mes =- 75 mV/Hz. 88 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Capte u r d e p re s s i o n à t u be bo rg n e et j a u g e s d 'exte n so m é t r i e 24 Énoncé On considère un capteur destiné à la mesure de la pression d'épreuve est un tube borgne en acier (voir figure 24. 1 ). p de fluides dont le corps L Figure 24. 1 - Corps d'épreuve On montre que les déformations du tube sont respectivement dans la direction de l' axe du tube (notée c 1 ) et selon sa circonférence (notée c2 ) : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ..... @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 u c2 � ""' " "' " " '" = ·C0 = "' " 0" " .3 ü= ""' 2 o.. 2 � (e L +L 2r - �)2 Ep p L p = (� - v = p ) e L+ Cl = � � 2 2r E = k1 E k2 (24 . 1 ) E E = 2 , 5 10 1 1 Pa est le module d'Young de l'acier utilisé et v = 0 , 285 son coefficient de Poisson. · 1 tjli On donne r = cm, e = 1 mm et L = 5 cm. Calculer les déformations c 1 et c2 pour p = 107 Pa. tjf:.I On colle sur le tube borgne des jauges d' extensométrie métalliques de résis­ tance au repos R0 et de facteur de jauge K. Le collage est supposé parfait. Déterminer -0 0 les expressions des variations M 1 et 11.R2 des résistances des jauges collées respecti­ " Ci vement selon la longueur du tube et selon sa circonférence. @ = � = 89 www.biblio-scientifique.net 24 • Capteu r de pression à tube borgne et jauges d'extensométrie tJID On constitue un pont de Wheatstone avec deux jauges collées selon la lon­ gueur du tube (de résistances notées R 1 et R 3 ) et deux jauges collées selon sa cir­ conférence (de résistances notées R2 et R4 ). Expliquer comment doivent être collées les jauges et comment elles doivent être raccordées pour former le pont. Le pont est alimenté par une source de courant constant lg . tJll Déterminer l' expression de la tension de mesure Vmes en fonction de R i , R2 , R3 , R4 et lg puis en fonction de Ro , t...R 1 , t...R2 et lg. tJJ1 En exprimant t...R 1 et M2 en fonction de p, monter que la mesure est li­ néaire et calculer la valeur de la tension de mesure pour lg = 5 mA, Ro = 1 kQ et K = 2. p = 107 Pa. On donne Corrigé détaillé tjli En utilisant les données numériques et (24. 1 ), il vient : c 1 = 228,71 10-6 et c2 = 1 1 8,57 10-6 · · tjf:.I Une jauge collée selon la longueur du tube subit dans sa longueur une défor­ mation égale à celle de la longueur du tube, soit c 1 . La variation de la résistance de la jauge est donc t...R 1 = KRoc 1 • Une jauge collée selon la circonférence du tube su­ bit dans sa longueur une déformation égale à celle du périmètre du tube, soit c2 . La variation de la résistance de la jauge est donc 1�.R2 = KRoc2 . tJID Les jauges subissant les mêmes déformations sont collées en regard l'une de "'O 0 c ::J 0 (V) l' autre et de chaque coté du tube (compensation des déformations de flexion). Les fils de connexion de chaque jauge doivent être de même longueur et les plus courts pos­ sible (résistances parasites des fils de connexion). Les jauges doivent être connectées selon le schéma de la figure 24.2. 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u lg R1 V mes RI Fig u re 24.2 - Circuit de conditionnement en pont 90 www.biblio-scientifique.net Exercice 24 tJll On a directement : Vmes = = ( + R1 R1 R1 _ R4 R3 + R4 ) . lg + + (R1 R1)(R3 R4) Ri + R1 R3 + R4 + 2Ro(l!!,.R 1 - M2 ) + l!!,.RT - 1!!,.R� R1R3 - R2R4 = � 2(2Ro + M 1 + l!!,.R2 ) Ri + R1 + R3 + R4 � (24.2) tJli D' après la question 2 et (24.1), on a : p 1!!,.R2 = KRos2 = KRok2 E En reportant dans (24.2), il vient : (24.3) La mesure est linéaire. Compte tenu des données numériques, on obtient Vmes = 5 5 1 µV. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u " = "' " " '" ·C0 § " 0 " " .3 ü= 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 91 www.biblio-scientifique.net 25 EX E RCIC E : P i ézoé l ect r i c i té - C h o i x d u p i é zoé l ect r i q u e Énoncé On rappelle que les relations fondamentales de la piézoélectricité sont : ---? P ---? ---? = ---? d cr + ----? EoX E ---? et D = - ---? d cr + s E (25 . 1 ) Respectivement P , __§ et D représentent la polarisat�n, le champ électrique et l'excitation électrique. cr est le tenseur des contraintes, x celui des succeptibilités élec- triques et s celui des permittivités électriques. Le tenseur d est le tenseur piézoélectrique. Pour la polarisation, on a en détaillant l'expression précédente : - "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u On considère cinq matériaux piézoélectriques dont les tenseurs piézoélectriques d sont respectivement (les coefficients sont exprimés en 10- 12 C/N ) : Quartz : 2,3 -2,3 0 -0,7 0 0 0 0,7 -4,6 00 0 0 OO 0 0 0 92 www.biblio-scientifique.net Exercice 2 5 Céramique type G2000 (Gultron Industries) : 0 0 0 0 40 0 0 0 0 40 0 0 -39 -39 80 0 0 0 Céramique type PZT5A (Vernitron Corp) : 0 0 0 0 51 0 0 0 0 51 0 0 - 1 87 - 1 87 375 0 0 0 Céramique type PXE5 (RTC) : 0 0 0 0 30 0 0 0 0 30 0 0 - 1 95 - 1 95 390 0 0 0 Polyfluorure de vinyhdène (PVF2 ) : 0 0 0 0 10 0 OO 02 OO 20 2 -30 0 0 0 "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= 2 o.. 2 � ""' On considère un bloc parallélépipédique de matériau piézoélectrique dont les arêtes coïncident avec les directions principales (x, y et z) du matériau et on métallise deux faces opposées du bloc de façon à réaliser un condensateur. Le capteur ainsi réalisé est destiné à détecter des variations rapides de pression. tJji La taille du bloc de matériau piézoélectrique est suffisamment faible pour que l'on puisse faire l'hypothèse que les contraintes engendrées sont de type hydrosta­ tique. Parmi les cinq cités, quel est le matériau piézoélectrique le plus adéquat ? tJ*:.i A quel axe du matériau doivent être perpendiculaires les faces métallisées ? tJ10 On réalise maintenant une structure enchâssant un bloc du matériau piézo­ électrique de façon à ce qu'une seule de ses faces subisse les variations de pression. -0 0 Quel est le matériau le plus adapté ? Quelle face doit subir les variations de pression Ci et quelles faces doivent être métallisées ? @ = � " = 93 www.biblio-scientifique.net 25 • Piézoélectricité - Choix du piézoélectrique Corrigé détaillé tJji La contrainte subie est hydrostatique (pression p) . Le tenseur de contrainte s'écrit : 100 crXX crxy crZX crxy cryy cryz = cr 0 1 0 = 001 crzx cryz crzz -p 1 00 010 00 1 La polarisation apparaissant dans la direction i (i = x,y,z) sous contrainte hydrosta­ tique cr = -p s'écrit Pi = -(dixx diyy + dizz)P = -dihP · Parmi les cinq matériaux proposés, le matériau piézoélectrique le plus adéquat est celui possédant le plus grand coefficient hydrostatique dh soit le PVF2 pour lequel : + dzh = (20 + 2 - 30) . 1 0- 1 2 C/N = -8. 10- 12 C/N tJ*l La polarisation ne peut apparaître que dans la direction z. La métallisation servant à recueillir le signal électrique induit par 1 'effet piézoélectrique, la coupe doit donc être une coupe z, c'est-à-dire que les faces métallisées doivent être parallèles au plan xOy. tJ-11 Il y a ici uniquement une contrainte de traction-compression de la face expo­ sée à la pression. Les PZT5A et PXE5 offrent une réponse importante à cette sollici­ tation (polarisation selon la direction z). La réponse est plus importante dans les deux cas si la contrainte est appliquée selon la direction z sur une face perpendiculaire à la direction z. 11 faudra donc métalliser les faces perpendiculaires à la direction z. "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 94 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Capte u r à co u ra n t s d e Fo u ca u l t - M e s u re d e ré s i s t i vi té 26 Énoncé On considère le capteur à courants de Foucault illustré sur la figure 26. 1 et positionné en regard d'une cible sous test, méta11ique et non magnétique, dont on désire mesurer la résistivité. Ce système est destiné au contrôle soit de faibles variations de la résis­ tivité de bons conducteurs soit de gros défauts structurels situés sous la surface du conducteur. .. Isolant ���[ e cosax Bobine Cible métallique Le capteur Ï2 C=::> Cible métallique Principe de fonctionnement Fig ure 26. 1 - Principe de la mesure tiMI Expliquer le principe de fonctionnement du capteur. "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u ti;f.J La distance de la bobine à la cible est fixe, le capteur étant au contact de la ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2 2 B o.. :::l � "° 0c ::l Ci @ L1 cible par son isolant. Le bobinage du capteur possède une inductance propre et une résistance propre 1 . En notant le courant circulant dans le bobinage du capteur et les courants de Foucault induits dans la cible, donner l'expression de l'amplitude e de la tension aux bornes du bobinage du capteur en fonction de 1 , w et M où M représente le coefficient de mutue11e inductance entre le bobinage capteur et la cible métallique. i1 R i2 i 1 , i2 , L1 , R tHI On admet que la cible se comporte comme un bobinage d'inductance L2 et de résistance propre Donner 1 'équation régissant le secondaire du transformateur constitué par le capteur et la cible en fonction de w et M. R2 . i1 , i2 , L2 , R2, tiHGI En déduire les résistance et inductance apparentes, respectivement r et bobinage du capteur (le primaire) quand ce dernier est au contact de la cible. L, du 95 www.biblio-scientifique.net 26 • Capteur à courants de Foucault - Mesure de résistivité t31 Que deviennent ces expressions si l'on considère que la cible est un bon conducteur, soit pour R1 << L1w ? On posera M = k '\/L 1 L2 où k est le coefficient de couplage entre le bobinage du capteur et la cible, soit ici une constante puisque toutes les caractéristiques géométriques et dimensionnelles restent constantes. Le principe du conditionnement du capteur est un oscillateur dont le capteur est par­ tie prenante et conditionne la fréquence d'oscillation. Cet oscillateur est constitué des deux blocs suivants où les amplificateurs sont considérés comme parfaits : Capteur R" c L R Circuit sélectif Amplificateur Fig ure r 26.2 - Conditionnement du capteur tMd Calculer la fonction de transfert H1 (p) = V2 (p)/V1(p) de l ' amplificateur où p désigne la variable dans le domaine de Laplace. t.:.t;f4 Montrer que la fonction de transfert H2 (p) s'écrit : H2 (p) = RLC2p3 + = V4(p)/V3 (p) du circuit sélectif 1 (RrC + L)Cp2 + (r + 2R)Cp + 1 ------ Il est conseillé d'exprimer V4(p) en fonction de C et /2 (p), puis /2 (p) en fonction de la tension L, r, C et V(p) (voir le schéma de la figure 26.2) et enfin V(p) en fonction de R, L, r, C et V3 (p). "'O 0 c ::J 0 (V) t.:.t;f:I Pour réaliser un oscillateur sinusoïdal de pulsation d'oscillation Woscif, les deux blocs sont connectés de façon à ce que V4 = V1 et V3 = V2 . En déduire les conditions dites de Barkhausen imposées à la transrnittance 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u H(jWoscit) = Hi (jWoscil)H2 (jWoscil). t.:.t@J Déterminer la pulsation d'oscillation Woscil en fonction de r, R, L et C. En remplaçant r et L par leurs expressions en fonction R1 , R1, L1 , Li et k dans le cas d'un bon conducteur, montrer que cette pulsation peut se mettre sous la forme : Woscil = Wo 96 www.biblio-scientifique.net Exercice 26 wo, R2 = On précisera l'expression de conductrice soit pour O. pulsation d'oscillation pour une cible parfaitement t..(;1111 Déduire des réponses aux questions 8 et 9 la valeur du rapport R"/R' pour que la condition de Barkhausen sur le module soit vérifiée. On admettra que l'on peut considérer que la cible est parfaitement conductrice (i.e. 0) pour déterminer la valeur du rapport et que cette valeur, une fois fixée, reste correcte pour que l'oscillateur fonctionne même si * O. R2 R"/R' R2 = R R w0= R = n, C = t.ldlll On a pris la précaution de choisir une résistance égale à 1 , résistance du bobinage du capteur face à une cible parfaitement conductrice. Donner dans ce cas l'expression du rapport et celles de la pulsation et de la fréquence fo cor­ respondantes. Applications numériques : on donne L 1 1 mH, 1 50 1 nF et k = 0,5. R"/R' R 2 R2 = tMt..fl Montrer que, la résistance étant forcément proportionnelle à la résistivité p du matériau de la cible (i.e. ap), on a bien réalisé un capteur permettant la mesure de la résistivité de la cible. Dans le cas où la pulsation d' oscillation Woscil de l'oscillateur reste voisine de wo, donner, au premier ordre en p, la relation liant la pulsation et la résistivité. t;.{Mlt On rappelle que la profondeur de peau d'un matériau non magnétique est donnée par 5 où est la conductivité du matériau. Estimer pour un ma­ tériau cible bon conducteur comme le cuivre, la profondeur de matériau testée par cette méthode. On donne 5,9. 1 07 .O..m- 1 • = �2/ywµ0 y y= t;.{MGI Compte tenu des hypothèses et des résultats précédents, expliquer l'utilisa­ tion qui peut être faite de ce type de capteur. "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: Corrigé détaillé ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l'auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 � "° 0c ::l Ci @ 97 www.biblio-scientifique.net 27 EX E RCIC E : Re l at i o n m e s u ra n d e- s i g n a l d e m e s u re - Dé r i ve t h e r m i q u e Énoncé tDI Un système de mesure du micro-déplacement x possède à To = 20 °C une sensibilité réduite S r = 20 mV/µm/V et une dérive thermique as = tiS /S ti T soit 0, 1 %0c- L . Sous une alimentation Valim = 1 0 V et à T = 25°C, quelle est la tension de sortie Vmes pour un déplacement x = 10 �tm ? tM;,a Soit un système de mesure de déplacement de sensibilité réduite s r = 1 mV/µm/V et de dérive thermique Œs = tiS /S ti T = 0,5 % 0c- 1 à To = 20 °C. Sous une alimentation de Valim = 5 V et à T = 25 °C, à quel déplacement x corres­ pond une tension de sortie de Vmes = 4 1 mV ? Quelle erreur relative d'interprétation sur ce déplacement est commise si on ne tient pas compte de la dérive thermique ? tj.&I Un capteur de pression intégré a une sensibilité réduite S r = 1 00 mV/105 Pa/V à une température To = 20°C. Quelle est la tension Vmes délivrée par ce capteur pour une alimentation Valim = 5 V et pour une pression p = 1 , 5 . 105 Pa sachant qu' à la pression de référence Po = 1 05 Pa, il délivre une tension Vo = 1 V ? Quelle est la tension délivrée à T = 30°C pour une dérive thermique de la sensibilité as = 1 %/°C (on supposera qu'il n'y a pas de dérive thermique de la référence Vo) ? "'O 0 c ::J 0 (V) tMI Un débitmètre a une sensibilité S = 200 mVjL. ç 1 sur toute sa plage d'uti­ lisation et à la température de référence To = 20 °C. Quelle est la tension Vmes dé­ livrée par ce capteur pour un débit D = 20 L.s- 1 sachant qu'au débit de référence Do = 50 L.s- 1 , il délivre une tension Vo = 1 V ? Pour ce même débit, quelle est la tension délivrée à T = 40 °C pour une dé­ rive thermique as = -0, 1 %/°C de la sensibilité S et pour une dérive thermique av0 = -0,2 %/°C de la référence Vo ? 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u tMi On considère un capteur de pression de marque Keller. À la pression de ré­ férence Po = 1 05 Pa, la tension de sortie Vmes évolue avec la température T. Cette évolution est reportée dans le tableau suivant : 98 www.biblio-scientifique.net Exercice 2 7 Tableau 2 7. 1 - Dérive thermique T (C) Vmes(mV) -8,6 1 ,0 25,8 50,6 80,7 -5,5 -2,6 4,6 1 1 ,3 1 9,0 a) À partir de ces données, peut-on déterminer la valeur de la sensibilité ? b) Déterminer graphiquement ou par régression linéaire, l'équation de la meilleure droite approximant ce comportement. c) On désire avoir VmesCPo, To) = To 0 où désigne la température de référence. Donner, en explicitant le raisonnement, la valeur du coefficient CDTZ (coeffi­ cient de dérive thermique du zéro) et la valeur de T0. tMd On considère un capteur à effet Hall que l'on destine à la mesure sans contact -+ du courant I dans un conducteur rectiligne via le champ magnétique B créé. L'étendue de mesure E . M. du capteur s'étend de -900 G à +900 G. Les données du construc­ teur sont : Tableau 2 7.2- Capteur de champ d'induction magnétique Tension en champ nul Sensibilité Dérive du zéro Vo as Caractéristiques électriques à To 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u B=OG -900 G ::; B ::; +900 G B=OG -20 °C ::; T ::; +4 0 °C -900G ::; B ::; +900 G -20°C ::; T ::; +40 ° C s ll'Vo Dérive de la sensibilité "'O 0 c :J 0 (V) .-t Valeurs Unités Symbole Condition du test Caractéristique = 25 +2,5 +1,3 -1 V +0,2 %!°C mV/G mV/°C °C a) Comment adapter 1 'étendue de mesure du capteur à 1' étendue de mesure du courant ? � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü 2o.. = ""' 2 � = � -0 0 " = Ci @ Vmes T To. Vmes obtenue pour une va­ b) Donner l' expression littérale de la tension de mesure leur de champ B si la mesure est effectuée à une température * On posera !iT = T - To. c) Calculer dans le pire des cas l'évolution en tension li engendrée par l'évo­ lution de la température entre -20°C et +40°C, c'est-à-dire la différence entre la valeur approchée de la tension de mesure ne tenant pas compte de 1' évolution de la température et celle correcte déterminée précédemment. T d) À quelle erreur ceci correspond-il en terme de valeur de champ ? e) Déterminer la valeur de l 'erreur relative commise ; est-ce acceptable ? 99 www.biblio-scientifique.net 27 • Relation mesurande-sig nal de mesure - Dérive therm ique Corrigé détaillé Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l ' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 -00 c::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � ï:::Ol >0. u0 1 00 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : C a pte u r d e p re s s i o n Dé r i ve t h e rm i q u e 28 Énoncé Ci-dessous est reproduit le datasheet d'un capteur de la pression p à sortie en tension. Description These mi n i a ture ressure sensors are desi g ned to make stati c measurements of res­ p p sure as wel l as dynami c i n corrosi v e condi t i o n. Reali z ed enti r el y wi t h ti t a ni u m and stai n less steel , these leveli n g membrane sensors are com ati b le wi t h a great num­ p ber of corrosi v e or conducti n g . fi ui d s. An i n tegrated electroni c s makes it ossi b le to p deliver an analogical tension signal. "'O0 c:J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >- a. 0 u :�.= "Oc:: ::l rJ ]8 <.) ::l "' c:: 0c:: c:: Fig ure 2 8. l - Miniature pressure absolute sensor .S: u "O::l§. 2 B::l � -00 c:: 0::l @ l 01 www.biblio-scientifique.net 28 • Capteur de pression - Dérive thermique Technical data (@ To = 25 °C) Tableau 28. l - D atas hee t Measuring range Proof pressure Burst pressure Full scale output CVout span) Zero 1 00 PSI 1,5 x3 absol ute X CVout @ 0 PSI) Linearity Hysteresis Resolution Operating Temperature Range Compensated Temperature Range SV ov ±0.25% of the f u l l scale ±0.25% of the f u l l scale ±0.2% of the full scale -40°C to + 1 2 5°C 0°C to +60°C 0, 1 % of the full scale @ T 60°( 0, 1 % of the read i ng @ T 60°( = Thermal Zero Shift = Thermal Sensitivity Shift On rappelle que 1 PSI équivaut à 6894,7572 Pa. t.<1:11 Donner en unités du Système International, l'étendue de mesure E.M. de ce capteur. t.l:f.j Quelle est Ja limite mesurande du domaine de destruction ? t..J:IJ Déterminer la valeur de la sensibilité de ce capteur. t..J:ll Quelle est, en unités du système international, Ja plus faible évolution de Ja pression détectable avec ce capteur ? t..J:li Dans la zone de compensation, déterminer dans le pire des cas 1' écart c5Vout introduit par la dérive thermique. -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N t..J:ld Donner 1 'écart correspondant c5p et 1 'erreur engendrée de mesure. s7 en % de 1 'étendue t.;t:li L'étendue de mesure E.M. en unité anglo-saxonne est de 1 00 PSI soit dans Je Système International E.M. = 1 00 6894,7572 · t..J:f.j D' après le datasheet, � 6,895 · 1 05 Pa. elle est de trois fois la valeur maximale de l 'étendue de mesure soit de l 'ordre de 20,5 1 05 Pa. · 1 02 www.biblio-scientifique.net Exercice 28 t;.f:IJ Comme le zéro est nul (Vaur @O PSI = 0 V), comme l'extension du signal de sortie est �Vaut = 5 V et que l'entendue de mesure est : E.M. = 100 PSI � 6,895 . 105 Pa La sensibilité est donnée par S c = �VoutfE.M. = 50 mV/PSI = 725 ,2 mV/ 1 05 Pa. tl:ll La plus faible évolution de la pression détectable avec ce capteur est par dé­ finition l'incertitude de mobilité (improprement dite de résolution) soit 0,2 % E.M. soit 0,2 PSI ou encore 1 380 Pa. tl:Jj L'écart ôVaut introduit par la dérive thermique lorsque la température est T et non To est donné par : ôVout = Vaut (p,T) - Vaur(p,To) = [S c(T)p + Vaur(P = 0 Pa,T)] - [S c(To)P - Vaur(P = 0 Pa, To)] = [S c(T) - S c(To)] P + [Vour(P = 0 Pa,T) - Vaui(P = 0 Pa,To)] (28. 1 ) = s c(To) (l + Œsc (T - To)) p + f3vo (T - To) Les coefficients de dérive thermique étant tous les deux de même signe, 1 'écart ôVaut est extremum pour T - To extremum dans la zone de compensation, c'est-à-dire pour T = 60 °C. D'après les données du le deuxième terme de (28. 1 ) représente alors 0, % 5 V = 5 mV et le premier terme au maximum (pour p = OO PSI) 0, % · 5 V = S mV. Au total, on a donc au maximum ôVaut = l O mV. 1 · datasheet, 1 1 tl:l#J L'écart correspondant ôp est simplement donné par : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ôp = � ""' " = ôVout = 0,2 PSI � 1 380 Pa Sc -- (28.2) L'erreur engendrée ET est alors de 0,2 % de l'étendue de mesure. "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1 03 www.biblio-scientifique.net 29 EX E RCIC E : Pote n t i o m èt re rotat i f Effet d e l a d é r i ve t h e rm i q u e Énoncé R 1 R2 R On considère le montage en demi-pont de la figure 29. 1 où et représentent les deux résistances variables d'un potentiomètre rotatif de résistance totale 2Ro et de course angulaire totale (voir figure 29.2). Les résistances de l' autre branche potentiométrique sont fixes. n R R -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Figure Figure 2 9. 1 - Conditionnement en pont R1 , R2 V9. ao R1(ao) R2(ao). ao. l'iR1 fiR2 fia, Vmes t..ipll Donner l' expression de la tension de mesure t..ipf.j Le pont est équilibré pour une valeur ao? t,Pll fia R1 (aoRo.+fia) R2(ao +fia) t,Pll ao +fia. quelle valeur doit-on choisir pour 0 et l' angle 29.2 - Potentiomètre rotatif Vmes en fonction de et de la position angulaire. A priori En déduire les valeurs et Le mesurande évolue de à partir de puis les expressions de et Donner 1 'expression de la variation l'i Donner les expressions de en fonction de et de de la tension de mesure associée à 1 04 www.biblio-scientifique.net Exercice 29 tJJ1 Calculer la sensibilité de la mesure. On donne n= 250° et Vg = 1 V. Les mesures précédentes ont été réalisées à la température de référence T0 = 0°C. La température varie maintenant et fait varier la résistivité de la piste du potentiomètre selon p(T) = p0 ( 1 + apT) où est la résistivité du métal à 0 °C et la température est exprimée en °C. La température constitue donc a priori une grandeur d'influence de la mesure. tJl#J A priori, pourquoi se limite-t-on à une alimentation Vg = 1 V aussi faible qui limite ainsi la sensibilité de la mesure ? tjf4 Donner à une température T * To, les expressions de R 1 (ao, T) et R2 (ao , T) en fonction de Ro, ap, !iT = T - To, Ro, ap. tJJ:I Donner les expressions de R 1 (ao + !ia , T) et R2 (ao + !ia, T) pour une évolution de l'angle à une température T * To. tJ&J En déduire la nouvelle expression de la variation !i Vmes et conclure. Corrigé détaillé tJll L'expression de la tension de mesure Vmes est : (29. 1 ) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u tjf:.I Le pont doit être équilibré pour une valeur ao de la position angulaire qui mi­ nimise les non-linéarités de la mesure donc a priori pour ao = .Q/2. La résistance par unité d'angle de la piste résistive est 2R0/.Q, on a donc : � ""' " = "' " " '" { R 1 (ao) = (2Ro/.Q) · (.Q/2) = Ro R2 (ao) = 2Ro - Ri (ao) = Ro ·C0 tJIJ De la même façon, on a : " R 1 (œ0 + ô.œ) = ="' " 0" .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ � (� 2 0 + M) = ( � ) = ( �) Ro l + 2 R1(œo + ô.œ) = 2Ro - Ri(œo + ô.œ) Ro 1 - 2 (29.2) (29.3) Les deux branches du potentiomètre constituent deux capteurs linéaires en !ia fonc­ tionnant en mode push-pull. 1 05 www.biblio-scientifique.net 29 • Potentiomètre rotatif - Effet de la dérive thermique tJll En reportant (29.3) dans (29. 1 ), il vient : ( ) ( ) ( ;) ( ; ) �a �a - Ro 1 - 2 Q Q V9 �a Ri - R2 V9 = = Vmes V9 R 1 + R2 2 � � 2 Q + Ro 1 - 2 Ro 1 + 2 + Ro 1 _ 2 = � Vmes (29.4) La mesure est linéaire en �a. tJJ1 La sensibilité de la mesure est donnée par S mes = �Vmes!�a = 4 mV/° . tJl#J La résistivité varie avec la température et donc par conséquence les valeurs des résistances varient avec la température. Ceci peut a priori provoquer une dérive de la tension de mesure à déplacement angulaire �a fixe et donc par la suite une erreur d'interprétation de cette tension de mesure. Une tension d'alimentation trop impor­ tante risque d'entraîner un auto échauffement par effet Joule et donc par le principe décrit précédemment une erreur d'interprétation de la tension de mesure. tJf4 À la température T + tenant R0( 1 apT). On a donc : * T0 et puisque T0 = 0 °C, la résistance Ro s'écrit main­ (29.5) tJJ:I De la même façon que précédemment, on a : ( �) + ( �) R1 (ao + Aœ,T) = Ro(I + <>pT) 1 + 2 R2 (ao "'O 0 c ::J 0 Aa, T) = Ro( I apT) 1 - 2 tJIJ En reportant ces expressions dans (29. 1 ), il vient : ( ) ( �) 0 N ...... �VmesCT) @ = ( ) ( �) �a �a - R0( l + apT) 1 - 2 Q V9 Q 2 + Ro( I + œpT) 1 - 2 Ro( I + ŒpT) 1 + 2 Ro(l + apT) 1 + 2 (V) ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u + (29.6) = �a - Vg (29.7) n Ce résultat est strictement identique au résultat (29.4). On en déduit que si la tempé­ rature constitue bien une grandeur d'influence de chaque piste résistive prise comme capteur, elle est sans effet sur la mesure, ceci en raison du conditionnement en demi­ pont push-pull. L'argument développé à la question 6 est donc sans objet et on peut se permettre d'augmenter la tension d' alimentation afin d' augmenter la sensibilité de la mesure. 1 06 www.biblio-scientifique.net EX E RCIC E : Ré s i sta n ce the rmométriq ue e n m o n tag e pote n t i o m ét r i q u e 30 Énoncé On considère le montage potentiométrique ci­ contre où est une ré­ = 1 sistance thermométrique de nickel et R une simple résistance fixe. Dans cette dernière expression, la température est exprimée en °C, = 1 .Q, 3 1 6 = 5 , 5 . 10- 0c- et = 6,7 . 10- 0c-2 . La = 5 V possède source de tension de fem une impédance interne négligeable. Ce système est destiné à la mesure de températures comprises entre -50 °C et +90 °C. Rc(T) Rc(O)( +AT + BT2) T Rc(O) OO B Vg Rg A 11'11 A (V) .-t 0 N ""' " = ....... "' " " '" O'l ·;:::: ="' @ ..c >a. 0 u ·C0 " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ forme et température qui servira de référence ? priori, Pour une température � 30. l - Montage potentiométrique T0, fief) T = To tiT, Rc(T) 2 ) R0 Rc(To) Rc(T) R0(1 + a:: ti T + f3(/1T) a::, f3 Ro. Mc = Rc(T) -Rc(To) a::, [3, R0 tiT. ilell Mc tiT Rc(T), R 11'11 s(T) V me Vg 11Rc, Ro, R V9. II•ld s(T) = Vmes(T) - Vmes(To) 11Vme Mc, Ro, R Vg. quelle doit être la valeur de On précisera la raison de ce choix. "'O 0 c :J 0 Fig ure = Application numérique. + où réécrire l'expression de sous la = en précisant les expressions de inll Donner l'expression de Donner l'approximation linéaire de la sensibilité S c du capteur. et en fonction de au premier ordre en Donner l'expression de la tension de mesure puis de et En déduire l'expression de la variation fonction de et et et en déduire en fonction de en 1 07 www.biblio-scientifique.net 30 • Résistance thermométrique en montage potentiométrique lnf4 Donner 1' approximation linéaire au premier ordre en duire la sensibilité S cond du conditionneur. lnl:I Donner l'expression de �Vmes en fonction de œ, {3, /j,_Rc � Vmes R0, R, �Tet V9 . �T �Vmes 11'11 Donner l'approximation linéaire au premier ordre en duire la sensibilité S mes de la mesure. lnlltJ Calculer la valeur de R de et en dé­ de et en dé­ qui rend cette sensibilité maximale. lnlll Pour cette valeur, donner alors les nouvelles expressions de S lnlt) En repartant de 1 ' expression de la question 5 de Rc(T),To.R V9, et calculer la valeur de rature R �Vmes(T) cond mes· et S en fonction de qui maximalise la linéarité autour de la tempé­ lnlil Pour cette valeur, déterminer les nouvelles expressions de S cond et S Corrigé détaillé Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï:: >0. 0 u 1 08 www.biblio-scientifique.net mes· EX E RCIC E : Capte u r d e d é p l ace m e n t ca pac i t i f - N o n - l i n é a r i té 31 Énoncé On considère le montage en quart de pont de la figure 3 1 . 1 où Z1 et Z2 sont les im­ pédances complexes de deux capteurs du mesurande m et R 3 et R4 deux résistances fixes. La source de tension sinusoïdale de pulsation wg et de fem Vg possède une résistance interne Rg négligeable. Fig ure mes' 3 1 . 1 - Quart de pont 1111 Donner 1' expression de V "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N fonction de Z1 , Z2 , R 3 , R4 et Vg . � ""' " = ....... "' " " '" O'l ·;:::: ="' @ ..c >a. 0 u ·C0 " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ mes(t) amplitude de la tension de mesure V en ltf.j Le pont est équilibré pour une valeur mo de l'étendue de mesure E . M. du me­ surande pour laquelle on a Z1 (mo) = Z2 (mo) = Zo. A priori quelles valeurs doit-on choisir pour mo ? En fonction de ces résultats, récrire V hors équilibre en fonction de Z1 , Z2 et Vg. Les deux capteurs sont constitués par des armatures identiques, planes, rectangulaires d'aire S et de longueur L. Une armature mobile est susceptible de glisser dans son plan dans la direction de sa longueur entre les deux autres armatures fixes. Les en­ trefers des deux condensateurs ainsi constitués sont fixes et de valeur e. Il en est de même pour la permittivité c du milieu ambiant. À l'origine 1' armature mobile est au milieu des deux armatures fixes (voir figure 3 1 .2). mes 1 09 www.biblio-scientifique.net 31 • Capteu r de déplacement capacitif - Non - l i néarité �7 ,/' · . /. � - Armature fixe· e! / S 7 <--L/-2- L-�--�f�-- - ---�J�--- - - - - --- - - - - -�// } ..··<:\-;;:ri �ture ��bÙ·�. ::_::-7 / . _ _ . / · -······-. ..._ ._ ' '"""'7' ./ Q_·"··----·· :··· : -··--·--,• ------- ·--� / . • /. / -····· s ·: Figure - - - - / L x z1 . ,,. 3 1 .2 Principe de la mesure :' _ 1 1)81 En négligeant les effets de bord, donner 'expression de Co, capacité de chaque ... . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. condensateur à l'origine, en fonction de t:, e et S . En déduire l'expression de l'impé­ dance Zo correspondante. 1111 L'armature mobile se déplace de !ix vers la droite. Déterminer les expressions / de C1 et C2 en fonction de tix, L et Co puis de Z1 et Z2 en fonction de tix, L et Z0. 1111 Donner l'expression de la variation ti Vmes· IJld Donner l'expression S mes de la sensibilité de la mesure. On donne L et Vg = 10 V. = 1 cm 1)*4 En fait les effets de bord et le couplage entre les armatures fixes font que les capacités des condensateurs ne sont pas linéaires en tix/L. De façon générale, on peut écrire en se limitant à l'ordre 3 en tix/L, C 1 = Co 1 + k1 (!ix/L) + k2 (!ix/L)2 + k3 (!ix/L)3 . En déduire l'expression de C2 . ( ) 111:1 À partir des résultats de la question 4, donner la valeur de k1 . -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 111#1 En tenant compte de la non-linéarité des capteurs, quelle est la nouvelle ex­ pression de ti Vmes ? On présentera le résultat sous forme d'un développement selon les puissances croissantes de !ix/L. On rappelle que + x) = - x + x2 - . . . 1/(1 1 llllt) Quel est l'ordre de la non linéarité de la mesure ? Conclure. 11111 Quelle relation doivent vérifier k1 , k2 et k3 pour annuler toute non-linéarité ? lllt.:.W On revient à l'expression de ti Vmes calculée à la question 5 et ne tenant pas compte des non-linéarités des capteurs. Pour étudier le spectre de ti Vmes (et rester dans le cadre d'un calcul simple), on suppose que l'évolution temporelle du mesurande est de la forme !ix(t) = !ix cos wt. Après calcul, donner les pulsations 1 10 www.biblio-scientifique.net Exercice 3 1 mesCt). constituantes du spectre de �V tion ? Sous quelle forme se trouve portée 1 'informa­ mes, llllJ On revient à l'expression de �V calculée à la question 9, qm tient compte des non-linéarités des capteurs. Pour une même évolution temporelle du mesurande en �x(t) �x cos wt, après calcul, donner les pulsations constituantes du spectre de � Sous quelle forme se trouve maintenant portée l ' informa­ tion ? On se limitera à l 'ordre 3 en �x/L dans l'expression de � V On rappelle que 3 cos u = (cos 3u - 3 cos u)/4. = VmesU). mes· lllGI Sous quelle forme se trouverait portée l'information si on continuait le dé­ veloppement limité de la question 9 à des ordres supérieurs ? Corrigé détaillé Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N c::l © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u c0 c c .r2 ü 2o.. ::l 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ 1l1 www.biblio-scientifique.net 32 EX E RCIC E : Ca pte u r d e te m pé ratu re - L i n é a r i s at i o n Énoncé Dans ce qui suit, les températures exprimées en degrés Celsius figurent en minus­ cules, celles en kelvin en majuscules. Soit un capteur de température constitué par une Ptl OO insérée dans un tuyau de circu­ lation d'eau à la température Teau · Le milieu extérieur est à la température constante fext = 20 °C (soit Text = 293, 1 5 K). En négligeant la puissance dissipée par effet Joule dans le capteur, on peut établir la fonction de transfert suivante pour ce capteur à la température T : T - Text ( ) Hp = Teau - Text "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u !iT 1 Keau ---- ------MC Keau + Kext l + p Keau + Kext 1 = Go --1 + Tp Keau représente le coefficient de couplage thermique entre le capteur et l'eau, Kext celui entre le capteur et le milieu extérieur, M la masse du capteur et C sa capacité calorifique massique. Numériquement, on donne le gain statique Go = 5/6 et la constante de temps T = 5/3 s t ifjl Calculer en régime permanent la température du capteur pour une tempéra­ ture de l 'eau de 20 °C. if..1:.1 À un instant pris pour origine, la température de l'eau de la canalisation passe t brusquement de 20 à 1 00 °C. Calculer la température du capteur au bout d'un temps () = 3r. t lf..#J Quelle est la valeur de la température du capteur si on attend un temps suffi­ samment long ? 1 12 www.biblio-scientifique.net Exercice 32 On rappelle que la Ptl OO a une résistance qui varie avec la température t exprimée en °C selon R(t) = R(O)( l + at bt2 ) où R(O) = 100 Q représente la résistance à 0 °C, a = 3,90083 · 1 0-3/°C et b -5, 775 · 1 0-7j°C2 . + = lt..tl En considérant to = 0 °C comme température de référence, donner la variation tiR de R(t) par rapport à R(O) lorsque la température est t. ft41 L'étendue de mesure de la Ptl OO reste limitée à l'intervalle [ti ; ts] avec ti 0 °C et ts 1 00 °C. On cherche à déterminer une approximation linéaire RiinCt) = R(O)(œt + /3) de R(t) = R(O)(l + at + bt2 ) sur l 'intervalle [ti ; ts]. Pour ce faire, on généralise les moindres carrés au cas continu selon : = = x2 = 1- J ls - ts - ti [R(t) - Rün(t)] 2 dt t; Les bonnes valeurs à donner à a et f3 doivent minimiser x2 , on doit donc avoir dx2/dœ = 0 et dx2 /df3 = O. Résoudre le système et, compte tenu que ti = 0, montrer que a et f3 sont donnés par a = a + bts et f3 = - bt;/6 (on supposera sans le justifier que l'on peut intervertir dérivation par rapport à a et f3 et intégration par rapport à t). 1 lfJd Donner l'expression de l'écart à la linéarité que l'on notera 6 puis celle de l'erreur de linéarité Sfin · ft.tf4 À partir des résultats précédents, donner sur l'étendue de mesure l' approxi­ mation S c de la sensibilité du capteur. ftJ:t Le capteur est monté en quart de pont actif (voir figure 32. 1 ) avec trois ré­ sistances fixes R l OO Q et une source parfaite de fem Vg l O V. L'amplificateur opérationnel est considéré comme parfait. Donner 1 'expression de la tension de mesure Vmes en considérant 1 'approximation linéaire du capteur et en déduire celle de la sensibilité S de la mesure . = "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c::::l '-' '-' = � �0 :; "' R c:0 c: c: .S: ü :::l "O o. ê - A 12 2 B:::l rS -00 c::::l a @ R R( D B - + Fig ure 32. l - Conditionnement du capteur R �nes 77777 l l3 www.biblio-scientifique.net 32 • Capteur de température - Linéarisation lfM La tension de mesure est passée dans un bloc de conditionnement du signal réalisé à partir d'un amplificateur opérationnel et d'un multimètre. On désire que le multimètre affiche directement, en régime permanent, une tension V' égale à la température de l'eau avec un facteur d'échelle de 1 0 mV par °C (c'est-à­ dire V = Donner la relation littérale reliant V et V' et en déduire les opérations que doit effectuer l' amplificateur opérationnel (conditionneur du signal). feau/100). mes ftjltJ Proposer un montage à amplificateur opérationnel pour le conditionneur du signal. Corrigé détaillé lfjl En régime permanent, si feau = 20 °C, alors liteau liTeau = = 0 °C et donc liT = t = ftl'..I liT liTeauGo ( - e-O!r) t= liT = liTeauGo ( - e-3) = lit = lf..11 t= liT = liTeauGo = ft"'ll t2 o R(t) -R(O) R(O)(at bt ), 11'41 fs x2 t���i J [( + at + bt2) - (at + J2 dt 0 °C soit on a 20 °C. Compte tenu de la forme de la fonction de transfert, dans le domaine temporel 1 où () représente le temps. Pour () = 3r, on a : = 63 ,3 °C soit 1 Pour 8 tendant vers l'infini, on a 83,3 °C 66,7 °C soit La température de référence est = 0 °C. On a M = = le capteur est non-linéaire. + "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u On a : 1 = /3) li Il vient alors : dda2 O - fs [( + at + bt2) -(at + J tdt I �2 - j[(l +at+bt2 )-(at+f3)] ·dt = O l= =::} 1 2 li ls = 0 =:} 2 li 1 14 www.biblio-scientifique.net /3) · =0 66,7 °C. Exercice 32 Après intégration, on obtient : [(� + a�3 + b�4 ) - ( œ: + finr [(t + at2 + bt3 ) - ( at2 + [Jt)]ts = 2 Compte tenu que ti = 3 2 !; � 0 (32. 1 ) 0 0 °C, le système (32. 1 ) se résout en : { a = a + bts = /3 = - bt�/6 = 1 / 3,84. 1 0-3 °C 1 ,00 if'Jd L'écart à la linéarité est donné par : = (IR(O) ( + at + bt2) - R(O) (at + [J)l)tEE.M. t i t 5 = = = R(O) (/3 = ti = /3 - ' (/3 = êfi.n = R(ts) -R(ti) = R(O) ( R(O) + at5 + bt;) -R(O) ats + bt� 6 Max 1 Cette dernière expression est maximale en 0 °C et 1 00 °C et de valeur 6 0 °C, - 1 ) 0,096. On en déduit l'erreur de linéarité qui, puisque s'écrit : 6 l) 1 1 '.::::'. 0 25 % if.>4 L'approximation de la sensibilité du capteur est simplement le rapport des variations Sc ""' " = ....... O'l ·;:::: ="' ..c >a. 0 u ·C0 0 " " .3 ü = ""' 2 � = � -0 0 _ La contre-réaction amenant " 2o.. Vg Vs = V - R(t)V9R(t)++RVmes R V = Vs, Vmes = R -R(t) 2R Vg R = R(O), R(t) -R(O) = !iR, A � "' " " '" @ 0,384 O.j°C. ifj:I L'amplificateur étant considéré comme parfait, on a : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N = !iR(t)/!it = aR(O) = Comme ici avec et A - 2 il vient : (32.2) (32.2) devient : (32.3) " = Ci @ ll5 www.biblio-scientifique.net 32 • Capteur de température - Linéarisation 2, fl. T = fl. T uGo ( 1 - e-B!r) ea l!l. T = Gofl. T eau t f t + Go (t u e a e x (32.3), = teau/100. ftl:J D' après la réponse à la question permanent V soit en régime - fexr). On désire de plus que ou encore = Reporté dans on obtient : Inversement, il vient : -Go = -0,624 · Vmes -0,04 (32.4) 2Vmes 1lOOGo V = _ 100GoœV9 32.2). fext itjleJ Un montage possible serait un sommateur-inverseur (figure R,,, R' V';nes R" - F i g u re 32.2 Conditionnement du capteur On a : V s = 1 = 62,4 Avec par exemple, R' R"' et R" = 624 n kO et kO. = -R"' ( Vmes + Vrj ) Vréf = 4 R' R" V, l'identification de "'O 0 c ::J 0 .... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 1 16 www.biblio-scientifique.net (32.5) (32.4) (32.5) à donne EX E RCIC E : Défa u t d ' u n pote n t i o m èt re u t i l i sé e n ca pte u r a n g u l a i re 33 Énoncé On considère le montage en demi-pont push-pull de la figure 33. 1 où R 1 (a) et R2 (œ) désignent les deux résistances variables d'un potentiomètre rotatif. La course angu­ laire maximale du potentiomètre, notée Q, est de 320° et la résistance totale de la piste, notée R, est de 2 k.Q. La source de tension de fem V9 possède une résistance interne négligeable. R3 et R4 sont des résistances ajustables. La piste résistive du potentiomètre présente un léger défaut d'épaisseur provenant du process industriel de fabrication si bien que la résistance R 1 (œ) doit s'écrire : R 1 (a) = Œ ( Œ Q ) R Q l +a - 1 + a- -- (33 . 1 ) On désire équilibrer le pont pour une course angulaire a égale à Q/2. R2 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ R4 Vmes F i g u re 33.1 - Conditionnement en demi-pont R1 (a)� Fig u re 33.2 - Potentiomètre rotatif Dll Donner la valeur de R 1 (Q/2) notée Rio . Df;.j En déduire la valeur de R2 (Q/2) notée R20 . 1111 Quelles sont les valeurs à donner à R3 et R4 pour que le pont soit équilibré pour la position angulaire Q/2 ? 1111 On considère une augmentation ôœ de œ à partir de la référence Q/2. Calculer R1 (Q/2 + ôœ) puis en déduire ôR 1 = R 1 (Q/2 + ôœ) - R 10 • 117 www.biblio-scientifique.net 33 • Défaut d'un potentiomètre utilisé en capteu r angulaire mi Donner 1 'expression de la tension de mesure et Vg. en fonction de Lia, n, Vmes,lin elin elin = V(Vmes -VV mes,lin) a ezin m#J Donner l'expression linéarisée üfl En déduire l'erreur Vmes de la tension de mesure a Vmes· provenant de la non-linéarité que l'on estimera par : max max - min m:t Quelle est la valeur maximale de pour que reste inférieure à % ? 1 Corrigé détaillé 1111 En utilisant (33.1), Rl = -2l +a+a -R4 R (.Q/2) = R = 21 ( 1 + a2 ) -+a R2(.Q/2) = R20 = R - R10 = 21 ++a3aR-4 on a immédiatement : 10 1 - (33.2) - lft:.I Le mode de fonctionnement étant push-pull, on a : Dll Pour équilibrer le pont, il faut que les diviseurs de tension réalisés par chaque branche potentiométrique soient identiques. On peut donc choisir par exemple = 10 et = 20 ce qui permet, à 1' équilibre du pont, d'obtenir le même courant et le même effet Joule dans chaque branche poten­ tiométrique. On minimise ainsi les risques de déséquilibre du pont liés aux variations de résistivité des résistances sous l'effet de leur auto-échauffement. R3 R R4 R "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N (33.1) : aLia ) -R Ri (-2 + ) ( -2 + -) ( 1 + -2a + -= ( 1 + 2�œ )(2 + a + 2a�œ ) 1 : a = 1 R= (2+a+4(1 +a)- +4a ( -) ) l +a 4 (33.2) (33.3) : = Ri ( � + ) = ((1 +a) � +a ( �n :a Htl On a en remplaçant dans n @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Lia = 1 Lia n On en déduit immédiatement en utilisant Af< 1 n l +a Lia Lia 2 n n (33.3) et �a - R10 1 18 www.biblio-scientifique.net l (33.4) Exercice 33 mi L'expression de la tension de mesure est d'après la figure 33. 1 : + R1 (� Aœ) + R2 ( � + Aœ) R1 (� +Aœ) R10 = R1 (� Aœ) + R2 (� + Aœ) CommeR2 (0./2 + Liœ) R - Ri (0./2 + Liœ) R - Ro1-LiR1 etR1o+R20 R, + = tenu de (33.4), on obtient : = = compte (33.5) Dld L'expression linéaire de mes donc à l'ordre en V 1 Liœ/0. V = Liœ V9 mes.lin À l'ordre mesure. en 1 Liœ/O., est simplement : O. (33.6) le défaut lié au process de fabrication n'a pas d'effet sur la üfl L'expression (33.5) est monotone et croissante en variation "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ..... @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ sur son intervalle de Les valeurs extrémales de la tension de mesure sont donc : Liœ/O. [-1/2 ; + 1/2]. a al +a ) V9 Vmm· _!(1 !_ Vmax -21 ( 1 + -21 -2 2 l +a_)v 2 a Liœ (-1 +-(a ) V9) 4(1 a a) V9 ' Vmax - Vmin = Vg a/4(1 +a). a 4.10-2 . = { et = g (33.7) En utilisant (33.5), (33.6) et (33.7), on a : max ( Vmes - Vmes lin ) = max n = + L'erreur enn provenant de la non-linéarité introduite par le défaut de process de fabri­ cation est donc elin = IJ:l:I Pour que cette erreur reste inférieure à 1 %, on doit avoir � 1 19 www.biblio-scientifique.net 34 EX E RCIC E : Capte u r capac i t i f Effet d e l a d i l atat i o n Énoncé On considère le montage suivant réalisant deux capteurs capacitifs destinés à mesu­ rer les micro-déplacements de la partie mobile dans la direction x. L'ensemble est utilisé industriellement près du creuset de fusion d'un métal et sa température T subit donc de très fortes variations. La permittivité s du milieu peut être considérée comme totalement fixe. On espère de ce système une erreur de précision inférieure à 1 %. Partie fixe -0 0 c ::i 0 Surfaces d'aire S en regard (V) .-1 0 N F i g u re 34.1 - Capteur capacitif @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u La partie mobile est à sa position de référence lorsqu'elle se trouve au milieu de la partie fixe. Les entrefers des deux condensateurs de capacités C 1 et C2 ainsi formés entre la partie mobile et les deux extrémités de la partie fixe valent alors eo. On né­ glige les effets de bord et on considère que les deux condensateurs sont plans d' aire S . La température prise comme référence des températures est notée T0. 1§11 Donner la valeur de la capacité Co que prennent les condensateurs dans la position d' équilibre (ou position de référence) et à la température de référence To. 1 20 www.biblio-scientifique.net Exercice 34 Uf.:.J à Les condensateurs sont al i m entés en régi m e permanent si n usoïdal la pul s a­ tion En déduire alors leur impédance commune notée Z0. DIU La partie mobile se déplace dans la direction x si bien que l' entrefer du condensateur de capaci t é devi e nt �x et que cel u i du condensateur de 1 capaci t é devi e nt -�x. Donner les nouve1 1 e s i m pédances Z1 et des deux condensateurs. On exprimera ces dernières en fonction de Zo, et �x. Onoù lesconsidère le montage de la fi g ure ci-contre deux capteurs sont associés deux ré­ sistances fixes La source de tension de fem possède une i m pédance i n terne consi d érée comme négligeable. w. C C2 e2 = ei = eo + eo Z2 ea à R. Vg R Fig u re 34.2 - Conditionnement 1111 Vmes Vg Donner 1 'expressi o n de la tensi o n de mesure en foncti o n de et puis en fonction de �x et parti r de l a température de référence, l a température du mi l i e u augmente forte­ ment et passe l a val e ur T. Cette augmentati o n provoque une di l a tati o n du maté­ riau duk,lcapteur. Cette di l a tati o n fai t que l'ai r e des surfaces en regard passent de �T)(l ,l�T) où k est un coeffi c i e nt sans di m ensi o n dépendant de l a géomé­ tril'entrefer e, A le coeffi c ient de di l a tation l i n éi q ue du matéri a u et �T Simul t anément, passe de ,l�T). 011 Donner la nouvelle valeur, notée Z0 , de l'impédance des deux condensateurs l' équilibre. L' exprimer en fonction de k, ,let �T. illd Comme précédemment, la partie mobile se déplace dans la direction x si bien augmente de �x et que cel u i du conden­ que l' e ntrefer du condensateur de capaci t é sateur de capaci t é di m i n ue de �X. Donner l e s nouvel l es i m pédances z; et z� des deux condensateurs en fonction de Z0, k, �T, e0 et �x. notée en fonc­ Donner l a nouvel l e expressi o n de tension de mesure tion de �T, �x et L' e ffet de l a vari a ti o n de température est-el l e rédhi b i t oi r e sachant que , l est de 1 l'ordre de 0c- et que �Test au maximum de °C? V9. ea, À Z1 , Z2 à S à S(1 + + = eo à eo( l + à "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N � ""' " = ....... "' " " '" O'l ·;:::: ="' @ ..c >a. 0 u ·C0 " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 T - To. Zo, C1 C2 Uf4 Ul:t À, ea, 10-5 À, Vmes , Vg. V�es • 400 " = Ci @ 1 21 www.biblio-scientifique.net 34 • Capteur capacitif - Effet de la d i latation Corrigé détaillé 1§11 Les effets de bord étant négl i g és, la capaci t é est donnée par l' e xpression clas­ sique d'un condensateur plan savoir Co = eS/eo. i§f) En régime permanent sinusoïdal la pulsation w, l' impédance commune Zo s'écrit : 1 = -e0 Zo = -}Cow jeSw De façon similaire, on a maintenant : e = eo + �x = Zo ( + -�x) Z1 = -jeSw jeSw eo e2 = eo - �x = Zo ( �x) Z2 = jeSw jeSw eo On est en présence de deux capteurs linéaires fonctionnant en mode push-pull. 1§1§1 Compte tenu du conditionnement représenté figure et de on a : à à 011 1 1 (34. 1 ) -- 1-- 34.2 (34. 1), (34.2) 011 On a maintenant : + À�T) = Zo Zo' = jeSe'o'w = jeS (1 +eo(lkÀ�T)(l + À�T)w 1 + kÀ�T i§ld La nouvelle impédance Zi est donnée par : + À�T) ++ �XÀ�T)w = Z0' ( 1 + �X ) Z' = jeS eo(l+ kÀ�T)(l eo(l + À�T) - 1 +�t..T ( 1 + -e0_(1_�_x-À�-T-)) De la même façon, on a : ---- -0 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 1 (1 1 22 www.biblio-scientifique.net Exercice 34 UN (34.2) devient alors : , = Zi Vmes Z1' Z� Vg + Z'2 l - �tiT ( l + eo(I ��tiT) ) 1 ��tiT ( l eo(I ��tiT) ) 2 L1x Zo tu 1 k,ii1T ( eo(l ,ii1T) ) k,ii1T ( eo(l ,ii1T) ) L1x eo( 1 AL1T) 2 Au maximum, AL1T :::;: 4.10-3 . On peut donc écrire : L1x ,ii1T) L1x eo(l AL1T) 2 eo 2 Laacceptabl différence rel a ti v e entre et n' e st au maxi m um que de 0, 4 ce qui reste e devant l' erreur de précision maximale requise de = 1+ - + -------� 1+ 01:1 - Zo 1 = ----+ + Vg V�es = + Vg + Vmes + - _ 1+ Vg :::;: - -(1 V9 + - V�es % 1 %. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u " = "' " " '" ·C0 § " 0 " " .3 ü 2o.. = 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1 23 www.biblio-scientifique.net 35 EX E RCIC E : P h otod i o d e à d e u x cad ra n s u t i l i sée e n capte u r d 'a n g l e Énoncé à Lade lphotodi o de cadrans foncti o nne d' u n point de vue semi-conducteur exactement amurmêmeisolafaçon que l a photodi o de La seul e di f férence consiste en un très fin nt partageant l a photodiode en deux cadrans et 2 comme représenté sur la figure 35.1. Tout se passe comme si on avait en fait deux photodiodes accolées. « PIN. » 1 E j 1 j j j J/ Isolation / .__/ Cadran L Cadran 2 p 1 N Fig u re 35. 1 - Photodiode à cadrans -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u E S Unproporti faisceau l a ser d'i n tensi t é et de section engendre donc deux courants /1 eth o nnel s aux ai r es A et A des surfaces du fai s ceau i n terceptées par et 2 2 lsuies tcadrans 1 et2. Si on négl i g e l a l a rgeur du mur d' i sol a tion, ce qui est l e cas pour la e, on a bien évidemment A A1 A où A est l' a i r e de la secti o n du faisceau 2 (voir figure 35.2). S1 1 S + = S --s Cadran 1 '--) Cadran 2 X F i g u re 35.2 - Principe de mesure 1 24 www.biblio-scientifique.net Exercice 3 5 Oncorderappella ldie squetancel'aiureduA'centre de la (fisurface coupée dans un disque de rayon r par une gure 35.3) est donnée par : .. = r2 arcos ( � ) - �r2 - u2 Fig ure S' à u -> <l- u A' 35.3 - Surface coupée S' 1. P r i n c i pe de l a p hotod i ode à d e u x cad ran s 1)911 Détermi n er en foncti o n de (compté posi t i v ement l o rsque le centre du fai s ­ ceau se dépl a ce vers l e cadran 2), l a val e ur de l'ai r e A ai r e de l' i n tersecti o n de l a secti o n du faisceau et du cadran 1 on notera l e rayon du spot l u mi n eux. Déter­ rrùner la valeur de l'aire A1, aire de l' intersection de la surface et du cadran 2. 8*.J Le faisceau lurrùneux a une puissance c/>1 en sortie du laser émetteur et que le mipuissances lieu de propagati o n n' e st pas absorbant. Écri r e en foncti o n de cp1 , A A et A, les 2 et c/> respecti v ement reçues par l e s cadrans 1 et 2 pour un dépl a cement 2 du centre du spot lumineux. lf"IJ On néglige le courant d' obscurité des photodiodes et on considère qu' e l e s ont une même sensibilité en déduire les courants li et correspondants. x ; S r 1, S 1, cf> 1 x li Sphot' I l. M e s u re d e s cou rants fi­ "'O0 c:J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >- a. 0 u Leguremontage él e ctroni q ue de condi t i o nnement est réal i sé de la façon présentée 35. 4 où l'on suppose que les composants util i sés sont parfaits. On suppose que la puissance lurrùneuse incidente du faisceau et sa position sont constantes. c :�.= "Oc:: ::l rJ ]8 <.) ::l "' c:: 0c:: c:: Jl I I .S: u "O::l§. 2 B::l � -00 c:: 0::l @ Jl NfD - V,11,,. Figure 3 5.4 - Électronique de conditionnement D I I 1 25 www.biblio-scientifique.net 35 • Photodiode à deux cadrans utilisée e n capteur d'angle H'"tl V1 Détermi n er l e s expressi o ns de et V . Que réal i se chacune des voies du pre­ 2 mier étage du montage précédent H.,.1 Déterminer 1'expression de Hid Déterminer l' e xpression de IJ91t4 Le diviseur, étage de sortie du montage précédent, possède une sortie de la forme où V = 1 0 V. Déterminer l' expression de la tension de sortie en fonction de et puis en fonction de et IJaj:J Le déplacement restant faible, calculer l' expression de l' approximation li­ néaire de en 2On rappelle que le développement limité au voisinage de 0 de arccos(u) et de - u sont donnés par : arccos(u) = n/2 - u - u3/6 - 3u5/4ü u5 t:(u) avec lim t:(u) 0 - u2 I - u2/2 - u4/8+u4t:'(u) avec lim t:' (u) 0 ? VN . V0. V.N/D V /1 , h V, x Vmes r. x Vmes,lin YI x. + YI = = u-tO u-tO = I l l . Pri n c i pe de l a me s u re d ' u n e m i c ro rotation à Ontodicherche mesurer avec précision un mi c ro angl e de rotati o n en uti l i sant la pho­ o de cadrans. Pour ce, on col l e un mi r oi r parfai t dans un pl a n passant par l'axe deincidence rotation. Unla photodi faisceauodelaserestdecentrée sectiosurn cilerculspotaireduestlaserenvoyé sur l e mi r oi r avec une lorsque l'angl e de rotati o n estphotodi nul (onode ajuste la positi o n l a téral e de la photodi o de de façon avoi r et l a parfaitement perpendiculaire au faisceau réfléchi). Lorsque l e mi r oi r sol i d ai r e de l a pi è ce en rotati o n tourne d' u n angl e l e centre du spot se déplace latéralement d'une distance sur la photodiode. Le principe de la mesure, sans contact, est schématisé figure 35.5 . à io, à x -g c ::i 0 /1 =h a, (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Rayon moyen du faisceau d . 2a . \ 1 26 www.biblio-scientifique.net F i g u re 3 5 . 5 - Électronique de conditionnement Exercice 3 5 Montrer à l'ai d e éventuel l e ment d' u n schéma, que si le mi r oi r tourne d' u n angle œ, le faisceau réfléchi tourne d'un angle 2œ. HJltl Exprimer x en fonction de l' angle œ et de distance entre le centre du miroir et le centre de la photodiode. En donner une approximation au premier ordre en œ. On rappelle que le développement limité au voisinage de 0 de tan(u) est donné par : tan(u) u u3/3 2u /15 u5 (u) avec lim (u) 0 119jll En déduire une approximation linéaire de la relation entre la tension de me­ sure Vmes et l'angle lj9jt.j Calculer la sensibilité de la mesure mes· On donne = 1 met r = 1 mm. Le résultat sera donné en V/rad puis en V/°. KIN Quels sont les avantages du conditionnement électronique effectué au Hiii En poussant plus loin les développements limités des questions 35. 8 et 35.10, donner l'approximation de Vmes à l'ordre 3 en œ. lfj..j Évaluer l' erreur relative de non-linéarité engendrée. La calculer pour la valeur maximale de l'angle œ fixée à œ 1/ 100°. HM d, = + + 5 11 & + U---t O 11 & = œ. d S II. ? max Ç = Corrigé détaillé 1. Pri n c i pe de l a p h otod iode à d e u x cad ran s "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = lfjl A1, Pour obteni r l a val e ur de l'ai r e ai r e de l' i n tersecti o n de la surface et du cadran 1, i l suffit de prendre l' e xpression donnée dans l' é noncé en rempl a çant l a va­ riable par x. On obtient immédiatement arcos(x/r) - x Commer ( - arcos(x/r))est xl'aire du spot lumineux de rayon on a et donc lf*.I En faisant l' hypothèse d' une répartition énergétique uniforme dans la section du faisceau, on a immédiatement if>1 = 1 et = et H1U Les courants d'obscurité étant négligés, on a directement A 2 A2 = n Ci h @ = A1 A1 + A2, + = r2 .Yr2 - x2 . r, A = nr2 Vr2 - x2 . A cf>tfA c/>2 A2 cf>tfA. /1 = SphorA 2 c/>1/A. = SphorA 1 cf>t!A 1 27 www.biblio-scientifique.net 35 • Photodiode à deux cadrans utilisée e n capteur d'angle I l. M e s u re d e s cou rants 1)9"11 Sel o n l' é noncé, comme on se trouve en regt m e stati q ue et que les am­ plV1ificateurs opérati o nnel s sont parfai t s, on obti e nt i m médi a tement l e s expressions = = Le premi e r étage du condi t i o nneur réal i s e donc une et -Rch V -Rcli · 2 conversion courant-tension. HJ91 Il vient rapidement VN = Vi - V2 . On a là un montage soustracteur. 119j#J De même V = -(V1 V2 ). On a là un montage sommateur-inverseur. ll9fi On obtient en utilisant les résultats précédents : 1 - r2 l Vmes = V V2V2 - V1Vi = V ((hl2 - l/1i)) = V ( 1 - -2rc arcos (x/r) -2xrcr g IJ9j:t l'aide des développements de Taylor donnés dans l' énoncé, on obtient l'ap­ proximation linéaire de Vmes donnée par Vmes,lin = 4xV/rcr. + o + + + 2 À I l l . Pri n c i pe de l a me s u re d ' u n e m i c ro rotation lj9J#J Les l o is de la réfl e xi o n de Descartes permettent d'établ i r le schéma de la fi­ 2 gure 35. 6 et on al o rs i m médi a tement f3 ce qui montre bi e n que si le mj r oi r = œ tourne d'un angle œ, le fllisceau réfléchi tourne d'un angle 2œ. 2(i0 +a) -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u F i g u re 3 5.6 - Loi de réflexion de Descartes D'après l a fi g ure 35. 5 , on a i m médi a tement t a n 2 = x/d soit, aux peti t s œ angles, x lj9jlt) ::::::: 2œd. 1 28 www.biblio-scientifique.net Exercice 3 5 Ktll En remplaçant simplement le résultat précédent dans celui de la ques­ = tion 35.8, il vient Vmes,lin 8dVœ/nr. Ktt) La sensibilité de la mesure S mes est donnée par : /1 S mes = Vmes,iin/11œ = 8dV/nr soit S mes = 25465 V/rd = 444 V/° à KtiJ L'électronique normalisant la différence des deux courants par rapport leur somme, le résultat est indépendant de toute fluctuation de l'intensité du faisceau. lf9tGI En poussant plus loin les développements limités des questions 35.8 et 35. 1 0, on obtient : ( 2 Vmes ==: V 1 - -arcos (x/r) 7r X 8œ3 - = tan 2œ 2œ + d 3 ==: + g) 2x nr - ( 2 4xV x2 1 - -2 = 1- 2 nr 6r r -- - ) - à En combinant ces deux équations il vient l'ordre 3 en œ : [ ( 4 2 8Vdœ d2 1 + 1 -œ Vmes ==: nr 3 2r2 - )] Kt..1 L'erreur relative de non-linéarité Ç engendrée est donnée par : ( 4 d2 Ç = - œ2 1 - 3 2r2 Œmax Pour table. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 1/100°, on obtient Ç � ) -2 %, ce qui est encore un ordre de grandeur accep­ � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1 29 www.biblio-scientifique.net 36 EX E RCIC E : Ca pte u r a n g u l a i re s a n s c o n tact à m ag n éto ré s i sta n ce Énoncé Un capteur angulaire destiné à fonction­ ner en mode push-pull est constitué de quatre magnétorésistances en arc de cercle Rz (voir figure 36. 1 ). Ces magnétorésistances sont constituées d'un dépôt d'épaisseur e constante d'un matériau présentant une magnétorésistance géante. Les pistes des magnétorésistances extérieures, de résis­ tance R 1 et R2 , sont de rayon moyen re et de largeur Ôe. Les pistes des magnétorésis­ tances intérieures, de résistance R3 et R4, F i g u re 36. l - Principe du capteur sont de rayon moyen ri et de largeur Ôi. Les largeurs des pistes peuvent être considérées comme faibles devant leurs Iongueurs. "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u l@I Le système n'étant soumis à aucun champ magnétique, la conductivité du ma­ tériau est 'YO · On suppose que chaque magnétorésistance forme un demi-cercle parfait. Donner en première approximation les valeurs des résistances R 1 , R2 , R3 et R4 des quatre magnétorésistances en fonction des variables '}'o, e, Ôi, Ôe, ri et re . lnf.J et re étant fixées, comment ajuster Ôe pour avoir en l'absence de champ magnétique Ri = R2 = R3 = R4 ? On notera Ro cette valeur par la suite. Ôi, ri IISl:J Que devient la valeur commune Ro des magnétorésistances si maintenant on place l 'ensemble dans un champ d'induction magnétique uniforme d'intensité B ame­ nant une conductivité 'Ym du matériau les constituant ? On notera Rm cette grandeur et on l'exprimera en fonction de Ro, '}'o et 'Ym · 1 30 www.biblio-scientifique.net Exercice 36 Pour réaliser le capteur angulaire sans contact, on place le système dans l'entrefer d'un aimant donnant un champ supposé uni­ forme, d' intensité B sur la partie hachurée de la figure et supposée nulle ailleurs. On rappelle que lorsque le matériau se trouve dans le champ, sa conductivité passe de y0 'Ym· 36.2 à F i g u re 36.2 - Capteur sous le champ l@I Établir la nouvelle expression de la résistance R1 dans la configuration de la figure 36.2. 11!11 De la même façon, donner les valeurs des résistances R2 , R3 et R4 des trois autres magnétorésistances. lt#l#J Tracer sur un même schéma les courbes d'évolution de la résistance des quatre magnétorésistances. On rappelle que la conductivité d'un matériau magnétorésistif diminue avec le carré du champ magnétique appliqué. à ltif4 Conclure quant la caractéristique des magnétorésistances utilisées en capteur d'angle selon le principe décrit par la figure 36.2. lt#!:t Les quatre magnétorésistances sont montées en pont push-pull, pont alimenté lg . par une source de courant parfaite Faire un schéma de la façon dont il faut pla­ cer les quatre magnétorésistances pour obtenir une tension de mesure différentielle optimale notée Vmes· "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: lt@J Donner l'expression de Vmes· lt#lltJ Pour < œ < n et pour n < œ < 2n, donner l'expression de la tension de ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "° 0c ::l Ci @ mesure Vmes· 0 1@111 Pour quelles valeurs de l' angle œ le pont est-il équilibré ? II#lt) Tracer la courbe d'évolution de la tension de mesure en fonction de l'angle . II#lit Lorsque le matériau magnétorésistif est dans le champ, sa conductivité chute de 8 % La résistance hors champ Ro des magnétorésistances est de 1 OO O. et le pont est alimenté par = mA. Donner l'expression de la sensibilité S mes · . lg 10 IIMGI Quel est l'inconvénient de ce type de capteur ? Que pourrait-on envisager de modifier dans sa conception pour avoir une mesure non équivoque sur 360° ? 1 31 www.biblio-scientifique.net 36 • Capteur angulaire sans contact à magnétorésistance Corrigé détaillé ml On a en première approximation Ri = R2 = 1rre/(yoôe e) et R3 = R4 = nrJ(yoôie). Cette approximation est d'autant plus vraie que re >> Ôe et ri >> Ôi. à inf.j Ri = R2 = R3 = R4 conduit avoir rJôi = re/Ôe soit Ôe = Ôire/ri, ce qui entraîne Ro = nrJ(yoôie). IVlil On a alors Ro = nrJ(ym Ôie) ce qui conduit Rm = Royo/Ym · à i@I Sur les parties exposées au champ, la résistance par unité d'arc est Rm/n alors que sur les parties non exposées, e11e est de R0/n. Pour un déplacement angulaire a depuis l'origine, on a donc pour la résistance R1 : (n - a)Rm + aRo Jr (a - n)Rm + (2n - a)Ro si 0 < a < n si n < a < 2n 1141 On a R3 = R i et R2 = R4, et de la même façon que précédemment, il vient : (n - a)Ro + aRm Jr (a - n)Ro + (2n - a)Rm "'O 0 c ::J 0 si 0 < a < n si n < a < 2n m#J Comme Ym < yo, il vient Ro < Rm . On a donc les courbes suivantes : (V) 0 N ...... R"' @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u a (radians) Fig u re 36.3- Évolution des résistances des magnétorésistances itif4 Les magnétorésistances varient linéairement avec le déplacement angulaire. 1 32 www.biblio-scientifique.net Exercice 36 lul:I Une des configurations possibles du pont est représentée sur la figure 36.4. RI Ig R1 V,nes R4 R3 Fig u re 36.4 - Montage en pont IDl#J Compte tenu que R3 = R 1 et R2 = R4, le même courant lg/2 parcourt chaque branche et il vient : R1 - R 1 fg 2 ifi'lle) En remplaçant les résistances par leurs expressions, on obtient pour '1mes : Rm Ro l 2 pour 0 < a < ir g '1mes = � [ ; 1] [ ] 2œ Rm - Ro Ig 3 2 TC pour TC < œ < 2TC 1@111 Le pont est équilibré ('1mes = 0) pour œ = TC/2 et œ = 3TC/2. luit) L'allure de la tension de mesure est représentée figure 36.5. a (radians) Q 1--����-��'-/-��- "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Fig u re 36.5 - Évolution de la tension de mesure fi IISllJ La sensibilité de la mesure est par définition S mes = '1mes!l!iœ. On obtient donc : Rm - Ro fg 444 µV/o TC Rm - Ro fg = - 444µV/ S mes = TC S mes = = o pour 0 < œ < TC pour TC < œ < 2TC à IIMll La mesure n'est non équivoque que sur [0 ; TC]. Pour passer une étendue de mesure sur [O ; 2TC], une solution consisterait en quadrature avec les premières. à ajouter des pistes magnétorésistives 1 33 www.biblio-scientifique.net 37 EX E RCIC E : Capte u r d e d é b i t à t u be Ve n t u r i - Te n s i o n d e m od e co m m u n Énoncé On considère une conduite dans laquelle circule un liquide supposé parfait (viscosité nulle), incompressible et de masse volumique p. Afin d'effectuer une mesure du dé­ bit volumique Qv on remplace une section horizontale de la conduite par un tube de Venturi muni de deux capteurs de pression comme schématisé figure 37 1 L'écoule­ ment dans la conduite est considéré comme laminaire et stationnaire. Les rayons du tube de Venturi au niveau des capteurs de pression sont respectivement r1 et r2 . . · -0 0 c ::i 0 · · · · ···· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ··········· .. ·- -.- . ·· Tube de Venturi Fig u re 37. 1 - Principe du débitmètre à tube de Venturi (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 1. Le tu be Ve ntu ri lfill Établir l'expression du débit Qv volumique dans le tube de Venturi au niveau des deux capteurs. if#) En utilisant le théorème de Bernoulli, établir la relation entre la différence de pression P I - p2 et le débit Qv. 1 34 www.biblio-scientifique.net Exercice 3 7 Il. A m p l ificate u r de d iffé re n ce - Te n s i on de mode com m u n On considère le montage amplificateur de différence de la figure 37 2 Les tensions VA et Vs correspondent aux tensions sortant des capteurs et mesurant respectivement les pressions P l et P2 · . . vs Fig ure 3 7.2 - Amplificateu r de différence IMJ L'amplificateur opérationnel est considéré parfait. Calculer la valeur de la ten­ sion de sortie Vs. On donne R2 = IOOOR1 = 1 M.Q Vmes = VA - Vs = 1 mV et ml On considère maintenant que l' amplificateur opérationnel utilisé a un facteur de réjection du mode commun T = Ad/A me fini (Ad et A me représentant respectivement le facteur d'amplification différentiel en boucle ouverte et le facteur d' amplification en mode commun). Calculer la nouvelle valeur de la tension de sortie Vs . On donne Vmc = (VA Vs)/2 = 1 V, T = 80 dB et Ad = 105 - I l l. A m p l ificate u r d ' i n st r u m e ntation à Pour pallier le problème précédent lié l' amplification de la tension de mode com­ mun, on réalise le montage amplificateur de différence ou amplificateur d'instrumen­ tation de la figure 37 .3. Cet amplificateur est réalisé à partir d'amplificateurs opérationnels identiques à ceux de la partie II. -o 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u ..: A � "O c: :::l � '-' '-' � :; 0 "' c: 0 c: c: VA 1 V',nes .S: ü :::l "O 12 2 B rS o. :::l -0 0 c: :::l a @ B rvB R V'A B V,' R Fi g ure 3 7. 3 - Amplificateur d'instrumentation R R vs 1 35 www.biblio-scientifique.net 37 • Capteu r de débit à tube Venturi - Tension de mode commu n IM1 En considérant le facteur de réjection comme fini, calculer les tensions V� et V� . lfA#J En déduire les expressions de V� - V� et V� + V� puis en utilisant les résultats de la partie II, calculer la valeur de la tension de sortie Vs et le facteur de réjection du mode commun pour les mêmes valeurs de Vmes et Vme que précédemment. On sup­ posera que Re est ajusté de façon ce que le gain soit identique celui du montage de la partie II. à Corrigé détaillé Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï:: >0. 0 u 1 36 www.biblio-scientifique.net à "'Cl 0 c :::J 0 (V) ...-l 0 N @ .µ ..c Ol ï:::: >­ Q. 0 u www.biblio-scientifique.net P RO B L È M E : M e s u re d e l a te m pé rat u re d e l 'e a u d ' u n e i n sta l l at i o n d e c h a u ffag e ce n t ra l à La mesure de la température au moyen d'une résistance métallique est plus simple mettre en œuvre que la thermométrie par thermocouple. La mesure est absolue et il n'y a pas faire appel une jonction de référence ou une compensation de soudure froide. En revanche et contrairement aux thermocouples, les résistances thermomé­ triques, étant alimentées, peuvent être soumises un effet d' auto échauffement par effet Joule si le courant n'est pas maintenu en dessous d'une valeur seuil. à à à à Énoncé On considère une installation de chauffage central où, entraînée par une pompe, l'eau circule partir de la chaudière dans un réseau de canalisations. On désire pouvoir mesurer et surveiller la température de l'eau en sortie de la chaudière. Pour cela, on utilise comme capteur une sonde résistance de platine Ptl OO (Ro = 1 00 0 °C) munie d'une enveloppe de protection que l'on insère dans la canalisation de sortie de la chaudière (voir figure 1 . 1 ). On fait l'hypothèse que l'eau circule toujours la même vitesse dans cette canalisation. à à -0 0 c ::i 0 Qà à 1 (V) .-1 0 N Matériau de grande conductivité thermique @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Milieu extérieur ® Isolant thermique Eau circulant à vitesse constante F i g u re l .l - Principe de la mesure 1 38 www.biblio-scientifique.net Problème 1 À la vitesse de circulation de l' eau dans le circuit, le coefficient d'échange calorifique de la résistance thermométrique avec l'eau est celui avec le milieu extérieur est et sa capacité calorifique est MC. On suppose que la température extérieure est constante. K1, Ke Ill Établir la fonction de transfert du capteur donnée par : H(p) = l1!1TcT1((pP)) = Tc(T1(pP)) -- TTee((PP)) o R à à Tref = Tc R(Tc) = Ro(l aTc) 1 0c- . Pour ce faire on négligera la puissance P1 dissipée par effet joule dans la Ptl OO. Préciser les expressions du gain statique G et de la constante de temps T. 16 Afin de minimiser les non-linéarités, la Ptl OO est montée en pont avec trois ré­ sistances fixes de valeur égale la résistance de la Ptl OO la température 70 °C (voir figure 1 . 2). Déterminer l' expression de la tension de mesure différentielle du pont sachant que la caractéristique de la Ptl OO en fonction de la température exprimée en °C est donnée en première approximation par + avec 3 3,90. 10- a= R (Tc;) R V,,zes R F i g u re 1 .2 - Principe du montage "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u R � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Il) La chaudière fonctionne en régime permanent stable. La tension de mesure dif­ Vmes = férentielle du pont est alors 34,2 mV. Pour étalonner le système de mesure, il faut estimer G0. On ouvre au-dessus d'un seau une vanne de purge proche de l'en­ droit où se trouve la Ptl OO. On mesure alors très rapidement la température de l'eau récupérée au moyen d'un thermomètre suffisamment précis qui donne 65 ,3 °C. La température extérieure est mesurée avec le même thermomètre et on obtient 20,0 °C. Sachant que le pont est alimenté par 5 V, en déduire la valeur de G0. T1 = Te = Vg = Vmes,lin = Vo - kT1, Il) Donner l'approximation linéaire, tension de mesure et la température de l'eau. de la relation entre la 1 39 1 Mesure de la température de l'eau d'une i nstallation de chauffage central • œ Afin de contrôler la température de l'eau et d'en afficher la valeur, on doit dis­ -1 • poser d' une tension Vs = k' Tt avec k' = 0 1 V.°C Le signal de mesure est utilisé comme entrée du conditionneur du signal de la figure 1.3 où l' amplificateur opéra­ tionnel est considéré comme idéal et R2 = R3 = R4 = 10 k.Q. Comme la tension Vmes en sortie du pont de la figure 1 .2 n'est pas référencée la masse, on utilise cette tension comme entrée différentielle d'un amplificateur d'ins­ trumentation de gain unité afin de disposer en sortie de ce dernier d'une tension Vmes référencée à la masse et qui sert d' entrée au montage de la figure 1 .3. , à V,nes V,.ef F i g u re 1 .3 - Circuit de conditionnement d u signal 1 Déterminer les valeurs de R et Vref nécessaires. On effectuera le calcul en utilisant l' approximation linéaire Vmes, lin = Vo - kTt de Vmes· ID Calculer l'erreur de linéarité, en °C, présentée par Vs entre T1 Tt = 90 °C . 50 °C et Corrigé détaillé - Ill Le bilan thermique de la Ptl OO s'écrit pendant un intervalle de temps de durée ....... � Ol ï::: >0. 0 u dt : (1. 1 ) En tenant compte que la température extérieure est supposée constante et en négli­ geant la puissance P1 dissipée par effet joule, ( 1 . 1 ) peut encore être écrit : (1 .2) 1 40 Problème 1 à En désignant par p la variable du domaine de Laplace, ( 1 .2) conduit l' expression de la fonction de transfert : K1 ---1 fiTc( p) ---= ( 1 .3) MC fiT1( p) K1 + Ke l p Kt + Ke Cette forme est représentative d'un comportement passe-bas du premier ordre où le gain statique Go et la constante de temps T sont respectivement donnés par : + IB À la température Tref = 70 °C on a R = R(Tc = Tref) = 127 , 3 n. La tension de ( + 1) mesure est alors directement donnée par : Vmes = R R - R(Tc) Vg = - 2 Vg = R(Tc) R R R(Tc) 2 + o:(Tref - Tc) Vg o:(Tref + Tc) 4 ---2 1+ (1 .4) IBJ En régime permanent, pour une valeur donnée de la tension de mesure, on ob­ tient la température de la Ptl OO en inversant ( 1 .4), soit : Tc = o:(Vg - 2Vmes )Tref - 4Vmes o:(V9 + 2Vmes) ( 1 .5) -------­ Pour Vmes = 34,2 mV, on obtient Tc = 61,2 °C. Comme on se trouve en régime permanent, on a d'après (1 .3) : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c: :::l '-' '-' � � :; "' 0 c: 0 c: c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B:::l rS -0 0 c: :::l a @ Il) L' approximation linéaire de Vmes est donnée par son développement limité l'ordre 1 en o:(Tref - Tc), soit : Vg a (Tref - Tc)Vmes,lin l 4 0: Tref = + = 0: 1 + o:Tref [Tref - ( 1 - Go)Te ] �4 0: � Go- T1 4 1 + o:Tref à (1 . 6) = Vo - kT1 = 0,261 - 3,48 . 1 0-3 T1 · lm L' amplificateur opérationnel étant idéal, on a : R2 Vmes + Ri Vs et e = ----R i + R2 _ 141 1 • Mesure de la température de l'eau d'une installation de chauffage central La contre-réaction amène : ( 1 .7) Pour obtenir Vs = k'T1 avec k' = 0, 1 V.0c- 1 , il faut : R et k' = k 2 R1 ( 1 .8) Avec R2 = R3 = R4 = 1 0 kn, ( 1 .8) se résout en R1 et Vref· On obtient R1 = 348,2 kn et Vref = 505 mV. ID Comme le montre la figure 1 .4, l'écart au comportement désiré reste faible. Il à peut être calculé selon (Vs(T1) - k' T1)/k1 en évaluant Vs l'aide de ( 1 .7) dans laquelle on utilise la véritable valeur de Vmes donnée par ( 1 .4). Entre T1 = 50 °C et T1 = 90 °C, cette erreur évolue de -0,9 °C -0,3 °C en pas­ sant par 0 °C pour la température de l'eau correspondant la température du capteur Tc = Tref = 70 °C, soit Tt = 75 °C. à à (V) "'O 0 c ::J 0 10 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u � --" �� -'� � -'� � -'� � -'� � _._. O '-O 20 40 60 80 100 Fig u re 1 .4 - Signal de mesure 1 42 l'i (°C) Problème 1 Les res 1 stances thermométriques, notamment la Ptl OO q u i est la plus utilisée, présentent les avantages d'une g rande préc i s i o n et d ' une grande sta b i l ité dans le temps. Malhe u reuse ment, pour une uti l i sation où il y a un risque de contami­ nation d u plat i n e , la sonde doit être gai née ce q u i en augmente l' encom brement et le temps de ré ponse. Conducteurs (version 2, 3 ou 4 fils) Elément résistif Ptl OO Magnésie compactée (isolation électrique et maintien des conducteurs) Gaine métallique rigide ou semi-rigide (acier inox . . . ) Conducteurs Raccord fileté Figu re 1 .5 - Sonde à résistance de platine chemisée à isolation minérale "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u c:: ::l rJ � 8 ::l "' c:: 0 c:: c:: .S: u ::l l2 B::l � -gc:: ::l 0 @ 1 43 P RO B L È M E : J a u g e d e P i ra n i La jauge de Pirani, capteur de mesure des faibles pressions, est constituée d'un fi­ lament métallique placé dans une ampoule de verre reliée l'enceinte dans laquelle on veut mesurer la pression. Le filament est parcouru par un courant qui provoque son échauffement par effet Joule. À l'équilibre thermique, la puissance fournie par effet Joule s'équilibre avec les puissances perdues par le filament par rayonnement, par conduction au travers des supports du filament et par conduction avec le gaz de l'enceinte. Par construction de la jauge de Pirani, on privilégie cette dernière forme d'échange thermique qui dépend de la pression du gaz dans l'enceinte. Deux tech­ niques de mesure sont possibles. La première consiste alimenter la jauge courant constant. L'état d'équilibre entre la puissance fournie par effet Joule et celle perdue par le filament sous ses différentes formes amène alors celui-ci une température et donc une valeur de sa résistance fonction de la pression dans 'enceinte. La deuxième technique de mesure consiste asservir 1' alimentation de la jauge de façon ce que la température, donc la résistance du filament, reste constante ; c'est alors 1' alimentation de la jauge qui est fonction de la pression dans 1 'enceinte. Ce problème ne présente que la première méthode d'utilisation de la jauge de Pirani. à à à à à1 à à Énoncé g::J "'O Soit la jauge de Pirani schématisée figure 2 . 1 . 0 (V) ...... 0 N @ Jauge de Pirani R ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u I (p; �) Enceinte F i g u re 2 . 1 - Jauge de Pirani 1 44 Problème 2 On fait les hypothèses suivantes : • • la température T du filament est uniforme, le gaz de l'enceinte, les supports du filament et l' enveloppe externe sont à une même température Te . Soient P 1 la puissance échangée par conduction entre le filament et le gaz de l' en­ ceinte à la pression p, P2 la puissance échangée par conduction entre le filament et les bornes de connexion à son support et P3 le bilan des puissances rayonnées par l'enveloppe et le filament. En première approximation, on a : b et c représentent des constantes dépendant de la géométrie et des matériaux constituant les différents éléments, a- la constante de Stefan et e et ee , les émissivités respectivement du filament à la température T et de 1'enveloppe à la température Te exprimée en Kelvin. La résistance du filament dépend de sa température selon : a, R = Ro ( 1 + a(T - To)) Ro est la résistance du filament à la température To = 273, 15 K. g) Écrire le bilan thermique du filament à 1' équilibre. On notera Re la résistance du filament à la température Te et I le courant le parcourant. gJ Les échanges radiatifs sont minimisés en limitant 1'échauffement du filament et son émissivité ; on néglige ces échanges dans la suite du problème. En déduire l'ex­ pression de T - Te , puis celle de la résistance R du filament en fonction de a, p, K = aRoI2 et Re . b, "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ g) Le filament est un fil de platine de résistivité p = 1 ,00. 10-7 .Q.m à 0 °C, de longueur l = 10 cm et de rayon 1 0 �tm. Calculer la valeur Ro de la résistance du filament à la température de 0 °C. g) Le coefficient thermique de la résistance R constituée par le filament est a = 3,60. 10-3 K- 1 , la température du gaz de l'enceinte supposée fixe est de 25 ° C et le courant circulant dans le filament est I = 1 OO mA. Donner l' expression de la tension de mesure Vmes ' tension mesurée aux bornes du filament. Étudier 1 'évolution de T - Te et de la tension de mesure Vmes pour une éten­ due de mesure de p = 1 02 Pa à p = 105 Pa. On donne a = 4. 10-3 W.K- 1 et 1 1 = 10-6 W.K - .Pa- . Calculer la sensibilité S mes de la mesure en fonction de p. b 1 45 2 • Jauge de Pirani fm On dispose de quatre jauges de Pirani. Deux sont identiques à la jauge précé­ demment étudiée et les deux autres sont totalement scellées sous un vide poussé. Les quatre jauges sont fixées sur l'enceinte et on suppose qu'elles sont toutes à l'équilibre thermique avec cette dernière. En pratique, il suffit de réaliser deux enveloppes contenant deux filaments, l'une scel­ lée sous vide et l'autre ouverte sur le gaz de l'enceinte. Chaque jauge scellée sous vide constitue une résistance Re dont on calculera la valeur en supposant qu'elle est parcourue par le même courant I que la jauge précédemment étudiée. fl'a Les jauges sont montées en pont selon le montage de la figure 2.2. Le courant d'alimentation est le double du courant précédemment considéré 19 = 21 = 200 mA. R Re v;�es Re Ig R Fig u re 2.2 - Montage en pont des jauges de Pi rani Donner les expressions de la nouvelle tension de mesure V�es et de la nouvelle sen­ sibilité S :nes · Corrigé détaillé BI À l'équilibre thermique, la puissance totale échangée par le filament est égale ....... � Ol ï::: >0. 0 u à la puissance dissipée par effet Joule P1 , soit P 1 présente le filament est donnée par : R = Ro ( 1 + œ(T - To)) = Ro ( 1 + œ(Te - To)) ( = R, + Roa:(T - T,) = R, 1 + P2 + + ?3 = P1 . La résistance que Roœ(T - Te) ;� a:(T - T,)) = R, ( 1 Le bilan thermique s' écrit donc d'après (2. 1 ) : 1 46 + + a:' (T - T,)) (2.2) Problème 2 g) En négligeant le terme radiatif, (2.2) devient : (a + bp)(T - Te) = Re ( 1 + a' (T - Te)) 12 On en déduit : Re/2 Ref2 = a + bp - a' Re l2 a + bp - aRo/2 Ceci conduit à une résistance du filament donnée par : T - Te = (2.3) ------ ( R = Re ( 1 + a'(T - Te)) = Re 1 + ) ( aRo/2 K 1 R = + e a + bp - aRol2 a + bp - K _ _ _ _ ) (2.4) g) On a immédiatement Ro = pl/nr2 = 3 1 ,83 n. g) Compte tenu de la température de l'enceinte, on obtient : Re = Ro ( 1 + a(Te - To)) = 34,69 n Pour un courant de T = 1 00 mA la constante K apparaissant dans (2.4) prend la valeur K = aRol2 = l , l s . 1 0-3 W.K- 1 • La tension de mesure est simplement donnée par Vmes = RI : Vmes = Rl = Re l (1 + K a + bp - K ) Les expressions (2.3) et (2.5) permettent de tracer les courbes de la figure 2.3. La mesure est non linéaire. L'évolution de la tension de mesure VmesC p) en fonction de la pression se fait à partir d' une valeur Vmes(O) donnée par : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u VmesCO) = Re � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ a I = 4,86 V a-K La sensibilité de la mesure est donnée par (voir courbe figure 2.4) : Kb dVmesC P) _ S mes _ - -ReI dp (a _ K)2 ( 1 ) 2 b 1+ p a-K La jauge ainsi réalisée est destinée à la mesure de pressions inférieures à 104 Pa car la sensibilité tend vers 0 au fur et à mesure que la pression augmente. La sensibi­ lité est d'autant plus importante et la mesure d'autant plus linéaire que la pression est faible. Cette jauge de Pirani constitue donc un capteur principalement dédié aux faibles pressions. 1 47 2 Jauge de Pirani • F i g u re 2.3 - Évolutions de la température (a) et de la tension de mesure (b) avec la pression ����.--����....-� S111 es (mV/Pa) O r-- === �� � � � � � � -0,2 -0,4 p (���---- Pa) -o,s �� 1 02 10 "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ 1 05 F i g u re 2.4 - Évolution de la sensibilité en fonction de la pression fla Pour calculer Re, il suffit de reprendre les calculs précédents en posant p = O. 11 vient alors : Re ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 1 04 1 03 = Re (i + a -K K ) = a Re a-K = 48,63 n fla Comme les impédances des deux branches sont identiques, chacune est parcou­ rue par le courant I = lg/2 et on a immédiatement v;nes = (Re - R)l, soit en utilisant (2.4) et (2.6) : 1 48 Problème 2 La nouvelle sensibilité est donnée par : Re lg 1 s , = - -- ---- -----2 Kb )2 (i (a - K b p)2 a-K mes + Cette dernière reste identique à celle du montage précédent. L'avantage de ce nouveau montage est que l'on a supprimé la composante continue de la tension de mesure. En revanche et comme précédemment, la mesure de la pression dépend toujours de la température du gaz au travers de Re. De fabrication peu onéreuse la jauge de Pi ran i permet de couvrir une étendue de mesure i m portante mais présente cependant de gros i n convé n i e nts. D'une part, le signal de sortie dépend de mani ère l i néaire de la température du gaz dont on mesure l a p re s s i o n , tem pérature qui doit donc être mesurée par aille urs ou maintenue constante. D'autre part, l e gaz ou d' éventuels pol l uants de ce dernier (h u i l e de pompe, etc.) peuvent modifier le coup lage therm ique entre le fi lament et le reste de la jauge (gaz, paro i s , s u p ports , etc.) en se déposant sur le fila­ ment. De même, l ' échange thermique entre le fi lament et le gaz dépend assez forte ment de la nature de c e l u i -ci et par nature la présence d u filament chaud i nterdit la mesure de la press ion de gaz pouvant se décomposer voire avoir un comportement explos if. "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N :.= � "O c:: ::l © ]8 .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u F i g u re 2 . 5 - Principe d'une jauge de Pi rani (documentation BOC Edwards) rJ <.) ::l "' c:: 0 c:: c:: .S: u ::l "O §. 2 B ::l � -0 0 c:: ::l 0 @ Fig u re 2.6 - Jauge de Pirani (documentation BOC Edwards) 1 49 P RO B L È M E : U t i l i sat i o n d e capte u rs d e te m pé rat u re po u r l a m e s u re d e l a vite s s e d ' u n fl u i d e On se propose ici de mesurer la vitesse d'écoulement d'un liquide au moyen d'un capteur de température. Le capteur utilisé est un simple fil résistif alimenté à courant constant et dont le matériau est un alliage à base d'or spécifiquement élaboré. L'effet Joule provoque un échauffement du fil et donc une élévation de sa résistance et de la tension à ses bornes. D'autre part, l'écoulement du fluide autour du fil est source d'échanges thermiques d'autant plus importants que la vitesse du fluide est élevée. À l'équilibre, le fil présente une résistance donc une tension à ses bornes fonction de sa température Tc, elle-même fonction de la vitesse du fluide. Énoncé Dl Soit a le coefficient thermique de la résistance constituée par le fil chaud dont "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u la valeur à 0 °C est R0. Le courant continu circulant dans le fil chaud étant noté /, donner l'expression de la puissance P dissipée par effet Joule dans le fil. On rappelle qu'à la température de 0 °C correspond la température absolue = 273 , 1 5 K. Les températures sont exprimées dans l'échelle absolue. To l!J Le capteur, alimenté par le courant constant I, est plongé dans un liquide à la température Tf . On note M la masse du capteur (en kg), C sa chaleur massique (en J/K.kg) et G la conductance thermique entre le capteur et le fluide (en J/K.s) . Écrire l'équation différentielle décrivant l'évolution dans le temps de la température Tc du capteur en fonction de M, C, G, du courant d'alimentation I et de la température du fluide T1 . On supposera que les échanges thermiques par rayonnement peuvent être négligés. Il) En déduire en régime permanent l'expression de la température Tc du capteur. 1 50 Problème 3 œ Quel doit être le coefficient thermique de la résistance constituée par le fil pour que la température du capteur soit rigoureusement proportionnelle à la température du fluide ? Quelle est dans ce cas l'expression de la température du capteur ? œ La conductance thermique entre le fluide et le capteur est une fonction de la vitesse v du fluide qui en première approximation peut s'écrire G(v) = G0(1 + a Yu). Exprimer la température du capteur en fonction de la vitesse du fluide. ID Les résultats précédents montrent que la température du capteur dépend de la vitesse du fluide que l'on cherche à déterminer mais aussi, ce qui est un problème, de sa température. Il faut donc essayer de supprimer l'influence de la température du fluide qui agit comme une grandeur d'influence. Pour cela on utilise deux capteurs. Le capteur ( 1 ) est placé dans le fluide en mouvement et le capteur (2) identique au premier dans le fluide au repos selon le principe de la figure 3 . 1 . On suppose que l'élévation de la température du fluide au repos provoquée par la présence du cap­ teur (2) reste négligeable. ----�� Flu;de au rnpos - - Tr - Fluide en mouvement - - F i g u re 3. 1 - Principe de la mesure Les deux capteurs sont montés dans le circuit électronique de la figure 3.2. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ..... @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 1 � ""' " = "' " " '" � Xi v; Va X3 Z1 X 1Y/Z1 YI X2 X 3+Y3 V Y3 (2) Z2 X2Y2/Z2 E2 E1 Yz v; ·C0 = "' " F i g u re 3.2 - Montage électronique 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Donner 1 'expression de Vo en fonction de Go , a, v et K = Roœ/2 . Conclure quant à la dépendance de V0 avec T1 puis avec v. IB Donner l'expression de Vs en fonction de Vo et E2, puis en fonction de Go, a, v, K, E 1 et E2. l 51 3 Uti lisation de capteurs de températu re pou r la mesure de la vitesse d'un fl uide • lm) Quelle valeur faut-il donner à E2 pour que Vs dépende linéairement de Yu 3 ( -Yu)? et se mette sous la forme Vs = A 1 + a On donne Go = 2,5 . 10- J/s.K, a = 0,7 s 112 .m- 1 12 , E 1 = 1 V , Ro = l O Q et I = 1 00 mA. Corrigé détaillé Ill On a immédiatement P = R(Tc)I2 = Ro ( 1 + a(Tc - To)) !2 . 1' l!J Puisque on néglige les échanges radiatifs, le bilan thermique du fil traduisant la variation dTc de sa température pendant la durée dT s'écrit : MCdTc = PdT - G(Tc - TJ)dT = Ro ( 1 + a(Tc - To)) 12 dT - G(Tc - TJ)dT (3 . 1 ) Il) En régime permanent, soit en posant que (3. 1 ) est nul, le capteur est porté à la température Tc donnée par : GTJ + Ro(l - aTo)I2 Tc = G - Roa/2 (3. 2) -------­ eJ Pour que Tc soit proportionnel à T1 , il suffit que a = 1/To = 3 , 66 . 1 0- 3 0c- 1 . L'or, avec un coefficient thermique de l'ordre de 3 , 60. 10-3 0c - 1 est un bon candidat comme base de l'alliage à utiliser pour réaliser le fil. (3.2) devient alors : G (3.3) T Tc = G - Roal2 1 lm Utilisant l'expression donnée de G, il vient immédiatement : Tc = "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u ( ( Go 1 + a Go 1 + a vu) vu) - Roal2 T1 (3 .4) La relation entre la température du capteur et la vitesse du fluide n'est pas linéaire et cette relation fait intervenir la température du fluide. ID Les tensions Vi et V2 sont les tensions aux bornes de chaque capteur, soit ici : V1 = Ro ( 1 + a(Tc l - To)) l = RoaTc l l et (3.5) V2 = RoaTc2 I Le rapport des tensions est égal au rapport des températures données par (3.4). En posant K = Roa/2 , d'après le circuit de la figure 3.2, il vient : Go 1 + a T1 2 l (Go - K) l + a Go + a vu RoaI v1 E 1 = E1 = E1 (3.6) Vo = Go V2 -K Go 1 + a T Go - Roa/2 ( ( ) vu) ------ -- 1 52 f ( ( vu) vu) Problème 3 est indépendant de Tf mais présente toujours un comportement non linéaire par rapport à v. Vo Vs = V+ Vo V = VsVo/E2. E (Go -K) ( + a vv) Vs = Vo_Vo E2 Go ( l +ayu) - K - Ei(Go- K)E2( I +a vv) Yu, E2 = E1 (GoGo- K) œ On a simultanément 1 --- l- s'écrit alors : 1 (3 .7) ------­ llJ Pour que (3.7) dépende linéairement de Vs Avec (3.6), il vient : et il suffit de fixer : ----­ Vs = - i (Go - K) ( 1 + a -Yu) = A ( + a -Vu) A= 1 Numériquement, on obtient -5 , 8 V . On pourrait aller plus l o i n dans le cond itionnement d u signal. En effet le s i g nal Vs est constitué d ' u n terme constant Vs0 = -E 1 (G0 - K)/K et d ' u n terme propor­ tionnel à ....[v . Le terme constant peut très bien être éval ué lors d ' u n étalonnage et soustrait de V,1. q u i se rait alors d i rectement proportionnel à ....[v. Un c i rc u i t de m u l ­ t i p l i cati o n analogique d o n t l e s d e u x entrées seraient le s i g nal V,1. - V.50 donnerait en sortie u n s ig nal proportionnel à la vitesse v d u fl u i d e . "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c: :::l '-' '-' � Cette tech n i q u e de mesure peut s'avérer d é l i cate à mettre en œuvre e t e s t s u s ­ cepti ble d' être perturbée par de m u l t i p l e s sources d ' i ncertitude comme l ' échauf­ fement d u fl uide au repos autour d u capteur n° 2 . Une autre technique peut être util isée don nant d i rectement accès au débit massique. U n é l é m ent chauffant est placé dans le fl u i d e et symétri quement, de part et d' autre de ce dernier, on place deux capteurs de tem pérature d on nant les tempé ratures T1 et T2• À débit n u l , on a T1 = T2 et lorsque le fl u i d e c i rcule dans la conduite, T1 < T2• La diffé rence de température T2 - T1 est une fonction d u débit mas s i q u e dans la condu ite. �0 :; "' c: 0 c: c: .S: ü :::l "O 12 - o. 2 B :::l rS -0 0 c: :::l chauffant F i g u re 3.3 - Principe d'un débitmètre massique thermique a @ 1 53 P RO B L È M E : J a u g e s d 'exte n s o m ét r i e É l ect ro n i q u e d e s é p a rat i o n co n t ra i n te - Te m pé rat u re Les jauges d' extensométrie sont les capteurs résistifs les plus employés lors­ qu'il s'agit de déterminer les faibles déformations d'une structure soumise à des contraintes mécaniques. La mesure des déformations peut avoir deux objectifs. Dans le premier cas, le but de la mesure des déformations est de déterminer le champ de contraintes subies par une structure dans un but de dimensionnement, de test mécanique ou encore de surveillance de cette structure. Dans l' autre cas, la déformation mesurée est le résultat de l'application d'un me­ surande primaire sur un corps d'épreuve comme une force, une pression, une masse ... Dans ce cas, la jauge est l'élément sensible d'un capteur dédié à la mesure de la force, de la pression, de la masse... Une des difficultés de l'utilisation des jauges d' extensométrie réside dans leur sen­ sibilité à la température. En effet, cette grandeur d'influence peut engendrer sur une jauge, des variations de résistance de la jauge du même ordre de grandeur que celles engendrées par les déformations à mesurer. Aussi, la correction des effets de la tem­ pérature est un des points clés de la qualité des mesures par jauges d' extensométrie. Énoncé Soit le montage de la figure 4. 1 que l' on réalise à partir d'amplificateurs opérationnels supposés idéaux : Ro + M -o 0 c ::J 0 8 N (V) @ � ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u F i g u re 4. 1 - Circuit de conditionnement 1 54 Problème 4 ED Donner l'expression de EB Donner l'expression de llJ Donner l'expression de Vo1 , Vb1 Il) Vo1 Vb1 . Ro !sR Ro !sR' Ko To, et /3. fonction de Donner l'expression de fonction de et Vo1 Vb1 Vb2 , V�2 , en fonction de en fonction de valeur de valeur de Vo2 Vo2 Vg, !sR Ro. Vg, !!lR' R0. et et pour l ' interrupteur en position 1 en pour l ' interrupteur en position 2 en + et + correspondent aux résistances que présentent deux jauges de contrainte J et J', de facteur de jauge et de résistance au repos à la température de référence collées sur un corps d'épreuve constitué d'un cylindre d' aluminium de rayon et de hauteur de co­ efficient de Poisson Vs et de module d'Young Es (voir fi­ gure 4.2). Le corps d'épreuve est soumis à une contrainte cr de direction parallèle à l'axe du cylindre et inférieure à la limite élastique. cr Ro r h, J' � Ro +tiR' F i g u re 4.2 - Corps d'épreuve Il) Établir les expressions des variations relatives des dimensions du cylindre, et !!lr/r, consécutives à l'application de la contrainte. ID La température de 1 'ensemble étant la température de référence !!lh/h To, en déduire les variations relatives, et des longueurs des deux jauges J et J', puis les variations relatives et de leurs résistances. Les jauges sont suppo­ sées identiques, parfaitement collées sur le corps d'épreuve et on néglige tout effet d'épaisseur des jauges. !sl/ l !!l l ' / l' , M/Ro M'/Ro IB En reprenant les résultats des questions précédentes, déterminer les nouvelles "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u expressions de � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = Vb2 V�2 . et f3 Donner la valeur de qui permet d'annuler Vb2. ŒJ Les jauges sont réalisées en fil de constantan. À la température de 25 °C , on a Ko = Ro 2, 1 et = 120 n. On calculera, à 25 °C , les deux variations des résistances pour une contrainte appli­ quée cr = 10-4 Es. Le coefficient de Poisson v5 = 0,345 de l'aluminium est supposé indépendant de la température. Toujours à 25 °C , calculer On donne = 5 V. Vb;. Vg � -0 0 " = Ci @ 1 55 4 Jauges d'extensométrie - Électron ique de séparation contrainte - Température • On s'intéresse maintenant aux effets de la température sur les jauges de contrainte et donc sur les tensions de mesure. On note ilj le coefficient de dilatation linéique des jauges, ap le coefficient thermique de la résistivité et ils le coefficient de dilatation linéique du matériau du cylindre. EIJ On considère tout d'abord que les jauges sont isolées, c'est-à-dire non collées sur le cylindre. Calculer la variation relative de la résistance des jauges provoquée par une augmen­ tation !iT de la température par rapport à la température To de référence. On donne p = po( + apT) avec Po = 49. 10- 8 Q.m la résistivité à 0 °C , ap = 3,7. 10-5 °C - I et ilj = 1 ,7 . 1 0-5 0c - 1 . I Ille) On considère maintenant que les jauges sont collées sur le cylindre. Calculer la variation relative supplémentaire de la longueur des jauges (dite variation diffé­ rentielle) puis la variation relative de résistance correspondante provoquée par l'aug­ mentation !iT de la température. On donne le coefficient de dilatation linéique de l'aluminium ils = 2,3 . 1 0-5 0c- 1 • 1111 En utilisant les résultats des deux questions précédentes montrer que l' aug­ mentation !iT de la température provoque une augmentation de la résistance des jauges que l'on peut écrire sous la forme Ro/3j;s l1T. On précisera l' expression de /3j!s· À la variation de la résistance de la jauge liée à une variation de température, on peut associer une élongation apparente de la jauge (élongation qui provoque une même variation de la résistance de la juge que la variation de température). Déterminer l'élongation apparente 11!/llapp des jauges. On considère maintenant que la résistance des jauges varie en raison de la pré­ sence de la contrainte a- et d'une variation !iT de la température (avec toujours R(o- = O,To) = Ro). M= "'O 0 c ::J 0 M' (V) llt.I Donner les nouvelles expressions de !iR/Ro et @ lllJ En déduire les nouvelles expressions de V62 et V6;. Calculer V6;, on donne 0 N ...... ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u /R0 . Vg = 5 V. 1111 Expliquer comment, par action sur l ' interrupteur, on peut mesurer séparément l' action de la contrainte et l'action de l' élévation de température. 1 56 Problème 4 Corrigé détaillé Ell L'amplificateur opérationnel AOP l étant idéal, les tensions sur les entrées de l' amplificateur sont : V9/2 Vo1 (Ro V9 -Roi t= l = V9/2Ro Vo1 = -V9!1R/2Ro 1' V01 e7 = et el = + + M)l = La présence de la contre-réaction entraîne e el ce qui conduit à : et 16 Le montage de amplificateur AOP2 étant similaire, façon et on obtient : e! = se calcule de la même (4.2) EIJ La présence de la contre-réaction entraîne l'interrupteur, (4.1) 0, il vient : e! = e) . Comme en position 1 de (4.3 ) = e'.3 = 2, e! V01/2, V02 = V'01 - Ro ( Voi - V'01 ) Ro1 = V01 - Voi Ill Pour l'interrupteur en position on a Il "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c::::l � '-' '-' �0 :; "' c: 0c: c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B:::l rS -00 c::::l a @ 2 2 d'où : ! (4.4) lm D' après la loi de Hooke, on a : tihh - <T (4.5) = Ejf = - Es ED Le collage des jauges étant parfait, celles-ci subissent la même déformation que le corps d'épreuve à leur interface avec celui-ci. Comme de plus, on néglige tout effet d'épaisseur des jauges et du collage, la jauge J subit au total la même déformation dans sa longueur que celle de la hauteur du cylindre, on a donc : -!ill = -!ihh = ê// 1 57 4 • Jauges d'extensométrie - Électron ique de séparation contrainte - Température La jauge J' subit la même déformation dans sa longueur que celle le périmètre cylindre, soit : P du !il'l !iPP tir r ' Ko -!iRRo = Ko -!ill = KoE;; !iR'Ro = Ko z!il', = -KovsE/f EB V6 1 ) = Vg ( M + !iR' ) = KoE/f ( ) Vg oY, 2 = - ( Vo1 + ft fJ Ro fJRo !iR' - -M ) = KoE;; O -Vg V0,2 = V01, - Vo1 = - -Vg ( -Ro Ro V62, fJ fJ = IJD = !iR/Ro = !iR'/Ro V6; = !iR !iR' EIJ R = pl/s s l p !iT To, !iR Ro !iR = !ip + !il !is Ro s p l !iT, !ip/p œp!iT, !il/l Àj!iT !is/s 2Àj!iT !iT - = - = - = El_ = -V5Sjj Le facteur de jauge étant identique pour les deux jauges, il vient : et (4.6) Avec (4. 1 ), (4.2), (4.3) et (4.4), il vient : l 1- vs l + v5 ) 2 2 Pour annuler il convient de régler la valeur de à vs. À 25 °C et pour a- 10-4 Es, (4.5) et (4.6) conduisent à 210. 10-6 et = -72 . 1 0- 6 soit = 25 ,2 mf! et = -8,7 mf!. Dans les mêmes conditions, on a 706 µV. La résistance d'une jauge est donnée par la loi d'Ohm avec la sec­ tion du fil des jauges et leur longueur, étant la résistivité du matériau des jauges. Une variation de la température d'une jauge initialement à la température va entraîner, au premier ordre, une variation de sa résistance donnée par : - "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u - - - - Au premier ordre en on peut écrire = = et = où Œp et Àj représentent respectivement le coefficient thermique de la résistivité et le coefficient de dilatation linéique du matériau de la jauge. On a donc pour une éléva­ tion de la température : L'application numérique donne résistance de 2,4 mf!/°C. (œp - Àj) = = ŒR 2. 10-5 0c-1 soit une variation de Ille) Les jauges sont collées sur le cylindre. Elles sont amenées, par le collage, à subir la même déformation dans le sens de leur longueur que le corps d'épreuve sur lequel elles sont collées et c'est donc le corps d'épreuve qui impose sa déformation. 1 58 Problème 4 Par rapport à ce qui a déjà été pris en compte précédemment, il faut ajouter un accrois­ sement de longueur lié à la différence de coefficient de dilatation entre le matériau de la jauge et le matériau du corps d'épreuve, soit !il/lldiff = (ils - il1)!1T. À cet accrois­ sement de longueur supplémentaire correspond une variation supplémentaire, dite différentielle, de la résistance de la jauge et donnée par !1R/Roldiff = Ko(ils - ilj)!iT. Comme Ko(ils - ilj) = 1 ,26. 10-5 on obtient une variation de résistance de 1 ,5 m.Q/°C. 0c-1 , Gill On en déduit que l'accroissement de température !1T provoque un accroisse­ M = Ro [(œp - il1) + Ko(ils - ilj)J !1T 1= Rof311sl1T. fJJ!s = 0c/ ment de résistance donné par Compte tenu des données numériques, il vient 3 , 26. 10-5 soit une varia­ tion de résistance de 3,9 m!1 C On remarquera que ces effets thermiques entraînent des variations de résistance des jauges qui peuvent être du même ordre de grandeur que celles entraînées par la contrainte et calculées à la question 8. À la variation de la résistance de la jauge liée à une variation de température, on peut associer une élongation apparente de la jauge donnée par : ° !1R = 11sl1T = Ko !il Ro f3 l l . app soit 1:1/ 1 l app J;sl1T = f3 Ko = 15,5. 10-6 !1T · Git.:.a En présence de la contrainte cr et d'une variation !1T de la température, on a : !1R' = -Kovsc// + f311sl1T !1R = et T Koc;; + f311sl1 Ro Ro Gill Compte tenu du choix fJ = vs. les nouvelles expressions de Vb2 et Vb; sont : Vg -Kovsc// + f311sl1T Vg -!1R + tiR -' - T + + Vo2, - Koc;; f311sl1 2 Ro fJRo 2 Vs V = 1 + _!_s f311sl1T 2g V V ,, V V02 = - 2g ( -Kovsc// + f311sl1T - Koc;; -f311sl1T) = Koc;; ( 1 + Vs) 2g - _ "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ ( ( ) ) ( ----- ) Pour cr = 10-4 Es, il vient Vb2 (µV) = 3 1 8 !1T et Vb;CµV) = 706. On remarquera que Vb; garde exactement la même expression que celle déterminée à la question 7 en l'absence d'évolution de la température. · Gill Par action sur l'interrupteur, soit on sélectionne Vb;, et on a accès à la contrainte via c;; sans être affecté par les variations de température, soit on sélec­ tionne Vb2 et on a accès à une mesure de 1'effet de la température. 1 59 4 • Jauges d'extensométrie - Électronique de séparation contrainte - Température Les jauges d ' e xtensométrie sont étudiées de façon à m i n i m iser au max i m u m et pour un matériau de structure donné l ' effet de la température. À la variation de la rés i stance de la jauge l i é e à une variation de température on peut associer une élongation apparente de la jauge. Si tous les phénomènes étaient l i néaires, on pou rrait a priori espére r réal iser une jauge telle que les deux termes constituant f3JJs se compensent ; on obtiendrait alors une jauge parfaitement auto-compensée. Les courbes de la fi g u re 4.3 donnent la déformation apparente de deux jauges différentes collées sur une structure en acier. f,app 6 (10- ) Alliage K +2 00 0 �.....- /VÎ /1 VI / / / / 24°C -600 \ ----.....__ __ '\ \ / ----- / / Alliage A I -150 0 + 1 50 T (OC) F i g u re 4.3 Déformation apparente de deux types de jauges collées sur une structure en acier (documentation Vishay) - -0 0 c ::i 0 ..... (V) 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 1 60 P RO B L È M E : Capte u r ré s i s t i f n o n l i n éa i re @ Ce problème traite de la réduction de la non-linéarité de la mesure réalisée avec un capteur résistif non linéaire. Différents montages sont envisagés et comparés : mon­ tage potentiométrique alimenté en tension ou en courant, quart de pont, demi-pont push-pull et linéarisation par quart de pont actif. Énoncé 1. Capte u r ré s i stif Re Soit un capteur dont l'impédance purement résistive évolue en fonction du mesu­ rande sur l'étendue de mesure E [0,2] selon le tableau 5. 1 . m m Re Re,lin m Re Re,lin m Re Re,lin "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u m Tableau 5. 1 - Rési stance du capteur 0 1 00,00 99,81 0, 1 101 ,00 1 00,87 0,2 1 02,01 1 01 ,93 0,3 1 03,03 1 02,99 0,4 1 04,05 1 04,05 0,5 1 05,08 1 05, 1 1 0,6 1 06, 1 1 1 06, 1 7 0,7 1 07, 1 5 1 07,23 0,8 1 08, 1 9 1 08,29 0,9 1 09,24 1 09,35 1 1 1 0,30 1 1 0,41 1,1 1 1 1 ,36 1 1 1 ,47 1,2 1 1 2,43 1 1 2,53 1,3 1 1 3,51 1 1 3,59 1 ,4 1 14,59 1 1 4,65 1,5 1 1 5,68 1 1 5, 71 1,6 1 1 6,77 1 1 6,77 1,7 1 1 7,87 1 1 7,83 1,8 1 1 8,97 1 1 8,89 1 ,9 1 20,08 1 1 9,95 2 1 2 1 ,20 1 2 1 ,01 Une étude par régression polynomiale sur les valeurs montre que le comportement de ce capteur est très bien décrit par la loi suivante : ..: � "O avec = 0,3 = 1 0 et c = 100 = + + c c: '-' '-' Sur 1 ' étendue de mesure on pratique, par la méthode des moindres carrés, une régres­ �0 sion linéaire de la caractéristique du capteur. On obtient une approximation linéarisée :; "' c: 0 de la loi de variation du capteur donnée par : c: .S: ' avec = 1 0,6 et c' = 99, 8 1 = + c ü :::l :::l � c: "O 12 o. 2 B :::l rS Rc(m) am2 bm a Rc,lin(m) b'm b' b Ceci entraîne une modélisation linéaire de l a résistance du capteur, dans le tableau précédent. Rc,lin, indiquée -0 0 c: :::l a @ @ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage). 161 5 Capteu r résistif non linéaire • BJ Calculer l'écart à la linéarité ôRc sur l'étendue de mesure donnée. mJ Calculer 1 'erreur de linéarité s. llJ Donner sous l'approximation linéaire, la sensibilité S c du capteur. mJ Autour de quelle valeur mo du mesurande vaut-il mieux évaluer les évolutions de celui-ci, valeur pour laquelle on posera Rc(mo) = Rco ? m !im B!im. =A ., En posant que pour évoluant de Rco, mettre l1Rc sous la forme Mc depuis de mo, Re évolue de l1Rc depuis 2 (!1m) + I l . Mo ntage pote ntiométri q u e - A l i m e ntation e n te n s ion Ce capteur est monté dans un conditionneur potentiométrique alimenté par un géné­ rateur de tension constante, de f.e.m. V9 et d'impédance interne négligeable (R9 = 0) (voir figure 5. 1 ) . Rg = 0 "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Fi g ure R 5. 1 - Montage potentiométrique On limite l'utilisation du capteur à l'étendue de mesure donnée et on utilise pour l'expression de la résistance du capteur l'expression quadratique précédente de Re supposée exacte. B51 Donner l'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de V9, Re et R puis en en fonction de V9, l1Rc, Rco et R. 1 mJ En posant que pour la valeur de référence mo, la tension de mesure s'écrit Vmeso , calculer 'évolution /:1 Vmes de la tension de mesure pour une évolution rande entraînant une variation l1Rc de la résistance du capteur. !im du mesu­ 113 Quelle valeur optimale faut-il alors donner à R ? Que devient alors l'expression de /:1 Vmes ? 1 62 Problème 5 œ En déduire l'approximation linéaire 1�.Vmes,lin de ce résultat en fonction de 11m ? ..il•) Calculer dans cette approximation la sensibilité réduite S r de la mesure . ..jll Le but de la mesure est d'extraire l'évolution du mesurande de l'évolution de /1 la tension de mesure. Ceci se fait très simplement de manière électronique si Vmes est proportionnel à 11m. Déterminer l'erreur de linéarité, t: 1 = (11Vmes - 11Vmes, linf11Vmes ), lorsqu'on approche 11 Vmes par Vmes,lin· On calculera son approximation à 1' ordre 2 en 11m et on en cher­ chera la valeur maximale sur l'étendue de mesure. /1 I l l. Montage pote ntiomét r i q u e - Al i me ntation e n co u rant On remplace dans le conditionneur précédent la source de tension par une source de courant 19 parfaite. On garde évidemment la même valeur de référence mo du mesu­ rande que précédemment, valeur pour laquelle on a Rc(mo) = Rco · ..jt.j Donner l'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de 19, Re puis /1 déterminer l'expression de l'évolution Vmes de la tension de mesure pour une évo­ lution 11m du mesurande entraînant une variation Mc de la résistance du capteur. ..jll En déduire l'approximation linéaire /1 Vmes, lin de /1 Vmes· ..ill Comparer ce résultat au cas de l'alimentation en tension. ..,.... Déterminer l'erreur de linéarité t:2 si on approche Vmes par Vmes,lin et l' éva­ /1 luer à 1 'ordre 2 en 11m. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u /1 IV. Montage en q u art de po nt .. : � "O c: :::l � Le capteur est monté dans un pont alimenté par un générateur de tension constante de f.e.m. V9 et d'impédance interne négligeable (R9 = 0) comme sur la figure 5.2. La valeur de référence du mesurande reste identique. '-' '-' �0 :; "' c: 0 c: RI c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B :::l rS -0 0 c: :::l a @ vg Re V,nes R2 R3 Fig u re 5.2 - Montage en quart de pont 1 63 5 Capteu r résistif non linéaire • ..jul Donner l'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de R3 et Vg. 1916 Donner les valeurs de Ri, R1 R3 lim Re, R1, R1, et permettant l'équilibre du pont pour la va­ 1911:1 En déduire, pour une variation mo, leur mo du mesurande. du mesurande à partir de la valeur l'expression rigoureuse de la variation li Vmes en fonction de et Vg puis en fonction de et Vg . A, B, lim, Rco liRc, Rco li li 1910 Donner 1' approximation linéaire Vmes, lin de Vmes en fonction de et lim. Rco, B, Vg 19*.l•I Toujours dans l'approximation linéaire, en déduire l'expression de la sensibi­ lité réduite S r de la mesure. Rco, A, B lim, lim 19*JI En fonction de second ordre en et calculer l'erreur de linéarité c3 , l'évaluer au et en donner la valeur maximale. V. Mo ntage e n dem i-pont p u s h -pu l l Re liRc, liR1, Rco mo. On considère un deuxième capteur identique à fonctionnent en mode push-pull. li 19*.l:.I Exprimer Vmes en fonction de que l'on substitue à libre du pont est toujours réalisé pour la même valeur 19*.JI Donner les expressions de "'O 0 c ::J 0 Mc et !iR 1 RI · Re R 1 et et Vg en supposant que 1' équi­ • 19*11 En tenant compte des expressions précédentes, donner la nouvelle expression li de Vmes· li li (V) 19*.Ji Donner l' approximation linéaire Vmes, lin de Vmes· @ 19*.Jd Toujours dans l'approximation linéaire, en déduire l'expression de la sensibi­ 0 N ...... ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u lité réduite S r de la mesure. 19*14 En fonction de valeur maximale. Rco. A lim, et calculer l 'erreur de linéarité c4 . En donner la VI. Li n éarisation amont - Montage e n q u art de pont actif On désire éventuellement améliorer la linéarité de façon active à l'aide du montage suivant où seul est un capteur. Re 1 64 Problème 5 Rc o Rg A Rc o & ------. Re B V,ues Rco F i g u re 5 . 3 - Montage en quart de pont actif ..'"t:.J:I L'amplificateur opérationnel étant supposé idéal, exprimer V et V /j, '*.JO En déduire Vmes en fonction de A 8. /j,Rc, Rco Vg A, B, /j,m Vg. et puis et ..1@11) Donner l' approximation linéaire /j, Vmes, lin de /j, Vmes · .."'IJI En déduire l 'expression de la sensibilité réduite S r de la mesure . ..M..fl Calculer l'erreur de linéarité maximale. s5, l' évaluer à l'ordre 2 et calculer sa valeur VII. Avantag e s et i nconvé n ients des d iffé rents con d ition n e u rs Commenter les différentes solutions mises en œuvre. Quels en sont les avantages et les inconvénients "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: ? Corrigé détaillé ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 1 65 P RO B L È M E : Ca pte u r à ré l u cta n ce va r i a b l e Ce problème présente la mise en œuvre d'un capteur à réluctance variable dans l'as­ servissement en tension d'un ruban défilant magnétique. L' accent est mis sur le calcul de la valeur de l 'inductance, la non-linéarité de la mesure et sa correction et leurs ef­ fets sur le spectre du signal de mesure. Énoncé 1. Étude d u capte u r Soit un capteur inductif, représenté figure 6 . 1 , réalisé à partir d'un circuit magné­ tique en U, de section carrée en matériau doux feuilleté et sur lequel sont bobinés N enroulements d'un conducteur parcouru par un courant /. La fibre moyenne r de ce circuit magnétique en U est de longueur 1 dans le feuilletage et la perméabilité SOOµo où µo est la perméabilité du vide. magnétique du matériau doux est µ Ce capteur est placé en regard d'un ruban métallique et ferromagnétique, de largeur supérieure à et en défilement devant le capteur. Ce ruban est d'épaisseur e et la per­ méabilité magnétique du matériau le constituant est µ = 700µ0. Le rôle du capteur est de mesurer la distance x du ruban au capteur afin d'asservir le système réglant la tension du ruban. On suppose que les lignes de champ sont parfaitement guidées par le circuit ma­ gnétique, qu'aucune ligne de champ ne se reboucle dans l'air et que l'entrefer x est suffisamment petit pour pouvoir négliger les fuites de flux. a2 , l 1= a "'O 0 c ::J 0 2 (V) 0 N ...... @ µI; ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u /1 - - - _ \ _ - --. = = ---.--= F i g u re -- 1 66 t - a 6.1 - Principe du capteur Problème 6 [ml Donner l'expression de la circulation du champ d'excitation magnétique � H le long de la fibre moyenne r du circuit. Décomposer cette circulation en faisant inter­ venir les champs dans le capteur, dans l'air, dans le ruban et les longueurs de la fibre moyenne r, /1 dans le capteur, dans l'air et dans le ruban. Ho 2x H1 H1 1 2 à à Bo � En utilisant le fait que l'induction magnétique est flux conservatif, que ce champ d'induction peut être considéré comme uniforme dans chaque section du cir­ cuit magnétique et que l'entrefer est petit, donner les relations liant le champ d'in­ duction magnétique dans le matériau du capteur celui dans l'air et à celui dans le ruban. B1 B2 à B1 , mD La perméabilité magnétique liant par définition l'excitation magnétique l'in­ duction magnétique, déduire des expressions précédentes, la relation liant N, !, e, a µ 1 , µ et µo. /1 , 12, x, , 2 œJ L � L(x) x. � x L(x) xo Lo = L(xo), �x = 100, 1 = 10 1 = 4 x0 = 1 2 1 7 = 4n.10- Hm- . a=2 Donner l'expression du flux </Jb dans la bobine et en déduire l'expression de l ' inductance de la bobine. En utilisant les résultats précédents, déterminer l'expression de l'inductance de la bobine pour une distance capteur-ruban La distance varie autour de sa valeur de consigne Établir l'expression de en fonction de déterminer. On donne N cm, cm, cm, et µo x xo A�x.à e = 0, 1 et on pose = + et d'une constante 3 mm, mm, I l . Co nd ition nement d u capte u r "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � Le capteur est monté en quart de pont avec un condensateur variable de capa­ cité C et deux résistances fixes R = kQ (voir figure 6.3). Le pont est alimenté par un générateur d'impédance interne négligeable et délivrant la force électromotrice Vg COS Wgt. Déterminer quelle valeur doit être ajustée la capacité C pour que la tension différen­ tie11e du pont soit nu11e pour = On considère que et C sont respectivement une inductance et une capacité pures. 1 � ""' " "' " " '" = ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ à x xo. L(x) Gli) Donner l'expression de la tension de mesure Vmes· Cl) Donner l'approximation linéaire Vmes,lin de Vmes· À partir de cette expression [-2 +2 à 1 % ? linéaire et sur une étendue de mesure E.M. = mm ; mm], peut-on extraire le déplacement du ruban avec une erreur relative inférieure On donne 1 rad.s- . Wg = �x 3 2n.10 1 67 6 Capte u r à rél uctance variable • tille) En fait la variation de distance �x dépend du temps en raison de l'asservisse­ ment effectué sur la tension du ruban et on désire analyser correctement cette dépen­ dance temporelle. En considérant le cas simplifié où = cos wt, effectuer le développement limité de la valeur instantanée en jusqu'à l' ordre 3, puis obtenue précédem­ en posant = + décomposer l'expression de ment de façon à faire apparaître les différentes pulsations de son spectre. �x(t) x 1 Vmes(t) �x(t) Vmes(t) B ARxif(R Zo) lilll Sous quel type de modulation l 'information sur le déplacement est-elle co­ dée ? I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal UltA On utilise le montage suivant pour linéariser la tension de mesure. VmesCt) Comme la tension est une tension diffrentielle (tension de déséquilibre du pont du paragraphe Il), elle n'est pas référencée à la masse. Il est donc nécessaire de la référencer à la masse pour l'utiliser comme entrée du montage 6.2. Pour ce faire, est utilisée comme entrée différentielle d'un amplificateur d'instrumentation de gain unité. VmesCt) vmes (t E (t) X1 Z1 Y1 X1Y1 Z1 V (t) Xz Y2 X2 + Y2 V, ( t ) F i g u re 6.2 - Conditionnement du signal "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Vs(t). E(t), �x? Vs(t)? Établir l'expression de la tension de sortie Pour quelle valeur de l' expres­ sion de varie-t-elle linéairement avec le déplacement Comment obtenir pratiquement en utilisant un condensateur identique à celui utilisé dans le montage en pont ? Quelle est alors l'expression de Vs(t) E(t) lillJ Décomposer l'expression de Vs(t) de façon à faire apparaître les différentes pulsations constituant son spectre. Sous quel type de modulation l'information sur le déplacement est-elle maintenant codée ? 1 68 Problème 6 Corrigé détaillé 1. Étude d u capte u r à Cl) Les lignes de champ étant parfaitement guidées donc toujours colinéaires la fibre moyenne, d'après le théorème d' Ampère, la circulation de l'excitation magné­ tique le long du contour fermé r, s'écrit : J(r H.d l = NT = H1l1 H2h Ho2x ---? ---? + + à cf> = l B. dS = cte S [B L'induction magnétique étant flux conservatif, au travers de la section d'un tube de champ on a : a2 S En prenant comme section du circuit magnétique et compte tenu du fait que 1' entrefer est petit, la section du tube de champ dans 1' air reste pratiquement égale à on en déduit : a2 , cf> = J(s B.dS = Bia2 = Boa2 ---? ---? B1 Bo cf> = B2ea. [LI) B i = µ1H1 , B2 = µ2H2 Bo = µoHo. où et sont respectivement les champs d'induction magnétique dans le circuit magnétique et dans l' entrefer. Dans le ruban, les lignes de champ étant toujours parfaitement guidées, on a La perméabilité magnétique liant inductance et excitation magnétique, on a et Compte tenu des résultats des deux ques­ tions précédentes, il vient : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u (6. 1 ) � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 m9 La bobine étant supposée de spires jointives serrées sur le circuit magnétique, le flux " " .3 ü 2 � = " = Ci @ N spires est donné par : c/>b = fxs. ds N fss.ds c/>b = B 1 Na2 = LI L = B 1 Na2/I. L'induction magnétique étant par hypothèse uniforme dans la bobine, on obtient : � -0 0 dans la bobine qui est le flux au travers de ses � = ""' 2o.. cf>b L représente l ' inductance propre de la bobine soit 1 69 6 Capte u r à rél uctance variable • � En éliminant le courant entre cette dernière expression et le résultat déduit immédiatement : (6.1), on 2 2 N a L(x) = l1 -al2 2X µ1 eµ2 µo [la xo + �x, 2 2 N a (6. 2 ) L(x) = L(xo �x) = l1 + ) l 2( Xo uX a + 2 µ1- eµ1 2 + ---µo 1 --= Lo = Lo + 2eµ1µ2 2xoe �x 1 + A�x el1µ0µ2 + al2µ0µ + µ 1µ2 A = 2eµ1µ2/(eµoµ 2 l1 + aµoµ1 l2 + 2eµ1µ2 xo). Lo = 285 = 113,5 m-1 . + ­ - + Avec il vient : + A l l On a posé µH et A Numériquement, on obtient I l . Co nd ition nement d u capte u r [E Le montage est classique (voir figure 6.3). C R "'V;nes L (x) "'O 0 c ::J 0 .... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Fig u re 6.3- Circuit de conditionnement du capteur Zox= }Lowg Zc = 1/ }Cwg. xo, R Zo --R+Zo2 R+Zc = (6.3) C =1/}Cwg R / JLowg, = 2 Lo/R = 285 On note nulle pour = entraîne être fixée à et on doit avoir : pF. Pour que la tension différentielle du pont soit 0 (6.2) ZL(x) = jL(x)wg, �Z = ZL(x) - Zo = Zo ( 1 + 1A�x - 1) = -Zo A�xA�x = -}Lowg -1-A�x +-A-�-x et en posant 1 1 70 (6.3) la valeur de la capacité du condensateur doit donc [13 En notation complexe, compte tenu de a: ZoZc = R2 soit + on Problème 6 ZoZc = R2 R(ZL(x) -Zo) R ) (6.4) V Vmes - ( R ZL(x) 9 + ZL(x) R + R2/Zo (R + ZL(x)) (R + Zo) V9 A�x jRLow 9 R�Z �Z Vg = 1;.Low +A�xg A�x Vg = (R + Zo)2 ( 1 + R + Zo ) (R + }Low9)2 ( 1 - R + JLow9 1 + A�x) [ID Vmes,lin (6.4) Al'1 x RLow g . Vmes,. m - (RRZ0A�x + Zo)2 - (R + }Lowg)2 Vg 1'1x Vmes Vmes,lin 1'1Z-�Z0Al'1x - -2 1 + E = Vmes,lin - Vmes = 1'1Z R + Zo = RRAl'1+ Zxo 1'1Z 1 + R+Zo 1'1x = lsl V . l i n m es 1'1x 1 1 1'1x(t), Vmeit) VmesU) = (R + Zo) (RRl'1+ZZo(t) + 1'1Z(t)) Vg(t) RZoAl'1x(t) = t COSW V g g Al'1 (t) x Zo (1 + Al'1x(t)) (R + Zo) (R + Zo - 1 + Al'1x(t) ) RZoA�x(t) Vg COSWgt = x(t) ) (R + Zo)2 ( 1 + RAl'1 R+Zo Z AR o [ ( t w V g g R+Zo ) 1'1x(t)2 R+Zo AR ) (1'1x(t))2 + ( R+Zo AR )3 (1'1x(t))3] (R+Zo Avec la tension différentielle s'écrit : _ _ _ --- L' approximation linéaire 1· - de - donne : - L'erreur relative engendrée en utilisant donnée par : - 1 au lieu de pour extraire est -- ------ -- Par exemple, pour ±2 mm on a déjà 22,7 %. Dans l'état, l'utilisation de la mesure et son assimilation à une expression théorique du type de ne permettent pas la détermination de avec une erreur inférieure à %. � [;lie) En se limitant à 'ordre 3 en "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ � - la valeur instantanée est : cos - 1 71 6 Capte u r à rél uctance variable • En posant B = ARxif(R + Zo) et en utilisant les deux identités cos2 x = ( 1 + cos 2x)/2 et cos3 x = (3 cos x + cos 3x)/4, il vient pour la tension de mesure instantanée : cos w9t [ -B cos wt + B2 cos2 wt - B3 cos3 wt] V9 VmesCt) '.:::::'. R Zo + Zo 3 B2 B2 B3 Zo = R + Zo V9 cos w9t - B + -B 3 cos wt + - cos 2wt - - cos 3wt 2 4 2 4 Zo V9 B2 cos wgt R + Zo 2 2 B + � B3 (cos(w9 w)t cos(Wg w)t) [ = ) [ ( - ) ( B2 1 + - ( B3 4 (cos(w9 3w)t + ) 3w)t) + 2 cos(w9 - 2w)t + cos(w9 + 2w)t - - + cos(w9 + l Le spectre de la tension de mesure (voir figure 6.4) est donc constitué en première approximation des pulsations w9 ; w9 ± w ; w9 ± 2w ; w9 ± 3w . [ ] Amplitude (unité arbitraire) î î wg - m wg + m w + 2w g OJg - 20J o 0 (Ûg4� mg+ 3m (Ûg - 3 0J ' ' � Fig u re 6.4 - Allure du spectre de la tension de mesure "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u klll L'information est codée sous forme d'une modulation d'amplitude avec pré­ à sence de la porteuse (due la non-linéarité) puisque, dans le spectre de Vmes(t), figure un terme de pulsation w9 . I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal = R/(R Z0) K = Zo/(R Z0). V(t) = Vmes(t)Vs(t)/E(t) Vs(t) = Vmes(t) + V(t). t:Wt.I On pose K1 + et et 2 Vmes (t) = Vs = ---t) ! Pour que 1 72 - i ;& V + Le circuit de la figure 6.2 donne On en tire : COS -E(t)K2A!ixV9 w9t ----) ( E(t) � AAx + K1AAxVg cos w9t 1 + V5(t) varie linéairement avec le déplacement !ix, il suffit d'imposer : E(t) = -K2 Vg cos Wgt Problème 6 R2/Z0. RR. Zc = Le condensateur du montage en pont avait comme impédance Pour réa­ liser E(t) + Vg cos wgt, il suffit d'utiliser le circuit de la figure 6.5. Le pont diviseur de tension alimenté par Vg cos wgt en associant en série et réalise, aux bornes de la résistance, la tension + Vg cos wgt si » Cette tension est inversée pour réaliser E(t) par le montage amplificateur opérationnel. = -Z0/ (R Z0) Zo/ (R àZo) Zc R' R' R' 2 E(t) F i g u re 6.5 - Circuit de réalisation de la tension E(t) On a alors un comportement linéaire du signal par rapport à �x puisque : à IMll De façon similaire la question II.4, il vient maintenant : Vs(t) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" = = -B(cos wtVg)(cos wgt) -B � [cos(wg - w)t + cos(wg + w)t] Le spectre n'est plus dès lors composé que des pulsations wg ± w. On est en pré­ sence d'une modulation d' amplitude sans porteuse (absence de la pulsation wg dans le spectre). ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1 73 6 • Capte u r à rél uctance variable En toute rigueur, dans ce type de problème, i l fau d rait ten i r compte de la dépen­ dance de type passe-bas de la perméabilité magnétique des matériaux qui jouent sur la val e u r de A ce qui réi ntroduit une d i storsion s u p p l é mentaire. Généralement, ces capteur uti l i sé comme capteur de proxim ité sont moins pré­ cis que l e u rs homologues de type capac itif q u i présentent, de plus, l ' avantage de pouvoir détecter la d i stance de tout type de c i b l e (diélectrique, métal l i q u e ferro­ mag nétique ou non, etc.). Les capteurs i n d uctifs restent en revanche p l u s fac i l e s à mettre en œuvre. Le principe phys i q u e du capteur i nductif peut être u t i l i s é pour réal i s e r des cap­ teurs tachymètriques actifs. On place, par exemple, le capteur devant les dents d ' u n eng renage de matériau mag nétiq ue. À chaque passage d ' u n e dent d u pi­ gnon devant le capteur, il y a variation de la rél uctance d u capteur et création d ' u n e fem indu ite i m pu l s i onnelle. Il suffit de compter ces i m pu l s i o n s pendant un i ntervalle de temps donné pour en d é d u i re, connais sant le nom bre de dents du pignon, la vitesse angulaire de ce de rnier. e Bobinage (t) --Î- �Aim•nt "-'1,_,, '. :'. : ._ Lignes de champs Engrenage Fig u re 6.6 - Principe de fonctionnement d'un tachymètre inductif -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 1 74 P RO B L È M E : L i n é a r i s at i o n ava l Ce problème présente la mise en œuvre de deux méthodes de correction aval de la non-linéarité présentée par un montage de conditionnement en quart de pont. Une de ces méthodes permet de plus, de rendre la tension de mesure indépendante des variations possibles de la force électromotrice de la source d' alimentation. Énoncé 7.1 On considère le montage en quart de pont de la figure où Re représente la résis­ tance d'un capteur résistif du mesurande m. Le pont est alimenté par une source de tension de force électromotrice V9 et de résistance interne R9 non négligeable. = 10 V RI vg "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u V,nes = 50 Q R2 Re R3 Fig u re 7. 1 - Le circuit de conditionnement � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1. Calc u l s pré l i m i n a i res fi) Établir l'expression de la tension de mesure V mes· = = 100 n. gJ Le pont est équilibré pour une valeur mo du mesurande pour laquelle on note Re(mo) Reo En déduire a priori les valeurs de R1, R2 et R3 à choisir. il) En déduire l'expression de �Vmes , variation de la tension de mesure par rapport à l'équilibre, en fonction de Reo, = V9, R9 et �Re Re - Reo puis k1 k2 = (2Rco R9)/4Rco(Rco R9), V9, et �Re. + + = l/4(Reo + R9), 1 75 7 Linéarisation aval • g) Déterminer l'expression de la sensibilité S cond du conditionneur dans le cas d'une approximation linéaire (fonctionnement en faibles signaux). fm On considère une variation de la source (dérive ou parasite) qui passe de Vg à présente alors en plus de son expression précédente, Montrer que /J. + /J. un terme croisé gênant couplant variation du mesurande et variation de la force élec­ tromotrice de la source. Vg Vg. Vmes I l . L i n éari sation par m u lt i p l i cation et som mation La variation de la tension de mesure du I.3. est le signal d'entrée du montage de linéa­ risation aval de la figure 7 .2. Comme /J. n'est pas référencé à la masse, ce signal sert tout d' abord d'entrée différentielle à un amplificateur d'instrumentation de gain unité. En sortie de ce dernier, on dispose alors du signal /J. référencé à la masse et c'est ce dernier qui sert d'entrée au montage 7.2. Vmes Vmes tl V,,,es L Va X2 X1 Y1 X1Y1 Z1 Z1 V Y2 X2 +Y2 j� s rmw Fig u re 7.2 - Le circuit de linéarisation par multiplication-sommation fla Donner l'expression de k2 , Vg, Vo "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u et IJ.Rc. Vs en fonction de fB En déduire la valeur à donner à néaire. Vo et /J. Vo Vmes Vs. En déduire la sensi­ llD Si on considère de nouveau une variation de la source qm passe de Vg + /J. Vg, que se passe-t-il ? k1 , pour que le conditionnement devienne li­ fla Donner dans ce cas l'expression de la tension de sortie bilité s cond du conditionneur. puis en fonction de Vg à I l l. L i n éari sation par d i v i s e u r On considère maintenant l e circuit de linéarisation de l a figure 7.3, constitué d'un amplificateur opérationnel supposé idéal et d'un diviseur analogique pondéré. 1 76 Problème 7 vg R � V,11es KR R R e+ + V R y X IO X y V. KR F i g u re 7.3 - Linéarisation par division fll1J Déterminer l'expression de V en fonction de � Vmes puis en fonction de k1 , k2 , Vg et �Re. flll Déterminer VN et VD en fonction de K, V et Vg. fltl En déduire l' expression de Vs en fonction de VN et Vv puis de K, k 1 , k2 , Vg et �Re . F41FJ Établir la relation que doivent vérifier K, k 1 et k2 pour que le conditionnement soit linéaire. MEi Donner alors l'expression de Vs et en déduire la sensibilité S tionneur. cond du condi­ fl..1 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à Vg + � Vg, que se passe-t-il "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: ? Corrigé détaillé ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .ür2 "O::l 2o.. 2 B :::l � "° 0c ::l Ci @ Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à 1' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 1 77 P RO B L È M E : P r i n c i pe d u t h e r m oco u p l e et l o i s é l é m e n ta i re s @ à Un circuit conducteur composé de deux matériaux différents et soumis un gradient de température est le siège d'une fem, fonction de la nature des matériaux utilisés et de leurs températures : c'est l'effet Seebeck. On nomme thermocouple un tel cir­ cuit thermoélectrique. Au travers de la mesure de la fem du thermocouple, on peut déterminer la température d' une des jonctions des deux matériaux si on connaît la température de 1' autre jonction. Les différents types de thermocouples existants permettent de couvrir une étendue de mesure allant de -250 °C 2500 °C . Ce problème présente quelques lois élémentaires relatives la thermométrie par thermocouples. à à Énoncé à "'O 0 c ::J 0 Lorsque la jonction de deux conducteurs A et B de natures différentes est la tempé­ rature T, il s'établit, de part et d' autre de cette jonction, une différence de potentiel ei/B qui ne dépend que de la nature des deux conducteurs et de la température T (voir figure 8.1). C'est l'effet Peltier. � (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u B r • l•r Fig u re 8. 1 - fem de Peltier Entre deux points d'un même conducteur A aux températures T et T', il existe une force électromotrice qui ne dépend que de la nature du conducteur et des deux températures T et T' . C' est 1 'effet Thomson (voir figure 8.2). La force électromotrice de Thomson est donnée par (8. 1 ) où hA est le coefficient de Thomson du matériau A, eI;T' @ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage). 1 78 Problème 8 coefficient qui en réalité est une fonction de la température : (8. 1 ) A Fig u re 8.2 - fem de Thomson ED On considère un circuit fermé constitué de trois conducteurs A, B et C de natures différentes, en série, l'ensemble étant à la température (voir figure 8.3). En utilisant le second principe de la ther­ modynamique, montrer que la différence de poten­ tiel entre les conducteurs A et B est la même en pré­ sence ou en l'absence du conducteur C. EfJ On considère un circuit fermé (voir figure 8.4) constitué de deux conducteurs A et B de natures dif­ férentes et dont les deux jonctions sont respective­ ment aux températures T et T'. Ce circuit consti­ tue un thermocouple. Établir l'expression de la force ' électromotrice E dite de Seebeck résultant des effets Peltier et Thomson dans le circuit. T I� .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u A T T' B F i g u re 8.4 - Thermocouple El) On considère deux thermocouples constitués par les couples A-B et C-B dont "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © F i g u re 8.3 - Circuit isotherme constitué de conducteurs différents en série ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .ür2 "O::l 2o.. 2 B :::l � "° 0c ::l Ci @ les jonctions sont aux températures T et T' et dont les fem de Seebeck sont respecti­ ' ' vement E et E . En déduire la fem de Seebeck du thermocouple A-C dont les jonctions seraient aux températures T et T' et la loi dite des métaux successifs. I�� EI��' �� El) Déterminer la fem de Seebeck E T' connaissant les fem de Seebeck u couple aux températures successives. EI'�{' � I�� ' du couple A-B aux températures T et du couple aux températures et et et ce qui constitue la loi des températures EI;�' T" T', T T", I�� EH Soit le thermocouple constitué par le couple A-B de fem de Seebeck E ' On désire déterminer l'effet de l'introduction d'un nouveau conducteur C dans l'hypo­ thèse où les deux extrémités du conducteur C sont à la même température. . 1 79 8 • Principe d u thermocouple et lois élémentaires Deux cas sont à envisager selon l'endroit où on introduit ce conducteur C. Soit on coupe le conducteur B et on insère un nouveau conducteur C réalisant ainsi deux nouvelles jonctions à la température du conducteur B avec le conducteur C ; soit on introduit le conducteur C entre le conducteur A et le conducteur B auquel cas les deux jonctions du conducteur C seront considérées à la température T. Quel est l' effet de l ' introduction du conducteur C Les valeurs des fem de Seebeck sont tabulées en fonction de la température pour chaque type de couple A-B communément utilisé en prenant comme tempéra­ ture dite de référence = 0 °C (température de soudure froide). On considère un thermocouple de type K, soit Chromel-Alumel (alliage Ni et Cr alliage Ni et Al) dont la fem de Seebeck E�l�r/NiAI est donnée dans le tableau 8.1 en fonction de la température en °C . T" ? E:)�' T T' T Ta bleau 8. l - f�igr/NiAI en �LV (CEi 584. 1 - 1 995) T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 4096 4 1 38 4 1 79 4220 4262 4303 4344 4385 4427 4468 110 4509 4550 4591 4633 4674 471 5 4756 4797 4838 4879 120 4920 4961 5002 5043 5084 5 1 24 5 1 65 5206 5247 5288 130 5328 5369 541 0 5450 5491 5532 5572 561 3 5653 5694 140 5735 5775 581 5 5856 5896 5937 5977 601 7 6058 6098 ED Le thermocouple est connecté à un microvoltmètre de grande impédance d'en­ trée (voir figure 8.5). Les bornes de ce dernier sont à 0 °C . Il indique une tension Vmes,o 5 104 µV. Quelle est la température de la soudure de mesure dite tempé­ rature de soudure chaude = T ? + "'O 0 c Chrome! ::J 0 (V) ...... T 0 N @ ..... ..c Ol ·;:::: >a. 0 u \ Alumel 0°C �"" '] 0°C s;:: es· ""'! 0 < 0 g (!)· ...... ""'! (1) Fig u re 8.5 - Principe de la mesure E,6 Les fils des thermocouples sont d'un coût élevé. Ceci s'explique par la pureté des matériaux utilisés et les technologies de fabrication mises en œuvre de façon à assurer l'interchangeabilité des thermocouples. 1 80 Problème 8 Lorsque le microvoltmètre doit se trouver à distance de la soudure de mesure (c'est le cas lorsque la température est très élevée), on remplace les câbles du thermocouple par des câbles d'extension pour ramener le signal à l'entrée du voltmètre. Ces câbles de moindre coût, sont notés ici XA pour celui connecté au chrome} et XB pour celui connecté à l'alumel (voir figure 8.6). u======i'=• . . . . . . . . . . Chrome! T ' F i g u re 8.6 - Principe de la mesure avec câbles d'extension Alumel Soit Ti, la température à laquelle se trouvent les jonctions entre les câbles d'extension et le thermocouple de mesure. Quelle condition doit vérifier le couple XA-XB pour que la présence des câbles d'ex­ = tension ne modifie pas la mesure à savoir pour que l'on ait Quel problème se pose alors ? Comment peut-on y remédier ? Vmes, l Vmes,O ? 0 ED On se place dans le cas de la solution adoptée à la question précédente, c'est-à­ dire avec des câbles d'extension adaptés. Réaliser une tension de référence à °C à l'entrée du voltmètre est peu aisé et peut s'avérer coûteux. Il est plus simple de laisser les jonctions au voltmètre à la température ambiante Ta et d'effectuer la correction nécessaire par rapport à la référence de °C en mesurant la température ambiante au moyen d'une autre technique (voir figure 8.7). "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: -. .. ;c:; "O c::l "' " " '" Tref ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ Alurnel ·-·· 0 ... ... ... ... ... ... XA ,r Ta .. � + .. . , � � . . . . . . . Fig u re 8. 7 - Principe de la mesure avec câbles d'extension et sans référence au 0 °C '----J XB 1 Les fils d'extension utilisés sont un fil de cuivre pour le fil relié au fil de chromel et un fil de constantan (alliage de cuivre et de nickel) pour celui relié à ' alumel. Pour une même valeur de la température de la soudure chaude, calculer la tension affichée par le microvoltmètre. On donne Ta = 25 °C et = 992 µV. Vmes,2 E����uNi 1 81 8 Principe d u thermocouple et lois élémentaires • EIJ Calculer 1 'erreur engendrée si on ne tient pas compte de la correction à apporter sur la mesure. 1:111) On se propose d'éviter ce problème en réalisant le montage de la figure 8.8 où le circuit de compensation de soudure froide se trouve à la température ambiante. Ce circuit est composé d'un pont formé de résistances fixes R 1 et d'une résistance thermométrique PtlOOO de résistance : Rc(T) Q = Ro( l + œT) Ro = l 000 représente la résistance à 0 °C et œ = 3 , 85 . 1 0-3 °C - I le coefficient de température. -- .. ... ( T " 1\ ', (chromel \/ ,,/ ==• T ) \ l l A u me _� XA , �- ----- """"'·•" ' " ' �-� xB i ' ------- ---------------------------------------------------- F i g u re 8.8 - Principe de la compensation de soudure froide -0 0 c ::i 0 E���CuNi ��� E CuNi En première approximation, la fem peut être considérée comme proportion­ = AT. Le tableau 8.2 donne nelle à la température c'est-à-dire que l'on a la fem du couple cuivre-constantan pour des valeurs de température comprises entre 20 ° C et 30 ° C. Tableau 8.2 - fem du couple cuivre-constantan (V) ..-1 0 N T T;O E Cu/CuNi @ ..__, � Ol ï::: >0. 0 u 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 790 830 870 91 1 951 992 1 033 1 074 1 1 14 1 1 55 1 1 96 Calculer le valeur de la constante A et déterminer l'expression de la tension diffé­ rentielle V du pont. On fixe R = Ro. Calculer les valeurs de R 1 et R1 permettant la compensation de soudure froide. 1:111 Cette compensation étant effectuée, évaluer l'erreur commise sur la mesure de la température de la soudure chaude si la température ambiante varie entre 20 °C et 30 °C . 1 82 Problème 8 Corrigé détaillé ED Soit la force électromotrice totale. Si elle différait de 0, il y aurait création d'un e courant et donc mise en mouvement des électrons. Or d'après le second principe de la thermodynamique, un système isotherme ne peut fournir d'énergie mécanique. La force électromotrice totale est donc nulle. Cette force étant la somme des fem de . + + par conven= = Ü smt Peltter, on a = + tion d'écriture étant mesurée en allant de B vers A, on a de toute évidence Ü = = . n en deîdmt . L orsque deux conducteurs sont + en contact par l'intermédiaire d'un troisième conducteur et que le tout est isotherme, tout se passe comme si les deux conducteurs étaient directement en contact. e T T T e eA/C ec(B eB/A TeB/A -eTA/B e�/A eA/T B eTA/C . · eTA/C eC/T B -eB/A T . eCT/B EIJ La force électromotrice totale s'écrit simplement : El) D'après (8.2), on a : EAT-iTB' = lT (hA - hs )dT + eTA/B - eA/T'B T'T EcT·isT' = lT (hc - hs )dT + ecT;8 - eCT'/B ' "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >- a. 0 u (8. 3) En effectuant la différence des deux termes de (8.3) et en utilisant les résultats de la question 1 , il vient : � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ T - eA/T'B - eC/T B + eCT'/B EAT-iTB' - EcT-isT' = lT (hA - hs )dT - lT (hc - hs )dT + eA/B T'T T' T B + eBT/C - eT'A/B - eBT'/C = l (hA - hc )dT + eA/ (8.4) T'T T - eT'A/C = EAT·ieT' = l (hA - hc )dT + eA/C T' Cette relation permet de déduire la fem de Seebeck du couple A-C lorsque l'on connaît les fem de Seebeck des couples A-B et B-C. (8.4) s'écrit encore : = + T;T' EA/C T;T' EC/T;BT' EA/B (8.5) 1 83 8 • Principe d u thermocouple et lois élémentaires El) Il suffit de décomposer �; selon : E ' T TT' EAiB = l (hA - hB T' T T )dT + eA/ B T" T' - eA/B = l (hA - hs )dT + l (hA - hs )dT + eA/B - eA/B + eA/B - eA/B = l (hA - hs )dT eA/B - eA/B l (hA - hB )dT + eA/B - eA/B = EA/;B + EA/B; T" T T + T" 1, T' T" 1'" T T" T" T" + T' T' T" T' T" T' (8.6) EH Dans le premier cas (voir figure 8.9), la nouvelle expression de la fem totale est donnée par (8.7). T e=l T' hA dT + T T" T" T" T' eA/B + l hB dT + eB/C + eC/B + l hB dT T T" + eBT'/A (8.7) T TO' T" T" T c F i g u re 8.9 - Loi des métaux intermédiaires -0 0 c ::i 0 Dans le deuxième cas (voir figure 8.9), la nouvelle expression de la fem totale est donnée par (8.8). T e=l (V) .-1 0 N T' @ ......, � Ol ï::: >0. 0 u T T hA dT eA/ C + eC/B + + T' l T T' hs dT + eB/A (8.8) Dans les deux cas, la fem totale n'est pas modifiée par l'introduction d'un conducteur supplémentaire pour peu que ses jonctions soient à la même température. Ce résultat est important puisqu'il montre que la jonction entre les deux conducteurs A et B d'un thermocouple peut être réalisée selon n'importe quel type de soudure. L' apport d'un matériau supplémentaire qui pourrait être nécessaire à cette soudure ne modifiera pas la mesure. 1 84 Problème 8 ED L'entrée sur le microvoltmètre s 'effectue par un conducteur C (généralement du cuivre) à la température de 0 ° C . La force électromotrice totale s'écrit : e = = lT hA dT e� + J: hs dT ei1c e�/A lT(hA - hs )dT eI1s - e� E';ji, + + + + = L'indication donnée par le microvoltmètre correspond donc à la fem de Seebeck du couple Chromel-Alumel. D'après le tableau 8. 1 , on a : 124;0 ENiCr/NiAl (5 084 125;0 µV) < Vmes,o(5 1 04 �tV) < ENiCr/NiAl (5 1 24 µV) La détermination de la température peut se faire en première approximation par in­ terpolation linéaire selon : T= 124 + 124;0 EN1 2iC5;r0/NiAI - ENi1 24C;r0/NiAI Vmes,O - ENiCr/NiAI = 124 + 5 104 - 5084 = 1 24 ' 5 oc 5 1 24 - 5084 E6 Dans la configuration de la figure 8.6, la tension mesurée s'écrit : Vmes,l = e�/XA ""'" ....... '·C"'"" "'"" ""' 0 N � = @ ..c O'l ·;:::: >- a. 0 u 0 = 0 .3 ü= 2o.. 2 � " = � -0 0 = Ci @ (Jo Ti hxA dT + e�A/A J(rT hA dT + 0 T hs dT + eBT·fXB T O � + er(B lTi T lT ; T - eTl.;· ; = (hA - hs )dT eA/B (hxA - hxs )dT e.J.T.·A/XB - e0XA/XB s lT; l0 = Er��i E�t;XB = E:j� + E�� E�it;XB = E:j� E�l�xB - Er/� T;; - EA/BhO EXA/XB + "'O 0 c :J 0 (V) .-t + + 0 hxs dT + eXB/C + + + + + = Vmes,0 + + O T;;O = E T, ;O . Pour que Vmes,l = Vmes,O 1· 1 suffit que EXA/XB A/B La température Ti peut varier pour diverses raisons, en particulier suite à une varia­ tion de la température ambiante. 11 est impossible de réaliser strictement la condition E�t;xB = E�}� pour des matériaux différents et des températures différentes. Pour pallier le problème, il suffit de fixer Ti à une température T ef au-dessus de la tempé­ rature ambiante au moyen d'un thermostat. Le couple d'extension XA-XB est alors r 1 85 8 • Principe d u thermocouple et lois élémentaires totalement déterminé par la donnée du couple de mesure A-B et la température de re1�erence ref et on a · Pratiquement, pour un fonctionnement correct des câbles d'extension, on peut se contenter que la température reste dans une plage limitée, généralement [0 ° C ; 1 OO ° C ] . / Tref;O - EA/B Tref;O EXA/XB T / _ Ti ED La nouvelle tension de mesure s'écrit : Tref Ta + eC/XA T,, + lTref hxA dT + eXA/A + lTrTaef hxB dT + eXB/C T,, Tref;O EXTaA/XB Tref;O + EXA/XB Tref;T,, = EA/T;OB EA/B T;BTref + EXA/XB ;O = EA/ Comme les câbles d'extension sont adaptés, on a ii:[;� T,, ;O - Vmes,0 - EXA/XB T,,;O - - EXA/XB Vm s, 2 6 T;O Vmes,2 - EA/B - (8.9) _ _ =5 = E��;o . (8.9) devient : 1 24 - 992 = 4 1 32 µV EmJ Si on ne tient pas compte de la correction à apporter sur la mesure, la tempéra­ ture qui sera déduite de la valeur est donnée par le tableau 8.1 en procédant de la même façon qu' à la question avec : e "'O 0 c ::J 0 (V) .... 0 N E���;�iAI (4 096 �tV) < Vmes,2(4 132 µV) < E���;�iAI (4 1 38 µV) Vmes,2 - ENilOO;CrO/NiAI 132 - 4 096 = 100 9 oC T = l OO + ENi10C1;r0/NiAl - ENi100;Cr0/NiAl = 100 + 44 138 ' - 4 096 Ceci correspond à une erreur importante de 23,6 °C . 1:1111 La meilleure approximation de la constante A est donnée simplement par : A = @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u l:TaTa==3200 :cC ETCu;O/CuN1. = 39 1 694 µV/°C C l:Ta= 0 3 Ta=20 °C T 0 La tension différentielle du pont se calcule aisément et on a : V= = 1 86 ( R+Re ) ) Vg R + Re - R2 ) Vg = (R+Re R1 (R++RRe)(R-R+R 2 1 1 + R R +R 2 1 2 1 ) Ro + œRoT -R R1 (R +Re)(R- R+2)R ) (R +RRo1 (R++œRoT 2 + R1 )(R2 + R 1 ) (R +Re + R1 2 1 �= (8. 10) � Problème 8 V = E� ��uNi Pour effectuer la compensation de soudure froide, on doit avoir � AT. � Ceci impose que l'on choisisse R2 R + R0. Au premier ordre en T, il vient alors : = (8 . 11 ) Avec R = Ro = 1 000 !1, on a R2 = 2000 !1. R 1 est déterminée en résolvant : La seule solution physiquement acceptable est R 1 = 480,9 kn. 1:111 Les résultats précédents permettent de calculer la tension donnée par (8. 1 0) données dans le tableau 8.2. L'erreur de et de comparer ces valeurs aux fem T�i·O compensation ôV = E����uNi V Ec cuNi - V est reportée sur la courbe de la figure 8 . 1 0 : ô V (µV) 5 >--��� 0 T (OC) -5 '--�-'-�-'--�-'-�---'-��'--�--'-�--'-�-'--'-��..___ 20 25 30 Fig u re 8.1 0 - Erreur de compensation en fonction de la température "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" max = Vmes,3 = I/� = NiCr/NiAc5lV-maxNiCr/NiAl = Cette erreur est au maximum ôV ±5 µV. La tension mesurée sera donc E ± 5 �tV. En utilisant la même méthode que précédemment l'erreur commise sur la mesure de la température T 1 24,5 °C est : ±5 ôT ±0, 1 3 oc o 5 1 24 - 5084 E t24;ü E 12s; = = Ce résultat est satisfaisant compte tenu des autres sources d'erreurs possibles. " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1 87 8 • Principe d u thermocouple et lois élémentaires Bien que forte ment concurrencée par la thermométrie par sonde à rés i stance mé­ tallique dans une gamme de tem pératures plus restreinte (- 1 50 °C à 800 °C), la thermométrie par thermocouple reste l ' a panage des basses et hautes tempéra­ tures. La thermométrie par the rmoco u p l e , même s i e l l e n ' a pas connu de bouleve rse­ ment récent, progresse encore g râce à l ' é l ectron ique associée q u i gagne en stabi­ l ité et en préci s i o n . De nombreuses variantes de présentation des thermocou ples et de l e u r é l ectro n i q u e de conditionne ment en fac i l itent l ' u t i l isation. Les progrès réal isés en technolog ie m i cro-capteurs font que l ' o n maîtrise au­ jourd ' h u i la réali sation de m icro-thermocou ples que l'on associe en série pour plus de sens i b i l ité. Les jonctions de mesure pe uvent être l i ées thermiq uement à u n absorbeur d u rayonnement infrarouge et les jonctions froides général ement au boît i e r d u capteur. On convertit alors u n rayonnement i nfrarouge en tension électrique, réalisant ainsi u ne photo p i l e . Conducteurs Magnésie compactée (isolation électrique et maintien des conducteurs) Conducteurs Gaine métallique rigide ou semi-rigide (acier inox . . . ) Jonction de mesure (soudure à l'arc des conducteurs) Fig u re 8.1 1 -0 0 c ::i 0 (V) 0 N ..... @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 1 88 - Raccord fi Jeté Thermocouple chemisé à isolation minérale P RO B L È M E : Thermo métrie par ré s i sta n ce L i n é a r i s at i o n à Le rôle d'un capteur est de fournir un signal électrique (signal de mesure) l'image de la grandeur physique mesurer (mesurande). Une des grandes problématiques de cette conversion est la linéarité. Les non-linéarités peuvent provenir du capteur lui­ même ou de son électronique de conditionnement. Quand la linéarisation (tentative de corriger les non-linéarités) est une des dernières étapes du processus d'élaboration du signal de mesure, on parle de « linéarisation aval ». 11 est évident que 1' on a tout intérêt à agir avant que le mal ne soit fait et concevoir autour du capteur, un montage qui donne directement un signal de mesure le plus linéaire possible. On parle alors de « linéarisation amont ». Ce problème présente une méthode classique de linéarisation des mesures de tem­ pérature par capteurs résistifs : la linéarisation parallèle. Par nature, les résistances métalliques et plus encore les thermistances sont assez fortement non linéaires. La méthode consiste à placer, en parallèle sur le capteur dont on veut améliorer la li­ néarité (résistance métalliques ou thermistance), une résistance fixe Rp. La valeur de cette dernière est déterminée par calcul en fonction de la température autour de laquelle on désire que la linéarité soit améliorée. Dans ce problème, les deux cas, résistance métallique et thermistance, sont traités, une méthode simplifiée du calcul de la résistance Rp est abordée, et enfin, la possibilité d'une linéarisation par une résistance Rs en série est envisagée. à à "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' Énoncé " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1. Cas g é n é ral à On considère un capteur de température résistif de résistance R(T) la température T (en Kelvin). Ce capteur est alimenté par un courant I et on recueille la tension V à ses bornes. La caractéristique de ce capteur est fortement non linéaire. Pour linéariser, on place une résistance fixe Rp en parallèle sur R(T). La linéarisation au voisinage d'une température To correspond mathématiquement l'existence d'un point d'inflexion de la caractéristique de la résistance Rd(T) du dipôle réalisé pour la température To . à 1 89 9 Thermométrie par résistance - Linéarisation • 1 1 Linéarisation R(T) V V Fig u re 9. 1 - Principe de la linéarisation parallèle Dl Donner l'expression de Rd(T) et la condition de linéarisation pour la tempéra­ ture To. En déduire l'expression de la résistance Rp permettant cette linéarisation. ri!) Soit œ(T) le coefficient thermique du capteur : 1_dR(T) 1 œ(T) _ R(T) dT Calculer le coefficient thermique ŒJ(T) du dipôle linéarisé en fonction de œ(T), R(T) et Rp. = T I l . Rési stance méta l l i q u e Dans le cas des résistances métalliques, on a avec une bonne approximation R(t) = R0( 1 + At + Bt2) où t est la température en °C et Ro la résistance à 0 °C. On considère une résistance de nickel de 1OO n à 0 °C pour laquelle A = 5 ,5 . 1 0-3/ °C et B = 6,7. 10-6/ °C2 . On se limite à une étendue de mesure E.M. = [O ; 200] en degré Celsius. "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u D) Déterminer les valeurs de R(t) sur l'étendue de mesure. On prendra un pas de 20 °C. Effectuer une régression linéaire sur les valeurs de R(t) et en déduire l' ap­ proximation linéaire de R(t) donnée par Rlin(t) = at + b. Calculer les valeurs corres­ pondantes Rlin(t). aJ En déduire l'écart de linéarité écart maximum sur l'étendue de mesure E.M. e, entre Rlin(t) et R(t), puis l'erreur de linéarité cursion de R(t). err, écart de linéarité normalisé à l'ex­ � On linéarise selon la méthode développée au I. Calculer la valeur de Rp pour qu'il y ait linéarisation autour de to = 1 00 C . o Da Déterminer, sur 1 'étendue de mesure, les valeurs de Rd(t). Effectuer une ré­ gression linéaire pour obtenir l' approximation linéaire Déterminer les valeurs de Rdlin(t). 1 90 RdlinU) = a' t + b' de RJ(t). Problème 9 œ En déduire l'erreur de linéarité obtenue sans la linéarisation. ' err sur Rd(t) et comparer ce résultat à l'erreur Oi) On considère maintenant une résistance de platine pour laquelle on a A' = = 3,9. 10-3 / °C et B' -5,8. 10-7/ °C2 . Conclure quant à la linéarisation par résistance parallèle dans ce cas. I l l . The r m i stance céram i q u e On considère maintenant une thermistance céramique pour laquelle on a le compor­ tement caractéristique suivant : R(T) = Rréf exp B [ 2_ - ] T 1 Tréf - où B est une constante positive, T la température absolue et Tréf une température de référence. On rappelle qu'à la température de t = 0 °C correspond la température absolue T 273, 1 5 K. = � À partir du résultat du I. l , déterminer en fonction de B, To et R(To) l'expression de la résistance Rp nécessaire pour linéariser autour d'une température T0. Qllel B étant compris entre 3 000 et 5 000 K pour les thermistances céramiques, conclure quant à la linéarisation par résistance shunt des thermistances céramiques. IV. S i m p l ificat ion d u cal c u l de la ré s i stance para l l è l e "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Le calcul de la résistance Rp nécessite de connaître l 'expression mathématique de l'évolution avec la température de la résistance présentée par le capteur de tempéra­ ture et surtout les valeurs numériques des coefficients apparaissant dans cette expres­ s10n. L'utilisateur ne dispose pas toujours de ces données ou tout du moins, pas toujours de façon précise. Il est possible de simplifier la méthode de calcul de la résistance parallèle tout en n'effectuant qu'un nombre limité de mesures de la caractéristique du capteur. Une méthode consiste à n' effectuer que trois mesures. Celles-ci sont la température To, température autour de laquelle on veut linéariser la caractéristique du capteur et les températures Ti et T2, températures extrêmes de la plage de mesure sur laquelle on linéarise, c'est-à-dire l'étendue de mesure (To étant évidemment le milieu de la plage de température définie par T1 et T2 ). À ces températures, le dipôle constitué par la résistance Rp placée en parallèle sur le capteur présente respectivement les résistances Rd(To), Rd(Ti ) et Rd(T2). 1 91 9 Thermométrie par résistance - Linéarisation • Rp , Pour effectuer de façon simplifiée le calcul de on considère que l'impédance du dipôle varie parfaitement linéairement avec la température. Ceci n'est pas une condition nécessaire, il suffit somme toute de considérer qu'après linéarisation, à la température le dipôle présente une résistance égale à la moyenne des résistances qu'il présente aux températures extrêmes et T0, Plll Quelle relation entre T1 T2 . Rd(To), [TRd(T1 ; T1 ) ] Rd(T2) To? 2 Rp. et s'impose en affirmant que la centrée sur linéarisation est parfaite sur la plage Plt.j En déduire l'expression de la résistance Pour application, on comparera la valeur numérique trouver selon cette méthode à celle trouvée au II.3. V. Li néari sation sé rie PllJ On revient à la résistance de platine du II.6. Expliquer pourquoi il est possible de linéariser cette résistance en lui associant une résistance de nickel en série. Plll Calculer la résistance R� à 0 °C de la résistance de platine que l'on peut par­ faitement linéariser, par association série, avec la résistance de nickel donnée au 9.3. Corrigé détaillé 1. Cas g é n é ral Rd(T) = RpR(T)/(Rp R(T)). Rd(T) Dl Les deux résistances étant en parallèle, on a "'O 0 c ::J 0 (V) .... To, 2 2 T0, Rd(T)/dT l ro = linéariser autour de il faut que la courbe O. soit d Le calcul donne immédiatement : Pour présente un point d'inflexion en t Rp = (d��) 2R(T) To -R(To) T2 To 0 N 2 @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u + (9. 1 ) d � Le calcul du coefficient thermique du dipôle réalisé par 1 ' association des deux résistances donne : œd(T) = Rd(1T) dRd(T) 1 T = œ(T) Rp RpR(T) dT + (9.2) La linéarisation a malheureusement comme autre effet de diminuer la sensibilité. 1 92 Problème 9 I l . Ré s i stance méta l l i q u e .1 aJ Sur l 'étendue de mesure E.M. = [O ; 200], le calcul des valeurs de R(t) est im­ médiat (voir tableau 9 ). Sur ces valeurs une régression linéaire au sens des moindres carrés donne une approximation Rlin(t) = at + b avec a = 0,68 f!/°C et b = 95,98 n. À partir de ces résultats, les valeurs de l ' approximation linéaire Rün(t) de R(t) peuvent être calculées (voir tableau 9.1) Tableau 9. 1 - Valeurs d e R(t) et de Run(t) sur l'étendue d e mesure E.M. t(°C) R(t) (!!) Run(t) (!!) t(°C) R(t) (!!) Rlin( t) (!!) 0 20 40 60 80 1 00 1 00,00 1 1 1 ,27 1 23,07 1 35,41 1 48,29 1 6 1 ,70 95,98 1 09,66 1 23,34 1 37,02 1 50,70 1 64,38 1 20 140 1 60 1 80 200 1 75,65 1 90, 1 3 205, 1 5 220,71 236,80 1 78,06 1 9 1 ,74 205,42 2 1 9, 1 0 232,78 eJ Les résultats précédents permettent de calculer l'écart à la linéarité, par défi­ nition le plus grand écart, sur l'étendue de mesure, entre la caractéristique réelle du capteur et l 'approximation linéaire. Ici, le maximum de l'écart se situe pour t = 0 °C et t = 200 °C et cet écart de linéarité vaut s = 4,02 n. L'erreur de linéarité d'un capteur étant par définition l'écart de linéarité normalisé à l'excursion des valeurs prises par la grandeur de sortie du capteur sur l'étendue de mesure, on obtient immédiatement err = s/(Rmax - Rmin) = 2,94 %. � Selon (9.1 ), le calcul de la résistance Rp pour linéariser autour de t0 = 100 °C donne : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 2 Ro(A 2Bto) Rp = - R(to) = 536,59 n 537 n B + (9.3) � Da On peut alors calculer les valeurs de résistance prises par le dipôle Rd en fonc­ ..: � "O c::::l '-' '-' � �0 :; "' tion de la température t (voir tableau 9.2). Une régression linéaire sur cet ensemble de valeurs permet d'obtenir l'approximation linéaire Rdün(t) = a ' t + b' de Rd(t). Le calcul donne a ' = 0,40 f!/°C et b' = 84, n ce qui permet de déterminer les valeurs de Rdün(t) (voir tableau 9.2). 15 Tableau 9.2- Valeurs de Rd(t) et de Rdtïn<t> sur l'étendue de mesure E.M. c: 0c: c: t(OC) "O:::l 12o. Rd(t) .S: ü 2 B :::l rS -00 c::::l a @ (!!) Rdlin (t) (!!) t(°C) Rd(t) ( !!) Rdlin (t) (!!) 0 20 40 60 80 1 00 84,29 92, 1 6 1 OO, 1 1 1 08, 1 3 1 1 6, 1 8 1 24,26 84, 1 5 92, 1 8 1 0,20 1 08,22 1 1 6,24 1 24,27 1 20 140 1 60 1 80 200 1 32,33 1 40,39 148,41 1 56,38 1 64,30 1 32,29 140,31 1 48,33 1 56,36 1 64,38 1 93 9 • Thermométrie par résistance - Linéarisation n œ Ces résultats permettent de déterminer, comme à la question II.2, l'écart à la linéarité ê' = 0, 14 (pour t = 0 °C) ce qui entraîne une erreur de linéarité err' = 0,17 %. La linéarisation a permis de fortement diminuer la non-linéarité (d'un facteur 17). En revanche, cette même linéarisation a dégradé la sensibilité de la mesure puisque celle-ci passe de Sc = a = 0,68 .O/°C pour la résistance thermométrique seule à S cd = a' = 0,40 D./°C pour le dipôle. Les courbes des figures 9.2 et 9.3 illustrent la situation. Fig u re 9.2 - Évolution de R et Rd avec la température s n ê(R, t) "'O 0 c ::J 0 (V) 1 0 0 N ...... · -.. @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u -3 0 f(OC) 200 F i g u re 9.3 - Évolution de l'écart de linéarité de R et Rd avec la température � Pour une résistance de platine B' < 0 entraîne d' après (9.3) que la résistance Rp est négative. La linéarisation est donc impossible. 1 94 Problème 9 I l l . The r m i stance céam i q u e � Le calcul selon (9.1) donne pour l'expression de la résistance parallèle : Rp R(To) BB - 2To + 2To = Plie] B étant compris entre 3 000 et 5 000 K, Rp reste positif pour T < 1 500 K. La linéarisation parallèle des thermistances céramiques est donc possible pour ces températures. IV. S i m p l ificat ion du cal c u l de la ré s i stance para l l é l e Qlll Comme la relation entre la température et la résistance présentée par le dipôle résultant de l'association parallèle de R(T) et de la résistance RP peut être considérée comme parfaitement linéaire, on a alors Rd(To) = (Rd(T1) + Rd(T2))/2. Qlt.j Le développement du résultat précédent conduit assez simplement à l' expres­ sion de la résistance Rp en fonction des valeurs prises par R(T). + R(To)R(T2 ) - 2R(T1)R(T2) (9.4) ------Rp = R(To)R(T1) R(T1) + R(T2 ) - 2R(To) Avec t1 = 0 °C, to = 100 °C et t2 = 200 °C, (9.4) appliquée à la résistance de nickel du II donne : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Le calcul exact donnait 537 n. La différence est très acceptable car tous calculs faits, la linéarisation avec cette valeur de résistance parallèle n'entraîne pas de variation si­ gnificative de 1 'erreur de linéarité ou de la sensibilité par rapport à ce que 1' on obtient par le calcul exact. � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü 2o.. = ""' 2 � = � -0 0 " = Ci @ V. Li néari sation sé rie PllJ La question II.6 a montré que l'on ne pouvait pas linéariser une résistance de platine par la méthode de la résistance parallèle. On peut cependant améliorer la li­ néarité en associant à la résistance de platine, une résistance thermométrique dont la non-linéarité est opposée comme une résistance de nickel. PIGI On a pour la résistance de nickel R(t) = Ro(l + At + Bt2) avec Ro = 1 00 n, A = 5,5.1 0-3/ °C et B = 6,7.1 0-6/ °C2 . De même, pour la résistance de platine on a R' (t) = R�( l + A' t + B' t2 ) avec A' = 3 , 9. 10 3/ °C et B' = -5,8. 10-7/ °C2 . - 1 95 9 • Thermométrie par résistance - Linéarisation L'association série des deux résistances constitue une résistance thermométrique mé­ tallique dont la résistance varie selon : ( , ) , ARo + A 'R' BRo + B'R' R(t) + R' (t) = (Ro + R�) 1 + R0 + R o t + Ro + R o t2 0 0 Pour que l'association série soit linéaire, il suffit que le coefficient en t2 soit nul, soit R� = -RoB/B' 1 155.Q. La résistance ainsi constituée aura une caractéristique décrite par R"(t) = R�( l + A"t) avec R� = 1 255, 1 7 Q et A" = 4,0. 10-3 / °C. La valeur trouvée, R� = 1 155 Q, n'est pas une valeur normalisée pour une résistance métallique. La valeur normalisée qui s'en approche le plus est R� = 1 000 n. Si on considère une Ptl OOO, on a donc R' (t) = R�(l + A ' t + B' t2 ) avec R� = 1 000 Q, A ' = 3,9. 10-3/ °C et B' = -5,8. 10-7/ °C2 . Sur l'étendue de mesure E.M. = [O ; 200] l'approximation linéaire de cette résistance est R;in (t) = a' t + b' avec a' = 3,78 Qj°C et b' = 1 003,48 n. Ceci entraîne une erreur de linéarité de 0,3 %. Associée en série avec une Ni 100 pour laquelle on a R(t) = Ro( l + At + Bt2 ) avec Ro = 100 Q, A = 5,5. 10-3/ °C et B = 6,7. 10-6/ °C2 , on obtient une résistance thermométrique de caractéristique R"(t) = R�(l + A"t + B"t2 ) avec R� = 1 100 n, A" = 4, 1 . 10-3/ °C et B" = 8,2. 10-8/ °C2 . L'approximation linéaire sur l'étendue de mesure de cette caractéristique donne R;;n (t) = a" t + b" avec a" = 4,47 Qj°C et b" = 1 099,46 n. Ceci entraîne une erreur de linéarité de 0,06 %. On a donc bien, comme le montre la courbe de la figure 9.4, une amélioration de la linéarité et une légère augmentation de la sensibilité qui passe de 3,78 Qj°C à 4,47 Qj°C. � 2000 �0������ "'O 0 c ::J 0 (V) .... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 1000 0 t (°C) t (°C) 200 Fig u re 9.4 - Évolution de R'(t) = Ptl 000 et R"(t) = Ptl 000 + N i l OO avec la température Cependant, cette amélioration se fait au détriment de l'intérêt majeur de l'utilisation du platine, à savoir fidélité et stabilité. 1 96 Problème 9 Les résistances the rmométriques sont les capteurs de tempé rature les p l u s ré­ pandus tant dans le domaine i nd ustriel que dans l ' é l ectronique grand public. Leurs domaines d'appl ications couvrent une gamme de température s' étendant de -200 à +800 °C. En dehors de cette gamme, i l devient nécessaire d ' u t i l i s e r d' autres techniques c o m m e la thermométrie par thermocouple. Les rési stances métal liques peuvent se présenter sous forme de composants s i m p l e s (constitués de l'e nroulement d ' u n fil métal lique dans une enveloppe e n verre ou en céram i q u e) , de composants à dé pôt en couche ( l e métal est dé posé en couche mi nce sur un subst rat de céramiq ue) ou sous forme de sondes de tem­ pérature constituées d ' u n composant s i m ple i n s é ré dans une gaine de protection en laiton, i nox ou autre a l l i age et d ' u n e connectique standard isée. C'est le type de mesure à effectue r et les cond itions d ' ut i l isation qui fixent le type de sonde à uti l i s e r . Selon que l ' o n désire mesurer la température de l ' a i r dans une pièce à des fi n s domotiques ou q ue l o n cherche à mesurer la tempé­ rature d ' u n l i q u i d e corro s i f chaud, il est bien évident que le choix se portera s u r d e s types d e sondes d i fférents. / "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 :.= � "O c::::l .µ ]8 N © ..c Ol ï:::: >a. 0 u rJ <.) ::l "' ' c:: 0c:: c:: .S: u::l "O §. 2 B ::l � -00 c::::l 0 @ F i g u re 9.5 - Sondes Ptl OO - a) Sonde avec tête de raccordement - b) Sonde de température ambiante - c) Sonde de contact à fixation par aimant - d) Sonde de contact souple à coller - e) Sonde de contact à fixation par œillet - f) Sonde de pénétration à visser (documentation Prosensor) 1 97 10 P RO B L È M E : Systè m e d e p e s é e à j a u g e s d 'exte n s o m ét r i e Les jauges d' extensométrie piézorésistives sont les transducteurs les plus utilisés dans les systèmes électroniques de pesée. Dans ces derniers, quelle que soit la géométrie utilisée, le principe de la mesure est le même. Sous 1 'action du poids de la masse à déterminer, un corps d' épreuve se déforme. Cette déformation est transmise à des jauges d'extensométrie piézorésistives, mécaniquement solidaire du corps d'épreuve car collées sur celui-ci, et dont les résistances varient en fonction de la déformation. Les jauges font partie d'un circuit électronique de conditionnement qui délivre un signal électrique fonction de la résistance de la jauge. En première approximation, les étapes suivantes de la conversion sont linéaires : poids�déformation du corps d'épreuve, déformation du corps d' épreuve�déformation de la jauge, déformation de la jauge�variation de sa résistance, variation de la résistance�signal électrique. Au total, on obtient donc un signal électrique proportionnel à la valeur de la masse. À partir de ce principe de base, des variantes permettent d'améliorer la linéarité de la mesure ou de corriger la sensibilité de la mesure à la température, point faible des mesures utilisant des jauges d' extensométrie piézorésistives. Énoncé "'O 0 c ::J 0 (V) On réalise un système de pesée rapide, où en production, un opérateur vient accrocher son produit au système de pesée constitué d'une poutre encastrée en acier, équipée de jauges d'extensométrie et schématisée figure 1 0. 1 . 0 N ...... L @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u e t / X y Fig u re 1 0. 1 - Système de pesée 1 98 Problème 1 0 Le crochet, fixé sur la poutre et destiné à recevoir les produits dont on désire effectuer la pesée, est situé à la distance de 1' encastrement. Les caractéristiques de la poutre et de l'acier sont données dans le tableau 10. 1 . L Tableau l 0. 1 - Caractéristiques de la poutre L Longueur utile = a = Largeur Eo Module d'Young Contrainte limite d'élasticité CT1 25 cm 3 cm = = 2 . 1 0 1 1 N.m-2 1 , 2 . 1 09 N . m-2 On négligera 1' effet du propre poids de la poutre et de celui du crochet. � En résistance des matériaux, on montre que sous l'action du poids de la masse m suspendue au crochet, la contrainte longitudinale à la surface de la poutre (dans la direction de sa longueur est donnée à la distance x du point d'attache du crochet par cr = selon que l'on se trouve sur la face supérieure ou inférieure de la poutre. représente le moment de flexion en x et I le moment quadratique de la section droite en x (perpendiculaire à la direction x) par rapport à son axe médian paraIIèle à la direction de la largeur (direction y). P ±eM1/21 M1 L) a 1. P r i n c i pe de la mes u re llell Montrer que la contrainte en x cr x) = ±6xP/ae2 e 2. à la surface de la poutre s'écrit : ( llefA On souhaite peser des masses aIIant jusqu'à une valeur maximale "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u mrnax = 100 kg. Déterminer l'épaisseur minimale à donner à la poutre en se ré­ servant un coefficient de sécurité de On donne g = 9,81 N/kg. � ""' " "' " " '" = ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ llell Pour la valeur de e trouvée précédemment, donner 1 'expression des défor­ mations longitudinales s11,+(x) et s11,_(x) sur les faces supérieure et inférieure de la poutre en fonction de cr1, m, mmax • x et En calculer la valeur pour x = et mrnax . Eo, L/2 llell x = L/2, R R ), 3 1 R4). L. On colle quatre jauges piézorésistives identiques selon la direction longitudinale à la cote deux sur la face supérieure (elles constituent les résistances et deux sur la face inférieure (elles constituent les résistances et Ces quatre jauges sont montées en mode push-pull dans un pont de Wheatstone ali­ menté par une source de tension continue = 5 V et d'impédance interne nulle. R2 Vg 1 99 10 • Système de pesée à jauges d'extensométrie Placer ces résistances R 1 , R2, R 3 et R4 sur le schéma du pont et donner leur expression en fonction de la déformation sachant qu'au repos elles sont de résistance R0 et que leur coefficient de jauge est Ko. On posera c;;, +(L/2,m) = co et on supposera que le collage des jauges est parfait et que l'on peut totalement négliger l' effet d'épaisseur des jauges. 1 ' V9. Vmes IC.Jj Donner expression de la tension de mesure différentielle Ko, co et Calculer pour m = mmax· On donne Ko = 2. Vmes en fonction de lleld Calculer la sensibilité S 0 de la mesure. I l . Dé rive therm i q u e llefi On s'intéresse maintenant à l'effet de la température en tant que grandeur d' influence. On considère une variation !1T par rapport à la température To, dite tem­ pérature de référence, pour laquelle ont été effectués les calculs précédents. L'effet de la température sur une jauge se traduit par une évolution de son facteur de jauge selon K = Ko(l + œK!iT). De même, la température modifie le module d'Young du matériau de la poutre selon E = Eo(l + œE!iT) et on note A le coefficient de dilatation linéique de ce matériau. Donner la nouvelle expression de la sensibilité S . lle!:I En donner l' approximation au premier ordre en !1T et la mettre sous la + S = So(l œs !iT). Calculer la valeur de as œE = -2,6. 1 0-4 /°C et A = 10-5 /°C. forme sachant que ŒK = 10-4 /°C, llelJ La température évolue autour de la valeur de référence de !1T = ±25 °C. "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Quelle est l'erreur sur la valeur de la force mesurée résultant de la variation de la température ? llellt) On compense la dérive thermique de la sensibilité au moyen d'une résistance métallique Rn(T) placée en série avec l'alimentation du pont. Donner l 'expression de la tension de mesure en fonction de K, R, Rn(T) et c où R est la nouvelle valeur de la résistance des jauges au repos et c la nouvelle déformation. llelll En considérant l 'expression de co, donner l'expression de c au premier ordre en !1T et la mettre sous la forme c = co(l + œ6!1T). llelt.j La résistance au repos des jauges varie au premier ordre en : R = Ro( l 200 + œR!iT) Problème 1 0 Ro ŒR Rn(T) RnoO Œn�T) Œn �T. Rno . Rn(T) = 1 000 .Q et = 10-4 /°C La résistance de compensation avec est une = 6. 10-3 /°C. résistance de nickel telle que = + avec Calculer l'expression de Vmes au premier ordre en . llelit En déduire la valeur à donner à Vmes· pour supprimer la dérive thermique de llelGI Donner la nouvelle expression de la sensibilité S L'écrire en fonction de la ' sensibilité S O · I l l. Défaut de réa l i sation llel..1 Lors du collage des jauges, une erreur de ôL est faite sur la position de la R jauge de résistance 1 , celle-ci se trouvant collée 1 mm trop près du crochet. Évaluer, à la température de référence, 1'erreur relative entraînée sur la mesure. llelld Montrer que l'on peut résoudre le problème précédent en adoptant une poutre de forme triangulaire, la déformation est alors identique sur toute la longueur. Corrigé détaillé 1. P r i n c i pe de la mes u re llell À la surface de la poutre, on a z "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u = ±e/2 selon que l'on se trouve sur la face supérieure ou sur la face inférieure. Le moment quadratique I est par définition : +a/2 -e/2 ae3 I= z2dydz = 12 a/2 -e/2 Le moment de flexion en x est simplement donné par la somme du moment d'encas­ trement PL et du moment de la force de réaction sur le bâti calculé à la côte x, soit P(x L). Il vient donc M1(x) = Px pour x ::; L. On en déduit la contrainte a- la surface de la poutre l l � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ - à a-(x) = ±eM1/21 = ±6xP/ae2 llef.j La contrainte calculée précédemment ne doit pas dépasser, compte tenu du facteur de sécurité de 2, a-max soit en x = L. Il vient donc : = a-1/2. Cette contrainte est maximale à l'encastrement emin = l 2Lmmaxg ---- aa-1 = 9 mm (10. 1) 201 10 • Système de pesée à jauges d'extensométrie llell Les déformations longitudinales sont données à la cote x par la loi de Hooke : 6xmg 1 xma-1 <T+ <T 1 xma-1 et t:;; - (x) = - = - - · (10.2) t:;; + (x) - - - 2 - - · 2 LmmaxEo Eo ' Eo ae Eo 2 LmmaxEo ' Pour x = L/2 et m = mmax, il vient : = 1 ,5 . 10-3 et t:;;, - (L/2, mmax) = t:;;,+(L/2,mmax) = = - 1 ,5. 10-3 4 0 4 0 _ _ _ _ � � llell Pour avoir un signal évoluant avec la contrainte appliquée, les jauges doivent être montées en pont (voir figure 10.2). R2 � V,nes R3 4 R, Fig u re 1 0.2 - Montage de conditionnement Le collage parfait d' une jauge lui permet de suivre les déformations de la poutre. La variation relative de la longueur l de la jauge est donc donnée selon le cas par : b.l/l = t:;;,±(L/2,m) = ±t:o Comme les quatre jauges sont de coefficient de jauge Ko et de résistance au repos Ro, sous contrainte on a : "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... Ri = Ro(l + Kot:o) R3 = Ro( l + Kot:o) R1 Ro(l - Kot:o) R4 Ro(l - Kot:o) = lleJi La tension de mesure différentielle par : = Vmes ( 1 0.3) est donnée d'après (1 0.2) et (10.3) @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u La mesure varie linéairement avec la déformation, donc avec la force appliquée. Pour 1 5 mV. m mmax, on obtient = lleld D' après Vmes = (10.4), Vmes = Ko V9 = 150 µV/kg So = 4Eommax m la sensibilité de la mesure est donnée par : - 202 <T/ (10.5) Problème 1 0 I l . Dé rive therm i q u e llef4 La variation de température !J.T entraîne des variations du facteur de jauge Ko, de la longueur L de la poutre, de son épaisseur e, de sa largeur a et de son module d'Young Eo. En réintroduisant 1' épaisseur e tirée de ( 10. 1 ) dans 1' expression de la sensibilité, il vient : 3Lg S 0 = Ko 2 V9 ae Eo En tenant compte de l'effet de la variation de température, la sensibilité s'écrit alors : S = So (1 + aK!J.T)(l + A!J.T) ( 1 + aK!J.T) = So ( 1 + A!J.T)2 (1 + aE!J.T) ( 1 + A/J.T)(l + A/J.T)2 (1 + aE!J.T) ------ lle!:I Au premier ordre en !J.T, il vient : S ::::: S o (1 + (aK - 2A - aE)!J.T) = S o (1 + as !J.T) 4 Des données numériques, on tire as = 3,4. 10- /°C. ilel#J Pour une évolution de température de !J.T = ±25 °C, 1' erreur engendrée sur la mesure de la masse est : S - So = as!J.T = ±0,85 % So --- llelltJ On a alors pour la tension de mesure : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c::::l � '-' '-' �0 :; "' c: 0c: c: .S: ü:::l "O 12o. 2 B :::l rS -00 c::::l a @ 1(1811 De (10.2), on tire maintenant : E = 3mgUl + A!J.T) 1 = ê O a(l + A!J.T)e2 (l + A!J.T)2 Eo(l + aE!J.T) ( 1 + A/J.T)2 (1 + aE!J.T) ::::: t:o ( 1 - (2A + aE)!J.T) = t:o ( 1 + as!J.T) L'application numérique donne as = 2,4 . 10-4 lltlt) La tension de mesure s'écrit alors : 0c-1 . 203 10 • Système de pesée à jauges d'extensométrie Soit en ne conservant que le premier ordre en 13.T puisque s est donné au premier ordre : R no KoRoso (aR - an ) 13.T Vmes Vg 1 + aK + as + Ro + Rno Ro + Rno [ ( =:::: ) l llellJI Pour supprimer, au premier ordre en 13.T, la dérive thermique de la tension de mesure, il suffit que aK + as + (Rno/(Ro + Rno)) (aR - an) aK + as Rno = Ro = 6 1 , 1 5 an - (a K + ac + aR) = Q 0, soit : (10.7) Pour que la compensation de la dérive thermique soit possible, il est nécessaire que an soit suffisamment grand (an > aK + as + aR) de façon à trouver une valeur Rno positive. llelGI Compte tenu de (10.7), il vient alors : S' =:::: S 0, = S o Ro Ro + Rno = 0, 94S o = 141 µV/kg La sensibilité est peu affectée par la correction de température apportée (voir (10.5)). Pour une évolution de température de 13.T = ±25 °C, l'erreur résiduelle (S ' - S �)/S� engendrée par l'évolution de la température est donnée par la courbe de la figure 1 0.3. Cette erreur ne dépasse pas 0, 1 %. _4 10 (S'-So )/ Sü 0 "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 0 -25 +25 t:,.T Figu re 1 0.3 - Erreur résiduelle due à la dérive thermique après correction I l l. Défaut de réa l i sation llel..1 À la température de référence la tension de mesure est donnée par (10.6) soit : R 1 R3 - R1R4 ( 10.8) Vg (Ri + R1) (R4 + R3) + Rno (Ri + R1 + R4 + R3 ) Les résistances des jauges correctement collées sont données par ( 10.3), soit : Vmes = Ri = Ro( l + Kos�) R1 = Ro( l - Koso) 204 R3 = Ro( 1 + Koso) R4 = Ro( 1 - Koso) (10.9) Problème 1 0 Il faut recalculer la déformation s� subie par la jauge de résistance R 1 . À partir de (10.2), on tire en x L/2 - ôL : = t:� = ( 6 g L � - ôL ae Eo 2 ) = ( t:o 1 - 2 ôL L ) = t:o ( 1 + /3) En reportant dans ( 1 0.9) et ( 1 0. 8 ), on obtient au premier ordre en f3 : Vmes ::::::: (RoKoRot:oRno) Vg ( 1 f3(Ro 4(RoRno) -Rno)f3KoRot:o ) K0R0s0 ôL ) ) K0R0s0 - (Ro Rno) Vg ( 1 + -4 - (Ro Rno) Vg ( 1 - 2L + + + + ------- /3 � + + Calcul fait, l' erreur relative est de -ôL/2L = -0,2 %. llellFI Considérons une poutre triangulaire dont on élargit l'extrémité de façon à à ce que la poutre puisse résister l'effort tranchant et que l'on puisse fixer le crochet (voir figure 1 0.4). ---, 1 1 1 ,.- Lo --. : 1 Bâti Figure "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 1 a y 1 0.4 - Poutre triangulaire (vue de dessus) On a toujours M1(x) = Px. En revanche, l'expression du moment d'inertie I change car la largeur a(x) est variable et s'écrit tant que x > Lo : a(x) = ax/L. Il vient alors pour 1' expression de la contrainte à la surface de la poutre : e a-(x) = ±eMJ/2! = ± 2 Px a(x)e3/12 6PL = 2ae2 Tant que x > Lo, la contrainte et par conséquent la mesure de la masse m accrochée sont indépendantes de la côte x où ont été collées les jauges. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 205 10 • Système de pesée à jauges d'extensométrie Pou r un problème donné, les deux princi paux critères du choix des jauges d' ex­ tensométrie sont le matériau constitutif des jauges et la géométrie du problème. Pou r cette dern i è re , le choix est d i recte ment l i é au mesurande (vo i r figure 1 0. 5). Le choix d u métal est l u i , lié à d ivers critères tels que le domaine de tempé rature d ' u t i l i sati o n , la d i latation du corps d'é preuve, la vari ation du facte u r de jauge avec la tem pé rature ou encore la l i m ite é l astique d u métal utilisé . • ., • • ... .. � ............. ... t1"'"'"1H1111 y L • ��î� �l . . T Figure -0 0 c ::i 0 (V) ..... 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 206 1( 1 • "' p • .. .., "T • R .... • y • • 1 r. 4 4 "' "i · T 1 'Tt� "'j"jj ... .. ... .. . . ... .. .. 1 0.5 - Différentes formes de jauge d'extensométrie (documentation Vishay) P RO B L È M E : P h oto ré s i sta n ce LOR : fo n ct i o n n e m e n t et u t i l i s at i o n po u r l e ce n t rag e d ' u n ru b a n d éfi l a n t - l l Les photorésistances ou LDR (Light Dependant Resistor) sont des capteurs optiques de faible coût dont la résistance diminue lorsqu'elles sont éclairées. La résistance peut passer de quelque 1 0 dans l'obscurité à quelque 1 00 11 en pleine lumière. Ces capteurs présentent une très bonne sensibilité mais une mauvaise bande passante. Ce type de capteur supporte un courant important et contrairement aux photodiodes et phototransistors, les photorésistances sont non-polarisées. Les LDR sont très uti­ lisées dans les systèmes où on désire, à partir d'un seuil, déclencher une action, par exemple la commande d'un relais, directement par le courant traversant le capteur. Ce procédé simplifie grandement l'électronique. C'est le cas par exemple des sys­ tèmes d'éclairage à détection crépusculaire où l'arrivée de l'obscurité, augmentant la résistance de la LDR en diminue le courant, refermant un relais jusqu'ici ouvert et permettant l'allumage du système d'éclairage. Ces composants sont réalisés essentiellement à partir de sulfure, tellure ou sélé­ niure de cadmium ou de plomb. Leurs réponses spectrales peuvent être relativement étroites et permettent de couvrir le domaine du proche ultraviolet à l'extrémité rouge du spectre visible (de 30 à 750 nm). L'intensité lumineuse mesurée peut être le mesurande primaire ou un mesurande secondaire comme dans ce problème où le mesurande primaire est le déplacement d'un objet opaque devant la LDR éclairée. Mn "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 Énoncé ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1. Ét ude de la LOR On considère une plaquette de matériau semiconducteur extrinsèque de type N dont le niveau énergétique du dopant se trouve dans la bande interdite (voir figure 1 1 .2). 207 11 • Photorésistance - LOR : fonctionnement et utilisation ... Deux faces en regard sont métallisées et on applique entre elles une différence de potentiel V comme le présente la figure La plaquette semiconductrice est main­ tenue dans 1' obscurité. 11.1. V Métallisation l 1 1 . 1 - Schéma de principe de la plaquette semiconductrice dans l'obscurité La bande interdite du semiconducteur intrinsèque est supposée suffisamment impor­ tante pour que 1' on puisse négliger totalement tout phénomène de création de paires électron-trou propres au matériau intrinsèque. Le matériau est extrinsèque de type N, dopé par des atomes donneurs en concentration En moyenne, chaque atome donneur est susceptible de libérer un électron. Le niveau énergétique du dopant se trouve dans la bande interdite à un niveau en dessous du bas de la bande de conduction du matériau intrinsèque comme schéma­ tisé figure Fig u re N. 11.2. "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u ô W 1 Bande de conduction ! ---- ------l----1------ -- - -- -- - - ----�----�-T-;a ;�:i��:��:: i bl e Bande de valence Fig u re 1 1 .2 - Structure de bande du semiconducteur dans l'obscurité Soient n(t) la densité d'atomes donneurs ionisés, c et r les coefficients de proportion­ nalité liés respectivement à la création et à la recombinaison d'électrons. 1111 Montrer, en explicitant le raisonnement, que l'évolution de la densité d'élec­ trons libres ici égale à la densité n(t) d' atomes donneurs ionisés est régie par l'équation : dn(t) 2 dt = c - n(t) - rn t (N ) () Ill... En déduire l'expression de cette densité en régime permanent. (11.1) 1111 En déduire la conductivité y du matériau. On notera µ la mobilité des électrons et e la charge de l'électron. 208 Problème 1 1 1111 Établir l'expression du courant d'obscurité lobs en fonction de la différence de potentiel V, de n, e, µ et des dimensions de la plaquette. 1111 En déduire l'expression de la résistance Robs de la plaquette dans l'obscurité. On suppose maintenant que la plaquette semiconductrice est éclairée par des pho­ tons d'énergie hv > Li W. Ces derniers ionisent les atomes donneurs, libérant une densité d'électrons par unité de temps nphot qui s'ajoute à celle créée par activation thermique. Ce mécanisme peut être résumé par le schéma de la figure 1 1 .3. V l Figure Métallisation 1 1 .3 - La plaquette semiconductrice éclairée llld Établir l'équation régissant l'évolution temporelle de la densité totale d'élec­ trons libres ntor (t) par création et recombinaison (voir figure 1 1 .4). hv hv hv Bande de conduction - t CD "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u t - CD li/- Bande de valence � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Figure 1 1 .4 - Structure de bande du semiconducteur éclairé 11*4 On suppose la bande interdite du matériau intrinsèque suffisamment grande et 1 'éclairement suffisant pour que la densité de photoélectrons soit nettement supé­ rieure à la densité d'électrons créés par activation thermique. Montrer qu'en régime permanent on a : ( )1/2 (1 1 .2) ntot ::::::: nphotfr 111:1 On suppose que le rayonnement incident qui couvre complètement la pla­ quette est monochromatique de fréquence v et de puissance cf> = ILE, E étant 209 11 • Photorésistance - LOR : fonctionnement et utilisation ... l'éclairement correspondant. On note R le coefficient de réflexion en énergie de la plaquette, T/ le rendement quantique, c'est-à-dire le nombre d' électrons libérés par photon incident absorbé et h la constante de Planck. Donner la densité nphot de photoélectrons créés par unité de temps. llM En déduire la densité totale nrot d'électrons libres. llllt) En déduire l'expression du photocourant /phot en fonction de V, e, µ , r, TJ, v, E, R et des dimensions géométriques de la plaquette. Conclure quant à la relation courant-tension de ce composant. 11111 Calculer la résistance Rphot de la plaquette sous éclairement. Conclure quant à son évolution avec le flux lumineux incident. lllt) Commenter la dépendance du photocourant en fonction des caractéristiques géométriques de la plaquette. 11111 Donner le schéma équivalent global de la résistance R de la plaquette. 11111 Dans la pratique le courant d'obscurité est souvent négligeable par rapport au photocourant. Dans ce cas, à quoi se réduit le schéma équivalent global de la ré­ sistance R de la plaquette. I l . Mo ntage p u s h -pu l l 11.5 Soit la LDR de la figure (décrite physiquement précédemment) dont les élec­ trodes sont supposées être constituées d'un métal parfait. On admet que l'on peut totalement négliger le courant d'obscurité dans ce qui suit. Les données du construc­ teur permettent d'obtenir R ( @ 10 lux) = 100 k.Q, R (@ 1000 lux) = 1 k.Q et L = cm. 5 "'O 0 c ::J 0 (V) Electrodes 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Matériau semiconducteur Fig u re 1 1 .5 - Schéma de la LDR Deux LDR identiques sont utilisées pour contrôler le déplacement latéral d'un ruban en défilement afin de l'asservir. Le tout est éclairé en lumière parallèle, perpendiculai­ rement aux LDR par un rayonnement monochromatique d'éclairement E = 1000 lux. Le schéma de la figure 1 1 .6 résume la situation. 210 Problème 1 1 On suppose que lorsque le positionnement latéral du ruban est correct, ce dernier couvre exactement la moitié des surfaces actives des LDR. î () Dë:pliu;cmc Figure 1 1 .6 - Principe de la mesure 111..1 Quelle est alors, compte tenu des approximations faites, la valeur Rco des résistances des deux LDR ? lllC:t On considère que les LDR sont constituées de N = 9 brins longitudinaux (parallèles à l'axe x) et que la contribution des brins transversaux est négligeable. Les brins longitudinaux constituent donc la longueur totale L. Compte tenu de cette simplification, si le ruban se déplace latéralement de x, quelles sont les expres­ sions des deux résistances Rc1 (x) et Rc2 (x) présentées par les LDR ? Les exprimer en fonction de Rco , x et L. N 1116 Les deux LDR sont montées dans un pont de Wheatstone avec deux résis­ "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u 11.7. Quelle est l'expression de la tension de Vmes 1111:1 En déduire la sensibilité S mes de la mesure. On donne V9 2 V. tances fixes selon le schéma de la figure mesure ? :.= � "O c::::l rJ ]8 <.) ::l "' c:: 0c:: = R g =0 c:: .S: u "O::l §. 2 B ::l � -00 c::::l 0 @ Figure Rc2(x) A Vmes Rc1 (x) R B R 1 1 .7 - Circuit de conditionnement 21 1 11 • Photorésistance - LOR : fonctionnement et utilisation ... Corrigé détaillé 1. Ét ude de la LOR 1111 Le matériau intrinsèque n'intervenant pas, la densité d'électrons libres créés par unité de temps est proportionnelle à la densité d'atomes donneurs non encore io­ nisés et s'écrit - n(t)). La densité d'électrons libres se recombinant par unité de temps est proportionnelle à la densité n(t) d'électrons libres et proportionnelle à la densité de sites accepteurs. Comme le matériau intrinsèque n'intervient pas, la den­ sité de sites accepteurs est égale à la densité d'électrons libres, soit n(t). La densité d'électrons libres se recombinant par unité de temps est donc donnée par rn2 (t). La cinétique de la densité d'électrons libres est donc régie par l' équation : c (N c(N - n(t)) - rn(t)2 (11.3) llt.:.a En régime permanent, on obtient rn2 + en - cN = 0 dont la seule solution dn(t) dt = physique acceptable est : n= ( c '/ 1 -;;--c- - 1 2r � + ) (1 1 .4) 1111 Les seuls porteurs de charges mobiles étant les électrons libres, la conductivité du matériau est donnée par : y = µne = µe "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... clr ( '/� 1 1) + -;;--c- - ( 11.5) 1111 Le courant d'obscurité lobs est donné par le flux de la densité de courant elle­ même reliée au champ électrique par la loi d'Ohm locale }obs = yE. @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Soit encore en exprimant la relation entre le champ électrique et son potentiel : V aL lobs = yEaL = y l aL = µneV 1 1111 D' après née par : (11.6), la plaquette présente donc dans l' obscurité une résistance donl (11.7) Robs = µneaL -­ 212 (11.6) Problème 1 1 llld Le raisonnement est identique à celui de la question 1.1. 11 faut simplement ajouter la densité nphot de photoélectrons créés par unité de temps. dnroi (t) dt = nphot + (N - nr0r(t)) - rn2 t(t) (N - nto1(t)), nphot ( nphot ) 1 2 ntot - 11*4 Si on peut considérer que donne : ( 1 . 8) en régime permanent 1 . >> c � 1 ( 1 8) (11.9) 10 c r lll:t Le nombre de photons incidents sur la plaquette par unité de temps est hv = Ell/hv. Le nombre de photons pénétrant dans la plaquette par unité de temps R)Ell/hv. Le nombre de photoélectrons libérés par unité de temps est donc -R)Ell/hv. Ceci conduit à la densité nphot de photoélectrons libérés par unité de 77(1 temps : 1 77( 1 - R) 1 77( 1 - R) l (11.10) E L nphot - all hv a hv E <Pf est ( 1 _ _ 111?1 La densité totale d'électrons libres s'en déduit et on a d'après 1 ; 2 1 77(1 -R) ) ( E ntot ::::: a rhv (11.10) : (11.9) (11.11) et 11111) Le photocourant créé par l'éclairement est alors donné par : 1 2 2 77(1 al al R) ) ( lphot = 1al = y - al = µntore - V = µe rhv E V l l . V (2 ( 1 1 . 1 2) · "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Le photocourant est proportionnel à la différence de potentiel. On a un comportement purement ohmique. � ""' " 11111 La résistance correspondante de la plaquette est : "' " " '" = ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1 2 1 2 1 rhv 1 l ) ( R phot = µe al2 77( 1 - R) E E- 1 2 • (11.13) La résistance décroît avec l 'augmentation de l 'éclaire­ ment. La relation entre ces deux grandeurs n'est pas linéaire . Rphot est proportionel à a l lllt.j Pour avoir un photocourant important, il est nécessaire que et soient grands et petit. On limite ainsi les possibilités de recombinaison des photoélectrons avant qu'ils n'atteignent les électrodes collectrices. Ceci explique la forme en peignes interdigités donnée aux LDR. l 213 11 • Photorésistance - LOR : fonctionnement et utilisation ... llllJ Le courant total circulant dans la LDR sous éclairement est I = /phot + lobs , somme du courant d'obscurité et du photocourant. Electriquement, la LDR est donc équivalente à l'association en parallèle des résistances Rphot et Robs, soit R = R photffRobs· lllGI Le courant d'obscurité étant négligeable par rapport au photocourant, on a Robs > > Rphot• d'où R '.'.:::::'. Rphot· I l . Mo ntage p u s h -pu l l 111..j La résistance de la LDR varie de façon inversement proportionnelle à la lon­ gueur du matériau éclairé. L'éclairement E est de 1 000 lux. Comme seule la moitié de la longueur active L est éclairée on a : Rco = 2R (@ 1 0001ux) = 2 k.Q ( 1 1 . 1 4) 1111!'1 Lors d'un déplacement latéral x, le fonctionnement étant push-pull la lon­ gueur active diminue de Nx pour l'un des capteurs et augmente de Nx pour l'autre. On a donc d'après ( 1 1 .4) : L Rel (x) = L 2 Rc et o L - - Nx Rc2 (x) = 2 2 Rco L - + Nx 2 (11.15) lllf4 La tension de mesure est donnée par : Vmes (x) = "'O 0 c ::J 0 (V) ...... 0 N ( Re l (x) Rel (x) + Rc2 (x) 1) - - Vg = 2 V Nx -g = - Vg L Rel (x) + Rc2(x) 2 Rel (x) - Rc2(x) La tension de mesure varie linéairement avec le déplacement latéral x. 1111:1 La sensibilité de la mesure est simplement donnée par : @ S mes = NVg/L = 3,6 V/cm ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 214 (1 1 . 1 6) Problème 1 1 La rési stance de la LOR n' est pas u n e fonction l i néaire de la s u rface écl airée de celle-ci. Par un montage de type push-pull on arrive, comme dans le problème traité ici, à effectuer u n e mesure l i néaire (compte tenu des approxi mations effec­ tuées), d ' u n mesurande second a i re comme ici le dép lacement d ' u n objet opaque devant les LOR. De même, comme démontré dans la p re m i è re partie de ce problème, la ré s i s­ tance de LOR n ' e st pas u n e fonction l i néaire de l ' éclairement. Dans l e cas o ù le mesurande est le fl ux l u m i neux, la mise e n place d ' u n fonctionnement de type push-pull est i m possible. En jouant s u r les matériaux utilisés et s u r des phé­ nomènes négl igés dans ce problème, les constructeurs travail l e nt à obte n i r une rés i stance i nversement proport i o n n e l l e à l' éclairement. L' ad mittance de l a LOR varie alors l i n éai re ment avec l' éclairement. � Conducteur / Semiconducteur Conducteurs de raccordement F i g u re 1 1 .8 - Structure en peignes interdigités d'une LOR "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u c:: ::l rJ � 8 ::l "' c:: 0 c:: c:: .S: u ::l l 2 B ::l � -gc:: ::l 0 @ 215 12 P RO B L È M E : T h e r m o m é t r i e à d i od e La dépendance à la température de la relation courant-tension d' une jonction PN est donnée par la loi de Shockley. En utilisant les techniques de fabrication de circuits intégrés, la thermométrie par diode permet de réaliser des composants de faible coût comprenant le capteur lui-même, son conditionnement et la mise en forme du signal. Les principaux fabricants de composants semiconducteurs proposent des produits très utilisés dans l'électronique grand public lorsque la précision demandée est de l'ordre de quelques dixièmes de degré. Énoncé 1. La d iode e n capte u r de te m pératu re ltji On considère la jonction PN d'une diode polarisée en direct. En notant v1 la tension aux bornes de la jonction, le courant traversant la jonction est donné par la loi de Shockley : -0 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u (12.1) Dans l' approximation T << que l'on supposera vérifiée ici, le courant de satura­ 3 tion /5, est donné par ls = AT exp où est la largeur de bande interdite du semiconducteur, = est la constante de Boltzmann et T la tem­ pérature en Kelvin. On suppose que la température de la jonction reste inférieure à °C. Montrer que dès que V1 > mV, l'expression peut se simplifier et permet d'exprimer simplement v1 en fonction de /. On donne e = C. k Eg (-Eg/kT) Eg k 1,38 . 10-23 J.K- 1 150 (12.1) 1,60.10- 19 80 lt#.:.1 La diode est alimentée par un courant constant 10. La température T de la jonc­ tion varie autour d'une température To prise comme référence et on pose T = To+t1T. Par un développement limité au premier ordre en établir la relation entre V1(To + !1T), Vj(To) et tiT. !1T/To lt..I) Soit Rs(T) la résistance série de la diode (la résistance des régions N et P de la diode à la température T). En toute rigueur, cette résistance dépend de la tension 216 Problème 1 2 de polarisation puisque celle-ci conditionne la largeur de la zone de déplétion. On néglige cet effet et on considère que pour une température de la diode évoluant de b.. T autour de To, en première approximation, on peut écrire : Rs(To + b.. T) = Rs(To) ( 1 + b.. T/To) 312 ( 12.2) Établir, au premier ordre en b.. T/To, la relation entre RsCTo + b.. T ), RsCTo) et b.. T . lt-11 En déduire l'expression approchée de la tension Vd(To + b..T ) aux bornes de la diode et l'expression de la sensibilité S d du capteur de température ainsi réalisé. lt41 La diode utilisée est une diode 1 N9 1 4 dont la caractéristique statique est donnée figure 12. 1 . Calculer la sensibilité à 25 °C si Io = 2,5 mA. On donne Eg = 1 , 1 4 eV et Rs(25 °C) = 1011. l (mA) 4 3 �------ I N9 1 4 à 25°C 1 1 ' -----�------�-----� ----' 1 1 1 1 -----J------L-----� ----' 1 1 1 1 1 1 1 - - - - - , - - - - - - r - - - - - , - - - - - - 1 1 -----1------r----- 2 -----�------�----- -----.- - - - - - - - - - - ,1 - - - - - - 1r - - - - - ,1 - - - - - - 1 ' 1 1 1 ' 1 7 1 1 i t i-----1 - - - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - r - - - , - "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 0 � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü 2o.. = ""' 2 � = � -0 0 " = Ci @ Figure 1 2. 1 - : 0,2 : 1 0,4 : 1 - - - - - 0,6 0,8 Vd (V ) • Caractéristique de la diode l N9l 4 ltJd On se limite à une étendue de mesure E.M. = [O ; 50]. Toujours pour 2,5 mA et en considérant un point tous les 10 °C, calculer Vd(T) et, à par­ tir d'une régression linéaire, son approximation linéaire Vd,lin (T). Évaluer l'écart de Io = linéarité, plus grand écart entre la caractéristique réelle et la droite donnée par les moindres carrée, puis l'erreur de linéarité, écart de linéarité normalisé à l' excursion de la tension aux bornes de la diode. À quelle erreur en C ceci correspond-il ? ltM On considère maintenant la dérive du courant d'alimentation Io de la diode. On suppose que cette dérive ne peut excéder b..Io = 0,05 mA. En déduire l'erreur engendrée en °C. 217 12 • Thermométrie à d iode I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement Le montage conditionneur est réalisé selon la figure 12.2 où les amplificateurs opé­ rationnels utilisés peuvent être considérés comme idéaux. V R1 Rs VJ RI V4 R6 R1 R4 R3 CAN Figure 1 2.2 - Conditionnement du capteur ltj:I Établir la relation entre R et R2 afin que le courant dans la diode soit Io = 2,5 mA. On donne V = 12 1 V et R3 = 1 kn. ltM Déterminer les relations respectivement entre R4 et Rs d'une part et R6 et R1 d' autre part afin que la tension Vs soit de la forme Vs = 0, 1 t où t représente la température en °C. · -0 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ltjltJ Le convertisseur analogique-numérique étant un convertisseur bits, déter­ 8 miner la relation entre Rs et R9 afin que la variation minimale de température détec­ table, associée à un quantum q, soit égale à 0,2 °C. ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 218 Problème 1 2 Corrigé détaillé 1. La d iode e n capte u r de te m pératu re itji Pour > > v1 150 mV et T < (80 + 273,15) K, on a exp (eVJlkT) 100. On peut donc récrire le courant traversant la diode selon : I � AT3 exp ( eV kT· - Eg ) 1 En inversant cette dernière relation, on obtient : -I- ) + Eg V · � kTe ln ( AT (12.3) 3 e lt..f.tl Le développement limité de (12. 3 ) au premier ordre en !1T/To donne : !1T Io ) - 3) Io Eg kTo (ln ( -) + - + V (To + l1T) � kToe 1n ( ATJ To (12 .4) e e ATJ = V-(To) � (1n (_!!!___ ) - 3 ) !1T e AT03 1 - 1 - - + 1 ltA@I Au premier ordre, il vient immédiatement : Rs(To + !1T) Rs(To) (1 + 3!1T/2To) (12.5) lt"'ll La tension aux bornes de la diode est donnée par Vd(T) Vj(T) + Rs(T)Io, soit ici en utilisant (12.4) et (12. 5 ) : � kTo kTo Io ( Vd(To + !1T) V1(To) + Rs(To)Io + e ln ( AT03 ) - 3 e + 2 Rs(To)Io) !1TTo 3 ) !1T kTo + -RsCTo)Io Vd(To) + (V-(To) - -Eeg - 3To e 2 E ) !1T kTo 1 = Vd(To) ( Vd(To) - -g - 3- -Rs(To)Io To e e 2 On en déduit la sensibilité S d à la température To : Eg kT0 1 ) !1vd -1 S d(To) -(To) ( Vd(To) - - - 3- + -RsCTo)Io (12.6) !1T To e e 2 = = "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ·a.;:::: ..c O'l >- 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 ="' " 0" " .3 ü= ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ = = 1 + + = = 219 12 • Thermométrie à d iode lt41 Pour un courant Io 12. 1 donne Vd(to 25 C) = = = A 2,5 m à 25 °C, la caractéristique de la diode figure 0,6 V. Le résultat (12.6) donne alors : S d(to = 25 C) = -2 mV/°C ltJd Pour calculer la sensibilité à différente température à partir de (1 2.2) et (1 2.3), A il faut tout d'abord déterminer la valeur de la constante apparaissant dans (12.3). On utilise pour cela la valeur Vd(To = 298, 1 5 = 0,6 V déduite de la caractéristique statique de la diode. Il vient alors 0,3286 Les différentes valeurs de Vd(T) sont reportées dans le tableau 12. 1 . La régression linéaire sur ces valeurs donne l'approximation linéaire Vd,lin(T) de Vd(T) soit : A K) 3 A.K- . = Vd,tin(T)(mV ) = 1 204,5 - 2,028 T ( 12.7) · Les valeurs de Vd,lin(T) sont également reportées dans le tableau 1 2. 1 . - Tableau 1 2.1 Tension aux bornes de la diode en fonction de la température t (OC) 0 10 20 25 30 40 50 Vd(T)(mV) 650,5 630,3 6 1 0, 1 600,0 589,9 569,5 549, 1 Vd,un (T)(mV) 650,6 630,3 6 1 0, 1 599,9 589,8 569,5 549,2 Ces données conduisent à un écart de linéarité de l'ordre de 0, 14 mV soit une erreur de linéarité de 0, 14/(650,5 - 549, 1 ) 0, 14 %. Exprimé en degré, l'écart engendrée est de l'ordre de : � 0, 1 4 mV/2,0 mV.°C - I = 0,075 °C 0, 1 f-----.-----r---,--r--, oc -0 0 c ::J 0 (V) ...... 0 -------------- ------------------------------------------- --------------- ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u -�-�-�--.-. -0' 1�-�-�-�--�-�-�0 50 25 0 N t °C @ F i g u re 1 2.3 - Écart de linéarité de la mesure exprimé en °C ltM Pour évaluer, l'erreur engendrée par la dérive du courant d'alimentation, il suffit de dériver 1' expression de la tension Vd(T), soit : d_ (T_) dV __ dia 220 = [ (AT3 ) Eg d kT -Io_ + _ _ ln + Rs(T )Io e dlo e ] � kT _ + Rs(T ) eio Problème 1 2 Le calcul n'est qu'approximatif puisqu'en toute rigueur la modification du courant entraîne une modification de la puissance dissipée par effet Joule dans la diode et donc de sa température par effet d'auto échauffement. Avec cette approximation, la variation maximale de la tension aux bornes de la diode engendrée par la variation maximale 11Io = 0,05 mA du courant d'alimentation est donnée au premier ordre par : 11 Vd(T) :::::; [ eIkT0 + l Rs(T) 11Io Au milieu de l'étendue de mesure, c'est-à-dire pour une température de 25 °C, on a kT/eio :::::; 10 Q et Rs = 10 Q. 11 vient donc 11Vd(T) :::::; 1 mV, soit compte-tenu de la sensibilité une erreur de 0,5 °C sur la mesure. I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement ltJ:I Pour l'amplificateur opérationnel AOPl , on a e7 = V1 et e[ = V2 - Vd(T). L'amplificateur étant idéal, la présence de la contre réaction amène e7 = e1 De plus, le courant Io traversant le capteur est le même que le courant traversant la résistance R3 et donc e! = R3 Io. Au total, il vient alors Io = VifR3 . On désire avoir Io = 2,5 mA. Comme V1 = VRif(R1 + R2 ), on en déduit que l'on doit avmr : R2 V - R3Io = = 318 · R1 R3Io ltM L'amplificateur AOP2 étant monté en suiveur, on a V3 = V2 . Comme d'après la question précédente V2 - Vd(T) = Vi = R3 Io, il vient V3 = R3Io + Vd(T) ou encore, en utilisant (1 2.7), V3 = a - b T avec a = 3704,5 . 1 0-3 V et b = 2,028. 1 0-3 V.K- 1 • · "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ....... ..c @ O'l ·;:::: >a. 0 u À la borne e3 de l'amplificateur AOP3, la tension est : 7 V3 + R6 Vs e3 = V3 - R6 RV3 +- Vs = R---R7 + R6 7 R6 � ""'" "'" L'amplificateur étant idéal et possédant une contre-réaction, il vient '"" soit : ·C0 (R7 + R6)V4 - R7 V3 ="' Vs = -"0 --R6 "" .3 (R7 + R6) R7 ü = V4 - - (a - b T) ""' _ = = · e3 = e� = V4 R6 R6 2 � + R7 R7 = (R7 R6) V4 - (a - b 273, 1 5 ) - b·t � R6 R6 R6 -0 0 " Ci Comme Vs doit être égal à 0, 1 t, on doit donc avoir R7/R6 = 0, l/b = 49,32. @ 2o.. = = [ · · (12.8) l 221 12 • Thermométrie à d iode 12.2, V4 = VR4/(R4 + Rs) et puisque le premier terme de (12.8) D' après la figure on a doit être nul, il vient : R4 1 R1 (a b 273,15) V - · R4/Rs = 1,76. R1 Rs R6 10 R2 38,0 k.Q, R4 = 17,6 R1 = 493,2 Vs Vs = 0,1 t. ltjltJ Pour un convertisseur 8 bits, le quantum est Erej/256. On désire avoir : Vs = 0 ' 2 °C 1!!.t = 0,1 Comme l!!. Vs = q = EreJ/256, on obtient Eref = 5,12 V. Le choix de cette valeur de Eref permet bien de couvrir l'excursion de la tension Vs soit [0 V ; 5 V]. Puisque V6 Eref , on doit avoir : Ce qui conduit à En choisissant par exemple kQ, on doit avoir kn et k.Q pour assurer une tension de la forme = = = = · fl = -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N Ce qui conduit à R9/R8 0,74. = Dans c e prob lème, u n b o n nom bre de sources d ' erreurs comme le bruit électro­ n i que des d i fférents é l é ments ou le phénomène d ' auto échauffement ont été négligés. De p l u s , tel qu' i l est présenté , le systè me de mesure possède une forte dépendance au courant de saturation qui peut forte ment d iffé re r d ' u n e d i o d e à l'autre. Les composants commercialisés mettent en œuvre des montages p l u s complexes pe rmettant une bien m e i l l e u re i nterchangeabil ité. Le u r erreur de préc i s i o n est de l ' o rd re de 0,5 °C pour une étendue de mesure allant j u s­ qu'à [-50 °C ; + 150 °C). Certains composants se comportent comme des sources de tension dépendantes de la tempé rature avec des tensions de sortie d u type O V + 10,0 mV/°C ou 2,98 V + 10,0 mV/K, d ' autres se comportent comme des sources de courant avec des cou rants de sortie d u type 298,2 µA + 1 µA/K. @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 222 Problème 1 2 •n A� Ri '9k RI 1Hk + CHIP SUBSTRATE 8 "'O 0 c :J 0 Figure (V) r-l 0 N :.= � "O c:: ::l © ]8 .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u 09 R6 s2on R3 5k..'1 Rs 146n 0 10 01 1 1 � � 1 2.4 - LM 1 3 5 : 2,98 V + 1 0,0 mV/K (documentation National Semiconductor) et AD590 : 298,2 µA + 1 µA/K (documentation Analog Devices) rJ <.) ::l "' c:: 0 c:: c:: .S: u ::l "O §. 2 B ::l � -0 0 c:: ::l 0 @ 223 1 3 P RO B L È M E : Capte u r ca pac i t i f d e p re s s i o n à d éfo rm at i o n d e m e m b ra n e Tout comme la température et le débit, la pression fait partie des grandeurs phy­ siques les plus mesurées dans le domaine industriel. Les procédés de conversion qui permettent de transformer la pression en un mesurande secondaire exploitable sont multiples. Parmi ceux-ci, la mesure par méthode capacitive de la déformation d'une membrane sous l'effet de la pression appliquée, est relativement simple et robuste. Énoncé On considère un capteur capacitif de pression dont l'élément de base est une mem­ brane déformable, conductrice, circulaire et fixée sur sa périphérie par une bride. La membrane est de rayon a et d'épaisseur e. D'un côté de la membrane se trouve une cavité fermée ou chambre close, à une pression p0 correspondant à un vide primaire. De l'autre côté se trouve une cavité ouverte sur l'extérieur et donc à la pression exté­ rieure p (voir figure 1 3 . 1 ). p p -0 0 c ::i 0 z -------- ------ -- + (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Figure 1 3. 1 - Position de la membrane déformable Un point M de la membrane est repéré par ses coordonnées (p,<p,z). L'origine 0 du repère (0, 7p , 7ip , 7z) est prise sur la membrane au repos, c'est-à-dire lorsque P = PO· Sous l'action de la différence de pression p p0, la membrane se déforme. Soient et v respectivement le module d'Young et le coefficient de Poisson du matériau constituant la membrane. Pour une déformation faible, la membrane étant encastrée - E 224 Problème 1 3 = a, en p on montre qu'une bonne approximation de la déformée de la membrane est (voir figure P z(p) = ]_ 13.2) : 16 - Po (1 - v2) (a2 - P2)2 (13.1) Ee3 /-p -'---'--"'-'0 '--"''-'-'-'-'-'-'-0 -1 a Figure 1 3.2 - Déformée de la membrane Pour mesurer le déplacement de la membrane sous l' effet de la différence de pression, on place en face de celle-ci et dans la chambre à la pression une contre-électrode circulaire et plane de rayon On réalise ainsi un condensateur (voir figure po, ao. 13.3). 1111 Le système est prévu pour supporter au maximum une pression P max · À la pression Pmax la membrane et la contre-électrode entrent en contact et le conden­ sateur se trouve alors en court-circuit. Calculer la distance à prévoir entre la contre-électrode et la position de repos de la membrane. La membrane de diamètre cm et d'épaisseur e mm est réalisée en acier inoxydable de module d'Young E = GPa et de coefficient de Poisson = On donne Pa et Pmax Pa. Pour simplifier 'écriture, on posera : 2a = 5 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u :.= � "O c::::l rJ ]8 <.) ::l "' c:: 0c:: c:: .S: u "O::l §. 2 B::l � -00 c::::l 0 @ do =1 203 6 = 10 1 v 0,33. p0 = 103 - v2 k = 163 1 Ee3 (13 .2) - --- lff41 Déterminer l'expression de la capacité C 1 du condensateur réalisé (voir fi­ 13.3). gure On négligera les effets de bord et on notera s la perméabilité du milieu, c'est-à-dire du gaz résiduel de la chambre à la pression PO· � Ë Po Isolant � Enveloppe de .# . / protection extérieure Figure l 3.3 2a0 p - _ e;�---------------------1------ -------- ----- 0 eP --+ � �j _ _ _ _ _ - --- do + ___J z(O) Condensateur constitué par la membrane déformée et une armature fixe 225 13 • Capteur capacitif de pression à déformation de membrane On donne : 2u ( ) b..Pmax Pmax - Po b..p P - PO· I dx __!__ ln � u2 - x2 u-x = et = On pourra poser Que devient cette expression si on impose a0 = a ? On posera : 1111 On se limite à une étendue de mesure E.M. = [lüpo; Pmax/2]. En effectuant un développement limité, donner 1 'expression approchée C� de Ci à l' ordre en si on tient compte de << 2 p/Pmax Po p. 1111 Montrer que 1 'on peut calculer plus facilement une expression approchée de la capacité du condensateur en calculant la valeur moyenne de la déformée sur la surface 1ra6. En donner une expression C�' à 1 'ordre en avec ao a et sous 1' approxima­ tion Po << 2 p/Pmax p. = 1111 Une seconde électrode, identique à la première, est montée de l' autre coté de la membrane à la même distance do du plan de repos de la membrane de façon à réa­ liser un deuxième condensateur de capacité C2 . On obtient ainsi deux condensateurs plans fonctionnant en push-pull. Po Isolant -0 0 c ::i 0 Enveloppe de/ protection extérieure (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Figure --; e, � p 0 � i ---- --; eP f; f --- u· l 3.4 - Condensateurs constitués par la membrane et les deux armatures fixes Calculer l'expression de la capacité C2 et de son expression approchée c; à l'ordre en si ao = a et sous l'approximation << On fait l'hypothèse que la permittivité électrique du milieu à la pression est égale à celle de la chambre à la pression soit s et on donne : 2 PIPmax Po Pp o p. dx I u2 + x2 --- = 226 1 X - arctan u u (13.4) Problème 1 3 llld Les deux condensateurs sont montés avec deux résistances fixes R dans un demi-pont push-pull alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude V9 et de pul­ sation w (voir figure 1 3.5). c, v, i= _[--- R �nes R C2 �� Figure 1 3.5 - Principe du montage Donner l'expression de la tension de mesure Vmes· En utilisant les valeurs approchées Ci et c; des capacités, évaluer la sensibilité S mes de la mesure et l'erreur maximale ôp sur la pression mesurée. llfi Afin de caractériser la mesure de façon plus précise, on effectue une régres­ sion linéaire de la caractéristique de la mesure à partir de trois points de 1 'étendue de mesure : p = 1 05 Pa p = 2,5 . 1 05 Pa p = 4. 1 05 Pa Déterminer les valeurs exactes des capacités puis des tensions de mesure correspon­ dantes. Effectuer une régression linéaire à partir de ces trois points et donner l'approxima­ tion linéaire Vmes, lin de la tension de mesure. On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés, d'équation y A x + B, passant par N couples de points de mesure (xi. Yi) sont donnés par : = "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u N � ""' " = "' " " '" A = i= l 0 " " N = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ B= i= l i=l t x (t x;r i ���- �� "' " .3 ü i N N L: x Y - L: xi l: Y N ·=C0 i N z- N N N ( 1 3 .5) " xt· L.J " xl·yt· " y·I - L.J " x�l LJ LJ i=I. t xf - (t xJ i=I N i= l i= l 227 13 • Capteur capacitif de pression à déformation de membrane En déduire une nouvelle estimation de la sensibilité et évaluer l'erreur de linéarité en % de 1 'étendue de mesure. IQ:I On modifie maintenant le capteur de façon à mesurer des pressions évoluant à partir de 1 05 Pa. Pour ceci, la pression Po est maintenant fixée à 1 05 Pa. Quel problème peut venir fausser la mesure si la profondeur b de la chambre à la pression Po n'est pas suffisante ? On considère en première approximation que le gaz est parfait. llJ#J Les propriétés électrochimiques du gaz à la pression p peuvent varier entraî­ nant une variation de sa permittivité électrique. Comment éviter un effet sur la qualité de la mesure ? Corrigé détaillé IQI La valeur maximale de la déformée est, d'après (13. 1 ), donnée pour p soit : z(O) � � @ 0, p - Po 4 a ( 1 - v2 ) = � Ee3 16 Le maximum maximorum de cette valeur, obtenu pour p l'épaisseur à donner au condensateur. On a donc : "'O 0 c ::J 0 = do = k(Pmax - po )a4 = 321 , 2 µm où k = � 1 = Pmax, doit être égal à - 3v2 = 8 '23 1 . 1 0-4 Pa- 1 16 Ee · m-3 lft.J Le condensateur peut être considéré comme l'association en parallèle de condensateurs élémentaires plans (voir figure 13.3) de capacité donnée par : ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u dC = spdpdt.p do - z(p) ( 1 3 .6) La capacité totale C1 s'obtient par intégration de (13.6) : ( 1 3 .7) 228 Problème 1 3 = -[i:P (a2 - 2) u = �11Pmaxa2, t: f -{i:P(a2-a6 ) dx n = C1 k--[i:P .yt:Pa2 u2 - x2 On pose x p et compte tenu de (13.3), (13.7) devient : (13.8) �8Pmax - -[i:P ( 1 - (�n �8pm., -fi:P ( 1 - ef) + Dans le cas particulier où ao = a, (13.8) s'écrit : 1 (13.9) ff5:P '/ � ff5:P '/ � {f5:P '/ � + 1 Co Po ) {f5:P 1 2 ( 1 Pmax '/ � 11Pmax '.::::'. Pmax, 2 1 P C1 '.::::'. Co [ l 3Pmax -5 (_!!_ Pmax _) ] = C't ln 1111 Avec 11p '.::::'. p et vient : en effectuant un développement en + + PfPmax, il (13.10) 101 La valeur moyenne de la déformée sur la surface de la membrane est simple­ = na-1 02 1o2J;oao k11p (a2 2)2 ment donnée par : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c: :::l � Zmoy -p · pdpdcp kA [a40 - 3a2a02 3a4] (13.11) =3 u.p + La capacité du condensateur réalisé est donc approximativement : '-' '-' �0 :; "' c: 0 c: (13.12) c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B :::l rS -0 0 c: :::l a @ Avec ao = a, 11p 11Pmax '.::::'. Pmax, (13.2) 2 1 P _) ] = Ci' C1 ka2Pmax 1 P '.::::'. Co [ 1 3Pmax -9 (_!!_ Pmax 3Pmax s'écrit : '.::::'. p et '.::::'. t:n 1 ---_ + + 229 13 • Capteur capacitif de pression à déformation de membrane 13.6 représentent les trois expressions obtenues pour la va­ Les courbes de la figure leur du condensateur si ao = a. � � � 1 � 0 -'-----'- --'------'- � � ---'� '------'- -'--'- p (l a5 Pa) � 5-- Evolution de la capacité C1 avec la pression "'O 0 c ::J 0 p Figure 13.6 1111 Le calcul est similaire à celui de la question 2. La capacité totale C2 s'obtient par intégration de (13. 6 ) dans laquelle le dénominateur do - z(p) doit être remplacé par do + z(p) : 2n ao l spdpd<p C2 = (13.13) Lo o k [flPmaxa4 + flp(a2 - p2 )2] On pose x = -[i:ÏJ(a2 - p2 ) et u = ..JflPmaxa2 , compte tenu de (13.4 ), (13. 3 ) devient : (13.14) ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Avec a0 = (13.14) a, peut être réécrit : C2 2 30 = (l ) 'J/XP � Co - Po Pmax arctan (13.15) Problème 1 3 Pour l!ip :::::: p et fiPmax :::::: Pmax , en effectuant un développement en PfPmax , on obtient : C2 :::: Co [ 1 - P 3Pmax + !5 ( _!!_)2] = c; C1 C2 ( 1 3 . 1 6) Pmax La figure 1 3.7 présente l 'évolution des capacités et en fonction de la pression p. On remarque le comportement non-linéaire et non symétrique de ces capacités avec la pression p. --'0, 85 '-0 p(lü5Pa) --'----'----'----'--'---'----'---'----'-5 Fig u re 1 3.7- Evolution des capacités C1 et C2 avec la pression p llD Avec ( 1 3 . 10) et ( 1 3. 16), la tension de mesure s'écrit : Vmes = [ C1wC�wC w - �i l -- @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 2 Vg = -- 2 �l: 1 �� 2 ( 1 3 . 1 7) En utilisant les expressions approximatives des capacités données par ( 1 3 . 1 0) et ( 1 3 . 16), on obtient : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N + l � ""' "= "'" '"" ·C0 = "' "0 " " .3 ü ""'= 2o.. 2 � = � -0 0 "= Ci @ Vmes -- c1 -C2 Vg c� - c; Vg c 22 2 �� [� : :; ;5 ( � ) ] - Co [ 1 - + !5 ( _!!_)2] Vg Co [1 + + !5 (_!!_ )2] + Co [ 1 - + !5 ( _!!_)2] 2 Vg Vg 2 ) !( ] 5 [ ! _!!_ 2 ( ) � -2 P 3Pmax Pmax P 3Pmax p Pmax 5 Pmax P 3Pmax Pmax � l + P 3Pmax 6 :::::: _!!__ Pmax l _ _!!__ Pmax ( 1 3 . 1 8) Pmax Pmax 6 231 13 • Capteur capacitif de pression à déformation de membrane On en déduit une approximation de la sensibilité de la mesure donnée par : S mes � Vg 6Pmax = 1 67 m V/1 05 Pa ( 1 3 . 1 9) ( --)3 Vg L'écart de linéarité obtenu est de l'ordre de : O Vmes � p Pmax 30 On obtient, compte tenu de (13. 19), une erreur maximale (obtenue pour p = Pmax/2) de op = Pmax/40 = 0,25 . 1 05 Pa. lm Pour les trois valeurs de p proposées, on obtient à partir de (13.9), ( 1 3 . 1 5) et ( 13. 1 7) les valeurs reportées dans le tableau 1 3 . 1 . Tableau l 3 . l - Capacités et tensions d e mesure pour trois valeurs d e pression p (Pa) Ci/Co C2/Co Vme..CmV) 1 . 1 05 2,5. 1 05 4. 1 05 1 ,0351 1 , 0983 1 , 1 783 0,9688 0,9275 0,89 1 8 1 65,5 421 , 5 692, 1 À partir de ces données ( 1 3 .5), permet de calculer la meilleure droite au sens des moindres carrés approchant la caractéristique réelle : Vmes ,lin ( mV) = 1 75, 5 . 1 0-5 p - 1 2,434 On en déduit une nouvelle approximation de la sensibilité, à savoir : Smes = 175,5 mV/105 Pa La figure 13.8 présente les différentes estimations de la tension de mesure. (V) -0 0 c ::J 0 .... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 0 p(HfPa) 0 5 Figure 1 3.8 - Tension de mesure en fonction de la pression 232 Problème 1 3 Le plus grand écart entre la caractéristique réelle et 1' approximation linéaire au sens des moindres carrés est pour p = 5 . 1 05 Pa et vaut : Vmes (5 . 1 05 Pa) - Vmes,lin (5. 1 05 Pa) = 0,8872 - ( 175, s . 10-5 . 5 . 105 + 12,434) = 22 mV Compte-tenu de la nouvelle valeur de la sensibilité, cette erreur correspond à : 22 mV/( 1 75 , 5 mV/ 1 05 Pa) = 0 , 1 25 . 105 Pa L'erreur représente 2,5 % de l'étendue de mesure. IQ:t Pour une valeur donnée p de la pression, le volume v = na2b de la chambre 2 à la pression Po évolue de �v = -na zmoy Une fois atteint l'équilibre thermique, le gaz étant considéré comme parfait, on a �po/po = -�v/v = -Zmoy/b où Zmoy repré­ sente la déformée moyenne de la membrane. S i la profondeur b n'est pas suffisante, la variation non négligeable de Po se répercutera sur la mesure. Si la problématique est la mesure de la pression p avec comme référence la pression atmosphérique, une autre solution consiste à ouvrir la chambre à la pression p0 sur l'extérieur de façon à ce que la pression p0 soit égale à la pression atmosphérique. On réalise alors une mesure différentielle. Evidemment le mesurande p - Po peut alors varier avec la pression atmosphérique Po même si la pression p reste constante. C'est pourquoi ce montage n'est utilisé que si p = p0 + �p comme par exemple dans le cas de la mesure de la pression due à une colonne de liquide et lorsque la surface libre de ce dernier est à la pression atmosphérique po. · 1110 Pour se protéger des variations des propriétés électrochimiques du gaz à la "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >- a. 0 u :.= � "O c::::l rJ ]8 <.) ::l "' c:: 0c:: c:: .S: u "O::l §. pression p, il suffit de transmettre à la membrane la pression à mesurer par l'intermé­ diaire d'une huile isolante incompressible (huile silicone) et d'une membrane souple d' isolement. Il faut alors tenir compte, dans le calcul des capacités, de la permittivité diélectrique de l'huile qui est différente de celle du gaz à la pression PO · Isolant Envelop�e d� protection extérieure 2 B ::l � -00 c::::l 0 @ Figure � � � � � Po p Huile p Gaz \ Membrane souple d'isolement 1 3.9 - Transmission de la pression par de l'huile 233 13 • Capteur capacitif de pression à déformation de membrane De nombreuses configurations de ce type de capteurs sont d i sponibles. E l l e s per­ mettent des préc i s i o n s de mesure généralement m e i l l eures que à 1 % de l ' éten­ due de mesure. Par nature, ces capteurs sont s e n s i b l e s à la tem pérat u re. Po u r un capteur de pression absolue avec une chambre close à pre s s i o n p 0 , lors d'une variation de température, o n a u n e variation relative de la pression Po égale e n pre m i è re ap­ prox i m at ion à la variat ion re lative de la température (approximation de gaz par­ fait). FiKed Electrode l To Vacuum System 11- Figure volume. sealed al high vacuum 1 3. 1 0 - Jauge capacitive Barocel (documentation Roc-Edward) Le principe décrit précéde mment peut être uti l i sé pour réal i s e r des capteurs s i l i ­ cium m icro-usinés, la mesure capacitive offrant u n e alternative à la mesure de la déformation de la membrane par jauges d' extensométrie. Le conden sateur réa l i s é peut être i ntégré dans u n circuit osci l l ant, la mesure de la pre s s i o n se ramenant alors à une mesure de fréquence. En tech nologie m i cro­ usinée, il est s i m ple de prévo i r un deuxième conden sateur, d i t de référence, dont la membrane n e subit pas de déformation liée à la pression et lui aussi i ntégré dans un circuit oscil lant. La mesure de la d i ffé rence des deux s i g naux après pas­ sage dans un mélangeur permet une mesure très précise de la pression et é l i m i n e toute composante d u s i g nal pouvant être l iée à d e s grandeurs d ' i nfl uence (tem­ pérature, accélération dans une d i rection perpe n d i cu laire aux mem branes . . . ) -0 0 c ::i 0 p (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Silicium Figure 234 Verre Métal 1 isation 1 3. 1 1 Principe d'un capteur capacitif absolu de pression avec compensation des grandeurs d'influence - P RO B L È M E : Accé l é ro m èt re p i é z o ré s i st i f b a s s e s fréq u e n c e s 14 Le principe fondamental de la dynamique permet d'établir une relation entre les trois grandeurs que sont force, masse et accélération. Les accéléromètres font tous appel à cette relation pour convertir l'accélération en force. La force est ensuite conver­ tie en une grandeur électrique exploitable. Les principes physiques de conversion force-grandeur électrique sont nombreux et pratiquement tous ceux permettant la mesure d'une force peuvent être exploités pour la mesure d'une accélération. Ces dernières années, les progrès des microtechnologies ont permis le développement d'accéléromètres intégrés de plus en plus performants. Est présenté ici le principe d'un accéléromètre silicium micro-usiné dont le principe de conversion utilise 1 'effet piézorésistif. Cet accéléromètre, très basses fréquences, est destiné à une utilisation inclinométrique où le mesurande primaire est l'angle du système par rapport à la ver­ ticale. L' accélération mesurée est alors la projection de l'accélération de la pesanteur sur l'axe sensible du capteur. Énoncé "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 1. Pri n c i pe de base d u capte u r ..: � "O c::::l '-' '-' � �0 :; "' On considère la structure de la figure 14. 1 réalisée en silicium micro-usiné où une masse sismique centrale est suspendue à un bâti par quatre poutres flexibles iden­ tiques de masses négligeables. c:0 c: c: .S: ü "O:::l 12o. 2 B:::l rS -00 c::::l a @ Fig u re 1 4. 1 - Structure de l'accéléromètre 235 14 • Accéléromètre piézorésistif basses fréquences � Considérons deux poutres de même axe. Soient L la longueur de ces poutres et P le poids de la masse sismique. Tout se passe comme si ce couple de poutres était sou� � mis à la force F = P/2 ; le reste du poids étant supporté par l'autre couple de poutres (voir figure 1 4.2). D'un point de vue Résistance des Matériaux, ceci est équivalent à une poutre unique de longueur double 2L se déformant sous l'action de la force � � F P/2 appliquée en son milieu (voir figure 14.2). = Masse sismique Schéma équivalent Fig u re 1 4.2 Déformation des poutres - Sous l'action de la force appliquée, une distribution de contraintes prend naissance dans les poutres déformées (voir figure 14.3 où est représentée la contrainte a-yy). z -----l Masse s1srmque ---+--. y Poutre Figu re 1 4.3 - Contrainte dans une des poutres -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Chaque poutre est de largeur l (direction Ox), de longueur L (direction Oy) et d'épais­ seur e (direction Oz). On montre qu'en tous les points d'une section droite de la poutre (parallèle au plan xOz) située à une distance y de l'encastrement dans le bâti, la contrainte a-yy est don­ née par a-yy zMf/I où Mf est le moment de flexion et I le moment quadratique de la section droite par rapport à son axe médian parallèle à l'axe Ox. On donne, relati­ vement au schéma équivalent de la figure 1 4.2, Mf = F (L 2y) /4 pour 0 ::; y ::; L � où F représente le module de F. On se propose de mesurer l'accélération subie par la masse sismique, ici l'accéléra­ tion de la pesanteur, en diffusant sur chacune des poutres des jauges de contrainte alors situées à la surface des poutres. Sur la face supérieure de chaque poutre, on diffuse deux jauges de contrainte alignées sur la direction Oy de la longueur de la poutre (voir figure 1 4.3) : une à proximité du bâti (indice +) et une à proximité de la masse sismique (indice ) (voir figure 1 4.4). = - - 236 Problème 1 4 Bâti Jauge +__. : vPoutre Jauge ----, 0 y s1sm1que Masse - - 1 1 Fig u re 1 4.4 - Implantation des jauges de contrainte (les connexions électriques des jauges ne sont pas représentées) IGll Donner la déformation s11, + , dans la direction y, à la surface des poutres. On note E le module d'Young du matériau des poutres. IGf:.i Afin de rester dans le domaine élastique, on fixe la déformation maximale à Emax = 2. 10-3 . Au maximum, le système doit pouvoir supporter une accélération totale de ±5g selon la direction z où g est l' accélération de la pesanteur. Calculer les valeurs maximales de la masse m et du volume v de la masse sismique pour rester en-deçà de la limite fixée. On donne L = 500 µm, = 20 µm, e = 1 µm, E 140 kN/mm2 , g = 1 0 m.s -2 et la masse volumique du silicium d = 2,33 g/cm3 . = l IGll Les jauges sont de longueur z1. Montrer que la déformation moyenne d'une jauge centrée à la distance y0 du bâti est égale à la déformation au point y0. On né­ gligera 1' effet lié à 1 'épaisseur de la jauge. IGll Déterminer, en première approximation, la distance au bâti à laquelle doivent être implantées les jauges de contrainte puis les déformations correspondantes et s_. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ E+ IGl1 Les quatre poutres sont équipées de la même façon. Les deux jauges proches du bâti (jauges +) de deux poutres dans le même alignement sont connectées en série pour former la résistance R 1 et les deux jauges proches de la masse sismique (jauges -) constituent en série la résistance R1. On procède de la même façon avec les deux poutres perpendiculaires aux précédentes pour former respectivement les résistances R3 (jauges +) et R4 (jauges -). Donner les expressions des résistances R1 , R2, R 3 et R4 sachant que leur valeur au repos est R et leur coefficient de jauge K. IGld Les résistances ainsi constituées sont montées en pont. Celui-ci est alimenté par une source de tension continue V9 d'impédance interne négligeable, comme re­ présenté figure 14.5. 237 14 • Accéléromètre piézorésistif basses fréquences R2 R3 vmes Vg Ri R4 Fig u re 1 4. 5 - Montage de conditionnement Donner l 'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de R 1 , R2 , R3 et R4 puis de K, R et e. Conclure. I l . Effet de la te m pé ratu re Les jauges sont réalisées par diffusion de dopant P sur la structure de silicium dopé N. La résistance au repos et le facteur de jauge dépendent tous les deux de la tempéra­ ture. Dans la plage de température d'utilisation du capteur, les valeurs des coefficients de température correspondants sont données par les courbes de la figure 1 4.5. 0, 1 6 ' Coefficient de température 0, 1 0 "'O 0 c ::J 0 0,04 (V) ...... 0 N 1 018 @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u '\--"'-...... \ '� 1\ � �KI ""-... \" ', \ ..... � UR "...... 1 019 - 1 11 �, ... � ..... / /'"" 1 020 - /cm)3 c (atomes F i g u re 1 4.6 - Coefficients de température de la résistance et du coefficient de jauge IGN Déterminer la valeur de la concentration à adopter pour que la variation de la résistance d' une jauge sous l' action de la contrainte soit, au premier ordre, indépen­ dante de la température. On notera Ro et Ko respectivement les valeurs de la résistance au repos et du facteur de jauge à la température To = 0 °C. 238 Problème 1 4 IGl:I La condition précédente étant réalisée pour la valeur la plus élevée de la concentration, montrer que la mesure dépend de la température au travers de la résis­ tance des jauges au repos. IGl:J Pour compenser cette dérive, on introduit entre l' alimentation et le pont un di­ pôle de compensation quasiment linéaire avec la température. Celui-ci est constitué d'une CTN en parallèle avec une résistance fixe et dont la résistance dans la plage d' évolution de la température est correctement approchée par Re = 2Rco0 + acT). Ce dipôle est réalisé en couche mince sur le bâti de façon à être à la même température que les jauges. Montrer qu'un réglage judicieux de la valeur des caractéristiques de ce dipôle permet d'annuler l'effet thermique sur la tension de mesure. Pour la suite, on note Ro + Rco = fJRo. I l l. Non-1 i néarité La jauge est en réalité non linéaire. La caractéristique de la jauge sur son étendue de mesure maximale est donnée figure 14.7 pour une température de 0 °C. +0,1 b.Rj R Compression Caractéristique réelle Traction +1 0 -1 +2 Fig u re 1 4.7 - Non-linéarité de la variation de la résistance avec la déformation Une bonne approximation du facteur de jauge est donnée par : Ko = Ki + K2 -J fil . "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 lJ· (14. 1) avec K1 = 45 et K2 = 103 . Donner dans ce cas l'expression de la tension de mesure à 0 ° C et évaluer la non­ linéarité . = "' " 0 IV. Com porte m e n t stat i q u e .3 ü IGlltJ On montre que la flèche maximale prise par les poutres (c'est-à-dire le dé­ " " = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ placement selon z de leur extrémité en y = L) est donnée à 1 'équilibre par : FL3 z(L) = 2E/e3 (14.2) 239 14 • Accéléromètre piézorésistif basses fréquences En remarquant que z(G) = z(L) = Zm ax où G est le centre de gravité de la masse sismique, montrer qu'à l'équilibre la réaction des poutres sur la masse sismique peut s'écrire comme la force de rappel d'un ressort de raideur k dont on donnera l'expres­ sion en fonction de E, l, e et L. IGlll La masse M du bâti étant très supérieure à la masse sismique, calculer la pulsation propre wo du système en fonction de k et m. IGlt;.j Ecrire, dans l' approximation linéaire, la tension de mesure du pont de la fi­ gure 14.5 en fonction de la position z(G). Montrer que l'on peut écrire Vmes = Az(G) et calculer la tension de mesure si la masse sismique n'est soumise qu'à son propre poids. On donne Vg = 1 0 V, [3 = 1,2 et on considère que lj « L. V. Com porte m e n t dynam i q u e IGlll La masse sismique est maintenant soumise en plus de son poids à une ac­ célération extérieure â . On montre de plus que l 'amortissement du mouvement est du type fluide (force -À z) et est essentiellement dû à l'air environnant la masse sis­ mique. Établir 1' équation différentie11e en z du centre de gravité de la masse sismique en fonction de m, k, À, a et g. IGIGI Donner l'expression de la fonction de transfert H( p) = Vmes/(g + a) dans le domaine de Laplace en introduisant la fréquence propre et le coefficient d' amortisse­ ment � = À/2 ...;;;;k. IGl..j On se place en régime permanent sinusoïdal. Donner l'expression de la sen­ sibilité S (w) en fonction de "'O 0 c ::J 0 A, w, wo et �· IGIC:'I On suppose que l'on se trouve à l'amortissement critique. Donner la nou­ velle expression de la sensibilité. (V) IGIH Calculer S (0) et S (wo). @ IGll:t Calculer la fréquence de coupure f1 à 1 % de cet accéléromètre. ...... 0 N ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u % IGIPJ En l'état, quelle fragilité présente cet accéléromètre et comment y remédier ? 240 Problème 1 4 Corrigé détaillé 1. Pri n c i pe de base d u capte u r 1111 À la surface d' une poutre, on a z définition : I= = e/2. Le moment quadratique I est par l+l/2 l-e/2 2d d z l/2 z x = -e/2 On en déduit la contrainte <T et la déformation distance y du bâti : yy <TYY(y) _ - 3F( ) = l 2/e2 = = 0 L, e M1(Y) 2 L - 2y 811(y) et le3 12 - s11,+ à la surface de la poutre à la L 2y 3F( ) = yy(y) = E 2le2 E <T - ( 14 .3) llfA La contrainte maximale <Tmax que doit supporter le matériau est liée à la dé­ formation maximale par <Tmax Emax E 280 N/mm2 . D'après (14.3) , la contrainte maximale se situe en y = et y = soit évidemment aux encastrements des poutres. Le module de la force maximale F subie par la masse sismique est donné à l'équilibre par Smg/2. On doit donc avoir : m= 4le <Tmax Sg 3L 1 2 =:::: 0,30. 10_3 g (14.4) ( 14.4) conduit à un volume de la masse sismique égal à v = m/d = 0, 13 mm3 . 1111 Les jauges étant diffusées donc incluses dans le matériau des poutres, elles "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ sont parfaitement solidaires de celles-ci. On néglige l'épaisseur de la jauge. La dé­ formation moyenne fllj/lj d'une jauge de longueur lj centrée en Yo est alors égale à la déformation moyenne à la surface de la poutre d'un élément de longueur lj centré en Yo et donc donnée par : 2_ y o+L1!2 3F(L - 2y) dy l 8moy l y0-LJl 2 21e2E _ - · 1 _ - 3F(L - 2yo) 21e2 E _ - 8;;(Yo) 1111 Proche du bâti, la déformation est maximale et correspond à une élongation, s;;(y) > O. Elle passe par 0 en L/2 et redevient maximale mais de signe opposé à l' approche de la masse sismique, elle correspond alors à une contraction, s;; (y) < O. On doit positionner les jauges de façon à ce qu'elles enregistrent une déformation maximale, c'est-à-dire centrée en Yo = lj/2 pour celles proches du bâti (indicées +) et 241 14 • Accéléromètre piézorésistif basses fréquences en Yo = L - lj/2 pour celles proches de la masse sismique (indicées -). Avec ( 1 4 . 3 ) , les déformations correspondantes sont données par : 3F(L 11) = -s+ . S+ = 3F(L2- 11) et s_ = 2 - - 2le E 2le E IGJ1 On note Ri = 2R + !1R1 , R2 = 2R + !1R2 , R3 = 2R + !1R3 et R4 = 2R + !1R4. Compte tenu du positionnement des jauges, on a : M1 = M3 = 2KRt:+ et !1R2 = !1R4 = 2KRt:_= -2KRt:+ IGld D' après le schéma de la figure 1 4.5, il vient immédiatement : R(l + Kc+) - R(l + Kc_) R4 R1 Vmes Vg - KE+ Vg ( 14.6) Vg 2R R1 + R2 R3 + R4 _ ) ( _ _ La mesure est linéaire puisque les capteurs ont été considérés linéaires en première approximation et que le pont entier push-pull constitue un circuit de conditionnement linéaire. I l . Effet de la te m pé ratu re 1Gf4 On pose M = KRt:+ · Au premier ordre en T, il vient : !iR = RKt:+ = Ro(l + aRT)Ko(l + aKTk+ RoKo ( 1 + (aR + aK)T) E+ � Pour que M soit indépendant de la température, il suffit d'adopter une concen­ tration telle que l'on ait aR + aK = O. D'après la figure 14.6, ceci a lieu pour 18 1 ,4. 1020 atomes/cm3 . On a alors !iR RoKot:+ c 2. 1 0 atomes/cm3 et c � � � IGl:I (14.6) peut encore s'écrire : _ Vmes "'O 0 c ::J 0 ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 2 Vmes ...... @ _ _ - !iR R Vg En utilisant les résultats précédents, il vient : (V) 0 N ( R1 R1+ R - R3 R4+ R4 ) Vg - ( R +2R!iR - R -2R!iR ) Vg � KoRot:+ V Ro(l + aRT) g Sous les hypothèses faites, les variations de la température affectent la mesure au travers de la valeur de la résistance au repos de la jauge . IGl#J La tension de mesure s'écrit maintenant : 242 Problème 1 4 La résistance au repos a un coefficient thermique ŒR positif et le dipôle de compen­ sation un coefficient thermique ac négatif. Pour que la tension de mesure soit indé­ pendante de la température, il suffit de fixer Œc = -RoaRfRco · Pour la concentration d' atomes dopants choisie, soit ici c :::::; 1 ,4.1020 atomes/cm3 , on doit avoir d' après les courbes de la figure 14.6 : Œc :::::; -0,075Ro/Rco Avec Ro + Rco = f3Ro, la tension de mesure s'écrit alors : La tension de mesure est indépendante de la température mais ceci se fait au prix d'une diminution de la sensibilité par rapport à (14.6) puisque f3 > 1 . I l l. N o n - l i néarité On a maintenant d'après ( 14. 1), Ko = K1 + K1 &+ : La tension de mesure s'écrit alors : (14.7) Si on utilise l'approximation linéaire de (14.7) plutôt que l 'expression exacte pour évaluer la déformation, l'erreur de linéarité engendrée est : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = OVmes Vmes = Ki&+ V9 Ki&+ V9 1 1 + K1 t!+lf3 f3 f3 K1 e+ V9 1 f3 1 + K1ei/f3 = K1 ei f3 Compte tenu de l'étendue de mesure maximale et que f3 > 1, on a au pire, oVmes/Vmes = 0,4 %. Ceci peut être considéré comme négligeable pour la suite du problème et on écrira : (14.8) Ci @ 243 14 • Accéléromètre piézorésistif basses fréquences IV. Com porte m e n t stat i q u e = 0 où F k représente la réaction des poutres sur la masse sismique. En utilisant (14.2), on en déduit : 4Ele3 Fk = -2F = - 3 z(G ) = -kz(G ) L La réaction des poutres sur la masse sismique est équivalente à la force de rappel d'un ressort de constante de raideur k = 4Ele3 /L3 = 89,6. 1 0-3 N.m- 1 . ---7 ---7 lllltJ A 1'équilibre de la masse sismique on a 2 F + F k ---7 ---7 11111 La pulsation propre du système est donnée par : wo = �k ( � + �) If, = 546,5 rad.s- 1 � llltJ Dans l'approximation linéaire, on a d' après (14.2), (14.5) et ( 14.8) : Vmes � K1 s+ f3 V9 = K1 3F(L -2 lj) V9 = -Ki 3e(L -3 lj) z(G ) V9 2[3le E f3L Avec lj << L, il vient : 3e (14.9) z(G ) = Az(G ) Vmes -K1 Vgf3L2 Avec f3 = 1 ,2, l'application numérique donne A = -4,5 V/mm. Si la masse sismique n'est soumise qu' à son propre poids, on a z(G) = mg/k et on obtient une tension de mesure Vmes = 0, 1 5 1 V. � - V. Com porte m e n t dynam i q u e 11111 Pour une accélération de valeur algébrique a, l'équation différentielle décri­ "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u vant la position z du centre de gravité de la masse sismique est mz = -mg-kz-Az-ma 11111 Dans le domaine de Laplace (variable p), on obtient : z = -m(a + g)/(m p2 + Âp + k) = Soit en introduisant la fréquence propre w0 et le coefficient d'amortissement Ç ,1/2 v;:;;k et en utilisant le résultat ( 1 4.9) : a+g Vmes = Az(G ) = -A p2 + 2Çwop + w20 La fonction de transfert H( p) = Vmes/(g + a) est donc donnée par : A 1 2 H( p) = - 2 w0 + P 1 2 ':> p + wo w02 244 t: Problème 1 4 S (w) en régime permanent sinusoïdal à la pulsa­ A 1 (14.10) s (lù) = wij ( 1 - ( :Jr + (2Ç:J 111..1 On en déduit la sensibilité tion w: ::::==== - --;: Le système a un comportement de filtre du second ordre. Ç 1, (14.10) devient : S(w) wA02 1 w 2 1 +( ) wo- llll:J À l'amortissement critique, = (14.11) = - - --- (14.11), pour le cas statique et pour la pulsation propre, on ob­ tient : S(O) -Afw6 151 mV/g et S(wo) -A/2w6 75 mV/g 1111:1 La fréquence de coupure à 1 % est obtenue en résolvant : S(w1%) S(O)( l - 1 %) ce qui entraîne W1% � O, l wo soit fi% � 9 Hz. lllf4 À partir de = = = = = Cette fréquence de coupure est relativement basse mais est particulièrement bien adaptée à la mesure d'une accélération constante donc bien adaptée à une utilisation de type inclinomètre par exemple. lllPJ Si le système est soumis à des accélérations trop importantes comme c'est "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = le cas lors d'un choc, la déformation des poutres peut dépasser la limite élastique et entraîner la rupture de celles-ci. Une façon de pallier le problème est de prévoir des butées mécaniques limitant l'excursion de la masse sismique. "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 245 14 • Accéléromètre piézorésistif basses fréquences La technique de convers ion piézorési stive des accéléromètres m i c ro-usi nes ac­ tuels est très forte ment concurrencée par la conversion capacitive. Dans ce type de conversion, les faces de la masse s i s mique forment avec des contre-électrodes des systèmes de condensateurs fonctionnant e n mode push-pu l l . Afin de mu lti­ p l i e r les s u rfaces des armatures e n regard, o n utilise une structure en peignes i nterd i gités. L' un des peignes est constitué par la masse s i s m i q u e , l autre par le bâti. En uti l i sant les forces él ectrostatiques entre é lectrodes, il est possible d'effect uer un asservi ssement de la masse s i s m ique à sa position d ' é q u i l i bre. Comme il n'y a plus de mouvement de celle-ci, o n améli ore g randement la bande passante et la l i néarité d u système et on évite les problèmes liés au phénomène de réso­ nance mécan ique de la masse s i s m iq u e . Au l i e u d ' u t i l i s e r une g randeur de retour cont i n ue, l asservi ssement peut être réal isé s e l o n un mode .E !:::. . Ce sont alors les trains d ' i m pu l s i o n s permettant l'asservissement de la masse s i s m ique q u i sont à l ' i mage de l' accélération à mesurer. O n d i s pose alors d ' u n e i nformation nu mérique d i rectement en sortie d u capteur et on évite la c l assique conve rsion analog ique-numérique. - Armatures du condensateur en peignes interdigités et à fonctionnement push-pull Masse sismique -0 0 c ::i 0 Bâti Figure (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 246 1 4.8 - Accéléromètre capacitif (documentation Analog Devices) P RO B L È M E : Capte u r d e c o u ra n t à fi b re o pt i q u e 1 5 Les capteurs de courant à fibre optique utilisent la biréfringence induite par un champ magnétique (effet Faraday) dans une boucle de fibre optique entourant un conducteur parcouru par un courant dont on veut déterminer la valeur. Ces capteurs à fibre optique trouvent leur place au sein des réseaux de distribution d'énergie en hautes tensions et courants intenses. Ils offrent une excellente isolation galvanique, restent de petite taille par rapport aux technologies concurrentes, sont insensibles aux champs magnétiques perturbateurs et sont insensibles à la position du conducteur à l'intérieur de la boucle optique. Ce problème présente de façon simplifiée une des techniques possibles de mesure. Énoncé On considère le système de mesure de courant à fibre optique de la figure 1 5. 1 . · �--�Dl. "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ Fig u re l 5 . 1 - Principe de la mesure Ce système de mesure est constitué d'un émetteur (diode laser : DL), de deux ré­ cepteurs identiques (photodiodes PIN), d' une fibre de silice monomode dite fibre de mesure de longueur L 20 m et d' atténuation linéique l O dB/km, d'un prisme de Wollaston, d' une lentille assurant l' interface fibre de mesure-prisme de Wollas­ ton. En sortie du prisme, les deux polarisations suivent des chemins semblables, à savoir passage d' une lentille de focalisation, propagation dans une fibre de transport = œ= 247 15 • Capteur de courant à fi bre optique de faible longueur et réception sur une photodiode PIN. La fibre de mesure est enrou­ lée en spires jointives sur un support amagnétique cylindrique (non représenté ici), de rayon a = cm, autour d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité /. La diode laser émet en continu la puissance </Jvr = 5 mW, monochromatique à la longueur d'onde À = 633 nm. On suppose que la lumière émise est polarisée rec­ tilignement dans une direction perpendiculaire au plan de la figure 15. 1 et que la puissance émise est parfaitement stable. Par hypothèse la direction ordinaire (sym­ bole 0 sur la figure 15. 1 ) du prisme de Wollaston est confondue avec la direction de polarisation de la diode laser. La sensibilité des photodiodes est S PIN = 0,5 A/W et leur courant d'obscurité est lobs = 3 nA. Les pertes de couplage diode laser-fibre de mesure et fibre de transport-photodiode sont estimées à 5 dB chacune. La perte de couplage par la lentille, de la fibre de me­ sure au prisme, est estimée à 2 dB. La perte de couplage prisme-fibre de transport est de 4 dB pour chaque voie. Par voie (polarisation selon la direction ordinaire ou selon la direction extraordinaire), le prisme entraîne une perte supplémentaire de 1 dB . Les pertes d' atténuation par les fibres de transport sont considérées comme négligeables. IO i..jl On considère pour l'instant que le courant dans le conducteur est nul. La fibre de transport, la fibre de mesure et les autres éléments sont supposés conser­ ver la polarisation de la lumière qu'ils véhiculent. La polarisation en sortie de la fibre de mesure reste alors perpendiculaire au plan de la figure 15. 1 . Estimer les courants /1 et h délivrés par les photodiodes. Soit une onde polarisée rectilignement. Celle-ci traverse une région où règne un � champ magnétique H. On peut montrer que sur une longueur élémentaire le long d'un rayon lumineux associé à l'onde, la polarisation de l'onde tourne d'un � angle élémentaire donné par = VeH où Ve est la constante de Verdet 6 (Ve = 4,5.10- rad/A à la longueur d'onde À = 633 nm) : c'est l'effet Faraday. dl � "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u de de · dl � ''*.J Le conducteur est maintenant parcouru par un courant continu /. Déterminer e en fonction de ce dernier, la valeur de l'angle de rotation total du plan de polarisation de 1' onde lors de son parcours dans 1' enroulement de fibre. On fera 1'hypothèse que les autres éléments du dispositif sont toujours perpendi­ culaires à la direction du champ magnétique créé par le conducteur. 1..10 Calculer les deux nouvelles valeurs des courants des photodiodes. On donne I = 3 000 A. l.."11 Pour traiter les signaux, on utilise le circuit de conditionnement schématisé figure 15.2. 248 Problème 1 5 R /2 -. Vz X R X-Y X+Y y V,,, es v; 11 ---. Fig u re 1 5.2 - Conditionnement l Avec ce schéma, Vmes est non nul pour un courant nul. Que modifier dans le mon­ tage de la figure 15 . 1 pour remédier à ce problème ? l•ta1 Déterminer alors l 'expression de la tension de mesure Vmes et la sensibilité S mes de cette mesure. l..id Le courant à mesurer est assez faible pour que 1 'on puise considérer e petit. Calculer la tension de mesure et la sensibilité pour I =1 "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Corrigé détaillé � ""' " = "' " " '" ·C0 i..jl La puissance d'émission de la diode laser est, si on l'exprime en dBm : = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ OO A. </>vr(dBm) = ( vr(mW) l O log </> l mW ) = 7,0 dBm Depuis la diode laser, 5 dB sont perdus à la connexion de la diode laser à la fibre de transport, les 20 m de fibre enroulée entraînent une perte négligeable de aL = 0,2 dB et 2 dB sont perdus à l'injection dans le prisme de Wollaston. La polarisation n' ayant pas été modifiée par hypothèse, toute l'intensité se trouve sur la voie ordinaire du 249 15 • Capteur de courant à fi bre optique prisme ce qui entraîne une perte propre de 1 dB. 4 dB sont de nouveau perdus à l'in­ jection dans la fibre de transport et 5 dB à l'injection sur la photodiode. Les pertes sont donc estimées à 17 ,20 dB . La puissance </Ji reçue par la photodiode PIN 1 est donc : (15. 1) </Ji 7,0 dBm - 17 , 2 dB - 10,2 dBm 95,5 �tW = = = La valeur du courant délivré par l a photodiode PIN l s'en déduit aisément et on a : li = S PIN· </Ji + lobs = 47,7 µA Comme aucune composante de polarisation ne se propage sur le mode extraordinaire du prisme, la puissance </J2 reçue par la photodiode PIN 2 est nulle. Le courant délivré par celle-ci est donc égal au courant d'obscurité. ''*.j À part la fibre mesure, aucun des autres éléments n'introduit de modification de la polarisation de la lumière transmise jusqu'aux photodiodes. L'angle de rotation total du plan de polarisation est donc donné par : enroulement de fibre D'après le théorème d' Ampère, la circulation du champ magnétique sur un contour fermé r est égale au courant total traversant toute surface s' appuyant sur ce contour. Si le brin de fibre à l'entrée de l'enroulement est placé au plus proche du brin de fibre à la sortie de 1 'enroulement, on peut considérer que 1 'enroulement de fibre constitue un contour fermé. On a donc : e "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u = Ve lH dt = VeN . 1 N représente le nombre de spires de fibre donné par N L/2na :::::: 32. L'angle total de rotation par ampère du courant dans le conducteur est donc 144 . 1 o-6 rad/A 8,25 . 1 0-3 0 /A. L' angle de rotation du plan de polarisation ne dépend que du courant à mesurer et du = = nombre de fois où la fibre entoure le conducteur. Il n'y a donc aucune erreur engen­ drée par l'excentrement du conducteur par rapport à l 'enroulement de fibre ni par le fait que le conducteur puisse être ou non rectiligne. l..1U La polarisation en sortie de la fibre de mesure ayant tourné de l' angle e pré­ cédemment calculé, il convient de projeter la direction de la polarisation sur les directions ordinaire et extraordinaire du prisme de Wollaston. La puissance véhi­ culée par l'onde ordinaire est alors proportionnelle à cos2 e et la puissance véhicu­ lée par l'onde extraordinaire proportionnelle à sin2 e. Toutes autres grandeurs étant 250 Problème 1 5 restées identiques par ailleurs, les puissances reçues par les photodiodes sont donc d' après ( 1 5 . 1 ) : </J1 = 95,5 cos2 e �tW et </J2 = 95,5 sin2 e µW · · Les courants correspondants sont alors donnés par : /1 47,7 cos2 e µA et h 47,7 sin2 e �LA =3 Pour I = · 000 A, on obtient e = 24,75 ° soit = li = 39,3 · �LA et /2 = 8,4 �LA. l.."11 Il suffit de tourner le prisme de Wollaston de 45°. Ainsi pour un courant I nul donc pour e = 0, on aura d'après ce qui précède : li = 47,7 · cos2 n/4 = 23 , 8 �LA et h = 47,7 · sin2 n/4 = 23, 8 �LA Pour un courant I non nul les courants seront : li 47,7 cos2 + e µA et h 47,7 · sin2 = · (� ) = (� + e) µA ( 1 5.2) l.."1 1 Les amplificateurs opérationnels (supposés idéaux) de la figure 1 5.2 réalisent une conversion courant-tension. On a V1 (15.2), la tension de mesure Vmes s'écrit : Vmes = V2 - V1 V2 + Vi h - Ii 12 + I.i = = -R/1 et V2 -RI2 . En tenant compte de ( ( 2 �7r + e) - cos 7r� + e) ( ( = sm 28 = sm(2VeNI) 2 2 srn - + 8) + cos - 8) 4 4 sin2 . . + . La sensibilité de la mesure s'en déduit immédiatement : S mes "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u = 2VeN cos(2VeNI) Cette sensibilité est maximale pour les faibles valeurs du courant I. 1 ,44. 10-2 rad. : La tension de mesure est donc approximativement Vmes 2VeNI 28,8 mV et la � "O c::::l sensibilité S mes 2VeN = 0,288 mV/A. Pour les faibles courants, la mesure est relativement linéaire car, comme �0 Vmes sin(2VeNI), le terme de non-linéarité est d'ordre 3 en 2VeNI. :; .. 1..Jd Pour I = l OO A, on a 8 = 0, 825 ° � � � '-' '-' "' c: 0c: = = = c: .S: ü "O:::l 12o. 2 B:::l rS -00 c::::l a @ L' éte ndue de mesure d u capteur étudié ici peut s'adapter à la mesure à effec­ tuer en changeant s i mplem ent le nombre de tours de fibre bobinés autour d u conducteur e t l ' an g l e entre l e s d i rections ord inaire e t extraord i n aire d u prisme 251 15 • Capteur de courant à fibre optique de Wollaston et le plan de la fig u re 1 5 . 1 (on règ le a i n s i la val e u r d u courant 1 pour laquelle o n d é s i re fixer Vmes = 0). Un problème l i é à la pui ssance mesu rée s u r chacu n e des voies se pose. Pou r chaque vo ie, la p u i s sance mesurée e s t l a même p o u r e, - e e t ;r ± e s i bien que l ' é lectronique de conditionnement doit être modifiée s i jamais l ' excursion d u mes u rande courant l m è n e à cette i ndéterm ination. Des tech n i q u e s plus complexes ont été déve l oppées afin de pal l i e r les défauts de celle présentée ici. Essenti el lement, ces tech n i ques sont basées sur la réalisation d ' u n interféromètre de type Sagnac comme le système présenté fig u re 1 5 . 3 . Laser He-Ne bifréquence (v 1,V2) Isolateur optique Voie de référence du phasemètre Voie de mesure du phasemètre Cube 5 0-50 Analyseur Analyseur Cube séparateur de polarisation À 4 -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u À 4 Objectif Objectif N spires de fibre monomode Figure 1 5.3 - Ampèremètre à interféromètre de Sagnac à laser bifréquence et détection hétérodyne (les sigles o et l désignent les deux polarisations rectilignes orthogonales et le sigle C+ la polarisation circulaire droite) (d'après P. Ferdinand, « Capteurs à fibres optiques », 1 992 Editions Tee & Doc.) 252 P RO B L È M E : A m pè re m èt re à ce i n t u re d e Rog ows k i 16 Un certain nombre d'instruments de mesure du courant ou ampèremètres fonc­ tionnent sur le principe de la ceinture de Rogowski. Dans ces ampèremètres, on dé­ tecte la force électromotrice produite dans un bobinage par la variation du champ d'induction magnétique créé par le courant à mesurer. Bien évidemment, il est néces­ saire que le courant soit variable dans le temps. Énoncé "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " "' " " '" = ·C0 On considère le montage repré­ senté figures 1 6. 1 et 1 6.2. Un fil conducteur est enroulé sur un tore de matériau diélectrique. On sup­ pose que le fil utilisé est de dia­ mètre négligeable et que le bo­ binage est formé d'un très grand nombre N de spires jointives de rayon a. Ce tore, qui garde suffi­ samment de souplesse pour pouvoir être ouvert et refermé, constitue une ceinture de Rogowski. Cette der­ nière est ouverte puis refermée de façon à introduire en son centre un conducteur rectiligne, supposé in­ défini, confondu avec l' axe z et par­ couru par un courant /(t). Figure 1 6. 1 - Ceinture de Rogowski Fig u re 1 6.2 - Ceinture de Rogowski en coupe = "' " 0 " " .3 ü = ""' 11#11 Étudier la symétrie du problème et en déduire les propriétés du champ d' in- = lft) Par application du théorème d' Ampère, déterminer l'expression du champ 2o.. 2 � � -0 0 " = Ci @ ---7 duction magnétique B créé par le courant /(t) en tout point M de l'espace : orientation du champ dans le repère cylindrique (0 ,êp , êip ,êz) et dépendance en fonction des va­ riables p, cp et z. --7 d'induction magnétique B dans tout l'espace. 253 16 • Ampèremètre à ceinture de Rogowski 11511 Calculer le flux cf> du champ magnétique à l'intérieur d'une spire. On donne : (27T __d_ e_ J0 1 + u cos e 2n YI - u2 Sl U< 1 ( 1 6. 1 ) Dans l' approximation où a << r, déterminer le champ d'induction moyen (B) sur la surface d'une spire et le comparer au champ B(r) au centre de la spire. llHGI Donner l'expression du flux total cf>t dans le tore et en déduire l'expression de la force électromotrice induite e aux bornes de ce dernier. 1141 On déplace le conducteur parcouru par le courant l(t) de tir parallèlement à lui-même. Montrer qu' au moins jusqu'à l'ordre 2 en !ir/r, il n'y a pas d'effet sur la valeur de cf>1• On supposera que le diamètre 2a du bobinage est suffisamment petit devant le rayon moyen r du tore pour que le résultat de la question 4 quant au champ moyen sur la spire reste exact, même si le fi1 est excentré. lr:ml Pour la suite du problème, on considère de nouveau que le conducteur est centré par rapport au tore. Montrer que l'ampèremètre est insensible aux champs ex­ térieurs tant que l'on peut considérer ceux-ci comme uniformes dans le volume du tore. 11*4 Quel principal problème présente en l'état le dispositif de mesure réalisé ? ll:W:I L'électronique de conditionnement est présentée figure 16.3 où les amplifica­ teurs opérationnels peuvent être considérés comme idéaux. Établir la fonction de transfert H( p) Vmes( p)/e( p) de l'électronique de condition­ nement. Que réalise ce conditionneur si R2 C2 est suffisamment grand ? = -0 0 c ::J 0 (V) l@J Donner la sensibilité S c du système de mesure du courant réalisé. ...... 0 N R @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u R Figure 254 1 6.3 - Circuit de conditionnement Problème 1 6 Corrigé détaillé 11511 On utilise le système de coordonnées cylindriques de la figure 16. 1 . Le fil pou­ vant être considéré comme infini, il y a invariance du problème par translation du fil selon l'axe z et par rotation autour de cet axe. Le module B de l'induction magnétique ne peut donc dépendre que de la variable p. ---7 L'induction magnétique B est perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution de courant. Soit le point M(p,<p,z) de l'espace où l'on calcule le champ. Le plan contenant ce point et le fil rectiligne est plan de symétrie de la distribution de cou­ rant. Le champ d'induction magnétique est donc orthoradial et au total on a donc ---7 B = B(p) ê<fJ. ---7 lft.j On applique le théorème d' Ampère en calculant la circulation de B sur un cercle r de rayon p. Il vient : ---7 ---7 J; B d l 'Yr Soit : · = (2Jr Jo B(p)7<fJ pd<p7 <fJ = • (2Jr Jo pB(p)d<p = 2npB(p) = µ0l(t) B = µol(t) 2np ( 16.2) ---7 11511 Considérons une spire du bobinage (figure 1 6.4) et calculons le flux </J de B au travers de cette spire. Ce flux est donné par : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u </J = ..: � "O c::::l ---7 l. ---7 ---7 B(p) · dS spi re (16.3) dS représente le vecteur élément de surface, perpendiculaire à la surface. '-' '-' � �0 :; "' p c:0 c: c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B:::l rS -00 c::::l a @ 0 r Fig u re 1 6.4 - Calcul du flux dans une spire 255 16 • Ampèremètre à ceinture de Rogowski ---? ---? Telle qu'est prise l' orientation de la spire on a dS = vdvd() êcp. Comme B avec r + v cos (), en utilisant (16.2), (16.3) devient : p= l( t) Ï/r (2n l(t) Ï (2n vdvd() o o µ µ r </> = 2n )0 )0 r + v cos () 2n )0 )0 Comme u v/r < 1, en utilisant (16.1) , il vient : l(t) Ï/r 2nudu o µ = o (t)r r 1</> = 2n )0 Yl u2 µ l = = [1 - � _ Le champ moyen sur la spire est donné par : = na2 J( B . dS l _ (B) Si on considère que a </> � µol(t) na2 2nr « [1 spire 0 ( )r _±_2 = µ / 2t = na na [l �1 _ 1 = B(p) êcp udud() + u cos () ( ::r )2 ] _ ( ::r )2] r, ( 16.4) et (16.5) deviennent : 2 o () - � :: 2 + . . et (B) µ l t 1 - � :: + . . 4 r 2nr 4 r () · ] [ � () En se limitant au terme principal, on obtient : (B) � (16.4) B(r) et </> na2 B(r) (16.5) · ] (16.6) � La courbe de la figure 16.5 présente l'erreur relative introduite sur le champ et sur le flux en considérant les expressions de (1 6.6) en place des valeurs vraies données par ( 16.4) et (16.5). Erreur (%) 0 -0 0 c ::J 0 -1 (V) ...... 0 N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u -2 0 0,1 � ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0,2 air 0,3 Fig u re 1 6.5 - Erreur relative sur l'induction et sur le flux On remarque que tant que a/r < 0,2, l' erreur relative introduite reste inférieure à 1 %. 256 Problème 1 6 lffl Le flux total <Pr dans le bobinage est la somme des flux dans les spires le constituant, comme elles sont identiques et au nombre de \&1 = µoNI(t)+ - �! -(�fj N, on obtient : La force électromotrice induite est donnée par la loi de Lenz, soit : ll#Ji On considère une spire du tore de centre gure 16.6. dS __, Fibre moyenne du tore / r M (16.7) comme représentée sur la fi- ' ' ' ' ,' ' , ,,, , • '+' , ' , , '' ,i d ,/ ' ' , , m ' ,' ..,., 1 0 -j i4---'�l I(t ) ._. /!t,.r "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Fig u re 1 6.6 - Conducteur excentré Le champ d'induction créé en par le courant s'écrit Consi­ dérons un arc élémentaire du tore de longueur en Il participe au flux total dans le tore proportionnellement au nombre de spires qu'il contient, soit En utilisant l'approximation de la question 3, le flux dû à l'arc élémentaire considéré s'écrit : -- · · cos 1/1 M � ""' " "' " " '" = ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ I(t) B(M) = µ0I/2nd. rdcp M. Ndcp/2n. µol(t) dcp(M) = na2 Ndcp (16.8) 2n 2nd D'après la figure 16. 6 , on a d2 = r2 + !!lr2 - 2r!!lrcos cp et !!lr2 = r2 d2 - 2rd cos l/J. (16.8) devient : !!lr cos cp 1 µo (t) Ndcp r l 2 . . (16.9) dcp(M ) = na 2n 2nr !!lr ( !!lr )2 1 - 2 -;- cos + -;+ _ _ _ _ _ _ _ 'P 257 16 • Ampèremètre à ceinture de Rogowski On calcule le développement limité de ( 1 6.9) à l'ordre 2 en tir/r. On obtient : tir tir 2 dcp(M ) na2 Ndcp --2n µol(t) 1 - cos cp - cos 2cp 2nr [ r (r) l Considérons M' le point symétrique de M par rapport à 0 pour lequel cp' = cp On a : Ndcp µol(t) 1 -tir cos cp -tir cos 2cp dcp(M) + dcp(M,) na2 -· � � 2n + • · 2nr · [ + +1 - + r tir 1 + + -;: cos cp -tir 2 cos 2cp µol(t) 2 = na2 Ndcp -2n 2nr [ ( r ) · ( rtir)2 + d-;: ( )2 l l + Jf. cos 2cp (16. 10) Le flux total est obtenu par intégration de (16. 10) selon cp : ( ! [ µ tir )2 (t) 0N 2 1 + a <Pt Jo 2nr -;: cos 2cpl dcp 0Nl(t)a2 = µoNI(t) na2 = µ---= (rr 2nr "'O 0 c ::J 0 .... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u ( 1 6. 1 1 ) 2r On retrouve que le terme principal de l'expression du flux n'est pas changé. Puisque pour ce calcul le développement limité a été poussé à l'ordre 2 avant l'intégration, le changement de la valeur du flux dû à l'excentricité ne peut être qu'un terme d'ordre 2. Le système de mesure réalisé est donc peu sensible au centrage du conducteur dans le tore constituant la ceinture de Rogowski. ll#ld On considère un champ uniforme sur le volume du tore et une spire particu­ lière du tore. Le champ d'induction extérieur crée un certain flux au travers de la spire. Considérons la spire symétrique de la première par rapport au centre 0 du tore. Le champ d'induction y crée un flux exactement opposé à celui créé dans la première spire puisque les vecteurs surface des deux spires sont opposés et que le champ est uniforme. Au total, un champ extérieur uniforme sur le volume du tore ne créant pas de flux dans ce dernier ne perturbe pas la mesure du courant circulant dans le conducteur enserré par le tore. 11#4 L'équation (16.7) montre très clairement que la force électromotrice récupé­ rée aux bornes du tore est proportionnelle à la dérivée du courant à mesurer. Ceci ne 258 Problème 1 6 pose pas de problème dans le cas d'un courant purement sinusoïdal puisqu'il n'y a alors qu'un simple déphasage entre la force électromotrice et le courant à mesurer et que dans ce cas, la force électromotrice est proportionnelle à la fréquence du courant sinusoïdal et à son amplitude. En revanche, si on destine le système à la mesure de courants de formes plus com­ plexes et de régimes transitoires, le système de mesure ne peut être laissé en l'état. l@:I Le premier amplificateur est un simple montage suiveur. On retrouve donc à e. R1, l'entrée du deuxième amplificateur, sur la résistance la force électromotrice La fonction de transfert de l'électronique de conditionnement est dans ce cas égale à ceIIe du deuxième amplificateur, soit : (16. 12) Ceci constitue la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre. En de­ hors de la bande passante du filtre, c'est-à-dire si > > 1, (16. 12) peut s' écrire : R2C2w Ceci constitue la fonction de transfert d'un intégrateur. 11:1#1 L'équation (16.7) permet de donner l'expression de la force électromotrice dans le domaine de Laplace, soit : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u La fonction de transfert du système est alors donnée par : e( p) [l - �l - ( )2] e( p) p) Ri C2 ""'" Vmes( P ) Vmei P) Nµo r. = = "'" /( /( '"·C" 0 = "'" La tension de mesure est proportionnelle au courant. 0 "" On en déduit la sensibilité, à savoir : .3 ""'ü2 � = p) � r = 2 � o.. = � -0 0 " = Ci @ 259 16 • Ampèremètre à ceinture de Rogowski Les d i s po s i tifs de mesure du courant fonction nant s u r le principe de la ceinture de Rogowski n ' u ti l i sent pas de matériaux magnétiques, i l s ne sont donc pas sou­ mis aux phénomènes d' hysté rés i s , de rémanence ou de satu rati on. Ils donnent aux bornes de la cei nture une force é l ectromotrice, q u i après intégration est l ' i mage presque parfaite d u courant pri maire ci rculant dans le conducteur. Par construct i o n , ces systèmes sont peu sensibles à la position d u conducteur primaire à l ' i ntérieur de la ceinture. Ceci n ' e st que théorique car, en fait, les i m perfections de réalisation d u tore i m posent u n centrage d u conducteur sans lequel les erreurs de mesure peuvent atte i n d re q u e l ques %. De façon à l i m iter l ' i nfluence des champs magnet1ques externes certaines ver­ sions possèdent un bli ndage mag nétique assurant un m e i l l e u r comportement CEM. Les performances de ces d i po s i tifs dépendent très forte ment de la qual ité de l ' é l ectronique de l ' i ntégrateur. Traditionnel lement utilisé d e p u i s p l u s i e u rs décennies dans les domaines des courants forts, ce type de d i s po s i tifs permet une préci s i o n de l ' o rdre de ±L % de l' étendue de mesure pour les cei ntures fl exibles à ±0,2 % pour des sys­ tèmes rigides i n stallés en poste fixe. La bande passante s ' étend généralement de q u e l ques hertz à quelques k i l o hertz. Depuis q uelques années, la technologie P R I M E ® de la société LEM a permis de réd u i re forte ment le coût de fabrication et l' encom brement de la ceinture, per­ mettant a i n s i de proposer à des prix attractifs des ve rsions dédiées aux fai b l e s et moyens courants. L a s e u l e véritable l i m itation de c e type de d i s posit ifs reste que, par nature, i l s ne permettent pas la mesure des courants cont i n u s . -0 0 c ::i 0 (V) 0 N ..... @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Figure 1 6.7 Ceinture de Rogowski flexible LEM (documentation LEM) - 260 Problème 1 6 Fig u re 1 6.8 - Système LEM en technologie PRIME e (principe, bobine et dispositif) (documentation LEM) "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u c:: ::l rJ � 8 ::l "' c:: 0 c:: c:: .S: u ::l l 2 B ::l � -gc:: ::l 0 @ 261 1 7 P RO B L È M E : Tra n s fo r m ate u r d i ffé re n t i e l ( LV DT) Les capteurs inductifs de type LVDT (Linear Voltage Differential Transformer) sont constitués d'un bobinage primaire alimenté par une tension sinusoïdale. Le déplace­ ment d'un équipage mobile, principalement constitué d'un noyau ferromagnétique, modifie les coefficients de mutuelle inductance entre le bobinage primaire et deux bo­ binages secondaires situés de part et d' autre de celui-ci. Une électronique de condi­ tionnement, utilisant un traitement de type push-pull des forces électromotrices in­ duites aux secondaires, délivre un signal analogique proportionnel au déplacement de l'équipage mobile. Performances et fiabilité font du LVDT un des capteurs les plus utilisés dans la mesure de précision des déplacements linéaires. Énoncé 1 . P r i n c i p e d u capte u r -0 0 c ::i 0 Soit le LVDT schématisé figure 1 7 . 1 et constitué d'un bobinage primaire alimenté par un générateur alternatif et de deux enroulements secondaires identiques et sy­ métriques par rapport au primaire. Les bobinages primaire et secondaires constituent trois solénoïdes coaxiaux que l'on supposera de même section et dans lesquels un noyau ferromagnétique modifie par son déplacement le couplage entre primaire et secondaires. Le noyau magnétique est solidarisé à 1 'objet dont on désire mesurer le déplacement au moyen de la tige de guidage. Secondaire (V) ..-1 0 N Primaire Secondaire @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u ; Secondaire + Primaire Figu re 1 7. 1 - Principe du LVDT (vue éclatée et coupe) 262 Problème 1 7 On suppose que le primaire est alimenté par un générateur de courant sinusoïdal par­ fait = li cos(w t). Soient et les inductances des enroulements primaire et secondaires et 1 , et les résistances correspondantes. Les coefficients de mutuelles inductances entre le primaire et les enroulements se­ condaires sont notés M' et M" lorsque le noyau magnétique se trouve déplacé longitudinalement de la position centrale du noyau étant prise comme origine de ces déplacements. Les deux enroulements secondaires sont montés en opposition et le circuit est refermé sur une impédance de charge Re, impédance d'entrée d'un étage de conditionnement de la tension V2 (voir figure 17.2). i1 L , L; L� 1 R R; R� (x) (x) x, V.'1 RI î M'(x) J� ~ Ei 12 Ki' Re î V, Figure 1 7.2 - Principe de la mesure "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ On considère les deux bobines du secondaire de fabrication identique, c'est-à-dire de même longueur lo = 4 cm et de même rayon ro = 5 mm. Chaque bobine est consti­ tuée d'un enroulement jointif de fil de cuivre de résistivité 1 ,72. 10-8 O..m et de rayon r = 0,5 mm bobiné sur une couche. On a donc toujours = = R2 et au repos, c'est-à-dire avec le noyau en position médiane, 0) 0) p = R; R� L;(x = = L�(x = = L2 . lfjl On pose que Vi est l'amplitude complexe de la tension aux bornes de la source. Donner les équations régissant le fonctionnement du système en régime per­ manent sinusoïdal. lf#.j En déduire les expressions de h et V2 , amplitudes complexes du courant se­ condaire et de la tension aux bornes de la résistance de charge. IMJ Calculer la résistance R 2 des bobines. 263 17 • Transformateur différentiel (LVDT) lfAI Calculer l'inductance L des bobines du secondaire si pour l'instant on ne tient 1 pas compte de la présence du noyau magnétique. Pour cela on fera 'hypothèse que le champ qu'elles créent peut être assimilé à celui d'un solénoïde infini et on affec­ tera la valeur de l'inductance trouvée du facteur de correction de Nagaoka, à savoir où r0 est le rayon de la bobine et sa longueur. K= On donne la perméabilité magnétique du vide µ0 = . 1 o-7 H.m - l . (1 + 0,9(ro/lo) - 0,2(ro/lo)2 f 1 lo 4n lfA1 Calculer les valeurs maximale et minimale de l'inductance que peuvent 700. prendre les bobines L; et L�. On donne la perméabilité relative du matériau du noyau magnétique µr = IQd On suppose que la longueur du noyau est supérieure à la longueur du bobinage primaire de sorte que, quelle que soit sa position, il occupe toujours l'espace intérieur de ce bobinage. Montrer qu'alors L;(x) + L� (x) est constant. 1f#4 On donne f 1 = 000 Hz (fréquence de l'alimentation) et Re 1 OO kQ. Compte � tenu de ces valeurs, donner l'expression approchée de la tension V2 . IJJ:I En utilisant le fait que le fonctionnement est push-pull, donner une expression de M' (x) - M" (x) et en déduire 1 'expression de V2 au premier ordre. I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement IJJ!J On note vi l'expression réelle correspondant à l'écriture complexe VieJwt , à savotr : vi "'O 0 c ::J 0 = I Vi l cos (wt + arg(Vi)) On prélève la tension vi , proportionnelle au courant primaire, aux bornes de la résis­ tance R1 . Les tensions vi et v2 sont utilisées comme entrées du circuit de condition­ nement schématisé figure où E est une tension constante, le circuit déphaseur étant représenté figure 17.3 17.4. ...... (V) Suiveur 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Filtre 1 E Déphaseur ,, ,, -E ---� V V = z. I V3 --�--� Multiplieur Filtre 2 v" 1 Figure 1 7.3 - Circuit de conditionnement 17.4 L'amplificateur opérationnel utilisé étant considéré idéal, calculer la valeur à donner au produit RcpCcp dans le circuit de la figure pour que le signal v�' soit de même amplitude que la tension v'i mais en quadrature retard. 264 Problème 1 7 R'f' vl' v1" Figure l 7.4 - Montage déphaseur lfjltl Le filtre 1 est un filtre passe-bande étroit, accordé sur la pulsation d'alimen­ tation w du LVDT et destiné à filtrer le signal d'éventuelles composantes indésirables provenant de parasites ou des non-linéarités du capteur. On considère qu'autour de la pulsation w, le filtre est de gain G et n'entraîne pas de déphasage notable. Déterminer 1 'expression de la tension u3 en sortie du multiplieur. ltlll Le filtre 2 de la figure 17.3 est un filtre passe-bas à cellule de Rauch comme schématisé sur la figure 17 .5. Déterminer de façon générale la fonction de transfert du filtre à cellule de Rauch. On explicitera celle-ci en fonction des admittances des branches Yi = l/Zi. Z3 = Z4 = R = 1 kQ et Z2 = Z5 = 1 /jCw . On note w0 = l/RC. Donner à partir du calcul précédent l'expression de la fonction de transfert du filtre. lfjtC,I Pour ce filtre, on pose Z1 = lfjil Calculer la valeur de C pour que la fréquence de coupure à -3 dB soit fc = 20 Hz. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ltlll Déterminer l'expression de la tension de mesure V mes ..: � "O c: la figure 17 .3 et la sensibilité S '-' '-' � �0 c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B :::l rS de la mesure. is Î4 :::l :; "' c: 0 c: mes Ve i, z, Z4 i2 en sortie du filtre 2 de Z3 Zs Z2 vs -0 0 c: :::l a @ Figure l 7.5 - Filtre à cellule de Rauch 265 17 • Transformateur différentiel (LVDT) Corrigé détaillé 1. P r i n c i pe d u capte u r lfAI Les deux secondaires étant montés en opposition, les forces électromotrices induites par le primaire se soustraient et d'après le schéma électrique de la figure 17.2, on a en régime permanent sinusoïdal : { V1 = [Ri + jLiw] 11 + [jw (M"(x) - M'(x))] 12 0 = [jw (M"(x) - M'(x))] /1 + [Re + 2R2 + jw (L;(x) + L�(x))] h lf#.j Les amplitudes complexes du courant secondaire et de la tension aux bornes de la résistance de charge sont alors données par : jw (M"(x) - M'(x)) h Re + 2R2 + jw (L;(x) + L�(x)) jw (M'(x) - M"(x)) �= �h Re + 2R2 + jw (L;(x) + L�(x)) h=- (17.1) lf#J Comme les bobines du secondaire sont identiques, de longueur lo et consti­ tuées de fil de rayon r = 0,5 mm bobiné en spires jointives sur une couche, on a donc N = lo/2r = 40 spires par bobine. Elles sont donc de résistance : "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u R2 = · p N2nro/nr2 = 27 ,5 m.Q � lt411 Le champ d'induction B créé par un solénoïde vide et infini est nul à l'ex- térieur de celui-ci. Il est coaxial, uniforme et de module B = µon! à l'intérieur du solénoi'de où µo est la perméabilité de l'air (prise égale à celle du vide), n le nombre de spires par unité de longueur et I le courant parcourant le solénoïde. Pour un so­ lénoi'de de longueur lo créant ce champ d'induction, le flux total de ce dernier au travers des nlo spires de surface nr est cp = nlon B = µon2 lonr I = LI avec ici n = N/lo = 1/2r. On en tire l'expression de l'inductance L = µon2 lonr . En prenant en compte le facteur de correction de Nagaoka, il vient : 6 rÔ 6 µolonro2 1 = 3,56 µH L= 4r2 1 + 0,9(ro/lo) - 0,2(ro/lo)2 266 6 Problème 1 7 lfA1 On peut borner l'intervalle des valeurs de L; et L�. En effet, chacune de ces bobines ne peut avoir une d'inductance inférieure à L, valeur prise par une des in­ ductances si aucune partie du noyau ne se situe dans son espace intérieur. De même, chacune de ces bobines ne peut avoir une inductance supérieure à µrL, valeur prise si l'ensemble de l'espace intérieur de la bobine est comblé par le noyau. On a donc = 3,56 µH et = µrL = 2,49 mH. �.min �.max IQd On note l'i/ la différence de longueur du noyau et du bobinage primaire. Les deux bobines secondaires étant en série, elles se comportent quelle que soit la posi­ tion du noyau, comme une bobine à noyau ferromagnétique de longueur l'i/ en série avec une bobine à noyau d'air de longueur 2/o - l'i/. L;(x) + L� (x) est donc constant. lfb Compte tenu des valeurs numériques données, au maximum on obtient : Comme R2 = 27,5 mn et Re 2'.: lOO kQ, (17.1) devient : V2 jw(M'(x) - M"(x)) Ii � ifj:I Puisque le montage est push-pull, les coefficients de mutuelle induction peuvent se développer sous la forme : { M'(x) = M(O) œx + f3x2 + ôx3 + . . . M"(x) M(O) + œ(-x) + /3(-x)2 + ô(-x)3 + . . . + = La tension s'écrit donc au premier ordre : ( 1 7.2) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 La tension aux bornes de la charge est en quadrature avec le courant primaire, avance ou retard selon la valeur de x. Elle varie de façon quasi linéaire pour des faibles dépla­ cements par rapport à l'origine, centre du dispositif, comme le montre la simulation de la figure 1 7.6. = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 267 17 • Transformateur différentiel (LVDT) v2 (unités arbitraires) -3 0 x +3 (cm) Fig u re 1 7.6 - Amplitude de la tension V2 I l . É l ectron i q u e de co n d i t i o n n e m e n t lfA#J En écriture complexe, on a en régime permanent sinusoïdal : V'1 e1 = JC'P1 w R'P +V'1 1 + -- ------ }C'Pw "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N L L e-l = V"1 + R'P V'2R'P- V" V'1 + V"L L'amplificateur étant idéal, la contre-réaction amène ...... 2 et = el' soit : @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Ce qui peut encore s'écrire : l e2 jtp V1II - V' - avec Pour que le signal v�' soit en quadrature retard par rapport à v� , il suffit que On doit donc choisir R'PC'Pw = 1 . 268 <p = /4 -n . Problème 1 7 lfjlt) Aux entrées du multiplieur on retrouve les signaux E, v�' et v'{ . Ce dernier est le signal issu du LVDT passé par le suiveur et filtré par le filtre 1. D'après ( 1 7.2) et puisque le filtre ne déphase pas le signal et est de gain G, v'{ -2œwGfi x sin(wt) vi' est un signal à l'image du courant primaire, déphasé et en quadrature retard, soit v�' = R 1 I1 sin(wt). Le signal de sortie du multiplieur est donc : � v3 � - 2wœGR 1 If E x sin\wt) =- wœGR 1 If E x ( 1 - cos(2wt)) ( 17.3) lfjll D'après le circuit de la figure 17.5, on a : 13 l Ve = Y3 Y11 . . l3 l4 1 l3 l3 t s l 3 Vs = - - = - = - = 2 Ys Ys Y Y4 Y Y Ys 3 3 2 i2 i4 . . - + - . - i1 + i3 = . . - - - . - + - . - - ( 1 7.4) La résolution de ( 1 7.4) conduit à : lfjt} En développant H( p) en fonction des admittances données, il vient : 1 (RC)2 Vs H( p) = - = 3 Ve p2 + -p + ----- RC "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 1 (RC)2 w20 = ( 1 7.5) lfAIJ En régime sinusoïdal permanent, ( 17.5) devient : � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2 En continu, on a H(O) résolvant IH( jwe)I = IH(O)I / Y2 soit tous calculs faits : 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 2 Vs Wo H( jw) = - = - ---Ve w6 - w + j3wow = - 1 . La fréquence de coupure le à -3 dB est obtenue en le -- � v'53 - 7 2 lo -- � v'53 - 7 2 1 2nRC le = 20 Hz impose C = 2,978 µF. 269 17 • Transformateur d ifférentiel (LVDT) lfAll Comme 2f > > fc où f est la fréquence d'alimentation du LVDT, on peut considérer que la composante alternative de v3 est totalement éliminée par le filtrage et compte tenu du fait que H(O) = - 1 , il vient d'après ( 17.3) Vmes � wœGR 1 lf E X ( 17.6) Sous les approximations effectuées, on obtient une tension de mesure proportionnelle au déplacement du noyau magnétique à l 'intérieur des bobines du LVDT. La sensibilité de la mesure se déduit immédiatement de ( 17 .6) et on a : Les caractéristiques métrologiques des LVDT en font des capteurs de dé place­ ment très couramment utilisés aussi bien dans l'asservissement d' actionneurs l i néaires et le contrô le de position comme pour l ' é q u i pement de vérins hydrau­ l i q u e s q ue comme partie i ntégrante de systèmes de métrologie d i m e n s i onnelle comme les pal pe u rs mécan iques pour machines à mesu rer tri d i mentionnel les. -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N Figure l 7.7 - LVDT et équipement LVDT d'un vérin (documentation Sensorex) @ Les caracté ristiques de ces LVDT varient selon l e u r uti l i sati o n . On a cou ram ment des étendues de mesure al lant de ± 1 m m (pour un palpeur) à ±500 m m (pour un LVDT de grande longueur) pour des s e n s i b i l ités allant de 500 mV/mm · V à l mV /mm·V. Typiquement l' écart de l i néarité est de 0, l %. ....... � Ol ï::: >0. 0 u Le même principe peut être util isé pour réal i s e r u n RVDT (Rotary Voltage Diffe­ rential Transformer) q u i permet la mesure de dép lacements angulaires, un rotor mag nétique modifiant le couplage entre un pri maire a l i menté en s i n u soïdal et deux secondai re s . 2 70 P RO B L È M E : 1 nte rfé ro m èt re d e M ac h -Ze n d e r u t i l i s é e n capte u r d 'a n g l e 18 Ce problème présente l'utilisation qui peut être faite d'un interféromètre en capteur de déplacement angulaire, le déplacement angulaire ne constituant ici qu'un mesurande secondaire. L'intérêt d'un tel principe est la possibilité de réaliser le montage selon un principe MOEMS (Micro Optic Electro Mechanical System) réalisant ainsi un capteur intégré. Énoncé L'interféromètre de Mach-Zender est un interféromètre à deux ondes constitué de deux miroirs M 1 et M2 parfaitement réfléchissants et de deux lames séparatrices identiques S 1 et S 2 , semi-réfléchissantes disposées à 45f sur la direction des rayons lumineux. Ces lames ont un coefficient de transmission énergétique de 50%. L'interféromètre est éclairé par une diode laser DL fournissant une onde supposée plane et monochromatique de longueur d'onde À = 633 nm (voir figure 18.1). L'in­ tensité de l'onde de sortie de l'interféromètre est mesurée par une photodiode P. 11:11 En l' absence des deux lames de verre L i et L2 présentes sur la figure 18.1, quel est le déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode et s'étant réfléchies l'une sur M 1 et l'autre sur M2 ? En déduire l'éclairement de la photodiode. "'O 0 c :J e ..... 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >- a. 0 u :.= � "O c::::l rJ ]8 <.) ::l "' L, c:: 0c:: c:: .S: u "O::l §. 2 B ::l � -00 c::::l 0 @ DL � s, ® [[] p L2  Fig u re 1 8. l Principe de l'interféromètre Mach-Zender - 271 18 I nterféromètre de Mach-Zender uti lisé en capteu r d'angle • ll:f.J On introduit sur le trajet des rayons lumineux et perpendiculairement à ces derniers, les deux lames de verre L 1 et L2 , de même épaisseur e = 1 mm et de même matériau d'indice n = 1 ,5. L'interféromètre étant supposé dans le vide, quel est le déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode ? Quel est l'éclairement de la photodiode ? 11:11 La lame L2 est tournée d'un angle (} par rapport à un axe passant par son centre 11L et perpendiculaire au plan de la figure 1 8 . 1 . Calculer la différence de marche in­ troduite entre les deux ondes (celle se réfléchissant sur M 1 et celle se réfléchissant sur M2 ) en fonction de e, n, r et (} où r est l'angle de réfraction à l 'intérieur des lames de verre. 11:11 En utilisant la loi de la réfraction de Descartes et en considérant (} petit, cal­ culer, au premier ordre non nul en (}, la différence de marche et B. 11L en fonction de e, n ll:Ji En déduire le déphasage 11cp entre les deux ondes sur la photodiode. ll:ld Donner l'expression de l'intensité lumineuse /((}) reçue par la photodiode en fonction e, n, B, À et de l'intensité /0 émise par la diode laser. B. 11:14 Étudier le comportement de l'intensité reçue /((}) en fonction de l' angle L'angle (} n'est que le mesurande secondaire d'un mesurande primaire non précisé lCl. Le capteur est conçu (butée mécanique) pour que l'angle (} ne puisse dépasser la valeur à laquelle correspond le premier minimum de l'intensité. Le chemin géométrique de la diode laser à la photodiode est = 1 ,2 cm. La diode laser émet une puissance = 3 mW en continu de façon supposée uni­ forme dans la section du faisceau. Cette section est supposée circulaire de diamètre = 50 µm en sortie de la diode. La divergence du faisceau est d = 1 mrad et la longueur de cohérence temporelle = 1 0 µm . La surface utile de réception de la photodiode supposée circulaire est de diamètre = 60 µm et sa sensibilité S P = 0,85 A.W à la longueur d'onde de la diode laser utilisée. Bmax "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u l Pd 0d 0p le -l 11:1:1 Quelle limite théorique la diode laser impose-t-elle sur la valeur de Il:!#) Calculer la puissance maximale Pp,max1 Bmax ? reçue par la photodiode et le courant correspondant fourni. Pour cela, on fera 'hypothèse que 1' absorption et la ré­ flexion par les éléments tels que les miroirs et les lames sont négligeables. imax 272 Problème 1 8 11:111] L'électronique de traitement du courant de la photodiode permet une réso­ lution de imax/50. Calculer la résolution angulaire ()max/2. /1() du système au voisinage de 11:111 Comment peut-on améliorer la résolution d'un tel capteur ? Corrigé détaillé Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >­ a. 0 u c::l c0 c c .r2 ü 2o.. ::l 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ 273 19 P RO B L È M E : Ét u d e d ' u n e t h e r m i sta n ce e n u t i l i s at i o n bo l o m é t r i q u e po u r l a d é te r m i n at i o n à d i sta n ce d e l a te m pé ratu re d ' u n co r p s Dans une utilisation bolométrique, une thermistance permet de déterminer la puis­ sance radiative émise par une cible et d'en déduire sa température. La mesure est évidemment réalisée sans contact. Bien que l'invention du bolomètre date de 1 878, son principe reste très actuel. Il permet de réaliser, comme ici, un pyromètre à poste fixe et est aussi utilisé dans le développement des nouvelles caméras thermiques (ca­ méras bolométriques ou caméras thermiques non refroidies) où chacun des pixels de l'imageur est en fait un microbolomètre de principe identique à celui décrit dans ce problème. Énoncé "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N Dans ce problème, on notera T une température exprimée en Kelvin et t cette même température exprimée en degré Celsius. On considère une thermistance dont la résistance est donnée par : R(T) ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u = RoexpB [ _!_ �i T - To ( 1 9. 1 ) B est une constante positive, T la température absolue et T0 une température de réfé­ rence. On rappelle qu' à la température de t = 0 °C correspond la température absolue T = 273 , 15 K. Les seules caractéristiques données par le constructeur sont R(T 1 ) = 5 000 à t 1 = 25 ° C et R(T2 ) = 4 135 à t2 = 30 ° C. n n ii#li Calculer la valeur de B, en déduire le type (CTN ou CTP) de la thermistance. ii#f.j Établir une expression de R(T) en fonction de R(T1 ), B, T et T1 , puis calculer R(T) pour des températures t variant de degré en degré de 25 à 30 °C. 2 74 Problème 1 9 000 n. IPIJ La thermistance est montée en pont simple avec trois résistances fixes de va­ leur R 1 = 5 Le pont est alimenté par une source de courant continu parfaite lg = 2 mA (voir figure 19. 1 ). Déterminer la tension de mesure Vmes puis exprimer R(T) en fonction de Vmes , lg et R 1 . V,nes R(T) Fig u re 1 9. l - Montage en pont de la thermistance IPll On place l'ensemble précédent dans une enceinte thermostatée à ta = t1 , soit à 25 °C (figure 19.2). Quelle devrait être la tension de mesure si on effectuait un raisonnement trop simpliste ? RI Ig R(T) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u V,nes 0 � Fig u re 1 9.2 - Enceinte thermostatée "' " " '" IPJ1 Le montage étant celui de la figure 19.2, on mesure une tension de déséqui­ ""' " = ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ libre du pont Vmes = - 1 5 mV. Conclure quant à la température de la thermistance . Calculer la résistance de la thermistance pour cette tension de déséquilibre et en dé­ duire sa température t en °C et son auto-échauffement !!lta = t - ta. IQd Soient P la puissance dissipée par effet Joule par la thermistance, 1 (en W · K- ) son coefficient d'échange thermique avec 1'enceinte, M (en kg) sa masse et C (en · kg- 1 K- 1 ) sa chaleur massique. Établir l'équation différentielle du bi­ lan thermique de la thermistance. En déduire en régime permanent la relation reliant 1 J Ka • 275 19 • Étude d'une thermistance en utilisation bolométrique ... la puissance dissipée par effet Joule par la thermistance à son coefficient d'échange thermique avec l'enceinte et à son auto-échauffement b.. Ta . 1 1PH En revenant au circuit électrique, établir l'expression de la puissance P dissi­ pée par effet Joule en fonction de R(T), Ri et lg et la calculer pour la valeur ta de la température de l'enceinte. = 25 °C l@!:I En déduire la valeur du coefficient d'échange thermique Ka . IPIJ En reprenant les résultats des questions précédentes, calculer pour des tempé­ ratures t de la thermistance variant par pas de 1 °C de 25 à 30 °C, la puissance P1(t) qu'elle dissipe par effet Joule et son auto-échauffement b..ta . Montrer que ces derniers sont pratiquement constants. Pour la suite on les considérera constants. On considère maintenant une utilisation du système en bolomètre. Une fenêtre est pratiquée dans l'enceinte pour y loger une optique qui permet à un rayonnement ex­ térieur d'atteindre la thermistance et d'y être en partie absorbé (voir figure 19.3). V:nes Figure 1 9.3 - Principe d u bolomètre "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u On suppose que ces modifications n'entraînent pas d'évolutions des caractéristiques du système précédent. ii#llt) Soit <Pa la puissance du rayonnement absorbée par la thermistance. Écrire l'équation différentielle du bilan thermique de la thermistance en fonction de Ka , b.. Ta, T, Ta , </Ja , M et C. En déduire en régime permanent la relation reliant l'échauf­ fement total b.. T de la thermistance à son auto-échauffement et à la puissance <Pa absorbée. Le système est placé en regard d' une paroi dont il aura en charge la mesure de la température et qui pour simplifier est considérée comme un corps noir. La paroi est portée à une température tcn = 700 °C. La distance à la paroi est suffisante pour ne pas perturber entre autre l'enceinte thermostatée tout en laissant suffisamment de rayonnement atteindre la thermistance. 2 76 Problème 1 9 {en R, Paroi � .. .. Ili .. V,nes 1 R(T) / © RI Ig R, Figure 1 9.4 - Principe de la mesure La pmssance <Pa absorbée par la thermistance provoque une déviation du pont Vmes = 250 mV. - 11#111 En déduire la valeur de la résistance de la thermistance, son échauffement !1t et la valeur de la puissance absorbée <Pa · ll#JtJ La paroi est maintenant à une température t�n inconnue. La puissance absor­ � bée </> par la thermistance provoque une nouvelle déviation du pont v:nes = - 1 OO mV. En déduire la valeur de la résistance de la thermistance, son échauffement 11t' et la puissance absorbée cp� . 11#111 En déduire la température inconnue t�n · "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: Corrigé détaillé ;c:; "O c::l "'" '"·C" :;0"' c 0c c .r2 ü::l "O 2o.. Com plément en ligne Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ 277 20 P RO B L È M E : P i n ce a m pè re m ét r i q u e AC- D C Les pinces ampèremétriques et les capteurs de courant à poste fixe pour circuits im­ primés fonctionnent selon le même principe. Ils permettent tous deux la mesure du courant circulant dans une portion rectiligne de conducteur. La différence essentielle entre ces deux types de capteurs réside dans le fait que la pince peut s'ouvrir pour venir entourer le conducteur alors que ce dernier doit être enfilé au travers du capteur à poste fixe. S ' il ne s'agit que de mesurer des courants alternatifs, une technique de transfor­ mateur de courant suffit. Le secondaire est bobiné sur un anneau de matériau ferro­ magnétique entourant le conducteur parcouru par le courant à mesurer qui constitue le primaire du transformateur. Le courant dans le secondaire est alors à l'image du courant dans le conducteur primaire. Lorsque l'on cherche à mesurer un courant continu ou lentement variable, cette technique ne peut plus convenir. On utilise le même principe de base et on remplace le bobinage secondaire par une sonde à effet Hall insérée dans le matériau ferroma­ gnétique. Ce problème présente une étude simplifiée des capteurs à sonde à effet Hall. Deux types de montage dit en boucle ouverte et en boucle fermée sont étudiés. Le montage en boucle fermée encore appelé montage à flux nul, en annulant le champ dans l'an­ neau ferromagnétique, permet de limiter les courants de Foucault et d'augmenter de façon importante la bande passante du système de mesure. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u 2 78 Problème 20 Énoncé 1. Pri n c i pe d u fo nct i o n n e m e n t en bou c l e ouve rte On considère un anneau de matériau ferromagnétique doux (proportionnalité des champs d'induction et d'excitation magnétiques) de perméabilité relative µr, de rayon moyen r et pouvant s'ouvrir, constituant ainsi une pince pouvant entourer un conduc­ teur parcouru par un courant l (voir figures 20. 1 et 20.2). Une petite cavité dans le matériau ferromagnétique permet d'y insérer une sonde à effet Hall. Figure 20.1 - Anneau ferromagnétique et conducteur du courant à mesurer Matériau ferromagnétique doux "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u Fibre moyenne ..: � "O c::::l '-' '-' � �0 :; "' c: 0c: c: .S: ü :::l "O 12 o. 2 B:::l rS -0 0c: :::l a @ Poignées Poignées Conducteur Figure 20.2 - Schéma de principe de la pince ampèremétrique 2 79 20 • Pince ampèremétrique AC-OC La sonde à effet Hall utilisée est une sonde Honeywell SS94Al dont les caractéris­ tiques sont les suivantes : SS94Al Sensor Tableau 20. 1 Caractéristiques de la sonde linéaire à effet Hall - (d'après documentation Honeywell) Mean Feature Gen. purpose Supply Voltage Vs (VDC) 6.6 to 1 2. 6 Supply Current ls (mA) 1 3 typ. 30 max. Response Ti me 3 typ. Output Current /0 (mA) Ts 1 max. (µs) Range (gauss) -500 to +500 Sensitivity S, (mV/gauss@ 25 °C) 5.0 ± 0.1 Linearity (% span) -0.8 typ. - 1 . 5 max. Vaur (V@V, = 8 V , O ga uss, and 2 5 ° C) 4.00 ± 0.04 Temperature Error (ail o/os reference 25 °C va l ue) N u l l {%/°C) ±0.02 Gain (%/°C) ±0.02 La sonde à effet Hall est insérée dans le matériau ferromagnétique créant un entrefer de largeur faible d (voir figure 20.3). 1 "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u \ r Fig u re 20.3 Implantation de la sonde à effet Hall - t;.{111 En considérant le fil comme infini, établir à partir du théorème d' Ampère l'ex­ � pression de la circulation du champ d' excitation magnétique H sur la fibre moyenne � � du circuit magnétique, soit en = r. On notera respectivement Hair et Hferro les valeurs de ce champ dans l'entrefer et dans le matériau magnétique. p t�llfl Dans l'hypothèse où 1' entrefer est faible et les lignes parfaitement guidées (champ purement orthoradial), déduire du résultat précédent l'expression de l' ampli­ tude B du champ d'induction magnétique en = r en fonction de µo, µn !, r et d. p t1111 L'intensité maximale du courant à laquelle on limite l'utilisation de la pince .. est Imax = l OO A. On admet qu' à l'induction correspondant à ce courant, on reste dans la partie linéaire de la caractéristique B(H) et donc que µr est une constante. 280 Problème 20 Donner, en utilisant les caractéristiques de la sonde, la valeur maximale Brnax du champ d'induction auquel on peut la soumettre puis calculer la valeur minimale rrnin de r correspondante. On donne µo = 4n . 10-7 H.m- 1 , µr = 700, d = 2 mm et on rappelle que l'unité légale (S.I.) de l'induction, le tesla, vaut 104 gauss. t�llll On considère que c'est la valeur rrnin de r qui est utilisée et que la valeur moyenne <B> du champ d'induction sur la sonde de Hall est égale à sa valeur en = rmin· La température de la sonde est de 25°C et celle-ci est alimentée sous si le capteur est conditionné comme sur la = 8 V. Déterminer l'excursion de figure 20.4. pVs Vmes SS94Al Fig u re 20.4 - Conditionnement mes l'1Vmes!1'11. ôl ôVmes Vmes Pi•J1 Donner en mV/A, la sensibilité de la mesure S t.•llld Déterminer l'écart à la linéarité = de et l'erreur sur une mesure du courant I circulant dans le conducteur. t.:.014 On s'intéresse maintenant "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ ainsi introduite à la bande passante de la pince ampèremétrique réalisée. On suppose que l'évolution de la perméabilité relative du matériau magné­ tique peut être approchée par un modèle passe-bas du premier ordre, de fréquence de = 5 kHz. coupure La réponse de la sonde à effet Hall peut aussi être considérée comme étant du premier ordre. On suppose que le temps de réponse donné dans le tableau 20. 1 , est le temps correspondant à 5 % si bien que 3r où est le temps caractéristique. Calculer de la sonde. la fréquence de coupure L'amplificateur opérationnel utilisé possède une fonction de transfert en boucle ou­ verte H(p) = A/( l + avec A = 105 et = 15 ,92 ms. Déterminer la fréquence de coupure de l'amplificateur tel qu'il est utilisé dans le montage de condi­ tionnement. Évaluer l'ordre de grandeur de la fréquence de coupure du système de mesure. Lequel des trois éléments constitutifs conditionne cette valeur ? fc,ferro T s fc,s T o ) a pP fc,ampli � T T fc 281 20 • Pince ampèremétrique AC-OC tro!:I Les courants de Foucault produits dans le matériau magnétique échauffent ce .. dernier. Par conduction et rayonnement, une certaine quantité de chaleur est trans­ mise à la sonde à effet Hall provoquant une augmentation de sa température et donc une variation de la sensibilité de la mesure. Le problème est d'autant plus gênant que la puissance dissipée par les courants de Foucault est, pour un champ variant sinusoïdalement dans le temps, proportionnelle au carré de 1' amplitude du champ magnétique et au carré de sa fréquence, caractéristiques dépendant évidemment du courant à mesurer. On introduit donc par cet effet une non-linéarité supplémentaire. Evaluer Vmes pour une augmentation de température 11T = l 0 °C par rapport à la température de référence de 25 °C et pour le courant Imax = 100 A. En déduire la va­ riation de tension ôVmes créée par la variation de température 11T et l'erreur ôl ainsi introduite sur la mesure du courant : ôVmes = VmesU = l OO A, T = 25 + 1 0 °C) VmesU = l OOA, T = 25 °C) - I l . P r i n c i pe d u fo nctio n ne m e n t en bo ucle fe rmée V'mes !' Vs "'O 0 c ::J 0 (V) .--1 0 N SS94A l @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u R v- V.-e1 = 4V R vuut R R v;nes Fig u re 20.5 - Fonctionnement en boucle fermée ou montage à flux nul Pour pallier les problèmes liés au matériau magnétique (bande passante, échauffe­ ment par courants de Foucault, etc.) on se propose de modifier le système selon le schéma de la figure 20.5. t;.{1@ Expliquer le fonctionnement du montage à flux nul. 282 Problème 20 trollt) Estimer le nombre N de spires parcourues par le courant !' afin que ce der­ .. /�ax nier ne dépasse pas = 100 mA. On fera l'hypothèse que le matériau ferromagné­ tique est de section carrée a2 et que les spires sont bobinées serrées sur ce dernier. t.:.(1111 Préciser les avantages du montage à flux nul. Corrigé détaillé 1. Pri n c i pe d u fo nct i o n n e m e n t en bou c l e ouve rte t.:.(111 On utilise le système de coordonnées cylindriques de la figure 20. 1 . Le fil pouvant être considéré comme infini, il y a invariance du problème par translation du fil selon l' axe z et par rotation autour de cet axe. Le module H de l'excitation magnétique ne peut donc dépendre que de la variable p. � L'excitation magnétique H est perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution de courant. Soit le point M(p,<p,z) de l'espace où l'on calcule le champ. Le plan passant par ce point et contenant le fil est plan de symétrie de la distribution de courant. Le champ d'excitation magnétique est donc orthoradial et au total on a � H = H(p)�e cp · � On applique le théorème d' Ampère en calculant la circulation de H sur la fibre moyenne r du circuit magnétique. Il vient : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ( � � (27r Jr H · d l Jo H(r)-J � ""' " "' " " '" = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ cp • rdcp-Jcp = Jo rH(r)d<p = I L'entrefer d étant faible, on peut écrire : = ·C0 = (27r Hjerr0 (27rr - d) + Haird = l (20. 1 ) t.:.(1f) Considérons un tube de champ élémentaire de l'induction magnétique de sec­ tion dS . Considérant que l'entrefer est faible et que le champ d'induction magnétique B est purement orthoradial, le tube de champ est alors de section dS constante. � � � Le champ d'induction étant à flux conservatif, le flux élémentaire B dS s'écrit B-Jcp dS-Jcp = BdS et est constant au travers d'une section du tube de champ. On en déduit que l'induction magnétique B est constante sur la fibre moyenne r. · • 283 20 • Pince ampèremétrique AC-OC En utilisant les relations constitutives du matériau ferromagnétique (B(r) = µrµoHferro(r)) et de l'air (B(r) = µoHair(r)) dans le résultat (20. 1 ), il vient : B(r) B(r) (2nr - d) + - d µrµo µo Ce qui s'écrit encore : B(r) = = l µoµrl 2nr + d (µr - l) (20.2) t;.{111 La pince étant limitée à la mesure d'un courant maximal Imax l OO A et la sonde à effet Hall ayant une étendue de mesure de ±Bmax = ±500 gauss soit ±500. 10-4 T, on obtient de (20.2) la valeur minimale rmin du rayon de la fibre moyenne du matériau magnétique : [ -- ( )] 1 µr µof rmin = - d 1 - - = 5 ,75 cm 27f Bmax µr t�Z.11 La sensibilité donnée de la sonde à effet Hall à 25 °C est S s = 5 mV/gauss sous une alimentation Vs = 8 V. La tension au repos (i.e. en champ nul) est Vau1(B = O T,T = 25 °C) = 4 V. Au maximum, on a donc Vaut = Vout(B = O T, T = 25 °C) ± S s (T = 25 °C) · B m x , le signe ± tenant pour les deux sens possibles du courant dans le conducteur. L' excur­ sion de Vaut est donc de (4 ± 2,5) V. Le montage de la figure 20.4 étant un simple montage suiveur, on a : a Vmes = Vaut E [ 1 ,5; 6,5] t.t.I1Jj La sensibilité S mes de la mesure est donnée par : "'O 0 c ::J 0 (V) .... 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u �Vmes �Vmes �Vaut �B � Vaut �B = = = S s �B �! � Vaut � �/ �B �! �! Le champ d' induction étant proportionnel au courant I à mesurer, on peut calculer la sensibilité en remplaçant �B/�l dans l'expression précédente par Bmax/lmax· 11 vient S mes = alors : S mes . = �Vmes �/ = Ss Bm -= lmax ax 5 mV/gauss · 500 gauss = 25 mV/A 100 A , t.t.I•ld L'erreur de linéarité typique donnée dans le tableau 20. 1 est de -0 8 %. Ceci induit un écart maximum de la tension de sortie Vmes par rapport à la linéarité de : ôVmes = -0 , 8 % · (6,5 - 1 , 5) = -40 mV L'erreur ôl ainsi introduite sur une mesure du courant I circulant dans le conducteur est donc de ôl = ôVmes/S mes = - 1 ,6 A. 284 Problème 20 t.:.uH Pour évaluer l'ordre de grandeur de la fréquence de coupure fc du système de mesure, on s'intéresse au comportement fréquentiel des trois éléments constitutifs. La perméabilité relative du matériau magnétique pouvant être approchée par un mo­ = la fonction dèle passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure de transfert du circuit magnétique est obtenue à partir du résultat fc,ferra 5 kHz, (20.2) : µo 1 + TferroP B(p) /(p) 2rcr + d (µr(P) - 1) (20.3) (2rcr d + µrd) ( 1 + 2rcr2rcrd +dµrd TferroP) Avec Tferro l/(2rcfc,ferro ) 31,83 µs, (20. 3 ) conduit à la constante de temps : Tf, erro 2rcr2rcrd-+dµrd Tferro 6,50 µs La fréquence de coupure correspondante est donc J;,1erro 24, 5 kHz. La sonde à effet Hall a une réponse de type premier ordre de constante de temps donc de fréquence de coupure fc, s donnés par : T = Ts/3 = 1 µs et fc,s = 159,2kHz Sa fonction de transfert s'écrit : Vout(P) B(p) 1 + TsP L'amplificateur opérationnel utilisé possède une fonction de transfert en boucle ou­ verte H(p) = A/( l + TaopP). Le montage étant un suiveur, on a (V0w - Vmes) · A/(l + TaopP) Vmes soit : Vmes (P) ( A ) ( 1aop ) Vour(P) 1 +A l + 1T+A P La fréquence de coupure fc,ampli de l' amplificateur est donc donnée par : fc,ampli = 2TCl +A Taop = 1 MHz Parmi les trois éléments constitutifs, c'est le circuit magnétique qui possède la bande passante la plus faible. La fonction de transfert VmesCP)/l(p) du système de me­ sure est donc principalement conditionnée par la réponse du circuit magnétique. L'ordre de grandeur de la fréquence de coupure fc du système de mesure est donc de J;,ferro = 24, 5 kHz. - - = - = = - = = r = "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ = 285 20 • Pince ampèremétrique AC-OC t.J1l:I En utilisant les données du tableau 20. 1 et les résultats précédents, il vient : VmesU = l OO A , T = 25 °C) = 4 V + 500 gauss · 5 mV/gauss = 6,5 V VmesU = l OO A, T = 25 + l 0 ° C) = 4 V · ( 1 + 0,02 %/° C · 10 ° C) + 500 gauss · ( 1 + 0,02 %/° C · 10 ° C) · 5 mV/gauss = 6,513 V L'erreur introduite par 1' augmentation de la température de la sonde à effet Hall est 13 mV. Ceci correspond à une erreur sur le courant mesuré donnée donc ôVmes par : 1 3 mV ôVmes = O 52 A ô/ = = ' S mes 25 mV/A I l . P r i n c i pe d u fo nctio n ne m e n t en bo ucle fe rmée t.J1a:J Le générateur de courant est commandé par la tension de mesure Vmes· Consi­ "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u dérons un courant I dans le conducteur. L' amplificateur opérationnel étant monté en soustracteur, le signal Vmes est Vmes = V0w - Vref· Comme Vref = 4 V, Vmes n'est à l'image que des seules variations de Vaut engendrées par le champ d'induction ma­ gnétique. On a soustrait la composante continue de Vaut et Vmes est directement pro­ portionnel au champ d'induction magnétique. Avec un sens du courant tel qu'indiqué sur le schéma de la figure 20.5, le champ d'induction magnétique dans le circuit ma­ gnétique est de la forme B7ip et Vmes est positif. Le transistor NPN de l' alimentation de courant est donc conducteur et le transistor PNP bloqué. Un courant !' proportion­ nel à Vmes donc à I circule dans 1'enroulement bobiné sur le circuit magnétique dans le sens schématisé sur la figure 20.5. Ce courant crée un champ d'induction magné­ tique - B7ip qui s'oppose au champ B7ip créé par le courant I dans le conducteur. Le système en boucle fermée s' équilibre de façon à ce que le champ d' induction et donc le signal de sortie de 1' amplificateur opérationnel soient nuls. t.J18ll) Pour obtenir la valeur du nombre N de spires, il faut tout d'abord déterminer � l'expression du champ d' induction B' créé par /'. Sous les mêmes hypothèses que � pour le calcul de B à savoir un entrefer faible et des lignes de champ parfaitement orthoradiales, le théorème d' Ampère appliqué sur un contour circulaire de rayon p centré sur 1' axe z et passant dans le matériau ferromagnétique donne : Hjerro (27rp - d) + H�ird = NT' De la même façon qu'à la question I.2, on en déduit l'expression du champ d'induc­ tion magnétique : (p) = µoµrNI' B' 2np + d (µ r 1 ) - 286 Problème 20 1 Pour déterminer 'expression du nombre de spires, on utilise le fait que le champ B créé par le courant I est totalement compensé dans le circuit ferromagnétique par le champ B' créé par le courant I'. En particulier pour les valeurs maximales de champ, on écrit BUmax) = Bmax = B' U:Uax ). Ce champ d'induction étant une fonction de on calcule la valeur moyenne (B') de l'induction B' sur la section du matériau ferromagnétique. Celle-ci est donnée par : p, rmin +a/2 a / l+ 2 dp d (B') µoµrNI' z a -a/2 Lrmin -a/2 d(µr - 1 ) 2np µoµrNI' ln d(µr - 1) + 2n (rmin + �2 ) (20.4) 2na d(µr - 1) + 2n (rmin - �) 2,5.10-4 · NI' N est alors déduit de Bmax 500.10-4 T (B'U:Uax )) 5.10-4 NI:Uax • soit N 1000. On remarque que si on avait calculé le champ moyen <B) sur la section du circuit magnétique, on aurait obtenu un résultat similaire à (20.4) : d(µr - 1 ) 2n (rmin + � ) µoµ 2 <B> ,. ln (20. 5 ) a 2na d(µ,. - 1 ) 2n (rmin - 2 ) Compte tenu des valeurs numériques utilisées, on a d(µ,. - 1) 2n (rmin ± a/2). Le développement limité de (20. 5 ) jusqu'au deuxième ordre donne : 1 2 = = = ) [ ----- = = = = = [ l + ) + + > > "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' Ce résultat est à prendre en compte relativement à la valeur de B(rmin) utilisée dans les calculs. L'erreur commise reste faible et l'hypothèse faite au à savoir de confondre la valeur moyenne <B) du champ d'induction sur la sonde de Hall et sa valeur en = rmin est raisonnable, en effet : p 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ 1.4 <B) - B(rmin) B(rmin ) = (- d(µr2nrmin- 1) )2 _617. 10_2 = t:.(1111 La tension de mesure V�es à l'image de /' permet donc d'avoir accès au courant I à mesurer. 287 20 • Pince ampèremétrique AC-OC En régime permanent, le champ total dans le ferromagnétique étant nul, il n'y a plus d'échauffement par courant de Foucault et la limitation de fonctionnement lié au comportement fréquentiel du matériau magnétique est bien moindre. La multiplication du nombre de spires de l'enroulement sur le circuit magnétique permet de contrebalancer 1'effet du courant l par un courant !' relativement faible. Les deux tech niques étudiées dans ce problème de mesure des cou rants AC­ DC offrent chacu n e un certain nom bre d ' avantages et d ' i nconvé n ients. Elles pré­ sentent toutes deux l ' avantage d ' u n e bonne iso lation galvanique mais également l ' i nconvé n ient d ' u n e assez fai b l e i m m u n ité aux champs mag nétiques exte rnes. Figure 20.6 - Capteur de courant (fonctionnement en boucle fermée) à souder sur carte (documentation LEM) Fig u re 20.7 Pince ampèremétrique - (documentation Chauvin-Arnoux) -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N Les capteurs de courants conçus s u r le fonctionnement en boucle ouverte béné­ fic i e nt d ' u n e é l ectro n i q u e s i m pl e et sont donc d ' u n coût peu élevé. Le u r fai b l e consom mation reste principalement l i m itée à celle de la sonde à effet H a l l . Ce­ pendant, ce principe présente l ' i nconvé n i e n t de chauffer le matériau mag nétique par courants de Foucault et donc la mesure présente une s e n s i b i l ité forte ment variable e n fonction de la fréquence d u s i g nal à mesurer. De p l u s , dans le cas de la mesure d'un courant conti n u , i l peut se pro d u i re u n e dé rive liée à l' i n d uction rémanente du matériau magnétique. Les capteurs commerc i a l i sés présentent une bande passante de l ' o rdre de 0 - 50 kHz, u n e e rreur de l i néarité typique de ±0,5 % et u n e précision de l ' ordre de ± 1 %. @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 288 Problème 20 Les capteurs de cou rant conçus s u r le fonctionnement en boucle fermée sont do­ tés d ' u n e é l ectro n i q u e plus complexe et sont donc d ' u n coût p l u s é l evé. Le u r consom mation, d u fait de la présence de la source de courant nécessaire à la contre-réaction, est aussi p l u s é levée. Par p r i n c i pe, puisqu' i l y a annu lation d u champ d ' i n d uction dans le matériau fe rromag nétique, i l n ' y a pas de perte ni d' échauffe m e nt par cou rants de Foucault ni d'ex i stence d ' une i n d uct ion ré­ manente du matériau magnétique. Les capteurs comme rcialisés présentent une bande passante de l ' ordre de 0- 200 kHz, une erreur de l i néarité typique de ±0, 1 % et une précision de l ' ordre de ±5 %. Si le courant à m e s u re r varie suffisamment rapidement dans le te m p s , une autre tech n i q u e peut être e m p l oyée. Cel le-ci uti l i s e la force électromotrice i n d u ite par les variations d u courant pri maire dans un secondaire bobiné s u r un noyau non­ ferromagnétique. L' i n convé n i ent de cette tech nique est que la force é l ectromo­ trice ind u ite au secondaire est à l ' i mage de la dé rivée du courant. Une tech nique pe rmettant de d i s poser d'un s i g nal de m e s u re à l ' i mage d u courant consi ste à utiliser le pri n c i pe de fonctionnement de la cei nture de Rogows k i q u i i ntègre la force é lectromotrice d u secondaire. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: > a. 0 u � '-' � :; 0 "' c: 0 c: c: .S: ü eo. :::1 2 B :::1 rS "8c: :::1 a @ 289 21 P RO B L È M E : Capte u r a n g u l a i re ro b u ste @ La volonté d'améliorer la commande des actionneurs des engins de chantier afin d'en obtenir une cinématique plus souple et plus précise nécessite, entre autres, la mise au point de capteurs angulaires particulièrement robustes. Ces capteurs destinés à tra­ vailler dans une atmosphère sévère (climat, poussière, humidité, etc.) doivent pouvoir fournir une mesure en temps réel de 1' angle d'une articulation et ceci en supportant les vibrations et les chocs. Les grandeurs d' influence (atmosphère, chocs, vibrations, etc.) sont telles que les solutions industrielles existantes sont peu adaptées, principa­ lement en raison de la liaison mécanique des deux parties mobiles de l'articulation. Ce problème traite d'une partie de l'étude de faisabilité d'un capteur angulaire de type inductif destiné à être utilisé sur un engin de chantier. Énoncé 1 . Cod e u r a n g u la i re i n d u ctif Soit un codeur angulaire inductif destiné à la mesure de l'angle articulaire e de deux éléments droits d'un engin de chantier que sont, par exemple, le balancier et la flèche d'une pelleteuse (voir figures 2 1 . 1 et 2 1 .2) Balancier � -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Figure 2 1 . 1 - Vue latérale d'une articulation de pelleteuse Le schéma de principe de cette articulation et les notations utilisées sont présentées figure 2 1 .2. @ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l' avant-propos de l'ouvrage) 290 Problème 2 1 z Flèche amortisseurs --Axe de rotation Fig u re 2 1 .2 Schéma de l'articulation - Le capteur angulaire doit être particulièrement robuste. Il doit être en mesure de four­ nir en temps réel la valeur de 1' angle articulaire () tout en présentant une sensibilité des plus faibles aux grandeurs d'influence. Celles-ci sont principalement les mou­ vements possibles (vibrations et chocs) dans les directions x, y et z de la flèche par rapport au balancier, mouvements rendus possibles par la conception Uoints amortis­ seurs) et l' usure dans le temps des pièces mécaniques. Le capteur doit être de plus insensible aux autres grandeurs d'influence que sont les mouvements et accélérations de l'ensemble de l'articulation fixé (déplacement de la pelleteuse), la température, l'humidité, la poussière, le rayonnement infrarouge... L'étendue de mesure est limitée [ -40° ,40°]. La solution étudiée est celle d'un potentiomètre inductif bobinage multiple. Deux pièces cylindriques coaxiales sans contact, l' une solidaire de la flèche (le stator induit) l'autre du balancier (le rotor inducteur) portent sur leur périphérie quatre groupes de bobinage constituant quatre capteurs élémentaires. Chaque capteur élémentaire est constitué d'un bobinage ins­ tallé sur le rotor (solidaire du balancier) et en regard, de quatre bobinages installés sur le stator (solidaire de la flèche) comme le présente la figure Le sens de l'enrou­ lement est identique pour les différentes bobines. Aucune liaison mécanique n'existe entre le rotor et le stator. Les bobines de l'inducteur sont montées en série et alimentées par une source de courant sinusoïdal 19 la fréquence fg = 1 OO kHz. à (V) r-l 0 N :.= � "O c:: ::l © ]8 .µ = 21.3. "'O 0 c :J 0 ..c Ol ï:::: >a. 0 u à() à E. M. rJ <.) à z ::l "' c:: 0 c:: (} c:: .S: u ::l "O §. 2 B ::l '-----' � -0 0 c:: ::l Bobinage stator induit : flèche � 0 @ \ ! � Bobinage rotor i nducteur : balancier Figure 2 1 .3 - Capteur élémentaire 291 21 • Capteur angulaire robuste Les bobines de l' induit sont numérotées de b 1 à b8 et de h 1 à h 8 selon les schémas des figures 2 1 .4 et 2 1 .5. z Rotor y X Stator Figure 2 1 .4 - Principe du système Fig u re 2 1 .5 - N u mérotation des bobines (pour les bobines indicées b sur la fig u re 2 1 .4) Lorsque le système est dans sa position de repos, chaque bobine rotor étant centrée par rapport aux quatre bobines stator qui lui font face et les axes rotor et stator étant confondus, chaque bobine stator est le siège d'un force électromotrice eo. t.jli On considère un déplacement du rotor par rapport au stator. Ce déplacement peut être constitué d'une rotation d'angle e (que l'on cherche à mesurer), d'un glis­ sement de l' axe du rotor par rapport à celui du stator selon zÛz ou d'un déplacement latéral de l'axe rotor selon xÛx + yÛy (grandeurs d'influence à éliminer). Ûx, Ûy et Ûz sont les vecteurs unitaires des trois axes. Donner au premier ordre, en considérant de faibles déplacements à partir de la position de repos, les variations tiei des forces électromotrices induites dans les bobines du stator. t.jf:.J Déterminer quelle association série des bobines permet d'obtenir une varia­ -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u tion ti Vmes de la tension de mesure Vmes aux bornes de l'ensemble qui soit, au premier ordre, indépendante de x, y et z, et présente la meilleure sensibilité par rapport à e. L'amplitude Vmes du signal de mesure évolue dans le temps en fonction de l' évolution de l'angle e à déterminer et, de façon résiduelle, en fonction des déplacements para­ sites selon les directions x, y et z. On suppose que le spectre utile de VmesCt), fonction implicite du temps, est l'intervalle [O ; fu ]. Une résistance R9 est placée en sene avec le capteur et on note v9 = R9!9 cos w9t la tension aux bornes de cette résistance. Cette tension ainsi que la tension de mesure servent d'entrée à un multiplicateur analogique dont le signal de sortie est v(t) = v9(t)Vmes(t)/E (voir figure 2 1 .6). 292 Problème 2 1 V E (t) (t) (t) = Vmes . Vg E z Filtre Figure 2 1 .6 - Circuit de conditionnement t.jll Pour une fréquence f du spectre utile de VmesCt) , donner l'expression du signal de sortie v1(t) du premier étage du conditionneur. En généralisant à tout le spectre utile du signal de mesure, en déduire le spectre du signal v(t). On considérera que le spectre de v(t) ne contient que des composantes de fréquences très inférieures à 2wg . t.jll Le filtre de la figure 2 1 .6 est un filtre passe-bas à cellule de Rauch comme schématisé sur la figure 2 1 .7. Déterminer de façon générale la fonction de transfert H( p) du filtre à cellule de Rauch. On explicitera celle-ci en fonction des admittances = des branches. Yi l/Zi i4 il V "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " "' " " '" = ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ z1 4 i2 Z3 � Z2 Figure 2 1 .7 - Filtre à cellule de Rauch t..111 Pour ce filtre (figure 2 1 .7), on pose Y1 Y3 Y4 I/R R = = = avec = 1 kQ, Cp et Y2 kCp. Par identification de la fonction de transfert à celle d'un filtre passe-bas du second ordre, donner 1' expression du facteur d'amortissement Ç et la pulsation propre wo . Y5 = = t.jlêJ On fixe le facteur d'amortissement à Ç 1 V2. / En déduire la valeur de k. Montrer que dans ce cas le gain G(w) du filtre s'écrit simplement et que la pulsation de coupure Wc à -3 dB est égale à la pulsation propre wo . = 293 21 • Capteur angulaire robuste t.j*4 De façon à ne conserver dans le spectre de v(t) que le spectre utile de VmesCt), on fixe G(2wg) = Go - 80 dB. En déduire la valeur à donner au condensateur C. t.jl:I Donner alors l'expression du signal Vs(t). t..IM Un prototype est réalisé et on relève la tension de mesure Vmes(B) en fonction de l'angle B. Les résultats de cet étalonnage sont reportés dans le tableau 2 1 . 1 . - Tableau 2 1 . 1 Étalonnage (} ( ° ) -40 - 1 05,74 Vmes (mV) en +10 +41 ,56 Vmes (mV) -30 -94,08 +20 +72, 1 6 -20 -70,84 -10 -40,08 +30 +92,38 -0 -1,1 5 +40 +1 05,63 Évaluer la sensibilité de la mesure et l'erreur de linéarité. On donne Rlg/2E = 2. On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés, d'équation y = ax + b, passant par N couples de points de mesure (xi ,yi) sont donnés par : N N N N L: xiyi - L: xi L: Yi a= "'O 0 c ::J 0 .... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u ------N t. xf - (t. xJ i=l i=l i=l (21 . 1) t.jlltl La non-linéarité étant importante, on se propose de réduire celle-ci de façon à obtenir dans l 'idéal un signal de la forme KB. Montrer que l'inversion de la relation vs(B) peut permettre de linéariser la mesure pour peu que l'on puisse réaliser un signal qui soit un polynôme dont la variable est la tension Vs · t.jlll Une régression polynomiale de la relation B(vs) montre qu'avec une bonne précision on peut écrire pour vs exprimé en volts et B en degrés : B = 1 ,504. 104 · v� + 3 1 ,2 1 5 · v; + 202 , 823 · Vs - 0, 1470 (21 .2) À partir d'une approximation de la relation B(vs), donner les valeurs des résistances R4 et Rs à utiliser dans le montage de la figure 2 1 .8 de façon à linéariser le signal de mesure et de générer un signal v� = KB avec K = 1 00 mV/°. On considère les composants idéaux et on donne Vref = 1 00 mV, R1 = R3 = 1 k.Q et R1 = 1 00 kQ. 294 Problème 2 1 vs' Fig u re 2 1 .8 - Circuit de conditionnement du signal Corrigé détaillé Com plément en l i g ne Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674 "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ 295 22 P RO B L È M E : A n é m o m è t re à fi l c h a u d Parmi les différentes techniques d' anémométrie, une méthode relativement fiable consiste à plonger dans l'écoulement du fluide un fil fin métallique (généralement pour les gaz) ou un film métallique (généralement pour les liquides) pouvant présen­ ter une géométrie plus ou moins complexe (fil droit, serpentin ...) Le capteur résistif constitué par cet élément métallique est chauffé par effet Joule. Si sa température est supérieure à la température du fluide, le capteur perd de la chaleur au profit du fluide. L'échange thermique entre le capteur et le fluide se fait principalement par convection et est fonction des propriétés du fluide, de sa vitesse et de l'écart de température entre le fluide et le capteur. Le capteur acquiert alors une température donc une valeur de sa résistance fonction de la vitesse du fluide. Une des problématiques de cette méthode de mesure est liée à la température du fluide qui doit être parfaitement connue et stable. Toute erreur sur la mesure de la température du fluide entraîne une erreur importante sur la détermination de la vitesse du fluide. Ce problème étudie dans un premier temps une technique simple de mesure de la vitesse du fluide. Le conditionnement électronique du capteur maintient sa tempéra­ ture constante. Ce montage présente l'inconvénient de posséder une grande sensibilité aux variations ou erreurs de mesure de la température du fluide. Dans un second temps, une technique de mesure permettant de s'affranchir de la mesure de la température du fluide est présentée. Cette dernière technique est inspirée d'un article paru dans IEEE Transactions on Instrumentation and Measurements, vol. 52, n° 5, pp. 1 554- 1 558, October 2003. c :J 0 M 0 .... ....... � Ol ï::: >0. 0 u L'anémomètre à fil chaud étudié ici est constitué d'un fil métallique résistif de résis­ tance fonction de sa température Tc, dans lequel circule un courant I. La puissance dissipée par effet Joule fournit de la chaleur au fil qui en rétrocède une certaine quan­ tité au fluide à la température Tf (Tf < Tc) circulant à la vitesse v. La chaleur cédée au fluide par le fil est fonction des températures du fluide et du fil et de la vitesse du fluide. Le fil constitue alors un capteur de mesure de la vitesse du fluide dans lequel il est plongé. Re, 296 Problème 22 1. Mo ntage à te m pérat u re con stante Un montage classique consiste à condi­ tionner le capteur selon le montage de la figure 22. 1 afin de maintenir constante sa température. À tempéra­ ture du fi. uide donnée, si la vitesse du fluide augmente, la température du fil et donc sa résistance ont tendance à di­ minuer. La contre-réaction du montage provoque une augmentation du courant circulant dans le fil et donc de l'effet Joule de façon à ramener la tempéra­ ture du capteur à sa valeur initiale. V Fig u re 22. 1 - Conditionnement On suppose que l'amplificateur opérationnel utilisé possède une fonction de transfert en boucle ouverte de la forme H(p) = A/(1 + rp) et on pose k = Ri/(R1 + R2 ). tljl a) Exprimer les entrées e+ et e- de l' amplificateur en fonction de k, V et Ve puis établir la relation liant V et Ve dans le domaine de Laplace en fonction de T, p, k et A. b) En déduire dans le domaine temporel, l'expression de l'équation différentielle reliant V et Ve. Donner l 'expression de Ve en régime permanent. tJ..f.<I À partir de la figure 22. 1 , établir la relation donnant Re en fonction de Ru, V et Ve puis en utilisant le résultat précédent exprimer Re en fonction de Ru, k et A. (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u approximation Re = Ro(l + o:Te) où Ro représente la résistance du capteur à 0 °C. En utilisant la question précédente, exprimer la température Tc du capteur en fonction de Ru, Ro, a, V et Ve puis en fonc­ tion des constantes Ru, Ro, a, k et A. Conclure quant à ces deux derniers résultats. tj..11 L a résistance du capteur peut s'écrire en 1 "'O 0 c :J 0 � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ ère tJ..ttl Soit P la puissance dissipée par effet Joule par le capteur, calculer P en fonc­ tion de Ru, V et Ve. tJ41 Soit C = me la capacité calorifique du capteur (où m est sa masse et c sa ca­ pacité calorifique massique) et S la surface latérale du fil dont il est constitué. Soient Tf la température du fluide et v sa vitesse. On suppose que la chaleur fournie par le capteur au fluide pendant l'intervalle de temps élémentaire dt peut se mettre en première approximation sous la forme S (a + b Yu)(Tc - Tf )dt. Cette expression dite 297 22 • Anémomètre à fil chaud formule de King n'est valable que pour un domaine précis de vitesse, de température et de viscosité du fluide qui ne sera pas précisé ici. Établir le bilan thermique du capteur en fonction de P. tlJd On suppose que le régime permanent est atteint. Déterminer l 'expression de la vitesse v du fluide. tlM Plutôt que de calculer la vitesse du fluide à partir des valeurs constantes Tc, Re (voir questions I.2 et 3 et de la mesure de P via celle de Ve (voir question I.4), on suppose que l'on dispose d' une électronique capable de mesurer V et Ve. Cette électronique est à même d'effectuer les calculs nécessaires à la détermination de Tc et de P à partir des mesures de V et Ve et des constantes du problème, R0, Ro et a . En effet, déterminer la température Tc du capteur par le calcul nécessite de connaître parfaitement les valeurs de Ru, Ro, a, k et A ce qui reste délicat pour certaines gran­ deurs notamment pour A. De plus toute variation de la tension de décalage de l'am­ plificateur opérationnel, effet non pris en compte ici, entraînerait une variation de la température du capteur et fausserait donc les résultats. a, b, S , a, Ro et Ru étant des données du problème, quel est l'inconvénient majeur toujours présent lors la détermination de la vitesse v du fluide à partir des mesures de V et Ve ? fil = est un alliage de résistivité l , 15. 10-7 Q m à 0 °C, de rayon r = 20,0 µm et de longueur = 7 ,50 cm. Calculer la valeur de sa résistance Ro à 0 °C. t/j:I Le l p t/jiJ Des mesures sur ce montage pour un fluide à la température T1 = 20 °C donnent V 5, 1 2 V et Ve 2,57 V. Déterminer P, Tc et la résistance Re du cap­ 1 teur. En déduire la vitesse V du fluide. On donne a = 1 ,72. 10-3 0 c- , Ru = 7,52 Q, a = 1 375 W .m-2 • c- 1 et b = 976 W .s 112 • m-512 • 0 c- 1 . = -0 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u = t/jltJ Si on commet une erreur de 1 °C sur la détermination de la température du fluide, quelle erreur relative commet-on sur la détermination de la vitesse à partir des mêmes mesures de V et Ve ? 298 Problème 22 I l . Montage à compen sation de températu re à u n capte u r Pour pallier la difficulté précédente, on rem­ place la résistance Ru par un système commutant à la fréquence f et où la résistance Ru prend alternativement les valeurs Ru1 = ,52 Q et Ru2 = ,32 Q ; le reste du montage restant identique. On suppose comme précé­ demment que les mesures sont toujours ef­ fectuées une fois l'équilibre atteint. On fait de plus l'hypothèse que la fréquence de com­ mutation est suffisante pour considérer que la température du fluide et sa vitesse n'évoluent pas sur une période de commutation. 7 7 Figure 22.2 - Commutation tjjll Donner les expressions des puissances P 1 et P2 respectivement en fonction tjjt.j Donner les expressions des températures Te l et Te2 en fonction de et Ro et a respectivement de Vi , Vcl , Ru1 et V2 , Vc2 , Ru2 · tjjlJ On suppose qu'après chaque commutation les mesures des tensions V1, Ve l , V2 et Vc2 s'effectuent une fois l'équilibre atteint et que l'on dispose d'une unité de calcul capable de stocker ces valeurs et d'effectuer les calculs nécessaires. À partir des bilans thermiques propres à chaque état de commutation, déterminer l'expression de la vitesse v du fluide en fonction de Pi, P2 , Te l et Te2 · Conclure quant à cette mesure. Corrigé détaillé "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = 1. Mo ntage à te m pérat u re con stante a) D'après la figure 22. 1, R1 et R2 constituent un diviseur de la tension V, VRi/(R1 + R2 ) kV. On a directement e - Ve. La fonction de ·C0 si bien que e+ = transfert en boucle ouverte de l' amplificateur opérationnel étant H( p) = A/(l + rp), "' " " '" "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ tjji = = = on obtient à la sortie de ce dernier : V = H( p)(e+ - e-) = A 1 + rp (kV - Ve) Après réarrangement, on obtient l'équation liant, dans le domaine de Laplace, V et Ve, soit : rp V + ( 1 - Ak)V + A Ve = 0 299 22 • Anémomètre à fil chaud b) Dans le domaine temporel, cette expression devient : dVdt -Ak)V +A Ve = (AkAVc = V--­ T- + (1 (22. 1 ) 0 En régime permanent, il vient simplement : 1) Re Ru Ve = VRc/(Rc +Ru). tll':.I Soit et (22.2) réalisent un diviseur de tension de la tension En utilisant (22.2), il vient : V. Re = V Ve-VeRu = A(lAk- -k)1 1 Ru (22.3) + t/M À partir de la loi d'évolution de la résistance du capteur, la température de ce dernier peut se mettre sous la forme : Tc - _!_œ ( ReRo- Ro ) _ Soit, en utilisant (22.3) : + -RoV ) = ( (Ak - A(ll)(Ru-k)+ Ro)1-ARo ) Tc = œRo ( Ru Ro)Vc V - Ve œRo l _ _ (V) 0 N ...... l _ _ œ, (22.4) Ru, R1 R2 A t/Jtl Le calcul de la puissance dissipée par effet Joule par le capteur est immédiat et on obtient en utilisant le résultat (22.3) : @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u + On remarque qu'en régime permanent la résistance du capteur et sa température sont asservies à rester constantes et leurs valeurs ne dépendent que de la valeur de la résistance du capteur au repos (à la température de référence de 0 °C), de son coefficient thermique des autres résistances du pont et du gain en et boucle ouverte de l'amplificateur opérationnel. Ro "'O 0 c ::J 0 ( dt, ôQc t/41 Pendant la durée Vc(VRu- Ve) P = -Rcv; = ---- (22.5) la différence entre 1 'énergie ôQr reçue par le capteur par effet Joule et l 'énergie qu'il rétrocède au fluide est égale à l'énergie ôQa qu'il accumule et qui provoque une augmentation de sa température. On a donc le bilan thermique suivant : = = Pdt - S ôQr - ôQc ôQa 300 (a + dTc b Yu)(Tc - Tj )dt = mcdTc = CdTc Problème 22 Soit encore : = CdTcdt dTc/dt = r:: P - S (a + b vu)(Tc - T1) _ tjJd Le régime permanent atteint, on a (22.6) la vitesse v du fluide, soit : ­ (22.6) O. On peut déduire du résultat (22.7) Dans (22.7), P et Tc sont données par les résultats précédents, soit : 1 (Ru + Ro)Vc - RoV et Tc = -œRo ------ V - Ve v. tjM Les mesures de V et de Ve donnent accès à P et à Tc puis à la vitesse L'in­ convénient de ce type de mesure est qu'elle dépend fortement de la température du fluide T1. On doit donc la mesurer par ailleurs et prendre en compte ses variations éventuelles. tjj:I La résistance Ro à la température de référence d'Ohm macroscopique, soit : Ro @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u =p-sl =pnr2l = 6,860 - tjj:J À partir de ce résultat et de "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N 0 °C est donnée par la loi � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ (22.4) et (22.5), on obtient Tc = 60,6 °C et P = 871 mW. On en déduit immédiatement Re = 7,58.Q. La surface latérale du fil est donnée par S 2nrl 9,42 . l o-61 m2 . La vitesse du fluide s'en déduit à partir de (22. 7 ) et on obtient v = 0,85 m.s- . tjjltJ En reprenant le calcul de la vitesse v à partir du résultat (22.7) avec les mêmes valeurs de V, Ve et par conséquent de P mais avec une température du fluide surestimée de 11.T = 1 ° C, soit T1 11.T = 20 + 1 = 21 ° C, on obtient une vitesse du fluide de 0, 9 6 m.s- L au lieu de 0,85 m.s- L . L'erreur relative commise est donc de 13 %. = = + L'erreur d'estimation de la température du fluide entraîne une forte erreur sur la me­ sure de la vitesse du fluide. Cette erreur est d'autant plus importante que la vitesse du fluide est faible et que sa température est élevée comme le montre la figure 22.3. 301 22 • Anémomètre à fil chaud !:J. v/v 0,2 f--�-�-�-�-�-� v = 1 m/s, Tf = 20 °C 0 v = 10 m/s, Tr = 30 °C v = 1 m/s, Tf = 30 °C -0,2 !:J.T (oC) 0 -1 Fig u re 22.3 - Erreur relative sur la vitesse en fonction de l'erreur de mesure sur la température du fluide I l . Montage à compen sation de températu re à u n capte u r tljll D'après le résultat (22.5), on a immédiatement : "'O 0 c ::J 0 tljtAI De même, d'après le résultat (22.4), il vient : -- (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u ( 1 (Ru1 + Ro)Vcl - Ro V1 Te l _V1 - Vel œRo ) _ et Tc2 - ( 1 (Ru2 + Ro)Vc2 - Ro V2 V2 - Vc2 œRo -- ) t/jiJ À partir des équations du bilan thermique à l'équilibre et en considérant que la vitesse du fluide et sa température restent constantes sur au moins une période de commutation, on a (voir (22.6)) : P1 = S (a + b Yu)(Te l - T1') et P2 = S (a + b Yu)(Tc2 - T1) Par soustraction de deux valeurs consécutives, c'est-à-dire des deux valeurs précé<lentes, il vient : u - 302 [ 1 ( P1 - P2 - as )]2 - bS Te l - Tc2 Problème 22 La mesure est maintenant indépendante de la température Tt du fluide, Pi et Tci = 1 ,2) étant obtenues par calcul à partir des valeurs mesurées et et des données a, Ro et Rui . La mesure reste cependant tributaire d'une bonne connaissance des coefficients et b apparaissant dans la formule de King, coefficients dépendant de la nature du fluide et de celle du capteur. (i Vi Vci a Dans ce p roblème, une hypothèse i m portante a été faite e n ce sens que l ' o n a tou­ jours s u pposé q ue les mesures étaient effectuées une fois l ' é q u i l i b re therm ique attei nt. Il est i m portant, afin de fixer la fréque nce de comm utation des rés i s ­ tances Rv1 et Rv2. d' évaluer la vitesse de la ré ponse therm i q u e d u systè me. Ceci peut être effectué en résolvant s i m u ltanément les deux équations d i fférentielles (22. et (2 2 . 6). À ce titre, les courbes de la figure 2 2 .4 présentent l ' évol ution tempore l l e de la rési stance Re d u capteur et de la tension de sortie V de l' am­ plificate u r opérationnel pour une comm utation de la val e u r Rvi = 7 , 52 n (régime permanent atteint) à la val e u r Rv2 = 7 ,32 Q. Les val e u rs utili sées pour cette s i m u la­ tion sont celles du problème et A = 105 , k = 0,50 1 , C = 3 . 10-8 J.K- 1 et r = 1 ,59 ms. l) Dans ce type de montage à température constante, la réponse est extrê mement rapide, bien plus que dans d ' autres montages possi bles comme par exemple u n montage à cou rant constant d a n s le capteur. À partir de ces courbes, il est clair q u ' u n e comm utation à une fréque nce de quelques k i lohertz peut être envisagée. 7,58 "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u ..: � "O c: :::l '-' '-' � �0 :; "' c: 0 c: c: .S: ü :::l "O 12 o. Re (Q) _ � _ -� - 7,32 - - - - - - - _ _ _ ,___ --t ��-�-��-20 µs 0 5,12 V (V) >--� � � 3,78 ------ ---- - - --------' O 20 µs Figure 22.4 - Évolution temporel le de la résistance Re du capteur et de la tension de sortie V de l'ampl ificateur 2 B :::l rS -0 0 c: :::l a @ 303 22 • Anémomètre à fil chaud Figure 22.5 - Sonde thermo-anémométrique, tête de mesure de la sonde (laissant apparaître le fil chaud et le composant de mesure de la température du fluide) et module de conditionnement et d'affichage (documentation KIMO) -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 304 P RO B L È M E : T h e r m oco u p l e, t h e r m o p i l e et py ro m èt re o pt i q u e @ 23 La température est, après le temps, la deuxième variable physique la plus fréquem­ ment mesurée. Dans un environnement de production industrielle, une surveillance précise des températures permet d' augmenter la qualité du produit et la productivité. Parmi les techniques de mesure, la mesure à distance par pyrométrie n'est pas une invention nouvelle ; elle est employée depuis plusieurs décennies dans l'industrie et la recherche. Les innovations récentes ont permis de réduire les coûts, d'augmenter la fiabilité de la mesure et de miniaturiser les capteurs. Deux principaux types de cap­ teurs se partagent le marché de la mesure de température à distance : les thermopiles, principalement utilisées dans le domaine des pyromètres à poste fixe et portables et les matrices semiconductrices IR ou bolométriques dans le domaine de l'imagerie thermique. Ce problème présente quelques éléments du fonctionnement d'un pyro­ mètre optique à thermopile. Énoncé "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u 1. The rmocouple ..: � Dans ce problème on notera t une température exprimée en degré Celcius et T la même température exprimée en Kelvin. '-' '-' �0 On considère le montage représenté figure 23 . 1 , destiné à une mesure de température :; "' c:0 par thermocouple avec compensation de soudure froide. La fem du thermocouple A c: B utilisé est donnée dans le tableau 23. 1 . Les câbles de prolongation du thermocouple .S: ü "O sont constitués du même métal noté X. On note te la température de la jonction de me­ 12 sure et ta la température ambiante, température de la soudure froide et de 1 'ensemble 2 B :::l de l'électronique. Les amplificateurs opérationnels utilisés sont considérés idéaux. rS "O c::::l � c: :::l o. -00 c::::l a @ @ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l' avant-propos de l'ouvrage) 305 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique +E �(t) AOPI : X e� + -E Fig u re 23. l Schéma de principe de la mesure - Tableau 2 3. l Force électromotrice en fonction de la température - t(°C) 0 10 20 30 40 Et ; u AIB (µV) 1 2 0 3 4 0 1 1 8 1 76 235 59 591 651 7 1 1 770 830 1 1 92 1 252 1 3 1 3 1 373 1434 1 801 1 862 1 924 1 986 2047 2420 2482 2545 2607 2670 5 6 294 354 890 950 1495 1 556 2 1 09 2 1 7 1 2733 2795 7 8 9 413 1010 1617 2233 2858 472 1 071 1 678 2295 2921 532 1131 1 740 2357 2984 tDI Calculer l'expression de la tension de sortie Vo en fonction de la fem de See­ beck du thermocouple et de la tension Ve. "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u tJf:.i Quelle condition doit satisfaire Ve pour que Vo soit proportionnel à E�; ? Exprimer cette condition en fonction du pouvoir thermoélectrique SA/B du thermo­ couple, en supposant E�; linéaire en fonction de Quelle est dans ce cas pour le thermocouple la valeur de sA/B ta . ? Pm Les résistances R 1 et R2 sont indépendantes de la température alors que la R(t), R(t) ta , valeur de la résistance placée à la température ambiante évolue avec la tem­ pérature suivant la loi = Ro ( 1 + Calculer l'expression générale de Ve Comme on peut supposer que « 1, on se contentera d'une expression à l'ordre Calculer cette expression. 1 en de Ve o:Rta (ta ). tHI La tension Ve o:Rta o:Rt). Cta). Cta ) devant être utilisée pour la compensation de soudure froide, déterminer les relations que doivent vérifier R , R et Ro puis ŒR et 306 1 2 SA/B · Problème 2 3 tH1 La résistance R(t) est celle d'une thermistance R' (T) linéarisée au moyen d'une résistance R1 en parallèle. On rappelle que la résistance de la thermistance évolue avec la température absolue T selon : I R (T) = [1 Rréf exp B T 1 Tréf - - l (23 . 1 ) À partir des données du tableau 23.2 donnant les valeurs de la résistance en fonc­ tion de la température, calculer par régression linéaire la valeur du coefficient B. On rappelle qu' à une température dans l'échelle Celsius de 0 °C correspond une tempé­ rature absolue de 273,15 K. Tableau 23.2- Évolution de la résistance de la thermistance (OC) R' (T) t 0 141 29,9 5 1 1 335, 1 35 10 20 40 30 15 25 9 1 52 7437,4 6060,3 5000 41 34,9 3438, 1 2873,8 tJQ Déterminer la valeur de R1 pour linéariser R' (T) autour de la température ta = 25 °C. t..flfi Calculer la valeur Ro et le coefficient thermique ŒR de R(t) en considérant que ce coefficient a une valeur constante égale à celle prise en t = ta. tD:I À partir des résultats précédents, calculer les valeurs des résistances R1 et R2 . On donne R4 = 99R3 et E = 2,5 V. Pm Donner 1'expression de la tension de mesure et calculer la sensibilité de la mesure après la compensation de soudure froide. I l . Thermopile "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ On réalise maintenant une thermopile, capteur du rayonnement infrarouge, constituée d'une association série de plusieurs thermocouples du type précédemment décrit. Le système est réalisé par micro-usinage. Les couples sont réalisés sur une membrane suspendue reliée au bâti par des poutres de grande longueur de façon à minimiser la conduction thermique entre les jonctions de mesure à la température t et les jonctions de référence à la température ta, température du bâti (voir figures 23.2 et 23.3). La membrane recouverte d'un matériau absorbant l'infrarouge est de faible épaisseur, donc de faible capacité calorifique, de façon à ce que l' absorption du rayonnement infrarouge provoque une élévation significative de sa température t. Le bâti, de grande inertie thermique, est à la température ta (indépendante de 1 'évolution de la tempéra­ ture t). La résistance R(t) du circuit de compensation de soudure froide précédemment étudié se trouve sur le bâti et est donc à la température ta. 307 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique Membrane Absorbant IR Bâti Soudure froide Poutre Jonctions de mesure (;\ '-:.::) V -· Figure 2 3.2 - Thermopile micro-usinée à huit jonctions de mesure tJlleJ On suppose qu'il y a N thermocouples élémentaires et comme schématisé sur la figure 23.3, que l'ensemble est relié à l'électronique par des conducteurs X. Déterminer l'expression de la tension V aux bornes de l'ensemble des N thermo­ couples. 0 -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u � e:::::: ' �I ·-······- ···-··· A A A A A ····' B B B B B f X ' ::0 f X ....... , ·-··· - V -··· Figure 2 3 . 3 - Principe de la constitution d'une thermopile à cinq jonctions de mesure tDll Montrer que l'électronique de compensation de soudure froide développée précédemment convient pour peu que l'on recalcule les valeurs des résistances R 1 et R2 . Donner la nouvelle valeur de la sensibilité. On donne N 32. = I l l . Pyro mètre opt i q u e La thermopile précédente est destinée à être utilisée dans un pyromètre optique. Un pyromètre optique utilise le rayonnement thermique d'un corps à la température Tc pour en déduire, à distance, cette température. 308 Problème 23 Tout corps à température Tc émet un rayonnement infrarouge dont la répartition spec­ trale et la puissance totale sont des fonctions de la température. On rappelle qu'un corps noir est un corps idéal dont le facteur d'absorption est égal à l'unité quelle que soit la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique qu'il reçoit. À l'équilibre thermique, } 'émittance spectrale EATc,il) (puissance rayonnée par unité de surface du corps et par unité de longueur d'onde dans les 4n stéradians) d'un corps noir est donnée par la loi de Planck : E-1(Tc,il) = 2nhc2 ils [ ( � ilkTc ) 1] exp (23.2) - h représente la constante de Planck, c le célérité de la lumière et k la constante de "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: Boltzmann. L'émittance spectrale E-1 , rée1(Tc1À.) d'un corps réel est reliée à celle du corps noir EÀ(Tc,il) par l'émissivité du corps réel s(Tc,il). Un corps dont l'émissivité est indé­ pendante de la longueur d' onde il est appelé corps gris. Le corps noir suit l'hypothèse de Lambert, à savoir que sa luminance est uniforme. Le pyromètre optique collecte le rayonnement infrarouge émis en provenance d'une partie du corps que l'on appellera la cible. La fenêtre d'entrée du pyromètre est une lentille de focale image f et de diamètre 0 . Celle-ci filtre une certaine bande spec­ trale [il1 ; il2] du rayonnement incident qui est focalisée sur les jonctions de mesure d'une thermopile (surface active d'aire L de la membrane). Ce rayonnement est en partie absorbé par la thermopile. L'absorption d'une partie du rayonnement provoque une élévation de la température T de la thermopile. Celle-ci traduit cette élévation de température en signal électrique et une électronique adaptée permet d'en déduire la température Tc de la cible. On note r(il) le facteur de réflexion énergétique à la lon­ gueur d'onde il prenant en compte les différentes réflexions (lentille et thermopile). ;c:; "O c::l Electronique "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ Lentille de focale f , de diamètre 0 et de bande-passante [A-1 ;A-2] Surface active 2: de la thermopile Figure 23.4 - Schéma de principe du pyromètre optique tJlt..<J Soit un corps rayonnant à la température Tc. On note L1 la surface de la cible effectivement scrutée par le pyromètre. Etablir la relation entre L et L1• Pour la 309 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique lentille, on se placera dans la formulation de Descartes en notant la distance algé­ brique du centre optique de la lentille à la surface active et p0 la distance algébrique du centre optique de la lentille à la cible scrutée. En notant L la luminance de la cible, montrer que le flux F reçu par la thermopile est une constante. Pi tDll Calculer la résolution optique du pyromètre, rapport de la distance ob­ jet scruté-pyromètre au diamètre de la surface cible scrutée sur 1 'objet. On donne cm. Pi = 6, 5 tDGI La fenêtre spectrale utile du pyromètre est [/l1 ; À2] = [8 �lm ; 14 �lm] . On étalonne le système en le plaçant face à un corps noir à la température Tcn · Déterminer l'expression de la puissance du rayonnement reçu par la thermo­ pile dans la fenêtre spectrale du système. On introduira la constante de Stefan a-=2n5k4/15h3c2 =5,67.10-8 W.m-2 .K -4 , on posera x1=hc/kTcnÀ1 et x2 =hc/kTcnÀ2 et on supposera le facteur de réflexion r(/l) constant et égal à r = 25 %. De même, on posera : et tJl..1 x1 = hc/kTcnÀ 1 et x2 = hc/kTcnÀ2 sont des fonctions de la température du corps noir. En se limitant à une étendue de mesure E. M = [0 ° C 900 ° C] la valeur de l'intégrale U(x1 1x2 ) est donnée par la courbe de la figure 23. 5 . La courbe de la figure 23. 6 donne l' allure de soit celle de la puissance P reçue par la thermopile à un facteur près. Sur l'étendue de mesure, l'expression de est approchée avec une erreur relative maximale inférieure à 0,5 % par le polynôme suivant d'ordre 7 en Tcn (exprimée en kelvin) : 9,269.10- 18 T7n -5, 102.10- 14 T�n + l , 163.10- 10 T1n (23.3) -l,386.10-7T:n + 8,555.10-5T]n -0,015T;n -0,294Tcn 210,396 ; 17, -0 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ 17 1J ::::= + 3 ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 2 1 te,, (oC) ��������-- - 1 00 0 1 00 500 900 Fig u re 2 3 . 5 - Évolution de la valeur de l'intégrale U(x1 ,x2) avec la température 310 Problème 23 8. 1 03 2 . 1 03 0 200 400 600 800 Fig u re 2 3.6 - Évolution de l 5<rT:nu(x1 ,x2)/rr4 avec la température La relation (23.3) peut être inversée pour donner : (23.4) -2,546.10- 11 174 + 9,686.10-8 173 - 2, 151.10-4 172 - 0,37717 + 241,800 Calculer la puissance reçue pour une température du corps noir de 400 °C. On donne le diamètre de la lentille d'entrée du pyromètre 2 cm et la surface active de la thermopile :L = 0 1 mm. = tDU'J Établir le bilan thermique à l'équilibre de la surface active de la thermopile. t La température des jonctions de mesure restant proche de la température ambiante on négligera les échanges radiatifs entre la membrane supportant les jonctions de mesure et le reste du pyromètre. On donne le coefficient d'échange radiatif entre le corps noir et la surface active de la thermopile, celui d'échange par conduc­ tion entre la surface active et le reste du pyromètre (échange passant par les bras de suspension de la membrane et les conducteurs des thermocouples) et MC la capacité calorifique de la membrane. Calculer La température des jonctions de mesure n'étant pas très différente de la température ambiante, donner à l'équilibre l'expression du bilan thermique au premier ordre en ta, "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Kr Kc Kr. = l1t t - ta. tDt4 Pour déterminer la valeur de Kc de façon plus précise, la même mesure avec le corps noir à la température de 400 °C est réitérée pour deux valeurs de tempé­ rature ambiante différentes, fat et ta2 . Pour celles-ci, les tensions de mesure V0 sont respectivement Vo 1 3,22 V et Vo2 7,12 V et les tensions Ve, Vcl - 29,5 mV et Vc2 -68,9 mV. Calculer la valeur du coefficient d'échange thermique Kc. = = = = 31 1 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique tDl:t On considère maintenant un autre objet à la température te. Pointé sur cet ob­ jet, le pyromètre indique mV et V. En déduire, la température te de la cible en supposant qu'elle peut être considérée comme un corps noir. Ve = -49,2 Va = 5,09 tDPJ En fait, la cible n'est pas un corps noir. On suppose que c'est un corps gris dont l' émissivité peut être considérée comme constante dans le domaine de tempéra­ ture étudié, s Calculer l'erreur sur l'évaluation de la température de la cible si on traite celle-ci comme un corps nmr. = 0,95. Corrigé détaillé 1. The rmocouple tJll L'amplificateur opérationnel AOP l étant idéal, on a : (23.5), la contre-réaction amène : (R3 + R4) (E�� - E�;) - R4 Ve-Va = ---R3 tHJ Pour que Va soit proportionnel à E��, il suffit que : (R3 + R4)E;;-­ Ve = - ---R4 Compte tenu de -0 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u (23.5) (23.6) (23.7) Le pouvoir thermoélectrique SAfB d'un thermocouple correspond à sa sensibilité dE��/dt calculée à la température t. La fem du thermocouple étant supposée varier linéairement avec la température, on peut écrire sous la forme : (23.7) 23.1 permet d'estimer le pou­ 49 °C. Calcul fait, on trouve Une régression linéaire sur les données du tableau voir thermoélectrique du thermocouple entre 0 °C et µV/°C. SAfB = 60,9 312 (23.8) Problème 23 tJll L'amplificateur opérationnel idéal AOP2 est monté en suiveur, on a donc : Vc(ta) = = < < -E + (R(t) + R2) R(t) +2RiE + R2 R(t) + R2 - Ri E Ro + R2 - Ri + RoœRta E R(t) + R1 + R2 Ro + R1 + R2 + RoœRta ----- = ŒR t 1 , on peut se contenter d'un développement au premier ordre en ta de Vc Ua), soit : Rta (Ro + R2 - R1) 1 + Ro Roœ + R2 - Ri E Rta (Ro + R2 + R1) + Ro Roœ + R2 + R1 2R1 Ro + R2 - R1 + Ro ta E œ R Ro + R2 + R1 (Ro + R2)2 - Rf Avec ( (1 �(�) = ) ) (1 � tHI Pour effectuer la compensation de soudure froide, d'après (23.9) ) (23.8), Ve doit être proportionnel à ta, soit Ro + R2 R1. Dans ce cas, l'expression (23.9) de VcUa) devient : 2R1 E RoœR taE (23.10) VcUa) RoœR ta (Ra + R2 + R1)2 = 2(Ro + R2) En identifiant (23. 8 ) et (23.10), il vient : R3 + R4 2(Ro + R2) (23.11) ŒR E R4 Ro tJJ1 D' après (23.1), les couples de points (1/T ; ln(R' (T))) sont situés sur une droite de pente B. À partir des données du tableau 23. 2 , en effectuant une régres­ sion linéaire sur les couples (1/T ; ln(R' (T))) , on obtient B 3 407 K. tHd La thermistance et la résistance étant en parallèle, on a R(ta) = R1R' (Ta)/(R1 + = ---- � = = "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u SA/B - � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü R' (Ta)). Pour linéariser autour de ta, il faut que la courbe R(ta) présente un point d'inflexion en ta, soit : dta2 On aboutit à la condition : = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ R1 = 2( =0 ) dR'(Ta) 2 dTa Ta R' (ra ) R' ( ra) B - 2T � 2 d R' (Ta) B + 2Ta ____ - = = 3 486 Q 313 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique Les courbes de la figure 23.7 présentent l'évolution de rature ta. 15 R'(ta) et R(ta) avec la tempé­ R' (kQ) 10 5 ta (oC) 3 l,5 0 R (kQ) 40 25 ta (oC) �������-- 25 0 40 Fig u re 2 3 . 7 - Évolution de R' et R avec la température t0• tJli La valeur Ro de R(t) est donnée par R1R'(0 °C)/ (R1 + R' (0 °C)) = 2 796 n. Le coefficient thermique du dipôle réalisé par 1' association des deux résistances est donné tous calculs faits par : ŒR(t-a ) "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 1 dR(t) ---;f{ B R1 5 8 1 0-3 1 (T ) . a Ri + R' R(t) I Ta tD:I Avec R4 99R3 et E 2,5 V, à partir de (23. 1 1 ) et en utilisant les valeurs de Ro, aR et SA/B précédemment calculées, on obtient : + R4 )SA/B 3 895 (23 . 12) R1 -Ro ŒRR42(ER+3 2(R + R4)SA/B On en déduit d' après la question I.4, R 1 Ro + R2 898 tJIJ D' après (23.6), (23.7) et la valeur de SA/B calculée à la question I.2, la tension de mesure et la sensibilité de la mesure s'écrivent après la compensation de soudure = = t; = - 2 = = = = = froide : 314 - = , kQ kQ . . Problème 2 3 Il. Thermopile tDltJ La force électromotrice totale s'écrit simplement : V - NEAtc/;Bta - N (Etc 0 - EAla/;B0) ; A/B tDll La problématique est identique à celle de la partie I si ce n'est que la fem de Seebeck 1 � et par conséquent le pouvoir thermoélectrique par (23 . 1 2) devient donc : N. E 1a E 2(R3 + R4)NSA/B R2 -Ro ŒRR42(R 3 + R4)NSA(B Pour Ri, il vient Ri = Ro + R2 = 28, l kn. L'équation (23.8) devient : _ _ (R3 + R4)NsA/B · ta -_ V (ta ) R4 + = = 25,3 kQ - l 97 10_ 3 ' · c sA/B sont à multiplier . ta (23 . 13) La tension de mesure et la sensibilité se recalculent de manière analogue, il vient : (23 . 14) I l l. Pyro mètre opt i q u e tJltA La figure 23.8 schématise la situation. "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N ....... @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 Fig u re 23.8 - Surface-cible et distance au pyromètre Dans la représentation de Descartes, la formule de conjugaison et le grandissement transversal sont donnés par : = "' " 0 1 1 1 .3 ü Pi Po f " " = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Pi et Gr = . Po Dans le cas où la position de la cible est telle que son image couvre exactement la surface :1:, on a donc : (23 . 15) 31 5 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique Soit L la luminance de la cible supposée uniforme (hypothèse de Lambert). Le flux F émis par la cible en direction de la lentille et reçu par la thermopile s'écrit comme le produit de la luminance par l'étendue géométrique G du faisceau, soit : .L'.L p� F = L-1 où .L1 représente la surface de la pupille d'entrée, c'est-à-dire de la surface .L1 de la lentille. Avec (23 . 1 5), il vient : F=L n02.L -4pf = n02/4 (23 . 16) Le flux reçu par la thermopile ne dépend que de la luminance de la cible et des carac­ téristiques du système. tDlt D'après ce qui précède le rayonnement focalisé sur la thermopile provient .L' toujours d'une surface de cible située à la distance IPal vérifiant l a condition = ..J . 1 5). Le problème étant à symétrie de révolution, on note le dia­ mètre de la cible scrutée par le pyromètre. Avec (23. 15), il vient : (23 0' 4.L'/n tJIGI La cible étant un corps noir lambertien, sa luminance L est uniforme et égale e(T,À) à son émittance divisée par 7r et son émissivité est = 1 . D' après (23.2) et (23 . 1 6), la puissance reçue par la thermopile s'écrit donc en tenant compte de l 'effet filtrage en longueur d'onde et du coefficient de réflexion r : "'O 0 c ::J 0 ...... P = ( 1 - r) @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u 2 1 (V) 0 N 02.L J2EJ (Tc1À)dÀ 4p. LJ 1 = ( 1 - r) 02.L J2 4p. L 2 1 À1 J5 / l 2nhc2 dÀ hc 1 exp -[ ( AkT. c ) l (23 . 1 7) - x hc/kTcnÀ, (23 . 1 7) devient : 02.L 2nk4 . Tc4n . lx' x3 dx = (1 - r)- . 4Pi2 h3 c2 xx2 ex - 1 (23. 18) l ' x3 02.L 15 02.L = (1 ) - - o-T4en 4pf 4pf n4 2x ex - 1 dx = ( 1 673, 1 5 K, (23.3) donne tD..1 Pour une température du corps noir Tcn = 2 590 W.m-2 soit une puissance P = 46 �tW d'après (23.18). En effectuant le changement de variable = p -r 17 316 · · - r) • = · 17 Problème 23 tDut Sur la durée dT le bilan thermique s'écrit : Kr(T:n - T4)dT - Ke(T - Ta)dT = MCdT À l'équilibre et au premier ordre en b.t = t - ta, (23 . 1 9) devient : Kr(T:n - Td) = (Ke + 4KrTn b.t (23 . 19) (23.20) Le terme KrT:n n'est rien d'autre que la puissance P calculée à la question précé­ dente. On en déduit la valeur de Kr = P/T:n = 2,24. 1 0- 16 W.K-4 . (23.20) peut alors s'écrire : (23.21) tDH La température ambiante ou température de soudure froide des thermo­ couples de la thermopile est déterminée à partir de la relation (23 . 1 3). Des deux valeurs de Ve données, on en déduit ta1 = 15 ,00 °C et ta2 = 35,00 °C. De même, en utilisant la relation (23. 14), on en déduit les valeurs t1 = 1 6,53 °C et t2 = 36,5 1 °C, puis les différences de température t1 - ta1 = b.t1 = 1 ,53 °C et t2 - ta2 = flt2 = 1 , 5 1 °C. Pour déterminer Ke, on doit résoudre le système : Il vient : "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u P1T�2 flt2 - P2T�1 flt1 = 29,35 . 1 0 6 W.K 1 flt1flt2 (Ta2 - Ta1 ) Vu la méthode utilisée, la détermination de Kr peut être peu précise mais comme on a Ke KrT�, 1'erreur engendrée reste faible. tJll:t La température ambiante est donnée par (23 . 1 3), soit ta = 25 ,00 °C, et la température des jonctions de mesure est donnée par (23.14), soit t = 26, 1 0 °C donc b.t = 1 , 10 °C. D' après (23.21), on a : p = (Kc + 4KrT�) b.t + KrTd = 34 µW. D'après (23. 1 8), il vient 77 = 1 923 W.m-2 qui reporté dans (23.4) donne te = 324, 17 °C. Ke = � ""' "= "'" '"" ·C0 = "' "0 " " .3 ü ""'= 2o.. 2 � = � -0 0 "= Ci @ 3 3 _ _ » 31 7 23 • Thermocouple, thermopile et pyromètre optique tJIW Pour un corps gris d'émissivité constante &, à puissance rayonnée constante, pour obtenir la température du corps gris il suffit de diviser la valeur 77 calculée pour le corps noir par &, ce qui donne une nouvelle valeur de 77 de 2 024 W.m-2 . En utilisant de nouveau (23.4), il vient te = 335,82 °C. Considérer la cible comme un corps noir sous-estime sa température. L'erreur engendrée est ici de 1 1 ,65 °C soit environ 3,5 %. La connais sance peu précise de l ' é m i s s ivité des corps dont on cherche à mesurer la tempé rature par pyrométrie optique reste la principale source d ' e rreur d ' éva­ l uation de la val e u r de la température. P l u s i e u rs méthodes permettent de pal l i e r le pro b l è me. Les pyromètres bichromatiques éval uent les p u i s sances é m i ses dans deux fe­ nêtres spectrales étroites et proches. Sous l ' hypothèse que l ' é m i s s ivité d u corps reste identique dans ces deux fenêtres, les val e u rs des deux puissances per­ mettent de calcu l e r la tem pérature d u corps i n dépendam ment de la connaissance de son é m i s sivité. Les pyromètres à fenêtre spectrale u n i q u e possèdent une fonction q u i permet de rég l e r la val e u r de l ' é m i s s ivité du matériau. Une méthode pour déterminer cel le-ci consi ste à place r une pastille autocollante sur le matériau dont on ignore l ' é m i s ­ sivité . La past i l l e e s t à la m ê m e tem pérature que le matériau e t s o n é m i s s ivité e s t parfaitement c o n n u e . On mesure l a température de l a pasti l l e au pyromètre e t on j o u e e n s u i t e s u r l e réglage de l ' é m i s s ivité jusqu'à c e q u ' e n visant le matériau, la température affi chée soit identique à celle relevée sur la past i l l e . La val e u r de I' é m i s s ivité peut éventuellement être arch ivée pour de nouve l les mesures sur ce type de maté riau. La p l u part des pyromètres portables à fe nêtre spectrale unique possèdent en mé­ m o i re l ' é m i ss ivité de matériaux types. Ils se présentent comme un p i stolet avec lequel on vise la c i b l e , la gâchette décle nchant l a mesure. -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Figure 23.9 - Pyromètre portable (documentation Raytek) 318 P RO B L È M E : P h otod i o d e à effet l até ra l u n i d i rect i o n n e l l e 24 Les capteurs à triangulation sont très couramment utilisés dans l 'industrie. Le prin­ cipe de base est simple : émettre un faisceau lumineux en direction d'une cible (gé­ néralement une diode laser est utilisée), collecter la lumière réfléchie par la cible sur un récepteur photosensible et en déduire la position du point d'impact du faisceau sur la cible c'est-à-dire la distance cible-détecteur. L'utilisation de ces capteurs couvre un large domaine dépendant de leur résolution. Dans le cas où c'est la réflexion diffuse qui est collectée et focalisée sur l'élément photosensible, la résolution peut atteindre 1 µm et 1'erreur de linéarité peut être faible (0, 1 % de la pleine échelle est une valeur classique). La distance de la cible classique­ ment de quelques centimètres a été portée à quelque 75 cm par certains fabricants. Elément photosensible Diode laser 1 Fig u re 24.1 - Principe du capteur Condenseur "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol >a. 0 u ï:::: à triangulation focalisation ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "°0 c::l Ci @ Ces capteurs sont couramment utilisés pour vérifier la présence, le positionnement, le contrôle dimensionnel de pièces sur des chaînes d'assemblage. Dans le cas où c'est la réflexion spéculaire qui est focalisée sur l 'élément sensible (lorsque cette dernière est suffisante comme c'est le cas pour les matériaux lisses et non diffusants), la résolution est fortement accrue et peut atteindre 0,01 µm pour une erreur de linéarité de 0,05 % de la pleine échelle. L'utilisation est alors plutôt de type profi lomètre. 319 24 • Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle Capteur à Capteur à diffuse spéculaire réflexion réflexion Fig u re 24.2 - Principe du capteur à triangulation Ces capteurs qu'ils soient à réflexion diffuse ou spéculaire permettent, s'ils sont montés en push-pull, de contrôler des épaisseurs. Ce problème présente l'étude d'un capteur à triangulation utilisant comme photo­ détecteur une photodiode à effet latéral ou PSD (Position Sensing Detector). Énoncé 1. La ph otod iode - s e n s i b i l ité -0 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u Une photodiode à effet latéral est un détecteur de la position d'un faisceau lumineux. Elle permet, une fois correctement conditionnée, de déterminer la position en x et en y (pour les détecteurs bidirectionnels) sur le plan d'entrée de la photodiode du point d'incidence d'un faisceau lumineux suffisamment fin comme celui émis par un laser ou une diode laser. Ce type de photodiode, également dénommée PSD (pour Position Sensing Detector) est couramment utilisé dans les capteurs de position dits à triangulation. Pour simplifier l'étude, on se contentera ici d'une photodiode unidirectionnelle. Considérons une photodiode PIN polarisée en inverse comme schématisée figure 24.3. E l l l l l l l Fenêtre transparente N -"'!"'-------....,.-..___ Electrodes Fig u re 24.3 - Photodiode PIN 320 + Problème 24 Considérons la diode dans 1 'obscurité. Seul un courant très faible peut circuler, c'est le courant inverse de la diode donné par : Ir = ls [ 1 - exp(-eVJlkT)J est le courant de saturation donné par ls AT3 exp(-Wg/kT), Wg étant la largeur de la bande interdite du semiconducteur et vj la tension aux bornes de la jonction PN. Dans la suite, comme v1 >> kT/e, soit kT/e 25 mV à 20 °C, on considérera que ls . Un faisceau lumineux éclaire la zone de déplétion (région isolante I) au travers de la région P. On suppose que l'énergie des photons est suffisante pour faire passer un électron de la bande de valence à la bande de conduction. La région P est de très faible épaisseur pour ne pas trop absorber le rayonnement et pour que la probabilité d'y créer une paire électron-trou y soit faible. La zone de déplétion est suffisamment épaisse pour y arrêter la majorité des photons tout en restant suffisamment mince pour que le temps de transit des porteurs de charge au travers de celle-ci et la probabilité de recombinaison restent faibles. La région de type N est assez épaisse pour qu'une éventuelle dissociation électron­ trou par un photon ait toutes les chances de s'y recombiner. Compte tenu de ce qui précède, seul le photocourant /phot à prendre en compte est le courant de génération lié à la création de paires électrons-trous dans la région iso­ lante I. Le courant inverse total est donc donné par ls + /phot · Le faisceau lumineux donne dans le plan d'entrée de la photodiode un éclairement E. Ce faisceau couvre totalement la surface S de la fenêtre transparente. Soit le flux lumineux incident reçu par la photodiode. On considère qu'à une profondeur z dans le matériau de la zone isolante, la puissance du rayonnement est donnée par la loi de Beer-Lambert : exp ( -alp) exp (-/3z) cp(z) = ( 1 ls = = Ir :::::: Ir c/Jo, "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u :::::: � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ R) R)c/Jo Le facteur ( 1 - tient compte des réflexions en énergie aux différentes interfaces étant le coefficient de réflexion énergétique), le facteur exp(-a/p) de l' absorption du rayonnement au travers de la région P (lp étant l'épaisseur de ce matériau) et le facteur exp( -/3z) de l'absorption en fonction de la profondeur de pénétration z dans la zone de déplétion (voir schéma précédent). (R tjli Donner l'expression de la puissance <Po reçue en fonction de E et S. tjf.;,I Soit une tranche élémentaire d'épaisseur dz à l'abscisse z dans la zone de dé­ plétion. Calculer la puissance dcp(z) absorbée par cette tranche. 32 1 24 • Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle tJllU En considérant que le rayonnement est monochromatique de fréquence v, cal­ culer le nombre dn de photons absorbés par cette tranche par unité de temps (on rappelle que l'énergie d'un photon est hv où h est la constante de Planck). tJll En prenant en compte l'efficacité quantique 7J du matériau semiconducteur (nombre de photoélectrons créés par photon absorbé), donner le nombre dnphot de photoélectrons créés par unité de temps dans la tranche élémentaire. tJJ1 Calculer le nombre total nphot de photoélectrons créés par unité de temps dans la zone de déplétion entière d'épaisseur /20. tJl#J Que devient cette expression si l'épaisseur de la zone de déplétion est grande ? On restera dans cette hypothèse pour la suite. tJH En considérant que le courant dû aux trous est égal au courant dû aux élec­ e trons, calculer le photocourant total /phot (on notera la charge de l'électron). tjlt:I Montrer que le courant inverse total s'écrit : Ir = /phot + ls = 2e17 Àcf>o (l - R) exp (-alp) + AT3exp (-Wg/kT) hc 4 (2 . 1 ) tJM La température maximale de fonctionnement nominal de la photodiode est "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u T = Tmax = 330 K. Calculer le courant d'obscurité19 de la photodiode23pour cette température. On donne W9 = 1 , 12 eV, e = l ,6. l o- C, k = 1 ,38. 1 0- J.K- 1 et A = 343 A.K-3 . tjllt) Donner l'expression de la sensibilité S phot de la photodiode et conclure quant de ce capteur. On donne = 6,6. 1 0-34 J.s, = 3 . 1 08 m.s- 1 , à la= 0,caractéristique 49, À = 670 nm, exp(-alp) = 0,8 et R = 0,05. 7J h c I l . La p hotod iode - p u i s sance l u m i n e u se max i m a l e e t effet therm i q u e tjlil La température extérieure est de Text = 300 K. Le coefficient d'échange thermique de la photodiode avec le milieu extérieur est K = 0,24 µW. K - 1 . Établir, en faisant un bilan thermique en régime permanent, la relation entre la puissance maximale Pmax dissipée par effet Joule et K, Text et Tmax, température maximale de fonctionnement. Calculer Pmax . tjlt;.j En considérant qu'en première approximation la photodiode présente entre ses bornes une résistance inter-électrodes R = 50 k.Q, calculer le courant maximal Imax qu'elle peut délivrer pour que sa température de fonctionnement reste inférieure à Tmax· 322 Problème 24 tJllJ En utilisant les résultats des questions 1.9 et 1. 1 0, déduire la puissance lumi­ neuse maximale cf>max que peut recevoir la photodiode. tJlll À quel éclairement Emax cette puissance correspond si l' ensemble de la sur­ face active S de la photodiode est éclairée ? On donne : S = 3 mm x l mm I l l. Ré ponse s pectra l e tjl..1 En reprenant le résultat de la question 1. 1 0 et les explications du paragraphe I, décrire le comportement de la photodiode avec la longueur d'onde. Evaluer la sen­ sibilité S phot à À 1 000 nm. = tjlld Estimer la longueur d'onde maximale pouvant être utilisée avec cette photo­ diode. tJIH Tracer l' allure du comportement de la sensibilité S phot de la photodiode en fonction de la longueur d'onde pour À comprise entre 400 nm et 1 200 nm. IV. Pri n c i pe de fon ct i o n n e m e n t d u détecte u r d e pos it i o n ( PSD) La photodiode recevant le faisceau lumineux peut être modélisée selon le schéma de la figure 24.4. Sur ce schéma, on a représenté le faisceau lumineux et la source de courant modélisant le courant superposition du courant d' obscurité et du photo­ courant. Ir, Faisceau de section S "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ..c O'l ·;:::: >a. 0 ....... u Eclairement E � Fenêtre transparente ..: � "O c::::l '-' '-' � �0 :; "' c:0 c: N c: Électrodes + .S: ü :::l "O 12 o. 2 B:::l rS -00 c::::l a @ , -_-l•x 2-l//2����0���� +'.,.____ ' l ____1._ , _J 2 - 1 F i g u re 24.4 - Détecteur de position 323 24 • Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle D'un point de vue électrique, ceci, peut être modélisé en première approximation comme représenté figure 24.5 où D représente une diode parfaite, Cj la capacité de la jonction, R sh la résistance shunt prenant en compte les pertes ohmiques au niveau de la région isolante, R 1 et R2 les pertes ohmiques dues à la résistivité résiduelle des régions P et N liées respectivement aux longueurs 1 1 et l2 . R, ]phot Is 1,. D Rz cj Rsh Fig u re 24.5 - Schéma électrique équivalent La source de tension n'est pas représentée car elle ne sert qu' à polariser la photodiode et donc à rendre actives les deux sources de courant /phot et 15• Dans toute la suite du problème, compte tenu des résultats des questions 1.9 et II.2, on négligera le courant d'obscurité devant le photocourant. tjll:t En considérant que les différents matériaux sont parfaitement homogènes, donner la relation existant entre les courants /1 et h et les résistances R 1 et R2 puis entre les courants li et h et les longueurs l 1 et l2 . tjlpJ Avec R 1 + R2 200 kn, R sh = "'O 0 c ::J 0 (V) 0 N ...... @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u > > R 1 + R2 et Cj = 5 pF, estimer la constante de temps T de la photodiode pour un faisceau tombant au milieu de la surface active et sa fréquence de coupure fc · On fera l'hypothèse que le système constitue un premier ordre. tjf:.t1J On suppose que 1' on peut mesurer les courants sans introduire la moindre perturbation et que l'on est capable de réaliser analogiquement l' opération a(/1 - '2 )/(/1 + fi). Montrer en posant l 1 l/2 - x et l2 l/2 + x que V est V une mesure de l'écart x par rapport au centre de la photodiode. mes = = = mes tjfji En déduire l'expression de la sensibilité S c de ce capteur. V. Électro n i q u e de condition nement Le conditionnement électronique est réalisé selon le schéma de la figure 24.6 où l'on suppose que les composants utilisés sont idéaux. 324 Problème 24 Vi + Rd I I Rd VN X Rs v2 + I I Z· X/Y VD y "V,nes Fig u re 24.6 - Électronique de conditionnement tJf..11';.j Déterm.iner les expressions de Vi et V2 en fonction de /1 , 12 et Re. Que réalise chacune des voies du premier étage du montage de la figure 24.6 ? tjfJI Quelle est l'impédance d'entrée de chacune des voies de cet étage ? Conclure quant à l'hypothèse faite à la question 24.20. tjfjl Donner les expressions de VN et VD en fonction de /1 , h et Re. tjfJj Le diviseur, étage de sortie du montage de la figure 24.6, possède une sortie de la forme Z · X/Y où Z = 10 V. Déterminer l'expression de la tension de sortie Vmes en fonction de x, et V. l "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 tjfld En déduire l'expression de la sensibilité l = 3 mm. S e du capteur. On rappelle que V I . Pri n c i pe d e fon ct i o n n e m e n t d u détecte u r d e position à tria n g u lation On utilise la PSD précédente pour la réalisation d'un capteur à triangulation permet­ tant de suivre l'évolution de la position d'une surface-cible à détecter. Ce capteur, sans contact, est réalisé suivant le schéma de principe de la figure 24.7. " = Ci @ 325 24 • Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle D d L _ _,12 B 0 --Condenseur \"" \ Position extrême supérieure de la cible � Rayonnement réfléchi B' A . ·········· ! ! ! . X +l/ 2 ! PSD Lentille de focalisation X Position extrême inférieure de la cible Fig u re 24.7 - Principe du capteur à triangulation "'O 0 c ::J 0 ...... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u La position de la surface à détecter peut évoluer entre les positions extrêmes matéria­ lisées par les points A' et B'. Un condenseur focalise sur la surface à détecter le rayonnement issu de la source (diode laser). Une partie du rayonnement réfléchi n'étant pas de nature spéculaire n'obéit pas à la loi de la réflexion de Descartes. Une partie de ce rayonnement est collecté par la lentille de focalisation et focalisé sur la PSD. Pour simplifier, on considère que la direction du déplacement de la cible à détecter (direction définie par A'B') est parallèle à la surface de la PSD (direction définie par AB) . tjfl4 Par des considérations géométriques simples, déterminer la loi donnant le point d'impact x du faisceau lumineux sur la PSD en fonction de la position X de la surface à détecter, de D et d. L'origine de X est prise en O'. tjf"f:t En utilisant les résultats précédents, déterminer la sensibilité S mes de la me­ sure, rapport des variations de la tension de mesure Vmes aux variations de la position X de la surface à détecter. 326 Problème 24 tJt..W On suppose que la résolution de 1 'électronique utilisée, compte tenu du bruit de l'électronique et des autres facteurs d'erreur est ôVmes = 2 mV. Déterminer le rapport d/D pour que la résolution du capteur soit ôX = 2 µm. tJ§tJ Dans ce cas, calculer numériquement la sensibilité S mes de la mesure. tjlli Déterminer l'étendue de mesure E . M. (X) du capteur réalisé. V I I . Opti m i sation de l a géométrie d u capte u r à tria n g u lation tJltJ Commenter à l'aide des résultats précédents les possibilités d'augmentation de la résolution du capteur. tJm Le plan de la PSD et le plan contenant l' axe O' X perpendiculaire au plan de la figure 24.7 ne sont plus a priori parallèles mais forment entre eux un angle r.p = a + f3 (voir figure 24.8). Quel en est l'effet sur la résolution ? Figure 24.8 - Inclinaison de la PSD tj@I Montrer qu'en contre-partie, en raison du problème de focalisation, la rela­ "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ tion entre x et X devient non linéaire, ce qui entraîne une non-linéarité de la mesure. On s'appuiera pour cela sur une démonstration graphique des règles de Scheimp­ fiug ou de Hinge (formation de l'image d'un objet incliné par rapport au plan de la lentille). On posera da = O'Q et di = no. tJM1 Calculer l'angle f3 puis la nouvelle expression de la sensibilité pour un cap­ teur à triangulation respectant strictement la règle de Scheimpflug. On donne a 35°, da = 10 cm et f = 3 cm, valeurs classiques pour un capteur à triangulation. Repré­ senter graphiquement le comportement de la tension de mesure Vmes en fonction de la position X. = tJ§d Évaluer l'erreur de linéarité (en % de l'étendue de mesure) engendrée par le respect de la règle de Scheimpfiug. 327 24 • Photodiode à effet latéral unidirectionnelle On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés, + B, passant par d'équation y = couples de points de mesure sont donnés par : Ax (xi, YJ N N N N N I xiYi - I xi l: Yi i=l i=l A i=l N xf - x = t (t J ��� �� Corrigé détaillé Com plément e n l i g n e Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur : La page web de l ' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle Le site de Dunod, à l' adresse suivante : www.dunod.com/ contenus-complementaires/9782100701674 -0 0 c ::i 0 (V) .-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u 328 (24.2) 25 P RO B L È M E : Ca pte u r d e p rox i m i té capac i t i f Les capteurs capacitifs de proximité présentent l 'avantage sur les capteurs inductifs de ne pas nécessiter une cible métallique. Tout type de matériau peut être détecté pour peu que sa permittivité diffère suffisamment de celle du vide. Le changement du matériau de la cible ne fait qu'affecter la sensibi1ité de la mesure. Énoncé 1 . Étude d u tra n s d u cte u r capacitif On considère le capteur capacitif de proximité de la figure 25. 1 . Le but de le mesure est de détecter la distance x entre la tête de mesure est la cible. P C (x) Armature extérieure Cible "'O 0 c :J 0 (V) r-l 0 N © .µ ..c Ol ï:::: >a. 0 u Fig u re 2 5. 1 - Principe de la détection de proximité capacitive ;c:; "O c::l "' " " '" ·C0 :; "' c0 c c .r2 ü::l "O 2o.. 2 B :::l � "° 0c ::l Ci @ tJjl Donner la capacité CAB présentée par la tête de mesure entre ses bornes A et B , capacité constituée des capacités de mesure C(x), inter-électrodes Ce et capacité parasite Cp (x). tJ*.J Montrer que la mise à la masse de l 'armature extérieure et de la cible simplifie le problème. On se placera sous cette hypothèse pour la suite du problème. tJ1U Soit L: la surface de l'électrode active en regard de la cible et L:' 2nrh la sur­ = face en regard de l'électrode i ntérieure et de l'électrode extérieure (voir figure 25.2). Le milieu ambiant est supposé de permittivité égale à celle du vide soit t:0. Donner en première approximation l'expression de la capacité CAB . Dans cette expression on se contentera d'un développement au premier ordre en e/r pour Ce(x). 329 25 • Capteu r de proximité capacitif 1111 111 ....-___. B h Armature intérieure !e Armature extérieure Cible Fig u re 2 5.2 - Géométrie d u capteur tJ"ll Le capteur est réalisé de façon à fonctionner pour une distance tête de mesure­ cible évoluant de �x à partir de la valeur de référence xo = 2 mm. Donner l'expression de CAB au premier ordre en �xixo et la mettre sous la forme CAB = Co ( 1 + k�x/xo). On donne r = 1 cm, h = 1 cm, e = 1 mm et Eo 8,85 . 1 0- 12 F.m- 1 . = I l. Con d itionnement d u tran s d u cte u r tJ.,.1 Le capteur de capacité CAB est utilisé dans le circuit de la figure 25.3, consti­ tué des deux blocs amplificateur et filtre. Amplificateur R2 -0 0 c ::i 0 (V) ..-1 0 N @ ....... � Ol ï::: >0. 0 u Filtre V� lc ---< AB _ _ __ v4 Fig u re 2 5.3 - Schéma de principe de la mesure Calculer les fonctions de transfert en boucle ouverte : l'amplificateur opérationnel étant considéré idéal. tJJd On relie la borne de sortie de l'amplificateur à l'entrée du filtre et la borne de sortie du filtre à la borne non-inverseuse de l'amplificateur opérationnel de façon à réaliser = et 1 = Montrer que ceci entraîne deux conditions dites d'ampli­ tude et de phase sur la fonction de transfert H(p) = H1 (p)H2(p). v2 v3 v v4. 330 Problème 2 5 t.Jti En admettant que le fonctionnement du système sera celui d'un oscillateur sinusoïdal de pulsation w, calculer les relations dérivant des conditions de phase et d'amplitude à tenir entre les valeurs des composants. t.Jj:I On fixe C = Co et R = R2 = kQ et on suppose que = O. Déterminer les valeurs de la résistance R 1 et de la pulsation de l'oscillateur que l'on notera w0. Lorsque 1' on déplace la tête du capteur par rapport à la cible, la capacité CAB varie. La condition d' amplitude ne peut plus être vérifiée à chaque instant par une résis­ tance fixe puisque cette condition s'écrit en fonction de CAB . La résistance R 1 est remplacée par un système de façon à ce que la condition d'amplitude soit toujours vérifiée (ce système ne sera pas étudié ici). 100 �x t.JM Donner alors l'expression de la pulsation au premier ordre en t.JjltJ �x/xo. �x pouvant éventuellement dépendre de la fréquence, donner 1 'expression de la tension instantanée v 1 de l'oscillateur. On notera V0 son amplitude sans chercher à la calculer. On notera : X � F(t) (25.1) 2x0 I kwo -dt = I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal Le signal précédent est utilisé en entrée du circuit de démodulation de la figure où les composants sont supposés idéaux. 25.4 Déphaseur "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" Multiplieur ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ Fig u re 2 5.4 - Schéma de principe de la mesure t.Jjll Montrer que le premier étage du circuit de la figure 25.4 entraîne un simple déphasage entre les tensions instantanées v 1 et v5 . Calculer ce déphasage �cf>. tJjtA Donner l 'expression de la tension instantanée V6 en sortie du multiplieur. t.Jjlt Donner l'expression de la tension de sortie instantanée Vs pour w « l/R4C4 . 331 25 • Capteur de proximité capacitif t.JjGI Montrer qu'en choisissant correctement R3C3, la tension de sortie Vs est, au premier ordre non nul en !J.x/x0, proportionnelle à !J.x. Donner l'expression de la sen­ sibilité. On donne Va = 5 V, E = 0,5 V et on rappelle que : cos x = (�) ---2 tan (�) 1 - tan2 1 + (25.2) Corrigé détaillé 1. P r i n c i pe d u tran s d u cte u r capacitif t.Jjl La capacité de la tête de mesure est donnée par : CAB = Ce + C(x)Cp (x) (25.3) ----­ C(x) + Cp (x) t.J*.j Si la cible et l 'armature extérieure sont au même potentiel, la capacité parasite Cp (x) se trouve court-circuitée (25.3) devient : CAB = Ce + C(x) t.J1U En première approximation, on peut négliger tout effet de bord et on peut considérer que la capacité C(x) est celle d'un condensateur plan et que la capacité Ce(x) est celle d'un condensateur cylindrique. Il vient alors : -0 0 c ::J 0 .... (V) 0 N t:oL CAB peut donc s'écrire : CAB � @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u t:onr2 C(x) = - = -X x tJ111 Avec x = CAB x0 + !J.x, = et Ce = t:o2nh ln ((r + e)/r) -- t:o 2nhr t:onr2 + e X � il vient au premier ordre en !J.x/xo : t:o2nhr t:onr2 + e xa ( 1 + !J.x/xo) t:onr -(2hxo re) [ xa e � ( -) 1 [ 1 eo2nhr t:onr2 + -e xa re !J.x - = Co (2hxo + re) xa L'application numérique donne Co = 6,951 pF et k = -0,200. = 332 t:o2nhr e --- + 1- 1 - !J.x xa !J.x 1 + kxa Problème 2 5 Il. Cond i t i o n n e m e n t d u tra n s d u cte u r tJJai L'amplificateur étant supposé idéal, on a immédiatement dans le domaine de Laplace : (p) - R 1 + R2 H1 (p) - VV2i (p) Ri _ Pour le filtre, on obtient : (25.4) _ R V3(p) l_ C___ V4(P) _R__+ _RCp +_R_ AB P l + RCp + CAB P = 1 _ --- ---- Calcul fait, il vient : V4(p) RCAB P H2 (p) - V3(p) (25.5 ) 1 + R (2CAB + C) p R2 CCAB p2 Ce filtre est un filtre passe-bas d'ordre 2 . tJid Si on impose v2 v3 et v 1 v4 en connectant ensemble les deux éléments du montage de la figure 25.3, on doit avoir : _ _ - + = = (25.6) Les fonctions de transfert étant complexes (domaine de Laplace), on doit donc avoir : IH(p)I "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u = et 1 arg (H(p)) = o Ceci constitue les deux conditions dites respectivement d'amplitude et de phase. � ""' " = "' " " '" tJti Le système étant un oscillateur sinusoïdal de pulsation w, la condition de phase s'écrit d'après ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = arg (H( jw)) (25.4) et (25.5) : w ( -R2 CCAB w2 ) ) RCAB ( arg (H2 ( jw)) arctan R2CAB (2CAB + C)w2 1 = = " = Ci @ 0 La pulsation de 1' oscillateur est donc : � -0 0 = w = -=-R-y;:::c==:c=AB= 1 (25.7) 333 25 • Capteur de proximité capacitif La condition d'amplitude s'écrit d'après (25.4), (25.5) et (25.6) : RCAB W / 2 R 1 + R2 2 22 -y ( l - R CCAB w ) + (R(2CAB + C)w) En utilisant le résultat (25.7), à partir de (25.8) on obtient : � � = (25 .8) � - (R 1 + R2 )CAB = R 1 (2CAB + C) (25.9) tJf:I D' après (25.7), on a w0 = 1/RC0 = 1 ,439.106 rad.s- 1 soit une fréquence fo = 229,0 kHz . D'après (25.9), on tire R 1 = R1/2. tJ"IJ La pulsation est toujours donnée par (25.7) puisque cette relation est indépen­ dante de R l Elle s'écrit maintenant pour 11x * 0 : l1x 1 1 1 - w0 (25 . 10) = w - w0 1 - k �x 2xo R .YCoCAB f x 2 c k R " 0 l + xo 1 + kXo · ( = ( R )- � ) tJjltJ La tension v 1 est sinusoïdale de pulsation instantanée donnée par (25. 10). Sa phase instantanée s'écrit donc en utilisant (25 . 1 ) : l1x cp(t) = wdt ::::::: wo t dt = w0t F(t) kwo 2x0 J - J La tension instantanée v 1 est de la forme v 1 = - V0 sin (w0t - F(t)) . I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal tJjll Dans le domaine de Laplace, on peut écrire : "'O 0 c ::J 0 .... (V) 0 N @ ....... ..c Ol ·;:::: > a. 0 u + ---- Vs + Vi 1 V1 et e = 2 1 + R3 C3 p La contre-réaction amène tous calculs faits : 1 - R3 C3 p Vs = V1 1 + R3 C3 p La tension instantanée v 1 étant sinusoïdale de pulsation w, la transmittance T du pre­ mier étage du circuit de la figure 25 .4 est donnée par : 1 - jR3 C3 w T( jw) 1 + jR3 C3 w e = = Cet étage entraîne donc un simple déphasage 11</> entre v 1 vs Vo sin (wo t - F(t) + 11<f>), déphasage donné par : = Vo sin (wo t - F(t)) et = 11</> = -2arctan(R3 C3 w) 334 (25 . 1 1 ) Problème 2 5 tJjtJ En sortie du multiplieur, on a simplement : v6 = � ; sin (w0t - F(t)) sin (wot - F(t) ; [cos ('3.</J) - cos (2w0t - 2F(t) 2 v s 2 = v + '3.</J) 2 = v + 13. cf>) ] tJjlJ L'étage de sortie du circuit de la figure 25-4 est un simple filtre passe-bas de fonction de transfert : 1 1 + R4C4p La fréquence de coupure de ce filtre est donnée par Wc = l/R4C4 . Si w << pour autant que le montage filtre l'évolution temporelle de 13.cf>, on obtient : Vs = v6 ---- ; v2 Vs � 2 Wc sans COS (13.cf>) (25. 12) "'O 0 c :J 0 (V) .-t 0 N @ ....... ..c O'l ·;:::: >a. 0 u � ""' " = "' " " '" ·C0 = "' " 0 " " .3 ü = ""' 2o.. 2 � = � -0 0 " = Ci @ En choisissant R3C3 = l/wo, (25 . 1 2) devient au premier ordre en 13.x/xo : 2 V0 Vs = - 2E kt3.x xo ( kt3.x l_ ( 4x0 ) kt3.x l _ kt3.x 2_ xo 4xo ) 2 kV0 13. x � -2E xo (25 . 13) La sensibilité est donnée à partir de (25 . 13) par : S = kVo2 _ = _ 2Exo -2 ,5 V/mm 335 25 • Capteur de proximité capacitif Les conditionnements des transducteurs capacitifs peuvent être de nature très différente selon le type d ' utilisation. Le capteur de proxi mité peut être à sortie analog i q u e s i l' objet est la mesure de la d i stance capte ur-cible en vue d ' u n asservissement par exemple. Dans ce cas le conditionnement peut être d u type étu d i é ici ou encore à boucle à verro u i l lage de phase et le s i g nal de sortie peut être une tension ou encore un courant dans le cas du standard 4-20 mA. Ce type de capteu r peut aussi être à sortie binaire si le but est de d i s poser d ' u n s i g nal i nformant d u dépassement d ' u n e valeur l i m ite de l a d i stance capte ur-cible, on les appe l l e alors des détecteurs. Cette val e u r l i m ite peut ou non être réglée par l' uti l i sateur selon les modèles. Ce dernier type de capteurs est très couramment utilisé dans l ' i ndustrie dans les automatismes tout ou rien et dans les problèmes de sécurité des biens et des personnes e n mil ieux i nd ustriels. Figure 2 5.5 - Différents types de détecteurs capacitifs (documentation lfm-electronlc) 336 i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 1 — #349 i i L ES CAPTEURS C ORRIGÉS PROBLÈMES EXERCICES Les capteurs, ouvrage écrit par Pascal Dassonvalle dont la deuxième édition est parue en 2013 aux éditions Dunod (www.dunod.com), 9782100701674. 26 Capteur à courants de Foucault – Mesure de résistivité 27 Relation mesurande-signal de mesure – Dérive thermique 30 Résistance thermométrique en montage potentiométrique 31 Capteur de déplacement capacitif – Non-linéarité 37 Capteur de débit à tube Venturi – Tension de mode commun 5 Capteur résistif non linéaire 7 Linéarisation aval 18 Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d’angle 19 Étude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination à distance de la température d’un corps 21 Capteur angulaire robuste 24 Photodiode à effet latéral unidirectionnelle ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 2 — #350 i i 26 E XERCICE : Capteur à courants de Foucault – Mesure de résistivité Corrigé détaillé 26.1 Le champ alternatif hautes fréquences créé par la bobine induit dans la plaque métallique des courants de Foucault. Ces courants produisent à leur tour un champ magnétique opposé au champ magnétique créé par la bobine. La superposition de ces deux champs modifie l’impédance apparente de la bobine. 26.2 On a simplement e = (R1 + jL1 ω) i1 + jMω i2 . 26.3 Le secondaire (la cible métallique) du transformateur ainsi réalisé étant en court-circuit, on a jMω i1 + (R2 + jL2 ω) i2 = 0. 26.4 En éliminant i2 entre les deux dernières équations et en posant e = (r + jLω)i1 , il vient par identification : r = R1 + R 2 M 2 ω2 R22 + L22 ω2 et L = L1 − L 2 M 2 ω2 R22 + L22 ω2 (26.1) 26.5 Dans le cas d’une cible constituée par un bon conducteur, soit pour R2 L2 ω √ et avec M = k L1 L2 , (26.1) devient : r = R1 + k 2 R2 L1 L2 et L = L1 (1 − k2 ) (26.2) 26.6 Compte tenu de la présence de la contre réaction, on a : H1 (p) = R V2 (p) =− V1 (p) R 26.7 En procédant comme demandé, il vient : V4 (p) = 2 I2 (p) Cp et I2 (p) = V(p)C p V(p) = Lp + r + 1/C p 1 + rC p + LC p2 (26.3) ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 3 — #351 i i Corrigé 26 Soit en éliminant I2 (p) dans (26.3) : V4 (p) = V(p) 1 + rC p + LC p2 De même, on a : Zeq (p) V3 (p) avec V(p) = R + Zeq (p) 1 1 r + Lp + Zeq (p) = Cp Cp Calcul fait, on obtient : H2 (p) = 1 RLC 2 p3 + (RrC + L)C p2 + (r + 2R)C p + 1 26.8 Les connections V4 = V1 et V3 = V2 doivent permettre la réalisation d’un oscillateur sinusoïdal et imposent donc la condition dite de Barkhausen, à savoir : H1 ( jωoscil ) = V2 ( jωoscil )/V1 ( jωoscil ) = V3 ( jωoscil )/V4 ( jωoscil ) = 1/H2 ( jωoscil ) Cette expression conduit donc à H( jωoscil ) = 1. Ceci peut se récrire sous forme de deux conditions : |H( jωoscil )| = 1 et arg (H( jωoscil )) = 0 26.9 La condition arg(H2 ( jωoscil ))=0 impose − jω3oscil RLC 2 + j(r+2R)Cωoscil =0. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Ceci fournit la pulsation d’oscillation de l’oscillateur qui est donnée par ω2oscil = (r + 2R)/RLC et qui compte tenu de (26.2) s’écrit encore : k 2 L1 R2 2R + R1 + k2 R2 L1 /L2 2R + R1 = 1+ ωoscil = L2 (2R + R1 ) RCL1 (1 − k2 ) RCL1 (1 − k2 ) k 2 L1 R2 (26.4) = ω0 1 + L2 (2R + R1 ) 26.10 L’oscillateur fonctionnant, la transmittance H2 ( jωoscil ) se réduit à : −1 H2 ( jωoscil ) = 1 − (RrC + L)Cω2oscil Avec ω2oscil = (r + 2R)/RLC, il vient : −1 r + 2R RL (RrC + L) =− H2 ( jωoscil ) = 1 − RL RCr(r + 2R) + L(R + r) (26.5) Pour une cible parfaitement conductrice, on a r = R1 et L = L1 (1 − k2 ). Dans ce cas (26.5) devient : H2 ( jωoscil ) = − RL1 (1 − k2 ) RCR1 (R1 + 2R) + L1 (1 − k2 )(R + R1 ) ©DUNOD, Paris, 2013 3 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 4 — #352 i i Les capteurs La condition |H( jωoscil )| = |H1 ( jωoscil )H2 ( jωoscil )| = 1 impose alors : RCR1 (R1 + 2R) + L1 (1 − k2 )(R + R1 ) R = R RL1 (1 − k2 ) 26.11 On a immédiatement : 3R2C + 2L1 (1 − k2 ) R = 2,1 = 1 R L1 (1 − k2 ) et ω0 = 3 = 2.106 rad.s−1 CL1 (1 − k2 ) Ce qui amène une fréquence f0 318 kHz. 26.12 Si ωoscil reste proche de ω0 , (26.4) peut s’écrire : ωoscil = ω0 k 2 L1 R 2 = ω0 1+ L2 (2R + R1 ) k 2 L1 k 2 L1 α 1+ αρ ω0 1 + ρ 3R1 L2 6R1 L2 26.13 Le cuivre étant un bon conducteur, on peut estimer que ωoscil ω0 . La profondeurde peau et donc l’épaisseur testée par cette méthode de mesure est de l’ordre de δ = 2/γω0 μ0 0,1 mm. 26.14 Compte tenu de l’hypothèse faite à la question 26.10, si le conducteur s’écarte trop du conducteur parfait, le rapport fixé R /R ne permet plus de vérifier la condition de Barkhausen et l’oscillateur décroche. Il faut donc réserver ce capteur à la mesure de la résistivité de très bons conducteurs. On peut inversement utiliser le capteur pour détecter des défauts structurels (cavités, concentrations d’impuretés, etc.) situés sous la surface qui, en augmentant de façon importante la résistivité apparente du matériau, font alors décrocher l’oscillateur. 4 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 5 — #353 i i E XERCICE : Relation mesurande-signal de mesure – Dérive thermique 27 Corrigé détaillé En avant-propos : bien que ce ne soit pas l’usage habituellement dans l’écriture de l’application numérique relative à l’expression analytique d’une grandeur physique, il est conseillé au débutant de faire figurer explicitement les unités dans l’expression de l’application numérique. Ceci permet de vérifier que le résultat obtenu est bien homogène et donc par-là, de repérer un oubli de conversion, une mauvaise compréhension et utilisation des données fournies. . . Les corrections des exercices suivants seront effectuées dans ce sens. 27.1 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit : Vmes (x,T ) = S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) · x = 20 mV/μm/V · 10 V · 1 + 0,1 %◦ C−1 · (25 − 20)◦ C · 10 μm © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. = 2,01 V (27.1) 27.2 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit : Vmes (x,T ) = S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) · x (27.2) On en déduit immédiatement : Vmes (x,T ) S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) 41 mV = 8 μm = 1 mV/μm/V · 5 V · 1 + 0,5 %◦ C−1 · (25 − 20)◦ C x= ©DUNOD, Paris, 2013 (27.3) 5 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 6 — #354 i i Les capteurs Si on ne tient pas compte de la dérive thermique, le déplacement apparent xapp est donné par : Vmes (x,T ) S r (T 0 ) · Valim 41 mV = 8,2 μm = 1 mV/μm/V · 5 V xapp = (27.4) L’erreur relative commise est donc (xapp − x)/x = 2,5 %. 27.3 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit : Vmes (p,T 0 ) = S r (T 0 ) · Valim · (p − p0 ) + Vmes (p0 ,T 0 ) = S r (T 0 ) · Valim · (p − p0 ) + V0 = 100 mV/105 Pa/105 Pa/V · 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V = 1,25 V (27.5) À T = 30 ◦ C, on a : Vmes (p,T 0 ) = S r (T 0 ) · (1 + αS (T − T 0 )) · Valim · (p − p0 ) + V0 = 100 mV/105 Pa/V · 1 + 1 %◦ C−1 · (30 − 20) ◦ C · 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V = 1,275 V (27.6) 27.4 Pour un débit D à la température de référence T 0 , la tension de mesure s’écrit : Vmes (D,T 0 ) = S (T 0 ) · (D − D0 ) + Vmes (D0 ,T 0 ) = S (T 0 ) · (D − D0 ) + V0 = 200 mV/L.s−1 · (20 − 50) L.s−1 + 1 V = −5 V (27.7) Pour ce même débit, à T = 40 ◦ C la tension de mesure s’écrit : Vmes (D,T ) = S (T ) · (D − D0 ) + Vmes (D0 ,T ) = S (T 0 ) · (1 + αS (T − T 0 )) · (D − D0 ) + V0 1 + αV0 (T − T 0 ) = 200 mV/L.s−1 · 1 − 0,1 %◦ C−1 · (40 − 20) ◦ C · (20 − 50) L.s−1 + 1 V · 1 − 0,2 %◦ C−1 · (40 − 20) ◦ C = −4,92 V (27.8) 27.5 a) On ne dispose que d’une seule valeur de la pression pour différentes va- leurs de la température en tant que grandeur d’influence. On ne peut donc pas estimer 6 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 7 — #355 i i Corrigé 27 la sensibilité de ce capteur qui par définition relie ici les variations de la tension de mesure aux variations de la pression. b) Par régression au sens des moindres carrés, en considérant qu’à pression constante la tension de mesure s’écrit Vmes = aT + b, on obtient a = 0,275 mV/◦ C et b = −2,850 mV. c) Si on désire que Vmes (p0 ,T 0 ) = 0 où T 0 désigne la température de référence, la tension de mesure doit s’écrire : Vmes (p,T ) = S (T ) · (p − p0 ) + CDT Z · (T − T 0 ) (27.9) En p0 , on a simplement Vmes (p0 ,T ) = CDT Z · (T − T 0 ) que l’on doit identifier à Vmes (p0 ,T ) = aT + b. On en déduit : ⎧ ◦ ⎪ ⎪ ⎨ CDT Z = a = 0,275 mV/ C (27.10) ⎪ ⎪ ⎩ T 0 = −b/a = 10,38 ◦ C 27.6 a) L’étendue de mesure du capteur peut être adaptée à celle du courant en éloignant plus ou moins le capteur du conducteur puisque le champ créé est inversement proportionnel à la distance pour un conducteur rectiligne. b) Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit : Vmes (B,T ) = S (T 0 ) · (1 + αS ΔT ) · B + αV0 · ΔT c) On a : (27.11) ΔVmes = S (T 0 ) · B − S (T 0 ) · (1 + αS · ΔT ) · B + αV0 · ΔT = − S (T 0 ) · αS · B + αV0 · ΔT = − 1,3 mV/G · 0,2 %◦ C−1 · B − 1 mV/◦ C · ΔT (27.12) © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Cette dernière expression est extrémale pour B = −900 G et T = −20 ◦ C soit ΔT = −45 ◦ C et vaut ΔVmes = 150,3 mV. d) En terme de valeur de champ ceci conduit à une erreur ΔB de l’ordre de : ΔVmes = 116 G (27.13) ΔB S (T 0 ) e) L’erreur relative commise est : 116 ΔB = −13 % (27.14) B −900 Ceci constitue une erreur bien trop importante pour une mesure de qualité. Il est donc nécessaire soit de mesurer la température et de corriger la réponse de la dérive thermique soit d’inclure le capteur de champ dans un montage ad hoc avec un capteur de température judicieusement dimensionné afin de compenser la dérive thermique. ©DUNOD, Paris, 2013 7 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 8 — #356 i i 30 E XERCICE : Résistance thermométrique en montage potentiométrique Corrigé détaillé 30.1 Sans avoir poussé plus loin l’étude, on choisit T 0 au milieu de l’étendue de mesure pour a priori minimiser les non-linéarités, soit T 0 = +20 ◦ C. 30.2 Avec T = T 0 + ΔT , il vient : (30.1) Rc (T ) = Rc (0)(1 + AT + BT 2 ) = Rc (0) 1 + A(T 0 + ΔT ) + B(T 0 + ΔT )2 = Rc (0) 1 + AT 0 + BT 02 + (A + 2BT 0 )ΔT + B(ΔT )2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎟⎟ B A + 2BT 0 ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟⎟⎠ ΔT + (ΔT ) = Rc (0) 1 + AT 0 + BT 0 ⎜⎜⎝1 + 1 + AT 0 + BT 02 1 + AT 0 + BT 02 = R0 1 + αΔT + β(ΔT )2 L’application numérique donne : R0 = 111,27 Ω, α = 5,18.10−3 ◦ C−1 et β = 6,02.10−6 ◦ C−2 30.3 On a immédiatement : ΔRc = Rc (T ) − Rc (T 0 ) = R0 αΔT + β(ΔT )2 (30.2) Le fonctionnement du capteur est non-linéaire. 30.4 Au premier ordre en ΔT , ΔRc s’écrit ΔRc αR0 ΔT . On en déduit la sensibilité S c du capteur : ΔRc αR0 = 0,577 Ω/◦ C (30.3) Sc = ΔT 8 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 9 — #357 i i Corrigé 30 30.5 La tension de mesure Vmes (T ) est donnée par : Vmes (T ) = Rc (T ) R0 + ΔRc Vg = Vg R + Rc (T ) R + R0 + ΔRc (30.4) 30.6 On en déduit : ΔVmes = Vmes (T ) − Vmes (T 0 ) = = R0 + ΔRc R0 Vg − Vg R + R0 + ΔRc R + R0 RΔRc Vg ΔR c (R + R0 )2 1 + R + R0 (30.5) Le conditionneur du capteur est non-linéaire. 30.7 Au premier ordre en ΔRc , ΔVmes s’écrit : ΔVmes (T ) RΔRc Vg (R + R0 )2 (30.6) On en déduit une approximation de la sensibilité S cond du conditionneur. S cond = ΔVmes R Vg ΔRc (R + R0 )2 (30.7) 30.8 En utilisant (30.2) dans (30.6), on obtient : ΔVmes RR0 αΔT + β(ΔT )2 = ⎞ Vg ⎛ ⎜⎜⎜ R0 1 + αΔT + β(ΔT )2 ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ (R + R0 )2 ⎜⎜⎜⎝1 + ⎠ R + R0 (30.8) La mesure est non linéaire. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 30.9 Au premier ordre en ΔT de ΔVmes , on a : ΔVmes RR0 αVg ΔT (R + R0 )2 (30.9) On en déduit l’approximation de la sensibilité S mes de la mesure : S mes = RR0 ΔVmes αVg ΔT (R + R0 )2 (30.10) 30.10 Il suffit de chercher la valeur de R annulant la dérivée de (30.10). dS mes R0 (R + R0 )2 − 2(R + R0 )RR0 = αVg = 0 dR (R + R0 )4 (30.11) On en déduit R = R0 . ©DUNOD, Paris, 2013 9 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 10 — #358 i i Les capteurs 30.11 (30.7) et (30.10) deviennent alors : ⎧ Vg ⎪ ⎪ ⎪ S cond = 11,23 mV/Ω ⎪ ⎪ ⎪ 4R0 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ αVg ⎪ ⎪ ⎩ S mes = 6,48 mV/◦ C 4 (30.12) 30.12 Pour que la valeur de R maximalise la linéarité autour de la température T 0 , il suffit que Vmes (T ) présente alors un point d’inflexion en T 0 soit à avoir d2 Vmes (T )/dT 2 T = 0. On a : 0 ⎧ Rc (T ) ⎪ ⎪ ⎪ Vg Vmes (T ) = ⎪ ⎪ ⎪ R + Rc (T ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R dRc (T ) ⎪ ⎪ ⎨ dVmes (T ) = V 2 g dT ⎪ dT ⎪ (R + Rc (T )) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ 2 ⎤ ⎪ ⎪ 2 R (T ) ⎪ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎪ R d dR (T ) d2 Vmes (T ) c c ⎪ ⎪ ⎥⎥⎦ = Vg ⎢⎢⎣(R + Rc (T )) −2 ⎪ ⎪ 2 3 2 ⎩ dT dT dT (R + Rc (T )) (30.13) Il vient alors : 2 2 T α 0 − 1 = 385,30 Ω − Rc (T 0 ) = R0 β d2 Rc (T ) dT 2 T 0 R= dRc (T ) 2 dT (30.14) 30.13 On a alors : ⎧ ΔVmes R β Vg ⎪ ⎪ ⎪ Vg = (α2 − β) 4 = 7,81 mV/Ω S cond = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ΔRc ⎪ (R + R0 ) α R0 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ RR0 ΔVmes β ⎪ ⎪ ⎪ αVg = (α2 − β) 3 Vg = 4,51 mV/◦ C ⎩ S mes = ΔT 2 (R + R0 ) α (30.15) L’amélioration de la linéarité conduit à une baisse de 30 % de la sensibilité de la mesure S mes . La figure 30.1 montre l’effet du choix de l’optimisation de la sensibilité ou de l’optimisation de la linéarité. 10 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 11 — #359 i i Corrigé 30 ΔVmes (V) Optimisation de la sensibilité 0, 4 0, 2 0 Optimisation de la linéarité −0, 2 −0, 4 −20 0 20 T (°C) Figure 30.1– Variation de la tension de mesure Dans ce type de montage et selon l’effet recherché, on privilégie via le choix de la résistance fixe R, d’optimiser soit la sensibilité soit la linéarité. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Le choix d’optimiser la linéarité n’est pas toujours possible car, selon la forme de la caractéristique du capteur, l’équation (30.14) peut conduire à une valeur négative de R. ©DUNOD, Paris, 2013 11 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 12 — #360 i i 31 E XERCICE : Capteur de déplacement capacitif – Non-linéarité Corrigé détaillé 31.1 À partir du montage de la figure 31.1, on a : R4 R3 Z1 − R4 Z2 Z1 Vg cos ωg t − Vg cos ωg t = Vmes (t) = Z1 + Z2 R3 + R4 (Z1 + Z2 )(R3 + R4 ) L’amplitude Vmes de Vmes (t) est donc : Vmes = R3 Z1 − R4 Z2 Vg (Z1 + Z2 )(R3 + R4 ) (31.1) 31.2 Avec Z1 (m0 ) = Z2 (m0 ) = Z0 pour m = m0 , l’équilibre du pont, i.e. Vmes (m0 ) = 0, conduit à R3 = R4 . A priori, on choisit pour m0 le milieu de l’étendue de mesure afin de minimiser les non-linéarités. (31.1) devient alors : Vmes = Z1 − Z2 Vg Z1 + Z2 2 (31.2) Le conditionnement est non linéaire puisque les impédances des capteurs figurent au dénominateur de l’expression (31.2). 31.3 Les deux capteurs sont des condensateurs plans, de surface en regard S /2 et d’entrefer e de permittivité ε. En négligeant les effets de bord leur capacité C0 dans la configuration de la figure 31.2 dite de repos est C0 = εS /2e. Ces condensateurs étant alimentés en sinusoïdal à la pulsation ωg , leur impédance dans la configuration de repos est donnée par : 1 2e = (31.3) Z0 = jC0 ωg jεS ωg 31.4 L’armature mobile se déplaçant de Δx vers la droite, la surface en regard des armatures de C1 devient S 1 = S (L/2 + Δx)/L. Pour C2 , on a S 2 = S (L/2 − Δx)/L. Il 12 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 13 — #361 i i Corrigé 31 vient donc : ⎧ ⎪ ε S L ⎪ ⎪ ⎪ + Δx = C0 1 + C1 = ⎪ ⎪ ⎪ eL 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ε S L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ C2 = e L 2 − Δx = C0 1 − 2Δx L 2Δx L soit ⎧ Z0 ⎪ ⎪ ⎪ Z1 = ⎪ ⎪ ⎪ 2Δx ⎪ ⎪ ⎪ 1+ ⎪ ⎨ L ⎪ ⎪ Z0 ⎪ ⎪ ⎪ Z2 = ⎪ ⎪ 2Δx ⎪ ⎪ ⎪ 1− ⎩ L (31.4) On est en présence de deux capteurs non-linéaires fonctionnant en push-pull. 31.5 (31.4) reportée dans (31.2) conduit à : Vmes = Δx Z1 − Z2 Vg = − Vg Z1 + Z2 2 L Grâce au fonctionnement push-pull des deux capteurs, la mesure est ici linéaire en Δx bien que le conditionnement ne soit pas linéaire. 31.6 La sensibilité S mes de la mesure est donnée par : S mes = Vg ΔVmes Vmes = =− = −1 V/mm Δx Δx L 31.7 Le fonctionnement push-pull des capteurs fait que C2 s’écrit : , , C2 = C0 1 − k1 (Δx L) + k2 (Δx/L)2 − k3 (Δx L)3 31.8 À partir des expressions de la question 31.4, par identification on a immédiatement k1 = 2. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 31.9 Comme précédemment et en utilisant (31.3), on a maintenant : ⎧ Z0 Z0 ⎪ ⎪ ⎪ , = Z1 = ⎪ ⎪ ⎪ D1 ⎪ 1 + k1 (Δx L) + k2 (Δx/L)2 + k3 (Δx/L)3 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ Z0 Z0 ⎪ ⎪ ⎪ , = Z2 = ⎪ ⎪ ⎪ 2 3 D ⎩ 2 1 − k1 (Δx L) + k2 (Δx/L) − k3 (Δx/L) On en déduit : ⎧ −2Z0 ⎪ ⎪ ⎪ k1 (Δx/L) + k3 (Δx/L)3 Z1 − Z2 = ⎪ ⎪ ⎪ D1 D2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 2Z0 ⎪ ⎪ ⎪ 1 + k2 (Δx/L)2 Z1 + Z2 = ⎩ D1 D2 ©DUNOD, Paris, 2013 (31.5) (31.6) 13 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 14 — #362 i i Les capteurs La variation de la tension de mesure devient alors : ΔVmes 2 k3 Δx 1+ k1 L k1 (Δx/L) + k3 (Δx/L)3 Vg Δx Vg = −k1 =− (31.7) 2 2 2 L 2 1 + k2 (Δx/L) Δx 1 + k2 L ⎡ ⎤ 2 4 ⎥⎥ k3 Δx Vg ⎢⎢⎢⎢ Δx k3 Δx − k2 − k2 − k2 + · · ·⎥⎥⎥⎦ −k1 ⎢⎣1 + L 2 k1 L k1 L 31.10 La non linéarité de la mesure est d’ordre 3 alors que celle des capteurs était d’ordre 2. 31.11 Compte tenu du modèle utilisé pour les capteurs (polynôme d’ordre 3 en Δx/L), l’expression de la variation de la tension de mesure donnée par (31.7) devient linéaire en Δx/L si on réalise k3 = k1 k2 soit encore en utilisant le résultat de la question 31.8, k3 = 2k2 . ΔVmes s’écrit alors : ΔVmes = −k1 Δx Δx Vg = − Vg L 2 L 31.12 On a : Δx(t) Δx Vg (t) = − cos ωt · Vg cos ωg t L L Δx = − Vg cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t 2L ΔVmes (t) = − Le spectre de ΔVmes (t) est donc constitué des pulsations ωg − ω et ωg + ω. L’information est donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse. 31.13 D’après (31.7), avec k1 = 2 on a : ΔVmes 3 Vg cos ωg t Vg cos ωg t Δx(t) (k3 − 2k2 ) Δx(t) − =− L 2 L + Vg * Δx 2 cos ωt cos ωg t +2K(cos 3ωt − 3 cos ωt) cos ωg t 2L Vg * = − Δx 1 − 3K cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t 2L + +K cos(ωg − 3ω)t + cos(ωg + 3ω)t =− 14 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 15 — #363 i i Corrigé 31 Dans cette dernière expression, on a posé : 2 k3 − 2k2 Δx K= 8 L Le spectre de ΔVmes (t) est constitué des pulsations ωg −ω, ωg +ω, ωg −3ω et ωg +3ω. L’information est toujours véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 31.14 Le développement limité effectué à la question 31.9 ne donnant que des puissances impaires de cos ωt qui après linéarisation ne donnent jamais de termes constants, l’apparition d’un terme en cos ωg t après linéarisation est impossible. L’information reste donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse. ©DUNOD, Paris, 2013 15 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 16 — #364 i i 37 E XERCICE : Capteur de débit à tube Venturi – Tension de mode commun Corrigé détaillé 37.1 Le liquide étant parfait, la vitesse du liquide est identique en tout point d’une section droite du tube. On appelle respectivement v1 et v2 les vitesses du liquide au travers des sections droites situées à l’endroit des deux capteurs, on a : QV1 = πr12 · v1 et QV2 = πr22 · v2 . Le fluide étant incompressible, ces deux débits sont égaux et on les notera QV . On obtient finalement, en notant S 1 = πr12 et S 2 = πr22 les aires des sections droites à l’endroit des capteurs : v1 = QV S1 et v2 = QV S2 (37.1) 37.2 Le théorème de Bernoulli s’écrit : 1 ρgh + ρv2 + p = constante 2 (37.2) Dans cette expression g est l’accélération de la pesanteur, h la hauteur du point considéré par rapport à la référence et p la pression statique en ce point. Appliquée au niveau des capteurs de pression et compte tenu des hypothèses, (37.2) donne ici : 1 1 (37.3) ρgh0 + ρv21 + p1 = ρgh0 + ρv22 + p2 2 2 Les capteurs de pression étant situés à la même hauteur, le terme statique ρgh0 est identique au niveau des deux capteurs et (37.3) peut encore s’écrire en utilisant (0.1) : ρ S 12 − S 22 ρ 2 2 v − v1 = Q2 p1 − p2 = 2 2 2 S 12 S 22 V soit QV = S 1 S 2 2 p1 − p2 ρ S 12 − S 22 (37.4) Connaissant la géométrie du Venturi, la mesure de la différence de pression p1 − p2 permet d’évaluer le débit volumique QV . 16 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 17 — #365 i i Corrigé 37 II. AmpliÞcateur de différence – Tension de mode commun 37.3 Les tensions sur les entrées inverseuse et non-inverseuse sont respectivement données par : ⎧ R1 R2 R1 ⎪ ⎪ ⎪ (V s − VA ) = VA + Vs e− = VA + ⎪ ⎪ ⎨ R1 + R2 R1 + R2 R1 + R2 (37.5) ⎪ ⎪ R2 ⎪ + ⎪ ⎪ e = V B ⎩ R1 + R2 L’amplificateur étant parfait, la contre-réaction conduit à e+ = e− , soit : Vs = − R2 R2 (VA − VB ) = − Vmes = −1 V R1 R1 (37.6) 37.4 Le facteur de réjection du mode commun étant fini, la tension de sortie de l’amplificateur s’écrit : (e+ − e− ) 2 En posant K1 = R1 /(R1 + R2 ) et K2 = R2 /(R1 + R2 ), (37.5) devient : ⎧ − ⎪ ⎪ ⎨ e = K2 VA + K1 V s ⎪ ⎪ ⎩ e+ = K2 VB V s = Ad (e+ − e− ) + Amc (37.7) (37.8) En reportant (37.8) dans (37.7), il vient : Vs = © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Avec τ = Ad /Amc et Vmes −K2 Ad (VA − VB ) + K2 Amc (VA + VB ) 2 (37.9) Amc 2 = VA − VB , en posant Vmc = (VA + VB )/2, (37.9) devient : 1 + K1 Ad − K1 Vmc Vmc −Vmes + R2 K2 −Vmes + τ τ = Vs = 1 1 1 K1 R1 R1 (1 + Ad ) + R2 1+ − − K1 Ad 2τ R1 Ad 2τ Compte tenu des valeurs numériques de R1 , R2 , τ et Ad , on a : R2 Vmc = −0,9 V Vmes − Vs − R1 τ (37.10) Comparant (37.6) et (37.10), on constate qu’un facteur de réjection du mode commun fini fausse la valeur de la tension de sortie du montage puisque l’erreur relative commise est de 10 %. La valeur V s donnée par (37.10), interprétée pour en extraire p1 − p2 donnera finalement selon (0.4) une valeur fausse de la mesure du débit. ©DUNOD, Paris, 2013 17 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 18 — #366 i i Les capteurs III. AmpliÞcateur d’instrumentation 37.5 En appliquant (37.7) à ce nouveau montage électronique, on a : VA = Ad (e+ − e− ) + Amc (e+ − e− ) 2 (37.11) D’après le schéma de la figure 37.3, on a : ⎧ V − VB ⎪ RG R ⎪ ⎪ ⎨ e− = VB + RG A = VA + VB = KG VA + KVB R + RG R + RG R + RG ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ e+ = V A (37.12) Reportant (37.12) dans (37.11), il vient : Amc Amc K Ad (VA − VB ) + (VA + VB ) + KG Ad + VA 2 2 VA = 1 Amc 2 1 + KG Ad − 2 On obtient de même : Amc Amc K −Ad (VA − VB ) + (VA + VB ) + KG Ad + VB 2 2 VB = 2 1 Amc 1 + KG Ad − 2 (37.13) (37.14) 37.6 (37.13) et (37.14) conduisent à l’expression suivante de VA − VB : Amc 2K + KG 1 + 2KAd + KG Ad + 2 (VA − VB ) = VA − VB = Amc 1 1 + KG Ad − + KG 1 − 2 Ad 2R 2K + KG (VA − VB ) = 1 + (VA − VB ) KG RG 1 2τ (VA − VB ) 1 2τ Pour VA + VB , on obtient : K 1 + KG 1 + τ 2τ (VA + VB ) (VA + VB ) VA + VB = 1 1 + KG 1 − Ad 2τ 18 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 19 — #367 i i Corrigé 37 VA et VB sont les tensions d’entrée du deuxième étage de l’amplificateur d’instrumentation de la figure 37.3, étage étudié à la partie II. Par identification, on a donc : VA + VB 2R (VA + VB ) − 1+ (VA − VB ) + V s − (VA − VB ) − τ RG τ Vmc 2R Vmes − =− 1+ RG τA Dans cette dernière expression, on a posé : 2R τA = τ 1 + RG On désire garder le même gain que précédemment, on doit donc avoir : 1+ 2R 2R R2 = = 103 soit RG 3 RG R1 10 Numériquement, on obtient τA = τ (1 + 2R/RG ) = 107 = 140 dB. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. L’amplificateur d’instrumentation permet donc d’augmenter très fortement le taux de réjection du mode commun par rapport au simple montage amplificateur. Compte tenu de cette valeur, on a V s −1 V et on retrouve pratiquement la valeur calculée dans le cas d’un amplificateur supposé parfait (voir (37.6)), l’erreur relative n’étant plus que de 0,01 %. ©DUNOD, Paris, 2013 19 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 20 — #368 i i 5 P ROBLÈME : Capteur résistif non linéaire Corrigé détaillé I. Capteur résistif 5.1 L’écart à la linéarité est le plus grand écart sur l’étendue de mesure entre la caractéristique réelle et son approximation linéaire, valeur ici obtenue pour m = 0 ou m=2: (5.1) δRc = max Rc − Rc,lin m∈[0;2] = 0,19 Ω 5.2 L’erreur de linéarité est l’écart de linéarité (5.1) normalisé à l’excursion de la grandeur de sortie du capteur, ici sa résistance, soit : ε = δRc /(max(Rc ) − min(Rc )) = 0,19/(121,20 − 100) =0,9 % 5.3 Sous l’approximation linéaire, la sensibilité S c du capteur est donnée par : Sc = ΔRc = b = 10,6 Ω/unité de m Δm 5.4 Il vaut mieux choisir comme point de référence le milieu de l’étendue de me- sure, soit ici m0 = 1, afin de disposer de la même excursion de chaque côté et par la suite, diminuer la non-linéarité. D’après les données du tableau 5.1, on a Rc (m0 ) = Rc0 = 110,30 Ω. 5.5 Il vient aisément : ΔRc = Rc (m) − Rc0 = Rc (m0 + Δm) − Rc0 = a(m0 + Δm)2 + b(m0 + Δm) + c − (am20 + bm0 + c) = aΔm2 + (b + 2am0 )Δm = AΔm2 + BΔm L’application numérique donne A = 0,3 Ω/(unité de m)2 et B = 10,6 Ω/unité de m. 20 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 21 — #369 i i Corrigé 5 II. Montage potentiométrique – Alimentation en tension 5.6 La tension de mesure est donnée par : Vmes = Rc Rc0 + ΔRc Vg = Vg Rc + R Rc0 + ΔRc + R 5.7 On a simplement : ΔVmes = Vmes − Vmes0 = = RΔRc 2 (Rc0 + R) 1 + Rc0 + ΔRc Rc0 Vg − Vg Rc0 + ΔRc + R Rc0 + R ΔRc Rc0 + R Vg (5.2) 5.8 On peut chercher la valeur de R qui rend maximale l’évolution de la tension de mesure (5.2), c’est-à-dire la valeur donnant dΔVmes /dR = 0. Après dérivation, il vient : Rc − Rc0 dΔVmes 2 = V R − R R =0 g c c0 dR (Rc0 + R)2 (Rc + R)2 Rc évoluant autour de Rc0 , on choisit donc R = Rc0 (il est simple de vérifier que ce choix conduit effectivement à un maximum de la variation de la tension de mesure). La variation de la tension de mesure s’écrit alors : ΔVmes = ΔRc © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 4Rc0 1 + ΔRc 2Rc0 Vg = AΔm2 + BΔm Vg AΔm2 + BΔm 4Rc0 1 + 2Rc0 La non-linéarité provient de la combinaison de la non-linéarité du conditionneur potentiométrique et de la non-linéarité du capteur. 5.9 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est simplement donnée par le développement au premier ordre de ΔVmes en Δm, soit : ΔVmes,lin = BVg Δm 4Rc0 5.10 Sous cette approximation, la sensibilité réduite de la mesure est donnée par : Sr = B 1 ΔVmes,lin = = 24 mV/unité de m/V Vg Δm 4Rc0 ©DUNOD, Paris, 2013 21 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 22 — #370 i i Les capteurs 5.11 Le calcul de l’erreur s’effectue sans difficulté : ε1 = AΔm2 + BΔm BΔm Vg Vg − 2 4Rc0 AΔm + BΔm 4Rc0 1 + 2Rc0 AΔm2 + BΔm Vg AΔm2 + BΔm 4Rc0 1 + 2Rc0 A B A Δm2 − Δm − B 2Rc0 2Rc0 (5.3) = A 1 + Δm B Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.3) donne : B A A2 − Δm − 2 Δm2 = −1,97.10−2 Δm − 8,01.10−4 Δm2 ε1 B 2Rc0 B Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε1 = −2,10 %. III. Montage potentionmétrique – Alimentation en courant 5.12 Dans le cas d’une alimentation en courant, l’expression de la tension de mesure devient : Vmes = Rc Ig = (Rc0 + ΔRc )Ig Toujours avec la même référence que précédemment, ceci conduit à : ΔVmes = Ig ΔRc = (AΔm2 + BΔm)Ig Le conditionneur est ici linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient que de la non-linéarité du capteur. 5.13 L’approximation linéaire est immédiate : ΔVmes,lin = BΔmIg 5.14 La comparaison de ce résultat au cas d’une alimentation en courant doit être faite toutes choses égales par ailleurs. Le courant circulant , dans le capteur doit donc être identique dans les deux cas, ce qui conduit à Ig Vg 2Rc0 . On a alors : , ΔVmes,lin = BΔmIg BΔmVg 2Rc0 La sensibilité apparaît donc comme doublée par rapport à l’alimentation en tension. 22 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 23 — #371 i i Corrigé 5 5.15 L’erreur de linéarité ε2 est donnée par : ε2 = (AΔm2 + BΔm)Ig − BΔmIg AΔm = 2 (AΔm + BΔm)Ig B 1 + AB Δm Évaluée à l’ordre 2 en Δm, cette expression devient : A A ε2 Δm 1 − Δm = 28,30.10−3 Δm 1 − 28,30.10−3 Δm B B Cette erreur est maximale pour Δm = −1 et vaut alors ε2 = −2,91 %. IV. Montage en quart de pont 5.16 L’expression s’établit simplement : Vmes R3 Rc R2 − R1 R3 Rc Vg = − Vg = Rc + R1 R3 + R2 (Rc + R1 )(R3 + R2 ) (5.4) © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 5.17 Équilibrer le pont pour la valeur m0 du mesurande équivaut à Rc0 R2 − R1 R3 = 0. Il convient de choisir R1 = Rc0 pour avoir une meilleure sensibilité dans la branche potentiométrique contenant le capteur (voir question 5.8). Ceci entraîne R2 = R3 . Enfin, pour avoir la même puissance dissipée par effet Joule sur chacune des résistances (capteur y compris) de façon à équilibrer les échauffements, on choisit R1 = R2 = R3 = Rc0 = 110,30 Ω. La tension de mesure (5.4) s’écrit alors : Rc − Rc0 Vg Vmes = Rc + Rc0 2 En m0 , on a donc Vmes0 = 0 si bien que pour une évolution Δm de m à partir de m0 , la variation de la tension de mesure n’est plus superposée à Vmes0 ce qui permet une bien meilleure précision de la mesure. 5.18 Conséquemment la tension de mesure s’écrit : Vmes = ΔVmes A BΔm 1 + Δm Vg Vg ΔRc B = = 2 2 4R ΔRc AΔm + BΔm c0 2Rc0 1 + 1+ 2Rc0 2Rc0 5.19 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par le développement au premier ordre en Δm, soit : ΔVmes,lin = BVg Δm 4Rc0 ©DUNOD, Paris, 2013 23 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 24 — #372 i i Les capteurs 5.20 La sensibilité réduite S r de la mesure s’en déduit immédiatement : Sr = B 1 ΔVmes,lin = = 24 mV/unité de m/V Vg Δm 4Rc0 5.21 L’erreur de linéarité se calcule comme dans le cas du montage potentiomé- trique alimenté en tension. On obtient : B A A − Δm2 Δm − B 2Rc0 2Rc0 ε3 = A 1 + Δm B Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.5) donne : B A A2 − Δm − 2 Δm2 = −1,97.10−2 Δm − 8,01.10−4 Δm2 ε3 B 2Rc0 B Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε3 = −2,10 %. (5.5) V. Montage en demi-pont push-pull 5.22 Rc = Rc0 + ΔRc , R1 = Rc0 + ΔR1 et R2 = R3 = Rc0 , la variation de la tension de mesure autour de Vmes0 = 0 s’écrit : Vg Rc0 ΔRc − ΔR1 Rc0 + ΔRc − Vg = Vmes = Rc0 + ΔRc + Rc0 + ΔR1 Rc0 + Rc0 2Rc0 + ΔR1 + ΔR1 2 5.23 Les deux capteurs étant identiques et le fonctionnement push-pull, on a : ΔRc = Rc (m0 + Δm) − Rc (m0 ) = AΔm2 + BΔm et ΔR1 = Rc (m0 − Δm) − Rc (m0 ) = AΔm2 − BΔm 5.24 ΔVmes s’écrit alors : ΔVmes = Vg BΔm = 2 Rc0 + AΔm 2 BVg Δm AΔm2 2Rc0 1 + Rc0 (5.6) 5.25 Par approximation linéaire de (5.6), on tire : ΔVmes,lin = BVg Δm 2Rc0 5.26 La sensibilité réduite S r de la mesure est donnée par : Sr = 24 B 1 ΔVmes,lin = = 48 mV/unité de m/V Vg Δm 2Rc0 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 25 — #373 i i Corrigé 5 5.27 L’erreur de linéarité est : BVg 2Rc0 1 + AΔm2 Δm − BVg Δm 2Rc0 Rc0 BVg Δm AΔm2 2Rc0 1 + Rc0 ε4 = =− AΔm2 Rc0 Cette expression est maximale aux extrémités de l’étendue de mesure donc pour Δm = ±1 et donne ε4 = −0,27 %. VI. Linearisation amont – Montage en quart de pont actif 5.28 L’amplificateur opérationnel étant supposé idéal, on a : VA = Vmes + Rc Vg − Vmes Rc Rc0 = Vg + Vmes Rc + Rc0 Rc + Rc0 Rc + Rc0 et VB = Vg 2 5.29 La contre-réaction impose VA = VB , soit : Vmes = ΔVmes = BVg ΔRc Vg Rc0 − Rc Vg A =− =− Δm 1 + Δm Rc0 2 Rc0 2 2Rc0 B Le conditionneur est parfaitement linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient que du capteur. 5.30 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. ΔVmes,lin = − BVg Δm 2Rc0 5.31 La sensibilité réduite vaut ici : Sr = B 1 ΔVmes,lin =− = −48 mV/unité de m/V Vg Δm 2Rc0 5.32 L’erreur de linéarité se calcule comme précédemment : BVg BVg AΔm − + Δm 1 + Δm 2Rc0 B 2Rc0 AΔm = ε5 = BVg B + AΔm AΔm − Δm 1 + 2Rc0 B ©DUNOD, Paris, 2013 25 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 26 — #374 i i Les capteurs À l’ordre 2 en Δm, on obtient : AΔm AΔm 1− ε5 B B Cette expression est maximale sur l’étendue de mesure pour Δm = −1 et donne ε5 = −2,91 %. VII. Avantages et inconvénients des différents conditionneurs Le tableau 5.3 récapitule les différents résultats de l’étude. Ce tableau permet d’établir un certain nombre de critères de choix du conditionneur le mieux adapté au capteur. Tableau 5.3– Récapitulatif des signaux de mesure et des erreurs de linéarité Montage Signal de mesure Potentiomètre alimenté Variation autour de Vmes0 = Vg /2 : BVg ΔVmes,lin = Δm 4Rc0 Variation autour de Vmes0 = Vg /2* : BVg ΔVmes,lin = Δm* 2Rc0 Mesure différentielle, Vmes0 = 0 : BVg ΔVmes,lin = Δm 4Rc0 Mesure différentielle, Vmes0 = 0 : BVg ΔVmes,lin = Δm 2Rc0 Mesure différentielle, Vmes0 = 0 : BVg ΔVmes,lin = − Δm 2Rc0 en tension Potentiomètre alimenté en courant Quart de pont Demi-pont push-pull Quart de pont actif Erreur de linéarité maximale ε1 = −2,10 % Origine Non-linéarités du conditionneur et du capteur ε2 = −2,91 % Non-linéarité du capteur ε3 = −2,10 % Non-linéarités du conditionneur et du capteur ε4 = −0,27 % Non-linéarité du capteur ε5 = −2,91 % Non-linéarité du capteur ∗ Pour une alimentation en courant Ig = Vg /2Rc0 . Les deux conditionneurs potentiométriques présentent des variations de tension associées aux variations du mesurande qui sont superposées à une valeur de référence non nulle. Par la suite, la précision avec laquelle on en extrait l’évolution du mesurande est pratiquement imposée par la valeur de référence. Pour une bonne précision, 26 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 27 — #375 i i Corrigé 5 les montages potentiométriques sont donc à éviter. On peut montrer de plus qu’ils sont particulièrement sensibles aux dérives de la source d’alimentation et au bruit électromagnétique. En ce qui concerne la sensibilité, toutes choses égales par ailleurs, elle est doublée pour une alimentation en courant par rapport à une alimentation en tension. Bien que le montage avec l’alimentation en courant constitue un conditionneur linéaire, on peut s’étonner que l’erreur de linéarité obtenue soit plus importante que celle obtenue avec une alimentation en tension. Il se trouve qu’ici la non-linéarité du conditionneur potentiométrique alimenté en tension se combine avec la non-linéarité du capteur pour donner au final une mesure de non-linéarité plus faible. Le premier avantage des mesures en pont est la suppression de la composante de référence puisque celle-ci est fixée à zéro par l’équilibrage du pont. Le montage en quart de pont présente la même sensibilité et la même non-linéarité que le montage potentiométrique alimenté en tension. Le passage au demi-pont pushpull augmente d’un facteur 2 la sensibilité et réduit très fortement la non-linéarité. Le conditionneur est linéaire et le mode push-pull réduit d’un ordre la non-linéarité propre du capteur. L’utilisation du quart de pont actif est ici peu intéressante. Bien qu’il permette de n’utiliser qu’un capteur contrairement au demi-pont push-pull, bien qu’il possède la même sensibilité au signe près que le demi-pont et qu’il constitue un conditionneur linéaire, la non-linéarité du capteur n’est ici pas compensée par celle du conditionneur et au total la non-linéarité de la mesure est supérieure à celle du demi-pont. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. De plus, ce conditionnement en quart de pont actif isole le capteur de la masse ce qui peut éventuellement être problématique avec certains capteurs. En revanche, la tension de mesure se trouve référencée à la masse ce qui est un avantage en cas de nécessité d’une amplification (pas d’amplification de mode commun). ©DUNOD, Paris, 2013 27 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 28 — #376 i i Les capteurs 5.1 Ce problème présente deux types de non-linéarité qui sont d’origines différentes et qu’il ne faut pas confondre. La première est la non-linéarité résultant de l’écart entre la caractéristique réelle et la droite de régression par les moindres carrés. C’est le cas ici lorsque l’on calcule l’erreur de linéarité du capteur. Par définition, l’erreur de linéarité est égale au plus grand écart entre la caractéristique réelle et la droite de régression au sens des moindres carrés, écart normalisé à l’excursion de la grandeur considérée sur l’étendue de mesure (ici la résistance du capteur). Pour la déterminer, il est nécessaire que la grandeur soit étalonnée (ici, la résistance présentée par le capteur). La deuxième est la non-linéarité provenant du fait que pour extraire l’information utile, on utilise l’approximation linéaire de la tension de mesure et non la valeur théorique supposée exacte. Ici, il n’est pas besoin d’étalonner la mesure, il suffit seulement que le capteur ait été étalonné par le constructeur pour que l’on en ait un modèle suffisamment fiable et utilisable dans l’expression théorique du signal de mesure. 0, 03 1 3 2 5 0 4 0, 03 m (USI ) 0 1 2 Figure 5.4 – Évolution des erreurs calculées pour les quatre montages en fonction de l’évolution du mesurande 28 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 29 — #377 i i P ROBLÈME : Linéarisation aval 7 Corrigé détaillé I. Calculs préliminaires 7.1 La tension de mesure est donnée par : Vmes = Vg Rc R2 − R1 R3 (Rc + R1 )(R2 + R3 ) (R + R1 )(R2 + R3 ) (Rc + R1 )(R2 + R3 ) Rc + R1 + R2 + R3 3456 Rg + c 3456 Rc + R1 + R2 + R3 impédance du pont mesure différentielle 3456 courant délivré par la source 3456 tension aux bornes du pont Rc R2 − R1 R3 Vg = (Rc + R1 )(R2 + R3 ) + Rg (Rc + R1 + R2 + R3 ) (7.7) © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 7.2 Le pont est équilibré pour la valeur m0 du mesurande, soit Rc0 R2 = R1 R3 . On choisit R1 = Rc0 de façon à obtenir un maximum de sensibilité de la branche potentiométrique contenant le capteur. Il vient alors R2 = R3 . On choisit R2 = R3 = Rc0 de façon à ce qu’à l’équilibre, la puissance dissipée par effet joule soit la même pour chacune des résistances. On minimise ainsi le déséquilibre du pont lié à l’échauffement si les caractéristiques thermiques des quatre résistances sont proches. 7.3 Avec ΔRc = Rc − Rc0 , (7.7) devient : Rc0 ΔRc Vg Vmes = Vmes,0 +ΔVmes = 3456 2Rc0 (2Rc0 + ΔRc0 ) + Rg (4Rc0 + ΔRc ) =0 = ΔRc 4(Rc0 + Rg ) = k1 ΔRc Vg 1 + k2 ΔRc 1 Vg 2Rc0 + Rg ΔRc 1+ 4Rc0 (Rc0 + Rg ) (7.8) Le conditionnement n’est pas linéaire et donc la mesure ne sera pas linéaire. ©DUNOD, Paris, 2013 29 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 30 — #378 i i Les capteurs 7.4 Sous une approximation linéaire comme pour un fonctionnement en faibles signaux, on a ΔVmes = k1 Vg ΔRc soit une sensibilité du conditionneur donnée par : S cond = Vg ΔVmes = 16,7 mV/Ω = k1 Vg = ΔRc 4(Rc0 + Rg ) 7.5 En présence d’une variation de la source (qui passe de Vg à Vg + ΔVg ), que cette variation corresponde à une dérive réelle ou à un parasite capté par un des fils alimentant le pont, ΔVmes devient : ΔVmes = k1 ΔRc k1 ΔRc Vg + ΔVg 1 + k2 ΔRc 1 + k2 ΔRc En plus du terme précédent, il existe un terme croisé couplant variation du mesurande (via la variation de la résistance du capteur) et variation de la force électromotrice de la source. Ce terme lié à la variation de la source est bien évidemment gênant car il sera interprété comme lié à une variation de la résistance du capteur donc du mesurande. II. Linéarisation aval par multiplication et sommation 7.6 On a immédiatement V = V s ΔVmes /V0 et V s = V + ΔVmes , soit : Vs = k1 ΔRc Vg ΔVmes = k1 ΔRc Vg ΔVmes 1− 1 + k2 ΔRc − V0 V0 (7.9) 7.7 Pour supprimer la non-linéarité du conditionnement liée aux termes en ΔRc du dénominateur de (7.9), il suffit d’ajuster V0 à valeur donnée par : V0 = k1 Rc0 Vg = Vg = 4 V k2 2Rc0 + Rg 7.8 L’expression de la tension de sortie est alors : V s = k1 Vg ΔRc (7.10) Cette expression est parfaitement linéaire. La sensibilité du conditionneur est donnée par S cond = V s /ΔRc = k1 Vg = 16,7 mV/Ω. Cette sensibilité a la même valeur que pour le fonctionnement en faibles signaux de la question 7.5. 7.9 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à Vg + ΔVg , un terme croisé persiste : V s = k1 ΔRc Vg + k1 ΔRc ΔVg 30 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 31 — #379 i i Corrigé 7 III. Linéarisation par diviseur 7.10 L’amplificateur opérationnel étant idéal, la contre-réaction amène e− = e+ = 0 soit : V = −RI = −R k1 ΔRc ΔVmes = −ΔVmes = − Vg R 1 + k2 ΔRc (7.11) 7.11 Les impédances d’entrée du diviseur pondéré étant considérées comme infi- nies, on a : K KR V= V KR + R K+1 Vg + KV R = VD = V + (Vg − V) KR + R K+1 VN = (7.12) 7.12 En combinant (7.11) et (7.12), il vient : VN KV KΔVmes = 10 = 10 VD KV + Vg KΔVmes − Vg Kk1 ΔRc = 10 Kk1 ΔRc − (1 + k2 ΔRc ) V s = 10 7.13 Pour que le conditionnement soit linéaire, il faut fixer : K= k2 2Rc0 + Rg = = 2,5 k1 Rc0 7.14 L’expression de la tension de sortie est alors : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. V s = −10Kk1 ΔRc = − 2Rc0 + Rg 10ΔRc 4Rc0 (2Rc0 + Rg ) (7.13) Ce qui conduit à la sensibilité : S cond = −10 2Rc0 + Rg = −41,7 mV/Ω 4Rc0 (2Rc0 + Rg ) Le conditionnement est maintenant linéaire et la sensibilité est plus importante que précédemment. 7.15 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à Vg + ΔVg , comme le résultat (7.13) est indépendant de la force électromotrice de la source, en plus de la linéarisation on obtient une tension de sortie indépendante des variations de la source. ©DUNOD, Paris, 2013 31 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 32 — #380 i i Les capteurs 7.1 En toute rigueur, ces techniques de linéarisation peuvent très bien être utilisées sur des montages de type potentiométrique. Il suffit que le conditionnement donne une variation de la tension de mesure de la forme de l’équation (7.8). Il faut être vigilant à ce que la correction des non-linéarités entraînées par le conditionneur peut parfois être un pis-aller. En effet, il se peut que dans le cas d’un capteur non linéaire, non-linéarité du capteur et non-linéarité du conditionneur se compensent. La correction de la non-linéarité du conditionneur entraînera alors une non-linéarité sur la mesure plus importante. Considérons un capteur dont l’évolution de la résistance en fonction de son mesurande m est donnée par ΔRc = aΔm2 + bΔm. D’après (7.8), la tension de mesure est donnée * par Vmes = k1 ΔRc Vg /(1 ++ k2 ΔRc ). En développant ceci en Δm, on obtient Vmes k1 Vg bΔm + (a − k2 b2 )Δm2 + · · · . La tension de mesure linéarisée par exemple par la méthode de multiplicationsommation est donnée par (7.10), soit V s = k1 Vg ΔRc = k1 Vg (aΔm2 + bΔm). Il est clair que dans ce cas si a k2 b2 , la non-linéarité du capteur compense celle du conditionneur et que vouloir linéariser le signal va augmenter au final la nonlinéarité. C’est ce qu’illustre la figure 7.4 où, en utilisant les données numériques du problème, sont tracés les écarts de Vmes et de son expression linéarisée V s par rapport à la meilleure droite V approchant au sens des moindres carrés Vmes . On a pris b = 1 Ω/unité de m et a = k2 b2 = 4,167.10−3 Ω/(unité de m)2 . (V) 0, 05 Vs V Vmes V 0, 01 0 0, 01 m (USI ) 10 0 10 Figure 7.4 – Linéarisation par division 32 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 33 — #381 i i P ROBLÈME : Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d’angle 18 Corrigé détaillé 18.1 Le chemin optique étant identique selon les deux trajets, il n’y a pas de déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode, Δφ = 0. L’éclairement sur la photodiode est donc maximum et uniforme. 18.2 Les deux lames étant identiques, elles introduisent des variations identiques des deux chemins optiques de (n − 1)e. Le déphasage reste donc nul et l’éclairement maximum. 18.3 Par rapport au cas de la question 1, l’introduction de la lame L1 entraîne une variation (n − 1)e du chemin optique alors que l’introduction de la lame L2 entraîne une variation du chemin optique égale à nIJ − IH (voir figure 18.2). e © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. r J H I 1 n Figure 18.2 – Calcul de la différence de marche ΔL Comme IJ = e/cos r et IH = IJ cos(θ − r), la différence de chemin optique entre les deux ondes s’écrit : ΔL = e [n − cos(θ − r)] − (n − 1)e cos r ©DUNOD, Paris, 2013 (18.14) 33 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 34 — #382 i i Les capteurs 18.4 La loi de la réfraction de Descartes (sin θ = n sin r) donne aux petits angles : θ = nr. Il vient : r2 θ2 1 1+ 1+ 2 cos r 2 2n 2 θ2 n − 1 1 1+ et cos(θ − r) cos θ 1 − n 2 n (18.15) En utilisant (18.15) dans (18.14), on obtient au premier ordre non nul en θ : ΔL n−1 2 eθ 2n (18.16) La figure 18.3 montre que l’erreur relative engendrée par cette approximation reste inférieure à 1 % tant que l’angle θ reste inférieur à 0,2 rad. 1% 0,1 0 (en rad) Figure 18.3 – Erreur relative liée à l’approximation de ΔL 18.5 Le déphasage Δφ entre les deux ondes sur la photodiode est alors donné à partir de (18.16) par : 2π n − 1 2 2π ΔL eθ (18.17) Δφ = λ λ 2n 18.6 L’éclairement de la photodiode est le résultat de l’interférence de deux ondes cohérentes, isochrones, de même polarisation et de même amplitude si on considère les lames séparatrices identiques. Le coefficient de transmission énergétique des lames étant de 50 %, l’intensité résultante sur la photodiode est de la forme : I0 πn−1 2 I0 1 + cos(Δφ) 1 + cos eθ (18.18) I(θ) = 2 2 λ n 18.7 Cette intensité est nulle pour : θ= 34 (2k + 1) n λ n−1e avec k∈N ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 35 — #383 i i Corrigé 18 Elle est maximale pour : θ= 2k n λ n−1e avec k∈N Numériquement les premières intensités maximales et nulles sont obtenues pour les valeurs de θ récapitulées dans le tableau 18.1. La figure 18.4 donne l’évolution de l’intensité reçue par la photodiode en fonction de l’angle θ. Tableau 18.1 – Intensité sur le récepteur en fonction de l’angle θ θ (10−2 rad) θ (◦ ) I(θ)/I0 0 0 1 4,36 2,50 0 6,16 3,53 1 7,55 4,32 0 8,72 4,99 1 9,74 5,58 0 10,67 6,12 1 11,53 6,61 0 12,33 7,06 1 13,07 7,49 0 Pour ces valeurs de θ, l’approximation (18.16) est bien justifiée. I ( ) I0 1 0,1 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 0 (en rad) Figure 18.4 – Évolution de l’intensité sur la photodiode 18.8 L’angle θmax doit être tel qu’il n’entraîne qu’une différence de marche ΔL(θmax ) faible devant la longueur de cohérence temporelle lc de la source laser. D’après (18.16), il vient : ΔL(θmax ) n−1 2 eθmax = 0,3 μm lc = 10 μm 2n 18.9 Compte tenu de la divergence de la diode laser, le diamètre du faisceau à la hauteur de la photodiode est donné par ∅ = ∅d + 2l tan d = 74 μm. La puissance recueillie par la diode est maximale quand le transfert énergétique de l’interféromètre ©DUNOD, Paris, 2013 35 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 36 — #384 i i Les capteurs est égal à l’unité (par exemple pour θ = 0). La puissance recueillie est donc égale à la puissance émise par la diode laser pondérée du rapport de la surface active de la photodiode à la section du faisceau au niveau de cette photodiode, soit : P p, max = π∅2p /4 π∅/4 Pd = ∅ 2 p ∅ Pd = 1,97 mW Avec une sensibilité S p = 0,85 A.W−1 , ceci correspond à un courant maximum donné par imax = S p P p, max = 1,68 mA. 18.10 Compte tenu de la linéarité entre courant et puissance reçue sur la photo- diode, on a : i(θ) = πn−1 2 imax 1 + cos eθ 2 λ n (18.19) En différentiant l’expression (18.19), on obtient : πn−1 2 π n − 1 2 dθ di(θ) eθ sin eθ =− imax λ n λ n θ En passant aux accroissements finis autour de θ = θmax /2, tous calculs faits il vient : √ Δi π 2 Δθ Δi(θmax /2) = = imax imax 4 θmax On en déduit la résolution angulaire Δθ du système au voisinage de θmax /2 : Δi 4 n λ Δi 4 = 7,85.10−4 rad = 2 42 Δθ = √ θmax = √ imax π 2 imax π 2 n − 1 e 18.11 On peut améliorer la résolution de ce capteur de plusieurs façons. Premièrement, en utilisant une diode laser de longueur d’onde plus faible mais dont on sait que le coût est beaucoup plus élevé et la technique de mise au point plus délicate pour une même puissance disponible. On peut penser augmenter l’épaisseur des lames de verre mais tout en restant attentif à ce que la différence de marche reste très inférieure à la longueur de cohérence temporelle de la diode laser. Cette augmentation de l’épaisseur des lames de verre augmente l’encombrement du dispositif ce qui peut être gênant dans le cas d’un capteur intégré. Il peut être plus intéressant de travailler non pas entre θ = 0 et l’angle donnant le premier minimum nul, mais entre un maximum et le minimum suivant plus éloignés (voir courbe figure 18.4). Dans ce cas on améliore la résolution, la linéarité s’en trouve aussi améliorée mais on diminue alors l’étendue de mesure du capteur. 36 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 37 — #385 i i Corrigé 18 18.1 Comme il est expliqué dans la présentation de ce problème, ce type de montage peut être réalisé selon une technologie d’optique intégrée. On peut alors éventuellement remplacer les parcours des rayons dans le vide par des guides d’onde. Les miroirs et les séparatrices peuvent être alors intégrés au guide lui-même. L’avantage de cette technique et qu’elle s’adresse à tout mesurande (pression, température, champ électrique ou magnétique, etc.) susceptible de modifier le chemin optique (voire la polarisation de l’onde) le long d’un des bras de l’interféromètre (voir figure 18.5). S1 M1 DL P S2 Zone d’action du mesurande M2 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Figure 18.5 – Principe d’un interféromètre Mach-Zender intégré ©DUNOD, Paris, 2013 37 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 38 — #386 i i 19 P ROBLÈME : Étude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination à distance de la température d’un corps Corrigé détaillé 19.1 En effectuant le rapport des expressions de R(T ) prises pour T 1 et T 2 puis en prenant le logarithme népérien, on a immédiatement : B= R(T 1 ) T1 T2 = 3433,70 K ln T 2 − T 1 R(T 2 ) Le coefficient de température de cette thermistance est donné par : α= B 1 dR(T ) =− 2 <0 R(T ) dT T B étant possitive, α est négatif et la thermistance est donc du type CTN. 19.2 En combinant les expressions de R(T ) et R(T 1 ) tirées de (19.1), on obtient : 1 1 − R(T ) = R(T 1 ) exp B T T1 (19.20) Les valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦ C ≤ t ≤ 30 ◦ C sont reportées dans le tableau 19.1. Tableau 19.1– Valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦ C t 30 ◦ C t en ◦ C 38 R(T) en Ω 25 5000,00 26 4811,17 27 4630,65 28 4458,05 29 4292,95 30 4135,00 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 39 — #387 i i Corrigé 19 19.3 Le calcul est immédiat et donne : R(T ) 1 (R(T ) + R1 ) 2R1 R(T ) − R1 = − Ig = R1 Ig R(T ) + R1 2 R(T ) + 3R1 R(T ) + 3R1 Vmes (19.21) Soit en inversant (19.21) : R(T ) = R1 Ig + 3Vmes R1 R1 Ig − Vmes (19.22) 19.4 De façon simpliste on peut penser que la thermistance se trouve à la température t = ta = t1 et comme R(T 1 ) = R1 , on obtient alors Vmes = 0. 19.5 La température de la thermistance n’est donc pas égale à t1 = 25 ◦ C. D’après (19.21), Vmes étant négatif, on conclut que la thermistance est à une température plus élevée que t1 . Le circuit électrique étant isolé et thermostaté, l’échauffement de la thermistance ne peut être qu’un auto-échauffement provenant de la puissance qu’elle dissipe par effet Joule. (19.22) permet de calculer la résistance présentée par la thermistance, ce qui donne R(T ) = 4970,04 Ω pour Vmes = −15 mV. De (19.20), on tire : R(T ) 1 1 + ln T = T 1 B R(T 1 ) −1 = 298,31 K Ce qui donne t = 25,16 ◦ C, d’où l’auto échauffement Δta = 0,16 ◦ C. 19.6 Le bilan thermique sur une durée dτ donne : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. P J dτ − Ka (T − T a )dτ = MCdT (19.23) En régime permanent, l’expression précédente devient : P J = Ka (T − T a ) = Ka ΔT a (19.24) 19.7 Pour ta = 25 ◦ C, on a déterminé R(T ) = 4970,04 Ω à la question 19.5. En revenant au circuit et en notant IR le courant circulant dans la thermistance, on a : 2 1 2R1 (R(T ) + R1 ) 2 Ig (19.25) P J = R(T )IR = R(T ) R(T ) + R1 R(T ) + 3R1 2 2R1 Ig = 4,98 mW = R(T ) R(T ) + 3R1 ©DUNOD, Paris, 2013 39 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 40 — #388 i i Les capteurs 19.8 De (19.24), (19.25) et de la valeur de l’auto-échauffement déterminée à la question 19.5, on déduit la valeur du coefficient d’échange thermique de Ka : Ka = P = 0,032 W.K−1 Δta (19.26) 19.9 Pour une température t sur l’étendue de mesure 25 ◦ C ≤ t ≤ 30 ◦ C, on détermine la résistance R(T ) de la thermistance (équation (19.20)) puis la puissance P J (équation (19.25)) dissipée par effet Joule. En considérant le coefficient d’échange thermique (équation (19.26)) constant, on déduit l’auto-échauffement (équation (19.24)). Les résultats numériques sont reportés dans le tableau 19.2. Tableau 19.2– Évolution de la puissance dissipée par effet Joule et de l’auto-échauffement t en ◦ C R(T) en Ω PJ (t) en mW Δt a en ◦ C 25 5000,00 5,00 0,16 26 4811,17 4,90 0,15 27 4630,65 4,81 0,15 28 4458,05 4,71 0,15 29 4292,95 4,61 0,14 30 4135,00 4,52 0,14 On constate que la puissance dissipée et l’auto-échauffement sont pratiquement constants. Pour la suite ils seront fixés à leurs valeurs moyennes soit P̄ J = 4,76 mW et Δta = 0,15 ◦ C. Les erreurs introduites sont alors au maximum de 5 %. 19.10 Le bilan thermique sur une durée dτ s’écrit maintenant : P J dτ + φa dτ − Ka (T − T a )dτ = MCdT (19.27) Pendant l’intervalle de temps dτ, φa dτ est l’énergie radiative absorbée, P J dτ l’énergie dissipée par effet Joule et Ka (T − T a )dτ l’énergie cédée à l’enceinte ; ce bilan thermique provoquant une augmentation dT de la température de la thermistance. En régime permanent, (19.27) devient : T − T a = ΔT = P + φa Ka Les calculs précédents ont montré que l’on pouvait considérer que P J P̄ J = 4,76 mW. Grâce à ceci, il est possible de découpler l’échauffement dû à l’absorption du rayonnement de l’auto-échauffement par effet Joule et on a 40 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 41 — #389 i i Corrigé 19 P J /Ka P̄ J /Ka = ΔT a = 0,15 K. L’échauffement total de la thermistance s’écrit alors : φa + ΔT a (19.28) ΔT = T − T a = Ka 19.11 La paroi, considérée comme un corps noir, émet une puissance de rayonne4 . ment par unité de surface φcn donnée par la loi de Stefan-Bolzmann : φcn = σ T cn Une fraction φa de φcn , ne dépendant que de la géométrie, est absorbée par la thermistance et provoque un déséquilibre Vmes = −250 mV du pont. De (19.22), on déduit immédiatement la résistance présentée par la thermistance, soit R(T ) = 4512,20 Ω et de (19.20), l’échauffement total Δt = 2,68 ◦ C. Le résultat (19.28) permet d’en déduire la puissance absorbée à savoir φa = Ka (ΔT − ΔT a ) = 81,12 mW. 19.12 La température de la paroi étant maintenant de tcn , elle émet une puissance de rayonnement par unité de surface φcn = σ T cn4 dont la fraction φa est absorbée par la thermistance provoquant la nouvelle déviation du pont Vmes = −100 mV. Les calculs étant similaires à ceux de la question précédente, on trouve : R(T ) = 4801,98 Ω, Δt = 1,05 ◦ C et φa = 28,86 mW. 19.13 Comme il n’y a pas modification de la géométrie du problème, les puissances absorbées sont dans le rapport des puissances émises, on a : φa φcn σT cn4 = = 4 φa φcn σT cn On en déduit que T cn = T cn (φa /φa )1/4 = 751,60 K soit tcn = 478,45 ◦ C. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. L’hypothèse faite sur le fait que la paroi peut être considérée comme un corps noir n’est pas une nécessité. Le résultat serait le même si on postulait simplement que son émissivité est constante dans l’intervalle des températures considérées. 19.1 Le dispositif qui vient d’être décrit correspond à un pyromètre optique sans contact à poste fixe. D’autres techniques peuvent être utilisées utilisant non plus une thermistance mais une photopile ou un détecteur optique classique Si ou Ge (pour les températures supérieures à 1000 ◦ C) et plus récemment InGaAs pour des températures inférieures. Cependant, ces matériaux ne peuvent travailler dans la gamme de rayonnement basses températures (inférieures à 200 ◦ C) sans être euxmêmes refroidis. Pour cette gamme de température, le bolomètre constitue une solution de remplacement économique. Le principe du bolomètre a connu récemment un nouvel essor avec l’arrivée des caméras bolométriques où chaque pixel est en soi un microbolomètre comme celui précédemment décrit. ©DUNOD, Paris, 2013 41 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 42 — #390 i i Les capteurs Il y a quarante ans, les caméras thermiques n’étaient accessibles qu’aux militaires et nécessitaient un refroidissement de leurs capteurs optiques à −200 ◦ C. Les composants optoélectroniques (InSb, PtSi. . . ) et méthodes de refroidissement (effet Peltier, cycle Stirling. . . ) se sont améliorés mais les caméras thermiques restaient d’un coût élevé et parfois d’une utilisation délicate. L’arrivée des caméras bolométriques est en train de changer cet état de fait. Sont proposées actuellement sur le marché des caméras de 80 000 pixels pour des résolutions meilleures que 0,1 ◦ C. Figure 19.5 – Schéma et images en microscopie à balayage d’un pixel bolométrique (documentation Ulis∗ ) Ces caméras commencent à être utilisées pour des mesurandes primaires qui s’accompagnent de production de chaleur donc d’une évolution de la température. Des expériences ont déjà abouti, permettant d’étudier les contraintes mécaniques subies par des structures. Par effet thermoélastique, le champ de contrainte dans la structure, lié à une excitation extérieure, s’accompagne d’une très faible augmentation de la température locale proportionnelle à la somme des contraintes principales. Comme ces variations de température sont très faibles, on cycle de façon périodique l’excitation sur la structure et on synchronise la prise d’images thermiques sur cette excitation. Un traitement des images permet de n’extraire que les variations locales de température en phase avec l’excitation ∗ D’après Uncooled amorphous silicon technology enhancement for 25 μm pixel pitch achievement E. Mottin, A. Bain, J.L. Martin, J.L. Ouvrier-Buffet, S. Bisotto, J.J. Yon (LETI/CEA-DOPT/LIR) et J.L. Tissot (ULIS). 42 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 43 — #391 i i Corrigé 19 donc avec la contrainte. On mesure dans ce cas directement l’énergie associée à contrainte et non la déformation comme c’est le cas lorsque l’on utilise des jauges de contrainte collées. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Figure 19.6 – Mesure de contrainte (documentation Cedip) Concentration de contrainte autour de trou de rivet (industrie aéronautique) et mesure de contrainte sur support de fusée (industrie automobile) Figure 19.7 – Mesure de contrainte (documentation Cedip) Mécanique de la rupture, ßexion 3 points sur éprouvette en titane ©DUNOD, Paris, 2013 43 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 44 — #392 i i ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 45 — #393 i i P ROBLÈME : Capteur angulaire robuste 21 Corrigé détaillé 21.1 À partir de l’étude des figures 21.4 et 21.5, les variations des forces électromotrices s’écrivent aux premiers ordres en θ, x, y et z : Δeb1 = −kθ θ + kx − k y − kz z Δeh1 = −kθ θ + kx − k y + kz z Δeb2 = +kθ θ + kx + k y − kz z Δeb3 = −kθ θ + k x + ky − kz z Δeh2 = +kθ θ + kx + k y + kz z Δeh3 = −kθ θ + k x + ky + kz z Δeb4 = +kθ θ − k x + ky − kz z Δeb5 = −kθ θ − kx + k y − kz z Δeh4 = +kθ θ − k x + ky + kz z Δeh5 = −kθ θ − kx + k y + kz z Δeb6 = +kθ θ − kx − k y − kz z Δeb7 = −kθ θ − k x − ky − kz z Δeh6 = +kθ θ − kx − k y + kz z Δeh7 = −kθ θ − k x − ky + kz z Δeb8 = +kθ θ + k x − ky − kz z Δeh8 = +kθ θ + k x − ky + kz z k, k , kθ et kz représentent les dérivées partielles des forces électromotrices induites en fonction des variables de déplacement. Elles dépendent de la géométrie des bobines, de la différence des rayons du stator et du rotor, du nombre de spires des bobinages. . . © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 21.2 D’après la forme des variations des forces électromotrices, il est clair qu’il suffit de réaliser avec les bobines indicées h la même configuration que celle réalisée avec les bobines indicées b puis de connecter ces deux ensembles en série pour que la variation ΔVmes de la tension de mesure aux bornes de l’ensemble soit indépendante de la variable z. On peut donc se limiter à l’étude du branchement des bobines indicées b en éliminant provisoirement la variable z. Sous forme matricielle on a alors (Δeb1 , · · · ,Δeb8 ) = (θ,x,y) · K où la matrice K est donnée par : ⎤ ⎡ ⎢⎢⎢ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ ⎥⎥⎥ ⎥ ⎢ +k +k −k −k −k −k +k ⎥⎥⎥⎥ (21.29) K = ⎢⎢⎢⎢ +k ⎦ ⎣ −k +k +k +k +k −k −k −k ©DUNOD, Paris, 2013 45 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 46 — #394 i i Les capteurs On doit connecter entre elles les différentes bobines de telle façon que la tension V aux bornes de cet ensemble subisse une variation ΔV maximale et uniquement fonction de θ. Ceci revient à résoudre : (a1 , · · · ,a8 )T · (Δeb1 , · · · ,Δeb8 ) = (a1 , · · · ,a8 )T · (θ,x,y) · K (21.30) = max (ΔV(θ))|(a1 ,··· ,a8 ) Le symbole T tient ici pour la transposée. (21.30) conduit à résoudre, quels que soient kθ , k, k , x, y et θ, le système : ⎧ ⎪ (−a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + a6 − a7 + a8 ) kθ θ = max (V(θ))|(a1 ,··· ,a8 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ [(+a1 + a2 − a5 − a6 ) k + (+a3 − a4 − a7 + a8 ) k ] x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ [(+a3 + a4 − a7 − a8 ) k + (−a1 + a2 + a5 − a6 ) k ] y = 0 Les deuxième et troisième lignes de ce système amènent a1 = a5 , a2 = a6 , a3 = a7 et a4 = a8 . Selon la première équation du système, on doit alors avoir −a1 +a2 −a3 +a4 maximum. Les bobines ne pouvant être connectées en série que dans le même sens ou en opposition, on a nécessairement ai = ±1. Pour avoir une solution maximale, on peut choisir a1 = −1, a2 = +1, a3 = −1 et a4 = +1. On obtient alors ΔV(θ) = 8kθ θ et en tenant compte des bobines indicées h et connectées de la même façon, ΔVmes (θ) = 16kθ θ. Comme à l’équilibre toutes les forces électromotrices sont égales, la tension de mesure est alors nulle et on peut écrire Vmes (θ) = ΔVmes (θ) = 16kθ θ ce qui conduit à une expression instantanée donnée par vmes (t) = Vmes cos ωg t. 21.3 À la fréquence f du spectre utile de Vmes (t) correspond une composante Vmes, f cos ωt de Vmes (t) et donc une composante v f (t) = Vmes, f cos ωt cos ωg t. Pour celle-ci, on obtient en sortie du multiplieur, une composante de signal donnée par : vmes, f (t)vg (t) RIg Vmes, f cos ωt cos2 ωg t = v f (t) = E E RIg Vmes, f cos ωt 1 + cos 2ωg t = E 2 cos(2ωg + ω)t cos(2ωg − ω)t RIg Vmes, f cos ωt + + = 2E 2 2 En généralisant à tout le spectre utile de Vmes (t), le spectre du signal v(t) peut être schématisé comme à la figure 21.9. 46 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 47 — #395 i i Corrigé 21 Amplitude RI gVmes , f RI gVmes , f 4E 4E RI gVmes , f 2E 0 2 u g u 2 g 2 g u Figure 21.9 – Spectre du signal de sortie du multiplieur 21.4 D’après le circuit de la figure 21.7, on a : ⎧ i3 i1 ⎪ ⎪ ⎪ V(p) = + ⎪ ⎪ ⎪ Y3 Y1 ⎪ ⎪ ⎨ i5 i3 i3 i4 i2 i3 i3 ⎪ ⎪ V s (p) = − = − = − = − − ⎪ ⎪ ⎪ Y5 Y5 Y3 Y4 Y2 Y3 Y5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ i1 = i2 + i3 + i4 (21.31) La résolution de (21.31) conduit à : H(p) = Y1 Y3 V s (p) =− V(p) Y3 Y4 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) (21.32) 21.5 Avec Y1 = Y3 = Y4 = 1/R, Y5 = C p et Y2 = kC p (21.32) devient : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. H(p) = − 1 = 1 + 3RC p + kR2C 2 p2 H(0) 2ξ p2 1+ p+ 2 ω0 ω0 (21.33) √ √ Par identification, on a immédiatement ω0 = 1/ kRC et ξ = 3/2 k. √ 21.6 Avec ξ = 1/ 2 on a immédiatement k = 4,5 et le gain G(ω) du filtre s’écrit à partir de (21.33) : |H(0)| |H(0)| = G(ω) = |H( jω)| = 2 √ ω ω ω2 ω 1 + j2ξ 1 + j 2 − − ω0 ω20 ω0 ω20 G0 G0 = = ⎛ ⎞2 4 2⎟ 2 ⎜⎜⎜ ω ω ω ⎟ ⎟ ⎜⎜⎝1 − ⎟⎟⎠ + 2 1+ ω0 ω20 ω20 ©DUNOD, Paris, 2013 47 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 48 — #396 i i Les capteurs Ceci correspond bien à un filtre passe-bas du √ second ordre de pulsation de coupure à −3 dB obtenue en résolvant G(ωc ) = G0 / 2 soit ωc = ω0 . En dehors de la bande passante, donc à hautes fréquences, le gain a pour asymptote G(ω) G0 ω20 /ω2 . Si ω est multiplié par un facteur 10 le gain chute d’un facteur 100, ce qui correspond à une pente de −40 dB/décade. 21.7 Le filtre étant du second ordre, une perte de −80 dB correspond à 2 décades. On a donc en première approximation ωc /2ωg 1/100 soit fc = 2 kHz. Avec √ fc = f0 = 1/2π kRC, il vient C = 37,5 nF. 21.8 Compte tenu de l’action du filtre sur v(t) on a : v s (t) RIg Vmes (t) 2E (21.34) La détection synchrone effectuée a permis de démoduler le signal issu du capteur du signal de l’alimentation. 21.9 La régression linéaire à partir des données du tableau 21.1 et de (21.1) amène une approximation linéaire Vmes,lin de Vmes donnée par Vmes,lin 2,95.10−3 · θ − 0,02.10−3 où Vmes,lin est exprimé en volt et θ en degré. Ceci permet de calculer les valeurs de Vmes,lin de θ. Ces valeurs sont reportées dans le tableau 21.2. Tableau 21.2 – Approximation linéaire de la caractéristique θ (◦ ) Vmes,lin (mV) −40 −30 −20 −10 −0 +10 +20 +30 +40 −118,19 −88,64 −59,10 −29,56 −0,02 +29,52 +59,07 +88,61 +118,15 Le plus grand écart Vmes,lin − Vmes est de 12,52 mV pour θ = +40◦ . L’erreur de linéarité est donc de 12,52/((105,63) − (−105,74)) 6 % de l’excursion de Vmes . Le signal de sortie v s étant proportionnel à Vmes (facteur de proportionnalité RIg /2E = 2, voir (21.34)), la sensibilité de la mesure est de 5,90 mV/◦ et l’erreur de linéarité de 6 % de l’étendue de mesure. La figure 21.10 présente la caractéristique réelle du capteur et la droite des moindres carrés. 21.10 De façon générale, la relation non linéaire v s (θ) peut s’écrire : ∞ v s = a0 + a1 θ + a2 θ2 + · · · = an θn n=0 48 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 49 — #397 i i Corrigé 21 Réciproquement, il est donc possible d’écrire : ∞ θ = b0 + b1 v s + b2 v2s + · · · = bn vms (21.35) m=0 Linéariser, c’est réaliser un signal v s = Kθ soit : v s = Kθ = K b0 + b1 v s + b2 v2s + · · · = K ∞ bn vms m=0 300 (mV) Droite des moindres carrés 0 Caractéristique réelle 300 (°) 30 0 30 Figure 21.10 – Signal de sortie v s et droite des moindres carrés 21.11 Compte tenu de l’excursion des valeurs de v s , on peut se contenter pour (21.35) d’une relation approximative de (21.2) donnée par : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. θ = A · v3s + B · v s = 1,504.104 · v3s + 202,823 · v s (21.36) 2 . Le signal de sortie des multiplicateurs est en volt vm = v3s /Vre f D’après le montage 21.8, l’amplificateur opérationnel étant idéal, on a : e+ = R 3 R 5 v s + R 3 R 4 vm R3 R4 + R3 R5 + R4 R5 et e− = R1 v s R1 + R2 (21.37) La contre-réaction amène compte tenu de R1 = R3 : R1 + R2 R1 + R2 R3 R4 R3 R5 vm + vs R1 R3 R4 + R3 R5 + R4 R5 R1 R3 R4 + R3 R5 + R4 R5 v3s (R1 + R2 )R4 (R1 + R2 )R5 = + vs (21.38) 2 R1 R4 + R1 R5 + R4 R5 Vre f R1 R4 + R1 R5 + R4 R5 vs = ©DUNOD, Paris, 2013 49 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 50 — #398 i i Les capteurs En identifiant (21.38) et v s = Kθ = K(Av3v + Bv s ), il vient : (R1 + R2 )R4 2 = KAVre f = A R1 R4 + R1 R5 + R4 R5 (R1 + R2 )R5 = KB = B R1 R4 + R1 R5 + R4 R5 (21.39) K = 100 mV/◦ , en résolvant (21.39), on obtient : R4 = (R1 + R2 ) − R1 (A + B ) = 3,235 kΩ R1 A R5 = (R1 + R2 ) − R1 (A + B ) = 4,350 kΩ R1 B Le tableau 21.3 donne les valeurs de v s calculer d’après (21.38) ainsi que son approximation linéaire v s,lin obtenue en utilisant (21.1) (voir figure 21.11). Tableau 21.3 – Tension de sortie du dispositif de mesure θ (◦ ) −40 −30 −20 −10 −0 +10 +20 +30 +40 us (V) −3,928 −3,165 −1,973 −0,910 −0,023 +0,951 +2,031 +3,063 +3,921 us,lin (V) −4,000 −3,001 −2,002 −1,003 −0,004 +0,995 +1,995 +2,994 +3,993 4 (V) vs 0 v s ,lin 4 θ( ) 40 0 40 Figure 21.11 – Tension de sortie du système de mesure La sensibilité de la mesure est de 99,91 mV/◦ et le plus grand écart v s,lin − v s est de −164 mV pour θ = −30◦ . L’erreur de linéarité est donc de 0,164/((3,921) − (−3,928)) 2 % de l’étendue de mesure. On constate que la linéarisation a permis de fortement diminuer la non-linéarité du signal de mesure. 50 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 51 — #399 i i Corrigé 21 21.1 Le capteur angulaire inductif étudié ici fonctionne sur le même principe qu’un potentiomètre inductif dont on aurait multiplié le nombre de primaires et de secondaires de façon à le rendre insensible aux grandeurs d’influence que sont les déplacements parallèlement l’un à l’autre et l’un sur l’autre des axes des bobinages primaires (rotor) et secondaires (stator). Ces déplacements parasites existent à cause de l’absence volontaire de liaisons mécaniques entre le rotor et le stator. Pour résoudre le problème posé, une autre solution aurait consisté à utiliser un aimant permanent et une série de sondes à effet Hall à l’image des capteurs angulaires développés ces dernières années. (a) (b) (c) © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Figure 21.12 – Principe de capteurs angulaires à sonde à effet Hall (documentation TWK) ©DUNOD, Paris, 2013 51 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 52 — #400 i i 24 P ROBLÈME : Photodiode à effet latéral unidirectionnelle Corrigé détaillé I. La photodiode – Sensibilité 24.1 L’éclairement E étant la densité surfacique de flux lumineux, la puissance re- çue φ0 est simplement le produit de l’éclairement E par la surface de réception S , soit φ0 = ES . 24.2 La puissance dφ(z) absorbée par une tranche élémentaire d’épaisseur dz à l’abscisse z dans la zone de déplétion s’obtient par différentiation de la puissance à l’abscisse z, soit : dφ(z) = −β(1 − R)φ0 exp(−αlP ) exp(−βz)dz (24.40) 24.3 L’énergie d’un photon étant hν, le nombre dn de photons absorbés par la tranche d’épaisseur dz à l’abscisse z et par unité de temps est donné par dn = −dφ(z)/hν (comme d’après (24.40) dφ(z) est négatif, il convient de prendre la valeur opposée de dφ(z)/hν de façon à obtenir un nombre dn positif). 24.4 Puisqu’il y a η photoélectrons créés par photon absorbé, le nombre dn phot de photoélectrons libérés par unité de temps dans la tranche d’épaisseur dz à l’abscisse z est dn phot = −ηdφ(z)/hν. 24.5 Le nombre total n phot de photoélectrons créés par unité de temps dans la zone de déplétion d’épaisseur totale lZD s’obtient en intégrant l’expression précédente. Il vient : ηφ0 (1 − R) exp(−αlP ) 1 − exp(−βlZD ) (24.41) n phot = hν 24.6 Si on considère que l’épaisseur de la zone de déplétion est importante, c’est- à-dire lZD 1/β, (24.41) devient : n phot 52 ηφ0 (1 − R) exp(−αlP ) hν ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 53 — #401 i i Corrigé 24 24.7 Puisque l’on néglige la recombinaison, le photocourant dû aux électrons est donné par : eη λφ0 (1 − R) exp(−αlP ) hc Le courant dû aux trous étant égal au courant dû aux électrons, le photocourant total I phot est donc : 2eη λφ0 (1 − R) exp(−αlP ) I phot = hc 24.8 Le courant inverse Ir de la diode est la somme du photocourant et du courant d’obscurité (approximativement Is ), soit : Ir = I phot + Is = 2eη λφ0 (1 − R) exp(−αlP ) + AT 3 exp(−Eg /kT ) hc 24.9 Pour T = T max = 330 K avec Eg = 1,12 eV soit Eg = 1,79.10−19 J, on obtient alors I s = 100 nA. 24.10 La sensibilité de la photodiode est donnée par : S phot = ΔIr 2eη λ(1 − R) exp(−αlP ) = 0,4 A/W = Δφ0 hc (24.42) Le courant inverse étant proportionnel à la puissance lumineuse, la photodiode constitue un capteur linéaire. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. II. La photodiode – Puissance lumineuse maximale et effet thermique 24.11 À l’équilibre thermique la puissance dissipée par effet Joule est entièrement évacuée vers le milieu extérieur. Pour une température maximale T max de fonctionnement, on a donc : Pmax = K(T max − T ext ) = 7,2 μW 2 . On obtient alors I 24.12 On a dans ce cas Pmax = RImax max = 12 μA. 24.13 En utilisant (24.42) et la valeur du courant d’obscurité déterminée à la ques- tion 24.10, il vient : φmax = Imax − Is Imax = 29,5 μW S phot S phot 24.14 On a alors Emax = Emax /S = 9,84 W.m−2 1 mW.cm−2 ©DUNOD, Paris, 2013 53 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 54 — #402 i i Les capteurs III. Réponse spectrale 24.15 En première approximation et d’après (24.42), la sensibilité de la photodiode croît linéairement avec la longueur d’onde. À λ = 1000 nm, on a donc : S phot (1000 nm) = 1000 S phot (670 nm) 0,6 A/W 670 24.16 Lorsque la longueur d’onde augmente, l’énergie des photons diminue et la longueur d’onde maximale utilisable est celle pour laquelle l’énergie du photon est égale à la largeur de la bande interdite du semi-conducteur, soit Eg = 1,12 eV. La longueur d’onde maximale utilisable est donc λmax = hc/Eg = 1108 nm. Au-delà de cette longueur d’onde, l’énergie des photons est insuffisante pour créer une paire électron-trou. 24.17 Schématiquement, la réponse spectrale de la photodiode a l’allure suivante. S phot en A W 0,6 0,4 400 800 1200 en nm Figure 24.9 – Allure de la réponse spectrale de la photodiode IV. Principe de fonctionnement du détecteur de position (PSD) 24.18 Les résistances R1 et R2 étant en parallèle, R1 I1 = R2 I2 . En considérant que les différents matériaux sont parfaitement homogènes, le rapport des résistances est égal au rapport des longueurs de ces résistances. On a donc I1 l1 = I2 l2 . 24.19 Le faisceau étant centré, on a R1 = R2 = 100 kΩ. La constante de temps de la photodiode est donnée par τ = (R1 //R2 )C j = 62,5 ns et sa fréquence de coupure par fc = 1/2πτ = 2,55 MHz. 24.20 On a Imax /I s = (I phot + I s )/I s 120, on peut donc négliger le courant d’obs- curité et écrire I1 + I2 I phot . En utilisant le résultat de la question 24.18 et en posant 54 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 55 — #403 i i Corrigé 24 l1 = l/2 − x et l2 = l/2 + x, il vient : ⎧ ⎪ l2 ⎪ ⎪ ⎪ I phot = 1 + I1 = ⎪ ⎪ ⎪ l1 + l2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ l1 ⎪ ⎪ ⎪ = I = 1− I ⎪ ⎩ 2 l + l phot 1 2 2x I phot l 2 2x I phot l 2 La tension de mesure Vmes = a(I1 − I2 )/(I1 + I2 ) s’écrit alors : Vmes = 2a x l 24.21 La sensibilité S c du capteur réalisé s’en déduit immédiatement, on trouve S c = 2a/l. Sous les hypothèses faites, on a réalisé un capteur linéaire de l’écart x de la position du faisceau lumineux par rapport au centre de la photodiode. V. Électronique de conditionnement 24.22 Les amplificateurs opérationnels étant idéaux, position et puissance lumi- neuse étant constantes, on a simplement V1 = −Rc I1 et V2 = −Rc I2 . L’étage d’entrée du conditionneur réalise donc une conversion courant-tension. 24.23 Les amplificateurs étant idéaux et munis d’une contre-réaction, on a e+ = e− . Comme l’entrée non-inverseuse est à la masse, il vient e− = 0. L’impédance d’entrée de l’étage est donc nulle. La conversion courant-tension réalisée par le premier étage du conditionneur ne perturbe donc pas l’étage en amont, c’est-à-dire ici le capteur. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 24.24 Pour le calcul de VN , on peut écrire : e+ = V2 2 et e− = V N − V1 2 L’amplificateur étant idéal et muni d’une contre-réaction (e+ = e− ), on en déduit : V N = V2 − V1 = I1 − I2 Rc De même pour VD , il vient : VD = −R s I1 + I2 V2 V1 + = − (V1 + V2 ) = Rs Rs Rc ©DUNOD, Paris, 2013 55 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 56 — #404 i i Les capteurs 24.25 On en déduit l’expression de la tension de sortie de l’étage de conditionne- ment : VN I1 − I2 x =V = 2V VD I1 + I2 l Compte tenu des approximations faites, ce résultat est indépendant de I phot et permet donc d’affranchir la mesure d’éventuels effets de la variation de la puissance du faisceau. Vmes = V 24.26 On en déduit la sensibilité de la PSD réalisée : Sc = 2V = 6,667 V/mm = 6,667 mV/μm l VI. Principe de fonctionnement du détecteur de position à triangulation 24.27 En utilisant que les triangles O ΩB et O ΩA sont respectivement sem- et OΩA (voir figure 24.7), il vient : blables aux triangles OΩB X x =− d D (24.43) 24.28 On en déduit l’expression de la sensibilité de la mesure : S mes = Vmes Vmes x d = = −S c X x X D 24.29 Compte tenu de ce qui précède, il vient : d δVmes = 0,15 = D S c δX 24.30 On obtient alors : S mes = −S c d = −1 mV/μm D 24.31 L’étendue de mesure du capteur à triangulation est reliée à celle de la PSD par la relation (24.43), on obtient donc : D (24.44) E.M.(X) = E.M.(x) = [−1 cm, + 1 cm] d VII. Optimisation de la géométrie du capteur à triangulation 24.32 Compte tenu du résultat (24.43), il est clair que l’on peut augmenter la résolution de ce capteur en diminuant le rapport D/d. Cette diminution ne peut évidemment s’effectuer qu’en respectant les contraintes mécaniques d’encombrement 56 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 57 — #405 i i Corrigé 24 de la diode laser et de son condenseur, et, de la PSD et de sa lentille de focalisation. D’après le résultat (24.44), cette augmentation de la résolution et de la sensibilité du capteur s’accompagne d’une diminution dans le rapport inverse de son étendue de mesure. De plus, si on suppose que la cible peut être assimilée à un réflecteur lambertien, l’intensité lumineuse réfléchie est maximale dans la direction de la normale à la surface et varie selon I = I0 cos θ où θ est l’angle entre la normale à la surface et la direction d’observation. En augmentant la résolution par diminution du rapport D/d, on augmente le flux lumineux reçu par la PSD, facilitant ainsi la détection. En effet, plus le flux lumineux est important (évidemment sans aller jusqu’à engendrer des non-linéarités), plus le photocourant est prédominant devant le courant d’obscurité et plus les approximations faites sont justifiées. 24.33 Graphiquement, l’effet de l’inclinaison est évident. La sensibilité de la mesure est divisée par cos ϕ. On a donc intérêt à choisir ϕ suffisamment grand. 24.34 Les inclinaisons des directions O X et Ox doivent être telles qu’elles respectent les lois de formation des images par la lentille de focalisation. En effet, bien que ceci n’ait pas été étudié en début de problème, il est intuitif de penser que la précision sur la localisation du point d’impact du faisceau sur la PSD sera d’autant plus grande que la section de ce dernier sera faible. En cas de défocalisation la précision de la mesure sera donc dégradée. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. La compréhension du problème nécessite de revenir à la construction géométrique de la formation des images du point cible sur la PSD. On forme classiquement les points A, O et B images respectives des points objets A , O et B du plan objet incliné d’un angle α par rapport au plan de la lentille et dont la trace est l’axe O X (voir figure 24.10). Ces points permettent de former l’axe Ox, trace du plan image. La construction montre que la trace du plan image, la trace du plan de la lentille et la trace du plan objet se croisent au même point S (règle de Scheimpflug) et que la parallèle à la trace du plan objet passant par le centre optique de la lentille, la trace du plan focal image et la trace du plan image se croisent au même point H (règle de Hinge). Cette construction géométrique permet de déterminer la relation entre la position X (point de réflexion du faisceau laser sur la surface cible) et la position x, point de focalisation sur la PSD de la lumière se réfléchissant sur la cible et collectée par la lentille de focalisation. On pose do = O Ω, di = ΩO et f la focale de la lentille. ©DUNOD, Paris, 2013 57 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 58 — #406 i i Les capteurs Plan de la lentille Plan image A B x Fo O Fi O B X A H Plan objet S Figure 24.10 – Règles de Scheimpßug et de Hinge On applique la formule de conjugaison des lentilles minces entre les points conjugués O et O. Il vient : 1 1 1 (24.45) + = di do f De même, on applique la formule de conjugaison aux projetés de X et x sur l’axe optique, repérés par les mesures algébriques po = −do − X sin α et pi = di + x sin β par rapport à Ω, on obtient : 1 1 1 (24.46) − = pi po f En résolvant (24.45) et (24.46) en x, il vient : x= f 2 X sin α 1 sin β ( f − (do + X sin α)) (do − f ) (24.47) Selon la règle de Scheimpflug, on doit avoir di tan β = do tan α. Ceci permet de déduire l’expression de sin β : sin β = (do − f ) tan α f 2 + (do − f )2 tan2 α L’expression (24.47) de x en devient : 2 f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α f X x=− (do − f + X sin α) (do − f )2 58 (24.48) ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 59 — #407 i i Corrigé 24 24.35 Pour α = 35◦ , on obtient β = 75,30◦ . De (24.48), on déduit la nouvelle expression de la sensibilité : S mes f2 Vmes Vmes x = = −S c = X x X (do − f )2 f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α (do − f + X sin α) La mesure est de façon évidente non-linéaire. Cette non-linéarité entraîne une dissymétrie de l’étendue de mesure du capteur par rapport à la valeur de référence (X = 0 et Vmes = 0), soit : E.M. = [−8,59 mm ; 10,75 mm] pour x ∈ [−1,5 mm ; + 1,5 mm] La courbe de la figure 24.11 donne l’évolution de la tension de mesure en fonction de l’excursion X de la surface cible pour les valeurs caractéristiques données du système. 10 Vmes (V) 0 X (cm) 0,6 0 1 Figure 24.11 – Évolution de la tension de mesure © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 24.36 On pratique sur les données précédentes une régression linéaire au sens des moindres carrés. Sur l’étendue de mesure, l’approximation linéaire de Vmes est, pour Vmes en volt et X en centimètre, Vmes,lin = −10,358X + 0,004. L’écart à la linéarité, plus grand écart entre la caractéristique réelle et son approximation linéaire au sens des moindres carrés, est donné pour X = 1,075 cm et vaut ε = 759,93 mV. L’erreur de linéarité donnée par ε/(max(Vmes ) − min(Vmes )) s’en déduit aisément, elle a pour valeur 3,80 %. Cette erreur de linéarité n’est pas négligeable et il est intéressant dans ce cas de numériser Vmes et de construire une table de conversion dont la sortie est le déplacement X corrigé des effets de non-linéarité. ©DUNOD, Paris, 2013 59 i i i i i i “dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 60 — #408 i i Les capteurs 24.1 Le faisceau réfléchi par la cible a une certaine extension latérale. En raison des défocalisations possibles au point de focalisation sur la PSD, l’intensité lumineuse du faisceau est moyennée sur l’extension latérale de l’image par la PSD. Ceci entraîne des non-linéarités particulièrement sensibles lorsque l’on se trouve en limite de l’étendue de mesure. Une des résistances R1 ou R2 du problème est faible, ce qui entraîne que les approximations faites dans le problème traité ici ne sont plus valables comme par exemple le fait de négliger les impédances de contact semiconducteur-électrode collectrice. De plus, à la limite une partie du faisceau illuminant une électrode ne contribue plus au photocourant. Ces effets sont d’autant plus importants que l’extension latérale du faisceau est importante. C’est pourquoi on obtient une bien meilleure résolution avec les capteurs utilisant la réflexion spéculaire où par définition, le faisceau réfléchi a la même extension que le faisceau incident. Pour corriger en partie cet effet, certains capteurs à triangulation utilisent maintenant comme photodétecteur une CCD à la place de la PSD. Si on s’intéresse à la résolution, une PSD a communément une résolution de quelques micromètres. Une CCD a des pixels de surface de l’ordre de 7 μm × 7 μm, et donc une résolution de 7 μm si on néglige l’espace isolant entre deux pixels. Le faisceau réfléchi ayant une extension latérale, il est focalisé sur une surface supérieure à la taille des pixels. Plusieurs pixels sont donc illuminés par le faisceau réfléchi. Par traitement mathématique de l’intensité lumineuse mesurée par chaque pixel, notamment en calculant simplement le centroïde de cette répartition, on peut atteindre une résolution de quelques dixièmes de micromètres. Cette amélioration de la résolution du capteur s’accompagne malheureusement d’une baisse de la rapidité du capteur. Si on peut atteindre une fréquence de coupure de l’ordre du mégahertz avec une PSD, l’utilisation d’une CCD ne permet qu’une fréquence d’échantillonnage de quelques kilohertz. Pour conclure, citons que des PSD bidirectionnelles existent et qu’elles peuvent donc être utilisées pour la détermination des coordonnées en x et y du point d’impact d’un faisceau lumineux. Faisceau incident I x2 I y2 Figure 24.12 – Principe d’une PSD à deux dimensions (type duo-lateral) I x1 y 60 I y1 I y 2 I y1 x I x1 I x 2 I x1 I x 2 I y1 I y 2 ©DUNOD, Paris, 2013 i i i i