Les capteurs, 62 exercices et problèmes corrigés

Les capteurs
62 exercices
et problèmes CO[[igés
2e édition
RESSOURCES
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NUMÉRIQUES
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111ustration de couverture : On the road © MC_PP-Fotolia.com
d'enseignement supérieur, provoquant une
Le pictogramme qui figure ci-contre
mérite une explication. Son objet est
baisse brutale des achats de livres et de
d'alerter le lecteur sur la menace que
revues, ou point que la possibilité même pour
les auteurs de créer des œuvres
représente pour l'avenir de l'écrit,
particulièrement dans le domaine
nouvelles et de les foire éditer cor­
DANGER
de l'édition technique et universi­
rectement est aujourd'hui menacée.
taire, le développement massif du
Nous rappelons donc que toute
reproduction, portielle ou totale,
photocopillag e.
Le Code de Io propriété intellec­
de la présente publication est
tuelle du 1er juillet 1992 interdit
interdite sons autorisation de
LE Pl«lTOCOPllAGE
l'auteur, de son éditeur ou du
en effet expressément la photoco­ TUE LE LIVRE
Centre fronçais d'exploitation du
pie à usage collectif sons autori­
sation des ayants droit. Or, cette pratique
droit de copie (CFC, 20 rue des
s'est généralisée dans les établissements
Grands-Augustins, 75006 Paris)
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© Dunod, Paris, 2005, 2013
ISBN 978-2-10-070292-3
Le Code de Io propriété intellectuelle n'outorisont, oux termes de l'orticle
L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective»
et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et
d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle Faite
sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est
illicite » (art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue­
rait donc une contrefaçon sanctionnée par les ar ticles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
www.biblio-scientifique.net
111ustration de couverture : On the road © MC_PP-Fotolia.com
d'enseignement supérieur, provoquant une
Le pictogramme qui figure ci-contre
mérite une explication. Son objet est
baisse brutale des achats de livres et de
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représente pour l'avenir de l'écrit,
particulièrement dans le domaine
nouvelles et de les foire éditer cor­
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de l'édition technique et universi­
rectement est aujourd'hui menacée.
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Le Code de Io propriété intellec­
de la présente publication est
tuelle du 1er juillet 1992 interdit
interdite sons autorisation de
LE Pl«lTOCOPllAGE
l'auteur, de son éditeur ou du
en effet expressément la photoco­ TUE LE LIVRE
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pie à usage collectif sons autori­
sation des ayants droit. Or, cette pratique
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© Dunod, Paris, 2005, 2013
ISBN 978-2-10-070292-3
Le Code de Io propriété intellectuelle n'outorisont, oux termes de l'orticle
L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective»
et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et
d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle Faite
sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est
illicite » (art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue­
rait donc une contrefaçon sanctionnée par les ar ticles L. 335-2 et suivants du
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d'alerter le lecteur sur la menace que
revues, ou point que la possibilité même pour
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représente pour l'avenir de l'écrit,
particulièrement dans le domaine
nouvelles et de les foire éditer cor­
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de l'édition technique et universi­
rectement est aujourd'hui menacée.
taire, le développement massif du
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reproduction, portielle ou totale,
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sation des ayants droit. Or, cette pratique
droit de copie (CFC, 20 rue des
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L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective»
et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et
d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle Faite
sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est
illicite » (art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue­
rait donc une contrefaçon sanctionnée par les ar ticles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
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La mesure est une étape cruciale dans 1' acquisition scientifique de la connaissance
et le capteur est un composant incontournable de tout système moderne de mesure :
il constitue l'interface obligée entre monde réel et électronique du système de trai­
tement. Dans son principe, le capteur met en œuvre un phénomène par lequel la
grandeur qui est l'objet de la mesure (le mesurande) détermine, de façon univoque, la
valeur de l'une des caractéristiques électriques du capteur ; un circuit électrique - le
conditionneur - est fréquemment associé au capteur afin de délivrer sous la forme la
plus adéquate le signal électrique, support de l'information, qui sera traité par l' élec­
tronique du système.
La qualité d'une mesure est donc de façon primordiale déterminée, d'une part, par
le choix judicieux du capteur et de son conditionneur et, d'autre part, par l'exploita­
tion pertinente de leurs qualités métrologiques.
Pour un même mesurande, il existe généralement divers types de capteurs basés
sur des phénomènes différents et dotés de caractéristiques métrologiques spécifiques.
En fonction des conditions imposées par le problème particulier à résoudre (volume
disponible, étendue de mesure, bande passante, temps de réponse... ), il faut savoir
choisir le capteur et le conditionneur les plus appropriés.
Le capteur et son conditionneur ayant été choisis, il faut que l 'utilisateur sache en
disposer afin de minimiser les perturbations apportées au processus (discrétion) ou
subies de son chef (grandeurs d'influence).
Ce sont tous ces aspects que Pascal Dassonvalle aborde avec beaucoup de péda­
gogie dans cet ouvrage. La multiplicité des types de capteurs étudiés, la diversité des
situations expérimentales envisagées font de cet ouvrage une mine d'informations
utiles.
Pour tous ceux qui souhaitent réaliser une instrumentation de qualité, les exercices
et problèmes présentés dans l'ouvrage de P. Dassonvalle constituent un excellent en­
traînement pour apprendre à éviter les pièges et pour savoir choisir les bonnes solu­
tions : cet ouvrage sera, à coup sûr, un précieux outil de formation.
Georges Asch
Professeur à 1 'université de Lyon 1
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Cette table des matières multicritère permet au lecteur de sélectionner des exercices
et problèmes en fonction de la discipline majoritaire (physique, électronique, etc.) et
du niveau de difficulté (noté de* à*** du plus faible au plus fort).
Les thèmes traités sont classés selon trois disciplines :
•
•
•
E : électronique, circuits électriques ...
P : physique
S : statistiques, mathématiques ...
Selon que les disciplines marquent plus ou moins fortement un exercice ou un
problème, les lettres qui les indexent sont majuscules ou minuscules.
Com pléments e n l i g n e
Le symbole @ dans les titres des exercices e t des problèmes indique que les données
peuvent être téléchargées.
Le symbole ilID dans les titres des exercices et des problèmes indiquent que les corrigés
peuvent être téléchargés.
Tous ces éléments sont téléchargeables gratuitement sur :
La page web de l'auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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TITRE DE L'EXERCICE
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Potentiomètre linéaire en capteur de position push-pull
Capteur capacitif push-pull
à glissement du diélectrique
Étalonnage indirect - Régression linéaire@
Capteur de niveau capacitif
Montage potentiométrique d'une résistance thermométrique
Erreur de finesse d'un oscilloscope
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Table des matières
TITRE DE L'EXERCICE
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7
Capteur du second ordre
Capteur
à condensateur d'épaisseur variable
Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie
Capteur inductif
à réluctance variable
Choix d'un capteur de température
Utilisation des jauges d'extensométrie sur un corps d'épreuve
cylindrique
Effet de la résistance des fils de liaison du capteur dans un pont
Effet d'un mauvais appariement sur un pont
résistifs
à quatre capteurs
Effet de la résistance des fils de liaison d'un capteur alimenté
en courant
Étalonnage direct - Évaluation des différents types d'erreurs@
à quatre jauges
Correction de la dérive thermique d'un pont d'extensométrie
push-pull
Linéarisation de rapport potentiométrique - Mesure d'intensité
lumineuse@
Capteur de pression sonore aquatique piézoélectrique
Qualification en production d'un capteur
à réluctance variable
Mesure télémétrique et statistique de mesure@
Tachymètre optique
Capteur de pression
à tube borgne et jauges d'extensométrie
Piézoélectricité - Choix du piézoélectrique
Capteur
à courants de Foucault - Mesure de résistivité iJ
Relation mesurande-signal de mesure - Dérive thermique
Capteur de pression - Dérive thermique
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Potentiomètre rotatif - Effet de la dérive thermique
Résistance thermométrique en montage potentiométrique
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Capteur de déplacement capacitif - Non-linéarité
Capteur de température - Linéarisation
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Défaut d'un potentiomètre utilisé en capteur angulaire
Capteur capacitif - Effet de la dilatation
Photodiode
à deux cadrans utilisée en capteur d'angle
Capteur angulaire sans contact
Capteur de débit
à magnétorésistance
9
10
11
Jauge d'extensométrie capacitive haute température
de Wheatstone
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à tube Venturi - Tension de mode commun i!JJ
12
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Les capteurs
TITRE DU PROBLÈME
Mesure de la température de l'eau d'une installation de
chauffage central
Jauge de Pirani
Utilisation de capteurs de température pour la mesure
de la vitesse d'un fluide
Jauges d'extensométrie - Électronique de séparation contrainte Température
Capteur résistif non linéaire@
Capteur
à réluctance variable
Linéarisation aval il
i!lJl
Principe du thermocouple et lois élémentaires@
Thermométrie par résistance - Linéarisation
Système de pesée
à jauges d'extensométrie
Photorésistance - LDR : fonctionnement et utilisation pour le
centrage d'un ruban défilant
Thermométrie
à diode
Capteur capacitif de pression
à déformation de membrane
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
Capteur de courant
Ampèremètre
à fibre optique
à ceinture de Rogowski
Transformateur différentiel (LV DT)
Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d'angle @rJ
à distance de la température d'un corps 181
Étude d'une thermistance en utilisation bolométrique pour la
détermination
Pince ampèremétrique AC-DC
Capteur angulaire robuste@ li
Anémomètre
à fil chaud
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique@
Photodiode
à effet latéral unidirectionnelle�
Capteur de proximité capacitif
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290
296
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329
AVANT-P ROPOS
«
Je suis régulièrement soumis de la part de mes étudiants à la question : existe-t-il
un livre d'exercices en physique des capteurs ? » Ce à quoi je suis bien obligé de
répondre par la négative.
Cette même question est posée régulièrement à de nombreux collègues qui en­
seignent la même discipline à l'université ou en école d'ingénieurs.
Si je peux conseiller à mes étudiants la lecture de la référence dans le domaine
du professeur G. Asch aux éditions
Dunod, force est de constater qu'ils restent en attente d'un moyen plus immédiat de
se préparer à leurs examens.
11 m'a donc semblé intéressant de réaliser, bien modestement, un tel ouvrage.
Cet ouvrage est destiné à différentes catégories de lecteurs.
11 permettra aux étudiants universitaires et élèves ingénieurs de se confronter, au
travers de cas pratiques, au contexte pluridisciplinaire de la matière.
Pour les enseignants de la thématique capteurs cet ouvrage pourra être une
source d'inspiration pour leurs propres sujets d'examens. La discipline étant par na­
ture pluridisciplinaire (physique, électronique, métrologie, etc.), les sujets en ques­
tion sont souvent longs et délicats à mettre au point.
Les enseignants des matières connexes pourront y trouver des illustrations pour
certains de leurs enseignements.
Le but de l'ouvrage est d' aborder, au travers de problèmes concrets, l 'énorme
diversité du monde des capteurs (physique, métrologie, modélisation, électronique,
traitement du signal, etc.). J'ai cherché à rester le plus simple possible dans chacun
des domaines traités. Les problèmes corrigés sont volontairement pluridisciplinaires
et portent sur un large champ d' application de la physique des capteurs ; l'ensemble
des différents aspects depuis la conception jusqu'à la mise en œuvre étant abordé.
Le plus souvent possible les énoncés comprennent des schémas, permettant une
meilleure compréhension de la problématique, et les corrigés des courbes, générali­
sant souvent les calculs qui viennent d'être effectués.
Bien évidemment, les sujets abordés ne prétendent pas constituer une base de sa­
voir exhaustif de la thématique.
Les thèmes traités figurent sous deux types de présentation :
• Les exercices, dont la thématique n' aborde souvent qu'un aspect de la problèma­
tique des capteurs (physique, électronique, statistique, etc.). Chaque exercice est
construit autour de la compréhension d'un point scientifique précis ou d'une diffi­
culté technique de mise en œuvre.
«Les capteurs en instrumentation industrielle»
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IX
www.biblio-scientifique.net
Les capteurs
•
À
Les problèmes, par nature plus complets et pluridisciplinaires, et dont la problé­
matique englobe à la fois les principes physiques et les difficultés techniques de
mise en oeuvre. Chaque problème est accompagné d'une présentation du thème
traité et d'une conclusion sous la forme d'un développement technique, technico­
économique ou sur les variantes que l'on pourrait apporter à la problématique trai­
tée.
propos de la d e u x iè m e édition
Cette seconde édition compte douze nouveaux exercices qui portent notamment sur
les capteurs à courants de Foucault, les potentiomètres rotatifs ou les capteurs capa­
citifs.
Co m pléments e n l i g n e
Certains exercices et problèmes nécessitent d'utiliser un grand nombre de données ;
les données à télécharger sont présentées sous deux formats : Excel (97) et Matlab.
Les titres des exercices et problèmes dont les données peuvent être téléchargées sont
suivis du signe @ dans la table des matières.
Onze corrigés d'exercices et de problèmes ne figurent pas dans l'ouvrage mais
sont également téléchargeables. Ces corrigés sont signalés dans la table des matières
par le symbole 11.
Com pléments e n l i g n e
Les données e t les corrigés sont téléchargeables gratuitement sur :
La page web de l'auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l'adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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Avant-propos
Re merciements
Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à tous ceux, qui à des degrés divers,
ont contribué à la publication de cet ouvrage :
•
•
•
Professeur Georges Asch, que je remercie chaleureusement de m'avoir fait l'hon­
neur de relire cet ouvrage, dont les critiques et suggestions m' ont été précieuses et
l 'écoute toujours bienveillante.
Mes collègues Valérie Douay (ESIEE-Paris) et Laurent Baroux (ESIEE-Amiens)
pour leur relecture du manuscrit, leurs remarques constructives et leur bonne hu­
meur.
Enfin, je tiens à remercier les laboratoires de recherche et les sociétés qui m'ont
spontanément confié les illustrations de cet ouvrage :
Analog Devices
BOC Edwards
Cedip (dorénavant Flir)
Honeyvell
ifm-electronic
KIMO
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National Semicondutor (dorénavant Texas Instruments)
Prosensor
Raytek
Sensorex
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EX E RCIC E :
Pote n t i o m èt re l i n éa i re
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push-pu l l
Énoncé
Un capteur de déplacement rectiligne est constitué d'un potentiomètre linéaire sché­
matisé sur la figure 1 . 1. On désigne par .6.x la valeur du déplacement du curseur par
rapport à la position milieu que l'on prend pour origine de 1' axe x.
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Le montage
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Ill La course utile du potentiomètre est 2l = 1 0 cm et sa résistance totale est 2Ro.
En déduire l'expression des résistances Rb(.6.x) et Rh(.6.x) du potentiomètre (voir fi­
gure 1 . 1 ) pour un déplacement .6.x du curseur par rapport à la position milieu .
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16 Le potentiomètre est monté suivant le schéma de la figure 1 . 1 . La tension de
mesure Vmes , image de la position du curseur, est mesurée par une électronique d'im­
pédance d'entrée Rapp · Exprimer Vmes en fonction de Rb(.6.x), Rh(.6.x), Rg, Rapp et Vg .
mJ Que devient cette expression pour Rapp
>>
Ro ?
lm En déduire la sensibilité S mes de la mesure.
2
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Exercice 1
œ Quelle valeur doit-on donner à R9 pour que cette sensibilité soit maximale ?
Que deviennent dans ce cas Vmes et S mes ? Calculer la sensibilité réduite Sr·
ID Afin d'assurer un fonctionnement correct du capteur, le constructeur a fixé une
limite Vmax = 0,2 m.s- 1 pour la vitesse de déplacement v du curseur. En admettant que
le curseur a un mouvement sinusoïdal d' amplitude a = 1 cm autour d'une position xo
donnée, calculer la fréquence maximale max des déplacements que l'on peut traduire
avec ce système.
f
Corrigé détaillé
Ill On a directement d' après la figure 1.1 :
( tu)
( )
Rb(/ix)
=
2Ro
Ro + Tt/ix = Ro 1 + l
Rh(/ix)
=
2Ro
/ix
Ro - - /ix = Ro 1 2l
l
(1.1)
-
IB Compte tenu du montage réalisé, la tension de mesure est donnée par :
(1.2)
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
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>a.
0
u
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"
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"'
"
"
'"
·C0
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"
0"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
mJ Pour Rapp
( 1 .2) devient :
>>
Ro a fortiori Rapp
Vmes -
_
>>
Rb(/ix) et Rapp
»
Rh(/ix), en utilisant (1.1),
( )
/ix
Rb(/ix)
Ra
l+
V9
V9 l
Rg + Rh(/ix) + Rb(/ix)
R9 2Ro
_
+
Sous cette approximation la mesure est linéaire.
llJ La sensibilité de la mesure est donnée par :
S mes _
11Vmes
/ix
V9
Ro
R9 + 2Ro l
3
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1
•
Potentiomètre linéaire en capteu r de position push-pull
œ Pour que cette sensibilité soit maximale on doit avoir Rg = O. Dans ce cas, on a
alors :
( --l ) l
Vmes = 1 +
llx Vg
Vg
et S mes = 2z
La sensibilité réduite s'en déduit immédiatemment et on a :
1
1
S r = - S mes = - = 0, 1 V/cm.V
Vg
2l
!max Vmax/2na 3,2
ID Comme on a x = xo + a sin wt, la vitesse de déplacement du curseur est donné
par v = wa cos wt, on en déduit
=
=
Hz.
-0
0
c
::J
0
(V)
.--1
0
N
@
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
4
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EX E RCIC E :
Capte u r capac i t i f
pu s h-pu l l à g l i ssement
d u d i é l ectr i q u e
Énoncé
2. 1 ,
On considère la structure de la figure
constituée de deux condensateurs plans
identiques C 1 et C2 , de surface carrée ou rectangulaire d'aire A, entre les armatures
desquels se déplace selon l'axe x un noyau diélectrique de permittivité relative Er .
l
X
1
l
1
Fig u re 2. 1 - Condensateur à diélectrique glissant
g) Le noyau étant à sa position initiale, centré en x
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
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O'l
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"
'"
·C0
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"
0"
.3
ü
"
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
=
0, déterminer l'expression
des capacités C 1 (x = 0) = C2 (x = 0) que l'on notera Co (on négligera pour cela
les effets de bords et le couplage possible entre les deux condensateurs). On donne
1
12
2
Eo = 8,85 . 1 0- F. m- Er= e = 1 mm et A= 6 cm
, 3,
.
g) Le noyau est déplacé de x de sa position d'origine, déterminer les expressions
de C1 (x) et C2 (x).
Les écrire sous la forme Ci (x) = Co + !1 C l (x) et C2 (x) = Co + !1 C2 (x) en précisant
les expressions de !1C1 (x) et de !1C2 (x) en fonction de Co, x, l et Er .
g) Les deux condensateurs sont montés dans un circuit en pont selon le schéma de
la figure
et Vg.
2.2.
Exprimer la tension différentielle de mesure Vmes en fonction de x, l, Er
"
=
Ci
@
5
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2
•
Capteur capacitif push- p u l l à gl issement d u diélectrique
R
I,______
V,
nes
R
Fig u re 2.2 - Montage du capteur
g) En déduire la sensibilité S de la mesure. On donne : l 2 cm et V9
=
=
10 V.
fm Quelles sont les valeurs de l'étendue de mesure E . M. et de l'excursion de V
mes
?
Corrigé détaillé
gJ Le diélectrique étant centré, chaque condensateur équivaut à la mise en parallèle
de deux condensateurs plans de surface A/2, l'un de diélectrique de permittivité Eo,
l' autre de permittivité ErEo. On a donc immédiatement :
EoA ErEoA
+
2e
2e
Co =
-
=
EoA
- ( 1 + Er) = 10,62 pF
2e
g) Si le diélectrique est déplacé d' une quantité x, on a alors :
ErEo A l
Eo A l
C1 (x) = - - - - x +
- -+x
e l 2
e l 2
( )
-0
0
c
::J
0
(V)
=
......
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
[
-
( )
( )] [
EoA
2x Er - 1
-(Er + 1) 1 +
2e
l Er + 1
De même, on obtient :
-
=
Co 1 +
2x Er - 1
l Er + 1
-
( )]
=
Co + LiC 1 (x)
Eo A l
ErEo A l
C2 (x) =
- +x +
--x
e l 2
e l 2
--
( )
[
( )
( 1 )] [
--
EoA
2x Er - 1
= - (Er + 1) 1 - 2e
l Er +
2x Er - 1
= Co 1 - l Er + 1
( )]
= Co + LiC2 (x)
Les deux condensateurs fonctionnent en mode push-pull puisque LiC2 (x)
6
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=
-LiC 1 (x).
Exercice 2
g) D'après la figure 2.2, il vient en notant respectivement Z1 et Z2 les impédances
des condensateurs C 1 (x) et C2 (x) :
La mesure est linéaire puisque le signal de mesure, ici la tension Vmes , est proportion­
nelle au déplacement x.
g) On en déduit la sensibilité de la mesure donnée par :
S =
Vmes
-
X
( )
1 Sr - 1
Vg = 2,5 V/cm
[ Sr + 1
=-
fm Au maximum x = ±l/2, ce qui correspond à l'étendue de mesure :
= [- l em, + l em ]
Il vient alors Vmes E [-2,5 V, + 2,5 V].
E.M.
"'O
0
c
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0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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O'l
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a.
0
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2o..
=
2
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�
-0
0
"
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Ci
@
7
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EX E RCIC E :
Éta l o n n a g e i n d i rect
Rég re s s i o n l i n éa i re @
Énoncé
On réalise une sonde de température à partir d'un capteur de température bas coût.
Cette sonde délivre une tension Vmes(t) fonction de la température t (exprimée
en °C) à laquelle elle est soumise. Pour étalonner cette sonde, on la place dans
une enceinte thermostatée dont on fait varier la température sur l'étendue de mesure
E .M. = [O °C ; 100 °C]. La température est mesurée à l'aide d'une sonde thermo­
métrique Ptl OO de précision. On réalise ainsi un étalonnage indirect pour lequel on
considère que la température donnée par la sonde Ptl OO est parfaitement exacte. Les
résultats des mesures sont consignés dans le tableau 3.1.
Tableau 3. 1 - Étalonnage de l a sonde thermique
t°C
Vmes
t°C
Vmes
t°C
-0
0
c
::J
0
Vmes
3,35
26
43,00
424
68,26
671
8,80 1 1 ,66 1 7,66 22, 1 2
1 20
1 68
83
215
45,20 47, 1 9 49,95 51 ,83
497
476
500
443
77,33 78, 1 8 80, 1 8 82,82
745
773
759
790
30, 1 1
302
59,59
583
82,91
799
3 1 ,83
328
59,86
592
85,69
823
36,44 38,81
390
355
6 1 ,67 64, 1 0
627
594
9 1 ,76 92,51
878
884
39,86
390
67,84
660
99,59
936
(V)
......
Ill Sur l'étendue de mesure E .M., on cherche à modéliser le comportement de la
0
N
sonde par l'approximation linéaire Vmes = VmesO + at. Déterminer les expressions
VmesO et a obtenues à partir des N points expérimentaux (ti , Vmes,i ) donnés dans le ta­
bleau et en calculer la valeur. Pour ceci, on cherchera à minimiser l'écart quadratique
moyenx2 entre l'approximation linéaire et les points expérimentaux. On réalise alors
une régression linéaire au sens des moindres carrés.
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
16 Estimer la sensibilité S dVmes/dt.
=
@ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage).
8
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Exercice 3
BJ Donner l'écart de linéarité ê, plus grand écart sur l'étendue de mesure entre la
caractéristique réelle et 1' approximation linéaire donnée par la droite.
Il) Calculer l'erreur de linéarité err, écart de linéarité normalisé à l'excursion de
Vmes(t) sur l'étendue de mesure E.M.
Corrigé détaillé
ID L'écart quadratique moyen entre les N points expérimentaux et l'expression
linéaire approximative est donné par :
2 1 L.J (Vmes,i - (VmesO + œti))2
X =
-N �i=l
Les valeurs de VmesO et a qui vont permettre d'ajuster au mieux la droite d'équa­
tion Vmes = VmesO + œt aux résultats expérimentaux doivent rendre la valeur de x2
minimale. On doit donc avoir :
N
2
ax2
=
=0
+
.t=l (Vmes,i - (VmesO œti))
a VmesO - N I
N
ox2
2
- =I
- (VmesO + œtï)). ti = 0
oœ
N i=l (Vmes,i
-
-
Ceci peut être développé selon :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
.......
..c
O'l
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>a.
0
u
@
N
..:
�
"O
c:
:::l
'-'
'-'
�
�0
:;
"'
c:
0
c:
I Vmes,i - NVmesO - a I ti
�I
N
N
i=l
i=l
N
o.
:::l
a
@
N
0
i=l
La résolution en a et VmesO de ce système d'équations conduit à :
c:
-0
0
c:
=
�I
I Vmes,Ji - VmesO I ti - a I tI = Û
.S:
ü
:::l
"O
12
2
B:::l
rS
N
a=
N
N
N I tiVmes,i - I ti I Vmes,i
i=l
i= 1 i=I.
t (t I
������
N
tf-
t
9
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3
•
Étalonnage i n d i rect - Régression li néaire
Vmes =
N
N
N
i=l
i= l
i= l
N
L tf L Vmes,i - L L tiVmes,i
fj
i=l
Nt Ç- (t l;r
-------
En appliquant ces résultats aux données de l'étalonnage (tableau 3.1 ), on obtient :
a = 9,5 mV. °C- I
et Vmeso = 1 1 ,4 mV
La figure 3.1 présente le tracé des points expérimentaux et de la meilleure approxi­
mation linéaire (droite de régression au sens des moindres carrés).
v;nes (V)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
"'O
0
c
::J
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
f (OC)
100
Fig u re 3. 1 - Points expérimentaux (U) et droite de régression ( - )
(V)
......
0
N
16 La sensibilité S n'est rien d'autre que la pente de la droite de régression, c'est­
à-dire s = a = 9,5 mv.0c-1
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
•
Ill L'écart de linéarité ou plus grand écart sur 1' étendue de mesure entre les points
expérimentaux et les valeurs calculées selon l'approximation linéaire est s = 2 1 mV
(pour t 99,59 °C).
=
Il) L'erreur de linéarité est alors donnée par :
err
= ë/ (VmesC99,59) - VmesC3,35))
�
10
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2,5 %
EX E RCIC E :
Ca pte u r d e n i vea u
capac i t i f
Énoncé
On désire réaliser un capteur de niveau pour une cuve d'huile. Soit le condensateur
plan schématisé figure 4. 1 dont les armatures sont de surface S et de hauteur h. Le
condensateur est initialement dans l'air (permittivité t:1). Un liquide, de l'huile de
permittivité
monte jusqu'à une hauteur x mesurée à partir du bas des armatures ;
soit C(x) la capacité correspondante du condensateur.
t:2 ,
"'O
0
c
:J
0
(V)
r-l
0
N
©
.µ
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Ol
>a.
0
u
ï::::
X
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"O
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"
"
'"
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c0
c
c
.r2
ü::l
"O
2
2
B
o..
:::l
�
"°0
c::l
Ci
@
h
F i g u re 4 . 1 - Schéma de principe du capteur
ED Déterminer l' expression de la capacité C(x).
Ill Calculer les capacités minimale et maximale du capteur ainsi que les im­
pédances correspondantes sous une alimentation sinusoïdale à 1 0 kHz. On donne
E1 = Eo = 8,85 . 10- 1 2 F/m, E2 = 4t:o, S = 2 . 1 0-2 m2 , e = 5 mm et h = 1 m.
EIJ Le capteur est monté dans un circuit en pont selon le schéma de la figure 4.2. Le
condensateur Cu est un condensateur variable dont on règle la valeur à Co
=
C(x = 0).
ll
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4
•
Capteur de niveau capacitif
Donner l'expression de la tension différentielle de mesure Vmes en fonction de
et V9. On donne V9 = l O V.
s1 ,s2
x,
h,
F i g u re 4.2 - Circuit de conditionnement du capteur
Il) Montrer que quelle que soit la forme que l'on donne aux deux armatures, par
exemple deux tubes coaxiaux ou une tige et la paroi extérieure de la cuve si elle est
métallique, on obtient un résultat similaire.
œ Quel problème majeur peut fausser la mesure ?
Corrigé détaillé
ED Tout se passe comme si on était en présence de deux condensateurs plans en
C1 , C , S 1 S
2
2
parallèle : un condensateur de capacité
de surface et dont le diélectrique est de
permittivité et un condensateur de capacité
de surface et dont le diélectrique
est de permittivité
La capacité du condensateur résultant est donc donnée par :
s1 s .
2
"'O
0
c
::J
0
(4. 1 )
(V)
s1 S -(S s2 -s1 )x s1S [ + (s2s-s1 ) x ] Co Kx)
1
Zc(x) = l/)C(x)w
......
0
N
=-+
e
eh
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
=- 1
e
.
- =
h
(1 +
n'est pas
En régime permanent sinusoïdal, l e capteur d'impédance
linéaire pour une mesure proportionnelle à son impédance, il est linéaire pour une
mesure proportionnelle à son admittance.
EfJ (4. 1 ) permet d'obtenir
=
Cmin = C(x = = Co =
C.nax = C(x =
35,4 pF et
h)
0)
141 , 6 pF. Les impédances correspondantes à une fréquence f = l O kHz sont
= 0) 1 = 449,6 kQ et
= h)I = 1 1 2,4 kQ.
IZ(x
IZ(x
12
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Exercice 4
El) On a Cu = Co = C(x = 0), compte tenu de (4. 1) la tension de mesure s'écrit :
(
1)
C(x) - Co Vg
Zo
(4'2)
Vg =
C(x) + Co 2
Zc + Zo - 2
( 1 + Kx) - 1 Vg
Kx Vg
= --=
(1 + Kx) + 1 2
2 + Kx 2
Vg
1
= KxKx
4
1+2
(4.2) et la courbe de la figure 4.3 montrent clairement que la mesure est non-linéaire.
Vmes =
---
2
v;nes (V)
x(m)
0,5
Fig u re 4.3- Évolution de la tension de mesure
EIJ Quelle que soit la géométrie donnée aux armatures, on a Co = ch où c est la
capacité par unité de longueur du capteur. Si x =f:. 0, on a :
[ (
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
) �i
= Co ( 1 + Kx)
C(x) = c(h - x) + E2cx = ch 1 + E2 El
h
êJ
El
"'O
0
c
:J
0
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü=
2
o..
2
�
""'
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
La valeur de la capacité dépend via Co de la géométrie au travers de c. En revanche,
une fois le pont équilibré pour x = 0, c'est-à-dire une fois réglé Cu = Co, la tension
de mesure garde la même forme.
Ce type de mesure est habituellement réalisé à l'aide de condensateurs cylindriques,
ce qui réduit les perturbations par effet de bord (effets négligés dans ce qui précède).
œ Le phénomène le plus gênant qui peut entacher la mesure est lié à la viscosité
de l'huile. Celle-ci peut former une couche résiduelle à la surface des armatures, si
bien que même avec une cuve vide on peut avoir Cu =f:. C(x = 0) et donc Vmes =f:. 0,
simulant par là une cuve non vide. On peut améliorer le procédé en réglant la valeur
de Cu à chaque fois que 1' on est certain que la cuve est vide.
13
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EX E RCIC E :
M o n tag e
pote n t i o m é t r i q u e
d ' u n e ré s i sta n ce
the rmométriq ue
Énoncé
On désire mesurer la température par une résistance thermométrique de nickel dont
le comportement avec la température T exprimée en °C est donné par :
R(T)
=
Ro( l + AT + BT2 )
avec Ro = 100 n, A = 5,49 1 67 . 1 0-3 /°C et B = 6,66667 . 10-6/°C2 . La résistance
thermométrique est montée en série avec une résistance fixe R et le tout est alimenté
par une source de tension de fem V9 = 1 V et de résistance interne R9 = 50 n.
BI Donner l'expression de la tension de mesure VmesCT) prise aux bornes de la
résistance thermométrique.
mJ On choisit comme référence de température To 0 °C et on limite 1' étendue
de mesure à E .M. ± 10 °C. Donner l'expression de la variation 11R(T) de la valeur
=
=
"'O
0
c
::J
0
de la résistance the rmométrique pour une température T à partir de la référence prise
pour To.
......
(V)
mJ En déduire la variation /1 Vmes correspondante.
0
N
@
eJ Quelle valeur donner à R pour avoir un maximum de sensibilité (on ne consi­
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
dérera pour cela que la partie linéaire /1 Vmes,lin de 1' expression /1 Vmes ?
� Donner dans ce cas l 'expression de la sensibilité en fonction de A, B et T.
m Que devient cette sensibilité dans le cas d'une approximation linéaire du fonc­
tionnement ?
14
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Exercice 5
Corrigé détaillé
BI La tension de mesure s'écrit simplement :
Vmes ( T ) -
R(T)
Vg
Rg + R + R(T)
1
(5 )
.
m) Avec R(T = 0) = Ro et R(T) = R0(1 + A T + BT2 ) = R(O) + 1'1R, il vient pour la
variation de la résistance du capteur 1'1R = Ro(AT
mJ En utilisant (5. 1), il vient :
1'1Vmes
=
=
+ BT2).
)
Ro
Ro + 1'1R
Vg
Rg R + Ro 1'1R Rg + R + Ro
(Rg + R)M
M
(Rg + R + Ro)2 +
Rg + R Ro
Vmes(T) - VmesCO) =
(
+
(1
+
)
+
�
(5.2)
Il) L' approximation linéaire de la variation de la tension de mesure est obtenue en
1
prenant le développement à l' ordre de (5.2) :
1'1Vmes,ltn ·
À 1'1R donné, il convient de rendre l'1 Vmes,lin maximum. Pour cela on annule la dérivée
de 1'1 Vmes,lin par rapport à Rg R, soit :
+
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
(Rg + R)l'1R
Vg
(Rg + R + Ro)2
d/'1 Vmes,lin
d(Rg + R)
�
--- =
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
(5.3) conduit à choisir R = R0 - Rg
Vg
=
+
Ro - (Rg R)
1'1R = O
(Rg + R Ro)3
+
(5.3)
50 n.
m:I Compte tenu de ce choix, la variation de la tension de mesure s'écrit maintenant :
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
15
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5
•
Montage potentiométrique d'une résistance thermométrique
Pour la sensibilité, il vient :
(5 .4)
Ba Sous l'approximation linéaire (développement à l'ordre 0 de (5.4)), la sensibi­
lité devient constante et est donnée par :
S
=
�
AV
=
1 ,373 mV/°C
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
16
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EX E RCIC E :
Erre u r d e fi n e s s e
d ' u n o s c i l l o s c o pe
Énoncé
On mesure la tension aux bornes de la bobine d'un circuit RLC série. Le circuit est
alimenté en sinusoïdal à la fréquence de résonance. L' appareil de mesure est un os­
cilloscope dont l'impédance d'entrée est modélisée par une résistance Re en parallèle
avec un condensateur Cc.
L
Impédance d' entrée
de 1' oscilloscope
Circuit
Fig u re 6. 1 - Le circuit et l'impédance d'entrée de l'oscilloscope
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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0
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"
.3
ü
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""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
œJ Calculer, en fonction de Ve, l' amplitude complexe Vs de la tension de sortie
en l'absence de l'oscilloscope. On donne R
Re = 1 MQ et Cc = 2 pF.
=
1 00 Q, L
=
10 mH, C
=
100 pF,
� Calculer Vmes ' amplitude de la tension de sortie en présence de 1' oscilloscope.
Pour cela on utilisera le théorème de Thévenin et on calculera de façon explicite
la force électromotrice VTh du générateur équivalent de Thévenin et son impédance
interne ZTh.
aJ Calculer l'erreur de finesse de la mesure (Vs - Vmes )/Vs , puis son module.
Ci
@
17
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6
•
Erreur de finesse d'un oscil loscope
Corrigé détaillé
œJ D' après la figure 6. 1 , on a :
Le circuit étant alimenté en sinusoïdal à la pulsation de résonance wo
1 06 rd.s- 1 , la tension de sortie est alors donnée par :
=
l/ YLC. soit
[B On détermine les caractéristiques de générateur équivalent de Thevenin selon
la méthode classique. L'impédance équivalente de Thévenin ZTh est l'impédance vue
des bornes de sortie lorsque le générateur alimentant le circuit est éteint, c'est-à-dire
ici lorsque Ve = O. On a :
ZTh
=
ZLf/(Zc + R)
=
(
)
1
. -jLwo R + 1Cwo
l
J"Lwa + R + -. 1Cwo
=
L
-(1 + jRCwo)
RC
=
1 06 + jlO4
La force électromotrice VTh du générateur équivalent de Thévenin n'est ici nen
d' autre que Vs .
L'impédance d'entrée Zc de l'oscilloscope est donnée par :
-0
0
c
::J
0
....
(V)
106
--1 + 2j
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
=
106
--(l - 2j)
5
Le circuit connecté à l' oscilloscope est donc équivalent au circuit représenté fi­
gure 6.2 où Vmes est la tension mesurée aux bornes de la bobine (Vs en l'absence
de l'oscilloscope).
11 vient :
18
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Exercice 6
Circui t
Oscillo scope
Fig u re 6.2- L'oscil loscope connecté au circuit
� L'erreur de finesse est alors donnée par :
1 , 1 961 + 0,4020j
1 ,5921
l(Vmes - Vs )/Vs l:::::: 0,79, ce qui constitue une erreur très importante. L' appareil de me­
sure, c'est-à-dire l'oscilloscope, n'est pas adapté au type de mesure à réaliser. Cepen­
dant, comme l'erreur est parfaitement déterminée par la donnée des deux impédances
Zc et ZTh, cette erreur peut être facilement corrigée.
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
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§
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0
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2o..
2
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�
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0
"
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Ci
@
19
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EX E RCIC E :
Ca pte u r d u s e co n d o rd re
Énoncé
Soit un capteur d'accélération capacitif dont les caractéristiques métrologiques sont
indiquées dans le tableau 7 . 1 .
Tableau 7. 1 - Caractéristiques principales du capteur
Min
±2
Étendue de mesure
Erreur de linéarité
225
10
13
Sensibilité
Fréquence de coupure
à +3
dB
Fréquence de résonance
Typ
±3
0,2
250
12
Unités
Max
g
275
% de E.M.
18
mV /g
kHz
kHz
fil Déterminer la fréquence propre fo typique du capteur ainsi que son facteur
d' amortissement §.
g) On désire réaliser un inclinomètre à partir de cet accéléromètre, c'est-à-dire
mesurer l'angle entre le bâti de l'inclinomètre et l'horizontale (voir figure 7.1). L'ac­
céléromètre mesure la composante de l' accélération de la pesanteur selon l' axe Oz
(axe de sensibilité de l'accéléromètre) et une unité de conditionnement du signal en
extrait la valeur de l' angle d'inclinaison a.
-0
0
c
::J
0
(V)
Axe de
sensibilité
du capteur
......
0
N
'
@
'
.µ
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a.
0
u
\
'
'
Bâti
0
\
... ... ...
a
-JHorizontale
----------------
'
'
'
'
'
'
-------------·
z
F i g u re 7. 1 - Schéma de principe de l'inclinomètre
20
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Exercice 7
On suppose que la variation maximale du mesurande correspond au passage de la
position verticale (0 g mesuré) à la position horizontale ( 1 g mesuré).
Déterminer graphiquement la durée d'attente T nécessaire avant d'effectuer une nou­
velle mesure de l'inclinaison après un changement de celle-ci pour que l'erreur reste
inférieure à 1 %.
+
Corrigé détaillé
fal Soient a(t) le mesurande, c'est-à-dire ici l'accélération, et V(t) le signal de sor­
tie du capteur, ici la tension délivrée par le capteur.
Le capteur est un dispositif du second ordre puisqu'il
férentielle liant a(t) et V(t) s'écrit :
A
d2 ;
v t)
dt
+
B
En régime forcé sinusoïdal, avec a(t)
V(t)
=
dV(t)
dt
=
+
CV(t)
y
=
a résonance. L'équation dif­
a(t)
(7. 1 )
aexpj(2nft), le signal de sortie s'écrit :
+
Vexpj(2nft <p)
Reporté dans (7 . 1 ), ceci conduit en notation complexe à :
En posant fo = ...)C/4n2A fréquence propre du capteur et � = B/2 YAC coefficient
d'amortissement, il vient pour la sensibilité S ( f) et le déphasage <p( f) du capteur :
"'O
0
c
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0
(V)
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0
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V
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"
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2
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2
(i - (�n +4Ç2 (�r
"'
"
"
'"
.3
ü
1
1
s ( f) = - = - ---;:::===
a C
<p( f)
=
-
arctan
(7.2)
2�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
En faisant tendre f vers 0 dans l'expression de la sensibilité, on remarque que 1/C
n'est rien d' autre que la sensibilité en régime statique S (0).
21
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7
•
Capte u r du second ordre
L'étude de la sensibilité montre que pour g � 1/ Yl, celle-ci passe par un maximum :
il y a résonance. La fréquence de résonance fr est obtenue en cherchant le maximum
de l'expression sous la racine de (7.2), soit pour :
(1a r
= 1 - 2g2
(7 .3)
La fréquence de coupure à + 3 dB est obtenue en résolvant S ( f)
conduit à :
= 1 _ 21;2 ±
_ 21;2 )2 _
�(!
(�r
=
�
S (0) Yi, ce qui
·
(7.4)
!ch
La solution avec le signe - correspond à la fréquence de coupure
à +3 dB à la
montée dans le pic de résonance et la solution avec le signe + correspond à la fré­
est
quence de coupure notée
à +3 dB à la descente du pic de résonance. Seul
ici une donnée du problème.
À partir de (7.3) et (7.4), il vient :
!ch
2
et g
!ch
(!5 - !!:)
= ---
(7.5)
2f5
À partir des données du tableau 7 . 1 , fch = 12 kHz et j� = 18 kHz , (7 .5) permet
d'obtenir fo = 1 9,5 kHz et g = 0,27.
La fréquence de coupure haute est alors
= 22,5 kHz et la fréquence de coupure à
-3 dB, se calculant classiquement en résolvant S ( f) = S (0)/ Yl, est f = 28 , 7 kHz.
La courbe de la figure 7 .2 récapitule ces résultats.
fch
c
V(f)/V(O)
11
1
11
1
-0
0
c
::J
0
11
1
1
J2 --- ----------------------------------
-----+--
-
(V)
......
0
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- - -
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1/Fi
o
--
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1
1
1
1
i1
1
t
l
- - ---- --- -- --·-- ------
-..1. --.- --L--l.-
-------------------
--------- -------------------------
1
!1
+
''
)
'
1
11
---
fcb
l
11
�+
11
1
1
-
'
)
'
�
-
-
--------·---------- --
1
1
1
-----------------
1
f,. lc1i fc
��
l 1�
11
�
10
�
1 00
F i g u re 7.2 - Courbe de réponse en fréquence du capteur
22
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Exercice 7
g) Dans le domaine de Laplace (7 . 1 ) devient :
A p2 V( p) + BpV( p) + CV( p) = a( p) .
Au maximum le capteur subit un échelon d' accélération d'amplitude + 1 g, d'où
a(p) = ao/p avec ao = 1 g. On a alors :
1
ao ao
1
1
V( p)
(7.6)
=
2
B
p
p + Bp + C p C
2
p + P+ 1
C
C
En introduisant la pulsation propre wo = 2 fo et de nouveau le facteur d'amortisse­
ment �. il vient :
1
ao w2
(7 .7)
V( p) = __Q
C p p2 + 2�wop + w6
=A
::;
n
)
(A
Ici � 1/ Y2, si bien qu'en remontant à l'original V(t) et en posant Vo = ao/C soit
250 mV, on obtient :
V(t)
=
( - x��-��t) ( F'
e
Vo 1
sin
wot + arcsin
R))
(7 .8)
Les courbes de la figure 7 .3 présentent 1' évolution de V(t)/Vo à des échelles de temps
différentes.
t)/
1 ,5 V( �
f-----,-----.,---,
0,5
"'O
0
c
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0
""'""'
....... '""
"'""
""'
"
(V)
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O'l
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0
u
t ( 1 0-4 s)
- ---'--------'-----'---+
0 '------'-----'-----'---0
3
2
V(t)/�
1 ,01
�
99 .. - - - - - ---------------------- ---------------------------------------------
=
·C0
=
0
.3
ü
=
2
o..
2
�
=
�
-0
0
=
Ci
@
0
,
- -·--
-
-
-
-
-
-
�
�
�
�
-
�
t ( l 0-4 s)
�
�
�
�
�
�
---3
2
F i g u re 7.3- Réponse du capteur à un échelon
La réponse du capteur est pseudo-périodique. Graphiquement on détermine que passé
une durée T :::::: 0, 1 2 ms après l'application de l'échelon, le signal de sortie du capteur
reste, à 1 % près, autour de sa valeur finale.
23
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EX E RCIC E :
Ca pte u r à co n d e n sate u r
d 'é pa i s s e u r va r i a b l e
Énoncé
1'
Soit un capteur de déplacement (représenté figure 8. 1 ) constitué par un condensateur
plan dont épaisseur x varie de �x autour de son épaisseur au repos e = 1 mm. La
surface des armatures de ce condensateur est S . On suppose que le milieu dans lequel
se trouve le capteur est l'air assimilé au vide de permittivité électrique so.
Armature mobile
Armature fix e
Fig u re 8. 1 - Schéma de principe du capteur
ED Donner 1 'expression de Zc(x) en régime permanent sinusoi"dal à la pulsation w.
E6 Le capteur est monté en série avec un condensateur réglable, d'impédance Z ,
dont la valeur sera fixée à celle du capteur au repos, c'est-à-dire pour �x = O. Le
dipôle ainsi constitué est alimenté à la pulsation w, par un générateur de tension de
fem sinusoïdale d'amplitude Vg et d'impédance interne nulle.
Donner 1' expression de la tension de mesure Vmes prise aux bornes de Zc(x) en fonc­
tion de �x, e et Vg .
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
œ En considérant un fonctionnement en petits signaux tel que �X
donner
l' approximation linéaire Vmes,lin de Vmes· Donner l'expression de �Vmes,fin , variation
de la tension de mesure par rapport à sa valeur au repos.
<< e,
œ Quelle est la sensibilité réduite s r de la mesure ?
Gm Conclure quant au dimensionnement du capteur pour avoir une bonne sensibi­
lité et en déduire le domaine d'application de ce type de capteur de déplacement.
24
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Exercice 8
ED On alimente le capteur par une source de courant parfaite, sinusoïdale, d' ampli­
w.
tude !9 et de pulsation Donner les expressions de la tension de mesure Vmes prise
aux bornes du capteur et de sa variation mes par rapport à sa valeur à la position de
repos.
�V
EIJ On utilise maintenant le même principe de capteur mais en fonctionnement
push-pull comme schématisé figure
8.2.
! e-D.x
!e+D.x
,,.._
_
�
Armature fixe
�-�
Armature mobile
Armature fixe
Fig u re 8.2 - Principe du capteur en mode push-pull
w,
L'ensemble est alimenté à la pulsation par une source de tension sinusoïdale d'am­
plitude V9 et d'impédance interne nulle. Donner l'expression de la tension de mesure
puis de sa variation
Vmes prise aux bornes de
mes· Quelle est la sensibilité
réduite de la mesure ?
Zc(x),
Sr
�V
Corrigé détaillé
Ell Le condensateur étant plan et alimenté en reg1me sinusoïdal, on a
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Zc(x) 1/jC(x)Zc(x)w C(x) &oS /x &oS /(e + �x)�x. Zc(x) (e + �x)/j&oSw.
E!J
Z Zco Zc(x e/j&oSw,
Zc(X) 2ee ++�X�x
( )
Z + Zc(x)
�x
�x.
EIJ
�x/e,
e(2e(ll ++ �x/2e)
�x/e) (1 + �x/e)(l - �x/2e)-2 ( + �x2e ) 2 'fin
=
L'impédance
..:
�
"O
c::::l
'-'
'-'
�
�0
:;
"'
c:0
c:
c:
.S:
ü
:::l
"O
12
o.
2
B:::l
rS
-00
c::::l
a
@
Comme
avec
=
=
est donc une fonction linéaire de
=
=
=
Vmes =
La présence de terme en
en fonction de
0)
=
=
soit
on a pour la tension de mesure :
V9 =
8. 1
V9
au dénominateur entraîne que la mesure n'est pas linéaire
L'approximation linéaire de Vmes est donnée par le développement limité de
soit :
(8. 1 ) au premier ordre en
Vmes =
V9
�
V9
�
1
-
V9
- = Vmes
25
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8
•
Capte u r à condensateur d'épaisse u r variable
On en déduit la variation de Vmes par rapport à sa valeur à la position de repos :
Lix
Li Vmes' lin = - Vg
4e
EIJ Pour Lix = 0 on a Vmes(Lix = 0) = Vmes, lin(Lix = 0) = Vo = V9/2. La sensibilité
réduite de la mesure est donc :
Sr _
_...!:.._ Vmes,lin - Vo
tu
V9
1
1 Li Vmes, 1i·n
= - = 250 mV/mm.V
4e
V9 Lix
(8.2)
Em Pour obtenir une bonne sensibilité, il est nécessaire que e soit petit, ce qui limite
l'excursion Lix (risque de court-circuit entre les deux armatures du condensateur).
L'utilisation de ce type de capteur est donc limitée aux mesures de faibles déplace­
ments.
ED Si l' alimentation se fait par une source de courant, la tension de mesure devient :
(e + Lix)
Vmes = Zc(x)/9 = .
19
Jt:oS w
La variation de la tension de mesure par rapport à sa valeur pour Lix = 0, c'est-à-dire
Va = el9/}t:0S w, s'écrit :
Lix
LiVmes = .
19
Jt:oS w
La tension de mesure est une fonction linéaire du déplacement.
E6 La tension de mesure est maintenant donnée par :
-0
0
c
::J
0
Par rapport à la tension de mesure à la position de repos Lix = 0 donnée par V9/2, la
variation de la tension de mesure est :
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
La sensibilité réduite s'écrit alors :
Sr
_
1 LiVmes
1
= - = 500 mV/mm.V
2e
V9 Lix
_
_
--
Le fonctionnement est parfaitement linéaire et la sensibilité est doublée par rapport
au cas du montage à un seul condensateur (voir (8.2)).
26
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EX E RCIC E :
I n fl u e n ce d e l a ré s i sta n ce
t ra n sve rs a l e d e s j a u g e s
d 'exte n so m é t r i e
Énoncé
1. Étude d ' u n brin d ' u n e j a u g e d'exte n sométrie
On considère un fil cylindrique, rectiligne, de longueur l, de section s = 10-2 mm2 ,
de résistance r égale au repos à R = 10 n, dont le matériau est de module d'Young
2
11
E = 1,6 . 10 N.m- et de coefficient de Poisson v = 0,3.
Ce fil est placé dans un pont de Wheatstone alimenté par une source de courant par­
faite, 19 = l O mA (voir figure 9.1).
"'O
0
c
:J
0
(V)
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0
N
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0
u
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0
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"
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2
o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
R
R
r
R
Fig u re 9. 1 - Circuit de conditionnement
À l'équilibre mécanique, le fil n'étant soumis à aucune contrainte, les quatre résis­
tances du pont sont égales et le pont est équilibré.
Dl On soumet le fil à une force de traction F
Déterminer la contrainte appliquée a-.
=
4 N dans le sens de sa longueur.
2 . 109 N.m -2 , véri­
fier que la contrainte subie par le fil demeure dans le domaine élastique.
lifJ Sachant que la limite élastique du matériau utilisé est
0-1 =
B) Calculer la variation relative 111/l de la longueur du fil.
27
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9
•
Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie
lilJ Établir l'expression de la tension de mesure différentielle du pont, Vmes • en
fonction de /9, R et r, nouvelle valeur de la résistance du fil.
œ Sachant que cette tension de déséquilibre du pont est de 0, 1 3 mV lorsqu'on ap­
plique la force de traction F au fil, calculer la variation relative !iR/R de la résistance
de ce dernier.
li!a En déduire le coefficient de jauge K du fil.
I l . Réa l i sation d e la jauge
a
On réalise une jauge d'extensométrie (voir
schéma figure 9.2) avec du fil du type précédent
et on se propose de calculer son coefficient de
jauge Kj en fonction du coefficient de jauge K
du brin étudié précédemment.
La jauge est constituée de n brins longitudinaux
de longueur l et de brins transversaux de longueur totale a.
� En l'absence de contrainte donner les ex-
1 2345
n
F i g u re 9.2 - Jauge d'extensométrie
pressions de la résistance longitudinale R1 (celle
des brins longitudinaux), la résistance transver­
sale R1 (celle des brins transversaux) et la résis­
tance totale Rj.
� La jauge est parfaitement collée sur une
barre cylindrique parallèlement à l' axe de celle­
ci (voir figure 9.3). La barre, constituant le corps
d'épreuve, est de longueur au repos L, de mo­
dule d'Young Eo et de coefficient de Poisson vo.
Elle est soumise selon son axe à une contrainte
O'"o inférieure à la limite élastique.
-00
c::J
0
......
(V)
0
N
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
F i g u re 9.3- Le corps d'épreuve
équipé de la jauge
Calculer en fonction de K, n a, l, O'"Q, Eo et vo, la variation relative de R1, la variation
relative de Rt et en déduire la variation relative de Rj.
1
� Établir 'expression du coefficient de jauge Kj = (!iRj/Rj) / (!iL/L) de la jauge
en fonction de K, n a, l, et vo.
Plie) On pose
petit.
a =
Rt!R1. Donner l'expression approchée de Kj dans le cas où a est
28
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Exercice 9
Qlll La jauge est utilisée sur deux supports métalliques différents : un acier de co­
efficient de Poisson v1 = 0,28 et un alliage d'aluminium de coefficient de Poisson
v2 0,35 ; les facteurs de jauge étant respectivement K11 et K12·
Calculer l'écart relatif ôK/K = I K11 - K12l !K sur le coefficient de jauge.
=
Pit) Déterminer les valeurs maximales de
ôK/K < 10-2 puis ôK/K < 10-3 .
œ
PllJ Comment réduire pratiquement le rapport
compatibles avec un écart relatif
œ =
Rt!R1 ?
Les conditions de la question précédente sont-elles rédhibitoires compte tenu du fil
utilisé ? On étudiera, par exemple, la possibilité de réaliser une jauge carrée de 3 mm
de côté.
Corrigé détaillé
1. Étude d ' u n brin d ' u n e j a u g e d'exte n sométrie
Dl La contrainte appliquée se calcule immédiatement comme le rapport de la force
à la section, cr = 4.108 N.m 2
-
.
� Ce résultat reste inférieur à la limite élastique
cr1
=
bien dans le domaine élastique.
2 . 1 09 N.m -2 , on reste donc
D) La variation relative de la longueur du fil est donnée par la loi de Hooke :
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
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>-
a.
0
u
111
l
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
= (T =
E
2 ' 5 . 10-3
(9. 1 )
Pl) Le pont étant alimenté en courant, la tension différentielle de mesure est donnée
par :
Vmes
·
=
r - R 1 2R(r + R)
r-R
·-·
R/9
19 =
r + R 2 r + 3R
r + 3R
--
(9.2)
� En l'absence de contrainte la résistance du fil est R. Sous contrainte, on note
cette résistance r = R + !1R. On a en inversant (9.2) :
!1R
R
=
4Vmes
R/9 - Vmes
=
5,2. 1 0-3
(9.3)
Ci
@
29
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9
•
Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie
Ba On en déduit, d'après (9. 1), (9.3) et à partir de la loi de comportement de la
jauge d'extensométrie, à savoir M/R = Kf),.ljl, que K = 2,083 ce qui est cohé­
rent puisque le fil constitue une jauge d'extensométrie métallique pour laquelle on a
K � 2.
I l . Réa l i sation de la jauge
n
� Au repos, comme il y a brins longitudinaux en série de résistance individuelle
R, la résistance totale des brins longitudinaux est donc R1 = nR.
La longueur totale des brins transversaux étant a, le fil étant au repos de résistance
par unité de longueur R/l, la résistance totale des brins transversaux est = a /l.
La résistance totale de la jauge au repos est donc donnée par j =
a/l)
Ri R
R (n + R.
Da Sous l'action de la contrainte axiale cro, le cylindre se déforme. Restant en­
dessous de la limite élastique, les déformations sont données par la loi de Hooke.
Selon la direction parallèle à la contrainte, la déformation est f),.L/L = cr0/Eo.
Le périmètre p de la barre se déforme comme son rayon p, donc selon une direction
perpendiculaire à la contrainte et on a /)..p/p = /)..p/p = -vocro/Eo = -vof),.L/L.
Comme le collage est parfait, les brins longitudinaux de la jauge sont amenés à suivre
la déformation longitudinale du cylindre. Le fil de la jauge étant de facteur de jauge
K, on a :
f),.L
/),./
/).. ( l)
= K- = K(9.4)
=K
( l)
L
l
-f),.RR11 --nn
Les brins transversaux sont amenés à suivre la déformation du périmètre de la barre,
d'où :
"'O0
c::J
0
(9.5)
�
(9.4) et (9.5) conduisent à :
0
N
f),.R1 + Rr R1 Mc
R· R1 + Rr R1 + Rr R1 R1 + Rr Rt
f),.L
f),.L
nR · KaR/l
· Kv0=
(n + Ï) R L (n + Ï) R L
n v:7 �L
=
K
+
n -l L
f),.RJ·
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
J
=
f),.Rt + f),.Rt
=
(- )
30
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(9.6)
Exercice 9
(
œ Le facteur de jauge Kj se déduit immédiatement de (9.6) et il vient :
(9.7)
Plie) Avec a = Rt!Rt = a/nl petit, au premier ordre en a, (9.7) devient :
(
a
n - v0 1 - VQŒ
l
Kj = K
a = K l +a
n+-
l
l
)
�
K ( 1 - ( 1 + vo )a)
(9.8)
La résistance des brins transversaux a pour effet de réduire le facteur de jauge. En
effet idéalement (avec a = 0), selon (9.8), on a Kj = K.
Plll Le calcul de ôK/K est immédiat. À partir de 1 'expression approchée de Kj
donnée par (9.8), on obtient :
Qlt.j Pour ôK/K
a = a/nl < 1/70.
<
1 0-2 , on doit avoir a = a/n l
<
1/7 et pour ôK/K
<
1 0-3 ,
PllJ Pour réduire le rapport a = Rt!Rt et donc l'erreur qui s'introduit sur le facteur
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
.......
..c
@
O'l
·;::::
>-
a.
0
u
de jauge lorsqu'on colle la jauge sur des matériaux de coefficients de Poisson diffé­
rents, il suffit que la longueur l des brins de la jauge soit grande et que leur nombre
n soit le plus important possible pour une largeur de la jauge a donnée. Ce faisant
la jauge est moins ponctuelle et fournit une valeur moyenne, sur sa surface, de la
contrainte subie.
� Le fil utilisé est de section s = 10-2 mm2 , soit de diamètre 0, 1 1 mm.
Pour ôK/K < 1 0-2 , on doit avoir a < 1 /7 ce qui est facilement réalisable. Prenons,
·C0 par exemple, une jauge carrée de 3 mm de côté, il faut alors avoir n > 7. Chaque brin
=
étant de diamètre 0, 1 1 mm, 7 brins occupent une largeur de 0, 77 mm ce qui reste
0
inférieur aux 3 mm de largeur de la jauge.
.3
ü
En revanche, pour ôK/K < 1 0-3 et toujours pour une jauge carrée de 3 mm de côté,
2
on devrait avoir au minimum 70 brins ce qui occuperait une largeur de 7, 7 mm soit
2
�
� plus que les 3 mm de largeur de la jauge. C'est donc impossible avec un tel fil.
""'
"
=
"'
"
"
'"
"'
"
"
"
=
""'
o..
=
-0
0
"
=
Ci
@
31
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10
EX E RCIC E :
Ca pte u r i n d u c t i f
à ré l u cta n ce va r i a b l e
Énoncé
1. Étude d u capte u r
Soit le circuit magnétique de la figure 10. 1 .
�----·---+--h1 -·,.4-1-_ Contour f
Ligne de champ
Fer doux
.--.
e
F i g u re 1 0. 1 - Schéma de principe du capteur
"'O0
c::J
0
(V)
Le corps du circuit magnétique est réalisé en fer doux feuilleté. On suppose que les
lignes de champ sont parfaitement guidées par le circuit magnétique et que l'entrefer
e est suffisamment petit (on néglige les lignes de champ pouvant fuir dans la région
symbolisée en gris sur la figure 10.1 ).
0
N
......
---7
@
11111 Donner l'expression de la circulation du champ magnétique H sur la fibre
moyenne, contour moyen r, sachant que la bobine possède N spires et que l' intensité
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
du courant la parcourant est l.
---7
Ilet) Sachant que l'induction magnétique B est à flux conservatif, que la section S
du circuit magnétique est supposée constante, donner les relations liant l 'induction
---7
---7
---7
magnétique B aux champs dans l'air, Hain et dans le fer doux, Hfer · On notera µo la
perméabilité magnétique de l'air (assimilé au vide) et µ = µrµo celle du fer doux.
32
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Exercice 1 0
1(111 Donner l'expression du flux d'induction magnétique au travers de la bobine,
puis l'exprimer en fonction de l'inductance propre L de la bobine.
llell En appelant / la longueur du contour r dans le fer doux, donner l'expression
de l'inductance L.
lleJ1 Si on alimente la bobine par un courant sinusoïdal de pulsation w, quelle est
l'expression de son impédance Z(e) ? Que conclure quant au capteur de position ainsi
réalisé (e pouvant varier) ?
I l . Mo ntage p u s h -pu l l
lleld Deux capteurs du même type que le précédent sont montés en push-pull
comme le schématisent les figures 1 0.2 et 10.3. En position de repos, les distances
des pièces en U à la pièce mobile sont égales à eo.
Point A
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..cO'l
·;:::>-:
a.
u0
F i g u re 1 0.2 - Fonctionnement en mode push-pull
..:
c
�"O
c:
:::l
�
'-'
'-'
R
�0
:;
"'
c:0
c:
.S:ü
"O:::l12
A
B
c:
R
o.
2
B:::l
rS
-00
c:
:::l
a
@
D
F i g u re 1 0.3 - Conditionnement
33
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10
•
Capteur ind uctif à réluctance variable
Donner l'expression de la tension de mesure en fonction de wVg , Z1 et Z2 puis w Vg,
Li et L2 .
l(IJN Montrer que le pont est équilibré pour Lix
= O.
lle!:I Calculer la variation Li Vmes de la tension de mesure pour Lix * 0 par rapport à
sa valeur pour Lix = O.
llel1 Calculer la sensibilité globale S mes du système de mesure. On donne
l=
= 2 mm , Vg = l O V , µr = 400.
llelltl La perméabilité relative r n'est pas une constante mais dépend de la fré­
µ première approximation on peut considérer que
quence du champ magnétique. En
l'on a :
1
(10.1)
=
µ, M �l +(�f
rµ représente la perméabilité relative statique et la fréquence de coupure.
Calculer la fréquence maximale de l'alimentation, !
pour que la sensibilité glo­
6 cm , eo
f
fe
max .
bale reste supérieure à S min = 1 ,5 mVhtm . On donne fe = 500 Hz .
Corrigé détaillé
1. Étude d u capte u r
---?
1(181 La circulation du champ magnétique H sur la fibre moyenne T s'exprime sim-
"'O
g::J
o
plement à l'aide du théorème d' Ampère par :
(V)
......
0
N
J---?H · dl = NI
@
.......
.c
·;:::Ol
>:
a.
8
r
( 10.2)
-+
llef:.I Puisque l'on néglige les fuites de flux, le circuit magnétique de fer doux
---?
constitue un tube de champ. B étant à flux conservatif, on a :
<P =
J B dS = ste.
·
c
Section du circuit
magnétique
34
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Exercice 1 0
B dS
Comme le long de chaque fibre du circuit magnétique et
sont colinéaires et
comme la section du circuit magnétique est constante, on en déduit que B est constant
dans le circuit magnétique et l'entrefer.
Soit en utilisant les perméabilités magnétiques de l'air et du fer doux :
--7
B
=
--7
µoHair
=
--7
µHjer
=
--7
µrµoHjer
(10.3)
11111 Le flux magnétique au travers de la bobine est donné par :
if> = I B. dS = = LI
NBS
(10.4)
Bobine
2
IH · dl= IH · dl+ IH·dl= Nl
11111 La circulation (1 0. ) le long du contour r peut encore s'écrire :
r,air
r,fer
r
( 10.5)
Ce qui devient en utilisant les résultats (10.3) et ( 10.4) :
B
B
N2 BS
-l+ -2e = --
L
µ µo
On en déduit l'expression de l ' inductance de la bobine :
N2S
L
= -l + ­2e
µ
(10.6)
µo
11111 La bobine étant alimentée en sinusoïdal, l'impédance de la bobine en régime
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
>-:
a.
0
u
Z(e) = jL(e)w
permanent s'écrit
en négligeant la résistance du fil. Le capteur de dé­
placement réalisé en faisant varier l'entrefer a une impédance qui est une fonction
non linéaire de
e.
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
0
"'
"
e
I l . Mo ntage p u s h -pu l l
1111#1 La tension différentielle de mesure est donnée par :
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
( 1 0.7)
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
11114 Pour Lix
= =
0, L 1
L2 soit Vmes
=
0, le pont est équilibré.
35
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10
•
Capteur ind uctif à réluctance variable
lle!:I Pour �x * 0, le fonctionnement étant push-pull, on a L 1 = L(eo - �x) et
Li = L(e0 + �x). En utilisant (10.6), (10.7) devient :
Vmes(�x * 0) = Vmes (�x = 0) + �Vmes
N2 S
N2 S
---- ---N2S -- ---N2S -------l
l 2(eo + �x)
-+
Vg
�X
µ
µo
V9 cos wt
cos wt =
l
2
- + 2e0
+
l 2(eo + �x)
/
2(eo - �x)
µr
-+
-+
µo
µ
µ
-+
µ
2(eo - �x)
µo
La tension de mesure étant proportionnelle au déplacement, la mesure est linéaire.
lleJ#J La sensibilité de la mesure est donnée par :
S
mes =
1
l
- + 2e0
µr
V9 = 2,41 mV/µm
llellt) Compte tenu du comportement de type premier ordre de la perméabilité ma­
gnétique, la sensibilité en régime dynamique s'écrit :
1
Smes =
f)2 �-(-
µro
1+ fc
Pour garder une sensibilité supérieure à
doit rester inférieure à :
"'O0
c::J
0
(V)
....
0
N
fmax
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
= f�·
1
-
S min
+ 2eo
= 1 , 5 mV/µm, la fréquence d'utilisation
[ (-- )]2
S mm
ro
µ
f
Vg
Vg
- 2eo
.
- 1 = 8,9 kHz
36
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l l
EX E RCIC E :
J a u g e d 'exte n s o m é t r i e
ca pac i t i ve h a u te
te m pé rat u re
Énoncé
On cherche à enregistrer les déformations d'une structure pour laquelle, pour des
raisons de températures élevées, l' utilisation de jauges d'extensométrie collées clas­
siques est impossible. On se propose d'étudier la jauge capacitive de la figure 1 1 . 1 .
L
Fixation
vissée
Fig u re 1 1 . 1 - Principe de la jauge capacitive hautes températures
"'O0
c:J
0
(V)
r-l
0
N
©
..cOl
ï::::>a.
0
u
.µ
C1 2 C
et 1 3 sché­
Les trois métallisations forment les armatures de deux condensateurs
matisés figure 1 1 . 2. L' aire des armatures est S , leur longueur l et la distance entre les
armatures e. La permittivité électrique de l'air environnant est considérée égale à
:�.= celle du vide, t:o.
"Oc::
::l
l
rJ
]8
c::0
c::
(2)
(3 )
.S:
u
"O::l§.
X
2
B::l
�
l
-00
c::
0::l
Fig u re 1 1 .2 - Armatures des condensateurs de la jauge
@
<.)
::l
"'
c::
37
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11
•
Jauge d'extensométrie capacitive haute température
1111 À l'origine l'armature (1) se trouve au milieu des armatures (2) et (3). Don­
ner l'expression des capacités des condensateurs C 1 2 et C 1 3 ainsi formés. On note
Co = soS/2e.
111"1 On considère que la distance entre le milieu de l'armature (1) et la fixation
vissée est initialement de longueur L. La structure subit une contrainte cr orientée
selon la direction x. En déduire le déplacement �x de l'armature (1) par rapport aux
armatures (2) et (3) si le matériau de la structure est de module d'Young E.
1111 Donner alors les nouvelles expressions de C 1 2 et C 1 3 en fonction de �L, l
et C0.
1111 Les condensateurs sont montés en demi-pont push-pull avec deux résistances
fixes selon le schéma de la figure 1 1 .3. Le pont est alimenté en alternatif par une
source de tension de fem V9, de pulsation w9 et d'impédance interne négligeable.
Donner l'expression de la tension de mesure en fonction de C1 2 , C 13 et des caracté­
ristiques de l'alimentation puis de �L, l et des caractéristiques de l'alimentation.
Cu
vg
I
R
V,nes
c12
Fig u re
R
1 1 .3 - Alimentation du capteur
1111 Face à quel type de modulation se trouve-t-on ? Y-a-t'il ou non conservation
"'O0
c::J
0
(V)
de la porteuse ?
De façon à disposer d'une tension Vmes référencée à la masse, la tension Vmes du pont
de la figure 1 1. 3 est utilisée comme entrée d'un amplificateur d'instrumentation de
gain unité. À la sortie de ce dernier, on dispose d'une tension Vmes référencée à la
masse.
0
N
......
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
llld Pour récupérer l'information intéressante, on se propose de réaliser la détec­
tion synchrone de la figure 1 1 .4 où k est une constante, Vref une tension continue
constante et où toutes les tensions sont référencées à la masse.
38
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Exercice 1 1
vmes
kVg
X
V,4
COSW
/
z
z
y
Filtre
passe-bas
V
XY
W c << w g
�·
F i g u re 1 1 .4 - Détection synchrone
Déterminer l'expression de la tension de sortie Vs du montage.
11*4 On s'intéresse maintenant aux effets parasites et premièrement à l'effet de la
température au travers de la dilatation thermique des matériaux. Comment réaliser le
support des armatures (2) et (3) pour que la dilatation thermique du support et de la
structure n'entraîne pas de déplacement
parasite ?
L1x
111:1 Expliquer pourquoi la dilatation thermique du support ayant pour effet d'en­
e
e=1 2 e23
traîner une variation de l'épaisseur des condensateurs est sans effet sur la mesure.
111#1 Expliquer comment on peut s'affranchir d'un défaut de fabrication qui don­
nerait des épaisseurs différentes
toujours avoir Vmes = 0 pour L1L
et
O.
aux condensateurs
C1 2 C1 3
et
de façon à
111lt) En supposant tous les problèmes précédents réglés, quelle source d'erreur
subsiste sur la mesure de la valeur de la contrainte a-.
Corrigé détaillé
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
1111 Les capacités des deux condensateurs plans formés par les métallisations
� sont :
""'
"
=
"'
"
"
'"
-
·C0
=
0
"'
"
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
llf.j La déformation
c'est-à-dire :
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
C1 2 = soS2e = Co C13 = soS2e = Co
s;;
s;; = - = L1x
et
-
L1L/L de la structure est donnée par la loi de Hooke,
L1L
L
aE
Comme la jauge est solidaire de la structure
a-L/E.
L1x =
( 1 1 . 1)
L1L, d'où d'après ( 1 1 . 1 ),
39
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11
•
Jauge d'extensométrie capacitive haute température
1111 Considérant ce déplacement, on a alors :
C1 2 =
(
t:o S �
e l 2
(
_
)
!J.L =
2!J.L
C13 = Co 1 +
1
-
)
(
t:oS
l
2e
_
) (
2!J.L
= Co l
l
_
2!J.L
l
)
( 1 1 .2)
1111 La tension de mesure instantanée est donnée par :
1
Vmes U) = Re
(
1
1
jC 1 2 wg
---
)
+
1
jC 1 3wg
---
2
Vg exp jwgt
( 1 1 .3)
- C 1 3 - C 1 2 Vg
- COS Wgt
C 1. 3 + C .1 2 2
En utilisant ( 1 1 .2), ( 1 1 .3) devient :
( 1 1 .4)
1111 Le signal donné par ( 1 1 .4) se trouve sous forme de modulation d' amplitude
(modulation de l'amplitude du signal Vg cos wgt par l'évolution temporelle de !J.L/l)
sans conservation de la porteuse (absence de Wg dans le spectre de Vmes).
llld Le signal de sortie V(t) du multiplieur est donné par :
V(t) =
"'O0
c::J
0
(V)
VmesU)kVg
!J.L VJ
!J.L VJ 1
cos wg t = -k- cos2 Wgt = -kl Vref
l Vref
Vref
+
cos 2wgt
2
( 1 1 .5)
Le passage dans le filtre passe-bas supprime la composante haute-fréquence de ( 1 1 .5)
et on obtient :
!J.L VJ
( 1 1 .6)
Vs (t) = -k21 Vref
0
N
......
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
La détection synchrone permet donc de récupérer le signal utile, à savoir un signal
directement proportionnel au mesurande a- au travers de !J.L qui lui est proportionnel.
llM Pour que la dilatation thermique du support et de la structure n'entraîne pas de
déplacement !!lx parasite, il suffit que les deux matériaux aient même coefficient de
dilatation linéique. Si possible, le capteur sera donc construit dans le même matériau
que la structure porteuse.
40
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Exercice
111:1
11
e n'intervenant pas dans l'expression de Vmes(t) s'il est le même pour les deux
condensateurs, l'effet de la dilatation thermique dans la direction verticale est sans
influence sur la qualité de la mesure.
lilljJ Si les épaisseurs
e 12 et e23 sont différentes, il suffit de rééquilibrer le pont
R� R�
= ( C 12C+13C 13 R R+�R )
0 0
= ( e 13e12+ e 12 - R0 R+�R0 )
R'0
e12
R'0 + R"0
pour .6.x = 0 en utilisant des résistances
résistances de telle façon que l'on ait :
R
Vmes (f)
et
-
/
'
Soit :
de valeurs différentes à la place des
11
Vg COS Wgf
" Vg cos Wgf
=0
En revanche, ceci ne corrige pas complètement le défaut puisque pour .6.x -::f:. 0 on a :
(
2.6.L
1
C 12 = 2eoS
l
e12
-
Ce qui entraîne :
Vmes(t)
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
(
(
-
)
et
(
eoS 1 + 2.6.L
C13 = 2en
l
--
)
--
= C 12C+1 3C 13 - R R'+ORo Vg COS Wgf
o
e12
e12 (1 + 2.6.L/l)
=
e13 (1 - 2.6.L/l) + e 12 ( 1 + 2.6.L/l) e 13 + e 12
= 4e 12 e 13 2 e12.6.L/- le 13 Vg cos Wgf
(e1 2 + e n) 1 + 2
e1 2 + e13 .6.L/l
/
11
)
)
Vg COS Wgf
= La différence d'épaisseur entraîne une non-linéarité de la mesure.
0
llllt) Si tous les problèmes précédents sont résolus, la tension de sortie du condi­
.3
ü
tionneur du signal est Vs(t) = kV� .6.L/2lVref . Celle-ci est proportionnelle au déplace­
2
ment engendré par la contrainte a- puisque l'on a .6.L/L a-JE. Le problème qui se
2
�
pose vient du fait que le module d'Young du matériau de la structure dépend en fait
�
-0
de la température. Si on désire effectuer une mesure précise de la contrainte, il faudra
0
Ci mesurer cette température.
@
"'
"
"
"
=
=
""'
o..
=
"
=
41
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12
EX E RCIC E :
C h o i x d ' u n capte u r
d e te m pé rat u re
Énoncé
On désire mesurer la température à l'intérieur
d'une enceinte soumise à de brusques variations
de température (c'est en fait la chambre de com­
bustion d'un moteur à explosion monocylindre
schématisé figure 12.1 ).
La mesure de la température est effectuée par un
thermocouple.
Capteur
'
Enceinte
�ap Ir---�
Extérieur
T,,xt
Fig u re 1 2. 1 - Principe de la mesure
La quantité de chaleur passant pendant dt d'un milieu 2 à la température T2 à un
milieu 1 à la température T1 est donnée en première approximation par :
(12. 1 )
K représente le coefficient d'échange calorifique entre le milieu 1 et le milieu 2.
On donne :
Text : La température supposée constante du milieu extérieur à l 'enceinte (en K).
Tcap : La température du capteur (en K).
Tenc : La température du milieu intérieur à l'enceinte (en K) .
Kext : Le coefficient d'échange calorifique du capteur avec l'extérieur (en W /K).
Kenc : Le coefficient d'échange calorifique du capteur avec l'enceinte (en W /K).
M : La masse du capteur (en kg).
C : La capacité calorifique du capteur (en J.kg -l .K -l ).
"'O0
c::J
0
(V)
......
0
N
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
itji Établir le bilan énergétique lors d'une variation dTcap de la température du
capteur pendant l'intervalle élémentaire de temps dt.
42
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Exercice 1 2
lt...ff-'I On suppose que la température extérieure est constante et on pose :
(12.2)
Calculer dans le domaine de Laplace la fonction de transfert :
Conclure quant au comportement du système.
lt..IJ Le moteur tournant à 730 tours/minute, l' évolution de la température à l'in­
térieur de l'enceinte est rapide (explosion du mélange comburant). Choisir le capteur
le plus adapté parmi les trois proposés dans le tableau 12. 1 .
Tableau 1 2. 1 - Caractéristiques des thermocouples
M (kg)
C (J/kg.K)
Kext (W/K)
Kenc (W/K}
Thermocouple n ° 1
5 . 1 0-3
8360
9
36
Thermocouple n ° 2
o,5. 1 0-3
3230
3
1 75
Thermocouple n ° 3
2 . 1 0-3
5210
8
61
lt.tl On fait l'approximation grossière que la température dans l'enceinte varie si­
nusoïdalement, la température extérieure restant contante et égale à 20 °C.
Calculer les valeurs extrêmes de la température de l'enceinte sachant que les valeurs
extrêmes données par le capteur sont 288,8 ° C et 960,6 ° C. On rappelle qu'à une
température de 0 °C correspond une température absolue de 273 , 1 5 K .
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
.......
..c
@
·;:::O'l
:
>a.
0
u
Corrigé détaillé
�""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
="'
"
0"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
"
ltji Tenant compte de (12. 1), le bilan thermique s'écrit pour des températures ex­
primées en Kelvin :
MCdTcap = Kenc(Tenc - Tcap)dt - Kext(Tcap - Text )dt
lt...ff-'I Cette égalité peut être réécrite en tenant compte du fait que la température
extérieure est constante et en utilisant ( 1 2.2)
:
(1 2.3)
=
Ci
@
43
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12
•
Choix d'un capteur de température
En calculant la transformée de Laplace de ( 12.3) où p désigne la variable du domaine
de Laplace, on obtient la fonction de transfert :
liTcap( Kenc
liTenc( Kext Kenc Kext Ke c
n
p)
p)
+
1
MC
+
l+
p
( 12.4)
Cette forme est représentative d'un comportement passe-bas du premier ordre.
lt..11 Le moteur tourne à 730 tours/mn ce qui correspond à une fréquence
f
de
1 2 , 1 7 Hz.
En l'absence d'autre information ou critère de choix, il est naturel de choisir le ther­
mocouple le plus à même de suivre l'évolution temporelle de la température à l'inté­
rieur de l'enceinte c'est-à-dire celui présentant la fréquence de coupure la plus élevée.
Cette fréquence de coupure est donnée d'après ( 12.4) par :
fc Kext Kenc
=
1
2n
+
MC
La tableau 12.2 donne les valeurs des fréquences de coupure des trois thermocouples
proposés.
Tableau 1 2.2- Fréquences de coupure
1 /c(Hz )
Thermocouple n ° 1
0, 1 7
Thermocouple n ° 2
1 7,54
Thermocouple n° 3
1 ,05
Compte tenu de ce qui précède, le choix se porte donc sur le thermocouple n° 2.
ltal Pour une évolution sinusoïdale de la température à l'intérieur de l'enceinte,
( 1 2.4) permet d'établir l' expression de la transmittance qui s'écrit :
-00
c::J
0
(V)
G=
0
N
......
fc
f
liTcap Kenc
liTenc Kext Kenc ...j
-­
1
l + (J/Jc_.)2
+
( 1 2.5)
Avec = 17,54 Hz et = 12, 17 Hz , on tire G = 0,81.
La température de l'enceinte est alors donnée à partir de ( 1 2.2) et ( 1 2.5) par :
@
.1::
Ol
·;::::
�
Tenc
8
= �-� +
G
Text
Cette dernière expression permet de calculer les températures extrêmes prises par
l'intérieur de l' enceinte à partir des températures données par le thermocouple, à sa­
v01r :
= 353 °C
= 1 1 84 °C et
Tenc,max
Tenc,min
44
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EX E RCIC E :
U t i l i sat i o n d e s j a u g e s
d 'exte n s o m é t r i e s u r u n
co r p s d 'é p re u ve
cyl i n d r i q u e
1 3
Énoncé
Considérons le corps d'épreuve cylindrique de la figure 1 3 . 1 , de rayon r et de hau­
teur h. Le cylindre est constitué d'un matériau de module d'Young E et de coefficient
de Poisson v. Sur ce cylindre, on a collé huit jauges d' extensométrie selon la géomé­
trie représentée figure 1 3 . 1 . On suppose le collage parfait et les jauges idéales.
J1'
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
......cO'l...
·;:::>-:
a.
u0
Fig u re 1 3. 1 - Le corps d'épreuve équipé des jauges
..:
�
Les jauges sont montées en pont selon le schéma de la figure 13.2.
"O
c::::l
'-'
'-'
J�
�
�0
:;
"'
c:0
c:
.S:ü
12
2
B:::l
rS
-00
c:
a:::l
@
c:
:::l
"O
o.
�
.h_
.li
.li'
vmes
J;
�
.'4
J�
Fig u re 1 3.2 - Circuit de conditionnement
45
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13
•
Utilisation des jauges d'extensométrie sur u n corps d'épreuve cylindrique
101 Calculer les valeurs des différentes résistances du pont puis la tension de me­
sure différentielle. Les huit jauges sont supposées identiques de même résistance au
repos R = 1 00 .Q et de même facteur de jauge K = 2.
lft.j Le cylindre de 300 mm2 de section est en acier (E 2 · 105 N/mm2 et v = 0,3).
�
On se limite à une contrainte crmax =
tique). Calculer la masse qu'il faut poser sur le cylindre pour exercer cette contrainte.
10-4 E (de l'ordre du dixième de la limite élas­
ldl Calculer la variation maximale de la résistance d'une jauge.
On désire effectuer des mesures à 1 % près, montrer que dans ces conditions l'erreur
de linéarité de la tension de mesure peut être négligée.
101 Montrer simplement que le type de montage utilisé permet d'éviter des pro­
blèmes liés à une contrainte non parfaitement axiale.
Corrigé détaillé
101 Le cylindre est de hauteur h et de périmètre p 2nr. La contrainte appliquée
=
est selon l' axe du cylindre si bien que, suivant la loi de Hooke, !3.h/h = t:;; = cr/E et
!3.p/p = !3.r/r = ê.L = -vcr/E.
Les jauges, de longueur l et de résistance R au repos, sont collées sur le cylindre
qui impose ses déformations (co11age parfait). Chaque jauge n'est sensible qu'aux
variations de sa longueur (jauge idéale). On a donc, pour les jauges 11 , Ji , h et
J� , !3.l/l = !3.h/h = t:;; et pour les jauges h , J�, 14 et J�, !3.l/l = !3.p/p = t:.L = -vt:11•
D'où :
Ri = 2R(l + !3.R/R) = 2R(l + K!3.l/l) = 2R(l + Kt:;;) = R3
"'O0
c::J
0
(V)
R2 = 2R(l + !3.R/R) = 2R(l + K!3.l/l) = 2R(l - vKt:;;) = R4
0
N
......
Ce qui conduit à 1 'expression de la tension de mesure :
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
(13.1)
=
300mm 2 , Fmax
force correspond au poids d'une masse d'environ 600 kg.
lft.j On a crmax = 10-4E d'où avec S
=
10-4ES
=
6 000 N. La
1111 À cette contrainte maximale correspond une déformation maximale ê// = 10-4
et une variation maximale de la résistance d' une jauge M = KRt:;;
46
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=
0,02 n.
Exercice 1 3
L'approximation linéaire de Vmes est donnée par :
( 1 3 .2)
L'erreur relative de linéarité introduite en utilisant
terminer s11 (donc cr) est donnée par :
( 1 3 .2)
au lieu de ( 1 3. 1 ) pour dé­
mes mes.Lin
mes
V -V
----- = -Ks110 - v)
V
o-4,
Pour la valeur maximale de la contrainte, il vient lôVmes/Vmes I
1 ,4. 1
valeur
très inférieure à 1 %. Cette erreur est négligeable et on peut se contenter de l'expres­
sion ( 1 3 .2) pour évaluer la valeur de la tension de mesure.
'.:::::'.
101 La contrainte n'étant plus axiale, la situation peut être schématisée comme sur
la figure
1 3.3 .
Contrainte axiale
Contrainte non axiale
F
F
cr
11 11111
Répartition de la contrainte selon un diamètre du cylindre
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
F i g u re 1 3.3 - Contrainte axiale et non axiale
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
0
"'
"
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
Chaque résistance du pont est constituée d'un couple de jauges en regard. Au premier
ordre, la contrainte supplémentaire subie par une des jauges d'un couple est subie en
moins par l ' autre jauge. On peut donc écrire dans le cas d'une contrainte non-axiale :
Ri
=
(R + !::.R
+ œR) + (R + M - œR)
=
2(R +
M)
L'expression des résistances du pont est identique à celle obtenue dans le cas d'une
contrainte purement axiale. Au premier ordre, il n'y a donc pas d'effet sur la tension
de mesure.
�
-0
0
"
=
Ci
@
47
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14
EX E RCIC E :
Effet d e l a ré s i sta n ce
d e s fi l s d e l i a i s o n d u
ca pte u r d a n s u n po n t
d e Wh eatsto n e
Énoncé
On considère une résistance thermométrique Ptl OO de résistance Rc(T) = Ro( l + œT)
où T représente la température en °C, Ro = 1 00 Q la résistance à 0 °C et
œ = 3,85 . 10-3 0c- 1 le coefficient de température.
Cette résistance est placée dans un pont de Wheatstone schématisé figure 14.1 . Le
pont est alimenté par une source de tension de force électromotrice Vg et de résis­
tance interne négligeable.
RI
R
V,nes
Re
vg
R
F i g u re 1 4. l - Montage en pont du capteur
"'O0
c::J
0
(V)
IGll On se limite à l'étendue de mesure [O °C ; 1 00 °C] et on équilibre le pont
0
N
pour la valeur To = 50 °C de la température pour laquelle on pose Rc(To) = Rco·
L'impédance des fils de liaison liant le capteur au reste du montage est totalement
négligeable (le capteur est physiquement proche du pont). Déterminer la valeur de Ri
qui permet d'équilibrer le pont.
......
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
IGf.j On limite le courant I dans la Ptl OO à moins de 5 mA afin de pouvoir négliger
l' auto échauffement. Fixer la valeur maximale de la tension d' alimentation permet­
tant cette limitation du courant.
48
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Exercice 1 4
IGIJ Établir l'expression de la tension différentielle de mesure pour une valeur
quelconque de la température pour laquelle on posera :
Vmes (T) = VmesCTo + fl T) = Vmes,O + 11Vmes
En déduire une approximation au premier ordre en flRc/Rco de la sensibilité de la
mesure S mes = /1 Vmes/flT .
IGll Le capteur est maintenant mis en service mais à grande distance de l'élec­
tronique constituée par le pont, de son alimentation et du système de mesure de la
tension différentieIIe. La résistance des fils de liaison du capteur à son électronique
n'est plus négligeable. Celle-ci est modélisée selon la figure 1 4.2 par deux résistances
supplémentaires r.
R
V,,,es,2
R
F i g u re 1 4.2 - Montage en pont, capteur éloigné
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
Calculer la tension de déséquilibre Vmes, 2r du pont dans ce cas puis l'erreur ôV2r
entraînée par les fils de liaison.
Calculer la valeur maximale de r pour que l'erreur introduite sur la mesure d'une
température reste inférieure à ôT = 0,2 °C. On suppose que le fil de liaison est un
fil de cuivre de diamètre d = 0,5 mm et de résistivité 1 ,72. 10 - 8 n.m. Calculer la
� longueur des fils de liaison qui correspondent à cette résistance.
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
Corrigé détaillé
=
0
"'
"
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
IGll D' après le montage de la figure 14. 1 , la tension différentielle de mesure est
donnée par :
( 14. 1 )
"
=
Ci
@
49
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14
•
Effet de la résistance des fi ls de liaison du capteur dans un pont de Wheatstone
Pour une température T0
=
50 °C on a :
Rc(To) = Rco = Ro( l + 3,85 . 10-3 · 50) = 1 19,25 Q
À l'équilibre du pont, on doit avoir Vme/To)
=
Vmes,O
=
0 soit Ri
=
Rco·
llf.j Le courant maximal circulant dans la Ptl OO est donné pour la valeur minimale
de la résistance de la branche potentiométrique la contenant, soit Rco + Ro = 219,25 Q
à T = 0 °C. Pour limiter le courant T à moins de 5 mA, il suffit de fixer à Vg < l , 1 0 V.
lllU La tension de déséquilibre du pont s'écrit :
Comme Mc = RoœtiT avec tiT = T - To, on peut encore écrire :
Vmes = ti Vmes = œRotiT
-( --)
Vg
4Rco
1
œRotiT
l+
2Rco
En première approximation, on a avec Vg = 1 , 1 0 V :
S mes =
tiVmes
ti T
�
œRo
--
Vg
= 0,88 mv.c- J
4Rco
(14.2)
1111 On prend maintenant en compte la résistance des fils de liaison. La tension de
déséquilibre du pont est donnée par ( 14. 1 ) dans laquelle Re = Rco + tiRc doit être
remplacée par Re = Rco + 2r + Mc, soit :
"'O0
c::J
0
(V)
....
Vmes' 2r =
0
N
@
2r + tiRc
(Re + 2r) - Rco Vg
Vg
-=
((Re + 2r) + Rco) 2
(2Rco + 2r + tiRc) 2
Ceci conduit à une erreur donnée par :
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
(
ôV2r = Vmes, 2r - Vmes
2r + tiRc
tiRc
=
2Rco + 2r + Mc 2Rco + tiRc
1
4rRco
(2Rco + fiRc)2
2r
l+
2Rco + Mc
(
50
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)
)
Vg
2
Vg
2
Exercice 1 4
Cette erreur est d'autant plus grande que l'on se rapproche de la borne inférieure de
l'étendue de mesure, à savoir 0 °C. Le maximum de cette erreur est donc donné pour
Mc = Ro - Rco, soit :
oV2r, max
- (Rco4rRcoRo)2
+
(
)
1
l
+
Vg
�
2
2r
Rco + Ro
( 14. 3)
L'erreur maximale acceptée oT restant faible, la sensibilité du dispositif est proche
de celle donnée par (1 4.2). On a donc c5V2r, max S mes ÔT. La valeur maximale de r
est obtenue en inversant (14.3) :
::::::
r=
(
(Rco + Ro)2 S mesôT
2 Rco Vg
-
(Rco + Ro)S mes ôT
)
= 32,5 mn
À cette valeur de résistance des fils de liaison, correspond une longueur donnée par
l = nd2 r/4p = 37 cm.
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
......cO'l...
·;:::>:
a.
u0
"
=
"'
"
"
'"
·C0
§
"
0
"
"
.3
ü=
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
51
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1 5
EX E RCIC E :
Effet d ' u n m a u va i s
a p pa r i e m e n t s u r u n p o n t
à q u at re ca pte u rs
ré s i s t i fs
Énoncé
On considère le pont de la figure 1 5 . 1 où les
quatre résistances sont des jauges d'extensomé­
trie à trame pelliculaire collées sur une structure
porteuse.
R2
vg
mes
i..jl Donner l'expression de V
en fonction
de Vg,
et
On supposera que la ré­
sistance interne de la source de tension est totalement négligeable.
R1 , R2 , R3 R4.
F i g u re
RI
vmes
R3
R4
1 5 . 1 - Montage en pont
''*A En l'absence de déformation de la structure sur laquelle les jauges sont col­
lées, les quatre jauges présentent une résistance
de la tension de mesure.
valeur, notée V
meso,
Ro =
120 n. Calculer dans ce cas la
1..10 Selon la façon dont elles sont collées sur la structure, chaque jauge enregistre
une déformation ±E lorsque la structure porteuse est soumise à une contrainte. Don­
ner les expressions de
et en fonction de et de
variation des résis­
tances par rapport à la valeur de référence provoquée par les déformations ±E.
On note K le facteur de jauge.
"'O0
c::J
0
(V)
R 1 , R2 , R3 R4
Ri
0
N
......
Ro
t:.
R
,
Ro
mes
R4
i.."11 En déduire 1' expression de 1 'évolution /1 Vmes de V
@
aux déformations.
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
, On change une des jauges défectueuses, ce sera
....,.
par rapport à VmesO due
(les autres étant inchan­
gées). Malheureusement, celle-ci présente une résistance au repos non plus égale à
son facteur de jauge restant égal à K.
mais à
Donner la nouvelle valeur de la tension de mesure (au repos) que l'on notera uo. Pour
alléger l' écriture, on pose r =
Ro
Ro + r,
aR0.
52
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Exercice 1 5
l..id La structure porteuse subit de nouveau une contrainte entraînant une déforma­
tion des jauges. En posant k = Ks, calculer la nouvelle expression de la tension de
mesure notée v;nes en fonction de k, et Vg.
a
l..ti Montrer que ce résultat peut se mettre sous la forme de la somme de l'ex­
pression de la tension Vmes de la question 4, de uo et d'un troisième terme, noté A,
fonction de k, et Vg.
k et étant faibles, donner une expression approchée a de A .
a
a
l..f:I Calculer l'erreur ôV = V�es - Vmes commise sur la mesure.
l.."IJ Identifier les deux termes constituant l'erreur précédente. Pour r
1 0-2 R0,
Vg = 5 V et M = 10-3 R, calculer numériquement les trois termes de V�es et
conclure quant à la correction à apporter.
=
Corrigé détaillé
(15.1)
''*.J Au repos comme toutes les jauges sont de résistance Ro, on a immédiatement
VmesO = O. Le pont est équilibré au repos.
l.."IJ Pour un push-pull en pont entier une des deux possibilités est :
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
..cO'l
·;:::>-:
a.
u0
.......
R l = Ro + !sR R2 = Ro - !sR R3 = Ro + !sR R4 = Ro - !sR
par définition du coefficient de jauge, !sR = KsR0. L'autre possibilité consiste a
..�: avec
"Oc: inverser tous les signes devant les !sR.
:::l
'-''-' l.."11 On en déduit :
�0
:;
!sR
(Ro + !sR)2 - (Ro - !sR)2
c:0
=
Vg
lsVmes = Vmes - VmesO = Vmes =
Vg
c:
Ro
4R02
.S:ü
"O:::l12 ....,.
au repos. Il vient immédiatement en utilisant le
1 Ici R4 = Ro + r = Ro(I
2 résultat ( 15.1) :
B:::l
rS
RÜ - Ro(Ro r)
-00
rRo
u0 c::::l
-Vg Vg - Vg
a
2Ro(2Ro + r)
2(2
2Ro(2Ro + r)
@
�
"'
c:
+ a)
o.
+
a+a)
53
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15
Effet d'un mauvais appariement sur un pont à quatre capteurs résistifs
•
l..Jd Sous une contrainte appliquée à la structure porteuse provoquant une défor­
l
+a).
!ir
=
Ra(l
=
Ra+
r
R4
-k)(
(15.1),
, (Ra + !1R)2 -(Ra -!iR)(Ra + r - !iR)
r
!ir)
2Ra(2Ra
l -k)2
+ k)2 -(1 -k)2 (1
4k
-a(
2 (2 + a(l - k))
2 (2 + a(l -k))
ua
..fi
- ua = 24k(2-a(la(l-k)- k))2 -k + 2(2a
=
ka2 (2 k(2 + a) -a
=
(15.2)
a)(2 a(l -k))
(15.2),
a
a = ka-(2k ua ua + a.
..j:I
ua,
r
..
a,
a,
!iR k,
r= 5,010-2Ra,ua = -12,10-43Ra = 5-7,4 a a 10-= -5,2 0k.10-510-3 ,
= -12,4
3
k
15.
2
ua
2.102.10-3 a 10-2 .
M
mation des jauges, on a
l'expression
on obtient :
Vmes =
=
l
.
Vg
+
(1
+ a)
En posant V�es = Vmes +
A
En reportant dans
V'mes - Vmes
A
Vg
+ A, A s'écrit :
Vg
+
Tous calculs faits, on trouve :
Vg =
+
En ne gardant que la partie principale de
A, soit :
+
Vg
+ a)
Vg
on obtient la valeur approchée
a)Vg
8
L'erreur commise sur la mesure est donc ôV = V�es - Vmes =
l
Vg
+A
de
�
l "IJ L'erreur est la somme de deux termes. Le premier,
ne dépendant que de
dépendant de
via peut être
via est l'erreur de zéro. Le deuxième terme,
qualifié d'erreur de sensibilité.
Avec =
et Vg = V , soit =
et =
il vient
M =
mV,
mV, v:nes
mV. On re­
mV et
Vmes
marque que l' erreur ôV = V�es - Vmes
mV est essentiellement due à l'erreur
de zéro, c'est donc cette dernière qui doit être corrigée.
La figure
présente les tensions Vmes '
et v:nes pour variant de
à
pour =
"'O0
c::J
0
(V)
0
N
......
10
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
mV
V.ne
0
F i g u re 1 5.2 - Effet d'un mauvais
appariement des jauges sur la tension
de mesure
-1 0
-20
-2
-1
0
Uo
1
54
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EX E RCIC E :
Effet d e l a ré s i sta n ce
d e s fi l s d e l i a i so n d ' u n
ca pte u r ré s i s t i f a l i m e n té
e n c o u ra n t
16
Énoncé
On considère une résistance thermométrique Ptl OO
de résistance Rc(T) = Ro(l + œT) où T représente
la température en °C, Ro = 100 Q la résistance
à 0 °C et œ = 3,85 . 1 0-3 0c- 1 le coefficient de
température. On dispose, pour alimenter cette ré­
sistance thermométrique, d'une carte de condition­
nement fournissant une sortie de courant parfaite
calibrée à I = mA, les deux entrées différentielles
d'un amplificateur d'instrumentation, la borne de
sortie de ce dernier et une borne de masse. La ré­
sistance ajustable R permet de faire varier le gain G
de l'amplificateur et les impédances d' entrée de ce
dernier sont considérées infinies. La carte est sché­
matisée figure 16. 1 .
5
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
�
""'
"
=
F i g u re 1 6. 1 - Carte
de conditionnement
IGll La PtlOO est directement connectée entre à la source de courant et la masse et
ses bornes sont reliées à l'amplificateur d'instrumentation (voir figure 1 6.2). Les fils
·C0 de liaison sont de longueur négligeable .
=
0 Déterminer l' expression de la tension de mesure Vmes et calculer la sensibilité de la
mesure S mes = � Vmesl�T.
.3
"'
"
"
'"
"'
"
"
"
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
Quel doit être le réglage du gain de l' amplificateur d'instrumentation pour obtenir
une sensibilité S mes = 0, 1 V.°C- I ?
�
-0
0
"
=
Ci
@
55
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16
•
Effet de la résistance des fi l s de l iaison d'un capteur résistif alimenté en courant
V
mes
Figure
1 6.2 - Montage
2
- G(e+ - e-
-
)
fils de résistance négligeable
luf.J La Ptl OO est maintenant mise en service à distance de la carte et on doit donc
tenir compte de la résistance des fils de liaison. Ces fils de liaison sont des fils de
cuivre de résistivité p =
n.m, de diamètre d =
mm et de longueur
l = m. Chaque fil est modélisé par sa résistance r (voir figure
5
1,72.10-8
0,516.3).
Vmes - G( e
+ -
"'O0
c::J
0
(V)
......
0
N
Figure
V
mes,
·
2
ôV2 = Vmes,2 - Vmes
oT2
@
.......
.c
·;:::Ol
>:
a.
u0
1 6.3 - Montage
2
-)
e
fils réels
Déterminer la nouvelle tension de mesure
En déduire l'erreur
sur la tension de mesure introduite par la
résistance des fils de liaison.
Que11e est alors l 'erreur
engendrée sur la mesure de la température ?
ICll Pour pa11ier cette erreur, on modifie le montage pour obtenir un montage clas­
sique dit à quatre fils : deux fils amenant le courant à la résistance thermométrique et
deux fils servant à la prise de tension aux bornes de celle-ci (voir figure
16.4).
56
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Exercice 1 6
r'
r
r
r'
F i g u re
1 6.4 - Montage 4 fils
Déterminer la nouvelle tension de mesure Vmes,4 et conclure.
Corrigé détaillé
11511 Les impédances d'entrée de l'amplificateur d'instrumentation peuvent être
considérées comme infinies. D'après le montage de la figure 16.2, le courant circu­
lant dans la Ptl OO est le courant I délivré par la source. La tension de mesure s'écrit
donc simplement :
Vmes = G(e+ - e- ) = GRc(T)I = GRol(l + aT)
(16.1)
/1
La sensibilité de l a mesure est donnée par S mes = Vmes/11T = GRola. Pour obtenir
S mes = 0, 1 V.0c- 1 , il suffit de régler le gain de l 'amplificateur à G = 5 1 ,95.
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
l[!t) La tension de mesure s'écrit maintenant :
Vmes, 2 = G(e+ - e- ) = G(Rc(T) + 2r)l = Gl (Ro(l + aT)
�
+
2r)
(1 6 2)
.
La résistance des fils de liaison introduit donc une erreur sur la tension de mesure
donnée par c5V2 = Vmes,2 - Vmes = Gl2r. La résistance des fils est donnée par la loi
·C0 d'Ohm, soit r = pl/S = 438 mQ. L'erreur commise sur la tension de mesure est donc
=
0 de oV2 = 228 mV, ce qui correspond à une erreur commise sur la température donnée
par ôT2 = ôV2/S mes = 2,28 °C.
.3
""'
"
=
"'
"
"
'"
"'
"
"
"
ü
=
""'
2
o..
2
�
i(;IJ Les impédances d'entrée de l'amplificateur étant infinies, on a immédiate-
ment :
Vmes,4 = G(e+ - e- ) = GRc(T)l = GRol( l + aT)
-0
0
On retrouve un résultat identique à ( 1 6. l ). La longueur des fils de liaisons ne joue
Ci
@ plus aucun rôle et ne perturbe donc plus la mesure.
=
�
"
=
57
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1 7
EX E RCIC E :
Éta l o n n a g e d i rect
Éva l u at i o n d e s
d i ffé re n t s type s
d 'e r re u rs @
Énoncé
On réalise l'étalonnage d'une balance. Le corps d' épreuve et les capteurs qui ne sont
pas décrits ici permettent une charge maximale de 1 00 g. Le plateau de la balance a
une masse supposée exacte de 50 g, si bien que la portée maximale utile est réduite à
50 g.
La tension de mesure V analogique délivrée par 1' électronique de conditionnement
des capteurs est lue sur un microvoltmètre de précision suffisante.
On dispose de masses étalons et on réalise dix séries différentes de mesures en aug­
mentant la charge ou en la diminuant. Les résultats sont donnés dans le tableau
où la tension de mesure V en volt est donnée pour différentes charges (en gramme)
du plateau de la balance, les symboles î ou L indiquent un cycle de mesures respec­
tivement à charge croissante ou décroissante.
mes
17.1
mes
Tableau 1 7. 1 - Tension de mesure en fonction de la charge de la balance (hors plateau)
"'O0
c::J
0
(V)
Série 1
@
Série 3
Charge du plateau
Série 2
0
N
......
Série 4
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
Série 5
Série 6
Série 7
Série 8
Série 9
Série 10
î
î
î
î
î
l
l
l
l
l
1 ,000
5, 140
5, 1 34
5, 143
5, 144
5, 137
5, 1 3 5
5, 141
5, 142
5, 141
5, 144
1 0,000
6,050
6,050
6,043
6,045
6,044
6,041
6,044
6,030
6,037
6,036
20,000
7,042
7,049
7,039
7,059
7,043
7,025
7,038
7,029
7,046
7,031
30,000
8,045
8,053
8,045
8,043
8,037
8,040
8,038
8,029
8,019
8,036
40,000
9,047
9,033
9,051
9,059
9,038
9,026
9,041
9,040
9,051
9,041
@ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage).
58
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49,000
9,953
9,957
9,929
9,931
9,951
9,929
9,939
9,925
9,935
9,935
Exercice
17
lfjl Déterminer par régression linéaire la meilleure droite au sens des moindres
carrés passant par ces points de mesure. On rappelle que les coefficients de la
meilleure droite au sens des moindres carrés, d'équation y = ax + b, passant par
N couples de points de mesure (xi, YJ sont donnés par :
a=
N
N
N
i=l
i= I
i=l
t, -(t, J
N I XiYi I Xi I Yi
--
--
N
xi
x
En déduire une première estimation de la sensibilité S mes de la mesure.
lf#.:.a Évaluer l'erreur d'hystérésis
eh
que l'on exprimera en pourcentage de l'éten­
due de mesure. Pour cela on tracera les écarts des points expérimentaux à la droite
de régression linéaire en ayant soin de distinguer s'ils appartiennent à une série de
mesures effectuée à charge croissante ou à charge décroissante.
IJ.&1 Évaluer 1' erreur de fi.délité traduisant la dispersion des mesures autour de leurs
valeurs moyennes toutes choses égales par ailleurs. En donner la valeur ef en pour­
centage de l'étendue de mesure.
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
:
>a.
0
u
IJ411 Évaluer l'erreur de linéarité.
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
IMi Déterminer l'erreur de zéro et conclure.
IN#J Afin d'obtenir un affichage numérique, la tension de mesure Vmes est passée au
travers d'un convertisseur analogique-numérique l ü bits et de tension de référence
= Vref =
Déterminer l'erreur de résolution. Exprimer sa valeur eq en pourcentage
0 de 'étendue de mesure.
·C0
"'
"
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
5
V.
1
ltb Déterminer 'erreur de précision eP de la balance.
1
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
59
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17
•
Étalonnage direct - Évaluation des différents types d'erreurs
Corrigé détaillé
1fi1 (17 . 1 ) permet de déternùner la meilleure droite au sens des moindres carrés
passant par les résultats expérimentaux du tableau 17 . 1 . Pour les valeurs de la charge,
la masse du plateau est ajoutée à chacune des charges du tableau. Tous calculs faits,
on trouve a = 99,97 mV/g et b = 42, 1 8 mV.
En prenùère approximation, la sensibilité est donnée par S
99,97 mV/g.
mes =
lf#"I À partir de ce résultat, on évalue pour les différentes valeurs de charge, l'écart
entre les mesures du tableau 17.1 et les valeurs données par la droite des moindres
carrés. Les résultats figurent sur la courbe de la figure 17 . 1 .
Ecart (mV)
+20 >--���
0
0
0
0
®
0
+10
0
0
0
*
�
�
§
t
*
0
0
9
�
+
�
0
0
*
-10
+
*
-00
c::J
0
(V)
*
-20
75
0
N
......
@
F i g u re 1 7. 1 - Écarts en mV à la droite de régression,
o charge totale croissante et * charge totale décroissante
8
Au vu de ce résultat, il semble qu' à charge donnée il existe une différence entre les
mesures faites à charge croissante et celle faites à charge décroissante. Un effet d'hys­
térésis est donc à prendre en compte. Une estimation de l'erreur d'hystérésis peut être
donnée en effectuant les moyennes des écarts sur les différentes séries pour chaque
charge (élinùnation de la dispersion ou erreur de fidélité). Les résultats sont reportés
figure 17 .2.
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
60
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Exercice
17
Moyenne des écarts (mV)
0
0
0 *
0
-6
*
50
75
Charge (g)
100
F i g u re l 7.2 - Moyenne des écarts en mV à la droite de régression,
o charge totale croissante et * charge totale décroissante
L'écart d'hystérésis est estimé par la plus grande des valeurs, soit -8 mV pour une
charge de 30 g du plateau. Compte tenu de l'estimation de la sensibilité, ceci corres­
pond à -8 mV/99,97 mv.g- 1 -0,08 g. En divisant ce résultat par l'étendue de me­
sure E.M., on obtient l'erreur d'hystérésis eh = ±0,08 g/50 g = ±0, 1 6 % de l'étendue
de mesure.
�
ltM On calcule les écarts-types des données à même charge en séparant mesures
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
à charge croissante et mesures à charge décroissante de façon à supprimer l'effet de
l'erreur d'hystérésis, cette dernière n' étant pas négligeable. Pour les deux fois cinq
groupes de mesures, on obtient les écarts-types (exprimés en mV) regroupés dans le
tableau 1 7 .2.
""'
"
=
Tableau
"'
"
"
'"
1 7.2 - Écarts-types des mesures
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
î
!
Charge du plateau
20,000
30,000
1,000
1 0,000
4,2
3,5
7,7
3,2
5,4
8,4
40,000
49,000
5,4
1 0, 5
1 3,3
8,7
8,7
5,5
L'écart de fidélité est estimé à deux fois la plus grande de ces valeurs, soit environ
27 mV pour une charge de 50 g du plateau. Compte tenu de l'estimation de la sensi­
Ci bilité, ceci correspond à 27 mV/99,97 mv.g- 1 0,27 g.
@
=
�
-0
0
"
=
�
61
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17
•
Étalonnage direct - Évaluation des différents types d'erreurs
En divisant ce résultat par l'étendue de mesure E.M., on obtient l'erreur de finesse
f = ± 0,27 g/50 g = ± 0,53 % de l'étendue de mesure.
e
lfAI Pour dissocier l'erreur de linéarité de l'erreur d'hystérésis, cette dernière
n'étant pas négligeable, il est nécessaire de traiter séparément les données à charge
croissante de celles à charge décroissante. De nouvelles régressions linéaires sur ces
données prises séparément donnent ar = 100,54 mV/g et br = 40,42 mV à charge
croissante et a1 = 99,90 mV/g et b1 = 43 ,94 mV à charge décroissante.
À partir de ces valeurs, on peut déterminer l'écart des valeurs moyennes pour chaque
groupe de mesures à charge donnée à la droite de régression correspondant. Ces ré­
sultats, exprimés en mV, sont reportés dans le tableau 17.3.
Tableau 1 7.3- Écarts des moyennes aux droites de régression
î
l
1,000
-3,5
+2,0
1 0,000
+2,8
-0, 1
Charge du plateau
20,000
30,000
+2, 1
-0,2
-2,6
-3.4
40,000
+0,3
+5,3
49,000
-1,5
-1,2
Ces valeurs ne semblent pas exprimer de tendance et de plus elles restent toujours
inférieures aux écarts-types du tableau 1 7 .2. En l'état, on ne peut donc pas conclure
qu'il existe une erreur de linéarité.
lt41 L'erreur de zéro qui amène une erreur de justesse peut être estimée grâce à la
régression effectuée à la question 1 , soit 42,2 mV, ce qui correspond à la moyenne
des erreurs de zéro déterminées par les deux régressions de la question 4. Cette erreur
se reproduisant toujours identiquement à elle-même, il est licite de la retrancher des
valeurs en jouant sur le réglage du zéro de l'électronique de conditionnement. Pour
la suite, on considérera que ceci a été effectué.
"'O0
c::J
0
(V)
ltJd On commence par retrancher 5 V (tension précise disponible puisque c'est la
Vmes
tension de référence du convertisseur) de façon à ramener l'excursion de
entre
0 et 5 V. Le convertisseur étant un convertisseur 10 bits et la tension de référence de
5 V, la valeur q du quantum est environ 5 mV, q = 5 V/1 024 = 4,88 mV plus exacte­
ment. L'erreur de résolution est donc ± 2,5 mV ce qui donne ± 0,025 g compte tenu
de la sensibilité. En pourcentage de 1 'étendue de mesure, 1 'erreur de résolution est
= 0,05 %.
0
N
......
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
eq
lf#4 Les différents types d'erreurs étant non-corrélés et la correction de l'erreur
de zéro étant supposée effectuée, 1 'erreur de précision de la balance est donnée par
=
+ + soit tous calculs faits ± 0,55 % de l'étendue de mesure soit
encore ± 0,28 g.
ep �e� e} e�
62
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18
EX E RCIC E :
C o r rect i o n d e l a d é r i ve
t h e r m i q u e d ' u n po n t
d 'exte n so m é t r i e
p u s h - p u l l à q u at re
Jauges
•
Énoncé
On considère le pont de la figure 1 8 . 1 constitué de quatre jauges d'extensométrie.
Rz
Rg
vg
Figure
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
RI
R4
Les quatre jauges du pont sont identiques, de valeur de résistance au repos
= 1 20 .Q et de facteur de jauge
= 2 à la température
= 0 °C considérée
comme température de référence. Les jauges sont collées sur une structure qui leur
transmet une déformation ±s, le pont fonctionnant en mode push-pull complet.
On note aR le coefficient d'évolution thermique de la résistance d'une jauge au re­
pos, c'est-à-dire que l'on a =
+ ŒRT) avec ŒR = 2,0 . 1 0-5
De même on
5
-l
note aK = 1 ,2. 10- °C le coefficient d'évolution thermique du facteur de jauge,
c'est-à-dire que l'on a =
+ aKT).
Ko
R Ro(l
K Ko(l
V
R 1 , R2,Ro,RR3g
To
0c-1 .
11:11 Donner l'expression de mes en fonction de
il:f.j Établir les expressions de
pression de
Ci S r = Vmes/s.
@
"
=
-V,nes
1 8. 1 - Circuit de conditionnement en pont
Ro
"'O
0
c
:J
0
R3
VVg .
mes
en fonction de Ko , s,
et
et
Vg, Rg, Ri, R2, R3 R4.
RV4g. To =
et
à
0 °C et donner l'ex­
Calculer la sensibilité réduite
63
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18
•
Correction de la dérive thermique d'un pont d'extensométrie push-p u l l ...
11:11 La température est maintenant T. Donner les nouvelles expressions des résis­
tances des jauges et donner au premier ordre en T l'expression de la variation de la
résistance de la jauge liée à la déformation ë.
11:11 Établir la nouvelle expression de la tension de mesure.
ll:J1 Pour que la tension de mesure soit indépendante de la température, on place
en série avec la résistance Rg de la source, une résistance de compensation dont la va­
leur de la résistance est donnée en fonction de la température par Re = Rco(l + œcT).
Quelle relation doit vérifier Œc ? On donne Rg = 50 n et Rco = 120 n.
ll:l#J Déterminer l'expression de la nouvelle tension de mesure et calculer la nou­
velle sensibilité réduite.
Corrigé détaillé
11:11 On a immédiatement d'après la figure 18.1 :
(1 8.1)
ll:f) À To = 0 °C , le pont fonctionnant en push-pull complet, on a :
-00
c::J
0
(V)
R i = Ro [ 1 + Koë] R2 = Ro [ 1 - Koë]
R3 = Ro [ 1 + Koë] R4 = Ro [ 1 - Koë]
0
N
......
Soit en remplaçant dans ( 1 8 . 1 ) :
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
La sensibilité réduite est donnée par :
S r = Ko
Ro
--­
Ro + Rg
64
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( 1 8 .2)
Exercice 1 8
11:11 Compte tenu de l'évolution de la résistance au repos et de l'évolution du co­
efficient de jauge, on a maintenant :
Ri = Ro(l + œRT) [ l
+
Ko( l + œKT)t:] R3 = Ro(l + œRT) [ l
+
Ko( l + œKT)t:]
R2 = Ro(l + œRT) [ l - Ko( l + œKT)t:] R4 = Ro(l + œRT) [ l - Ko( l + œKT)t:]
Au premier ordre en T, on peut écrire avec i E { 1 , 2,3 ,4} :
Ri
=
=
�
œRT) + Ro(l + œRT)(- l )i+ I Ko(l + œKTk
Ro(l + œRT) ( l ) i+ I KoRo [ l (œR + œK )T]
Ro(l + œRT) + (- l )i+ l KoRo(l + f3T)c
Ro(l
+
+
+
-
c
On a f3 = ŒR + ŒK = 3 , 2. 10-5 °C - 1 .
11:11 L'expression de la tension de mesure devient tous calculs faits :
Vmes
=
+
RoKot:(l f3T)
Vg
Ro(l œRT) R9
( 1 8 .3)
+ +
+
+
+
ll:J1 Pour obtenir la nouvelle expression de la tension de mesure, il suffit de rem­
Vmes
=
=
R9 + RcoO œcT). Il vient :
RoKot:(l f3T)
Vg
Ro(l + ŒRT) Rg + RcoO + ŒcT)
placer dans ( 1 8.3) R9 par R9 + Re
Pour que Vmes soit indépendant de la température, il suffit que 8Vmes/8T
tous calculs faits :
f3(Ro + Rco + R9) - œRRo
Œc =
= 5 , 7 . 1 0_5 C -1
Rco
=
0, soit
o
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
ll:l#J La tension de mesure s'écrit alors :
RoKot:(l + f3T)
Vg
Ro(l + œRT) + R9 + Rco + f3(Ro R9 + Rco)T RoœRT
RoKot:
=
Vg
·C0
Ro + R9 + Rco
=
0
La nouvelle expression de la sensibilité réduite est donnée par :
.3
Ro
ü
( 1 8 .4)
=
Ko
S
r
2
Ro Rco R9
2
�
La suppression, au premier ordre, de la dépendance à la température s'effectue
�
-0
en contrepartie d'une baisse de la sensibilité puisque l'expression de S r donnée
0
Ci par ( 1 8.4) est clairement inférieure à celle donnée par ( 1 8.2).
@
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
Vmes =
+
-
"'
"
"
"
=
""'
o..
+ +
=
"
=
65
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19
EX E RCIC E :
Li n é a r i s at i o n d u ra p po rt
pote n t i o m é t r i q u e M e s u re d ' i n te n s i té
l u m i n e u s e@
Énoncé
On considère une photorésistance ou LDR dont la résistance varie avec l'éclairement
E auquel elle est soumise. La caractéristique de la photorésistance est donnée par
R = Robsc/IRE où Robsc est la résistance présentée dans l'obscurité et où Re = KE-a
avec K et a des constantes.
Un étalonnage a été réalisé à l'aide d'un luxmètre et d'un ohmmètre de précision.
Les résultats sont reportés dans le tableau 1 9. 1 .
Tableau 1 9. 1 - Étalonnage de la LDR
E (lx)
R (k!!)
E (lx)
R (k!!)
"'O0
c::J
0
(V)
501 3
0, 141
710
1, 375
4 1 28
0, 1 79
621
1 ,5 1 1
3321
0,242
507
2,041
241 5
0,329
433
2,377
1 558
0,525
312
3,524
1 001
0,970
201
5,362
Dans l'obscurité totale, la LDR présente une résistance Robsc
llljll Déterminer les caractéristiques de la LDR.
0
N
......
951
0,990
1 05
1 2,826
=
820
1 , 1 40
55
25,512
6,032 MQ.
llljf.J La LDR est montée en série avec une résistance variable Ru . Le dipôle ainsi
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
constitué est alimenté par une source de tension de fem Vg = 5 V et de résistance in­
terne négligeable. La tension de mesure Vmes est prise aux bornes de la LDR. Quelle
valeur doit-on donner à Ru de façon à linéariser la mesure de l'éclairement autour de
la valeur Eo = 1000 lux ?
llljll Calculer l'erreur de linéarité résiduelle.
@ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage).
66
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Exercice 1 9
Corrigé détaillé
IPll Compte tenu de la valeur maximale de R donnée dans le tableau 19.1 et
de la valeur de Robsc' on peut considérer que pour les valeurs d'éclairement don­
nées on a R
KE-a. En prenant le logarithme de cette expression, on obtient
ln R = ln K œ ln E. Une régression linéaire au sens des moindres carrés amène
œ = 1 , 148 et ln K = 14,752 (voir figure 19.1). En première approximation, sur
l'étendue de mesure donnée, la résistance de la LDR peut donc s'écrire :
�
-
R
ln R
�
KE-a = 2,551. 1 06 E- 1 • 148 n
( 1 9. 1 )
10
5
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Fig u re
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
5
9
ln E
1 9. 1 - Points d'étalonnage et droite de régression par les moindres carrés
ipt.j La tension de mesure est donnée par :
R
Vmes + Vg
=
R Ru
Pour que cette tension de mesure soit la plus linéaire possible autour de Eo = 1000 lx,
il suffit qu'en ce point, la tension de mesure présente un point d'inflexion, soit :
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
Eo
=0
( 1 9.2)
67
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19
•
Li néarisation d u rapport potentiométrique - Mesure d'i ntensité lumineuse
On pose Ro = R(Eo). Tous calculs faits, ( 19.2) entraîne :
( 19.3)
Avec ( 19.1 ), on obtient :
d2 R
dR
_1
et
-2 = a(a + l )E -2R
-aE R
( 19.4)
dE
dE
En remplaçant ( 1 9.4) dans ( 1 9.3), il vient :
a- 1
a- 1
Ru = -- Ro = --KE0a = 63, 2 1 1 Q
( 19.5)
a+ l
a+ l
On remarque selon ( 19.5) que cette technique de linéarisation n'est possible que si
a > 1.
Comme le montre la figure 19.2, le fonctionnement autour du point Eo = 1000 lx
est quasiment linéaire. Le décalage entre la position réelle du point d'inflexion pour
E
1275 lx et Eo = 1 000 lx provient de l'effet des erreurs expérimentales sur les
données (tableau 19.1) et de l'approximation R � RE.
-=
�
v;nes (V)
,
"'O0
c::J
0
(V)
......
· · ······ ,. ,/
Approximation
linéaire au sens des
moi ndres carrés
4
0
N
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
0
Fig ure
1000
1 9.2 - Tension de mesure
E(lux)
2000
11#11 Une régression linéaire sur l'étendue de mesure [55 lx ; 50 1 3 lx] donne en volt
l' approximation linéaire suivante de
- 3 , 1 1 0. 1 0-4 · E+4,9785. L'écart
de linéarité est de 54 mV, ce qui conduit à une non-linéarité résiduelle de l'ordre de
3 , 5 %.
Vmes• Vmes,lin =
68
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EX E RCIC E :
Capte u r d e p re s s i o n
s o n o re aq u at i q u e
p i é zoé l ect r i q u e
20
Énoncé
1. Étude d u capte u r
On cherche à réaliser un capteur de pression dynamique à partir d'un matériau piézo­
électrique. On rappelle que pour un matériau piézoélectrique, l'excitation électrique
�
�
D et la polarisation P sont reliées au tenseur de contrainte CF et au champ électrique
�
E par :
-
�
avec :
-
CF CFxy
CF = CFyx CFyy
CFzx CFzy
xx
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
D = d CF + E: E
CFxz
CFyz
CFzz
X=
�
et
�
P = d CF +
EoX
-
�
E
xx Xxy Xxz
yx Xyy Xyz
zx Xzy Xzz
Pour ce matériau, dans la base des vecteurs propres de la susceptibilité on a
= l l t:o . Le tenseur piézoélectrique prend alors la forme :
Eü
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
o..
2
�
0
d= 0
dzxx
0
0
dzyy
0
0
dzzz
0
dyyz
0
dxzx 0
0 0
0 0
V i,
(20. 1 )
10. 10- 1 2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. 1 0- 1 2
20. 10- 1 2 2 . 1 0 - 1 2 - 3 0. 1 0- 1 2
0
0
0
=
�
-0
0
"
t:.(111 Expliciter précisément dans le cas général, les différentes contraintes qm
Ci peuvent engendrer différentes composantes de polarisation du matériau.
@
=
69
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20
•
Capteur de pression sonore aq uatique piézoélectrique
trof.J Dans le cas de la mesure de la pression Po d'un fluide isobare, quelles sont les
..
seules contraintes qui subsistent ? Quelle relation les relie entre elles ? En déduire les
faces d'un bloc du matériau qu'il faut métalliser pour réaliser un capteur de pression
piézoélectrique (voir figure 20. 1 ) ?
1
1
if y :
1
1 /
1
z I'----< 1 /
0
,J!
, Yo
z
0
/
/
/
'
'
/
/
/
_ _ _ _ _
Xo
X
Fluide à la
pression
Po
Fig u re 20. l - Bloc de matériau piézoélectrique
t.:.OIJ Montrer que dans ce cas la partie de la polarisation liée à la contrainte (c'est­
k
à-dire d · a-) n'a qu'une composante selon z qui s' écrit po.
ti•ll À partir de l'expression de 1'excitation électrique D, montrer que le générateur
de courant lg ainsi créé est de la forme :
(20.2)
On précisera l'expression de K et celle de Cg (capacité du condensateur constitué
par les métallisations et aux bornes duquel est présente la tension V) en fonction de
1 mm. On rappelle que
1 cm et zo
xo, yo, zo, et su.· On donne xo
Yo
12
1
Szz = 1 lso et que so = 8 , 85. 10- F.m- .
"'O0
c::J
0
(V)
k
0
N
......
= =
=
Pi•li Déterminer la résistance de fuite Rg (résistance interne) du condensateur ainsi
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
réalisé. On donne la résistivité du matériau diélectrique utilisé, p = 10 13 n.m .
I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement
On considère que ce capteur est connecté à un amplificateur de charge (schéma fi­
gure 20.2) où l'amplificateur opérationnel, de gain en boucle ouverte A, ne peut être
considéré idéal. Le câble est de résistance de fuite Re = 500 Mn et de capacité para­
site Cc = 1 pF. La capacité de contre-réaction de l' amplificateur est Co = l O pF.
70
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Exercice 20
f-(p)
î
��----�----�����-
Capteur
Figure
Câble
Amplificateur
î
V,(p)
20.2 - Montage de conditionnement du capteur
ti•ld Donner dans le domaine de Laplace le schéma électrique équivalent du cap­
teur.
t.:.i;.H En posant
R
R
//Rc
+ Cc,
C
C9
9
)
p
p) p)/po( p)
=
et
=
donner l'expression de la tension
de sortie Vs( dans le domaine de Laplace, puis celle de la fonction de transfert
H( = Vs (
du montage.
Que devient Vs(P) si A peut être considéré comme infini ?
t.•ul:I Conclure quant à la forme de cette fonction de transfert.
t.11@ Donner 1' expression de la pulsation de coupure
A = 104 .
t.:.ulleJ Donner l'expression du gain
Go
Wc
du montage. On donne
dans la bande passante.
t�ulll Réécrire l'expression de la fonction de transfert de la question II.2 en fonc­
Go
"'O0
c:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
·;:::O'l
>-:
a.
u0
tion de
et Wc.
On s'intéresse maintenant à l'utilisation de ce système qui sera placé à l'arrière d'une
hélice. Dès que la vitesse de rotation de l'hélice est suffisante, elle crée dans son
sillage un tourbillon dans lequel apparaissent des zones de dépression. L'eau se va­
porise pour former des bulles de vapeur d'eau, c'est le phénomène de cavitation. Ces
bulles implosent dès qu'elles se retrouvent dans une zone où la pression est suffisante.
Ces implosions créent des trains d'ondes sonores qui se propagent (voir figure 20.3).
La répartition temporelle et l'intensité de ces implosions sont caractéristiques de l'hé­
..:
�"O lice et de sa vitesse (signature de l'hélice). Le phénomène de cavitation est néfaste et
c:
diminue le rendement de la propulsion.
'-'
:::l
�
'-'
f
�0
:;
"'
c:0
c:
.S:ü
"O:::l12
2
B
rS
-00
c:
c:
o.
V
Hélice
:::l
:::l
a
@
Fig ure
sonore
20.3 - Mesure de la signature de l'hélice
71
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20
•
Capteur de pression sonore aq uatique piézoélectrique
L'expérience montre que pour l'hélice étudiée, l'implosion d'une bulle induit une
onde de surpression dont le spectre en fréquence contient principalement des compo­
santes hautes fréquences (w » Wc) · L'amplitude moyenne t:.p des surpressions par
rapport à la pression normale du fluide est de l'ordre de 1 03 Pa et on peut supposer
que cette surpression est de longueur d'onde bien supérieure aux dimensions du bloc
du matériau piézoélectrique.
t:.t18t) Calculer dans ce cas l 'amplitude de la tension
sion d'une bulle.
Vs
caractéristique de l'implo­
Corrigé détaillé
1. Étude d u capte u r
t.:.(181 Vu la forme (20. 1 ) du tenseur diélectrique, on remarque qu'une polarisation
Px peut prendre naissance dans la direction x sous une contrainte du type crzx· De
même, une polarisation Py peut prendre naissance sous une contrainte cryz et une
polarisation Pz sous des contraintes crxx ' cryy ou crzz·
t.:.(1f) Dans le cas de l'immersion dans un fluide, seule une contrainte hydrostatique
subsiste et on a crxx = cryy = crzz = Po et crzx = cryz = 0. Une seule polarisation
apparait alors selon la direction z. Il faut donc métalliser les faces perpendiculaires à
la direction z de façon à réaliser un condensateur.
-
t.:.(111 Pz est donnée dans ce cas par :
-00
c::J
0
(V)
0
N
......
Compte tenu des valeurs des coefficients du tenseur diélectrique, il vient
k = 8. 10- 1 2 C.N- 1 .
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
t.:.(111 Selon l'axe z, on a Dz = Pz + Ezz Ez = kpo + Ezz Ez , soit en multipliant par la
surface xoyo des métallisations et en dérivant par rapport au temps :
dDz
xoyo -dt
=
dEz
dpo
kxoyo - + EzzXoYo dt
dt
V
En négligeant les effets de bords, on a Ez = - V/zo où représente la tension aux
bornes du condensateur plan réalisé par les métallisations du bloc piézoélectrique.
72
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Exercice 20
On a alors :
dDz
dpo
xoyo dV
xoyo - = kxoyo - - &zz -- -dt
dt
zo dt
Or EzzXoYolzo n'est rien d'autre que la capacité Cg du condensateur plan.
CgdV/dt représente le courant circulant dans le condensateur et x0y0dDz/dt le courant
délivré au circuit extérieur. kxoyodpo/dt = Kdpo/dt représente donc le générateur de
courant constituant un des éléments du schéma équivalent du capteur. On a :
dDz
dV
dpo
=K
= xoyo dt + Cg
dt
dt
!9
Ceci correspond bien à la forme proposée par l'équation (20.2). Numériquement on
obtient :
K = 8. 1 0- 1 6 A.s.Pa- 1 et Cg = 9,72 pF
t�leJ1 La résistance de fuite du condensateur est donnée par la loi d'Ohm :
zo
Rg = p - = 1 08 MQ
xoyo
I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement
t�llld Dans le domaine de Laplace, le système est donc équivalent à un générateur
de courant
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
!9
schématisé figure 20.4 ci-dessous.
Fig u re 20.4 - Générateur de courant équivalent
""'"
"'"
'""
�
=
t;.{1f4 Dans le domaine de Laplace, la tension de sortie peut s'écrire :
Vs( p) = -As(p) = s( p) -
·C0
lg( p) - l( p)
R
avec s( p) =
/( p)
Cop
l + RCp
"'" Il vient en résolvant (20.3) :
0
""
.3
ü
Vs ( p) = ""'2
1
(20.3)
=
=
2
�
o..
=
�
-0
0
"
Ci
@
=
ARlg( p)
+
RCp RCo(l + A)p
+
En posant lg( p) = pKp0( p) on obtient la fonction de transfert du montage :
H( p) =
Vs ( p)
=
Po( p)
_
1
+
ARKp
RCp + RC0(1
+
A)p
(20.4)
73
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20
•
Capteur de pression sonore aq uatique piézoélectrique
Si A peut être considéré comme infini, on obtient :
Le montage réalise une intégration du courant I9(p).
t.J1J:I (20.4) constitue la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du premier ordre.
t.11@ Sa pulsation de coupure est simplement donnée par :
Wc
=
1
= 2.10-2 rad.s- 1
(
1
R (C + + A)Co)
t�lllleJ Dans la bande passante, donc à hautes fréquences, le gain Go est donné par :
Go =
-
AKR
R (C + ( 1 + A)Co)
K
Co
� --
�
- 8 . 1 0-s V.Pa-
1
(20.5)
t�lllll En utilisant les expressions (20.4) et (20.5), la fonction de transfert s'écrit
plus simplement :
H( p)
= PVso(( pP)) = P
Go
p
+ Wc
t.Jelt) On se trouve dans la bande passante du capteur (w
>>
wc) et comme la lon­
gueur d'onde est grande devant les dimensions du capteur, la surpression est ressentie
comme une surpression hydrostatique. On a donc simplement :
Vs = Go!ip = -80mV
"'O0
c::J
0
(V)
0
N
......
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
74
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EX E RCIC E :
Qu a l i fi cat i o n e n
p rod u ct i o n d ' u n ca pte u r
à ré l u ct a n ce va r i a b l e
21
Énoncé
On considère une production de capteurs de proximité inductifs. Leur principe est
celui d'une inductance dont la valeur varie en fonction de la distance à une cible
ferromagnétique (voir figure 2 1 . 1 ).
Aimant
..
�
Connections
électriques
X
Bobinage
Fig ure
"'O0
c:J
0
(V)
r-l
0
N
©
.µ
..c
Ol
ï::::
>a.
0
u
:�.=
"Oc::
::l
rJ
]8
<.)
::l
"'
c::
0c::
c::
.S:
u
�
·��
��
Cible
ferromagnétique
2 1 . l - Tête à réluctance variable
Un client commande une grosse quantité de ces capteurs qui ne seront utilisés, au
maximum, que sur l'étendue de mesure E.M. définie par les distances extrêmes
x 1 = 2 mm et x2 = 1 6 mm. Chaque inductance doit être testée afin de garantir une
sensibilité et une non-linéarité restant dans des tolérances imposées par le client. Pour
rester compatible avec ses impératifs de production, le fabricant ne peut se permettre
de tester chaque inductance que pour trois distances à la cible.
Le fabricant règle ses paramètres de production de façon à ce que la caractéristique
moyenne des inductances soit :
"O::l§.
2
B::l
�
-00
c::
0::l On donne
@
L(x) =
L(x = 0) = 1 50 µH et
L(x = 0)
(1 + kx)2
(21 1 )
.
k = 45. 10-3 mm- 1
75
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21
•
Qualification en production d'un capteur à réluctance variable
t..111 Déterminer la sensibilité réelle S c(x) de l'inductance et la calculer au point
milieu de l'étendue de mesure.
t..lf.j Les distances auxquelles on mesure la valeur de l'inductance de chaque cap­
teur sont x1 = 2 mm, x2 = 16 mm et la distance moyenne xo = 9 mm.
Calculer les valeurs des inductances correspondantes pour une caractéristique idéale
donnée par (2 1 . 1 ).
t..llJ Déterminer l'équation de la meilleure droite (D3 ) au sens des moindres carrés.
On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés,
d'équation y
ax + et passant par N couples de points de mesure (xi, YJ, sont
b
donnés par :
N
N
N
N I XiYi - I Xi I Yi
i=l
i=l i=l
a = ------N
N
b
=
t xf - (t xJ
N
N
N
(21.2)
L: x7 l:: Yi - L: xi L: xiYi
;= J
N
t {t:J�
xf -
t..111 Tracer la caractéristique idéale et la droite (D3 ) de régression. En déduire une
approximation S 3 de la sensibilité et 1'erreur de linéarité ë3 donnée par le plus grand
écart en valeur absolue entre la caractéristique idéale et la droite de régression, écart
normalisé à l'excursion de la valeur de l ' inductance sur l'étendue de mesure.
"'O0
c::J
0
(V)
....
t..111 À partir des courbes de la question précédente, montrer que la régression
par les moindres carrées, n'est pas la méthode la plus adaptée pour déterminer la
meilleure droite approchant la caractéristique réelle.
0
N
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
t..lld Cette constatation peut amener le constructeur à rejeter une inductance comme
non-conforme en surestimant son erreur de linéarité. Pour pallier le problème, on uti­
lise une deuxième droite construite comme suit. On détermine tout d'abord l'équation
de la droite (D2 ) passant par les deux extrémités de l'étendue de mesure puis celle
de la droite (D 1) passant par le milieu de 1'étendue de mesure et parallèle à la pre­
mière. La meilleure droite, notée (Dm), approchant au mieux la caractéristique idéale,
sera prise égale à la moyenne des deux droites précédentes. Déterminer l'équation de
(Dm).
76
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Exercice 2 1
t.jli Tracer la caractéristique idéale et la droite (Dm). Quelles sont alors l'approxi­
mation S m de la sensibilité et l'erreur de linéarité
Sm ?
t.jl:I Sur un composant idéal, déterminer en mm 1' erreur de linéarité que le
constructeur peut garantir.
Corrigé détaillé
t.jli La sensibilité est donnée par :
Sc =
dL(x)
2kL(x = 0)
=dx
( 1 + kx) 3
--
(21 .3)
----
Au milieu de l' étendue de mesure proposée, c'est-à-dire en x0 = 9 mm, on a
S c (xo) = -4,87 �tH/mm.
t.jf:J Avec (21 . 1 ), il vient immédiatement pour
xi
= 2 mm, x2 = 1 6 mm et
xo = 9 mm respectivement L1 = 1 26,25 µH, Li = 50, 70 �tH et Lo = 75,99 µH.
t.jll Avec (21 .2), les trois couples de points précédents donnent
a 3 = -5,40 �tH/mm et b3 = 1 32,88 µH.
t.jll La caractéristique idéale et la droite de régression par les moindres carrés sont
représentées figure 21 .2.
( µ H)
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
100
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
50
=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
Fi g ure
�
�
�
�
�
�
�
_.__..
2
6
12
x (mm)
16
2 1 .2 - Caractéristique idéale et droite d e régression
L'approximation S3 de la sensibilité n'est rien d'autre que le coefficient directeur de
Ci la droite de régression, soit S 3 = -5,40 �tH/mm.
@
"
=
77
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21
•
Qualification en production d'un capteur à réluctance variable
Pour obtenir l'erreur de linéarité &3 on trace l'écart en valeur absolue entre la droite
de régression et la caractéristique idéale (voir figure 21 .3).
La figure 2 1 .3 montre clairement que l'écart maximal est d'environ 8,6 �tH pour
x = 8 mm. Sur l'étendue de mesure, l'excursion de la valeur de l'inductance est de
1 26,25 - 50,70 = 75,55 �tH, ce qui entraîne une erreur de linéarité &3 = 1 1 ,4 % E.M.
10
Fi g ure
(µH)
12 16
6
x (mm)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
-
2 1 .3 - Valeur absolue d e l'écart entre l a caractéristique idéale et l a droite
de régression
t..111 Sur les courbes de la figure 2 1 .2 et 2 1 .3, il apparaît clairement que la droite de
régression par les moindres carrés n'est pas la meilleure droite approchant la caracté­
ristique réelle. En effet, cette droite s'écarte trop de la caractéristique réelle au milieu
de l 'étendue de mesure. L'idéal serait de pouvoir ramener l'écart, en valeur absolue,
à la même valeur au milieu de l'étendue de mesure qu'à ses extrémités.
t..Jld L'équation de la droite (D2) passant par les deux couples de points extrêmes
de 1 'étendue de mesure est donnée par :
"'O0
c::J
0
(V)
L
=
a2x + h2
=
L2x 1 - L1 x2
Li - L2
x + ----x 1 - X2
Xt - X2
Après calcul, on obtient a2 = -5 ,40 µH/mm et h2 = 137,04 �tH.
L'équation de la droite (D i ) passant par le milieu de l'étendue de mesure et parallèle
à (D2) est donnée par :
0
N
......
@
......cOl...
·;:::>:
a.
u0
L
= a 1 x + h 1 = a2x + (Lo - a2xo)
Après calcul, on obtient a 1 = -5,40 µH/mm et h1
La droite moyenne (Dm) est donc d'équation :
L
= Gm X + hm = a2x +
=
124,55 �tH.
hi + h2
2
Après calcul, on obtient am = -5 ,40 µH/mm et hm = 130,80 µH.
78
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Exercice 2 1
t..IM Les droites
(D3), (D2), (Di) (Dm)
et
à la caractéristique idéale figure 2 1 .5.
sont représentées figure 21.4 et les écarts
(µH)
x (mm)
��������--
Fig ure
6
2
16
12
2 1 .4 - Caractéristique idéale et les deux droites d'approximation
(µH)
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Fig ure
(D
),
(D
),
(Di)
(Dm)
3
2
Sm = 4
(D
m)
x=
Em =
t..ll:t
11,4 (x2 - x1 ) = 1,6
(x2 -xi) =
2 1 .5 - Écarts à la caractéristique idéale
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü=
""'
2
o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
Les pentes des différentes droites
et
sont rigoureusement iden­
tiques, on a donc
5 , 0 µH/mm.
L'écart maximal entre la caractéristique idéale et la droite
est d'environ de
6,5 �tH pour
8 mm (voir courbe figure 21 .5). Sur l'étendue de mesure, ceci
entraîne une erreur de linéarité
8,6 % E.M .
-
En utilisant la droite de régression par les moindres carrés, l'erreur de linéa­
rité est
%
mm alors qu'en utilisant la méthode de la droite
moyenne, l'erreur calculée n'est plus que de 8 , 6 %
1,2 mm.
·
·
79
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22
EX E RCIC E :
M e s u re té l é m é t r i q u e
et stat i s t i q u e
d e m e s u re @
Énoncé
On considère un prototype de télémètre laser en temps de vol. L'étendue de mesure
est comprise entre 1 et 1 OO m et le signal de sortie du télémètre est analogique. Lors
d'un étalonnage, ce signal de sortie est échantillonné par une électronique haut de
gamme. Cette dernière assure une résolution sur la tension de sortie correspondant au
centième de millimètre. Le télémètre est placé à une distance d = 10 m d'une cible,
distance mesurée de façon supposée exacte.
Le télémètre est interfacé avec une informatique permettant de stocker les valeurs
relevées. On effectue une série de N = 1 0 000 mesures. Pour chaque valeur de dis­
tance télémétrique, l'informatique soustrait 1 0 m générant ainsi une variable notée X
prenant les valeurs Xi (i = 1 à 1 0 000) (voir histogramme des données figure 22. 1 ).
"'O
0
c
::J
0
(V)
1 00
0
N
......
@
.......
..c
Ol
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>a.
0
u
o L- �........,
..._
�
-10
Fi g ure
__,........
. ...._
.__
�
�
�
�
�
�
�
�
-5
0
+5
X
---1.
.+
�
�
+10
22.1 - Histogramme des données
@ Les données de cet exercice sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage)
80
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Exercice 22
Deux grandeurs sont calculées directement à partir des données :
A=
N
1I
-
N i= t
xi = 0,059 mm
et
B=
N
I
1
(xi - A)2 = 3,027 mm
N i= l
tlji Déterminer la meilleure estimation de la distance télémétrique mesurée par le
télémètre m et la meilleure estimation s de l'écart-type de la distribution des valeurs
mesurées.
t/l'.j On fait l'hypothèse que la distribution des données est normale et on se pro­
pose de tester la validité de cette hypothèse. Pour cela les données sont regroupées en
1 0 classes ek non vides dont les effectifs Mk sont reportés dans le tableau 22. 1 .
Tableau 22. l - Effectifs des dix classes
ek
Mk
ek
Mk
[m - 4s ; m - 3s] [m - 3s ; m - 2 s] [m - 2s ; m - s] [m - s ; m - 0,Ss] [m - 0,Ss ; m]
10
[m; m + O, Ss]
1 895
196
1 378
1 536
1 899
[m + O ,S s; m + s] [m + s; m + 2 s] [m + 2s ; m + 3s] [m + 3s; m + 4s]
1 393
1 470
213
9
Estimer les effectifs Ek de ces classes si on admet comme exacte l'hypothèse de nor­
malité.
Pour cela on donne dans le tableau 22.2, la probabilité Pu qu' a une variable distri­
buée selon une loi normale d'être située dans l 'intervalle [µ - u · cr ; µ + u · cr] pour
0,5 � u � 5 et où µ et cr sont respectivement la moyenne et l'écart-type de la distri­
bution.
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Tableau 22.2- Probabilité Pu(x) = P(µ - u <T ::; x ::; µ + u . <T) lorsque X est distribué
selon une loi normale de moyenne µ et d'écart-type <T
·
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0"
u
5
4,5
4
3,5
3
Pu
1 - 6 . 1 0-7
1 - 7.10-6
1 - 6. 1 0-S
0,9995
0,9973
u
2,5
2
1,5
1
0,5
Pu
0,9876
0,9545
0,8664
0,6827
0,3829
"
.3
ü=
2
o..
2
�
""'
Calculer le x6 réduit correspondant. On rappelle que celui-ci est donné par :
=
�
-0
0
(22 . 1 )
"
=
Ci
@
81
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22
•
Mesure télémétrique et statistique de mesure
où d est le nombre de degrés de liberté. Conclure quant à l'hypothèse de normalité
de la distribution des données. On se contentera d'une conclusion qualitative sans
chercher à évaluer le degré de confiance de cette conclusion.
t..lt#) À partir de ces données, peut-on conclure quant à l'existence d'une erreur
systématique ?
t..lt..fll Donner une estimation de l'incertitude lors d'une mesure individuelle x avec
un degré de confiance de 95 %.
t..lt41 Une des mesures individuelles donne Xi = 1 1 ,259 mm. Peut-on ou non
conclure quant à l'éventuel caractère aberrant de cette mesure ?
t..ltJd L'opération d'étalonnage étant terminée, on suppose que le télémètre est suf­
fisamment rapide pour remplacer une mesure unique par la moyenne de 8 mesures
afin d' améliorer la précision. Une mesure, que l'on notera :X devient donc la moyenne
de 8 mesures consécutives pendant la durée desquelles le mesurande est supposé ne
pas évoluer. Donner les meilleures estimations de la moyenne et de l'écart-type de
la variable X. En déduire l'incertitude sur la mesure d'une valeur :X avec un degré de
confiance de 95 % .
t..t•4 La mesure du télémètre doit être affichée sur un écran LCD. Combien de digits
faut-il prévoir ?
Corrigé détaillé
t..ltll La meilleure estimation de la valeur vraie de la variable X est la moyenne µ
"'O
0
c
::J
0
(V)
estimée ici à partir des valeurs mesurées xi , soit la moyenne
0
N
......
m=
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
A=
m
des mesures :
1 N
I Xi = 0,059 mm
N i=l
-
Notons que, puisqu'il s'agit d'un étalonnage, µ est ici connue et vaut µ = O.
La meilleure estimation s de 1 ' écart-type cr de la distribution est :
s=
N
1
'1
(xi N- 1 �
i=I
--
m)2 = Π=
B
N- 1
82
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3,027 mm
Exercice 22
tj.>;,a La loi normale étant symétrique par rapport à la moyenne, on a :
P(µ - u . a- � X � µ)
Pu (x)
-2
m et s étant les meilleurs estimateurs de µ et a-, les effectifs estimés Ek se calculent
aisément à partir des données du tableau 22.2. Par exemple l'effectif E 1 de la classe
e 1 = [m - 4s ; m - 3s] est donné par :
(
=
P(µ � X � µ + u . a-)
N P(µ - 4 a- � X � µ) - P(µ - 3 . a- � X � µ)
.
.
)
(
=
P4(x) P3 (x)
N . -- - -2
2
- 6 1 0-5
= 1 0 000
=
=
c
13,2
�
)
;
0,9 73
_
)
On procède de même pour chaque classe dont l'effectif estimé est reporté dans le
tableau 22.3.
Tableau 22.3- Effectifs estimés
ek
[m - 4s ; m - 3s]
[m - 3s ; m - 2s]
[m - 2s ; m - s]
[m - s ; m - 0 , 5s]
[m - 0 ,5 s ; m]
ek
[m ; m + 0, 5s]
[m + 0,5s ; m + s]
[m + s ; m + 2 s]
[m + 2 s ; m + 3s]
[m + 3s ; m + 4s]
Ek
Ek
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
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>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
1 3,2
1 914,6
2 1 4,0
1498,8
1 359, 1
1 359, 1
1 498,8
2 1 4,0
1 914,6
1 3,2
Afin d'évaluer le x6 réduit, il faut déterminer le nombre de degrés de liberté d in­
tervenant dans ce calcul. Il y a 1 0 classes et 3 paramètres issus des données sont
nécessaires pour calculer l'effectif estimé de chaque classe, paramètres qui sont N et
les estimateurs m et s. Le nombre de degré de liberté est donc d = 1 0 - 3 = 7.
Le x6 se calcule alors aisément selon (22. 1) et on obtient x6 = 0,93. Cette valeur
étant très proche de 1 , on peut conclure que le comportement normal de la variable X
est tout à fait probable.
tj.#) Comme il s'agit d'un étalonnage, on connaît la valeur exacte µ O On a fait
=
.
une estimation m = 0,059 mm (moyenne des mesures) de la valeur connue de µ. Si on
0 recommençait une série de N mesures, on obtiendrait une nouvelle estimation m' de
.3 µ. Le théorème central limite montre que ces estimations sont réparties selon une loi
ü
normale autour de la valeur vraie µ avec un écart-type, dit écart-type de la moyenne,
2
donné par O-m = a-/ YN où a- est l'écart-type de la population d'origine estimé ici par
2
�
� s = 3,027 mm. On a ici O-m = 3,027/1 00 = 0,030 mm. Comme m = 0,059 mm, cette
-0
0
valeur s'écarte de 0,059/0.030 '.::::'. 2 écarts-types de sa valeur moyenne µ. La probabi­
Ci lité en est donnée par le tableau 22.2, soit P(m 2: µ + 2a-) = ( 1 - P2 )/2 = 0,0228 soit
@
·C0
=
"'
"
"
"
=
""'
o..
=
"
=
83
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22
•
Mesure télémétrique et statistique de mesure
environ 2 %. Devant cette probabilité faible, il est assez difficile de conclure. On peut
simplement dire qu'il existe une erreur systématique mais en ayant 2 % de chance
que cette affirmation soit fausse. Dans un cas comme celui-ci, il est plus prudent de
recommencer une ou plusieurs séries de mesures avant de se prononcer.
tlJGI L'incertitude estimée (selon la norme ISO/R 1 938- 1 97 1 ) est donnée avec un
seuil de confiance de 95 % par ±20'" puisque 95 % correspond d'après le tableau 22.2
à la probabilité de trouver une mesure dans l'intervalle [µ - 20'" ; µ + 20'"]. Ici une in­
certitude de mesure est donc 6,05 mm.
t/41 Avec
Xi
= 1 1 ,259 mm, on se trouve à environ plus de t = ( 1 1 ,259 0,059)/3 ,027 = 3,70 écarts-types de la valeur moyenne. La loi étant normale, ceci
correspond d'après le tableau 22.2 à une probabilité P comprise entre ( 1 - P3,5 )/2
et (1 - P4)/2, soit entre 2,5. 10-4 et 3 . 1 0-5 . Le critère de Chauvenet précise que si
N P < 1/4, la valeur en cause peut être considérée comme aberrante. Ici, on a
0,3 < N P < 2,5 et donc, la valeur Xi = 1 1 ,259 mm n'est pas une valeur aberrante
selon le critère de Chauvenet.
·
·
t/Jd La meilleure estimation de la moyenne de la variable X reste la valeur m pré­
cédemment calculée et la meilleure estimation de l 'écart-type de X est donnée par
s;x = s/ Ys = 1 ,070 mm. Avec un degré de confiance de 95 %, l'incertitude commise
lors d'une mesure x est donc comme à la question 4 donnée par ±2s:x = 2, 1 4 mm.
t/•4 Comme l'incertitude se mesure en millimètre, le plus petit digit doit afficher
le millimètre. Comme la portée maximale est d'environ 1 00 m, l'écran doit pouvoir
afficher 99,999 m. On doit donc prévoir un affichage à 5 digits.
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
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Ol
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>
a.
0
u
84
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EX E RCIC E :
Tac h y m è t re o pt i q u e
23
Énoncé
On considère le tachymètre de la figure 23. 1 , constitué d'un disque percé de N ou­
vertures et solidaire d'un arbre moteur tournant à la vitesse angulaire Wmes · De part
et d' autre du disque et à hauteur des ouvertures sont situées une diode électrolumi­
nescente (LED) et une photodiode de réception (PD), toutes deux fonctionnant dans
le domaine infrarouge.
LED
-t
(Ülll(!S
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0
c
:J
0
(V)
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0
N
@
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O'l
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0
u
Fig u re 23. l - Principe du tachymètre
�
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"
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"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0"
"
.3
ü=
2
o..
2
�
""'
=
�
-0
0
Les tensions instantanées seront notées en minuscules et les tensions continues ou les
amplitudes des tensions instantanées en majuscules.
Le circuit électronique de conditionnement est représenté figure 23.2. Le NE555 est
monté en monostable. La sortie v2 est à la masse tant que v1 > E/3. Si v1 passe en
dessous de E/3, la sortie bascule vers la valeur E et ceci pour une durée T = l , lRC .
L'amplificateur opérationnel est supposé idéal.
tJll Polarisée, la diode électroluminescente présente à ses bornes une tension
VLED = 1 , 7 V pour un courant hED = 50 mA la traversant. Calculer la valeur de
Ci la résistance de protection R 1 On donne E = 1 5 V.
@
"
=
•
85
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23
•
Tachymètre optique
E
/
/
Rz
R
7
V1
RI
�
�
Fi g ure
8
4
3
Vz
NE555
c
l
62
15
23.2 - Schéma du circuit de conditionnement
tD..I Quelle est la valeur de l' amplitude V1 de v 1 lorsque la photodiode n'est pas
éclairée par la diode électroluminescente ? On considèrera que le courant d'obscurité
de celle-ci est nul.
Lors du passage d'une ouverture du disque devant l'ensemble diode-photodiode, la
tension v 1 se comporte en première approximation comme une impulsion rectangu­
laire de largeur faible. Compte tenu de la divergence de l'émission de la diode élec­
troluminescente, de sa distance à la photodiode et de la surface active de celle-ci,
on peut estimer la puissance reçue par la surface active de la photodiode éclairée à
P = 5 �tW. Calculer la valeur de la résistance R2 pour assurer une tension v 1 d'am­
plitude V1 = 4 V lorsque la photodiode est éclairée sachant que sa sensibilité est
SpD = 0,5 A/W.
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Pm Pour que le dispositif précédent fonctionne correctement, on considère
qu' avant qu'une nouvelle impulsion v 1 n'arrive, il faut attendre, après le retour de
v2 à l 'état stable, une durée de récupération égale à T. Donner la fréquence maximale
!max de fonctionnement du monostable précédent.
86
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Exercice 23
tDI En déduire la fréquence maximale de rotation du disque donc de l'arbre mo­
teur et calculer la valeur du produit RC pour que la valeur maximale de la vitesse de
rotation soit de 12 000 tours/min. On donne N = 6.
tHi Donner la fonction de transfert de 1' étage de l'amplificateur opérationnel de
la figure 23.2 et montrer que cet étage réalise un filtre.
Pm Les valeurs de R4 et C4 sont choisies de façon à ce que la pulsation de coupure
du filtre soit de 1'ordre de quelques hertz donc très inférieure à la vitesse angulaire
de rotation du disque. Que représente alors la tension instantanée u3 ?
Wc
tJii Déterminer l'expression de u3 .
Calculer la sensibilité de la mesure S mes = !:J.u3/!:J.fmes où fmes représente la fréquence
de rotation de l' arbre moteur. On donne R4 = 2R3 .
Corrigé détaillé
tDI On a immédiatement R 1 = (E - VLEo) lhED = 266 Q.
tD.J La photodiode n'étant pas éclairée, le seul courant qui circule est le courant
d' obscurité considéré ici comme nul. La chute de tension aux bornes de la résistance
R2 est donc nulle et on a V1 = E.
Le courant délivré par la photodiode éclairée est lpo = S poP = 2,5 µA. On désire
avoir alors V1 = 4 V. Il convient de choisir R2 = (E V1 ) /lpo = 4,4 MQ.
-
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
tHI Compte tenu du temps de récupération, la période minimale de répétition des
impulsions de ui est de 2T et donc la fréquence maximale fmax = 1/2T.
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0"
"
.3
ü=
2
o..
2
�
""'
tDI Le disque étant percé de N ouvertures, la fréquence maximale de rotation de
l' arbre est égale à !mes, max = fi.nax/N = 1/(2NT). Pour une vitesse maximale de rota­
tion de 1' axe de 1 2 000 tours/min soit une fréquence !mes, max = 200 Hz, on obtient :
T = 1/(2Nfmes, max ) = 416,7 �LS soit RC = T/1 , 1 = 378,8 µs
(23 . 1 )
tHi La fonction de transfert du dernier étage du circuit de la figure 23.2 est donnée
par :
1
=
(23.2)
�
-0
0
Cette fonction de transfert correspond à celle d'un filtre passe-bas de pulsation de
Ci coupure Wc = l/R4C4 .
@
"
=
87
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23
•
Tachymètre optique
tU;:j L' arbre moteur tournant à une vitesse angulaire bien supérieure à la pulsation
de coupure Wc = I/R4C4 du filtre passe-bas, ce dernier ne laisse passer que la valeur
moyenne ou composante continue du signal v2 présent à son entrée.
tJli La figure 23.3 donne le chronogramme du signal v2 à l'entrée du filtre pour
une fréquence
f des impulsions
v2 ( t)
v1.
l/J
E
Fig ure
23.3 - Signal d'entrée du filtre
La valeur moyenne v2 du signal
V2 =
v2
est donnée par :
( )
TE + �f - r o
fTE
1
f
=
Compte tenu de (23.2), le signal de sortie v3 est :
Soit encore en utilisant la fréquence de rotation de l ' arbre moteur !mes = JIN :
-0
0
c
::J
0
(V)
....
La sensibilité du système de mesure est donnée par :
0
N
@
S mes
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
=
�v3
�Jmes
=-
R4
R3
NTE
Compte tenu des données numériques, il vient S mes
=-
75 mV/Hz.
88
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EX E RCIC E :
Capte u r d e p re s s i o n à
t u be bo rg n e et j a u g e s
d 'exte n so m é t r i e
24
Énoncé
On considère un capteur destiné à la mesure de la pression
d'épreuve est un tube borgne en acier (voir figure 24. 1 ).
p
de fluides dont le corps
L
Figure
24. 1 - Corps d'épreuve
On montre que les déformations du tube sont respectivement dans la direction de
l' axe du tube (notée c 1 ) et selon sa circonférence (notée c2 ) :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
.....
@
..c
O'l
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0
u
c2
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
=
"'
"
0"
"
.3
ü=
""'
2
o..
2
�
(e L +L 2r - �)2 Ep
p
L
p
= (� - v
= p
)
e
L+
Cl =
�
�
2
2r E
=
k1
E
k2
(24 . 1 )
E
E = 2 , 5 10 1 1 Pa est le module d'Young de l'acier utilisé et v = 0 , 285 son coefficient
de Poisson.
·
1
tjli On donne r = cm, e = 1 mm et L = 5 cm. Calculer les déformations c 1 et
c2 pour
p
=
107 Pa.
tjf:.I On colle sur le tube borgne des jauges d' extensométrie métalliques de résis­
tance au repos R0 et de facteur de jauge K. Le collage est supposé parfait. Déterminer
-0
0
les expressions des variations M 1 et 11.R2 des résistances des jauges collées respecti­
"
Ci vement selon la longueur du tube et selon sa circonférence.
@
=
�
=
89
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24
•
Capteu r de pression à tube borgne et jauges d'extensométrie
tJID On constitue un pont de Wheatstone avec deux jauges collées selon la lon­
gueur du tube (de résistances notées R 1 et R 3 ) et deux jauges collées selon sa cir­
conférence (de résistances notées R2 et R4 ). Expliquer comment doivent être collées
les jauges et comment elles doivent être raccordées pour former le pont. Le pont est
alimenté par une source de courant constant lg .
tJll Déterminer l' expression de la tension de mesure Vmes en fonction de R i , R2 ,
R3 , R4 et lg puis en fonction de Ro , t...R 1 , t...R2 et lg.
tJJ1 En exprimant t...R 1 et M2 en fonction de p, monter que la mesure est li­
néaire et calculer la valeur de la tension de mesure pour
lg = 5 mA, Ro = 1 kQ et K = 2.
p
= 107 Pa. On donne
Corrigé détaillé
tjli En utilisant les données numériques et (24. 1 ), il vient :
c 1 = 228,71 10-6 et c2 = 1 1 8,57 10-6
·
·
tjf:.I Une jauge collée selon la longueur du tube subit dans sa longueur une défor­
mation égale à celle de la longueur du tube, soit c 1 . La variation de la résistance de
la jauge est donc t...R 1 = KRoc 1 • Une jauge collée selon la circonférence du tube su­
bit dans sa longueur une déformation égale à celle du périmètre du tube, soit c2 . La
variation de la résistance de la jauge est donc 1�.R2 = KRoc2 .
tJID Les jauges subissant les mêmes déformations sont collées en regard l'une de
"'O
0
c
::J
0
(V)
l' autre et de chaque coté du tube (compensation des déformations de flexion). Les fils
de connexion de chaque jauge doivent être de même longueur et les plus courts pos­
sible (résistances parasites des fils de connexion). Les jauges doivent être connectées
selon le schéma de la figure 24.2.
0
N
......
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.......
..c
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>
a.
0
u
lg
R1
V
mes
RI
Fig u re 24.2 - Circuit de conditionnement en pont
90
www.biblio-scientifique.net
Exercice 24
tJll On a directement :
Vmes =
=
( +
R1
R1
R1
_
R4
R3 + R4
)
. lg
+
+
(R1 R1)(R3 R4)
Ri + R1 R3 + R4
+
2Ro(l!!,.R 1 - M2 ) + l!!,.RT - 1!!,.R�
R1R3 - R2R4
=
�
2(2Ro + M 1 + l!!,.R2 )
Ri + R1 + R3 + R4 �
(24.2)
tJli D' après la question 2 et (24.1), on a :
p
1!!,.R2 = KRos2 = KRok2
E
En reportant dans (24.2), il vient :
(24.3)
La mesure est linéaire.
Compte tenu des données numériques, on obtient Vmes = 5 5 1 µV.
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91
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25
EX E RCIC E :
P i ézoé l ect r i c i té - C h o i x
d u p i é zoé l ect r i q u e
Énoncé
On rappelle que les relations fondamentales de la piézoélectricité sont :
---?
P
---?
---?
=
---?
d cr +
----?
EoX
E
---?
et D
=
- ---?
d cr + s E
(25 . 1 )
Respectivement P , __§ et D représentent la polarisat�n, le champ électrique et l'excitation électrique. cr est le tenseur des contraintes, x celui des succeptibilités élec-
triques et s celui des permittivités électriques. Le tenseur d est le tenseur piézoélectrique.
Pour la polarisation, on a en détaillant l'expression précédente :
-
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0
(V)
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a.
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u
On considère cinq matériaux piézoélectriques dont les tenseurs piézoélectriques d
sont respectivement (les coefficients sont exprimés en 10- 12 C/N ) :
Quartz :
2,3 -2,3 0 -0,7 0
0
0 0,7 -4,6
00
0
0
OO
0 0
0
92
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Exercice 2 5
Céramique type G2000 (Gultron Industries) :
0 0 0 0 40 0
0 0 0 40 0 0
-39 -39 80 0 0 0
Céramique type PZT5A (Vernitron Corp) :
0
0 0 0 51 0
0
0 0 51 0 0
- 1 87 - 1 87 375 0 0 0
Céramique type PXE5 (RTC) :
0
0 0 0 30 0
0
0 0 30 0 0
- 1 95 - 1 95 390 0 0 0
Polyfluorure de vinyhdène (PVF2 ) :
0 0 0 0 10 0
OO 02 OO
20 2 -30 0 0 0
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2
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On considère un bloc parallélépipédique de matériau piézoélectrique dont les arêtes
coïncident avec les directions principales (x, y et z) du matériau et on métallise deux
faces opposées du bloc de façon à réaliser un condensateur. Le capteur ainsi réalisé
est destiné à détecter des variations rapides de pression.
tJji La taille du bloc de matériau piézoélectrique est suffisamment faible pour que
l'on puisse faire l'hypothèse que les contraintes engendrées sont de type hydrosta­
tique. Parmi les cinq cités, quel est le matériau piézoélectrique le plus adéquat ?
tJ*:.i A quel axe du matériau doivent être perpendiculaires les faces métallisées ?
tJ10 On réalise maintenant une structure enchâssant un bloc du matériau piézo­
électrique de façon à ce qu'une seule de ses faces subisse les variations de pression.
-0
0
Quel est le matériau le plus adapté ? Quelle face doit subir les variations de pression
Ci et quelles faces doivent être métallisées ?
@
=
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"
=
93
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25
•
Piézoélectricité - Choix du piézoélectrique
Corrigé détaillé
tJji La contrainte subie est hydrostatique (pression p) . Le tenseur de contrainte
s'écrit :
100
crXX crxy crZX
crxy cryy cryz = cr 0 1 0 =
001
crzx cryz crzz
-p
1 00
010
00 1
La polarisation apparaissant dans la direction i (i = x,y,z) sous contrainte hydrosta­
tique cr = -p s'écrit Pi = -(dixx diyy + dizz)P = -dihP · Parmi les cinq matériaux
proposés, le matériau piézoélectrique le plus adéquat est celui possédant le plus grand
coefficient hydrostatique dh soit le PVF2 pour lequel :
+
dzh = (20 + 2 - 30) . 1 0- 1 2 C/N = -8. 10- 12 C/N
tJ*l La polarisation ne peut apparaître que dans la direction z. La métallisation
servant à recueillir le signal électrique induit par 1 'effet piézoélectrique, la coupe doit
donc être une coupe z, c'est-à-dire que les faces métallisées doivent être parallèles au
plan xOy.
tJ-11 Il y a ici uniquement une contrainte de traction-compression de la face expo­
sée à la pression. Les PZT5A et PXE5 offrent une réponse importante à cette sollici­
tation (polarisation selon la direction z). La réponse est plus importante dans les deux
cas si la contrainte est appliquée selon la direction z sur une face perpendiculaire à la
direction z. 11 faudra donc métalliser les faces perpendiculaires à la direction z.
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EX E RCIC E :
Capte u r à co u ra n t s
d e Fo u ca u l t - M e s u re
d e ré s i s t i vi té
26
Énoncé
On considère le capteur à courants de Foucault illustré sur la figure 26. 1 et positionné
en regard d'une cible sous test, méta11ique et non magnétique, dont on désire mesurer
la résistivité. Ce système est destiné au contrôle soit de faibles variations de la résis­
tivité de bons conducteurs soit de gros défauts structurels situés sous la surface du
conducteur.
..
Isolant
���[
e cosax
Bobine
Cible métallique
Le capteur
Ï2
C=::> Cible métallique
Principe de fonctionnement
Fig ure
26. 1 - Principe de la mesure
tiMI Expliquer le principe de fonctionnement du capteur.
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ti;f.J La distance de la bobine à la cible est fixe, le capteur étant au contact de la
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L1
cible par son isolant. Le bobinage du capteur possède une inductance propre
et
une résistance propre 1 .
En notant le courant circulant dans le bobinage du capteur et les courants de
Foucault induits dans la cible, donner l'expression de l'amplitude e de la tension aux
bornes du bobinage du capteur en fonction de
1 , w et M où M représente
le coefficient de mutue11e inductance entre le bobinage capteur et la cible métallique.
i1
R
i2
i 1 , i2 , L1 , R
tHI On admet que la cible se comporte comme un bobinage d'inductance
L2
et
de résistance propre
Donner 1 'équation régissant le secondaire du transformateur
constitué par le capteur et la cible en fonction de
w et M.
R2 .
i1 , i2 , L2 , R2,
tiHGI En déduire les résistance et inductance apparentes, respectivement r et
bobinage du capteur (le primaire) quand ce dernier est au contact de la cible.
L,
du
95
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26
•
Capteur à courants de Foucault - Mesure de résistivité
t31 Que deviennent ces expressions si l'on considère que la cible est un bon
conducteur, soit pour R1 << L1w ? On posera M = k '\/L 1 L2 où k est le coefficient
de couplage entre le bobinage du capteur et la cible, soit ici une constante puisque
toutes les caractéristiques géométriques et dimensionnelles restent constantes.
Le principe du conditionnement du capteur est un oscillateur dont le capteur est par­
tie prenante et conditionne la fréquence d'oscillation. Cet oscillateur est constitué des
deux blocs suivants où les amplificateurs sont considérés comme parfaits :
Capteur
R"
c
L
R
Circuit sélectif
Amplificateur
Fig ure
r
26.2 - Conditionnement du capteur
tMd Calculer la fonction de transfert H1 (p) = V2 (p)/V1(p) de l ' amplificateur où p
désigne la variable dans le domaine de Laplace.
t.:.t;f4 Montrer que la fonction de transfert H2 (p)
s'écrit :
H2 (p)
=
RLC2p3
+
=
V4(p)/V3 (p) du circuit sélectif
1
(RrC + L)Cp2 + (r + 2R)Cp +
1
------
Il est conseillé d'exprimer V4(p) en fonction de C et /2 (p), puis /2 (p) en fonction de
la tension L, r, C et V(p) (voir le schéma de la figure 26.2) et enfin V(p) en fonction
de R, L, r, C et V3 (p).
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c
::J
0
(V)
t.:.t;f:I Pour réaliser un oscillateur sinusoïdal de pulsation d'oscillation
Woscif, les
deux blocs sont connectés de façon à ce que V4 = V1 et V3 = V2 .
En déduire les conditions dites de Barkhausen imposées à la transrnittance
0
N
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0
u
H(jWoscit) = Hi (jWoscil)H2 (jWoscil).
t.:.t@J Déterminer la pulsation d'oscillation
Woscil en fonction de r, R, L et C. En
remplaçant r et L par leurs expressions en fonction R1 , R1, L1 , Li et k dans le cas
d'un bon conducteur, montrer que cette pulsation peut se mettre sous la forme :
Woscil = Wo
96
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Exercice 26
wo,
R2 =
On précisera l'expression de
conductrice soit pour
O.
pulsation d'oscillation pour une cible parfaitement
t..(;1111 Déduire des réponses aux questions 8 et 9 la valeur du rapport
R"/R'
pour
que la condition de Barkhausen sur le module soit vérifiée. On admettra que l'on peut
considérer que la cible est parfaitement conductrice (i.e.
0) pour déterminer la
valeur du rapport
et que cette valeur, une fois fixée, reste correcte pour que
l'oscillateur fonctionne même si
* O.
R2
R"/R'
R2
=
R R
w0= R = n, C =
t.ldlll On a pris la précaution de choisir une résistance égale à 1 , résistance du
bobinage du capteur face à une cible parfaitement conductrice. Donner dans ce cas
l'expression du rapport
et celles de la pulsation
et de la fréquence fo cor­
respondantes. Applications numériques : on donne L 1 1 mH, 1 50
1 nF
et k = 0,5.
R"/R'
R
2
R2 =
tMt..fl Montrer que, la résistance
étant forcément proportionnelle à la résistivité
p du matériau de la cible (i.e.
ap), on a bien réalisé un capteur permettant la
mesure de la résistivité de la cible. Dans le cas où la pulsation d' oscillation Woscil de
l'oscillateur reste voisine de wo, donner, au premier ordre en p, la relation liant la
pulsation et la résistivité.
t;.{Mlt On rappelle que la profondeur de peau d'un matériau non magnétique est
donnée par 5
où est la conductivité du matériau. Estimer pour un ma­
tériau cible bon conducteur comme le cuivre, la profondeur de matériau testée par
cette méthode. On donne
5,9. 1 07 .O..m- 1 •
= �2/ywµ0 y
y=
t;.{MGI Compte tenu des hypothèses et des résultats précédents, expliquer l'utilisa­
tion qui peut être faite de ce type de capteur.
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Corrigé détaillé
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Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l'auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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Ci
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97
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27
EX E RCIC E :
Re l at i o n m e s u ra n d e- s i g n a l
d e m e s u re
- Dé r i ve t h e r m i q u e
Énoncé
tDI Un système de mesure du micro-déplacement x possède à To = 20 °C une
sensibilité réduite S r = 20 mV/µm/V et une dérive thermique as = tiS /S ti T soit
0, 1 %0c- L . Sous une alimentation Valim = 1 0 V et à T = 25°C, quelle est la tension
de sortie Vmes pour un déplacement x = 10 �tm ?
tM;,a Soit un système de mesure de déplacement de sensibilité réduite
s r = 1 mV/µm/V et de dérive thermique Œs = tiS /S ti T = 0,5 % 0c- 1 à To = 20 °C.
Sous une alimentation de Valim = 5 V et à T = 25 °C, à quel déplacement x corres­
pond une tension de sortie de Vmes = 4 1 mV ? Quelle erreur relative d'interprétation
sur ce déplacement est commise si on ne tient pas compte de la dérive thermique ?
tj.&I Un capteur de pression intégré a une sensibilité réduite S r = 1 00 mV/105 Pa/V
à une température To = 20°C. Quelle est la tension Vmes délivrée par ce capteur pour
une alimentation Valim = 5 V et pour une pression p = 1 , 5 . 105 Pa sachant qu' à la
pression de référence Po = 1 05 Pa, il délivre une tension Vo = 1 V ?
Quelle est la tension délivrée à T = 30°C pour une dérive thermique de la sensibilité
as = 1 %/°C (on supposera qu'il n'y a pas de dérive thermique de la référence Vo) ?
"'O
0
c
::J
0
(V)
tMI Un débitmètre a une sensibilité S = 200 mVjL. ç 1 sur toute sa plage d'uti­
lisation et à la température de référence To = 20 °C. Quelle est la tension Vmes dé­
livrée par ce capteur pour un débit D = 20 L.s- 1 sachant qu'au débit de référence
Do = 50 L.s- 1 , il délivre une tension Vo = 1 V ?
Pour ce même débit, quelle est la tension délivrée à T = 40 °C pour une dé­
rive thermique as = -0, 1 %/°C de la sensibilité S et pour une dérive thermique
av0 = -0,2 %/°C de la référence Vo ?
0
N
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a.
0
u
tMi On considère un capteur de pression de marque Keller. À la pression de ré­
férence Po = 1 05 Pa, la tension de sortie Vmes évolue avec la température T. Cette
évolution est reportée dans le tableau suivant :
98
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Exercice 2 7
Tableau 2 7. 1 - Dérive thermique
T (C)
Vmes(mV)
-8,6 1 ,0 25,8 50,6 80,7
-5,5 -2,6 4,6 1 1 ,3 1 9,0
a) À partir de ces données, peut-on déterminer la valeur de la sensibilité ?
b) Déterminer graphiquement ou par régression linéaire, l'équation de la meilleure
droite approximant ce comportement.
c) On désire avoir
VmesCPo, To) = To
0 où
désigne la température de référence.
Donner, en explicitant le raisonnement, la valeur du coefficient CDTZ (coeffi­
cient de dérive thermique du zéro) et la valeur de
T0.
tMd On considère un capteur à effet Hall que l'on destine à la mesure sans contact
-+
du courant I dans un conducteur rectiligne via le champ magnétique B créé. L'étendue
de mesure E . M. du capteur s'étend de -900 G à +900 G. Les données du construc­
teur sont :
Tableau 2 7.2- Capteur de champ d'induction magnétique
Tension en champ nul
Sensibilité
Dérive du zéro
Vo
as
Caractéristiques électriques à To
0
N
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0
u
B=OG
-900 G ::; B ::; +900 G
B=OG
-20 °C ::; T ::; +4 0 °C
-900G ::; B ::; +900 G
-20°C ::; T ::; +40 ° C
s
ll'Vo
Dérive de la sensibilité
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
Valeurs Unités
Symbole Condition du test
Caractéristique
=
25
+2,5
+1,3
-1
V
+0,2
%!°C
mV/G
mV/°C
°C
a) Comment adapter 1 'étendue de mesure du capteur à 1' étendue de mesure du
courant ?
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"
0"
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-0
0
"
=
Ci
@
Vmes T To.
Vmes
obtenue pour une va­
b) Donner l' expression littérale de la tension de mesure
leur de champ B si la mesure est effectuée à une température *
On posera
!iT = T - To.
c) Calculer dans le pire des cas l'évolution en tension li
engendrée par l'évo­
lution de la température entre -20°C et +40°C, c'est-à-dire la différence entre
la valeur approchée de la tension de mesure ne tenant pas compte de 1' évolution
de la température et celle correcte déterminée précédemment.
T
d) À quelle erreur ceci correspond-il en terme de valeur de champ ?
e) Déterminer la valeur de l 'erreur relative commise ; est-ce acceptable ?
99
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27
•
Relation mesurande-sig nal de mesure - Dérive therm ique
Corrigé détaillé
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l ' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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EX E RCIC E :
C a pte u r d e p re s s i o n Dé r i ve t h e rm i q u e
28
Énoncé
Ci-dessous est reproduit le
datasheet
d'un capteur de la pression
p
à sortie en tension.
Description
These
mi
n
i
a
ture
ressure
sensors
are
desi
g
ned
to
make
stati
c
measurements
of
res­
p
p
sure
as
wel
l
as
dynami
c
i
n
corrosi
v
e
condi
t
i
o
n.
Reali
z
ed
enti
r
el
y
wi
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h
ti
t
a
ni
u
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and
stai
n
less
steel
,
these
leveli
n
g
membrane
sensors
are
com
ati
b
le
wi
t
h
a
great
num­
p
ber
of
corrosi
v
e
or
conducti
n
g
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fi
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d
s.
An
i
n
tegrated
electroni
c
s
makes
it
ossi
b
le
to
p
deliver an analogical tension signal.
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Fig ure
2 8. l - Miniature pressure absolute sensor
.S:
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28
•
Capteur de pression - Dérive thermique
Technical data (@ To = 25 °C)
Tableau 28. l - D atas hee t
Measuring range
Proof pressure
Burst pressure
Full scale output CVout span)
Zero
1 00 PSI
1,5
x3
absol ute
X
CVout @ 0 PSI)
Linearity
Hysteresis
Resolution
Operating Temperature Range
Compensated Temperature Range
SV
ov
±0.25% of the f u l l scale
±0.25% of the f u l l scale
±0.2% of the full scale
-40°C to + 1 2 5°C
0°C to +60°C
0, 1 % of the full scale @ T 60°(
0, 1 % of the read i ng @ T 60°(
=
Thermal Zero Shift
=
Thermal Sensitivity Shift
On rappelle que 1 PSI équivaut à 6894,7572 Pa.
t.<1:11 Donner en unités du Système International, l'étendue de mesure E.M. de ce
capteur.
t.l:f.j Quelle est Ja limite mesurande du domaine de destruction ?
t..J:IJ Déterminer la valeur de la sensibilité de ce capteur.
t..J:ll Quelle est, en unités du système international, Ja plus faible évolution de Ja
pression détectable avec ce capteur ?
t..J:li Dans la zone de compensation, déterminer dans le pire des cas 1' écart c5Vout
introduit par la dérive thermique.
-0
0
c
::i
0
(V)
..-1
0
N
t..J:ld Donner 1 'écart correspondant c5p et 1 'erreur engendrée
de mesure.
s7
en % de 1 'étendue
t.;t:li L'étendue de mesure E.M. en unité anglo-saxonne est de 1 00 PSI soit dans Je
Système International E.M. = 1 00 6894,7572
·
t..J:f.j D' après le
datasheet,
�
6,895 · 1 05 Pa.
elle est de trois fois la valeur maximale de l 'étendue de
mesure soit de l 'ordre de 20,5 1 05 Pa.
·
1 02
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Exercice 28
t;.f:IJ Comme le zéro est nul (Vaur @O PSI = 0 V), comme l'extension du signal de
sortie est �Vaut = 5 V et que l'entendue de mesure est :
E.M. = 100 PSI � 6,895 . 105 Pa
La sensibilité est donnée par S c = �VoutfE.M. = 50 mV/PSI = 725 ,2 mV/ 1 05 Pa.
tl:ll La plus faible évolution de la pression détectable avec ce capteur est par dé­
finition l'incertitude de mobilité (improprement dite de résolution) soit 0,2 % E.M.
soit 0,2 PSI ou encore 1 380 Pa.
tl:Jj L'écart ôVaut introduit par la dérive thermique lorsque la température est T et
non To est donné par :
ôVout = Vaut (p,T) - Vaur(p,To)
= [S c(T)p + Vaur(P = 0 Pa,T)] - [S c(To)P - Vaur(P = 0 Pa, To)]
= [S c(T) - S c(To)] P + [Vour(P = 0 Pa,T) - Vaui(P = 0 Pa,To)]
(28. 1 )
= s c(To) (l + Œsc (T - To)) p + f3vo (T - To)
Les coefficients de dérive thermique étant tous les deux de même signe, 1 'écart ôVaut
est extremum pour T - To extremum dans la zone de compensation, c'est-à-dire pour
T = 60 °C.
D'après les données du
le deuxième terme de (28. 1 ) représente alors
0, % 5 V = 5 mV et le premier terme au maximum (pour p = OO PSI) 0, % · 5 V
= S mV. Au total, on a donc au maximum ôVaut = l O mV.
1
·
datasheet,
1
1
tl:l#J L'écart correspondant ôp est simplement donné par :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
ôp =
�
""'
"
=
ôVout
= 0,2 PSI � 1 380 Pa
Sc
--
(28.2)
L'erreur engendrée ET est alors de 0,2 % de l'étendue de mesure.
"'
"
"
'"
·C0
="'
"
0"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
1 03
www.biblio-scientifique.net
29
EX E RCIC E :
Pote n t i o m èt re rotat i f
Effet d e l a d é r i ve
t h e rm i q u e
Énoncé
R 1 R2
R
On considère le montage en demi-pont de la figure 29. 1 où
et
représentent
les deux résistances variables d'un potentiomètre rotatif de résistance totale 2Ro et
de course angulaire totale (voir figure 29.2). Les résistances de l' autre branche
potentiométrique sont fixes.
n
R
R
-0
0
c
::i
0
(V)
..-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
Figure
Figure
2 9. 1 - Conditionnement en pont
R1 , R2 V9.
ao
R1(ao) R2(ao).
ao.
l'iR1 fiR2
fia,
Vmes
t..ipll Donner l' expression de la tension de mesure
t..ipf.j Le pont est équilibré pour une valeur
ao?
t,Pll
fia
R1 (aoRo.+fia) R2(ao +fia)
t,Pll
ao +fia.
quelle valeur doit-on choisir pour
0
et
l' angle
29.2 - Potentiomètre rotatif
Vmes
en fonction de
et
de la position angulaire. A priori
En déduire les valeurs
et
Le mesurande évolue de
à partir de
puis les expressions de
et
Donner 1 'expression de la variation l'i
Donner les expressions de
en fonction de
et de
de la tension de mesure associée à
1 04
www.biblio-scientifique.net
Exercice 29
tJJ1 Calculer la sensibilité de la mesure. On donne
n=
250° et Vg = 1 V.
Les mesures précédentes ont été réalisées à la température de référence T0 = 0°C. La
température varie maintenant et fait varier la résistivité de la piste du potentiomètre
selon p(T) = p0 ( 1 + apT) où est la résistivité du métal à 0 °C et la température est
exprimée en °C. La température constitue donc a priori une grandeur d'influence de
la mesure.
tJl#J A priori, pourquoi se limite-t-on à une alimentation Vg = 1 V aussi faible qui
limite ainsi la sensibilité de la mesure ?
tjf4 Donner à une température T * To, les expressions de R 1 (ao, T) et R2 (ao , T)
en fonction de Ro, ap, !iT
=
T - To, Ro, ap.
tJJ:I Donner les expressions de R 1 (ao + !ia , T) et R2 (ao + !ia, T) pour une évolution
de l'angle à une température T * To.
tJ&J En déduire la nouvelle expression de la variation !i Vmes et conclure.
Corrigé détaillé
tJll L'expression de la tension de mesure Vmes est :
(29. 1 )
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
tjf:.I Le pont doit être équilibré pour une valeur ao de la position angulaire qui mi­
nimise les non-linéarités de la mesure donc a priori pour ao = .Q/2. La résistance par
unité d'angle de la piste résistive est 2R0/.Q, on a donc :
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
{
R 1 (ao) = (2Ro/.Q) · (.Q/2) = Ro
R2 (ao) = 2Ro - Ri (ao) = Ro
·C0
tJIJ De la même façon, on a :
"
R 1 (œ0 + ô.œ) =
="'
"
0"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
� (�
2 0
+
M) = ( � )
= (
�)
Ro l + 2
R1(œo + ô.œ) = 2Ro - Ri(œo + ô.œ)
Ro 1 - 2
(29.2)
(29.3)
Les deux branches du potentiomètre constituent deux capteurs linéaires en !ia fonc­
tionnant en mode push-pull.
1 05
www.biblio-scientifique.net
29
•
Potentiomètre rotatif - Effet de la dérive thermique
tJll En reportant (29.3) dans (29. 1 ), il vient :
( ) ( )
( ;) ( ; )
�a
�a
- Ro 1 - 2
Q
Q V9 �a
Ri - R2 V9
=
=
Vmes V9
R 1 + R2 2
�
� 2 Q
+ Ro 1 - 2
Ro 1 + 2
+
Ro 1
_
2
=
� Vmes (29.4)
La mesure est linéaire en �a.
tJJ1 La sensibilité de la mesure est donnée par S mes = �Vmes!�a = 4 mV/° .
tJl#J La résistivité varie avec la température et donc par conséquence les valeurs des
résistances varient avec la température. Ceci peut a priori provoquer une dérive de la
tension de mesure à déplacement angulaire �a fixe et donc par la suite une erreur
d'interprétation de cette tension de mesure. Une tension d'alimentation trop impor­
tante risque d'entraîner un auto échauffement par effet Joule et donc par le principe
décrit précédemment une erreur d'interprétation de la tension de mesure.
tJf4 À la température T
+
tenant R0( 1 apT).
On a donc :
*
T0 et puisque T0 = 0 °C, la résistance Ro s'écrit main­
(29.5)
tJJ:I De la même façon que précédemment, on a :
( �)
+ ( �)
R1 (ao + Aœ,T) = Ro(I + <>pT) 1 + 2
R2 (ao
"'O
0
c
::J
0
Aa, T) = Ro( I
apT) 1 - 2
tJIJ En reportant ces expressions dans (29. 1 ), il vient :
( )
( �)
0
N
......
�VmesCT)
@
=
( )
( �)
�a
�a
- R0( l + apT) 1 - 2
Q V9
Q
2
+ Ro( I + œpT) 1 - 2
Ro( I + ŒpT) 1 + 2
Ro(l + apT) 1 + 2
(V)
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
+
(29.6)
=
�a
- Vg (29.7)
n
Ce résultat est strictement identique au résultat (29.4). On en déduit que si la tempé­
rature constitue bien une grandeur d'influence de chaque piste résistive prise comme
capteur, elle est sans effet sur la mesure, ceci en raison du conditionnement en demi­
pont push-pull.
L'argument développé à la question 6 est donc sans objet et on peut se permettre
d'augmenter la tension d' alimentation afin d' augmenter la sensibilité de la mesure.
1 06
www.biblio-scientifique.net
EX E RCIC E :
Ré s i sta n ce
the rmométriq ue
e n m o n tag e
pote n t i o m ét r i q u e
30
Énoncé
On considère le montage potentiométrique ci­
contre où
est une ré­
=
1
sistance thermométrique de nickel et R une simple
résistance fixe. Dans cette dernière expression, la
température est exprimée en °C,
= 1 .Q,
3
1
6
=
5 , 5 . 10- 0c- et
=
6,7 . 10- 0c-2 . La
= 5 V possède
source de tension de fem
une impédance interne négligeable. Ce système
est destiné à la mesure de températures comprises
entre -50 °C et +90 °C.
Rc(T) Rc(O)( +AT + BT2)
T
Rc(O)
OO
B Vg
Rg
A
11'11
A
(V)
.-t
0
N
""'
"
=
.......
"'
"
"
'"
O'l
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u
·C0
"
0
"
"
.3
ü
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""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
forme
et
température qui servira de référence ?
priori,
Pour une température
�
30. l - Montage
potentiométrique
T0,
fief)
T
= To tiT,
Rc(T)
2
)
R0
Rc(To)
Rc(T)
R0(1
+
a::
ti
T
+
f3(/1T)
a::, f3 Ro.
Mc = Rc(T) -Rc(To)
a::, [3, R0 tiT.
ilell
Mc
tiT
Rc(T),
R
11'11
s(T)
V
me
Vg 11Rc, Ro, R V9.
II•ld
s(T)
= Vmes(T) - Vmes(To)
11Vme
Mc, Ro, R Vg.
quelle doit être la valeur de
On précisera la raison de ce choix.
"'O
0
c
:J
0
Fig ure
=
Application numérique.
+
où
réécrire l'expression de
sous la
=
en précisant les expressions de
inll Donner l'expression de
Donner l'approximation linéaire de
la sensibilité S c du capteur.
et
en fonction de
au premier ordre en
Donner l'expression de la tension de mesure
puis de
et
En déduire l'expression de la variation
fonction de
et
et
et en déduire
en fonction de
en
1 07
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30
•
Résistance thermométrique en montage potentiométrique
lnf4 Donner 1' approximation linéaire au premier ordre en
duire la sensibilité S
cond
du conditionneur.
lnl:I Donner l'expression de
�Vmes
en fonction de œ, {3,
/j,_Rc � Vmes
R0, R, �Tet V9 .
�T �Vmes
11'11 Donner l'approximation linéaire au premier ordre en
duire la sensibilité S
mes
de la mesure.
lnlltJ Calculer la valeur de
R
de
et en dé­
de
et en dé­
qui rend cette sensibilité maximale.
lnlll Pour cette valeur, donner alors les nouvelles expressions de S
lnlt) En repartant de 1 ' expression de la question 5 de
Rc(T),To.R V9,
et
calculer la valeur de
rature
R
�Vmes(T)
cond mes·
et S
en fonction de
qui maximalise la linéarité autour de la tempé­
lnlil Pour cette valeur, déterminer les nouvelles expressions de S cond et S
Corrigé détaillé
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
0
N
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.......
�
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0
u
1 08
www.biblio-scientifique.net
mes·
EX E RCIC E :
Capte u r d e d é p l ace m e n t
ca pac i t i f - N o n - l i n é a r i té
31
Énoncé
On considère le montage en quart de pont de la figure 3 1 . 1 où Z1 et Z2 sont les im­
pédances complexes de deux capteurs du mesurande m et R 3 et R4 deux résistances
fixes. La source de tension sinusoïdale de pulsation wg et de fem Vg possède une
résistance interne Rg négligeable.
Fig ure
mes'
3 1 . 1 - Quart de pont
1111 Donner 1' expression de V
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
fonction de Z1 , Z2 , R 3 , R4 et Vg .
�
""'
"
=
.......
"'
"
"
'"
O'l
·;::::
="'
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u
·C0
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0
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"
.3
ü
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""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
mes(t)
amplitude de la tension de mesure V
en
ltf.j Le pont est équilibré pour une valeur mo de l'étendue de mesure E . M. du me­
surande pour laquelle on a Z1 (mo) = Z2 (mo) = Zo. A priori quelles valeurs doit-on
choisir pour mo ? En fonction de ces résultats, récrire V hors équilibre en fonction
de Z1 , Z2 et Vg.
Les deux capteurs sont constitués par des armatures identiques, planes, rectangulaires
d'aire S et de longueur L. Une armature mobile est susceptible de glisser dans son
plan dans la direction de sa longueur entre les deux autres armatures fixes. Les en­
trefers des deux condensateurs ainsi constitués sont fixes et de valeur e. Il en est de
même pour la permittivité c du milieu ambiant. À l'origine 1' armature mobile est au
milieu des deux armatures fixes (voir figure 3 1 .2).
mes
1 09
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31
•
Capteu r de déplacement capacitif - Non - l i néarité
�7
,/'
·
.
/.
�
- Armature fixe·
e!
/ S
7
<--L/-2- L-�--�f�-- - ---�J�--- - - - - --- - - - - -�// }
..··<:\-;;:ri
�ture ��bٷ�. ::_::-7
/
.
_
_ .
/
· -······-.
..._
._
'
'"""'7'
./
Q_·"··----·· :···
: -··--·--,• ------- ·--�
/
. •
/.
/
-·····
s
·:
Figure
-
- - -
/
L
x
z1
.
,,.
3 1 .2 Principe
de la mesure
:'
_
1
1)81 En négligeant les effets de bord, donner 'expression de Co, capacité de chaque
... . . .
..
. . . . . . .. . .
.. . . . . . . . . ..
condensateur à l'origine, en fonction de t:, e et S . En déduire l'expression de l'impé­
dance Zo correspondante.
1111 L'armature mobile se déplace de !ix vers la droite. Déterminer les expressions
/
de C1 et C2 en fonction de tix, L et Co puis de Z1 et Z2 en fonction de tix, L et Z0.
1111 Donner l'expression de la variation ti Vmes·
IJld Donner l'expression S mes de la sensibilité de la mesure. On donne L
et Vg =
10
V.
=
1
cm
1)*4 En fait les effets de bord et le couplage entre les armatures fixes font que les
capacités des condensateurs ne sont pas linéaires en tix/L.
De façon générale, on peut écrire en se limitant à l'ordre 3 en tix/L,
C 1 = Co 1 + k1 (!ix/L) + k2 (!ix/L)2 + k3 (!ix/L)3 . En déduire l'expression de C2 .
(
)
111:1 À partir des résultats de la question 4, donner la valeur de k1 .
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
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N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
111#1 En tenant compte de la non-linéarité des capteurs, quelle est la nouvelle ex­
pression de ti Vmes ? On présentera le résultat sous forme d'un développement selon
les puissances croissantes de !ix/L. On rappelle que
+ x) = - x + x2 - . . .
1/(1
1
llllt) Quel est l'ordre de la non linéarité de la mesure ? Conclure.
11111 Quelle relation doivent vérifier k1 , k2 et k3 pour annuler toute non-linéarité ?
lllt.:.W On revient à l'expression de ti Vmes calculée à la question 5 et ne tenant
pas compte des non-linéarités des capteurs. Pour étudier le spectre de ti Vmes (et
rester dans le cadre d'un calcul simple), on suppose que l'évolution temporelle du
mesurande est de la forme !ix(t) = !ix cos wt. Après calcul, donner les pulsations
1 10
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Exercice 3 1
mesCt).
constituantes du spectre de �V
tion ?
Sous quelle forme se trouve portée 1 'informa­
mes,
llllJ On revient à l'expression de �V
calculée à la question 9, qm tient
compte des non-linéarités des capteurs. Pour une même évolution temporelle du
mesurande en �x(t)
�x cos wt, après calcul, donner les pulsations constituantes
du spectre de �
Sous quelle forme se trouve maintenant portée l ' informa­
tion ? On se limitera à l 'ordre 3 en �x/L dans l'expression de � V
On rappelle que
3
cos u = (cos 3u - 3 cos u)/4.
=
VmesU).
mes·
lllGI Sous quelle forme se trouverait portée l'information si on continuait le dé­
veloppement limité de la question 9 à des ordres supérieurs ?
Corrigé détaillé
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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1l1
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32
EX E RCIC E :
Ca pte u r d e te m pé ratu re
- L i n é a r i s at i o n
Énoncé
Dans ce qui suit, les températures exprimées en degrés Celsius figurent en minus­
cules, celles en kelvin en majuscules.
Soit un capteur de température constitué par une Ptl OO insérée dans un tuyau de circu­
lation d'eau à la température Teau · Le milieu extérieur est à la température constante
fext = 20 °C (soit Text = 293, 1 5 K). En négligeant la puissance dissipée par effet
Joule dans le capteur, on peut établir la fonction de transfert suivante pour ce capteur
à la température T :
T - Text
( )
Hp =
Teau - Text
"'O
0
c
::J
0
......
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
!iT
1
Keau
---- ------MC
Keau + Kext l
+
p
Keau + Kext
1
= Go --1 + Tp
Keau représente le coefficient de couplage thermique entre le capteur et l'eau, Kext
celui entre le capteur et le milieu extérieur, M la masse du capteur et C sa capacité
calorifique massique.
Numériquement, on donne le gain statique Go = 5/6 et la constante de temps T = 5/3 s
t
ifjl Calculer en régime permanent la température du capteur pour une tempéra­
ture de l 'eau de 20 °C.
if..1:.1 À un instant pris pour origine, la température de l'eau de la canalisation passe
t
brusquement de 20 à 1 00 °C. Calculer la température du capteur au bout d'un temps
() = 3r.
t
lf..#J Quelle est la valeur de la température du capteur si on attend un temps suffi­
samment long ?
1 12
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Exercice 32
On rappelle que la Ptl OO a une résistance qui varie avec la température t exprimée en
°C selon R(t) = R(O)( l + at bt2 ) où R(O) = 100 Q représente la résistance à 0 °C,
a = 3,90083 · 1 0-3/°C et b -5, 775 · 1 0-7j°C2 .
+
=
lt..tl En considérant to = 0 °C comme température de référence, donner la variation
tiR de R(t) par rapport à R(O) lorsque la température est t.
ft41 L'étendue de mesure de la Ptl OO reste limitée à l'intervalle [ti ; ts] avec
ti 0 °C et ts 1 00 °C.
On cherche à déterminer une approximation linéaire RiinCt) = R(O)(œt + /3) de
R(t) = R(O)(l + at + bt2 ) sur l 'intervalle [ti ; ts]. Pour ce faire, on généralise les
moindres carrés au cas continu selon :
=
=
x2 =
1- J
ls
-
ts - ti
[R(t) - Rün(t)] 2 dt
t;
Les bonnes valeurs à donner à a et f3 doivent minimiser x2 , on doit donc avoir
dx2/dœ = 0 et dx2 /df3 = O. Résoudre le système et, compte tenu que ti = 0, montrer
que a et f3 sont donnés par a = a + bts et f3 = - bt;/6 (on supposera sans le justifier
que l'on peut intervertir dérivation par rapport à a et f3 et intégration par rapport à t).
1
lfJd Donner l'expression de l'écart à la linéarité que l'on notera 6 puis celle de
l'erreur de linéarité Sfin ·
ft.tf4 À partir des résultats précédents, donner sur l'étendue de mesure l' approxi­
mation S c de la sensibilité du capteur.
ftJ:t Le capteur est monté en quart de pont actif (voir figure 32. 1 ) avec trois ré­
sistances fixes R l OO Q et une source parfaite de fem Vg l O V. L'amplificateur
opérationnel est considéré comme parfait.
Donner 1 'expression de la tension de mesure Vmes en considérant 1 'approximation
linéaire du capteur et en déduire celle de la sensibilité S de la mesure .
=
"'O
0
c
:J
0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
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>a.
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=
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-
A
12
2
B:::l
rS
-00
c::::l
a
@
R
R( D
B
- +
Fig ure
32. l - Conditionnement
du capteur
R
�nes
77777
l l3
www.biblio-scientifique.net
32
•
Capteur de température - Linéarisation
lfM La tension de mesure est passée dans un bloc de conditionnement du signal
réalisé à partir d'un amplificateur opérationnel et d'un multimètre.
On désire que le multimètre affiche directement, en régime permanent, une tension V'
égale à la température de l'eau avec un facteur d'échelle de 1 0 mV par °C (c'est-à­
dire V =
Donner la relation littérale reliant V et V' et en déduire les
opérations que doit effectuer l' amplificateur opérationnel (conditionneur du signal).
feau/100).
mes
ftjltJ Proposer un montage à amplificateur opérationnel pour le conditionneur du
signal.
Corrigé détaillé
lfjl En régime permanent, si
feau
= 20 °C, alors
liteau liTeau
=
= 0 °C et donc
liT = t =
ftl'..I
liT liTeauGo ( - e-O!r)
t=
liT = liTeauGo ( - e-3) = lit =
lf..11
t=
liT = liTeauGo =
ft"'ll
t2 o
R(t) -R(O) R(O)(at bt ),
11'41
fs
x2 t���i J [( + at + bt2) - (at + J2 dt
0 °C soit
on a
20 °C.
Compte tenu de la forme de la fonction de transfert, dans le domaine temporel
1
où () représente le temps. Pour () = 3r, on a :
=
63 ,3 °C soit
1
Pour 8 tendant vers l'infini, on a
83,3 °C
66,7 °C soit
La température de référence est = 0 °C.
On a M =
=
le capteur est non-linéaire.
+
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
On a :
1
=
/3)
li
Il vient alors :
dda2 O - fs [( + at + bt2) -(at + J tdt
I
�2 - j[(l +at+bt2 )-(at+f3)] ·dt = O
l=
=::}
1
2
li
ls
= 0 =:} 2
li
1 14
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/3)
·
=0
66,7 °C.
Exercice 32
Après intégration, on obtient :
[(� + a�3 + b�4 ) - ( œ: + finr
[(t + at2 + bt3 ) - ( at2 + [Jt)]ts =
2
Compte tenu que
ti =
3
2
!;
�
0
(32. 1 )
0
0 °C, le système (32. 1 ) se résout en :
{ a = a + bts =
/3 = - bt�/6 =
1
/
3,84. 1 0-3 °C
1 ,00
if'Jd L'écart à la linéarité est donné par :
= (IR(O) ( + at + bt2) - R(O) (at + [J)l)tEE.M.
t
i
t
5
=
=
= R(O) (/3 =
ti =
/3 - '
(/3 =
êfi.n = R(ts) -R(ti) = R(O) ( R(O)
+ at5 + bt;) -R(O) ats + bt�
6
Max
1
Cette dernière expression est maximale en
0 °C et
1 00 °C et de valeur
6
0 °C,
- 1 ) 0,096. On en déduit l'erreur de linéarité qui, puisque
s'écrit :
6
l)
1
1
'.::::'.
0 25 %
if.>4 L'approximation de la sensibilité du capteur est simplement le rapport des
variations Sc
""'
"
=
.......
O'l
·;::::
="'
..c
>a.
0
u
·C0
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
�
=
�
-0
0
_
La contre-réaction amenant
"
2o..
Vg
Vs
=
V - R(t)V9R(t)++RVmes
R
V = Vs,
Vmes = R -R(t)
2R Vg
R = R(O), R(t) -R(O) = !iR,
A
�
"'
"
"
'"
@
0,384 O.j°C.
ifj:I L'amplificateur étant considéré comme parfait, on a :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
= !iR(t)/!it = aR(O) =
Comme ici
avec
et
A
-
2
il vient :
(32.2)
(32.2) devient :
(32.3)
"
=
Ci
@
ll5
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32
•
Capteur de température - Linéarisation
2,
fl.
T
=
fl.
T
uGo
( 1 - e-B!r)
ea
l!l.
T
=
Gofl.
T
eau
t
f
t
+
Go
(t
u
e
a
e
x
(32.3),
= teau/100.
ftl:J D' après la réponse à la question
permanent
V
soit en régime
- fexr). On désire de plus que
ou encore =
Reporté dans
on obtient :
Inversement, il vient :
-Go = -0,624 · Vmes -0,04 (32.4)
2Vmes 1lOOGo
V = _ 100GoœV9
32.2).
fext
itjleJ Un montage possible serait un sommateur-inverseur (figure
R,,,
R'
V';nes
R"
-
F i g u re 32.2 Conditionnement du capteur
On a :
V
s
=
1
= 62,4
Avec par exemple, R'
R"'
et R"
= 624 n
kO et
kO.
=
-R"'
( Vmes + Vrj )
Vréf = 4
R'
R"
V, l'identification de
"'O
0
c
::J
0
....
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
1 16
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(32.5)
(32.4) (32.5)
à
donne
EX E RCIC E :
Défa u t d ' u n pote n t i o m èt re
u t i l i sé e n ca pte u r a n g u l a i re
33
Énoncé
On considère le montage en demi-pont push-pull de la figure 33. 1 où R 1 (a) et R2 (œ)
désignent les deux résistances variables d'un potentiomètre rotatif. La course angu­
laire maximale du potentiomètre, notée Q, est de 320° et la résistance totale de la
piste, notée R, est de 2 k.Q. La source de tension de fem V9 possède une résistance
interne négligeable. R3 et R4 sont des résistances ajustables.
La piste résistive du potentiomètre présente un léger défaut d'épaisseur provenant du
process industriel de fabrication si bien que la résistance R 1 (œ) doit s'écrire :
R 1 (a) =
Œ
(
Œ
Q
)
R
Q l +a
- 1 + a-
--
(33 . 1 )
On désire équilibrer le pont pour une course angulaire a égale à Q/2.
R2
"'O
0
c
:J
0
(V)
r-l
0
N
©
.µ
..c
Ol
>a.
0
u
ï::::
;c:;
"O
c::l
"'
"
"
'"
·C0
:;
"'
c0
c
c
.r2
ü::l
"O
2o..
2
B
:::l
�
"°0
c::l
Ci
@
R4
Vmes
F i g u re 33.1 - Conditionnement en demi-pont
R1 (a)�
Fig u re 33.2 - Potentiomètre rotatif
Dll Donner la valeur de R 1 (Q/2) notée Rio .
Df;.j En déduire la valeur de R2 (Q/2) notée R20 .
1111 Quelles sont les valeurs à donner à R3 et R4 pour que le pont soit équilibré
pour la position angulaire Q/2 ?
1111 On considère une augmentation ôœ de œ à partir de la référence Q/2. Calculer
R1 (Q/2 + ôœ) puis en déduire ôR 1 = R 1 (Q/2 + ôœ) - R 10 •
117
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33
•
Défaut d'un potentiomètre utilisé en capteu r angulaire
mi Donner 1 'expression de la tension de mesure
et
Vg.
en fonction de Lia, n,
Vmes,lin
elin
elin = V(Vmes -VV mes,lin)
a ezin
m#J Donner l'expression linéarisée
üfl En déduire l'erreur
Vmes
de la tension de mesure
a
Vmes·
provenant de la non-linéarité que l'on estimera par :
max
max - min
m:t Quelle est la valeur maximale de pour que
reste inférieure à % ?
1
Corrigé détaillé
1111 En utilisant
(33.1),
Rl = -2l +a+a -R4
R (.Q/2) = R = 21 ( 1 + a2 ) -+a
R2(.Q/2) = R20 = R - R10 = 21 ++a3aR-4
on a immédiatement :
10
1
-
(33.2)
-
lft:.I Le mode de fonctionnement étant push-pull, on a :
Dll Pour équilibrer le pont, il faut que les diviseurs de tension réalisés par chaque
branche potentiométrique soient identiques.
On peut donc choisir par exemple = 10 et = 20 ce qui permet, à 1' équilibre du
pont, d'obtenir le même courant et le même effet Joule dans chaque branche poten­
tiométrique. On minimise ainsi les risques de déséquilibre du pont liés aux variations
de résistivité des résistances sous l'effet de leur auto-échauffement.
R3 R R4 R
"'O
0
c
::J
0
......
(V)
0
N
(33.1)
:
aLia ) -R
Ri (-2 + ) ( -2 + -) ( 1 + -2a + -= ( 1 + 2�œ )(2 + a + 2a�œ ) 1 : a =
1 R= (2+a+4(1 +a)- +4a ( -) ) l +a 4
(33.2) (33.3) :
= Ri ( � + ) = ((1 +a) � +a ( �n :a
Htl On a en remplaçant dans
n
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Lia
=
1
Lia
n
On en déduit immédiatement en utilisant
Af< 1
n
l +a
Lia
Lia 2
n
n
(33.3)
et
�a - R10
1 18
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l
(33.4)
Exercice 33
mi L'expression de la tension de mesure est d'après la figure 33. 1 :
+
R1 (� Aœ) + R2 ( � + Aœ)
R1 (� +Aœ)
R10
=
R1 (� Aœ) + R2 (� + Aœ)
CommeR2 (0./2 + Liœ) R - Ri (0./2 + Liœ) R - Ro1-LiR1 etR1o+R20 R,
+
=
tenu de (33.4), on obtient :
=
=
compte
(33.5)
Dld L'expression linéaire de mes donc à l'ordre en
V
1 Liœ/0.
V = Liœ V9
mes.lin
À l'ordre
mesure.
en
1 Liœ/O.,
est simplement :
O.
(33.6)
le défaut lié au process de fabrication n'a pas d'effet sur la
üfl L'expression (33.5) est monotone et croissante en
variation
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
.....
@
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
="'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
sur son intervalle de
Les valeurs extrémales de la tension de mesure sont donc :
Liœ/O.
[-1/2 ; + 1/2].
a
al +a ) V9 Vmm· _!(1
!_
Vmax -21 ( 1 + -21 -2 2 l +a_)v
2
a
Liœ
(-1 +-(a ) V9) 4(1 a a) V9
'
Vmax - Vmin = Vg
a/4(1 +a).
a 4.10-2 .
=
{
et
=
g
(33.7)
En utilisant (33.5), (33.6) et (33.7), on a :
max ( Vmes - Vmes lin ) = max
n
=
+
L'erreur enn provenant de la non-linéarité introduite par le défaut de process de fabri­
cation est donc elin =
IJ:l:I Pour que cette erreur reste inférieure à 1 %, on doit avoir
�
1 19
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34
EX E RCIC E :
Capte u r capac i t i f
Effet d e l a d i l atat i o n
Énoncé
On considère le montage suivant réalisant deux capteurs capacitifs destinés à mesu­
rer les micro-déplacements de la partie mobile dans la direction x. L'ensemble est
utilisé industriellement près du creuset de fusion d'un métal et sa température T subit
donc de très fortes variations. La permittivité s du milieu peut être considérée comme
totalement fixe. On espère de ce système une erreur de précision inférieure à 1 %.
Partie fixe
-0
0
c
::i
0
Surfaces d'aire S en regard
(V)
.-1
0
N
F i g u re 34.1 - Capteur capacitif
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
La partie mobile est à sa position de référence lorsqu'elle se trouve au milieu de la
partie fixe. Les entrefers des deux condensateurs de capacités C 1 et C2 ainsi formés
entre la partie mobile et les deux extrémités de la partie fixe valent alors eo. On né­
glige les effets de bord et on considère que les deux condensateurs sont plans d' aire S .
La température prise comme référence des températures est notée T0.
1§11 Donner la valeur de la capacité Co que prennent les condensateurs dans la
position d' équilibre (ou position de référence) et à la température de référence To.
1 20
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Exercice 34
Uf.:.J
à
Les
condensateurs
sont
al
i
m
entés
en
régi
m
e
permanent
si
n
usoïdal
la
pul
s
a­
tion En déduire alors leur impédance commune notée Z0.
DIU La partie mobile se déplace dans la direction x si bien que l' entrefer du
condensateur
de
capaci
t
é
devi
e
nt
�x
et
que
cel
u
i
du
condensateur
de
1
capaci
t
é
devi
e
nt
-�x.
Donner
les
nouve1
1
e
s
i
m
pédances
Z1
et
des
deux
condensateurs. On exprimera ces dernières en fonction de Zo, et �x.
Onoù lesconsidère
le
montage
de
la
fi
g
ure
ci-contre
deux
capteurs
sont
associés
deux
ré­
sistances
fixes
La
source
de
tension
de
fem
possède
une
i
m
pédance
i
n
terne
consi
d
érée
comme négligeable.
w.
C
C2
e2
=
ei
=
eo +
eo
Z2
ea
à
R.
Vg
R
Fig u re 34.2 - Conditionnement
1111
Vmes
Vg
Donner
1
'expressi
o
n
de
la
tensi
o
n
de
mesure
en
foncti
o
n
de
et
puis en fonction de �x et
parti
r
de
l
a
température
de
référence,
l
a
température
du
mi
l
i
e
u
augmente
forte­
ment
et
passe
l
a
val
e
ur
T.
Cette
augmentati
o
n
provoque
une
di
l
a
tati
o
n
du
maté­
riau duk,lcapteur.
Cette
di
l
a
tati
o
n
fai
t
que
l'ai
r
e
des
surfaces
en
regard
passent
de
�T)(l
,l�T)
où
k
est
un
coeffi
c
i
e
nt
sans
di
m
ensi
o
n
dépendant
de
l
a
géomé­
tril'entrefer
e, A le coeffi
c
ient
de
di
l
a
tation
l
i
n
éi
q
ue
du
matéri
a
u
et
�T
Simul
t
anément,
passe de
,l�T).
011 Donner la nouvelle valeur, notée Z0 , de l'impédance des deux condensateurs
l' équilibre. L' exprimer en fonction de k, ,let �T.
illd Comme précédemment, la partie mobile se déplace dans la direction x si bien
augmente
de
�x
et
que
cel
u
i
du
conden­
que
l'
e
ntrefer
du
condensateur
de
capaci
t
é
sateur
de
capaci
t
é
di
m
i
n
ue
de
�X.
Donner
l
e
s
nouvel
l
es
i
m
pédances
z; et z� des
deux condensateurs en fonction de Z0, k, �T, e0 et �x.
notée
en
fonc­
Donner
l
a
nouvel
l
e
expressi
o
n
de
tension
de
mesure
tion de �T, �x et
L'
e
ffet
de
l
a
vari
a
ti
o
n
de
température
est-el
l
e
rédhi
b
i
t
oi
r
e
sachant
que
,
l
est
de
1
l'ordre de 0c- et que �Test au maximum de °C?
V9.
ea,
À
Z1 , Z2
à
S à
S(1 +
+
=
eo
à eo( l +
à
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
�
""'
"
=
.......
"'
"
"
'"
O'l
·;::::
="'
@
..c
>a.
0
u
·C0
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
T - To.
Zo,
C1
C2
Uf4
Ul:t
À,
ea,
10-5
À,
Vmes ,
Vg.
V�es •
400
"
=
Ci
@
1 21
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34
•
Capteur capacitif - Effet de la d i latation
Corrigé détaillé
1§11
Les
effets
de
bord
étant
négl
i
g
és,
la
capaci
t
é
est
donnée
par
l'
e
xpression
clas­
sique d'un condensateur plan savoir Co = eS/eo.
i§f) En régime permanent sinusoïdal la pulsation w, l' impédance commune Zo
s'écrit :
1 = -e0
Zo = -}Cow jeSw
De façon similaire, on a maintenant :
e = eo + �x = Zo ( + -�x)
Z1 = -jeSw jeSw
eo
e2 = eo - �x = Zo ( �x)
Z2 = jeSw
jeSw
eo
On est en présence de deux capteurs linéaires fonctionnant en mode push-pull.
1§1§1 Compte tenu du conditionnement représenté figure
et de on a :
à
à
011
1
1
(34. 1 )
--
1--
34.2
(34. 1),
(34.2)
011
On a maintenant :
+ À�T) = Zo
Zo' = jeSe'o'w = jeS (1 +eo(lkÀ�T)(l
+ À�T)w 1 + kÀ�T
i§ld La nouvelle impédance Zi est donnée par :
+ À�T) ++ �XÀ�T)w = Z0' ( 1 + �X )
Z' = jeS eo(l+ kÀ�T)(l
eo(l + À�T)
- 1 +�t..T ( 1 + -e0_(1_�_x-À�-T-))
De la même façon, on a :
----
-0
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
1
(1
1 22
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Exercice 34
UN
(34.2) devient alors :
, = Zi
Vmes
Z1'
Z� Vg
+ Z'2 l
-
�tiT ( l
+
eo(I ��tiT) ) 1 ��tiT ( l eo(I ��tiT) )
2
L1x
Zo
tu
1
k,ii1T ( eo(l ,ii1T) ) k,ii1T ( eo(l ,ii1T) )
L1x
eo( 1 AL1T) 2
Au maximum, AL1T :::;: 4.10-3 . On peut donc écrire :
L1x ,ii1T)
L1x
eo(l AL1T) 2 eo 2
Laacceptabl
différence
rel
a
ti
v
e
entre
et
n'
e
st
au
maxi
m
um
que
de
0,
4
ce
qui
reste
e devant l' erreur de précision maximale requise de
=
1+
-
+
-------�
1+
01:1
-
Zo
1
= ----+
+
Vg
V�es =
+
Vg
+
Vmes
+
-
_
1+
Vg
:::;: - -(1
V9
+
-
V�es
%
1 %.
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>
a.
0
u
"
=
"'
"
"
'"
·C0
§
"
0
"
"
.3
ü
2o..
=
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
1 23
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35
EX E RCIC E :
P h otod i o d e à d e u x
cad ra n s u t i l i sée e n
capte u r d 'a n g l e
Énoncé
à
Lade lphotodi
o
de
cadrans
foncti
o
nne
d'
u
n
point
de
vue
semi-conducteur
exactement
amurmêmeisolafaçon
que
l
a
photodi
o
de
La
seul
e
di
f
férence
consiste
en
un
très
fin
nt
partageant
l
a
photodiode
en
deux
cadrans
et
2
comme
représenté
sur la figure 35.1. Tout se passe comme si on avait en fait deux photodiodes accolées.
«
PIN.
»
1
E
j 1 j j j J/
Isolation
/
.__/
Cadran L
Cadran
2
p
1
N
Fig u re 35. 1 - Photodiode à cadrans
-0
0
c
::i
0
(V)
..-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
E
S
Unproporti
faisceau
l
a
ser
d'i
n
tensi
t
é
et
de
section
engendre
donc
deux
courants
/1
eth
o
nnel
s
aux
ai
r
es
A
et
A
des
surfaces
du
fai
s
ceau
i
n
terceptées
par
et
2
2
lsuies tcadrans
1
et2.
Si
on
négl
i
g
e
l
a
l
a
rgeur
du
mur
d'
i
sol
a
tion,
ce
qui
est
l
e
cas
pour
la
e,
on
a
bien
évidemment
A
A1
A
où
A
est
l'
a
i
r
e
de
la
secti
o
n
du
faisceau
2
(voir figure 35.2).
S1
1
S
+
=
S
--s
Cadran
1
'--) Cadran 2
X
F i g u re 35.2 - Principe de mesure
1 24
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Exercice 3 5
Oncorderappella ldie squetancel'aiureduA'centre
de la (fisurface
coupée
dans
un
disque
de
rayon
r par une
gure 35.3) est donnée par :
..
= r2 arcos ( � ) - �r2 - u2
Fig ure
S'
à
u
-> <l-
u
A'
35.3 - Surface coupée
S'
1. P r i n c i pe de l a p hotod i ode à d e u x cad ran s
1)911
Détermi
n
er
en
foncti
o
n
de
(compté
posi
t
i
v
ement
l
o
rsque
le
centre
du
fai
s
­
ceau
se
dépl
a
ce
vers
l
e
cadran
2),
l
a
val
e
ur
de
l'ai
r
e
A
ai
r
e
de
l'
i
n
tersecti
o
n
de
l
a
secti
o
n
du
faisceau
et
du
cadran
1
on
notera
l
e
rayon
du
spot
l
u
mi
n
eux.
Déter­
rrùner la valeur de l'aire A1, aire de l' intersection de la surface et du cadran 2.
8*.J Le faisceau lurrùneux a une puissance c/>1 en sortie du laser émetteur et que le
mipuissances
lieu de propagati
o
n
n'
e
st
pas
absorbant.
Écri
r
e
en
foncti
o
n
de
cp1
,
A
A
et
A,
les
2
et
c/>
respecti
v
ement
reçues
par
l
e
s
cadrans
1
et
2
pour
un
dépl
a
cement
2
du centre du spot lumineux.
lf"IJ On néglige le courant d' obscurité des photodiodes et on considère qu' e l e s ont
une même sensibilité en déduire les courants li et correspondants.
x
;
S
r
1,
S
1,
cf> 1
x
li
Sphot'
I l. M e s u re d e s cou rants
fi­
"'O0
c:J
0
(V)
r-l
0
N
©
.µ
..c
Ol
ï::::
>-
a.
0
u
Leguremontage
él
e
ctroni
q
ue
de
condi
t
i
o
nnement
est
réal
i
sé
de
la
façon
présentée
35.
4
où
l'on
suppose
que
les
composants
util
i
sés
sont
parfaits.
On
suppose
que
la puissance lurrùneuse incidente du faisceau et sa position sont constantes.
c
:�.=
"Oc::
::l
rJ
]8
<.)
::l
"'
c::
0c::
c::
Jl
I I
.S:
u
"O::l§.
2
B::l
�
-00
c::
0::l
@
Jl
NfD - V,11,,.
Figure
3 5.4 - Électronique
de conditionnement
D
I I
1 25
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35
•
Photodiode à deux cadrans utilisée e n capteur d'angle
H'"tl
V1
Détermi
n
er
l
e
s
expressi
o
ns
de
et
V
.
Que
réal
i
se
chacune
des
voies
du
pre­
2
mier étage du montage précédent
H.,.1 Déterminer 1'expression de
Hid Déterminer l' e xpression de
IJ91t4 Le diviseur, étage de sortie du montage précédent, possède une sortie de la
forme
où
V = 1 0 V. Déterminer l' expression de la tension de sortie
en
fonction de et puis en fonction de et
IJaj:J Le déplacement restant faible, calculer l' expression de l' approximation li­
néaire de en 2On rappelle que le développement limité au voisinage de 0 de
arccos(u) et de - u sont donnés par :
arccos(u) = n/2 - u - u3/6 - 3u5/4ü u5 t:(u) avec lim t:(u) 0
- u2 I - u2/2 - u4/8+u4t:'(u) avec lim t:' (u) 0
?
VN .
V0.
V.N/D
V
/1 , h
V, x
Vmes
r.
x
Vmes,lin
YI
x.
+
YI
=
=
u-tO
u-tO
=
I l l . Pri n c i pe de l a me s u re d ' u n e m i c ro rotation
à
Ontodicherche
mesurer
avec
précision
un
mi
c
ro
angl
e
de
rotati
o
n
en
uti
l
i
sant
la
pho­
o
de
cadrans.
Pour
ce,
on
col
l
e
un
mi
r
oi
r
parfai
t
dans
un
pl
a
n
passant
par
l'axe
deincidence
rotation. Unla photodi
faisceauodelaserestdecentrée
sectiosurn cilerculspotaireduestlaserenvoyé
sur
l
e
mi
r
oi
r
avec
une
lorsque
l'angl
e
de
rotati
o
n
estphotodi
nul (onode ajuste
la
positi
o
n
l
a
téral
e
de
la
photodi
o
de
de
façon
avoi
r
et
l
a
parfaitement perpendiculaire au faisceau réfléchi).
Lorsque
l
e
mi
r
oi
r
sol
i
d
ai
r
e
de
l
a
pi
è
ce
en
rotati
o
n
tourne
d'
u
n
angl
e
l
e
centre
du
spot se déplace latéralement d'une distance sur la photodiode.
Le principe de la mesure, sans contact, est schématisé figure 35.5 .
à
io,
à
x
-g
c
::i
0
/1
=h
a,
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
Rayon moyen du faisceau
d . 2a
. \
1 26
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F i g u re 3 5 . 5 - Électronique
de conditionnement
Exercice 3 5
Montrer
à
l'ai
d
e
éventuel
l
e
ment
d'
u
n
schéma,
que
si
le
mi
r
oi
r
tourne
d'
u
n
angle œ, le faisceau réfléchi tourne d'un angle 2œ.
HJltl Exprimer x en fonction de l' angle œ et de distance entre le centre du miroir
et le centre de la photodiode. En donner une approximation au premier ordre en œ.
On rappelle que le développement limité au voisinage de 0 de tan(u) est donné par :
tan(u) u u3/3 2u /15 u5 (u) avec lim (u) 0
119jll En déduire une approximation linéaire de la relation entre la tension de me­
sure Vmes et l'angle
lj9jt.j Calculer la sensibilité de la mesure mes· On donne = 1 met r = 1 mm. Le
résultat sera donné en V/rad puis en V/°.
KIN Quels sont les avantages du conditionnement électronique effectué au
Hiii En poussant plus loin les développements limités des questions 35. 8 et 35.10,
donner l'approximation de Vmes à l'ordre 3 en œ.
lfj..j Évaluer l' erreur relative de non-linéarité engendrée. La calculer pour la
valeur maximale de l'angle œ fixée à œ 1/ 100°.
HM
d,
=
+
+
5
11
&
+
U---t O
11
&
=
œ.
d
S
II. ?
max
Ç
=
Corrigé détaillé
1. Pri n c i pe de l a p h otod iode à d e u x cad ran s
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
lfjl
A1,
Pour
obteni
r
l
a
val
e
ur
de
l'ai
r
e
ai
r
e
de
l'
i
n
tersecti
o
n
de
la
surface
et
du
cadran
1,
i
l
suffit
de
prendre
l'
e
xpression
donnée
dans
l'
é
noncé
en
rempl
a
çant
l
a
va­
riable par x. On obtient immédiatement arcos(x/r) - x
Commer ( - arcos(x/r))est xl'aire du spot lumineux de rayon on a et donc
lf*.I En faisant l' hypothèse d' une répartition énergétique uniforme dans la section
du faisceau, on a immédiatement if>1 = 1 et =
et
H1U Les courants d'obscurité étant négligés, on a directement
A
2
A2 = n
Ci h
@
=
A1
A1
+ A2,
+
=
r2
.Yr2 - x2 .
r,
A = nr2
Vr2 - x2 .
A cf>tfA
c/>2
A2 cf>tfA.
/1
= SphorA 2 c/>1/A.
=
SphorA 1 cf>t!A
1 27
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35
•
Photodiode à deux cadrans utilisée e n capteur d'angle
I l. M e s u re d e s cou rants
1)9"11
Sel
o
n
l'
é
noncé,
comme
on
se
trouve
en
regt
m
e
stati
q
ue
et
que
les
am­
plV1ificateurs
opérati
o
nnel
s
sont
parfai
t
s,
on
obti
e
nt
i
m
médi
a
tement
l
e
s
expressions
=
=
Le
premi
e
r
étage
du
condi
t
i
o
nneur
réal
i
s
e
donc
une
et
-Rch
V
-Rcli
·
2
conversion courant-tension.
HJ91 Il vient rapidement VN = Vi - V2 . On a là un montage soustracteur.
119j#J De même V = -(V1 V2 ). On a là un montage sommateur-inverseur.
ll9fi On obtient en utilisant les résultats précédents :
1 - r2 l
Vmes = V V2V2 - V1Vi = V ((hl2 - l/1i)) = V ( 1 - -2rc arcos (x/r) -2xrcr g
IJ9j:t l'aide des développements de Taylor donnés dans l' énoncé, on obtient l'ap­
proximation linéaire de Vmes donnée par Vmes,lin = 4xV/rcr.
+
o
+
+
+
2
À
I l l . Pri n c i pe de l a me s u re d ' u n e m i c ro rotation
lj9J#J
Les
l
o
is
de
la
réfl
e
xi
o
n
de
Descartes
permettent
d'établ
i
r
le
schéma
de
la
fi­
2
gure
35.
6
et
on
al
o
rs
i
m
médi
a
tement
f3
ce
qui
montre
bi
e
n
que
si
le
mj
r
oi
r
=
œ
tourne d'un angle œ, le fllisceau réfléchi tourne d'un angle 2œ.
2(i0 +a)
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
F i g u re 3 5.6 - Loi de réflexion de Descartes
D'après
l
a
fi
g
ure
35.
5
,
on
a
i
m
médi
a
tement
t
a
n
2
=
x/d
soit,
aux
peti
t
s
œ
angles, x
lj9jlt)
:::::::
2œd.
1 28
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Exercice 3 5
Ktll En remplaçant simplement le résultat précédent dans celui de la ques­
=
tion 35.8, il vient Vmes,lin
8dVœ/nr.
Ktt) La sensibilité de la mesure S mes est donnée par :
/1
S mes = Vmes,iin/11œ = 8dV/nr soit S mes = 25465 V/rd = 444 V/°
à
KtiJ L'électronique normalisant la différence des deux courants par rapport leur
somme, le résultat est indépendant de toute fluctuation de l'intensité du faisceau.
lf9tGI En poussant plus loin les développements limités des questions 35.8 et 35. 1 0,
on obtient :
(
2
Vmes ==: V 1 - -arcos (x/r)
7r
X
8œ3
- = tan 2œ
2œ +
d
3
==:
+ g)
2x
nr
-
(
2
4xV
x2
1 - -2 =
1- 2
nr
6r
r
--
-
)
-
à
En combinant ces deux équations il vient l'ordre 3 en œ :
[
(
4 2
8Vdœ
d2
1
+
1
-œ
Vmes ==:
nr
3
2r2
-
)]
Kt..1 L'erreur relative de non-linéarité Ç engendrée est donnée par :
(
4
d2
Ç = - œ2 1 - 3
2r2
Œmax
Pour
table.
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
1/100°, on obtient Ç
�
)
-2 %, ce qui est encore un ordre de grandeur accep­
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
1 29
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36
EX E RCIC E :
Ca pte u r a n g u l a i re
s a n s c o n tact à
m ag n éto ré s i sta n ce
Énoncé
Un capteur angulaire destiné à fonction­
ner en mode push-pull est constitué de
quatre magnétorésistances en arc de cercle Rz
(voir figure 36. 1 ). Ces magnétorésistances
sont constituées d'un dépôt d'épaisseur e
constante d'un matériau présentant une
magnétorésistance géante. Les pistes des
magnétorésistances extérieures, de résis­
tance R 1 et R2 , sont de rayon moyen re et
de largeur Ôe. Les pistes des magnétorésis­
tances intérieures, de résistance R3 et R4,
F i g u re 36. l - Principe du capteur
sont de rayon moyen ri et de largeur Ôi.
Les largeurs des pistes peuvent être considérées comme faibles devant leurs Iongueurs.
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
l@I Le système n'étant soumis à aucun champ magnétique, la conductivité du ma­
tériau est 'YO · On suppose que chaque magnétorésistance forme un demi-cercle parfait.
Donner en première approximation les valeurs des résistances R 1 , R2 , R3 et R4 des
quatre magnétorésistances en fonction des variables '}'o, e, Ôi, Ôe, ri et re .
lnf.J
et re étant fixées, comment ajuster Ôe pour avoir en l'absence de champ
magnétique Ri = R2 = R3 = R4 ? On notera Ro cette valeur par la suite.
Ôi, ri
IISl:J Que devient la valeur commune Ro des magnétorésistances si maintenant on
place l 'ensemble dans un champ d'induction magnétique uniforme d'intensité B ame­
nant une conductivité 'Ym du matériau les constituant ? On notera Rm cette grandeur
et on l'exprimera en fonction de Ro, '}'o et 'Ym ·
1 30
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Exercice 36
Pour réaliser le capteur angulaire sans
contact, on place le système dans l'entrefer
d'un aimant donnant un champ supposé uni­
forme, d' intensité B sur la partie hachurée
de la figure
et supposée nulle ailleurs.
On rappelle que lorsque le matériau se trouve
dans le champ, sa conductivité passe de y0
'Ym·
36.2
à
F i g u re 36.2 - Capteur sous le champ
l@I Établir la nouvelle expression de la résistance R1 dans la configuration de la
figure
36.2.
11!11 De la même façon, donner les valeurs des résistances R2 , R3 et R4 des trois
autres magnétorésistances.
lt#l#J Tracer sur un même schéma les courbes d'évolution de la résistance des quatre
magnétorésistances. On rappelle que la conductivité d'un matériau magnétorésistif
diminue avec le carré du champ magnétique appliqué.
à
ltif4 Conclure quant la caractéristique des magnétorésistances utilisées en capteur
d'angle selon le principe décrit par la figure
36.2.
lt#!:t Les quatre magnétorésistances sont montées en pont push-pull, pont alimenté
lg .
par une source de courant parfaite
Faire un schéma de la façon dont il faut pla­
cer les quatre magnétorésistances pour obtenir une tension de mesure différentielle
optimale notée Vmes·
"'O
0
c
:J
0
(V)
r-l
0
N
©
.µ
..c
Ol
>a.
0
u
ï::::
lt@J Donner l'expression de Vmes·
lt#lltJ Pour < œ < n et pour n < œ < 2n, donner l'expression de la tension de
;c:;
"O
c::l
"'
"
"
'"
·C0
:;
"'
c0
c
c
.r2
ü::l
"O
2o..
2
B
:::l
�
"°
0c
::l
Ci
@
mesure Vmes·
0
1@111 Pour quelles valeurs de l' angle œ le pont est-il équilibré ?
II#lt) Tracer la courbe d'évolution de la tension de mesure en fonction de l'angle
.
II#lit Lorsque le matériau magnétorésistif est dans le champ, sa conductivité chute
de 8 % La résistance hors champ Ro des magnétorésistances est de 1 OO O. et le pont
est alimenté par = mA. Donner l'expression de la sensibilité S mes ·
.
lg 10
IIMGI Quel est l'inconvénient de ce type de capteur ? Que pourrait-on envisager de
modifier dans sa conception pour avoir une mesure non équivoque sur
360° ?
1 31
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36
•
Capteur angulaire sans contact à magnétorésistance
Corrigé détaillé
ml On a en première approximation Ri = R2 = 1rre/(yoôe e) et R3 = R4 = nrJ(yoôie).
Cette approximation est d'autant plus vraie que re >> Ôe et ri >> Ôi.
à
inf.j Ri = R2 = R3 = R4 conduit avoir rJôi = re/Ôe soit Ôe = Ôire/ri, ce qui entraîne
Ro = nrJ(yoôie).
IVlil On a alors Ro = nrJ(ym Ôie) ce qui conduit Rm = Royo/Ym ·
à
i@I Sur les parties exposées au champ, la résistance par unité d'arc est Rm/n alors
que sur les parties non exposées, e11e est de R0/n. Pour un déplacement angulaire a
depuis l'origine, on a donc pour la résistance R1 :
(n - a)Rm + aRo
Jr
(a - n)Rm + (2n - a)Ro
si 0 < a < n
si n < a < 2n
1141 On a R3 = R i et R2 = R4, et de la même façon que précédemment, il vient :
(n - a)Ro + aRm
Jr
(a - n)Ro + (2n - a)Rm
"'O
0
c
::J
0
si 0 < a < n
si n < a < 2n
m#J Comme Ym < yo, il vient Ro < Rm . On a donc les courbes suivantes :
(V)
0
N
......
R"'
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
a (radians)
Fig u re 36.3- Évolution des résistances des magnétorésistances
itif4 Les magnétorésistances varient linéairement avec le déplacement angulaire.
1 32
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Exercice 36
lul:I Une des configurations possibles du pont est représentée sur la figure 36.4.
RI
Ig
R1
V,nes
R4
R3
Fig u re 36.4 - Montage en pont
IDl#J Compte tenu que R3 = R 1 et R2 = R4, le même courant lg/2 parcourt chaque
branche et il vient :
R1 - R 1
fg
2
ifi'lle) En remplaçant les résistances par leurs expressions, on obtient pour '1mes :
Rm Ro l 2
pour 0 < a < ir
g
'1mes =
�
[ ; 1]
[ ]
2œ
Rm - Ro
Ig 3 2
TC
pour TC < œ < 2TC
1@111 Le pont est équilibré ('1mes = 0) pour œ = TC/2 et œ = 3TC/2.
luit) L'allure de la tension de mesure est représentée figure 36.5.
a (radians)
Q 1--����-��'-/-��-
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
Fig u re 36.5 - Évolution de la tension de mesure
fi
IISllJ La sensibilité de la mesure est par définition S mes = '1mes!l!iœ. On obtient
donc :
Rm - Ro
fg 444 µV/o
TC
Rm - Ro
fg = - 444µV/
S mes = TC
S mes
=
=
o
pour 0 < œ < TC
pour TC < œ < 2TC
à
IIMll La mesure n'est non équivoque que sur [0 ; TC]. Pour passer une étendue de
mesure sur [O ; 2TC], une solution consisterait
en quadrature avec les premières.
à
ajouter des pistes magnétorésistives
1 33
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37
EX E RCIC E :
Capte u r d e d é b i t à t u be
Ve n t u r i - Te n s i o n d e
m od e co m m u n
Énoncé
On considère une conduite dans laquelle circule un liquide supposé parfait (viscosité
nulle), incompressible et de masse volumique p. Afin d'effectuer une mesure du dé­
bit volumique Qv on remplace une section horizontale de la conduite par un tube de
Venturi muni de deux capteurs de pression comme schématisé figure 37 1 L'écoule­
ment dans la conduite est considéré comme laminaire et stationnaire. Les rayons du
tube de Venturi au niveau des capteurs de pression sont respectivement r1 et r2 .
.
·
-0
0
c
::i
0
·
· · · ···· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ···········
..
·-
-.-
.
··
Tube de Venturi
Fig u re 37. 1 - Principe du débitmètre à tube de Venturi
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
1. Le tu be Ve ntu ri
lfill Établir l'expression du débit Qv volumique dans le tube de Venturi au niveau
des deux capteurs.
if#) En utilisant le théorème de Bernoulli, établir la relation entre la différence de
pression P I
-
p2
et le débit Qv.
1 34
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Exercice 3 7
Il. A m p l ificate u r de d iffé re n ce - Te n s i on de mode com m u n
On considère le montage amplificateur de
différence de la figure 37 2
Les tensions VA et Vs correspondent aux
tensions sortant des capteurs et mesurant
respectivement les pressions P l et P2 ·
.
.
vs
Fig ure
3 7.2 - Amplificateu r de différence
IMJ L'amplificateur opérationnel est considéré parfait. Calculer la valeur de la ten­
sion de sortie Vs. On donne
R2 = IOOOR1 = 1 M.Q
Vmes = VA - Vs = 1 mV
et
ml On considère maintenant que l' amplificateur opérationnel utilisé a un facteur
de réjection du mode commun T = Ad/A me fini (Ad et A me représentant respectivement
le facteur d'amplification différentiel en boucle ouverte et le facteur d' amplification
en mode commun). Calculer la nouvelle valeur de la tension de sortie Vs .
On donne
Vmc = (VA Vs)/2 = 1 V, T = 80 dB et Ad = 105
-
I l l. A m p l ificate u r d ' i n st r u m e ntation
à
Pour pallier le problème précédent lié l' amplification de la tension de mode com­
mun, on réalise le montage amplificateur de différence ou amplificateur d'instrumen­
tation de la figure 37 .3. Cet amplificateur est réalisé à partir d'amplificateurs opérationnels identiques à ceux de la partie II.
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B
rvB
R
V'A
B
V,'
R
Fi g ure
3 7. 3 - Amplificateur
d'instrumentation
R
R
vs
1 35
www.biblio-scientifique.net
37
•
Capteu r de débit à tube Venturi - Tension de mode commu n
IM1 En considérant le facteur de réjection comme fini, calculer les tensions V�
et V� .
lfA#J En déduire les expressions de V� - V� et V� + V� puis en utilisant les résultats
de la partie II, calculer la valeur de la tension de sortie Vs et le facteur de réjection du
mode commun pour les mêmes valeurs de Vmes et Vme que précédemment. On sup­
posera que Re est ajusté de façon ce que le gain soit identique celui du montage
de la partie II.
à
Corrigé détaillé
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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P RO B L È M E :
M e s u re d e l a
te m pé rat u re d e l 'e a u
d ' u n e i n sta l l at i o n d e
c h a u ffag e ce n t ra l
à
La mesure de la température au moyen d'une résistance métallique est plus simple
mettre en œuvre que la thermométrie par thermocouple. La mesure est absolue et il
n'y a pas faire appel une jonction de référence ou une compensation de soudure
froide. En revanche et contrairement aux thermocouples, les résistances thermomé­
triques, étant alimentées, peuvent être soumises un effet d' auto échauffement par
effet Joule si le courant n'est pas maintenu en dessous d'une valeur seuil.
à
à
à
à
Énoncé
On considère une installation de chauffage central où, entraînée par une pompe, l'eau
circule partir de la chaudière dans un réseau de canalisations. On désire pouvoir
mesurer et surveiller la température de l'eau en sortie de la chaudière. Pour cela, on
utilise comme capteur une sonde résistance de platine Ptl OO (Ro = 1 00
0 °C)
munie d'une enveloppe de protection que l'on insère dans la canalisation de sortie
de la chaudière (voir figure 1 . 1 ). On fait l'hypothèse que l'eau circule toujours la
même vitesse dans cette canalisation.
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Matériau de grande
conductivité thermique
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Milieu extérieur
®
Isolant thermique
Eau circulant à
vitesse constante
F i g u re
l .l
-
Principe de la mesure
1 38
www.biblio-scientifique.net
Problème 1
À la vitesse de circulation de l' eau dans le circuit, le coefficient d'échange calorifique
de la résistance thermométrique avec l'eau est
celui avec le milieu extérieur est
et sa capacité calorifique est MC. On suppose que la température extérieure est
constante.
K1,
Ke
Ill Établir la fonction de transfert du capteur donnée par :
H(p) = l1!1TcT1((pP)) = Tc(T1(pP)) -- TTee((PP))
o
R à
à
Tref =
Tc
R(Tc)
=
Ro(l
aTc)
1
0c- .
Pour ce faire on négligera la puissance P1 dissipée par effet joule dans la Ptl OO.
Préciser les expressions du gain statique G et de la constante de temps T.
16 Afin de minimiser les non-linéarités, la Ptl OO est montée en pont avec trois ré­
sistances fixes de valeur égale la résistance de la Ptl OO la température
70 °C (voir figure 1 . 2). Déterminer l' expression de la tension de mesure différentielle
du pont sachant que la caractéristique de la Ptl OO en fonction de la température
exprimée en °C est donnée en première approximation par
+
avec
3
3,90. 10-
a=
R (Tc;)
R
V,,zes
R
F i g u re 1 .2 - Principe du montage
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Il) La chaudière fonctionne en régime permanent stable. La tension de mesure dif­
Vmes =
férentielle du pont est alors
34,2 mV. Pour étalonner le système de mesure,
il faut estimer G0. On ouvre au-dessus d'un seau une vanne de purge proche de l'en­
droit où se trouve la Ptl OO. On mesure alors très rapidement la température de l'eau
récupérée au moyen d'un thermomètre suffisamment précis qui donne
65 ,3 °C.
La température extérieure est mesurée avec le même thermomètre et on obtient
20,0 °C.
Sachant que le pont est alimenté par
5 V, en déduire la valeur de G0.
T1 =
Te =
Vg =
Vmes,lin = Vo - kT1,
Il) Donner l'approximation linéaire,
tension de mesure et la température de l'eau.
de la relation entre la
1 39
1
Mesure de la température de l'eau d'une i nstallation de chauffage central
•
œ Afin de contrôler la température de l'eau et d'en afficher la valeur, on doit dis­
-1 •
poser d' une tension Vs = k' Tt avec k' = 0 1 V.°C
Le signal de mesure est utilisé
comme entrée du conditionneur du signal de la figure 1.3 où l' amplificateur opéra­
tionnel est considéré comme idéal et R2 = R3 = R4 = 10 k.Q.
Comme la tension Vmes en sortie du pont de la figure 1 .2 n'est pas référencée la
masse, on utilise cette tension comme entrée différentielle d'un amplificateur d'ins­
trumentation de gain unité afin de disposer en sortie de ce dernier d'une tension Vmes
référencée à la masse et qui sert d' entrée au montage de la figure 1 .3.
,
à
V,nes
V,.ef
F i g u re 1 .3 - Circuit de conditionnement d u signal
1
Déterminer les valeurs de R et Vref nécessaires. On effectuera le calcul en utilisant
l' approximation linéaire Vmes, lin = Vo - kTt de Vmes·
ID Calculer l'erreur de linéarité, en °C, présentée par Vs entre T1
Tt = 90 °C .
50 °C et
Corrigé détaillé
-
Ill Le bilan thermique de la Ptl OO s'écrit pendant un intervalle de temps de durée
.......
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u
dt :
(1. 1 )
En tenant compte que la température extérieure est supposée constante et en négli­
geant la puissance P1 dissipée par effet joule, ( 1 . 1 ) peut encore être écrit :
(1 .2)
1 40
Problème 1
à
En désignant par p la variable du domaine de Laplace, ( 1 .2) conduit l' expression
de la fonction de transfert :
K1 ---1
fiTc( p) ---=
( 1 .3)
MC
fiT1( p) K1 + Ke l
p
Kt + Ke
Cette forme est représentative d'un comportement passe-bas du premier ordre où le
gain statique Go et la constante de temps T sont respectivement donnés par :
+
IB À la température Tref = 70 °C on a R = R(Tc = Tref) = 127 , 3 n. La tension de
( + 1)
mesure est alors directement donnée par :
Vmes =
R
R - R(Tc) Vg
=
- 2 Vg =
R(Tc) R
R R(Tc) 2
+
o:(Tref - Tc) Vg
o:(Tref + Tc) 4
---2
1+
(1 .4)
IBJ En régime permanent, pour une valeur donnée de la tension de mesure, on ob­
tient la température de la Ptl OO en inversant ( 1 .4), soit :
Tc
=
o:(Vg - 2Vmes )Tref - 4Vmes
o:(V9 + 2Vmes)
( 1 .5)
-------­
Pour Vmes = 34,2 mV, on obtient Tc = 61,2 °C.
Comme on se trouve en régime permanent, on a d'après (1 .3) :
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Il) L' approximation linéaire de Vmes est donnée par son développement limité
l'ordre 1 en o:(Tref - Tc), soit :
Vg
a
(Tref - Tc)Vmes,lin l
4
0: Tref
= +
= 0:
1 + o:Tref
[Tref - ( 1 - Go)Te ] �4
0:
�
Go- T1
4
1 + o:Tref
à
(1 . 6)
= Vo - kT1 = 0,261 - 3,48 . 1 0-3 T1
·
lm L' amplificateur opérationnel étant idéal, on a :
R2 Vmes + Ri Vs
et e = ----R i + R2
_
141
1
•
Mesure de la température de l'eau d'une installation de chauffage central
La contre-réaction amène :
( 1 .7)
Pour obtenir Vs = k'T1 avec k' = 0, 1 V.0c- 1 , il faut :
R
et k' = k 2
R1
( 1 .8)
Avec R2 = R3 = R4 = 1 0 kn, ( 1 .8) se résout en R1 et Vref· On obtient R1 = 348,2 kn
et Vref = 505 mV.
ID Comme le montre la figure 1 .4, l'écart au comportement désiré reste faible. Il
à
peut être calculé selon (Vs(T1) - k' T1)/k1 en évaluant Vs l'aide de ( 1 .7) dans laquelle
on utilise la véritable valeur de Vmes donnée par ( 1 .4).
Entre T1 = 50 °C et T1 = 90 °C, cette erreur évolue de -0,9 °C -0,3 °C en pas­
sant par 0 °C pour la température de l'eau correspondant la température du capteur
Tc = Tref = 70 °C, soit Tt = 75 °C.
à
à
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O '-O
20
40
60
80
100
Fig u re 1 .4 - Signal de mesure
1 42
l'i (°C)
Problème 1
Les res 1 stances thermométriques, notamment la Ptl OO q u i est la plus utilisée,
présentent les avantages d'une g rande préc i s i o n et d ' une grande sta b i l ité dans
le temps. Malhe u reuse ment, pour une uti l i sation où il y a un risque de contami­
nation d u plat i n e , la sonde doit être gai née ce q u i en augmente l' encom brement
et le temps de ré ponse.
Conducteurs
(version 2, 3 ou 4 fils)
Elément résistif Ptl OO
Magnésie compactée
(isolation électrique et
maintien des conducteurs)
Gaine métallique rigide
ou semi-rigide (acier inox . . . )
Conducteurs
Raccord fileté
Figu re 1 .5 - Sonde à résistance de platine chemisée à isolation minérale
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1 43
P RO B L È M E :
J a u g e d e P i ra n i
La jauge de Pirani, capteur de mesure des faibles pressions, est constituée d'un fi­
lament métallique placé dans une ampoule de verre reliée l'enceinte dans laquelle
on veut mesurer la pression. Le filament est parcouru par un courant qui provoque
son échauffement par effet Joule. À l'équilibre thermique, la puissance fournie par
effet Joule s'équilibre avec les puissances perdues par le filament par rayonnement,
par conduction au travers des supports du filament et par conduction avec le gaz de
l'enceinte. Par construction de la jauge de Pirani, on privilégie cette dernière forme
d'échange thermique qui dépend de la pression du gaz dans l'enceinte. Deux tech­
niques de mesure sont possibles.
La première consiste alimenter la jauge courant constant. L'état d'équilibre
entre la puissance fournie par effet Joule et celle perdue par le filament sous ses
différentes formes amène alors celui-ci une température et donc une valeur de sa
résistance fonction de la pression dans 'enceinte.
La deuxième technique de mesure consiste asservir 1' alimentation de la jauge de
façon ce que la température, donc la résistance du filament, reste constante ; c'est
alors 1' alimentation de la jauge qui est fonction de la pression dans 1 'enceinte.
Ce problème ne présente que la première méthode d'utilisation de la jauge de
Pirani.
à
à
à
à
à1
à
à
Énoncé
g::J
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Soit la jauge de Pirani schématisée figure 2 . 1 .
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Jauge de
Pirani R
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I
(p; �)
Enceinte
F i g u re 2 . 1 - Jauge de Pirani
1 44
Problème 2
On fait les hypothèses suivantes :
•
•
la température T du filament est uniforme,
le gaz de l'enceinte, les supports du filament et l' enveloppe externe sont à une
même température Te .
Soient P 1 la puissance échangée par conduction entre le filament et le gaz de l' en­
ceinte à la pression p, P2 la puissance échangée par conduction entre le filament et
les bornes de connexion à son support et P3 le bilan des puissances rayonnées par
l'enveloppe et le filament. En première approximation, on a :
b
et c représentent des constantes dépendant de la géométrie et des matériaux
constituant les différents éléments, a- la constante de Stefan et e et ee , les émissivités
respectivement du filament à la température T et de 1'enveloppe à la température Te
exprimée en Kelvin.
La résistance du filament dépend de sa température selon :
a,
R = Ro ( 1 + a(T - To))
Ro est la résistance du filament à la température To = 273, 15 K.
g) Écrire le bilan thermique du filament à 1' équilibre. On notera Re la résistance
du filament à la température Te et I le courant le parcourant.
gJ Les échanges radiatifs sont minimisés en limitant 1'échauffement du filament et
son émissivité ; on néglige ces échanges dans la suite du problème. En déduire l'ex­
pression de T - Te , puis celle de la résistance R du filament en fonction de a, p,
K = aRoI2 et Re .
b,
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g) Le filament est un fil de platine de résistivité p = 1 ,00. 10-7 .Q.m à 0 °C, de
longueur l = 10 cm et de rayon 1 0 �tm. Calculer la valeur Ro de la résistance du
filament à la température de 0 °C.
g) Le coefficient thermique de la résistance R constituée par le filament est
a = 3,60. 10-3 K- 1 , la température du gaz de l'enceinte supposée fixe est de 25 ° C
et le courant circulant dans le filament est I = 1 OO mA. Donner l' expression de la
tension de mesure Vmes ' tension mesurée aux bornes du filament.
Étudier 1 'évolution de T - Te et de la tension de mesure Vmes pour une éten­
due de mesure de p = 1 02 Pa à p = 105 Pa. On donne a = 4. 10-3 W.K- 1 et
1
1
= 10-6 W.K - .Pa- . Calculer la sensibilité S mes de la mesure en fonction de p.
b
1 45
2
•
Jauge de Pirani
fm On dispose de quatre jauges de Pirani. Deux sont identiques à la jauge précé­
demment étudiée et les deux autres sont totalement scellées sous un vide poussé. Les
quatre jauges sont fixées sur l'enceinte et on suppose qu'elles sont toutes à l'équilibre
thermique avec cette dernière.
En pratique, il suffit de réaliser deux enveloppes contenant deux filaments, l'une scel­
lée sous vide et l'autre ouverte sur le gaz de l'enceinte.
Chaque jauge scellée sous vide constitue une résistance Re dont on calculera la valeur
en supposant qu'elle est parcourue par le même courant I que la jauge précédemment
étudiée.
fl'a Les jauges sont montées en pont selon le montage de la figure 2.2. Le courant
d'alimentation est le double du courant précédemment considéré 19 = 21 = 200 mA.
R
Re
v;�es
Re
Ig
R
Fig u re 2.2 - Montage en pont des jauges de Pi rani
Donner les expressions de la nouvelle tension de mesure V�es et de la nouvelle sen­
sibilité S :nes ·
Corrigé détaillé
BI À l'équilibre thermique, la puissance totale échangée par le filament est égale
.......
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u
à la puissance dissipée par effet Joule P1 , soit P 1
présente le filament est donnée par :
R = Ro ( 1
+
œ(T - To)) = Ro ( 1 + œ(Te - To))
(
= R, + Roa:(T - T,) = R, 1 +
P2
+
+
?3 = P1 . La résistance que
Roœ(T - Te)
;� a:(T - T,)) = R, ( 1
Le bilan thermique s' écrit donc d'après (2. 1 ) :
1 46
+
+
a:' (T - T,))
(2.2)
Problème 2
g) En négligeant le terme radiatif, (2.2) devient :
(a + bp)(T - Te) = Re ( 1 + a' (T - Te)) 12
On en déduit :
Re/2
Ref2
=
a + bp - a' Re l2 a + bp - aRo/2
Ceci conduit à une résistance du filament donnée par :
T - Te =
(2.3)
------
(
R = Re ( 1 + a'(T - Te)) = Re 1 +
) (
aRo/2
K
1
R
=
+
e
a + bp - aRol2
a + bp - K
_
_
_
_
)
(2.4)
g) On a immédiatement Ro = pl/nr2 = 3 1 ,83 n.
g) Compte tenu de la température de l'enceinte, on obtient :
Re = Ro ( 1 + a(Te - To)) = 34,69 n
Pour un courant de T = 1 00 mA la constante K apparaissant dans (2.4) prend la valeur
K = aRol2 = l , l s . 1 0-3 W.K- 1 •
La tension de mesure est simplement donnée par Vmes = RI :
Vmes = Rl = Re l
(1
+
K
a + bp - K
)
Les expressions (2.3) et (2.5) permettent de tracer les courbes de la figure 2.3.
La mesure est non linéaire. L'évolution de la tension de mesure VmesC p) en fonction
de la pression se fait à partir d' une valeur Vmes(O) donnée par :
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a
I = 4,86 V
a-K
La sensibilité de la mesure est donnée par (voir courbe figure 2.4) :
Kb
dVmesC P) _
S mes _
- -ReI
dp
(a _ K)2
(
1
)
2
b
1+
p
a-K
La jauge ainsi réalisée est destinée à la mesure de pressions inférieures à 104 Pa car
la sensibilité tend vers 0 au fur et à mesure que la pression augmente. La sensibi­
lité est d'autant plus importante et la mesure d'autant plus linéaire que la pression
est faible. Cette jauge de Pirani constitue donc un capteur principalement dédié aux
faibles pressions.
1 47
2
Jauge de Pirani
•
F i g u re 2.3 - Évolutions de la température (a) et de la tension de mesure (b)
avec la pression
����.--����....-�
S111 es (mV/Pa)
O r--
===
��
�
�
�
�
�
�
-0,2
-0,4
p (���---- Pa)
-o,s ��
1 02
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1 05
F i g u re 2.4 - Évolution de la sensibilité en fonction de la pression
fla Pour calculer Re, il suffit de reprendre les calculs précédents en posant p = O. 11
vient alors :
Re
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
1 04
1 03
=
Re
(i + a -K K )
=
a
Re
a-K
=
48,63 n
fla Comme les impédances des deux branches sont identiques, chacune est parcou­
rue par le courant I = lg/2 et on a immédiatement v;nes = (Re - R)l, soit en utilisant
(2.4) et (2.6) :
1 48
Problème 2
La nouvelle sensibilité est donnée par :
Re lg
1
s , = - -- ---- -----2
Kb )2 (i
(a - K b p)2
a-K
mes
+
Cette dernière reste identique à celle du montage précédent. L'avantage de ce nouveau
montage est que l'on a supprimé la composante continue de la tension de mesure. En
revanche et comme précédemment, la mesure de la pression dépend toujours de la
température du gaz au travers de
Re.
De fabrication peu onéreuse la jauge de Pi ran i permet de couvrir une étendue de
mesure i m portante mais présente cependant de gros i n convé n i e nts. D'une part,
le signal de sortie dépend de mani ère l i néaire de la température du gaz dont
on mesure l a p re s s i o n , tem pérature qui doit donc être mesurée par aille urs ou
maintenue constante. D'autre part, l e gaz ou d' éventuels pol l uants de ce dernier
(h u i l e de pompe, etc.) peuvent modifier le coup lage therm ique entre le fi lament
et le reste de la jauge (gaz, paro i s , s u p ports , etc.) en se déposant sur le fila­
ment. De même, l ' échange thermique entre le fi lament et le gaz dépend assez
forte ment de la nature de c e l u i -ci et par nature la présence d u filament chaud
i nterdit la mesure de la press ion de gaz pouvant se décomposer voire avoir un
comportement explos if.
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F i g u re 2 . 5 - Principe d'une jauge de Pi rani (documentation BOC Edwards)
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§.
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Fig u re 2.6 - Jauge de Pirani (documentation BOC Edwards)
1 49
P RO B L È M E :
U t i l i sat i o n d e capte u rs
d e te m pé rat u re po u r
l a m e s u re d e l a vite s s e
d ' u n fl u i d e
On se propose ici de mesurer la vitesse d'écoulement d'un liquide au moyen d'un
capteur de température. Le capteur utilisé est un simple fil résistif alimenté à courant
constant et dont le matériau est un alliage à base d'or spécifiquement élaboré. L'effet
Joule provoque un échauffement du fil et donc une élévation de sa résistance et de
la tension à ses bornes. D'autre part, l'écoulement du fluide autour du fil est source
d'échanges thermiques d'autant plus importants que la vitesse du fluide est élevée.
À l'équilibre, le fil présente une résistance donc une tension à ses bornes fonction
de sa température Tc, elle-même fonction de la vitesse du fluide.
Énoncé
Dl Soit a le coefficient thermique de la résistance constituée par le fil chaud dont
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
la valeur à 0 °C est R0. Le courant continu circulant dans le fil chaud étant noté /,
donner l'expression de la puissance P dissipée par effet Joule dans le fil.
On rappelle qu'à la température de 0 °C correspond la température absolue
= 273 , 1 5 K. Les températures sont exprimées dans l'échelle absolue.
To
l!J Le capteur, alimenté par le courant constant I, est plongé dans un liquide à
la température Tf . On note M la masse du capteur (en kg), C sa chaleur massique
(en J/K.kg) et G la conductance thermique entre le capteur et le fluide (en J/K.s) .
Écrire l'équation différentielle décrivant l'évolution dans le temps de la température
Tc du capteur en fonction de M, C, G, du courant d'alimentation I et de la température
du fluide T1 .
On supposera que les échanges thermiques par rayonnement peuvent être négligés.
Il) En déduire en régime permanent l'expression de la température Tc du capteur.
1 50
Problème 3
œ Quel doit être le coefficient thermique de la résistance constituée par le fil pour
que la température du capteur soit rigoureusement proportionnelle à la température
du fluide ? Quelle est dans ce cas l'expression de la température du capteur ?
œ La conductance thermique entre le fluide et le capteur est une fonction de la
vitesse v du fluide qui en première approximation peut s'écrire G(v) = G0(1 + a Yu).
Exprimer la température du capteur en fonction de la vitesse du fluide.
ID Les résultats précédents montrent que la température du capteur dépend de la
vitesse du fluide que l'on cherche à déterminer mais aussi, ce qui est un problème,
de sa température. Il faut donc essayer de supprimer l'influence de la température du
fluide qui agit comme une grandeur d'influence. Pour cela on utilise deux capteurs.
Le capteur ( 1 ) est placé dans le fluide en mouvement et le capteur (2) identique au
premier dans le fluide au repos selon le principe de la figure 3 . 1 . On suppose que
l'élévation de la température du fluide au repos provoquée par la présence du cap­
teur (2) reste négligeable.
----��
Flu;de au rnpos
-
-
Tr
-
Fluide en mouvement
-
-
F i g u re 3. 1 - Principe de la mesure
Les deux capteurs sont montés dans le circuit électronique de la figure 3.2.
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v;
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X3
Z1 X 1Y/Z1
YI
X2
X 3+Y3
V
Y3
(2)
Z2 X2Y2/Z2
E2
E1
Yz
v;
·C0
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"'
"
F i g u re 3.2 - Montage électronique
0
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"
.3
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2o..
2
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�
-0
0
"
=
Ci
@
Donner 1 'expression de Vo en fonction de Go , a, v et K = Roœ/2 .
Conclure quant à la dépendance de V0 avec T1 puis avec v.
IB Donner l'expression de Vs en fonction de Vo et E2, puis en fonction de Go, a, v,
K, E 1 et E2.
l 51
3
Uti lisation de capteurs de températu re pou r la mesure de la vitesse d'un fl uide
•
lm) Quelle valeur faut-il donner à E2 pour que Vs dépende linéairement de Yu
3
(
-Yu)?
et se mette sous la forme Vs = A 1 + a
On donne Go = 2,5 . 10- J/s.K,
a = 0,7 s 112 .m- 1 12 , E 1 = 1 V , Ro = l O Q et I = 1 00 mA.
Corrigé détaillé
Ill On a immédiatement P = R(Tc)I2 = Ro ( 1 + a(Tc - To)) !2 .
1'
l!J Puisque on néglige les échanges radiatifs, le bilan thermique du fil traduisant
la variation dTc de sa température pendant la durée dT s'écrit :
MCdTc = PdT - G(Tc - TJ)dT = Ro ( 1 + a(Tc - To)) 12 dT - G(Tc - TJ)dT (3 . 1 )
Il) En régime permanent, soit en posant que (3. 1 ) est nul, le capteur est porté à la
température Tc donnée par :
GTJ + Ro(l - aTo)I2
Tc =
G - Roa/2
(3. 2)
-------­
eJ Pour que Tc soit proportionnel à T1 , il suffit que a = 1/To = 3 , 66 . 1 0- 3 0c- 1 .
L'or, avec un coefficient thermique de l'ordre de 3 , 60. 10-3 0c - 1 est un bon candidat
comme base de l'alliage à utiliser pour réaliser le fil. (3.2) devient alors :
G
(3.3)
T
Tc =
G - Roal2 1
lm Utilisant l'expression donnée de G, il vient immédiatement :
Tc =
"'O
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(V)
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N
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.......
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Ol
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a.
0
u
(
(
Go 1 + a
Go 1 + a
vu)
vu) - Roal2
T1
(3 .4)
La relation entre la température du capteur et la vitesse du fluide n'est pas linéaire et
cette relation fait intervenir la température du fluide.
ID Les tensions Vi et V2 sont les tensions aux bornes de chaque capteur, soit ici :
V1 = Ro ( 1 + a(Tc l - To)) l = RoaTc l l et
(3.5)
V2 = RoaTc2 I
Le rapport des tensions est égal au rapport des températures données par (3.4). En
posant K = Roa/2 , d'après le circuit de la figure 3.2, il vient :
Go 1 + a
T1
2
l
(Go - K) l + a
Go
+
a
vu
RoaI
v1 E 1
= E1
= E1
(3.6)
Vo =
Go
V2
-K
Go 1 + a
T
Go - Roa/2
(
(
)
vu)
------
--
1 52
f
(
(
vu)
vu)
Problème 3
est indépendant de Tf mais présente toujours un comportement non linéaire par
rapport à v.
Vo
Vs = V+ Vo V = VsVo/E2.
E (Go -K) ( + a vv)
Vs = Vo_Vo
E2 Go ( l +ayu) - K - Ei(Go- K)E2( I +a vv)
Yu,
E2 = E1 (GoGo- K)
œ On a simultanément
1
---
l-
s'écrit alors :
1
(3 .7)
------­
llJ Pour que (3.7) dépende linéairement de
Vs
Avec (3.6), il vient :
et
il suffit de fixer :
----­
Vs = - i (Go - K) ( 1 + a -Yu) = A ( + a -Vu)
A=
1
Numériquement, on obtient
-5 , 8 V .
On pourrait aller plus l o i n dans le cond itionnement d u signal. En effet le s i g nal
Vs est constitué d ' u n terme constant Vs0 = -E 1 (G0 - K)/K et d ' u n terme propor­
tionnel à ....[v . Le terme constant peut très bien être éval ué lors d ' u n étalonnage et
soustrait de V,1. q u i se rait alors d i rectement proportionnel à ....[v. Un c i rc u i t de m u l ­
t i p l i cati o n analogique d o n t l e s d e u x entrées seraient le s i g nal V,1. - V.50 donnerait
en sortie u n s ig nal proportionnel à la vitesse v d u fl u i d e .
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c
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'-'
'-'
�
Cette tech n i q u e de mesure peut s'avérer d é l i cate à mettre en œuvre e t e s t s u s ­
cepti ble d' être perturbée par de m u l t i p l e s sources d ' i ncertitude comme l ' échauf­
fement d u fl uide au repos autour d u capteur n° 2 . Une autre technique peut être
util isée don nant d i rectement accès au débit massique. U n é l é m ent chauffant est
placé dans le fl u i d e et symétri quement, de part et d' autre de ce dernier, on place
deux capteurs de tem pérature d on nant les tempé ratures T1 et T2• À débit n u l , on
a T1 = T2 et lorsque le fl u i d e c i rcule dans la conduite, T1 < T2• La diffé rence de
température T2 - T1 est une fonction d u débit mas s i q u e dans la condu ite.
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chauffant
F i g u re 3.3 - Principe d'un débitmètre massique thermique
a
@
1 53
P RO B L È M E :
J a u g e s d 'exte n s o m ét r i e
É l ect ro n i q u e d e s é p a rat i o n
co n t ra i n te - Te m pé rat u re
Les jauges d' extensométrie sont les capteurs résistifs les plus employés lors­
qu'il s'agit de déterminer les faibles déformations d'une structure soumise à des
contraintes mécaniques. La mesure des déformations peut avoir deux objectifs.
Dans le premier cas, le but de la mesure des déformations est de déterminer le
champ de contraintes subies par une structure dans un but de dimensionnement, de
test mécanique ou encore de surveillance de cette structure.
Dans l' autre cas, la déformation mesurée est le résultat de l'application d'un me­
surande primaire sur un corps d'épreuve comme une force, une pression, une masse ...
Dans ce cas, la jauge est l'élément sensible d'un capteur dédié à la mesure de la force,
de la pression, de la masse...
Une des difficultés de l'utilisation des jauges d' extensométrie réside dans leur sen­
sibilité à la température. En effet, cette grandeur d'influence peut engendrer sur une
jauge, des variations de résistance de la jauge du même ordre de grandeur que celles
engendrées par les déformations à mesurer. Aussi, la correction des effets de la tem­
pérature est un des points clés de la qualité des mesures par jauges d' extensométrie.
Énoncé
Soit le montage de la figure 4. 1 que l' on réalise à partir d'amplificateurs opérationnels
supposés idéaux :
Ro + M
-o
0
c
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a.
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F i g u re 4. 1 - Circuit
de conditionnement
1 54
Problème 4
ED Donner l'expression de
EB Donner l'expression de
llJ Donner l'expression de
Vo1 , Vb1
Il)
Vo1 Vb1 .
Ro !sR Ro !sR'
Ko To,
et /3.
fonction de
Donner l'expression de
fonction de
et
Vo1
Vb1
Vb2 ,
V�2 ,
en fonction de
en fonction de
valeur de
valeur de
Vo2
Vo2
Vg, !sR Ro.
Vg, !!lR' R0.
et
et
pour l ' interrupteur en position 1 en
pour l ' interrupteur en position 2 en
+
et
+
correspondent aux résistances que
présentent deux jauges de contrainte J et J', de facteur de
jauge
et de résistance au repos
à la température de
référence
collées sur un corps d'épreuve constitué d'un
cylindre d' aluminium de rayon et de hauteur de co­
efficient de Poisson Vs et de module d'Young Es (voir fi­
gure 4.2). Le corps d'épreuve est soumis à une contrainte
cr de direction parallèle à l'axe du cylindre et inférieure à
la limite élastique.
cr
Ro
r
h,
J'
�
Ro +tiR'
F i g u re 4.2 - Corps
d'épreuve
Il) Établir les expressions des variations relatives des dimensions du cylindre,
et
!!lr/r,
consécutives à l'application de la contrainte.
ID La température de 1 'ensemble étant la température de référence
!!lh/h
To,
en déduire
les variations relatives,
et
des longueurs des deux jauges J et J', puis
les variations relatives
et
de leurs résistances. Les jauges sont suppo­
sées identiques, parfaitement collées sur le corps d'épreuve et on néglige tout effet
d'épaisseur des jauges.
!sl/
l
!!l
l
'
/
l'
,
M/Ro M'/Ro
IB En reprenant les résultats des questions précédentes, déterminer les nouvelles
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expressions de
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2
�
=
Vb2 V�2 .
et
f3
Donner la valeur de qui permet d'annuler
Vb2.
ŒJ Les jauges sont réalisées en fil de constantan. À la température de 25 °C , on a
Ko
=
Ro
2, 1 et = 120 n.
On calculera, à 25 °C , les deux variations des résistances pour une contrainte appli­
quée cr = 10-4 Es. Le coefficient de Poisson v5 = 0,345 de l'aluminium est supposé
indépendant de la température.
Toujours à 25 °C , calculer
On donne
= 5 V.
Vb;.
Vg
�
-0
0
"
=
Ci
@
1 55
4
Jauges d'extensométrie - Électron ique de séparation contrainte - Température
•
On s'intéresse maintenant aux effets de la température sur les jauges de contrainte et
donc sur les tensions de mesure. On note ilj le coefficient de dilatation linéique des
jauges, ap le coefficient thermique de la résistivité et ils le coefficient de dilatation
linéique du matériau du cylindre.
EIJ On considère tout d'abord que les jauges sont isolées, c'est-à-dire non collées
sur le cylindre.
Calculer la variation relative de la résistance des jauges provoquée par une augmen­
tation !iT de la température par rapport à la température To de référence. On donne
p = po( + apT) avec Po = 49. 10- 8 Q.m la résistivité à 0 °C , ap = 3,7. 10-5 °C - I et
ilj = 1 ,7 . 1 0-5 0c - 1 .
I
Ille) On considère maintenant que les jauges sont collées sur le cylindre. Calculer
la variation relative supplémentaire de la longueur des jauges (dite variation diffé­
rentielle) puis la variation relative de résistance correspondante provoquée par l'aug­
mentation !iT de la température. On donne le coefficient de dilatation linéique de
l'aluminium ils = 2,3 . 1 0-5 0c- 1 •
1111 En utilisant les résultats des deux questions précédentes montrer que l' aug­
mentation !iT de la température provoque une augmentation de la résistance des
jauges que l'on peut écrire sous la forme
Ro/3j;s l1T. On précisera l' expression
de /3j!s·
À la variation de la résistance de la jauge liée à une variation de température, on peut
associer une élongation apparente de la jauge (élongation qui provoque une même
variation de la résistance de la juge que la variation de température). Déterminer
l'élongation apparente 11!/llapp des jauges.
On considère maintenant que la résistance des jauges varie en raison de la pré­
sence de la contrainte a- et d'une variation !iT de la température (avec toujours
R(o- = O,To) = Ro).
M=
"'O
0
c
::J
0
M'
(V)
llt.I Donner les nouvelles expressions de !iR/Ro et
@
lllJ En déduire les nouvelles expressions de V62 et V6;. Calculer V6;, on donne
0
N
......
.......
..c
Ol
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a.
0
u
/R0 .
Vg = 5 V.
1111 Expliquer comment, par action sur l ' interrupteur, on peut mesurer séparément
l' action de la contrainte et l'action de l' élévation de température.
1 56
Problème 4
Corrigé détaillé
Ell L'amplificateur opérationnel AOP l étant idéal, les tensions sur les entrées de
l' amplificateur sont :
V9/2
Vo1 (Ro
V9 -Roi
t=
l = V9/2Ro Vo1 = -V9!1R/2Ro
1'
V01
e7 =
et el =
+
+ M)l =
La présence de la contre-réaction entraîne e
el ce qui conduit à :
et
16 Le montage de amplificateur AOP2 étant similaire,
façon et on obtient :
e! =
se calcule de la même
(4.2)
EIJ La présence de la contre-réaction entraîne
l'interrupteur,
(4.1)
0, il vient :
e!
= e) . Comme en position
1
de
(4.3 )
= e'.3 =
2, e! V01/2,
V02 = V'01 - Ro ( Voi - V'01 ) Ro1 = V01 - Voi
Ill Pour l'interrupteur en position on a
Il
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o.
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B:::l
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2
2
d'où :
!
(4.4)
lm D' après la loi de Hooke, on a :
tihh
-
<T
(4.5)
= Ejf = -
Es
ED Le collage des jauges étant parfait, celles-ci subissent la même déformation que
le corps d'épreuve à leur interface avec celui-ci. Comme de plus, on néglige tout effet
d'épaisseur des jauges et du collage, la jauge J subit au total la même déformation
dans sa longueur que celle de la hauteur du cylindre, on a donc :
-!ill = -!ihh =
ê//
1 57
4
•
Jauges d'extensométrie - Électron ique de séparation contrainte - Température
La jauge J' subit la même déformation dans sa longueur que celle le périmètre
cylindre, soit :
P
du
!il'l !iPP tir
r
'
Ko
-!iRRo = Ko -!ill = KoE;; !iR'Ro = Ko z!il', = -KovsE/f
EB
V6 1 ) = Vg ( M + !iR' ) = KoE/f ( ) Vg
oY, 2 = - ( Vo1 + ft
fJ
Ro fJRo
!iR' - -M ) = KoE;; O -Vg
V0,2 = V01, - Vo1 = - -Vg ( -Ro Ro
V62,
fJ fJ =
IJD
=
!iR/Ro
=
!iR'/Ro V6; = !iR
!iR'
EIJ
R
=
pl/s
s
l
p
!iT
To,
!iR
Ro
!iR = !ip + !il !is
Ro
s
p
l
!iT,
!ip/p œp!iT, !il/l Àj!iT !is/s 2Àj!iT
!iT
- = - = - = El_ = -V5Sjj
Le facteur de jauge
étant identique pour les deux jauges, il vient :
et
(4.6)
Avec (4. 1 ), (4.2), (4.3) et (4.4), il vient :
l
1-
vs
l
+ v5 )
2
2
Pour annuler
il convient de régler la valeur de à
vs.
À 25 °C et pour a- 10-4 Es, (4.5) et (4.6) conduisent à
210. 10-6
et
= -72 . 1 0- 6 soit
= 25 ,2 mf! et
= -8,7 mf!. Dans les mêmes
conditions, on a
706 µV.
La résistance d'une jauge est donnée par la loi d'Ohm
avec la sec­
tion du fil des jauges et leur longueur, étant la résistivité du matériau des jauges.
Une variation
de la température d'une jauge initialement à la température
va
entraîner, au premier ordre, une variation
de sa résistance donnée par :
-
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
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Ol
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a.
0
u
-
-
-
-
Au premier ordre en
on peut écrire
=
=
et
=
où Œp et Àj représentent respectivement le coefficient thermique de la résistivité et le
coefficient de dilatation linéique du matériau de la jauge. On a donc pour une éléva­
tion
de la température :
L'application numérique donne
résistance de 2,4 mf!/°C.
(œp - Àj) = =
ŒR
2. 10-5
0c-1
soit une variation de
Ille) Les jauges sont collées sur le cylindre. Elles sont amenées, par le collage, à
subir la même déformation dans le sens de leur longueur que le corps d'épreuve sur
lequel elles sont collées et c'est donc le corps d'épreuve qui impose sa déformation.
1 58
Problème 4
Par rapport à ce qui a déjà été pris en compte précédemment, il faut ajouter un accrois­
sement de longueur lié à la différence de coefficient de dilatation entre le matériau de
la jauge et le matériau du corps d'épreuve, soit !il/lldiff = (ils - il1)!1T. À cet accrois­
sement de longueur supplémentaire correspond une variation supplémentaire, dite
différentielle, de la résistance de la jauge et donnée par !1R/Roldiff = Ko(ils - ilj)!iT.
Comme Ko(ils - ilj) = 1 ,26. 10-5
on obtient une variation de résistance de
1 ,5 m.Q/°C.
0c-1 ,
Gill On en déduit que l'accroissement de température !1T provoque un accroisse­
M = Ro [(œp - il1) + Ko(ils - ilj)J !1T 1= Rof311sl1T.
fJJ!s =
0c/
ment de résistance donné par
Compte tenu des données numériques, il vient
3 , 26. 10-5
soit une varia­
tion de résistance de 3,9 m!1 C
On remarquera que ces effets thermiques entraînent des variations de résistance des
jauges qui peuvent être du même ordre de grandeur que celles entraînées par la
contrainte et calculées à la question 8.
À la variation de la résistance de la jauge liée à une variation de température, on peut
associer une élongation apparente de la jauge donnée par :
°
!1R = 11sl1T = Ko !il
Ro f3
l
l
.
app
soit
1:1/ 1
l
app
J;sl1T
= f3 Ko = 15,5. 10-6 !1T
·
Git.:.a En présence de la contrainte cr et d'une variation !1T de la température, on a :
!1R' = -Kovsc// + f311sl1T
!1R =
et
T
Koc;;
+
f311sl1
Ro
Ro
Gill Compte tenu du choix fJ = vs. les nouvelles expressions de Vb2 et Vb; sont :
Vg
-Kovsc// + f311sl1T
Vg -!1R + tiR
-' - T
+
+
Vo2, - Koc;;
f311sl1
2 Ro fJRo
2
Vs
V
= 1 + _!_s f311sl1T 2g
V
V
,, V
V02 = - 2g ( -Kovsc// + f311sl1T - Koc;; -f311sl1T) = Koc;; ( 1 + Vs) 2g
-
_
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=
Ci
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(
( )
) (
-----
)
Pour cr = 10-4 Es, il vient Vb2 (µV) = 3 1 8 !1T et Vb;CµV) = 706. On remarquera
que Vb; garde exactement la même expression que celle déterminée à la question 7
en l'absence d'évolution de la température.
·
Gill Par action sur l'interrupteur, soit on sélectionne Vb;, et on a accès à la
contrainte via c;; sans être affecté par les variations de température, soit on sélec­
tionne Vb2 et on a accès à une mesure de 1'effet de la température.
1 59
4
•
Jauges d'extensométrie - Électronique de séparation contrainte - Température
Les jauges d ' e xtensométrie sont étudiées de façon à m i n i m iser au max i m u m et
pour un matériau de structure donné l ' effet de la température. À la variation de
la rés i stance de la jauge l i é e à une variation de température on peut associer une
élongation apparente de la jauge. Si tous les phénomènes étaient l i néaires, on
pou rrait a priori espére r réal iser une jauge telle que les deux termes constituant
f3JJs se compensent ; on obtiendrait alors une jauge parfaitement auto-compensée.
Les courbes de la fi g u re 4.3 donnent la déformation apparente de deux jauges
différentes collées sur une structure en acier.
f,app
6
(10- )
Alliage K
+2 00
0
�.....-
/VÎ
/1
VI
/ /
/ /
24°C
-600
\
----.....__
__
'\
\
/
-----
/
/
Alliage A
I
-150
0
+ 1 50
T (OC)
F i g u re 4.3 Déformation apparente de deux types de jauges collées
sur une structure en acier (documentation Vishay)
-
-0
0
c
::i
0
.....
(V)
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
1 60
P RO B L È M E :
Capte u r ré s i s t i f
n o n l i n éa i re @
Ce problème traite de la réduction de la non-linéarité de la mesure réalisée avec un
capteur résistif non linéaire. Différents montages sont envisagés et comparés : mon­
tage potentiométrique alimenté en tension ou en courant, quart de pont, demi-pont
push-pull et linéarisation par quart de pont actif.
Énoncé
1. Capte u r ré s i stif
Re
Soit un capteur dont l'impédance purement résistive évolue en fonction du mesu­
rande sur l'étendue de mesure E [0,2] selon le tableau 5. 1 .
m
m
Re
Re,lin
m
Re
Re,lin
m
Re
Re,lin
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
m
Tableau 5. 1 - Rési stance du capteur
0
1 00,00
99,81
0, 1
101 ,00
1 00,87
0,2
1 02,01
1 01 ,93
0,3
1 03,03
1 02,99
0,4
1 04,05
1 04,05
0,5
1 05,08
1 05, 1 1
0,6
1 06, 1 1
1 06, 1 7
0,7
1 07, 1 5
1 07,23
0,8
1 08, 1 9
1 08,29
0,9
1 09,24
1 09,35
1
1 1 0,30
1 1 0,41
1,1
1 1 1 ,36
1 1 1 ,47
1,2
1 1 2,43
1 1 2,53
1,3
1 1 3,51
1 1 3,59
1 ,4
1 14,59
1 1 4,65
1,5
1 1 5,68
1 1 5, 71
1,6
1 1 6,77
1 1 6,77
1,7
1 1 7,87
1 1 7,83
1,8
1 1 8,97
1 1 8,89
1 ,9
1 20,08
1 1 9,95
2
1 2 1 ,20
1 2 1 ,01
Une étude par régression polynomiale sur les valeurs montre que le comportement de
ce capteur est très bien décrit par la loi suivante :
..:
�
"O
avec
= 0,3
= 1 0 et c = 100
=
+
+ c
c:
'-'
'-'
Sur 1 ' étendue de mesure on pratique, par la méthode des moindres carrés, une régres­
�0
sion linéaire de la caractéristique du capteur. On obtient une approximation linéarisée
:;
"'
c:
0
de la loi de variation du capteur donnée par :
c:
.S:
' avec
= 1 0,6 et c' = 99, 8 1
=
+ c
ü
:::l
:::l
�
c:
"O
12
o.
2
B
:::l
rS
Rc(m) am2 bm
a
Rc,lin(m) b'm
b'
b
Ceci entraîne une modélisation linéaire de l a résistance du capteur,
dans le tableau précédent.
Rc,lin,
indiquée
-0
0
c:
:::l
a
@
@ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage).
161
5
Capteu r résistif non linéaire
•
BJ Calculer l'écart à la linéarité ôRc sur l'étendue de mesure donnée.
mJ Calculer 1 'erreur de linéarité s.
llJ Donner sous l'approximation linéaire, la sensibilité S c du capteur.
mJ Autour de quelle valeur mo du mesurande vaut-il mieux évaluer les évolutions
de celui-ci, valeur pour laquelle on posera Rc(mo) = Rco ?
m
!im
B!im.
=A
., En posant que pour évoluant de
Rco, mettre l1Rc sous la forme Mc
depuis de mo, Re évolue de l1Rc depuis
2
(!1m) +
I l . Mo ntage pote ntiométri q u e - A l i m e ntation e n te n s ion
Ce capteur est monté dans un conditionneur potentiométrique alimenté par un géné­
rateur de tension constante, de f.e.m. V9 et d'impédance interne négligeable (R9 = 0)
(voir figure 5. 1 ) .
Rg = 0
"'O
0
c
::J
0
......
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Fi g ure
R
5. 1 - Montage potentiométrique
On limite l'utilisation du capteur à l'étendue de mesure donnée et on utilise pour
l'expression de la résistance du capteur l'expression quadratique précédente de Re
supposée exacte.
B51 Donner l'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de V9, Re et R
puis en en fonction de V9, l1Rc, Rco et R.
1
mJ En posant que pour la valeur de référence mo, la tension de mesure s'écrit Vmeso ,
calculer 'évolution /:1 Vmes de la tension de mesure pour une évolution
rande entraînant une variation l1Rc de la résistance du capteur.
!im
du mesu­
113 Quelle valeur optimale faut-il alors donner à R ? Que devient alors l'expression
de /:1 Vmes ?
1 62
Problème 5
œ En déduire l'approximation linéaire 1�.Vmes,lin de ce résultat en fonction de 11m ?
..il•) Calculer dans cette approximation la sensibilité réduite S r de la mesure .
..jll Le but de la mesure est d'extraire l'évolution du mesurande de l'évolution de
/1
la tension de mesure. Ceci se fait très simplement de manière électronique si Vmes
est proportionnel à 11m.
Déterminer l'erreur de linéarité, t: 1 = (11Vmes - 11Vmes, linf11Vmes ), lorsqu'on approche
11 Vmes par Vmes,lin· On calculera son approximation à 1' ordre 2 en 11m et on en cher­
chera la valeur maximale sur l'étendue de mesure.
/1
I l l. Montage pote ntiomét r i q u e - Al i me ntation e n co u rant
On remplace dans le conditionneur précédent la source de tension par une source de
courant 19 parfaite. On garde évidemment la même valeur de référence mo du mesu­
rande que précédemment, valeur pour laquelle on a Rc(mo) = Rco ·
..jt.j Donner l'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de 19, Re puis
/1
déterminer l'expression de l'évolution Vmes de la tension de mesure pour une évo­
lution 11m du mesurande entraînant une variation Mc de la résistance du capteur.
..jll En déduire l'approximation linéaire /1 Vmes, lin de /1 Vmes·
..ill Comparer ce résultat au cas de l'alimentation en tension.
..,.... Déterminer l'erreur de linéarité t:2 si on approche Vmes par Vmes,lin et l' éva­
/1
luer à 1 'ordre 2 en 11m.
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
/1
IV. Montage en q u art de po nt
..
:
�
"O
c:
:::l
�
Le capteur est monté dans un pont alimenté par un générateur de tension constante
de f.e.m. V9 et d'impédance interne négligeable (R9 = 0) comme sur la figure 5.2. La
valeur de référence du mesurande reste identique.
'-'
'-'
�0
:;
"'
c:
0
c:
RI
c:
.S:
ü
:::l
"O
12
o.
2
B
:::l
rS
-0
0
c:
:::l
a
@
vg
Re
V,nes
R2
R3
Fig u re 5.2 - Montage en quart de pont
1 63
5
Capteu r résistif non linéaire
•
..jul Donner l'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de
R3
et Vg.
1916 Donner les valeurs de
Ri, R1 R3
lim
Re, R1, R1,
et
permettant l'équilibre du pont pour la va­
1911:1 En déduire, pour une variation
mo,
leur
mo
du mesurande.
du mesurande à partir de la valeur
l'expression rigoureuse de la variation li Vmes en fonction de
et Vg puis en
fonction de
et Vg .
A, B, lim, Rco
liRc, Rco
li
li
1910 Donner 1' approximation linéaire Vmes, lin de Vmes en fonction de
et
lim.
Rco, B,
Vg
19*.l•I Toujours dans l'approximation linéaire, en déduire l'expression de la sensibi­
lité réduite S r de la mesure.
Rco,
A,
B
lim,
lim
19*JI En fonction de
second ordre en
et
calculer l'erreur de linéarité c3 , l'évaluer au
et en donner la valeur maximale.
V. Mo ntage e n dem i-pont p u s h -pu l l
Re
liRc, liR1, Rco mo.
On considère un deuxième capteur identique à
fonctionnent en mode push-pull.
li
19*.l:.I Exprimer Vmes en fonction de
que l'on substitue à
libre du pont est toujours réalisé pour la même valeur
19*.JI Donner les expressions de
"'O
0
c
::J
0
Mc
et !iR 1
RI · Re R 1
et
et Vg en supposant que 1' équi­
•
19*11 En tenant compte des expressions précédentes, donner la nouvelle expression
li
de Vmes·
li
li
(V)
19*.Ji Donner l' approximation linéaire Vmes, lin de Vmes·
@
19*.Jd Toujours dans l'approximation linéaire, en déduire l'expression de la sensibi­
0
N
......
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
lité réduite S r de la mesure.
19*14 En fonction de
valeur maximale.
Rco. A lim,
et
calculer l 'erreur de linéarité
c4 .
En donner la
VI. Li n éarisation amont - Montage e n q u art de pont actif
On désire éventuellement améliorer la linéarité de façon active à l'aide du montage
suivant où seul est un capteur.
Re
1 64
Problème 5
Rc o
Rg
A
Rc o
&
------.
Re
B
V,ues
Rco
F i g u re 5 . 3 - Montage en quart de pont actif
..'"t:.J:I L'amplificateur opérationnel étant supposé idéal, exprimer V et V
/j,
'*.JO En déduire Vmes en fonction de
A
8.
/j,Rc, Rco Vg A, B, /j,m Vg.
et
puis
et
..1@11) Donner l' approximation linéaire /j, Vmes, lin de /j, Vmes ·
.."'IJI En déduire l 'expression de la sensibilité réduite S r de la mesure .
..M..fl Calculer l'erreur de linéarité
maximale.
s5,
l' évaluer à l'ordre 2 et calculer sa valeur
VII. Avantag e s et i nconvé n ients des d iffé rents
con d ition n e u rs
Commenter les différentes solutions mises en œuvre. Quels en sont les avantages et
les inconvénients
"'O
0
c
:J
0
(V)
r-l
0
N
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.µ
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0
u
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?
Corrigé détaillé
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"
"
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c0
c
c
.r2
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2o..
2
B
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�
"°0
c::l
Ci
@
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
1 65
P RO B L È M E :
Ca pte u r à ré l u cta n ce
va r i a b l e
Ce problème présente la mise en œuvre d'un capteur à réluctance variable dans l'as­
servissement en tension d'un ruban défilant magnétique. L' accent est mis sur le calcul
de la valeur de l 'inductance, la non-linéarité de la mesure et sa correction et leurs ef­
fets sur le spectre du signal de mesure.
Énoncé
1. Étude d u capte u r
Soit un capteur inductif, représenté figure 6 . 1 , réalisé à partir d'un circuit magné­
tique en U, de section carrée
en matériau doux feuilleté et sur lequel sont bobinés
N enroulements d'un conducteur parcouru par un courant /. La fibre moyenne r de
ce circuit magnétique en U est de longueur 1 dans le feuilletage et la perméabilité
SOOµo où µo est la perméabilité du vide.
magnétique du matériau doux est µ
Ce capteur est placé en regard d'un ruban métallique et ferromagnétique, de largeur
supérieure à et en défilement devant le capteur. Ce ruban est d'épaisseur e et la per­
méabilité magnétique du matériau le constituant est µ = 700µ0. Le rôle du capteur
est de mesurer la distance x du ruban au capteur afin d'asservir le système réglant la
tension du ruban.
On suppose que les lignes de champ sont parfaitement guidées par le circuit ma­
gnétique, qu'aucune ligne de champ ne se reboucle dans l'air et que l'entrefer x est
suffisamment petit pour pouvoir négliger les fuites de flux.
a2 ,
l
1=
a
"'O
0
c
::J
0
2
(V)
0
N
......
@
µI;
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
/1
- - - _
\
_ -
--.
=
=
---.--=
F i g u re
--
1 66
t
-
a
6.1 - Principe du capteur
Problème 6
[ml Donner l'expression de la circulation du champ d'excitation magnétique
�
H
le
long de la fibre moyenne r du circuit. Décomposer cette circulation en faisant inter­
venir les champs
dans le capteur,
dans l'air,
dans le ruban et les longueurs
de la fibre moyenne r, /1 dans le capteur, dans l'air et dans le ruban.
Ho 2x
H1
H1 1
2
à
à Bo
� En utilisant le fait que l'induction magnétique est flux conservatif, que ce
champ d'induction peut être considéré comme uniforme dans chaque section du cir­
cuit magnétique et que l'entrefer est petit, donner les relations liant le champ d'in­
duction magnétique dans le matériau du capteur celui dans l'air et à celui
dans le ruban.
B1
B2
à B1 ,
mD La perméabilité magnétique liant par définition l'excitation magnétique l'in­
duction magnétique, déduire des expressions précédentes, la relation liant N, !,
e, a µ 1 , µ et µo.
/1 ,
12, x, , 2
œJ
L
�
L(x)
x.
�
x L(x)
xo
Lo
=
L(xo),
�x
=
100,
1
=
10
1
=
4
x0
=
1
2
1
7
= 4n.10- Hm- .
a=2
Donner l'expression du flux </Jb dans la bobine et en déduire l'expression de
l ' inductance de la bobine.
En utilisant les résultats précédents, déterminer l'expression de l'inductance
de la bobine pour une distance capteur-ruban
La distance varie autour de sa valeur de consigne
Établir l'expression de
en fonction de
déterminer. On donne N
cm,
cm,
cm, et µo
x xo A�x.à
e = 0, 1
et on pose = +
et d'une constante
3 mm,
mm,
I l . Co nd ition nement d u capte u r
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
� Le capteur est monté en quart de pont avec un condensateur variable de capa­
cité C et deux résistances fixes R = kQ (voir figure 6.3). Le pont est alimenté par
un générateur d'impédance interne négligeable et délivrant la force électromotrice
Vg COS Wgt.
Déterminer quelle valeur doit être ajustée la capacité C pour que la tension différen­
tie11e du pont soit nu11e pour =
On considère que
et C sont respectivement
une inductance et une capacité pures.
1
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
à
x xo.
L(x)
Gli) Donner l'expression de la tension de mesure Vmes·
Cl) Donner l'approximation linéaire Vmes,lin de Vmes· À partir de cette expression
[-2 +2 à 1 % ?
linéaire et sur une étendue de mesure E.M. =
mm ;
mm], peut-on extraire
le déplacement
du ruban avec une erreur relative inférieure
On donne
1
rad.s- .
Wg =
�x
3
2n.10
1 67
6
Capte u r à rél uctance variable
•
tille) En fait la variation de distance
�x
dépend du temps en raison de l'asservisse­
ment effectué sur la tension du ruban et on désire analyser correctement cette dépen­
dance temporelle. En considérant le cas simplifié où
= cos wt, effectuer le
développement limité de la valeur instantanée
en
jusqu'à l' ordre 3, puis
obtenue précédem­
en posant =
+
décomposer l'expression de
ment de façon à faire apparaître les différentes pulsations de son spectre.
�x(t)
x
1
Vmes(t) �x(t)
Vmes(t)
B ARxif(R Zo)
lilll Sous quel type de modulation l 'information sur le déplacement est-elle co­
dée ?
I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal
UltA On utilise le montage suivant pour linéariser la tension de mesure.
VmesCt)
Comme la tension
est une tension diffrentielle (tension de déséquilibre du
pont du paragraphe Il), elle n'est pas référencée à la masse. Il est donc nécessaire de
la référencer à la masse pour l'utiliser comme entrée du montage 6.2. Pour ce faire,
est utilisée comme entrée différentielle d'un amplificateur d'instrumentation
de gain unité.
VmesCt)
vmes (t
E
(t)
X1
Z1
Y1
X1Y1
Z1
V (t)
Xz
Y2
X2 + Y2
V, ( t )
F i g u re 6.2 - Conditionnement du signal
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Vs(t).
E(t),
�x?
Vs(t)?
Établir l'expression de la tension de sortie
Pour quelle valeur de
l' expres­
sion de
varie-t-elle linéairement avec le déplacement
Comment obtenir pratiquement
en utilisant un condensateur identique à celui
utilisé dans le montage en pont ? Quelle est alors l'expression de
Vs(t)
E(t)
lillJ Décomposer l'expression de
Vs(t)
de façon à faire apparaître les différentes
pulsations constituant son spectre. Sous quel type de modulation l'information sur le
déplacement est-elle maintenant codée ?
1 68
Problème 6
Corrigé détaillé
1. Étude d u capte u r
à
Cl) Les lignes de champ étant parfaitement guidées donc toujours colinéaires la
fibre moyenne, d'après le théorème d' Ampère, la circulation de l'excitation magné­
tique le long du contour fermé r, s'écrit :
J(r H.d l = NT = H1l1 H2h Ho2x
---?
---?
+
+
à
cf> = l B. dS = cte
S
[B L'induction magnétique étant flux conservatif, au travers de la section d'un
tube de champ on a :
a2
S
En prenant
comme section du circuit magnétique et compte tenu du fait que
1' entrefer est petit, la section du tube de champ dans 1' air reste pratiquement égale à
on en déduit :
a2 ,
cf> = J(s B.dS = Bia2 = Boa2
---?
---?
B1 Bo
cf> = B2ea.
[LI)
B i = µ1H1 , B2 = µ2H2 Bo = µoHo.
où
et
sont respectivement les champs d'induction magnétique dans le circuit
magnétique et dans l' entrefer.
Dans le ruban, les lignes de champ étant toujours parfaitement guidées, on a
La perméabilité magnétique liant inductance et excitation magnétique, on a
et
Compte tenu des résultats des deux ques­
tions précédentes, il vient :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
(6. 1 )
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
m9 La bobine étant supposée de spires jointives serrées sur le circuit magnétique,
le flux
"
"
.3
ü
2
�
=
"
=
Ci
@
N
spires est donné par :
c/>b = fxs. ds N fss.ds
c/>b = B 1 Na2 = LI
L = B 1 Na2/I.
L'induction magnétique étant par hypothèse uniforme dans la bobine, on obtient :
�
-0
0
dans la bobine qui est le flux au travers de ses
�
=
""'
2o..
cf>b
L
représente l ' inductance propre de la bobine soit
1 69
6
Capte u r à rél uctance variable
•
� En éliminant le courant entre cette dernière expression et le résultat
déduit immédiatement :
(6.1),
on
2
2
N
a
L(x) = l1 -al2 2X
µ1 eµ2 µo
[la
xo + �x,
2
2
N
a
(6.
2
)
L(x) = L(xo �x) = l1 + )
l
2(
Xo
uX
a
+
2
µ1- eµ1 2 + ---µo
1
--=
Lo
= Lo +
2eµ1µ2 2xoe �x 1 + A�x
el1µ0µ2 + al2µ0µ + µ 1µ2
A
= 2eµ1µ2/(eµoµ 2 l1 + aµoµ1 l2 + 2eµ1µ2 xo).
Lo = 285 = 113,5 m-1 .
+ ­
- +
Avec
il vient :
+
A
l
l
On a posé
µH et A
Numériquement, on obtient
I l . Co nd ition nement d u capte u r
[E Le montage est classique (voir figure
6.3).
C
R
"'V;nes
L (x)
"'O
0
c
::J
0
....
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Fig u re 6.3- Circuit de conditionnement du capteur
Zox= }Lowg
Zc
=
1/
}Cwg.
xo,
R
Zo
--R+Zo2 R+Zc =
(6.3) C =1/}Cwg
R
/
JLowg,
=
2
Lo/R = 285
On note
nulle pour =
entraîne
être fixée à
et
on doit avoir :
pF.
Pour que la tension différentielle du pont soit
0
(6.2)
ZL(x) = jL(x)wg,
�Z = ZL(x) - Zo = Zo ( 1 + 1A�x - 1) = -Zo A�xA�x = -}Lowg -1-A�x
+-A-�-x
et en posant
1
1 70
(6.3)
la valeur de la capacité du condensateur doit donc
[13 En notation complexe, compte tenu de
a:
ZoZc = R2
soit
+
on
Problème 6
ZoZc = R2
R(ZL(x)
-Zo)
R
)
(6.4)
V
Vmes - ( R ZL(x)
9
+ ZL(x) R + R2/Zo
(R + ZL(x)) (R + Zo) V9
A�x
jRLow
9
R�Z �Z Vg =
1;.Low
+A�xg A�x Vg
=
(R + Zo)2 ( 1 + R + Zo ) (R + }Low9)2 ( 1 - R + JLow9 1 + A�x)
[ID
Vmes,lin (6.4)
Al'1
x
RLow
g
.
Vmes,. m - (RRZ0A�x
+ Zo)2 - (R + }Lowg)2 Vg
1'1x
Vmes
Vmes,lin
1'1Z-�Z0Al'1x - -2
1
+
E = Vmes,lin - Vmes = 1'1Z R + Zo = RRAl'1+ Zxo
1'1Z
1 + R+Zo
1'1x =
lsl
V
.
l
i
n
m
es
1'1x
1
1
1'1x(t),
Vmeit)
VmesU) = (R + Zo) (RRl'1+ZZo(t) + 1'1Z(t)) Vg(t)
RZoAl'1x(t)
=
t
COSW
V
g
g
Al'1
(t)
x
Zo
(1 + Al'1x(t)) (R + Zo) (R + Zo - 1 + Al'1x(t) )
RZoA�x(t) Vg COSWgt
=
x(t) )
(R + Zo)2 ( 1 + RAl'1
R+Zo
Z
AR
o
[
(
t
w
V
g
g
R+Zo ) 1'1x(t)2
R+Zo
AR ) (1'1x(t))2 + ( R+Zo
AR )3 (1'1x(t))3]
(R+Zo
Avec
la tension différentielle s'écrit :
_
_
_
---
L' approximation linéaire
1·
-
de
-
donne :
-
L'erreur relative engendrée en utilisant
donnée par :
-
1
au lieu de
pour extraire
est
--
------
--
Par exemple, pour
±2 mm on a déjà
22,7 %. Dans l'état, l'utilisation
de la mesure et son assimilation à une expression théorique du type de
ne
permettent pas la détermination de
avec une erreur inférieure à %.
�
[;lie) En se limitant à 'ordre 3 en
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(V)
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�
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Ci
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�
-
la valeur instantanée
est :
cos
-
1 71
6
Capte u r à rél uctance variable
•
En posant B = ARxif(R + Zo) et en utilisant les deux identités cos2 x = ( 1 + cos 2x)/2
et cos3 x = (3 cos x + cos 3x)/4, il vient pour la tension de mesure instantanée :
cos w9t [ -B cos wt + B2 cos2 wt - B3 cos3 wt]
V9
VmesCt) '.:::::'. R Zo
+ Zo
3
B2
B2
B3
Zo
= R + Zo V9 cos w9t - B + -B 3 cos wt + - cos 2wt - - cos 3wt
2
4
2
4
Zo V9 B2 cos wgt
R + Zo 2 2
B + � B3 (cos(w9 w)t cos(Wg w)t)
[
=
)
[ (
-
)
(
B2
1
+
-
(
B3
4 (cos(w9 3w)t
+
)
3w)t)
+ 2 cos(w9 - 2w)t + cos(w9 + 2w)t
-
-
+
cos(w9 +
l
Le spectre de la tension de mesure (voir figure 6.4) est donc constitué en première
approximation des pulsations w9 ; w9 ± w ; w9 ± 2w ; w9 ± 3w .
[
]
Amplitude (unité arbitraire)
î
î
wg - m wg + m w + 2w
g
OJg - 20J o
0
(Ûg4�
mg+ 3m
(Ûg - 3 0J
'
'
�
Fig u re 6.4 - Allure du spectre de la tension de mesure
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(V)
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Ol
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a.
0
u
klll L'information est codée sous forme d'une modulation d'amplitude avec pré­
à
sence de la porteuse (due la non-linéarité) puisque, dans le spectre de Vmes(t), figure
un terme de pulsation w9 .
I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal
=
R/(R Z0) K = Zo/(R Z0).
V(t) = Vmes(t)Vs(t)/E(t) Vs(t) = Vmes(t) + V(t).
t:Wt.I On pose K1
+
et
et 2
Vmes (t) =
Vs = ---t)
!
Pour que
1 72
-
i
;&
V
+
Le circuit de la figure 6.2 donne
On en tire :
COS
-E(t)K2A!ixV9 w9t
----)
(
E(t) � AAx + K1AAxVg cos w9t
1 +
V5(t) varie linéairement avec le déplacement !ix, il suffit d'imposer :
E(t) = -K2 Vg cos Wgt
Problème 6
R2/Z0.
RR. Zc
=
Le condensateur du montage en pont avait comme impédance
Pour réa­
liser E(t)
+
Vg cos wgt, il suffit d'utiliser le circuit de la figure 6.5. Le
pont diviseur de tension alimenté par Vg cos wgt en associant en série et réalise,
aux bornes de la résistance, la tension
+
Vg cos wgt si » Cette tension
est inversée pour réaliser E(t) par le montage amplificateur opérationnel.
= -Z0/ (R Z0)
Zo/ (R àZo)
Zc
R'
R'
R'
2
E(t)
F i g u re 6.5 - Circuit de réalisation de la tension E(t)
On a alors un comportement linéaire du signal par rapport
à �x
puisque :
à
IMll De façon similaire la question II.4, il vient maintenant :
Vs(t)
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"'
"
"
'"
=
=
-B(cos wtVg)(cos wgt)
-B
� [cos(wg - w)t + cos(wg + w)t]
Le spectre n'est plus dès lors composé que des pulsations wg ± w. On est en pré­
sence d'une modulation d' amplitude sans porteuse (absence de la pulsation wg dans
le spectre).
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0
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=
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-0
0
"
=
Ci
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1 73
6
•
Capte u r à rél uctance variable
En toute rigueur, dans ce type de problème, i l fau d rait ten i r compte de la dépen­
dance de type passe-bas de la perméabilité magnétique des matériaux qui jouent
sur la val e u r de A ce qui réi ntroduit une d i storsion s u p p l é mentaire.
Généralement, ces capteur uti l i sé comme capteur de proxim ité sont moins pré­
cis que l e u rs homologues de type capac itif q u i présentent, de plus, l ' avantage de
pouvoir détecter la d i stance de tout type de c i b l e (diélectrique, métal l i q u e ferro­
mag nétique ou non, etc.). Les capteurs i n d uctifs restent en revanche p l u s fac i l e s
à mettre en œuvre.
Le principe phys i q u e du capteur i nductif peut être u t i l i s é pour réal i s e r des cap­
teurs tachymètriques actifs. On place, par exemple, le capteur devant les dents
d ' u n eng renage de matériau mag nétiq ue. À chaque passage d ' u n e dent d u pi­
gnon devant le capteur, il y a variation de la rél uctance d u capteur et création
d ' u n e fem indu ite i m pu l s i onnelle. Il suffit de compter ces i m pu l s i o n s pendant un
i ntervalle de temps donné pour en d é d u i re, connais sant le nom bre de dents du
pignon, la vitesse angulaire de ce de rnier.
e
Bobinage
(t)
--Î-
�Aim•nt
"-'1,_,,
'. :'. :
._
Lignes de
champs
Engrenage
Fig u re 6.6 - Principe de fonctionnement d'un tachymètre inductif
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0
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0
(V)
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0
u
1 74
P RO B L È M E :
L i n é a r i s at i o n ava l
Ce problème présente la mise en œuvre de deux méthodes de correction aval de la
non-linéarité présentée par un montage de conditionnement en quart de pont. Une
de ces méthodes permet de plus, de rendre la tension de mesure indépendante des
variations possibles de la force électromotrice de la source d' alimentation.
Énoncé
7.1
On considère le montage en quart de pont de la figure
où Re représente la résis­
tance d'un capteur résistif du mesurande m. Le pont est alimenté par une source de
tension de force électromotrice V9
et de résistance interne R9
non
négligeable.
= 10 V
RI
vg
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V,nes
= 50 Q
R2
Re
R3
Fig u re 7. 1 - Le circuit de conditionnement
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0
"
=
Ci
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1. Calc u l s pré l i m i n a i res
fi) Établir l'expression de la tension de mesure V
mes·
= = 100 n.
gJ Le pont est équilibré pour une valeur mo du mesurande pour laquelle on note
Re(mo) Reo
En déduire a priori les valeurs de R1, R2 et R3 à choisir.
il) En déduire l'expression de �Vmes , variation de la tension de mesure par rapport
à l'équilibre, en fonction de Reo,
=
V9, R9 et �Re Re - Reo puis k1
k2 = (2Rco R9)/4Rco(Rco R9), V9, et �Re.
+
+
= l/4(Reo
+ R9),
1 75
7
Linéarisation aval
•
g) Déterminer l'expression de la sensibilité S cond du conditionneur dans le cas
d'une approximation linéaire (fonctionnement en faibles signaux).
fm On considère une variation de la source (dérive ou parasite) qui passe de
Vg
à
présente alors en plus de son expression précédente,
Montrer que /J.
+ /J.
un terme croisé gênant couplant variation du mesurande et variation de la force élec­
tromotrice de la source.
Vg Vg.
Vmes
I l . L i n éari sation par m u lt i p l i cation et som mation
La variation de la tension de mesure du I.3. est le signal d'entrée du montage de linéa­
risation aval de la figure 7 .2. Comme /J.
n'est pas référencé à la masse, ce signal
sert tout d' abord d'entrée différentielle à un amplificateur d'instrumentation de gain
unité. En sortie de ce dernier, on dispose alors du signal /J.
référencé à la masse
et c'est ce dernier qui sert d'entrée au montage 7.2.
Vmes
Vmes
tl V,,,es
L
Va
X2
X1
Y1
X1Y1
Z1
Z1
V
Y2
X2 +Y2
j�
s
rmw
Fig u re 7.2 - Le circuit de linéarisation par multiplication-sommation
fla Donner l'expression de
k2 , Vg, Vo
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u
et IJ.Rc.
Vs
en fonction de
fB En déduire la valeur à donner à
néaire.
Vo
et /J.
Vo Vmes
Vs.
En déduire la sensi­
llD Si on considère de nouveau une variation de la source qm passe de
Vg
+ /J. Vg, que se passe-t-il
?
k1 ,
pour que le conditionnement devienne li­
fla Donner dans ce cas l'expression de la tension de sortie
bilité s cond du conditionneur.
puis en fonction de
Vg
à
I l l. L i n éari sation par d i v i s e u r
On considère maintenant l e circuit de linéarisation de l a figure 7.3, constitué d'un
amplificateur opérationnel supposé idéal et d'un diviseur analogique pondéré.
1 76
Problème 7
vg
R
� V,11es
KR
R
R
e+
+
V
R
y
X
IO
X
y
V.
KR
F i g u re 7.3 - Linéarisation par division
fll1J Déterminer l'expression de V en fonction de � Vmes puis en fonction de k1 , k2 ,
Vg et �Re.
flll Déterminer VN et VD en fonction de K, V et Vg.
fltl En déduire l' expression de Vs en fonction de VN et Vv puis de K, k 1 , k2 , Vg et
�Re .
F41FJ Établir la relation que doivent vérifier K, k 1 et k2 pour que le conditionnement
soit linéaire.
MEi Donner alors l'expression de Vs et en déduire la sensibilité S
tionneur.
cond
du condi­
fl..1 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à
Vg + � Vg, que se passe-t-il
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Corrigé détaillé
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Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à 1' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
1 77
P RO B L È M E :
P r i n c i pe d u
t h e r m oco u p l e
et l o i s é l é m e n ta i re s @
à
Un circuit conducteur composé de deux matériaux différents et soumis un gradient
de température est le siège d'une fem, fonction de la nature des matériaux utilisés
et de leurs températures : c'est l'effet Seebeck. On nomme thermocouple un tel cir­
cuit thermoélectrique. Au travers de la mesure de la fem du thermocouple, on peut
déterminer la température d' une des jonctions des deux matériaux si on connaît la
température de 1' autre jonction.
Les différents types de thermocouples existants permettent de couvrir une étendue
de mesure allant de -250 °C 2500 °C .
Ce problème présente quelques lois élémentaires relatives la thermométrie par
thermocouples.
à
à
Énoncé
à
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c
::J
0
Lorsque la jonction de deux conducteurs A et B de natures différentes est la tempé­
rature T, il s'établit, de part et d' autre de cette jonction, une différence de potentiel
ei/B qui ne dépend que de la nature des deux conducteurs et de la température T
(voir figure 8.1). C'est l'effet Peltier.
�
(V)
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N
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a.
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u
B
r • l•r
Fig u re 8. 1 - fem de Peltier
Entre deux points d'un même conducteur A aux températures T et T', il existe une
force électromotrice
qui ne dépend que de la nature du conducteur et des deux
températures T et T' . C' est 1 'effet Thomson (voir figure 8.2). La force électromotrice
de Thomson est donnée par (8. 1 ) où hA est le coefficient de Thomson du matériau A,
eI;T'
@ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l ' avant-propos de l'ouvrage).
1 78
Problème 8
coefficient qui en réalité est une fonction de la température :
(8. 1 )
A
Fig u re 8.2 - fem de Thomson
ED On considère un circuit fermé constitué de
trois conducteurs A, B et C de natures différentes,
en série, l'ensemble étant à la température (voir
figure 8.3). En utilisant le second principe de la ther­
modynamique, montrer que la différence de poten­
tiel entre les conducteurs A et B est la même en pré­
sence ou en l'absence du conducteur C.
EfJ On considère un circuit fermé (voir figure 8.4)
constitué de deux conducteurs A et B de natures dif­
férentes et dont les deux jonctions sont respective­
ment aux températures T et T'. Ce circuit consti­
tue un thermocouple. Établir l'expression de la force
'
électromotrice E
dite de Seebeck résultant des
effets Peltier et Thomson dans le circuit.
T
I�
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A
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B
F i g u re 8.4 - Thermocouple
El) On considère deux thermocouples constitués par les couples A-B et C-B dont
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F i g u re 8.3 - Circuit isotherme
constitué de conducteurs
différents en série
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les jonctions sont aux températures T et T' et dont les fem de Seebeck sont respecti­
'
'
vement E
et E . En déduire la fem de Seebeck
du thermocouple A-C dont
les jonctions seraient aux températures T et T' et la loi dite des métaux successifs.
I��
EI��'
��
El) Déterminer la fem de Seebeck E
T'
connaissant les fem de Seebeck
u couple aux températures
successives.
EI'�{' �
I��
'
du couple A-B aux températures T et
du couple aux températures et
et
et
ce qui constitue la loi des températures
EI;�'
T" T',
T T",
I��
EH Soit le thermocouple constitué par le couple A-B de fem de Seebeck E
'
On
désire déterminer l'effet de l'introduction d'un nouveau conducteur C dans l'hypo­
thèse où les deux extrémités du conducteur C sont à la même température.
.
1 79
8
•
Principe d u thermocouple et lois élémentaires
Deux cas sont à envisager selon l'endroit où on introduit ce conducteur C. Soit on
coupe le conducteur B et on insère un nouveau conducteur C réalisant ainsi deux
nouvelles jonctions à la température
du conducteur B avec le conducteur C ; soit
on introduit le conducteur C entre le conducteur A et le conducteur B auquel cas les
deux jonctions du conducteur C seront considérées à la température T.
Quel est l' effet de l ' introduction du conducteur C
Les valeurs des fem
de Seebeck sont tabulées en fonction de la température
pour chaque type de couple A-B communément utilisé en prenant comme tempéra­
ture dite de référence = 0 °C (température de soudure froide).
On considère un thermocouple de type K, soit Chromel-Alumel (alliage Ni et Cr alliage Ni et Al) dont la fem de Seebeck E�l�r/NiAI est donnée dans le tableau 8.1 en
fonction de la température en °C .
T"
?
E:)�'
T
T'
T
Ta bleau 8. l
-
f�igr/NiAI en �LV (CEi
584. 1 - 1 995)
T
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100
4096
4 1 38
4 1 79
4220
4262
4303
4344
4385
4427
4468
110
4509
4550
4591
4633
4674
471 5
4756
4797
4838
4879
120
4920
4961
5002
5043
5084
5 1 24
5 1 65
5206
5247
5288
130
5328
5369
541 0
5450
5491
5532
5572
561 3
5653
5694
140
5735
5775
581 5
5856
5896
5937
5977
601 7
6058
6098
ED Le thermocouple est connecté à un microvoltmètre de grande impédance d'en­
trée (voir figure 8.5). Les bornes de ce dernier sont à 0 °C . Il indique une tension
Vmes,o 5 104 µV. Quelle est la température de la soudure de mesure dite tempé­
rature de soudure chaude
=
T
?
+
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Chrome!
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Alumel
0°C
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0°C
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......
""'!
(1)
Fig u re 8.5 - Principe de la mesure
E,6 Les fils des thermocouples sont d'un coût élevé. Ceci s'explique par la pureté
des matériaux utilisés et les technologies de fabrication mises en œuvre de façon à
assurer l'interchangeabilité des thermocouples.
1 80
Problème 8
Lorsque le microvoltmètre doit se trouver à distance de la soudure de mesure (c'est
le cas lorsque la température est très élevée), on remplace les câbles du thermocouple
par des câbles d'extension pour ramener le signal à l'entrée du voltmètre. Ces câbles
de moindre coût, sont notés ici XA pour celui connecté au chrome} et XB pour celui
connecté à l'alumel (voir figure 8.6).
u======i'=• . . . . . . . . . .
Chrome!
T
'
F i g u re 8.6 - Principe de la mesure
avec câbles d'extension
Alumel
Soit Ti, la température à laquelle se trouvent les jonctions entre les câbles d'extension
et le thermocouple de mesure.
Quelle condition doit vérifier le couple XA-XB pour que la présence des câbles d'ex­
=
tension ne modifie pas la mesure à savoir pour que l'on ait
Quel problème se pose alors ? Comment peut-on y remédier ?
Vmes, l Vmes,O ?
0
ED On se place dans le cas de la solution adoptée à la question précédente, c'est-à­
dire avec des câbles d'extension adaptés. Réaliser une tension de référence à °C à
l'entrée du voltmètre est peu aisé et peut s'avérer coûteux. Il est plus simple de laisser
les jonctions au voltmètre à la température ambiante Ta et d'effectuer la correction
nécessaire par rapport à la référence de °C en mesurant la température ambiante
au moyen d'une autre technique (voir figure 8.7).
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Alurnel
·-··
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... ... ... ... ... ...
XA
,r
Ta
..
�
+
.. . , � � . . . . . . .
Fig u re 8. 7 - Principe de la mesure
avec câbles d'extension et sans
référence au 0 °C
'----J XB
1
Les fils d'extension utilisés sont un fil de cuivre pour le fil relié au fil de chromel et
un fil de constantan (alliage de cuivre et de nickel) pour celui relié à ' alumel.
Pour une même valeur de la température de la soudure chaude, calculer la tension
affichée par le microvoltmètre. On donne Ta = 25 °C et
= 992 µV.
Vmes,2
E����uNi
1 81
8
Principe d u thermocouple et lois élémentaires
•
EIJ Calculer 1 'erreur engendrée si on ne tient pas compte de la correction à apporter
sur la mesure.
1:111) On se propose d'éviter ce problème en réalisant le montage de la figure 8.8
où le circuit de compensation de soudure froide se trouve à la température ambiante.
Ce circuit est composé d'un pont formé de résistances fixes R 1 et d'une résistance
thermométrique PtlOOO de résistance :
Rc(T)
Q
=
Ro( l
+
œT)
Ro = l 000 représente la résistance à 0 °C et œ = 3 , 85 . 1 0-3 °C - I le coefficient de
température.
--
.. ...
( T
"
1\
',
(chromel
\/
,,/
==•
T
)
\
l l
A u me
_� XA ,
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-----
""""'·•" ' " ' �-� xB
i
'
-------
----------------------------------------------------
F i g u re 8.8 - Principe de la compensation de soudure froide
-0
0
c
::i
0
E���CuNi ���
E CuNi
En première approximation, la fem
peut être considérée comme proportion­
= AT. Le tableau 8.2 donne
nelle à la température c'est-à-dire que l'on a
la fem du couple cuivre-constantan pour des valeurs de température comprises entre
20 ° C et 30 ° C.
Tableau 8.2 - fem du couple cuivre-constantan
(V)
..-1
0
N
T
T;O
E
Cu/CuNi
@
..__,
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20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
790
830
870
91 1
951
992
1 033
1 074
1 1 14
1 1 55
1 1 96
Calculer le valeur de la constante A et déterminer l'expression de la tension diffé­
rentielle V du pont. On fixe R = Ro. Calculer les valeurs de R 1 et R1 permettant la
compensation de soudure froide.
1:111 Cette compensation étant effectuée, évaluer l'erreur commise sur la mesure de
la température de la soudure chaude si la température ambiante varie entre 20 °C et
30 °C .
1 82
Problème 8
Corrigé détaillé
ED Soit la force électromotrice totale. Si elle différait de 0, il y aurait création d'un
e
courant et donc mise en mouvement des électrons. Or d'après le second principe de
la thermodynamique, un système isotherme ne peut fournir d'énergie mécanique. La
force électromotrice totale est donc nulle. Cette force étant la somme des fem de
.
+
+
par conven=
= Ü smt
Peltter, on a =
+
tion d'écriture
étant mesurée en allant de B vers A, on a de toute évidence
Ü
=
=
. n en deîdmt
. L orsque deux conducteurs sont
+
en contact par l'intermédiaire d'un troisième conducteur et que le tout est isotherme,
tout se passe comme si les deux conducteurs étaient directement en contact.
e T
T
T
e eA/C ec(B eB/A
TeB/A -eTA/B e�/A
eA/T B eTA/C
.
· eTA/C eC/T B -eB/A
T .
eCT/B
EIJ La force électromotrice totale s'écrit simplement :
El) D'après (8.2), on a :
EAT-iTB' = lT (hA - hs )dT + eTA/B - eA/T'B
T'T
EcT·isT' = lT (hc - hs )dT + ecT;8 - eCT'/B
'
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>-
a.
0
u
(8. 3)
En effectuant la différence des deux termes de (8.3) et en utilisant les résultats de la
question 1 , il vient :
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0"
"
.3
ü=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
T - eA/T'B - eC/T B + eCT'/B
EAT-iTB' - EcT-isT' = lT (hA - hs )dT - lT (hc - hs )dT + eA/B
T'T
T'
T B + eBT/C - eT'A/B - eBT'/C
= l (hA - hc )dT + eA/
(8.4)
T'T
T - eT'A/C = EAT·ieT'
= l (hA - hc )dT + eA/C
T'
Cette relation permet de déduire la fem de Seebeck du couple A-C lorsque l'on
connaît les fem de Seebeck des couples A-B et B-C. (8.4) s'écrit encore :
=
+
T;T' EA/C
T;T' EC/T;BT'
EA/B
(8.5)
1 83
8
•
Principe d u thermocouple et lois élémentaires
El) Il suffit de décomposer �; selon :
E '
T
TT'
EAiB = l (hA - hB
T'
T
T
)dT + eA/
B
T"
T'
- eA/B
= l (hA - hs )dT + l (hA - hs )dT + eA/B - eA/B + eA/B - eA/B
= l (hA - hs )dT eA/B - eA/B l (hA - hB )dT + eA/B - eA/B
= EA/;B + EA/B;
T"
T
T
+
T"
1,
T'
T"
1'"
T
T"
T"
T"
+
T'
T'
T"
T'
T"
T'
(8.6)
EH Dans le premier cas (voir figure 8.9), la nouvelle expression de la fem totale est
donnée par (8.7).
T
e=l
T'
hA dT
+
T
T"
T"
T"
T'
eA/B + l hB dT + eB/C + eC/B + l hB dT
T
T"
+
eBT'/A
(8.7)
T
TO' T"
T" T
c
F i g u re 8.9 - Loi des métaux intermédiaires
-0
0
c
::i
0
Dans le deuxième cas (voir figure 8.9), la nouvelle expression de la fem totale est
donnée par (8.8).
T
e=l
(V)
.-1
0
N
T'
@
......,
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
T
T
hA dT eA/
C + eC/B
+
+
T'
l
T
T'
hs dT + eB/A
(8.8)
Dans les deux cas, la fem totale n'est pas modifiée par l'introduction d'un conducteur
supplémentaire pour peu que ses jonctions soient à la même température. Ce résultat
est important puisqu'il montre que la jonction entre les deux conducteurs A et B d'un
thermocouple peut être réalisée selon n'importe quel type de soudure. L' apport d'un
matériau supplémentaire qui pourrait être nécessaire à cette soudure ne modifiera pas
la mesure.
1 84
Problème 8
ED L'entrée sur le microvoltmètre s 'effectue par un conducteur C (généralement du
cuivre) à la température de 0 ° C . La force électromotrice totale s'écrit :
e
=
=
lT hA dT e� + J: hs dT ei1c e�/A
lT(hA - hs )dT eI1s - e� E';ji,
+
+
+
+
=
L'indication donnée par le microvoltmètre correspond donc à la fem de Seebeck du
couple Chromel-Alumel.
D'après le tableau 8. 1 , on a :
124;0
ENiCr/NiAl (5 084
125;0
µV) < Vmes,o(5 1 04 �tV) < ENiCr/NiAl (5 1 24 µV)
La détermination de la température peut se faire en première approximation par in­
terpolation linéaire selon :
T=
124 +
124;0
EN1 2iC5;r0/NiAI - ENi1 24C;r0/NiAI
Vmes,O - ENiCr/NiAI
= 124 +
5 104 - 5084
= 1 24 ' 5 oc
5 1 24 - 5084
E6 Dans la configuration de la figure 8.6, la tension mesurée s'écrit :
Vmes,l = e�/XA
""'"
....... '·C"'""
"'""
""'
0
N
�
=
@
..c
O'l
·;::::
>-
a.
0
u
0
=
0
.3
ü=
2o..
2
�
"
=
�
-0
0
=
Ci
@
(Jo Ti hxA dT + e�A/A J(rT hA dT
+
0
T
hs dT + eBT·fXB
T
O
�
+
er(B
lTi T
lT ;
T - eTl.;·
;
=
(hA - hs )dT eA/B
(hxA - hxs )dT e.J.T.·A/XB - e0XA/XB
s
lT;
l0
= Er��i E�t;XB = E:j� + E�� E�it;XB = E:j� E�l�xB - Er/�
T;; - EA/BhO
EXA/XB
+
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
+
+
0
hxs dT + eXB/C
+
+
+
+
+
= Vmes,0 +
+
O
T;;O = E T, ;O .
Pour que Vmes,l = Vmes,O 1· 1 suffit que EXA/XB
A/B
La température Ti peut varier pour diverses raisons, en particulier suite à une varia­
tion de la température ambiante. 11 est impossible de réaliser strictement la condition
E�t;xB = E�}� pour des matériaux différents et des températures différentes. Pour
pallier le problème, il suffit de fixer Ti à une température T ef au-dessus de la tempé­
rature ambiante au moyen d'un thermostat. Le couple d'extension XA-XB est alors
r
1 85
8
•
Principe d u thermocouple et lois élémentaires
totalement déterminé par la donnée du couple de mesure A-B et la température de
re1�erence ref et on a
·
Pratiquement, pour un fonctionnement correct des câbles d'extension, on peut
se contenter que la température
reste dans une plage limitée, généralement
[0 ° C ; 1 OO ° C ] .
/
Tref;O - EA/B
Tref;O
EXA/XB
T
/
_
Ti
ED La nouvelle tension de mesure s'écrit :
Tref
Ta + eC/XA
T,, + lTref hxA dT + eXA/A
+ lTrTaef hxB dT + eXB/C
T,,
Tref;O EXTaA/XB
Tref;O + EXA/XB
Tref;T,, = EA/T;OB EA/B
T;BTref + EXA/XB
;O
= EA/
Comme les câbles d'extension sont adaptés, on a
ii:[;�
T,, ;O - Vmes,0 - EXA/XB
T,,;O
- - EXA/XB
Vm s, 2
6
T;O
Vmes,2 - EA/B
-
(8.9)
_
_
=5
=
E��;o . (8.9) devient :
1 24 - 992 = 4 1 32
µV
EmJ Si on ne tient pas compte de la correction à apporter sur la mesure, la tempéra­
ture qui sera déduite de la valeur
est donnée par le tableau 8.1 en procédant de
la même façon qu' à la question avec :
e
"'O
0
c
::J
0
(V)
....
0
N
E���;�iAI (4 096 �tV) < Vmes,2(4 132 µV) < E���;�iAI (4 1 38 µV)
Vmes,2 - ENilOO;CrO/NiAI
132 - 4 096 = 100 9 oC
T = l OO + ENi10C1;r0/NiAl - ENi100;Cr0/NiAl = 100 + 44 138
'
- 4 096
Ceci correspond à une erreur importante de 23,6 °C .
1:1111 La meilleure approximation de la constante A est donnée simplement par :
A =
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
l:TaTa==3200 :cC ETCu;O/CuN1.
= 39 1 694 µV/°C
C
l:Ta=
0
3
Ta=20 °C T
0
La tension différentielle du pont se calcule aisément et on a :
V=
=
1 86
( R+Re
) ) Vg
R + Re - R2 ) Vg = (R+Re
R1 (R++RRe)(R-R+R
2
1 1
+ R R +R
2
1 2 1
)
Ro + œRoT
-R
R1 (R +Re)(R- R+2)R ) (R +RRo1 (R++œRoT
2
+ R1 )(R2 + R 1 )
(R +Re + R1 2 1
�=
(8. 10)
�
Problème 8
V = E� ��uNi
Pour effectuer la compensation de soudure froide, on doit avoir
� AT.
�
Ceci impose que l'on choisisse R2 R + R0. Au premier ordre en T, il vient alors :
=
(8 . 11 )
Avec R = Ro = 1 000 !1, on a R2 = 2000 !1. R 1 est déterminée en résolvant :
La seule solution physiquement acceptable est R 1
=
480,9
kn.
1:111 Les résultats précédents permettent de calculer la tension donnée par (8. 1 0)
données dans le tableau 8.2. L'erreur de
et de comparer ces valeurs aux fem T�i·O
compensation ôV =
E����uNi
V
Ec cuNi
- V est reportée sur la courbe de la figure 8 . 1 0 :
ô V (µV)
5 >--���
0
T (OC)
-5 '--�-'-�-'--�-'-�---'-��'--�--'-�--'-�-'--'-��..___
20
25
30
Fig u re 8.1 0 - Erreur de compensation en fonction de la température
"'O
0
c
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0
(V)
.-t
0
N
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.......
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O'l
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0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
="'
"
0"
max =
Vmes,3 = I/�
= NiCr/NiAc5lV-maxNiCr/NiAl =
Cette erreur est au maximum ôV
±5 µV.
La tension mesurée sera donc
E
± 5 �tV. En utilisant la même méthode
que précédemment l'erreur commise sur la mesure de la température T 1 24,5 °C
est :
±5
ôT
±0, 1 3 oc
o
5 1 24 - 5084
E t24;ü
E 12s;
=
=
Ce résultat est satisfaisant compte tenu des autres sources d'erreurs possibles.
"
.3
ü=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
1 87
8
•
Principe d u thermocouple et lois élémentaires
Bien que forte ment concurrencée par la thermométrie par sonde à rés i stance mé­
tallique dans une gamme de tem pératures plus restreinte (- 1 50 °C à 800 °C), la
thermométrie par thermocouple reste l ' a panage des basses et hautes tempéra­
tures.
La thermométrie par the rmoco u p l e , même s i e l l e n ' a pas connu de bouleve rse­
ment récent, progresse encore g râce à l ' é l ectron ique associée q u i gagne en stabi­
l ité et en préci s i o n . De nombreuses variantes de présentation des thermocou ples
et de l e u r é l ectro n i q u e de conditionne ment en fac i l itent l ' u t i l isation.
Les progrès réal isés en technolog ie m i cro-capteurs font que l ' o n maîtrise au­
jourd ' h u i la réali sation de m icro-thermocou ples que l'on associe en série pour
plus de sens i b i l ité. Les jonctions de mesure pe uvent être l i ées thermiq uement à
u n absorbeur d u rayonnement infrarouge et les jonctions froides général ement
au boît i e r d u capteur. On convertit alors u n rayonnement i nfrarouge en tension
électrique, réalisant ainsi u ne photo p i l e .
Conducteurs
Magnésie compactée
(isolation électrique et maintien des conducteurs)
Conducteurs
Gaine métallique rigide ou semi-rigide
(acier inox . . . )
Jonction de mesure
(soudure à l'arc des conducteurs)
Fig u re 8.1 1
-0
0
c
::i
0
(V)
0
N
.....
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
1 88
-
Raccord fi Jeté
Thermocouple chemisé à isolation minérale
P RO B L È M E :
Thermo métrie par
ré s i sta n ce L i n é a r i s at i o n
à
Le rôle d'un capteur est de fournir un signal électrique (signal de mesure) l'image
de la grandeur physique mesurer (mesurande). Une des grandes problématiques de
cette conversion est la linéarité. Les non-linéarités peuvent provenir du capteur lui­
même ou de son électronique de conditionnement. Quand la linéarisation (tentative
de corriger les non-linéarités) est une des dernières étapes du processus d'élaboration
du signal de mesure, on parle de « linéarisation aval ». 11 est évident que 1' on a tout
intérêt à agir avant que le mal ne soit fait et concevoir autour du capteur, un montage
qui donne directement un signal de mesure le plus linéaire possible. On parle alors
de « linéarisation amont ».
Ce problème présente une méthode classique de linéarisation des mesures de tem­
pérature par capteurs résistifs : la linéarisation parallèle. Par nature, les résistances
métalliques et plus encore les thermistances sont assez fortement non linéaires. La
méthode consiste à placer, en parallèle sur le capteur dont on veut améliorer la li­
néarité (résistance métalliques ou thermistance), une résistance fixe Rp. La valeur
de cette dernière est déterminée par calcul en fonction de la température autour de
laquelle on désire que la linéarité soit améliorée. Dans ce problème, les deux cas,
résistance métallique et thermistance, sont traités, une méthode simplifiée du calcul
de la résistance Rp est abordée, et enfin, la possibilité d'une linéarisation par une
résistance Rs en série est envisagée.
à
à
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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O'l
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Énoncé
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'"
·C0
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0"
"
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2
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=
�
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0
"
=
Ci
@
1. Cas g é n é ral
à
On considère un capteur de température résistif de résistance R(T) la température T
(en Kelvin). Ce capteur est alimenté par un courant I et on recueille la tension V à ses
bornes. La caractéristique de ce capteur est fortement non linéaire. Pour linéariser, on
place une résistance fixe Rp en parallèle sur R(T). La linéarisation au voisinage d'une
température To correspond mathématiquement l'existence d'un point d'inflexion de
la caractéristique de la résistance Rd(T) du dipôle réalisé pour la température To .
à
1 89
9
Thermométrie par résistance - Linéarisation
•
1
1
Linéarisation
R(T)
V
V
Fig u re 9. 1 - Principe de la linéarisation parallèle
Dl Donner l'expression de Rd(T) et la condition de linéarisation pour la tempéra­
ture To. En déduire l'expression de la résistance Rp permettant cette linéarisation.
ri!) Soit œ(T) le coefficient thermique du capteur :
1_dR(T) 1
œ(T) _
R(T) dT
Calculer le coefficient thermique ŒJ(T) du dipôle linéarisé en fonction de œ(T), R(T)
et Rp.
=
T
I l . Rési stance méta l l i q u e
Dans le cas des résistances métalliques, on a avec une bonne approximation
R(t) = R0( 1 + At + Bt2) où t est la température en °C et Ro la résistance à 0 °C.
On considère une résistance de nickel de 1OO n à 0 °C pour laquelle A = 5 ,5 . 1 0-3/ °C
et B = 6,7. 10-6/ °C2 .
On se limite à une étendue de mesure E.M. = [O ; 200] en degré Celsius.
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
D) Déterminer les valeurs de R(t) sur l'étendue de mesure. On prendra un pas de
20 °C. Effectuer une régression linéaire sur les valeurs de R(t) et en déduire l' ap­
proximation linéaire de R(t) donnée par Rlin(t) = at + b. Calculer les valeurs corres­
pondantes Rlin(t).
aJ En déduire l'écart de linéarité écart maximum sur l'étendue de mesure E.M.
e,
entre Rlin(t) et R(t), puis l'erreur de linéarité
cursion de R(t).
err,
écart de linéarité normalisé à l'ex­
� On linéarise selon la méthode développée au I. Calculer la valeur de Rp pour
qu'il y ait linéarisation autour de to = 1 00 C .
o
Da Déterminer, sur 1 'étendue de mesure, les valeurs de Rd(t). Effectuer une ré­
gression linéaire pour obtenir l' approximation linéaire
Déterminer les valeurs de Rdlin(t).
1 90
RdlinU)
=
a' t + b' de RJ(t).
Problème 9
œ En déduire l'erreur de linéarité
obtenue sans la linéarisation.
'
err
sur Rd(t) et comparer ce résultat à l'erreur
Oi) On considère maintenant une résistance de platine pour laquelle on a
A'
=
=
3,9. 10-3 / °C et B'
-5,8. 10-7/ °C2 . Conclure quant à la linéarisation par
résistance parallèle dans ce cas.
I l l . The r m i stance céram i q u e
On considère maintenant une thermistance céramique pour laquelle on a le compor­
tement caractéristique suivant :
R(T)
=
Rréf exp B
[ 2_ - ]
T
1
Tréf
-
où B est une constante positive, T la température absolue et Tréf une température de
référence. On rappelle qu'à la température de t = 0 °C correspond la température
absolue T 273, 1 5 K.
=
� À partir du résultat du I. l , déterminer en fonction de B, To et R(To) l'expression
de la résistance Rp nécessaire pour linéariser autour d'une température
T0.
Qllel B étant compris entre 3 000 et 5 000 K pour les thermistances céramiques,
conclure quant à la linéarisation par résistance shunt des thermistances céramiques.
IV. S i m p l ificat ion d u cal c u l de la ré s i stance para l l è l e
"'O
0
c
:J
0
(V)
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0"
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2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
Le calcul de la résistance Rp nécessite de connaître l 'expression mathématique de
l'évolution avec la température de la résistance présentée par le capteur de tempéra­
ture et surtout les valeurs numériques des coefficients apparaissant dans cette expres­
s10n.
L'utilisateur ne dispose pas toujours de ces données ou tout du moins, pas toujours
de façon précise.
Il est possible de simplifier la méthode de calcul de la résistance parallèle tout en
n'effectuant qu'un nombre limité de mesures de la caractéristique du capteur.
Une méthode consiste à n' effectuer que trois mesures. Celles-ci sont la température
To, température autour de laquelle on veut linéariser la caractéristique du capteur et
les températures Ti et T2, températures extrêmes de la plage de mesure sur laquelle
on linéarise, c'est-à-dire l'étendue de mesure (To étant évidemment le milieu de la
plage de température définie par T1 et T2 ). À ces températures, le dipôle constitué
par la résistance Rp placée en parallèle sur le capteur présente respectivement les
résistances Rd(To), Rd(Ti ) et Rd(T2).
1 91
9
Thermométrie par résistance - Linéarisation
•
Rp ,
Pour effectuer de façon simplifiée le calcul de
on considère que l'impédance
du dipôle varie parfaitement linéairement avec la température. Ceci n'est pas une
condition nécessaire, il suffit somme toute de considérer qu'après linéarisation, à la
température
le dipôle présente une résistance égale à la moyenne des résistances
qu'il présente aux températures extrêmes et
T0,
Plll Quelle relation entre
T1 T2 .
Rd(To), [TRd(T1 ; T1 ) ] Rd(T2) To?
2
Rp.
et
s'impose en affirmant que la
centrée sur
linéarisation est parfaite sur la plage
Plt.j En déduire l'expression de la résistance
Pour application, on comparera la
valeur numérique trouver selon cette méthode à celle trouvée au II.3.
V. Li néari sation sé rie
PllJ On revient à la résistance de platine du II.6. Expliquer pourquoi il est possible
de linéariser cette résistance en lui associant une résistance de nickel en série.
Plll Calculer la résistance
R�
à 0 °C de la résistance de platine que l'on peut par­
faitement linéariser, par association série, avec la résistance de nickel donnée au 9.3.
Corrigé détaillé
1. Cas g é n é ral
Rd(T)
= RpR(T)/(Rp R(T)).
Rd(T)
Dl Les deux résistances étant en parallèle, on a
"'O
0
c
::J
0
(V)
....
To,
2
2
T0, Rd(T)/dT l ro =
linéariser autour de
il faut que la courbe
O.
soit d
Le calcul donne immédiatement :
Pour
présente un point d'inflexion en
t
Rp = (d��)
2R(T) To -R(To)
T2 To
0
N
2
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
+
(9. 1 )
d
� Le calcul du coefficient thermique du dipôle réalisé par 1 ' association des deux
résistances donne :
œd(T) = Rd(1T) dRd(T) 1 T = œ(T) Rp RpR(T)
dT
+
(9.2)
La linéarisation a malheureusement comme autre effet de diminuer la sensibilité.
1 92
Problème 9
I l . Ré s i stance méta l l i q u e
.1
aJ Sur l 'étendue de mesure E.M. = [O ; 200], le calcul des valeurs de R(t) est im­
médiat (voir tableau 9 ). Sur ces valeurs une régression linéaire au sens des moindres
carrés donne une approximation Rlin(t) = at + b avec a = 0,68 f!/°C et b = 95,98 n.
À partir de ces résultats, les valeurs de l ' approximation linéaire Rün(t) de R(t) peuvent
être calculées (voir tableau 9.1)
Tableau 9. 1 - Valeurs d e R(t) et de Run(t) sur l'étendue d e mesure E.M.
t(°C)
R(t) (!!)
Run(t) (!!)
t(°C)
R(t) (!!)
Rlin( t)
(!!)
0
20
40
60
80
1 00
1 00,00
1 1 1 ,27
1 23,07
1 35,41
1 48,29
1 6 1 ,70
95,98
1 09,66
1 23,34
1 37,02
1 50,70
1 64,38
1 20
140
1 60
1 80
200
1 75,65
1 90, 1 3
205, 1 5
220,71
236,80
1 78,06
1 9 1 ,74
205,42
2 1 9, 1 0
232,78
eJ Les résultats précédents permettent de calculer l'écart à la linéarité, par défi­
nition le plus grand écart, sur l'étendue de mesure, entre la caractéristique réelle du
capteur et l 'approximation linéaire. Ici, le maximum de l'écart se situe pour t = 0 °C
et t = 200 °C et cet écart de linéarité vaut s = 4,02 n.
L'erreur de linéarité d'un capteur étant par définition l'écart de linéarité normalisé à
l'excursion des valeurs prises par la grandeur de sortie du capteur sur l'étendue de
mesure, on obtient immédiatement err = s/(Rmax - Rmin) = 2,94 %.
� Selon (9.1 ), le calcul de la résistance Rp pour linéariser autour de t0 = 100 °C
donne :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
2
Ro(A
2Bto)
Rp =
- R(to) = 536,59 n 537 n
B
+
(9.3)
�
Da On peut alors calculer les valeurs de résistance prises par le dipôle Rd en fonc­
..:
�
"O
c::::l
'-'
'-'
�
�0
:;
"'
tion de la température t (voir tableau 9.2). Une régression linéaire sur cet ensemble
de valeurs permet d'obtenir l'approximation linéaire Rdün(t) = a ' t + b' de Rd(t). Le
calcul donne a ' = 0,40 f!/°C et b' = 84, n ce qui permet de déterminer les valeurs
de Rdün(t) (voir tableau 9.2).
15
Tableau 9.2- Valeurs de Rd(t) et de Rdtïn<t> sur l'étendue de mesure E.M.
c:
0c:
c:
t(OC)
"O:::l
12o.
Rd(t)
.S:
ü
2
B
:::l
rS
-00
c::::l
a
@
(!!)
Rdlin (t) (!!)
t(°C)
Rd(t) ( !!)
Rdlin (t) (!!)
0
20
40
60
80
1 00
84,29
92, 1 6
1 OO, 1 1
1 08, 1 3
1 1 6, 1 8
1 24,26
84, 1 5
92, 1 8
1 0,20
1 08,22
1 1 6,24
1 24,27
1 20
140
1 60
1 80
200
1 32,33
1 40,39
148,41
1 56,38
1 64,30
1 32,29
140,31
1 48,33
1 56,36
1 64,38
1 93
9
•
Thermométrie par résistance - Linéarisation
n
œ Ces résultats permettent de déterminer, comme à la question II.2, l'écart à
la linéarité ê' = 0, 14 (pour t = 0 °C) ce qui entraîne une erreur de linéarité
err' = 0,17 %.
La linéarisation a permis de fortement diminuer la non-linéarité (d'un facteur 17).
En revanche, cette même linéarisation a dégradé la sensibilité de la mesure puisque
celle-ci passe de Sc = a = 0,68 .O/°C pour la résistance thermométrique seule à
S cd = a' = 0,40 D./°C pour le dipôle. Les courbes des figures 9.2 et 9.3 illustrent la
situation.
Fig u re 9.2 - Évolution de R et Rd avec la température
s
n
ê(R, t)
"'O
0
c
::J
0
(V)
1
0
0
N
......
· -..
@
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
-3
0
f(OC)
200
F i g u re 9.3 - Évolution de l'écart de linéarité de R et Rd avec la température
� Pour une résistance de platine B' < 0 entraîne d' après (9.3) que la résistance
Rp est négative. La linéarisation est donc impossible.
1 94
Problème 9
I l l . The r m i stance céam i q u e
� Le calcul selon (9.1) donne pour l'expression de la résistance parallèle :
Rp R(To) BB - 2To
+ 2To
=
Plie] B étant compris entre 3 000 et 5 000 K, Rp reste positif pour T
<
1 500 K.
La linéarisation parallèle des thermistances céramiques est donc possible pour ces
températures.
IV. S i m p l ificat ion du cal c u l de la ré s i stance para l l é l e
Qlll Comme la relation entre la température et la résistance présentée par le dipôle
résultant de l'association parallèle de R(T) et de la résistance RP peut être considérée
comme parfaitement linéaire, on a alors Rd(To) = (Rd(T1) + Rd(T2))/2.
Qlt.j Le développement du résultat précédent conduit assez simplement à l' expres­
sion de la résistance Rp en fonction des valeurs prises par R(T).
+ R(To)R(T2 ) - 2R(T1)R(T2)
(9.4)
------Rp = R(To)R(T1)
R(T1) + R(T2 ) - 2R(To)
Avec t1 = 0 °C, to = 100 °C et t2 = 200 °C, (9.4) appliquée à la résistance de nickel
du II donne :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Le calcul exact donnait 537 n. La différence est très acceptable car tous calculs faits,
la linéarisation avec cette valeur de résistance parallèle n'entraîne pas de variation si­
gnificative de 1 'erreur de linéarité ou de la sensibilité par rapport à ce que 1' on obtient
par le calcul exact.
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
="'
"
0"
"
.3
ü
2o..
=
""'
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
V. Li néari sation sé rie
PllJ La question II.6 a montré que l'on ne pouvait pas linéariser une résistance de
platine par la méthode de la résistance parallèle. On peut cependant améliorer la li­
néarité en associant à la résistance de platine, une résistance thermométrique dont la
non-linéarité est opposée comme une résistance de nickel.
PIGI On a pour la résistance de nickel R(t) = Ro(l + At + Bt2) avec Ro = 1 00 n,
A = 5,5.1 0-3/ °C et B = 6,7.1 0-6/ °C2 . De même, pour la résistance de platine on a
R' (t) = R�( l + A' t + B' t2 ) avec A' = 3 , 9. 10 3/ °C et B' = -5,8. 10-7/ °C2 .
-
1 95
9
•
Thermométrie par résistance - Linéarisation
L'association série des deux résistances constitue une résistance thermométrique mé­
tallique dont la résistance varie selon :
(
, )
,
ARo + A 'R' BRo + B'R'
R(t) + R' (t) = (Ro + R�) 1 + R0 + R o t + Ro + R o t2
0
0
Pour que l'association série soit linéaire, il suffit que le coefficient en t2 soit nul,
soit R� = -RoB/B' 1 155.Q. La résistance ainsi constituée aura une caractéristique
décrite par R"(t) = R�( l + A"t) avec R� = 1 255, 1 7 Q et A" = 4,0. 10-3 / °C.
La valeur trouvée, R� = 1 155 Q, n'est pas une valeur normalisée pour une résistance
métallique. La valeur normalisée qui s'en approche le plus est R� = 1 000 n.
Si on considère une Ptl OOO, on a donc R' (t) = R�(l + A ' t + B' t2 ) avec R� = 1 000 Q,
A ' = 3,9. 10-3/ °C et B' = -5,8. 10-7/ °C2 . Sur l'étendue de mesure E.M. = [O ; 200]
l'approximation linéaire de cette résistance est R;in (t) = a' t + b' avec a' = 3,78 Qj°C
et b' = 1 003,48 n. Ceci entraîne une erreur de linéarité de 0,3 %.
Associée en série avec une Ni 100 pour laquelle on a R(t) = Ro( l + At + Bt2 ) avec
Ro = 100 Q, A = 5,5. 10-3/ °C et B = 6,7. 10-6/ °C2 , on obtient une résistance
thermométrique de caractéristique R"(t) = R�(l + A"t + B"t2 ) avec R� = 1 100 n,
A" = 4, 1 . 10-3/ °C et B" = 8,2. 10-8/ °C2 . L'approximation linéaire sur l'étendue
de mesure de cette caractéristique donne R;;n (t) = a" t + b" avec a" = 4,47 Qj°C et
b" = 1 099,46 n. Ceci entraîne une erreur de linéarité de 0,06 %. On a donc bien,
comme le montre la courbe de la figure 9.4, une amélioration de la linéarité et une
légère augmentation de la sensibilité qui passe de 3,78 Qj°C à 4,47 Qj°C.
�
2000 �0������
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0
c
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0
(V)
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a.
0
u
1000
0
t (°C)
t (°C)
200
Fig u re 9.4 - Évolution de R'(t) = Ptl 000 et R"(t) = Ptl 000 + N i l OO avec la température
Cependant, cette amélioration se fait au détriment de l'intérêt majeur de l'utilisation
du platine, à savoir fidélité et stabilité.
1 96
Problème 9
Les résistances the rmométriques sont les capteurs de tempé rature les p l u s ré­
pandus tant dans le domaine i nd ustriel que dans l ' é l ectronique grand public.
Leurs domaines d'appl ications couvrent une gamme de température s' étendant
de -200 à +800 °C. En dehors de cette gamme, i l devient nécessaire d ' u t i l i s e r
d' autres techniques c o m m e la thermométrie par thermocouple.
Les rési stances métal liques peuvent se présenter sous forme de composants
s i m p l e s (constitués de l'e nroulement d ' u n fil métal lique dans une enveloppe e n
verre ou en céram i q u e) , de composants à dé pôt en couche ( l e métal est dé posé
en couche mi nce sur un subst rat de céramiq ue) ou sous forme de sondes de tem­
pérature constituées d ' u n composant s i m ple i n s é ré dans une gaine de protection
en laiton, i nox ou autre a l l i age et d ' u n e connectique standard isée.
C'est le type de mesure à effectue r et les cond itions d ' ut i l isation qui fixent le
type de sonde à uti l i s e r . Selon que l ' o n désire mesurer la température de l ' a i r
dans une pièce à des fi n s domotiques ou q ue l o n cherche à mesurer la tempé­
rature d ' u n l i q u i d e corro s i f chaud, il est bien évident que le choix se portera s u r
d e s types d e sondes d i fférents.
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0
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§.
2
B
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�
-00
c::::l
0
@
F i g u re 9.5 - Sondes Ptl OO - a) Sonde avec tête de raccordement
- b) Sonde de température ambiante - c) Sonde de contact à fixation par aimant
- d) Sonde de contact souple à coller - e) Sonde de contact à fixation par œillet
- f) Sonde de pénétration à visser (documentation Prosensor)
1 97
10
P RO B L È M E :
Systè m e d e p e s é e à
j a u g e s d 'exte n s o m ét r i e
Les jauges d' extensométrie piézorésistives sont les transducteurs les plus utilisés dans
les systèmes électroniques de pesée. Dans ces derniers, quelle que soit la géométrie
utilisée, le principe de la mesure est le même. Sous 1 'action du poids de la masse
à déterminer, un corps d' épreuve se déforme. Cette déformation est transmise à des
jauges d'extensométrie piézorésistives, mécaniquement solidaire du corps d'épreuve
car collées sur celui-ci, et dont les résistances varient en fonction de la déformation.
Les jauges font partie d'un circuit électronique de conditionnement qui délivre un
signal électrique fonction de la résistance de la jauge. En première approximation,
les étapes suivantes de la conversion sont linéaires : poids�déformation du corps
d'épreuve, déformation du corps d' épreuve�déformation de la jauge, déformation
de la jauge�variation de sa résistance, variation de la résistance�signal électrique.
Au total, on obtient donc un signal électrique proportionnel à la valeur de la masse.
À partir de ce principe de base, des variantes permettent d'améliorer la linéarité de
la mesure ou de corriger la sensibilité de la mesure à la température, point faible des
mesures utilisant des jauges d' extensométrie piézorésistives.
Énoncé
"'O
0
c
::J
0
(V)
On réalise un système de pesée rapide, où en production, un opérateur vient accrocher
son produit au système de pesée constitué d'une poutre encastrée en acier, équipée
de jauges d'extensométrie et schématisée figure 1 0. 1 .
0
N
......
L
@
.......
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Ol
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>
a.
0
u
e
t
/
X
y
Fig u re 1 0. 1 - Système de pesée
1 98
Problème 1 0
Le crochet, fixé sur la poutre et destiné à recevoir les produits dont on désire effectuer
la pesée, est situé à la distance de 1' encastrement.
Les caractéristiques de la poutre et de l'acier sont données dans le tableau 10. 1 .
L
Tableau l 0. 1 - Caractéristiques de la poutre
L
Longueur utile
=
a =
Largeur
Eo
Module d'Young
Contrainte limite d'élasticité
CT1
25 cm
3 cm
=
=
2 . 1 0 1 1 N.m-2
1 , 2 . 1 09 N . m-2
On négligera 1' effet du propre poids de la poutre et de celui du crochet.
�
En résistance des matériaux, on montre que sous l'action du poids de la masse m
suspendue au crochet, la contrainte longitudinale à la surface de la poutre (dans la
direction de sa longueur est donnée à la distance x du point d'attache du crochet
par cr =
selon que l'on se trouve sur la face supérieure ou inférieure de la
poutre.
représente le moment de flexion en x et I le moment quadratique de la
section droite en x (perpendiculaire à la direction x) par rapport à son axe médian
paraIIèle à la direction de la largeur (direction y).
P
±eM1/21
M1
L)
a
1. P r i n c i pe de la mes u re
llell Montrer que la contrainte en
x
cr x) = ±6xP/ae2
e
2.
à la surface de la poutre s'écrit :
(
llefA On souhaite peser des masses aIIant jusqu'à une valeur maximale
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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O'l
·;::::
>a.
0
u
mrnax =
100 kg. Déterminer l'épaisseur minimale à donner à la poutre en se ré­
servant un coefficient de sécurité de On donne g = 9,81 N/kg.
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
="'
"
0"
"
.3
ü=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
llell Pour la valeur de e trouvée précédemment, donner 1 'expression des défor­
mations longitudinales s11,+(x) et s11,_(x) sur les faces supérieure et inférieure de la
poutre en fonction de cr1,
m, mmax • x et
En calculer la valeur pour x =
et mrnax .
Eo,
L/2
llell
x
= L/2,
R
R
),
3
1
R4).
L.
On colle quatre jauges piézorésistives identiques selon la direction
longitudinale à la cote
deux sur la face supérieure (elles constituent les
résistances
et
deux sur la face inférieure (elles constituent les résistances
et
Ces quatre jauges sont montées en mode push-pull dans un pont de Wheatstone ali­
menté par une source de tension continue
= 5 V et d'impédance interne nulle.
R2
Vg
1 99
10
•
Système de pesée à jauges d'extensométrie
Placer ces résistances R 1 , R2, R 3 et R4 sur le schéma du pont et donner leur expression
en fonction de la déformation sachant qu'au repos elles sont de résistance R0 et que
leur coefficient de jauge est Ko. On posera c;;, +(L/2,m) = co et on supposera que le
collage des jauges est parfait et que l'on peut totalement négliger l' effet d'épaisseur
des jauges.
1
'
V9. Vmes
IC.Jj Donner expression de la tension de mesure différentielle
Ko, co et
Calculer
pour m = mmax· On donne Ko
= 2.
Vmes
en fonction de
lleld Calculer la sensibilité S 0 de la mesure.
I l . Dé rive therm i q u e
llefi On s'intéresse maintenant à l'effet de la température en tant que grandeur
d' influence. On considère une variation !1T par rapport à la température To, dite tem­
pérature de référence, pour laquelle ont été effectués les calculs précédents.
L'effet de la température sur une jauge se traduit par une évolution de son facteur
de jauge selon K = Ko(l + œK!iT). De même, la température modifie le module
d'Young du matériau de la poutre selon E = Eo(l + œE!iT) et on note A le coefficient
de dilatation linéique de ce matériau.
Donner la nouvelle expression de la sensibilité S .
lle!:I En donner l' approximation au premier ordre en !1T et la mettre sous la
+
S = So(l œs !iT). Calculer la valeur de as
œE = -2,6. 1 0-4 /°C et A = 10-5 /°C.
forme
sachant que
ŒK = 10-4 /°C,
llelJ La température évolue autour de la valeur de référence de !1T = ±25 °C.
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0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Quelle est l'erreur sur la valeur de la force mesurée résultant de la variation de la
température ?
llellt) On compense la dérive thermique de la sensibilité au moyen d'une résistance
métallique Rn(T) placée en série avec l'alimentation du pont.
Donner l 'expression de la tension de mesure en fonction de K, R, Rn(T) et c où R est
la nouvelle valeur de la résistance des jauges au repos et c la nouvelle déformation.
llelll En considérant l 'expression de co, donner l'expression de c au premier ordre
en !1T et la mettre sous la forme c = co(l
+
œ6!1T).
llelt.j La résistance au repos des jauges varie au premier ordre en :
R = Ro( l
200
+
œR!iT)
Problème 1 0
Ro
ŒR Rn(T) RnoO Œn�T) Œn
�T.
Rno
.
Rn(T)
= 1 000 .Q et
= 10-4 /°C La résistance de compensation
avec
est une
= 6. 10-3 /°C.
résistance de nickel telle que
=
+
avec
Calculer l'expression de Vmes au premier ordre en
.
llelit En déduire la valeur à donner à
Vmes·
pour supprimer la dérive thermique de
llelGI Donner la nouvelle expression de la sensibilité S L'écrire en fonction de la
'
sensibilité S O ·
I l l. Défaut de réa l i sation
llel..1 Lors du collage des jauges, une erreur de ôL est faite sur la position de la
R
jauge de résistance 1 , celle-ci se trouvant collée 1 mm trop près du crochet. Évaluer,
à la température de référence, 1'erreur relative entraînée sur la mesure.
llelld Montrer que l'on peut résoudre le problème précédent en adoptant une
poutre de forme triangulaire, la déformation est alors identique sur toute la longueur.
Corrigé détaillé
1. P r i n c i pe de la mes u re
llell À la surface de la poutre, on a z
"'O
0
c
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0
(V)
.-t
0
N
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.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
=
±e/2 selon que l'on se trouve sur la face
supérieure ou sur la face inférieure. Le moment quadratique I est par définition :
+a/2 -e/2
ae3
I=
z2dydz = 12
a/2 -e/2
Le moment de flexion en x est simplement donné par la somme du moment d'encas­
trement PL et du moment de la force de réaction sur le bâti calculé à la côte x, soit
P(x L). Il vient donc M1(x) = Px pour x ::; L.
On en déduit la contrainte a- la surface de la poutre
l l
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
="'
"
0"
"
.3
ü=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
-
à
a-(x) = ±eM1/21 = ±6xP/ae2
llef.j La contrainte calculée précédemment ne doit pas dépasser, compte tenu du
facteur de sécurité de 2, a-max
soit en x = L. Il vient donc :
= a-1/2. Cette contrainte est maximale à l'encastrement
emin =
l 2Lmmaxg
----
aa-1
= 9 mm
(10. 1)
201
10
•
Système de pesée à jauges d'extensométrie
llell Les déformations longitudinales sont données à la cote x par la loi de Hooke :
6xmg 1 xma-1
<T+
<T
1 xma-1
et t:;; - (x) = - = - - ·
(10.2)
t:;; + (x) - - - 2 - - ·
2 LmmaxEo
Eo
'
Eo ae Eo 2 LmmaxEo
'
Pour x = L/2 et m = mmax, il vient :
= 1 ,5 . 10-3 et t:;;, - (L/2, mmax) = t:;;,+(L/2,mmax) =
= - 1 ,5. 10-3
4 0
4 0
_
_
_
_
�
�
llell Pour avoir un signal évoluant avec la contrainte appliquée, les jauges doivent
être montées en pont (voir figure 10.2).
R2
�
V,nes
R3
4
R,
Fig u re 1 0.2 - Montage de conditionnement
Le collage parfait d' une jauge lui permet de suivre les déformations de la poutre. La
variation relative de la longueur l de la jauge est donc donnée selon le cas par :
b.l/l = t:;;,±(L/2,m) = ±t:o
Comme les quatre jauges sont de coefficient de jauge Ko et de résistance au repos Ro,
sous contrainte on a :
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
Ri = Ro(l + Kot:o) R3 = Ro( l + Kot:o)
R1 Ro(l - Kot:o) R4 Ro(l - Kot:o)
=
lleJi La tension de mesure différentielle
par :
=
Vmes
( 1 0.3)
est donnée d'après (1 0.2) et (10.3)
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
La mesure varie linéairement avec la déformation, donc avec la force appliquée. Pour
1 5 mV.
m mmax, on obtient
=
lleld D' après
Vmes =
(10.4),
Vmes = Ko V9 = 150 µV/kg
So =
4Eommax
m
la sensibilité de la mesure est donnée par :
-
202
<T/
(10.5)
Problème 1 0
I l . Dé rive therm i q u e
llef4 La variation de température !J.T entraîne des variations du facteur de jauge Ko,
de la longueur L de la poutre, de son épaisseur e, de sa largeur a et de son module
d'Young Eo.
En réintroduisant 1' épaisseur e tirée de ( 10. 1 ) dans 1' expression de la sensibilité, il
vient :
3Lg
S 0 = Ko 2 V9
ae Eo
En tenant compte de l'effet de la variation de température, la sensibilité s'écrit alors :
S = So
(1 + aK!J.T)(l + A!J.T)
( 1 + aK!J.T)
=
So
( 1 + A!J.T)2 (1 + aE!J.T)
( 1 + A/J.T)(l + A/J.T)2 (1 + aE!J.T)
------
lle!:I Au premier ordre en !J.T, il vient :
S ::::: S o (1 + (aK - 2A - aE)!J.T) = S o (1 + as !J.T)
4
Des données numériques, on tire as = 3,4. 10- /°C.
ilel#J Pour une évolution de température de !J.T = ±25 °C, 1' erreur engendrée sur la
mesure de la masse est :
S - So
= as!J.T = ±0,85 %
So
---
llelltJ On a alors pour la tension de mesure :
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0
c
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N
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12o.
2
B
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rS
-00
c::::l
a
@
1(1811 De (10.2), on tire maintenant :
E
=
3mgUl + A!J.T)
1
=
ê
O
a(l + A!J.T)e2 (l + A!J.T)2 Eo(l + aE!J.T)
( 1 + A/J.T)2 (1 + aE!J.T)
::::: t:o ( 1 - (2A + aE)!J.T) = t:o ( 1 + as!J.T)
L'application numérique donne as = 2,4 . 10-4
lltlt) La tension de mesure s'écrit alors :
0c-1 .
203
10
•
Système de pesée à jauges d'extensométrie
Soit en ne conservant que le premier ordre en 13.T puisque s est donné au premier
ordre :
R no
KoRoso
(aR - an ) 13.T
Vmes
Vg 1 + aK + as +
Ro + Rno
Ro + Rno
[ (
=::::
) l
llellJI Pour supprimer, au premier ordre en 13.T, la dérive thermique de la tension
de mesure, il suffit que aK + as + (Rno/(Ro + Rno)) (aR - an)
aK + as
Rno =
Ro = 6 1 , 1 5
an - (a K + ac + aR)
=
Q
0, soit :
(10.7)
Pour que la compensation de la dérive thermique soit possible, il est nécessaire que
an soit suffisamment grand (an > aK + as + aR) de façon à trouver une valeur Rno
positive.
llelGI Compte tenu de (10.7), il vient alors :
S'
=::::
S 0, = S o
Ro
Ro + Rno
=
0, 94S o
=
141 µV/kg
La sensibilité est peu affectée par la correction de température apportée (voir (10.5)).
Pour une évolution de température de 13.T = ±25 °C, l'erreur résiduelle (S ' - S �)/S�
engendrée par l'évolution de la température est donnée par la courbe de la figure 1 0.3.
Cette erreur ne dépasse pas 0, 1 %.
_4
10
(S'-So )/ Sü
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a.
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u
0
-25
+25
t:,.T
Figu re 1 0.3 - Erreur résiduelle due à la dérive thermique après correction
I l l. Défaut de réa l i sation
llel..1 À la température de référence la tension de mesure est donnée par (10.6)
soit :
R 1 R3 - R1R4
( 10.8)
Vg
(Ri + R1) (R4 + R3) + Rno (Ri + R1 + R4 + R3 )
Les résistances des jauges correctement collées sont données par ( 10.3), soit :
Vmes
=
Ri
=
Ro( l + Kos�)
R1 = Ro( l - Koso)
204
R3
=
Ro( 1 + Koso)
R4 = Ro( 1 - Koso)
(10.9)
Problème 1 0
Il faut recalculer la déformation s� subie par la jauge de résistance R 1 . À partir de
(10.2), on tire en x L/2 - ôL :
=
t:� =
(
6 g L
� - ôL
ae Eo 2
)
=
(
t:o 1 - 2
ôL
L
)
=
t:o ( 1 + /3)
En reportant dans ( 1 0.9) et ( 1 0. 8 ), on obtient au premier ordre en f3 :
Vmes ::::::: (RoKoRot:oRno) Vg ( 1 f3(Ro 4(RoRno) -Rno)f3KoRot:o )
K0R0s0
ôL )
) K0R0s0
- (Ro Rno) Vg ( 1 + -4 - (Ro Rno) Vg ( 1 - 2L
+
+
+
+
-------
/3
�
+
+
Calcul fait, l' erreur relative est de -ôL/2L
= -0,2 %.
llellFI Considérons une poutre triangulaire dont on élargit l'extrémité de façon à
à
ce que la poutre puisse résister l'effort tranchant et que l'on puisse fixer le crochet
(voir figure 1 0.4).
---,
1
1
1
,.- Lo --. :
1
Bâti
Figure
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2o..
1
a
y
1 0.4 - Poutre triangulaire (vue de dessus)
On a toujours M1(x) = Px. En revanche, l'expression du moment d'inertie I change
car la largeur a(x) est variable et s'écrit tant que x > Lo : a(x) = ax/L.
Il vient alors pour 1' expression de la contrainte à la surface de la poutre :
e
a-(x) = ±eMJ/2! = ± 2
Px
a(x)e3/12
6PL
= 2ae2
Tant que x > Lo, la contrainte et par conséquent la mesure de la masse m accrochée
sont indépendantes de la côte x où ont été collées les jauges.
2
�
=
�
-0
0
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=
Ci
@
205
10
•
Système de pesée à jauges d'extensométrie
Pou r un problème donné, les deux princi paux critères du choix des jauges d' ex­
tensométrie sont le matériau constitutif des jauges et la géométrie du problème.
Pou r cette dern i è re , le choix est d i recte ment l i é au mesurande (vo i r figure 1 0. 5).
Le choix d u métal est l u i , lié à d ivers critères tels que le domaine de tempé rature
d ' u t i l i sati o n , la d i latation du corps d'é preuve, la vari ation du facte u r de jauge
avec la tem pé rature ou encore la l i m ite é l astique d u métal utilisé .
•
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•
...
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t1"'"'"1H1111
y
L
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206
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... .. ... ..
. . ... .. ..
1 0.5 - Différentes formes de jauge d'extensométrie
(documentation Vishay)
P RO B L È M E :
P h oto ré s i sta n ce
LOR :
fo n ct i o n n e m e n t et
u t i l i s at i o n po u r l e
ce n t rag e d ' u n ru b a n
d éfi l a n t
-
l l
Les photorésistances ou LDR (Light Dependant Resistor) sont des capteurs optiques
de faible coût dont la résistance diminue lorsqu'elles sont éclairées. La résistance
peut passer de quelque 1 0
dans l'obscurité à quelque 1 00 11 en pleine lumière.
Ces capteurs présentent une très bonne sensibilité mais une mauvaise bande passante.
Ce type de capteur supporte un courant important et contrairement aux photodiodes
et phototransistors, les photorésistances sont non-polarisées. Les LDR sont très uti­
lisées dans les systèmes où on désire, à partir d'un seuil, déclencher une action, par
exemple la commande d'un relais, directement par le courant traversant le capteur.
Ce procédé simplifie grandement l'électronique. C'est le cas par exemple des sys­
tèmes d'éclairage à détection crépusculaire où l'arrivée de l'obscurité, augmentant la
résistance de la LDR en diminue le courant, refermant un relais jusqu'ici ouvert et
permettant l'allumage du système d'éclairage.
Ces composants sont réalisés essentiellement à partir de sulfure, tellure ou sélé­
niure de cadmium ou de plomb. Leurs réponses spectrales peuvent être relativement
étroites et permettent de couvrir le domaine du proche ultraviolet à l'extrémité rouge
du spectre visible (de 30 à 750 nm).
L'intensité lumineuse mesurée peut être le mesurande primaire ou un mesurande
secondaire comme dans ce problème où le mesurande primaire est le déplacement
d'un objet opaque devant la LDR éclairée.
Mn
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@
1. Ét ude de la LOR
On considère une plaquette de matériau semiconducteur extrinsèque de type N dont
le niveau énergétique du dopant se trouve dans la bande interdite (voir figure 1 1 .2).
207
11
•
Photorésistance
- LOR : fonctionnement et utilisation ...
Deux faces en regard sont métallisées et on applique entre elles une différence de
potentiel V comme le présente la figure
La plaquette semiconductrice est main­
tenue dans 1' obscurité.
11.1.
V
Métallisation
l
1 1 . 1 - Schéma de principe de la plaquette semiconductrice dans l'obscurité
La bande interdite du semiconducteur intrinsèque est supposée suffisamment impor­
tante pour que 1' on puisse négliger totalement tout phénomène de création de paires
électron-trou propres au matériau intrinsèque. Le matériau est extrinsèque de type
N, dopé par des atomes donneurs en concentration
En moyenne, chaque atome
donneur est susceptible de libérer un électron.
Le niveau énergétique du dopant se trouve dans la bande interdite à un niveau en
dessous du bas de la bande de conduction du matériau intrinsèque comme schéma­
tisé figure
Fig u re
N.
11.2.
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(V)
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N
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ô
W
1
Bande de conduction
! ---- ------l----1------ -- - -- -- - - ----�----�-T-;a
;�:i��:��::
i bl e
Bande de valence
Fig u re 1 1 .2 - Structure de bande du semiconducteur dans l'obscurité
Soient n(t) la densité d'atomes donneurs ionisés, c et r les coefficients de proportion­
nalité liés respectivement à la création et à la recombinaison d'électrons.
1111 Montrer, en explicitant le raisonnement, que l'évolution de la densité d'élec­
trons libres ici égale à la densité n(t) d' atomes donneurs ionisés est régie par l'équation :
dn(t)
2
dt = c - n(t) - rn t
(N
)
()
Ill... En déduire l'expression de cette densité en régime permanent.
(11.1)
1111 En déduire la conductivité y du matériau. On notera µ la mobilité des électrons
et e la charge de l'électron.
208
Problème 1 1
1111 Établir l'expression du courant d'obscurité lobs en fonction de la différence de
potentiel V, de n, e, µ et des dimensions de la plaquette.
1111 En déduire l'expression de la résistance Robs de la plaquette dans l'obscurité.
On suppose maintenant que la plaquette semiconductrice est éclairée par des pho­
tons d'énergie hv > Li W. Ces derniers ionisent les atomes donneurs, libérant une
densité d'électrons par unité de temps nphot qui s'ajoute à celle créée par activation
thermique.
Ce mécanisme peut être résumé par le schéma de la figure 1 1 .3.
V
l
Figure
Métallisation
1 1 .3 - La plaquette semiconductrice éclairée
llld Établir l'équation régissant l'évolution temporelle de la densité totale d'élec­
trons libres ntor (t) par création et recombinaison (voir figure 1 1 .4).
hv hv hv
Bande de conduction -
t
CD
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Bande de valence
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=
Ci
@
Figure
1 1 .4 - Structure de bande du semiconducteur éclairé
11*4 On suppose la bande interdite du matériau intrinsèque suffisamment grande
et 1 'éclairement suffisant pour que la densité de photoélectrons soit nettement supé­
rieure à la densité d'électrons créés par activation thermique. Montrer qu'en régime
permanent on a :
(
)1/2
(1 1 .2)
ntot ::::::: nphotfr
111:1 On suppose que le rayonnement incident qui couvre complètement la pla­
quette est monochromatique de fréquence v et de puissance cf>
=
ILE, E étant
209
11
•
Photorésistance
-
LOR : fonctionnement et utilisation ...
l'éclairement correspondant. On note R le coefficient de réflexion en énergie de la
plaquette, T/ le rendement quantique, c'est-à-dire le nombre d' électrons libérés par
photon incident absorbé et h la constante de Planck.
Donner la densité nphot de photoélectrons créés par unité de temps.
llM En déduire la densité totale nrot d'électrons libres.
llllt) En déduire l'expression du photocourant /phot en fonction de V, e, µ , r,
TJ,
v, E, R et des dimensions géométriques de la plaquette. Conclure quant à la relation
courant-tension de ce composant.
11111 Calculer la résistance Rphot de la plaquette sous éclairement. Conclure quant
à son évolution avec le flux lumineux incident.
lllt) Commenter la dépendance du photocourant en fonction des caractéristiques
géométriques de la plaquette.
11111 Donner le schéma équivalent global de la résistance R de la plaquette.
11111 Dans la pratique le courant d'obscurité est souvent négligeable par rapport
au photocourant. Dans ce cas, à quoi se réduit le schéma équivalent global de la ré­
sistance R de la plaquette.
I l . Mo ntage p u s h -pu l l
11.5
Soit la LDR de la figure
(décrite physiquement précédemment) dont les élec­
trodes sont supposées être constituées d'un métal parfait. On admet que l'on peut
totalement négliger le courant d'obscurité dans ce qui suit. Les données du construc­
teur permettent d'obtenir R ( @ 10 lux) = 100 k.Q, R (@ 1000 lux) = 1 k.Q et L = cm.
5
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Electrodes
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N
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a.
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u
Matériau
semiconducteur
Fig u re 1 1 .5 - Schéma de la LDR
Deux LDR identiques sont utilisées pour contrôler le déplacement latéral d'un ruban
en défilement afin de l'asservir. Le tout est éclairé en lumière parallèle, perpendiculai­
rement aux LDR par un rayonnement monochromatique d'éclairement E = 1000 lux.
Le schéma de la figure 1 1 .6 résume la situation.
210
Problème 1 1
On suppose que lorsque le positionnement latéral du ruban est correct, ce dernier
couvre exactement la moitié des surfaces actives des LDR.
î
()
Dë:pliu;cmc
Figure
1 1 .6 - Principe de la mesure
111..1 Quelle est alors, compte tenu des approximations faites, la valeur Rco des
résistances des deux LDR ?
lllC:t On considère que les LDR sont constituées de
N
=
9 brins longitudinaux
(parallèles à l'axe x) et que la contribution des brins transversaux est négligeable.
Les brins longitudinaux constituent donc la longueur totale L. Compte tenu de
cette simplification, si le ruban se déplace latéralement de x, quelles sont les expres­
sions des deux résistances Rc1 (x) et Rc2 (x) présentées par les LDR ? Les exprimer en
fonction de Rco , x et L.
N
1116 Les deux LDR sont montées dans un pont de Wheatstone avec deux résis­
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u
11.7. Quelle est l'expression de la tension de
Vmes
1111:1 En déduire la sensibilité S mes de la mesure. On donne V9 2 V.
tances fixes selon le schéma de la figure
mesure
?
:.=
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g
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§.
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c::::l
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Figure
Rc2(x)
A
Vmes
Rc1 (x)
R
B
R
1 1 .7 - Circuit de conditionnement
21 1
11
•
Photorésistance
-
LOR : fonctionnement et utilisation ...
Corrigé détaillé
1. Ét ude de la LOR
1111 Le matériau intrinsèque n'intervenant pas, la densité d'électrons libres créés
par unité de temps est proportionnelle à la densité d'atomes donneurs non encore io­
nisés et s'écrit
- n(t)). La densité d'électrons libres se recombinant par unité de
temps est proportionnelle à la densité n(t) d'électrons libres et proportionnelle à la
densité de sites accepteurs. Comme le matériau intrinsèque n'intervient pas, la den­
sité de sites accepteurs est égale à la densité d'électrons libres, soit n(t). La densité
d'électrons libres se recombinant par unité de temps est donc donnée par rn2 (t).
La cinétique de la densité d'électrons libres est donc régie par l' équation :
c (N
c(N - n(t)) - rn(t)2
(11.3)
llt.:.a En régime permanent, on obtient rn2 + en - cN = 0 dont la seule solution
dn(t)
dt =
physique acceptable est :
n=
(
c '/ 1 -;;--c- - 1
2r �
+
)
(1 1 .4)
1111 Les seuls porteurs de charges mobiles étant les électrons libres, la conductivité
du matériau est donnée par :
y = µne = µe
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c
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0
(V)
0
N
......
clr ( '/�
1
1)
+ -;;--c-
-
( 11.5)
1111 Le courant d'obscurité lobs est donné par le flux de la densité de courant elle­
même reliée au champ électrique par la loi d'Ohm locale }obs = yE.
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Soit encore en exprimant la relation entre le champ électrique et son potentiel :
V
aL
lobs = yEaL = y l aL = µneV
1
1111 D' après
née par :
(11.6), la plaquette présente donc dans l' obscurité une résistance donl
(11.7)
Robs =
µneaL
-­
212
(11.6)
Problème 1 1
llld Le raisonnement est identique à celui de la question
1.1. 11
faut simplement
ajouter la densité nphot de photoélectrons créés par unité de temps.
dnroi (t)
dt
= nphot + (N - nr0r(t)) - rn2 t(t)
(N - nto1(t)),
nphot
(
nphot ) 1 2
ntot -
11*4 Si on peut considérer que
donne :
( 1 . 8)
en régime permanent 1 .
>> c
�
1
( 1 8)
(11.9)
10
c
r
lll:t Le nombre de photons incidents sur la plaquette par unité de temps est
hv = Ell/hv. Le nombre de photons pénétrant dans la plaquette par unité de temps
R)Ell/hv. Le nombre de photoélectrons libérés par unité de temps est donc
-R)Ell/hv.
Ceci conduit à la densité nphot de photoélectrons libérés par unité de
77(1 temps :
1 77( 1 - R)
1 77( 1 - R)
l
(11.10)
E
L
nphot - all hv
a hv E
<Pf
est ( 1
_
_
111?1 La densité totale d'électrons libres s'en déduit et on a d'après
1
;
2
1
77(1
-R)
)
(
E
ntot ::::: a rhv
(11.10) :
(11.9)
(11.11)
et
11111) Le photocourant créé par l'éclairement est alors donné par :
1
2
2
77(1
al
al
R)
)
(
lphot = 1al = y - al = µntore - V = µe
rhv E V
l
l
.
V
(2
( 1 1 . 1 2)
·
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(V)
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O'l
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>a.
0
u
Le photocourant est proportionnel à la différence de potentiel. On a un comportement
purement ohmique.
�
""'
"
11111 La résistance correspondante de la plaquette est :
"'
"
"
'"
=
·C0
="'
"
0"
"
.3
ü=
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2
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Ci
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1
2
1
2
1
rhv
1
l
)
(
R phot =
µe al2 77( 1 - R) E
E- 1 2 •
(11.13)
La résistance décroît avec l 'augmentation de l 'éclaire­
ment. La relation entre ces deux grandeurs n'est pas linéaire .
Rphot est proportionel à
a l
lllt.j Pour avoir un photocourant important, il est nécessaire que et
soient
grands et petit. On limite ainsi les possibilités de recombinaison des photoélectrons
avant qu'ils n'atteignent les électrodes collectrices. Ceci explique la forme en peignes
interdigités donnée aux LDR.
l
213
11
•
Photorésistance
-
LOR : fonctionnement et utilisation ...
llllJ Le courant total circulant dans la LDR sous éclairement est I = /phot + lobs ,
somme du courant d'obscurité et du photocourant. Electriquement, la LDR est
donc équivalente à l'association en parallèle des résistances Rphot et Robs, soit
R
=
R photffRobs·
lllGI Le courant d'obscurité étant négligeable par rapport au photocourant, on a
Robs
>
>
Rphot•
d'où R '.'.:::::'. Rphot·
I l . Mo ntage p u s h -pu l l
111..j La résistance de la LDR varie de façon inversement proportionnelle à la lon­
gueur du matériau éclairé. L'éclairement E est de 1 000 lux. Comme seule la moitié
de la longueur active L est éclairée on a :
Rco
= 2R (@ 1 0001ux) = 2 k.Q
( 1 1 . 1 4)
1111!'1 Lors d'un déplacement latéral x, le fonctionnement étant push-pull la lon­
gueur active diminue de Nx pour l'un des capteurs et augmente de Nx pour l'autre.
On a donc d'après ( 1 1 .4) :
L
Rel (x) =
L
2 Rc et
o
L
- - Nx
Rc2 (x) =
2
2
Rco
L
- + Nx
2
(11.15)
lllf4 La tension de mesure est donnée par :
Vmes (x) =
"'O
0
c
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0
(V)
......
0
N
(
Re l (x)
Rel (x)
+ Rc2 (x)
1)
- - Vg =
2
V Nx
-g = - Vg
L
Rel (x) + Rc2(x) 2
Rel (x) - Rc2(x)
La tension de mesure varie linéairement avec le déplacement latéral x.
1111:1 La sensibilité de la mesure est simplement donnée par :
@
S mes = NVg/L = 3,6 V/cm
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
214
(1 1 . 1 6)
Problème 1 1
La rési stance de la LOR n' est pas u n e fonction l i néaire de la s u rface écl airée de
celle-ci. Par un montage de type push-pull on arrive, comme dans le problème
traité ici, à effectuer u n e mesure l i néaire (compte tenu des approxi mations effec­
tuées), d ' u n mesurande second a i re comme ici le dép lacement d ' u n objet opaque
devant les LOR.
De même, comme démontré dans la p re m i è re partie de ce problème, la ré s i s­
tance de LOR n ' e st pas u n e fonction l i néaire de l ' éclairement. Dans l e cas o ù le
mesurande est le fl ux l u m i neux, la mise e n place d ' u n fonctionnement de type
push-pull est i m possible. En jouant s u r les matériaux utilisés et s u r des phé­
nomènes négl igés dans ce problème, les constructeurs travail l e nt à obte n i r une
rés i stance i nversement proport i o n n e l l e à l' éclairement. L' ad mittance de l a LOR
varie alors l i n éai re ment avec l' éclairement.
� Conducteur
/ Semiconducteur
Conducteurs de raccordement
F i g u re 1 1 .8 - Structure en peignes interdigités d'une LOR
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c
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0
(V)
r-l
0
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0
@
215
12
P RO B L È M E :
T h e r m o m é t r i e à d i od e
La dépendance à la température de la relation courant-tension d' une jonction PN est
donnée par la loi de Shockley. En utilisant les techniques de fabrication de circuits
intégrés, la thermométrie par diode permet de réaliser des composants de faible coût
comprenant le capteur lui-même, son conditionnement et la mise en forme du signal.
Les principaux fabricants de composants semiconducteurs proposent des produits très
utilisés dans l'électronique grand public lorsque la précision demandée est de l'ordre
de quelques dixièmes de degré.
Énoncé
1. La d iode e n capte u r de te m pératu re
ltji On considère la jonction PN d'une diode polarisée en direct. En notant v1 la
tension aux bornes de la jonction, le courant traversant la jonction est donné par la
loi de Shockley :
-0
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
(12.1)
Dans l' approximation T <<
que l'on supposera vérifiée ici, le courant de satura­
3
tion /5, est donné par ls = AT exp
où
est la largeur de bande interdite
du semiconducteur, =
est la constante de Boltzmann et T la tem­
pérature en Kelvin.
On suppose que la température de la jonction reste inférieure à
°C. Montrer que
dès que V1 >
mV, l'expression
peut se simplifier et permet d'exprimer
simplement v1 en fonction de /. On donne e =
C.
k Eg
(-Eg/kT)
Eg
k 1,38 . 10-23 J.K- 1
150
(12.1)
1,60.10- 19
80
lt#.:.1 La diode est alimentée par un courant constant 10. La température T de la jonc­
tion varie autour d'une température To prise comme référence et on pose T = To+t1T.
Par un développement limité au premier ordre en
établir la relation entre
V1(To + !1T), Vj(To) et tiT.
!1T/To
lt..I) Soit Rs(T) la résistance série de la diode (la résistance des régions N et P de
la diode à la température T). En toute rigueur, cette résistance dépend de la tension
216
Problème 1 2
de polarisation puisque celle-ci conditionne la largeur de la zone de déplétion. On
néglige cet effet et on considère que pour une température de la diode évoluant de
b.. T autour de To, en première approximation, on peut écrire :
Rs(To + b.. T) = Rs(To) ( 1 + b.. T/To) 312
( 12.2)
Établir, au premier ordre en b.. T/To, la relation entre RsCTo + b.. T ), RsCTo) et b.. T .
lt-11 En déduire l'expression approchée de la tension Vd(To + b..T ) aux bornes de la
diode et l'expression de la sensibilité S d du capteur de température ainsi réalisé.
lt41 La diode utilisée est une diode 1 N9 1 4 dont la caractéristique statique est
donnée figure 12. 1 . Calculer la sensibilité à 25 °C si Io = 2,5 mA. On donne
Eg = 1 , 1 4 eV et Rs(25 °C) = 1011.
l (mA)
4
3
�------
I N9 1 4 à 25°C
1
1
'
-----�------�-----� ----'
1
1
1
1
-----J------L-----� ----'
1
1
1
1
1
1
1
- - - - - , - - - - - - r - - - - - , - - - - - -
1
1
-----1------r-----
2
-----�------�-----
-----.-
- - - - -
- - - - - ,1 - - - - - - 1r - - - - - ,1 - - - - - -
1
'
1
1
1
'
1
7
1
1
i t i-----1
- - - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - r - - - , -
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�
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0
"
=
Ci
@
Figure 1 2. 1 -
:
0,2
:
1
0,4
:
1
- - - -
-
0,6
0,8
Vd (V )
•
Caractéristique de la diode l N9l 4
ltJd On se limite à une étendue de mesure E.M. = [O ; 50]. Toujours pour
2,5 mA et en considérant un point tous les 10 °C, calculer Vd(T) et, à par­
tir d'une régression linéaire, son approximation linéaire Vd,lin (T). Évaluer l'écart de
Io
=
linéarité, plus grand écart entre la caractéristique réelle et la droite donnée par les
moindres carrée, puis l'erreur de linéarité, écart de linéarité normalisé à l' excursion
de la tension aux bornes de la diode. À quelle erreur en C ceci correspond-il ?
ltM On considère maintenant la dérive du courant d'alimentation Io de la diode.
On suppose que cette dérive ne peut excéder b..Io = 0,05 mA. En déduire l'erreur
engendrée en °C.
217
12
•
Thermométrie à d iode
I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement
Le montage conditionneur est réalisé selon la figure 12.2 où les amplificateurs opé­
rationnels utilisés peuvent être considérés comme idéaux.
V
R1
Rs
VJ
RI
V4
R6
R1
R4
R3
CAN
Figure
1 2.2 - Conditionnement du capteur
ltj:I Établir la relation entre R et R2 afin que le courant dans la diode soit
Io = 2,5 mA. On donne V = 12
1
V et R3 = 1
kn.
ltM Déterminer les relations respectivement entre R4 et Rs d'une part et R6 et R1
d' autre part afin que la tension Vs soit de la forme Vs = 0, 1 t où t représente la
température en °C.
·
-0
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
ltjltJ Le convertisseur analogique-numérique étant un convertisseur bits, déter­
8
miner la relation entre Rs et R9 afin que la variation minimale de température détec­
table, associée à un quantum q, soit égale à 0,2 °C.
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
218
Problème 1 2
Corrigé détaillé
1. La d iode e n capte u r de te m pératu re
itji Pour
>
>
v1 150 mV et T < (80 + 273,15) K, on a exp (eVJlkT) 100. On peut
donc récrire le courant traversant la diode selon :
I � AT3 exp ( eV kT· - Eg )
1
En inversant cette dernière relation, on obtient :
-I- ) + Eg
V · � kTe ln ( AT
(12.3)
3 e
lt..f.tl Le développement limité de (12. 3 ) au premier ordre en !1T/To donne :
!1T
Io ) - 3) Io Eg kTo (ln ( -) + - +
V (To + l1T) � kToe 1n ( ATJ
To (12 .4)
e e ATJ
= V-(To) � (1n (_!!!___ ) - 3 ) !1T
e AT03
1
-
1
-
-
+
1
ltA@I Au premier ordre, il vient immédiatement :
Rs(To + !1T) Rs(To) (1 + 3!1T/2To)
(12.5)
lt"'ll La tension aux bornes de la diode est donnée par Vd(T) Vj(T) + Rs(T)Io,
soit ici en utilisant (12.4) et (12. 5 ) :
�
kTo
kTo
Io
(
Vd(To + !1T) V1(To) + Rs(To)Io + e ln ( AT03 ) - 3 e + 2 Rs(To)Io) !1TTo
3
)
!1T
kTo + -RsCTo)Io
Vd(To) + (V-(To) - -Eeg - 3To
e 2
E
)
!1T
kTo 1
= Vd(To) ( Vd(To) - -g - 3- -Rs(To)Io To
e e 2
On en déduit la sensibilité S d à la température To :
Eg kT0 1
)
!1vd
-1
S d(To) -(To) ( Vd(To) - - - 3- + -RsCTo)Io
(12.6)
!1T
To
e e 2
=
=
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�
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0
"
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Ci
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=
=
1
+
+
=
=
219
12
•
Thermométrie à d iode
lt41 Pour un courant Io
12. 1 donne Vd(to
25 C)
=
=
=
A
2,5 m à 25 °C, la caractéristique de la diode figure
0,6 V. Le résultat (12.6) donne alors :
S d(to = 25 C) = -2 mV/°C
ltJd Pour calculer la sensibilité à différente température à partir de (1 2.2) et (1 2.3),
A
il faut tout d'abord déterminer la valeur de la constante apparaissant dans (12.3).
On utilise pour cela la valeur Vd(To = 298, 1 5
= 0,6 V déduite de la caractéristique
statique de la diode. Il vient alors
0,3286
Les différentes valeurs de Vd(T) sont reportées dans le tableau 12. 1 .
La régression linéaire sur ces valeurs donne l'approximation linéaire Vd,lin(T) de
Vd(T) soit :
A
K) 3
A.K- .
=
Vd,tin(T)(mV )
=
1 204,5 - 2,028 T
( 12.7)
·
Les valeurs de Vd,lin(T) sont également reportées dans le tableau 1 2. 1 .
-
Tableau 1 2.1
Tension aux bornes de la diode en fonction de la température
t (OC)
0
10
20
25
30
40
50
Vd(T)(mV) 650,5 630,3 6 1 0, 1 600,0 589,9 569,5 549, 1
Vd,un (T)(mV) 650,6 630,3 6 1 0, 1 599,9 589,8 569,5 549,2
Ces données conduisent à un écart de linéarité de l'ordre de 0, 14 mV soit une erreur
de linéarité de 0, 14/(650,5 - 549, 1 ) 0, 14 %.
Exprimé en degré, l'écart engendrée est de l'ordre de :
�
0, 1 4 mV/2,0 mV.°C - I = 0,075 °C
0, 1 f-----.-----r---,--r--,
oc
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0 -------------- ------------------------------------------- ---------------
.......
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a.
0
u
-�-�-�--.-.
-0' 1�-�-�-�--�-�-�0
50
25
0
N
t °C
@
F i g u re 1 2.3 - Écart de linéarité de la mesure exprimé en °C
ltM Pour évaluer, l'erreur engendrée par la dérive du courant d'alimentation, il
suffit de dériver 1' expression de la tension Vd(T), soit :
d_
(T_)
dV
__
dia
220
=
[ (AT3 )
Eg
d kT -Io_ + _
_
ln
+ Rs(T )Io
e
dlo e
]
�
kT
_
+ Rs(T )
eio
Problème 1 2
Le calcul n'est qu'approximatif puisqu'en toute rigueur la modification du courant
entraîne une modification de la puissance dissipée par effet Joule dans la diode et
donc de sa température par effet d'auto échauffement.
Avec cette approximation, la variation maximale de la tension aux bornes de la diode
engendrée par la variation maximale 11Io = 0,05 mA du courant d'alimentation est
donnée au premier ordre par :
11 Vd(T) :::::;
[ eIkT0
+
l
Rs(T) 11Io
Au milieu de l'étendue de mesure, c'est-à-dire pour une température de 25 °C, on a
kT/eio :::::; 10 Q et Rs = 10 Q. 11 vient donc 11Vd(T) :::::; 1 mV, soit compte-tenu de la
sensibilité une erreur de 0,5 °C sur la mesure.
I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement
ltJ:I Pour l'amplificateur opérationnel AOPl , on a e7 = V1 et e[ = V2 - Vd(T).
L'amplificateur étant idéal, la présence de la contre réaction amène e7 = e1 De plus,
le courant Io traversant le capteur est le même que le courant traversant la résistance
R3 et donc e! = R3 Io. Au total, il vient alors Io = VifR3 .
On désire avoir Io = 2,5 mA. Comme V1 = VRif(R1 + R2 ), on en déduit que l'on doit
avmr :
R2 V - R3Io
=
= 318
·
R1
R3Io
ltM L'amplificateur AOP2 étant monté en suiveur, on a V3 = V2 . Comme d'après
la question précédente V2 - Vd(T) = Vi = R3 Io, il vient V3 = R3Io + Vd(T) ou encore,
en utilisant (1 2.7), V3 = a - b T avec a = 3704,5 . 1 0-3 V et b = 2,028. 1 0-3 V.K- 1 •
·
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(V)
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0
N
.......
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O'l
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>a.
0
u
À la borne e3 de l'amplificateur AOP3, la tension est :
7 V3 + R6 Vs e3 = V3 - R6 RV3 +- Vs = R---R7 + R6
7 R6
�
""'"
"'" L'amplificateur étant idéal et possédant une contre-réaction, il vient
'"" soit :
·C0
(R7 + R6)V4 - R7 V3
="'
Vs = -"0
--R6
""
.3
(R7 + R6)
R7
ü
=
V4 - - (a - b T)
""'
_
=
=
·
e3 = e� = V4
R6
R6
2
�
+
R7
R7
= (R7 R6) V4 - (a - b 273, 1 5 ) - b·t
�
R6
R6
R6
-0
0
"
Ci Comme Vs doit être égal à 0, 1 t, on doit donc avoir R7/R6 = 0, l/b = 49,32.
@
2o..
=
=
[
·
·
(12.8)
l
221
12
•
Thermométrie à d iode
12.2, V4 = VR4/(R4 + Rs) et puisque le premier terme de (12.8)
D' après la figure
on a
doit être nul, il vient :
R4
1 R1 (a b 273,15)
V
-
·
R4/Rs = 1,76.
R1 Rs R6 10
R2 38,0 k.Q,
R4 = 17,6 R1 = 493,2
Vs
Vs = 0,1 t.
ltjltJ Pour un convertisseur 8 bits, le quantum est Erej/256. On désire avoir :
Vs = 0 ' 2 °C
1!!.t =
0,1
Comme l!!. Vs = q = EreJ/256, on obtient Eref = 5,12 V. Le choix de cette valeur de
Eref permet bien de couvrir l'excursion de la tension Vs soit [0 V ; 5 V].
Puisque V6 Eref , on doit avoir :
Ce qui conduit à
En choisissant par exemple
kQ, on doit avoir
kn et
k.Q pour assurer une tension de la forme
=
=
=
=
·
fl
=
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
0
N
Ce qui conduit à
R9/R8 0,74.
=
Dans c e prob lème, u n b o n nom bre de sources d ' erreurs comme le bruit électro­
n i que des d i fférents é l é ments ou le phénomène d ' auto échauffement ont été
négligés. De p l u s , tel qu' i l est présenté , le systè me de mesure possède une
forte dépendance au courant de saturation qui peut forte ment d iffé re r d ' u n e
d i o d e à l'autre. Les composants commercialisés mettent en œuvre des montages
p l u s complexes pe rmettant une bien m e i l l e u re i nterchangeabil ité. Le u r erreur
de préc i s i o n est de l ' o rd re de 0,5 °C pour une étendue de mesure allant j u s­
qu'à [-50 °C ; + 150 °C). Certains composants se comportent comme des sources
de tension dépendantes de la tempé rature avec des tensions de sortie d u type
O V + 10,0 mV/°C ou 2,98 V + 10,0 mV/K, d ' autres se comportent comme des sources
de courant avec des cou rants de sortie d u type 298,2 µA + 1 µA/K.
@
.......
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0
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222
Problème 1 2
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SUBSTRATE
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09
R6
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R3
5k..'1
Rs
146n
0 10
01 1
1
�
�
1 2.4 - LM 1 3 5 : 2,98 V + 1 0,0 mV/K (documentation National Semiconductor)
et AD590 : 298,2 µA + 1 µA/K (documentation Analog Devices)
rJ
<.)
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0
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§.
2
B
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0
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223
1 3
P RO B L È M E :
Capte u r ca pac i t i f d e
p re s s i o n à d éfo rm at i o n
d e m e m b ra n e
Tout comme la température et le débit, la pression fait partie des grandeurs phy­
siques les plus mesurées dans le domaine industriel. Les procédés de conversion qui
permettent de transformer la pression en un mesurande secondaire exploitable sont
multiples. Parmi ceux-ci, la mesure par méthode capacitive de la déformation d'une
membrane sous l'effet de la pression appliquée, est relativement simple et robuste.
Énoncé
On considère un capteur capacitif de pression dont l'élément de base est une mem­
brane déformable, conductrice, circulaire et fixée sur sa périphérie par une bride. La
membrane est de rayon a et d'épaisseur e. D'un côté de la membrane se trouve une
cavité fermée ou chambre close, à une pression p0 correspondant à un vide primaire.
De l'autre côté se trouve une cavité ouverte sur l'extérieur et donc à la pression exté­
rieure p (voir figure 1 3 . 1 ).
p
p
-0
0
c
::i
0
z
--------
------ --
+
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
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>0.
0
u
Figure
1 3. 1 - Position de la membrane déformable
Un point M de la membrane est repéré par ses coordonnées (p,<p,z). L'origine 0
du repère (0, 7p , 7ip , 7z) est prise sur la membrane au repos, c'est-à-dire lorsque
P = PO·
Sous l'action de la différence de pression p p0, la membrane se déforme. Soient
et v respectivement le module d'Young et le coefficient de Poisson du matériau
constituant la membrane. Pour une déformation faible, la membrane étant encastrée
-
E
224
Problème 1 3
= a,
en p
on montre qu'une bonne approximation de la déformée de la membrane est
(voir figure
P
z(p) = ]_
13.2) :
16
- Po (1 - v2) (a2 - P2)2
(13.1)
Ee3
/-p -'---'--"'-'0 '--"''-'-'-'-'-'-'-0
-1
a
Figure
1 3.2 - Déformée de la membrane
Pour mesurer le déplacement de la membrane sous l' effet de la différence de pression,
on place en face de celle-ci et dans la chambre à la pression
une contre-électrode
circulaire et plane de rayon
On réalise ainsi un condensateur (voir figure
po,
ao.
13.3).
1111 Le système est prévu pour supporter au maximum une pression P max ·
À la
pression Pmax la membrane et la contre-électrode entrent en contact et le conden­
sateur se trouve alors en court-circuit. Calculer la distance
à prévoir entre la
contre-électrode et la position de repos de la membrane. La membrane de diamètre
cm et d'épaisseur e
mm est réalisée en acier inoxydable de module
d'Young E =
GPa et de coefficient de Poisson =
On donne
Pa
et Pmax
Pa.
Pour simplifier 'écriture, on posera :
2a = 5
"'O
0
c
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0
(V)
r-l
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N
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.µ
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>a.
0
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u
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§.
2
B::l
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c::::l
0
@
do
=1
203
6
= 10
1
v 0,33.
p0 = 103
- v2
k = 163 1 Ee3
(13 .2)
- ---
lff41 Déterminer l'expression de la capacité C 1 du condensateur réalisé (voir fi­
13.3).
gure
On négligera les effets de bord et on notera s la perméabilité du milieu,
c'est-à-dire du gaz résiduel de la chambre à la pression PO·
�
Ë
Po
Isolant �
Enveloppe de .#
.
/
protection
extérieure
Figure l 3.3
2a0
p
-
_
e;�---------------------1------
-------- -----
0
eP
--+
�
�j
_
_
_
_
_
-
---
do +
___J
z(O)
Condensateur constitué par la membrane déformée
et une armature fixe
225
13
•
Capteur capacitif de pression à déformation de membrane
On donne :
2u ( )
b..Pmax Pmax - Po b..p P - PO·
I
dx __!__
ln �
u2 - x2
u-x
=
et
=
On pourra poser
Que devient cette expression si on impose a0 = a ? On posera :
1111 On se limite à une étendue de mesure E.M.
=
[lüpo; Pmax/2].
En effectuant un développement limité, donner 1 'expression approchée C� de Ci à
l' ordre en
si on tient compte de <<
2 p/Pmax
Po p.
1111 Montrer que 1 'on peut calculer plus facilement une expression approchée de
la capacité du condensateur en calculant la valeur moyenne de la déformée sur la
surface 1ra6.
En donner une expression C�' à 1 'ordre en
avec ao a et sous 1' approxima­
tion Po <<
2 p/Pmax
p.
=
1111 Une seconde électrode, identique à la première, est montée de l' autre coté de
la membrane à la même distance do du plan de repos de la membrane de façon à réa­
liser un deuxième condensateur de capacité C2 . On obtient ainsi deux condensateurs
plans fonctionnant en push-pull.
Po
Isolant
-0
0
c
::i
0
Enveloppe de/
protection
extérieure
(V)
..-1
0
N
@
.......
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Ol
ï:::
>0.
0
u
Figure
--;
e,
�
p
0
�
i
----
--;
eP
f;
f
---
u·
l 3.4 - Condensateurs constitués par la membrane et les deux armatures fixes
Calculer l'expression de la capacité C2 et de son expression approchée c; à l'ordre
en
si ao = a et sous l'approximation
<< On fait l'hypothèse que la
permittivité électrique du milieu à la pression est égale à celle de la chambre à la
pression soit s et on donne :
2 PIPmax
Po
Pp o p.
dx
I u2 + x2
--- =
226
1
X
- arctan u
u
(13.4)
Problème 1 3
llld Les deux condensateurs sont montés avec deux résistances fixes R dans un
demi-pont push-pull alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude V9 et de pul­
sation w (voir figure 1 3.5).
c,
v,
i=
_[---
R
�nes
R
C2 ��
Figure
1 3.5 - Principe du montage
Donner l'expression de la tension de mesure Vmes· En utilisant les valeurs approchées
Ci et c; des capacités, évaluer la sensibilité S mes de la mesure et l'erreur maximale
ôp sur la pression mesurée.
llfi Afin de caractériser la mesure de façon plus précise, on effectue une régres­
sion linéaire de la caractéristique de la mesure à partir de trois points de 1 'étendue de
mesure :
p = 1 05 Pa p = 2,5 . 1 05 Pa p = 4. 1 05 Pa
Déterminer les valeurs exactes des capacités puis des tensions de mesure correspon­
dantes.
Effectuer une régression linéaire à partir de ces trois points et donner l'approxima­
tion linéaire Vmes, lin de la tension de mesure. On rappelle que les coefficients de la
meilleure droite au sens des moindres carrés, d'équation y A x + B, passant par N
couples de points de mesure (xi. Yi) sont donnés par :
=
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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O'l
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0
u
N
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"
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"
"
'"
A
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i= l
0
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"
N
=
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2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
B=
i= l
i=l
t x (t x;r
i
���-
��
"'
"
.3
ü
i
N
N L: x Y - L: xi l: Y
N
·=C0
i
N
z-
N
N
N
( 1 3 .5)
" xt· L.J
" xl·yt·
" y·I - L.J
" x�l LJ
LJ
i=I.
t xf - (t xJ
i=I
N
i= l
i= l
227
13
•
Capteur capacitif de pression à déformation de membrane
En déduire une nouvelle estimation de la sensibilité et évaluer l'erreur de linéarité en
% de 1 'étendue de mesure.
IQ:I On modifie maintenant le capteur de façon à mesurer des pressions évoluant
à partir de 1 05 Pa. Pour ceci, la pression Po est maintenant fixée à 1 05 Pa.
Quel problème peut venir fausser la mesure si la profondeur b de la chambre à la
pression Po n'est pas suffisante ? On considère en première approximation que le gaz
est parfait.
llJ#J Les propriétés électrochimiques du gaz à la pression p peuvent varier entraî­
nant une variation de sa permittivité électrique. Comment éviter un effet sur la qualité
de la mesure ?
Corrigé détaillé
IQI La valeur maximale de la déformée est, d'après (13. 1 ), donnée pour p
soit :
z(O)
�
�
@
0,
p - Po 4
a ( 1 - v2 )
= � Ee3
16
Le maximum maximorum de cette valeur, obtenu pour p
l'épaisseur à donner au condensateur. On a donc :
"'O
0
c
::J
0
=
do = k(Pmax - po )a4 = 321 , 2 µm où k =
�
1
=
Pmax,
doit être égal à
- 3v2 = 8 '23 1 . 1 0-4 Pa- 1
16 Ee
·
m-3
lft.J Le condensateur peut être considéré comme l'association en parallèle de
condensateurs élémentaires plans (voir figure 13.3) de capacité donnée par :
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
dC
=
spdpdt.p
do - z(p)
( 1 3 .6)
La capacité totale C1 s'obtient par intégration de (13.6) :
( 1 3 .7)
228
Problème 1 3
= -[i:P (a2 - 2) u = �11Pmaxa2,
t:
f
-{i:P(a2-a6 ) dx
n
=
C1 k--[i:P .yt:Pa2 u2 - x2
On pose x
p et
compte tenu de
(13.3), (13.7) devient :
(13.8)
�8Pmax - -[i:P ( 1 - (�n
�8pm., -fi:P ( 1 - ef)
+
Dans le cas particulier où
ao = a, (13.8)
s'écrit :
1
(13.9)
ff5:P
'/ �
ff5:P
'/ �
{f5:P
'/ �
+
1
Co
Po ) {f5:P 1
2 ( 1 Pmax
'/ �
11Pmax '.::::'. Pmax,
2
1
P
C1 '.::::'. Co [ l 3Pmax -5 (_!!_
Pmax _) ] = C't
ln
1111 Avec 11p '.::::'. p et
vient :
en effectuant un développement en
+
+
PfPmax,
il
(13.10)
101 La valeur moyenne de la déformée sur la surface de la membrane est simple­
= na-1 02 1o2J;oao k11p (a2 2)2
ment donnée par :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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O'l
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>a.
0
u
..:
�
"O
c:
:::l
�
Zmoy
-p
·
pdpdcp
kA [a40 - 3a2a02 3a4] (13.11)
=3
u.p
+
La capacité du condensateur réalisé est donc approximativement :
'-'
'-'
�0
:;
"'
c:
0
c:
(13.12)
c:
.S:
ü
:::l
"O
12
o.
2
B
:::l
rS
-0
0
c:
:::l
a
@
Avec
ao = a, 11p 11Pmax '.::::'. Pmax, (13.2)
2
1
P
_) ] = Ci'
C1 ka2Pmax 1 P '.::::'. Co [ 1 3Pmax -9 (_!!_
Pmax
3Pmax
s'écrit :
'.::::'. p et
'.::::'.
t:n
1
---_
+
+
229
13
•
Capteur capacitif de pression à déformation de membrane
13.6 représentent les trois expressions obtenues pour la va­
Les courbes de la figure
leur du condensateur si ao
=
a.
� � �
1 �
0
-'-----'-
--'------'-
� �
---'�
'------'-
-'--'-
p (l a5 Pa)
�
5--
Evolution de la capacité C1 avec la pression
"'O
0
c
::J
0
p
Figure 13.6 1111 Le calcul est similaire à celui de la question 2. La capacité totale C2 s'obtient
par intégration de (13. 6 ) dans laquelle le dénominateur do - z(p) doit être remplacé
par do + z(p) :
2n
ao
l
spdpd<p
C2 =
(13.13)
Lo o k [flPmaxa4 + flp(a2 - p2 )2]
On pose x = -[i:ÏJ(a2 - p2 ) et u = ..JflPmaxa2 , compte tenu de (13.4 ), (13. 3 ) devient :
(13.14)
......
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
Avec a0
= (13.14)
a,
peut être réécrit :
C2
2 30
=
(l
) 'J/XP
�
Co
- Po
Pmax
arctan
(13.15)
Problème 1 3
Pour l!ip :::::: p et fiPmax :::::: Pmax , en effectuant un développement en PfPmax , on obtient :
C2 :::: Co [ 1 -
P
3Pmax
+ !5 ( _!!_)2] = c;
C1 C2
( 1 3 . 1 6)
Pmax
La figure 1 3.7 présente l 'évolution des capacités
et
en fonction de la pression
p. On remarque le comportement non-linéaire et non symétrique de ces capacités
avec la pression p.
--'0, 85 '-0
p(lü5Pa)
--'----'----'----'--'---'----'---'----'-5
Fig u re 1 3.7- Evolution des capacités C1 et C2 avec la pression p
llD Avec ( 1 3 . 10) et ( 1 3. 16), la tension de mesure s'écrit :
Vmes =
[ C1wC�wC w - �i
l
--
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
2
Vg =
--
2
�l:
1 ��
2
( 1 3 . 1 7)
En utilisant les expressions approximatives des capacités données par ( 1 3 . 1 0) et
( 1 3 . 16), on obtient :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
+
l
�
""'
"=
"'"
'""
·C0
=
"'
"0
"
"
.3
ü
""'=
2o..
2
�
=
�
-0
0
"=
Ci
@
Vmes
-- c1 -C2 Vg c� - c; Vg
c 22
2
�� [� : :; ;5 ( � ) ] - Co [ 1 - + !5 ( _!!_)2] Vg
Co [1 + + !5 (_!!_ )2] + Co [ 1 - + !5 ( _!!_)2] 2
Vg
Vg
2
)
!(
]
5
[
! _!!_ 2
( )
�
-2
P
3Pmax
Pmax
P
3Pmax
p
Pmax
5
Pmax
P
3Pmax
Pmax
�
l +
P
3Pmax
6
:::::: _!!__
Pmax
l
_
_!!__
Pmax
( 1 3 . 1 8)
Pmax
Pmax
6
231
13
•
Capteur capacitif de pression à déformation de membrane
On en déduit une approximation de la sensibilité de la mesure donnée par :
S
mes
�
Vg
6Pmax
= 1 67 m V/1 05 Pa
( 1 3 . 1 9)
( --)3 Vg
L'écart de linéarité obtenu est de l'ordre de :
O Vmes
�
p
Pmax
30
On obtient, compte tenu de (13. 19), une erreur maximale (obtenue pour p = Pmax/2)
de op = Pmax/40 = 0,25 . 1 05 Pa.
lm Pour les trois valeurs de p proposées, on obtient à partir de (13.9), ( 1 3 . 1 5) et
( 13. 1 7) les valeurs reportées dans le tableau 1 3 . 1 .
Tableau l 3 . l - Capacités et tensions d e mesure pour trois valeurs d e pression
p
(Pa)
Ci/Co
C2/Co
Vme..CmV)
1 . 1 05
2,5. 1 05
4. 1 05
1 ,0351
1 , 0983
1 , 1 783
0,9688
0,9275
0,89 1 8
1 65,5
421 , 5
692, 1
À partir de ces données ( 1 3 .5), permet de calculer la meilleure droite au sens des
moindres carrés approchant la caractéristique réelle :
Vmes ,lin ( mV) = 1 75, 5 . 1 0-5 p - 1 2,434
On en déduit une nouvelle approximation de la sensibilité, à savoir :
Smes = 175,5 mV/105 Pa
La figure 13.8 présente les différentes estimations de la tension de mesure.
(V)
-0
0
c
::J
0
....
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
0
p(HfPa)
0
5
Figure 1 3.8 - Tension de mesure en fonction de la pression
232
Problème 1 3
Le plus grand écart entre la caractéristique réelle et 1' approximation linéaire au sens
des moindres carrés est pour p = 5 . 1 05 Pa et vaut :
Vmes (5 . 1 05 Pa) - Vmes,lin (5. 1 05 Pa)
= 0,8872 - ( 175, s . 10-5 . 5 . 105 + 12,434) = 22 mV
Compte-tenu de la nouvelle valeur de la sensibilité, cette erreur correspond à :
22 mV/( 1 75 , 5 mV/ 1 05 Pa) = 0 , 1 25 . 105 Pa
L'erreur représente 2,5 % de l'étendue de mesure.
IQ:t Pour une valeur donnée p de la pression, le volume v = na2b de la chambre
2
à la pression Po évolue de �v = -na zmoy Une fois atteint l'équilibre thermique, le
gaz étant considéré comme parfait, on a �po/po = -�v/v = -Zmoy/b où Zmoy repré­
sente la déformée moyenne de la membrane. S i la profondeur b n'est pas suffisante,
la variation non négligeable de Po se répercutera sur la mesure.
Si la problématique est la mesure de la pression p avec comme référence la pression
atmosphérique, une autre solution consiste à ouvrir la chambre à la pression p0 sur
l'extérieur de façon à ce que la pression p0 soit égale à la pression atmosphérique. On
réalise alors une mesure différentielle. Evidemment le mesurande p - Po peut alors
varier avec la pression atmosphérique Po même si la pression p reste constante. C'est
pourquoi ce montage n'est utilisé que si p = p0 + �p comme par exemple dans le cas
de la mesure de la pression due à une colonne de liquide et lorsque la surface libre de
ce dernier est à la pression atmosphérique po.
·
1110 Pour se protéger des variations des propriétés électrochimiques du gaz à la
"'O
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<.)
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"'
c::
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c::
.S:
u
"O::l
§.
pression p, il suffit de transmettre à la membrane la pression à mesurer par l'intermé­
diaire d'une huile isolante incompressible (huile silicone) et d'une membrane souple
d' isolement. Il faut alors tenir compte, dans le calcul des capacités, de la permittivité
diélectrique de l'huile qui est différente de celle du gaz à la pression PO ·
Isolant
Envelop�e d�
protection
extérieure
2
B
::l
�
-00
c::::l
0
@
Figure
�
�
�
�
�
Po
p
Huile
p
Gaz
\
Membrane souple
d'isolement
1 3.9 - Transmission de la pression par de l'huile
233
13
•
Capteur capacitif de pression à déformation de membrane
De nombreuses configurations de ce type de capteurs sont d i sponibles. E l l e s per­
mettent des préc i s i o n s de mesure généralement m e i l l eures que à 1 % de l ' éten­
due de mesure.
Par nature, ces capteurs sont s e n s i b l e s à la tem pérat u re. Po u r un capteur de
pression absolue avec une chambre close à pre s s i o n p 0 , lors d'une variation de
température, o n a u n e variation relative de la pression Po égale e n pre m i è re ap­
prox i m at ion à la variat ion re lative de la température (approximation de gaz par­
fait).
FiKed
Electrode
l
To Vacuum
System
11-
Figure
volume. sealed
al high vacuum
1 3. 1 0 - Jauge capacitive Barocel (documentation Roc-Edward)
Le principe décrit précéde mment peut être uti l i sé pour réal i s e r des capteurs s i l i ­
cium m icro-usinés, la mesure capacitive offrant u n e alternative à la mesure de la
déformation de la membrane par jauges d' extensométrie.
Le conden sateur réa l i s é peut être i ntégré dans u n circuit osci l l ant, la mesure de
la pre s s i o n se ramenant alors à une mesure de fréquence. En tech nologie m i cro­
usinée, il est s i m ple de prévo i r un deuxième conden sateur, d i t de référence, dont
la membrane n e subit pas de déformation liée à la pression et lui aussi i ntégré
dans un circuit oscil lant. La mesure de la d i ffé rence des deux s i g naux après pas­
sage dans un mélangeur permet une mesure très précise de la pression et é l i m i n e
toute composante d u s i g nal pouvant être l iée à d e s grandeurs d ' i nfl uence (tem­
pérature, accélération dans une d i rection perpe n d i cu laire aux mem branes . . . )
-0
0
c
::i
0
p
(V)
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0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
Silicium
Figure
234
Verre
Métal 1 isation
1 3. 1 1 Principe d'un capteur capacitif absolu de pression
avec compensation des grandeurs d'influence
-
P RO B L È M E :
Accé l é ro m èt re
p i é z o ré s i st i f
b a s s e s fréq u e n c e s
14
Le principe fondamental de la dynamique permet d'établir une relation entre les trois
grandeurs que sont force, masse et accélération. Les accéléromètres font tous appel
à cette relation pour convertir l'accélération en force. La force est ensuite conver­
tie en une grandeur électrique exploitable. Les principes physiques de conversion
force-grandeur électrique sont nombreux et pratiquement tous ceux permettant la
mesure d'une force peuvent être exploités pour la mesure d'une accélération. Ces
dernières années, les progrès des microtechnologies ont permis le développement
d'accéléromètres intégrés de plus en plus performants. Est présenté ici le principe
d'un accéléromètre silicium micro-usiné dont le principe de conversion utilise 1 'effet
piézorésistif. Cet accéléromètre, très basses fréquences, est destiné à une utilisation
inclinométrique où le mesurande primaire est l'angle du système par rapport à la ver­
ticale. L' accélération mesurée est alors la projection de l'accélération de la pesanteur
sur l'axe sensible du capteur.
Énoncé
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0
c
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0
(V)
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0
N
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0
u
1. Pri n c i pe de base d u capte u r
..:
�
"O
c::::l
'-'
'-'
�
�0
:;
"'
On considère la structure de la figure 14. 1 réalisée en silicium micro-usiné où une
masse sismique centrale est suspendue à un bâti par quatre poutres flexibles iden­
tiques de masses négligeables.
c:0
c:
c:
.S:
ü
"O:::l
12o.
2
B:::l
rS
-00
c::::l
a
@
Fig u re
1 4. 1 - Structure de l'accéléromètre
235
14
•
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
�
Considérons deux poutres de même axe. Soient L la longueur de ces poutres et P le
poids de la masse sismique. Tout se passe comme si ce couple de poutres était sou�
�
mis à la force F = P/2 ; le reste du poids étant supporté par l'autre couple de poutres
(voir figure 1 4.2). D'un point de vue Résistance des Matériaux, ceci est équivalent
à une poutre unique de longueur double 2L se déformant sous l'action de la force
� �
F P/2 appliquée en son milieu (voir figure 14.2).
=
Masse sismique
Schéma équivalent
Fig u re 1 4.2 Déformation des poutres
-
Sous l'action de la force appliquée, une distribution de contraintes prend naissance
dans les poutres déformées (voir figure 14.3 où est représentée la contrainte a-yy).
z
-----l
Masse
s1srmque
---+--. y
Poutre
Figu re 1 4.3 - Contrainte dans une des poutres
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
Chaque poutre est de largeur l (direction Ox), de longueur L (direction Oy) et d'épais­
seur e (direction Oz).
On montre qu'en tous les points d'une section droite de la poutre (parallèle au plan
xOz) située à une distance y de l'encastrement dans le bâti, la contrainte a-yy est don­
née par a-yy zMf/I où Mf est le moment de flexion et I le moment quadratique de
la section droite par rapport à son axe médian parallèle à l'axe Ox. On donne, relati­
vement au schéma équivalent de la figure 1 4.2, Mf = F (L 2y) /4 pour 0 ::; y ::; L
�
où F représente le module de F.
On se propose de mesurer l'accélération subie par la masse sismique, ici l'accéléra­
tion de la pesanteur, en diffusant sur chacune des poutres des jauges de contrainte
alors situées à la surface des poutres.
Sur la face supérieure de chaque poutre, on diffuse deux jauges de contrainte alignées
sur la direction Oy de la longueur de la poutre (voir figure 1 4.3) : une à proximité du
bâti (indice +) et une à proximité de la masse sismique (indice ) (voir figure 1 4.4).
=
-
-
236
Problème 1 4
Bâti
Jauge +__. : vPoutre
Jauge ----,
0
y
s1sm1que
Masse
-
-
1
1
Fig u re 1 4.4 - Implantation des jauges de contrainte
(les connexions électriques des jauges ne sont pas représentées)
IGll Donner la déformation s11, + , dans la direction y, à la surface des poutres. On
note E le module d'Young du matériau des poutres.
IGf:.i Afin de rester dans le domaine élastique, on fixe la déformation maximale à
Emax =
2. 10-3 . Au maximum, le système doit pouvoir supporter une accélération
totale de ±5g selon la direction z où g est l' accélération de la pesanteur. Calculer
les valeurs maximales de la masse m et du volume v de la masse sismique pour
rester en-deçà de la limite fixée. On donne L = 500 µm, = 20 µm, e = 1 µm,
E 140 kN/mm2 , g = 1 0 m.s -2 et la masse volumique du silicium d = 2,33 g/cm3 .
=
l
IGll Les jauges sont de longueur z1. Montrer que la déformation moyenne d'une
jauge centrée à la distance y0 du bâti est égale à la déformation au point y0. On né­
gligera 1' effet lié à 1 'épaisseur de la jauge.
IGll Déterminer, en première approximation, la distance au bâti à laquelle doivent
être implantées les jauges de contrainte puis les déformations correspondantes
et s_.
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c
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(V)
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0
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.3
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2o..
2
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=
�
-0
0
"
=
Ci
@
E+
IGl1 Les quatre poutres sont équipées de la même façon. Les deux jauges proches
du bâti (jauges +) de deux poutres dans le même alignement sont connectées en série
pour former la résistance R 1 et les deux jauges proches de la masse sismique (jauges
-) constituent en série la résistance R1. On procède de la même façon avec les deux
poutres perpendiculaires aux précédentes pour former respectivement les résistances
R3 (jauges +) et R4 (jauges -). Donner les expressions des résistances R1 , R2, R 3 et
R4 sachant que leur valeur au repos est R et leur coefficient de jauge K.
IGld Les résistances ainsi constituées sont montées en pont. Celui-ci est alimenté
par une source de tension continue V9 d'impédance interne négligeable, comme re­
présenté figure 14.5.
237
14
•
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
R2
R3
vmes
Vg
Ri
R4
Fig u re 1 4. 5 - Montage de conditionnement
Donner l 'expression de la tension de mesure Vmes en fonction de R 1 , R2 , R3 et R4 puis
de K, R et e. Conclure.
I l . Effet de la te m pé ratu re
Les jauges sont réalisées par diffusion de dopant P sur la structure de silicium dopé
N. La résistance au repos et le facteur de jauge dépendent tous les deux de la tempéra­
ture. Dans la plage de température d'utilisation du capteur, les valeurs des coefficients
de température correspondants sont données par les courbes de la figure 1 4.5.
0, 1 6
' Coefficient de température
0, 1 0
"'O
0
c
::J
0
0,04
(V)
......
0
N
1 018
@
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1 020
-
/cm)3
c (atomes
F i g u re 1 4.6 - Coefficients de température de la résistance et du coefficient de jauge
IGN Déterminer la valeur de la concentration à adopter pour que la variation de la
résistance d' une jauge sous l' action de la contrainte soit, au premier ordre, indépen­
dante de la température. On notera Ro et Ko respectivement les valeurs de la résistance
au repos et du facteur de jauge à la température To = 0 °C.
238
Problème 1 4
IGl:I La condition précédente étant réalisée pour la valeur la plus élevée de la
concentration, montrer que la mesure dépend de la température au travers de la résis­
tance des jauges au repos.
IGl:J Pour compenser cette dérive, on introduit entre l' alimentation et le pont un di­
pôle de compensation quasiment linéaire avec la température. Celui-ci est constitué
d'une CTN en parallèle avec une résistance fixe et dont la résistance dans la plage
d' évolution de la température est correctement approchée par Re = 2Rco0 + acT). Ce
dipôle est réalisé en couche mince sur le bâti de façon à être à la même température
que les jauges. Montrer qu'un réglage judicieux de la valeur des caractéristiques de
ce dipôle permet d'annuler l'effet thermique sur la tension de mesure. Pour la suite,
on note Ro + Rco = fJRo.
I l l. Non-1 i néarité
La jauge est en réalité non linéaire. La caractéristique de la jauge sur son étendue de
mesure maximale est donnée figure 14.7 pour une température de 0 °C.
+0,1
b.Rj R
Compression
Caractéristique réelle
Traction
+1
0
-1
+2
Fig u re 1 4.7 - Non-linéarité de la variation de la résistance avec la déformation
Une bonne approximation du facteur de jauge est donnée par :
Ko = Ki + K2 -J
fil .
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"
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·C0
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(14. 1)
avec K1 = 45 et K2 = 103 .
Donner dans ce cas l'expression de la tension de mesure à 0 ° C et évaluer la non­
linéarité .
=
"'
"
0
IV. Com porte m e n t stat i q u e
.3
ü
IGlltJ On montre que la flèche maximale prise par les poutres (c'est-à-dire le dé­
"
"
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2o..
2
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-0
0
"
=
Ci
@
placement selon z de leur extrémité en y = L) est donnée à 1 'équilibre par :
FL3
z(L) = 2E/e3
(14.2)
239
14
•
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
En remarquant que z(G) = z(L) = Zm ax où G est le centre de gravité de la masse
sismique, montrer qu'à l'équilibre la réaction des poutres sur la masse sismique peut
s'écrire comme la force de rappel d'un ressort de raideur k dont on donnera l'expres­
sion en fonction de E, l, e et L.
IGlll La masse M du bâti étant très supérieure à la masse sismique, calculer la
pulsation propre wo du système en fonction de k et m.
IGlt;.j Ecrire, dans l' approximation linéaire, la tension de mesure du pont de la fi­
gure 14.5 en fonction de la position z(G). Montrer que l'on peut écrire Vmes = Az(G)
et calculer la tension de mesure si la masse sismique n'est soumise qu'à son propre
poids. On donne Vg = 1 0 V, [3 = 1,2 et on considère que lj « L.
V. Com porte m e n t dynam i q u e
IGlll La masse sismique est maintenant soumise en plus de son poids à une ac­
célération extérieure â . On montre de plus que l 'amortissement du mouvement est
du type fluide (force -À z) et est essentiellement dû à l'air environnant la masse sis­
mique. Établir 1' équation différentie11e en z du centre de gravité de la masse sismique
en fonction de m, k, À, a et g.
IGIGI Donner l'expression de la fonction de transfert H( p) = Vmes/(g + a) dans le
domaine de Laplace en introduisant la fréquence propre et le coefficient d' amortisse­
ment � = À/2 ...;;;;k.
IGl..j On se place en régime permanent sinusoïdal. Donner l'expression de la sen­
sibilité S (w) en fonction de
"'O
0
c
::J
0
A,
w, wo et �·
IGIC:'I On suppose que l'on se trouve à l'amortissement critique. Donner la nou­
velle expression de la sensibilité.
(V)
IGIH Calculer S (0) et S (wo).
@
IGll:t Calculer la fréquence de coupure f1 à 1 % de cet accéléromètre.
......
0
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Ol
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a.
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u
%
IGIPJ En l'état, quelle fragilité présente cet accéléromètre et comment y remédier ?
240
Problème 1 4
Corrigé détaillé
1. Pri n c i pe de base d u capte u r
1111 À la surface d' une poutre, on a z
définition :
I=
=
e/2. Le moment quadratique I est par
l+l/2 l-e/2 2d d
z
l/2
z x =
-e/2
On en déduit la contrainte <T et la déformation
distance y du bâti :
yy
<TYY(y)
_
-
3F(
)
=
l
2/e2
=
=
0
L,
e M1(Y)
2
L
-
2y
811(y)
et
le3
12
-
s11,+ à la surface de la poutre à la
L
2y
3F(
)
= yy(y)
=
E
2le2 E
<T
-
( 14 .3)
llfA La contrainte maximale <Tmax que doit supporter le matériau est liée à la dé­
formation maximale par <Tmax Emax E 280 N/mm2 . D'après (14.3) , la contrainte
maximale se situe en y = et y = soit évidemment aux encastrements des poutres.
Le module de la force maximale F subie par la masse sismique est donné à l'équilibre
par Smg/2. On doit donc avoir :
m=
4le
<Tmax
Sg
3L
1
2
=::::
0,30. 10_3 g
(14.4)
( 14.4) conduit à un volume de la masse sismique égal à v = m/d = 0, 13 mm3 .
1111 Les jauges étant diffusées donc incluses dans le matériau des poutres, elles
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Ci
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sont parfaitement solidaires de celles-ci. On néglige l'épaisseur de la jauge. La dé­
formation moyenne fllj/lj d'une jauge de longueur lj centrée en Yo est alors égale à
la déformation moyenne à la surface de la poutre d'un élément de longueur lj centré
en Yo et donc donnée par :
2_
y
o+L1!2 3F(L - 2y) dy
l
8moy
l y0-LJl
2 21e2E
_
-
·
1
_
-
3F(L - 2yo)
21e2
E
_
-
8;;(Yo)
1111 Proche du bâti, la déformation est maximale et correspond à une élongation,
s;;(y) > O. Elle passe par 0 en L/2 et redevient maximale mais de signe opposé à
l' approche de la masse sismique, elle correspond alors à une contraction, s;; (y) < O.
On doit positionner les jauges de façon à ce qu'elles enregistrent une déformation
maximale, c'est-à-dire centrée en Yo = lj/2 pour celles proches du bâti (indicées +) et
241
14
•
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
en Yo = L - lj/2 pour celles proches de la masse sismique (indicées -). Avec ( 1 4 . 3 ) ,
les déformations correspondantes sont données par :
3F(L 11)
= -s+ .
S+ = 3F(L2- 11) et s_ =
2
-
-
2le E
2le E
IGJ1 On note Ri = 2R + !1R1 , R2 = 2R + !1R2 , R3 = 2R + !1R3 et R4 = 2R + !1R4.
Compte tenu du positionnement des jauges, on a :
M1 = M3 = 2KRt:+ et !1R2 = !1R4 = 2KRt:_= -2KRt:+
IGld D' après le schéma de la figure 1 4.5, il vient immédiatement :
R(l + Kc+) - R(l + Kc_)
R4
R1
Vmes Vg - KE+ Vg ( 14.6)
Vg 2R
R1 + R2 R3 + R4
_
)
(
_
_
La mesure est linéaire puisque les capteurs ont été considérés linéaires en première
approximation et que le pont entier push-pull constitue un circuit de conditionnement
linéaire.
I l . Effet de la te m pé ratu re
1Gf4 On pose M = KRt:+ · Au premier ordre en T, il vient :
!iR = RKt:+ = Ro(l + aRT)Ko(l + aKTk+ RoKo ( 1 + (aR + aK)T) E+
�
Pour que M soit indépendant de la température, il suffit d'adopter une concen­
tration telle que l'on ait aR + aK = O. D'après la figure 14.6, ceci a lieu pour
18
1 ,4. 1020 atomes/cm3 . On a alors !iR RoKot:+
c 2. 1 0 atomes/cm3 et c
�
�
�
IGl:I (14.6) peut encore s'écrire :
_
Vmes "'O
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Vmes
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_
_
-
!iR
R Vg
En utilisant les résultats précédents, il vient :
(V)
0
N
( R1 R1+ R - R3 R4+ R4 ) Vg - ( R +2R!iR - R -2R!iR ) Vg
�
KoRot:+
V
Ro(l + aRT) g
Sous les hypothèses faites, les variations de la température affectent la mesure au
travers de la valeur de la résistance au repos de la jauge .
IGl#J La tension de mesure s'écrit maintenant :
242
Problème 1 4
La résistance au repos a un coefficient thermique ŒR positif et le dipôle de compen­
sation un coefficient thermique ac négatif. Pour que la tension de mesure soit indé­
pendante de la température, il suffit de fixer Œc = -RoaRfRco · Pour la concentration
d' atomes dopants choisie, soit ici c :::::; 1 ,4.1020 atomes/cm3 , on doit avoir d' après les
courbes de la figure 14.6 :
Œc :::::; -0,075Ro/Rco
Avec Ro + Rco = f3Ro, la tension de mesure s'écrit alors :
La tension de mesure est indépendante de la température mais ceci se fait au prix
d'une diminution de la sensibilité par rapport à (14.6) puisque f3 > 1 .
I l l. N o n - l i néarité
On a maintenant d'après ( 14. 1), Ko = K1 + K1 &+ :
La tension de mesure s'écrit alors :
(14.7)
Si on utilise l'approximation linéaire de (14.7) plutôt que l 'expression exacte pour
évaluer la déformation, l'erreur de linéarité engendrée est :
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OVmes
Vmes
=
Ki&+ V9 Ki&+ V9
1
1 + K1 t!+lf3
f3
f3
K1 e+ V9
1
f3
1 + K1ei/f3
=
K1 ei
f3
Compte tenu de l'étendue de mesure maximale et que f3 > 1, on a au pire,
oVmes/Vmes = 0,4 %. Ceci peut être considéré comme négligeable pour la suite du
problème et on écrira :
(14.8)
Ci
@
243
14
•
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
IV. Com porte m e n t stat i q u e
= 0 où F k représente la
réaction des poutres sur la masse sismique. En utilisant (14.2), on en déduit :
4Ele3
Fk = -2F = - 3 z(G ) = -kz(G )
L
La réaction des poutres sur la masse sismique est équivalente à la force de rappel
d'un ressort de constante de raideur k = 4Ele3 /L3 = 89,6. 1 0-3 N.m- 1 .
---7
---7
lllltJ A 1'équilibre de la masse sismique on a 2 F + F k
---7
---7
11111 La pulsation propre du système est donnée par :
wo
= �k ( � + �) If, = 546,5 rad.s- 1
�
llltJ Dans l'approximation linéaire, on a d' après (14.2), (14.5) et ( 14.8) :
Vmes
�
K1 s+
f3
V9 = K1 3F(L -2 lj) V9 = -Ki 3e(L -3 lj) z(G ) V9
2[3le E
f3L
Avec lj << L, il vient :
3e
(14.9)
z(G ) = Az(G )
Vmes -K1 Vgf3L2
Avec f3 = 1 ,2, l'application numérique donne A = -4,5 V/mm. Si la masse sismique
n'est soumise qu' à son propre poids, on a z(G) = mg/k et on obtient une tension de
mesure Vmes = 0, 1 5 1 V.
�
-
V. Com porte m e n t dynam i q u e
11111 Pour une accélération de valeur algébrique a, l'équation différentielle décri­
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a.
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u
vant la position z du centre de gravité de la masse sismique est mz
= -mg-kz-Az-ma
11111 Dans le domaine de Laplace (variable p), on obtient :
z = -m(a + g)/(m p2 + Âp + k)
=
Soit en introduisant la fréquence propre w0 et le coefficient d'amortissement
Ç ,1/2 v;:;;k et en utilisant le résultat ( 1 4.9) :
a+g
Vmes = Az(G ) = -A p2 + 2Çwop
+ w20
La fonction de transfert H( p) = Vmes/(g + a) est donc donnée par :
A 1 2
H( p) = - 2
w0 + P
1 2 ':> p + wo
w02
244
t:
Problème 1 4
S (w) en régime permanent sinusoïdal à la pulsa­
A
1
(14.10)
s (lù) = wij (
1 - ( :Jr + (2Ç:J
111..1 On en déduit la sensibilité
tion
w:
::::====
- --;:
Le système a un comportement de filtre du second ordre.
Ç 1, (14.10) devient :
S(w) wA02 1 w 2
1 +( )
wo-
llll:J À l'amortissement critique, =
(14.11)
= - - ---
(14.11), pour le cas statique et pour la pulsation propre, on ob­
tient :
S(O) -Afw6 151 mV/g et S(wo) -A/2w6 75 mV/g
1111:1 La fréquence de coupure à 1 % est obtenue en résolvant :
S(w1%) S(O)( l - 1 %)
ce qui entraîne W1% � O, l wo soit fi% � 9 Hz.
lllf4 À partir de
=
=
=
=
=
Cette fréquence de coupure est relativement basse mais est particulièrement bien
adaptée à la mesure d'une accélération constante donc bien adaptée à une utilisation
de type inclinomètre par exemple.
lllPJ Si le système est soumis à des accélérations trop importantes comme c'est
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le cas lors d'un choc, la déformation des poutres peut dépasser la limite élastique et
entraîner la rupture de celles-ci. Une façon de pallier le problème est de prévoir des
butées mécaniques limitant l'excursion de la masse sismique.
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245
14
•
Accéléromètre piézorésistif basses fréquences
La technique de convers ion piézorési stive des accéléromètres m i c ro-usi nes ac­
tuels est très forte ment concurrencée par la conversion capacitive. Dans ce type
de conversion, les faces de la masse s i s mique forment avec des contre-électrodes
des systèmes de condensateurs fonctionnant e n mode push-pu l l . Afin de mu lti­
p l i e r les s u rfaces des armatures e n regard, o n utilise une structure en peignes
i nterd i gités. L' un des peignes est constitué par la masse s i s m i q u e , l autre par le
bâti.
En uti l i sant les forces él ectrostatiques entre é lectrodes, il est possible d'effect uer
un asservi ssement de la masse s i s m ique à sa position d ' é q u i l i bre. Comme il n'y
a plus de mouvement de celle-ci, o n améli ore g randement la bande passante et
la l i néarité d u système et on évite les problèmes liés au phénomène de réso­
nance mécan ique de la masse s i s m iq u e . Au l i e u d ' u t i l i s e r une g randeur de retour
cont i n ue, l asservi ssement peut être réal isé s e l o n un mode .E !:::. . Ce sont alors
les trains d ' i m pu l s i o n s permettant l'asservissement de la masse s i s m ique q u i
sont à l ' i mage de l' accélération à mesurer. O n d i s pose alors d ' u n e i nformation
nu mérique d i rectement en sortie d u capteur et on évite la c l assique conve rsion
analog ique-numérique.
-
Armatures du condensateur en peignes
interdigités et à fonctionnement push-pull
Masse sismique
-0
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c
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Bâti
Figure
(V)
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246
1 4.8 - Accéléromètre capacitif (documentation Analog Devices)
P RO B L È M E :
Capte u r d e c o u ra n t
à fi b re o pt i q u e
1 5
Les capteurs de courant à fibre optique utilisent la biréfringence induite par un champ
magnétique (effet Faraday) dans une boucle de fibre optique entourant un conducteur
parcouru par un courant dont on veut déterminer la valeur.
Ces capteurs à fibre optique trouvent leur place au sein des réseaux de distribution
d'énergie en hautes tensions et courants intenses. Ils offrent une excellente isolation
galvanique, restent de petite taille par rapport aux technologies concurrentes, sont
insensibles aux champs magnétiques perturbateurs et sont insensibles à la position
du conducteur à l'intérieur de la boucle optique.
Ce problème présente de façon simplifiée une des techniques possibles de mesure.
Énoncé
On considère le système de mesure de courant à fibre optique de la figure 1 5. 1 .
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Fig u re l 5 . 1 - Principe de la mesure
Ce système de mesure est constitué d'un émetteur (diode laser : DL), de deux ré­
cepteurs identiques (photodiodes PIN), d' une fibre de silice monomode dite fibre de
mesure de longueur L 20 m et d' atténuation linéique
l O dB/km, d'un prisme
de Wollaston, d' une lentille assurant l' interface fibre de mesure-prisme de Wollas­
ton. En sortie du prisme, les deux polarisations suivent des chemins semblables, à
savoir passage d' une lentille de focalisation, propagation dans une fibre de transport
=
œ=
247
15
•
Capteur de courant à fi bre optique
de faible longueur et réception sur une photodiode PIN. La fibre de mesure est enrou­
lée en spires jointives sur un support amagnétique cylindrique (non représenté ici),
de rayon a = cm, autour d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité /.
La diode laser émet en continu la puissance </Jvr = 5 mW, monochromatique à la
longueur d'onde À = 633 nm. On suppose que la lumière émise est polarisée rec­
tilignement dans une direction perpendiculaire au plan de la figure 15. 1 et que la
puissance émise est parfaitement stable. Par hypothèse la direction ordinaire (sym­
bole 0 sur la figure 15. 1 ) du prisme de Wollaston est confondue avec la direction de
polarisation de la diode laser. La sensibilité des photodiodes est S PIN = 0,5 A/W et
leur courant d'obscurité est lobs = 3 nA.
Les pertes de couplage diode laser-fibre de mesure et fibre de transport-photodiode
sont estimées à 5 dB chacune. La perte de couplage par la lentille, de la fibre de me­
sure au prisme, est estimée à 2 dB. La perte de couplage prisme-fibre de transport est
de 4 dB pour chaque voie. Par voie (polarisation selon la direction ordinaire ou selon
la direction extraordinaire), le prisme entraîne une perte supplémentaire de 1 dB . Les
pertes d' atténuation par les fibres de transport sont considérées comme négligeables.
IO
i..jl On considère pour l'instant que le courant dans le conducteur est nul.
La fibre de transport, la fibre de mesure et les autres éléments sont supposés conser­
ver la polarisation de la lumière qu'ils véhiculent. La polarisation en sortie de la fibre
de mesure reste alors perpendiculaire au plan de la figure 15. 1 .
Estimer les courants /1 et h délivrés par les photodiodes.
Soit une onde polarisée rectilignement. Celle-ci traverse une région où règne un
�
champ magnétique H. On peut montrer que sur une longueur élémentaire
le
long d'un rayon lumineux associé à l'onde, la polarisation de l'onde tourne d'un
�
angle élémentaire
donné par
= VeH
où Ve est la constante de Verdet
6
(Ve = 4,5.10- rad/A à la longueur d'onde À = 633 nm) : c'est l'effet Faraday.
dl
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de
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�
''*.J Le conducteur est maintenant parcouru par un courant continu /. Déterminer
e
en fonction de ce dernier, la valeur de l'angle de rotation total
du plan
de polarisation de 1' onde lors de son parcours dans 1' enroulement de fibre.
On fera 1'hypothèse que les autres éléments du dispositif sont toujours perpendi­
culaires à la direction du champ magnétique créé par le conducteur.
1..10 Calculer les deux nouvelles valeurs des courants des photodiodes.
On donne I = 3 000 A.
l.."11 Pour traiter les signaux, on utilise le circuit de conditionnement schématisé
figure 15.2.
248
Problème 1 5
R
/2 -.
Vz
X
R
X-Y
X+Y
y
V,,,
es
v;
11 ---.
Fig u re 1 5.2 - Conditionnement
l
Avec ce schéma, Vmes est non nul pour un courant nul. Que modifier dans le mon­
tage de la figure 15 . 1 pour remédier à ce problème ?
l•ta1 Déterminer alors l 'expression de la tension de mesure Vmes et la sensibilité
S mes de cette mesure.
l..id Le courant à mesurer est assez faible pour que 1 'on puise considérer e petit.
Calculer la tension de mesure et la sensibilité pour I
=1
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Corrigé détaillé
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·C0
i..jl La puissance d'émission de la diode laser est, si on l'exprime en dBm :
=
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OO A.
</>vr(dBm)
=
(
vr(mW)
l O log </>
l mW
)
=
7,0 dBm
Depuis la diode laser, 5 dB sont perdus à la connexion de la diode laser à la fibre de
transport, les 20 m de fibre enroulée entraînent une perte négligeable de aL = 0,2 dB
et 2 dB sont perdus à l'injection dans le prisme de Wollaston. La polarisation n' ayant
pas été modifiée par hypothèse, toute l'intensité se trouve sur la voie ordinaire du
249
15
•
Capteur de courant à fi bre optique
prisme ce qui entraîne une perte propre de 1 dB. 4 dB sont de nouveau perdus à l'in­
jection dans la fibre de transport et 5 dB à l'injection sur la photodiode. Les pertes
sont donc estimées à 17 ,20 dB . La puissance </Ji reçue par la photodiode PIN 1 est
donc :
(15. 1)
</Ji 7,0 dBm - 17 , 2 dB - 10,2 dBm 95,5 �tW
=
=
=
La valeur du courant délivré par l a photodiode PIN l s'en déduit aisément et on a :
li =
S PIN· </Ji + lobs = 47,7 µA
Comme aucune composante de polarisation ne se propage sur le mode extraordinaire
du prisme, la puissance </J2 reçue par la photodiode PIN 2 est nulle. Le courant délivré
par celle-ci est donc égal au courant d'obscurité.
''*.j À part la fibre mesure, aucun des autres éléments n'introduit de modification
de la polarisation de la lumière transmise jusqu'aux photodiodes. L'angle de rotation
total du plan de polarisation est donc donné par :
enroulement
de fibre
D'après le théorème d' Ampère, la circulation du champ magnétique sur un contour
fermé r est égale au courant total traversant toute surface s' appuyant sur ce contour.
Si le brin de fibre à l'entrée de l'enroulement est placé au plus proche du brin de fibre
à la sortie de 1 'enroulement, on peut considérer que 1 'enroulement de fibre constitue
un contour fermé. On a donc :
e
"'O
0
c
::J
0
......
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
= Ve lH dt = VeN
.
1
N représente le nombre de spires de fibre donné par N
L/2na :::::: 32. L'angle total
de rotation par ampère du courant dans le conducteur est donc 144 . 1 o-6 rad/A
8,25 . 1 0-3 0 /A.
L' angle de rotation du plan de polarisation ne dépend que du courant à mesurer et du
=
=
nombre de fois où la fibre entoure le conducteur. Il n'y a donc aucune erreur engen­
drée par l'excentrement du conducteur par rapport à l 'enroulement de fibre ni par le
fait que le conducteur puisse être ou non rectiligne.
l..1U La polarisation en sortie de la fibre de mesure ayant tourné de l' angle e pré­
cédemment calculé, il convient de projeter la direction de la polarisation sur les
directions ordinaire et extraordinaire du prisme de Wollaston. La puissance véhi­
culée par l'onde ordinaire est alors proportionnelle à cos2 e et la puissance véhicu­
lée par l'onde extraordinaire proportionnelle à sin2 e. Toutes autres grandeurs étant
250
Problème 1 5
restées identiques par ailleurs, les puissances reçues par les photodiodes sont donc
d' après ( 1 5 . 1 ) :
</J1 = 95,5 cos2 e �tW et </J2 = 95,5 sin2 e µW
·
·
Les courants correspondants sont alors donnés par :
/1 47,7 cos2 e µA et h 47,7 sin2 e �LA
=3
Pour I
=
·
000 A, on obtient e
=
24,75 ° soit
=
li = 39,3
·
�LA et /2
=
8,4 �LA.
l.."11 Il suffit de tourner le prisme de Wollaston de 45°. Ainsi pour un courant I nul
donc pour e = 0, on aura d'après ce qui précède :
li
=
47,7 · cos2 n/4 = 23 , 8 �LA
et
h
=
47,7 · sin2 n/4 = 23, 8 �LA
Pour un courant I non nul les courants seront :
li 47,7 cos2 + e µA et h 47,7 · sin2
=
·
(� )
=
(� + e) µA
( 1 5.2)
l.."1
1 Les amplificateurs opérationnels (supposés idéaux) de la figure 1 5.2 réalisent
une conversion courant-tension. On a V1
(15.2), la tension de mesure Vmes s'écrit :
Vmes
=
V2 - V1
V2 + Vi
h - Ii
12 + I.i
=
=
-R/1 et V2
-RI2 . En tenant compte de
(
(
2
�7r + e) - cos 7r� + e)
(
( = sm 28 = sm(2VeNI)
2
2
srn - + 8) + cos - 8)
4
4
sin2
.
.
+
.
La sensibilité de la mesure s'en déduit immédiatement :
S mes
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
=
2VeN cos(2VeNI)
Cette sensibilité est maximale pour les faibles valeurs du courant I.
1 ,44. 10-2 rad.
:
La tension de mesure est donc approximativement Vmes 2VeNI 28,8 mV et la
�
"O
c::::l sensibilité S mes
2VeN = 0,288 mV/A.
Pour les faibles courants, la mesure est relativement linéaire car, comme
�0
Vmes sin(2VeNI), le terme de non-linéarité est d'ordre 3 en 2VeNI.
:;
..
1..Jd Pour I = l OO A, on a 8 = 0, 825 °
�
�
�
'-'
'-'
"'
c:
0c:
=
=
=
c:
.S:
ü
"O:::l
12o.
2
B:::l
rS
-00
c::::l
a
@
L' éte ndue de mesure d u capteur étudié ici peut s'adapter à la mesure à effec­
tuer en changeant s i mplem ent le nombre de tours de fibre bobinés autour d u
conducteur e t l ' an g l e entre l e s d i rections ord inaire e t extraord i n aire d u prisme
251
15
•
Capteur de courant à fibre optique
de Wollaston et le plan de la fig u re 1 5 . 1 (on règ le a i n s i la val e u r d u courant 1
pour laquelle o n d é s i re fixer Vmes = 0).
Un problème l i é à la pui ssance mesu rée s u r chacu n e des voies se pose. Pou r
chaque vo ie, la p u i s sance mesurée e s t l a même p o u r e, - e e t ;r ± e s i bien que
l ' é lectronique de conditionnement doit être modifiée s i jamais l ' excursion d u
mes u rande courant l m è n e à cette i ndéterm ination.
Des tech n i q u e s plus complexes ont été déve l oppées afin de pal l i e r les défauts de
celle présentée ici. Essenti el lement, ces tech n i ques sont basées sur la réalisation
d ' u n interféromètre de type Sagnac comme le système présenté fig u re 1 5 . 3 .
Laser He-Ne bifréquence (v 1,V2)
Isolateur optique
Voie de référence du phasemètre
Voie de mesure du phasemètre
Cube 5 0-50
Analyseur
Analyseur
Cube séparateur de polarisation
À
4
-0
0
c
::i
0
(V)
..-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
À
4
Objectif
Objectif
N spires de
fibre
monomode
Figure
1 5.3 - Ampèremètre à interféromètre de Sagnac à laser bifréquence et
détection hétérodyne (les sigles o et l désignent les deux polarisations rectilignes
orthogonales et le sigle C+ la polarisation circulaire droite) (d'après P. Ferdinand,
« Capteurs à fibres optiques », 1 992 Editions Tee & Doc.)
252
P RO B L È M E :
A m pè re m èt re à ce i n t u re
d e Rog ows k i
16
Un certain nombre d'instruments de mesure du courant ou ampèremètres fonc­
tionnent sur le principe de la ceinture de Rogowski. Dans ces ampèremètres, on dé­
tecte la force électromotrice produite dans un bobinage par la variation du champ
d'induction magnétique créé par le courant à mesurer. Bien évidemment, il est néces­
saire que le courant soit variable dans le temps.
Énoncé
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
On considère le montage repré­
senté figures 1 6. 1 et 1 6.2. Un fil
conducteur est enroulé sur un tore
de matériau diélectrique. On sup­
pose que le fil utilisé est de dia­
mètre négligeable et que le bo­
binage est formé d'un très grand
nombre N de spires jointives de
rayon a. Ce tore, qui garde suffi­
samment de souplesse pour pouvoir
être ouvert et refermé, constitue une
ceinture de Rogowski. Cette der­
nière est ouverte puis refermée de
façon à introduire en son centre un
conducteur rectiligne, supposé in­
défini, confondu avec l' axe z et par­
couru par un courant /(t).
Figure 1 6. 1 - Ceinture de Rogowski
Fig u re 1 6.2 - Ceinture de Rogowski en coupe
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
11#11 Étudier la symétrie du problème et en déduire les propriétés du champ d' in-
=
lft) Par application du théorème d' Ampère, déterminer l'expression du champ
2o..
2
�
�
-0
0
"
=
Ci
@
---7
duction magnétique B créé par le courant /(t) en tout point M de l'espace : orientation
du champ dans le repère cylindrique (0 ,êp , êip ,êz) et dépendance en fonction des va­
riables p, cp et z.
--7
d'induction magnétique B dans tout l'espace.
253
16
•
Ampèremètre à ceinture de Rogowski
11511 Calculer le flux cf> du champ magnétique à l'intérieur d'une spire. On donne :
(27T __d_
e_
J0 1 + u cos e
2n
YI - u2
Sl
U<
1
( 1 6. 1 )
Dans l' approximation où a << r, déterminer le champ d'induction moyen (B) sur la
surface d'une spire et le comparer au champ B(r) au centre de la spire.
llHGI Donner l'expression du flux total cf>t dans le tore et en déduire l'expression de
la force électromotrice induite e aux bornes de ce dernier.
1141 On déplace le conducteur parcouru par le courant l(t) de tir parallèlement à
lui-même. Montrer qu' au moins jusqu'à l'ordre 2 en !ir/r, il n'y a pas d'effet sur la
valeur de cf>1• On supposera que le diamètre 2a du bobinage est suffisamment petit
devant le rayon moyen r du tore pour que le résultat de la question 4 quant au champ
moyen sur la spire reste exact, même si le fi1 est excentré.
lr:ml Pour la suite du problème, on considère de nouveau que le conducteur est
centré par rapport au tore. Montrer que l'ampèremètre est insensible aux champs ex­
térieurs tant que l'on peut considérer ceux-ci comme uniformes dans le volume du
tore.
11*4 Quel principal problème présente en l'état le dispositif de mesure réalisé ?
ll:W:I L'électronique de conditionnement est présentée figure 16.3 où les amplifica­
teurs opérationnels peuvent être considérés comme idéaux.
Établir la fonction de transfert H( p) Vmes( p)/e( p) de l'électronique de condition­
nement. Que réalise ce conditionneur si R2 C2 est suffisamment grand ?
=
-0
0
c
::J
0
(V)
l@J Donner la sensibilité S c du système de mesure du courant réalisé.
......
0
N
R
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
R
Figure
254
1 6.3 - Circuit de conditionnement
Problème 1 6
Corrigé détaillé
11511 On utilise le système de coordonnées cylindriques de la figure 16. 1 . Le fil pou­
vant être considéré comme infini, il y a invariance du problème par translation du fil
selon l'axe z et par rotation autour de cet axe. Le module B de l'induction magnétique
ne peut donc dépendre que de la variable p.
---7
L'induction magnétique B est perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution de courant. Soit le point M(p,<p,z) de l'espace où l'on calcule le champ. Le plan
contenant ce point et le fil rectiligne est plan de symétrie de la distribution de cou­
rant. Le champ d'induction magnétique est donc orthoradial et au total on a donc
---7
B = B(p) ê<fJ.
---7
lft.j On applique le théorème d' Ampère en calculant la circulation de B sur un
cercle r de rayon p. Il vient :
---7
---7
J; B d l
'Yr
Soit :
·
=
(2Jr
Jo
B(p)7<fJ pd<p7 <fJ =
•
(2Jr
Jo pB(p)d<p
=
2npB(p) = µ0l(t)
B = µol(t)
2np
( 16.2)
---7
11511 Considérons une spire du bobinage (figure 1 6.4) et calculons le flux </J de B
au travers de cette spire. Ce flux est donné par :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
</J =
..:
�
"O
c::::l
---7
l.
---7
---7
B(p) · dS
spi re
(16.3)
dS représente le vecteur élément de surface, perpendiculaire à la surface.
'-'
'-'
�
�0
:;
"'
p
c:0
c:
c:
.S:
ü
:::l
"O
12
o.
2
B:::l
rS
-00
c::::l
a
@
0
r
Fig u re 1 6.4 - Calcul du flux dans une spire
255
16
•
Ampèremètre à ceinture de Rogowski
---?
---?
Telle qu'est prise l' orientation de la spire on a dS = vdvd() êcp. Comme B
avec
r + v cos (), en utilisant (16.2), (16.3) devient :
p=
l( t) Ï/r (2n
l(t) Ï (2n vdvd()
o
o
µ
µ
r
</> =
2n )0 )0 r + v cos ()
2n )0 )0
Comme u v/r < 1, en utilisant (16.1) , il vient :
l(t) Ï/r 2nudu
o
µ
= o (t)r
r
1</> =
2n )0 Yl u2 µ l
=
=
[1 - �
_
Le champ moyen sur la spire est donné par :
= na2 J( B . dS
l
_
(B)
Si on considère que a
</>
�
µol(t) na2
2nr
«
[1
spire
0 ( )r
_±_2 = µ / 2t
=
na
na
[l �1
_
1
= B(p) êcp
udud()
+ u cos ()
( ::r )2 ]
_
( ::r )2]
r, ( 16.4) et (16.5) deviennent :
2
o ()
- � :: 2 + . .
et (B) µ l t 1 - � :: + . .
4 r
2nr
4 r
()
·
]
[
�
()
En se limitant au terme principal, on obtient :
(B)
�
(16.4)
B(r) et </> na2 B(r)
(16.5)
·
]
(16.6)
�
La courbe de la figure 16.5 présente l'erreur relative introduite sur le champ et sur le
flux en considérant les expressions de (1 6.6) en place des valeurs vraies données par
( 16.4) et (16.5).
Erreur (%)
0
-0
0
c
::J
0
-1
(V)
......
0
N
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
-2
0
0,1
�
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
0,2
air
0,3
Fig u re 1 6.5 - Erreur relative sur l'induction et sur le flux
On remarque que tant que a/r < 0,2, l' erreur relative introduite reste inférieure à 1 %.
256
Problème 1 6
lffl Le flux total <Pr dans le bobinage est la somme des flux dans les spires le
constituant, comme elles sont identiques et au nombre de
\&1 = µoNI(t)+ - �! -(�fj
N, on obtient :
La force électromotrice induite est donnée par la loi de Lenz, soit :
ll#Ji On considère une spire du tore de centre
gure
16.6.
dS
__,
Fibre moyenne
du tore
/
r
M
(16.7)
comme représentée sur la fi-
'
'
'
'
,' ' , ,,,
, • '+'
, '
, , ''
,i d
,/
'
'
,
, m '
,'
..,., 1
0
-j
i4---'�l I(t )
._.
/!t,.r
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
Fig u re 1 6.6 - Conducteur excentré
Le champ d'induction créé en par le courant
s'écrit
Consi­
dérons un arc élémentaire du tore de longueur
en
Il participe au flux total
dans le tore proportionnellement au nombre de spires qu'il contient, soit
En
utilisant l'approximation de la question 3, le flux dû à l'arc élémentaire considéré
s'écrit :
-- ·
· cos 1/1
M
�
""'
"
"'
"
"
'"
=
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
I(t) B(M) = µ0I/2nd.
rdcp M.
Ndcp/2n.
µol(t)
dcp(M) = na2 Ndcp
(16.8)
2n 2nd
D'après la figure 16. 6 , on a d2 = r2 + !!lr2 - 2r!!lrcos cp et !!lr2 = r2 d2 - 2rd cos l/J.
(16.8) devient :
!!lr
cos cp
1
µo
(t)
Ndcp
r
l
2
.
.
(16.9)
dcp(M ) = na 2n 2nr !!lr ( !!lr )2
1 - 2 -;- cos + -;+
_
_
_
_
_
_
_
'P
257
16
•
Ampèremètre à ceinture de Rogowski
On calcule le développement limité de ( 1 6.9) à l'ordre 2 en tir/r. On obtient :
tir
tir 2
dcp(M ) na2 Ndcp
--2n µol(t)
1 - cos cp - cos 2cp
2nr [
r
(r) l
Considérons M' le point symétrique de M par rapport à 0 pour lequel cp' = cp
On a :
Ndcp µol(t) 1 -tir cos cp -tir cos 2cp
dcp(M) + dcp(M,) na2 -·
�
�
2n
+
•
·
2nr
·
[
+
+1 -
+
r
tir
1
+
+
-;: cos cp
-tir 2 cos 2cp
µol(t) 2
= na2 Ndcp
-2n 2nr [ ( r )
·
( rtir)2
+ d-;:
( )2 l
l
+ Jf.
cos 2cp
(16. 10)
Le flux total est obtenu par intégration de (16. 10) selon cp :
(
!
[
µ
tir )2
(t)
0N
2
1
+
a
<Pt Jo 2nr
-;: cos 2cpl dcp
0Nl(t)a2
= µoNI(t) na2 = µ---=
(rr
2nr
"'O
0
c
::J
0
....
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
( 1 6. 1 1 )
2r
On retrouve que le terme principal de l'expression du flux n'est pas changé. Puisque
pour ce calcul le développement limité a été poussé à l'ordre 2 avant l'intégration, le
changement de la valeur du flux dû à l'excentricité ne peut être qu'un terme d'ordre 2.
Le système de mesure réalisé est donc peu sensible au centrage du conducteur dans
le tore constituant la ceinture de Rogowski.
ll#ld On considère un champ uniforme sur le volume du tore et une spire particu­
lière du tore. Le champ d'induction extérieur crée un certain flux au travers de la
spire. Considérons la spire symétrique de la première par rapport au centre 0 du tore.
Le champ d'induction y crée un flux exactement opposé à celui créé dans la première
spire puisque les vecteurs surface des deux spires sont opposés et que le champ est
uniforme. Au total, un champ extérieur uniforme sur le volume du tore ne créant
pas de flux dans ce dernier ne perturbe pas la mesure du courant circulant dans le
conducteur enserré par le tore.
11#4 L'équation (16.7) montre très clairement que la force électromotrice récupé­
rée aux bornes du tore est proportionnelle à la dérivée du courant à mesurer. Ceci ne
258
Problème 1 6
pose pas de problème dans le cas d'un courant purement sinusoïdal puisqu'il n'y a
alors qu'un simple déphasage entre la force électromotrice et le courant à mesurer et
que dans ce cas, la force électromotrice est proportionnelle à la fréquence du courant
sinusoïdal et à son amplitude.
En revanche, si on destine le système à la mesure de courants de formes plus com­
plexes et de régimes transitoires, le système de mesure ne peut être laissé en l'état.
l@:I Le premier amplificateur est un simple montage suiveur. On retrouve donc à
e.
R1,
l'entrée du deuxième amplificateur, sur la résistance
la force électromotrice
La fonction de transfert de l'électronique de conditionnement est dans ce cas égale à
ceIIe du deuxième amplificateur, soit :
(16. 12)
Ceci constitue la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre. En de­
hors de la bande passante du filtre, c'est-à-dire si
>
> 1, (16. 12) peut s' écrire :
R2C2w
Ceci constitue la fonction de transfert d'un intégrateur.
11:1#1 L'équation (16.7) permet de donner l'expression de la force électromotrice
dans le domaine de Laplace, soit :
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
La fonction de transfert du système est alors donnée par :
e( p) [l - �l - ( )2]
e( p) p) Ri C2
""'"
Vmes( P ) Vmei P)
Nµo r.
=
=
"'"
/(
/(
'"·C"
0
=
"'" La tension de mesure est proportionnelle au courant.
0
"" On en déduit la sensibilité, à savoir :
.3
""'ü2
�
=
p)
�
r
=
2
�
o..
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
259
16
•
Ampèremètre à ceinture de Rogowski
Les d i s po s i tifs de mesure du courant fonction nant s u r le principe de la ceinture
de Rogowski n ' u ti l i sent pas de matériaux magnétiques, i l s ne sont donc pas sou­
mis aux phénomènes d' hysté rés i s , de rémanence ou de satu rati on. Ils donnent
aux bornes de la cei nture une force é l ectromotrice, q u i après intégration est
l ' i mage presque parfaite d u courant pri maire ci rculant dans le conducteur.
Par construct i o n , ces systèmes sont peu sensibles à la position d u conducteur
primaire à l ' i ntérieur de la ceinture. Ceci n ' e st que théorique car, en fait, les
i m perfections de réalisation d u tore i m posent u n centrage d u conducteur sans
lequel les erreurs de mesure peuvent atte i n d re q u e l ques %.
De façon à l i m iter l ' i nfluence des champs magnet1ques externes certaines ver­
sions possèdent un bli ndage mag nétique assurant un m e i l l e u r comportement
CEM.
Les performances de ces d i po s i tifs dépendent très forte ment de la qual ité de
l ' é l ectronique de l ' i ntégrateur.
Traditionnel lement utilisé d e p u i s p l u s i e u rs décennies dans les domaines des
courants forts, ce type de d i s po s i tifs permet une préci s i o n de l ' o rdre de ±L %
de l' étendue de mesure pour les cei ntures fl exibles à ±0,2 % pour des sys­
tèmes rigides i n stallés en poste fixe. La bande passante s ' étend généralement
de q u e l ques hertz à quelques k i l o hertz.
Depuis q uelques années, la technologie P R I M E ® de la société LEM a permis de
réd u i re forte ment le coût de fabrication et l' encom brement de la ceinture, per­
mettant a i n s i de proposer à des prix attractifs des ve rsions dédiées aux fai b l e s
et moyens courants. L a s e u l e véritable l i m itation de c e type de d i s posit ifs reste
que, par nature, i l s ne permettent pas la mesure des courants cont i n u s .
-0
0
c
::i
0
(V)
0
N
.....
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
Figure 1 6.7 Ceinture de Rogowski flexible LEM (documentation LEM)
-
260
Problème 1 6
Fig u re 1 6.8 - Système LEM en technologie PRIME e (principe, bobine et dispositif)
(documentation LEM)
"'O
0
c
:J
0
(V)
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B
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@
261
1 7
P RO B L È M E :
Tra n s fo r m ate u r
d i ffé re n t i e l ( LV DT)
Les capteurs inductifs de type LVDT (Linear Voltage Differential Transformer) sont
constitués d'un bobinage primaire alimenté par une tension sinusoïdale. Le déplace­
ment d'un équipage mobile, principalement constitué d'un noyau ferromagnétique,
modifie les coefficients de mutuelle inductance entre le bobinage primaire et deux bo­
binages secondaires situés de part et d' autre de celui-ci. Une électronique de condi­
tionnement, utilisant un traitement de type push-pull des forces électromotrices in­
duites aux secondaires, délivre un signal analogique proportionnel au déplacement
de l'équipage mobile. Performances et fiabilité font du LVDT un des capteurs les
plus utilisés dans la mesure de précision des déplacements linéaires.
Énoncé
1 . P r i n c i p e d u capte u r
-0
0
c
::i
0
Soit le LVDT schématisé figure 1 7 . 1 et constitué d'un bobinage primaire alimenté
par un générateur alternatif et de deux enroulements secondaires identiques et sy­
métriques par rapport au primaire. Les bobinages primaire et secondaires constituent
trois solénoïdes coaxiaux que l'on supposera de même section et dans lesquels un
noyau ferromagnétique modifie par son déplacement le couplage entre primaire et
secondaires. Le noyau magnétique est solidarisé à 1 'objet dont on désire mesurer le
déplacement au moyen de la tige de guidage.
Secondaire
(V)
..-1
0
N
Primaire
Secondaire
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
; Secondaire
+ Primaire
Figu re 1 7. 1 - Principe du LVDT (vue éclatée et coupe)
262
Problème 1 7
On suppose que le primaire est alimenté par un générateur de courant sinusoïdal par­
fait = li cos(w t). Soient
et
les inductances des enroulements primaire et
secondaires et 1 , et
les résistances correspondantes.
Les coefficients de mutuelles inductances entre le primaire et les enroulements se­
condaires sont notés M' et M" lorsque le noyau magnétique se trouve déplacé
longitudinalement de la position centrale du noyau étant prise comme origine de
ces déplacements.
Les deux enroulements secondaires sont montés en opposition et le circuit est refermé
sur une impédance de charge Re, impédance d'entrée d'un étage de conditionnement
de la tension V2 (voir figure 17.2).
i1
L
,
L;
L�
1
R R; R�
(x)
(x)
x,
V.'1
RI
î
M'(x)
J�
~
Ei
12
Ki'
Re
î
V,
Figure 1 7.2 - Principe de la mesure
"'O
0
c
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0
(V)
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"
.3
ü
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2o..
2
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�
-0
0
"
=
Ci
@
On considère les deux bobines du secondaire de fabrication identique, c'est-à-dire de
même longueur lo = 4 cm et de même rayon ro = 5 mm. Chaque bobine est consti­
tuée d'un enroulement jointif de fil de cuivre de résistivité
1 ,72. 10-8 O..m et de
rayon r = 0,5 mm bobiné sur une couche. On a donc toujours
=
= R2 et au
repos, c'est-à-dire avec le noyau en position médiane,
0)
0)
p = R; R�
L;(x = = L�(x = = L2 .
lfjl On pose que Vi est l'amplitude complexe de la tension aux bornes de la
source. Donner les équations régissant le fonctionnement du système en régime per­
manent sinusoïdal.
lf#.j En déduire les expressions de h et V2 , amplitudes complexes du courant se­
condaire et de la tension aux bornes de la résistance de charge.
IMJ Calculer la résistance R 2 des bobines.
263
17
•
Transformateur différentiel (LVDT)
lfAI Calculer l'inductance L des bobines du secondaire si pour l'instant on ne tient
1
pas compte de la présence du noyau magnétique. Pour cela on fera 'hypothèse que
le champ qu'elles créent peut être assimilé à celui d'un solénoïde infini et on affec­
tera la valeur de l'inductance trouvée du facteur de correction de Nagaoka, à savoir
où r0 est le rayon de la bobine et sa longueur.
K=
On donne la perméabilité magnétique du vide µ0 = . 1 o-7 H.m - l .
(1 + 0,9(ro/lo) - 0,2(ro/lo)2 f 1
lo
4n
lfA1 Calculer les valeurs maximale et minimale de l'inductance que peuvent
700.
prendre les bobines L; et L�. On donne la perméabilité relative du matériau du noyau
magnétique µr =
IQd On suppose que la longueur du noyau est supérieure à la longueur du bobinage
primaire de sorte que, quelle que soit sa position, il occupe toujours l'espace intérieur
de ce bobinage. Montrer qu'alors L;(x) + L� (x) est constant.
1f#4 On donne f 1
=
000 Hz (fréquence de l'alimentation) et Re 1 OO kQ. Compte
�
tenu de ces valeurs, donner l'expression approchée de la tension V2 .
IJJ:I En utilisant le fait que le fonctionnement est push-pull, donner une expression
de M' (x) - M" (x) et en déduire 1 'expression de V2 au premier ordre.
I l . É l ectron i q u e de co nd itionnement
IJJ!J On note vi l'expression réelle correspondant à l'écriture complexe VieJwt , à
savotr :
vi
"'O
0
c
::J
0
= I Vi l cos (wt + arg(Vi))
On prélève la tension vi , proportionnelle au courant primaire, aux bornes de la résis­
tance R1 . Les tensions vi et v2 sont utilisées comme entrées du circuit de condition­
nement schématisé figure
où E est une tension constante, le circuit déphaseur
étant représenté figure
17.3
17.4.
......
(V)
Suiveur
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
Filtre 1
E
Déphaseur
,, ,,
-E ---�
V V
= z. I
V3
--�--�
Multiplieur
Filtre 2
v"
1
Figure 1 7.3 - Circuit de conditionnement
17.4
L'amplificateur opérationnel utilisé étant considéré idéal, calculer la valeur à donner
au produit RcpCcp dans le circuit de la figure
pour que le signal v�' soit de même
amplitude que la tension v'i mais en quadrature retard.
264
Problème 1 7
R'f'
vl'
v1"
Figure l 7.4 - Montage déphaseur
lfjltl Le filtre 1 est un filtre passe-bande étroit, accordé sur la pulsation d'alimen­
tation w du LVDT et destiné à filtrer le signal d'éventuelles composantes indésirables
provenant de parasites ou des non-linéarités du capteur. On considère qu'autour de la
pulsation w, le filtre est de gain G et n'entraîne pas de déphasage notable. Déterminer
1 'expression de la tension u3 en sortie du multiplieur.
ltlll Le filtre 2 de la figure 17.3 est un filtre passe-bas à cellule de Rauch comme
schématisé sur la figure 17 .5. Déterminer de façon générale la fonction de transfert
du filtre à cellule de Rauch. On explicitera celle-ci en fonction des admittances des
branches Yi = l/Zi.
Z3 = Z4 = R = 1 kQ et Z2 = Z5 = 1 /jCw . On
note w0 = l/RC. Donner à partir du calcul précédent l'expression de la fonction de
transfert du filtre.
lfjtC,I Pour ce filtre, on pose Z1
=
lfjil Calculer la valeur de C pour que la fréquence de coupure à -3 dB soit
fc = 20 Hz.
"'O
0
c
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0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
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>a.
0
u
ltlll Déterminer l'expression de la tension de mesure V
mes
..:
�
"O
c:
la figure 17 .3 et la sensibilité S
'-'
'-'
�
�0
c:
.S:
ü
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"O
12
o.
2
B
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rS
de la mesure.
is
Î4
:::l
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"'
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c:
mes
Ve
i,
z,
Z4
i2
en sortie du filtre 2 de
Z3
Zs
Z2
vs
-0
0
c:
:::l
a
@
Figure l 7.5 - Filtre à cellule de Rauch
265
17
•
Transformateur différentiel (LVDT)
Corrigé détaillé
1. P r i n c i pe d u capte u r
lfAI Les deux secondaires étant montés en opposition, les forces électromotrices
induites par le primaire se soustraient et d'après le schéma électrique de la figure
17.2, on a en régime permanent sinusoïdal :
{
V1 = [Ri + jLiw] 11 + [jw (M"(x) - M'(x))] 12
0 = [jw (M"(x) - M'(x))] /1 + [Re + 2R2 + jw (L;(x) + L�(x))] h
lf#.j Les amplitudes complexes du courant secondaire et de la tension aux bornes
de la résistance de charge sont alors données par :
jw (M"(x) - M'(x))
h
Re + 2R2 + jw (L;(x) + L�(x))
jw (M'(x) - M"(x))
�=
�h
Re + 2R2 + jw (L;(x) + L�(x))
h=-
(17.1)
lf#J Comme les bobines du secondaire sont identiques, de longueur lo et consti­
tuées de fil de rayon r = 0,5 mm bobiné en spires jointives sur une couche, on a donc
N = lo/2r = 40 spires par bobine. Elles sont donc de résistance :
"'O
0
c
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0
(V)
0
N
......
@
.......
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Ol
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>
a.
0
u
R2 =
·
p N2nro/nr2 = 27 ,5
m.Q
�
lt411 Le champ d'induction B créé par un solénoïde vide et infini est nul à l'ex-
térieur de celui-ci. Il est coaxial, uniforme et de module B = µon! à l'intérieur du
solénoi'de où µo est la perméabilité de l'air (prise égale à celle du vide), n le nombre
de spires par unité de longueur et I le courant parcourant le solénoïde. Pour un so­
lénoi'de de longueur lo créant ce champ d'induction, le flux total de ce dernier au
travers des nlo spires de surface nr est cp = nlon B = µon2 lonr I = LI avec ici
n = N/lo = 1/2r. On en tire l'expression de l'inductance L = µon2 lonr . En prenant
en compte le facteur de correction de Nagaoka, il vient :
6
rÔ
6
µolonro2
1
= 3,56 µH
L=
4r2 1 + 0,9(ro/lo) - 0,2(ro/lo)2
266
6
Problème 1 7
lfA1 On peut borner l'intervalle des valeurs de L; et L�. En effet, chacune de ces
bobines ne peut avoir une d'inductance inférieure à L, valeur prise par une des in­
ductances si aucune partie du noyau ne se situe dans son espace intérieur. De même,
chacune de ces bobines ne peut avoir une inductance supérieure à µrL, valeur prise
si l'ensemble de l'espace intérieur de la bobine est comblé par le noyau. On a donc
= 3,56 µH et
= µrL = 2,49 mH.
�.min
�.max
IQd On note l'i/ la différence de longueur du noyau et du bobinage primaire. Les
deux bobines secondaires étant en série, elles se comportent quelle que soit la posi­
tion du noyau, comme une bobine à noyau ferromagnétique de longueur l'i/ en série
avec une bobine à noyau d'air de longueur 2/o - l'i/. L;(x) + L� (x) est donc constant.
lfb Compte tenu des valeurs numériques données, au maximum on obtient :
Comme R2
=
27,5 mn et Re 2'.: lOO kQ, (17.1) devient :
V2 jw(M'(x) - M"(x)) Ii
�
ifj:I Puisque le montage est push-pull, les coefficients de mutuelle induction
peuvent se développer sous la forme :
{ M'(x) = M(O)
œx + f3x2 + ôx3 + . . .
M"(x) M(O) + œ(-x) + /3(-x)2 + ô(-x)3 + . . .
+
=
La tension s'écrit donc au premier ordre :
( 1 7.2)
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(V)
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"
=
"'
"
"
'"
·C0
La tension aux bornes de la charge est en quadrature avec le courant primaire, avance
ou retard selon la valeur de x. Elle varie de façon quasi linéaire pour des faibles dépla­
cements par rapport à l'origine, centre du dispositif, comme le montre la simulation
de la figure 1 7.6.
=
"'
"
0
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"
.3
ü
=
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2o..
2
�
=
�
-0
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"
=
Ci
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267
17
•
Transformateur différentiel (LVDT)
v2 (unités arbitraires)
-3
0
x
+3
(cm)
Fig u re 1 7.6 - Amplitude de la tension V2
I l . É l ectron i q u e de co n d i t i o n n e m e n t
lfA#J En écriture complexe, on a en régime permanent sinusoïdal :
V'1
e1 = JC'P1 w R'P +V'1 1
+
-- ------
}C'Pw
"'O
0
c
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0
(V)
0
N
L
L
e-l = V"1 + R'P V'2R'P- V"
V'1 + V"L
L'amplificateur étant idéal, la contre-réaction amène
......
2
et = el'
soit :
@
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
Ce qui peut encore s'écrire :
l e2 jtp
V1II - V'
-
avec
Pour que le signal v�' soit en quadrature retard par rapport à v� , il suffit que
On doit donc choisir R'PC'Pw = 1 .
268
<p =
/4
-n
.
Problème 1 7
lfjlt) Aux entrées du multiplieur on retrouve les signaux E, v�' et v'{ . Ce dernier
est le signal issu du LVDT passé par le suiveur et filtré par le filtre 1. D'après ( 1 7.2)
et puisque le filtre ne déphase pas le signal et est de gain G, v'{ -2œwGfi x sin(wt)
vi' est un signal à l'image du courant primaire, déphasé et en quadrature retard, soit
v�' = R 1 I1 sin(wt).
Le signal de sortie du multiplieur est donc :
�
v3
�
-
2wœGR 1 If
E
x sin\wt)
=-
wœGR 1 If
E
x ( 1 - cos(2wt))
( 17.3)
lfjll D'après le circuit de la figure 17.5, on a :
13 l
Ve = Y3 Y11
.
.
l3 l4 1 l3 l3
t
s
l
3
Vs = - - = - = - = 2
Ys
Ys
Y
Y4
Y
Y
Ys
3
3
2
i2 i4
.
.
- + -
.
-
i1
+ i3
=
.
.
-
-
-
.
-
+
-
.
-
-
( 1 7.4)
La résolution de ( 1 7.4) conduit à :
lfjt} En développant H( p) en fonction des admittances données, il vient :
1
(RC)2
Vs
H( p) = - = 3
Ve
p2 + -p +
-----
RC
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>a.
0
u
1
(RC)2
w20
=
( 1 7.5)
lfAIJ En régime sinusoïdal permanent, ( 17.5) devient :
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2
En continu, on a H(O)
résolvant IH( jwe)I = IH(O)I / Y2 soit tous calculs faits :
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
2
Vs
Wo
H( jw) = - = - ---Ve w6 - w + j3wow
= - 1 . La fréquence de coupure le à -3 dB est obtenue en
le --
�
v'53 - 7
2
lo --
�
v'53 - 7
2
1
2nRC
le = 20 Hz impose C = 2,978 µF.
269
17
•
Transformateur d ifférentiel (LVDT)
lfAll Comme 2f
>
>
fc où f est la fréquence d'alimentation du LVDT, on peut
considérer que la composante alternative de v3 est totalement éliminée par le filtrage
et compte tenu du fait que H(O) = - 1 , il vient d'après ( 17.3)
Vmes �
wœGR 1 lf
E X
( 17.6)
Sous les approximations effectuées, on obtient une tension de mesure proportionnelle
au déplacement du noyau magnétique à l 'intérieur des bobines du LVDT.
La sensibilité de la mesure se déduit immédiatement de ( 17 .6) et on a :
Les caractéristiques métrologiques des LVDT en font des capteurs de dé place­
ment très couramment utilisés aussi bien dans l'asservissement d' actionneurs
l i néaires et le contrô le de position comme pour l ' é q u i pement de vérins hydrau­
l i q u e s q ue comme partie i ntégrante de systèmes de métrologie d i m e n s i onnelle
comme les pal pe u rs mécan iques pour machines à mesu rer tri d i mentionnel les.
-0
0
c
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0
(V)
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N
Figure l 7.7 - LVDT et équipement LVDT d'un vérin (documentation Sensorex)
@
Les caracté ristiques de ces LVDT varient selon l e u r uti l i sati o n . On a cou ram ment
des étendues de mesure al lant de ± 1 m m (pour un palpeur) à ±500 m m (pour
un LVDT de grande longueur) pour des s e n s i b i l ités allant de 500 mV/mm · V à
l mV /mm·V. Typiquement l' écart de l i néarité est de 0, l %.
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
Le même principe peut être util isé pour réal i s e r u n RVDT (Rotary Voltage Diffe­
rential Transformer) q u i permet la mesure de dép lacements angulaires, un rotor
mag nétique modifiant le couplage entre un pri maire a l i menté en s i n u soïdal et
deux secondai re s .
2 70
P RO B L È M E :
1 nte rfé ro m èt re
d e M ac h -Ze n d e r u t i l i s é
e n capte u r d 'a n g l e
18
Ce problème présente l'utilisation qui peut être faite d'un interféromètre en capteur de
déplacement angulaire, le déplacement angulaire ne constituant ici qu'un mesurande
secondaire. L'intérêt d'un tel principe est la possibilité de réaliser le montage selon
un principe MOEMS (Micro Optic Electro Mechanical System) réalisant ainsi un
capteur intégré.
Énoncé
L'interféromètre de Mach-Zender est un interféromètre à deux ondes constitué de
deux miroirs M 1 et M2 parfaitement réfléchissants et de deux lames séparatrices
identiques S 1 et S 2 , semi-réfléchissantes disposées à 45f sur la direction des rayons
lumineux. Ces lames ont un coefficient de transmission énergétique de 50%.
L'interféromètre est éclairé par une diode laser DL fournissant une onde supposée
plane et monochromatique de longueur d'onde À = 633 nm (voir figure 18.1). L'in­
tensité de l'onde de sortie de l'interféromètre est mesurée par une photodiode P.
11:11 En l' absence des deux lames de verre L i et L2 présentes sur la figure 18.1, quel
est le déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode et s'étant réfléchies
l'une sur M 1 et l'autre sur M2 ? En déduire l'éclairement de la photodiode.
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L2
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Fig u re 1 8. l Principe de l'interféromètre Mach-Zender
-
271
18
I nterféromètre de Mach-Zender uti lisé en capteu r d'angle
•
ll:f.J On introduit sur le trajet des rayons lumineux et perpendiculairement à ces
derniers, les deux lames de verre L 1 et L2 , de même épaisseur e = 1 mm et de même
matériau d'indice n = 1 ,5. L'interféromètre étant supposé dans le vide, quel est le
déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode ? Quel est l'éclairement de
la photodiode
?
11:11 La lame L2 est tournée d'un angle (} par rapport à un axe passant par son centre
11L
et perpendiculaire au plan de la figure 1 8 . 1 . Calculer la différence de marche
in­
troduite entre les deux ondes (celle se réfléchissant sur M 1 et celle se réfléchissant
sur M2 ) en fonction de e, n, r et (} où r est l'angle de réfraction à l 'intérieur des lames
de verre.
11:11 En utilisant la loi de la réfraction de Descartes et en considérant (} petit, cal­
culer, au premier ordre non nul en (}, la différence de marche
et
B.
11L
en fonction de e, n
ll:Ji En déduire le déphasage 11cp entre les deux ondes sur la photodiode.
ll:ld Donner l'expression de l'intensité lumineuse /((}) reçue par la photodiode en
fonction e, n,
B, À
et de l'intensité /0 émise par la diode laser.
B.
11:14 Étudier le comportement de l'intensité reçue /((}) en fonction de l' angle
L'angle (} n'est que le mesurande secondaire d'un mesurande primaire non précisé
lCl.
Le capteur est conçu (butée mécanique) pour que l'angle (} ne puisse dépasser la
valeur
à laquelle correspond le premier minimum de l'intensité.
Le chemin géométrique de la diode laser à la photodiode est = 1 ,2 cm.
La diode laser émet une puissance
= 3 mW en continu de façon supposée uni­
forme dans la section du faisceau. Cette section est supposée circulaire de diamètre
= 50 µm en sortie de la diode. La divergence du faisceau est d = 1 mrad et la
longueur de cohérence temporelle = 1 0 µm .
La surface utile de réception de la photodiode supposée circulaire est de diamètre
= 60 µm et sa sensibilité S P = 0,85 A.W
à la longueur d'onde de la diode laser
utilisée.
Bmax
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Pd
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11:1:1 Quelle limite théorique la diode laser impose-t-elle sur la valeur de
Il:!#) Calculer la puissance maximale
Pp,max1
Bmax ?
reçue par la photodiode et le courant
correspondant
fourni. Pour cela, on fera 'hypothèse que 1' absorption et la ré­
flexion par les éléments tels que les miroirs et les lames sont négligeables.
imax
272
Problème 1 8
11:111] L'électronique de traitement du courant de la photodiode permet une réso­
lution de imax/50. Calculer la résolution angulaire
()max/2.
/1()
du système au voisinage de
11:111 Comment peut-on améliorer la résolution d'un tel capteur ?
Corrigé détaillé
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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Ci
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273
19
P RO B L È M E :
Ét u d e d ' u n e t h e r m i sta n ce
e n u t i l i s at i o n bo l o m é t r i q u e
po u r l a d é te r m i n at i o n
à d i sta n ce d e l a
te m pé ratu re d ' u n co r p s
Dans une utilisation bolométrique, une thermistance permet de déterminer la puis­
sance radiative émise par une cible et d'en déduire sa température. La mesure est
évidemment réalisée sans contact. Bien que l'invention du bolomètre date de 1 878,
son principe reste très actuel. Il permet de réaliser, comme ici, un pyromètre à poste
fixe et est aussi utilisé dans le développement des nouvelles caméras thermiques (ca­
méras bolométriques ou caméras thermiques non refroidies) où chacun des pixels de
l'imageur est en fait un microbolomètre de principe identique à celui décrit dans ce
problème.
Énoncé
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0
c
::J
0
(V)
0
N
Dans ce problème, on notera T une température exprimée en Kelvin et t cette même
température exprimée en degré Celsius.
On considère une thermistance dont la résistance est donnée par :
R(T)
......
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.......
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Ol
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a.
0
u
=
RoexpB
[ _!_ �i
T
-
To
( 1 9. 1 )
B est une constante positive, T la température absolue et T0 une température de réfé­
rence. On rappelle qu' à la température de t = 0 °C correspond la température absolue
T = 273 , 15 K.
Les seules caractéristiques données par le constructeur sont R(T 1 ) = 5 000 à
t 1 = 25 ° C et R(T2 ) = 4 135 à t2 = 30 ° C.
n
n
ii#li Calculer la valeur de B, en déduire le type (CTN ou CTP) de la thermistance.
ii#f.j Établir une expression de R(T) en fonction de R(T1 ), B, T et T1 , puis calculer
R(T) pour des températures t variant de degré en degré de 25 à 30 °C.
2 74
Problème 1 9
000 n.
IPIJ La thermistance est montée en pont simple avec trois résistances fixes de va­
leur R 1 = 5
Le pont est alimenté par une source de courant continu parfaite
lg = 2 mA (voir figure 19. 1 ).
Déterminer la tension de mesure Vmes puis exprimer R(T) en fonction de Vmes , lg
et R 1 .
V,nes
R(T)
Fig u re 1 9. l - Montage en pont de la thermistance
IPll On place l'ensemble précédent dans une enceinte thermostatée à ta = t1 , soit
à 25 °C (figure 19.2). Quelle devrait être la tension de mesure si on effectuait un
raisonnement trop simpliste ?
RI
Ig
R(T)
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V,nes
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Fig u re 1 9.2 - Enceinte thermostatée
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IPJ1 Le montage étant celui de la figure 19.2, on mesure une tension de déséqui­
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"
=
Ci
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libre du pont Vmes = - 1 5 mV. Conclure quant à la température de la thermistance .
Calculer la résistance de la thermistance pour cette tension de déséquilibre et en dé­
duire sa température t en °C et son auto-échauffement !!lta = t - ta.
IQd Soient P la puissance dissipée par effet Joule par la thermistance,
1
(en
W · K- ) son coefficient d'échange thermique avec 1'enceinte, M (en kg) sa masse
et C (en · kg- 1 K- 1 ) sa chaleur massique. Établir l'équation différentielle du bi­
lan thermique de la thermistance. En déduire en régime permanent la relation reliant
1
J
Ka
•
275
19
•
Étude d'une thermistance en utilisation bolométrique ...
la puissance dissipée par effet Joule par la thermistance à son coefficient d'échange
thermique avec l'enceinte et à son auto-échauffement b.. Ta .
1
1PH En revenant au circuit électrique, établir l'expression de la puissance P dissi­
pée par effet Joule en fonction de R(T), Ri et lg et la calculer pour la valeur ta
de la température de l'enceinte.
=
25 °C
l@!:I En déduire la valeur du coefficient d'échange thermique Ka .
IPIJ En reprenant les résultats des questions précédentes, calculer pour des tempé­
ratures t de la thermistance variant par pas de 1 °C de 25 à 30 °C, la puissance P1(t)
qu'elle dissipe par effet Joule et son auto-échauffement b..ta . Montrer que ces derniers
sont pratiquement constants. Pour la suite on les considérera constants.
On considère maintenant une utilisation du système en bolomètre. Une fenêtre est
pratiquée dans l'enceinte pour y loger une optique qui permet à un rayonnement ex­
térieur d'atteindre la thermistance et d'y être en partie absorbé (voir figure 19.3).
V:nes
Figure 1 9.3 - Principe d u bolomètre
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0
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0
(V)
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N
......
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.......
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Ol
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a.
0
u
On suppose que ces modifications n'entraînent pas d'évolutions des caractéristiques
du système précédent.
ii#llt) Soit <Pa la puissance du rayonnement absorbée par la thermistance. Écrire
l'équation différentielle du bilan thermique de la thermistance en fonction de Ka ,
b.. Ta, T, Ta , </Ja , M et C. En déduire en régime permanent la relation reliant l'échauf­
fement total b.. T de la thermistance à son auto-échauffement et à la puissance <Pa
absorbée.
Le système est placé en regard d' une paroi dont il aura en charge la mesure de la
température et qui pour simplifier est considérée comme un corps noir. La paroi est
portée à une température tcn = 700 °C. La distance à la paroi est suffisante pour
ne pas perturber entre autre l'enceinte thermostatée tout en laissant suffisamment de
rayonnement atteindre la thermistance.
2 76
Problème 1 9
{en
R,
Paroi
�
..
..
Ili
..
V,nes
1
R(T)
/
©
RI
Ig
R,
Figure 1 9.4 - Principe de la mesure
La pmssance <Pa absorbée par la thermistance provoque une déviation du pont
Vmes = 250 mV.
-
11#111 En déduire la valeur de la résistance de la thermistance, son échauffement !1t
et la valeur de la puissance absorbée <Pa ·
ll#JtJ La paroi est maintenant à une température t�n inconnue. La puissance absor­
�
bée </> par la thermistance provoque une nouvelle déviation du pont v:nes = - 1 OO mV.
En déduire la valeur de la résistance de la thermistance, son échauffement 11t' et la
puissance absorbée
cp� .
11#111 En déduire la température inconnue t�n ·
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Corrigé détaillé
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Com plément en ligne
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l ' auteur : www.esiee- amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
2
B
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"°0
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Ci
@
277
20
P RO B L È M E :
P i n ce a m pè re m ét r i q u e
AC- D C
Les pinces ampèremétriques et les capteurs de courant à poste fixe pour circuits im­
primés fonctionnent selon le même principe. Ils permettent tous deux la mesure du
courant circulant dans une portion rectiligne de conducteur. La différence essentielle
entre ces deux types de capteurs réside dans le fait que la pince peut s'ouvrir pour
venir entourer le conducteur alors que ce dernier doit être enfilé au travers du capteur
à poste fixe.
S ' il ne s'agit que de mesurer des courants alternatifs, une technique de transfor­
mateur de courant suffit. Le secondaire est bobiné sur un anneau de matériau ferro­
magnétique entourant le conducteur parcouru par le courant à mesurer qui constitue
le primaire du transformateur. Le courant dans le secondaire est alors à l'image du
courant dans le conducteur primaire.
Lorsque l'on cherche à mesurer un courant continu ou lentement variable, cette
technique ne peut plus convenir. On utilise le même principe de base et on remplace
le bobinage secondaire par une sonde à effet Hall insérée dans le matériau ferroma­
gnétique.
Ce problème présente une étude simplifiée des capteurs à sonde à effet Hall. Deux
types de montage dit en boucle ouverte et en boucle fermée sont étudiés. Le montage
en boucle fermée encore appelé montage à flux nul, en annulant le champ dans l'an­
neau ferromagnétique, permet de limiter les courants de Foucault et d'augmenter de
façon importante la bande passante du système de mesure.
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2 78
Problème 20
Énoncé
1. Pri n c i pe d u fo nct i o n n e m e n t en bou c l e ouve rte
On considère un anneau de matériau ferromagnétique doux (proportionnalité des
champs d'induction et d'excitation magnétiques) de perméabilité relative µr, de rayon
moyen r et pouvant s'ouvrir, constituant ainsi une pince pouvant entourer un conduc­
teur parcouru par un courant l (voir figures 20. 1 et 20.2). Une petite cavité dans le
matériau ferromagnétique permet d'y insérer une sonde à effet Hall.
Figure 20.1 - Anneau ferromagnétique et conducteur du courant à mesurer
Matériau ferromagnétique doux
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Fibre moyenne
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B:::l
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Poignées
Poignées
Conducteur
Figure 20.2 - Schéma de principe de la pince ampèremétrique
2 79
20
•
Pince ampèremétrique AC-OC
La sonde à effet Hall utilisée est une sonde Honeywell SS94Al dont les caractéris­
tiques sont les suivantes :
SS94Al Sensor
Tableau 20. 1 Caractéristiques de la sonde linéaire à effet Hall
-
(d'après documentation Honeywell)
Mean Feature
Gen. purpose
Supply Voltage Vs (VDC)
6.6 to 1 2. 6
Supply Current ls (mA)
1 3 typ. 30 max.
Response Ti me
3 typ.
Output Current /0 (mA)
Ts
1 max.
(µs)
Range (gauss)
-500 to +500
Sensitivity S, (mV/gauss@ 25 °C)
5.0 ± 0.1
Linearity (% span)
-0.8 typ. - 1 . 5 max.
Vaur
(V@V,
=
8 V , O ga uss, and 2 5 ° C)
4.00 ± 0.04
Temperature Error (ail o/os reference 25 °C va l ue)
N u l l {%/°C)
±0.02
Gain (%/°C)
±0.02
La sonde à effet Hall est insérée dans le matériau ferromagnétique créant un entrefer
de largeur faible d (voir figure 20.3).
1
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r
Fig u re 20.3 Implantation de la sonde à effet Hall
-
t;.{111 En considérant le fil comme infini, établir à partir du théorème d' Ampère l'ex­
�
pression de la circulation du champ d' excitation magnétique H sur la fibre moyenne
�
�
du circuit magnétique, soit en = r. On notera respectivement Hair et Hferro les
valeurs de ce champ dans l'entrefer et dans le matériau magnétique.
p
t�llfl Dans l'hypothèse où 1' entrefer est faible et les lignes parfaitement guidées
(champ purement orthoradial), déduire du résultat précédent l'expression de l' ampli­
tude B du champ d'induction magnétique en = r en fonction de µo, µn !, r et d.
p
t1111 L'intensité maximale du courant à laquelle on limite l'utilisation de la pince
..
est Imax = l OO A. On admet qu' à l'induction correspondant à ce courant, on reste
dans la partie linéaire de la caractéristique B(H) et donc que µr est une constante.
280
Problème 20
Donner, en utilisant les caractéristiques de la sonde, la valeur maximale Brnax du
champ d'induction auquel on peut la soumettre puis calculer la valeur minimale rrnin
de r correspondante. On donne µo = 4n . 10-7 H.m- 1 , µr = 700, d = 2 mm et on
rappelle que l'unité légale (S.I.) de l'induction, le tesla, vaut 104 gauss.
t�llll On considère que c'est la valeur rrnin de r qui est utilisée et que la valeur
moyenne <B> du champ d'induction sur la sonde de Hall est égale à sa valeur en
= rmin· La température de la sonde est de 25°C et celle-ci est alimentée sous
si le capteur est conditionné comme sur la
= 8 V. Déterminer l'excursion de
figure 20.4.
pVs
Vmes
SS94Al
Fig u re 20.4 - Conditionnement
mes l'1Vmes!1'11.
ôl
ôVmes Vmes
Pi•J1 Donner en mV/A, la sensibilité de la mesure S
t.•llld Déterminer l'écart à la linéarité
=
de
et l'erreur
sur une mesure du courant I circulant dans le conducteur.
t.:.014 On s'intéresse maintenant
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ainsi introduite
à la bande passante de la pince ampèremétrique
réalisée. On suppose que l'évolution de la perméabilité relative du matériau magné­
tique peut être approchée par un modèle passe-bas du premier ordre, de fréquence de
= 5 kHz.
coupure
La réponse de la sonde à effet Hall peut aussi être considérée comme étant du premier
ordre. On suppose que le temps de réponse donné dans le tableau 20. 1 , est le temps
correspondant à 5 % si bien que
3r où est le temps caractéristique. Calculer
de la sonde.
la fréquence de coupure
L'amplificateur opérationnel utilisé possède une fonction de transfert en boucle ou­
verte H(p) = A/( l +
avec A = 105 et = 15 ,92 ms. Déterminer la fréquence
de coupure
de l'amplificateur tel qu'il est utilisé dans le montage de condi­
tionnement.
Évaluer l'ordre de grandeur de la fréquence de coupure du système de mesure.
Lequel des trois éléments constitutifs conditionne cette valeur ?
fc,ferro
T
s
fc,s
T
o
)
a
pP
fc,ampli
�
T
T
fc
281
20
•
Pince ampèremétrique AC-OC
tro!:I Les courants de Foucault produits dans le matériau magnétique échauffent ce
..
dernier. Par conduction et rayonnement, une certaine quantité de chaleur est trans­
mise à la sonde à effet Hall provoquant une augmentation de sa température et donc
une variation de la sensibilité de la mesure. Le problème est d'autant plus gênant
que la puissance dissipée par les courants de Foucault est, pour un champ variant
sinusoïdalement dans le temps, proportionnelle au carré de 1' amplitude du champ
magnétique et au carré de sa fréquence, caractéristiques dépendant évidemment du
courant à mesurer. On introduit donc par cet effet une non-linéarité supplémentaire.
Evaluer Vmes pour une augmentation de température 11T = l 0 °C par rapport à la
température de référence de 25 °C et pour le courant Imax = 100 A. En déduire la va­
riation de tension ôVmes créée par la variation de température 11T et l'erreur ôl ainsi
introduite sur la mesure du courant :
ôVmes
=
VmesU = l OO A, T = 25 + 1 0 °C) VmesU = l OOA, T = 25 °C)
-
I l . P r i n c i pe d u fo nctio n ne m e n t en bo ucle fe rmée
V'mes
!'
Vs
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SS94A l
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u
R
v-
V.-e1 = 4V
R
vuut
R
R
v;nes
Fig u re 20.5 - Fonctionnement en boucle fermée ou montage à flux nul
Pour pallier les problèmes liés au matériau magnétique (bande passante, échauffe­
ment par courants de Foucault, etc.) on se propose de modifier le système selon le
schéma de la figure 20.5.
t;.{1@ Expliquer le fonctionnement du montage à flux nul.
282
Problème 20
trollt) Estimer le nombre N de spires parcourues par le courant !' afin que ce der­
..
/�ax
nier ne dépasse pas
= 100 mA. On fera l'hypothèse que le matériau ferromagné­
tique est de section carrée a2 et que les spires sont bobinées serrées sur ce dernier.
t.:.(1111 Préciser les avantages du montage à flux nul.
Corrigé détaillé
1. Pri n c i pe d u fo nct i o n n e m e n t en bou c l e ouve rte
t.:.(111 On utilise le système de coordonnées cylindriques de la figure 20. 1 . Le fil
pouvant être considéré comme infini, il y a invariance du problème par translation
du fil selon l' axe z et par rotation autour de cet axe. Le module H de l'excitation
magnétique ne peut donc dépendre que de la variable
p.
�
L'excitation magnétique H est perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution de courant. Soit le point M(p,<p,z) de l'espace où l'on calcule le champ. Le
plan passant par ce point et contenant le fil est plan de symétrie de la distribution
de courant. Le champ d'excitation magnétique est donc orthoradial et au total on a
�
H = H(p)�e cp ·
�
On applique le théorème d' Ampère en calculant la circulation de H sur la fibre
moyenne r du circuit magnétique. Il vient :
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Jr H · d l Jo H(r)-J
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cp
•
rdcp-Jcp =
Jo rH(r)d<p
=
I
L'entrefer d étant faible, on peut écrire :
=
·C0
=
(27r
Hjerr0 (27rr - d) + Haird = l
(20. 1 )
t.:.(1f) Considérons un tube de champ élémentaire de l'induction magnétique de sec­
tion dS . Considérant que l'entrefer est faible et que le champ d'induction magnétique
B est purement orthoradial, le tube de champ est alors de section dS constante.
�
�
�
Le champ d'induction étant à flux conservatif, le flux élémentaire B dS s'écrit
B-Jcp dS-Jcp = BdS et est constant au travers d'une section du tube de champ.
On en déduit que l'induction magnétique B est constante sur la fibre moyenne r.
·
•
283
20
•
Pince ampèremétrique AC-OC
En
utilisant les relations constitutives du matériau ferromagnétique
(B(r) = µrµoHferro(r)) et de l'air (B(r) = µoHair(r)) dans le résultat (20. 1 ), il
vient :
B(r)
B(r)
(2nr - d) + - d
µrµo
µo
Ce qui s'écrit encore :
B(r) =
=
l
µoµrl
2nr + d (µr - l)
(20.2)
t;.{111 La pince étant limitée à la mesure d'un courant maximal Imax
l OO A et
la sonde à effet Hall ayant une étendue de mesure de ±Bmax = ±500 gauss soit
±500. 10-4 T, on obtient de (20.2) la valeur minimale rmin du rayon de la fibre
moyenne du matériau magnétique :
[ -- ( )]
1
µr µof
rmin = - d 1 - - = 5 ,75 cm
27f Bmax
µr
t�Z.11 La sensibilité donnée de la sonde à effet Hall à 25 °C est S s = 5 mV/gauss
sous une alimentation Vs = 8 V.
La tension au repos (i.e. en champ nul) est Vau1(B = O T,T = 25 °C) = 4 V.
Au maximum, on a donc Vaut = Vout(B = O T, T = 25 °C) ± S s (T = 25 °C) · B m x , le
signe ± tenant pour les deux sens possibles du courant dans le conducteur. L' excur­
sion de Vaut est donc de (4 ± 2,5) V.
Le montage de la figure 20.4 étant un simple montage suiveur, on a :
a
Vmes
=
Vaut E [ 1 ,5; 6,5]
t.t.I1Jj La sensibilité S mes de la mesure est donnée par :
"'O
0
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0
(V)
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0
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a.
0
u
�Vmes �Vmes �Vaut �B � Vaut �B
=
=
= S s �B
�!
� Vaut � �/
�B �!
�!
Le champ d' induction étant proportionnel au courant I à mesurer, on peut calculer la
sensibilité en remplaçant �B/�l dans l'expression précédente par Bmax/lmax· 11 vient
S mes =
alors :
S mes
. =
�Vmes
�/
=
Ss
Bm
-=
lmax
ax
5 mV/gauss
·
500 gauss
= 25 mV/A
100 A
,
t.t.I•ld L'erreur de linéarité typique donnée dans le tableau 20. 1 est de -0 8 %. Ceci
induit un écart maximum de la tension de sortie Vmes par rapport à la linéarité de :
ôVmes = -0 , 8 % · (6,5 - 1 , 5) = -40 mV
L'erreur ôl ainsi introduite sur une mesure du courant I circulant dans le conducteur
est donc de ôl = ôVmes/S mes = - 1 ,6 A.
284
Problème 20
t.:.uH Pour évaluer l'ordre de grandeur de la fréquence de coupure
fc du système de
mesure, on s'intéresse au comportement fréquentiel des trois éléments constitutifs.
La perméabilité relative du matériau magnétique pouvant être approchée par un mo­
=
la fonction
dèle passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure
de transfert du circuit magnétique est obtenue à partir du résultat
fc,ferra 5 kHz,
(20.2) :
µo 1
+ TferroP
B(p)
/(p) 2rcr + d (µr(P) - 1)
(20.3)
(2rcr d + µrd) ( 1 + 2rcr2rcrd +dµrd TferroP)
Avec Tferro l/(2rcfc,ferro ) 31,83 µs, (20. 3 ) conduit à la constante de temps :
Tf, erro 2rcr2rcrd-+dµrd Tferro 6,50 µs
La fréquence de coupure correspondante est donc J;,1erro 24, 5 kHz.
La sonde à effet Hall a une réponse de type premier ordre de constante de temps
donc de fréquence de coupure fc, s donnés par :
T = Ts/3 = 1 µs et fc,s = 159,2kHz
Sa fonction de transfert s'écrit :
Vout(P)
B(p) 1 + TsP
L'amplificateur opérationnel utilisé possède une fonction de transfert en boucle ou­
verte H(p) = A/( l + TaopP).
Le montage étant un suiveur, on a (V0w - Vmes) · A/(l + TaopP) Vmes soit :
Vmes (P) ( A ) ( 1aop )
Vour(P) 1 +A l + 1T+A P
La fréquence de coupure fc,ampli de l' amplificateur est donc donnée par :
fc,ampli = 2TCl +A
Taop = 1 MHz
Parmi les trois éléments constitutifs, c'est le circuit magnétique qui possède la bande
passante la plus faible. La fonction de transfert VmesCP)/l(p) du système de me­
sure est donc principalement conditionnée par la réponse du circuit magnétique.
L'ordre de grandeur de la fréquence de coupure fc du système de mesure est donc
de J;,ferro = 24, 5 kHz.
-
-
=
-
=
=
-
=
=
r
=
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=
285
20
•
Pince ampèremétrique AC-OC
t.J1l:I En utilisant les données du tableau 20. 1 et les résultats précédents, il vient :
VmesU = l OO A , T = 25 °C) = 4 V + 500 gauss · 5 mV/gauss = 6,5 V
VmesU = l OO A, T = 25 + l 0 ° C)
= 4 V · ( 1 + 0,02 %/° C · 10 ° C) + 500 gauss · ( 1 + 0,02 %/° C · 10 ° C) · 5 mV/gauss
= 6,513 V
L'erreur introduite par 1' augmentation de la température de la sonde à effet Hall est
13 mV. Ceci correspond à une erreur sur le courant mesuré donnée
donc ôVmes
par :
1 3 mV
ôVmes
= O 52 A
ô/ =
=
'
S mes 25 mV/A
I l . P r i n c i pe d u fo nctio n ne m e n t en bo ucle fe rmée
t.J1a:J Le générateur de courant est commandé par la tension de mesure Vmes· Consi­
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dérons un courant I dans le conducteur. L' amplificateur opérationnel étant monté en
soustracteur, le signal Vmes est Vmes = V0w - Vref· Comme Vref = 4 V, Vmes n'est à
l'image que des seules variations de Vaut engendrées par le champ d'induction ma­
gnétique. On a soustrait la composante continue de Vaut et Vmes est directement pro­
portionnel au champ d'induction magnétique. Avec un sens du courant tel qu'indiqué
sur le schéma de la figure 20.5, le champ d'induction magnétique dans le circuit ma­
gnétique est de la forme B7ip et Vmes est positif. Le transistor NPN de l' alimentation
de courant est donc conducteur et le transistor PNP bloqué. Un courant !' proportion­
nel à Vmes donc à I circule dans 1'enroulement bobiné sur le circuit magnétique dans
le sens schématisé sur la figure 20.5. Ce courant crée un champ d'induction magné­
tique - B7ip qui s'oppose au champ B7ip créé par le courant I dans le conducteur.
Le système en boucle fermée s' équilibre de façon à ce que le champ d' induction et
donc le signal de sortie de 1' amplificateur opérationnel soient nuls.
t.J18ll) Pour obtenir la valeur du nombre N de spires, il faut tout d'abord déterminer
�
l'expression du champ d' induction B' créé par /'. Sous les mêmes hypothèses que
�
pour le calcul de B à savoir un entrefer faible et des lignes de champ parfaitement
orthoradiales, le théorème d' Ampère appliqué sur un contour circulaire de rayon p
centré sur 1' axe z et passant dans le matériau ferromagnétique donne :
Hjerro (27rp - d) + H�ird = NT'
De la même façon qu'à la question I.2, on en déduit l'expression du champ d'induc­
tion magnétique :
(p) =
µoµrNI'
B'
2np + d (µ r 1 )
-
286
Problème 20
1
Pour déterminer 'expression du nombre de spires, on utilise le fait que le champ B
créé par le courant I est totalement compensé dans le circuit ferromagnétique par le
champ B' créé par le courant I'. En particulier pour les valeurs maximales de champ,
on écrit BUmax) = Bmax = B' U:Uax ).
Ce champ d'induction étant une fonction de on calcule la valeur moyenne (B') de
l'induction B' sur la section du matériau ferromagnétique. Celle-ci est donnée par :
p,
rmin +a/2
a
/
l+
2
dp
d
(B') µoµrNI'
z
a -a/2 Lrmin -a/2 d(µr - 1 ) 2np
µoµrNI' ln d(µr - 1) + 2n (rmin + �2 )
(20.4)
2na
d(µr - 1) + 2n (rmin - �)
2,5.10-4 · NI'
N est alors déduit de Bmax
500.10-4 T (B'U:Uax )) 5.10-4 NI:Uax • soit
N 1000.
On remarque que si on avait calculé le champ moyen <B) sur la section du circuit
magnétique, on aurait obtenu un résultat similaire à (20.4) :
d(µr
- 1 ) 2n (rmin + � )
µoµ
2
<B>
,. ln
(20.
5
)
a
2na
d(µ,. - 1 ) 2n (rmin - 2 )
Compte tenu des valeurs numériques utilisées, on a d(µ,. - 1)
2n (rmin ± a/2). Le
développement limité de (20. 5 ) jusqu'au deuxième ordre donne :
1
2
=
=
=
)
[
-----
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=
=
=
=
[
l
+
)
+
+
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Ce résultat est à prendre en compte relativement à la valeur de B(rmin) utilisée dans les
calculs. L'erreur commise reste faible et l'hypothèse faite au à savoir de confondre
la valeur moyenne <B) du champ d'induction sur la sonde de Hall et sa valeur en
= rmin est raisonnable, en effet :
p
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
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1.4
<B) - B(rmin)
B(rmin )
=
(- d(µr2nrmin- 1) )2 _617. 10_2
=
t:.(1111 La tension de mesure V�es à l'image de /' permet donc d'avoir accès au
courant I à mesurer.
287
20
•
Pince ampèremétrique AC-OC
En régime permanent, le champ total dans le ferromagnétique étant nul, il n'y a plus
d'échauffement par courant de Foucault et la limitation de fonctionnement lié au
comportement fréquentiel du matériau magnétique est bien moindre.
La multiplication du nombre de spires de l'enroulement sur le circuit magnétique
permet de contrebalancer 1'effet du courant l par un courant !' relativement faible.
Les deux tech niques étudiées dans ce problème de mesure des cou rants AC­
DC offrent chacu n e un certain nom bre d ' avantages et d ' i nconvé n ients. Elles pré­
sentent toutes deux l ' avantage d ' u n e bonne iso lation galvanique mais également
l ' i nconvé n ient d ' u n e assez fai b l e i m m u n ité aux champs mag nétiques exte rnes.
Figure 20.6 - Capteur de courant
(fonctionnement en boucle fermée) à souder
sur carte (documentation LEM)
Fig u re 20.7 Pince ampèremétrique
-
(documentation Chauvin-Arnoux)
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(V)
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N
Les capteurs de courants conçus s u r le fonctionnement en boucle ouverte béné­
fic i e nt d ' u n e é l ectro n i q u e s i m pl e et sont donc d ' u n coût peu élevé. Le u r fai b l e
consom mation reste principalement l i m itée à celle de la sonde à effet H a l l . Ce­
pendant, ce principe présente l ' i nconvé n i e n t de chauffer le matériau mag nétique
par courants de Foucault et donc la mesure présente une s e n s i b i l ité forte ment
variable e n fonction de la fréquence d u s i g nal à mesurer. De p l u s , dans le cas de
la mesure d'un courant conti n u , i l peut se pro d u i re u n e dé rive liée à l' i n d uction
rémanente du matériau magnétique. Les capteurs commerc i a l i sés présentent une
bande passante de l ' o rdre de 0 - 50 kHz, u n e e rreur de l i néarité typique de ±0,5 %
et u n e précision de l ' ordre de ± 1 %.
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288
Problème 20
Les capteurs de cou rant conçus s u r le fonctionnement en boucle fermée sont do­
tés d ' u n e é l ectro n i q u e plus complexe et sont donc d ' u n coût p l u s é l evé. Le u r
consom mation, d u fait de la présence de la source de courant nécessaire à
la contre-réaction, est aussi p l u s é levée. Par p r i n c i pe, puisqu' i l y a annu lation
d u champ d ' i n d uction dans le matériau fe rromag nétique, i l n ' y a pas de perte
ni d' échauffe m e nt par cou rants de Foucault ni d'ex i stence d ' une i n d uct ion ré­
manente du matériau magnétique. Les capteurs comme rcialisés présentent une
bande passante de l ' ordre de 0- 200 kHz, une erreur de l i néarité typique de ±0, 1 %
et une précision de l ' ordre de ±5 %.
Si le courant à m e s u re r varie suffisamment rapidement dans le te m p s , une autre
tech n i q u e peut être e m p l oyée. Cel le-ci uti l i s e la force électromotrice i n d u ite par
les variations d u courant pri maire dans un secondaire bobiné s u r un noyau non­
ferromagnétique. L' i n convé n i ent de cette tech nique est que la force é l ectromo­
trice ind u ite au secondaire est à l ' i mage de la dé rivée du courant. Une tech nique
pe rmettant de d i s poser d'un s i g nal de m e s u re à l ' i mage d u courant consi ste à
utiliser le pri n c i pe de fonctionnement de la cei nture de Rogows k i q u i i ntègre la
force é lectromotrice d u secondaire.
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289
21
P RO B L È M E :
Capte u r a n g u l a i re
ro b u ste @
La volonté d'améliorer la commande des actionneurs des engins de chantier afin d'en
obtenir une cinématique plus souple et plus précise nécessite, entre autres, la mise au
point de capteurs angulaires particulièrement robustes. Ces capteurs destinés à tra­
vailler dans une atmosphère sévère (climat, poussière, humidité, etc.) doivent pouvoir
fournir une mesure en temps réel de 1' angle d'une articulation et ceci en supportant
les vibrations et les chocs. Les grandeurs d' influence (atmosphère, chocs, vibrations,
etc.) sont telles que les solutions industrielles existantes sont peu adaptées, principa­
lement en raison de la liaison mécanique des deux parties mobiles de l'articulation.
Ce problème traite d'une partie de l'étude de faisabilité d'un capteur angulaire de
type inductif destiné à être utilisé sur un engin de chantier.
Énoncé
1 . Cod e u r a n g u la i re i n d u ctif
Soit un codeur angulaire inductif destiné à la mesure de l'angle articulaire e de deux
éléments droits d'un engin de chantier que sont, par exemple, le balancier et la flèche
d'une pelleteuse (voir figures 2 1 . 1 et 2 1 .2)
Balancier
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Figure 2 1 . 1 - Vue latérale d'une articulation de pelleteuse
Le schéma de principe de cette articulation et les notations utilisées sont présentées
figure 2 1 .2.
@ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l' avant-propos de l'ouvrage)
290
Problème 2 1
z
Flèche
amortisseurs
--Axe de rotation
Fig u re 2 1 .2 Schéma de l'articulation
-
Le capteur angulaire doit être particulièrement robuste. Il doit être en mesure de four­
nir en temps réel la valeur de 1' angle articulaire () tout en présentant une sensibilité
des plus faibles aux grandeurs d'influence. Celles-ci sont principalement les mou­
vements possibles (vibrations et chocs) dans les directions x, y et z de la flèche par
rapport au balancier, mouvements rendus possibles par la conception Uoints amortis­
seurs) et l' usure dans le temps des pièces mécaniques. Le capteur doit être de plus
insensible aux autres grandeurs d'influence que sont les mouvements et accélérations
de l'ensemble de l'articulation fixé (déplacement de la pelleteuse), la température,
l'humidité, la poussière, le rayonnement infrarouge...
L'étendue de mesure est limitée
[ -40° ,40°]. La solution étudiée est celle
d'un potentiomètre inductif bobinage multiple. Deux pièces cylindriques coaxiales
sans contact, l' une solidaire de la flèche (le stator induit) l'autre du balancier (le rotor
inducteur) portent sur leur périphérie quatre groupes de bobinage constituant quatre
capteurs élémentaires. Chaque capteur élémentaire est constitué d'un bobinage ins­
tallé sur le rotor (solidaire du balancier) et en regard, de quatre bobinages installés sur
le stator (solidaire de la flèche) comme le présente la figure
Le sens de l'enrou­
lement est identique pour les différentes bobines. Aucune liaison mécanique n'existe
entre le rotor et le stator.
Les bobines de l'inducteur sont montées en série et alimentées par une source de
courant sinusoïdal 19 la fréquence fg = 1 OO kHz.
à
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21.3.
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Bobinage
stator induit :
flèche
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Bobinage rotor
i nducteur :
balancier
Figure 2 1 .3 - Capteur élémentaire
291
21
•
Capteur angulaire robuste
Les bobines de l' induit sont numérotées de b 1 à b8 et de h 1 à h 8 selon les schémas
des figures 2 1 .4 et 2 1 .5.
z
Rotor
y
X
Stator
Figure 2 1 .4 - Principe
du système
Fig u re 2 1 .5 - N u mérotation des bobines
(pour les bobines indicées b
sur la fig u re 2 1 .4)
Lorsque le système est dans sa position de repos, chaque bobine rotor étant centrée
par rapport aux quatre bobines stator qui lui font face et les axes rotor et stator étant
confondus, chaque bobine stator est le siège d'un force électromotrice eo.
t.jli On considère un déplacement du rotor par rapport au stator. Ce déplacement
peut être constitué d'une rotation d'angle e (que l'on cherche à mesurer), d'un glis­
sement de l' axe du rotor par rapport à celui du stator selon zÛz ou d'un déplacement
latéral de l'axe rotor selon xÛx + yÛy (grandeurs d'influence à éliminer). Ûx, Ûy et
Ûz sont les vecteurs unitaires des trois axes. Donner au premier ordre, en considérant
de faibles déplacements à partir de la position de repos, les variations tiei des forces
électromotrices induites dans les bobines du stator.
t.jf:.J Déterminer quelle association série des bobines permet d'obtenir une varia­
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tion ti Vmes de la tension de mesure Vmes aux bornes de l'ensemble qui soit, au premier
ordre, indépendante de x, y et z, et présente la meilleure sensibilité par rapport à e.
L'amplitude Vmes du signal de mesure évolue dans le temps en fonction de l' évolution
de l'angle e à déterminer et, de façon résiduelle, en fonction des déplacements para­
sites selon les directions x, y et z. On suppose que le spectre utile de VmesCt), fonction
implicite du temps, est l'intervalle [O ; fu ].
Une résistance R9 est placée en sene avec le capteur et on note
v9 = R9!9 cos w9t la tension aux bornes de cette résistance. Cette tension ainsi
que la tension de mesure servent d'entrée à un multiplicateur analogique dont le
signal de sortie est v(t) = v9(t)Vmes(t)/E (voir figure 2 1 .6).
292
Problème 2 1
V
E
(t) (t) (t)
=
Vmes
. Vg
E
z
Filtre
Figure 2 1 .6 - Circuit de conditionnement
t.jll Pour une fréquence f du spectre utile de VmesCt) , donner l'expression du signal
de sortie v1(t) du premier étage du conditionneur.
En généralisant à tout le spectre utile du signal de mesure, en déduire le spectre du
signal v(t). On considérera que le spectre de v(t) ne contient que des composantes de
fréquences très inférieures à 2wg .
t.jll Le filtre de la figure 2 1 .6 est un filtre passe-bas à cellule de Rauch comme
schématisé sur la figure 2 1 .7. Déterminer de façon générale la fonction de transfert
H( p) du filtre à cellule de Rauch. On explicitera celle-ci en fonction des admittances
=
des branches.
Yi l/Zi
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z1
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Z3
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Z2
Figure 2 1 .7 - Filtre à cellule de Rauch
t..111 Pour ce filtre (figure 2 1 .7), on pose
Y1 Y3 Y4 I/R R
=
=
=
avec = 1 kQ,
Cp et Y2 kCp. Par identification de la fonction de transfert à celle d'un filtre
passe-bas du second ordre, donner 1' expression du facteur d'amortissement Ç et la
pulsation propre wo .
Y5
=
=
t.jlêJ On fixe le facteur d'amortissement à Ç
1 V2.
/
En déduire la valeur de k.
Montrer que dans ce cas le gain G(w) du filtre s'écrit simplement et que la pulsation
de coupure Wc à -3 dB est égale à la pulsation propre wo .
=
293
21
•
Capteur angulaire robuste
t.j*4 De façon à ne conserver dans le spectre de v(t) que le spectre utile de VmesCt),
on fixe G(2wg) = Go - 80 dB. En déduire la valeur à donner au condensateur C.
t.jl:I Donner alors l'expression du signal Vs(t).
t..IM Un prototype est réalisé et on relève la tension de mesure Vmes(B) en fonction
de l'angle B. Les résultats de cet étalonnage sont reportés dans le tableau 2 1 . 1 .
-
Tableau 2 1 . 1 Étalonnage
(} ( ° )
-40
- 1 05,74
Vmes (mV)
en
+10
+41 ,56
Vmes (mV)
-30
-94,08
+20
+72, 1 6
-20
-70,84
-10
-40,08
+30
+92,38
-0
-1,1 5
+40
+1 05,63
Évaluer la sensibilité de la mesure et l'erreur de linéarité. On donne Rlg/2E = 2.
On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés,
d'équation y = ax + b, passant par N couples de points de mesure (xi ,yi) sont donnés
par :
N
N
N
N L: xiyi - L: xi L: Yi
a=
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------N t. xf - (t. xJ
i=l
i=l
i=l
(21 . 1)
t.jlltl La non-linéarité étant importante, on se propose de réduire celle-ci de façon
à obtenir dans l 'idéal un signal de la forme KB. Montrer que l'inversion de la relation
vs(B) peut permettre de linéariser la mesure pour peu que l'on puisse réaliser un signal
qui soit un polynôme dont la variable est la tension Vs ·
t.jlll Une régression polynomiale de la relation B(vs) montre qu'avec une bonne
précision on peut écrire pour vs exprimé en volts et B en degrés :
B = 1 ,504. 104 · v� + 3 1 ,2 1 5 · v; + 202 , 823 · Vs - 0, 1470
(21 .2)
À partir d'une approximation de la relation B(vs), donner les valeurs des résistances
R4 et Rs à utiliser dans le montage de la figure 2 1 .8 de façon à linéariser le signal
de mesure et de générer un signal v� = KB avec K = 1 00 mV/°. On considère les
composants idéaux et on donne Vref = 1 00 mV, R1 = R3 = 1 k.Q et R1 = 1 00 kQ.
294
Problème 2 1
vs'
Fig u re 2 1 .8 - Circuit de conditionnement du signal
Corrigé détaillé
Com plément en l i g ne
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/contenus-complementaires/9782100701674
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295
22
P RO B L È M E :
A n é m o m è t re à fi l c h a u d
Parmi les différentes techniques d' anémométrie, une méthode relativement fiable
consiste à plonger dans l'écoulement du fluide un fil fin métallique (généralement
pour les gaz) ou un film métallique (généralement pour les liquides) pouvant présen­
ter une géométrie plus ou moins complexe (fil droit, serpentin ...) Le capteur résistif
constitué par cet élément métallique est chauffé par effet Joule. Si sa température est
supérieure à la température du fluide, le capteur perd de la chaleur au profit du fluide.
L'échange thermique entre le capteur et le fluide se fait principalement par convection
et est fonction des propriétés du fluide, de sa vitesse et de l'écart de température entre
le fluide et le capteur. Le capteur acquiert alors une température donc une valeur de
sa résistance fonction de la vitesse du fluide.
Une des problématiques de cette méthode de mesure est liée à la température du
fluide qui doit être parfaitement connue et stable. Toute erreur sur la mesure de la
température du fluide entraîne une erreur importante sur la détermination de la vitesse
du fluide.
Ce problème étudie dans un premier temps une technique simple de mesure de la
vitesse du fluide. Le conditionnement électronique du capteur maintient sa tempéra­
ture constante. Ce montage présente l'inconvénient de posséder une grande sensibilité
aux variations ou erreurs de mesure de la température du fluide.
Dans un second temps, une technique de mesure permettant de s'affranchir de la
mesure de la température du fluide est présentée. Cette dernière technique est inspirée
d'un article paru dans IEEE Transactions on Instrumentation and Measurements, vol.
52, n° 5, pp. 1 554- 1 558, October 2003.
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L'anémomètre à fil chaud étudié ici est constitué d'un fil métallique résistif de résis­
tance
fonction de sa température Tc, dans lequel circule un courant I. La puissance
dissipée par effet Joule fournit de la chaleur au fil qui en rétrocède une certaine quan­
tité au fluide à la température Tf (Tf < Tc) circulant à la vitesse v. La chaleur cédée
au fluide par le fil est fonction des températures du fluide et du fil et de la vitesse du
fluide. Le fil constitue alors un capteur de mesure de la vitesse du fluide dans lequel
il est plongé.
Re,
296
Problème 22
1. Mo ntage à te m pérat u re con stante
Un montage classique consiste à condi­
tionner le capteur selon le montage
de la figure 22. 1 afin de maintenir
constante sa température. À tempéra­
ture du fi. uide donnée, si la vitesse du
fluide augmente, la température du fil
et donc sa résistance ont tendance à di­
minuer. La contre-réaction du montage
provoque une augmentation du courant
circulant dans le fil et donc de l'effet
Joule de façon à ramener la tempéra­
ture du capteur à sa valeur initiale.
V
Fig u re 22. 1 - Conditionnement
On suppose que l'amplificateur opérationnel utilisé possède une fonction de transfert
en boucle ouverte de la forme H(p) = A/(1 + rp) et on pose k = Ri/(R1 + R2 ).
tljl
a) Exprimer les entrées e+ et e- de l' amplificateur en fonction de k, V et Ve
puis établir la relation liant V et Ve dans le domaine de Laplace en fonction de T, p, k
et A.
b) En déduire dans le domaine temporel, l'expression de l'équation différentielle
reliant V et Ve. Donner l 'expression de Ve en régime permanent.
tJ..f.<I À partir de la figure 22. 1 , établir la relation donnant Re en fonction de Ru, V
et Ve puis en utilisant le résultat précédent exprimer Re en fonction de Ru, k et A.
(V)
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approximation Re = Ro(l + o:Te)
où Ro représente la résistance du capteur à 0 °C. En utilisant la question précédente,
exprimer la température Tc du capteur en fonction de Ru, Ro, a, V et Ve puis en fonc­
tion des constantes Ru, Ro, a, k et A.
Conclure quant à ces deux derniers résultats.
tj..11 L a résistance du capteur peut s'écrire en 1
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ère
tJ..ttl Soit P la puissance dissipée par effet Joule par le capteur, calculer P en fonc­
tion de Ru, V et Ve.
tJ41 Soit C
= me
la capacité calorifique du capteur (où m est sa masse et c sa ca­
pacité calorifique massique) et S la surface latérale du fil dont il est constitué. Soient
Tf la température du fluide et v sa vitesse. On suppose que la chaleur fournie par
le capteur au fluide pendant l'intervalle de temps élémentaire dt peut se mettre en
première approximation sous la forme S (a + b Yu)(Tc - Tf )dt. Cette expression dite
297
22
•
Anémomètre à fil chaud
formule de King n'est valable que pour un domaine précis de vitesse, de température
et de viscosité du fluide qui ne sera pas précisé ici.
Établir le bilan thermique du capteur en fonction de P.
tlJd On suppose que le régime permanent est atteint. Déterminer l 'expression de
la vitesse v du fluide.
tlM Plutôt que de calculer la vitesse du fluide à partir des valeurs constantes Tc,
Re (voir questions I.2 et 3 et de la mesure de P via celle de Ve (voir question I.4),
on suppose que l'on dispose d' une électronique capable de mesurer V et Ve. Cette
électronique est à même d'effectuer les calculs nécessaires à la détermination de Tc
et de P à partir des mesures de V et Ve et des constantes du problème, R0, Ro et a .
En effet, déterminer la température Tc du capteur par le calcul nécessite de connaître
parfaitement les valeurs de Ru, Ro, a, k et A ce qui reste délicat pour certaines gran­
deurs notamment pour A. De plus toute variation de la tension de décalage de l'am­
plificateur opérationnel, effet non pris en compte ici, entraînerait une variation de la
température du capteur et fausserait donc les résultats.
a, b, S , a, Ro et Ru étant des données du problème, quel est l'inconvénient majeur
toujours présent lors la détermination de la vitesse v du fluide à partir des mesures de
V et Ve ?
fil
=
est un alliage de résistivité
l , 15. 10-7 Q m à 0 °C, de rayon
r = 20,0 µm et de longueur
= 7 ,50 cm. Calculer la valeur de sa résistance Ro à
0 °C.
t/j:I Le
l
p
t/jiJ Des mesures sur ce montage pour un fluide à la température T1 = 20 °C
donnent V 5, 1 2 V et Ve 2,57 V. Déterminer P, Tc et la résistance Re du cap­
1
teur. En déduire la vitesse V du fluide. On donne a = 1 ,72. 10-3 0 c- , Ru = 7,52 Q,
a = 1 375 W .m-2 • c- 1 et b = 976 W .s 112 • m-512 • 0 c- 1 .
=
-0
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
=
t/jltJ Si on commet une erreur de 1 °C sur la détermination de la température du
fluide, quelle erreur relative commet-on sur la détermination de la vitesse à partir des
mêmes mesures de V et Ve ?
298
Problème 22
I l . Montage à compen sation de températu re à u n capte u r
Pour pallier la difficulté précédente, on rem­
place la résistance Ru par un système commutant à la fréquence f et où la résistance
Ru prend alternativement les valeurs Ru1 =
,52 Q et Ru2 = ,32 Q ; le reste du montage
restant identique. On suppose comme précé­
demment que les mesures sont toujours ef­
fectuées une fois l'équilibre atteint. On fait
de plus l'hypothèse que la fréquence de com­
mutation est suffisante pour considérer que la
température du fluide et sa vitesse n'évoluent
pas sur une période de commutation.
7
7
Figure 22.2 - Commutation
tjjll Donner les expressions des puissances P 1 et P2 respectivement en fonction
tjjt.j Donner les expressions des températures Te l et Te2 en fonction de et Ro et
a
respectivement de Vi , Vcl , Ru1 et V2 , Vc2 , Ru2 ·
tjjlJ On suppose qu'après chaque commutation les mesures des tensions V1, Ve l ,
V2 et Vc2 s'effectuent une fois l'équilibre atteint et que l'on dispose d'une unité de
calcul capable de stocker ces valeurs et d'effectuer les calculs nécessaires. À partir
des bilans thermiques propres à chaque état de commutation, déterminer l'expression
de la vitesse v du fluide en fonction de Pi, P2 , Te l et Te2 · Conclure quant à cette
mesure.
Corrigé détaillé
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
=
1. Mo ntage à te m pérat u re con stante
a) D'après la figure 22. 1, R1 et R2 constituent un diviseur de la tension V,
VRi/(R1 + R2 ) kV. On a directement e - Ve. La fonction de
·C0 si bien que e+
=
transfert en boucle ouverte de l' amplificateur opérationnel étant H( p) = A/(l + rp),
"'
"
"
'"
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
tjji
=
=
=
on obtient à la sortie de ce dernier :
V = H( p)(e+ - e-)
=
A
1 + rp
(kV - Ve)
Après réarrangement, on obtient l'équation liant, dans le domaine de Laplace, V et
Ve, soit :
rp V + ( 1 - Ak)V + A Ve = 0
299
22
•
Anémomètre à fil chaud
b) Dans le domaine temporel, cette expression devient :
dVdt -Ak)V +A Ve =
(AkAVc = V--­
T-
+ (1
(22. 1 )
0
En régime permanent, il vient simplement :
1)
Re Ru
Ve = VRc/(Rc +Ru).
tll':.I
Soit
et
(22.2)
réalisent un diviseur de tension de la tension
En utilisant (22.2), il vient :
V.
Re = V Ve-VeRu = A(lAk- -k)1 1 Ru
(22.3)
+
t/M À partir de la loi d'évolution de la résistance du capteur, la température de ce
dernier peut se mettre sous la forme :
Tc - _!_œ ( ReRo- Ro )
_
Soit, en utilisant (22.3) :
+
-RoV ) = ( (Ak - A(ll)(Ru-k)+ Ro)1-ARo )
Tc = œRo ( Ru Ro)Vc
V - Ve
œRo
l
_
_
(V)
0
N
......
l
_
_
œ,
(22.4)
Ru, R1 R2
A
t/Jtl Le calcul de la puissance dissipée par effet Joule par le capteur est immédiat
et on obtient en utilisant le résultat (22.3) :
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
+
On remarque qu'en régime permanent la résistance du capteur et sa température sont
asservies à rester constantes et leurs valeurs ne dépendent que de la valeur de la
résistance
du capteur au repos (à la température de référence de 0 °C), de son
coefficient thermique des autres résistances du pont
et du gain en
et
boucle ouverte de l'amplificateur opérationnel.
Ro
"'O
0
c
::J
0
(
dt,
ôQc
t/41 Pendant la durée
Vc(VRu- Ve)
P = -Rcv; = ----
(22.5)
la différence entre 1 'énergie ôQr reçue par le capteur par
effet Joule et l 'énergie
qu'il rétrocède au fluide est égale à l'énergie ôQa qu'il
accumule et qui provoque une augmentation
de sa température. On a donc le
bilan thermique suivant :
= = Pdt - S
ôQr - ôQc ôQa
300
(a +
dTc
b Yu)(Tc - Tj )dt = mcdTc = CdTc
Problème 22
Soit encore :
= CdTcdt
dTc/dt =
r::
P - S (a + b vu)(Tc
- T1)
_
tjJd Le régime permanent atteint, on a
(22.6) la vitesse v du fluide, soit :
­
(22.6)
O. On peut déduire du résultat
(22.7)
Dans
(22.7), P et Tc sont données par les résultats précédents, soit :
1 (Ru + Ro)Vc - RoV
et Tc = -œRo
------
V - Ve
v.
tjM Les mesures de V et de Ve donnent accès à P et à Tc puis à la vitesse L'in­
convénient de ce type de mesure est qu'elle dépend fortement de la température du
fluide T1. On doit donc la mesurer par ailleurs et prendre en compte ses variations
éventuelles.
tjj:I La résistance Ro à la température de référence
d'Ohm macroscopique, soit :
Ro
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
=p-sl =pnr2l = 6,860
-
tjj:J À partir de ce résultat et de
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
0 °C est donnée par la loi
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
(22.4) et (22.5), on obtient Tc = 60,6 °C et
P = 871 mW. On en déduit immédiatement Re = 7,58.Q.
La surface latérale du fil est donnée par S
2nrl 9,42 . l o-61 m2 . La vitesse du
fluide s'en déduit à partir de (22. 7 ) et on obtient v = 0,85 m.s- .
tjjltJ En reprenant le calcul de la vitesse v à partir du résultat (22.7) avec les
mêmes valeurs de V, Ve et par conséquent de P mais avec une température du fluide
surestimée de 11.T = 1 ° C, soit T1 11.T = 20 + 1 = 21 ° C, on obtient une vitesse
du fluide de 0, 9 6 m.s- L au lieu de 0,85 m.s- L . L'erreur relative commise est donc de
13 %.
=
=
+
L'erreur d'estimation de la température du fluide entraîne une forte erreur sur la me­
sure de la vitesse du fluide. Cette erreur est d'autant plus importante que la vitesse du
fluide est faible et que sa température est élevée comme le montre la figure
22.3.
301
22
•
Anémomètre à fil chaud
!:J. v/v
0,2 f--�-�-�-�-�-�
v = 1 m/s, Tf = 20 °C
0
v = 10 m/s, Tr = 30 °C
v = 1 m/s, Tf = 30 °C
-0,2
!:J.T (oC)
0
-1
Fig u re 22.3 - Erreur relative sur la vitesse en fonction de l'erreur de mesure
sur la température du fluide
I l . Montage à compen sation de températu re à u n capte u r
tljll D'après le résultat (22.5), on a immédiatement :
"'O
0
c
::J
0
tljtAI De même, d'après le résultat (22.4), il vient :
--
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
(
1 (Ru1 + Ro)Vcl - Ro V1
Te l _V1 - Vel
œRo
)
_
et Tc2 -
(
1 (Ru2 + Ro)Vc2 - Ro V2
V2 - Vc2
œRo
--
)
t/jiJ À partir des équations du bilan thermique à l'équilibre et en considérant que
la vitesse du fluide et sa température restent constantes sur au moins une période de
commutation, on a (voir (22.6)) :
P1
=
S (a + b Yu)(Te l - T1') et P2
=
S (a + b Yu)(Tc2 - T1)
Par soustraction de deux valeurs consécutives, c'est-à-dire des deux valeurs précé<lentes, il vient :
u -
302
[ 1 ( P1 - P2 - as )]2
-
bS Te l - Tc2
Problème 22
La mesure est maintenant indépendante de la température Tt du fluide, Pi et Tci
= 1 ,2) étant obtenues par calcul à partir des valeurs mesurées
et
et des
données a, Ro et Rui .
La mesure reste cependant tributaire d'une bonne connaissance des coefficients et
b apparaissant dans la formule de King, coefficients dépendant de la nature du fluide
et de celle du capteur.
(i
Vi Vci
a
Dans ce p roblème, une hypothèse i m portante a été faite e n ce sens que l ' o n a tou­
jours s u pposé q ue les mesures étaient effectuées une fois l ' é q u i l i b re therm ique
attei nt. Il est i m portant, afin de fixer la fréque nce de comm utation des rés i s ­
tances Rv1 et Rv2. d' évaluer la vitesse de la ré ponse therm i q u e d u systè me. Ceci
peut être effectué en résolvant s i m u ltanément les deux équations d i fférentielles
(22.
et (2 2 . 6). À ce titre, les courbes de la figure 2 2 .4 présentent l ' évol ution
tempore l l e de la rési stance Re d u capteur et de la tension de sortie V de l' am­
plificate u r opérationnel pour une comm utation de la val e u r Rvi = 7 , 52 n (régime
permanent atteint) à la val e u r Rv2 = 7 ,32 Q. Les val e u rs utili sées pour cette s i m u la­
tion sont celles du problème et A = 105 , k = 0,50 1 , C = 3 . 10-8 J.K- 1 et r = 1 ,59 ms.
l)
Dans ce type de montage à température constante, la réponse est extrê mement
rapide, bien plus que dans d ' autres montages possi bles comme par exemple u n
montage à cou rant constant d a n s le capteur.
À partir de ces courbes, il est clair q u ' u n e comm utation à une fréque nce de
quelques k i lohertz peut être envisagée.
7,58
"'O
0
c
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0
(V)
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0
N
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0
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c:
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ü
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"O
12
o.
Re (Q)
_ �
_ -�
- 7,32 - - - - - - - _ _ _ ,___
--t
��-�-��-20 µs
0
5,12
V (V)
>--�
�
�
3,78 ------ ---- - - --------'
O
20 µs
Figure 22.4 - Évolution temporel le de la résistance Re du capteur
et de la tension de sortie V de l'ampl ificateur
2
B
:::l
rS
-0
0
c:
:::l
a
@
303
22
•
Anémomètre à fil chaud
Figure 22.5 - Sonde thermo-anémométrique, tête de mesure de la sonde
(laissant apparaître le fil chaud et le composant de mesure de la température
du fluide) et module de conditionnement et d'affichage (documentation KIMO)
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
304
P RO B L È M E :
T h e r m oco u p l e, t h e r m o p i l e
et py ro m èt re o pt i q u e @
23
La température est, après le temps, la deuxième variable physique la plus fréquem­
ment mesurée. Dans un environnement de production industrielle, une surveillance
précise des températures permet d' augmenter la qualité du produit et la productivité.
Parmi les techniques de mesure, la mesure à distance par pyrométrie n'est pas une
invention nouvelle ; elle est employée depuis plusieurs décennies dans l'industrie et
la recherche. Les innovations récentes ont permis de réduire les coûts, d'augmenter
la fiabilité de la mesure et de miniaturiser les capteurs. Deux principaux types de cap­
teurs se partagent le marché de la mesure de température à distance : les thermopiles,
principalement utilisées dans le domaine des pyromètres à poste fixe et portables et
les matrices semiconductrices IR ou bolométriques dans le domaine de l'imagerie
thermique. Ce problème présente quelques éléments du fonctionnement d'un pyro­
mètre optique à thermopile.
Énoncé
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
1. The rmocouple
..:
�
Dans ce problème on notera t une température exprimée en degré Celcius et T la
même température exprimée en Kelvin.
'-'
'-'
�0 On considère le montage représenté figure 23 . 1 , destiné à une mesure de température
:;
"'
c:0 par thermocouple avec compensation de soudure froide. La fem du thermocouple A c:
B utilisé est donnée dans le tableau 23. 1 . Les câbles de prolongation du thermocouple
.S:
ü
"O sont constitués du même métal noté X. On note te la température de la jonction de me­
12
sure et ta la température ambiante, température de la soudure froide et de 1 'ensemble
2
B
:::l de l'électronique. Les amplificateurs opérationnels utilisés sont considérés idéaux.
rS
"O
c::::l
�
c:
:::l
o.
-00
c::::l
a
@
@ Les données de ce problème sont téléchargeables (cf. l' avant-propos de l'ouvrage)
305
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
+E
�(t)
AOPI
: X e� +
-E
Fig u re 23. l Schéma de principe de la mesure
-
Tableau 2 3. l Force électromotrice en fonction de la température
-
t(°C)
0
10
20
30
40
Et ; u
AIB
(µV)
1
2
0
3
4
0
1 1 8 1 76 235
59
591 651 7 1 1 770 830
1 1 92 1 252 1 3 1 3 1 373 1434
1 801 1 862 1 924 1 986 2047
2420 2482 2545 2607 2670
5
6
294 354
890 950
1495 1 556
2 1 09 2 1 7 1
2733 2795
7
8
9
413
1010
1617
2233
2858
472
1 071
1 678
2295
2921
532
1131
1 740
2357
2984
tDI Calculer l'expression de la tension de sortie Vo en fonction de la fem de See­
beck du thermocouple et de la tension Ve.
"'O
0
c
::J
0
(V)
0
N
......
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
tJf:.i Quelle condition doit satisfaire Ve pour que Vo soit proportionnel à E�; ?
Exprimer cette condition en fonction du pouvoir thermoélectrique SA/B du thermo­
couple, en supposant E�; linéaire en fonction de Quelle est dans ce cas pour le
thermocouple la valeur de sA/B
ta .
?
Pm Les résistances R 1 et R2 sont indépendantes de la température alors que la
R(t),
R(t)
ta ,
valeur de la résistance
placée à la température ambiante évolue avec la tem­
pérature suivant la loi
= Ro ( 1 +
Calculer l'expression générale de Ve
Comme on peut supposer que
« 1, on se contentera d'une expression à l'ordre
Calculer cette expression.
1 en
de Ve
o:Rta
(ta ).
tHI La tension Ve
o:Rta
o:Rt).
Cta).
Cta ) devant être utilisée pour la compensation de soudure froide,
déterminer les relations que doivent vérifier R , R et Ro puis ŒR et
306
1
2
SA/B ·
Problème 2 3
tH1 La résistance R(t) est celle d'une thermistance R' (T) linéarisée au moyen
d'une résistance R1 en parallèle. On rappelle que la résistance de la thermistance
évolue avec la température absolue T selon :
I
R (T)
=
[1
Rréf exp B T
1
Tréf
- -
l
(23 . 1 )
À partir des données du tableau 23.2 donnant les valeurs de la résistance en fonc­
tion de la température, calculer par régression linéaire la valeur du coefficient B. On
rappelle qu' à une température dans l'échelle Celsius de 0 °C correspond une tempé­
rature absolue de 273,15 K.
Tableau 23.2- Évolution de la résistance de la thermistance
(OC)
R' (T)
t
0
141 29,9
5
1 1 335, 1
35
10
20
40
30
15
25
9 1 52 7437,4 6060,3 5000 41 34,9 3438, 1 2873,8
tJQ Déterminer la valeur de R1 pour linéariser R' (T) autour de la température
ta = 25 °C.
t..flfi Calculer la valeur Ro et le coefficient thermique ŒR de R(t) en considérant que
ce coefficient a une valeur constante égale à celle prise en t = ta.
tD:I
À partir des résultats précédents, calculer les valeurs des résistances R1 et R2 .
On donne R4 = 99R3 et E = 2,5 V.
Pm Donner 1'expression de la tension de mesure et calculer la sensibilité de la
mesure après la compensation de soudure froide.
I l . Thermopile
"'O
0
c
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0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
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>a.
0
u
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"
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"'
"
"
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·C0
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"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
On réalise maintenant une thermopile, capteur du rayonnement infrarouge, constituée
d'une association série de plusieurs thermocouples du type précédemment décrit. Le
système est réalisé par micro-usinage. Les couples sont réalisés sur une membrane
suspendue reliée au bâti par des poutres de grande longueur de façon à minimiser la
conduction thermique entre les jonctions de mesure à la température t et les jonctions
de référence à la température ta, température du bâti (voir figures 23.2 et 23.3). La
membrane recouverte d'un matériau absorbant l'infrarouge est de faible épaisseur,
donc de faible capacité calorifique, de façon à ce que l' absorption du rayonnement
infrarouge provoque une élévation significative de sa température t. Le bâti, de grande
inertie thermique, est à la température ta (indépendante de 1 'évolution de la tempéra­
ture t). La résistance R(t) du circuit de compensation de soudure froide précédemment
étudié se trouve sur le bâti et est donc à la température ta.
307
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
Membrane
Absorbant IR
Bâti
Soudure
froide
Poutre
Jonctions
de mesure
(;\
'-:.::)
V
-·
Figure 2 3.2 - Thermopile micro-usinée à huit jonctions de mesure
tJlleJ On suppose qu'il y a N thermocouples élémentaires et comme schématisé
sur la figure 23.3, que l'ensemble est relié à l'électronique par des conducteurs X.
Déterminer l'expression de la tension V aux bornes de l'ensemble des N thermo­
couples.
0
-0
0
c
::i
0
(V)
.-1
0
N
@
.......
�
Ol
ï:::
>0.
0
u
�
e:::::: '
�I
·-······-
···-···
A
A
A
A
A
····'
B
B
B
B
B
f
X
'
::0
f
X
.......
,
·-··· -
V
-···
Figure 2 3 . 3 - Principe de la constitution d'une thermopile à cinq jonctions de mesure
tDll Montrer que l'électronique de compensation de soudure froide développée
précédemment convient pour peu que l'on recalcule les valeurs des résistances R 1 et
R2 . Donner la nouvelle valeur de la sensibilité. On donne N 32.
=
I l l . Pyro mètre opt i q u e
La thermopile précédente est destinée à être utilisée dans un pyromètre optique. Un
pyromètre optique utilise le rayonnement thermique d'un corps à la température Tc
pour en déduire, à distance, cette température.
308
Problème 23
Tout corps à température Tc émet un rayonnement infrarouge dont la répartition spec­
trale et la puissance totale sont des fonctions de la température. On rappelle qu'un
corps noir est un corps idéal dont le facteur d'absorption est égal à l'unité quelle que
soit la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique qu'il reçoit. À l'équilibre
thermique, } 'émittance spectrale EATc,il) (puissance rayonnée par unité de surface
du corps et par unité de longueur d'onde dans les 4n stéradians) d'un corps noir est
donnée par la loi de Planck :
E-1(Tc,il)
=
2nhc2
ils [ ( �
ilkTc ) 1]
exp
(23.2)
-
h représente la constante de Planck, c le célérité de la lumière et k la constante de
"'O
0
c
:J
0
(V)
r-l
0
N
©
.µ
..c
Ol
>a.
0
u
ï::::
Boltzmann.
L'émittance spectrale E-1 , rée1(Tc1À.) d'un corps réel est reliée à celle du corps noir
EÀ(Tc,il) par l'émissivité du corps réel s(Tc,il). Un corps dont l'émissivité est indé­
pendante de la longueur d' onde il est appelé corps gris.
Le corps noir suit l'hypothèse de Lambert, à savoir que sa luminance est uniforme.
Le pyromètre optique collecte le rayonnement infrarouge émis en provenance d'une
partie du corps que l'on appellera la cible. La fenêtre d'entrée du pyromètre est une
lentille de focale image f et de diamètre 0 . Celle-ci filtre une certaine bande spec­
trale [il1 ; il2] du rayonnement incident qui est focalisée sur les jonctions de mesure
d'une thermopile (surface active d'aire L de la membrane). Ce rayonnement est en
partie absorbé par la thermopile. L'absorption d'une partie du rayonnement provoque
une élévation de la température T de la thermopile. Celle-ci traduit cette élévation de
température en signal électrique et une électronique adaptée permet d'en déduire la
température Tc de la cible. On note r(il) le facteur de réflexion énergétique à la lon­
gueur d'onde il prenant en compte les différentes réflexions (lentille et thermopile).
;c:;
"O
c::l
Electronique
"'
"
"
'"
·C0
:;
"'
c0
c
c
.r2
ü::l
"O
2o..
2
B
:::l
�
"°0
c::l
Ci
@
Lentille de focale f , de diamètre
0 et de bande-passante
[A-1 ;A-2]
Surface active
2:
de la thermopile
Figure 23.4 - Schéma de principe du pyromètre optique
tJlt..<J Soit un corps rayonnant à la température Tc. On note L1 la surface de la
cible effectivement scrutée par le pyromètre. Etablir la relation entre L et L1• Pour la
309
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
lentille, on se placera dans la formulation de Descartes en notant la distance algé­
brique du centre optique de la lentille à la surface active et p0 la distance algébrique
du centre optique de la lentille à la cible scrutée.
En notant L la luminance de la cible, montrer que le flux F reçu par la thermopile est
une constante.
Pi
tDll Calculer la résolution optique du pyromètre, rapport de la distance ob­
jet scruté-pyromètre au diamètre de la surface cible scrutée sur 1 'objet. On donne
cm.
Pi = 6, 5
tDGI La fenêtre spectrale utile du pyromètre est
[/l1 ; À2] = [8 �lm ; 14 �lm] . On
étalonne le système en le plaçant face à un corps noir à la température Tcn ·
Déterminer l'expression de la puissance du rayonnement reçu par la thermo­
pile dans la fenêtre spectrale du système. On introduira la constante de Stefan
a-=2n5k4/15h3c2 =5,67.10-8 W.m-2 .K -4 , on posera x1=hc/kTcnÀ1 et x2 =hc/kTcnÀ2
et on supposera le facteur de réflexion r(/l) constant et égal à r = 25 %.
De même, on posera :
et
tJl..1
x1 = hc/kTcnÀ 1 et x2 = hc/kTcnÀ2 sont des fonctions de la température du
corps noir. En se limitant à une étendue de mesure E. M = [0 ° C 900 ° C] la valeur
de l'intégrale U(x1 1x2 ) est donnée par la courbe de la figure 23. 5 . La courbe de la
figure 23. 6 donne l' allure de soit celle de la puissance P reçue par la thermopile
à un facteur près. Sur l'étendue de mesure, l'expression de est approchée avec une
erreur relative maximale inférieure à 0,5 % par le polynôme suivant d'ordre 7 en Tcn
(exprimée en kelvin) :
9,269.10- 18 T7n -5, 102.10- 14 T�n + l , 163.10- 10 T1n (23.3)
-l,386.10-7T:n + 8,555.10-5T]n -0,015T;n -0,294Tcn 210,396
;
17,
-0
0
c
::J
0
......
(V)
0
N
@
17
1J ::::=
+
3
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
2
1
te,, (oC)
��������--
- 1 00
0
1 00
500
900
Fig u re 2 3 . 5 - Évolution de la valeur de l'intégrale U(x1 ,x2) avec la température
310
Problème 23
8. 1 03
2 . 1 03
0
200
400
600
800
Fig u re 2 3.6 - Évolution de l 5<rT:nu(x1 ,x2)/rr4 avec la température
La relation
(23.3) peut être inversée pour donner :
(23.4)
-2,546.10- 11 174 + 9,686.10-8 173 - 2, 151.10-4 172 - 0,37717 + 241,800
Calculer la puissance reçue pour une température du corps noir de 400 °C. On donne
le diamètre de la lentille d'entrée du pyromètre
2 cm et la surface active de la
thermopile :L
=
0
1 mm.
=
tDU'J Établir le bilan thermique à l'équilibre de la surface active de la thermopile.
t
La température des jonctions de mesure restant proche de la température ambiante
on négligera les échanges radiatifs entre la membrane supportant les jonctions de
mesure et le reste du pyromètre. On donne
le coefficient d'échange radiatif entre
le corps noir et la surface active de la thermopile,
celui d'échange par conduc­
tion entre la surface active et le reste du pyromètre (échange passant par les bras de
suspension de la membrane et les conducteurs des thermocouples) et MC la capacité
calorifique de la membrane.
Calculer
La température des jonctions de mesure n'étant pas très différente de la température
ambiante, donner à l'équilibre l'expression du bilan thermique au premier ordre en
ta,
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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u
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.3
ü
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""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
Kr
Kc
Kr.
=
l1t t - ta.
tDt4 Pour déterminer la valeur de
Kc de façon plus précise, la même mesure avec
le corps noir à la température de 400 °C est réitérée pour deux valeurs de tempé­
rature ambiante différentes, fat et ta2 . Pour celles-ci, les tensions de mesure V0 sont
respectivement Vo 1 3,22 V et Vo2 7,12 V et les tensions Ve, Vcl - 29,5 mV et
Vc2 -68,9 mV. Calculer la valeur du coefficient d'échange thermique Kc.
=
=
=
=
31 1
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
tDl:t On considère maintenant un autre objet à la température te. Pointé sur cet ob­
jet, le pyromètre indique
mV et
V. En déduire, la température
te de la cible en supposant qu'elle peut être considérée comme un corps noir.
Ve = -49,2
Va = 5,09
tDPJ En fait, la cible n'est pas un corps noir. On suppose que c'est un corps gris
dont l' émissivité peut être considérée comme constante dans le domaine de tempéra­
ture étudié, s
Calculer l'erreur sur l'évaluation de la température de la cible si on traite celle-ci
comme un corps nmr.
= 0,95.
Corrigé détaillé
1. The rmocouple
tJll L'amplificateur opérationnel AOP l étant idéal, on a :
(23.5), la contre-réaction amène :
(R3 + R4) (E�� - E�;) - R4 Ve-Va = ---R3
tHJ Pour que Va soit proportionnel à E��, il suffit que :
(R3 + R4)E;;-­
Ve = - ---R4
Compte tenu de
-0
0
c
::J
0
......
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
(23.5)
(23.6)
(23.7)
Le pouvoir thermoélectrique SAfB d'un thermocouple correspond à sa sensibilité
dE��/dt calculée à la température t. La fem du thermocouple étant supposée varier
linéairement avec la température, on peut écrire
sous la forme :
(23.7)
23.1 permet d'estimer le pou­
49 °C. Calcul fait, on trouve
Une régression linéaire sur les données du tableau
voir thermoélectrique du thermocouple entre 0 °C et
µV/°C.
SAfB
= 60,9
312
(23.8)
Problème 23
tJll L'amplificateur opérationnel idéal AOP2 est monté en suiveur, on a donc :
Vc(ta)
=
=
<
<
-E + (R(t) + R2) R(t) +2RiE + R2
R(t) + R2 - Ri E Ro + R2 - Ri + RoœRta E
R(t) + R1 + R2 Ro + R1 + R2 + RoœRta
-----
=
ŒR t 1 , on peut se contenter d'un développement au premier ordre en ta de
Vc Ua), soit :
Rta
(Ro + R2 - R1) 1 + Ro Roœ
+ R2 - Ri E
Rta
(Ro + R2 + R1) + Ro Roœ
+ R2 + R1
2R1
Ro + R2 - R1 + Ro ta
E
œ
R
Ro + R2 + R1
(Ro + R2)2 - Rf
Avec
(
(1
�(�) =
)
)
(1
�
tHI Pour effectuer la compensation de soudure froide, d'après
(23.9)
)
(23.8), Ve doit être
proportionnel à ta, soit Ro + R2
R1. Dans ce cas, l'expression (23.9) de VcUa)
devient :
2R1 E
RoœR taE
(23.10)
VcUa) RoœR ta (Ra + R2 + R1)2 = 2(Ro
+ R2)
En identifiant (23. 8 ) et (23.10), il vient :
R3 + R4 2(Ro + R2)
(23.11)
ŒR
E
R4
Ro
tJJ1 D' après (23.1), les couples de points (1/T ; ln(R' (T))) sont situés sur une
droite de pente B. À partir des données du tableau 23. 2 , en effectuant une régres­
sion linéaire sur les couples (1/T ; ln(R' (T))) , on obtient B 3 407 K.
tHd La thermistance et la résistance étant en parallèle, on a R(ta) = R1R' (Ta)/(R1 +
=
----
�
=
=
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
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O'l
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>a.
0
u
SA/B
-
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
R' (Ta)). Pour linéariser autour de ta, il faut que la courbe R(ta) présente un point
d'inflexion en ta, soit :
dta2
On aboutit à la condition :
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
R1
=
2(
=0
)
dR'(Ta) 2
dTa Ta R' (ra ) R' ( ra) B - 2T
�
2
d R' (Ta)
B + 2Ta
____
-
=
= 3 486
Q
313
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
Les courbes de la figure 23.7 présentent l'évolution de
rature ta.
15
R'(ta) et R(ta) avec la tempé­
R' (kQ)
10
5
ta (oC)
3
l,5
0
R (kQ)
40
25
ta (oC)
�������--
25
0
40
Fig u re 2 3 . 7 - Évolution de R' et R avec la température t0•
tJli La valeur
Ro de R(t) est donnée par R1R'(0 °C)/ (R1 + R' (0 °C))
=
2 796 n.
Le coefficient thermique du dipôle réalisé par 1' association des deux résistances est
donné tous calculs faits par :
ŒR(t-a )
"'O
0
c
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0
......
(V)
0
N
@
.......
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Ol
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>
a.
0
u
1
dR(t)
---;f{
B
R1
5 8 1 0-3
1
(T
)
.
a
Ri + R'
R(t) I Ta
tD:I Avec R4 99R3 et E 2,5 V, à partir de (23. 1 1 ) et en utilisant les valeurs de
Ro, aR et SA/B précédemment calculées, on obtient :
+ R4 )SA/B
3
895
(23 . 12)
R1 -Ro ŒRR42(ER+3 2(R
+ R4)SA/B
On en déduit d' après la question I.4, R 1 Ro + R2 898
tJIJ D' après (23.6), (23.7) et la valeur de SA/B calculée à la question I.2, la tension
de mesure et la sensibilité de la mesure s'écrivent après la compensation de soudure
=
=
t;
=
-
2
=
=
=
=
=
froide :
314
-
=
,
kQ
kQ .
.
Problème 2 3
Il. Thermopile
tDltJ La force électromotrice totale s'écrit simplement :
V
- NEAtc/;Bta - N (Etc 0 - EAla/;B0)
;
A/B
tDll La problématique est identique à celle de la partie I si ce n'est que la fem de
Seebeck 1 � et par conséquent le pouvoir thermoélectrique
par (23 . 1 2) devient donc :
N.
E 1a
E 2(R3 + R4)NSA/B
R2 -Ro ŒRR42(R
3 + R4)NSA(B
Pour Ri, il vient Ri = Ro + R2 = 28, l kn.
L'équation (23.8) devient :
_ _ (R3 + R4)NsA/B · ta -_
V (ta ) R4
+
=
=
25,3 kQ
- l 97 10_ 3
'
·
c
sA/B sont à multiplier
.
ta
(23 . 13)
La tension de mesure et la sensibilité se recalculent de manière analogue, il vient :
(23 . 14)
I l l. Pyro mètre opt i q u e
tJltA La figure 23.8 schématise la situation.
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0
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0
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N
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"
=
"'
"
"
'"
·C0
Fig u re 23.8 - Surface-cible et distance au pyromètre
Dans la représentation de Descartes, la formule de conjugaison et le grandissement
transversal sont donnés par :
=
"'
"
0
1
1
1
.3
ü
Pi
Po
f
"
"
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
Pi
et Gr = .
Po
Dans le cas où la position de la cible est telle que son image couvre exactement la
surface :1:, on a donc :
(23 . 15)
31 5
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
Soit L la luminance de la cible supposée uniforme (hypothèse de Lambert). Le flux
F émis par la cible en direction de la lentille et reçu par la thermopile s'écrit comme
le produit de la luminance par l'étendue géométrique G du faisceau, soit :
.L'.L
p�
F = L-1
où .L1 représente la surface de la pupille d'entrée, c'est-à-dire de la surface .L1
de la lentille.
Avec (23 . 1 5), il vient :
F=L
n02.L
-4pf
=
n02/4
(23 . 16)
Le flux reçu par la thermopile ne dépend que de la luminance de la cible et des carac­
téristiques du système.
tDlt D'après ce qui précède le rayonnement focalisé sur la thermopile provient
.L'
toujours d'une surface de cible
située à la distance IPal vérifiant l a condition
= ..J
. 1 5). Le problème étant à symétrie de révolution, on note
le dia­
mètre de la cible scrutée par le pyromètre. Avec (23. 15), il vient :
(23
0'
4.L'/n
tJIGI La cible étant un corps noir lambertien, sa luminance L est uniforme et égale
e(T,À)
à son émittance divisée par 7r et son émissivité est
= 1 . D' après (23.2) et
(23 . 1 6), la puissance reçue par la thermopile s'écrit donc en tenant compte de l 'effet
filtrage en longueur d'onde et du coefficient de réflexion r :
"'O
0
c
::J
0
......
P = ( 1 - r)
@
.......
..c
Ol
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>
a.
0
u
2
1
(V)
0
N
02.L J2EJ (Tc1À)dÀ
4p. LJ 1
=
( 1 - r)
02.L J2
4p. L
2
1
À1
J5
/
l
2nhc2 dÀ
hc 1
exp -[ ( AkT. c ) l
(23 . 1 7)
-
x hc/kTcnÀ, (23 . 1 7) devient :
02.L 2nk4 . Tc4n . lx' x3 dx
= (1 - r)- .
4Pi2 h3 c2
xx2 ex - 1
(23. 18)
l
'
x3
02.L
15
02.L
= (1 ) - - o-T4en
4pf
4pf n4
2x ex - 1 dx = ( 1 673, 1 5 K, (23.3) donne
tD..1 Pour une température du corps noir Tcn
= 2 590 W.m-2 soit une puissance P = 46 �tW d'après (23.18).
En effectuant le changement de variable
=
p
-r
17
316
·
·
- r)
•
=
· 17
Problème 23
tDut Sur la durée dT le bilan thermique s'écrit :
Kr(T:n - T4)dT - Ke(T - Ta)dT = MCdT
À l'équilibre et au premier ordre en b.t = t - ta, (23 . 1 9) devient :
Kr(T:n - Td) = (Ke + 4KrTn b.t
(23 . 19)
(23.20)
Le terme KrT:n n'est rien d'autre que la puissance P calculée à la question précé­
dente. On en déduit la valeur de Kr = P/T:n = 2,24. 1 0- 16 W.K-4 . (23.20) peut alors
s'écrire :
(23.21)
tDH La température ambiante ou température de soudure froide des thermo­
couples de la thermopile est déterminée à partir de la relation (23 . 1 3). Des deux
valeurs de Ve données, on en déduit ta1 = 15 ,00 °C et ta2 = 35,00 °C.
De même, en utilisant la relation (23. 14), on en déduit les valeurs t1 = 1 6,53 °C
et t2 = 36,5 1 °C, puis les différences de température t1 - ta1 = b.t1 = 1 ,53 °C et
t2 - ta2 = flt2 = 1 , 5 1 °C.
Pour déterminer Ke, on doit résoudre le système :
Il vient :
"'O
0
c
:J
0
(V)
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N
@
.......
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>a.
0
u
P1T�2 flt2 - P2T�1 flt1
= 29,35 . 1 0 6 W.K 1
flt1flt2 (Ta2 - Ta1 )
Vu la méthode utilisée, la détermination de Kr peut être peu précise mais comme on
a Ke KrT�, 1'erreur engendrée reste faible.
tJll:t La température ambiante est donnée par (23 . 1 3), soit ta = 25 ,00 °C, et la
température des jonctions de mesure est donnée par (23.14), soit t = 26, 1 0 °C donc
b.t = 1 , 10 °C. D' après (23.21), on a :
p = (Kc + 4KrT�) b.t + KrTd = 34 µW.
D'après (23. 1 8), il vient 77 = 1 923 W.m-2 qui reporté dans (23.4) donne
te = 324, 17 °C.
Ke =
�
""'
"=
"'"
'""
·C0
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"0
"
"
.3
ü
""'=
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2
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=
�
-0
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Ci
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3
3
_
_
»
31 7
23
•
Thermocouple, thermopile et pyromètre optique
tJIW Pour un corps gris d'émissivité constante &, à puissance rayonnée constante,
pour obtenir la température du corps gris il suffit de diviser la valeur 77 calculée pour
le corps noir par &, ce qui donne une nouvelle valeur de 77 de 2 024 W.m-2 . En
utilisant de nouveau (23.4), il vient te = 335,82 °C. Considérer la cible comme un
corps noir sous-estime sa température. L'erreur engendrée est ici de 1 1 ,65 °C soit
environ 3,5 %.
La connais sance peu précise de l ' é m i s s ivité des corps dont on cherche à mesurer
la tempé rature par pyrométrie optique reste la principale source d ' e rreur d ' éva­
l uation de la val e u r de la température. P l u s i e u rs méthodes permettent de pal l i e r
le pro b l è me.
Les pyromètres bichromatiques éval uent les p u i s sances é m i ses dans deux fe­
nêtres spectrales étroites et proches. Sous l ' hypothèse que l ' é m i s s ivité d u corps
reste identique dans ces deux fenêtres, les val e u rs des deux puissances per­
mettent de calcu l e r la tem pérature d u corps i n dépendam ment de la connaissance
de son é m i s sivité.
Les pyromètres à fenêtre spectrale u n i q u e possèdent une fonction q u i permet de
rég l e r la val e u r de l ' é m i s s ivité du matériau. Une méthode pour déterminer cel le-ci
consi ste à place r une pastille autocollante sur le matériau dont on ignore l ' é m i s ­
sivité . La past i l l e e s t à la m ê m e tem pérature que le matériau e t s o n é m i s s ivité e s t
parfaitement c o n n u e . On mesure l a température de l a pasti l l e au pyromètre e t
on j o u e e n s u i t e s u r l e réglage de l ' é m i s s ivité jusqu'à c e q u ' e n visant le matériau,
la température affi chée soit identique à celle relevée sur la past i l l e . La val e u r de
I' é m i s s ivité peut éventuellement être arch ivée pour de nouve l les mesures sur ce
type de maté riau.
La p l u part des pyromètres portables à fe nêtre spectrale unique possèdent en mé­
m o i re l ' é m i ss ivité de matériaux types. Ils se présentent comme un p i stolet avec
lequel on vise la c i b l e , la gâchette décle nchant l a mesure.
-0
0
c
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0
(V)
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0
N
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.......
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0
u
Figure 23.9 - Pyromètre portable (documentation Raytek)
318
P RO B L È M E :
P h otod i o d e à effet
l até ra l u n i d i rect i o n n e l l e
24
Les capteurs à triangulation sont très couramment utilisés dans l 'industrie. Le prin­
cipe de base est simple : émettre un faisceau lumineux en direction d'une cible (gé­
néralement une diode laser est utilisée), collecter la lumière réfléchie par la cible sur
un récepteur photosensible et en déduire la position du point d'impact du faisceau sur
la cible c'est-à-dire la distance cible-détecteur.
L'utilisation de ces capteurs couvre un large domaine dépendant de leur résolution.
Dans le cas où c'est la réflexion diffuse qui est collectée et focalisée sur l'élément
photosensible, la résolution peut atteindre 1 µm et 1'erreur de linéarité peut être faible
(0, 1 % de la pleine échelle est une valeur classique). La distance de la cible classique­
ment de quelques centimètres a été portée à quelque 75 cm par certains fabricants.
Elément
photosensible
Diode laser
1
Fig u re 24.1 - Principe du capteur
Condenseur
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0
c
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0
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r-l
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N
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à triangulation
focalisation
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2
B
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"°0
c::l
Ci
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Ces capteurs sont couramment utilisés pour vérifier la présence, le positionnement,
le contrôle dimensionnel de pièces sur des chaînes d'assemblage.
Dans le cas où c'est la réflexion spéculaire qui est focalisée sur l 'élément sensible
(lorsque cette dernière est suffisante comme c'est le cas pour les matériaux lisses et
non diffusants), la résolution est fortement accrue et peut atteindre 0,01 µm pour une
erreur de linéarité de 0,05 % de la pleine échelle. L'utilisation est alors plutôt de type
profi lomètre.
319
24
•
Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle
Capteur à
Capteur à
diffuse
spéculaire
réflexion
réflexion
Fig u re 24.2 - Principe du capteur à triangulation
Ces capteurs qu'ils soient à réflexion diffuse ou spéculaire permettent, s'ils sont
montés en push-pull, de contrôler des épaisseurs.
Ce problème présente l'étude d'un capteur à triangulation utilisant comme photo­
détecteur une photodiode à effet latéral ou PSD (Position Sensing Detector).
Énoncé
1. La ph otod iode - s e n s i b i l ité
-0
0
c
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0
......
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0
N
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Ol
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>
a.
0
u
Une photodiode à effet latéral est un détecteur de la position d'un faisceau lumineux.
Elle permet, une fois correctement conditionnée, de déterminer la position en x et
en y (pour les détecteurs bidirectionnels) sur le plan d'entrée de la photodiode du
point d'incidence d'un faisceau lumineux suffisamment fin comme celui émis par un
laser ou une diode laser. Ce type de photodiode, également dénommée PSD (pour
Position Sensing Detector) est couramment utilisé dans les capteurs de position dits
à triangulation.
Pour simplifier l'étude, on se contentera ici d'une photodiode unidirectionnelle.
Considérons une photodiode PIN polarisée en inverse comme schématisée figure 24.3.
E
l l l l l l l
Fenêtre
transparente
N
-"'!"'-------....,.-..___ Electrodes
Fig u re 24.3 - Photodiode PIN
320
+
Problème 24
Considérons la diode dans 1 'obscurité. Seul un courant très faible peut circuler, c'est
le courant inverse de la diode donné par :
Ir
=
ls [ 1 - exp(-eVJlkT)J
est le courant de saturation donné par ls AT3 exp(-Wg/kT), Wg étant la largeur
de la bande interdite du semiconducteur et vj la tension aux bornes de la jonction
PN. Dans la suite, comme v1 >> kT/e, soit kT/e 25 mV à 20 °C, on considérera
que
ls .
Un faisceau lumineux éclaire la zone de déplétion (région isolante I) au travers de
la région P. On suppose que l'énergie des photons est suffisante pour faire passer un
électron de la bande de valence à la bande de conduction. La région P est de très
faible épaisseur pour ne pas trop absorber le rayonnement et pour que la probabilité
d'y créer une paire électron-trou y soit faible.
La zone de déplétion est suffisamment épaisse pour y arrêter la majorité des photons
tout en restant suffisamment mince pour que le temps de transit des porteurs de charge
au travers de celle-ci et la probabilité de recombinaison restent faibles.
La région de type N est assez épaisse pour qu'une éventuelle dissociation électron­
trou par un photon ait toutes les chances de s'y recombiner.
Compte tenu de ce qui précède, seul le photocourant /phot à prendre en compte est
le courant de génération lié à la création de paires électrons-trous dans la région iso­
lante I.
Le courant inverse total est donc donné par
ls + /phot ·
Le faisceau lumineux donne dans le plan d'entrée de la photodiode un éclairement E.
Ce faisceau couvre totalement la surface S de la fenêtre transparente. Soit
le flux
lumineux incident reçu par la photodiode. On considère qu'à une profondeur z dans
le matériau de la zone isolante, la puissance du rayonnement est donnée par la loi de
Beer-Lambert :
exp ( -alp) exp (-/3z)
cp(z) = ( 1 ls
=
=
Ir
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Ir
c/Jo,
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R)
R)c/Jo
Le facteur ( 1 - tient compte des réflexions en énergie aux différentes interfaces
étant le coefficient de réflexion énergétique), le facteur exp(-a/p) de l' absorption
du rayonnement au travers de la région P (lp étant l'épaisseur de ce matériau) et le
facteur exp( -/3z) de l'absorption en fonction de la profondeur de pénétration z dans
la zone de déplétion (voir schéma précédent).
(R
tjli Donner l'expression de la puissance
<Po reçue en fonction de E et
S.
tjf.;,I Soit une tranche élémentaire d'épaisseur dz à l'abscisse z dans la zone de dé­
plétion. Calculer la puissance dcp(z) absorbée par cette tranche.
32 1
24
•
Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle
tJllU En considérant que le rayonnement est monochromatique de fréquence v, cal­
culer le nombre dn de photons absorbés par cette tranche par unité de temps (on
rappelle que l'énergie d'un photon est hv où h est la constante de Planck).
tJll En prenant en compte l'efficacité quantique 7J du matériau semiconducteur
(nombre de photoélectrons créés par photon absorbé), donner le nombre dnphot de
photoélectrons créés par unité de temps dans la tranche élémentaire.
tJJ1 Calculer le nombre total nphot de photoélectrons créés par unité de temps dans
la zone de déplétion entière d'épaisseur /20.
tJl#J Que devient cette expression si l'épaisseur de la zone de déplétion est grande ?
On restera dans cette hypothèse pour la suite.
tJH En considérant que le courant dû aux trous est égal au courant dû aux élec­
e
trons, calculer le photocourant total /phot (on notera la charge de l'électron).
tjlt:I Montrer que le courant inverse total s'écrit :
Ir = /phot + ls = 2e17 Àcf>o (l - R) exp (-alp) + AT3exp (-Wg/kT)
hc
4
(2 . 1 )
tJM La température maximale de fonctionnement nominal de la photodiode est
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T = Tmax = 330 K. Calculer le courant d'obscurité19 de la photodiode23pour cette
température. On donne W9 = 1 , 12 eV, e = l ,6. l o- C, k = 1 ,38. 1 0- J.K- 1 et
A = 343 A.K-3 .
tjllt) Donner l'expression de la sensibilité S phot de la photodiode et conclure quant
de ce capteur. On donne = 6,6. 1 0-34 J.s, = 3 . 1 08 m.s- 1 ,
à la= 0,caractéristique
49, À = 670 nm, exp(-alp) = 0,8 et R = 0,05.
7J
h
c
I l . La p hotod iode - p u i s sance l u m i n e u se max i m a l e
e t effet therm i q u e
tjlil La température extérieure est de Text
= 300 K. Le coefficient d'échange
thermique de la photodiode avec le milieu extérieur est K = 0,24 µW. K - 1 . Établir,
en faisant un bilan thermique en régime permanent, la relation entre la puissance
maximale Pmax dissipée par effet Joule et K, Text et Tmax, température maximale de
fonctionnement. Calculer Pmax .
tjlt;.j En considérant qu'en première approximation la photodiode présente entre
ses bornes une résistance inter-électrodes R = 50 k.Q, calculer le courant maximal
Imax qu'elle peut délivrer pour que sa température de fonctionnement reste inférieure
à Tmax·
322
Problème 24
tJllJ En utilisant les résultats des questions 1.9 et 1. 1 0, déduire la puissance lumi­
neuse maximale cf>max que peut recevoir la photodiode.
tJlll À quel éclairement Emax cette puissance correspond si l' ensemble de la sur­
face active S de la photodiode est éclairée ? On donne :
S
= 3 mm x l mm
I l l. Ré ponse s pectra l e
tjl..1 En reprenant le résultat de la question 1. 1 0 et les explications du paragraphe
I, décrire le comportement de la photodiode avec la longueur d'onde. Evaluer la sen­
sibilité S phot à À 1 000 nm.
=
tjlld Estimer la longueur d'onde maximale pouvant être utilisée avec cette photo­
diode.
tJIH Tracer l' allure du comportement de la sensibilité S phot de la photodiode en
fonction de la longueur d'onde pour À comprise entre 400 nm et 1 200 nm.
IV. Pri n c i pe de fon ct i o n n e m e n t d u détecte u r
d e pos it i o n ( PSD)
La photodiode recevant le faisceau lumineux peut être modélisée selon le schéma de
la figure 24.4. Sur ce schéma, on a représenté le faisceau lumineux et la source de
courant modélisant le courant
superposition du courant d' obscurité et du photo­
courant.
Ir,
Faisceau de section S
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Eclairement E
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Fenêtre transparente
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Électrodes
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1
F i g u re 24.4 - Détecteur de position
323
24
•
Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle
D'un point de vue électrique, ceci, peut être modélisé en première approximation
comme représenté figure 24.5 où D représente une diode parfaite, Cj la capacité de
la jonction, R sh la résistance shunt prenant en compte les pertes ohmiques au niveau
de la région isolante, R 1 et R2 les pertes ohmiques dues à la résistivité résiduelle des
régions P et N liées respectivement aux longueurs 1 1 et l2 .
R,
]phot
Is
1,.
D
Rz
cj
Rsh
Fig u re 24.5 - Schéma électrique équivalent
La source de tension n'est pas représentée car elle ne sert qu' à polariser la photodiode
et donc à rendre actives les deux sources de courant /phot et 15• Dans toute la suite du
problème, compte tenu des résultats des questions 1.9 et II.2, on négligera le courant
d'obscurité devant le photocourant.
tjll:t En considérant que les différents matériaux sont parfaitement homogènes,
donner la relation existant entre les courants /1 et h et les résistances R 1 et R2 puis
entre les courants li et h et les longueurs l 1 et l2 .
tjlpJ Avec R 1 + R2 200 kn, R sh
=
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R 1 + R2 et Cj = 5 pF, estimer la constante de
temps T de la photodiode pour un faisceau tombant au milieu de la surface active et
sa fréquence de coupure fc · On fera l'hypothèse que le système constitue un premier
ordre.
tjf:.t1J On suppose que 1' on peut mesurer les courants sans introduire la moindre
perturbation et que l'on est capable de réaliser analogiquement l' opération
a(/1 - '2 )/(/1 + fi). Montrer en posant l 1 l/2 - x et l2 l/2 + x que V est
V
une mesure de l'écart x par rapport au centre de la photodiode.
mes
=
=
=
mes
tjfji En déduire l'expression de la sensibilité S c de ce capteur.
V. Électro n i q u e de condition nement
Le conditionnement électronique est réalisé selon le schéma de la figure 24.6 où l'on
suppose que les composants utilisés sont idéaux.
324
Problème 24
Vi
+
Rd
I I
Rd
VN
X
Rs
v2
+
I I
Z· X/Y
VD
y
"V,nes
Fig u re 24.6 - Électronique de conditionnement
tJf..11';.j Déterm.iner les expressions de Vi et V2 en fonction de /1 , 12 et Re. Que réalise
chacune des voies du premier étage du montage de la figure 24.6 ?
tjfJI Quelle est l'impédance d'entrée de chacune des voies de cet étage ? Conclure
quant à l'hypothèse faite à la question 24.20.
tjfjl Donner les expressions de VN et VD en fonction de /1 , h et Re.
tjfJj Le diviseur, étage de sortie du montage de la figure 24.6, possède une sortie
de la forme Z · X/Y où Z = 10 V. Déterminer l'expression de la tension de sortie Vmes
en fonction de x, et V.
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tjfld En déduire l'expression de la sensibilité
l
=
3 mm.
S e du capteur. On rappelle que
V I . Pri n c i pe d e fon ct i o n n e m e n t d u détecte u r
d e position à tria n g u lation
On utilise la PSD précédente pour la réalisation d'un capteur à triangulation permet­
tant de suivre l'évolution de la position d'une surface-cible à détecter. Ce capteur,
sans contact, est réalisé suivant le schéma de principe de la figure 24.7.
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Ci
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325
24
•
Photodiode à effet latéral u n i d i rectionnelle
D
d
L
_ _,12
B
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--Condenseur
\""
\
Position extrême supérieure de la cible
�
Rayonnement réfléchi
B'
A
. ··········
!
!
!
. X
+l/ 2
!
PSD
Lentille de
focalisation
X
Position extrême inférieure de la cible
Fig u re 24.7 - Principe du capteur à triangulation
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u
La position de la surface à détecter peut évoluer entre les positions extrêmes matéria­
lisées par les points A' et B'.
Un condenseur focalise sur la surface à détecter le rayonnement issu de la source
(diode laser). Une partie du rayonnement réfléchi n'étant pas de nature spéculaire
n'obéit pas à la loi de la réflexion de Descartes. Une partie de ce rayonnement est
collecté par la lentille de focalisation et focalisé sur la PSD.
Pour simplifier, on considère que la direction du déplacement de la cible à détecter
(direction définie par A'B') est parallèle à la surface de la PSD (direction définie par
AB) .
tjfl4 Par des considérations géométriques simples, déterminer la loi donnant le
point d'impact x du faisceau lumineux sur la PSD en fonction de la position X de la
surface à détecter, de D et d. L'origine de X est prise en O'.
tjf"f:t En utilisant les résultats précédents, déterminer la sensibilité S mes de la me­
sure, rapport des variations de la tension de mesure Vmes aux variations de la position
X de la surface à détecter.
326
Problème 24
tJt..W On suppose que la résolution de 1 'électronique utilisée, compte tenu du bruit
de l'électronique et des autres facteurs d'erreur est ôVmes = 2 mV. Déterminer le
rapport d/D pour que la résolution du capteur soit ôX = 2 µm.
tJ§tJ Dans ce cas, calculer numériquement la sensibilité S mes de la mesure.
tjlli Déterminer l'étendue de mesure E . M. (X) du capteur réalisé.
V I I . Opti m i sation de l a géométrie d u capte u r
à tria n g u lation
tJltJ Commenter à l'aide des résultats précédents les possibilités d'augmentation
de la résolution du capteur.
tJm Le plan de la PSD et le plan contenant l' axe O' X perpendiculaire au plan
de la figure 24.7 ne sont plus a priori parallèles mais forment entre eux un angle
r.p = a + f3 (voir figure 24.8). Quel en est l'effet sur la résolution ?
Figure 24.8 - Inclinaison de la PSD
tj@I Montrer qu'en contre-partie, en raison du problème de focalisation, la rela­
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tion entre x et X devient non linéaire, ce qui entraîne une non-linéarité de la mesure.
On s'appuiera pour cela sur une démonstration graphique des règles de Scheimp­
fiug ou de Hinge (formation de l'image d'un objet incliné par rapport au plan de la
lentille). On posera da = O'Q et di = no.
tJM1 Calculer l'angle f3 puis la nouvelle expression de la sensibilité pour un cap­
teur à triangulation respectant strictement la règle de Scheimpflug. On donne a 35°,
da = 10 cm et f = 3 cm, valeurs classiques pour un capteur à triangulation. Repré­
senter graphiquement le comportement de la tension de mesure Vmes en fonction de
la position X.
=
tJ§d Évaluer l'erreur de linéarité (en % de l'étendue de mesure) engendrée par le
respect de la règle de Scheimpfiug.
327
24
•
Photodiode à effet latéral unidirectionnelle
On rappelle que les coefficients de la meilleure droite au sens des moindres carrés,
+ B, passant par
d'équation y =
couples de points de mesure
sont donnés
par :
Ax
(xi, YJ
N
N
N
N
N I xiYi - I xi l: Yi
i=l i=l
A i=l
N xf - x
=
t (t J
���
��
Corrigé détaillé
Com plément e n l i g n e
Le corrigé est téléchargeable gratuitement sur :
La page web de l ' auteur : www.esiee-amiens.fr/dassonvalle
Le site de Dunod, à l' adresse suivante :
www.dunod.com/ contenus-complementaires/9782100701674
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328
(24.2)
25
P RO B L È M E :
Ca pte u r d e p rox i m i té
capac i t i f
Les capteurs capacitifs de proximité présentent l 'avantage sur les capteurs inductifs
de ne pas nécessiter une cible métallique. Tout type de matériau peut être détecté
pour peu que sa permittivité diffère suffisamment de celle du vide. Le changement du
matériau de la cible ne fait qu'affecter la sensibi1ité de la mesure.
Énoncé
1 . Étude d u tra n s d u cte u r capacitif
On considère le capteur capacitif de proximité de la figure 25. 1 . Le but de le mesure
est de détecter la distance x entre la tête de mesure est la cible.
P
C
(x) Armature extérieure
Cible
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Fig u re 2 5. 1 - Principe de la détection de proximité capacitive
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tJjl Donner la capacité CAB présentée par la tête de mesure entre ses bornes A et
B , capacité constituée des capacités de mesure C(x), inter-électrodes Ce et capacité
parasite Cp (x).
tJ*.J Montrer que la mise à la masse de l 'armature extérieure et de la cible simplifie
le problème. On se placera sous cette hypothèse pour la suite du problème.
tJ1U Soit L: la surface de l'électrode active en regard de la cible et L:' 2nrh la sur­
=
face en regard de l'électrode i ntérieure et de l'électrode extérieure (voir figure 25.2).
Le milieu ambiant est supposé de permittivité égale à celle du vide soit t:0. Donner
en première approximation l'expression de la capacité CAB . Dans cette expression
on se contentera d'un développement au premier ordre en e/r pour Ce(x).
329
25
•
Capteu r de proximité capacitif
1111
111 ....-___. B
h
Armature intérieure
!e
Armature extérieure
Cible
Fig u re 2 5.2 - Géométrie d u capteur
tJ"ll Le capteur est réalisé de façon à fonctionner pour une distance tête de mesure­
cible évoluant de �x à partir de la valeur de référence xo = 2 mm.
Donner l'expression de CAB au premier ordre en �xixo et la mettre sous la forme
CAB = Co ( 1 + k�x/xo).
On donne r = 1 cm, h = 1 cm, e = 1 mm et Eo 8,85 . 1 0- 12 F.m- 1 .
=
I l. Con d itionnement d u tran s d u cte u r
tJ.,.1 Le capteur de capacité CAB est utilisé dans le circuit de la figure 25.3, consti­
tué des deux blocs amplificateur et filtre.
Amplificateur
R2
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Filtre
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AB
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_
__
v4
Fig u re 2 5.3 - Schéma de principe de la mesure
Calculer les fonctions de transfert en boucle ouverte :
l'amplificateur opérationnel étant considéré idéal.
tJJd On relie la borne de sortie de l'amplificateur à l'entrée du filtre et la borne de
sortie du filtre à la borne non-inverseuse de l'amplificateur opérationnel de façon à
réaliser = et 1 =
Montrer que ceci entraîne deux conditions dites d'ampli­
tude et de phase sur la fonction de transfert H(p) = H1 (p)H2(p).
v2 v3 v v4.
330
Problème 2 5
t.Jti En admettant que le fonctionnement du système sera celui d'un oscillateur
sinusoïdal de pulsation w, calculer les relations dérivant des conditions de phase et
d'amplitude à tenir entre les valeurs des composants.
t.Jj:I On fixe C
=
Co et R = R2 =
kQ et on suppose que
= O. Déterminer
les valeurs de la résistance R 1 et de la pulsation de l'oscillateur que l'on notera w0.
Lorsque 1' on déplace la tête du capteur par rapport à la cible, la capacité CAB varie.
La condition d' amplitude ne peut plus être vérifiée à chaque instant par une résis­
tance fixe puisque cette condition s'écrit en fonction de CAB . La résistance R 1 est
remplacée par un système de façon à ce que la condition d'amplitude soit toujours
vérifiée (ce système ne sera pas étudié ici).
100
�x
t.JM Donner alors l'expression de la pulsation au premier ordre en
t.JjltJ
�x/xo.
�x pouvant éventuellement dépendre de la fréquence, donner 1 'expression de
la tension instantanée v 1 de l'oscillateur. On notera V0 son amplitude sans chercher à
la calculer. On notera :
X
�
F(t)
(25.1)
2x0
I kwo -dt
=
I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal
Le signal précédent est utilisé en entrée du circuit de démodulation de la figure
où les composants sont supposés idéaux.
25.4
Déphaseur
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Multiplieur
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Fig u re 2 5.4 - Schéma de principe de la mesure
t.Jjll Montrer que le premier étage du circuit de la figure
25.4 entraîne un simple
déphasage entre les tensions instantanées v 1 et v5 . Calculer ce déphasage �cf>.
tJjtA Donner l 'expression de la tension instantanée V6 en sortie du multiplieur.
t.Jjlt Donner l'expression de la tension de sortie instantanée Vs pour w
«
l/R4C4 .
331
25
•
Capteur de proximité capacitif
t.JjGI Montrer qu'en choisissant correctement R3C3, la tension de sortie Vs est, au
premier ordre non nul en !J.x/x0, proportionnelle à !J.x. Donner l'expression de la sen­
sibilité. On donne Va = 5 V, E = 0,5 V et on rappelle que :
cos x =
(�)
---2
tan (�)
1
- tan2
1
+
(25.2)
Corrigé détaillé
1. P r i n c i pe d u tran s d u cte u r capacitif
t.Jjl La capacité de la tête de mesure est donnée par :
CAB = Ce +
C(x)Cp (x)
(25.3)
----­
C(x) + Cp (x)
t.J*.j Si la cible et l 'armature extérieure sont au même potentiel, la capacité parasite
Cp (x)
se trouve court-circuitée (25.3) devient :
CAB = Ce + C(x)
t.J1U En première approximation, on peut négliger tout effet de bord et on peut
considérer que la capacité C(x) est celle d'un condensateur plan et que la capacité
Ce(x) est celle d'un condensateur cylindrique. Il vient alors :
-0
0
c
::J
0
....
(V)
0
N
t:oL
CAB
peut donc s'écrire :
CAB �
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a.
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u
t:onr2
C(x) = - = -X
x
tJ111 Avec x
=
CAB
x0 + !J.x,
=
et Ce =
t:o2nh
ln ((r + e)/r)
--
t:o 2nhr t:onr2
+
e
X
�
il vient au premier ordre en !J.x/xo :
t:o2nhr
t:onr2
+
e
xa ( 1 + !J.x/xo)
t:onr
-(2hxo re) [
xa e
�
( -)
1 [ 1
eo2nhr t:onr2
+ -e
xa
re
!J.x
- = Co
(2hxo + re) xa
L'application numérique donne Co = 6,951 pF et k = -0,200.
=
332
t:o2nhr
e
---
+
1-
1 -
!J.x
xa
!J.x
1 + kxa
Problème 2 5
Il.
Cond i t i o n n e m e n t d u tra n s d u cte u r
tJJai L'amplificateur étant supposé idéal, on a immédiatement dans le domaine de
Laplace :
(p) - R 1 + R2
H1 (p) - VV2i (p)
Ri
_
Pour le filtre, on obtient :
(25.4)
_
R
V3(p)
l_
C___
V4(P) _R__+ _RCp
+_R_
AB P
l + RCp + CAB P
=
1
_
---
----
Calcul fait, il vient :
V4(p)
RCAB P
H2 (p) - V3(p)
(25.5 )
1 + R (2CAB + C) p R2 CCAB p2
Ce filtre est un filtre passe-bas d'ordre 2 .
tJid Si on impose v2 v3 et v 1 v4 en connectant ensemble les deux éléments du
montage de la figure 25.3, on doit avoir :
_
_
-
+
=
=
(25.6)
Les fonctions de transfert étant complexes (domaine de Laplace), on doit donc avoir :
IH(p)I
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
=
et
1
arg
(H(p))
=
o
Ceci constitue les deux conditions dites respectivement d'amplitude et de phase.
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
tJti Le système étant un oscillateur sinusoïdal de pulsation w, la condition de
phase s'écrit d'après
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
arg
(H( jw))
(25.4) et (25.5) :
w ( -R2 CCAB w2 ) )
RCAB
(
arg (H2 ( jw)) arctan
R2CAB (2CAB + C)w2
1
=
=
"
=
Ci
@
0
La pulsation de 1' oscillateur est donc :
�
-0
0
=
w
=
-=-R-y;:::c==:c=AB=
1
(25.7)
333
25
•
Capteur de proximité capacitif
La condition d'amplitude s'écrit d'après (25.4), (25.5) et (25.6) :
RCAB W
/
2 R 1 + R2
2
22
-y ( l - R CCAB w ) + (R(2CAB + C)w)
En utilisant le résultat (25.7), à partir de (25.8) on obtient :
�
�
=
(25 .8)
�
-
(R 1 + R2 )CAB = R 1 (2CAB + C)
(25.9)
tJf:I D' après (25.7), on a w0 = 1/RC0 = 1 ,439.106 rad.s- 1 soit une fréquence
fo = 229,0 kHz . D'après (25.9), on tire R 1 = R1/2.
tJ"IJ La pulsation est toujours donnée par (25.7) puisque cette relation est indépen­
dante de R l Elle s'écrit maintenant pour 11x * 0 :
l1x
1
1
1
- w0
(25 . 10)
=
w
- w0 1 - k
�x
2xo
R .YCoCAB
f
x
2
c
k
R " 0 l + xo
1 + kXo
·
(
=
(
R
)-
�
)
tJjltJ La tension v 1 est sinusoïdale de pulsation instantanée donnée par (25. 10). Sa
phase instantanée s'écrit donc en utilisant (25 . 1 ) :
l1x
cp(t) = wdt ::::::: wo t
dt = w0t F(t)
kwo
2x0
J
-
J
La tension instantanée v 1 est de la forme v 1
=
-
V0 sin (w0t
- F(t)) .
I l l. Con d i t i o n n e m e n t d u s i g nal
tJjll Dans le domaine de Laplace, on peut écrire :
"'O
0
c
::J
0
....
(V)
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>
a.
0
u
+
----
Vs + Vi
1
V1 et e =
2
1 + R3 C3 p
La contre-réaction amène tous calculs faits :
1 - R3 C3 p
Vs =
V1
1 + R3 C3 p
La tension instantanée v 1 étant sinusoïdale de pulsation w, la transmittance T du pre­
mier étage du circuit de la figure 25 .4 est donnée par :
1 - jR3 C3 w
T( jw)
1 + jR3 C3 w
e
=
=
Cet étage entraîne donc un simple déphasage 11</> entre v 1
vs Vo sin (wo t - F(t) + 11<f>), déphasage donné par :
=
Vo sin (wo t - F(t)) et
=
11</> = -2arctan(R3 C3 w)
334
(25 . 1 1 )
Problème 2 5
tJjtJ En sortie du multiplieur, on a simplement :
v6 =
� ; sin (w0t - F(t)) sin (wot - F(t)
; [cos ('3.</J) - cos (2w0t - 2F(t)
2
v
s
2
=
v
+
'3.</J)
2
=
v
+ 13. cf>) ]
tJjlJ L'étage de sortie du circuit de la figure 25-4 est un simple filtre passe-bas de
fonction de transfert :
1
1 + R4C4p
La fréquence de coupure de ce filtre est donnée par Wc = l/R4C4 . Si w <<
pour autant que le montage filtre l'évolution temporelle de 13.cf>, on obtient :
Vs
=
v6
----
;
v2
Vs �
2
Wc
sans
COS (13.cf>)
(25. 12)
"'O
0
c
:J
0
(V)
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>a.
0
u
�
""'
"
=
"'
"
"
'"
·C0
=
"'
"
0
"
"
.3
ü
=
""'
2o..
2
�
=
�
-0
0
"
=
Ci
@
En choisissant R3C3
=
l/wo, (25 . 1 2) devient au premier ordre en 13.x/xo :
2
V0
Vs = -
2E
kt3.x
xo
(
kt3.x
l_
(
4x0
)
kt3.x
l _ kt3.x
2_
xo
4xo
)
2
kV0 13. x
� -2E xo
(25 . 13)
La sensibilité est donnée à partir de (25 . 13) par :
S =
kVo2
_ =
_
2Exo
-2 ,5 V/mm
335
25
•
Capteur de proximité capacitif
Les conditionnements des transducteurs capacitifs peuvent être de nature très
différente selon le type d ' utilisation.
Le capteur de proxi mité peut être à sortie analog i q u e s i l' objet est la mesure de
la d i stance capte ur-cible en vue d ' u n asservissement par exemple. Dans ce cas
le conditionnement peut être d u type étu d i é ici ou encore à boucle à verro u i l lage
de phase et le s i g nal de sortie peut être une tension ou encore un courant dans
le cas du standard 4-20 mA.
Ce type de capteu r peut aussi être à sortie binaire si le but est de d i s poser d ' u n
s i g nal i nformant d u dépassement d ' u n e valeur l i m ite de l a d i stance capte ur-cible,
on les appe l l e alors des détecteurs. Cette val e u r l i m ite peut ou non être réglée par
l' uti l i sateur selon les modèles. Ce dernier type de capteurs est très couramment
utilisé dans l ' i ndustrie dans les automatismes tout ou rien et dans les problèmes
de sécurité des biens et des personnes e n mil ieux i nd ustriels.
Figure 2 5.5 - Différents types de détecteurs capacitifs
(documentation lfm-electronlc)
336
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 1 — #349
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L ES
CAPTEURS
C ORRIGÉS
PROBLÈMES
EXERCICES
Les capteurs, ouvrage écrit par Pascal Dassonvalle dont la deuxième édition est parue
en 2013 aux éditions Dunod (www.dunod.com), 9782100701674.
26 Capteur à courants de Foucault – Mesure de résistivité
27 Relation mesurande-signal de mesure – Dérive thermique
30 Résistance thermométrique en montage potentiométrique
31 Capteur de déplacement capacitif – Non-linéarité
37 Capteur de débit à tube Venturi – Tension de mode commun
5 Capteur résistif non linéaire
7 Linéarisation aval
18 Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d’angle
19 Étude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination à
distance de la température d’un corps
21 Capteur angulaire robuste
24 Photodiode à effet latéral unidirectionnelle
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 2 — #350
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26
E XERCICE :
Capteur à courants
de Foucault – Mesure
de résistivité
Corrigé détaillé
26.1 Le champ alternatif hautes fréquences créé par la bobine induit dans la plaque
métallique des courants de Foucault. Ces courants produisent à leur tour un champ
magnétique opposé au champ magnétique créé par la bobine. La superposition de ces
deux champs modifie l’impédance apparente de la bobine.
26.2 On a simplement e = (R1 + jL1 ω) i1 + jMω i2 .
26.3 Le secondaire (la cible métallique) du transformateur ainsi réalisé étant en
court-circuit, on a jMω i1 + (R2 + jL2 ω) i2 = 0.
26.4 En éliminant i2 entre les deux dernières équations et en posant
e = (r + jLω)i1 , il vient par identification :
r = R1 +
R 2 M 2 ω2
R22 + L22 ω2
et
L = L1 −
L 2 M 2 ω2
R22 + L22 ω2
(26.1)
26.5 Dans le cas d’une cible constituée par un bon conducteur, soit pour R2 L2 ω
√
et avec M = k L1 L2 , (26.1) devient :
r = R1 + k 2 R2
L1
L2
et
L = L1 (1 − k2 )
(26.2)
26.6 Compte tenu de la présence de la contre réaction, on a :
H1 (p) =
R
V2 (p)
=−
V1 (p)
R
26.7 En procédant comme demandé, il vient :
V4 (p) =
2
I2 (p)
Cp
et
I2 (p) =
V(p)C p
V(p)
=
Lp + r + 1/C p 1 + rC p + LC p2
(26.3)
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 3 — #351
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Corrigé 26
Soit en éliminant I2 (p) dans (26.3) :
V4 (p) =
V(p)
1 + rC p + LC p2
De même, on a :
Zeq (p)
V3 (p) avec
V(p) =
R + Zeq (p)
1
1
r + Lp +
Zeq (p) =
Cp
Cp
Calcul fait, on obtient :
H2 (p) =
1
RLC 2 p3 + (RrC + L)C p2 + (r + 2R)C p + 1
26.8 Les connections V4 = V1 et V3 = V2 doivent permettre la réalisation d’un
oscillateur sinusoïdal et imposent donc la condition dite de Barkhausen, à savoir :
H1 ( jωoscil ) = V2 ( jωoscil )/V1 ( jωoscil ) = V3 ( jωoscil )/V4 ( jωoscil ) = 1/H2 ( jωoscil )
Cette expression conduit donc à H( jωoscil ) = 1.
Ceci peut se récrire sous forme de deux conditions :
|H( jωoscil )| = 1 et
arg (H( jωoscil )) = 0
26.9 La condition arg(H2 ( jωoscil ))=0 impose − jω3oscil RLC 2 + j(r+2R)Cωoscil =0.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Ceci fournit la pulsation d’oscillation de l’oscillateur qui est donnée par
ω2oscil = (r + 2R)/RLC et qui compte tenu de (26.2) s’écrit encore :
k 2 L1 R2
2R + R1 + k2 R2 L1 /L2
2R + R1
=
1+
ωoscil =
L2 (2R + R1 )
RCL1 (1 − k2 )
RCL1 (1 − k2 )
k 2 L1
R2
(26.4)
= ω0 1 +
L2 (2R + R1 )
26.10 L’oscillateur fonctionnant, la transmittance H2 ( jωoscil ) se réduit à :
−1
H2 ( jωoscil ) = 1 − (RrC + L)Cω2oscil
Avec ω2oscil = (r + 2R)/RLC, il vient :
−1
r + 2R
RL
(RrC + L)
=−
H2 ( jωoscil ) = 1 −
RL
RCr(r + 2R) + L(R + r)
(26.5)
Pour une cible parfaitement conductrice, on a r = R1 et L = L1 (1 − k2 ). Dans ce cas
(26.5) devient :
H2 ( jωoscil ) = −
RL1 (1 − k2 )
RCR1 (R1 + 2R) + L1 (1 − k2 )(R + R1 )
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 4 — #352
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Les capteurs
La condition |H( jωoscil )| = |H1 ( jωoscil )H2 ( jωoscil )| = 1 impose alors :
RCR1 (R1 + 2R) + L1 (1 − k2 )(R + R1 )
R
=
R
RL1 (1 − k2 )
26.11 On a immédiatement :
3R2C + 2L1 (1 − k2 )
R
= 2,1
= 1
R
L1 (1 − k2 )
et
ω0 =
3
= 2.106 rad.s−1
CL1 (1 − k2 )
Ce qui amène une fréquence f0 318 kHz.
26.12 Si ωoscil reste proche de ω0 , (26.4) peut s’écrire :
ωoscil = ω0
k 2 L1
R 2 = ω0
1+
L2 (2R + R1 )
k 2 L1
k 2 L1 α
1+
αρ ω0 1 +
ρ
3R1 L2
6R1 L2
26.13 Le cuivre étant un bon conducteur, on peut estimer que ωoscil ω0 . La profondeurde peau et donc l’épaisseur testée par cette méthode de mesure est de l’ordre
de δ = 2/γω0 μ0 0,1 mm.
26.14 Compte tenu de l’hypothèse faite à la question 26.10, si le conducteur
s’écarte trop du conducteur parfait, le rapport fixé R /R ne permet plus de vérifier la
condition de Barkhausen et l’oscillateur décroche. Il faut donc réserver ce capteur à
la mesure de la résistivité de très bons conducteurs.
On peut inversement utiliser le capteur pour détecter des défauts structurels (cavités,
concentrations d’impuretés, etc.) situés sous la surface qui, en augmentant de façon
importante la résistivité apparente du matériau, font alors décrocher l’oscillateur.
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 5 — #353
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E XERCICE :
Relation
mesurande-signal
de mesure
– Dérive thermique
27
Corrigé détaillé
En avant-propos : bien que ce ne soit pas l’usage habituellement dans l’écriture de
l’application numérique relative à l’expression analytique d’une grandeur physique,
il est conseillé au débutant de faire figurer explicitement les unités dans l’expression
de l’application numérique. Ceci permet de vérifier que le résultat obtenu est bien
homogène et donc par-là, de repérer un oubli de conversion, une mauvaise compréhension et utilisation des données fournies. . .
Les corrections des exercices suivants seront effectuées dans ce sens.
27.1 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (x,T ) = S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) · x
= 20 mV/μm/V · 10 V · 1 + 0,1 %◦ C−1 · (25 − 20)◦ C · 10 μm
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
= 2,01 V
(27.1)
27.2 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (x,T ) = S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) · x
(27.2)
On en déduit immédiatement :
Vmes (x,T )
S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 ))
41 mV
= 8 μm
=
1 mV/μm/V · 5 V · 1 + 0,5 %◦ C−1 · (25 − 20)◦ C
x=
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(27.3)
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 6 — #354
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Les capteurs
Si on ne tient pas compte de la dérive thermique, le déplacement apparent xapp est
donné par :
Vmes (x,T )
S r (T 0 ) · Valim
41 mV
= 8,2 μm
=
1 mV/μm/V · 5 V
xapp =
(27.4)
L’erreur relative commise est donc
(xapp − x)/x = 2,5 %.
27.3 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (p,T 0 ) = S r (T 0 ) · Valim · (p − p0 ) + Vmes (p0 ,T 0 )
= S r (T 0 ) · Valim · (p − p0 ) + V0
= 100 mV/105 Pa/105 Pa/V · 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V = 1,25 V
(27.5)
À T = 30 ◦ C, on a :
Vmes (p,T 0 ) = S r (T 0 ) · (1 + αS (T − T 0 )) · Valim · (p − p0 ) + V0
= 100 mV/105 Pa/V · 1 + 1 %◦ C−1 · (30 − 20) ◦ C
· 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V
= 1,275 V
(27.6)
27.4 Pour un débit D à la température de référence T 0 , la tension de mesure s’écrit :
Vmes (D,T 0 ) = S (T 0 ) · (D − D0 ) + Vmes (D0 ,T 0 )
= S (T 0 ) · (D − D0 ) + V0
= 200 mV/L.s−1 · (20 − 50) L.s−1 + 1 V = −5 V
(27.7)
Pour ce même débit, à T = 40 ◦ C la tension de mesure s’écrit :
Vmes (D,T ) = S (T ) · (D − D0 ) + Vmes (D0 ,T )
= S (T 0 ) · (1 + αS (T − T 0 )) · (D − D0 ) + V0 1 + αV0 (T − T 0 )
= 200 mV/L.s−1 · 1 − 0,1 %◦ C−1 · (40 − 20) ◦ C · (20 − 50) L.s−1
+ 1 V · 1 − 0,2 %◦ C−1 · (40 − 20) ◦ C
= −4,92 V
(27.8)
27.5 a) On ne dispose que d’une seule valeur de la pression pour différentes va-
leurs de la température en tant que grandeur d’influence. On ne peut donc pas estimer
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 7 — #355
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Corrigé 27
la sensibilité de ce capteur qui par définition relie ici les variations de la tension de
mesure aux variations de la pression.
b) Par régression au sens des moindres carrés, en considérant qu’à pression constante
la tension de mesure s’écrit Vmes = aT + b, on obtient a = 0,275 mV/◦ C et
b = −2,850 mV.
c) Si on désire que Vmes (p0 ,T 0 ) = 0 où T 0 désigne la température de référence, la
tension de mesure doit s’écrire :
Vmes (p,T ) = S (T ) · (p − p0 ) + CDT Z · (T − T 0 )
(27.9)
En p0 , on a simplement Vmes (p0 ,T ) = CDT Z · (T − T 0 ) que l’on doit identifier à
Vmes (p0 ,T ) = aT + b. On en déduit :
⎧
◦
⎪
⎪
⎨ CDT Z = a = 0,275 mV/ C
(27.10)
⎪
⎪
⎩ T 0 = −b/a = 10,38 ◦ C
27.6 a) L’étendue de mesure du capteur peut être adaptée à celle du courant en éloignant plus ou moins le capteur du conducteur puisque le champ créé est inversement
proportionnel à la distance pour un conducteur rectiligne.
b) Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (B,T ) = S (T 0 ) · (1 + αS ΔT ) · B + αV0 · ΔT
c) On a :
(27.11)
ΔVmes = S (T 0 ) · B − S (T 0 ) · (1 + αS · ΔT ) · B + αV0 · ΔT
= − S (T 0 ) · αS · B + αV0 · ΔT
= − 1,3 mV/G · 0,2 %◦ C−1 · B − 1 mV/◦ C · ΔT
(27.12)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Cette dernière expression est extrémale pour B = −900 G et T = −20 ◦ C soit
ΔT = −45 ◦ C et vaut ΔVmes = 150,3 mV.
d) En terme de valeur de champ ceci conduit à une erreur ΔB de l’ordre de :
ΔVmes
= 116 G
(27.13)
ΔB S (T 0 )
e) L’erreur relative commise est :
116
ΔB
=
−13 %
(27.14)
B
−900
Ceci constitue une erreur bien trop importante pour une mesure de qualité. Il est donc
nécessaire soit de mesurer la température et de corriger la réponse de la dérive thermique soit d’inclure le capteur de champ dans un montage ad hoc avec un capteur de
température judicieusement dimensionné afin de compenser la dérive thermique.
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30
E XERCICE :
Résistance
thermométrique
en montage
potentiométrique
Corrigé détaillé
30.1 Sans avoir poussé plus loin l’étude, on choisit T 0 au milieu de l’étendue de
mesure pour a priori minimiser les non-linéarités, soit T 0 = +20 ◦ C.
30.2 Avec T = T 0 + ΔT , il vient :
(30.1)
Rc (T ) = Rc (0)(1 + AT + BT 2 )
= Rc (0) 1 + A(T 0 + ΔT ) + B(T 0 + ΔT )2
= Rc (0) 1 + AT 0 + BT 02 + (A + 2BT 0 )ΔT + B(ΔT )2
⎛
⎞
⎜
⎟⎟⎟
B
A
+
2BT
0
⎜
2 ⎜
2
⎟⎟⎠
ΔT
+
(ΔT
)
= Rc (0) 1 + AT 0 + BT 0 ⎜⎜⎝1 +
1 + AT 0 + BT 02
1 + AT 0 + BT 02
= R0 1 + αΔT + β(ΔT )2
L’application numérique donne :
R0 = 111,27 Ω,
α = 5,18.10−3 ◦ C−1
et
β = 6,02.10−6 ◦ C−2
30.3 On a immédiatement :
ΔRc = Rc (T ) − Rc (T 0 ) = R0 αΔT + β(ΔT )2
(30.2)
Le fonctionnement du capteur est non-linéaire.
30.4 Au premier ordre en ΔT , ΔRc s’écrit ΔRc αR0 ΔT . On en déduit la sensibilité
S c du capteur :
ΔRc
αR0 = 0,577 Ω/◦ C
(30.3)
Sc =
ΔT
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“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 9 — #357
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Corrigé 30
30.5 La tension de mesure Vmes (T ) est donnée par :
Vmes (T ) =
Rc (T )
R0 + ΔRc
Vg =
Vg
R + Rc (T )
R + R0 + ΔRc
(30.4)
30.6 On en déduit :
ΔVmes = Vmes (T ) − Vmes (T 0 ) =
=
R0 + ΔRc
R0
Vg −
Vg
R + R0 + ΔRc
R + R0
RΔRc
Vg
ΔR
c
(R + R0 )2 1 +
R + R0
(30.5)
Le conditionneur du capteur est non-linéaire.
30.7 Au premier ordre en ΔRc , ΔVmes s’écrit :
ΔVmes (T ) RΔRc
Vg
(R + R0 )2
(30.6)
On en déduit une approximation de la sensibilité S cond du conditionneur.
S cond =
ΔVmes
R
Vg
ΔRc
(R + R0 )2
(30.7)
30.8 En utilisant (30.2) dans (30.6), on obtient :
ΔVmes
RR0 αΔT + β(ΔT )2
=
⎞ Vg
⎛
⎜⎜⎜
R0 1 + αΔT + β(ΔT )2 ⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
(R + R0 )2 ⎜⎜⎜⎝1 +
⎠
R + R0
(30.8)
La mesure est non linéaire.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
30.9 Au premier ordre en ΔT de ΔVmes , on a :
ΔVmes RR0
αVg ΔT
(R + R0 )2
(30.9)
On en déduit l’approximation de la sensibilité S mes de la mesure :
S mes =
RR0
ΔVmes
αVg
ΔT
(R + R0 )2
(30.10)
30.10 Il suffit de chercher la valeur de R annulant la dérivée de (30.10).
dS mes R0 (R + R0 )2 − 2(R + R0 )RR0
=
αVg = 0
dR
(R + R0 )4
(30.11)
On en déduit R = R0 .
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Les capteurs
30.11 (30.7) et (30.10) deviennent alors :
⎧
Vg
⎪
⎪
⎪
S cond = 11,23 mV/Ω
⎪
⎪
⎪
4R0
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
αVg
⎪
⎪
⎩ S mes = 6,48 mV/◦ C
4
(30.12)
30.12 Pour que la valeur de R maximalise la linéarité autour de la température T 0 , il suffit que Vmes (T ) présente alors un point d’inflexion en T 0 soit à avoir
d2 Vmes (T )/dT 2 T = 0. On a :
0
⎧
Rc (T )
⎪
⎪
⎪
Vg
Vmes (T ) =
⎪
⎪
⎪
R + Rc (T )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
R
dRc (T )
⎪
⎪
⎨ dVmes (T ) =
V
2 g dT
⎪
dT
⎪
(R + Rc (T ))
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
2 ⎤
⎪
⎪
2 R (T )
⎪
⎢⎢⎢
⎥⎥⎥
⎪
R
d
dR
(T
)
d2 Vmes (T )
c
c
⎪
⎪
⎥⎥⎦
=
Vg ⎢⎢⎣(R + Rc (T ))
−2
⎪
⎪
2
3
2
⎩
dT
dT
dT
(R + Rc (T ))
(30.13)
Il vient alors :
2 2
T
α
0
− 1 = 385,30 Ω
− Rc (T 0 ) = R0
β
d2 Rc (T ) dT 2 T 0
R=
dRc (T )
2
dT
(30.14)
30.13 On a alors :
⎧
ΔVmes
R
β Vg
⎪
⎪
⎪
Vg = (α2 − β) 4
= 7,81 mV/Ω
S cond =
⎪
⎪
2
⎪
ΔRc
⎪
(R + R0 )
α R0
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
RR0
ΔVmes
β
⎪
⎪
⎪
αVg = (α2 − β) 3 Vg = 4,51 mV/◦ C
⎩ S mes = ΔT 2
(R + R0 )
α
(30.15)
L’amélioration de la linéarité conduit à une baisse de 30 % de la sensibilité de la
mesure S mes .
La figure 30.1 montre l’effet du choix de l’optimisation de la sensibilité ou de l’optimisation de la linéarité.
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Corrigé 30
ΔVmes (V)
Optimisation de la sensibilité
0, 4
0, 2
0
Optimisation de la linéarité
−0, 2
−0, 4
−20
0
20
T (°C)
Figure 30.1– Variation de la tension de mesure
Dans ce type de montage et selon l’effet recherché, on privilégie via le choix de la
résistance fixe R, d’optimiser soit la sensibilité soit la linéarité.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Le choix d’optimiser la linéarité n’est pas toujours possible car, selon la forme de
la caractéristique du capteur, l’équation (30.14) peut conduire à une valeur négative
de R.
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31
E XERCICE :
Capteur de déplacement
capacitif – Non-linéarité
Corrigé détaillé
31.1 À partir du montage de la figure 31.1, on a :
R4
R3 Z1 − R4 Z2
Z1
Vg cos ωg t
−
Vg cos ωg t =
Vmes (t) =
Z1 + Z2 R3 + R4
(Z1 + Z2 )(R3 + R4 )
L’amplitude Vmes de Vmes (t) est donc :
Vmes =
R3 Z1 − R4 Z2
Vg
(Z1 + Z2 )(R3 + R4 )
(31.1)
31.2 Avec Z1 (m0 ) = Z2 (m0 ) = Z0 pour m = m0 , l’équilibre du pont, i.e.
Vmes (m0 ) = 0, conduit à R3 = R4 . A priori, on choisit pour m0 le milieu de l’étendue de mesure afin de minimiser les non-linéarités.
(31.1) devient alors :
Vmes =
Z1 − Z2 Vg
Z1 + Z2 2
(31.2)
Le conditionnement est non linéaire puisque les impédances des capteurs figurent au
dénominateur de l’expression (31.2).
31.3 Les deux capteurs sont des condensateurs plans, de surface en regard S /2 et
d’entrefer e de permittivité ε. En négligeant les effets de bord leur capacité C0 dans
la configuration de la figure 31.2 dite de repos est C0 = εS /2e. Ces condensateurs
étant alimentés en sinusoïdal à la pulsation ωg , leur impédance dans la configuration
de repos est donnée par :
1
2e
=
(31.3)
Z0 =
jC0 ωg
jεS ωg
31.4 L’armature mobile se déplaçant de Δx vers la droite, la surface en regard des
armatures de C1 devient S 1 = S (L/2 + Δx)/L. Pour C2 , on a S 2 = S (L/2 − Δx)/L. Il
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Corrigé 31
vient donc :
⎧
⎪
ε S L
⎪
⎪
⎪
+ Δx = C0 1 +
C1 =
⎪
⎪
⎪
eL 2
⎨
⎪
⎪
⎪
ε S L
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ C2 = e L 2 − Δx = C0 1 −
2Δx
L
2Δx
L
soit
⎧
Z0
⎪
⎪
⎪
Z1 =
⎪
⎪
⎪
2Δx
⎪
⎪
⎪
1+
⎪
⎨
L
⎪
⎪
Z0
⎪
⎪
⎪
Z2 =
⎪
⎪
2Δx
⎪
⎪
⎪
1−
⎩
L
(31.4)
On est en présence de deux capteurs non-linéaires fonctionnant en push-pull.
31.5 (31.4) reportée dans (31.2) conduit à :
Vmes =
Δx
Z1 − Z2 Vg
= − Vg
Z1 + Z2 2
L
Grâce au fonctionnement push-pull des deux capteurs, la mesure est ici linéaire en
Δx bien que le conditionnement ne soit pas linéaire.
31.6 La sensibilité S mes de la mesure est donnée par :
S mes =
Vg
ΔVmes Vmes
=
=−
= −1 V/mm
Δx
Δx
L
31.7 Le fonctionnement push-pull des capteurs fait que C2 s’écrit :
,
, C2 = C0 1 − k1 (Δx L) + k2 (Δx/L)2 − k3 (Δx L)3
31.8 À partir des expressions de la question 31.4, par identification on a immédiatement k1 = 2.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
31.9 Comme précédemment et en utilisant (31.3), on a maintenant :
⎧
Z0
Z0
⎪
⎪
⎪
,
=
Z1 = ⎪
⎪
⎪
D1
⎪
1 + k1 (Δx L) + k2 (Δx/L)2 + k3 (Δx/L)3
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
Z0
Z0
⎪
⎪
⎪
,
=
Z2 = ⎪
⎪
⎪
2
3
D
⎩
2
1 − k1 (Δx L) + k2 (Δx/L) − k3 (Δx/L)
On en déduit :
⎧
−2Z0 ⎪
⎪
⎪
k1 (Δx/L) + k3 (Δx/L)3
Z1 − Z2 =
⎪
⎪
⎪
D1 D2
⎨
⎪
⎪
⎪
2Z0 ⎪
⎪
⎪
1 + k2 (Δx/L)2
Z1 + Z2 =
⎩
D1 D2
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(31.5)
(31.6)
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Les capteurs
La variation de la tension de mesure devient alors :
ΔVmes
2
k3 Δx
1+
k1 L
k1 (Δx/L) + k3 (Δx/L)3 Vg
Δx Vg
= −k1
=−
(31.7)
2
2
2
L 2
1 + k2 (Δx/L)
Δx
1 + k2
L
⎡
⎤
2
4
⎥⎥
k3
Δx Vg ⎢⎢⎢⎢
Δx
k3
Δx
− k2
− k2
− k2
+ · · ·⎥⎥⎥⎦
−k1
⎢⎣1 +
L 2
k1
L
k1
L
31.10 La non linéarité de la mesure est d’ordre 3 alors que celle des capteurs était
d’ordre 2.
31.11 Compte tenu du modèle utilisé pour les capteurs (polynôme d’ordre 3 en
Δx/L), l’expression de la variation de la tension de mesure donnée par (31.7) devient linéaire en Δx/L si on réalise k3 = k1 k2 soit encore en utilisant le résultat de la
question 31.8, k3 = 2k2 . ΔVmes s’écrit alors :
ΔVmes = −k1
Δx
Δx Vg
= − Vg
L 2
L
31.12 On a :
Δx(t)
Δx
Vg (t) = −
cos ωt · Vg cos ωg t
L
L
Δx = − Vg cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t
2L
ΔVmes (t) = −
Le spectre de ΔVmes (t) est donc constitué des pulsations ωg − ω et ωg + ω. L’information est donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse.
31.13 D’après (31.7), avec k1 = 2 on a :
ΔVmes
3
Vg cos ωg t
Vg cos ωg t
Δx(t)
(k3 − 2k2 )
Δx(t) −
=−
L
2
L
+
Vg *
Δx 2 cos ωt cos ωg t +2K(cos 3ωt − 3 cos ωt) cos ωg t
2L
Vg *
= − Δx 1 − 3K cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t
2L
+
+K cos(ωg − 3ω)t + cos(ωg + 3ω)t
=−
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Corrigé 31
Dans cette dernière expression, on a posé :
2
k3 − 2k2 Δx
K=
8
L
Le spectre de ΔVmes (t) est constitué des pulsations ωg −ω, ωg +ω, ωg −3ω et ωg +3ω.
L’information est toujours véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans
porteuse.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
31.14 Le développement limité effectué à la question 31.9 ne donnant que des
puissances impaires de cos ωt qui après linéarisation ne donnent jamais de termes
constants, l’apparition d’un terme en cos ωg t après linéarisation est impossible. L’information reste donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse.
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37
E XERCICE :
Capteur de débit à tube
Venturi – Tension
de mode commun
Corrigé détaillé
37.1 Le liquide étant parfait, la vitesse du liquide est identique en tout point d’une
section droite du tube. On appelle respectivement v1 et v2 les vitesses du liquide au
travers des sections droites situées à l’endroit des deux capteurs, on a : QV1 = πr12 · v1
et QV2 = πr22 · v2 . Le fluide étant incompressible, ces deux débits sont égaux et on
les notera QV . On obtient finalement, en notant S 1 = πr12 et S 2 = πr22 les aires des
sections droites à l’endroit des capteurs :
v1 =
QV
S1
et
v2 =
QV
S2
(37.1)
37.2 Le théorème de Bernoulli s’écrit :
1
ρgh + ρv2 + p = constante
2
(37.2)
Dans cette expression g est l’accélération de la pesanteur, h la hauteur du point considéré par rapport à la référence et p la pression statique en ce point.
Appliquée au niveau des capteurs de pression et compte tenu des hypothèses, (37.2)
donne ici :
1
1
(37.3)
ρgh0 + ρv21 + p1 = ρgh0 + ρv22 + p2
2
2
Les capteurs de pression étant situés à la même hauteur, le terme statique ρgh0 est
identique au niveau des deux capteurs et (37.3) peut encore s’écrire en utilisant (0.1) :
ρ S 12 − S 22
ρ 2
2
v − v1 =
Q2
p1 − p2 =
2 2
2 S 12 S 22 V
soit
QV = S 1 S 2
2 p1 − p2
ρ S 12 − S 22
(37.4)
Connaissant la géométrie du Venturi, la mesure de la différence de pression p1 − p2
permet d’évaluer le débit volumique QV .
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Corrigé 37
II. AmpliÞcateur de différence – Tension de mode commun
37.3 Les tensions sur les entrées inverseuse et non-inverseuse sont respectivement
données par :
⎧
R1
R2
R1
⎪
⎪
⎪
(V s − VA ) =
VA +
Vs
e− = VA +
⎪
⎪
⎨
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
(37.5)
⎪
⎪
R2
⎪
+
⎪
⎪
e
=
V
B
⎩
R1 + R2
L’amplificateur étant parfait, la contre-réaction conduit à e+ = e− , soit :
Vs = −
R2
R2
(VA − VB ) = − Vmes = −1 V
R1
R1
(37.6)
37.4 Le facteur de réjection du mode commun étant fini, la tension de sortie de
l’amplificateur s’écrit :
(e+ − e− )
2
En posant K1 = R1 /(R1 + R2 ) et K2 = R2 /(R1 + R2 ), (37.5) devient :
⎧ −
⎪
⎪
⎨ e = K2 VA + K1 V s
⎪
⎪
⎩ e+ = K2 VB
V s = Ad (e+ − e− ) + Amc
(37.7)
(37.8)
En reportant (37.8) dans (37.7), il vient :
Vs =
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Avec τ = Ad /Amc et Vmes
−K2 Ad (VA − VB ) + K2 Amc
(VA + VB )
2
(37.9)
Amc
2
= VA − VB , en posant Vmc = (VA + VB )/2, (37.9) devient :
1 + K1 Ad − K1
Vmc
Vmc
−Vmes +
R2
K2 −Vmes + τ
τ
=
Vs =
1
1
1
K1
R1 R1 (1 + Ad ) + R2
1+
−
−
K1 Ad 2τ
R1 Ad
2τ
Compte tenu des valeurs numériques de R1 , R2 , τ et Ad , on a :
R2 Vmc = −0,9 V
Vmes −
Vs −
R1
τ
(37.10)
Comparant (37.6) et (37.10), on constate qu’un facteur de réjection du mode commun fini fausse la valeur de la tension de sortie du montage puisque l’erreur relative
commise est de 10 %. La valeur V s donnée par (37.10), interprétée pour en extraire
p1 − p2 donnera finalement selon (0.4) une valeur fausse de la mesure du débit.
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Les capteurs
III. AmpliÞcateur d’instrumentation
37.5 En appliquant (37.7) à ce nouveau montage électronique, on a :
VA = Ad (e+ − e− ) + Amc
(e+ − e− )
2
(37.11)
D’après le schéma de la figure 37.3, on a :
⎧
V − VB
⎪
RG
R
⎪
⎪
⎨ e− = VB + RG A
=
VA +
VB = KG VA + KVB
R + RG
R + RG
R + RG
⎪
⎪
⎪
⎩ e+ = V
A
(37.12)
Reportant (37.12) dans (37.11), il vient :
Amc
Amc K Ad (VA − VB ) +
(VA + VB ) + KG Ad +
VA
2
2
VA =
1
Amc 2
1 + KG Ad −
2
On obtient de même :
Amc
Amc K −Ad (VA − VB ) +
(VA + VB ) + KG Ad +
VB
2
2
VB =
2
1
Amc
1 + KG Ad −
2
(37.13)
(37.14)
37.6 (37.13) et (37.14) conduisent à l’expression suivante de VA − VB :
Amc 2K + KG 1 +
2KAd + KG Ad +
2
(VA − VB ) =
VA − VB =
Amc 1
1 + KG Ad −
+ KG 1 −
2
Ad
2R
2K + KG
(VA − VB ) = 1 +
(VA − VB )
KG
RG
1
2τ
(VA − VB )
1
2τ
Pour VA + VB , on obtient :
K
1
+ KG 1 +
τ
2τ
(VA + VB ) (VA + VB )
VA + VB =
1
1
+ KG 1 −
Ad
2τ
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Corrigé 37
VA et VB sont les tensions d’entrée du deuxième étage de l’amplificateur d’instrumentation de la figure 37.3, étage étudié à la partie II. Par identification, on a donc :
VA + VB
2R
(VA + VB )
− 1+
(VA − VB ) +
V s − (VA − VB ) −
τ
RG
τ
Vmc
2R
Vmes −
=− 1+
RG
τA
Dans cette dernière expression, on a posé :
2R
τA = τ 1 +
RG
On désire garder le même gain que précédemment, on doit donc avoir :
1+
2R
2R R2
=
= 103 soit RG 3
RG R1
10
Numériquement, on obtient τA = τ (1 + 2R/RG ) = 107 = 140 dB.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
L’amplificateur d’instrumentation permet donc d’augmenter très fortement le taux de
réjection du mode commun par rapport au simple montage amplificateur. Compte
tenu de cette valeur, on a V s −1 V et on retrouve pratiquement la valeur calculée
dans le cas d’un amplificateur supposé parfait (voir (37.6)), l’erreur relative n’étant
plus que de 0,01 %.
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P ROBLÈME :
Capteur résistif
non linéaire
Corrigé détaillé
I. Capteur résistif
5.1 L’écart à la linéarité est le plus grand écart sur l’étendue de mesure entre la
caractéristique réelle et son approximation linéaire, valeur ici obtenue pour m = 0 ou
m=2:
(5.1)
δRc = max Rc − Rc,lin m∈[0;2] = 0,19 Ω
5.2 L’erreur de linéarité est l’écart de linéarité (5.1) normalisé à l’excursion de la
grandeur de sortie du capteur, ici sa résistance, soit :
ε = δRc /(max(Rc ) − min(Rc )) = 0,19/(121,20 − 100) =0,9 %
5.3 Sous l’approximation linéaire, la sensibilité S c du capteur est donnée par :
Sc =
ΔRc
= b = 10,6 Ω/unité de m
Δm
5.4 Il vaut mieux choisir comme point de référence le milieu de l’étendue de me-
sure, soit ici m0 = 1, afin de disposer de la même excursion de chaque côté et
par la suite, diminuer la non-linéarité. D’après les données du tableau 5.1, on a
Rc (m0 ) = Rc0 = 110,30 Ω.
5.5 Il vient aisément :
ΔRc = Rc (m) − Rc0 = Rc (m0 + Δm) − Rc0
= a(m0 + Δm)2 + b(m0 + Δm) + c − (am20 + bm0 + c)
= aΔm2 + (b + 2am0 )Δm = AΔm2 + BΔm
L’application numérique donne A = 0,3 Ω/(unité de m)2 et B = 10,6 Ω/unité de m.
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Corrigé 5
II. Montage potentiométrique – Alimentation en tension
5.6 La tension de mesure est donnée par :
Vmes =
Rc
Rc0 + ΔRc
Vg =
Vg
Rc + R
Rc0 + ΔRc + R
5.7 On a simplement :
ΔVmes = Vmes − Vmes0 =
=
RΔRc
2
(Rc0 + R) 1 +
Rc0 + ΔRc
Rc0
Vg −
Vg
Rc0 + ΔRc + R
Rc0 + R
ΔRc
Rc0 + R
Vg
(5.2)
5.8 On peut chercher la valeur de R qui rend maximale l’évolution de la tension
de mesure (5.2), c’est-à-dire la valeur donnant dΔVmes /dR = 0. Après dérivation, il
vient :
Rc − Rc0
dΔVmes
2
=
V
R
−
R
R
=0
g
c
c0
dR
(Rc0 + R)2 (Rc + R)2
Rc évoluant autour de Rc0 , on choisit donc R = Rc0 (il est simple de vérifier que ce
choix conduit effectivement à un maximum de la variation de la tension de mesure).
La variation de la tension de mesure s’écrit alors :
ΔVmes =
ΔRc
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
4Rc0 1 +
ΔRc
2Rc0
Vg =
AΔm2 + BΔm
Vg
AΔm2 + BΔm
4Rc0 1 +
2Rc0
La non-linéarité provient de la combinaison de la non-linéarité du conditionneur potentiométrique et de la non-linéarité du capteur.
5.9 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est simplement donnée par le développement au premier ordre de ΔVmes en Δm, soit :
ΔVmes,lin =
BVg
Δm
4Rc0
5.10 Sous cette approximation, la sensibilité réduite de la mesure est donnée par :
Sr =
B
1 ΔVmes,lin
=
= 24 mV/unité de m/V
Vg Δm
4Rc0
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Les capteurs
5.11 Le calcul de l’erreur s’effectue sans difficulté :
ε1 =
AΔm2 + BΔm
BΔm
Vg
Vg −
2
4Rc0
AΔm + BΔm
4Rc0 1 +
2Rc0
AΔm2 + BΔm
Vg
AΔm2 + BΔm
4Rc0 1 +
2Rc0
A
B
A
Δm2
−
Δm −
B 2Rc0
2Rc0
(5.3)
=
A
1 + Δm
B
Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.3) donne :
B
A
A2
−
Δm − 2 Δm2 = −1,97.10−2 Δm − 8,01.10−4 Δm2
ε1 B 2Rc0
B
Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε1 = −2,10 %.
III. Montage potentionmétrique – Alimentation en courant
5.12 Dans le cas d’une alimentation en courant, l’expression de la tension de mesure devient :
Vmes = Rc Ig = (Rc0 + ΔRc )Ig
Toujours avec la même référence que précédemment, ceci conduit à :
ΔVmes = Ig ΔRc = (AΔm2 + BΔm)Ig
Le conditionneur est ici linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient que de la
non-linéarité du capteur.
5.13 L’approximation linéaire est immédiate :
ΔVmes,lin = BΔmIg
5.14 La comparaison de ce résultat au cas d’une alimentation en courant doit être
faite toutes choses égales par ailleurs. Le courant circulant
, dans le capteur doit donc
être identique dans les deux cas, ce qui conduit à Ig Vg 2Rc0 . On a alors :
,
ΔVmes,lin = BΔmIg BΔmVg 2Rc0
La sensibilité apparaît donc comme doublée par rapport à l’alimentation en tension.
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Corrigé 5
5.15 L’erreur de linéarité ε2 est donnée par :
ε2 =
(AΔm2 + BΔm)Ig − BΔmIg
AΔm
= 2
(AΔm + BΔm)Ig
B 1 + AB Δm
Évaluée à l’ordre 2 en Δm, cette expression devient :
A A
ε2 Δm 1 − Δm = 28,30.10−3 Δm 1 − 28,30.10−3 Δm
B
B
Cette erreur est maximale pour Δm = −1 et vaut alors ε2 = −2,91 %.
IV. Montage en quart de pont
5.16 L’expression s’établit simplement :
Vmes
R3
Rc R2 − R1 R3
Rc
Vg
=
−
Vg =
Rc + R1 R3 + R2
(Rc + R1 )(R3 + R2 )
(5.4)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
5.17 Équilibrer le pont pour la valeur m0 du mesurande équivaut à
Rc0 R2 − R1 R3 = 0. Il convient de choisir R1 = Rc0 pour avoir une meilleure
sensibilité dans la branche potentiométrique contenant le capteur (voir question 5.8).
Ceci entraîne R2 = R3 . Enfin, pour avoir la même puissance dissipée par effet Joule
sur chacune des résistances (capteur y compris) de façon à équilibrer les échauffements, on choisit R1 = R2 = R3 = Rc0 = 110,30 Ω. La tension de mesure (5.4) s’écrit
alors :
Rc − Rc0 Vg
Vmes =
Rc + Rc0 2
En m0 , on a donc Vmes0 = 0 si bien que pour une évolution Δm de m à partir de m0 ,
la variation de la tension de mesure n’est plus superposée à Vmes0 ce qui permet une
bien meilleure précision de la mesure.
5.18 Conséquemment la tension de mesure s’écrit :
Vmes = ΔVmes
A BΔm
1
+
Δm
Vg
Vg
ΔRc
B
=
=
2
2
4R
ΔRc
AΔm + BΔm
c0
2Rc0 1 +
1+
2Rc0
2Rc0
5.19 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par le développement
au premier ordre en Δm, soit :
ΔVmes,lin =
BVg
Δm
4Rc0
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Les capteurs
5.20 La sensibilité réduite S r de la mesure s’en déduit immédiatement :
Sr =
B
1 ΔVmes,lin
=
= 24 mV/unité de m/V
Vg Δm
4Rc0
5.21 L’erreur de linéarité se calcule comme dans le cas du montage potentiomé-
trique alimenté en tension. On obtient :
B
A
A
−
Δm2
Δm −
B 2Rc0
2Rc0
ε3 =
A
1 + Δm
B
Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.5) donne :
B
A
A2
−
Δm − 2 Δm2 = −1,97.10−2 Δm − 8,01.10−4 Δm2
ε3 B 2Rc0
B
Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε3 = −2,10 %.
(5.5)
V. Montage en demi-pont push-pull
5.22 Rc = Rc0 + ΔRc , R1 = Rc0 + ΔR1 et R2 = R3 = Rc0 , la variation de la tension
de mesure autour de Vmes0 = 0 s’écrit :
Vg
Rc0
ΔRc − ΔR1
Rc0 + ΔRc
−
Vg =
Vmes =
Rc0 + ΔRc + Rc0 + ΔR1 Rc0 + Rc0
2Rc0 + ΔR1 + ΔR1 2
5.23 Les deux capteurs étant identiques et le fonctionnement push-pull, on a :
ΔRc = Rc (m0 + Δm) − Rc (m0 ) = AΔm2 + BΔm
et
ΔR1 = Rc (m0 − Δm) − Rc (m0 ) = AΔm2 − BΔm
5.24 ΔVmes s’écrit alors :
ΔVmes =
Vg
BΔm
=
2
Rc0 + AΔm 2
BVg
Δm
AΔm2
2Rc0 1 +
Rc0
(5.6)
5.25 Par approximation linéaire de (5.6), on tire :
ΔVmes,lin =
BVg
Δm
2Rc0
5.26 La sensibilité réduite S r de la mesure est donnée par :
Sr =
24
B
1 ΔVmes,lin
=
= 48 mV/unité de m/V
Vg Δm
2Rc0
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Corrigé 5
5.27 L’erreur de linéarité est :
BVg
2Rc0 1 +
AΔm2
Δm −
BVg
Δm
2Rc0
Rc0
BVg
Δm
AΔm2
2Rc0 1 +
Rc0
ε4 =
=−
AΔm2
Rc0
Cette expression est maximale aux extrémités de l’étendue de mesure donc pour
Δm = ±1 et donne ε4 = −0,27 %.
VI. Linearisation amont – Montage en quart de pont actif
5.28 L’amplificateur opérationnel étant supposé idéal, on a :
VA = Vmes + Rc
Vg − Vmes
Rc
Rc0
=
Vg +
Vmes
Rc + Rc0
Rc + Rc0
Rc + Rc0
et VB =
Vg
2
5.29 La contre-réaction impose VA = VB , soit :
Vmes = ΔVmes =
BVg
ΔRc Vg
Rc0 − Rc Vg
A =−
=−
Δm 1 + Δm
Rc0
2
Rc0 2
2Rc0
B
Le conditionneur est parfaitement linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient
que du capteur.
5.30 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
ΔVmes,lin = −
BVg
Δm
2Rc0
5.31 La sensibilité réduite vaut ici :
Sr =
B
1 ΔVmes,lin
=−
= −48 mV/unité de m/V
Vg Δm
2Rc0
5.32 L’erreur de linéarité se calcule comme précédemment :
BVg
BVg
AΔm
−
+
Δm 1 +
Δm
2Rc0
B
2Rc0
AΔm
=
ε5 =
BVg
B + AΔm
AΔm
−
Δm 1 +
2Rc0
B
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Les capteurs
À l’ordre 2 en Δm, on obtient :
AΔm
AΔm
1−
ε5 B
B
Cette expression est maximale sur l’étendue de mesure pour Δm = −1 et donne
ε5 = −2,91 %.
VII. Avantages et inconvénients des différents
conditionneurs
Le tableau 5.3 récapitule les différents résultats de l’étude. Ce tableau permet d’établir
un certain nombre de critères de choix du conditionneur le mieux adapté au capteur.
Tableau 5.3– Récapitulatif des signaux de mesure
et des erreurs de linéarité
Montage
Signal de mesure
Potentiomètre
alimenté
Variation autour
de Vmes0 = Vg /2 :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm
4Rc0
Variation autour
de Vmes0 = Vg /2* :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm*
2Rc0
Mesure différentielle,
Vmes0 = 0 :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm
4Rc0
Mesure différentielle,
Vmes0 = 0 :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm
2Rc0
Mesure différentielle,
Vmes0 = 0 :
BVg
ΔVmes,lin = −
Δm
2Rc0
en tension
Potentiomètre
alimenté
en courant
Quart de pont
Demi-pont
push-pull
Quart de pont
actif
Erreur
de linéarité
maximale
ε1 = −2,10 %
Origine
Non-linéarités
du conditionneur
et du capteur
ε2 = −2,91 %
Non-linéarité
du capteur
ε3 = −2,10 %
Non-linéarités
du conditionneur
et du capteur
ε4 = −0,27 %
Non-linéarité
du capteur
ε5 = −2,91 %
Non-linéarité
du capteur
∗ Pour une alimentation en courant Ig = Vg /2Rc0 .
Les deux conditionneurs potentiométriques présentent des variations de tension associées aux variations du mesurande qui sont superposées à une valeur de référence
non nulle. Par la suite, la précision avec laquelle on en extrait l’évolution du mesurande est pratiquement imposée par la valeur de référence. Pour une bonne précision,
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Corrigé 5
les montages potentiométriques sont donc à éviter. On peut montrer de plus qu’ils
sont particulièrement sensibles aux dérives de la source d’alimentation et au bruit
électromagnétique.
En ce qui concerne la sensibilité, toutes choses égales par ailleurs, elle est doublée
pour une alimentation en courant par rapport à une alimentation en tension.
Bien que le montage avec l’alimentation en courant constitue un conditionneur linéaire, on peut s’étonner que l’erreur de linéarité obtenue soit plus importante que
celle obtenue avec une alimentation en tension. Il se trouve qu’ici la non-linéarité du
conditionneur potentiométrique alimenté en tension se combine avec la non-linéarité
du capteur pour donner au final une mesure de non-linéarité plus faible.
Le premier avantage des mesures en pont est la suppression de la composante de
référence puisque celle-ci est fixée à zéro par l’équilibrage du pont.
Le montage en quart de pont présente la même sensibilité et la même non-linéarité
que le montage potentiométrique alimenté en tension. Le passage au demi-pont pushpull augmente d’un facteur 2 la sensibilité et réduit très fortement la non-linéarité.
Le conditionneur est linéaire et le mode push-pull réduit d’un ordre la non-linéarité
propre du capteur.
L’utilisation du quart de pont actif est ici peu intéressante. Bien qu’il permette de
n’utiliser qu’un capteur contrairement au demi-pont push-pull, bien qu’il possède la
même sensibilité au signe près que le demi-pont et qu’il constitue un conditionneur linéaire, la non-linéarité du capteur n’est ici pas compensée par celle du conditionneur
et au total la non-linéarité de la mesure est supérieure à celle du demi-pont.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
De plus, ce conditionnement en quart de pont actif isole le capteur de la masse ce
qui peut éventuellement être problématique avec certains capteurs. En revanche, la
tension de mesure se trouve référencée à la masse ce qui est un avantage en cas de
nécessité d’une amplification (pas d’amplification de mode commun).
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Les capteurs
5.1
Ce problème présente deux types de non-linéarité qui sont d’origines différentes
et qu’il ne faut pas confondre.
La première est la non-linéarité résultant de l’écart entre la caractéristique réelle
et la droite de régression par les moindres carrés. C’est le cas ici lorsque l’on calcule l’erreur de linéarité du capteur. Par définition, l’erreur de linéarité est égale
au plus grand écart entre la caractéristique réelle et la droite de régression au
sens des moindres carrés, écart normalisé à l’excursion de la grandeur considérée sur l’étendue de mesure (ici la résistance du capteur). Pour la déterminer, il
est nécessaire que la grandeur soit étalonnée (ici, la résistance présentée par le
capteur).
La deuxième est la non-linéarité provenant du fait que pour extraire l’information
utile, on utilise l’approximation linéaire de la tension de mesure et non la valeur
théorique supposée exacte. Ici, il n’est pas besoin d’étalonner la mesure, il suffit
seulement que le capteur ait été étalonné par le constructeur pour que l’on en
ait un modèle suffisamment fiable et utilisable dans l’expression théorique du
signal de mesure.
0, 03
1
3
2
5
0
4
0, 03
m (USI )
0
1
2
Figure 5.4 – Évolution des erreurs calculées pour les quatre montages
en fonction de l’évolution du mesurande
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P ROBLÈME :
Linéarisation aval
7
Corrigé détaillé
I. Calculs préliminaires
7.1 La tension de mesure est donnée par :
Vmes =
Vg
Rc R2 − R1 R3
(Rc + R1 )(R2 + R3 )
(R + R1 )(R2 + R3 )
(Rc + R1 )(R2 + R3 ) Rc + R1 + R2 + R3
3456 Rg + c
3456
Rc + R1 + R2 + R3
impédance du pont
mesure différentielle
3456
courant délivré par la source
3456
tension aux bornes du pont
Rc R2 − R1 R3
Vg
=
(Rc + R1 )(R2 + R3 ) + Rg (Rc + R1 + R2 + R3 )
(7.7)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.2 Le pont est équilibré pour la valeur m0 du mesurande, soit Rc0 R2 = R1 R3 . On
choisit R1 = Rc0 de façon à obtenir un maximum de sensibilité de la branche potentiométrique contenant le capteur. Il vient alors R2 = R3 . On choisit R2 = R3 = Rc0 de
façon à ce qu’à l’équilibre, la puissance dissipée par effet joule soit la même pour chacune des résistances. On minimise ainsi le déséquilibre du pont lié à l’échauffement
si les caractéristiques thermiques des quatre résistances sont proches.
7.3 Avec ΔRc = Rc − Rc0 , (7.7) devient :
Rc0 ΔRc
Vg
Vmes = Vmes,0 +ΔVmes =
3456
2Rc0 (2Rc0 + ΔRc0 ) + Rg (4Rc0 + ΔRc )
=0
=
ΔRc
4(Rc0 + Rg )
=
k1 ΔRc
Vg
1 + k2 ΔRc
1
Vg
2Rc0 + Rg
ΔRc
1+
4Rc0 (Rc0 + Rg )
(7.8)
Le conditionnement n’est pas linéaire et donc la mesure ne sera pas linéaire.
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Les capteurs
7.4 Sous une approximation linéaire comme pour un fonctionnement en faibles signaux, on a ΔVmes = k1 Vg ΔRc soit une sensibilité du conditionneur donnée par :
S cond =
Vg
ΔVmes
= 16,7 mV/Ω
= k1 Vg =
ΔRc
4(Rc0 + Rg )
7.5 En présence d’une variation de la source (qui passe de Vg à Vg + ΔVg ), que
cette variation corresponde à une dérive réelle ou à un parasite capté par un des fils
alimentant le pont, ΔVmes devient :
ΔVmes =
k1 ΔRc
k1 ΔRc
Vg +
ΔVg
1 + k2 ΔRc
1 + k2 ΔRc
En plus du terme précédent, il existe un terme croisé couplant variation du mesurande
(via la variation de la résistance du capteur) et variation de la force électromotrice de
la source. Ce terme lié à la variation de la source est bien évidemment gênant car il
sera interprété comme lié à une variation de la résistance du capteur donc du mesurande.
II. Linéarisation aval par multiplication et sommation
7.6 On a immédiatement V = V s ΔVmes /V0 et V s = V + ΔVmes , soit :
Vs =
k1 ΔRc Vg
ΔVmes
=
k1 ΔRc Vg
ΔVmes
1−
1 + k2 ΔRc −
V0
V0
(7.9)
7.7 Pour supprimer la non-linéarité du conditionnement liée aux termes en ΔRc du
dénominateur de (7.9), il suffit d’ajuster V0 à valeur donnée par :
V0 =
k1
Rc0
Vg =
Vg = 4 V
k2
2Rc0 + Rg
7.8 L’expression de la tension de sortie est alors :
V s = k1 Vg ΔRc
(7.10)
Cette expression est parfaitement linéaire. La sensibilité du conditionneur est donnée
par S cond = V s /ΔRc = k1 Vg = 16,7 mV/Ω. Cette sensibilité a la même valeur que
pour le fonctionnement en faibles signaux de la question 7.5.
7.9 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à
Vg + ΔVg , un terme croisé persiste :
V s = k1 ΔRc Vg + k1 ΔRc ΔVg
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Corrigé 7
III. Linéarisation par diviseur
7.10 L’amplificateur opérationnel étant idéal, la contre-réaction amène e− = e+ = 0
soit :
V = −RI = −R
k1 ΔRc
ΔVmes
= −ΔVmes = −
Vg
R
1 + k2 ΔRc
(7.11)
7.11 Les impédances d’entrée du diviseur pondéré étant considérées comme infi-
nies, on a :
K
KR
V=
V
KR + R
K+1
Vg + KV
R
=
VD = V + (Vg − V)
KR + R
K+1
VN =
(7.12)
7.12 En combinant (7.11) et (7.12), il vient :
VN
KV
KΔVmes
= 10
= 10
VD
KV + Vg
KΔVmes − Vg
Kk1 ΔRc
= 10
Kk1 ΔRc − (1 + k2 ΔRc )
V s = 10
7.13 Pour que le conditionnement soit linéaire, il faut fixer :
K=
k2 2Rc0 + Rg
=
= 2,5
k1
Rc0
7.14 L’expression de la tension de sortie est alors :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
V s = −10Kk1 ΔRc = −
2Rc0 + Rg
10ΔRc
4Rc0 (2Rc0 + Rg )
(7.13)
Ce qui conduit à la sensibilité :
S cond = −10
2Rc0 + Rg
= −41,7 mV/Ω
4Rc0 (2Rc0 + Rg )
Le conditionnement est maintenant linéaire et la sensibilité est plus importante que
précédemment.
7.15 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à
Vg + ΔVg , comme le résultat (7.13) est indépendant de la force électromotrice de
la source, en plus de la linéarisation on obtient une tension de sortie indépendante
des variations de la source.
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Les capteurs
7.1
En toute rigueur, ces techniques de linéarisation peuvent très bien être utilisées
sur des montages de type potentiométrique. Il suffit que le conditionnement
donne une variation de la tension de mesure de la forme de l’équation (7.8).
Il faut être vigilant à ce que la correction des non-linéarités entraînées par le
conditionneur peut parfois être un pis-aller. En effet, il se peut que dans le cas
d’un capteur non linéaire, non-linéarité du capteur et non-linéarité du conditionneur se compensent. La correction de la non-linéarité du conditionneur entraînera
alors une non-linéarité sur la mesure plus importante.
Considérons un capteur dont l’évolution de la résistance en fonction de son mesurande m est donnée par ΔRc = aΔm2 + bΔm.
D’après (7.8), la tension de mesure est donnée
* par Vmes = k1 ΔRc Vg /(1 ++ k2 ΔRc ). En
développant ceci en Δm, on obtient Vmes k1 Vg bΔm + (a − k2 b2 )Δm2 + · · · .
La tension de mesure linéarisée par exemple par la méthode de multiplicationsommation est donnée par (7.10), soit V s = k1 Vg ΔRc = k1 Vg (aΔm2 + bΔm).
Il est clair que dans ce cas si a k2 b2 , la non-linéarité du capteur compense celle
du conditionneur et que vouloir linéariser le signal va augmenter au final la nonlinéarité.
C’est ce qu’illustre la figure 7.4 où, en utilisant les données numériques du problème, sont tracés les écarts de Vmes et de son expression linéarisée V s par rapport
à la meilleure droite V approchant au sens des moindres carrés Vmes . On a pris
b = 1 Ω/unité de m et a = k2 b2 = 4,167.10−3 Ω/(unité de m)2 .
(V)
0, 05
Vs V
Vmes V
0, 01
0
0, 01
m (USI )
10
0
10
Figure 7.4 – Linéarisation par division
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P ROBLÈME :
Interféromètre
de Mach-Zender utilisé
en capteur d’angle
18
Corrigé détaillé
18.1 Le chemin optique étant identique selon les deux trajets, il n’y a pas de déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode, Δφ = 0. L’éclairement sur la
photodiode est donc maximum et uniforme.
18.2 Les deux lames étant identiques, elles introduisent des variations identiques
des deux chemins optiques de (n − 1)e. Le déphasage reste donc nul et l’éclairement
maximum.
18.3 Par rapport au cas de la question 1, l’introduction de la lame L1 entraîne une
variation (n − 1)e du chemin optique alors que l’introduction de la lame L2 entraîne
une variation du chemin optique égale à nIJ − IH (voir figure 18.2).
e
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
r
J
H
I
1
n
Figure 18.2 – Calcul de la différence de marche ΔL
Comme IJ = e/cos r et IH = IJ cos(θ − r), la différence de chemin optique entre les
deux ondes s’écrit :
ΔL =
e
[n − cos(θ − r)] − (n − 1)e
cos r
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(18.14)
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Les capteurs
18.4 La loi de la réfraction de Descartes (sin θ = n sin r) donne aux petits angles :
θ = nr. Il vient :
r2
θ2
1
1+
1+ 2
cos r
2
2n
2
θ2 n − 1
1
1+
et cos(θ − r) cos θ 1 −
n
2
n
(18.15)
En utilisant (18.15) dans (18.14), on obtient au premier ordre non nul en θ :
ΔL n−1 2
eθ
2n
(18.16)
La figure 18.3 montre que l’erreur relative engendrée par cette approximation reste
inférieure à 1 % tant que l’angle θ reste inférieur à 0,2 rad.
1%
0,1
0
(en rad)
Figure 18.3 – Erreur relative liée à l’approximation de ΔL
18.5 Le déphasage Δφ entre les deux ondes sur la photodiode est alors donné à
partir de (18.16) par :
2π n − 1 2
2π
ΔL eθ
(18.17)
Δφ =
λ
λ 2n
18.6 L’éclairement de la photodiode est le résultat de l’interférence de deux ondes
cohérentes, isochrones, de même polarisation et de même amplitude si on considère les lames séparatrices identiques. Le coefficient de transmission énergétique des
lames étant de 50 %, l’intensité résultante sur la photodiode est de la forme :
I0
πn−1 2
I0 1 + cos(Δφ) 1 + cos
eθ
(18.18)
I(θ) =
2
2
λ n
18.7 Cette intensité est nulle pour :
θ=
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(2k + 1)
n λ
n−1e
avec
k∈N
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Corrigé 18
Elle est maximale pour :
θ=
2k
n λ
n−1e
avec
k∈N
Numériquement les premières intensités maximales et nulles sont obtenues pour les
valeurs de θ récapitulées dans le tableau 18.1. La figure 18.4 donne l’évolution de
l’intensité reçue par la photodiode en fonction de l’angle θ.
Tableau 18.1 – Intensité sur le récepteur en fonction de l’angle θ
θ (10−2 rad)
θ (◦ )
I(θ)/I0
0
0
1
4,36
2,50
0
6,16
3,53
1
7,55
4,32
0
8,72
4,99
1
9,74
5,58
0
10,67
6,12
1
11,53
6,61
0
12,33
7,06
1
13,07
7,49
0
Pour ces valeurs de θ, l’approximation (18.16) est bien justifiée.
I ( ) I0
1
0,1
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0
(en rad)
Figure 18.4 – Évolution de l’intensité sur la photodiode
18.8 L’angle θmax doit être tel qu’il n’entraîne qu’une différence de marche
ΔL(θmax ) faible devant la longueur de cohérence temporelle lc de la source laser.
D’après (18.16), il vient :
ΔL(θmax ) n−1 2
eθmax = 0,3 μm lc = 10 μm
2n
18.9 Compte tenu de la divergence de la diode laser, le diamètre du faisceau à la
hauteur de la photodiode est donné par ∅ = ∅d + 2l tan d = 74 μm. La puissance recueillie par la diode est maximale quand le transfert énergétique de l’interféromètre
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Les capteurs
est égal à l’unité (par exemple pour θ = 0). La puissance recueillie est donc égale à
la puissance émise par la diode laser pondérée du rapport de la surface active de la
photodiode à la section du faisceau au niveau de cette photodiode, soit :
P p, max =
π∅2p /4
π∅/4
Pd =
∅ 2
p
∅
Pd = 1,97 mW
Avec une sensibilité S p = 0,85 A.W−1 , ceci correspond à un courant maximum donné
par imax = S p P p, max = 1,68 mA.
18.10 Compte tenu de la linéarité entre courant et puissance reçue sur la photo-
diode, on a :
i(θ) =
πn−1 2
imax
1 + cos
eθ
2
λ n
(18.19)
En différentiant l’expression (18.19), on obtient :
πn−1 2
π n − 1 2 dθ
di(θ)
eθ sin
eθ
=−
imax
λ n
λ n
θ
En passant aux accroissements finis autour de θ = θmax /2, tous calculs faits il vient :
√
Δi
π 2 Δθ
Δi(θmax /2)
=
=
imax
imax
4 θmax
On en déduit la résolution angulaire Δθ du système au voisinage de θmax /2 :
Δi 4
n λ
Δi 4
= 7,85.10−4 rad = 2 42
Δθ =
√ θmax =
√
imax π 2
imax π 2 n − 1 e
18.11 On peut améliorer la résolution de ce capteur de plusieurs façons.
Premièrement, en utilisant une diode laser de longueur d’onde plus faible mais dont
on sait que le coût est beaucoup plus élevé et la technique de mise au point plus
délicate pour une même puissance disponible.
On peut penser augmenter l’épaisseur des lames de verre mais tout en restant attentif à ce que la différence de marche reste très inférieure à la longueur de cohérence
temporelle de la diode laser. Cette augmentation de l’épaisseur des lames de verre
augmente l’encombrement du dispositif ce qui peut être gênant dans le cas d’un capteur intégré.
Il peut être plus intéressant de travailler non pas entre θ = 0 et l’angle donnant le
premier minimum nul, mais entre un maximum et le minimum suivant plus éloignés
(voir courbe figure 18.4). Dans ce cas on améliore la résolution, la linéarité s’en
trouve aussi améliorée mais on diminue alors l’étendue de mesure du capteur.
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Corrigé 18
18.1
Comme il est expliqué dans la présentation de ce problème, ce type de montage
peut être réalisé selon une technologie d’optique intégrée. On peut alors éventuellement remplacer les parcours des rayons dans le vide par des guides d’onde.
Les miroirs et les séparatrices peuvent être alors intégrés au guide lui-même.
L’avantage de cette technique et qu’elle s’adresse à tout mesurande (pression,
température, champ électrique ou magnétique, etc.) susceptible de modifier le
chemin optique (voire la polarisation de l’onde) le long d’un des bras de l’interféromètre (voir figure 18.5).
S1
M1
DL
P
S2
Zone d’action
du mesurande
M2
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Figure 18.5 – Principe d’un interféromètre Mach-Zender intégré
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19
P ROBLÈME :
Étude d’une thermistance
en utilisation bolométrique
pour la détermination
à distance de la
température d’un corps
Corrigé détaillé
19.1 En effectuant le rapport des expressions de R(T ) prises pour T 1 et T 2 puis en
prenant le logarithme népérien, on a immédiatement :
B=
R(T 1 )
T1 T2
= 3433,70 K
ln
T 2 − T 1 R(T 2 )
Le coefficient de température de cette thermistance est donné par :
α=
B
1 dR(T )
=− 2 <0
R(T ) dT
T
B étant possitive, α est négatif et la thermistance est donc du type CTN.
19.2 En combinant les expressions de R(T ) et R(T 1 ) tirées de (19.1), on obtient :
1
1
−
R(T ) = R(T 1 ) exp B
T T1
(19.20)
Les valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦ C ≤ t ≤ 30 ◦ C sont reportées dans
le tableau 19.1.
Tableau 19.1– Valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦ C t 30 ◦ C
t en ◦ C
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R(T) en Ω
25
5000,00
26
4811,17
27
4630,65
28
4458,05
29
4292,95
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Corrigé 19
19.3 Le calcul est immédiat et donne :
R(T )
1 (R(T ) + R1 ) 2R1
R(T ) − R1
=
−
Ig =
R1 Ig
R(T ) + R1 2
R(T ) + 3R1
R(T ) + 3R1
Vmes
(19.21)
Soit en inversant (19.21) :
R(T ) =
R1 Ig + 3Vmes
R1
R1 Ig − Vmes
(19.22)
19.4 De façon simpliste on peut penser que la thermistance se trouve à la température t = ta = t1 et comme R(T 1 ) = R1 , on obtient alors Vmes = 0.
19.5 La température de la thermistance n’est donc pas égale à t1 = 25 ◦ C.
D’après (19.21), Vmes étant négatif, on conclut que la thermistance est à une température plus élevée que t1 . Le circuit électrique étant isolé et thermostaté, l’échauffement
de la thermistance ne peut être qu’un auto-échauffement provenant de la puissance
qu’elle dissipe par effet Joule.
(19.22) permet de calculer la résistance présentée par la thermistance, ce qui donne
R(T ) = 4970,04 Ω pour Vmes = −15 mV.
De (19.20), on tire :
R(T )
1
1
+ ln
T =
T 1 B R(T 1 )
−1
= 298,31 K
Ce qui donne t = 25,16 ◦ C, d’où l’auto échauffement Δta = 0,16 ◦ C.
19.6 Le bilan thermique sur une durée dτ donne :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
P J dτ − Ka (T − T a )dτ = MCdT
(19.23)
En régime permanent, l’expression précédente devient :
P J = Ka (T − T a ) = Ka ΔT a
(19.24)
19.7 Pour ta = 25 ◦ C, on a déterminé R(T ) = 4970,04 Ω à la question 19.5. En
revenant au circuit et en notant IR le courant circulant dans la thermistance, on a :
2
1
2R1 (R(T ) + R1 )
2
Ig
(19.25)
P J = R(T )IR = R(T )
R(T ) + R1 R(T ) + 3R1
2
2R1
Ig = 4,98 mW
= R(T )
R(T ) + 3R1
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Les capteurs
19.8 De (19.24), (19.25) et de la valeur de l’auto-échauffement déterminée à la
question 19.5, on déduit la valeur du coefficient d’échange thermique de Ka :
Ka =
P
= 0,032 W.K−1
Δta
(19.26)
19.9 Pour une température t sur l’étendue de mesure 25 ◦ C ≤ t ≤ 30 ◦ C, on
détermine la résistance R(T ) de la thermistance (équation (19.20)) puis la puissance P J (équation (19.25)) dissipée par effet Joule. En considérant le coefficient
d’échange thermique (équation (19.26)) constant, on déduit l’auto-échauffement
(équation (19.24)). Les résultats numériques sont reportés dans le tableau 19.2.
Tableau 19.2– Évolution de la puissance dissipée par effet Joule
et de l’auto-échauffement
t en ◦ C
R(T) en Ω
PJ (t) en mW
Δt a en ◦ C
25
5000,00
5,00
0,16
26
4811,17
4,90
0,15
27
4630,65
4,81
0,15
28
4458,05
4,71
0,15
29
4292,95
4,61
0,14
30
4135,00
4,52
0,14
On constate que la puissance dissipée et l’auto-échauffement sont pratiquement
constants. Pour la suite ils seront fixés à leurs valeurs moyennes soit P̄ J = 4,76 mW
et Δta = 0,15 ◦ C. Les erreurs introduites sont alors au maximum de 5 %.
19.10 Le bilan thermique sur une durée dτ s’écrit maintenant :
P J dτ + φa dτ − Ka (T − T a )dτ = MCdT
(19.27)
Pendant l’intervalle de temps dτ, φa dτ est l’énergie radiative absorbée, P J dτ l’énergie dissipée par effet Joule et Ka (T − T a )dτ l’énergie cédée à l’enceinte ; ce bilan
thermique provoquant une augmentation dT de la température de la thermistance.
En régime permanent, (19.27) devient :
T − T a = ΔT =
P + φa
Ka
Les calculs précédents ont montré que l’on pouvait considérer que
P J P̄ J = 4,76 mW. Grâce à ceci, il est possible de découpler l’échauffement
dû à l’absorption du rayonnement de l’auto-échauffement par effet Joule et on a
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Corrigé 19
P J /Ka P̄ J /Ka = ΔT a = 0,15 K. L’échauffement total de la thermistance s’écrit
alors :
φa
+ ΔT a
(19.28)
ΔT = T − T a =
Ka
19.11 La paroi, considérée comme un corps noir, émet une puissance de rayonne4 .
ment par unité de surface φcn donnée par la loi de Stefan-Bolzmann : φcn = σ T cn
Une fraction φa de φcn , ne dépendant que de la géométrie, est absorbée par la thermistance et provoque un déséquilibre Vmes = −250 mV du pont. De (19.22), on déduit
immédiatement la résistance présentée par la thermistance, soit R(T ) = 4512,20 Ω et
de (19.20), l’échauffement total Δt = 2,68 ◦ C. Le résultat (19.28) permet d’en déduire
la puissance absorbée à savoir φa = Ka (ΔT − ΔT a ) = 81,12 mW.
19.12 La température de la paroi étant maintenant de tcn , elle émet une puissance
de rayonnement par unité de surface φcn = σ T cn4 dont la fraction φa est absorbée par
la thermistance provoquant la nouvelle déviation du pont Vmes = −100 mV. Les calculs étant similaires à ceux de la question précédente, on trouve : R(T ) = 4801,98 Ω,
Δt = 1,05 ◦ C et φa = 28,86 mW.
19.13 Comme il n’y a pas modification de la géométrie du problème, les puissances
absorbées sont dans le rapport des puissances émises, on a :
φa φcn σT cn4
=
=
4
φa φcn σT cn
On en déduit que T cn = T cn (φa /φa )1/4 = 751,60 K soit tcn = 478,45 ◦ C.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
L’hypothèse faite sur le fait que la paroi peut être considérée comme un corps noir
n’est pas une nécessité. Le résultat serait le même si on postulait simplement que son
émissivité est constante dans l’intervalle des températures considérées.
19.1
Le dispositif qui vient d’être décrit correspond à un pyromètre optique sans
contact à poste fixe. D’autres techniques peuvent être utilisées utilisant non plus
une thermistance mais une photopile ou un détecteur optique classique Si ou Ge
(pour les températures supérieures à 1000 ◦ C) et plus récemment InGaAs pour des
températures inférieures. Cependant, ces matériaux ne peuvent travailler dans la
gamme de rayonnement basses températures (inférieures à 200 ◦ C) sans être euxmêmes refroidis. Pour cette gamme de température, le bolomètre constitue une
solution de remplacement économique.
Le principe du bolomètre a connu récemment un nouvel essor avec l’arrivée des
caméras bolométriques où chaque pixel est en soi un microbolomètre comme
celui précédemment décrit.
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Les capteurs
Il y a quarante ans, les caméras thermiques n’étaient accessibles qu’aux militaires
et nécessitaient un refroidissement de leurs capteurs optiques à −200 ◦ C. Les composants optoélectroniques (InSb, PtSi. . . ) et méthodes de refroidissement (effet
Peltier, cycle Stirling. . . ) se sont améliorés mais les caméras thermiques restaient
d’un coût élevé et parfois d’une utilisation délicate.
L’arrivée des caméras bolométriques est en train de changer cet état de fait. Sont
proposées actuellement sur le marché des caméras de 80 000 pixels pour des
résolutions meilleures que 0,1 ◦ C.
Figure 19.5 – Schéma et images en microscopie à balayage d’un pixel bolométrique
(documentation Ulis∗ )
Ces caméras commencent à être utilisées pour des mesurandes primaires qui
s’accompagnent de production de chaleur donc d’une évolution de la température. Des expériences ont déjà abouti, permettant d’étudier les contraintes
mécaniques subies par des structures. Par effet thermoélastique, le champ de
contrainte dans la structure, lié à une excitation extérieure, s’accompagne d’une
très faible augmentation de la température locale proportionnelle à la somme des
contraintes principales. Comme ces variations de température sont très faibles,
on cycle de façon périodique l’excitation sur la structure et on synchronise la
prise d’images thermiques sur cette excitation. Un traitement des images permet
de n’extraire que les variations locales de température en phase avec l’excitation
∗ D’après Uncooled amorphous silicon technology enhancement for 25 μm pixel pitch achievement
E. Mottin, A. Bain, J.L. Martin, J.L. Ouvrier-Buffet, S. Bisotto, J.J. Yon (LETI/CEA-DOPT/LIR) et J.L.
Tissot (ULIS).
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Corrigé 19
donc avec la contrainte. On mesure dans ce cas directement l’énergie associée
à contrainte et non la déformation comme c’est le cas lorsque l’on utilise des
jauges de contrainte collées.
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Figure 19.6 – Mesure de contrainte (documentation Cedip)
Concentration de contrainte autour de trou de rivet (industrie aéronautique) et
mesure de contrainte sur support de fusée (industrie automobile)
Figure 19.7 – Mesure de contrainte (documentation Cedip)
Mécanique de la rupture, ßexion 3 points sur éprouvette en titane
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P ROBLÈME :
Capteur angulaire
robuste
21
Corrigé détaillé
21.1 À partir de l’étude des figures 21.4 et 21.5, les variations des forces électromotrices s’écrivent aux premiers ordres en θ, x, y et z :
Δeb1 = −kθ θ + kx − k y − kz z
Δeh1 = −kθ θ + kx − k y + kz z
Δeb2 = +kθ θ + kx + k y − kz z
Δeb3 = −kθ θ + k x + ky − kz z
Δeh2 = +kθ θ + kx + k y + kz z
Δeh3 = −kθ θ + k x + ky + kz z
Δeb4 = +kθ θ − k x + ky − kz z
Δeb5 = −kθ θ − kx + k y − kz z
Δeh4 = +kθ θ − k x + ky + kz z
Δeh5 = −kθ θ − kx + k y + kz z
Δeb6 = +kθ θ − kx − k y − kz z
Δeb7 = −kθ θ − k x − ky − kz z
Δeh6 = +kθ θ − kx − k y + kz z
Δeh7 = −kθ θ − k x − ky + kz z
Δeb8 = +kθ θ + k x − ky − kz z
Δeh8 = +kθ θ + k x − ky + kz z
k, k , kθ et kz représentent les dérivées partielles des forces électromotrices induites en
fonction des variables de déplacement. Elles dépendent de la géométrie des bobines,
de la différence des rayons du stator et du rotor, du nombre de spires des bobinages. . .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
21.2 D’après la forme des variations des forces électromotrices, il est clair qu’il
suffit de réaliser avec les bobines indicées h la même configuration que celle réalisée
avec les bobines indicées b puis de connecter ces deux ensembles en série pour que
la variation ΔVmes de la tension de mesure aux bornes de l’ensemble soit indépendante de la variable z. On peut donc se limiter à l’étude du branchement des bobines
indicées b en éliminant provisoirement la variable z.
Sous forme matricielle on a alors (Δeb1 , · · · ,Δeb8 ) = (θ,x,y) · K où la matrice K est
donnée par :
⎤
⎡
⎢⎢⎢ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ ⎥⎥⎥
⎥
⎢
+k
+k
−k
−k
−k
−k
+k ⎥⎥⎥⎥
(21.29)
K = ⎢⎢⎢⎢ +k
⎦
⎣
−k
+k
+k
+k
+k
−k
−k
−k
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Les capteurs
On doit connecter entre elles les différentes bobines de telle façon que la tension V
aux bornes de cet ensemble subisse une variation ΔV maximale et uniquement fonction de θ. Ceci revient à résoudre :
(a1 , · · · ,a8 )T · (Δeb1 , · · · ,Δeb8 ) = (a1 , · · · ,a8 )T · (θ,x,y) · K
(21.30)
= max (ΔV(θ))|(a1 ,··· ,a8 )
Le symbole T tient ici pour la transposée.
(21.30) conduit à résoudre, quels que soient kθ , k, k , x, y et θ, le système :
⎧
⎪
(−a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + a6 − a7 + a8 ) kθ θ = max (V(θ))|(a1 ,··· ,a8 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
[(+a1 + a2 − a5 − a6 ) k + (+a3 − a4 − a7 + a8 ) k ] x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ [(+a3 + a4 − a7 − a8 ) k + (−a1 + a2 + a5 − a6 ) k ] y = 0
Les deuxième et troisième lignes de ce système amènent a1 = a5 , a2 = a6 , a3 = a7 et
a4 = a8 .
Selon la première équation du système, on doit alors avoir −a1 +a2 −a3 +a4 maximum.
Les bobines ne pouvant être connectées en série que dans le même sens ou en opposition, on a nécessairement ai = ±1. Pour avoir une solution maximale, on peut choisir
a1 = −1, a2 = +1, a3 = −1 et a4 = +1. On obtient alors ΔV(θ) = 8kθ θ et en tenant
compte des bobines indicées h et connectées de la même façon, ΔVmes (θ) = 16kθ θ.
Comme à l’équilibre toutes les forces électromotrices sont égales, la tension de mesure est alors nulle et on peut écrire Vmes (θ) = ΔVmes (θ) = 16kθ θ ce qui conduit à une
expression instantanée donnée par vmes (t) = Vmes cos ωg t.
21.3 À la fréquence f du spectre utile de Vmes (t) correspond une composante
Vmes, f cos ωt de Vmes (t) et donc une composante v f (t) = Vmes, f cos ωt cos ωg t. Pour
celle-ci, on obtient en sortie du multiplieur, une composante de signal donnée par :
vmes, f (t)vg (t) RIg Vmes, f cos ωt cos2 ωg t
=
v f (t) =
E
E
RIg Vmes, f cos ωt 1 + cos 2ωg t
=
E
2
cos(2ωg + ω)t cos(2ωg − ω)t
RIg Vmes, f
cos ωt +
+
=
2E
2
2
En généralisant à tout le spectre utile de Vmes (t), le spectre du signal v(t) peut être
schématisé comme à la figure 21.9.
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Amplitude
RI gVmes , f
RI gVmes , f
4E
4E
RI gVmes , f
2E
0
2
u
g
u
2
g
2
g
u
Figure 21.9 – Spectre du signal de sortie du multiplieur
21.4 D’après le circuit de la figure 21.7, on a :
⎧
i3
i1
⎪
⎪
⎪
V(p) =
+
⎪
⎪
⎪
Y3 Y1
⎪
⎪
⎨
i5
i3
i3
i4
i2
i3
i3
⎪
⎪
V s (p) = − = − =
−
=
−
−
⎪
⎪
⎪
Y5
Y5 Y3 Y4 Y2 Y3 Y5
⎪
⎪
⎪
⎩ i1 = i2 + i3 + i4
(21.31)
La résolution de (21.31) conduit à :
H(p) =
Y1 Y3
V s (p)
=−
V(p)
Y3 Y4 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 )
(21.32)
21.5 Avec Y1 = Y3 = Y4 = 1/R, Y5 = C p et Y2 = kC p (21.32) devient :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
H(p) = −
1
=
1 + 3RC p + kR2C 2 p2
H(0)
2ξ
p2
1+
p+ 2
ω0
ω0
(21.33)
√
√
Par identification, on a immédiatement ω0 = 1/ kRC et ξ = 3/2 k.
√
21.6 Avec ξ = 1/ 2 on a immédiatement k = 4,5 et le gain G(ω) du filtre s’écrit à
partir de (21.33) :
|H(0)|
|H(0)|
= G(ω) = |H( jω)| = 2
√ ω
ω ω2 ω
1 + j2ξ
1 + j 2
−
−
ω0 ω20 ω0 ω20 G0
G0
= = ⎛
⎞2
4
2⎟
2
⎜⎜⎜
ω
ω
ω
⎟
⎟
⎜⎜⎝1 −
⎟⎟⎠ + 2
1+
ω0
ω20
ω20
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Les capteurs
Ceci correspond bien à un filtre passe-bas du
√ second ordre de pulsation de coupure
à −3 dB obtenue en résolvant G(ωc ) = G0 / 2 soit ωc = ω0 . En dehors de la bande
passante, donc à hautes fréquences, le gain a pour asymptote G(ω) G0 ω20 /ω2 . Si ω
est multiplié par un facteur 10 le gain chute d’un facteur 100, ce qui correspond à une
pente de −40 dB/décade.
21.7 Le filtre étant du second ordre, une perte de −80 dB correspond à 2 décades.
On a donc en première approximation ωc /2ωg 1/100 soit fc = 2 kHz. Avec
√
fc = f0 = 1/2π kRC, il vient C = 37,5 nF.
21.8 Compte tenu de l’action du filtre sur v(t) on a :
v s (t) RIg
Vmes (t)
2E
(21.34)
La détection synchrone effectuée a permis de démoduler le signal issu du capteur du
signal de l’alimentation.
21.9 La régression linéaire à partir des données du tableau 21.1 et
de (21.1) amène une approximation linéaire Vmes,lin de Vmes donnée par
Vmes,lin 2,95.10−3 · θ − 0,02.10−3 où Vmes,lin est exprimé en volt et θ en degré. Ceci permet de calculer les valeurs de Vmes,lin de θ. Ces valeurs sont reportées
dans le tableau 21.2.
Tableau 21.2 – Approximation linéaire de la caractéristique
θ (◦ )
Vmes,lin (mV)
−40
−30
−20
−10
−0
+10
+20
+30
+40
−118,19
−88,64
−59,10
−29,56
−0,02
+29,52
+59,07
+88,61
+118,15
Le plus grand écart Vmes,lin − Vmes est de 12,52 mV pour θ = +40◦ . L’erreur de linéarité est donc de 12,52/((105,63) − (−105,74)) 6 % de l’excursion de Vmes .
Le signal de sortie v s étant proportionnel à Vmes (facteur de proportionnalité
RIg /2E = 2, voir (21.34)), la sensibilité de la mesure est de 5,90 mV/◦ et l’erreur
de linéarité de 6 % de l’étendue de mesure.
La figure 21.10 présente la caractéristique réelle du capteur et la droite des moindres
carrés.
21.10 De façon générale, la relation non linéaire v s (θ) peut s’écrire :
∞
v s = a0 + a1 θ + a2 θ2 + · · · =
an θn
n=0
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Corrigé 21
Réciproquement, il est donc possible d’écrire :
∞
θ = b0 + b1 v s + b2 v2s + · · · =
bn vms
(21.35)
m=0
Linéariser, c’est réaliser un signal v s = Kθ soit :
v s = Kθ = K b0 + b1 v s + b2 v2s + · · · = K
∞
bn vms
m=0
300
(mV)
Droite des moindres carrés
0
Caractéristique réelle
300
(°)
30
0
30
Figure 21.10 – Signal de sortie v s et droite des moindres carrés
21.11 Compte tenu de l’excursion des valeurs de v s , on peut se contenter
pour (21.35) d’une relation approximative de (21.2) donnée par :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
θ = A · v3s + B · v s = 1,504.104 · v3s + 202,823 · v s
(21.36)
2 .
Le signal de sortie des multiplicateurs est en volt vm = v3s /Vre
f
D’après le montage 21.8, l’amplificateur opérationnel étant idéal, on a :
e+ =
R 3 R 5 v s + R 3 R 4 vm
R3 R4 + R3 R5 + R4 R5
et
e− =
R1 v s
R1 + R2
(21.37)
La contre-réaction amène compte tenu de R1 = R3 :
R1 + R2
R1 + R2
R3 R4
R3 R5
vm +
vs
R1 R3 R4 + R3 R5 + R4 R5
R1 R3 R4 + R3 R5 + R4 R5
v3s
(R1 + R2 )R4
(R1 + R2 )R5
=
+
vs
(21.38)
2
R1 R4 + R1 R5 + R4 R5 Vre f R1 R4 + R1 R5 + R4 R5
vs =
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Les capteurs
En identifiant (21.38) et v s = Kθ = K(Av3v + Bv s ), il vient :
(R1 + R2 )R4
2
= KAVre
f = A
R1 R4 + R1 R5 + R4 R5
(R1 + R2 )R5
= KB = B
R1 R4 + R1 R5 + R4 R5
(21.39)
K = 100 mV/◦ , en résolvant (21.39), on obtient :
R4 =
(R1 + R2 ) − R1 (A + B )
= 3,235 kΩ
R1 A
R5 =
(R1 + R2 ) − R1 (A + B )
= 4,350 kΩ
R1 B
Le tableau 21.3 donne les valeurs de v s calculer d’après (21.38) ainsi que son approximation linéaire v s,lin obtenue en utilisant (21.1) (voir figure 21.11).
Tableau 21.3 – Tension de sortie du dispositif de mesure
θ (◦ )
−40
−30
−20
−10
−0
+10
+20
+30
+40
us (V)
−3,928
−3,165
−1,973
−0,910
−0,023
+0,951
+2,031
+3,063
+3,921
us,lin (V)
−4,000
−3,001
−2,002
−1,003
−0,004
+0,995
+1,995
+2,994
+3,993
4
(V)
vs
0
v s ,lin
4
θ( )
40
0
40
Figure 21.11 – Tension de sortie du système de mesure
La sensibilité de la mesure est de 99,91 mV/◦ et le plus grand écart
v s,lin − v s est de −164 mV pour θ = −30◦ . L’erreur de linéarité est donc de
0,164/((3,921) − (−3,928)) 2 % de l’étendue de mesure. On constate que la linéarisation a permis de fortement diminuer la non-linéarité du signal de mesure.
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Corrigé 21
21.1
Le capteur angulaire inductif étudié ici fonctionne sur le même principe qu’un
potentiomètre inductif dont on aurait multiplié le nombre de primaires et de secondaires de façon à le rendre insensible aux grandeurs d’influence que sont
les déplacements parallèlement l’un à l’autre et l’un sur l’autre des axes des
bobinages primaires (rotor) et secondaires (stator). Ces déplacements parasites
existent à cause de l’absence volontaire de liaisons mécaniques entre le rotor et
le stator.
Pour résoudre le problème posé, une autre solution aurait consisté à utiliser un
aimant permanent et une série de sondes à effet Hall à l’image des capteurs
angulaires développés ces dernières années.
(a)
(b)
(c)
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Figure 21.12 – Principe de
capteurs angulaires à sonde
à effet Hall (documentation TWK)
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P ROBLÈME :
Photodiode à effet
latéral unidirectionnelle
Corrigé détaillé
I. La photodiode – Sensibilité
24.1 L’éclairement E étant la densité surfacique de flux lumineux, la puissance re-
çue φ0 est simplement le produit de l’éclairement E par la surface de réception S , soit
φ0 = ES .
24.2 La puissance dφ(z) absorbée par une tranche élémentaire d’épaisseur dz à
l’abscisse z dans la zone de déplétion s’obtient par différentiation de la puissance
à l’abscisse z, soit :
dφ(z) = −β(1 − R)φ0 exp(−αlP ) exp(−βz)dz
(24.40)
24.3 L’énergie d’un photon étant hν, le nombre dn de photons absorbés par
la tranche d’épaisseur dz à l’abscisse z et par unité de temps est donné par
dn = −dφ(z)/hν (comme d’après (24.40) dφ(z) est négatif, il convient de prendre la
valeur opposée de dφ(z)/hν de façon à obtenir un nombre dn positif).
24.4 Puisqu’il y a η photoélectrons créés par photon absorbé, le nombre dn phot de
photoélectrons libérés par unité de temps dans la tranche d’épaisseur dz à l’abscisse
z est dn phot = −ηdφ(z)/hν.
24.5 Le nombre total n phot de photoélectrons créés par unité de temps dans la zone
de déplétion d’épaisseur totale lZD s’obtient en intégrant l’expression précédente. Il
vient :
ηφ0
(1 − R) exp(−αlP ) 1 − exp(−βlZD )
(24.41)
n phot =
hν
24.6 Si on considère que l’épaisseur de la zone de déplétion est importante, c’est-
à-dire lZD 1/β, (24.41) devient :
n phot 52
ηφ0
(1 − R) exp(−αlP )
hν
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Corrigé 24
24.7 Puisque l’on néglige la recombinaison, le photocourant dû aux électrons est
donné par :
eη
λφ0 (1 − R) exp(−αlP )
hc
Le courant dû aux trous étant égal au courant dû aux électrons, le photocourant total
I phot est donc :
2eη
λφ0 (1 − R) exp(−αlP )
I phot =
hc
24.8 Le courant inverse Ir de la diode est la somme du photocourant et du courant
d’obscurité (approximativement Is ), soit :
Ir = I phot + Is =
2eη
λφ0 (1 − R) exp(−αlP ) + AT 3 exp(−Eg /kT )
hc
24.9 Pour T = T max = 330 K avec Eg = 1,12 eV soit Eg = 1,79.10−19 J, on obtient
alors I s = 100 nA.
24.10 La sensibilité de la photodiode est donnée par :
S phot =
ΔIr
2eη
λ(1 − R) exp(−αlP ) = 0,4 A/W
=
Δφ0
hc
(24.42)
Le courant inverse étant proportionnel à la puissance lumineuse, la photodiode constitue un capteur linéaire.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
II. La photodiode – Puissance lumineuse maximale
et effet thermique
24.11 À l’équilibre thermique la puissance dissipée par effet Joule est entièrement
évacuée vers le milieu extérieur. Pour une température maximale T max de fonctionnement, on a donc :
Pmax = K(T max − T ext ) = 7,2 μW
2 . On obtient alors I
24.12 On a dans ce cas Pmax = RImax
max = 12 μA.
24.13 En utilisant (24.42) et la valeur du courant d’obscurité déterminée à la ques-
tion 24.10, il vient :
φmax =
Imax − Is
Imax
= 29,5 μW
S phot
S phot
24.14 On a alors Emax = Emax /S = 9,84 W.m−2 1 mW.cm−2
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Les capteurs
III. Réponse spectrale
24.15 En première approximation et d’après (24.42), la sensibilité de la photodiode
croît linéairement avec la longueur d’onde. À λ = 1000 nm, on a donc :
S phot (1000 nm) =
1000
S phot (670 nm) 0,6 A/W
670
24.16 Lorsque la longueur d’onde augmente, l’énergie des photons diminue et la
longueur d’onde maximale utilisable est celle pour laquelle l’énergie du photon est
égale à la largeur de la bande interdite du semi-conducteur, soit Eg = 1,12 eV. La
longueur d’onde maximale utilisable est donc λmax = hc/Eg = 1108 nm. Au-delà
de cette longueur d’onde, l’énergie des photons est insuffisante pour créer une paire
électron-trou.
24.17 Schématiquement, la réponse spectrale de la photodiode a l’allure suivante.
S phot en A W
0,6
0,4
400
800
1200
en nm
Figure 24.9 – Allure de la réponse spectrale de la photodiode
IV. Principe de fonctionnement du détecteur de position
(PSD)
24.18 Les résistances R1 et R2 étant en parallèle, R1 I1 = R2 I2 . En considérant que
les différents matériaux sont parfaitement homogènes, le rapport des résistances est
égal au rapport des longueurs de ces résistances. On a donc I1 l1 = I2 l2 .
24.19 Le faisceau étant centré, on a R1 = R2 = 100 kΩ. La constante de temps de
la photodiode est donnée par τ = (R1 //R2 )C j = 62,5 ns et sa fréquence de coupure
par fc = 1/2πτ = 2,55 MHz.
24.20 On a Imax /I s = (I phot + I s )/I s 120, on peut donc négliger le courant d’obs-
curité et écrire I1 + I2 I phot . En utilisant le résultat de la question 24.18 et en posant
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Corrigé 24
l1 = l/2 − x et l2 = l/2 + x, il vient :
⎧
⎪
l2
⎪
⎪
⎪
I phot = 1 +
I1 =
⎪
⎪
⎪
l1 + l2
⎨
⎪
⎪
⎪
l1
⎪
⎪
⎪
=
I
=
1−
I
⎪
⎩ 2 l + l phot
1
2
2x I phot
l
2
2x I phot
l
2
La tension de mesure Vmes = a(I1 − I2 )/(I1 + I2 ) s’écrit alors :
Vmes = 2a
x
l
24.21 La sensibilité S c du capteur réalisé s’en déduit immédiatement, on trouve
S c = 2a/l.
Sous les hypothèses faites, on a réalisé un capteur linéaire de l’écart x de la position
du faisceau lumineux par rapport au centre de la photodiode.
V. Électronique de conditionnement
24.22 Les amplificateurs opérationnels étant idéaux, position et puissance lumi-
neuse étant constantes, on a simplement V1 = −Rc I1 et V2 = −Rc I2 . L’étage d’entrée
du conditionneur réalise donc une conversion courant-tension.
24.23 Les amplificateurs étant idéaux et munis d’une contre-réaction, on a e+ = e− .
Comme l’entrée non-inverseuse est à la masse, il vient e− = 0. L’impédance d’entrée
de l’étage est donc nulle. La conversion courant-tension réalisée par le premier étage
du conditionneur ne perturbe donc pas l’étage en amont, c’est-à-dire ici le capteur.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
24.24 Pour le calcul de VN , on peut écrire :
e+ =
V2
2
et
e− =
V N − V1
2
L’amplificateur étant idéal et muni d’une contre-réaction (e+ = e− ), on en déduit :
V N = V2 − V1 =
I1 − I2
Rc
De même pour VD , il vient :
VD = −R s
I1 + I2
V2 V1
+
= − (V1 + V2 ) =
Rs Rs
Rc
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24.25 On en déduit l’expression de la tension de sortie de l’étage de conditionne-
ment :
VN
I1 − I2
x
=V
= 2V
VD
I1 + I2
l
Compte tenu des approximations faites, ce résultat est indépendant de I phot et permet donc d’affranchir la mesure d’éventuels effets de la variation de la puissance du
faisceau.
Vmes = V
24.26 On en déduit la sensibilité de la PSD réalisée :
Sc =
2V
= 6,667 V/mm = 6,667 mV/μm
l
VI. Principe de fonctionnement du détecteur de position
à triangulation
24.27 En utilisant que les triangles O
ΩB et O
ΩA sont respectivement sem-
et OΩA
(voir figure 24.7), il vient :
blables aux triangles OΩB
X
x
=−
d
D
(24.43)
24.28 On en déduit l’expression de la sensibilité de la mesure :
S mes =
Vmes Vmes x
d
=
= −S c
X
x X
D
24.29 Compte tenu de ce qui précède, il vient :
d δVmes = 0,15
= D
S c δX 24.30 On obtient alors :
S mes = −S c
d
= −1 mV/μm
D
24.31 L’étendue de mesure du capteur à triangulation est reliée à celle de la PSD
par la relation (24.43), on obtient donc :
D
(24.44)
E.M.(X) = E.M.(x) = [−1 cm, + 1 cm]
d
VII. Optimisation de la géométrie du capteur à triangulation
24.32 Compte tenu du résultat (24.43), il est clair que l’on peut augmenter la résolution de ce capteur en diminuant le rapport D/d. Cette diminution ne peut évidemment s’effectuer qu’en respectant les contraintes mécaniques d’encombrement
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Corrigé 24
de la diode laser et de son condenseur, et, de la PSD et de sa lentille de focalisation.
D’après le résultat (24.44), cette augmentation de la résolution et de la sensibilité du
capteur s’accompagne d’une diminution dans le rapport inverse de son étendue de
mesure.
De plus, si on suppose que la cible peut être assimilée à un réflecteur lambertien,
l’intensité lumineuse réfléchie est maximale dans la direction de la normale à la surface et varie selon I = I0 cos θ où θ est l’angle entre la normale à la surface et la
direction d’observation. En augmentant la résolution par diminution du rapport D/d,
on augmente le flux lumineux reçu par la PSD, facilitant ainsi la détection. En effet,
plus le flux lumineux est important (évidemment sans aller jusqu’à engendrer des
non-linéarités), plus le photocourant est prédominant devant le courant d’obscurité et
plus les approximations faites sont justifiées.
24.33 Graphiquement, l’effet de l’inclinaison est évident. La sensibilité de la mesure est divisée par cos ϕ. On a donc intérêt à choisir ϕ suffisamment grand.
24.34 Les inclinaisons des directions O X et Ox doivent être telles qu’elles respectent les lois de formation des images par la lentille de focalisation. En effet, bien
que ceci n’ait pas été étudié en début de problème, il est intuitif de penser que la précision sur la localisation du point d’impact du faisceau sur la PSD sera d’autant plus
grande que la section de ce dernier sera faible. En cas de défocalisation la précision
de la mesure sera donc dégradée.
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La compréhension du problème nécessite de revenir à la construction géométrique de
la formation des images du point cible sur la PSD.
On forme classiquement les points A, O et B images respectives des points objets
A , O et B du plan objet incliné d’un angle α par rapport au plan de la lentille et
dont la trace est l’axe O X (voir figure 24.10). Ces points permettent de former l’axe
Ox, trace du plan image. La construction montre que la trace du plan image, la trace
du plan de la lentille et la trace du plan objet se croisent au même point S (règle de
Scheimpflug) et que la parallèle à la trace du plan objet passant par le centre optique
de la lentille, la trace du plan focal image et la trace du plan image se croisent au
même point H (règle de Hinge).
Cette construction géométrique permet de déterminer la relation entre la position X
(point de réflexion du faisceau laser sur la surface cible) et la position x, point de
focalisation sur la PSD de la lumière se réfléchissant sur la cible et collectée par la
lentille de focalisation.
On pose do = O Ω, di = ΩO et f la focale de la lentille.
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Les capteurs
Plan de la lentille
Plan image
A
B
x
Fo
O
Fi O
B
X
A
H
Plan objet
S
Figure 24.10 – Règles de Scheimpßug et de Hinge
On applique la formule de conjugaison des lentilles minces entre les points conjugués
O et O. Il vient :
1
1
1
(24.45)
+
=
di do
f
De même, on applique la formule de conjugaison aux projetés de X et x sur l’axe
optique, repérés par les mesures algébriques po = −do − X sin α et pi = di + x sin β
par rapport à Ω, on obtient :
1
1
1
(24.46)
−
=
pi po
f
En résolvant (24.45) et (24.46) en x, il vient :
x=
f 2 X sin α
1
sin β ( f − (do + X sin α)) (do − f )
(24.47)
Selon la règle de Scheimpflug, on doit avoir di tan β = do tan α. Ceci permet de déduire l’expression de sin β :
sin β = (do − f ) tan α
f 2 + (do − f )2 tan2 α
L’expression (24.47) de x en devient :
2
f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α
f
X
x=−
(do − f + X sin α)
(do − f )2
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(24.48)
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Corrigé 24
24.35 Pour α = 35◦ , on obtient β = 75,30◦ . De (24.48), on déduit la nouvelle
expression de la sensibilité :
S mes
f2
Vmes Vmes x
=
= −S c
=
X
x X
(do − f )2
f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α
(do − f + X sin α)
La mesure est de façon évidente non-linéaire.
Cette non-linéarité entraîne une dissymétrie de l’étendue de mesure du capteur par
rapport à la valeur de référence (X = 0 et Vmes = 0), soit :
E.M. = [−8,59 mm ; 10,75 mm]
pour
x ∈ [−1,5 mm ; + 1,5 mm]
La courbe de la figure 24.11 donne l’évolution de la tension de mesure en fonction de
l’excursion X de la surface cible pour les valeurs caractéristiques données du système.
10
Vmes (V)
0
X (cm)
0,6
0
1
Figure 24.11 – Évolution de la tension de mesure
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
24.36 On pratique sur les données précédentes une régression linéaire au sens des
moindres carrés. Sur l’étendue de mesure, l’approximation linéaire de Vmes est, pour
Vmes en volt et X en centimètre, Vmes,lin = −10,358X + 0,004.
L’écart à la linéarité, plus grand écart entre la caractéristique réelle et son approximation linéaire au sens des moindres carrés, est donné pour X = 1,075 cm et vaut
ε = 759,93 mV.
L’erreur de linéarité donnée par ε/(max(Vmes ) − min(Vmes )) s’en déduit aisément, elle
a pour valeur 3,80 %.
Cette erreur de linéarité n’est pas négligeable et il est intéressant dans ce cas de numériser Vmes et de construire une table de conversion dont la sortie est le déplacement
X corrigé des effets de non-linéarité.
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Les capteurs
24.1
Le faisceau réfléchi par la cible a une certaine extension latérale. En raison des
défocalisations possibles au point de focalisation sur la PSD, l’intensité lumineuse du faisceau est moyennée sur l’extension latérale de l’image par la PSD.
Ceci entraîne des non-linéarités particulièrement sensibles lorsque l’on se trouve
en limite de l’étendue de mesure. Une des résistances R1 ou R2 du problème est
faible, ce qui entraîne que les approximations faites dans le problème traité ici
ne sont plus valables comme par exemple le fait de négliger les impédances de
contact semiconducteur-électrode collectrice. De plus, à la limite une partie du
faisceau illuminant une électrode ne contribue plus au photocourant. Ces effets
sont d’autant plus importants que l’extension latérale du faisceau est importante. C’est pourquoi on obtient une bien meilleure résolution avec les capteurs
utilisant la réflexion spéculaire où par définition, le faisceau réfléchi a la même
extension que le faisceau incident.
Pour corriger en partie cet effet, certains capteurs à triangulation utilisent maintenant comme photodétecteur une CCD à la place de la PSD. Si on s’intéresse à
la résolution, une PSD a communément une résolution de quelques micromètres.
Une CCD a des pixels de surface de l’ordre de 7 μm × 7 μm, et donc une résolution de 7 μm si on néglige l’espace isolant entre deux pixels. Le faisceau réfléchi
ayant une extension latérale, il est focalisé sur une surface supérieure à la taille
des pixels. Plusieurs pixels sont donc illuminés par le faisceau réfléchi. Par traitement mathématique de l’intensité lumineuse mesurée par chaque pixel, notamment en calculant simplement le centroïde de cette répartition, on peut atteindre
une résolution de quelques dixièmes de micromètres.
Cette amélioration de la résolution du capteur s’accompagne malheureusement
d’une baisse de la rapidité du capteur. Si on peut atteindre une fréquence de
coupure de l’ordre du mégahertz avec une PSD, l’utilisation d’une CCD ne permet qu’une fréquence d’échantillonnage de quelques kilohertz.
Pour conclure, citons que des PSD bidirectionnelles existent et qu’elles peuvent
donc être utilisées pour la détermination des coordonnées en x et y du point
d’impact d’un faisceau lumineux.
Faisceau incident
I x2
I y2
Figure 24.12 –
Principe d’une PSD
à deux dimensions
(type duo-lateral)
I x1
y
60
I y1 I y 2
I y1
x
I x1 I x 2
I x1 I x 2
I y1 I y 2
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