hermite

Chapitre 13
Formes
hermitiennes

1626 Chapitre 13. Formes hermitiennes
13.1 Compl´ements sur la conju-
gaison
13.1.1 Applications semi-lin´eaires
D´efinition 13.1.1 Soit Eet Fdeux C-espaces vectoriels
et u:E→F. On dit que uest semi-lin´eaire si elle v´erifie
– (i) ∀x, y ∈E, u(x+y) = u(x) + u(y)
– (ii) ∀λ∈C,∀x∈E, u(λx) = λu(x).
Remarque 13.1.1 Soit Eun C-espace vectoriel . On mu-
nit Ed’une autre structure d’espace vectoriel, not´ee ˇ Een
posant λ∗x=λx. Une application semi-lin´eaire de Edans

13.1. Compl´ements sur la conjugaison 1627
Fn’est autre qu’une application lin´eaire de Edans ˇ F. Ceci
permet d’appliquer aux applications semi-lin´eaires la plu-
part des r´esultats sur les applications lin´eaires en tenant
compte des r´esultats suivants dont la d´emonstration est
´el´ementaire :
– a) une famille (xi)i∈Id’´el´ements de Eest libre (resp.
g´en´eratrice, resp. base) dans ˇ Esi et seulement si il en
est de mˆeme dans E
– b) rg ˇ
E(xi)i∈I= rgE(xi)i∈I, dim ˇ
E= dim E
– c) Fest un sous-espace vectoriel de ˇ Esi et seulement
si c’est un sous-espace vectoriel de E
– d) le th´eor`eme du rang s’applique aux applications
semi-lin´eaires ; en particulier, si u:E→Fest semi-

1628 Chapitre 13. Formes hermitiennes
lin´eaire entre deux espaces de mˆeme dimension finie,
alors uest injective si et seulement si elle est surjective
– e) si l’on d´efinit A= Mat(u, E,F) par u(ej) =
X
i
ai,j fi(notations ´evidentes) alors
y=u(x)⇐⇒ Y=AX
– f) la compos´ee de deux applications semi-lin´eaires
n’est pas semi-lin´eaire, mais au contraire lin´eaire.

13.1. Compl´ements sur la conjugaison 1629
13.1.2 Matrices conjugu´ees et transcon-
jugu´ees
D´efinition 13.1.2 Soit A= (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n∈MC(m, n).
On appelle matrice conjugu´ee de Ala matrice A=
(ai,j )1≤i≤m,1≤j≤n∈MC(m, n).
Proposition 13.1.1 L’application A7→ Aest un auto-
morphisme semi-lin´eaire de MC(m, n). On a rg A= rg A.
Si A∈MC(m, n)et B∈MC(n, p), alors AB =A B.
Dans le cadre des matrices carr´ees, on a det A= det A,
tr A= tr A,χA(X) = χA(X),Aest inversible si et seule-
ment si Aest inversible, et dans ce cas (A)−1=A−1.