Chapitre 13
Formes
hermitiennes
1626 Chapitre 13. Formes hermitiennes
13.1 Compl´ements sur la conju-
gaison
13.1.1 Applications semi-lin´eaires
D´efinition 13.1.1 Soit Eet Fdeux C-espaces vectoriels
et u:EF. On dit que uest semi-lin´eaire si elle v´erifie
(i) x, y E, u(x+y) = u(x) + u(y)
(ii) λC,xE, u(λx) = λu(x).
Remarque 13.1.1 Soit Eun C-espace vectoriel . On mu-
nit Ed’une autre structure d’espace vectoriel, not´ee ˇ
Een
posant λx=λx. Une application semi-lin´eaire de Edans
13.1. Compl´ements sur la conjugaison 1627
Fn’est autre qu’une application lin´eaire de Edans ˇ
F. Ceci
permet d’appliquer aux applications semi-lin´eaires la plu-
part des r´esultats sur les applications lin´eaires en tenant
compte des r´esultats suivants dont la d´emonstration est
´el´ementaire :
a) une famille (xi)iId’´el´ements de Eest libre (resp.
g´en´eratrice, resp. base) dans ˇ
Esi et seulement si il en
est de mˆeme dans E
b) rg ˇ
E(xi)iI= rgE(xi)iI, dim ˇ
E= dim E
c) Fest un sous-espace vectoriel de ˇ
Esi et seulement
si c’est un sous-espace vectoriel de E
d) le th´eor`eme du rang s’applique aux applications
semi-lin´eaires ; en particulier, si u:EFest semi-
1628 Chapitre 13. Formes hermitiennes
lin´eaire entre deux espaces de mˆeme dimension finie,
alors uest injective si et seulement si elle est surjective
– e) si l’on d´efinit A= Mat(u, E,F) par u(ej) =
X
i
ai,j fi(notations ´evidentes) alors
y=u(x)Y=AX
f) la compos´ee de deux applications semi-lin´eaires
n’est pas semi-lin´eaire, mais au contraire lin´eaire.
13.1. Compl´ements sur la conjugaison 1629
13.1.2 Matrices conjugu´ees et transcon-
jugu´ees
D´efinition 13.1.2 Soit A= (ai,j)1im,1jnMC(m, n).
On appelle matrice conjugu´ee de Ala matrice A=
(ai,j )1im,1jnMC(m, n).
Proposition 13.1.1 L’application A7→ Aest un auto-
morphisme semi-lin´eaire de MC(m, n). On a rg A= rg A.
Si AMC(m, n)et BMC(n, p), alors AB =A B.
Dans le cadre des matrices carr´ees, on a det A= det A,
tr A= tr A,χA(X) = χA(X),Aest inversible si et seule-
ment si Aest inversible, et dans ce cas (A)1=A1.
1 / 83 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !