Théorème de Girsanov (cas brownien)

MASTER 2 STATISTIQUE MATHÉMATIQUE - ANNÉE 2014/2015
STATISTIQUE DES PROCESSUS
Dans ce qui suit, T>0, B= (Bt)t≤Test un mouvement brownien, F= (Ft)t≤T
est sa filtration naturelle et K= (Kt)t≤Test un processus F-adapté, continu à
gauche et tel que RT
0K2
sds<∞p.s.,de sorte que l’intégrale stochastique K.Btsoit
définie pour tout t≤T.
On admet le résultat suivant, dû à Novikov : si Eexp(1
2RT
0K2
sds)<∞, le pro-
cessus Z= (Zt)t≤Tdéfini pour chaque t≤Tpar
Zt=expK.Bt−1
2Zt
0K2
sds
est une martingale (on l’appelle exponentielle de Doléans de K.B).
Théorème (Girsanov) Supposons que Eexp(1
2RT
0K2
sds)<∞. Alors, la mesure Q
définie par Q(A) = E(ZT1A)est une probabilité sur (Ω,FT,P), et le processus
stochastique (Bt−Rt
0Ksds)t≤Test un mouvement brownien pour la probabilité Q.
Preuve. Tout d’abord, Qest bien une probabilité car, Zétant une martingale, on
aQ(Ω) = EZT=EZ0=1. On peut aussi calculer, pour tout t≤T, la restriction
Qtde QàFt. Elle est définie par Qt(A) = E(Zt1A)pour tout A∈Ft. En effet, si
A∈Ft, comme Zest une martingale :
Qt(A) = E(Zt1A) = EE(ZT|Ft)1A=E(ZT1A) = Q(A).
Il faut maintenant montrer que le processus ¯ Bdéfini par ¯ Bt=Bt−Rt
0Ksdsest
un mouvement brownien sous Q, i.e. pour tous 0 <t1<··· <tp=t, la loi sous Q
du vecteur aléatoire (¯ Bt1,··· ,¯ Btp)est N(0,(ti∧tj)i,j≤p). Fixons u1,··· ,up∈R,
et notons
H=K+i
p
∑
j=1
uj1[0,tj].
Il est clair que Eexp(1
2RT
0H2
sds)<∞donc, d’après le théorème de Novikov,
EexpH.Bt−1
2Zt
0H2
sds=1.
En développant cette expression, on trouve
EZtexpi
p
∑
j=1
ujBtj+1
2
p
∑
j,k=1
ujuktj∧tk−i
p
∑
j=1
ujZtj
0Ksds=1.
1

Comme le terme entre parenthèses est Ft-mesurable et la restriction de QàFt
est Qt, on a donc
EQexpi
p
∑
j=1
uj¯ Btj+1
2
p
∑
j,k=1
ujuktj∧tk=1,
où EQdésigne l’espérance sous Q. Par suite,
EQexpi
p
∑
j=1
uj¯ Btj=exp−1
2
p
∑
j,k=1
ujuktj∧tk,
c’est-à-dire que, sous Q, la loi de (¯ Bt1,··· ,¯ Btp)est N(0,(ti∧tj)i,j≤p).
2