Construire par pliage des polygones réguliers avec un nombre impair de côtés, c’est possible, simplement! (Partie 1) Antoine Trottier, étudiant au BES1 en mathématiques à l’UQAM [email protected] L’article suivant est séparé en deux et paraîtra donc, dans deux numéros consécutifs. La première partie présente les exposés types proposés aux étudiants du baccalauréat en enseignement de la mathématique au secondaire à l’UQAM. La seconde partie présentera un nouvel exposé type concernant les polygones par pliage avec un nombre impair de côtés. L’exposé type, qui est à la source de la réflexion que je présente ici, est celui sur la construction par pliage de polygones réguliers ayant un nombre pair de côtés (par exemple le carré, l’hexagone régulier, l’octogone régulier, etc.) Les polygones sont étudiés au premier cycle du secondaire, les élèves ont toutefois déjà été initiés à ce sujet au primaire. Pourquoi, au départ avoir choisi l’UQAM pour faire mes études? C’est la campagne de publicité EFFET UQAM qui m’a fait connaître cette université. On voyait des affiches partout, dans les rues, sur les autobus et dans les métros présentant une université active et dynamique. Je cherchais comme futur enseignant au secondaire exactement ce type de formation, axée sur la pratique. À vrai dire, je souhaitais me retrouver sur les affiches de l’EFFET UQAM, je voulais représenter cette université. Mais comment? Le fait d’avoir des A dans toutes mes matières n’allait certainement pas être suffisant. C’est dans un cours de didactique dispensé durant la deuxième session de la première année du BES que la chance m’a souri, ce cours allait peut-être me permettre de laisser une légère trace de mon passage dans cette université. 1. É tude des polygones dans les manuels scolaires Dans un des volets du cours, Didactique 1 et laboratoire (MAT2024), nous visionnons des exposés types qui sont des enregistrements vidéos d’une dizaine à une vingtaine de minutes portant sur des sujets fréquemment enseignés lors de notre deuxième stage. Un des objectifs de ces exposés est de montrer qu’on peut présenter les mathématiques aux élèves en misant sur le sens, sur la compréhension et de donner ainsi envie aux élèves de faire des mathématiques. Ces enregistrements vidéo ont été préparés par Mme Janvier, professeure maintenant à la retraite. Au troisième cycle du primaire, même si cette notion n’est pas étudiée explicitement, les élèves sont capables de nommer quelques polygones et ils savent aussi ce qu’est un polygone régulier. On retrouve les polygones ailleurs qu’en géométrie, par exemple, en arithmétique dans l’étude des fractions où les élèves doivent représenter ou reconnaître des fractions représentées dans des touts qui sont des polygones réguliers. Les manuels du primaire définissent les polygones réguliers comme suit : Un polygone régulier a tous ses côtés et tous ses angles égaux.2 Un polygone est régulier si tous ses côtés sont isométriques et si tous ses angles sont isométriques3. Dans le manuel Clicmaths, la construction de ces polygones s’appuie sur un cercle (sur le résultat que tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle). La technique consiste à séparer l’angle au centre en autant d’angles que le polygone a de côtés. Baccalauréat en enseignement secondaire en mathématiques à l’Université du Québec à Montréal. Défi mathématique 3e cycle, volume 1, p.137. 3 Clicmaths, manuel 1 volume B, p. 235. 1 2 GRMS ENVOL no 158 — janvier-février-mars 2012 29 Figure 1 Clicmaths, 3e cycle du primaire, manuel de l’élève B, volume 1, p. 25 Les élèves construisent les polygones en utilisant le papier crayon, les étapes sont données sans explications. Dans les manuels du secondaire4, la construction présentée est semblable. L’approche proposée par Mme Janvier est tout autre. Dans les exposés types, les polygones réguliers sont construits par pliage en utilisant une simple feuille de papier, donc plus besoin d’instruments de mesure. De plus, la construction par pliage s’appuie sur des propriétés non utilisées dans l’approche des manuels comme les axes de symétrie. Le pliage permet une étude en profondeur des propriétés des polygones réguliers. 2. C onstruction par pliage de polygones réguliers ayant un nombre PAIR de côtés La construction de polygones réguliers par pliage avec un nombre pair de côtés est présentée dans trois exposés types et repose sur certaines propriétés des polygones réguliers : - Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle. - Les axes de symétrie rejoignent deux sommets diamétralement opposés. - Les angles sont isométriques. isométriques, les côtés sont - Tout polygone régulier est constitué d’autant de triangles isocèles5 congrus qu’il y a de côtés, chacun de ces triangles ayant comme sommet commun le centre du polygone (qui correspond au centre du cercle inscrit), les deux côtés isométriques étant des « rayons ». Note : Il est facile pour l’élève de trouver la mesure des angles et de prouver que les triangles sont des triangles isocèles. Dans ce casci, nous avons un octogone régulier inscrit dans un cercle. Il suffit de partager l’angle au centre de 360 degrés par le nombre de triangles qui compose notre polygone. De plus, en traçant ces triangles, nous distinguons aisément les axes de symétrie qui sont également les diamètres du cercle dans lequel le polygone est inscrit. Je vais présenter les grandes lignes qui guident la construction par pliage d’un carré et d’un octogone régulier. C’est à travers ces exposés types que ma réflexion autour de la construction des polygones réguliers à un nombre impair de côtés est née. 2.1 Construction par pliage d’un carré Comme introduction, nous discutons brièvement de l’épistémologie des noms des polygones réguliers jusqu’à 12 côtés (exemple : octogone : octo = 8, gone = angle). La construction du carré se fait avec les élèves à l’aide d’une simple feuille mobile. Nous nous appuyons sur le fait que le carré a quatre côtés égaux et quatre angles de 90 degrés. Dans l’exposé type, Mme Janvier présente deux façons de construire un carré par pliage. Méthode 1 Pour commencer la construction d’un carré, il suffit de prendre la largueur de notre feuille mobile, ce qui constituera le premier côté de notre carré. Voir à titre d’exemple le manuel Perspective, manuel de l’élève B, volume 1, p.92. Dans le cas de l’hexagone régulier, il s’agit de triangles équilatéraux. 4 5 30 ENVOL no 158 — janvier-février-mars 2012 GRMS Il faut ensuite aller reporter ce segment sur le côté adjacent qui sera le deuxième côté du carré. Nous nous retrouvons avec deux des côtés de notre carré et le premier angle de 90 degrés (les quatre coins de notre feuille formant des angles de 90 degrés). Il suffit donc de s’intéresser à la construction de la moitié de l’octogone pour obtenir par pliage l’autre moitié de l’octogone. Pour bien saisir le pliage, il faut avoir bien en tête la figure 1. On part avec une feuille mobile. L’octogone a des axes de symétrie qui rejoignent deux sommets diamétralement opposés. Construisons un de ces axes de symétrie qui est également le diamètre du cercle dans lequel l’octogone est inscrit. Si nous joignons les extrémités de nos deux segments, nous obtenons un triangle rectangle isocèle. Nous savons que dans un triangle rectangle isocèle, nous avons un angle de 90 degrés et deux angles de 45 degrés. On plie la feuille en deux parties égales. Une moitié du polygone sera sur un côté du pli, l’autre moitié de l’autre côté. Sur chaque moitié, on aura 4 triangles isocèles isométriques. Ces triangles auront un sommet commun qui est le centre du cercle inscrit. Nous pouvons remarquer que si nous doublons nos deux angles de 45 degrés, nous obtenons des angles de 90 degrés. Donc, si nous plions la feuille sur l’hypoténuse de notre triangle rectangle, nous obtenons ce résultat. En reportant les segments, nous obtenons notre carré avec quatre angles de 90 degrés et quatre côtés égaux. Méthode 2 La deuxième approche s’appuie sur les axes de symétrie du carré. Comme le même raisonnement sera utilisé pour construire par pliage un octogone régulier, je ne reprendrai pas ici cette construction. 2.2 C onstruction par pliage d’un octogone régulier La construction par pliage de l’octogone régulier s’appuie sur le fait que les polygones réguliers sont inscriptibles dans un cercle, les axes qui relient deux sommets diamétralement opposés sont des axes de symétrie et les segments qui relient chaque sommet de l’octogone au centre du cercle inscrit sont en fait les rayons du cercle. GRMS Établissons le centre du cercle inscrit. Il sera obtenu en pliant la moitié de la feuille en deux (on obtient également le centre de la feuille). La feuille est maintenant pliée en quatre, ce qui représente le quart de l’octogone. Dans cette partie seront représentés deux triangles isocèles isométriques. Il ne faut surtout pas perdre de vue le centre du cercle inscrit sur lequel s’appuie le pliage! En pliant encore la feuille en deux, on obtient l’angle au centre d’un des triangles composant l’octogone. Le sommet de cet angle est le centre du cercle inscrit. On vient ainsi de séparer l’angle au centre en 8 angles isométriques. ENVOL no 158 — janvier-février-mars 2012 31 Il suffit maintenant de construire les triangles isocèles. On prend une longueur de côté arbitraire que l’on reporte de l’autre côté. Ce côté sera également le rayon du cercle inscrit. On obtient ainsi les deux côtés congrus des triangles isocèles. On trace le segment afin d’obtenir le triangle et on coupe. Conclusion On a ainsi obtenu un des triangles isocèles qui compose l’octogone régulier. Il suffit de déplier la feuille pour obtenir un octogone régulier! Je tiens à remercier Mme Janvier d’avoir élaboré ces exposés types sans lesquels cette réflexion n’aurait pu avoir lieu. Merci également à Mireille Saboya, professeure, pour ses commentaires lors des différentes versions de cet article. En construisant les polygones réguliers par pliage, les élèves travaillent directement sur les propriétés des polygones, ils les utilisent et en voient ainsi la pertinence, l’utilité. Références Comme prolongement, Mme Janvier souligne qu’il est possible de tracer un carré en joignant tout simplement deux sommets non consécutifs. Défi mathématique, 3e cycle, volume 1 (2005). Lyons, M. et Lyons, R. Chenelière Éducation. Dans cet article, nous avons vu les exposés types que propose Mme Bernadette Janvier à l’UQAM dans les cours de didactique de la mathématique. Dans la seconde partie, qui paraîtra dans le prochain numéro, nous verrons la construction par pliage de polygones réguliers ayant un nombre IMPAIR de côtés. Remerciements On remarque en procédant ainsi que si on part du carré, il est possible de retrouver l’octogone. Les sommets de l’octogone sont obtenus en traçant les médiatrices des côtés du carré. Les sommets seront les intersections de ces médiatrices avec le cercle inscrit. Le carré et l’octogone sont ainsi liés. En procédant de la même façon, on pourrait obtenir un polygone à 16 côtés, etc. M.E.L.S (Ministère de l’Éducation des loisirs et des sports), Gouvernement du Québec (2003). Programme de formation de l’école québécoise : Enseignement secondaire, premier cycle. Québec : Ministère de l’Éducation. Clicmaths, 3e cycle, manuel 1, volume B (2003). Guay, S., Hame, J.C. et Lemay, S. Éditions Grand Duc. Perspective, 1 cycle, manuel B, volume 1 (2006). Guay, S., Hamel. J.C. et Lemay, S. Éditions Grand Duc. INVITATION Nous vous invitons à aller sur notre site web : www.grms.qc.ca pour y consulter le document sur notre proposition des statuts et règlements révisés. Bonne lecture! 32 ENVOL no 158 — janvier-février-mars 2012 GRMS