IMN359 Chapitre 2 Nombres complexes Olivier Godin Université de Sherbrooke 13 septembre 2016 Nombres complexes 1 / 28 Plan du chapitre 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 2 / 28 Définition Définition 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 3 / 28 Définition Définition En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l’ensemble des nombres réels. Ils permettent entre autres de trouver des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. À titre d’exemple, aucun nombre réel ne vérifie l’équation x 2 + 1 = 0, mais on pourra lui trouver une solution dans l’ensemble des nombres complexes, noté C. Un nombre complexe z se présente en général sous forme cartésienne, c’est-à-dire √ sous la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels et i = −1 est l’unité imaginaire. Le nombre réel a est appelé partie réelle de z et est notée <(z), tandis que le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z et est notée =(z). Nombres complexes 4 / 28 Définition Définition À chaque nombre complexe z = a + bi ∈ C, nous pouvons associer le point P situé à la position (a, b) et le vecteur position OP que nous pouvons représenter dans le plan complexe, aussi appelé plan d’Argand. La partie réelle a est portée sur l’axe horizontal (axe réel) et la partie imaginaire b est portée sur l’axe vertical (axe imaginaire). Nombres complexes 5 / 28 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 6 / 28 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes On peut définir pour les nombres complexes plusieurs opérations qui sont similaires à celles qui s’appliquent sur les nombres réels. Soient z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i, des nombres complexes et k un nombre réel. On définit les opérations suivantes : 1 Égalité de deux nombres complexes : z1 = z2 si et seulement si a1 = a2 et b1 = b2 . 2 Addition de deux nombres complexes : z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i ∈ C. 3 Soustraction de deux nombres complexes : z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i ∈ C. 4 Multiplication d’un nombre complexe par un scalaire : kz1 = ka1 + kb1 i ∈ C. 5 Multiplication de deux nombres complexes : z1 z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + a2 b1 i + b1 b2 i 2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i Nombres complexes 7 / 28 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Une opération qui n’existait pas pour les nombres réels, mais qui prend un sens pour les nombres complexes est celle du conjugué d’un nombre complexe. Pour z = a + bi ∈ C, on définit son conjugué comme étant z̄ = a − bi. On définit aussi le module d’un nombre complexe z = a + bi ∈ C comme étant le √ 2 nombre réel ||z|| = a + b2 . Notons que ||z|| = ||z̄||. Nombres complexes 8 / 28 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Si z 6= 0, on a que z z̄ = ||z||2 = a2 + b2 . De cela, on tire que z z̄ = 1, ||z||2 ce qui nous amène à définie l’inverse multiplicatif de z, noté z −1 (ou z1 ) et donné par z −1 = z̄ ||z||2 . Ainsi, la division de z1 par z2 est donnée par z1 1 z¯2 (a1 a2 + b1 b2 ) + (a2 b1 − a1 b2 )i = z1 · = z1 · = . 2 z2 z2 a22 + b22 ||z2 || Nombres complexes 9 / 28 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Nombres complexes 10 / 28 Forme polaire d’un nombre complexe Forme polaire d’un nombre complexe 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 11 / 28 Forme polaire d’un nombre complexe Forme polaire d’un nombre complexe √ Soit z ∈ C et z 6= 0. Alors, on peut écrire z = a + bi avec ||z|| = a2 + b2 > 0. On a donc a b z = ||z|| + i ||z|| ||z|| a b de sorte que le couple ||z|| , ||z|| est sur le cercle trigonométrique. Ainsi, il existe θ ∈ R (déterminé à 2k π près) tel que cos θ = Nombres complexes a ||z|| et sin θ = b . ||z|| 12 / 28 Forme polaire d’un nombre complexe Forme polaire d’un nombre complexe On peut donc écrire tout nombre complexe sous forme polaire : z = ||z|| (cos θ + i sin θ) = r (cos θ + i sin θ), où r = ||z|| est le module de z et θ est l’argument de z Comme θ n’est pas uniquement déterminé, on pose Arg(z) comme étant l’unique argument de z dans l’intervalle ] − π, π]. On l’appelle l’argument principal de z. De manière générale, l’argument de z est noté arg(z) = Arg(z) + 2k π, avec k ∈ Z. Nombres complexes 13 / 28 Forme polaire d’un nombre complexe Forme polaire d’un nombre complexe Pour z = r (cos θ + i sin θ) 6= 0, on a que z̄ = r (cos θ − i sin θ) = r (cos(−θ) + i sin(−θ)). On trouve donc que arg(z̄) = −arg(z). Nombres complexes 14 / 28 Forme polaire d’un nombre complexe Forme polaire d’un nombre complexe Une des utilités de la forme polaire est de faciliter la multiplication et la division des nombres complexes. Ainsi, si z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ), alors on a z1 z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )) z1 r1 = (cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )) (si z2 6= 0) z2 r2 Nombres complexes 15 / 28 La notation d’Euler La notation d’Euler 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 16 / 28 La notation d’Euler La notation d’Euler En utilisant les séries de Taylor pour les fonctions sin θ et cos θ, nous pouvons écrire ∞ ∞ 2` X X θ2`+1 ` θ cos θ + i sin θ = (−1) (−1)` +i (2`)! (2` + 1)! `=0 = = ∞ X `=0 ∞ X `=0 i 2` i 2` `=0 = = X (2`)! θ2` (2`)! +i + θk ik + k! k ≥0 pair ∞ X (iθ)k k =0 Nombres complexes θ2` k! ∞ X i 2` `=0 ∞ X θ2`+1 (2` + 1)! i 2`+1 `=0 X k ≥0 impair θ2`+1 (2` + 1)! ik θk k! = eiθ 17 / 28 La notation d’Euler La notation d’Euler Ainsi, pour un nombre complexe z = r (cos θ + i sin θ), nous pouvons écrire z = reiθ qui est la notation d’Euler des nombres complexes. On a alors que z̄ = re−iθ De même, pour z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1 eiθ1 et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) = r2 eiθ2 , on a que z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) z1 r1 = ei(θ1 −θ2 ) (si z2 6= 0). z2 r2 De la notation d’Euler, nous obtenons aussi les résultats suivants : cos θ = 1 iθ e + e−iθ 2 Nombres complexes et sin θ = 1 iθ e − e−iθ . 2i 18 / 28 La notation d’Euler La notation d’Euler Finalement, on trouve que d iθ d e = (cos θ + i sin θ) dθ dθ = − sin θ + i cos θ = i (cos θ + i sin θ) = ieiθ et Z iθ Z e dθ = (cos θ + i sin θ) dθ = sin θ − i cos θ + C = −i (cos θ + i sin θ) + C 1 = −ieiθ + C = eiθ + C i Nombres complexes 19 / 28 Racines n-ièmes d’un nombre complexe Racines n-ièmes d’un nombre complexe 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 20 / 28 Racines n-ièmes d’un nombre complexe Racines n-ièmes d’un nombre complexe La puissance n-ième d’un nombre complexe z écrit sous la forme z = reiθ est donnée par n z n = reiθ = r n einθ . La racine n-ième d’un nombre complexe z est le nombre complexe w tel que w n = z. Si on écrit z = rei(θ+2k π) (avec k ∈ Z), on en déduit que w n = rei(θ+2k π) (avec k ∈ Z), et donc que 1 w = r n ei Nombres complexes θ+2k π n (avec k ∈ Z). 21 / 28 Racines n-ièmes d’un nombre complexe Racines n-ièmes d’un nombre complexe Il existe seument n valeurs distinctes possibles pour w et celles-ci sont 1 wk = r n ei θ+2k π n (avec k = 1, 2, 3, . . . , n − 1), car wk +n = wk (avec k ∈ Z). Les wk (avec k = 1, 2, 3, . . . , n − 1) sont les n racines de z. Ainsi, par exemple, les n racines de l’unité z = 1 sont wk = e i Nombres complexes 2π k n (avec k = 1, 2, 3, . . . , n − 1). 22 / 28 Cn et produit hermitien Cn et produit hermitien 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 23 / 28 Cn et produit hermitien Cn et produit hermitien Comme pour Rn , on définit l’espace vectoriel Cn sur C par Cn = {z = (z1 , . . . , zn )|zi ∈ C} avec les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire dans C données par z1 + z2 = (z11 , . . . , z1n ) + (z21 , . . . , z2n ) = (z11 + z21 , . . . , z1n + z2n ) λz = λ(z1 , . . . , zn ) = (λz1 , . . . , λzn ) Le produit hermitien (ou produit scalaire) sur Cn est défini par hz1 , z2 i = n X z1i z2i ∈ C. i=1 Nombres complexes 24 / 28 Cn et produit hermitien Cn et produit hermitien Ce produit hermitien possède les propriétés suivantes : 1 hz, zi ≥ 0 et hz, zi = 0 si et seulement si z = 0 ; 2 hλz1 , z2 i = λ hz1 , z2 i et hz1 , λz2 i = λ hz1 , z2 i ; 3 hz, z1 + z2 i = hz, z1 i + hz, z2 i ; 4 hz2 , z1 i = hz1 , z2 i Nous disons que deux éléments de Cn , z1 et z2 , sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si hz1 , z2 i = 0. On écrira alors z1 ⊥ z2 . Nombres complexes 25 / 28 Cn et produit hermitien Cn et produit hermitien La norme (ou longueur) d’un élément de Cn est définie par ||z|| = p hz, zi. De plus, notons que 1 ||z|| ≥ 0 et ||z|| = 0 si et seulement si z = 0 ; 2 ||λz|| = ||λ|| ||z|| 3 ||hz1 , z2 i|| ≤ ||z1 || ||z2 || (inégalité de Cauchy-Schwarz) 4 ||z1 + z2 || ≤ ||z1 || + ||z2 || 5 ||z1 + z2 ||2 ≤ ||z1 ||2 + ||z2 ||2 si hz1 , z2 i = 0 (théorème de Pythagore) Nombres complexes 26 / 28 Références Références 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d’un nombre complexe 4 La notation d’Euler 5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6 Cn et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 27 / 28 Références Références M. Descoteaux. Outils mathématiques du traitement d’images. Université de Sherbrooke, 2010. F. Dubeau. Outils mathématiques du traitement d’images. Université de Sherbrooke, 2006. Nombres complexes 28 / 28