Des problèmes

Problèmes
Exercice 1
Les dimensions d’une caisse sont 105 cm, 165 cm et 105 cm.
On veut réaliser des boîtes cubiques, les plus grandes possibles, qui permettent de
remplir entièrement la caisse.
Quelle doit être l’arête de ces boîtes et combien de telles boîtes peut-on placer dans la
caisse ?
Exercice 2
Laurent collectionne les cartes postales. « J’en ai plus que 200, mais quand même moins
de 300. », a-t-il déclaré à son ami Loïc. « Et si je les range par 2, il en reste une, si je les
range par 3, il en reste une, par 5, il en reste encore une, et par 7, il en reste toujours
une !! » a-t-il ajouté.
Combien de cartes postales possède Laurent ?
Indication : on peut nommer n le nombre cherché et considérer le nombre n – 1.
Exercice 3
Le commissaire Lefin, à la recherche de renseignements pour son enquête, interroge les
témoins : « Le premier numéro de la plaque minéralogique avait 4 chiffres ! » déclare le
premier témoin. « Ce numéro était formé de quatre chiffres consécutifs rangés dans
l’ordre croissant de gauche à droite ! » ajoute le deuxième témoin. « Le nombre était
divisible par 9. » précise le troisième. Quel est donc ce nombre ?
Exercice 4 Le digicode
Gaston a oublié le nouveau code qui lui permet de pénétrer dans son immeuble.
Heureusement, hier soir, sa fille Adeline lui a expliqué :
« C’est simple, le code forme un nombre de 4 chiffres. Il est divisible
par 5 et par 9, les deux chiffres du milieu sont identiques et … ». Mais Gaston ne
parvient pas à se souvenir du dernier indice donné par Adeline. Combien de codes au
plus Gaston doit-il faire pour être certain d’ouvrir la porte ?
Exercice 5
On dispose de deux sabliers : l’un se vide en 11 min et l’autre en 5 min.
Expliquer comment on peut utiliser ces deux sabliers pour faire cuire un œuf à la coque
(3 min de cuisson).
Indication : on pourra écrire quelques multiples de 11 et ceux de 5.
Exercices donnés au concours :
Exercice 6
Un nombre à trois chiffres a 4 pour chiffre des centaines. Ce nombre est 26 fois plus
grand que le nombre à 2 chiffres obtenu en enlevant le chiffre des centaines.
Trouver ce nombre.
Exercice 7
Déterminer le nombre entier N satisfaisant simultanément aux trois conditions cidessous :
 N est divisible par 6
 N n’est pas divisible par 8
 N a exactement 15 diviseurs
On rappelle que, si la décomposition d’un nombre en facteurs premiers est de la forme
AaBbCc …, alors le nombre de ses diviseurs est ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) …
Correction : arithmétiques
1. Les boîtes sont cubiques. La longueur d’une arête doit donc être diviseur commun à 105, 165
(et 105)
On veut que les boîtes soient les plus grandes possibles donc le diviseur commun cherché doit
être le plus grand, c’est donc le PGCD (105 ; 165)
PGCD (105 ; 165) = 15
On peut donc mettre des boîtes de 15cm d’arête.
Dans la longueur : 165 : 15 = 11
Dans la largeur : 105 : 15 = 7
Soit 11 x 7 x 7 = 539 boîtes
2. Soit n le nombre de cartes postales : 200 < n < 300 (1)
2 ; 3 ; 5 et 7 divisent n – 1 puisque si nous divisons n par ces nombres il reste toujours 1
Les nombres 2 ; 3 ; 5 et 7 sont premiers entre eux donc 2 x 3 x 5 x 7= 210 divise n-1
Donc n – 1 = 210 k ; k entier naturel
n = 210 k + 1
si k = 1 ; n = 211 et la condition (1) est vérifiée
si k = 2 ; n =421 et cela ne convient à (1)
donc n = 211
Le nombre de cartes postales est 211
3. abcd nombre de 4 chiffres
abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d
= a x 1000 + (a+1) x 100 + (a+2) x 10 + (a+3)
a + (a+1)+ (a+2) + (a+3)= 9k
4a = 9 k - 6
Si k = 1 ; 4a = 3
Si k = 2 ; a = 3
Les 4 chiffres sont consécutifs et rangés
dans l’ordre croissant : a, a+1, a+2, a+3
Le nombre est divisible par 9
cela ne convient pas car a est un entier naturel
le nombre est donc 3456
4. Le digicode a 4 chiffres. Il est divisible par 5 donc se termine par 0 ou 5.
Les deux chiffres du milieu sont identiques
On peut donc avoir :
000
005
110
115
220
225
330
335
440
445
550
555
660
665
770
775
880
885
990
995
Le Digicode est divisible par 9 donc la somme des chiffres de ce nombre est divisible par 9
Cela donne donc :
9000
5220
1440
6660
2880
9225
4005
0225
5445
1665
6885
0000
7110
3330
8550
4770
9990
2115
7335
3555
8775
4995
Soit 23 cas possibles
5. Cherchons les multiples de 5 : 5 – 10 – 15 – 20 – 25 – 30
Les multiples de 11 : 11 – 22 – 33
On retourne 3 fois le sablier qui se vide en 11 min (t2)
On retourne 6 fois le sablier qui se vide en 5 min (t1)
On met l’œuf au temps (t1) et on le retire au temps (t2)
6. Soit xyz un nombre de 3 chiffres.
D’après les indications 4 yz = 26 x yz
D’où 4 x 100 + y x 10 + z = 26 (y x 10 + z)
Donc 10 y + z = 16
y = 10 et z = 6
le nombre est 416
7. décomposition de N en nombres premiers : N  2 α x3 β x5 γ
N a 15 diviseurs donc 15 ( α  1)( β  1)( γ  1)...
Cherchons les facteurs de 15
15= 1 x 15 ou 15 = 3 x 5
Donc
α 1 1
β  1  15
α 0
β  14
et
α 1 3
β 1 5
α 2
β4
N est divisible par 6 donc par 2 e 3 donc N = 2 β x3 
si α  0 et β  14
N  2 0 x3 14
ou 2 β x3 α
impossible car 3 14 n' est pas divisible par 2
si on inverse cela ne convient pas non plus 2 14 n' est pas divisible par 3
si α  2 et β  4
ou
N  2 2 x3 4
N  2 4 x3 2
(impossibl e car N n' est pas divisible par 8
donc l' exposant de 2 vaut au plus 2 )
donc N  2 2 x3 4  324