Angles et triangles

Correction Angles : somme des angles d'un triangle
RAPPEL
Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être expliquées.
Exercice 1
B
32°
E
O
112°
H
38°
55°
36°
C
41°
R
180− ( 90+ 55 ) = 180− 145= 35
L'angle ̂
CRE mesure 35°.
101°
U
35°
L
180− ( 112+32 ) = 180− 144= 36
L'angle ̂
BLO mesure 36°.
Y
180− ( 38+ 41 ) = 180− 79 = 101
L'angle ̂
HUY mesure 101°.
Exercice 2
1. ABC est un triangle rectangle en A. L'angle de sommet B mesure 10°.
Comme le triangle ABC est rectangle en A, les angles de sommet B et de sommet C sont deux angles
complémentaires (leur somme vaut 90°).
Donc ̂
ACB = 90 ° − 10° = 80 ° .
Ainsi l'angle de sommet C mesure 80°.
2. DEF est un triangle rectangle isocèle en D.
Première méthode (encore faut-il connaître cette propriété)
Dans tous les triangles rectangles isocèles, les deux angles opposés au sommet principal mesurent 45°.
Donc l'angle de sommet E mesure 45°.
Deuxième méthode
Comme le triangle DEF est rectangle en D, les angles de sommet E et de sommet F sont
̂
complémentaires :
FED +̂
EFD = 90 ° .
De plus, comme le triangle DEF est isocèle en D, les angles de sommet E et de sommet F ont la même
̂
mesure :
FED =̂
EFD .
90
°
÷
2
= 45 ° .
Or
Donc l'angle de sommet E mesure 45°.
3. GHI est un triangle équilatéral.
Première méthode (encore faut-il connaître cette propriété)
Tous les angles des triangles équilatéraux mesurent 60°.
Donc l'angle de sommet G mesure 60°.
Deuxième méthode
Puisque GHI est un triangle équilatéral, ses trois angles ont la même mesure.
De plus, la somme des mesures des trois angles d'un triangle mesure toujours 180°.
Or 180 ° ÷ 3 =60 ° .
Donc l'angle de sommet G mesure 60°.
Exercice 3
Voici les informations correspondant à la figure cicontre :
•
RS = 6cm.
•
Le triangle RSM est équilatéral.
•
Le triangle SMT est rectangle en M.
•
Le triangle RST est rectangle en S.
Cette figure n'est pas en vraie grandeur.
R
M
T
S
RSM
2. Angle ̂
On sait que le triangle RSM est un triangle équilatéral.
Or tous les angles des triangles équilatéraux mesurent
60°.
̂
Donc l'angle RSM mesure 60°.
1. Figure en vraie grandeur et codage
T
M
̂
3. Angle MST
On sait que les angles ̂
RSM et ̂
MST sont adjacents.
̂
̂
̂
Donc MST = RST − RSM .
De plus, on sait que l'angle ̂
RST mesure 90° et l'angle
̂
mesure
60°.
RSM
Donc ̂
MST = 90° − 60° = 30° .
̂
On en déduit que l'angle MST mesure 30°.
R
S
Remarque :
les
codes
correspondent
informations données dans l'énoncé.
aux
 Le format pdf déforme les figures
Pour vérifier que ta figure est correcte, superpose
chaque angle et MESURE AVEC TA REGLE, les
segments de longueur 6cm.
STM
4. Angle ̂
Maintenant, on sait que dans le triangle MST, l'angle
̂
MST mesure 30° et que l'angle ̂
SMT mesure 90°.
Or la somme des trois angles d'un triangle vaut toujours
180°.
Donc ̂
STM = 180 °− 90 ° −30 ° =60 ° .
̂
On en déduit que l'angle STM mesure 60°.
5. Somme des mesures des angles du quadrilatère RSTM
La somme des mesures des quatre angles du quadrilatère RSTM correspond exactement à la somme des mesures
des angles des triangles RSM et MST.
Or la somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°.
Et 180 °+ 180 ° = 360° .
Donc la somme des quatre angles du quadrilatère RSTM vaut 360°.
Exercice 4 Est-ce possible ? Expliquer.
On sait que :
- pour le triangle ABC, la somme des mesures des trois
angles vaut obligatoirement 180°,
- pour le triangle ADC, la somme des mesures des trois
angles vaut obligatoirement 180°.
Ainsi la somme des quatre angles du quadrilatère ABCD
vaut obligatoirement 360° (180° + 180°).
Or ici, pour le quadrilatère ABCD :
74° + 123° + 93° + 72° = 362 ° .
Mais 362 °≠ 360 ° .
Cette figure est donc impossible !
B
A
74°
123°
93°
C
72°
D