Histoires de polyèdres - Institut de Mathématiques de Toulouse
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L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Histoires de polyèdres Jean-Marc Schlenker Institut de Mathématiques Université Toulouse III http://www.picard.ups-tlse.fr/schlenker 12 décembre 2005 Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Qu'est-ce qu'un polyèdre ? Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Qu'est-ce qu'un polyèdre ? Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Qu'est-ce qu'un polyèdre ? Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques. Certains polyèdres réguliers sont connus depuis toujours ( ?) : le tétraèdre (4 faces, 4 sommets), Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Qu'est-ce qu'un polyèdre ? Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques. Certains polyèdres réguliers sont connus depuis toujours ( ?) : le tétraèdre (4 faces, 4 sommets), le cube (6 faces, 8 sommets), Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Qu'est-ce qu'un polyèdre ? Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques. Certains polyèdres réguliers sont connus depuis toujours ( ?) : le tétraèdre (4 faces, 4 sommets), le cube (6 faces, 8 sommets), l'octaèdre (8 faces, 6 sommets).· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Pythagore et le dodécaèdre Pythagore (569-475 BC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Pythagore et le dodécaèdre Pythagore (569-475 BC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Pythagore et le dodécaèdre Pythagore (569-475 BC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales. On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets). Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Pythagore et le dodécaèdre Pythagore (569-475 BC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales. On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets). Le dodécaèdre a acquis pour les pythagoriciens une importance symbolique. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Pythagore et le dodécaèdre Pythagore (569-475 BC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales. On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets). Le dodécaèdre a acquis pour les pythagoriciens une importance symbolique. On en déduit un autre polyèdre régulier, l'icosaèdre (20 faces, 12 sommets).· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 BC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 BC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers. Le cube, avec la terre, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 BC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers. Le cube, avec la terre, le tétraèdre, avec le feu, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 BC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers. Le cube, avec la terre, le tétraèdre, avec le feu, l'octaèdre, avec l'air, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 BC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers. Le cube, avec la terre, le tétraèdre, avec le feu, l'octaèdre, avec l'air, l'icosaèdre, avec l'eau. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Platon est les polyèdres réguliers Les polyèdres inuence réguliers considérable ont dans eu une l'antiquité grecque. Pour Platon (427-347 BC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers. Le cube, avec la terre, le tétraèdre, avec le feu, l'octaèdre, avec l'air, l'icosaèdre, avec l'eau. Le dodécaèdre, lui, sert à l'arrangement nal de l'univers ( ? ?).· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Euclide et la première classication Euclide (325-265 BC) est le plus connu des mathématiciens antiques, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Euclide et la première classication Euclide (325-265 BC) est le plus connu des des mathématiciens Eléments, antiques, première auteur tentative de formalisation des mathématiques. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Euclide et la première classication Euclide (325-265 BC) est le plus connu des des mathématiciens Eléments, antiques, première auteur tentative de formalisation des mathématiques. Le résultat nal en est la classication des polyèdres réguliers : il n'y en a que 5. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Euclide et la première classication Euclide (325-265 BC) est le plus connu des des mathématiciens Eléments, antiques, première auteur tentative de formalisation des mathématiques. Le résultat nal en est la classication des polyèdres réguliers : il n'y en a que 5. C'est le premier résultat de classication de l'histoire.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Archimèdes Archimèdes (287-212 BC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Archimèdes Archimèdes (287-212 BC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers : Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Archimèdes Archimèdes (287-212 BC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers : les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques). Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Archimèdes Archimèdes (287-212 BC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers : les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques). Il les classie : il y a deux familles innies, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Archimèdes Archimèdes (287-212 BC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers : les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques). Il les classie : il y a deux familles innies, et 13 autres polyèdres.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Prismes et anti-prismes Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les 13 polyèdres semi-réguliers Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les 13 polyèdres semi-réguliers Malheureusement, le traité d'Archimèdes sur les polyèdres semi-régulier a été perdu.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), illustrée par Léonard de Vinci. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), illustrée par Léonard de Vinci. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), illustrée par Léonard de Vinci. Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdre, sous forme de dépliage. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), illustrée par Léonard de Vinci. Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdre, sous forme de dépliage. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les peintres et les polyèdres Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (14711528). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517), illustrée par Léonard de Vinci. Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdre, sous forme de dépliage. Les 13 polyèdres archimédiens sont ainsi redécouverts.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Képler et les polyèdres non convexes La classication d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (15711630). Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Képler et les polyèdres non convexes La classication d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (15711630). Képler achève d'abord la classication des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimèdes. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Képler et les polyèdres non convexes La classication d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (15711630). Képler achève d'abord la classication des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimèdes. Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Képler et les polyèdres non convexes La classication d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (15711630). Képler achève d'abord la classication des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimèdes. Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes, et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Képler et les polyèdres non convexes La classication d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (15711630). Képler achève d'abord la classication des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimèdes. Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes, et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes. Cette liste sera complétée par Poinsot (1777-1859), qui retrouve les deux polyèdres de Képler et en découvre deux autres. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Képler et les polyèdres non convexes La classication d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (15711630). Képler achève d'abord la classication des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimèdes. Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes, et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes. Cette liste sera complétée par Poinsot (1777-1859), qui retrouve les deux polyèdres de Képler et en découvre deux autres. La classication des polyèdres réguliers est achevée, deux millénaires après Euclide.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité La rigidité des polyèdres Une autre branche de la géométrie des polyèdres naît lorsque Legendre lit une (mauvaise) traduction des Eléments d'Euclide. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité La rigidité des polyèdres Une autre branche de la géométrie des polyèdres naît lorsque Legendre lit une (mauvaise) traduction des d'Euclide. Il découvre que deux polyèdres Eléments convexes dont les faces sont identiques sont euxmême identiques, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité La rigidité des polyèdres Une autre branche de la géométrie des polyèdres naît lorsque Legendre lit une (mauvaise) traduction des d'Euclide. Il découvre que deux polyèdres Eléments convexes dont les faces sont identiques sont euxmême identiques, mais la preuve n'est écrite que par Cauchy (1789-1857). Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité La rigidité des polyèdres Une autre branche de la géométrie des polyèdres naît lorsque Legendre lit une (mauvaise) traduction des d'Euclide. Il découvre que deux polyèdres Eléments convexes dont les faces sont identiques sont euxmême identiques, mais la preuve n'est écrite que par Cauchy (1789-1857). Sa preuve, incorrecte, sera d'ailleurs corrigée en 1816 et 1909. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité La rigidité des polyèdres Une autre branche de la géométrie des polyèdres naît lorsque Legendre lit une (mauvaise) traduction des d'Euclide. Il découvre que deux polyèdres Eléments convexes dont les faces sont identiques sont euxmême identiques, mais la preuve n'est écrite que par Cauchy (1789-1857). Sa preuve, incorrecte, sera d'ailleurs corrigée en 1816 et 1909. Une question naissait : est-ce vrai pour les polyèdres non convexes ? Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité La rigidité des polyèdres Une autre branche de la géométrie des polyèdres naît lorsque Legendre lit une (mauvaise) traduction des d'Euclide. Il découvre que deux polyèdres Eléments convexes dont les faces sont identiques sont euxmême identiques, mais la preuve n'est écrite que par Cauchy (1789-1857). Sa preuve, incorrecte, sera d'ailleurs corrigée en 1816 et 1909. Une question naissait : est-ce vrai pour les polyèdres non convexes ? Et peut-on déformer un polyèdre (non convexe) sans déformer ses faces ?· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les polyèdres exibles La réponse ne sera trouvée qu'en 1978, lorsque Robert Connelly montre qu'il existe des polyèdres exibles : on peut les déformer ! Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les polyèdres exibles La réponse ne sera trouvée qu'en 1978, lorsque Robert Connelly montre qu'il existe des polyèdres exibles : on peut les déformer ! On remarque alors que, pour les exemples qui sont construits, le volume intérieur semble constant lors des déformations. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les polyèdres exibles La réponse ne sera trouvée qu'en 1978, lorsque Robert Connelly montre qu'il existe des polyèdres exibles : on peut les déformer ! On remarque alors que, pour les exemples qui sont construits, le volume intérieur semble constant lors des déformations. D'où une nouvelle question : est-ce vrai pour tous les polyèdres exibles ? Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Les polyèdres exibles La réponse ne sera trouvée qu'en 1978, lorsque Robert Connelly montre qu'il existe des polyèdres exibles : on peut les déformer ! On remarque alors que, pour les exemples qui sont construits, le volume intérieur semble constant lors des déformations. D'où une nouvelle question : est-ce vrai pour tous les polyèdres exibles ? La réponse est trouvée en 1998 par Idjad Sabitov, en utilisant des méthodes non pas géométriques mais plutôt algébriques.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! On sait déplier tous les polyèdres usuels. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! On sait déplier tous les polyèdres usuels. Est-ce possible pour tous les polyèdres convexes ? Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! On sait déplier tous les polyèdres usuels. Est-ce possible pour tous les polyèdres convexes ? Une autre question concerne la rigidité des polyèdres convexes, mais par rapport aux angles entre les faces. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! On sait déplier tous les polyèdres usuels. Est-ce possible pour tous les polyèdres convexes ? Une autre question concerne la rigidité des polyèdres convexes, mais par rapport aux angles entre les faces. On connaît des déformations qui préservent ces angles : il sut de faire glisser une face. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! On sait déplier tous les polyèdres usuels. Est-ce possible pour tous les polyèdres convexes ? Une autre question concerne la rigidité des polyèdres convexes, mais par rapport aux angles entre les faces. On connaît des déformations qui préservent ces angles : il sut de faire glisser une face. Est-ce que ce sont les seules ? Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité Quelques questions ouvertes Il reste des questions élémentaires dont on ne connaît pas la réponse ! On sait déplier tous les polyèdres usuels. Est-ce possible pour tous les polyèdres convexes ? Une autre question concerne la rigidité des polyèdres convexes, mais par rapport aux angles entre les faces. On connaît des déformations qui préservent ces angles : il sut de faire glisser une face. Est-ce que ce sont les seules ? Ou bien : si une déformation préserve les angles entre les faces, est-ce qu'elle préserve les angles intérieurs aux faces ?· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité D'autres géométries On peut considérer des polyèdres dans d'autres espaces que l'espace Euclidien usuel : dans la sphère de dimension 3, Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité D'autres géométries On peut considérer des polyèdres dans d'autres espaces que l'espace Euclidien usuel : dans la sphère de dimension 3, ou dans l'espace hyperbolique. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité D'autres géométries On peut considérer des polyèdres dans d'autres espaces que l'espace Euclidien usuel : dans la sphère de dimension 3, ou dans l'espace hyperbolique. En recollant les faces de ces polyèdres on peut obtenir des espaces fermés. Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité D'autres géométries On peut considérer des polyèdres dans d'autres espaces que l'espace Euclidien usuel : dans la sphère de dimension 3, ou dans l'espace hyperbolique. En recollant les faces de ces polyèdres on peut obtenir des espaces fermés. Question : est-ce que l'un de ces espaces décrit notre univers ? Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres L'antiquité La renaissance Les débuts de l'époque moderne Les polyèdres exibles Questions d'actualité D'autres géométries On peut considérer des polyèdres dans d'autres espaces que l'espace Euclidien usuel : dans la sphère de dimension 3, ou dans l'espace hyperbolique. En recollant les faces de ces polyèdres on peut obtenir des espaces fermés. Question : est-ce que l'un de ces espaces décrit notre univers ? Réponse récemment proposée : oui, on l'obtient en recollant les faces d'un dodécaèdre.· Jean-Marc Schlenker Histoires de polyèdres
