Polynômes irréductibles de Fq.

Sandrine C ARUSO
Polynômes irréductibles de Fq .
Référence : Francinou-Gianella, Exercices pour l’agrégation, algèbre 1
Proposition. Soit Fq un corps fini de cardinal q. Pour tout n ∈ N∗ , il existe un polynôme
n
irréductible sur Fq de degré n. Le nombre de tel polynômes est équivalent à qn lorsque
n → ∞.
On note A(n, q) l’ensemble des polynômes irréductibles de degré n sur Fq , et I(n, q) =
Card A(n, q).
Soit d un diviseur de n et P un polynôme irréductible de degré d. Montrons que P
n
divise X q − X. Soit K = Fq [X]/(P ) un corps de rupture de P , et notons x la classe
d
de X dans K. Comme [K : P ] = deg P = d, K est isomorphe à Fqd et donc xq = x.
n
n
Par récurrence, on déduit du fait que d divise n que xq = x. Donc P divise X q − X.
n
Inversement, montrons que si P est un diviseur irréductible de X q − X, alors le
n
degré d de P divise n. Le polynôme X q − X est scindé sur Fqn , notons x une racine
de P dans Fqn , et K = Fq (x). Le corps K est un corps intermédiaire entre Fq et Fqn , et
[Fqn : Fq ] = [Fqn : K][K : Fq ]. Comme [Fqn : Fq ] = n et [K : Fq ] = d, on en déduit
que d divise n.
Ainsi,
Y Y
n
Xq − X =
P
d|n P ∈A(d,q)
et en prenant le degré de ce polynôme, on obtient
X
qn =
dI(d, q).
d|n
La formule d’inversion de Möbius donne alors
X n
qd.
nI(n, q) =
µ
d
d|n
Notons
X n
rn =
µ
qd
d
d|n
d<n
de sorte que nI(n, q) = q n + rn . On a la majoration
n
b2c
X
n
qb 2 c − 1
q =q
.
|rn | 6
q
−
1
d=1
d
n
D’une part, |rn | < q n , donc I(n, q) > 0, d’autre part, |rn | = O(q b 2 c ) = o(q n ) donc
I(n, q) ∼
1
qn
.
n
Lemme (Fonction de Möbius). Rappelons que la fonction de Möbius µ = N∗ →
{0, −1, 1} est définie par µ(n) = 0 si n a un facteur carré, et µ(p1 · · · pr ) = (−1)r
si p1 , . . . , pr sont des nombres premiers distincts1 . Elle vérifie les propriétés suivantes :
(i) µ est multiplicative, ie si P GCD(n, m) = 1 alors µ(nm) = µ(n)µ(m),
P
(ii) pour tout n > 1, d|n µ(d) = 0,
P
(iii) Formule d’inversion de Möbius : si g(n) = d|n f (d), alors
f (n) =
X
µ(d)g
n
d|n
d
=
X n
µ
g(d).
d
d|n
Démonstration. (i) Soient n, m ∈ N∗ tels que P GCD(n, m) = 1. Si n ou m a un facteur
carré, alors nm aussi et µ(nm) = µ(n)µ(m) = 0. Sinon, on décompose n et m en
facteurs carrés : n = p1 · · · pr et m = q1 · · · qs . Comme n et m sont premiers entre eux,
les pi et qi sont tous distincts, et nm est donc également sans facteurs carrés. On a alors
µ(nm) = (−1)r+s et µ(n)µ(m) = (−1)r (−1)s = (−1)r+s .
(ii) On décompose n en facteurs premiers : n = pα1 1 · · · pαr r . Alors
X
µ(d) =
r
X
X
µ(pi1 · · · pik ) =
k=0 i1 <···<ik
d|n
=
r X
k=0
r
X
X
(−1)k
k=0 i1 <···<ik
r
(−1)k = (1 − 1)r = 0
k
car r > 0. Notons que pour n = 1, cette somme est égale à µ(1) = 1.
(iii) On a
n X
X
X
f (d0 )
=
µ(d)
µ(d)g
d
d|n
d|n
d0 | n
d
X
X
X
=
µ(d)f (d0 ) =
f (d0 )
µ(d) = f (n).
dd0 |n
d0 |n
L’autre égalité s’obtient par changement de variable d ↔
1
Éventuellement, r = 0 si n = 1.
2
d| dn0
n
d
dans la somme.