Corrigé 14

Cours d’Algèbre I
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
18 février 2015
Corrigé 14
Exercice 1.
Soit G un groupe abélien fini. Soit p un facteur premier de #G.
(1) Montrer que G ' C × H, où C est un groupe cyclique d’ordre une puissance de p, et H un groupe quelconque.
(2) Montrer que C contient un élément d’ordre p.
(3) Montrer que G contient un élément d’ordre p.
Solution.
(1) Soient p1 , . . . , pr des premiers deux à deux distincts, et n1 , . . . , nr des
r
Y
entiers tels que #G =
pni i . Alors G est isomorphe à G1 × · · · × Gr avec
i
Gi un groupe de cardinal pni i .
Soit i tel que p = pi . D’après le théorème des groupes abéliens finis, Gi
est isomorphe à C1 × · · · × Cs avec C1 , . . . , Cs des groupes cycliques. En
particulier C1 est cyclique de cardinal une puissance de p (car #C1 divise
#Gi = pni i ).
Y
On pose C = C1 et H = C2 × . . . Cs ×
Gj . D’après ce qui précède,
j6=i
on a bien G ' C × H.
(2) Soit n > 0 tel que #C = pn . Soit x ∈ C un géneérateur de C. Comme x
est d’ordre pn , on constate que pn−1 x est d’ordre p.
(3) Soit ϕ : G −→ C × H l’isomorphisme construit en répondant à la question 1. Soit x ∈ C d’ordre p. Alors (x, 0H ) est d’ordre p. Il s’ensuit que
ϕ−1 (x, 0H ) ∈ G est d’ordre p.
Exercice 2.
Soient G un groupe fini, et H un sous-groupe de G. On note
X := {gHg −1 | g ∈ G}.
Exprimer le cardinal de X en fonction de G et de H.
Solution.
L’ensemble X est l’orbite de H pour l’action de G par conjugaison sur ses
sous-groupes. Le stabilisateur de H pour cette action est le normalisateur NG (H)
2
de H dans G. En particulier X est en bijection avec G/NG (H). Par suite on a
#X = [G : NG (H)].
Exercice 3.
Vérifier l’équation aux classes pour S4 (vous pouvez utiliser l’exercice 2 de la
série 10).
Solution.
D’après l’exercice 2 de la série 10, les orbites de l’action de S4 sur lui même
par conjugaison sont
• l’ensemble des 4-cycles ;
• l’ensemble des 3-cycles ;
• l’ensemble des transpositions ;
• l’ensemble { (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } ;
• l’ensemble {Id}.
Un système de représentants des orbites de l’action de S4 sur lui même par conjugaison est
{(1 2 3 4); (1 2 3); (1 2); (1 2)(3 4); Id}
Le stabilisateur
• de (1 2 3 4) est G(1 2 3 4) := h(1 2 3 4)i, qui est d’indice 6 dans S4 ;
• de (1 2 3) est G(1 2 3) := h(1 2 3)i qui est d’indice 8 dans S4 ;
• de (1 2) est G(1 2) := {id; (1 2); (3 4); (1 2)(3 4)}, qui est d’indice 6 dans
S4 ;
• de (1 2)(3 4) est
G(1 2)(3 4) := {id; (1 2); (3 4); (1 2)(3 4); (1 3)(2 4); (1 4)(2 3); (1 3 2 4); (1 4 2 3)} ,
qui est d’indice 3 dans S4 .
• de Id est S4 qui est d’indice 1 dans S4 .
D’après ces calculs, le centre de S4 est {Id}. On constate que l’on a bien
#S4 = 24
= 1 + (6 + 8 + 6 + 3)
= #Z(S4 ) + [S4 : G(1 2 3 4) ] + [S4 : G(1 2 3) ] + [S4 : G(1 2) ] + [S4 : G(1 2)(3 4) ].
Exercice 4.
(1) Soient G un groupe fini, et p un facteur premier de #G. Soit x ∈ G
d’ordre p. Montrer que le cardinal de la classe de conjugaison de x di.
vise #G
p
(2) Montrer l’existence dans D14 d’une classe de conjugaison de cardinal 7.
(3) Pour tout entier n > 0, donner le nombre de classes de conjugaison dans
D14 d’ordre n.
Solution.
3
(1) Le stabilisateur CG (x) de x pour l’action de G sur lui-même par conjugaison contient hxi. Comme le sous-groupe hxi est d’ordre p, on sait que
CG (x) est d’ordre divisible par p. Par suite l’indice [G : CG (x)] = #C#G
G (x)
#G
divise p . Pour conclure il suffit de remarquer que la classe de conjugaison
de x est de cardinal [G : CG (x)].
(2) On sait que D14 = hR, Si avec R d’ordre 7 et S d’ordre 2 tels que SRS =
R−1 . Comme RSR−1 = SR−2 6= 1D14 , on constate que la classe de conjugaison de S est de cardinal au moins 2. Or, d’après la question précédente,
le cardinal de la classe de conjugaison de S divise (#D14 )/2 = 7, donc la
classe de conjugaison de S est de cardinal exactement 7.
(3) Les classes de conjugaison sont les orbites pour l’action de D14 sur luimême par conjugaison. Par suite, leurs cardinaux divisent #D14 = 14.
Comme ces orbites forment une partition de D14 , et comme {Id} est une
classe de conjugaison, les classes de conjugaison de D14 sont de cardinal
1, 2 ou 7, et on a au plus une classe de conjugaison d’ordre 7. D’après
la question précédente, D14 a exactement une classe de conjugaison de
cardinal 7.
D’après la question 5 de l’exercice 2 de la série 13, on sait que Z(D14 ) =
{Id}. Le groupe D14 a exactement une classe de conjugaison de cardinal 1.
Il reste à déterminer le nombre k2 de classes de conjugaisons de cardinal
2 de D14 . Pour celà on utilise une nouvelle fois le fait que les classes de
conjugaison de D14 forment une partition de D14 : on a 14 = 1 + 7 + 2k2 ,
d’où k2 = 3.
Exercice 5.
Soient p, q deux nombres premiers distincts, et G un groupe d’ordre pq. En
utilisant l’équation aux classes, montrer l’existence d’un élément d’ordre p dans G.
Solution.
Le cas où G est abélien a été traité dans l’exercice 1. Supposons G non commutatif. D’après l’équation aux classes, il existe g1 , . . . , gr ∈
/ Z(G) tels que
r
X
#G = #Z(G) +
[G : CG (gi )]
i=1
La classe de conjugaison de gi est de cardinal au moins 2. Le cardinal de la classe
de conjugaison de gi est [G : CG (gi )]. Par conséquent CG (gi ) est un sous-groupe
stricte de G. Comme #G = pq, on a #CG (gi ) = 1 ou p ou q. Si #CG (gi ) = p
pour un certain indice i, alors CG (gi ) est isomorphe à Z/pZ. Dans ce cas CG (gi )
a un élément d’ordre p, et on a donc terminé.
Supposons #CG (gi ) = 1 ou q pour tout i = 1, . . . , r. Alors p divise [G : CG (g)].
Ainsi l’équation aux classes montre que p divise #Z(G). D’après l’exercice 1,
comme Z(G) est abélien, Z(G) a un élément d’ordre p.