corrigé - Université de La Réunion

Université de la Réunion
Faculté des Sciences et Technologies
Décembre 2016
L3 – Licence d’informatique – Logiques et algorithmes – CC2 – corrigé
Durée : 90 minutes – sans document ni moyen électronique
Exercice 1 : (5 •)
Dans chacun des cas suivants, déterminez si la formule A est ou n’est pas conséquence logique de la conjonction des
formules A1 et A2 . Justifiez précisément votre réponse.
A : ∀x (r(x) → p(x)) ; A1 : ∀x (p(x) → (q(x) ∨ r(x))) ; A2 : ∀y (q(y) → r(y)).
Non, A n’est pas une conséquence logique de A1 et A2 .
Justification : je considère une interprétation I de domaine {a}. Je définis les interprétations des relations unaires
p, q et r comme suit :
— la formule p(a) est fausse, i.e., I(p(a)) =faux ;
— la formule q(a) est fausse, i.e., I(q(a)) =faux ;
— la formule r(a) est vraie, i.e., I(r(a)) =vrai
Je constate que I valide A1 et A2 . Je considère à présent A, que j’instancie en prenant a pour valeur de x. J’obtiens
r(a) → p(a) qui est une formule fausse.
Conclusion : il existe une interprétation I qui valide A1 et A2 et invalide A. C’est précisément la définition de :
A n’est pas une conséquence logique de A1 et A2 .
A : ∀x (p(x) → r(x)) ; A1 : ∀x (p(x) → (q(x) ∨ r(x))) ; A2 : ∀x (q(x) → r(x)).
Oui, A est une conséquence logique de A1 et A2 .
Justification : je considère une interprétation I de domaine non-vide validant A1 et A2 et je vais montrer que
I valide A. Je prends un élément e quelconque du domaine. Si la formule p(e) est fausse, alors p(e) → r(e) est vraie.
Si la formule p(e) est vraie, alors d’après A1 , on a q(e) ∨ r(e) vraie. Si r(e) est vraie, alors p(e) → r(e) aussi. Si q(e)
est vraie, alors en instanciant A2 en q(e) → r(e), j’obtiens r(e) vraie. Donc pour une interpretation quelconque I
validant A1 et A2 et un élément e quelconque de son domaine, p(e) → r(e) est vraie, i.e., A : ∀x (p(x) → r(x)) est
vraie.
Conclusion : pour toute interpretation quelconque I validant A1 et A2 , A est vraie. C’est précisément la définition
de : A est une conséquence logique de A1 et A2 .
Exercice 2 : (5 •) On se place dans le cadre de la logique propositionnelle. Pour chaque séquent ci-dessous,
déterminez informellement s’il est valide ou pas. Si vous pensez qu’il est valide, proposez une déduction naturelle
au format Fitch. Si vous pensez qu’il n’est pas valide, proposez un contre-exemple.
p → q, q → r ` p → r
Valide.
Voici une déduction naturelle au format Fitch de ce séquent :
1
2
3
4
5
6
|
(P > Q)
|_ (Q > R)
| |_ P
| |
Q
| |
R
|
(P > R)
Premise
Premise
Assumption
1,3 >E
2,4 >E
3-5 >I
p → r, q → r ` p ↔ q
Non valide.
Contre-exemple : voici une interprétation I qui valide les prémisses du séquent et invalide sa conclusion :
— I(p) = faux ;
— I(q) = vrai ;
— I(r) = vrai.
Exercice 3 : (5 •) On considère le raisonnement suivant, justifiant le principe du tiers exclu p ∨ ¬p :
Supposons la négation de ce principe. Supposons de plus p. Alors on a p ∨ ¬p, contradiction avec notre première
hypothèse. Donc on a ¬p et a fortiori p ∨ ¬p. De nouveau nous obtenons une contradiction, d’où la conclusion.
Reformulez soigneusement cette preuve au format Fitch.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|_ ~(P v ~P)
| |_ P
| |
(P v ~P)
| |
#
|
~P
|
(P v ~P)
|
#
~~(P v ~P)
(P v ~P)
Assumption
Assumption
2 vI
1,3 #I
2-4 ~I
5 vI
1,6 #I
1-7 ~I
8 ~E
Exercice 4 : (5 •) Pour chaque séquent ci-dessous, déterminez informellement s’il est valide ou pas. Si vous pensez
qu’il est valide, proposez une déduction naturelle au format Fitch. Si vous pensez qu’il n’est pas valide, proposez
un contre-exemple.
∀x p(x) ` ∃x p(x)
Valide.
Voici une déduction naturelle au format Fitch de ce séquent :
1
2
3
|_
|
|
(Ax)Px
Pa
(Ex)Px
Premise
1 AE
2 EI
∃x p(x) ` ∀x p(x)
Non valide.
Contre-exemple : je considère l’interprétation I définie sur le domaine {a, b} et telle que I(p(a)) = vrai et I(p(b)) =
faux. Je constate que cette interprétation valide ∃x p(x) et invalide ∀x p(x).