I Informatique II Trigonométrie III Étude d`une fonction IV Résolution

DS no2
BCPST 851
NB :
Marge à droite svp !
Les calculatrices sont interdites
L'exercice d'informatique est
Le 8 novembre 2010, 8h15-11h45
à faire sur feuille séparée et à rendre au bout
de 45 minutes
I
Informatique
1. (échauement)
P Écrire une fonction somme_puissances5 prenant en argument un entier n et retournant
la valeur de nk=0 k5 .
2.
Un nombre parfait est un nombre naturel n non nul qui est égal à la somme de ses diviseurs
stricts, autrement dit, tel que σ(n) = n où σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de
n, n non compris.
Le premier nombre parfait est 6, car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 =
6.
Wikipédia, article Nombre parfait.
On rappelle que la fonction scilab modulo prend deux arguments et retourne le reste de la division
euclidienne du premier par le deuxième.
Écrire une fonction scilab somme_diviseurs prenant en argument un entier naturel n et calculant la
somme des diviseurs stricts de n.
3. Écrire une fonction scilab parfaits prenant en argument un entier n et achant tous les nombres
parfaits compris entre 1 et n.
II
Trigonométrie
√
Résoudre l'équation d'inconnue réelle x :
III
3 sin(5x) = cos(12x) − cos(2x)
Étude d'une fonction
On dénit la fonction f par
f (x) = ln
ex + e−x
2
1. Préciser l'ensemble de dénition de f et montrer qu'elle est paire.
2. Faire une étude complète de f , sans oublier les branches innies.
3. On note g la restriction de f à R+ . Montrer que g réalise une bijection de R+ dans R+ et préciser g −1 .
NB : on s'interdit ici d'utiliser les résultats sur les bijections continues.
4. Tracer les graphes de f et g −1 (sur le même graphe, unité 2cm). On a ln 2 ≈ 0, 693.
IV
Résolution des équations de degré 3
On considère l'équation suivante dans C :
(E)
z 3 + pz + q = 0
où p et q sont des réels avec p 6= 0.
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A
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Le 8 novembre 2010, 8h15-11h45
Étude
On suppose ici qu'il existe une solution complexe z0 de (E) que l'on ne cherchera pas à calculer.
(
1. Montrer : ∃(u, v) ∈ C2 ,
u + v = z0
p . On ne cherchera pas non plus à calculer u et v .
uv = −
3
2. Montrer alors que u3 et v 3 sont les racines de l'équation
Z 2 + qZ −
(∗)
B
p3
=0
27
Résolution
On reprend l'équation (E) et on cherche les solutions. (aucune solution n'est donc ici supposée connue).
On considère donc l'équation :
Z 2 + qZ −
(∗)
p3
=0
27
On notera U et V ses racines complexes.
1. Calculer U V . Montrer : U 6= 0 et V 6= 0.
2. Montrer que l'équation u3 = U
admet
trois solutions distinctes u1 , u2 , u3 et exprimer par exemple u2 , u3
en fonction de u1 et j = exp
2iπ
.
3
p
3. Soit v1 le complexe vériant u1 v1 = − .
3
Justier son existence et montrer : v13 = V .
Donner toutes les autres solutions de l'équation v 3 = V en fonction de v1 .

 z1 = u1 + v1
z2 = u1 j 2 + v1 j
4. On pose

z3 = u1 j + v1 j 2
Montrer que z1 , z2 , z3 sont solutions de (E).
5. Montrer que réciproquement si z0 est une racine de (E) alors z0 est l'une des trois valeurs z1 , z2 ou z3 .
C
Exemple
Résoudre z 3 − 3z + 1 = 0.
On exprimera les solutions à l'aide de cos.
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