03 Trigo
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CH III Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle ! 1. Activité : Découverte des trois rapports trigonométriques • Voici deux triangles qui ont les mêmes angles. ! ! ! ! • On peut donc mettre le plus petit à l'intérieur du plus grand. Je les appelle ABC et AB C C ! ! C ! ! ! A B B ! ! 1 1. 1 1 • Je vois que (BC) // (B1C1). C'est une certitude en utilisant le théorème suivant : SI deux droites sont toutes deux perpendiculaires à une même troisième droite LORS elles sont parallèles. ! • Toutes les conditions sont requises pour utiliser le théorème de Thalès : Les deux triangles ont leurs longueurs de côté proportionnelles. ! • Donc : ! ! AB AC =! AB 1 AC 1 =! ! côté adjacent à A hypoténuse ! = ! cosA ou ! hypoténuse x ! cosA = côté adjacent Le cosinus est le multiplicateur qui permet de passer de l'hypoténuse au côté adjacent. C'est un nombre inférieur à 1. ! ! BC AC = ! B 1C 1 AC =! ! côté opposé à A hypoténuse ! = ! sinA ou ! hypoténuse x ! sinA = côté opposé Le sinus est le multiplicateur qui permet de passer de l'hypoténuse au côté opposé. C'est un nombre inférieur à 1. ! ! BC AB = ! B 1C 1 AC 1 ! côté opposé à A ! =! = ! tanA ! côté adjacent à A ou ! côté adjacent x ! tanA = côté opposé La tangente est le multiplicateur qui permet de passer du côté adjacent au côté opposé. C'est un nombre qui peut être inférieur, ou égal, ou supérieur à 1 2. Reconnaître les côtés dans un triangle quelconque. ! A) Repérer les côtés par rapport à l’angle aigu choisi ! B B ! ! ! côté opposé à hypoténuse côté adjacent ! ! A ■ côté adjacent à ! ■ côté opposé à C C ! hypoténuse A B) Les formules Cosinus, sinus et tan sont des coefficients de proportionnalité : ! A hypoténuse ! hypoténuse ! côté adjacent ! x ∧ cos A : ∧ cos A x ∧ sin A : ∧ sin A x ∧ tan A ∧ : tan A côté adjacent côté opposé côté opposé C) Pour trouver les angles ! côté adjacent à A ! ! cosA = ! hypoténuse Pour mémoriser : ! ! / ! côté opposé à A ! ! sinA = ! hypoténuse SOH ! ! CAH ! TOA sin cos tan ! côté opposé à A ! / ! tanA = ! ! côté adjacent à A 3. Savoir calculer un côté. A) On connaît 2 côtés du triangle Le triangle EFG est rectangle en E. Appliquons le théorème de Pythagore GF2 = EG2 + EF2 5,42 = EG2 + 52 29,16 = EG2 + 25 EG2 = 29,16 – 25 EG = ! 4,16 (cm) EG ≈ 2,0 (cm) ! B) On connaît un côté et un angle ! 5 cm E F 5,4 cm valeur exacte arrondi au dixième G Exemple 1 Le triangle RST est rectangle en S. Utilisons la trigonométrie. ! • Je cherche RS : côté adjacent à l'angle ! R . Je connais l'hypoténuse RT. ! RS = RT x cos ! R 5,2 cm ! RS = 5,2 x cos 28° RS ≈ 4,6 (cm) ! • Je cherche TS : côté opposé à l'angle ! R . Je connais 28° R T ? ? S l'hypoténuse RT. ! TS = RT x sin ! R ! TS = 5,2 x sin 28° TS ≈ 2,4 (cm) Exemple 2 Le triangle ABC est rectangle en B. Utilisons la trigonométrie. • Je cherche AC : l'hypoténuse. Je connais le côté adjacent AB. AC = ! AB ! cos A AC = ! ! ! C 5 cos32° AC ≈ 5,9 (cm) 32° A • Je cherche BC : le côté opposé. Je connais le côté adjacent AB. ! BC = AB x tan ! A BC = 5 x tan 32 BC ≈ 3,1 (cm) 5 cm B 4. Savoir calculer un angle dans un triangle rectangle. A) On connaît l’autre angle aigu Le triangle RTS rectangle en R. Propriété : Les angles aigus ! R̂ et ! T̂ sont complémentaires. T ? ! T̂ = 90 – ! R̂ ! T̂ = 90° – 28° ! T̂ = 62° ! B) On connaît deux côtés R 28° Exemple 1 Le triangle EGF est rectangle en E. Utilisons la trigonométrie. Je connais [EF] : c'est le côté opposé. Je connais [EG] : c'est le côté adjacent. ! ! ! EF tan ! G = ! EG 5 tan ! Ĝ = ! 3 5 ! Ĝ = tan–1 ( ! ) 3 ! Ĝ ≈ 59° F 3 cm G on utilise la touche tan–1 pour trouver l'angle. Exemple 2 ! EF sin ! G = ! EG ! 5 sin ! G = ! 5, 4 ! Ĝ = sin–1 ( ! ! ! ! 5 cm E ? Le triangle EGF est rectangle en E. Utilisons la trigonométrie. Je connais [EF] : c'est le côté opposé. Je connais [FG] : c'est l'hypoténuse. ! S ! Ĝ ≈ 68° 5 5, 4 5 cm E ? 5,4 cm G ) on utilise la touche sin–1 pour trouver l'angle. F 5. Trouver une démarche pour aboutir à un résultat ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Un propriétaire a un chien attaché au piquet planté en C. La longueur initiale CI de la laisse permet au chien d'atteindre le début du portail, au point I lorsque la laisse est tendue. Pour une meilleure surveillance de l'entrée, le propriétaire aimerait que son chien puisse atteindre le portail à l'autre bout soit au point E. De quelle longueur minimale le propriétaire doit-il rallonger la laisse de son chien ? Démarche L'augmentation est égale à EC – IC • On calcule IC (dans le triangle rectangle IHC) • On calcule EC (dans le triangle rectangle EHC) — On calcule d'abord HC pour avoir une 2ème mesure dans le triangle EHC — On calcule EC • On calcule de combien on rallonge la laisse. ! Rédaction Etape 1 : Je calcule IC Le triangle IHC est rectangle en H. On cherche IC, l'hypoténuse et on connaît IH, le côté opposé à l'angle de 40°. IC =! IH ! sin C IC = ! ! 6 sin 40° IC ≈ 9,3 (m) Etape 2 : Je calcule HC Je cherche HC qui est le côté adjacent à l'angle de 40°. Je connais le côté opposé IH. HC = ! HC = ! ! IH ! tan C 6 tan 40° HC ≈ 7,2 (m) Etape 3 : Je calcule IC. Le triangle CEH est rectangle en H. Je cherche EC qui est l'hypoténuse. Je connais les deux autres côtés EH et CH. Selon le théorème de Pythagore : EC2 = EH2 + HC2 EC2 = (3 + 6)2 + (! 6 tan 40° )2 EC2 = 81 + (! ! 6 tan 40° )2 EC ≈ ! ! 132,13 EC ≈ 11,5 (m) Etape 4 : Je termine EC – EI ≈ 11,5 – 9,3 ≈ 2,2 (m) Conclusion : Le propriétaire doit rallonger la laisse de 2,2 m environ.
