Corrigé

Licence informatique S4
Maths pour l’Info
Examen partiel du 14 mars 2016
Corrigé
Durée 2h
Problème I. Notions de base. 6 pts
1) 1 pt Enoncer le théorème de division euclidienne dans Z. Utiliser l’algorithme
d’Euclide pour calculer le pgcd de 5435 et 16. Que vaut le pgcd de -5435 et 16?
Enoncé :soit n ∈ Z et m ∈ Z 6= 0, il existe un unique couple de nombres (q, r) tel
que n = qm + r et 0 ≤ r < |m|.
Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand diviseurs de a et b. C’est donc
un nombre positif. Il est obtenu par l’algorithme d’Euclide.
5435 = 16 × 339 + 11
−5435 = 16 × (−340) + 5
16 = 11 × 1 + 5
16 = 5 × 3 + 1
11 = 5 × 2 + 1
Le PGCD de 5435 et 16 est égal à 1 : ils sont premiers entre eux. Donc le PGCD
de - 5435 et 16 est égal aussi égal à 1.
2) 1 pt Donner la relation entre le pgcd et le ppcm de deux entiers relatifs. En
déduire le ppcm de -5435 et 16.
(a ∨ b) (a ∧ b) = |ab|
ce qui implique que le ppcm de dat est égal à 5435 × 16.
3) 1 pt Quel est le premier chiffre dans l’écriture hexadécimale (en base 16) de
5435 ?
16
L’écriture hexadécimale de 5435 est a0 a1 a2 . . . ak , avec
5435 = a0 + a1 (16) + a2 (16)2 + . . . ak (16)k
ak est le pgcd de 5435 et 16, il est donc égal à 1.
4) 1 pt Utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer l’écriture hexadécimale de
5435.
5435
339
21
1
=
=
=
=
16 × (339) + 11
16 × 21 + 3
16 × 1 + 5
16 × 0 + 1
5435 = 11 + 3(16) + 5(16)2 + 1(16)3
Le résultat est 153B où B désigne 11.
5) 1 pt Enoncer le théorème de décomposition en facteurs premiers.
Énoncé : Soit n ∈ Z un nombre entier relatif, alors il existe un ensemble fini unique
de nombres premiers p1 < ... < pn et un ensemble unique de nombres entiers strictement positifs α1 , ..., αn tels que n = εpα1 1 ....pαnn , où ε = ±1.
Pour N entiers p1 , · · · , pN > 1 et N entiers α1 , · · · , αN > 0, déterminer le nombre
de diviseurs de p = pα1 1 pα2 2 · pαNN .
Q
τ= N
j=1 (αj + 1). Dans le cas N = 2 les représenter sur un diagramme de Hasse.
6) 1 pt Décomposer en facteurs premiers 900 et 16. Déterminer leur pgcd et le
ppcm.
900 = 22 × 32 × 52 ,
16 = 24 ,
900 ∧ 16 = 22 ,
900 ∨ 16 = 24 × 32 × 52 .
Problème II. Equations en nombres entiers. 5 pts
1) 1 pt Soit l’équation ax + by = c. Résumer l’étude générale : existence, nombre
de solutions, comment les obtenir.
Énoncé : Soit d = a ∧ b. Si c n’est pas multiple de d, il n’y a pas de solution
entière. Si c est multiple de d, les solutions de ax + by = c sont de la forme
(uc − bk)/d, (vc + ak)/d) où au + bv = d et k parcourt Z.
Etudier ensuite les équations suivantes en suivant ce protocole.
2) 2 pts 5435x + 16y = 5.
Puisque 5435 et 16sont premiers entre eux, on cherche u et v tels que 5435u+16v = 1
(Bezout), soit u = 3 et v = −1019, puis (x, y) = (5u − 16 k, 5v + 5435 k)
3) 2 pts 17x − 40y = 1.
Ici c’est plus simple, de même 17 et −40 sont premiers entre eux, on trouve (u, v) =
(−7, −3) et (x, y) = (−7, −3) + k(40, 17).
Problème III. Autour du théorème d’Euclide. 6 pts
1) 1 pt Enoncer le théorème d’Euclide.
Énoncé : Il existe une infinité de nombres premiers.
2) 2 pts Légère variation sur la preuve du cours.
a) Soit n un entier ≥ 3. Montrer que n!−1 a un diviseur p premier. Ceci provient
du lemme du cours : tout entier > 1 est divisible par un nombre premier.
b) Montrer par l’absurde que p > n.
Supposons que p ≤ n. Alors p divise n!, ce qui est impossible car il divise
n! − 1.
c) En déduire que pour tout entier n ≥ 3, il existe un entier p premier tel que
n < p < n!.
d) Conclure. On finit comme dans la démonstration du cours.
3) 3 pts On veut montrer que l’ensemble X des entiers premiers de la forme
4n + 3 est infini. On procède par l’absurde et on suppose que X est fini : X =
{p1 , p2 · · · pN }.
(a) Montrer que le produit de nombres entiers de la forme 4n + 1 est de la forme
4n + 1.
On procède par récurrence sur le nombre de facteurs, il suffit donc de voir que
c’est vrai pour deux facteurs
(4n + 1) × (4m + 1) = 4(4mn + m + n) + 1.
(b) Montrer que le nombre M = 4p1 p2 · · · pN − 1 est de la forme 4n + 3.
Encore par récurrence sur le nombre de facteurs.
Initialisation 4(4n + 3) − 1 = 4(4n + 2) + 3
4p1 p2 · · · pN −1 = (4p1 p2 · · · pN −1 − 1) pN + pN − 1 = 4(4mn+3m+3n+2)+3
{z
} |{z} | {z }
|
4n+3
4m+3
4m0 +2
(c) Montrer par l’absurde grâce au (a) qu’il existe un diviseur premier de M de la
forme 4n + 3. Puisque tout nombre entier non nul admet un diviseur premier,
M admet un diviseur premier. Il ne peut être pair puisque M est impair. Donc
tout diviseur premier de M est impair, donc de la forme 4n + 1 ou 4n + 3.
Supposons qu’il n’ait aucun diviseur premier de la forme 4n + 3. Donc tous
ses diviseurs premiers sont de la forme 4n + 1. Par (a) M est donc de la forme
4n + 1, ce qui contredit le fait que M est de la forme 4n + 3.
(d) Conclure. On conclut comme dans le cours : aucun des pj ne peut diviser M ,
on a donc créé un nouvel élément dans X.