Introduction à la logique élémentaire I. Propositions

Gaudino, casier 5
version 1.2
Introduction à la logique élémentaire
P.C.S.I. 834
I.
Lycée Masséna
Propositions
proposition : toute phrase mathématique (vraie ou fausse). Lorsqu’elle dépend d’une variable,
on y fait référence. Par exemple P (x) : x2 = 1 ou P (x, y) : x2 + y 2 = 1.
négation :
et :
(nonP ). On la prouve en montrant que P est fausse.
(P et Q). On la prouve en montrant que les deux sont vraies.
ou : (P ou Q). On la prouve en montrant qu’au moins une des deux est vraie.
On peut aussi supposer que (par exemple) P est fausse, et montrer alors que Q est obligatoirement
vraie.
Attention, c’est un ou inclusif : les deux peuvent être vraies en même temps.
lois de De Morgan :
h
h
i
La proposition non P et Q
i
La proposition non P ou Q
est logiquement équivalente à
est logiquement équivalente à
h
h
i
nonP et nonQ .
preuve par l’absurde : Pour prouver que P est vraie, on suppose que P est fausse, et on aboutit
à une contradiction.
Exemple d’utilisation : pour prouver qu’un ensemble est vide, on suppose qu’il ne l’est pas, on
considère un élément de cet ensemble, et on cherche une contradiction.
h
i
implication : P ⇒ Q : logiquement équivalente à nonP ou Q . Pour la prouver, on suppose
P vraie, et on montre que Q est alors vraie.
Sa négation est (P et nonQ), ce qui peut servir par exemple pour prouver l’implication par l’absurde :
on suppose que P est vraie et Q est fausse, et on trouve une contradiction.
réciproque : La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P . Attention, il est très fréquent qu’une assertion
soit vraie et sa réciproque fausse !
contraposée : Les assertions P ⇒ Q et nonQ ⇒ nonP sont logiquement équivalentes (la
deuxième est appelée contraposée de la première). Ne pas confondre avec la réciproque, la négation
ou avec la preuve par l’absurde !
Pour prouver P ⇒ Q, on peut donc supposer Q fausse, et prouver que P est alors fausse.
équivalence : P ⇔ Q : logiquement équivalente à P ⇒ Q et Q ⇒ P . On peut la prouver
d’un seul coup (raisonnement par équivalences) ou, dans les cas plus difficiles, en séparant les deux
implications.
quantificateur ∀ : ∀x ∈ E, P (x). Pour la prouver, on écrit Soit x élément de E quelconque fixé.
et on conclut par Ceci pour tout x de E d’où le résultat. Cette phrase ∀x ∈ E, P (x) est en fait un abrégé de ∀x, x ∈ E ⇒ P (x) . On retrouve la règle
générale pour une implication. Soit x fixé. On suppose x ∈ E vrai (i.e. on fixe x élément de E) et
on prouve que P (x) est vraie.
1
i
nonP ou nonQ .
quantificateur ∃ : ∃x ∈ E, P (x). Pour la prouver, on peut :
– cas simple : deviner le x qui vérifie que P (x) est vraie. On écrit alors Considérons x = (celui qu’on
a deviné). et prouver que P (x) est vraie (pour ce x particulier).
– cas difficile : on ne devine pas un x qui convient. On fait alors un raisonnement par analyse-synthèse.
h
h
i
La proposition non ∃x ∈ E, P (x) est logiquement équivalente
négation des quantificateurs :
i
à ∀x ∈ E, nonP (x) : P n’est jamais vérifiée
h
i
La proposition non ∀x ∈ E, P (x) est logiquement équivalente à ∃x ∈ E, nonP (x) : P n’est pas
toujours vérifiée (mais elle peut l’être pour certaines valeurs particulières). On nie donc une assertion
du type ∀x . . . en cherchant un contre-exemple.
quantificateurs ∃! : ∃!x ∈ E, P (x) signifie : il existe un unique x ∈ E qui vérifie P (x). On
peut :
– si l’existence est déjà acquise, et pour ne prouver que l’unicité : supposer qu’il existe deux éléments
x et y qui vérifient la propriété, et prouver que x = y ;
– si l’existence est déjà acquise, et pour ne prouver que l’unicité : supposer qu’il existe deux éléments
x et y distincts qui vérifient la propriété, et aboutir à une contradiction ;
– dans le cas d’une preuve de l’existence par analyse-synthèse : l’analyse prouve souvent l’unicité.
II.
Ensembles
appartenance et inclusion : Un élément x d’un ensemble E appartient à E : on note x ∈ E.
Un sous-ensemble (ou sous-partie) F de E est dit être inclus dans E : on note F ⊂ E.
complémentaire : si F est un sous-ensemble de E, son complémentaire F est l’ensemble des
éléments de E qui ne sont pas dans F .
réunion et intersection : si F et G sont des sous-ensembles de E,
– intersection : F ∩ G (F inter G) est l’ensemble des éléments qui sont dans F et dans G ;
– (ré)union : F ∪ G (F union G) est l’ensemble des éléments qui sont dans F ou dans G ;
– F ∩ G = F ∪ G et F ∪ G = F ∩ G.
inclusion d’ensembles :
Pour prouver F ⊂ E, on doit prouver l’implication ∀x x ∈ F ⇒ x ∈
E . On rédige donc ainsi : Soit x un élément de F fixé quelconque. et on prouve que x appartient à
E.
égalité d’ensembles : E = F signifie E ⊂ F et F ⊂ E. On la prouve soit directement (cas
simples), soit par double-inclusion.
exemples :
– le vide Ø qui ne contient aucun élément ;
– les singletons qui contiennent un seul élément qu’on appelle ici x. On note l’ensemble sous la forme
{x} ;
– les paires qui contiennent deux éléments distincts qu’on appelle ici x1 et x2 . On note l’ensemble
sous la forme {x1 , x2 } ou {x2 , x1 }, l’ordre n’ayant pas d’importance. Attention à ne pas confondre
avec le couple (x1 , x2 ) ;
– l’ensemble E × F des couples dont l’abscisse est un élément de E, et l’ordonnée un élément
de F ;
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– l’ensemble des x éléments de E qui vérifient la propriété P (x) se note {x ∈ E/P (x)} dans cet
ordre. Le / se lit tel que. On peut le remplacer par une virgule, deux points, . . .
– voir aussi les images directes ;
– l’ensemble de toutes les sous-parties d’un ensemble E est appelé ensemble des parties de E, noté
P(E). C’est le seul type d’ensemble (pour nous) dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles :
F ⊂ E ⇔ F ∈ P(E)
III.
Relations binaires sur un ensemble
Si E est un ensemble et R une relation binaire sur E, on dit que la relation R est :
– réflexive lorsque ∀x ∈ E xRx ;
– transitive lorsque ∀(x, y, z) ∈ E 3 (xRy et yRz) ⇒ xRz ;
– antisymétrique lorsque ∀(x, y) ∈ E 2 (xRy et yRx) ⇒ x = y ;
– symétrique lorsque ∀(x, y) ∈ E 2 (xRy ⇒ yRx) ;
– totale lorsque ∀(x, y) ∈ E 2 (xRy ou yRx) ;
– d’ordre lorsqu’elle est réflexive, transitive, et antisymétrique (exemples : l’ordre sur E = R, l’inclusion sur P(E)) ;
– d’équivalence lorsqu’elle est réflexive, transitive, et symétrique (exemples : l’égalité sur tout ensemble, la congruence sur les réels).
Si E1 et E2 sont deux ensembles, et que R est une relation binaire entre E1 et E2 , on dit que c’est
une fonction lorsque pour tout élément x de E1 , il existe un unique élément y de E2 tel que xRy. On
note alors cet unique y sous la forme f (x).
IV.
Fonctions
Soit f une fonction définie sur l’ensemble E1 , à valeurs dans l’ensemble E2 . Pour x ∈ E1 , f (x) est
appelée image de x (elle existe et est unique).
Pour y ∈ E2 , les x de E1 tels que f (x) = y sont appelés les antécédents de y. Il peut n’y en avoir
aucun, un seul, plusieurs,. . .
(
fonction identitié :
Soit E un ensemble. La fonction
E −→ E
x 7−→ x
est appelée fonction
identité sur E, notée IdE .
image directe :
Si F1 est un sous-ensemble de E1 , son image directe, notée f (F1 ), est l’ensemble
des images de tous les x de F1 . f (F1 ) est un sous-ensemble de E2 , et pas un élément de E2 .
f (F1 ) = {f (x) ∈ E2 /x ∈ F1 }
image réciproque :
Si F2 est un sous-ensemble de E2 , son image réciproque, notée f −1 (F2 ),
est l’ensemble des antécédents de tous les y de F2 . f −1 (F2 ) est un sous-ensemble de E1 , parfois vide.
f −1 (F2 ) = {x ∈ E1 /f (x) ∈ F2 }
surjection :
Une fonction telle que f (E1 ) = E2 (et pas seulement ⊂ E2 ) est dite surjective.
Pour prouver cela, on peut :
– prouver l’inclusion E2 ⊂ f (E1 ) (l’autre inclusion est automatique) ;
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– montrer que tout élément de E2 admet au moins un antécedent ;
∀y ∈ E2 , ∃x ∈ E1 y = f (x)
– montrer que, pour tout choix de y ∈ E2 , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E1 admet au moins
une solution.
injection :
Une fonction est dite injective lorsque
∀(x, y) ∈
E12 ,
f (x) = f (y) ⇒ x = y
L’implication réciproque est systématiquement vérifiée.
Pour prouver cela, on peut :
– utiliser la définition ;
– prouver sa contraposée ∀(x, y) ∈ E12 ,
x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y) ;
– montrer que tout élément de E2 admet au plus un antécedent ;
– montrer que, pour tout choix de y ∈ E2 , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E1 admet au plus
une solution.
bijection : Une fonction à la fois injective et surjective est dite bijective.
Pour prouver cela, on peut :
– prouver séparément les deux propriétés ;
– montrer que tout élément de E2 admet exactement un antécedent ;
∀y ∈ E2 , ∃ ! x ∈ E1 y = f (x)
– montrer que, pour tout choix de y ∈ E2 , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E1 admet une unique
solution. Le cas échéant, une formule explicite qui donne cette solution x en fonction de y donne
la réciproque de f .
réciproque : Lorsqu’une fonction f est bijective, il existe une (unique) fonction, notée f −1 ,
également bijective, définie sur E2 , à valeurs dans E1 , qui vérifie
f ◦ f −1 = IdE2 et f −1 ◦ f = IdE1
Réciproquement, si il existe une fonction g définie sur E2 , à valeurs dans E1 qui vérifie f ◦ g =
IdE2 et g ◦ f = IdE1 alors f est bijective de réciproque g.
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