FONCTIONS USUELLES Théor`eme 1. Soit I et J deux intervalles

FONCTIONS USUELLES
Théorème 1. Soit I et J deux intervalles ouverts de R et soit f : I → J une
0
bijection. Supposons que f est dérivable sur I et que f (x) 6= 0 pour tout x ∈ I. Dans
ces conditions nous avons :
(1) Pour tout y ∈ J, f −1 est dérivable en y et
1
0
(f −1 ) (y) =
f
0
(f −1 (y))
(2) Si f est croissante alors f −1 est croissante.
(3) Si f est décroissante alors f −1 est décroissante.
Preuve
Montrons l’affirmation 1). Soit y, y0 ∈ J, y 6= y0 . Soit x ∈ I l’antécédent de y et
x0 ∈ I l’antécédent de y0 :
y = f (x)
et y0 = f (x0 )
Nous avons:
f −1 (y) − f −1 (y0 )
f −1 (f (x)) − f −1 (f (x0 ))
=
y − y0
f (x) − f (x0 )
x − x0
=
f (x) − f (x0 )
=
Or
f (x)−f (x0 )
x−x0
1
f (x)−f (x0 )
x−x0
a une limite non nulle quand x tend vers x0 . De plus, lorsque y tend
vers y0 alors x tend vers x0 . Nous avons donc
lim
y→y0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
=
y − y0
limx→x0 ,
=
=
ce qui termine la preuve.
1
x6=0
f (x)−f (x0 )
x−x0
1
f (x0 )
0
1
f
0
(f −1 (y
0 ))
¤
1
2
FONCTIONS USUELLES
Proposition 2. (et définition)
Il existe une unique fonction dérivable f : ]0, +∞[→ R telle que :
(1) f 0 (x) = x1 , ∀x ∈ ]0, +∞[.
(2) f (1) = 0.
Cette fonction est appellée logarithme népérien et est notée log(x).
Preuve
Pour montrer l’existence nous posons :
Z x
dt
log x :=
, x > 0.
t
1
Montrons l’unicité. Soit f : ]0, +∞[→ R une fonction dérivable vérifiant :
f 0 (x) =
1
, x > 0, et f (1) = 0.
x
Pour tout x > 0 nous avons :
(log x − f (x))0 = (log x)0 − f 0 (x) =
1
1
− = 0.
x x
De ce fait la fonction (log x−f (x)) est constante sur ]0, +∞[. Comme log 1−f (1) = 0
nous déduisons que log x − f (x) = 0 pour tout x > 0.
¤
Proposition 3. (Propriétés du logarithme)
(1) Pour tous x, y ∈ ]0, +∞[, nous avons :
log xy = log x + log y.
(2) Pour tout x > 0, log(1/x) = − log x.
(3) Pour tout x > 0 et tout n ∈ N nous avons :
log xn = n log x et log x−n = −n log x.
(4)
lim log x = +∞ et
x→+∞
lim log x = −∞.
x→0+
(5) La fonction log x est une bijection strictement croissante de ]0, +∞[ sur R.
Preuve
Montrons (1). Soit y > 0, pour tout x > 0 posons :
f (x) = log xy.
La fonction f est dérivable et nous avons pour tout x > 0 :
f 0 (x) = y log0 xy =
y
1
= .
xy
x
De ce fait, la fonction (f − log) est une fonction constante sur ]0, +∞[, il existe donc
une constante c ∈ R telle que :
f (x) = log x + c, x > 0.
FONCTIONS USUELLES
3
Nous avons donc pour tout x > 0 :
log xy = log x + c.
En choisissant x = 1 nous obtenons :
log y = log 1 + c = c,
de ce fait nous avons pour tous x, y > 0 :
log xy = log x + log y.
Pour montrer (2) remarquons que :
0 = log 1 = log
x
1
= log x + log ,
x
x
de ce fait :
1
= − log x.
x
Nous montrons la première affirmation de (3) par récurrence sur n ∈ N.
Supposons n = 0. Pour tout x > 0 nous avons :
log
log x0 = log 1 = 0 = 0. log x.
Par conséquent la propriété est vraie pour n = 0.
Soit n ∈ N un entier fixé tel que log xn = n log x pour tout x > 0. Nous avons :
log xn+1 = log(x.xn ) = log x + log xn = log x + n log x = (n + 1) log x,
ce qui montre que la propriété est vraie pour tout n ∈ N.
Pour la deuxième affirmation remarquons que pour tout n ∈ N et tout x > 0 nous
avons :
log x−n = log(xn )−1 = − log(xn ) = −n log x.
Montrons (4). Comme log0 x > 0 pour tout x > 0, la fonction log est strictement
croissante. Pour montrer que limx→+∞ log x = +∞ il suffit donc de montrer que
log x n’est pas bornée quand x tend vers +∞. Nous avons : n log 2 → +∞ quand
n → +∞, ainsi log 2n → +∞ quand n → +∞ cela montre que log x n’est pas bornée
quand x → +∞.
En posant u = 1/x nous trouvons :
lim log x = lim log
x→0+
u→+∞
1
= − lim log u = −∞.
u→+∞
u
Pour montrer (5) remarquons que, du fait que log0 x > 0 pour tout x ∈ ]0, +∞[, la
fonction log x est strictement croissante. Elle constitue donc une bijection de ]0, +∞[
sur ]limx→0 log x, limx→+∞ log x[= R (d’après (4)), ce qui termine la preuve.
¤
Corollaire 4. (et définition)
La fonction log admet une réciproque, elle est appelée la fonction exponentielle
néperienne (ou plus simplement fonction exponentielle ) : x ∈ R → ex ∈ ]0, +∞[. La
fonction exponentielle a les propriétés suivantes :
(1) x 7→ ex est une bijection dérivable et strictement croissante de R sur ]0, +∞[.
4
FONCTIONS USUELLES
(2)
(3)
(4)
(5)
Pour tout x ∈ R nous avons : (ex )0 = ex .
e0 = 1.
ex+y = ex .ey pour tous x, y ∈ R.
limx→−∞ ex = 0 et limx→+∞ ex = +∞.
Preuve
L’existence de la réciproque de la fonction log et la propriété (1) viennent du fait
que log : ]0, +∞[→ R est une bijection dérivable et strictement croissante, voir le
théorème 1.
Montrons (2). Soit x ∈ R et soit t ∈ ]0, +∞[ tel que x = log t. Nous avons d’après
le théorème 1 :
1
1
(ex )0 =
=
= t = (log−1 )(x) = ex .
1/t
log0 t
Pour montrer (3) remarquons que e0 = (log−1 )(0) = 1 car log 1 = 0.
Montrons (4). Pour tous x, y ∈ R nous avons :
log ex+y = x + y
et aussi :
log(ex .ey ) = log ex + log ey = x + y
et de ce fait log ex+y = log(ex .ey ). Comme la fonction log est injective, nous déduisons :
ex+y = ex .ey .
Pour montrer (5), pour tout x ∈ R nous posons x = log u, où u ∈ ]0, +∞[. De ce
fait (x → −∞) ⇒ (u → 0) et (x → +∞) ⇒ (u → +∞). De ce fait :
lim ex = lim elog u = lim u = 0
x→−∞
u→0
u→0
et
lim ex = lim elog u = lim u = +∞
x→+∞
u→+∞
u→+∞
ce qui termine la démonstration.
¤
Définition 5. A l’aide des fonctions x 7→ log x et x 7→ ex nous pouvons définir la
puissance d’un réel positif quelconque.
(1) Soit x > 0 et soit a ∈ R. Le réel x à la puissance a, noté xa est défini par :
xa := ea log x .
(2) Pour tout a ∈ R la fonction x ∈ ]0, +∞[7→ xa ∈ R est appelée une fonction
puissance.
(3) Pour tout a > 0 la fonction x ∈ R 7→ ax ∈ ]0, +∞[ est appelée la fonction
exponentielle de base a.
Propriétés
(1) Pour tous x, y > 0 et pour tout a ∈ R, nous avons (xy)a = xa .y a .
FONCTIONS USUELLES
5
(2) Pour tout x > 0 et pour tous a, b ∈ R nous avons
xa+b = xa .xb et (xa )b = xab .
Ces propriétés se montrent directement à partir des propriétés des fonctions log x et
ex . Montrons par exemple la dernière propriété, nous avons :
(xa )b = eb log(x
a)
ab
= eb(a log x) = eab log x = elog x
= xab .
Lemme 6. Pour tout x ∈ R+ et tout n ∈ N, nous avons :
ex ≥ 1 + x +
x2 x3
xn
+
+ ··· +
2!
3!
n!
Preuve
La preuve se fait par récurrence sur n ∈ N. Pour cela pour tout n ∈ N nous
appelons Pn la propriété :
∀x ∈ R+ , ex ≥ 1 + x +
x2 x3
xn
+
+ ··· +
2!
3!
n!
Si n = 0 nous avons :
e0 = 1 ≥ 1,
la propriété est donc vraie pour n = 0.
Soit n ∈ N tel que la propriété Pn soit vraie, montrons que la propriété Pn+1 est
vraie aussi. Pour cela nous définissons les fonctions f, g : R+ → R en posant :
f (x) = ex − (1 + x +
xn
x2 x3
+
+ ··· +
)
2!
3!
n!
et
g(x) = ex − (1 + x +
x2 x3
xn+1
+
+ ··· +
)
2!
3!
(n + 1)!
Un simple calcul montre que g 0 (x) = f (x), x ≥ 0. Comme f (x) ≥ 0 pour x ≥ 0, la
fonction g est croissante sur R+ et de ce fait g(x) ≥ g(0) = 0 pour tout x ≥ 0, ce qui
termine la preuve.
¤
Proposition 7. : Puissances comparées
Nous avons :
ex
lim
= +∞ et
x→+∞ x
lim
t→+∞
log t
= 0.
t
(1)
Plus généralement, pour tout n ∈ N nous avons :
lim
x→+∞
ex
= +∞ et
xn
(log t)n
= 0.
t→+∞
t
lim
(2)
6
FONCTIONS USUELLES
Preuve
Montrons (1). D’après le lemme 6 nous avons pour tout x > 0 :
ex ≥ 1 + x +
De ce fait :
x2
.
2
ex
1+x x
≥
+
x
x
2
et par conséquent :
ex
= +∞.
x→+∞ x
Posons ensuite x = log t, ainsi t → +∞ lorsque x → +∞. D’où :
lim
lim
t→+∞
log t
1
1
x
= lim x = lim = ex =
x→+∞
x→+∞
t
e
limx→+∞
x
ex
x
= 0.
Montrons (2). Le lemme 6 montre que nous avons pour tout n ∈ N et tout x > 0 :
ex ≥ 1 + x +
ainsi
x2 x3
x(n+1)
x(n+1)
+
+ ··· +
≥
,
2!
3!
(n + 1)!
(n + 1)!
ex
x
≥
n
x
(n + 1)!
et de ce fait :
ex
= +∞
x→+∞ xn
L’autre limite s’obtient également en posant x = log t.
lim
On montre de la même manière le résultat suivant.
Corollaire 8.
(1) Pour tout réel b > 0 nous avons :
lim
x→+∞
log x
= 0 et lim xb log x = 0.
x→0
xb
(2) Pour tous réels a > 1, b > 0 et pour tout n ∈ Z nous avons :
ax
= +∞ et
x→+∞ xb
lim
lim xn ax = 0.
x→−∞
¤
FONCTIONS USUELLES
7
Fonctions trigonométriques réciproques
Définition 9. Appelons f la restriction de sin x à l’intervalle [−π/2, π/2],
f = sin|[−π/2,π/2] . Nous savons que f est dérivable et que f 0 (x) = cos(x) > 0 pour
tout x ∈ ]−π/2, π/2[. De ce fait f est strictement croissante et constitue une bijection
de [−π/2, π/2] sur [−1, 1] :
f : [−π/2, π/2] → [−1, 1]
x 7→ sin x
Par conséquent f admet une application réciproque f −1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2],
celle-ci est appelée fonction arc sinus et est notée arcsin. Nous déduisons que
f −1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
y 7→ arcsin y
est une bijection strictement croissante, voir la figure 1.
y=sin(x)
x=arcsin(y)
1.5
1
1
x
y
0.5
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0
0.5
-0.5
1
1.5
x
-1
-0.5
0
-0.5
0.5
1
y
-1
-1
-1.5
Figure 1
Proposition 10. Nous avons :
(1) sin(arcsin y) = y, ∀y ∈ [−1, 1].
(2) arcsin(sin x) = x, ∀x ∈ [−π/2, π/2].
(3) La fonction arcsin est continue sur [−1, 1] et dérivable sur ]−1, 1[ et sa dérivée
est donnée par :
1
arcsin0 y = p
,
1 − y2
pour tout y ∈ ]−1, 1[.
8
FONCTIONS USUELLES
Preuve
Les propriétés (1) et (2) viennent du fait que la fonction arcsin est la fonction
réciproque de la restriction de sin sur [−π/2, π/2].
Montrons (3). Nous posons f = sin|[−π/2,π/2] . Pour tout y ∈ ]−1, 1[ nous avons à
l’aide du théorème 1 :
arcsin0 y = (f −1 )0 (y) =
1
1
=
·
f 0 (f (y))
cos(arcsin y)
Remarquons que arcsin y ∈ ]−π/2, π/2[ et de ce fait cos(arcsin y) > 0 pour tout
p
p
y ∈ ]−1, 1[. Nous déduisons que cos(arcsin y) = 1 − sin2 (arcsin y) = 1 − y 2 pour
tout y ∈ ]−1, 1[. Nous avons donc :
1
arcsin0 y = p
,
1 − y2
pour tout y ∈ ]−1, 1[, ce qui termine la preuve.
¤
Remarque 11. Il est important de remarquer que la propriété (2) de la proposition
10 n’est vraie que pour x ∈ [−π/2, π/2]. Plus précisément il n’est pas vrai que
arcsin(sin x) = x pour tout x ∈ R. Par exemple nous avons sin 10π = 0 et arcsin 0 = 0,
de ce fait arcsin(sin 10π) = arcsin 0 = 0 et non pas 10π !
Définition 12. Appelons g la restriction de la fonction cos à l’intervalle [0, π], g =
cos|[0,π] . La fonction g est donc dérivable et nous avons g 0 (x) = − sin x < 0 pour tout
x ∈ [0, π]. De ce fait g est une bijection strictement décroissante de [0, π] sur [−1, 1].
Sa fonction réciproque est appelée arc cosinus, est notée arccos et est une bijection
strictement décroissante de [−1, 1] sur [0, π] (voir la figure 2) :
arccos : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
y 7→ arccos y
FONCTIONS USUELLES
9
y=cos(x)
x=arccos(y)
3
1
x
y
0.5
2
0
0
-0.5
2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
1.5
3
x
1
-1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
y
Figure 2
Proposition 13. Nous avons :
(1) cos(arccos y) = y, ∀y ∈ [−1, 1].
(2) arccos(cos x) = x, ∀x ∈ [0, π].
(3) La fonction arccos est continue sur [−1, 1] et dérivable sur ]−1, 1[ et sa dérivée
est donnée par :
1
arccos0 y = − p
,
1 − y2
pour tout y ∈ ]−1, 1[.
La proposition 13 se montre de la même manière que la proposition 10
Remarque 14. Remarquons que la propriété (2) de la proposition 13 n’est vraie
que pour x ∈ [0, π]. Plus précisément il n’est pas vrai que arccos(cos x) = x pour
tout x ∈ R. Par exemple nous avons cos 5π = −1 et arccos(−1) = π, de ce fait
arccos(cos 5π) = arccos(−1) = π et non pas 5π !
Corollaire 15. Nous avons pour tout y ∈ [−1, 1] :
arcsin y + arccos y =
π
.
2
Preuve
Posons f (y) = arcsin y + arccos y pour y ∈ [−1, 1]. La fonction f est continue sur
[−1, 1], dérivable sur ]−1, 1[ et d’après les propositions 10 et 13 nous avons :
1
1
f 0 (y) = arcsin0 y + arccos0 y = p
−p
= 0,
1 − y2
1 − y2
10
FONCTIONS USUELLES
pour tout y ∈ ]−1, 1[. De ce fait f est une fonction constante, or pour y = 0 nous
avons :
π
π
f (0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = ,
2
2
ce qui termine la preuve.
¤
Définition 16. Appelons h la restriction de la fonction tan à l’intervalle ouvert
]−π/2, π/2[, h = tan|]−π/2,π/2[ . La fonction h est dérivable et nous avons pour tout
x ∈ ]−π/2, π/2[ :
h0 (x) = (
sin x 0
1
) =
= 1 + tan2 x > 0.
cos x
cos2 x
De ce fait h est une bijection strictement croissante de ]−π/2, π/2[ sur
]limx→−π/2 tan x, limx→π/2 tan x[= ]−∞, ∞[= R. Nous déduisons que la réciproque
de h, appelée arc tangente et notée arctan, est une bijection strictement croissante de
R sur ]−π/2, π/2[, voir la figure 3 :
arctan : R → ]−π/2, π/2[
y 7→ arctan y
y=tan(x)
x=arctan(y)
4
y
2
x
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5
-6
1 1.5
x
-2
-4
Figure 3
Proposition 17. Nous avons :
(1) tan(arctan y) = y, ∀y ∈ R.
(2) arctan(tan x) = x, ∀x ∈] − π/2, π/2[.
-4
-2
1.5
1
0.5
0
-0.5 0
-1
-1.5
2
4
y
6
FONCTIONS USUELLES
11
(3) La fonction arctan est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par :
arctan0 y =
1
,
1 + y2
pour tout y ∈ R.
La preuve est analogue à celle de la proposition 10.
Remarque 18. La propriété (2) de la proposition 17 n’est vraie que pour x ∈
] − π/2, π/2[. Plus précisément il n’est pas vrai que arctan(tan x) = x pour tout
x ∈ R − {π/2 + kπ, k ∈ Z}. Par exemple nous avons tan 10π = 0 et arctan 0 = 0, de
ce fait arctan(tan 10π) = arctan(0) = 0 et non pas 10π !
Rappels de trigonométrie
Pour tous réels a et b nous avons :
(1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
(2) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
(3)
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
(4) cos2 a + sin2 a = 1
Remarquons que la propriété (3) est une conséquence des propriétés (1) et (2). De
plus la propriété (4) peut être retrouvée à l’aide de (1) en choisissant b = −a.
Fonctions trigonométriques hyperboliques
Définition 19.
(1) On définit la fonction cosinus hyperbolique, notée cosh, en posant (voir la
figure 4) :
cosh : R → R
x 7→ cosh x :=
ex + e−x
·
2
12
FONCTIONS USUELLES
y=cosh(x)
10
8
6
y
4
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figure 4
(2) On définit la fonction sinus hyperbolique, notée sinh, en posant (voir la figure
5) :
sinh : R → R
x 7→ sinh x :=
y=sinh(x)
10
y
5
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
-5
-10
Figure 5
ex − e−x
·
2
FONCTIONS USUELLES
13
(3) On définit la fonction tangente hyperbolique, notée tanh, en posant (voir la
figure 6) :
tanh : R → R
x 7→ tanh x :=
sinh x
ex − e−x
= x
·
cosh x
e + e−x
y=tanh(x)
1
y
0.5
0
-4
-2
-0.5
0
-1
2
4
x
Figure 6
Proposition 20.
(1) La fonction cosh est paire et la fonction sinh est impaire :
∀x ∈ R, cosh(−x) = cosh x et sinh(−x) = − sinh x.
(2) Pour tout x ∈ R
cosh2 x − sinh2 x = 1.
(3) Les fonctions cosh et sinh sont dérivables sur R et nous avons :
cosh0 x = sinh x et sinh0 x = cosh x
pour tout x ∈ R.
(4) La fonction tanh est dérivable sur R et nous avons
tanh0 (x) = 1 − tanh2 x =
1
cosh2 x
pour tout x ∈ R.
Preuve
Toutes les relations se montrent facilement à partir des définitions. Montrons (1).
Pour tout x ∈ R nous avons :
cosh(−x) =
e−x + ex
e−x − ex
ex − e−x
= cosh x et sinh(−x) =
=−
= − sinh x.
2
2
2
14
FONCTIONS USUELLES
Montrons (2). Pour tout x ∈ R nous avons :
ex + e−x 2
ex − e−x 2
) −(
)
2
2
e2x + e−2x + 2 e2x + e−2x − 2
=
−
4
4
=1
cosh2 x − sinh2 x = (
Pour montrer (3) remarquons que cosh et sinh sont des sommes de fonctions
dérivables, elles sont donc dérivables. De plus nous avons pour tout x ∈ R :
ex + e−x 0 ex − e−x
) =
= sinh x
2
2
ex − e−x 0 ex + e−x
sinh0 x = (
) =
= cosh x
2
2
cosh0 x = (
Montrons (4). La fonction tanh est le quotient de deux fonctions dérivables dont
le dénominateur ne s’annule jamais. De ce fait la fonction tanh est dérivable. Pour
tout x ∈ R nous avons :
tanh0 x = (
sinh x 0 cosh2 x − sinh2 x
1
) =
= 1 − tanh2 x =
2
cosh x
cosh x
cosh2 x
ce qui termine la preuve.
¤
Proposition 21.
(1) La fonction sinh : R → R est une bijection strictement croissante.
(2) La restriction de cosh à [0, +∞[ est une bijection strictement croissante de
[0, +∞[ sur [0, +∞[ , cosh|[0,+∞[ : [0, +∞[→ [0, +∞[.
(3) La fonction tanh est une bijection strictement croissante de R sur ] − 1, 1[.
Preuve
Montrons (1). Nous avons sinh0 x = cosh x > 0 pour tout x ∈ R. De ce fait la
fonction sinh est strictement croissante. De plus :
ex − e−x
= −∞ et
x→−∞
2
lim sinh x = lim
x→−∞
ex − e−x
= +∞.
x→+∞
2
lim sinh x = lim
x→+∞
Par conséquent sinh est une bijection strictement croissante de R sur R.
Montrons (2). Nous avons cosh0 x = sinh x = (ex − e−x )/2 > 0 pour tout x > 0.
De plus cosh 0 = 1 et
ex + e−x
= +∞.
x→+∞
2
lim cosh x = lim
x→+∞
De ce fait la la restriction de cosh à [0, +∞[ est une bijection strictement croissante
de [0, +∞[ sur [1, +∞[.
FONCTIONS USUELLES
15
Montrons (3). Nous avons tanh0 x = 1/ cosh2 x > 0 pour tout x ∈ R. De ce fait la
fonction tanh est strictement croissante sur R. De plus :
−1
ex − e−x
e2x − 1
=
lim
=
= −1
x
−x
2x
x→−∞ e + e
x→−∞ e + 1
1
lim tanh x = lim
x→−∞
et
ex − e−x
1 − e−2x
1
=
lim
= = −1.
x
−x
−2x
x→+∞ e + e
x→+∞ 1 + e
1
lim tanh x = lim
x→+∞
Par conséquent tanh est une bijection strictement croissante de R sur ]−1, 1[.
Proposition 22. : Trigonométrie hyperbolique Pour tous réels a et b nous avons :
cosh(a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b
sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b
tanh(a + b) =
tanh a + tanh b
1 + tanh a tanh b
Preuve
Ces relations se montrent directement à partir des définitions. Nous avons :
cosh(a + b) =
ea+b + e−(a+b)
ea eb + e−a e−b
=
2
2
=
(ea + e−a )eb − e−a eb + (e−a + ea )e−b − ea e−b
2
=
(ea + e−a )(eb + e−b ) e−a eb + ea e−b
−
2
2
= 2 cosh a cosh b −
(e−a + ea )eb + ea eb + (ea + e−a )e−b + e−a e−b
2
(ea + e−a )(e−b − eb ) + ea+b + e−(a+b)
2
= 2 cosh a cosh b + 2 sinh a sinh b − cosh(a + b)
= 2 cosh a cosh b −
Nous avons donc
2 cosh(a + b) = 2 cosh a cosh b + 2 sinh a sinh b,
ce qui donne la première relation.
La deuxième relation se montre de la même manière.
16
FONCTIONS USUELLES
La troisième relation est une conséquence des deux premières :
tanh(a + b) =
sinh(a + b)
cosh(a + b)
sinh a cosh b + cosh a sinh b
cosh a cosh b + sinh a sinh b
(sinh a cosh b + cosh a sinh b)/(cosh a cosh b)
=
(cosh a cosh b + sinh a sinh b)/(cosh a cosh b)
=
=
sinh a/ cosh a + sinh b/ cosh b
sinh a sinh b
1 + cosh
a cosh b
=
tanh a + tanh b
1 + tanh a tanh b
ce qui termine la preuve.
¤
Fonctions hyperboliques réciproques
Définition 23. Appelons f la restriction de la fonction cosh sur l’intervalle [0, +∞[,
f = cosh|[0,+∞[ . Pour tout x > 0 nous avons f 0 (x) = sinh x > 0. De ce fait f est une
bijection strictement croissant de [0, +∞[ sur [1, +∞[ :
f : [0, +∞[ → [1, +∞[
x 7→ cosh x
Par conséquent f admet une réciproque appelée argument cosinus hyperbolique et
notée argcosh. Il ressort que argcosh est une bijection strictement croissante de
[1, +∞[ sur [0, +∞[ (voir la figure 7) :
argcosh : [1, +∞[ → [0, +∞[
y 7→ argcosh y
FONCTIONS USUELLES
17
y=cosh(x)
x=argcosh(y)
10
8
2.5
x
2
1.5
6
y
1
0.5
4
0
1
2
3
4
5
6
y
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Figure 7
Proposition 24. Nous avons :
(1) ∀y ∈ [1, +∞[, cosh(argcosh y) = y.
(2) ∀x ∈ [0, +∞[, argcosh(cosh x) = x.
(3) La fonction argcosh est dérivable sur ]1, +∞[ et, pour tout y ∈ ]1, +∞[, nous
avons
1
argcosh0 y = p
·
y2 − 1
Preuve
Les affirmations (1) et (2) sont claires.
Montrons (3). La fonction cosh est dérivable sur ]0, +∞[ et cosh0 x = sinh x 6= 0
pour tout x > 0. Nous déduisons à l’aide du théorème 1 que la fonction réciproque
argcosh est dérivable sur ]cosh 0, limx→+∞ cosh x[= ]1, +∞[. De plus, nous avons pour
tout y ∈ ]1, +∞[ :
argcosh0 y =
1
1
=
·
sinh(argcosh y)
cosh0 (argcosh y)
Rappelons que argcosh y > 0 pour tout y > 1, de ce fait sinh(argcosh y) > 0 pour
tout y > 1. Nous avons donc :
q
q
p
2
sinh(argcosh y) = sinh (argcosh y) = cosh2 (argcosh y) − 1 = y 2 − 1
et de ce fait :
1
argcosh0 y = p
y2 − 1
18
FONCTIONS USUELLES
ce qui termine la preuve.
¤
Définition 25. Rappelons que la fonction sinh est une bijection strictement croissante de R sur R. De ce fait elle admet une réciproque, celle-ci est appelée argument
sinus hyperbolique et est notée argsinh. Il ressort que la fonction argsinh est une
bijection strictement croissante de R sur R, voir la figure 8 :
argsinh : R → R
y 7→ argsinh y
y=sinh(x)
x=argsinh(y)
10
y
5
2
x
0
1
0
-6
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-2
0
2
4
6
-1
x
-2
y
-5
-10
Figure 8
Proposition 26. Nous avons :
(1) ∀y ∈ R, sinh(argsinh y) = y.
(2) ∀x ∈ R, argsinh(sinh x) = x.
(3) La fonction argsinh est dérivable sur R et, pour tout y ∈ R, nous avons
1
·
argsinh0 y = p
2
y +1
La preuve est analogue à celle de la proposition 24
Définition 27. Rappelons que la fonction tanh est une bijection strictement croissante de R sur ]−1, 1[. De ce fait elle admet une réciproque, celle-ci est appelée
argument tangente hyperbolique et est notée argtanh. La fonction argtanh est donc
une bijection strictement croissante de ]−1, 1[ sur R (voir la figure 9) :
argtanh : ]−1, 1[ → R
y 7→ argtanh y
FONCTIONS USUELLES
y=tanh(x)
19
x=argtanh(y)
4
x
2
1
y
0.5
0
-4
-2
-0.5
-1
0
2
0
-0.8-0.4 0 0.4 0.8
4
x
y
-2
-4
Figure 9
Proposition 28. Nous avons :
(1) ∀y ∈ ]−1, 1[, tanh(argtanh y) = y.
(2) ∀x ∈ R, argtanh(tanh x) = x.
(3) La fonction argtanh est dérivable sur ]−1, 1[ et, pour tout y ∈ ]−1, 1[, nous
avons
1
argtanh0 y =
·
1 − y2
La preuve est analogue à celle de la proposition 24
Il existe une autre expression pour les fonctions hyperboliques réciproques.
Théorème 29.
(1) Pour tout y ∈ R nous avons :
argsinh y = log(y +
p
y 2 + 1).
(2) Pour tout y ∈ [1, +∞[ nous avons :
argcosh y = log(y +
p
y 2 − 1).
(3) Pour tout y ∈ ]−1, 1[ nous avons :
argtanh y =
1
1+y
log(
).
2
1−y
20
FONCTIONS USUELLES
Preuve
Les preuves de ces trois affirmations sont analogues, nous ne montrerons donc que
la première.
Considérons la fonction :
f :R →R
p
y 7→ argsinh y − log(y + y 2 + 1).
La fonction f est dérivable sur R et nous avons pour tout y ∈ R :
p
f 0 (y) = argsinh0 y − (log(y + y 2 + 1))0
p
1
(y + y 2 + 1)0
p
= p
−
y2 + 1
y + y2 + 1
1 + 12 √ 2y2
y +1
p
= p
−
2
2
y +1 y+ y +1
p
1
y2 + 1 + y
p
= p
−p
y2 + 1
y 2 + 1(y + y 2 + 1)
1
1
= p
y2
+1
1
−p
y2
+1
=0
ce qui montre que la fonction f est constante. Nous déduisons que pour tout y ∈ R
nous avons f (y) = f (0). Une simple vérification montre que f (0) = 0. Par conséquent
nous obtenons f ≡ 0, c’est à dire :
p
argsinh y = log(y + y 2 + 1), ∀y ∈ R,
ce qui termine la preuve.
¤