XMP 2013-2014 ANNEAUX ET ARITHMÉTIQUE 1. Propriétés diverses dans un anneau a. Soit I un idéal d'un anneau commutatif A contenant une unité de A (i.e. un élément inversible de A). Prouver que I A . b. Montrer qu'un anneau commutatif A ne contenant pas d'autre idéal que 0 et lui-même est un corps. c. Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A le plus petit entier positif non nul n, s'il existe, tel que n.1A 0 A (si un tel entier n'existe pas, on dit que A est de caractéristique nulle). Quelle est la caractéristique de , de , de , de n ? Prouver qu'un anneau intègre est soit de caractéristique nulle, soit de caractéristique égale à un nombre premier. Prouver qu'un anneau de caractéristique nulle contient un sous-corps isomorphe à . d. Un élément a d'un anneau commutatif A est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que an 0 A . Quels sont les éléments nilpotents de 36 ? Montrer que l'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau commutatif A est un idéal de A. Montrer que si a est nilpotent, 1A a est inversible, et déterminer son inverse (on écrira 1A 1A an ). e. Déterminer, s'il en existe, les corps à 4 éléments. un corps à 4 éléments, de neutres 0 et 1. Prouver que 1 1 0 . Soit a un élément de autre que 0 et 1. Qui est le dernier élément de ? Dresser les tables de ( , ) et de (*,.) . Conclure. 2. Soit a. b. c. 3. Pour n entier, déterminer le pgcd de 10n 1 et de 4n 3 . 77 4. Quel est le dernier chiffre de 7 5. Résoudre dans 37 : 77 77 ? 3x 7y 3 a. 6x 7y 0 b. x2 4x 8 0 (indication : 62 1 ). 6. Quels sont les entiers qui sont différence de deux carrés ? 7. On écrit un entier n en base 10. Prouver que n est multiple de 17 si et seulement si le nombre N égal à 5 fois le dernier chiffre de n moins le nombre égal à n privé de son dernier chiffre est lui-même multiple de 17. 4513 est-il multiple de 17 ? 8. Résoudre, dans 91 , l’équation x 2 3x 2 0 . 9. Nombres de Mersenne, nombres de Fermat On cherche ici des nombres premiers sous une forme particulière : 2n 1 pour les nombres de Mersenne, 2n 1 pour les nombres de Fermat. Prouver que : a. 2n 1 premier implique n premier. b. 2n 1 premier implique n est une puissance de 2. 10. Soient a et b deux entiers premiers entre eux, et c un entier quelconque. On étudie l'équation ax by c aux inconnues x et y entières. a. Montrer que cette équation possède au moins une solution (x0, y0) , et exprimer toutes les solutions à l'aide de cette solution particulière. b. Montrer que pour c ab , il existe une solution (x, y) avec x et y tous deux positifs. c. On dispose de timbres de 5 et de 9 centimes. À partir de quel montant peut-on affranchir toutes les lettres ? 11. On note [i] l’ensemble des nombres complexes de la forme a ib où a et b sont dans . a. Prouver que pour tout couple (x, y) d’éléments de [i] avec y 0 , il existe q et r dans [i] tels que : x qy r, avec r y Y-a-t-il unicité d’une telle écriture ? d. Prouver que tout idéal de [i] est principal (c'est-à-dire engendré par un élément). n 2 12. Soit a un entier impair et n 3 . Prouver que a2 1 [2n] . Trouver les entiers n tels que le groupe des éléments inversibles de 2 n soit cyclique. (13). Un polynôme à coefficients dans est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Par ailleurs, si P désigne un polynôme à coefficients dans , on note P le pgcd de ses coefficients. a. Prouver que le produit de deux polynômes primitifs est un polynôme primitif. b. En déduire que pour tous polynômes P et Q à coefficients dans , on a PQ P Q . . c. Prouver qu'un polynôme à coefficients dans qui est produit de deux polynômes à coefficients dans est produit de deux polynômes à coefficients dans .