XMP 2011-2012 ANNEAUX ET ARITHMÉTIQUE 1. Propriétés

XMP 2011-2012
ANNEAUX ET ARITHMÉTIQUE
1. Propriétés diverses dans un anneau
a. Soit I un idéal d'un anneau commutatif A contenant une unité de A (i.e. un élément inversible de A). Prouver
que I  A .
b. Montrer qu'un anneau commutatif A ne contenant pas d'autre idéal que 0 et lui-même est un corps.
c. Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A le plus petit entier positif non nul n, s'il existe, tel que
n.1A  0 A (si un tel entier n'existe pas, on dit que A est de caractéristique nulle).
Quelle est la caractéristique de Q, de R, de C, de Z/nZ ?
Prouver qu'un anneau intègre est soit de caractéristique nulle, soit de caractéristique égale à un nombre
premier.
Prouver qu'un anneau de caractéristique nulle contient un sous-corps isomorphe à Q.
d. Un élément a d'un anneau commutatif A est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que an  0 A .
Quels sont les éléments nilpotents de Z/36Z ?
Montrer que l'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau commutatif A est un idéal de A.
Montrer que si a est nilpotent, 1A  a est inversible, et déterminer son inverse (on écrira 1A  1A  an ).
e. Déterminer, s'il en existe, les corps à 4 éléments.
2.
Soit K un corps à 4 éléments, de neutres 0 et 1.
a. Prouver que 1  1  0 .
b. Soit a un élément de K autre que 0 et 1. Qui est le dernier élément de K ?
c. Dresser les tables de (K,  ) et de (K*, . ) . Conclure.
3.
Pour n entier, déterminer le pgcd de 10n  1 et de 4n  3 .
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4.
Quel est le dernier chiffre de 7
5.
Résoudre dans Z/37Z :
3x  7y  3
a. 
6x  7y  0
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?
b. x2  4x  8  0 (indication : 62  1 ).
6.
Quels sont les entiers qui sont différence de deux carrés ?
7. On écrit un entier n en base 10. Prouver que n est multiple de 17 si et seulement si le nombre N égal à 5 fois le
dernier chiffre de n moins le nombre égal à n privé de son dernier chiffre est lui-même multiple de 17.
4513 est-il multiple de 17 ?
8.
Résoudre, dans Z/91Z, l’équation x 2  3x  2  0 .
9. Nombres de Mersenne, nombres de Fermat
On cherche ici des nombres premiers sous une forme particulière : 2n  1 pour les nombres de Mersenne, 2n  1
pour les nombres de Fermat. Prouver que :
a. 2n  1 premier implique n premier.
b. 2n  1 premier implique n est une puissance de 2.
10. Soient a et b deux entiers premiers entre eux, et c un entier quelconque. On étudie l'équation ax  by  c aux
inconnues x et y entières.
a. Montrer que cette équation possède au moins une solution (x0, y0) , et exprimer toutes les solutions à l'aide de
cette solution particulière.
b. Montrer que pour c  ab , il existe une solution (x, y) avec x et y tous deux positifs.
c. On dispose de timbres de 5 et de 9 centimes. À partir de quel montant peut-on affranchir toutes les lettres ?
11. On note Z[i] l’ensemble des nombres complexes de la forme a  ib où a et b sont dans Z.
a. Prouver que pour tout couple (x, y) d’éléments de Z[i] avec y  0 , il existe q et r dans Z[i] tels que :
x  qy  r, avec r  y
Y-a-t-il unicité d’une telle écriture ?
d. Prouver que tout idéal de Z[i] est principal (c'est-à-dire engendré par un élément).
n 2
12. Soit a un entier impair et n  3 . Prouver que a2
inversibles de Z/2nZ soit cyclique.
 1 [2n] . Trouver les entiers n tels que le groupe des éléments
(13). Un polynôme à coefficients dans Z est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Par
ailleurs, si P désigne un polynôme à coefficients dans Z, on note  P  le pgcd de ses coefficients.
a. Prouver que le produit de deux polynômes primitifs est un polynôme primitif.
b. En déduire que pour tous polynômes P et Q à coefficients dans Z, on a  PQ    P Q . .
c. Prouver qu'un polynôme à coefficients dans Z qui est produit de deux polynômes à coefficients dans Q est
produit de deux polynômes à coefficients dans Z.