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AHIWO TECHNOLOGIE CALCULS NUMERIQUES I. Les fractions Méthode: Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : A= 8 4 5 7 7 3 8 20 7 21 24 20 = 21 21 44 = 21 A= B= 3 5 2 2 5 B = 3 : 2 2 9 = 3: 2 = 3 = 2 9 2 3 2 4 5 1 3 : 9 2 2 7 3 C= 3 6 4 5 C = : 9 2 14 9 2 35 3 = : 9 14 14 2 32 = : 9 14 2 14 = 9 32 2 7 14 = = = 9 16 144 7 72 II. Les puissances Méthode: Calculer et donner le résultat en notation scientifique et décimale : A = 7,5 x 105 x 4 x 8,2 x (10-5)2 B = 8 102 85 102 C= 3 103 7 103 50 104 A = 7,5 x 4 x 8,2 x 105 x (10-5)2 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE = 246 x 105 x 10-10 = 246 x 10-5 = 2,46 x 10-3 (Ecriture scientifique) = 0,00246 (Ecriture décimale) B = 800 + 0,85 = 800,85 = 8,0085 x 102 3 7 103 103 50 104 106 = 0,42 4 10 = 0,42 x 1010 = 4,2 x 109 = 4 200 000 000 C= DEVELOPPEMENTS I. La distributivité Méthode : Développer et réduire si possible : A = -(3 - 2x) B = 3(4 - 6x) C = -2x(5x + 7) D = 8x(x - 3) - (4 - 3x) A = 2x - 3 B = -18x + 12 C = -10x2 - 14x D = 8x2 - 24x - 4 + 3x = 8x2 - 21x - 4 II. La double distributivité Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE Méthode : Développer et réduire : A = (2x + 3)(3x - 4) B = -2(4x + 5)(x - 5) A = (2x + 3)(3x - 4) = 6x2 - 8x + 9x - 12 = 6x2 + x - 12 B = -2(4x + 5)(x - 5) = -2(4x2 - 20x + 5x - 25) = -8x2 + 30x + 50 III. Les identités remarquables 1) Formules (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 Méthode : Développer et réduire en utilisant les identités remarquables : A = (x + 3)2 B = (4 - 3x)2 C = (2x + 3)(2x - 3) A = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 B = (4 - 3x)2 = 16 - 24x + 9x2 C = (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 - 9 (2ab = 2xxx3) (2ab = 2x4x3x) 2) Application à des développements plus complexes Méthode: Développer et réduire en utilisant les identités remarquables : A = (2x - 3)2 + (x + 5)(3 - x) B = (x - 3)(x + 3) - (4 - 3x)2 A = (2x - 3) 2 + (x + 5)(3 - x) = 4x2 - 12x + 9 + 3x - x2 + 15 - 5x Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE = 3x2 - 14x + 24 B = (x - 3)(x + 3) - (4 - 3x)2 = x2 - 9 - (16 - 24x + 9 x2) = x2 - 9 - 16 + 24x - 9 x2 = -8x2 + 24x - 25 FACTORISATIONS Vient du latin « Factor » = celui qui fait Introduction : Retrouver les expressions qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) 2x) F = (1 + 3x)(x – 2) + 1 K = (x – 4) – 3(5 + B = (x + 3) + (1 – 3x) 3x) G = 4x – 15 L = (6 + x)2 – 4(2 + C = (x – 4) – 3(3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 – 4x) D = 2(1 + x) I = (x + 15)2 N = x(x – 2) E = 3(5 + x)(32 + 5x) x) J = 4 – (x – 5)(3x – 5) O = (2x + 1)2(1 + Réponses : A, D, E, H, I, M, N et O. I. Factoriser avec un facteur commun 1) Le facteur commun est un nombre ou une lettre Méthode : Pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible: A = 3x – 4x + 2x B = 4t – 5tx + 3t C = 4x – 4y + 8 D = x2 + 3x – 5x2 E = 3t + 9u + 3 F = 3x – x A = 3x – 4x + 2 x = x(3 – 4 + 2) =x C = 4x – 4y + 4x2 = 4(x – y + 2) E = 3t + 3x3u + 3x1 = 3(t + 3u + 1) F = 3 x – 1x Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE B = 4t – 5tx + 3t = t(4 – 5x + 3) = t(7 – 5x) D = x x x + 3 x - 5x x x = x(x + 3 – 5x) = x(-4x + 3) = x( 3 – 1 ) = 2x 2) Le facteur commun est une expression Méthode : Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire le 2e facteur si possible: A = 3(2 + 3x) – (5 + 2x)(2 + 3x) B = (4x – 1)(x + 6) + (4x – 1) C = (1 – 6x)2 – (1 – 6x)(2 + 5x) A = 3(2 + 3x) – (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(3 – (5 + 2x)) = (2 + 3x)(3 – 5 – 2x) = (2 + 3x)(-2 – 2x) B = (4x – 1)(x + 6) + (4x – 1)x1 = (4x – 1)(x + 6 + 1) = (4x – 1)(x + 7) C = (1 – 6x)(1 – 6x) – (1 – 6x)(2 + 5x) = (1 – 6x)((1 – 6x) – (2 + 5x)) = (1 – 6x)(1 – 6x – 2 – 5x) = (1 – 6x)(-11x – 1) II. Factoriser en appliquant une identité remarquable On applique une identité remarquable pour factoriser. Rappel : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a – b)(a + b) Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE Méthode : 1ere série : Factoriser : A = x2 – 2 x + 1 B = 4x2 + 12x + 9 C = 9 x2 – 4 D = 25 + 16x2 – 40x E = 1 – 49x2 F = 12t + 4 + 9t2 Retrouvons les termes : a2 b 2 2ab dans les expressions A = x2 – 2 x + 1 = (x – 1)2 (2ème I.R. avec a = x et b = 1) B = 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 (1ère I.R. avec a = 2x et b = 3) C = 9 x2 – 4 =(3x – 2)(3x + 2) (3ème I.R. avec a = 3x et b = 2) D = 25 + 16x2 – 40x =(5 – 4x)2 (2ème I.R. avec a = 5 et b = 4x) E = 1 – 49x2 =(1 – 7x)(1 + 7x) (3ème I.R. avec a = 1 et b = 7x) F = 12t + 4 + 9t2 =(2 + 3t)2 (1ère I.R. avec a = 2 et b = 3t) 2eme série : Factoriser et réduire : G = (2x + 3)2 – 64 H = 1 – (2 – 5x)2 G = (2x + 3)2 – 64 = 8) =((2x + 3) – 8)((2x + 3) + 8) =(2x + 3 – 8)(2x + 3 + 8) =(2x – 5)(2x + 11) (3ème I.R. avec a = 2x + 3 et b H = 1 – (2 – 5x)2 5 x) =(1 – (2 – 5x))(1 + (2 – 5x)) =(1 – 2 + 5x)(1 + 2 – 5x) =(-1 + 5x)(3 – 5x) (3ème I.R. avec a = 1 et b = 2 – Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE ARITHMETIQUE Le mot vient du grec « arithmos » = nombre. En effet, l’arithmétique est la science des nombres. Citons la célèbre conjecture de Goldbach énoncée en 1742 et à ce jour jamais démontrée : « Tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers » I. Divisibilité 1) Rappels Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : 1) 30 est divisible par 2, 5, 10 et 3. 2) 1071 est divisible par 3 et 9 3) 3192 est-il divisible par 7 ? Méthode : 3 1 9 2 on soustrait le double de 2 à 319 4 3 1 5 on soustrait le double de 5 à 31 -1 0 21 21 est divisible par 7, donc 3192 aussi. 3) 61952 est-il divisible par 11 ? Méthode : 6 1 9 5 2 on soustrait 2 à 6195 2 6 1 9 3 on soustrait 3 à 619 3 6 1 6 on soustrait 6 à 61 - 6 55 55 est divisible par 11, donc 61952 aussi. Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE 2) Nombres premiers Définition : Un nombre est premier s’il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie. 3) Diviseurs communs à deux entiers Exemple : Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 4) PGCD Définition : Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur à ces deux entiers. Exemple : Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, on note PGCD(60,100) = 20 5) Algorithme de calcul du PGCD de deux nombres entiers Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (IXème siècle). Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours de la même façon. Méthode 1 : L’algorithme d’Euclide Déterminons PGCD(252,360) - on divise le plus grand par le plus petit : Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE 360 252 108 1 - on divise le diviseur précédent par le reste précédent 252 108 36 2 - on divise le diviseur précédent par le reste précédent 108 36 0 3 - le reste est nul, on arrête. PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul) Méthode 2 : Soustractions successives Déterminons PGCD(252,360) : - on soustraie le plus grand par le plus petit : 360 – 252 = 108 - on soustraie les plus petits entre eux : 252 – 108 = 144 - on soustraie les plus petits entre eux : 144 – 108 = 36 - on soustraie les plus petits entre eux : 108 – 36 = 72 - on soustraie les plus petits entre eux : 72 – 36 = 36 - on soustraie les plus petits entre eux : 36 – 36 = 0 - la différence est nulle, on arrête. PGCD(252,360) = 36 (dernière différence non nulle) TP info : L’algorithme d’Euclide Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE II. Nombres premiers entre eux Exemple : Tous les diviseurs de 10 sont : Tous les diviseurs de 7 sont : 1, 2, 5, 10 1, 7 donc PGCD(10,7) = 1 On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux. Propriété : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exercices conseillés p47 n°46 à 50 p132 n°135 En devoir p47 n°51 III. Application aux fractions Définition : On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par le PGCD de son numérateur et son dénominateur. Méthode : Les fractions 10 252 et sont-elles irréductibles ? Dans le cas 7 360 contraire, les rendre irréductible. 10 1) PGCD(10,7) = 1 donc est irréductible. 7 252 252 : 36 7 2) PGCD(252,360) = 36 donc 360 360 : 36 10 EQUATIONS Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en : - al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui. Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations. I. Rappels des années passées Méthode: Résoudre les équations suivantes : 1) x - 3 = -16 2) -3 + x = 2 3) 14 x = 7 1 y5 3 4 5) x2 5 6) 3x - 5 + 8x + 2 = 7x - 9 7) 2(x - 3) - (x + 5) = 4 4) Solutions : 1) x = -13 2) x = 5 6) x = -3/2 7) x = 15 3) x = 1/2 4) x = 15 5) x = -5/2 II. Avec des fractions Méthode: Résoudre l’équation : x 4 x 1 3 3 12 4 4( x 4) x 1 9 12 12 12 x 4 x 1 3 3 12 4 Mettre au même dénominateur Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE 4( x 4) x 1 9 4x + 16 - x + 1 = 9 3x = -8 x= Supprimer le dénominateur commun 8 3 III. Equation produit Si a x b = 0, que peut-on dire de a et b ? « Faire des essais sur des exemples, puis conclure … ! » Propriété : Si a x b = 0 alors a = 0 ou b = 0. Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Méthode: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0 Si un produit de facteur est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Alors : 4x + 6 = 0 4x = - 6 6 x= 4 3 x = 2 ou 3 - 7x = 0 - 7x = - 3 3 x= 7 3 x= 7 3 3 S = ; 2 7 IV. Application à la résolution de problèmes Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE Méthode: Deux agriculteurs possèdent des champs ayant un côté commun de longueur inconnue. L’un est de forme carré, l’autre à la forme d’un triangle rectangle de base 100m. Sachant que les deux champs sont de surface égale, calculer leurs dimensions. On désigne par x la longueur du côté commun. Les donnés sont représentés sur la figure suivante : x 100 L’aire du champ carré est égale à x2. 100 x = 50x 2 Les deux champs étant de surface égale, le problème peut se ramener à résoudre l’équation : x2 = 50x L’aire du champ triangulaire est égale à Soit x2 - 50x = 0 x (x – 50) = 0 Si un produit de facteurs est nul alors l’un au moins des facteurs est nul. Alors x = 0 ou x – 50 = 0 x = 0 ou x = 50 La première solution ne convient pas à la situation du problème, on en déduit que le premier champ est un carré de côté de longueur 50m et le deuxième est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesure 100m et 50m. EXERCICE 1 1) 7 x 8 2) 2 x 8 x 4 8 x 6 7 4 x 2 3) : http://www.infotechno.africamotion.net/ x9 Site internet 3 4) ( x 5) 5(1 2 x) EXERCICE 2 x 1 x 1 2 5 3 3 2x 3 x 3 4x 2) x E-mail : [email protected] 6 8 4 3 x 4 4 x 12 x 7 3) 1) AHIWO TECHNOLOGIE RACINES CARREES (Partie 1) La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage ! Origine du symbole : IIe siècle : l12 = côté d’un carré d’aire 12 (l comme latus = côté en latin) 1525, Christoph RUDOLFF, all. : v12 (vient du r de racine) XVIe siècle, Michael STIFEL, all. : 12 (combinaison du « v » de Rudolff et de la barre « ancêtre des parenthèses) I. La famille des racines carrées 1) Définition Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] » AHIWO TECHNOLOGIE Exemples : 32 = 9 donc 2,62 9 =3 = 6,76 donc 6, 76 = 2,6 La racine carrée de a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a. Remarque : -5 = ? La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5. Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est impossible. -5 n’existe pas ! 2) Quelques nombres de la famille des racines carrées 0=0 1= 1 2 ≈ 1,4142 3 ≈ 1,732 (nombres ni décimaux, ni rationnels !) 3) Racines de carrés parfaits 4=2 100 9 =3 121 16 = 4 144 25 = 5 169 36 = 6 = 10 49 = 7 = 11 64 = 8 = 12 81 = 9 = 13 4) Racines carrées d’un nombre au carré Exemples : 32 = 9 =3 52 = 25 = 5 92 = 81 = 9 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE Pour un nombre positif a, a2 = a La racine « annule » le carré. II. Opération sur les racines carrées 1) Exemples a b a b a b a b a b 9 25 36 16 4 16 3 5 6 4 2 4 7 7 10 -1 3 2 12 10 24 a b 0,75 2,5 1,5 ab 5 ≈5,4 ≈7,2 2) Formules a ´ b= a = b a´b a b Attention : Les « non-formules » : a b ≠ ab et a b ≠ a b 3) Carré d’une racine carrée Pour a positif, a 2 a a a a a2 a Pour un nombre positif a, a = a 2 Le carré « annule » la racine. Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] a b Imp. ≈4,6 ≈4,5 ab 12 10 24 a b 0,75 2,5 1,5 AHIWO TECHNOLOGIE Méthode : Ecrire le plus simplement possible : 32 ´ 2 3 ´ 36 ´ 3 98 D= 2 A= G= 32 10 80 A= 32 ´ 2 = 64 = 8 B= 3 ´ 27 = 81 = 9 C= 3´ 3 ´ 98 = 2 50 = 72 D= E= F = 16 x G= 36 = B= 3 ´ 27 C= E= 50 72 F = (4 5)2 9 ´ 36 = 3 x 6 = 18 49 = 7 25 = 36 5 2 32 ´ 10 = 80 25 5 = 6 36 = 16 x 5 = 80 4 =2 4) Extraire un carré parfait Méthode : Ecrire sous la forme a b , avec a et b entiers et b étant le plus petit possible : Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE A= 72 A= 72 B= = 9´8 parfait : 9. = 9 x formule. 45 C = 3 125 ← On fait « apparaître » dans 72 un carré ← On extrait cette racine en appliquant une 8 =3x 8 ← On simplifie la racine du carré parfait. =3x 4´2 ← On recommence si possible. =3x 4 x =3x2x 2 2 =6 2 parfait. B= ← On s’arrête, 2 ne « contient » pas de carré 45 = 9´5 =3 5 C = 3 125 = 3 25 ´ 5 =3x5 5 = 15 5 Remarque : Pour que b soit le plus petit possible, b ne doit pas contenir de carré parfait. III. Application à la résolution d’équations Exemple : Résoudre l’équation x 2 5 x2 5 x2 5 0 ( x 5 )( x 5 ) 0 Un produit de facteur est nul si l’un au moins des facteurs est nul. Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE x 5 0 ou x 5 ou S 5; 5 x 5 0 x 5 Les solutions de l’équation x2 = a sont – a et a. Dans la pratique, on applique directement la propriété ! Méthode : Résoudre les équations suivantes : 1) x2 = 3 2) 2x2 = 32 3) (x – 3)2 = 9 1) x = - 3 ou x = 3 Les solutions sont - 3 et 3. 2) 2x2 = 32 x2 = 16 x = - 16 ou x = 16 x = -4 ou x = 4 Les solutions sont -4 et 4. 3) (x – 3)2 = 9 x - 3 = - 9 ou x - 3 = 9 x – 3 = -3 ou x – 3 = 3 x = 3 – 3 ou x = 3 + 3 x = 0 ou x = 6 Les solutions sont 0 et 6. RACINES CARREES (Partie 2) Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE I. Sommes et différences de racines carrées Rappel : 2+ 3 5 ou 6 – 2 4 (non-formules !) Comment simplifier des expressions contenant des sommes et des différences de racines carrées ? Méthode 1 : Ecrire le plus simplement possible : A = 4 3-2 3+6 3 B = 7 2 -3 5+8 2 C = 32 3 46 3 5 On regroupe les membres d’une même « famille de racines carrées » pour réduire l’expression. Les différentes familles de racines carrées sont : 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, ... A = 4 3-2 3+6 3 = 8 3 7 2 -3 5+8 2 - 5 = 15 2 - 4 5 B= C= = 3- 2 3 - 4 + 6 3 -1+ 4 3 Méthode 2 : Ecrire les expressions suivantes sous la forme sont des entiers et b le plus petit possible : A= B= a b , où a et b 12 + 7 3 - 27 125 - 2 20 + 6 80 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE On fait apparaître des racines carrées d’une même famille. Pour cela, il faut extraire des carrés parfaits. A = 12 + 7 déguisées » 3 - 27 = 4´3+7 « démasqués » ! = 2 3+7 l’expression. ← 12 et 27 sont des « 3 3 - 9 ´ 3 ← Elles sont maintenant 3-3 3 ← On peut alors réduire = 6 3 125 - 2 20 + 6 80 B = 25´ 5 - 2 4 ´ 5 + 6 16 ´ 5 = = 5 5 -2´2 5 +6´4 5 = 25 5 II. Racines carrées et développements Méthode : Ecrire les expressions suivantes sous la forme a + b c , où a, b et c sont des entiers relatifs : 3 4 B = 3 5 C = 2 5 2 5 D = 3 3 4 2 3 2 A= 2 2 A = 34 remarquable ← On applique les règles classiques de développement d’une expression comme on pourrait le faire sur des expressions algébriques. Les radicaux sont alors « traités » comme l’inconnue. ← On applique la 2e identité = ( 3)2 - 2 ´ 3 ´ 4 + 42 = 3- 8 3 +16 = 19 - 8 3 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE 2 B = 3 5 remarquable ← On applique la 1ère identité = 32 + 2 ´ 3 5 + ( 5)2 = 9+6 5 +5 = 14 + 6 5 C= 2 5 remarquable 2 5 ← On applique la 3e identité = ( 2)2 - ( 5)2 =2–5 = -3 D = 3 3 42 3 ← On applique la double distributivité = 12 - 6 3 + 4 3 - 2( 3)2 = 12 - 6 3 + 4 3 - 2 ´ 3 = 6-2 3 SYSTEMES D’EQUATIONS I. Résolution Dans une boulangerie, Fabien achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 5,60€. Dans la même boulangerie, Bob achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; il paie 4,20€. Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un croissant. Choix des inconnues : x le prix d’un pain au chocolat y le prix d’un croissant. Mise en équations : 3x 2 y 5,60 x 3y 4,20 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE Résolution du système d’équations : Méthode 1 : Par substitution 3x 2 y 5,60 x 3y 4,20 3x 2 y 5,60 x 4,20 3y On isole une inconnue dans une équation. 3 4,20 3y 2 y 5,60 x 4,20 3y On substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation. 12,60 9 y 2 y 5,60 x 4,20 3y On résout cette équation pour trouver une inconnue. 7 y 7 x 4,20 3y y 1 x 4,20 3 1 Cette inconnue étant trouvée, on la substitue dans l’autre équation. y 1 x 1,20 On calcule la 2e inconnue. On note : S = {(1,20 ; 1)} Conclusion : Le prix d’un pain au chocolat est de 1,20 € et le prix d’un croissant est de 1 €. Méthode 2 : Par combinaisons linéaires 3x 2 y 11 Résoudre le système suivant : 4x 5y 16 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE 3x 2 y 11 4x 5y 16 12x 8y 44 12x 15y 48 l1 l2 4 l1 3 l2 __________________________________________ 23y = 92 4 l1 3 l2 y = 92 : 23 y=4 l1 : 3x + 2x4 = 11 3x = 11 – 8 3x = 3 x=1 S = {(1 ; 4)} II. Interprétation graphique g(x) = 4x-4 2 x y 0 On considère le système : 4 x y 4 y 2x y 4x 4 Le système (S) équivaut à f(x) = 2x 4 1 O On désigne par (d) et (d’) les droites représentant les fonctions respectives : f ( x) 2 x et g ( x) 4 x 4 La solution du système est donc le couple (x ; y) Coordonnées du point d’intersection des deux droites (d) et (d’). 1 2 Par lecture graphique, on trouve le couple (2 ; 4) comme solution du système. INEQUATIONS I. Ordre et opérations Méthode : 1) Si x < 3, que peut-on dire de 3x – 4 ? Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE 2) Si 1 < x, que peut-on dire de 4 – 2x ? 1) x < 3 3x < 9 3x – 4 < 5 2) 1 < x -2 > -2x 2 > 4 – 2x L’inégalité se retourne lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif. II. Résolution d’inéquations Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue x. Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité. Il s’agit d’un ensemble de valeurs. Méthode : Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée : 1) 2x 3 4 5x 2) 2( x 4) 4x 5 1) 2x 3 4 5x 2 x 5x 4 3 7x 1 1 x 7 solutions 0 1/7 1 Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 1 . 7 2) 2( x 4) 4x 5 2x 8 4x 5 2x 4x 8 5 2x 3 3 x On divise par un nombre négatif donc on change le sens de 2 l’inégalité. 3 2 Les solutions sont tous les nombres supérieurs à . solutions Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected] AHIWO TECHNOLOGIE -2 -3/2 -1 0 1 2 3 Site internet : http://www.infotechno.africamotion.net/ E-mail : [email protected]
