Université de Marne-la-Vallée Licence Mathématiques et

Université de Marne-la-Vallée
1er semestre 2007/2008
Licence Mathématiques et Informatique, 3ème année
Algèbre
Feuille 4 : Anneaux
Exercice 1.
Soit (A, +, .) un anneau commutatif unitaire. Montrer que l’ensemble (A∗ , .) des éléments inversible de A
muni du produit est un groupe. Montrer que si x ∈ A n’est pas inversible alors xy n’est pas inversible, pour
tout y ∈ A. Montrer cependant que l’ensemble des éléments non inversibles de A n’est pas nécessairement
un idéal de A.
Exercice 2.
Montrer que A = C 1 (R) l’ensemble des fonctions continûment dérivables sur R, muni de l’addition et du
produit des fonctions, est un anneau commutatif unitaire. Soit D = {f ∈ A ; f 0 (0) = 0} et E = {f ∈
A ; f (0) = f 0 (0) = 0}. Montrer que D est un sous-anneau unitaire de A mais n’est pas un idéal de A et
que E est un idéal de A.
Exercice 3. Anneau de Boole
On appelle anneau de Boole un anneau A tel que pour tout x ∈ A, x2 = x. Soit A un anneau de Boole
1. Montrer que 2x = 0 pour tout x ∈ A. Montrer que A est commutatif. Soient x et y dans A. Calculer
xy(x + y). En déduire que si A contient plus de deux éléments non nuls, il n’est pas intègre.
2. Soit X un ensemble quelconque. Pour A et B inclus dans X, on pose A+B = A4 B = (A∪B)∩(A∩B)c
et A.B = A∩B. Montrer que (P(X), +, .) l’ensemble des parties de X muni de la différence symétrique
et de l’intersection est un anneau de Boole.
Exercice 4.
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau A = Mn (Z) ?
Exercice 5. (Idéaux bilatères des matrices carrées)
Pour 1 ≤ k, l ≤ n soit Ek,l la matrice définie par
1 si (i, j) = (k, l)
(Ek,l )i,j =
0 sinon
1. Pour A ∈ Mn (R), calculer AEk,l et Ek,l A.
2. Soit J un idéal bilatère non trivial de Mn (R). Soit A ∈ J, A 6= 0, montrer qu’il existe i0 , j0 tel que
Ei0 ,j0 ∈ J. En déduire que Ei,j ∈ J, ∀i, j. En conclure que J = Mn (R). En déduire que les seuls
idéaux bilatères de l’anneau Mn (R) sont {0} et Mn (R).
Exercice 6.
Déterminer les idéaux de Z, les idéaux premiers de Z, les idéaux maximaux de Z.
Exercice 7.
a b
On considère l’ensemble A =
Ma,b =
; a, b ∈ Z . Pour p premier, on définit Jp =
b a
{Ma,b ∈ A ; a + b ≡ 0 [p]}. Vérifier que A est un anneau commutatif unitaire et déterminer ses éléments
inversibles. On veut montrer que Jp est un idéal maximal de A. Pour cela on va utiliser deux méthodes:
1. (a) Montrer que Jp est un idéal de A.
(b) Soit I un idéal de A qui contient Jp . Supposons qu’il existe a0 , b0 ∈ Z tels que Ma0 ,b0 ∈ I \ Jp .
Montrer que Mka0 ,kb0 ∈ I, ∀k ∈ Z.
(c) Montrer que si Ma,b ∈ I alors Ma0 ,b0 ∈ I, ∀a0 , b0 ∈ Z tels que a + b ≡ a0 + b0 [p]. En déduire que
I = A. Conclure.
2. Soit f : A → Z définie par f (Ma,b ) = a + b. Montrer que f est un homomorphisme d’anneau unitaire
surjectif. En déduire que Jp est un idéal maximal de A.
3. Y a-t-il d’autres idéaux maximaux dans A ?
Exercice 8.
Soit A un anneau commutatif unitaire. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes
i) A n’admet qu’un seul idéal maximal.
ii) L’ensemble des éléments non inversibles de A est un idéal.
Exercice 9.
Soit A un anneau commutatif. On dit que a ∈ A est nilpotent s’il existe un entier n tel que an = 0. Montrer
que l’ensemble des éléments nilpotent est un idéal.
Exercice 10.
Pn
Soient A un anneau et a ∈ A. Montrer que l’ensemble I = { i=1 xi ayi ; n ≥ 1, xi , yi ∈ A, ∀i ∈ {1, ..., n}}
est un idéal de A.
Exercice 11.
Soient A et B deux anneaux, I un idéal de A et f : A → B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que
f (I) est un idéal de f (A) mais pas de B en général.
Exercice 12.
Montrer que tout anneau intègre fini non trivial est un corps. On pourra considérer l’application x 7→ ax,
où a ∈ A.
Exercice 13.
1. Quels sont les idéaux de R ?
2. Soit I un idéal de R2 différent de R2 . Montrer que I ⊂ {0} × R ou I ⊂ R × {0}. En déduire quels
sont les idéaux de R2 .
3. Soit I un idéal de Rn différent de Rn . Montrer qu’il existe i ∈ {1, ..., n} tel que I ⊂ {x ∈ Rn ; xi = 0}.
En déduire quels sont les idéaux de Rn .
Exercice 14. (Entiers de Gauss)
On note Z[i] := {a + ib ; a, b ∈ Z} et pour z ∈ C, N (z) := zz = |z|2 .
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau unitaire de C et que Z est sous-anneau unitaire de Z[i]. Verifier
que l’application z → z est un automorphisme de Z[i].
2. Montrer que z ∈ Z[i] est inversible si et seulement si N (z) = 1. Déterminer les éléments inversibles
de Z[i].
3. Soit I un idéal propre et non trivial de Z[i]. Montrer qu’il existe n ≥ 0 tel I ∩ Z = nZ. Montrer que
(n) ⊂ I ⊂ {z ∈ Z[i] ; N (z) ∈ nZ}. En déduire que n ≥ 2.
4. Montrer que si l’idéal I est premier, l’entier n défini à la question précédente est un nombre premier
p.
5. Soit p un nombre premier tel qu’il n’existe aucun entier r vérifiant r2 ≡ −1 [p]. Montrer que, dans
Z[i], on a (p) = {z ∈ Z[i] ; N (z) ∈ pZ}. En déduire que l’idéal (p) est maximal. Montrer que Z[i]/(p)
est un corps à p2 éléments.
6. Soit p un nombre premier tel qu’il existe un entier r vérifiant r2 ≡ −1 [p]. Montrer que l’idéal (p) de
Z[i] n’est pas premier.
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