ℕ

Matière : Mathématiques
Cours : Arithmétique dans
ℕ
Niveau : TCS
Parties du cours :
1.
2.
3.
4.
5.
L'ensemble ℕ - Division euclidienne.
Nombres pairs - Nombres impairs.
Nombre premier – Décomposition en facteurs premiers.
Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
Diviseur d'un nombre – Le plus grand commun diviseur (PGCD).
1 - L'ensemble
1 - L'ensemble
ℕ
ℕ
- Division euclidienne.
:
Définition :
On désigne par
On désigne par
ℕ l'ensemble des entiers naturels : ℕ = {0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4...} .
*
*
ℕ l'ensemble des entiers naturels non nuls : ℕ = {1 ; 2 ; 3 ; 4...}
Remarques :
Tous les éléments de l'ensemble ℕ sont positifs.
Les entiers naturels ne contiennent pas de virgule.
-
Notations :
si
si
n
n
est un entier naturel, on écrit : n ∈ ℕ et se lit n appartient à ℕ .
n'est pas un entier naturel, on écrit : n ∉ ℕ et se lit n n'appartient pas à
ℕ
Exemples :
2 ∈ ℕ
/
2,5 ∉ ℕ
/
21
∈ ℕ
7
/
22
∉ ℕ
7
-------------------------------- ( Exercice 1 ) --------------------------------2 - Division euclidienne :
Définition :
En arithmétique dans l'ensemble ℕ , la division euclidienne est une opération qui à
deux entiers appelés dividende et diviseur associe deux autres entiers appelés
quotient et reste.
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Notations :
Soient a et
tel que : a
a
b
q
r
:
:
:
:
b deux entiers naturels, il existe deux entiers naturels notés q
= b × q + r
r
et
dividende
diviseur
quotient
reste
Exemples :
126
Dividende
24
Diviseur
5
Quotient
15
Diviseur
6
Reste
On a :
126 = 5 × 24 + 6
.
184
Dividende
12
Quotient
4
Reste
On a :
184 = 12 × 15 + 4
.
-------------------------------- ( Exercice 2 ) --------------------------------3 – Critères de divisibilité
On dit qu'un nombre
par b est nul.
a
est divisible par
b
si le reste de la division euclidienne de
a
Par 2 : un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemples: 13 574 ; 279 836.
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Par 3 : un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples: 741 (7+4+1 = 12) ; 8 433 (8+4+3+3 = 18).
Par 4 : un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres de droite forment un nombre
divisible par 4.
Exemples: 35148 ; 57376.
Par 5 : un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est : 0 ou 5
Exemples: 3 570 ; 14 235.
Par 9 : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : 12 345 678 (1+2+3+4+5+6+7+8 = 36).
-------------------------------- ( Exercice 3 ) ---------------------------------
2 - Nombres pairs - Nombres impairs.
Définition :
Le nombre
n
est pair si et seulement si
0; 2; 4; 6; 8...
Le nombre
n
n
∈ ℕ
2
est impair si et seulement si
1; 3; 5; 7; 9..
, les nombres pairs sont :
n
∉ ℕ
2
, les nombres impairs sont :
Autrement :
-
On dit que
On dit que
n
n
est pair s'il existe un nombre k
est impair s'il existe un nombre
∈ ℕ tel que n = 2k .
k ∈ ℕ tel que n = 2k+1
.
-------------------------------- ( Exercice 4 ) --------------------------------------------------------------- ( Exercice 5 ) --------------------------------------------------------------- ( Exercice 6 ) --------------------------------
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3 - Nombre premier – Décomposition en facteurs premiers.
1 - Nombre premier :
Définition :
Soit p un entier naturel différent de 1 .
On dit que le nombre p est premier s'il n'est divisible que par
1
et lui même.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
Remarque :
Un entier naturel différent de
•
1
qui n'est pas premier est appelé composé.
Exemples :
12
est divisible par :
7
est divisible par :
1
n'est pas premier.
1, 2, 3, 4, 6, 12
1
et
7
alors
7
donc
12
n'est pas premier.
est premier.
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Remarque :
•
Un entier naturel différent de
par 2, 3, 5 ou 7 .
1
et inférieur à 100 est premier s'il n'est pas divisible
2 - Décomposition en facteurs premiers :
Propriété :
Tout entier naturel non nul et différent de 1 s'écrit sous forme de produit des facteurs
premiers.
Exemples :
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ℕ
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12
2
156
2
6
2
78
2
3
3
39
3
13
13
1
1
2
2
12 = 2 × 3
On obtient :
156 = 2 × 3 × 13
-------------------------------- ( Exercice 7 ) -------------------------------4 - Multiples d'un nombre – Le plus petit commun multiple (PPCM ).
1 - Multiples d'un nombre :
Définition :
Les multiples de
n
sont :
0, n , 2n , 3n...
Autrement :
b
est un multiple de
a
s'il existe un nombre
n ∈ ℕ
tel que :
b = n × a
Exemples :
-
Les multiples de 2 sont les nombres pairs
-
Les multiples de 3 sont :
0 × 3 = 0 / 1 × 3
-
Les multiples de 7 sont :
0 × 7 = 0 / 1 ×
{0, 3, 6, 9, 12, 15 ...}
= 3 / 2 × 3 = 6 /
{0, 7, 14, 21 ...} , car :
7 = 7 / 2 × 7 = 14
, car :
3 × 3 = 9
/
...
3 × 7 = 21
...
Remarques :
Page 5
-
Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers.
-
si
m
est un multiple non nul du nombre
x
alors :
x ⩽ m
.
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-------------------------------- ( Exercice 8 ) --------------------------------------------------------------- ( Exercice 9 ) -------------------------------2 - Le plus petit commun multiple (PPCM ) :
On dit que
multiple de
n
b
est multiple commun de
.
a
et
b
s'il est à la fois multiple de
a
et
Tous deux nombres entiers ont des multiples communs.
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels, on définit le
plus petit multiple commun de a et b .
Autrement :
Si
n
est un multiple de
a
et
b
PPCM (a , b)
alors
comme étant le
n ⩾ PPCM (a , b)
.
Exemples :
Les multiples de 8 sont :
{0, 8, 16, 24, 32...}
Les multiples de 12 sont :
{0, 12, 24, 36...}
Alors :
PPCM ( 8, 12) = 24
Les multiples de 3 sont :
Les multiples de 5 sont :
Alors :
{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18...}
{0, 5, 10, 15, 10...}
PPCM ( 3, 5) = 15
Méthodes :
Méthode 1 : énumérer les multiples des deux nombres puis prendre le plus petit.
Méthode 2 : décomposer les deux nombres en produit de facteurs premiers, puis
prendre le produit tous les éléments résultants élevés au plus grand exposant.
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Exemples :
PPCM (900 , 136)
Déterminer le
:
Méthode 2 :
900
2
136
2
450
2
68
2
225
3
34
2
75
3
17
17
25
5
1
5
5
1
2
2
900 = 2 × 3 × 5
On obtient :
Alors, les éléments obtenus sont :
2
3
136 = 2 × 17
2, 3, 5 et 17
Le produit des éléments élevé au plus grand exposant donne :
3
2
2
2 × 3 × 5 × 17 = 30600
5 - Diviseurs d'un nombre – Le plus grand commun diviseur (PGCD).
1 - Diviseurs d'un nombre :
Définition :
Soient
a
et
b
deux entiers naturels et
b
∈ ℕ .
a
Autrement : il existe n ∈ ℕ
a
non nul, on dira que
a
divise
b
si
et seulement si
Page 7
tel que
b ∈ n × a
et on note
a ∣ b
.
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Exemples :
-
2 est un diviseur de tous les nombres pairs.
-
Les diviseurs de
15
15
= 15 ∈ ℕ
1
-
/
sont :
{1, 3, 5, 15}
15
= 5 ∈ ℕ
3
Les diviseurs de 42 sont :
/
, car :
15
= 3 ∈ ℕ
5
{1, 2, 3, 6, 14, 21, 42}
/
15
= 1 ∈ ℕ
15
.
Remarques :
-
Tout nombre entier admet au moins deux diviseurs : 1 et lui même.
-
si
q
est un diviseur du nombre
x
x ⩾ q
alors :
.
2 – Le plus grand commun diviseur commun (PGCD ) :
On dit que
diviseur de
q
b
est diviseur commun de
.
a
et
b
a
s'il est à la fois diviseur de
et
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels, on définit le
plus grand diviseur commun de a et b .
Autrement :
Si
q
est un diviseur de
a
et
b
PGCD (a , b)
alors
comme étant le
q ⩽ PGCD(a , b)
.
Exemples :
Les diviseurs de
24
sont :
Les diviseurs de
45
sont :
Alors :
Les diviseurs de 150 sont :
Page 8
{1, 3, 5, 9, 15, 45}
PGCD ( 24, 45) = 3
Les diviseurs de 126 sont :
Alors :
{1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}
{1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 21, 42, 63, 126}
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150}
PGCD ( 126, 150) = 6
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ℕ
Niveau : TCS
Méthodes :
Objectif : Retrouver le
PGCD ( 126, 150)
en utilisant différentes méthodes :
Méthode 1 : énumérer les multiples des deux nombres puis prendre le plus grand
qui se répéte dans les deux listes. (cf. Page 8)
Méthode 2 : décomposer les deux nombres en produit de facteurs premiers, puis
prendre le produit des éléments communs élevés au plus petit exposant.
Exemple :
126
2
150
2
63
3
75
3
21
3
25
5
7
7
5
5
1
On obtient :
1
2
126 = 2 × 3 × 7
Alors, les éléments en commun sont :
150 = 2 × 3 × 5
2
et
2
3
Le produit des éléments élevé au plus petit exposant donne :
2 × 3 = 6
Méthode 3 : Algorithme des différences successives :
Exemple :
150 − 126 = 24
126 − 24 = 102
102 − 24 = 78
78 − 24 = 54
54 − 24 = 30
30 − 24 =
6
24 − 6 =
18
18 − 6 =
12
Page 9
12 − 6 = 6
6 − 6 = 0
On s'arrête au dernier chiffre non nul
On obtient
6
.
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Méthodes (Suite) :
Méthode 4 : Alogorithme des divisions successives :
150
126
24
1
ensuite
126
6
24
5
ensuite
24
6
0
4
On s'arrête lorsque le reste est nul, et on prend le diviseur de la dernière étape.
On obtient alors
6
.