Géométrie euclidienne en dimension 2 Exercice 1. Exercice 2

#209
Géométrie euclidienne en dimension 2
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Exercice 1.
Soit C le cercle d'équation x2 + y 2 − 4x − 2y = 0.
1) Centre et rayon de C ?
2) Déterminer des équations cartésiennes des cercles de centre O(−2; 3) tangents à C .
Exercice 2.
Soit D la droite d'équation x + 2y + 4 = 0 avec A(−1; −1) et B(3; 1). déterminer les cercles passant
par A et B et tangents à D.
Exercice 3.
On pose CO1 ,r1 , CO2 ,r2 et CO3 ,r3 trois cercles sécants deux à deux. On note D1 , D2 et D3 les trois
droites telles que C1 ∩ C2 ⊂ D3 , C1 ∩ C3 ⊂ D2 et C2 ∩ C3 ⊂ D1 .
1) Montrer que D3 ⊥ (O1 O2 )
−−−→ −−−→
2) Montrer que M ∈ D3
⇔ O1 M .O1 O2 = 12 (O2 O12 + r12 − r22 ).
3) Montrer que D1 , D2 et D3 sont parallèles ou concourantes.
Exercice 4.
2
Soit Dλ la droite d'équation (1 − λ2 )x + 2λy + (λS
− 2λ − 3) = 0 avec λ ∈ R.
2
1) Déterminer E = {M ∈ R , ∃λ / M ∈ Dλ } =
Dλ .
λ∈R
2)
Déterminer l'ensemble {M ∈ R2 , ∃(λ, µ) ∈ R2 / M ∈ Dλ ∩ Dµ etDλ ⊥ Dµ }.
Exercice 5.
Le triangle ABC est de périmètre p. On note I le centre du cercle inscrit et r son rayon.
−
→
−→
−→ →
−
1) Montrer que BC.IA + CA.IB + AB.IC = 0 .
2) Exprimer l'aire de ABC en fonction de r et p.
Exercice 6.
Le triangle ABC est équilatéral. Soit M un point quelconque et P , Q, R les symétriques de M par
rapport à (BC), (CA) et (AB) respectivement. Déterminer l'ensemble des points M tels que (AP ), (BQ),
et (CR) soient concourantes.
Puissance d'un point par rapport à u cercle (NEW)
Le cercle C est de centre ω et rayon r. On pose P un point quelconque et A et B les points de C
appartenant à une sécante passant par P .
1) Montrer que P A.P B est constant.
2
2
2) Montrer que si C a pour équation x + y − 2ax − 2by + c = 0, alors
Exercice 7.
P A.P B = x20 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c
avec P (x0 , y0 ).
3) Déterminer le lieu des points ayant même puissance par rapport à deux cercles (on l'appelle l'axe
radical).
Exercice 8.
On pose A(0, a) et d une droite d'équation y = mx. Une droite ∆ de pente n coupe (Ox) en M et d
en M 0 .
14 septembre 2015
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Thierry Sageaux
Géométrie euclidienne en dimension 2
1)
2)
Donner une équation du cercle de diamètre [M M 0 ] noté C .
Montrer que lorsque ∆ pivote autour de A, le cercle C reste orthogonal à un cercle xe.
Fonction numérique de Leibniz
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a.
Quels sont les points M du plan (ABC) tels que M A2 + a2 = 2(M B 2 + M C 2 ) ?
Exercice 9.
Cercle circonscrit à un triangle
Soit ABC un triangle et C son cercle circonscrit. Soit M un point du plan de coordonnées barycentriques (x, y, z) dans le repère ane (ABC).
Montrer que : M ∈ C ⇔ xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 = 0 ⇔ xyAB 2 + xzAC 2 + yzBC 2 = 0.
Exercice 10.
Cercle stable par une application ane
Soit C = C(O, r) un cercle du plan et f une application ane telle que f (C) = C . Montrer que f est
une isométrie de point xe O.
Exercice 11.
Point équidistant d'une famille de droites
Pour λ ∈ R on considère la droite Dλ d'équation cartésienne : (1 − λ2 )x + 2λy = 4λ + 2.
Montrer qu'il existe un point Ω équidistant de toutes les droites Dλ .
Exercice 12.
Bissectrice de deux droites
Soient D, D0 deux droites distinctes sécantes en O.
On note H = {M tq d(M, D) = d(M, D0 )}.
0
1) Montrer que H est la réunion de deux droites perpendiculaires. (appelées bissectrices de (D, D ))
0
2) Soit s une symétrie orthogonale telle que s(D) = D . Montrer que l'axe de s est l'une des droites
de H
0
3) Soit C un cercle du plan tangent à D . Montrer que C est tangent à D et à D si et seulement si
son centre appartient à H.
Exercice 13.
Trois gures isométriques
Trois gures F1 , F2 , F3 se déduisent l'une de l'autre par rotations. Montrer qu'il existe une gure F
dont F1 , F2 , F3 se déduisent par symétries axiales.
Exercice 14.
Produit de 3 rotations
Soit ABC un triangle direct d'angles α, β, γ .
On note ρ, ρ0 , ρ00 les rotations autour de A, B, C d'angles α, β, γ , orientés dans le sens direct
Qu'est-ce que ρ ◦ ρ0 ◦ ρ00 ?
Exercice 15.
Sous-groupes nis de déplacements
Soit G un sous-groupe ni de déplacements du plan.
a) Montrer que G est constitué uniquement de rotations.
−1
b) Soient f, g ∈ G. Montrer que f et g ont même centre (étudier f ◦ g ◦ f
◦ g −1 ).
c) Prouver enn que G est cyclique.
2) Soit G un sous groupe ni d'ordre p d'isométries du plan, non toutes positives.
a) Montrer que G contient autant d'isométries positives que négatives.
b) Montrer que G est un groupe diédral (groupe d'isotropie d'un polygone régulier).
Exercice 16.
1)
Centrale MP 2000
Soit E un plan ane euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine O. Soit A le point de coordonnées (a, 0). Pour tout point M , on dénit M 0 = f (M ) de la manière suivante : A, M, M 0 sont alignés et
(M O) est orthogonale à (M 0 O). Expliciter f en fonction des coordonnées (x, y) de M . Donner son domaine de dénition. Montrer que f réalise une bijection entre le demi-disque supérieur de diamètre [AO]
et le quart de plan d'équations x < 0, y > 0.
Exercice 17.
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Thierry Sageaux
Géométrie euclidienne en dimension 2
Solutions des exercices
Exercice 1.
1)
2)
√
Ω(2; 1) et r = 5.
x2 + y 2 + 4x − 6y + 8 = 0 et x2 + y 2 + 4x − 6y − 32 = 0.
Exercice 2.
Ω1 (1; 0) et r1 =
√
15
2 d'une part et Ω2 ( −7
8 ; 4 ) et r2 =
17
8
√
5 d'autre part.
Exercice 3.
Si {A, B} = C1 ∩ C2 , alors (O1 O2 ) est médiatrice de [AB].
−−−→ −−→
−−−→ −−−→
−−→ −−−→
−−→ −−−→
On a O1 O2 .AM = 0 ⇔ O1 M .O1 O2 = −AO1 − O1 O2 . Mais r22 = (AO1 + O1 O2 )2 ⇒
−−−→ −−−→ 1 −−−→2
O1 M .O1 O2 = 2 (O2 O1 + r12 − r22 ).
−−−→ −−−→
1
2
2
2
3) Ecrire la question 2 pour d2 et D3 et avec M ∈ D2 ∩ D3 , on a O2 M .O2 O3 =
2 (O2 O3 + r2 − r3 )
donc M ∈ D1 .
1)
2)
Exercice 4.
Si x0 = 1, alors y0 6= 1. Si x0 6= 1, on obtient une équation de degré 2 en λ avec ∆ = (x0 − 2)2 +
(y0 − 1)2 − 1 ≥ 0. Donc Mi nE si et seulement si M est extérieur au cercle de centre Ω(2; 1) de rayon
1.
−
→
−
→
2
2
2) Si x0 6= 1, on a pour vecteur normaux nλ (1 − λ , 2λ) et nµ (1 − µ , 2µ). La perpendicularité donne
1 − y0
x −3
−
−
→
n→
⇔ (1 − λ2 )(1 − µ2 ) + 4λµ = 0. Donc λ + µ = 2
et λµ = 0
. On a donc
λ .nµ = 0
1)
1 − x0
1 − x0
x20 + y02 − 4x0 − 2y0 + 3 = 0 ⇔ (x0 − 2)2 + (y0 − 1)2 = 2.
√
On trouve donc le cercle de centre (2, 1) et de rayon 2 privé des points de coordonnées (1, 0) et (1, 2).
(λµ)2 − (λ + µ)2 + 6λµ + 1 = 0
⇔
Exercice 5.
1)
On note G le barycentre de {(A; a), (B; b), (C; c)} et dC = d(G, (AB)).
On a
−→ −−→
−−→
−−→ −−→
| det(GA, GB)|
| det(−bGB − cGC, GB)|
dC =
=
=
c
2c
2ac
−−→ −−→
| det(GC, GB)|
aire(GBC
=
=
= dA .
2a
a
aire(GAB)
Donc dA = dB = dC et G = I .
Exercice 8.
1)
On trouve M
a
ma
−a
0
, 0 et M
;
. Donc
n
m−n m−n
x2 + y 2 + x
2)
a(m − 2n)
am
a2
−y
=
n(m − n)
m−n
n(m − n)
On pose Γ le cercle cherché d'équation : x2 + y 2 − 2αx − 2βy + γ = 0. On a alors Γ ⊥ C qui implique
a
1
1
−
m−n n
α+
am
−a2
β=
+ γ.
m−n
n(m − n)
cette équation est vraie pour tout n, donc
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Thierry Sageaux
Géométrie euclidienne en dimension 2
(
γ=0
2aα + amβ − mγ = 0
−amα + a2 = 0
D'où une équation de Γ : x2 + y 2 −
⇔

a


 α= m
−2a .
β=


m2

γ=0
2a
4a
x + 2y = 0 .
m
m
Exercice 9.
Cercle circonscrit au triangle A0 BC symétrique de ABC par rapport à (BC).
Exercice 10.
xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 = r2 − OM 2 avec C = C(O, r).
xyAB 2 + xzAC 2 + yzBC 2 = xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 .
Exercice 12.
Ω = (1, 2).
Exercice 14.
Décomposer les rotations en symétries.
Exercice 15.
la symétrie centrale (α + β + γ = π ) autour de K , point de contact du cercle inscrit et de (AC).
Exercice 17.
x0 =
[AO].
−axy
ay 2
, y0 = 2
, M 0 est bien déni ssi M n'appartient pas au cercle de diamètre
2
2
x + y − ax
x + y 2 − ax
Soit D le demi-disque supérieur de diamètre [AO], D est caractérisé par les inégalités x2 + y 2 − ax < 0,
y > 0 d'où x0 < 0 et y 0 > 0. La réciproque se traite (péniblement) en remarquant que seuls les points
de D ont une image dans ce quart de plan et que f est quasi-involutive.
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