Photonique

Photonique
M 3.3.2
2e année, IUT du Limousin
Département Mesures Physiques
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T RAVAUX DIRIGÉS
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Version 1.5, 2011
L. Grossard ([email protected])
L. Delage ([email protected])
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
1 : GÉNÉRALITÉS
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Pouvez-vous définir ce qu’est la radiométrie ?
2. Qu’est-ce qu’un photon ?
3. De quel paramètre dépend l’énergie d’un photon ?
4. Quel est le domaine de longueurs d’onde correspondant au visible ?
5. Donnez la définition de l’angle plan.
6. Donnez la définition de l’angle solide.
7. Quel est l’angle solide élémentaire d’une couronne élémentaire ?
8. Quel est l’angle solide d’un cône de demi-angle au sommet θ0 ? Sauriez-vous retrouver ce résultat
par le calcul ?
9. Quel est l’angle solide de tout l’espace ?
10. Dans l’expression Ω = πθ02 , dans quelle unité est exprimé θ0 ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
Calculez l’angle solide sous lequel on voit la Lune depuis la Terre. Données : diamètre de la Lune =
3 475 km, distance Terre-Lune = 384 400 km. Quel pourcentage de la sphère céleste la Lune occupe-t-elle ?
Solution : Ω = 6.42 · 10−5 sr, Ω/Ωsc = 0.001 %
Exercice 2
Calculez l’angle solide sous lequel on voit la Terre depuis la Lune. Données : rayon moyen de la Terre
= 6 370 km, distance Terre-Lune = 384 400 km. Quel pourcentage de la sphère céleste la Terre occupe-t-elle
vue depuis la Lune ?
Solution : Ω = 8.62 · 10−4 sr, Ω/Ωsc = 0.014 %
Exercice 3
On considère un satellite constitué d’une sphère de rayon r et de deux panneaux solaires de largeur l et de longueur L. Ce satellite est à une altitude d.
Calculez l’angle solide sous lequel on voit le satellite depuis la Terre. Pour simplifier, on suppose que les panneaux solaires sont perpendiculaires à la direction d’observation. Application numérique : r = 1 m, l = 50 cm, L = 1, 40 m
et d = 400 km.
Solution : Ω = 2, 84 · 10−11 sr
— TD 1 —
C ALCUL D ’ ANGLES SOLIDES
Angle solide de la Terre vu par un satellite
Un satellite artificiel sphérique décrit une orbite circulaire autour de la Terre. Sa distance à la surface de
la Terre est notée h. Le rayon de la Terre, supposée aussi sphérique, est noté R.
1. Quelle est l’expression de l’angle solide d’un disque délimitant un cône de demiangle au sommet θ0 ?
S
θ0 h
2. Exprimez cos θ0 en fonction de R et h.
3. Déterminez alors l’expression de l’angle solide Ω sous lequel le satellite voit la A
Terre en fonction de R et h.
4. Faites l’application numérique avec h = 1000 km et R = 6380 km.
R
B
Terre
Disque solaire
Vu de la Terre, le soleil est un disque dont le diamètre angulaire vaut θS . Déterminez l’expression de
l’angle solide ΩS sous lequel le disque solaire est perçu d’un point de la Terre. Faites l’application numérique avec θS = 32 ′ .
Détecteur rectangulaire
Donnez l’expression de l’angle solide Ω sous lequel on voit d’un point d’observation O un détecteur de
surface rectangulaire de dimensions a×b situé à une distance d de O ? La normale au centre M du détecteur
−−→
fait un angle θ avec la direction définie par le vecteur OM . Faites l’application numérique avec a = 1, 5 cm,
b = 0, 5 cm, θ = 15◦ et d = 14 m.
Couronne sphérique
Montrez que l’angle solide élémentaire dΩ d’une couronne sphérique de rayon a et d’angle au sommet
moyen θ s’écrit :
dΩ = 2π sin θdθ
Pour cela, on supposera que la normale à la couronne est parallèle à la direction d’observation. Vous calculerez d’abord la surface apparente élémentaire d2 S d’une section de couronne, puis par intégration, la
surface apparente dΣ de la couronne sphérique.
~n
dθ
~u
O
a
θ
d2 S
M
β
dΣ
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
2 : GRANDEURS DE LA RADIOMÉTRIE
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Quelle est la définition du flux ?
2. Quels sont les trois types d’unités pour quantifier le flux ?
3. Quelle est la définition de l’intensité d’une source ponctuelle ?
4. Quelle est la définition de la luminance d’une surface émissive ?
5. Quelle est la relation donnant le flux émis par une source de surface S dans un angle solide Ω en
fonction de sa luminance ?
6. Qu’est-ce qu’une source lambertienne ?
7. Donnez la définition de l’exitance d’une source.
8. Donnez la définition de l’éclairement d’un détecteur.
9. Quelles sont les unités des cinq grandeurs de la photométrie dans chacun des trois systèmes d’unités ?
10. Qu’est-ce qu’une grandeur spectrique ?
11. Que sont les visions photopique et scotopique ?
12. Donnez la définition de l’efficacité lumineuse.
13. Que dit la loi de Bouguer-Lambert ? Sauriez-vous la redémontrer ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
Quelle est l’intensité d’une source ponctuelle qui rayonne uniformément dans tout l’espace un flux de
90 W ?
Solution : I = 7.2 W/sr
Exercice 2
Un détecteur carré de 5 mm de côté reçoit un flux homogène de 100 µW sous un angle d’incidence de
60◦ . Calculez l’éclairement sur la surface du détecteur.
Solution : E = 4 W/m2
Exercice 3
Un faisceau laser de puissance 1 W traverse une cuve de dissolvant contenant des molécules absorbantes. L’épaisseur de la cuve est de 1 cm. Le coefficient d’absorption vaut α = 3 cm−1 . Quelle est la
puissance du faisceau laser à la sortie de la cuve ?
Solution : φ = 50 mW
— TD 2 —
G RANDEURS RADIOMÉTRIQUES
Exercice 1 : visibilité d’une source lumineuse
Une source ponctuelle rayonne un flux énergétique Φe de lumière blanche de manière isotrope dans tout
l’espace. L’objet de cet exercice est de déterminer jusqu’à quelle distance D cette source reste détectable à
l’œil nu.
1. On note η l’efficacité lumineuse de la lumière blanche sur l’œil. Déterminez l’intensité lumineuse Iv
de la source rayonnée dans une direction donnée en fonction de Φe et η.
2. Déterminez l’angle solide Ωœil sous lequel l’œil est vu de la source ponctuelle. L’œil est situé à une
distance DS de la source. Le diamètre pupillaire de l’œil en observation nocturne est noté d.
3. Déduisez-en en fonction de DS , d, η et Φe , le flux lumineux Φr reçu par l’œil provenant de la source.
4. La limite de la sensibilité de l’œil étant notée Φlim , quelle est la distance Dmax maximale pour laquelle
la source sera encore visible à l’œil ? Calculez la valeur numérique de Dmax avec Φe = 10 W, η =
250 lm/W, d = 8 mm, et Φlim = 10−13 lm.
5. Que devient l’expression littérale de cette distance lorsque l’on prend en compte l’absorption par l’atmosphère de coefficient d’atténuation moyen α ? Faites l’application numérique avec α = 4 · 10−5 m−1
6. Déterminez cette distance pour une bougie dont l’intensité lumineuse est I (sans tenir compte de
l’absorption par l’atmosphère). Faites l’application numérique avec I = 1 cd
Exercice 2 : éclairement d’une table de travail
Une table de travail plane, de forme carrée de côté 2a, est éclairée par une lampe S supposée ponctuelle
qui rayonne de manière isotrope un flux Φe de lumière blanche dans tout l’espace. L’efficacité lumineuse
du rayonnement est notée η. La lampe peut se déplacer en hauteur selon la verticale OS.
z
S
α
O
1.
2.
3.
4.
dΩ
dS
M
B
x
Déterminez l’intensité lumineuse I0 de la source ponctuelle dans le système visuel.
Déterminez le flux dΦR recueilli sur la surface élémentaire dS située au point M au centre de la table.
Déduisez-en l’éclairement lumineux reçu E(M ) en fonction de a, α, Φe et η.
On fait varier la hauteur z de la lampe par rapport à la table. Donnez l’expression littérale de la
hauteur de lampe, zmax , pour laquelle l’éclairement en M est maximal. Calculez la valeur numérique
de z avec a = 0, 7 m.
5. Pour pouvoir lire sans fatigue, on veut un éclairement de 40 lx au centre de la table. Calculez le flux
énergétique Φopt que la lampe doit fournir ainsi que les éclairements EO et EB aux extrémités O et B
de la table. On prendra η = 100 lm/W.
6. Pour une lampe à filament de tungstène, le rendement énergétique ρ. Quelle est dans ce cas la puissance électrique P de la lampe ? Faites l’application numérique avec ρ = 8 %.
7. Par quel moyen simple peut-on améliorer l’éclairement de la table ?
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
3 : É MISSION DU RAYONNEMENT
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Pouvez-vous définir les deux types de rayonnements optiques existants ?
2. Qu’est qu’un corps noir ?
3. À partir de la loi de Planck, retrouvez la loi de Wien. Quelle approximation avez-vous fait ?
4. Que dit la loi du déplacement de Wien ?
5. Donnez la seconde loi de Wien ?
6. Que dit la loi de Stefan ?
7. Qu’est-ce que l’efficacité lumineuse d’un corps noir ?
8. Donnez la définition de l’émissivité spectrale directionnelle.
9. Donnez la définition de la température de luminance.
10. Expliquez le principe du pyromètre monochromatique visuel.
11. Quel est l’intérêt du pyromètre bichromatique ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
Une planète, assimilée à un corps noir, émet un maximum de lumière à la longueur d’onde λm =12, 5 µm.
1. Calculez sa température de surface.
2. Quelle est alors la luminance spectrique à cette longueur d’onde ?
3. Quelle est la luminance totale de la planète ?
4. Quelle est son exitance totale ?
Solution : 1) T = 231, 8 K
163, 7 Wm−2
m
= 2, 7 Wm−2 sr−1 µ−1 m
2) LλCN,T
3) L0CN,T = 52, 1 Wm−2 sr−1
0
=
4) MCN,T
Exercice 2
Calculez la luminance d’un corps noir à la température T=6000 K, intégrée dans le domaine 0.4 à 0.7 µm
(domaine du visible).
R 0.7µm
Solution : 0.4µm LλCN,T dλ = 7, 9 · 106 Wm−2 sr−1
Exercice 3
Quelle est la température de luminance à la longueur d’onde λm d’un corps réel d’émissivité ε = 0.8 et
de température T=3500 K.
Solution : Tλ = 3348 K
— TD 3 —
R AYONNEMENTS THERMIQUES
Exercice 1 : température d’équilibre de la Terre
L’objectif de cet exercice est de calculer la température d’équilibre de la Terre située à une distance
D = 150 · 106 km du soleil, lui-même considéré comme un corps noir sphérique de température Ts = 5 900 K
et de rayon Rs = 700 000 km.
1. En utilisant la loi de Stephan, donnez l’expression de la luminance L0soleil totale rayonnée par le soleil.
Faites ensuite l’application numérique.
2. Déterminez l’expression de l’éclairement solaire Er reçu au niveau de la planète en supposant que le
soleil est au zénith de la surface réceptrice considérée sur la Terre. Faites l’application numérique.
3. Considérons A(λ) le facteur d’absorption spectrale de la Terre, RT est le rayon de la Terre et LλCN,TS
la luminance spectrique énergétique du soleil. Donnez l’expression littérale du flux solaire total Φabs
absorbé par la Terre en fonction de A(λ), RT , RS , D et LλCN,TS .
4. On assimile la Terre à une source lambertienne de température effective Te émettant dans l’espace à
partir de sa surface entière. Donnez l’expression littérale du flux Φémis émis par la Terre en fonction
λ
l’exitance spectrique du corps noir à la température Te , et de εlambda .
de RT , de MCN,T
e
5. À l’équilibre thermique, le flux émis par la Terre est égal au flux absorbé. Déduisez-en l’équation
λ
d’inconnue Te liant A(λ), RT , D, MCN,T
et LλCN,Ts .
e
6. On suppose que l’émissivité et l’absorption de la Terre sont deux grandeurs constantes et égales
quelle que soit la longueur d’onde (A(λ) = ελ = ε). Déduisez-en l’expression littérale de Te en
fonction de Rs , D et Ts . Pour cela, retrouvez l’expression simple reliant la luminance et l’exitance
d’un corps noir. Faites l’application numérique.
Exercice 2 : utilisation d’un pyromètre à filament
1. Rappelez la définition de la température de luminance d’un corps. En supposant que les conditions de
la loi de Wien soient vérifiées, retrouvez la loi fondamentale de la pyrométrie permettant de retrouver
la température réelle d’un corps en connaissant sa température de luminance.
2. Un pyromètre optique centré sur 0, 65 µm vise un alliage de nickel à haute température dont l’émissivité ελ est égale à 0,70. La température de luminance Tλ lue au pyromètre est égale à 1010 ◦ C. Quelle
est la température réelle du corps visé ?
3. Quelle sera la température de luminance lue si on interpose entre le corps visé et le pyromètre un
hublot muni d’une fenêtre en silice dont le facteur de transmission est de τ = 0,91 ?
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
4 : L ES LASERS
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Que signifie l’acronyme LASER ?
2. Quelles sont les caractéristiques d’une source laser ?
3. Pouvez-vous expliquer ce qu’est l’émission stimulée ?
4. Expliquez pourquoi l’inversion de population est nécessaire pour qu’il y ait oscillation laser.
5. Qu’est-ce que la courbe de rendement ? Décrivez les caractéristiques de cette courbe.
6. Quelle est la condition de résonance dans une cavité laser ?
7. Déduisez-en l’expression de l’intervalle spectral libre.
8. Sauriez-vous définir ce qu’est la cohérence temporelle d’une source lumineuse ?
9. Quels sont les différents modes de fonctionnement des lasers ?
10. Quel mode permet d’obtenir des impulsions lumineuses ultra-brèves ?
11. Quels sont les différents types de laser ? Pouvez-vous citer quelques exemples de chaque type ?
12. Qu’est-ce que la zone à sécurité oculaire ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
Un laser YAG pompé par une diode laser a un seuil d’oscillation laser de 1 W, et une pente d’efficacité
de 0.3. Quelle est la puissance délivrée par le laser :
– pour une puissance de pompage de 700 mW ?
– pour une puissance de pompage de 1, 7 W ?
Solution : P1 = 0 W, P1 = 0, 21 W
Exercice 2
Quel est l’intervalle spectral libre δν d’une cavité laser de longueur 1 m ?
Solution : δν = 150 MHz
Exercice 3
Un laser Hélium-Néon émet un rayonnement à la longueur d’onde λ = 632, 8 nm. La largeur de bande
de la courbe de gain est de 1 nm. Calculez la largeur de bande correspondante en Hz. Calculez ensuite la
longueur de cohérence de cette source.
Solution : Lc = 0, 4 mm
Exercice 4
La distance Terre-Lune est mesurée à l’aide d’impulsions laser. Sachant que l’écho lumineux survient
2, 56 s après l’émission de l’impulsion depuis la Terre, calculez la distance Terre-Lune.
Solution : d = 383 734 km
Exercice 5
On considère un laser Hélium-Néon émettant un faisceau gaussien TEM00 à λ = 632, 8 nm. La taille du
col du faisceau vaut ω0 = 1 mm. Calculez la longueur de Fresnel zf du faiceau, l’angle de divergence du
faisceau, en degrés, et l’étalement transversal du faisceau à la distance z = 10 m.
Solution : zf = 4, 96 m, θ = 1, 15 · 10−2 ◦ , ω(z = 10 m) = 2, 25 mm
— TD 4 —
A PPLICATIONS DU LASER : LE TÉLÉMÈTRE
1. Considérons un laser émettant un faisceau de longueur d’onde λ = 1064 nm modulé en amplitude à
la fréquence νM = 80 kHz. Le champ électrique est donné par :
E(t) = E0 (1 + a cos 2πνM t)1/2 × cos(2πνopt t)
a est l’amplitude de modulation.
(a) Représentez E(t) sur quelques périodes de modulation (ne respectez pas l’échelle). Calculez et
faites apparaître sur le tracé la période de modulation TM et la période optique Topt .
(b) Comparez la fréquence de modulation à la fréquence optique.
(c) Donnez l’expression de la puissance lumineuse PE (t) émise par le laser et représentez-la graphiquement pour t allant de 0 à 2TM . On supposera que le temps d’intégration du capteur τ est
très faible par rapport à TM , et très grand par rapport à Topt .
(d) Déterminez l’expression de la puissance du signal retour PR (t), la cible étant située à la distance
D de l’émetteur.
(e) Donnez l’expression de la distance D en fonction du déphasage Φ mesuré et montrez qu’il existe
une indétermination sur D.
(f) Montrez que l’on peut lever l’indétermination sur D soit en effectuant deux mesurages à des
fréquences νM voisines, soit en effectuant un seul mesurage à νM faible.
2. On se place à νM faible.
(a) Compte tenu de la fréquence de modulation, quelle est la plus grande distance mesurable ?
(b) Le télémètre mesure un déphasage égal à 5 rad. Déterminez la distance à laquelle se trouve la
cible.
(c) On note ∆Φ et ∆νM les incertitudes sur le déphasage et la fréquence de modulation respectivement. Montrez que l’incertitude sur D s’écrit :
∆D = D ×
∆Φ
∆νM
+D×
Φ
νM
(d) Montrez que l’on a intérêt à faire une mesure à νM élevé pour avoir une bonne exactitude.
(e) L’incertitude sur la fréquence de modulation est de 10−2 %, l’incertitude sur la mesure de Φ est
de 4.10−2 degré. Calculez numériquement ∆D.
— TD 5 —
P ROPRIÉTÉS TEMPORELLES DES FAISCEAUX LASERS
Considérons un laser YAG:Nd3+ dont le milieu amplificateur est constitué d’un barreau solide. La
courbe de gain de ce matériau, d’allure gaussienne, est centrée autour de la longueur d’onde λ0 = 1064 nm
et a une largeur ∆ν = 100 GHz. La longueur de la cavité laser est notée L. Les coefficients de réflexion des
miroirs sont notés R1 et R2 .
1. Faites un schéma du laser.
2. Calculez la largeur de la courbe de gain ∆λ. Calculez alors ∆λ/λ0 . Commentez.
3. Quelle est la condition de résonance ? Déduisez-en l’expression de l’espacement δν entre les modes
longitudinaux de la cavité. Faites l’application numérique avec L = 0, 5 m
4. Déterminez approximativement le nombre de modes longitudinaux à l’intérieur de la courbe de gain.
Expliquez pourquoi tous les modes ne vont pas osciller.
5. Le facteur de qualité d’un résonateur laser est donné par la relation suivante :
Q = 2π
ES
EP
où ES est l’énergie stockée dans la cavité, et EP est l’énergie perdue par cycle (un cycle correspond à
λ0 ).
Exprimez le facteur de qualité Q du laser en fonction de L, ν, R1 et R2 . Déduisez-en la largeur dν de
chaque mode longitudinal sachant que :
ν
Q=
dν
Faites l’application numérique avec R1 = 1, R2 = 0.9.
6. Déterminez qualitativement le profil temporel du signal émis. Déduisez-en la longueur de cohérence
du laser.
7. On place un interféromètre de Fabry-Pérot à l’intérieur de la cavité, dont le facteur de transmission
est donné par :
2π2e
1
2πδ
=
T =
avec Φ =
4R
Φ
λ
λ
1+
. sin2
(1 − R2 )
2
avec e l’épaisseur du Fabry-Pérot et R le coefficient de réflexion de ses miroirs.
(a) Représentez graphiquement la fonction de transfert du Fabry-Pérot et déterminez son intervalle
spectral libre ISLFP . Sur le même graphique, reportez la courbe de gain du laser.
(b) Quelle doit être son épaisseur pour que le laser soit monomode en longueur d’onde ?
(c) Montrez qu’une modification de l’épaisseur du Fabry-Pérot permet d’obtenir un laser accordable par sauts de mode.
(d) Déterminez l’expression litérale de la variation de l’intervalle spectral libre du Faby-Pérot ∆ISL
en fonction de la variation d’épaisseur ∆e de ce dernier.
(e) Déterminez l’expression litérale de la variation relative d’épaisseur du Fabry-Pérot qui permet
de passer d’un pic laser à l’autre dans le spectre. Faites l’application numérique.
8. Supposons que le laser fonctionne en modes couplés. On a au préalable retiré le Fabry-Pérot de la
cavité laser.
(a) Quel est le principe de fonctionnement ?
(b) Quel est dans ce cas le profil temporel du signal émis ?
(c) Quelle est la durée dt de l’impulsion laser ?
(d) Quelle est la durée δt séparant deux impulsions consécutives ?
— TD 6 —
A PPLICATIONS DU LASER : LE LIDAR
Le LIDAR (LIght Detection And Ranging) est utilisé pour effectuer des mesures dans l’atmosphère.
Nous étudions ici son application à la mesure de la vitesse du vent. Le LIDAR est pointé obliquement avec
un angle θ=[ 10]o . La vitesse du vent est parallèle à l’axe x.
1. Montrez que l’intervalle de temps δt′ séparant l’arrivée sur une particule diffusante se déplaçant à la
→
−
vitesse V de deux signaux émis par la source à deux instants séparés de δt est :
!
−
→
| V | cos θ
′
δt = δt 1 +
c
2. La source laser émet maintenant continuellement et non pas par impulsions. Déduisez de la première
→
−
question la fréquence apparente νA vue par la particule se déplaçant à la vitesse V (on notera ν0 la
fréquence de l’onde émise par le laser).
3. La particule diffusante réémet une onde lumineuse à la fréquence νA . Quelle est la fréquence νD de
la lumière reçue par le détecteur en provenance de la particule ? Montrez que, en faisant quelques
approximations, cette fréquence peut se mettre sous la forme νD = ν0 − 2δν.
4. Le détecteur du LIDAR reçoit la lumière diffusée par les particules (à la fréquence νD ) et une partie
de la lumière émise par le laser. Le courant i(t) délivré par le détecteur est proportionnel à l’intensité
lumineuse. À quelle fréquence νM oscille le courant i(t) ?
→
−
5. Calculez νM lorsque | V |= 5 m/s et λ0 = 10 µm.
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
5 : L ES FIBRES OPTIQUES
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Qu’est-ce qu’une fibre optique ?
2. Donnez la définition du profil d’indice, et citez-en deux types.
3. Quelle est la condition sur les indices de réfraction du cœur et de la gaine de la fibre optique nécessaire
à l’obtention d’un guidage de la lumière ?
4. Donnez la définition d’un mode de propagation.
5. Qu’est-ce que l’ouverture numérique ? Comment s’exprime-t-elle en fonction des indices du cœur et
de la gaine de la fibre optique ?
6. Quel phénomène limite le débit de transmission dans une fibre optique multimode ?
7. Même question dans une fibre optique monomode.
8. Quel est le rôle d’un coupleur ?
9. Quels sont les trois types de pertes dans un coupleur ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
Une fibre optique multimode possède un indice de cœur n1 = 1.423 et un indice de gaine n2 = 1.410.
Calculez l’inclinaison maximale des rayons se propageant dans la fibre optique, ainsi que son ouverture
numérique.
Solution : θmax = 7, 8◦ , ON = 0, 192
Exercice 2
On injecte un flux φ0 = 200 mW dans une fibre optique de longueur L = 2800 m et de coefficient de
pertes linéiques k ′ = 0.5 km−1 . Calculez le flux en sortie de fibre optique.
Solution : φ = 145 mW
d
— TD 7 —
É TUDE D ’ UN RÉSEAU À FIBRES OPTIQUES SILICE
On considère le réseau suivant :
coupleur
L1
diode laser
sortie
1
2
3
4
L2
1
L2
coupleur
2
L3
B
4
3
Connecteur
A
L4
C
La source utilisée dans le réseau est une diode laser émettant un rayonnement continu de puissance
I0 = 10 mW à la longueur d’onde λ = 1, 3 µm. Les fibres utilisées sont des fibres silice multimodes
(50/125 µm). On note Φ0 le diamètre du cœur de la fibre.
1. Les diverses connexions réalisées possèdent une erreur d’excentrement transversal de ∆x = 7 µm.
En utilisant la courbe suivante, donnant les pertes du raccordement en fonction du rapport du défaut
d’excentrement sur le diamètre du cœur, calculez les pertes apportées par ces connexions.
3.5
3
Pertes en dB
2.5
2
1.7
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
∆x/Φ0
2. Les coupleurs utilisés sont supposés symétriques et possèdent des pertes en excès de 1 dB. Les cables
de transmission ont une atténuation linéique de 0, 5 dB/km. Les pertes à l’injection du faisceau laser
dans la fibre L1 est de 5 dB. Déduisez-en la puissance lumineuse à la sortie des trois liaisons.
Application numérique : L1 = 1 km, L2 = 500 m, L3 = 100 m, L4 = 200 m.
— TD 8 —
É TUDE D ’ UN CAPTEUR DE TEMPÉRATURE À FIBRE OPTIQUE
Caractérisation du capteur
On considère le capteur de température suivant :
L1
L2
fibre optique
T
source
P0
L3
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
miroir
f = 20 mm
Φ
Ps
mesureur de puissance
La source est une diode laser émettant à la longueur d’onde λ0 = 680 nm. Le flux lumineux est injecté dans la fibre après avoir traversé une lame séparatrice symétrique (50/50). La fibre silice utilisée est
multimode (50/125 µm), et son ouverture numérique est égale à ON = 0, 2.
1. À la sortie de la fibre, le faisceau est collimaté à l’aide de la lentille L2 de distance focale f = 20 mm
sur un miroir dont la normale est théoriquement parallèle à l’axe de propagation de la fibre. Entre la
lentille et le miroir, on place une lame à faces parallèles de coefficient de transmission en puissance T
dépendant de la longueur d’onde d’émission et de la température du milieu dans lequel cette lame
est immergée. Faites le bilan de liaison en puissance à la sortie du capteur.
2. À l’aide de la courbe du TD précédent concernant les pertes à une connexion en fonction de l’excentrement relatif, déduisez l’angle d’inclinaison maximum Φ afin de limiter les pertes à 0, 3 dB.
3. La lentille L2 a un diamètre d = 15 mm. Le miroir étant incliné de l’angle Φ déterminé dans la question
précédente, calculez la distance maximale lmax entre la lentille et le miroir pour laquelle le faisceau
n’est pas coupé par la lentille.
Variation du coefficient de transmission avec la longueur d’onde
La courbe d’étalonnage du carré du coefficient de transmission en fonction de la longueur d’onde est
donnée sur la page suivante.
T2
à θ0 = 20 ◦ C
0,85
0,15
λ1 = 630 nm λ0
λ2 = 700 nm
λ (nm)
À une température de θ0 = 20 ◦ C, cette courbe est au voisinnage de λ0 = 680 nm supposée linéaire
entre λ1 et λ2 . La source émet une puissance lumineuse P0 = 10 mW.
1. Déterminez l’équation régissant le coefficient de transmission en fonction de la longueur d’onde dans
la partie linéaire.
2. Déduisez-en la puissance lumineuse à la sortie du détecteur à θ0 à la longueur d’onde de travail λ0 .
Pour cela, négligez les pertes de flux lumineux lors de la réinjection du flux dans la fibre.
Mesurage de la température à une longueur d’onde λ0 constante
Lorsque la température du milieu dans lequel baigne la lame varie, le coefficient de transmission varie
de telle façon que la courbe d’étalonnage précédente se décale de dλ/dθ = 10 nm/◦ C.
1. Déterminez la puissance lumineuse à la sortie du capteur en fonction de la température θ, la longueur
d’onde de travail étant constante et égale à λ0 .
2. Tracez l’allure de la puissance lumineuse en fonction de θ et déterminez le cadre limite de validité de
cette variation.
— TD9 —
B ANDE PASSANTE D ’ UNE FIBRE OPTIQUE À SAUT D ’ INDICE
Une fibre optique à saut d’indice de longueur l est constituée d’un cœur d’indice n1 de rayon a et d’une
gaine d’indice n2 . Un rayon lumineux situé dans un plan méridien entre dans la fibre au point O situé sur
son axe :
n2
n0
O
θ0
θ1
i1
n1
a
n2
1.
(a) Quel est le phénomène physique qui permet la propagation du rayon lumineux dans la fibre
avec une atténuation très faible malgré le grand nombre de réflexions subies ?
(b) Comment doit-on choisir les indices n1 et n2 ?
2.
(c) Déduisez-en une condition sur l’angle θ0 pour que le rayon soit
p transmis par la fibre. On introduira l’ouverture numérique ON de la fibre définie par ON= n21 − n22
(a) Calculez le chemin optique L parcouru par un rayon lumineux sur l’ensemble de la fibre en
fonction de n0 , n1 , l et θ0 .
(b) Vérifiez que si θ0 = 0, on a bien L = n1 l.
(c) Exprimez le temps de parcours t de la lumière dans la fibre en fonction de n0 , n1 , l et θ0 .
3. On considère maintenant qu’une source ponctuelle placée en O émet une impulsion lumineuse isotrope de durée négligeable. Montrez que la durée δt de cette impulsion à la sortie de la fibre s’écrit :
δt = η ×
n1 · l
c
où η est l’écart relatif entre l’indice du cœur et de la gaine de la fibre optique. Pour cela, calculez les
temps de parcours minimum tmin et maximum tmax des rayons lumineux se propageant dans la fibre
optique.
4. On suppose maintenant que cette source ponctuelle émet des impulsions périodiques.
(a) Calculez la fréquence maximale fmax de la source pour laquelle deux impulsions successives
ne se recouvrent pas. fmax correspond à la bande passante de la fibre et est reliée au débit de
données que celle-ci peut transmettre.
(b) Discutez l’influence des paramètres de la fibre sur cette bande passante.
(c) Faites les applications numériques avec n0 = 1, n1 = 1.515, n2 = 1.490 et l = 1 km
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
6 : P OLARISATION DE LA LUMIÈRE
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Qu’est-ce que le plan d’onde ?
2. Définissez la polarisation.
3. Citez les quatre types de polarisation.
4. Qu’est-ce qu’un polariseur ?
5. Qu’est-ce qu’un analyseur ?
6. Qu’est-ce qu’un matériau biréfringent ?
7. Qu’est-ce qu’une lame demi-onde ?
8. Quel est son rôle ?
9. Qu’est-ce qu’une lame quart d’onde ?
10. Quel est son rôle ?
11. Sauriez-vous citer quelques applications de la polarisation ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
Un faisceau lumineux non polarisé (polarisation naturelle) de puissance P = 1 W traverse un polariseur. Quelle est la puissance lumineuse à la sortie du polariseur ?
Solution : P ′ = 500 mW
Exercice 2
Un faisceau laser polarisé rectilignement est incident sur une lame demi-onde. La polarisation du faisceau laser fait un angle de 13◦ avec la verticale, et la lame demi-onde un angle de 23◦ par rapport à la
verticale. Quelle est la direction de polarisation du faisceau laser à la sortie de la lame ?
Solution : θ = 33◦
Exercice 3
Le quartz est un matériau biréfringent utilisé dans la fabrication de lames de phase (no = 1.544, ne =
1.553). On souhaite fabriquer une lame demi-onde à la longueur d’onde λ = 632, 8 nm. Calculez l’épaisseur
de la lame de quartz.
Solution : e = 35 µm
— TD 10 —
P OLARISATION DE LA LUMIÈRE
Exercice 1
Une lumière polarisée, de puissance P0 , passe à travers deux analyseurs : la direction principale du
premier fait un angle de 45◦ avec le vecteur vibration du faisceau lumineux incident, tandis que la direction
principale du second fait un angle de 90◦ avec le vecteur vibration initial. Quelle est la puissance de la
lumière émergente et comment est-elle polarisée ?
Exercice 2
Les axes d’un polariseur et d’un analyseur font un angle de 30◦ entre eux. Un faisceau de lumière non
polarisée ayant une puissance P0 tombe sur le polariseur. Quelle est la puissance transmise ? Quelle est la
polarisation de la lumière à la sortie de l’analyseur ?
Exercice 3 : loi de Malus
Une onde lumineuse plane non polarisée traverse tout d’abord un premier polariseur rectiligne puis un
second appelé analyseur dont la direction de polarisation fait un angle θ avec la direction de polarisation
du précédent.
1. Rappeler l’expression de la puissance lumineuse Ps qui émerge du dispositif sachant que la puissance
incidente était P0 . Représenter graphiquement son évolution en fonction de θ.
2. Initialement, on avait θ = 15◦ . On passe à θ = 5◦ , quelle est la variation relative de la puissance lumineuse lumineuse ?
3. Même question lorsqu’initialement θ = 75◦ et qu’on passe à θ = 85◦ . Quelle conclusion peut-on tirer ?
Exercice 4 : mesure de polarisation rotatoire
On éclaire un dispositif constitué de deux polariseurs encadrant une cellule de 20 cm de longueur renfermant une solution de nicotine dans le benzène. Cette solution est caractérisée par le phénomène de
polarisation rotatoire : à sa traversée, une onde polarisée rectilignement tourne dans le sens trigonométrique
d’un angle θ(λ), dépendant de la longueur d’onde λ. On notera ϕ l’angle entre les directions d’analyse des
deux polariseurs. On donne θ(λ0 ) = 328◦ pour la longueur d’onde λ0 = 589 nm des raies D du sodium.
source
mesurage
cellule
1. La source est monochromatique, à la longueur d’onde λ0 des raies D du sodium. Quelles valeurs de
ϕ permettent-elles d’obtenir l’extinction de lumière ?
2. Le pouvoir rotatoire est en fait décroissant avec la longueur d’onde ; on l’écrira θ(λ) = a +
sachant que θ(400 nm) = 2θ(800 nm), déterminez a et b.
b
λ
3. Le dispositif est éclairé en lumière blanche et réglé de sorte que ϕ = 0◦ . La lumière produite au niveau
du point de mesure est alors décomposée en ses diverses composantes monochromatiques au moyen
d’un spectroscope. On observe alors la présence de certaines cannelures sombres, c’est-à-dire l’absence
de lumière pour certaines valeurs λk de la longueur d’onde.
(a) Combien observe-t-on de cannelures sombres pour λ compris entre 400 nm et 800 nm ?
(b) On tourne le second polariseur d’un faible angle dans le sens des aiguilles d’une montre. Les
cannelures sombres se déplacent-elles vers le rouge ou vers le violet ?
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
7 : S PECTROMÉTRIE
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Dans le cas d’un prisme, qu’est-ce que le minimum de déviation ?
2. Dans un prisme, les courtes longueurs d’onde sont-elles plus déviées ou moins déviées que les
grandes longueurs d’onde ?
3. Que donne l’équation de Sellmeier ?
4. Qu’est-ce que la dispersion angulaire ?
5. Qu’est-ce que la dispersion linéique ?
6. Quelle est la définition du pouvoir de résolution ?
7. Quels sont les trois éléments qui peuvent limiter ce pouvoir de résolution ?
8. Qu’est-ce qu’un réseau de diffraction ? Quels sont ses paramètres ?
9. Pour un réseau, les courtes longueurs d’onde sont-elles plus déviées ou moins déviées que les grandes
longueurs d’onde ?
10. Pour augmenter le pouvoir de résolution d’un réseau, faut-il augmenter ou diminuer le nombre de
traits éclairés ?
Exercices d’entraînement
Exercice 1
1. On considère un prisme en quartz d’angle au sommet 60◦ et de longueur de base 3 cm. Calculez en
nm la limite de résolution spectrale de ce prisme. On donne :
dn
= 0, 46 · 10−4 nm−1
dλ
et λ = 550.0 nm
Solution : ∆λ = 0, 40 nm
2. On se place au minimum de déviation. La largeur du faisceau émergeant vaur l = 1, 46 cm. Calculez
la dispersion angulaire Da du prisme.
Solution : Da = 0, 94 rad · nm−1
3. Déduisez-en la dispersion linéique Dl au foyer d’une lentille de focale f = 40 cm.
Solution : Dl = 38 µm · nm−1
Exercice 2
On considère un réseau en réflexion comportant 600 traits/mm. Un faisceau de longueur d’onde λ =
632, 8 nm arrive perpendiculairement au réseau.
1. Combien y a-t-il d’ordres de diffraction ?
Solution : 5
2. On travaille dans l’ordre +2. On forme l’image du spectre au foyer d’une lentille de focale f =
200 mm. Calculez la dispersion angulaire.
Solution : Da = 1, 85 · 10−3 rad/nm
3. Déduisez-en la dispersion linéique dans le plan focal image de la lentille.
Solution : Dl = 0, 37 mm/nm
— TD 11 —
S PECTROMÈTRE À PRISME
Le prisme d’un spectromètre à prisme a été cassé. Il vous faut le remplacer, mais les caractéristiques
du prisme ont été perdues. Vous devez en acheter un nouveau, en tenant compte du cahier des charges.
Votre objectif est donc de déterminer les caractéristiques du prisme afin de choisir le mieux adapté dans le
catalogue du fournisseur.
Le spectromètre est représenté sur la figure 1. La source est injectée dans une fibre optique monomode
d’ouverture numérique notée ON. Le faisceau est ensuite collimaté à l’aide de la lentille L1 , de focale f1 .
Le prisme est orienté pour travailler au minimum de déviation. On note b la base de la partie éclairée du
prisme, et n l’indice de réfraction du prisme à la longueur d’onde de travail moyenne λ. À la sortie du
prisme, le faisceau de largeur l est focalisé sur une barette CCD à l’aide d’une lentille convergente L2 de
focale f2 . La barette est reliée à un ordinateur pour les acquisitions et le traitement du spectre obtenu.
L1
l
L2
i
A
i′
CCD
b
fibre optique
F IGURE 1: Schéma du spectromètre à prisme.
1. Déterminez l’expression littérale de la largeur l du faisceau collimaté. Faites l’application numérique
avec ON= 0, 40 et f1 = 10 mm.
2. Exprimez la base b en fonction de l, n et A. Faites l’application numérique avec n = 1, 6 et A = 60◦ .
3. Donnez l’expression littérale de la dispersion angulaire Da à la sortie du prisme en fonction de A, n
et dn/dλ.
4. Donnez l’expression littérale de la dispersion linéique Dl dans le plan de la barette CCD en fonction
de A, n, dn/dλ et f2 .
5. La barette CCD contient N pixels chacun de largeur Lp . On considère que la fenêtre spectrale est suffisamment petite pour considérer dn/dλ constant. La longueur d’onde de travail est λ0 = 532, 0 nm.
On souhaite que le spectromètre ait une résolution ∆λs = 0, 2 nm.
Donnez l’expression littérale du pouvoir de résolution souhaitée PR. Calculez la valeur numérique
de PR.
6. Donnez l’expression de la dispersion linéique pour que le pouvoir de résolution ne soit pas affecté
par la dimension des pixels du capteur CCD. Faites l’application numérique avec Lp = 10 µm.
7. Donnez l’expression de la plage de fonctionnement δλ du spectromètre en fonction de N , Lp et Dl .
Faites l’application numérique avec N = 500.
8. La lentille L2 a une focale f2 = 200 mm. Donnez l’expression de dn/dλ. Faites l’application numérique.
9. Dans le catalogue ci-dessous, sur quel prisme se porterait votre choix ? Justifiez.
Prisme
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A (◦ )
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
face size (mm)
5
10
10
20
20
20
30
30
35
35
50
Length (mm)
5
10
10
20
20
20
30
30
35
35
50
Caractéristiques des verres :
Verre
crown
flint
quartz
n@532 nm
1.525
1.748
1.543
dn/dλ@532 nm(nm−1 )
0, 50 · 10−4
1, 6 · 10−4
0, 46 · 10−4
Glass type
crown
crown
flint
crown
flint
quartz
flint
quartz
flint
quartz
quartz
Price
47,50 e
57,00 e
57,00 e
66,50 e
66,50 e
66,50 e
99,75 e
99,75 e
142,50 e
142,50 e
213,75 e
— Testez vos connaissances —
CHAPITRE
8 : D ÉTECTION DE RAYONNEMENTS OPTIQUES
Cette fiche a pour objectif de vous aider à vérifier quels éléments du cours sont assimilés, et les points sur lesquels vous devez
revenir pour une bonne maîtrise de ce chapitre. Les exercices d’entraînement vous permettent de mettre rapidement en pratique
les notions que vous avez vues en cours. Travaillez cette fiche avant la séance de travaux dirigés correspondante.
Bien que cette fiche ne donne pas lieu à un rendu à l’enseignant de votre part, nous vous recommandons de la travailler
avec le plus grand sérieux. En particulier, n’hésitez pas à interroger les enseignants en cours ou en TD si certains points restent
incompris.
Testez vos connaissances
1. Donnez la définition d’un capteur.
2. Qu’est-ce que l’efficacité quantique ?
3. Définissez le courant d’obscurité.
4. Qu’est-ce que le NEP ?
5. Quels sont les deux modes de fonctionnement d’une photodiode ? Sauriez-vous donner les avantages
et inconvénients de ces deux modes de fonctionnement ?
— TD 12 —
C HOIX D ’ UN DÉTECTEUR LUMINEUX
L’objectif de cette partie est de choisir un détecteur de rayonnement lumineux approprié à une application donnée. Vous trouverez en annexe les spécifications de différents détecteurs proposés.
L’application qui nous intéresse se place dans le contexte de l’interférométrie stellaire. Le principe
consiste à collecter les faisceaux lumineux provenant de deux télescopes visant la même étoile et de les faire
interférer. La bande spectrale utilisée est de quelques dizaines de nanomètres centrée autour de 1500 nm.
La largeur importante de la bande spectrale impose un contrôle rigoureux de la différence de marche entre
les deux bras de l’interféromètre. Un des chemins optiques est modulé afin de visualiser temporellement
les franges. Un point crucial de ce dispositif est la détection du flux lumineux puisque la faible puissance
reçue est de l’ordre de 1 pW.
La détection des franges doit se faire sur une durée de 50 ms. Le nombre de franges souhaité est de 20
pendant cette plage d’observation.
1. Quelle va être la fréquence temporelle du signal observé ?
2. Rappelez les définitions des caractéristiques importantes du détecteur dont il faudra tenir compte
lors du choix.
3. Déterminez d’après les documentations jointes le détecteur le plus approprié. Argumentez de façon
précise et rigoureuse votre choix.
4. Donnez les deux modes de fonctionnement d’une photodiode. Quel est le mode de fonctionnement
le plus approprié dans l’application ? Donnez un exemple de montage électronique.