OSCILLATEUR QUASI-SINUSOÏDAL À FILTRE DE WIEN

OSCILLATEUR QUASI-SINUSOÏDAL À FILTRE DE WIEN
Avertissement : ce document est rédigé de façon à être compris par tout étudiant de ni­
veau (bac +1) ou plus, sachant résoudre une équation différentielle du second ordre. Il ne
s'agit en aucun cas d'une étude générale des oscillateurs. Le critère de Barkhausen, par
exemple, n'est pas évoqué !
1. Filtre de Wien en régime variable quelconque.
Le schéma du filtre est donné ci­contre. En régime variable
quelconque, la loi des ne nœuds permet d'écrire :
i=i R +i C =C
dv v
+
dt R
Addition des tensions :
1
v s=v + Ri+ ⋅∫ i⋅dt
c
Soit en dérivant par rapport au temps pour faire disparaître la
primitive :
dv s dv
d2 v dv dv v
d2 v
dv v
= + RC⋅ 2 + + +
=RC⋅ 2 +3⋅ +
dt dt
dt dt RC
dt RC
dt
dt
On divise tous les termes par RC puis on pose pour alléger l'écriture : ω0 =
1
.
RC
L'équation différentielle devient :
2
dv
d v
dv
+3 ω0⋅ +ω20⋅v=ω0⋅ s
2
dt
dt
dt
Remarque : si la fonction de transfert du filtre est connue en régime sinusoïdal établi, il est possible de retrouver cette équation différentielle . Admettons l'expression classique de cette fonction de transfert :
H=
v
1
=
v s 3+ j ω − ω 0
ω0 ω
(
)
En multipliant tous les termes par j ω ω0 :
H=
j ω0 ω
v
=
v s 3 j ω ω0 +( j ω)2+ ω20
Ce qui conduit à :
2
2
( j ω) v +3 j ω ω0 v +ω0 v= j ω ω0 v s
En régime sinusoïdal établi, multiplier le complexe associé à une grandeur sinusoïdale
par ( j ω )
n
permet d'obtenir le complexe associé à la dérivée nième de la grandeur sinusoï­
dale. L'expression précédente est donc équivalente en régime sinusoïdal à l'équation diffé­
rentielle déjà obtenue :
dv s
d2 v
dv
2
+3 ω0⋅ +ω0⋅v=ω0⋅
.
2
dt
dt
dt
S'il avait fallu démontrer l'expression de la fonction de transfert, cette méthode aurait sû­
rement été plus longue que la première utilisée et elle est moins rigoureuse puisqu'il faut
admettre que le résultat démontré en régime sinusoïdal est valide aussi en régime va­
riable quelconque. Néanmoins, elle se révèle très utile pour des circuits plus complexes...
2. Oscillateur à filtre de Wien et amplificateur opérationnel.
Le montage est schématisé ci­contre. Les
résistances R1 et R2 se comportent en divi­
seur de tension ; La tension entre l'entrée
inverseuse et la masse vaut :
V E -=k⋅v s
avec : k=
R1
R1+ R2
Soit : 1 R +R
v s=β⋅v E - avec : β= = 1 2
k
R1
Imaginons que l'ampli. op. fonctionne en régime linéaire :
v E - =v E + =v
donc : v s =β⋅v
En reportant cette valeur de vS dans l'équation différentielle imposée par le filtre de Wien, on obtient :
dv s
d2 v
dv
dv
2
+3 ω0⋅ +ω0⋅v=ω 0⋅ =ω0 β⋅
2
dt
dt
dt
dt
Soit :
d2 v
dv
2
+(3−β) ω0⋅ +ω0⋅v=0
2
dt
dt
Nous cherchons à obtenir des oscillations sinusoïdales :
v =V m⋅cos (ω t+ ϕ) .
Dans ce cas : dv
d2 v
2
2
=−ω⋅V m⋅sin (ω t + ϕ) et :
=−ω ⋅V m⋅sin(ω t +ϕ)=−ω ⋅v .
2
dt
dt
Par identification avec l'équation différentielle obtenue précédemment :
3−β=0
soit : R1 + R2=3 R1
ou : R2=2 R1
ET : ω=ω 0 .
La fréquence des oscillations sinusoïdales est donc la fréquence propre du filtre de Wien.
Dans ce cas, la fonction de transfert du filtre est égale à H=
sont en phase et le rapport de leurs amplitudes est égale à 1
. Les tensions v et vS
3
1
.
3
Nous allons montrer maintenant que cette situation idéale est impossible à obte­
nir pratiquement de façon rigoureuse.
3. Conditions d'amorçage des oscillations
En dehors des générateurs de tensions continues alimentant l'ampli. op , le circuit ne pos­
sède pas de générateur d'entrée puisque justement, le but du circuit est de se comporter
en générateur. En absence de tension et de courant à l'instant initial, les équations diffé­
rentielles précédentes conduisent à v = vS = 0 à chaque instant. Heureusement, l'ampli.
op. n'est pas parfait : même en absence de tension d'entrée, il génère en sortie une très
faible tension continue (appelée tension de décalage) qui va permettre l'amorçage. Pour
permettre d'obtenir une tension utile d'amplitude non négligeable, il faut donc que l'am­
plitude de v croisse au cours du temps en régime transitoire d'amorçage. Cela suppose
donc que l'équation différentielle admette, à partir d'un état initial v (t=0)=v 0 ≠0 une
solution qui ne tende pas vers zéro.
Cherchons les solutions générales de cette équation différentielle sous la forme :
v =A⋅e
r⋅t
.
r est alors solution de l'équation caractéristique :
r 2 +2 ξ ω0 r +ω 20=0
avec :
ξ=
3−β 2 R1−R 2
=
2
2 R1
Le discriminant de cette équation est : Δ=4 ω20 (ξ2−1) . Envisageons d'abord la situation  >0 soit  < 3.
Trois cas sont possibles alors :
0 <  <1 ; alors :  < 0 : les deux racines sont deux complexes conjuguées :
r 1=−ξ ω 0+ j ω0 √ 1−ξ2
et :
r 2=−ξ ω0 − j ω0 √ 1−ξ2 .
Les solutions de l'équation différentielles sont de la forme :
v =A⋅e−ξ ω t⋅cos (ω t+ϕ)
0
avec :
ω=ω0 √ 1−ξ2
et : A et ϕ : deux constantes .
On obtient des oscillations pseudo périodiques dont l'amplitude décroit exponentiellement
vers zéro. Les oscillations ne peuvent s'amorcer.
=1 ; alors  = 0 ; il s'agit du cas particulier du régime critique ; les solutions sont de la forme :
−ω t
.
v =( A⋅t+ B) e
Là encore, v tend rapidement vers zéro : les oscillations ne peuvent s'amorcer.
 > 1 ; alors  > 0 : les deux racines de l'équation caractéristique sont deux réels négatifs.
La tension v tend exponentiellement vers zéro ; les oscillations ne peuvent s'amorcer.
Envisageons maintenant la situation  < 0 soit  > 3.
Là encore, trois cas sont possibles :
­1 <  < 0 ; alors :  < 0 : les deux racines sont deux complexes conjuguées ; les expres­
sions des racines de l'équation caractéristique et l'expression littérale de v = f(t) sont les
mêmes que celles obtenues pour 0 >  > 1 mais, dans la mesure où  est maintenant néga­
tif, l'amplitude des oscillation croit exponentiellement au cours du temps : les oscillations
peuvent s'amorcer.
xi = ­1 ;  = 0 ; il s'agit du cas particulier du régime critique ; les solutions sont de la
forme :
ω t
.
v =( A⋅t+ B) e
La tension croit rapidement. Les oscillations peuvent s'amorcer.
 < ­1 ;  > 0 ; les deux racines de l'équation caractéristique sont deux réels positifs. La 0
0
tension croit exponentiellement ; les oscillations peuvent s'amorcer.
Conclusion : pour que les oscillations puissent s'amorcer, il faut choisir :
β> 3
soit : R2 > 2 R1 .
4. Stabilisation de l'amplitude de la tension.
La solution de l'équation différentielle précédente conduit à une amplitude de vS qui tend
exponentiellement vers l'infini. Cela n'est évidemment pas possible à cause de la satura­
tion de l'ampli. op. ; dès la saturation vS = VSAT . Alors : dV S
=0 ; l'équation différen­
dt
tielle vérifiée par v obtenue au paragraphe 1) devient :
dv
d2 v
dv
+3 ω0⋅ +ω20⋅v=ω 0⋅ s =0
2
dt
dt
dt
Maintenant :  = 1,5 ; le discriminant de l'équation caractéristique est positif, les deux racines de l'équation caractéristique sont deux réels négatifs :
r 1=−ξ ω 0+ ω0 √ ξ2−1≈−0,38ω 0
et :
r 2=−ξ ω0−ω 0 √ ξ 2−1≈−2,62 ω0
La tension v décroit exponentiellement en fonction du temps. Puisque, en régime de fonctionnement linéaire de L'ampli. op. nous avions :
V E -=v=k⋅v s
avec : k =
R1
R 1+ R 2
nous pouvons obtenons deux situations :
1° cas : |v|< k⋅V sat : l'ampli.op. fonctionne en régime linéaire : v varie de façon pseudo
périodique au cours du temps avec une amplitude qui croît exponentiellement au cours du
temps ;
2° cas : |v|⩾k⋅V sat : l'ampli. op. sature : v décroît exponentiellement au cours du temps.
On conçoit facilement qu'après un régime transitoire plus ou moins long, l'amplitude V m
de v va se stabiliser à une valeur supérieure à k.VSAT ; la valeur précise est délicate à cal­
culer.
La fréquence des oscillations sera très proche de :
ω0
4 R1 R2−R 22
√
2
f≈
⋅√ 4 R1 R 2−R2=
4 π R1
4 π R 1 RC
5. Synthèse concernant l’existence d'un régime permanent
d'oscillations.
Oscillations possibles pour :
R2 > 2 R 1
Amplitude des oscillations pour la tension v : un peu supérieure à :
vm=
R 1⋅V sat
R 1+ R 2
Fréquence des oscillations proche de :
√4 R
f=
2
R 2−R2
4 π R1 RC
1
Pour illustrer ces résultats théoriques, voici une simulation avec :
R=10k ; C = 10nF ; R1 = 22k ; R2 = 3R1 .
Nous obtenons bien des oscillations. La formule précédente conduit à une fréquence théo­
rique de 1378Hz quand la simulation conduit à 1385Hz. L'écart n'est que de 0,5 %. En re­
vanche, l'amplitude des oscillations est nettement supérieure à la valeur théorique de V m :
amplitude pour la simulation de 5,4V alors que V m est de l'ordre de 3,6V : la variation de
v une fois la saturation de l'ampli. op. obtenue est assez importante dans la mesure où
nous avons choisi une valeur de R 2 nettement supérieure à la valeur minimale permet­
tant d'obtenir des oscillations.
6. Obtention d'une tension quasi sinusoïdale.
Pour obtenir une tension v sinusoïdale, l'équation différentielle devrait pourvoir s'écrire :
d2 v
+ω 20⋅v=0
2
dt
Ce qui correspond à  = 3 soit R2 = 2R1 . Cependant, nous avons démontré que les oscil­
lations ne peuvent s'amorcer que pour R2 > 2R1 . Pour s'approcher au mieux d'une tension
sinusoïdale, il faut donc choisir une valeur de R 2 supérieure à 2R1 tout en étant très
proche de 2R1.
Dans ses conditions, la fréquence est très proche de la fréquence propre du filtre de
Wien :
f ≈f 0=
1
2 π⋅R⋅C
L'amplitude est alors un peu supérieure à V m=
V sat
.
3
On peut remarquer que dans ce cas la fonction de transfert du filtre de Wien est pratique
1
. La tension de sortie vs est également quasi sinusoïdale, de même fré­
3
quence que v et en phase avec v, son amplitude étant VSAT . Voici les résultats d'une simu­
ment égale à lation obtenue en conservant les valeurs précédentes sauf celle de R2 : 45k.
La fréquence propre vaut ainsi : f0 = 1591Hz. l'écart relatif avec la valeur simulée
(1585Hz) est de 0,4 %. Pour une valeur de VSAT d'environ 13,5V, la théorie précédente pré­
voit une amplitude un peu supérieure à 4,5V : la valeur simulée est : 4,66V. Il y a bien co­
hérence !
L'analyse de Fourier de la tension v montre qu'elle peut être considérée comme la somme
d'un fondamental d'amplitude 4,682V et de fréquence f = 1585Hz et d'un harmonique de
fréquence 3f et d'amplitude 0,0729V, les autres harmoniques étant d'influence négli­
geable. Pour apprécier la performance de l’oscillateur à délivrer un signal le plus proche possible
du signal sinusoïdal, on définit le taux de distorsion due la tension de la façon suivante :
d=
√
∞
∑ A 2n
2
∞
∑ A 2n
1
où A1 désigne l'amplitude du fondamental et A 2, A3 ,… désignent les amplitudes des har­
moniques de rangs 2, 3,…
On obtient ici :
d=
√
0,07292
≈1,56 % .
2
2
4,682 +0,0729
Le résultat est moins bon pour la tension de sortie v S . Le taux de distorsion est de 2,6 %.
Les phases de saturation de l'ampli. op. sont bien visibles et leurs durées ne sont pas né­
gligeables.
Conclusion : le montage peut avec ce type de réglage, être considéré comme un générateur
de tension quasi sinusoïdale en ce qui concerne la tension v. Il présente néanmoins au
moins trois inconvénients :
­ Les ampli. op. réels sont rarement rigoureusement symétriques : la saturation haute et
la saturation basse ne correspondent pas à deux tensions exactement opposées, ce qui
rend la tension v pas tout à fait alternative. Ce défaut n'apparaît pas sur la simulation
précédente.
­ la tension de sortie ne peut pas être considérée comme sinusoïdale. Il n'est donc pas pos­
sible d'utiliser le fait que la sortie de l'ampli. op. se comporte en générateur idéal de ten­
sion. Pour alimenter un circuit autre à partir de la tension v, il faut intercaler entre l'en­
trée E+ de l'ampli. op. et le circuit récepteur autre, un montage suiveur. Sinon, le fonc­
tionnement du filtre de Wien sera modifié par l'existence du courant débité dans ce cir­
cuit récepteur.
­le régime d'oscillation permanent est relativement lent à s'établir. Nous avons montré
que, lors de la phase d'amorçage, l'amplitude croît exponentiellement proportionnelle­
ment à e−ξ ωt avec  < 0. Or, la tension est d'autant plus proche d'une tension sinusoï­
dale que R2 est proche de 2R1 donc que  est proche de zéro. Plus la tension est proche
d'une tension sinusoïdale, plus ce régime quasi sinusoïdal est lent à s'établir ! Dans le cas
étudié précédemment, il faut environ 0,2s pour que le régime quasi sinusoïdal soit établi,
ce qui est beaucoup en électronique !
7. Améliorations possibles du montage
7.1. Comment éviter les inconvénients liés à la dissymétrie de l'ampli.
op. ?
Il faut éviter que la limitation de l'amplitude soit obtenue par saturation de l'ampli. op. et
faire en sorte que l'ampli. op. fonctionne en permanence en régime linéaire. Plusieurs
montages sont possibles. Ils ont cependant tous un point commun : en remplaçant R1 ou
R2 par un dipôle non linéaire, il s'agit de faire en sorte que le rapport R2
des résis­
R1
tances équivalentes soit supérieur à 2 en phase d'amorçage puis tende vers 2 en régime
permanent. Une méthode possible consiste à utiliser deux diodes de redressement bran­
chées « tête­bêche » en série ou en parallèle avec une résistance. Nous allons étudier uni­
quement le branchement série. Voici le schéma du montage.
Avec : R=10k ; C = 10nF ; R1 = 22k ; R2 = 47k (2,136.R1) ; R3 = 330k. Les diodes D1
et D1 sont des diodes de redressement identiques. Pour simplifier, nous allons linéariser
leur caractéristique courant­ tension de la façon suivante : i=0 si Ud < Us avec Us = 0,7V : tension de seuil ;
i > 0 si Ud = Us.
Envisageons d'abord le cas : vS > 0.
L'ampli. op. fonctionnant en régime linéaire : VE+ = v = VE­ ;
Donc : vS = v + V2 avec v > 0 et V2 >0 ; la diode D2 est alors nécessairement bloquée ; elle
ne joue aucun rôle dans ce cas : tout se passe comme si D2 était enlevée du circuit.
Deux situations sont envisageables :
Premier cas : la diode D1 est aussi bloquée ; dans ce cas, R3 n'est parcourue par aucun
courant : la tension à ses bornes est nulle, donc : V2 < Us.
R1 et R2 sont alors parcourues par le même courant et se comportent en diviseur de ten­
sion :
V 2=
R2
⋅v
R 1+ R 2 S
v=
R1
⋅v
R1 + R2 S
En tenant compte de la condition sur la tension de seuil de D1, on obtient la condition de validité des formules précédentes :
R2
⋅v <Us
R 1+ R 2 S
soit :
v S<
R 1+ R 2
⋅Us
R2
Second cas : la diode D1 est passante. Dans ce cas, l'ensemble {R2 , R3 , D1} est équivalent au circuit suivant :
La diode se comporte comme un générateur idéal de tension branché en opposition. La
transformation Thévenin – Norton permet de le remplacer par son générateur de courant
équivalent de courant électromoteur : I n=
Us
. L'association en parallèle de R2 et R3 est
R3
équivalente à une résistance unique : R ' 2=
R2⋅R3
≈41,14 k Ω .
R 2 + R3
Ce générateur de courant peut être remplacé par le générateur de tension équivalent de
résistance R'2 et de f.é.m. : U th=R ' 2⋅I n=
R2⋅R3 Us
R2
⋅ =
⋅Us≈0,087V .
R 2 + R 3 R 3 R 2 + R3
L'ensemble {R1 , R'2 } se comporte en diviseur de tension vis à vis de la tension (vS – Uth ) :
v=
R1
⋅( v −U th )
R1 + R ' 2 S
Nous pouvons résumer la situation de la manière suivante pour vS >0 :
si v S <
si v S >
R 1+R 2
R1
⋅Us alors : v =
⋅v
R2
R1 + R 2 S
R1
R2
R1 + R2
⋅ vS −
⋅Us
⋅Us alors : v =
R2
R1 + R ' 2
R 2+ R 3
(
Remarque : nous pouvons vérifier la continuité de v en v S=
.
R1 + R 2
⋅Us :
R2
Dans ce cas limite, la première expression conduit à :
v=
)
R1 ( R1 + R2 )
R
⋅
⋅Us= 1⋅Us .
R1 + R2
R2
R2
Dans ce cas limite, la seconde expression conduit bien à la même valeur :
v=
2
R1
R +R
R2
R1⋅(R2 + R3)
R (R + R )+ R2 ( R 2+ R 3)−R 2
R
⋅ 1 2−
⋅Us=
⋅ 1 2 3
⋅Us= 1⋅Us
R1 + R ' 2
R2
R2 + R3
R 1( R 2+ R 3)+ R2 R3
R 2 ( R2 + R3)
R2
(
)
Envisageons maintenant le cas : vS < 0.
la diode D1 est alors nécessairement bloquée ; elle ne joue aucun rôle dans ce cas : tout se
passe comme si D1 était enlevée du circuit.
Deux situations sont envisageables :
Premier cas : la diode D2 est aussi bloquée ; dans ce cas, R3 n'est parcourue par aucun
courant : la tension à ses bornes est nulle, donc : |V2 |< Us , soit : V2 >­US .
R1 et R2 sont alors parcourues par le même courant et se comportent en diviseur de ten­
sion :
V 2=
R2
⋅v
R 1+ R 2 S
v=
R1
⋅v
R1 + R2 S
En tenant compte de la condition sur la tension de seuil de D1, on obtient la condition de validité des formules précédentes :
R2
⋅v >−Us
R 1+R 2 S
soit :
v S >−
R1 +R2
⋅Us
R2
Second cas : la diode D2 est passante. Dans ce cas, l'ensemble {R2 , R3 , D2} est équivalent au circuit suivant :
La modélisation est la même que dans le cas vS > 0 à condition de remplacer Us par (­Us).
Cela donne :
si v S <−
R1
R2
R1 + R 2
⋅ v S+
⋅Us
⋅Us alors : v =
R1 +R ' 2
R 2 + R3
R2
(
)
.
Compte tenu de l'équation différentielle déduite du fonctionnement du filtre de Wien et établie au paragraphe n°1, nous n'avons en fait besoin que de la relation entre dv
et
dt
dv S
. La synthèse des résultats précédents peut se résumer à deux situations dt
différentes :
Premier cas : |v S|<
R1 + R2
⋅Us
R2
et : |v|<
R1
⋅Us
R2
alors :
dv S R1 + R2 dv
dv
=
⋅ =β⋅
dt
R 1 dt
dt
et : |v|⩾
R1
⋅Us
R2
alors :
dv S R 1+ R ' 2 dv
dv
=
⋅ =β'⋅
dt
R1
dt
dt
Second cas :
|v S|⩾
R1 + R2
⋅Us
R2
Avec : β=
22+ 47
≈3,14
22
et :
β '=
22+ 41,14
≈2,87
22
Dans le premier cas, l'équation différentielle vérifiée par v s'écrit :
2
d v
dv
2
+( 3−β) ω0⋅ +ω0⋅v=0
2
dt
dt
Si comme précédemment, on pose : ξ=
avec :
β>3
3−β
≈−0,068
2
Cette situation à déjà été étudiée : on obtient un régime pseudo périodique dont l'amplitude augmente exponentiellement au cours du temps :
v =A⋅e−ξ ω t⋅cos (ω t+ ϕ)
0
avec :
ω=ω0 √1−ξ2
et : A et ϕ : deux constantes .
Dans le second cas, l'équation différentielle vérifiée par v s'écrit :
d2 v
dv
+(3−β') ω0⋅ +ω20⋅v=0
2
dt
dt
avec :
β' <3 .
Posons :
ξ'=
3−β'
≈0,065 .
2
 étant toujours inférieur à l'unité, on obtiens encore un régime pseudo périodique mais son amplitude décroit exponentiellement au cours du temps :
v =A '⋅e−ξ ' ω t⋅cos (ω ' t+ ϕ' )
avec : ω'=ω 0 √ 1−ξ ' 2
et : A' et ϕ' : deux constantes .
R
Tant que |v|< 1⋅Us l'amplitude de v augmente exponentiellement au cours du temps ; R2
R
si |v|⩾ 1⋅Us , l'amplitude de v décroît exponentiellement. Après un régime transitoire, R2
l'amplitude de v va donc se stabiliser à une valeur un peu supérieure mais très proche de
R1
⋅Us . La fréquence d'oscillation sera celle déjà exprimée :
R2
0
ω0
4 R1 R 2−R22
√
2
ω
f= =
√ 1−ξ = 4 π R RC .
2 π 2π
1
Cette fréquence étant très proche de la fréquence propre du filtre de Wien ( ξ2 ≪1 ) la tension de sortie vS sera en phase avec v, son amplitude étant environ trois plus grande. R +R
En fait, cette amplitude sera supérieure tout en étant très proche de : V m= 1 2⋅Us . R1
Cela conduit aux valeurs numériques suivantes :
fréquence : f ≈1588 Hz ; amplitude de v : v max ≈328 mV ;amplitude de VS : V m ≈1,03V .
Voici le résultat de la simulation :
L'accord sur la fréquence est excellent. Pour les amplitudes, les valeurs simulées sont
comme prévue un peu supérieures aux valeurs calculées. Il faut dire que la caractéris­
tique réelle des diodes de redressement n'est pas aussi simple que celle utilisée ici…
On remarque surtout que la présence des diodes et de R3 améliore très sensiblement le
caractère quasi sinusoïdal de vS . L'analyse de Fourier de cette tension montre qu'au fon­
damental de fréquence et d'amplitude 1,078V, se superpose une harmonique de fréquence
3f et d'amplitude égale seulement à 0,012V ; les autres harmoniques sont d'amplitudes
totalement négligeables.
Le taux de distorsion de la tension vS vaut :
√
0,0122
≈1,1% .
1,0782+ 0,0122
Ce montage fait mieux sur la tension v S que ne le fait le premier montage sur la tension
v. Ici le taux de distorsion sur v est de 0,8 %. Cette faible distorsion est favorisée par le
fait que les valeurs de  et ' sont deux valeurs de sensiblement même valeurs absolues et
assez proches l'une de l'autre. Dans le premier montage, nous avions  = ­0,023 et ' =
1,5 !
Autre intérêt pratique : ce montage permet d'utiliser des valeurs de R2 plus élevée : 47k
au lieu de 45k : la valeur absolue de  est plus grande sans que ne soit affecté le carac­
tère quasi sinusoïdal des tensions : cela réduit sensiblement la durée du régime transi­
d=
toire : environ 70ms avec ce montage ; environ 200ms avec le précédent.
7.2 Comment minimiser le facteur de distorsion.
Il s'agit d'obtenir des oscillations purement sinusoïdales avec un dispositif permettant de
s'amorcer de lui­même. Pour obtenir un tel résultat, il faut imaginer un dispositif qui cor­
responde à R2
R2
> 2 pendant la phase d'amorçage puis à = 2 en régime perma­
R1
R1
nent. Cela est possible en revenant au montage basique décrit au paragraphe 2) en rem­
plaçant la résistance R2 par une thermistance CTN c'est à dire un conducteur dont la ré­
sistance décroît exponentiellement avec la température.
Le principe est simple. Choisissons : R1 = 23k et une thermistance dont la résistance à
température ambiante vaut : R2 = 47k. L'amorçage des oscillation est possible. Au fur et
à mesure que l'amplitude de la tension VS augmente, la puissance dissipée par effet Joule
augmente, la température de la thermistance augmente, sa résistance R2 diminue. On ob­
tient donc une stabilisation de l'amplitude de la tension V S pour une résistance de la ther­
mistance égale à R2 = 2R1 = 26k. Dans ce cas, l'amplitude est stable et le coefficient 
précédemment introduit vaut exactement 3 : les oscillations sont purement sinusoïdales.
Voici l'étude réalisée avec une CTN 642 6.473 sur une place de température faible : 3,5°C
seulement. On remarque que la courbe R = f(U) peut être modélisée en excellente ap­
proximation par une branche de parabole d'équation : R2 = 47.103 + 54,77.U­ 56,99.U2 avec
R2 en ohms et U en volts.
La stabilisation de l'amplitude se fait pour R 2 = 46k soit pour une tension aux bornes de
la thermistance solution de l'équation :
4
2
10 +54,77⋅U−56,99⋅U =0 .
La solution physiquement acceptable à cette équation est : U = 4,70V.
Attention ! La caractéristique précédente à été obtenue avec une tension U continue alors
que la tension aux bornes de R2 est sinusoïdale en régime permanent. La tension sinusoï­
dale doit produire le même échauffement de la thermistance que la tension continue : U
est donc la valeur efficace de cette tension dont l'amplitude est donc :
V 2 m=U⋅√2=4,70⋅√ 2≈6,65 V
Nous avons déjà montré : V 2 m=
.
R2
2
⋅V Sm= ⋅V Sm . On en déduit les valeurs théoriques R1 + R2
3
des amplitudes des tensions v et vS :
3
V sm= ⋅V 2 m≈9,97 V
2
et : v max =
V sm
≈3,32 V .
3
La fréquence théorique est la fréquence propre du filtre de Wien :
f =f 0=
1
≈1591 Hz .
2 π⋅RC
Voici le résultat de la simulation :
V(v)
10V
V(vs)
8V
6V
4V
2V
0V
-2V
-4V
-6V
-8V
-10V
0.0ms
0.5ms
1.0ms
1.5ms
2.0ms
2.5ms
3.0ms
3.5ms
4.0ms
4.5ms
5.0ms
La concordance est remarquable : le logiciel de simulation conduit à :
V sm=9,99V
;
v max=3,33 V
;
f =1590 Hz .
Taux de distorsion : d = 0,042 %.
Il s'agit, et de loin, du montage qui conduit au plus faible taux de distorsion. Ce montage
présente cependant un inconvénient. La valeur de R 2 dépend assez fortement de la tem­
pérature ambiante. L'amplitude des oscillations va donc dépendre de la température am­
biante, fixée précédemment à 25°C. Cela n'est pas trop gênant : on peut toujours installer
en sortie un système de potentiomètre et d'amplificateur permettant de régler l'ampli­
tude. Les variations importantes de températures sont plus ennuyeuses : une tempéra­
ture ambiante trop forte peut rendre la valeur initiale de R 2 supérieure à 2R1 rendant
l'amorçage impossible ; inversement, une température ambiante trop faible peut rendre
la valeur initiale de R2 tellement supérieure à 2R1 que l'augmentation de l'amplitude de
VS jusqu'à saturation de l'ampli. op. ne suffit pas à abaisser cette résistance à la valeur
2R1 . On retombe alors sur le fonctionnement décrit au paragraphe 6 qui n'est pas vrai­
ment satisfaisant. Il est donc prudent d'utiliser pour R 1 une résistance réglable autour de
la valeur 22k.
7.3. Montage alternatif.
L'objectif consistant à obtenir R2
R2
> 2 pendant la phase d'amorçage puis = 2 en
R1
R1
régime permanent a été obtenu précédemment en diminuant la valeur de R 2 au cours de
la phase d'amorçage. Une autre méthode consiste à augmenter R 1 au cours de cette phase
R2
. Pour cela, il faut disposer d'un dipôle
2
dont la résistance augmente en fonction de la tension U à ses bornes. Les thermistances à
à partir d'une valeur initiale inférieure à coefficient de température positif
(CTP) ont cette propriété (voir
courbes ci­contre). Leur utilisation
est cependant malaisée : le domaine
de température [T1 , T2] tel que le co­
efficient de température est positif
correspond à des valeurs trop éle­
vées : 80°C et plus. On peut aussi ima­
giner d'utiliser une lampe à incandes­
cence ; la résistance du filament aug­
mente en fonction de la température,
donc en fonction de la tension U appli­
quée (voir la caractéristique d'une am­
poule type « lampe de poche ». L'usage
d'une telle ampoule amène plusieurs
difficultés.
­ La valeur moyenne de la résistance
d'une telle ampoule est de l'ordre de la
cinquantaine d'ohms ; R2 devra être de
l'ordre de la centaine d'ohms. Cela
conduit à une valeur de (R1 + R2) d'environ 150. Cette valeur assez faible risque de
conduire l'ampli. op. à une saturation en courant de sortie : celui­ci cesse de se comporter
de façon quasi parfaite dès qu'il doit fournir un courant de sortie d'intensité supérieure à
20mA.
­ La valeur de la résistance de l'ampoule varie en fonction de la température ambiante et
celle­ci risque d'augmenter dans le boîtier contenant l'oscillateur compte tenu de la cha­
leur libérée par effet Joule. On risque d'obtenir une variation au cours du temps de l'am­
plitude des oscillations.
Une autre solution consiste à simuler une résistance non
linéaire à l'aide d'un transistor à effet de champ (TEC).
Pour une tension grille – source négative, le courant de
grille est d'intensité nulle. Pour des tensions drain –
source de faible valeur absolue : −O ,5 V <V ds <0,5 V , le
transistor se comporte comme une résistance Rds qui aug­
mente en fonction de la valeur absolue de la tension grille
– source selon la loi :
Rds =
R dso
, avec, pour le modèle
|V gs|
1−
Vp
utilisé : Vdso = 2,5k ; Vp = 2,0V.
Le TEC est inséré dans le circuit
conformément au schéma représenté
ci­dessous en série avec une résistance
R'. Un détecteur de crête inverseur
permet d'obtenir une tension Vgs pro­
portionnelle à ­Vsm . La valeur absolue
de Vgs devant rester faible, la résis­
tance du détecteur est en fait la mise
en série de deux résistances iden­
tiques jouant le rôle de diviseur de
tension. En choisissant la constante de
temps 2R3C3 supérieure à la période
de la tension vS , nous obtenons : Vgs = ­0,5|Vsm|.
Finalement, l'ensemble constitué de la résistance R' et du TEC se comporte comme une
résistance R1 variant en fonction de l'amplitude de vS conformément à la loi approchée :
R1=R '+ R ds =R ' +
R dso
.
|V gs|
1−
Vp
En choisissant : R2 = 48k et R' = 20k, on obtient en début de phase d'amorçage : R2
. Les oscillations vont se stabiliser pour
2
R1 = 22,5k soit une valeur inférieure à R1=
R2
soit pour Rds = 4k. On en déduit la valeur de Vgs :
2
4=
2,5
V gs
1+
2
soit :
V gs=
2,5−4
=−0,75 V .
2
On en déduit :
V sm=1,50 V
Voici les résultats de la simulation :
et :
v max =
V sm
=0,50V .
3
V(vs)
1.5V
V(v)
V(vgs)
1.2V
0.9V
0.6V
0.3V
0.0V
-0.3V
-0.6V
-0.9V
-1.2V
-1.5V
-1.8V
0.0ms
0.5ms
1.0ms
1.5ms
2.0ms
2.5ms
3.0ms
3.5ms
4.0ms
4.5ms
5.0ms
La concordance est assez remarquable puisque la simulation conduit à :
f = 1590Hz ; Vsm = 1,51V , vmax = 0,503V ; taux de distorsion : 0,48 %.
Le taux de distorsion est très satisfaisant mais un peu inférieur à ce qu'il était avec une
régulation par thermistance CTN ; le détecteur de crête ne fournit pas une tension suffi­
samment « lissée ». Il faut en effet trouver un compromis concernant sa constante de
temps 2R3C3 : une constante très élevée par rapport à la période du signal fournit un
meilleur lissage mais manque de « réactivité » pour rendre compte des variations au cours
du temps de l'amplitude de vS . J'ai choisi pour la simulation : 2 R 3 C 3 ≈ 20 T .