serie1 4e m 2015

L.S.C.J.Gafsa
SERIE N°1 ( Nombres complexes 4è.M )
Prof: B.Tabbabi
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse:
1.Pour tous nombres complexes non nuls z et z' on a :
a. 1  z  1
b. Si z  z' alors z  z' ou z = - z' c. z  z'  z  z'
d. 1 + i z
2
= 1 + z²
e.Si arg z'   arg z  2  alors z'  z f. z  z 2  z  IR
2
2. Soit n un entier naturel.
Le nombre complexe

3 i

n
est réel si et seulement si n = 6k ; k 
1 - iz
z
z-i
3. Pour tout nombre complexe z  i et de module 1 on a :
Exercice 2 :


le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .
On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1
et a  3  i .
1.a.Donner la forme exponentielle de a.
b.Construire le point A.
a 1
2.Soit B le point d’affixe b 
.
1 a
a.Vérifier que bb  1 .En déduire que le point B appartient à (C).
b 1
b.Montrer que
est un réel.En déduire que les points A,B et I sont alignés.
a 1


c.Construire le point B dans le repère O,u,v .
3.Soit  un argument du nombre complexe b.Montrer que cos  
2 3 3
22 3
.
et sin  =
52 3
52 3
Exercice 3 : ( principale 2013 )
Dans le plan d’un repère orthonormé direct O ; u ; v  ,on considère les points E et F d’affixes respectives 1
et i.
On désigne par C 1 et C 2 les cercles de centres respectifs E et F et de même rayon 1.
Soit  un réel de l’intervalle 0,2  , M le point d’affixe 1  ei et N le point d’affixe i (1  ei ) .
1.a.Calculer Aff ( EM ) et Aff ( FN ) .
b.Montrer que lorsque  varie dans 0,2  ,M varie sur C 1 et N varie sur C 2 .
c.Montrer que les droites (EM) et (FN) sont perpendiculaires.
2.Soit P le point d’affixe z P telle que z P  (1  i ) sin  .ei .
Aff ( EP)
Aff ( FP)
.
 sin   cos  et calculer
Aff ( EM )
Aff ( FN )
b.Montrer que P est le point d’intersection des droites (EM) et (FN).
a.Montrer que
Exercice 4:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  O ; u ; v  unité graphique 4 cm.A tout point M
1
d'affixe non nulle z,on associe le point M' d'affixe z' =  .
z
1.a.Déterminer une relation entre les arguments de z et z'.
b. En déduire que les points O , M et M' sont alignés.
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.On désigne par ( C ) le cercle de centre A contenant O
2. Dans cette question on suppose que M appartient à ( C ) \ O .
a. Vérifier que z - 1  1 puis que z' + 1  z' .Interpréter géométriquement cette dernière égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction du point M' connaissant le point M.
3. On note M 1 le symétrique de M par rapport à la droite  O , u  .
a.Montrer que
z' + 1
z 1
.Exprimer

z' - 1
z 1

 
alors l'argument de
z' + 1
z' - 1


en fonction de M 1 A , M 1 B .


 

b. Comparer M 1 A , M 1 B et MA , MB puis déduire une relation entre MA, MB et M ' A, M ' B .
Exercice 5 : ( principale 2011)


Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O ; u ; v ,on considère le point A d'affixe (-1) et les
points M,N et P d'affixes respectives z ,z² et z 3 où z est un nombre complexe non nul et différent de (-1) et de 1.
1 z
est imaginaire pur ).
z
1  z x²  y²  x  iy
.

z
x²  y²
1.a.Montrer que:( le triangle MNP est rectangle en P ) si et seulement si (
b.On pose z  x  iy où x et y sont des réels.Montrer que
c.En déduire que l'ensemble des points M tels que le triangle MNP est rectangle en P est le cercle    de diamètre
OA privé des points O et A.
2.Dans la figure ci-dessous,on a tracé le cercle    et on a placé un point M d'affixe z sur    et son projeté


orthogonal H sur l'axe O , u .
On se propose de construire les points N et P d'affixes respectives z² et z 3 tels que le triangle MNP est rectangle en P.
a.Montrer que  OM ,ON    u,OM   2  puis que  ON ,OP    u,OM   2  .
b.Montrer que OH = OM ².
c.Donner un procédé de construction des points N et P puis les construire.