f{x,y)-N,

T.
NAGELL
(Oslo - Norvège)
SUR LA REPRÉSENTATION D'UN NOMBRE ENTIER
PAR UNE FORME CUBIQUE
Il existe depuis Lagrange et Gauss une théorie classique des formes binaires
quadratiques. Ainsi on sait résoudre complètement le problème suivant: Étant
donnée la forme binaire quadratique f(x, y) à coefficients entiers, déterminer les
.solutions en nombres entiers x, y de l'équation
où N est un nombre* entier quelconque.
On peut glnf'riiliHfr <•(» problème et demander les représentations d'un nombre
i»iitii»r cloniti'* Af |nir un«» form«» binaire f(xy y) d'un degré quelconque n. Le
|it*«'iii<<'i* ri'MiiHiil t*/«ti«"«ritl nur fi*ttt* qurHtion ost très récent. En effet, c'est seulement «»n t ! M MI qui* Axrci. TIIUK, ^eometrt» norvégien, a publié l'important résultat
«lin« volrl: fttimt (IOIUI/M' une* forino binaire irréductible f{x^y) à coefficients
««nticrH, «l'un dogrif* *z \\ l'équation indéterminée
f{x,y)-N,
où N est un nombre entier quelconque, n'a qu'un nombre limité de solutions
en nombres entiers x, y,
Ce théorème est un corollaire d'un résultat très général et très profond sur
l'approximation d'un nombre algébrique par des nombres rationnels ( i ). La
méthode de Thue est très compliquée, et malheureusement elle ne donne aucun
procédé pour effectivement déterminer toutes les solutions de cette équation, s'il
y en a. Ainsi le problème n'est pas encore complètement résolu.
Pour trouver des résultats plus précis et plus complets, on est conduit à
spécialiser les formes. Les formes les plus simples sont les formes cubiques à
discriminant négatif. Le premier résultat sur les formes cubiques est dû à
M. B O R I S DELAUNAY (2), qui a, en effet, démontré le théorème suivant :
L'équation indéterminée
^ n ^
n
x3 + Dy3 = l,
(i) Voir A. THUE, Ueber Annäherungswerte algebraischer Zahlen, Journal f. Math.,
Bd. 135, 1909.
(2) Pubi. Soc. math. Kharkow, 1916 (en russe).
6
COMUNICAZIONI
D étant un entier qui n'est pas un cube parfait, possède en dehors de la solution
triviale y=0, x=l, au plus une seule solution en nombres entiers x, y, et dans
ce cas le nombre
3
x + yÌD
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est l'unité fondamentale de l'anneau BÖ/D) dans le corps algébrique engendré
par 0.
Ainsi le problème est complètement résolu dans ce cas, puisqu'il est réduit
au problème connu de déterminer l'unité fondamentale d'un anneau.
Dans un travail récent (*) j'ai généralisé ce résultat en montrant que
l'équation plus générale
Ax3 + By3 = l(ou=3)
possède au plus une seule solution en nombres entiers différents de zéro. Ma
méthode donne aussi un algorithme pour effectivement déterminer toutes les
solutions.
Le premier résultat sur la forme cubique générale est également dû à
M. DELAUNAY ( 2 ):
Étant donnée une forme binaire cubique, irréductible, à coefficients entiers
et à discriminant négatif, le npmbre de représentations de l'unité par cette
forme ne dépasse pas 4, sauf dans le cas d'une forme équivalente à la forme
x3 — xy2 + y3, dans lequel il y a exactement 5 représentations.
Pour que la forme ait plus de 2 représentations, il faut qu'elle soit équivalente à une forme
x3 + bx2y + cxy2 + y3,
où le premier et le dernier coefficient sont égaux à 1.
Sans connaître ce travail de M. Delaunay, j'ai attaqué le problème par une
autre méthode, et dans un travail qui vient de paraître (3), j'ai établi le théorème plus précis, que voici :
Il y a au plus trois représentations de l'unité par une telle forme, sauf
dans les trois cas d'exception suivants : 1°) Il y a exactement quatre représentations quand la forme est équivalente à x3— x2y + xy2+y3; 2°) il y a exactement quatre représentations quand la forme est équivalente à x3 + xy2 + y3 ;
3°) il y a exactement cinq représentations quand la forme est équivalente à
x3— xy2 + y3.
Les formes d'exception sont celles dont la valeur absolue du discriminant
est la plus petite: dans le dernier cas le discriminant est —23, dans le deuxième
(*) Journal de Math., Paris 1925.
(2) Mémoires de PAead. d. Sciences, Leningrad, 1922.
(3) Mathematische Zeitschrift, Berlin 1928.
T.
NAGELL:
Représentation
cubique
d'un nombre entier
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«cas il est —31 et dans le premier cas il est —44. Ce résultat est définitif puisqu'il
y a, comme on voit aisément, une infinité de formes inéquivalentes avec trois
représentations de l'unité.
La méthode de M. Delaunay ainsi que la mienne sont indépendantes de
celle de Thue. Mais, elles ne donnent non plus aucun procédé pour effectivement
déterminer les représentations dans le cas général.
Il résulte immédiatement des résultats précédents : Le nombre des représentations d'un nombre quelconque positif N par une telle forme ne surpasse pas 5iV.
C'est un fait très remarquable que cette limite supérieure est indépendante
des coefficients de la forme et qu'elle dépend seulement de N.