Classe de 3ème ARCHIMEDE
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CHAPITRE 14 4ème BISSECTRICES ET CERCLE INSCRIT I – BISSECTRICE ET ÉQUIDISTANCE 1 Bissectrice d’un angle Définition : La bissectrice d’un angle ̂ est la demi – droite [Ot) telle que : ̂ Construction avec le rapporteur ̂. Construction avec le compas Remarque : La bissectrice est l’axe de symétrie de l’angle. 2 Une propriété caractéristique Propriété : Si un point est à égale distance des deux côtés d’un angle, alors ce point appartient à la bissectrice de cet angle. Propriété réciproque : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors ce point est à égale distance des deux côtés de l’angle. Propriété Propriété réciproque II – BISSECTRICE ET CERCLE INSCRIT Propriété : Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection est à égale distance des trois côtés du triangle. Définition : Le point d’intersection des bissectrices des angles d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. Conséquence : Le cercle inscrit dans un triangle est tangent aux trois côtés de ce triangle (sur la figure ci – dessus, en H, K et L). MISE EN GARDE : ATTENTION !!! NE PAS CONFONDRE !!! Cercle circonscrit à un triangle Cercle inscrit dans un triangle Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle. Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle. Le centre du cercle circonscrit est équidistant des trois sommets du triangle. Le cercle inscrit dans un triangle est tangent aux trois côtés du triangle. Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point d’intersection des bissectrices des angles du triangle. Le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés du triangle. Application 1 : Construire le cercle inscrit dans un triangle On trace les bissectrices de deux angles du triangle ; ici [Bt) et [Cz), bissectrices des angles ̂ et ̂ . On note I leur point d’intersection. Application 2 : Démontrer que des distances sont égales Énoncé : Brouillon : On place H le pied de la hauteur issue de I du triangle IBC. On trace le cercle de centre I et de rayon IH, c’est le cercle inscrit dans le triangle ABC. Rédaction : Conséquence : Le cercle de centre O et de rayon OH est tangent aux quatre côtés de ABCD. Ce cercle est inscrit dans ABCD. Application 3 : Reconnaître la bissectrice d’un angle Brouillon : Rédaction :
