Nombres premiers, PGCD, etc.

Chapitre I
Calculs de base (Rappels)
I.1 Diviseurs et multiples
I.1.1 Définitions
On a : 12 = 3 × 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4.
D ÉFINITION I.1.1
Soit a et b deux entiers.
Dire que a est multiple de b, ou que b est un diviseur de a, signifie qu’il existe un entier c tel que : a = bc.
Notations et vocabulaire En langage mathématique, « b divise a » s’écrit « b | a » et « b ne divise pas a » s’écrit « b ∤ a ».
Exemples
1. Les diviseurs naturels de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 et 15.
2. Les multiples naturels de 15 sont : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; etc.
On a : 6 = 1 × 6. Donc 1 et 6 sont des diviseurs de 6. Plus généralement, on a le théorème suivant.
T HÉORÈME I.1.1
Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même.
Notations et vocabulaire Ces deux diviseurs (1 et lui-même) sont dits triviaux. Tout diviseur naturel non trivial est dit
propre
Exemple Les diviseurs triviaux de 12 sont 1 et 12, alors que ses diviseurs naturels propres sont : 2 ; 3 ; 4 ; 6.
Remarque Les diviseurs d’un nombre peuvent s’associer pour former ce nombre par produit. Par exemple, dans les
diviseurs de 12, 3 et 4 sont associés car 3 × 4 = 12. On dit que 4 est le diviseur conjugué de 3 par rapport à 12.
D ÉFINITION I.1.2
Soit a et b deux entiers non nuls.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer deux entiers q et r tels que :
Notations et vocabulaire Le nombre q est appelé quotient et le nombre r est
appelé reste.
Exemple Pour diviser 1 234 par 23, on peut poser l’opération (voir ci-contre). Le
quotient est 53, et le reste est 15. On a : 1234 = 23 × 53 + 15.
T HÉORÈME I.1.2
Soit a et b deux entiers non nuls.
b divise a si, et seulement si, le reste de division euclidienne de a par b est nul.
1
½
a = bq + r
.
0Ér <b
1 23 4
8 4
1 5
23
53
2
I. Calculs de base (Rappels)
I.1.2 Multiples particuliers
multiples de 2 Les multiples de 2 sont les nombres pairs, c’est-à-dire les nombres dont le dernier chiffre est : 0 ; 2 ; 4 ;
6 ou 8. Par exemple 13 578 est multiple de 2, alors que 4 621 ne l’est pas.
multiples de 3 Les multiples de 3 sont les nombres dont la somme de chiffres est multiple de 3. Par exemple 13 578
est multiple de 3, car 1 + 3 + 5 + 7 + 8 = 24 = 3 × 8 alors que 4 621 ne l’est pas car 4 + 6 + 2 + 1 = 13 = 3 × 4 + 1.
multiples de 4 Les multiples de 4 sont les nombres dont le nombre composé des deux derniers chiffres est multiple
de 4. Par exemple 13 576 est multiple de 4, car il se termine par 76 et 76 = 4 × 19 alors que 4 621 ne l’est pas car il
se termine par 21 et 21 = 4 × 5 + 1.
multiples de 5 Les multiples de 5 sont les nombres dont le dernier chiffre est : 0 ou 5. Par exemple 13 575 est multiple
de 5, alors que 4 621 ne l’est pas.
multiples de 9 Les multiples de 9 sont les nombres dont la somme de chiffres est multiple de 9. Par exemple 13 878
est multiple de 9, car 1 + 3 + 8 + 7 + 8 = 27 = 9 × 3 alors que 4 621 ne l’est pas car 4 + 6 + 2 + 1 = 13 = 9 × 1 + 4.
multiples de 10 Les multiples de 10 sont les nombres dont le dernier chiffre est : 0. Par exemple 13 570 est multiple
de 10, alors que 4 621 ne l’est pas.
multiples de 25 Les multiples de 25 sont les nombres dont le nombre composé des deux derniers chiffres est multiple
de 25. Par exemple 13 575 est multiple de 25, car il se termine par 75 et 75 = 25× 3 alors que 4 621 ne l’est pas car
il se termine par 21 et 21 = 0 × 25 + 21.
multiples de 100 Les multiples de 100 sont les nombres dont les deux derniers chiffres sont : 00. Par exemple 135 700
est multiple de 100, alors que 46 210 ne l’est pas.
I.1.3 Propriétés
On a, 48 = 3 × 16 et 480 = 48 × 10, on en déduit que, 3 | 48 et 48 | 480. Mais on en déduit aussi que, 480 = 48 × 10 =
3 × 16 × 10 = 3 × 160, d’où : 3 | 480.
Plus généralement, on a le théorème suivant.
T HÉORÈME I.1.3
Soit a, b, c trois nombres entiers.
½
a divise b
Si
, alors : a divise c.
b divise c
Exercice I.1.1.
2 345 678 est-il multiple de 48 ?
Solution La somme des chiffres de 2 345 678 est 35, qui n’est pas multiple de 3, donc 2 345 678 n’est pas multiple de 3.
Or 48 est multiple de 3, donc si 2 345 678 était multiple de 48, alors 2 345 678 serait multiple de 3. Donc, 2 345 678 n’est
pas multiple de 48. On a : 56 = 7 × 8 ; 77 = 7 × 11 et 56 + 77 = 133.
Ainsi, 133 est la somme de multiples de 7 et 133 est lui-même multiple de 7, car : 133 = 56 + 77 = 7 × 8 + 7 × 11 =
7(8 + 11) = 7 × 19.
Plus généralement, pour tout entier n, la somme ou la différence de deux multiples de n est multiple de n.
On a : 560 = 10 × 56 = 10 × 7 × 8 = 7 × 80.
Plus généralement, le produit d’un multiple de 7 par un entier est un multiple de 7.
Plus généralement, le théorème suivant est admis.
T HÉORÈME I.1.4
Soit n un entier naturel non nul et a, b des entiers.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Si a est multiple de n, alors −a est multiple de n.
½
a est multiple de n
Si
, alors : a + b est multiple de n.
b est multiple de n
½
a est multiple de n
Si
, alors : a − b est multiple de n.
b est multiple de n
½
a est multiple de n
Si
, alors : a + b n’est pas multiple de n.
b n’est pas multiple de n
½
a est multiple de n
Si
, alors : a − b n’est pas multiple de n.
b n’est pas multiple de n
½
a est multiple de n
Si
, alors : ab est multiple de n.
b est un entier
Démonstration (1)
Il existe un entier k tel que : a = kn. Donc : −a = −kn = n (−k).
| {z }
∈
É COLE E UROPÉENNE B RUXELLES I – -
Z
4e
I.2. Les nombres premiers
(2)
3
¢
¡
Il existe deux entiers k et k ′ tels que : a = kn et b = k ′ n. Donc : a + b = kn + k ′ n = n k + k ′ .
| {z }
∈
(3)
¡
¢
De même : a − b = kn − k ′ n = n k − k ′ .
| {z }
∈
(4)
Z
Z
Posons : c = a + b. On a donc : b = c − a. Ainsi, si c était multiple de n, alors d’après (3), c − a, c’est-à-dire b, serait multiple de n ce qui
contredit l’hypothèse initiale. Donc, a + b n’est pas multiple de n.
(5)
Posons : c = a − b. On a donc : b = a − c. Ainsi, si c était multiple de n, alors d’après (3), a − c, c’est-à-dire b, serait multiple de n ce qui
contredit l’hypothèse initiale. Donc, a − b n’est pas multiple de n.
(6)
Il existe un entier k tel que : a = kn. Donc : ab = knb = n (kb). ä
|{z}
∈
L
L
Z
Les propriétés (4) et (5) du théorème I.1.4 sont démontrées en utilisant un raisonnement par l’absurde. Pour démontrer qu’une
proposition est vraie, on suppose que sa négation est vraie et on en déduit une proposition fausse.
Exercice I.1.2.
3 578 est-il multiple 11 ?
Solution On a : 3578 = 3300 + 278 = |3300{z+ 220} +
multiple de 11
. Donc :
58
|{z}
non multiple de 11
3 578 n’est pas multiple 11.
Exercice I.1.3.
3 567 est-il multiple 29 ?
Solution On a : 3567 = 2900 + 667 = |2900{z+ 580} +
multiple de 29
87
|{z}
. Donc :
multiple de 29
3 567 est multiple 29.
I.1.4 Exercices
I.1.a. Énumérer les diviseurs de 70.
I.1.k. 5 422 est-il multiple de 9 ?
I.1.b. Énumérer les diviseurs de 48.
I.1.l. 5 732 est-il multiple de 9 ?
I.1.c. Énumérer les dix premiers multiples de 5.
I.1.m. 5 732 est-il multiple de 5 ?
I.1.d. Énumérer les dix premiers multiples de 6.
I.1.n. 5 730 est-il multiple de 5 ?
I.1.e. Effectuer le division de 4 321 par 32.
I.1.o. 5 730 est-il multiple de 25 ?
I.1.f. Effectuer le division de 5 432 par 43.
I.1.p. 3 750 est-il multiple de 25 ?
I.1.g. 5 432 est-il multiple de 3 ?
I.1.q. 3 750 est-il multiple de 11 ?
I.1.h. 5 432 est-il multiple de 4 ?
I.1.r. 3 751 est-il multiple de 11 ?
I.1.i. 5 422 est-il multiple de 4 ?
I.1.s. 3 751 est-il multiple de 13 ?
I.1.j. 5 422 est-il multiple de 2 ?
I.1.t. 3 753 est-il multiple de 13 ?
I.2 Les nombres premiers
I.2.1 Définitions et propriétés
Le nombre 12 admet des diviseurs propres, par exemple, 4, et on a la décomposition : 12 = 4 × 3. On dit que 12 est un
nombre composé. Le nombre 4 est lui-même composé. Si on veut pousser la décomposition de 12 jusqu’à ce qu’il ne
reste plus aucun facteur composé, on obtient : 12 = 22 × 3. Les facteurs 2 et 3 n’ont pas de décomposition non triviale,
on dit que ce sont des nombres premiers.
D ÉFINITION I.2.1
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’a pas d’autre diviseur naturel que 1 et lui-même.
Un nombre premier est donc un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’a pas de diviseur propre.
Exemples
1. 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers.
2. 1 n’est pas un nombre premier.
4
I. Calculs de base (Rappels)
3. 4, 6, 8, 10 ne sont pas des nombres premiers car ils ont 2 comme diviseur propre.
Les 170 premiers nombres premiers est donnée dans la table I.1.
TABLE I.1 – Liste des 170 premiers nombres premiers
2
61
149
239
347
443
563
659
773
887
3
67
151
241
349
449
569
661
787
907
5
71
157
251
353
457
571
673
797
911
7
73
163
257
359
461
577
677
809
919
11
79
167
263
367
463
587
683
811
929
13
83
173
269
373
467
593
691
821
937
17
89
179
271
379
479
599
701
823
941
19
97
181
277
383
487
601
709
827
947
23
101
191
281
389
491
607
719
829
953
29
103
193
283
397
499
613
727
839
967
31
107
197
293
401
503
617
733
853
971
37
109
199
307
409
509
619
739
857
977
41
113
211
311
419
521
631
743
859
983
43
127
223
313
421
523
641
751
863
991
47
131
227
317
431
541
643
757
877
997
53
137
229
331
433
547
647
761
881
1009
59
139
233
337
439
557
653
769
883
1013
La décomposition de 12, 12 = 22 × 3, suggère le théorème suivant qui est admis.
T HÉORÈME I.2.1
T HÉORÈME FONDAMENTAL DE L’ ARITHMÉTIQUE
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut se décomposer de façon unique en produit de facteurs premiers.
Notations et vocabulaire Cette décomposition est aussi appelée écriture primaire du nombre.
Exemples Voici quelques écritures primaires :
– 24 = 23 × 3 ;
– 5=5;
– 60 = 22 × 3 × 5.
Remarque L’unicité est réalisée en imposant de ranger les facteurs premiers par ordre croissant et de ne faire figurer
dans l’écriture ni plusieurs fois un même facteur premier, ni un facteur d’exposant nul.
Ainsi les écritures, « 24 = 2 × 22 × 3 », « 24 = 3 × 23 » ou « 24 = 23 × 3 × 50 », bien que mathématiquement exactes ne sont
pas considérées comme des écritures primaires.
Exemples
1. En pratique pour décomposer un nombre en produits de facteurs premiers, on peut utiliser l’algorithme suivant.
Entrée Le nombre à décomposer.
240 2
Initialisation Tracer une barre verticale et placer le nombre à décomposer en haut à gauche.
120 2
Traitement Écrire à gauche du nombre, après la barre verticale, l’un de ses diviseurs premiers
60
2
(de préférence le plus petit), puis écrire sous le nombre son quotient par le diviseur pre2
30
mier choisi.
15
3
Réitérer l’opération en remplaçant le nombre par son quotient jusqu’à ce que le quotient
5
5
prenne la valeur 1.
1
Résultat Écrire le produit des nombres à droite de la barre verticale.
Ainsi, pour décomposer 240 en produit de facteurs premiers on obtient le schéma ci-dessus et on en déduit que :
240 = 24 × 3 × 5.
2. Dans les cas simples, on peut aussi procéder à une détermination directe. On a : 240 = 24×10 = 23 ×3×2×5, donc :
240 = 24 × 3 × 5.
Les théorèmes suivants sont admis.
T HÉORÈME I.2.2
Il y a une infinité de nombres premiers.
T HÉORÈME I.2.3
Pour qu’un entier n supérieur ou égal à 2 soit premier, il suffit qu’il ne soit divisible par aucun des nombres premiers,
p, vérifiant : p 2 É n.
É COLE E UROPÉENNE B RUXELLES I – -
4e
I.3. PGCD et PPCM de deux entiers
Exercice I.2.1.
5
Déterminer l’écriture primaire de 2 310.
Solution D’après le schéma ci-contre :
2 310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 .
Exercice I.2.2.
2310
1155
385
77
11
1
2
3
5
7
11
Déterminer l’écriture primaire de 6 400.
Solution On a : 6400 = 64 × 100 = 26 × 22 × 52 . Donc :
6 400 = 28 × 52 .
Exercice I.2.3.
Sans utiliser la table I.1, déterminer si 223 est un nombre premier.
Solution Les nombres premiers dont le carré est inférieur ou égal à 223, sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13.
Il suffit donc de tester la divisibilité de 223 par chacun de ces nombres.
D’après les critères de divisibilité usuels, 223 n’est divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5.
On a : 223 = 7 × 30 + 13 et 7 ∤ 13. Donc : 7 ∤ 223.
On a : 223 = 11 × 20 + 3 et 11 ∤ 3. Donc : 11 ∤ 223.
On a : 223 = 13 × 17 + 2. Donc : 13 ∤ 223.
223 est un nombre premier. I.2.2 Exercices
I.2.a. Donner les écritures primaires de : 12 ; 24 ; 48 ; 96 ;
192.
I.2.e. 165 est-il un nombre premier ?
I.2.b. Donner les écritures primaires de : 21 ; 42 ; 84 ; 168.
I.2.g. 271 est-il un nombre premier ?
I.2.f. 437 est-il un nombre premier ?
I.2.c. Déterminer l’écriture primaire de 168.
I.2.d. 167 est-il un nombre premier ?
I.3 PGCD et PPCM de deux entiers
I.3.1 Définitions et propriétés
Les entiers naturels divisant 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;12.
Les entiers naturels divisant 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
On constate que le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux npombres est : 3. On écrit : PGCD (12; 15) = 3.
Les entiers naturels multiples de 12 sont : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; etc.
Les entiers naturels multiples de 15 sont : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; etc.
On constate que le Plus Petit Commun Multiple non nul de ces deux nombres est : 60. On écrit : PPCM (12; 15) = 60.
D ÉFINITIONS I.3.1
(1)
Le PGCD de deux nombres entiers est leur grand diviseur commun.
(2)
Le PPCM de deux nombres entiers est leur petit multiple commun ntaurel non nul.
(3)
Deux entiers premiers entre eux sont deux entiers dont le PGCD est 1.
Remarques Pour tous entiers naturels a et b .
1. PGCD (a ; b) É a et PGCD (a ; b) É b .
2. PPCM (a ; b) Ê a et PPCM (a ; b) Ê b .
Soit a et b deux entiers et p un diviseur premier (s’il en existe) de PGCD (a ; b). On a, p | PGCD(a ; b), PGCD (a ; b) | a et
PGCD(a ; b) | a, donc d’apères le théorème I.1.3 : p | a et p | b.
Autrement dit, tous les diviseurs premiers de PGCD(a ; b) sont des diviseurs premiers commun à a et à b.
On admet que réciproquement, les diviseurs premiers commun à a et à b sont des diviseurs premiers de PGCD (a ; b).
On en déduit le théorème suivant.
T HÉORÈME I.3.1
Les nombres premiers entre eux sont les nombres qui n’ont pas de diviseur premier commun.
6
I. Calculs de base (Rappels)
Exercice I.3.1.
Les nombres 60 et 123456789 sont-ils premiers entre eux ?
Solution 60 et 123456789 ont un diviseur premier commun, 3, donc : 60 et 123456789 ne sont pas premiers entre
eux. Exercice I.3.2.
Les nombres 60 et 123456787 sont-ils premiers entre eux ?
Solution Les diviseurs premiers de 60 sont 2, 3 et 5. Aucun de ces trois nombres ne divise 123456787, donc : 60 et
123456789 sont premiers entre eux. Considérons les nombres a = 23 × 32 × 74 × 112 et b = 22 × 53 × 76 . On se propose de déterminer PGCD (a ; b). D’après
les considérations précédentes, on sait que les diviseurs premiers de ce PGCD (a ; b) sont les diviseurs communs à
23 × 32 × 74 × 112 et 22 × 53 × 76 , on en déduit que les diviseurs premiers de ce PGCD(a ; b) sont : 2 et 7.
Le diviseur premier, 2, apparaît successivement avec les exposants 3 et 2 on l’affecte du plus petit des deux : 2.
Le diviseur premier, 7, apparaît successivement avec les exposants 4 et 6 on l’affecte du plus petit des deux : 4.
On a ainsi les décomposition suivantes.
a = 23 × 32 × 74 × 112
b = 22 × 53 × 76
= 22 × 74 × 2 × 32 × 112
= 22 × 74 × 53 × 72
Le produit en rouge est un diviseur commun à a¡et b et il n’en est pas de plus grand,
car les produits en bleu n’ont pas
¢
de facteur premier commun. On a donc : PGCD 23 × 32 × 74 × 112 ; 22 × 53 × 76 = 22 × 74 .
M
M
Dans l’écriture primaire du PGCD (a ; b), les diviseurs premiers sont les diviseurs premiers communs à a et b et l’exposant d’un diviseur
premier, p , est le plus petit des exposants de p qui se trouve dans les écritures primaires de a et de b .
On se propose maintenant de déterminer PPCM (a ; b).
Cette fois on prend tous les diviseurs premiers qui apparaissent dans a ou dans b, c’est-à-dire, 2, 3,5,7,11 et on leur
affecte l’exposant le plus élevé avec lequel il apparaît. On obtient alors le nombre : 23 × 32 × 53 × 76 × 112 .
On a ainsi les décomposition suivantes.
23 × 32 × 53 × 76 × 112
23 × 32 × 53 × 76 × 112
= 23 × 32 × 74 × 112 × 53 × 72 = a × 53 × 72
= 22 × 53 × 76 × 2 × 32 × 112 = b × 2 × 32 × 112
Le produit en rouge est un multiple commun à a¡ et b et il n’en est pas de plus¢petit, car les produits en bleu n’ont pas
de facteur premier commun. On a donc : PPCM 23 × 32 × 74 × 112 ; 22 × 53 × 76 = 23 × 32 × 53 × 76 × 112 .
M
M
Dans l’écriture primaire du PPCM(a ; b), les diviseurs premiers sont ceux qui divisent au moins l’un des nombres a et b et l’exposant
Dans les écritures
précédentes ont remarque que les nombres a et b ont les mêmes facteurs que leur PGCD et leur PPCM. En effet :
d’un diviseur premier, p , est le plus grand des exposants de p qui se trouve dans les écritures primaires de a et de b .
ab = 23 × 32 × 74 × 112 × 22 × 53 × 76 = 22 × 74 × 23 × 32 × 53 × 76 × 112 = PGCD (a ; b) · PPCM (a ; b)
Plus généralement, on admet le théorème suivant.
T HÉORÈME I.3.2
Pour tous entiers naturels non nuls, a et b :
PGCD(a ; b) · PPCM (a ; b) = ab.
On en déduit le corollaire suivant.
C OROLL AIRE I.3.3
Pour tous entiers naturels non nuls premiers entre eux, a et b :
PPCM (a ; b) = ab.
Démonstration En effet : ab = PGCD (a ;b) · PPCM (a ;b) = 1 × PPCM (a ;b) = PPCM(a ;b) ä
I.3.2 Exercices
I.3.a. Déterminer le PGCD et le PPCM des nombres suivants.
a. 12 et 18.
b. 24 et 36.
e. 6 et 30.
f. 6, 10 et 15.
I.3.b. 8 et 12729 sont-ils premiers entre eux ?
Déterminer leur PGCD et leur PPCM.
c. 24 et 54.
d. 7 et 28.
É COLE E UROPÉENNE B RUXELLES I – -
4e
I.4. Règles de calcul
7
I.4 Règles de calcul
I.4.1 Les règles de priorités
Les priorités dans les calculs sont les suivantes :
– parenthèses ;
– puissances ;
– multiplications et divisions dans l’ordre d’écriture ;
– addition et soustraction dans l’ordre d’écriture
I.4.2 Le calcul fractionnaire
a c
=
⇐⇒ ad = bc
b d
am a
simplification si b , 0 et m , 0 :
=
bm b
lorsqu’une fraction est simplifiée par PGCD du numérateur et du dénominateur, elle devient irréductible.
a
a −a
=
opposé d’une fraction si b , 0 :
− =
b
b
−b
a b a +b
a b a −b
somme ou différence si c , 0 :
+ =
et
− =
c c
c
c c
c
si les fractions ne sont pas au même dénominateur, il faut commencer par les réduire au même dénominateur,
le dénominateur commun le plus avantageux est alors le PPCM des dénominateurs.
ab
a c
· =
produis de fractions si b , 0 et d , 0 :
b d cd
b
a
inverse d’une fraction non nulle si a , 0 et b , 0, l’inverse de est :
b
a
a
b = a · d = ad
quotients de fractions si b , 0, c , 0 et d , 0 :
c
b c
bc
d
diviser par une quantité, c’est multiplier par son inverse
produit en croix si b , 0 et d , 0 :
Remarques
1. Dans un calcul fractionnaire, les simplifications doivent être envisagées à chaque étape de calcul.
2. Pour multiplier des fractions entre elles, il ne faut pas les réduire au même dénominateur.
I.5 Puissances
Pour n ∈
N : an = |a × a ×{z· · · × a}
n facteurs
I.6 Exercices
I.1. 1. Démontrer que deux entiers naturels consécutifs sont toujours premiers entre eux.
2. Déterminer le PGCD et le PPCM de 9999 et 10 000.
Index
diviseur, 1
propre, 1
trivial, 1
diviseurs conjugués, 1
multiple, 1
nombre
composé, 3
premier, 3
nombres
premiers entre eux, 5
PGCD, 5
PPCM, 5
raisonnement
par l’absurde, 3
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