** EXERCICES ( )

81
Mouvement dans le plan
**
EXERCICES
Exercice 4.14
Une particule se déplace dans un plan XY selon la
:14.4
XY
loi : vx = 4t + 4t et v y = 4t .
3
Si le mobile se trouvait au point
(1, 2 )
. v y = 4t
à l’instant
(1, 2 )
!t = 0
t = 0 , trouver l’équation de la trajectoire en
. "
coordonnées cartésiennes.
Exercice 4.15
Une particule se déplace dans un plan
loi :
vx = 4
t = 0 on ait x = 0 ! y = 3 ! ! v = 0
y
XY
) . a y = 3cos t
(
1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ?
t=
4
,( #-
s.
.t =
Exercice 4.16
Soit le mouvement défini par sa trajectoire
y = 3( x + 2)
y = 3 ( x + 2 ) et son équation horaire s ( t ) = 2t 2 .
Sachant que
que
x = 2 et y = 0 quand s ( 0 ) = 0 et
s croit avec la croissance de y :
1/ trouver les équations paramétriques
y ( t ) du mouvement,
x ( t ) et
2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération
tangentielle du mouvement.
x= 2
:y
xOy d'origine O et de base ( i , j ). Les coordonnées
x et y d'un point M mobile dans le plan ( O, i , j )
t=0
:
/1
!
s
4
. /2
)
'
:16.4
#
). s ( t ) = 2t 2
"
/
" s
x (t )
.#
2
# ! s ( 0) = 0
#
0
'
y=0
/1
!#
/2
2
:17.4
4
3
. y = 4t 4t x = 2t :1
' '
,( #!
/1
!
) 5 /2
!$' % ()
/ ' /3
2
'#
/4
!$
.7 8
. 9: ;
/5
2
2
Exercice 4.18
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
" 1
y (t )
Exercice 4.17
On donne les équations paramétriques de la
trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un
référentiel : x = 2t et y = 4t
4t
1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est
son allure ?
2/Calculer la vitesse du mobile,
3/Montrer que son accélération est constante,
4/Déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
5/En déduire le rayon de courbure.
&'
ax = 4sin t
vx = 4 ! y = 3 ! x = 0
v y = 0 ! trouver :
2/ la valeur de la vitesse à l’instant
# $ %
:15.4
XY selon la
ax = 4sin t et a y = 3cos t .
Sachant que pour
vx = 4t 3 + 4t
6
:18.4
xOy 6789:; < =;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK
y < x S8:TUH=VWH XTY:P . ( i , j ) OP=Q8R < O LM=N;
varient avec le temps suivant la loi:
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST
82
Mouvement dans le plan
x = 2 cos
d;eBH f; ( O, i , j ) DE:FGBH `a ]bXc:; M ]^_JB
t
t
et y = 2sin .
2
2
1/ Déterminer la nature de la trajectoire,
2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse v ,
ds
, ainsi
dt
que celle de l'abscisse curviligne s du point M à
l'instant
t , en prenant comme condition
initiale s = 0 quand t = 0 ,
3/ Déterminer l'expression de la vitesse
4/ déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet,
5/ en déduire le rayon de courbure de la trajectoire.
6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le
point M
subit une accélération angulaire
d2
=
dt 2
= 0, 2t . A quelle date le point M
1
atteindra-t-il une vitesse de 10ms , sachant qu'il est
parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ?
t
t
< x = 2 cos : SE78_BH IFV
2
2
.g8FGBH ]>TNh i=V /1
l v ]QXFBH j8>k `:NbX; i=V /2
ds
s ]TUH=VWH mg8NQ Hnb <
]QXFBH mg8NQ i=V /3
dt
`pH=:qWH rXsBH ntuq l t ]oc@BH `a M ]^_JB ]TJcJGBH
l t = 0 8GB s = 0
?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH < ]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V /4
lxJKXa
.y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC /5
jg8F:q M ]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH /6
d2
M ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a .
= = 0, 2t €<H•
dt 2
`… 8; .SEƒFBH d; x_@^7H 8„7M 8G@Q l 10ms 1 ]QXw
†8„:>^R `:BH ]a8FGBH
. y = 2sin
Exercice 4.19
Une particule soumise à des champs électriques et
magnétiques complexes est en mouvement dans un
référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en
:19.4
m=_>; ]TFTh8JY; < ]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP
]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eBH S8:Bi8>GBH .`@T@• f•X; `a
t
t
t
t
b
b
.S8N•E; S8:q8U b < 0 l = < r = r0 e 8G…
coordonnées polaires : r = r0 e
et
= , 0 et
b
b
l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM /1
b sont des constantes positives.
1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule,
†]K<HeBH Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( v , u ) ]K<HeBH SM d‘Tq /2
2/ Montrer que l’angle ( v , u ) est constant. Que
l]bXc@B jg8F:BH j8>k IFVM /3
vaut cet angle ?
Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( a , uN ) ]K<HeBH SM d‘Tq /4
3/ Calculer le vecteur accélération de la particule,
l(2‹H’FB8q dT>:F7)†]K<HeBH
4/ Montrer que l’angle ( a , u N ) est constant. Que
.g8FGBH y8Jc7H X^R {|7 IFVM /5
vaut cet angle ? (On se servira de la question2),
5/ Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
uT
u
M
u
uN
O
Exercice 4.20
Un bras OA tournant avec une vitesse
A.FIZAZI
x
autour
Univ-BECHAR
'%
" )
'
:20.4
OA
LMD1/SM_ST
83
Mouvement dans le plan
d’un axe O , est articulé en A avec une tige AB .
La tige AB est solidaire d’un curseur B pouvant
coulisser le long de l’axe Ox . le bras et la tige
peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière
. AB 5 =. 1 A ) :<
'
- !O
' . .8"
' B ) :<
AB 5 =
OA ' =
# . Ox
3 ) 8" >
:< 9 ? .8"
AB
l’articulation en O .
Sachant que
AB = L
: OA = R
AB = L # . O
et OA = R :
A
) B #
"
/1
1/ trouver l’équation horaire du mouvement de B ,
! t = 0 " ) A0
sachant que B passe en A0 au temps t = 0 ,
,)
6
$
4
/2
2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ?
Y
A
L
R
t
O
Exercice 4.21
Dans le plan
( XOY ) d’un repère
X
( O, i , j , k ) , un
P se déplace sur un cercle de rayon R et de
centre I ( R, 0, 0 ) .
point
A l’instant t = 0 ,
B
A0
(
! O, i , j , k
. I ( R, 0, 0 ) /"#
possède la vitesse positive
v0 ( 0, v0 , 0 ) .
On désigne par et les coordonnées polaires de P .
1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son
équation cartésienne.
repère
;
( ur , u )
( O, u , u , k ) .
r
3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en
A).
• Donner l’expression de s en fonction de
.
• Représenter sur la figure la base intrinsèque
(u
T,
u N ) de P .
• Calculer en fonction de
et de ses dérivées
successives par rapport au temps les composantes de
v0 et a dans cette base.
• Calculer les composantes polaires de
. P B
(u
"
'
'
'
uT et de u N .
4/ On désigne par
la vitesse angulaire de P , dont
on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante.
A.FIZAZI
T,
uN )
'
Univ-BECHAR
)
5 #
& 3 "
# /1
.
#
@)
#- 3 ) C% /2
0 8' 5
v )
) - $ %
(
. O, u r , u , k
. uN
'#
- F/
.
)
)6
:<
# /3
!
8 ' s @ ') ) •
@)
#- 3 ) C% •
0 .6
/
uT
'
!P B
Retrouver dans ces conditions les composantes
polaires de v0 et a .
lt = 0
' ) PB s
:( A
. 9: @ A 3 ) P
P
. P B ( ur , u ) '
" ' '
de P . Calculer en fonction de
et de ses dérivées
P B a 2
successives par rapport au temps les composantes
polaires des vecteurs vitesse v et a de P dans le
2/ Représenter sur la figure la base polaire
( XOY )
6
. v0 ( 0, v0 , 0 ) '
B' P B '
$ %
!@ A
'
.
0
)
R /
A ( 2 R, 0, 0 )
P se trouve en A ( 2 R, 0, 0 ) et
:21.4
8' 5 •
a v0 $ %
'#
5
•
•
. a
v0 B
" ]QXF@B
B' "
/4
. ' % 1'
#
/ '
6%
') ! t 8 ' ) •
a
v
') ;
•
LMD1/SM_ST
84
Mouvement dans le plan
• Donner en fonction de t , les expressions de
puis
de .
• En déduire les expressions de v et a en fonction
de t de
.$
@ ).
v0 et a dans les bases polaire et de Frenet.
A.FIZAZI
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST