Electronique MP*1- 2016/2017 1) Etude de déphasage :

1
MP*1- 2016/2017
Electronique
1) Etude de déphasage :
On considère le circuit suivant:
1) Pour quelle valeur 𝐶𝑜 de 𝐶, 𝑖(𝑡) et 𝑢(𝑡) sont en phase
indépendamment de la fréquence?
2) Pour 𝐶 = 𝐶𝑜 , comparer les phases de 𝑖𝐶 (𝑡) et de
𝑖𝐿 (𝑡). Pour quelle valeur 𝜔 = 𝜔𝑜 ces courants ont-ils même
valeur efficace?
𝑖𝐿 (𝑡)
𝐿
𝐶
𝑅
𝑅
𝑖𝐶 (𝑡)
𝑖(𝑡)
𝑢(𝑡)
2) Caractéristiques d'un quadripôle :
1) Donner les résistances d'entrée et de sortie du
quadripôle 𝐴𝐵𝐶𝐷 La résistance d’entrée est donnée par
𝑉
le rapport 𝐼𝑒 , expression qui ne dépend ni de 𝐸, ni de
𝐼𝑒
𝐴
𝑅1 𝑉𝑒
𝐼𝑠
𝑅
𝑒
𝑅1 , la résistance de sortie est donnée par la relation
𝑉𝑠 = 𝐸𝑠 − 𝑅𝑠 𝐼𝑠 , expression qui ne dépend pas de 𝑅2 .
2) Trouver le gain en tension c’est-à-dire le
𝑉
rapport 𝑉𝑆 .
𝐶
𝐼1
𝑅
𝑅2
𝛽𝐼1
𝑉𝑆
𝐸
𝑒
𝐵
𝐷
3) Réponse à un échelon de tension :
Soit le circuit ci-contre ;
La tension d’entrée est 𝑒(𝑡) telle que
𝑒(𝑡) = 0 pour 𝑡 < 0 et 𝑒(𝑡) = 𝐸 pour
𝑡 > 0. Déterminer s(t  0  ) et s(t  0  )
𝐶
𝑅
𝑒(𝑡)
𝑅
𝐿
𝑠(𝑡)
puis l’allure de s(t). On suppose que
𝐿
𝑅2 𝐶
< 16.
4) Mesure d’un coefficient de mutuelle induction :
On désire mesurer la valeur absolue M du
coefficient de mutuelle M existant entre deux
bobines identiques.
1) A cet effet on réalise le montage cicontre. On étudie le signal obtenu aux bornes de
la résistance 𝑅 et on observe une résonance pour
une fréquence 𝑓1 = 2.05 𝑘𝐻𝑧. On inverse les
connexions de l’une des bobines. La résonance
se produit alors pour la fréquence 𝑓2 = 1.59 𝑘𝐻𝑧.
𝐶
𝑣𝑜𝑖𝑒 𝐴
𝑟1
𝐿1
𝐸
𝑀
𝑟2
𝐿2
𝑅
𝑣𝑜𝑖𝑒 𝐵
2
Calculer M sachant que 𝐶 = 100 𝑛𝐹.
5) Réalisation d’une fonction retard :
On étudie le quadripôle ci-contre:
1) Donner l’expression de la fonction de
Vs
transfert H ( j ) 
lorsque le quadripôle est fermé
Ve
𝐿/2
𝐿/2
𝑉𝑒
𝑉𝑠
𝐶
par une résistance R .
2) Montrer que pour des fréquences suffisamment basses et moyennant une valeur
particulière de 𝑅𝑜 , on réalise une fonction retard, c'est-à-dire qu’on a la relation 𝑣𝑠 (𝑡) =
𝑣𝑒 (𝑡 − 𝜏)
3) Calculer l’impédance d’entrée du quadripôle quand 𝑅 a la valeur 𝑅𝑜 et donner une
valeur approchée en basses fréquences de cette impédance d’entrée.
4) On définit l’impédance caractéristique du quadripôle par la valeur Z o de
l’impédance Z qu’il faut placer en sortie pour que l’impédance d’entrée soit égale à Z o .
Calculer Z o et donner une valeur approchée
L
L
L
L/2
en basses fréquences.
𝐶
𝐶
𝐶
5) On réalise la ligne ci-contre en branchant
n cellules identiques en cascade et en fermant
sur la valeur de Z o obtenue au 4).Quel est le retard en basses fréquences apporté par la ligne.
Application numérique: calculer 𝐿 et 𝐶 pour une ligne de 6 cellules sachant que 𝑅𝑜 = 330 
et que le retard total est de 6,2µ𝑠.
6) Filtre de Butterworth:
1) On veut réaliser un filtre dit de Butterworth, dont le module de la fonction de
transfert vérifie: |𝐻(𝑗𝜔)| = √
1
𝜔 6
1+( )
𝜔𝑜
mettre sous la forme H ( jx ) 
𝜔
; on pose 𝑥 = 𝜔 . Un filtre dont la fonction de transfert
𝑜
1
réalise-t-il cette condition ?
1  2 jx  2( jx )2  ( jx )3
2) On considère le filtre ci-contre. Montrer que
𝐿1
𝐿2
sous certaines conditions, il réalise une fonction de
𝑅 𝑣
𝐶
𝑠
𝑣𝑒
transfert de type Butterworth.
Application numérique: pour 𝑅 = 1 𝑘 calculer
les valeurs des deux inductances et de la capacité pour avoir une pulsation de coupure égale à
6000 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 .
7) Action d’un filtre passse-bande sur un signal périodique :
1) Déterminer la fonction de transfert du montage ci-dessous :
3
Préciser la nature du filtre, l’écrire sous forme canonique
et calculer sa bande passante.
2) On donne 𝐶 = 16.10−9 𝐹 et 𝑅 = 10,0 𝑘.
Donner la valeur de la fréquence de résonnance , celle
𝑅
𝐶
𝐶
𝑣𝑒
𝑅
𝑣𝑠
du facteur de qualité ainsi que celle de la bande passante du filtre.
3) Le signal d’entrée est une fonction créneau de fréquence 𝑓 = 1 𝑘𝐻𝑧. Donner la
𝑣
valeur des rapports 𝑣𝑠𝑛 , 𝑣𝑒𝑜 étant la tension d’entré du fondamental et 𝑣𝑠𝑛 le gain de
𝑒𝑜
l’harmonique d’ordre 𝑛 avec 𝑛 inférieur ou égal à 5. On donne l’expression des coefficients
4𝐸
de Fourier d’un signal créneaux d’amplitude 𝐸 = 1𝑉 : 𝑐2𝑝 = 0; 𝑐2𝑝+1 = (2𝑝+1)𝜋.
4) Représenter le signal de sortie si le signal d’entrée est une fonction créneau, de
fréquence 1000 𝐻𝑧.
5) Même question pour un signal d’entrée de fréquence 104 𝐻𝑧.
8) Démodulation d'amplitude :
On souhaite démoduler un signal de la forme y(t )  yo (1  m cos(t   ) sin(o t ) avec
  o . Le signal modulant est y m (t )  yo m cos(t ) . On dispose de la porteuse
p(t )  po sin(o t ) .
1) A l’aide d’un multiplieur, on forme u(t )  kp(t ) y(t ) . Déterminer le spectre de u(t).
2) Que doit-on faire sur u(t) pour récupérer le signal modulant ? Connaissez-vous une
autre méthode de démodulation ? Laquelle ?
Indications :
1) Etude de déphasage :
1) On a 𝑈 = 𝑍. 𝐼 ; calculer l’impédance 𝑍 et trouver à quelle condition sur C cette impédance
est réelle ; 2) on a 𝑈 = 𝑍𝐿 . 𝐼𝐿 et 𝑈 = 𝑍𝐶 . 𝐼𝐶 ; trouver la relation entre 𝑍𝐿 et 𝑍𝐶 .
2) Caractéristique d'un quadripôle :
1) Pour calculer la résistance d’entrée
𝐼𝑒
𝐼1
𝐼𝑠
𝐼1
𝑅
il faut appliquer les lois des nœuds et
𝑅2 𝑉
des mailles au dipôle 1 pour trouver le
𝑅
𝑉𝑒
𝑅1
𝑅
𝑆
𝛽𝐼1
𝑉𝑒
rapport 𝐼 ; pour calculer la résistance
𝐸
𝑅
𝛽𝐼1
𝐼𝑠
𝑉𝑆
𝑒
de sortie, il faut appliquer les lois des
Dipôle 1
Dipôle 2
nœuds et des mailles au dipôle 2 pour
trouver la relation 𝑉𝑠 = 𝐸𝑠 − 𝑅𝑠 𝐼𝑠 .
3) Réponse à un échelon de tension :
Exprimer 𝑠(𝑡) en fonction de 𝑖(𝑡) d’une part et en fonction de 𝑒(𝑡) et de 𝑢𝑐 (𝑡) d’autre part ;
𝑢𝑐 (𝑡) = 𝑢𝐿 (𝑡); écrire la loi des nœuds et la dériver ; on doit obtenir une équation différentielle
d’ordre 2 ; 2) la tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant dans la bobine
sont continues au temps 𝑡 = 0 ; reprendre les équations du 1) pour en déduire 𝑠(𝑡 = 0+ ) et
𝑠̇ (𝑡 = 0+ ) ; le discriminant de l’équation du second degré associé est négatif, on a un régime
sinusoïdal amorti.
4
4) Mesure d’un coefficient de mutuelle induction :
Dans la première expérience, le coefficient d’inductance mutuelle est (+𝑀) et dans la
deuxième (– 𝑀) ; exprimer dans chaque cas la condition de résonance du circuit et en déduire
l’expression de 𝑀.
5) Réalisation d’une fonction retard :
1) Il faut d’appliquer la loi de nœuds et le montage diviseur de tension ; 2) Faire un DL
d’ordre 2 de la fonction de transfert ; on veut obtenir
H  exp(  j )  1  j   j   2 / 2 ; 3) pour trouver l’impédance d’entrée, on suppose
2
un courant d’entrée 𝑖𝑒 au quadripôle et une tension 𝑣𝑒 ; l’impédance d’entrée est le rapport
𝑣𝑒 /𝑖𝑒 puis faire un DL de l’expression obtenue; 4) même démarche et faire un DL pour
trouver que 𝑍𝑜 = 𝑅𝑜 .
6) Filtre de Butterworth :
1) Calculer la norme de la fonction de transfert proposée ; 2) identifier la fonction de transfert
du quadripôle donné au modèle.
7) Action d’un filtre passse-bande sur un signal périodique :
1) il faut faire une étude qualitative en basse et haute fréquence puis reconnaître un montage
diviseur de tension ; 2) il faut analyser si le filtre est sélectif ou pas ; 3) calculer les gains
correspondants à chaque harmonique et conclure ; 4) il s’agit d’un montage intégrateur.
8) Démodulation d'amplitude :
Pour obtenir le spectre, linéariser les fonctions trigonométriques; pour démoduler il suffit de
placer à la sortie un filtre bien choisie.
Solutions:
1) Etude de déphasage :
𝐿
𝑅
1) 𝐶𝑜 = 𝑅2 ; 2) 𝑍𝐶 = 𝑍𝐿 𝑗𝐿𝜔 ; les deux courants sont en quadrature ; leurs normes sont égales
si 𝜔𝑜 =
𝑅
𝐿
=
1
√𝐿𝐶𝑜
.
2) Caractéristique d'un quadripôle :
1) 𝑅𝑒 =
𝑅(𝑅+𝑅2 (1+𝛽))
2𝑅+𝑅2 (1+𝛽)
𝑅 2𝑅1 +𝑅
; 𝑅𝑠 = 1+𝛽
𝑅1 +𝑅
𝑅𝐸
; 𝐸𝑠 = 𝑅
1 +𝑅
𝑉
; 2) 𝑉𝑠 =
𝑒
𝑅2
𝑅2 +
𝑅
1+𝛽
.
3) Réponse à un échelon de tension :
1)
−
𝑑2 𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 2
1 𝑑𝑠(𝑡)
+ 2𝑅𝐶
𝐸
2
√1−16𝑅 𝐶
𝐿
𝑑𝑡
𝑡
1
1
+ 𝐿𝐶 𝑠(𝑡) = 2𝐿𝐶 𝑒(𝑡) ; 𝑠(𝑡 = 0+ ) =
1
1
𝐸
2
𝐸
; 𝑠̇ (𝑡 = 0+ ) = − 4𝑅𝐶 ; 𝑠(𝑡) =
𝐸
exp (− 4𝑅𝐶) 𝑐𝑜𝑠 (√16𝑅2 𝐶 2 − 𝐿𝐶 𝑡) + 2 .
4) Mesure d’un coefficient de mutuelle induction :
Les deux valeurs de la pulsation de résonance sont : 12 
 22 
1  1
1 
1
 2  2   10mH .
d’où M 
2
C ( L1  L2  2M )
16 C  f 2
f1 
1
C ( L1  L2  2M )
et
5
5) Réalisation d’une fonction retard :
1) H 
1
1   j 
L
2 LC
3
  j 
  j 
R
2
2
L
LC 
2 L
:
;2) H  1   j    j   2 
2
R
2 
LC
R
4R
L
et   LC ; avec un DL d’ordre deux on trouve Z e  Ro ; 4) après DL d’ordre
C
2
L
2
2 L
deux on trouve Z o    j 
soit en BF 𝑍𝑜 = 𝑅𝑜 ; 5) n  n LC d’où
C
4
L  3.10 4 H ; C  3.1nF
6) Filtre de Butterworth :
Ro 
𝐿
𝑅
1) La fonction de transfert proposée convient ; il faut avoir 3𝐿2 = 𝐿1 ; 𝐶 = 𝑅22 ; 𝜔𝑜 = 2𝐿 ;
2
𝐿2 = 0,083 𝐻 ; 𝐿1 = 0,25 𝐻 ; 𝐶 = 0,083 𝜇𝐹.
7) Action d’un filtre passse-bande sur un signal périodique :
1) il s’agit d’un filtre passe- bande (comme l’indique le titre  ) ; 𝐻(𝑗𝜔) =
1/3
1
3
1+ 𝑅𝐶𝑗𝜔+
1 1
3𝑅𝐶𝑗𝜔
;
1
𝑄 = 1/3 ; 𝜔𝑜 = 𝑅𝐶 ; 𝐻𝑜 = 1/3 ; 2) 𝑓𝑚 = 2𝜋𝑅𝐶 = 995 𝐻𝑧; 𝑄 = 0,33; ∆𝑓 = 2986 𝐻𝑧 ; il
s’agit d’un filtre peu sélectif ; 3) pour chaque harmonique le signal de sortie aura pour
4𝐸
amplitude : 𝑣𝑠𝑛 = 𝑛𝜋
1/9
2
√1+1(𝑅𝐶𝑛𝜔𝑜 − 1 )
9
𝑅𝐶𝑛𝜔𝑜
ce qui donne : 𝑣𝑠1 = 0,142 𝑉; 𝑣𝑠3 = 3,52.10−2 𝑉 ;
𝑣𝑠5 = 1,49.10−2 𝑉 ; le signal de sortie sera très proche d’une sinusoïde de fréquence
1000 𝐻𝑧 ; 4) on observe des dents de scie, montage intégrateur.
8) Démodulation d'amplitude :
m
m
m


u (t )  kpo yo 1 / 2  cos((2o   )t   )  cos(t   )  cos((2o   )t   ) ; pour
4
2
4


démoduler il suffit de placer un filtre passe-bas à la sortie du montage pour récupérer la
pulsation ; on peut aussi démoduler avec un montage détecteur de crête.