support de cours circuits analogiques

1 ÈRE
ANNÉE
M AÎTRISE
DES
S UPPORT
R ISQUES I NDUSTRIELS
DE
C OURS
C IRCUITS A NALOGIQUES
David FOLIO
<[email protected]>
http://perso.ensi-bourges.fr/dfolio/Teaching.php
L’objet de se support de cours n’est pas de fournir le cours complet de composants électroniques. Il
s’agit plutôt d’un aide-mémoire rappelant les principales lois, définitions et notions utilisées pour la
mise en équation des circuits électroniques. Il vous appartient de le compléter et de l’enrichir des
différents éléments abordé en cours et en TD.
2
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
Table des matières
I
Outils d’analyse des circuits électroniques
I.1 Outils d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Les Quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Les
II.1
II.2
II.3
II.4
Amplificateurs
Généralités sur les amplificateur
Les Amplificateurs Différentiels
Les AOP . . . . . . . . . . . . .
AOP réel . . . . . . . . . . . .
5
5
7
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15
15
20
21
24
III Le Filtrage Analogiques
III.1 Notion de Filtrage . . . . . . . .
III.2 Fonctions de transfert des filtres .
III.3 Filtrage passifs . . . . . . . . . .
III.4 Filtrage actifs . . . . . . . . . . .
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27
27
35
41
47
Avant de commencer
Cours Composants Électroniques (P1) :
.
.
.
.
Les lois de Kirchhoff, théorèmes simplificateurs. . .
Dipôles linéaires passifs : résistances, capacités, inductance
Dipôles non-linéaires : la diode
Les transistors : BJT et FET
Circuits électroniques = Ensemble de composants électroniques interconnectés, dont le
but est de remplir une fonction électroniques.
.
Objectif : réalisation de fonctions électroniques
.
2
2
2
2
2
Mise en forme des signaux (redressement, limiteur de crêtes. . . ),
Alimentation (source de courant ou de tension)
Interrupteurs (fonctions logique, électronique numériques. . . ),
Amplificateurs,
Filtrage, . . .
Analyse : polarisation, stabilité, contre-réaction, bande-passante. . .
3
TABLE DES MATIÈRES
4
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
O UTILS D ’ ANALYSE
I.1
I.1.1
Outils d’analyse
Chapitre I
DES CIRCUITS ÉLECTRONIQUES
(Rappels)
Analyse fréquentielle
On s’intéresse dans cette partie du cours essentiellement à des signaux analogiques qui varient
en fonction du temps. Ainsi, on considérera principalement aux circuits électroniques en régime
dynamique.
Différents “outils” de l’électronique analogique permettent d’étudier, analyser, manipuler ces
grandeurs variables, dont notamment :
• Notations temporelle : v(t) = f (i(t)) (souvent peu pratique) ;
• Notations complexe : v = z ·i ;
• Notations fréquentielle : v(ω) = Z(ω)i(ω)
ou
v(p) = Z(p)i(p) ;
On peut aisément étendre la lois d’Ohm généralisée qui est de prime abords scalaire, en une
représentation matricielle : V = ZI (extension MIMO).
I.1.2
Signaux analogiques
On s’intéressera dans se cours principalement aux signaux alternatifs sinusoïdaux définit par :
b sin(ωt + ϕ)
x(t) = X
b amplitude , ω la pulsation et ϕ la phase.
où x(t) représente la valeur instantanée, X
On rappel que les outils vectoriels (eg., la représentation de Fresnel, représentation dans
le plan complexe, etc.) permettant de manipuler aisément ce types de signaux variables.
Cependant, il existe également d’autres types de signaux (ou fonctions) analogiques :
• “Fonction Rectangle” :
Ra (t) = 1, ∀t ∈ [−a/2; a/2]
et 0 sinon
• Sinus cardinal : sinc(t) = sin(t)
t
• “Fonction Échelon” :
U(t) = 1, ∀t > 0
• Exponentielle : x(t) = Aeω0 t
• Triangulaire, etc. . .
Ra (t)
a→0
a
• Impulsion de Dirac : δ(t) = lim
Différents outils permettent d’analyser ces signaux :
R∞
• Transformées de Fourier : f (ζ) = −∞ F (x) = eωζx dx
ωx
• Séries de Fourier : f (x) = Σ∞
n=−∞ cn (f )e
• Fonction de transfert : H(ω) ou H(p)
(=sortie/entrée)
La fonction de transfert donne le rapport entre le signal de sortie et l’entrée, suivant la fréquence.
Elle donne l’atténuation ou l’amplification, ainsi que le déphasage entre la sortie et l’entrée.
• Diagramme de Bode
. Gain (ou module) : |H(p)|dB = 20 log10 |H(p)|
. Phase (ou argument) : ϕ(p) = arg(H(p))
b
H
. Fréquence de coupure ωc à −3dB : H(ωc ) = √
2
5
I.2 Les Quadripôles
I.1.3
6
Rappel de quelques définitions
Definition I.1.1 (Système linéaire). Un système est qualifié de linéaire, s’il obéit au principe
de superposition :
• Si O est un opérateur ou une fonction linéaire
• Si la sortie Y est la réponse à un signal d’entrée X
,→ alors la réponse à l’excitation O(X) est O(Y )
Definition I.1.2 (Système stationnaire). Un système est stationnaire si son comportement
n’évolue pas (ou plus) aux cours du temps. L’entrée et la sortie sont alors solutions d’une
équation différentielle à coefficients constants :
am x(m) (t) + . . . + a0 x(t) = bn y (n) (t) + . . . + b0 y(t) ⇔ y(t) = Hx(t)
,→ H : opérateur linéaire indépendante du temps : H(p) =
am pm +...+a0 p
bn pn +...+b0 p
Definition I.1.3 (Stabilité). Un système linéaire est stable que si sa fonction de transfert
H(p) ne possède pas de pôles à partie réelles positive.
Remarque I.1. La stabilité est une notion extrêmement importante dans l’étude des systèmes.
Enfin, d’autres définitions de la stabilité existent (stabilité asymptotique, stabilité EB-RB,
stabilité locale ou globale, etc.).
Notion de sensibilité
Definition I.1.4 (Sensibilités). Soit f une fonction (eg., gain, facteur de qualité, position d’un
pôle, d’un zéro, etc.) d’un ensemble de paramètres x1 , x2 , . . . , xk (eg., valeurs des résistances,
capacités, gains, fréquence, etc.) ; on la note donc f (x1 , x2 , . . . , xk ).
On définit :
i
• la dérive relative (ou incertitudes, tolérances, etc) d’un paramètre xi : ∂x
xi
• la dérive relative de la fonction f : ∂f
f
f
par
rapport
au paramètres xi autour du point de fonctionnement
• la sensibilité Sxfi de
∂f
x
x0i par : Sxfi = ∂xi fi 0
xi
,→ La sensibilité permet d’étudier l’influence d’une dérive ou incertitude de la valeur d’un
paramètre xi sur une fonction f .
• Les imperfections (ou incertitudes) les plus importantes :
.
.
.
.
valeurs des composants (eg.,R, C) différentes des valeurs nominales ;
gain fini et qui dépend de la fréquence de l’amplificateur ;
dépendance à la température et au vieillissement ;
influence des capacités parasites, variation des impédances d’entrée ou de sortie des
amplificateurs ;
Exercice I.1 (Analyse de sensibilité). Soit un montage amplificateur à base de FET en
gm RD
configuration SC (cf., TD IV.3), dont le gain en tension est définit par : Av = − 1+g
.
m RS
Pour RD = 3.3kW ± 1%, calculer SRADv ?
A
. Pour RS = 500Ω ± 10%, calculer SRSv ?
. Pour ID = 2.2mA ± 5%, calculer SgAmv ?
.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
I. Outils d’analyse des circuits électroniques
I.2
Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques
Les Quadripôles
I.2.1
Introduction
Motivation : modéliser un circuit électriques quelconque par une représentation
“plus simple”.
,→ De nombreux circuits peuvent être représentés par une “boîte” munie de deux bornes
d’entrée et de deux bornes de sortie, c’est le quadripôle
Définitions
Definition I.2.1 (Le quadripôle). Un quadripôle est une structure
électronique dont on considère l’entrée entre deux bornes et la sortie
entre deux bornes ; ce qui conduit à quatre le nombre de grandeurs
d’entrée (Vin et Iin ) et de sortie(Vout et Iout ).
Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature
différente.
Definition I.2.2 (Cas particuliers : le tripôle). Une borne d’entrée
(eg., de référence) est commune avec une borne de sortie.
Iin
Vin
Iout
Q
Vout
Definition I.2.3 (Quadripôle linéaire). Un quadripôle est linéaire si la variation des grandeurs de sortie est proportionnelle à la variation des grandeurs d’entrée.
Un quadripôle linéaire ne contient pas de sources indépendantes.
On ne s’intéressera qu’aux quadripôles linéaires.
Différents types de quadripôle
Quadripoles linéaires
Quadripoles passifs
Quadripoles
Quadripoles dissipatifs
actifs
Quadripoles
non-dissipatifs
Quadripoles symétriques
On distingue principalement deux types de quadripôle linéaire :
Quadripôle actif : comporte des sources (de
tension ou de courant) liées.
Quadripôle passif : ne contient aucune source
(ie., que des composants passifs).
Parmi les quadripoles passifs, on distingue également :
• Quadripôle non-dissipatif : ne comprend que des éléments réactifs idéaux.
• Quadripôle dissipatif : ne comprend que des éléments résistifs.
Exemples de quadripôles
Example I.2.4 (Quadripôle série). Il contient une seule impédance :
Z.
• La loi des mailles donne : V2 = V1 − ZI1 et I2 = −I1 .
V2
1 Z
V1
• Soit sous forme matricielle :
=
I2
0 1
−I1
©
, David FOLIO
I1
V1
Z=1/Y
Q
I2
V2
I.2 Les Quadripôles
8
Example I.2.5 (Quadripôle parallèle). Il contient une seule impédance : Z (ou admittance Y = 1/Z).
• La loi des nœuds donne : I2 + I1 = I et V2 = V1 ,
soit : I2 = V1 /Z − I1 = Y V1 − I1 .
V2
1 0
V1
• Soit sous forme matricielle :
=
I2
Y 1
−I1
I1
I2
V1 Q
Z
V
=1/Y 2
Example I.2.6 (Le transformateur idéale). Un transformateur peut
se modéliser comme suit
• Li = kNi et M = kN1 N2
• V1 = L1 dIdt1 + M dIdt2 = ωL1 I1 + ωM I2
• V2 = M dIdt1 + L2 dIdt2 = ωM I1 + ωL2 I2
I1
I2
V1 N 1
N2
V2
Q
• Soit sous forme matricielle :
V1
V2
= ω
L1 M
M L2
I1
I2
Quadripôles passifs : réciprocité et symmétrie
Un quadripôle est dit “réciproque” si lorsqu’on place une source de tension à son entrée et qu’on
mesure le courant de court-circuit à sa sortie, on obtient le même résultat qu’en branchant la
source à la sortie et en mesurant le courant de court-circuit à l’entrée.
Un quadripôle est dit “symétrique” : si la permutation des deux accès (ie., entrée/sortie) entre
eux ne modifie pas le fonctionnement du quadripôle.
,→ Une symétrie électrique s’accompagne d’une symétrie topologique(et inversement).
I.2.2
Les paramètres électriques d’un quadripôle
• Paramètre d’accès d’entrée : Vin et/ou Iin
• Paramètre d’accès de sortie : Vout et/ou Iout
• Par conventions on considérera :
Iin1 = Iin2 et Iout3 = Iout4
Un quadripôle est ainsi caractérisé par 4 grandeurs d’entrée et de sortie (Vin , Iin , Vout et Iout ).
Le but de la représentation des quadripôles est de pouvoir d’écrire 2 d’entre elles alors que
les deux autres sont connues. On peut ainsi obtenir (a priori ) six représentations différentes
d’un seul et même quadripôle.
En particulier, les paramètre d’accès d’un “quadripôle linéaire” sont liés par des équations
linéaires qui peuvent être mises sous la forme générales :
A1 (p) = Q11 (p)B1 (p) + Q12 (p)B2 (p)
A2 (p) = Q21 (p)B1 (p) + Q22 (p)B2 (p)
Les Ai et Bi sont liés aux signaux d’entrés et de sorties du quadripôle, tandis que les paramètres
Qij constituent les composants du quadripôle.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
I. Outils d’analyse des circuits électroniques
Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques
Remarque I.2. En régime continue les différentes grandeurs X(p) sont réelles ; et en régime
variable (ie., sinusoïdal) les différentes grandeurs X(p) sont complexes.
Les différentes représentation d’un quadripole
1
Comme il y a 6 façons de choisir deux grandeurs
indépendantes parmi 4, le système d’équation linéaire
ci-dessus peut être décliné en 6 versions.
Iin
Vin
Iout
Q
2
Vout
3
4
Fig. I.1 – Symbole et convention
Paramètres impédance
La matrice d’impédances Z est définie par :
Vin (p)
Z11 (p) Z12 (p)
Iin (p)
=
Vout (p)
Z21 (p) Z22 (p)
Iout (p)
|
{z
}
Z
Chaque éléments Zij de la matrice d’impédances possèdent une signification :
Vin (p) Z11 (p) = Iin (p) : impédance d’entrée lorsque la sortie
Iout =0
est en circuit ouvert ;
Vin (p) Iout (p) Z12 (p) =
Iin =0
: impédance de transfert (inverse)
lorsque l’entrée est en circuit ouvert ;
Vout (p) Iin (p) Z21 (p) =
Circuit dérivés de la matrice Z
Iout =0
: impédance de transfert lorsque la
sortie est en circuit ouvert ;
Vout (p) Iout (p) Z22 (p) =
Iin =0
: impédance de sortie lorsque l’entrée
est en circuit ouvert ;
Paramètres d’admittance
La matrice d’admittances Y est définie par :
Iin (p)
Y11 (p) Y12 (p)
Vin (p)
=
Iout (p)
Y21 (p) Y22 (p)
Vout (p)
|
{z
}
Y
Chaque éléments Yij de la matrice d’admittance possèdent une signification :
Y11 (p) = VIinin(p)
: admittance d’entrée lorsque la sortie
(p) Vout =0
est en court circuit ;
Y12 (p) =
Iin (p) Vout (p) Vin =0
: admittance de transfert (inverse)
lorsque l’entrée est en court circuit ;
Y21 (p) =
Circuit dérivés de la matrice Y
Iout (p) Vin (p) Vout =0
sortie est en circuit ouvert ;
Y22 (p) =
Iout (p) Vout (p) Vin =0
est en court circuit ;
©
, David FOLIO
: admittance de transfert lorsque la
: admittance de sortie lorsque l’entrée
I.2 Les Quadripôles
10
Exercice I.2 (Quadripôle série). Soit le qua- Exercice I.3 (Quadripôle parallèle). Soit le
dripôle ci-dessous
quadripôle ci-dessous
I1
Z=1/Y
V1
I1
I2
V1 Q
V2
Q
I2
Matrice d’impédance ?
Matrice d’admittance ?
Z
V
=1/Y 2
Matrice d’impédance ?
Matrice d’admittance ?
Pour un circuit donné, toutes les représentations n’existent pas toujours.
Paramètres de transfert
Vin (p)
Iin (p)
(ou chaîne, ou de cascade)
Vout (p)
T11 T12
=
−Iout (p)
T21 T22
{z
}
|
Vout (p)
Iout (p)
T0
T
T : matrice de transfert direct
0
0
T11
T12
Vin (p)
=
T0 T0
−Iin (p)
| 21{z 22 }
T 0 : matrice de transfert inverse
Chaque éléments Tij et Tij0 des matrices de transfert possèdent une signification. Ainsi pour
la représentation transfert direct on a :
T11 =
T12 =
T21 =
T22 =
: gain en tension lorsque la sortie est en circuit ouvert
Vin (p) Vout (p) Iout
=0
Vin (p) − Iout (p) : impédance de transfert lorsque la sortie est en court circuit
Vout =0
Iin (p) : admittance de transfert lorsque la sortie est en circuit ouvert
Vout (p) Iout
=0
in (p) − IIout
: gain en courant lorsque la sortie est en court circuit
(p) Vout =0
Paramètres hybrides
Vin (p)
Iout (p)
H11 H12
Iin (p)
=
H21 H22
Vout (p)
|
{z
}
Iin (p)
Vout (p)
g11 g12
Vin (p)
=
g21 g22
Iout (p)
| {z }
G
H
g : matrice hybride inverse
H : matrice hybride (direct)
Chaque éléments Hij et gij des matrices hybrides possèdent une signification. Ainsi pour la
représentation hybride direct on a :
Vin (p) H11 = Iin (p) :
Vout =0
impédance d’entrée
lorsque la sortie est en court circuit
H12 =
Circuit dérivés de la matrice H
Vin (p) Vout (p) Iin =0
:
gain en tension lorsque l’entrée est en circuit ouvert
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
I. Outils d’analyse des circuits électroniques
: gain en courant lorsque la sortie est en court circuit
Vout =0
(p) = VIout
: admittance lorsque l’entrée est en circuit ouvert
out (p)
H21 =
H22
Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques
Iout (p) Iin (p) Iin =0
,→ Exemple : le schéma equivalent du transistor, H11 = hie , H12 = 0, H21 = hf e = β et H22 = hoe
Modèle amplificateur d’un quadripôle linéaire
:
Entrée : Vin = Zin Iin
Sortie : Vout = GVin + Zout Iout
Relations entre les différentes représentations
Il existe un lien entre les différentes représentations d’un quadripôle. Le tableau ci-desous
donne ces différents liens.
Z
Y
Z11 Z12
Z
Z21 Z22
Z22 −Z12
1
Y ∆Z
−Z
Z11
21
Z11 ∆Z
1
T Z21
1 Z22!
H
∆Z
Z22
− ZZ21
11
Z12
Z22
1
Z22
T
Y22 −Y12
1
∆Y
−Y21 Y11
Y11 Y12
Y Y
21 22
−Y22 −1
1
Y21
∆Y −Y11
1 −Y12
1
Y11
Y21 ∆Y
H
∆H
H22
21
−H
H22
T11 ∆T
1
T21
1 T22
T22 −∆T
1
T12
−1 T11
T11 T12
T21 T22
T12 ∆T
1
T22
−1 T21
H12
H22
1
H21
1 −H12
H
∆H
21
∆H H11
−1
H21
H22 1
H11 H12
H21 H22
1
H11
,→ Avec ∆M = det M = m11 m22 − m12 m21
Toutes les représentations n’existent pas nécessairement
Exercice I.4 (Quadripôle “Treillis”). Soit le quadripôle ci-dessous
I1
V1
I2
Z2
Z1
Q
Z1
V2
Matrice d’impédances ? d’admittances ?
Déduire les autres représentation matricielles
Z2
Méthodes d’analyse des représentations d’un quadripôle.
• Utilisation des lois de Kirchhoff ;
• Identification des paramètres Qij via leurs définitions ;
• Décomposition du quadripôle en système plus “simple”
(ie., association de quadripôles plus simples ou élémentaires)
©
, David FOLIO
!
I.2 Les Quadripôles
I.2.3
12
Association de quadripôles
Quadripôles en série
Iin
Iin1
Q1
Vin1
Vin
Iout
Iout1
Iin2
Q
Vin2
Q2
Vout1
Vout
Iout2
.
Hypothèses : Iin1 = Iin2 et Iout1 = Iout2
.
.
Q1 : V1 = Z1 I1
Q2 : V2 = Z2 I2
.
.
Lois des mailles : V = V1 + V2
Lois des nœuds : I = I1 = I2
,→ V = ZI avec Z = Z1 + Z2
Vout2
Possible ssi Z1 et Z2 existe
Quadripôles en parallèle
Iin
Iin1
Q1
Vin1
I'in1
Vin
Iout
Iout1
Q
Iin2
Vin2
Vout1
I'out1
Vout
Iout2
Q2
Vout2
.
0
0
Hypothèses : Iin1 = Iin
et Iout1 = Iout
1
1
.
.
Q1 : I1 = Y1 V1
Q2 : I2 = Y2 V2
.
.
Lois des mailles : V = V1 = V2
Lois des nœuds : I = I1 + I2
,→ I = YV avec Y = Y1 + Y2
Possible ssi Y1 et Y2 existe
Quadripôles en cascade
Iin
Iin1
Vin
Vin1
Iout1 Iin2
Q1
Vout1 Vin2
Iout2
Q2
Iout
Vout2 Vout
Q
.
Q1 :
Vin1
Iin1
= T1
Vout1
−Iout1
Vin2
Vout2
. Q2 :
= T2
Iin2
−Iout2 Vin
Vout
7→ Q :
= T1 T2
,
Iin
−Iout
Association série-parallèle
.
On montre : H = H1 + H2
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
I. Outils d’analyse des circuits électroniques
I.2.4
Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques
Grandeurs caractéristiques des quadripôles
Il est possible de définir pour un quadripôle des grandeurs caractéristiques comme les impédances d’entrée
et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance.
• Zin = VIinin : c’est l’impédance vue à l’entrée quand
Zg
Iin
Vg
Vin
Zin
Iout
Q
ZL
Vout
Zout
ZL
la sortie est chargée par une impédance ZL . On Fig. I.2 – Grandeurs caractéristiques
utilise la matrice impédance du quadripôle.
Z21
Exercice I.5. Montrer que : Zin = VIinin = Z11 − ZZ2212+Z
L
ZL
• Zout =
Vout Iout Vg =0
: c’est l’impédance vue à la sortie quand l’entrée est fermée par une
impédance qui est l’impédance du générateur. Il s’agit également de l’impédance équivalente
du modèle de Thévenin appliquée à la sortie du quadripôle.
Z21
Vout = Z22 − ZZ1112+Z
Exercice I.6. Montrer que : Zout = Iout g
Vg =0
• Gain (eg. en tension) : Av =
Vout
.
Vin
On montre que le gain en tension à vide, Av0 =
suivantes :
Z
Av0 =
I.2.5
Z21
Z11
Av0
Y
21
= − YY22
Vout Vin ZL =∞
T
Av0 =
1
T11
, peut être obtenu par les relations
Av0
H
21
= −H
∆H
Quadripôles non-linéaires
Les composants utilisés en électronique sont très souvent non-linéaires (eg., diodes, BJT, FET,
etc.) et une étude analytique rigoureuse du circuit est alors souvent très difficile (voir impossible). En revanche, il est toujours possible d’étudier le circuit électronique non-linéaire au
voisinage d’un point de fonctionnement, et de linéariser le circuit autour de se point. Pour
étudier le comportement du circuit, on peut également utiliser des méthodes graphiques.
Example I.2.7. Soit un quadripôle Q non-linéaire définit par son réseaux de caractéristiques
électriques : V1 = f (I1 , I2 ) et V2 = g(I1 , I2 ).
Au voisinage du point de repos, on peut écrire les variation des valeurs “statique” :
∂V1 ∂V1 dV1 =
dI1 +
dI2
∂I1 I2 =cste
∂I2 I1 =cste
∂V2 ∂V2 dV2 =
dI1 +
dI2
∂I1 I2 =cste
∂I2 I1 =cste
Les dérivées partielles
∂Vi ∂Ij Q
sont les pentes des tangentes aux caractéristiques au voisinage
du point de repos et ont la dimension d’une impédance.
©
, David FOLIO
I.2 Les Quadripôles
14
Paramètres dynamiques : zij =
∂Vi ∂Ij Q
.
Ces paramètres dynamiques zij sont les dérivées des paramètres “statiques” Zij au voisinage
du point de repos Q.
Exercice I.7 (Quadripôle non-linéaire). Soit le montage amplificateur à base de FET ci-dessous
Mettre sous la forme d’un quadripôle “amplificateurs”.
Matrice d’impédances ? d’admitances ?
Déduire les autres représentation matricielles
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
Chapitre II
L ES A MPLIFICATEURS
II.1
II.1.1
Généralités sur les amplificateur
(Rappels)
Présentation
Definition II.1.1 (Amplificateurs électronique). Un amplificateur électronique est un système électronique augmentant la puissance d’un signal électrique.
Fig. II.1 – Schéma classique d’un amplificateur.
Un amplificateur est un ensemble électronique constitué de composants
+Vcc
actif pouvant amplifier des courants ou tensions. Pour que l’amplificateur puisse fonctionner, il est nécessaire de l’alimenter avec une tension
d’alimentation (eg., continue).
Les amplificateurs sont utilisés pratiquement partout ; ils servent à
−VEE
amplifier, filtrer, détecter, transformer des signaux, etc. Suivant les
domaines d’utilisations, différents composants électroniques permettent de réaliser la fonction
amplifier (eg. BJT, FET, AOP, etc.).
Amplification de gain
(en puissance, en tension ou en courant)
L’amplificateur est caractérisée par son gain K = out
in
qui correspond au rapport entre les signaux de sortie et d’entrée.
Xin
Tension
Tension
Courant
Courant
Xout
Tension
Courant
Tension
Courant
Type de gain
Tension
Transconductance
Transrésistance
Courant
Fig. II.2 – Amplification de gain K : Xout = K Xin
Caractéristiques des amplificateurs
Différents paramètres caractérisent les amplificateurs, dont notamment :
Z
Z
1 T
1 T
Puissance utile délivrée dans la charge : Pu =
pu (t)dt =
vout (t)iout (t)dt
T 0
T 0
u
Rendement : η = PcP+P
≈ PPua ; Rapports signal sur bruitetc.
a
15
K
Av
gm
rm
Ai
II.1 Généralités
16
Amplificateurs=Quadripôle
L’amplificateur électronique peut être vu comme un quadripôle pouvant être défini en régime
linéaire autour d’un point de fonctionnnement par 4 paramètres. Exemple de paramètres du
quadripôle :
Vin = Zin Iin + K12 Iout
Q
Vout = K21 Iin + Zout Iout
Avec :
• K12 : paramètre de réaction (eg., K12 = 0)
• K21 : gain de transconductance
Enfin, rappelons que l’amplificateur est également
caractérisé par :
• à l’entrée par le biais de l’impédance d’entrée Zin
• à la sortie à travers une source de tension KVin en série à l’impédance de sortie Zout
• et le gain d’amplification : K= Av0
Bande passante des amplificateurs
Généralement, le gain K de l’amplificateur dépend de la fréquence.
Par exemple, si en régime variable on a vin (t) = Vb in sin(ωt),
alors vout (t) = |K| Vb in sin (ωt + ϕ(ω)) ; impliquant un gain K(ω)
complexe.
Cette variation du gain en fonction de la fréquence induit la
notion de bande passante (notée ici B) de l’amplificateur qui
est caractérisée par :
• le produit gain-bande : GBP = K0 × B = cst
• la raideur (ou sélectivité) : k =
II.1.2
fh −fb
fh +fb
Notion de rétro-action
Il est possible de modifier les performances d’un circuit analogique en superposant au signal
d’entrée Xin tout ou partie du signal de sortie Xout . On constitue ainsi un montage à “réaction”.
Si le signal ramené sur l’entrée a le même signe, la réaction est positive ; sinon, on a une réaction
négative ou contre-réaction.
Xin
Tension
Tension
Courant
Courant
Xout
Tension
Courant
Tension
Courant
β
Nombre
Transrésistance
Transconductance
Nombre
Fig. II.3 – Principe de la rétro-action.
Definition II.1.2 (Rétro-action). Un circuit bouclés par une rétro-réaction est un circuit
où une fraction du signal de sortie est re-injecté à l’entrée (rebouclage).
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
II. Les Amplificateurs
Chap. II Les Amplificateurs
Selon le signe avec lequel le signal est re-injecté on distingue :
• Si βK > 0 → réaction positive
• Si βK < 0 → réaction négative = contre-réaction
Dans un montage à réaction, on distingue différentes parties :
• Une chaîne d’action K qui commande la charge (ie. la sortie).
Elle est en général peu fidèle et sensible aux perturbations.
,→ On appellera K 0 =
Xout
Xin
le gain global du montage.
• Une chaîne de réaction de gain β (ou taux de rétro-action).
• βK : gain de boucle
• (1 ± βK) : facteur de rétro-action
Circuit bouclés par une contre-réaction
La sortie d’un circuit bouclés par une rétroK
Vin
réaction est de la forme : Vout =
1 + βK
| {z }
K0
• Inconvénients : le gain global K 0 du montage diminue
• Avantages : amélioration des caractéristiques générales de l’amplificateur
.
.
0
K
Diminution de la sensibilité SK
aux variations de l’amplificateur K
Réduction des distorsions
• Pour K 1/β ⇔ K 0 ≈ 1/β :
.
.
K 0 indépendant de K
K 0 ne dépend que du circuit de rétroaction
Example II.1.3 (Montage amplicateur avec rétroaction). Soit le montage amplificateur à base
de BJT avec réaction à l’émetteur :
Vbb − VBE
IC '
RE + RβB
L
Av ' − RCR//Z
E
,→ La contre-réaction stabilise la polarisation, et
réduit la dépendance vis-à-vis des paramètres du
transistors.
II.1.3
Applications des amplificateurs
Amplificateur linéaire
. Amplificateurs de précision
. Amplificateurs à gains programmables
. Amplificateurs faible consommation
. Amplificateur de puissance
. Amplificateur à collecteur ouvert
. Ampli d’isolement, etc. . .
©
, David FOLIO
Amplificateur non-linéaire
.
.
.
Convertiseur Numérique ↔ Analogique
Fonction logique (NOR, NAND. . . )
Mise en forme des signaux, horloge,
astables. . .
II.1 Généralités
II.1.4
18
Classification des Amplificateurs
• Classification par plage de fréquences
,→ Exemple : continue f = 0Hz, audio B=[20 ;20k]Hz, bande étroite, bande large, etc. . .
• Classification par fonction
,→ Exemple : amplificateurs linéaires, amplificateurs différentiels, amplificateurs audio ou
vidéo, etc. . .
• Classification par type de montage
(rappel sur les étages amplificateurs à transistors)
Amplificateur EC ou SC : gain |Av | 1, Impédances Zin pas très élevé et Zout non
négligeable
. Amplificateur CC ou DC : gain Av ≈ 1 , Impédances Zin élevé et Zout faible
. Amplificateur BC ou GC : gain Av pas très élevé, Impédances Zin faible et Zout non
négligeable
.
• Classification par classe :
.
.
Classe A : la totalité du signal d’entrée est utilisée (100%)
Classe B : la moitié du signal d’entrée est utilisée (50%)
,→ La puissance est partagée entre 2 transistors : chacun amplifie
une alternance
.
Classe C : moins de la moitié du signal d’entrée est utilisée
Fig. II.4 – Exemple d’amplificateur de classe B (étage push-pull)
Fig. II.5 – Exemple de circuit analogique amplificateur.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
II. Les Amplificateurs
II.1.5
Chap. II Les Amplificateurs
Défauts des amplificateurs
Un amplificateur linéaire doit fournir un signal de sortie ayant la même forme que le signal
d’entrée (eg.. avec une amplitude supérieure). Si la forme du signal de sortie (à l’amplitude et
au déphasage près) est différente de la forme du signal d’entrée, on dit qu’il y a distorsion.
Il existe différente forme de distorsions :
• Distorsion de phase
• Distorsion d’amplification :
.
.
Distortion d’intermodulation
Distorsion harmonique
,→ Problème de synchronisation des signaux
• Distorsion de fréquence, etc. . .
Enfin, un “bon” amplificateur doit amplifier que la partie utile du signal d’entrée. Cependant,
en électronique, des signaux aléatoires non désirées ou parasites se superposent souvent aux
signaux utiles, on les qualifie de bruits.
II.1.6
Notions de bruit
On distingue deux types de bruits :
1. Bruits externes
• Très large gamme de fréquence
• Origine : alimentation, filtrage, compatibilité électromagnétique. . .
2. Bruits internes
• différentes nature, difficile à dissocier. . .
,→ On ne peut spécifier que leur densité de probabilité
Les bruits sont, par nature, aléatoires et à valeur moyenne nulle. On ne peut spécifier que
leur densité de probabilité. Généralement, on fait l’hypothèse que la densité de probabilité est
gaussienne pour les principaux bruits.
RMS
99.7% du signal
Valeur est
moyenne probablement
≲6⨉RMS
Gaussian Probability
density function
Noise Signal
Fig. II.6 – Exemple de bruit
,→ On traduit les différentes sources de bruits par des valeurs efficaces correspondantes.
Bruits internes
Il existe cinq types de bruit en électronique :
1. Bruit de grenaille
2. Bruit thermique
3. Bruit de scintillation
4. le bruit en créneaux
5. Les bruits de type burst et avalanche
,→ Le bruit total d’un circuit est la somme quadratique des différents bruits
√
√
Les bruits sont définis par leur densité spectrale en V/ Hz ou A/ Hz
©
, David FOLIO
II.2 Les Amplificateurs Différentiels
II.2
20
Les Amplificateurs Différentiels
Definition II.2.1 (Amplification Différentielle). On appelle “amplification différentielle” une
amplification où la différence de potentielle en sortie est proportionnelle à la différence de
potentielle en entrée.
Amplificateur V
S12
différentiel
V1
V2
VS2
VS1
II.7-a Montage à sortie flottante
V1
Amplificateur
différentiel
V2
VS1
II.7-b Montage à référence commune
Fig. II.7 – On distingue deux types de montage amplificateur différentiel
Dans le cas idéale, le circuit analogique amplificateur différentiel a pour fonction principale
l’amplification de la tension différentielle d’entrée : Vd = V1 −V2 ; il est alors caractérisé par son
S2
S1
gain différenciel : Ad = VVS11 +V
dans le cas du montage à référence commune).
(ou Ad = V1V+V
+V2
2
Cependant le circuit amplificateur différentiel est aussi sensible à la somme V1 +V2 des tensions
d’entrées. En effet, les entrées V1 et V2 peuvent varier tout en conservant une différence
constante. On parle alors de “mode commun” caractérisé par le gain de mode commun
S2
Ac tel que dans le cas général : Ac = VVS11 +V
.
+V2
Aussi, on définit un coefficient de qualité du montage amplificateur différentiel par le (T)aux
d
de (R)éjection du (M)ode (C)ommun : TRMC= A
.
Ac
,→ Un amplificateur différentiel de bonne qualité doit donc posséder un TRMC> 50dB
Exercice II.1 (Étude d’un circuit analogique différentiel). Soit le montage différentiel à transistor bipolair ci-dessous.
1. Dessiner le schémas équivalent dynamique
2. Calculer Ad , Ac et le TRMC
+VCC
RC
RC
VS2
VS1
VE1
VE2
RE
-VEE
Fig. II.8 – A.N. : VCC = −VEE = 10V, RC = 10kW, RE = 15kW, hf e = β = 100 et hie = 1kΩ
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
II. Les Amplificateurs
II.3
II.3.1
Chap. II Les Amplificateurs
Les Amplificateurs Opérationnels
Présentation
Definition II.3.1 (Amplificateurs Opérationnels). Un amplificateur opérationnel (aussi ampli op, AO, AOP. . . ) est un amplificateur
différentiel (asymétrique)
,→ Vout = Ad (V+ − V− )
+Vcc
−
v− VE
v+ +
Vout
−Vcc
Un Amplificateur OPérationnel idéal est caractérisé par :
• Gain différentiel (en tension) Ad → ∞,
• une impédance d’entrée Zin → ∞,
• une impédance de sortie Zout = 0
,→ Caractéristiques souhaitées indépendantes de la fréquence
• Symétrie parfaite entre les entrées «+» et «−»
• Des courants d’entrées I+ et I− nulle
• Variation instantanée de Vout
II.3.2
AOP et contre-réaction
Fonctionnement sans réaction.
Dans le cas idéale le gain infinie Ad implique que la moindre tension à l’entrée de l’AOP
entraîne la saturation. Le fonctionnement n’est donc jamais linéaire, on obtient généralement
un comparateur.
Par exemple, si la tension d’entrée Vin est appliquée sur l’entrée non
inverseuse, il faut appliquer une tension dite de référence Vref sur l’autre
entrée, c’est-à-dire sur l’entrée inverseuse.
• si Vin > Vref alors VE > 0 ⇒ Vout = Vsat+
• si Vin < Vref alors VE < 0 ⇒ Vout = Vsat−
,→ Pour fonctionner en régime linéaire, il est nécessaire qu’il y ait une réaction de la sortie sur
une des entrées.
Rappel : principe de la réaction
A
• Vout = 1±βA
Vin = A0 Vin
• Si βA > 0 → réaction (positive)
• Si βA < 0 → contre-réaction
Les caractéristiques de la réaction :
•
•
•
•
•
•
©
Réduit le gain de l’amplificateur, et stabilisation du gain global : A0 ≈ 1/β
Zout
r
r
Zin
= Zin (1 + βA), Zout
= 1+βA
Diminution de la distorsion
Augmentation de la bande passante
Ne modifie pas le rapport signal/bruit
...
, David FOLIO
II.3 Amplificateurs Opérationnels
II.3.3
22
Les applications linéaires de l’AOP
Suiveur
Convertisseur
Amplificateur Inverseur
Amplificateur non-inverseur
Amplificateur différentielle
Amplificateur sommateur
Table II.1 – Exemple de circuit linéaire à base d’AOP.
Rappel
L’emplois d’un AOP en régime linéaire nécessite une contre-réaction.
Si et seulement si l’AOP est en régime linéaire on a : Vd = 0 ⇔ V+ = V−
II.3.4
Les applications non-linéaires de l’AOP
Si on introduit une réaction positive, l’AOP fonctionne alors en régime non-linéaire. La réaction sur l’entrée non-inverseuse permet d’effectuer une réaction positive : toute augmentation
de la tension de sortie va augmenter la tension différentielle d’entrée de l’AOP. La sortie ne
peut prendre que deux valeurs : Vsat+ ou Vsat− , qui sont les tensions de saturation positive
et négative de l’amplificateur. Dans ce cas, on dit également que l’AOP fonctionne en “mode
comparateur ”.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
II. Les Amplificateurs
Chap. II Les Amplificateurs
non-inverseur
inverseur
Table II.2 – Exemple de circuit non-linéaire à base d’AOP.
II.3.5
Autres applications
Les AOP sont utilisés dans de trés nombreux circuit analogique autrement que pour exploiter
sa fonction “amplifier ”.
Simulateur d’Inductance
Zeq ≈ Lω = R2 R1 Cω
Simulateur d’Impédance négative
Ve
Ie
R1
= Re = −R3 R
2
Table II.3 – Exemple de montage particuliers à base d’AOP.
©
, David FOLIO
II.4 Amplificateurs Opérationnels Réel
II.4
24
L’Amplificateur Opérationnel Réel
Bien que le modèle parfait de l’AOP permette de comprendre la plupart des montages à base
d’AOP, il s’agit d’un approximation du fonctionnement des AOP. Les AOP réels possèdent
un certain nombre de limitations par rapport à ce modèle.
II.9-a Vu simplifiée d’un AOP
II.9-b Schéma interne du LM741
Fig. II.9 – L’AOP tel qu’il est en réalité.
Pour étudier un circuit contenant des AOP on le considère dans un premier temps comme
parfait. Puis on introduit successivement les “différentes imperfections”.
L’AOP réel présente les imperfections suivantes :
• sur les caractéristiques d’entrée :
,→ présence d’un offset en entrée, biais sur les courants, impédance non infinie en entrée etc.
• sur les caractéristiques de sortie
,→ influence du mode commun sur la tension de sortie, etc.
• les caractéristiques de transfert
,→ variation du gain en fonction de la fréquence, etc. . .
Example II.4.1 (Imperfection du gain Ad sur un montage non-inverseur).
• Si AOP idéal : Vout =
Z1 +Z2
Vin
Z1
• Si gain Ad fini : Vout =
• Erreur relative : ε =
Ad
V
1+kAd in
1
Ad k
(exprimé en %)
,→ AN : R1 = 10kW, R2 = 100kW, et Ad = 103 , calculer ε ?
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
II. Les Amplificateurs
II.4.1
Chap. II Les Amplificateurs
Les imperfections statique de l’AOP
Imperfections sur les courants et tensions d’entrée
Les courants d’entrées Ib+ et Ib− de l’AOP réel ne sont pas nuls et de plus ils ne sont pas
idententiques (Ib+ 6= Ib− ). On distingue classiquement deux types d’imperfections sur les
courants d’entrées Ib+ et Ib− :
Ib+ +Ib− • Courant de polarisation : Ipol = 2 Vout =0
,→ Remède : les entrées «+» et «−» doivent avoir les même
impédances
• Courant de décalage : Ios = |Ib+ − Ib− |Vout =0
,→ Remède : compensation (int. ou ext.) ; éviter les gains et
impédances trop grandes
Du fait des imperfections des AOP, la tension de sortie Vout n’est généralement pas nulle
lorsque les deux tensions entrées sont au même potentielles (ie. quand V+ = V− ). Il existe
alors une tension continue dite de décalage VOS .
Cette tension VOS représente la différence de tension qu’il
faudrait appliquer entre les deux entrées de l’AOP quand on
a V+ = V− , afin d’avoir une tension de sortie nulle.
,→ Remède : compensation (int. ou ext.) ; éviter les gains trop importants
Imperfections sur les impédances d’entrée et de sortie
Les imperfections sur les impédances d’un AOP se décomposent en 3 types :
• Impédance d’entrée différentielle ZEd
• Impédance de mode commun ZMC
,→ Remède : en tenir compte. . .
• Impédance de sortie ZS
,→ Remède : éviter les courants de sorties trop importants. . .
• Il existe aussi en parallèle des impédances des capacités.
Imperfections sur le gain fini
Le gain différentiel Ad d’un AOP réel est fini et varie en fonction de la fréquence. En statique
on s’intéresse au gain continue Ad0 .
D’autre part, il faut tenir compte du taux de rejection de mode commun (TRMC)= Ad /Ac .
La sortie de l’AOP s’exprime alors : Vout = Ad Vd + 21 Ac Vc
Example II.4.2 (Imperfections sur un montage inverseur).
• Si AOP idéal : Vout = k1 Vin ; Si gain Ad fini : Vout =
Ad
V
1+kAd in
1
• Tension de décalage VOS (pour Vin = 0) : Vout = − Z1Z+Z
VOS
2
• Courant de polarisation (pour Vin = 0) : Vout = Z2 IB−
©
, David FOLIO
II.4 Amplificateurs Opérationnels Réel
II.4.2
26
Les imperfections dynamique
En pratique un AOP ne peut délivrer en sortie qu’une puissance limitée qui dépendra de la
quantité de courant consommée par la charge.
De plus la bande passante de l’AOP n’est pas infinie. En particulier, pour un AOP réel
la variation en fréquence du gain différentiel Ad (ω) peut être assimilée à celle d’un filtre
passe-bas du premier ordre. Ainsi, en première approximation, le gain différentiel s’écrit :
Ad (ω) =
Ad0
Vout
=
Vd
1 + ωωc
,
où fc est la fréquence de coupure (eg. à −3dB).
Le modèle de l’amplificateur idéal est satisfaisant tant que la valeur du gain Ad en boucle
ouverte reste très supérieur à celui de la boucle de rétroaction. Quand cette condition n’est
plus réalisée, il faut reprendre l’étude du circuit en utilisant la valeur du gain donnée par la
relation ci-dessus.
G (dB)
Bande passante au gain maximal
Produit gain-bande passante
On définit le produit produit gain-bande passante : GBW = A × B, où B (en Hz) est la
Bande passante à gain plus faible
largueur de bande passante (aussi appelée bande
passante). En particuliers, on considère que pour
Fréquence (Hz)
un AOP le produit gain-bande passante de la variation en fréquence du gain différentiel Ad (ω) est Fig. II.10 – Produit gain-bande passante.
constant : GBW = Ad0 × fc = Cst.
,→ Cette particularité permet de définir rapidement la bande passante (où la fréquence de coupure)
d’un montage linéaire dont on connaît l’amplification ou réciproquement.
Vitesse de balayage
Une grandeur à prendre également en compte est la vitesse
de balayage (ou temps de montée, Slew Rate), notée SR, qui
caractérise la rapidité de la réponse en sortie à une variation
brutale de la tension d’entrée. Lorsque la vitesse de variation
du signal de sortie d’un amplificateur est supérieure à sa
vitesse de balayage, sa tension
de sortie est une droite de
dVout
pente SR : SR = max dt
,→ Limitation de la bande passante : ωV m <SR
II.4.3
Fig. II.11 – Vitesse de balayage.
Bilan
Caractéristiques des AOP réels
. Gain différentielle Ad (ω)
. TRMC
. Impédance d’entrée
. Impédance de sortie
.
.
.
.
Courant de polarisation
Courant de décalage
Tension de décalage
Vitesse de réponse ou Slew Rate
Caractéristique de transfert des AOP réels :
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
Chapitre III
L E F ILTRAGE A NALOGIQUES
III.1
Notion de Filtrage
III.1.1
Présentation
Électronique
(rappel)
≡ étude et utilisation des signaux électriques pour capter, traiter et
transmettre des informations
,→ Exemple : acquisition de mesure provenant d’un capteur afin de pouvoir agir sur un actionneur
En particulier, le traitement des signaux électriques inclus les fonctionnalités suivantes :
•
•
•
•
•
Adapter le signal électrique pour lui donner la forme la plus appropriée pour son traitement ;
Amplifier le signal ;
Convertir les signaux analogiques ↔ numériques ;
Linéariser les signaux sur l’étendue des mesures ;
Filtrer les signaux.
Definition III.1.1 (Les Filtres). Un filtre est un circuit électronique qui “conditionne” (ou
filtre) certaines parties du signal d’entrée.
But du filtrage
Les filtres sont des outils utilisés dans le domaine du traitement
du signal, ils servent principalement à séparer des signaux dans
le domaine fréquentiel. Dans certains cas particuliers (plus rare)
on utilise également les filtres électroniques pour retarder un
signal (travail dans le domaine temporel).
Plus précisément, le filtre permet de modifier (ou de filtrer )
certaines parties d’un signal d’entrée dans le domaine temps
et dans le domaine fréquence.
L’opération de filtrage permet donc :
• d’éliminer (ou atténuer) les signaux indésirable
• d’isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences utiles.
,→ Séparation des signaux utiles des signaux indésirable
Les applications du filtrage analogique en électroniques sont ainsi très variées :
• Systèmes de communications (téléphonie, réseaux, etc. . . ) ;
• Systèmes d’acquisition et traitement des données ;
• Alimentation électrique, etc. . .
27
III.1 Notion de Filtrage
28
Classification par technologie
Il existe différentes familles de filtres (électronique) selon leurs domaines d’applications et la
nature des signaux manipuler :
• Filtrage numérique
• Filtrage à capacités commutées
• Filtrage analogique
(avec composant programmable, eg. DSP)
(avec condensateur + interrupteur)
(avec composants linéaires R, L,C, AOP)
On s’intéressera uniquement aux filtres analogiques, qui se décomposent en deux catégories :
1. Les filtres passifs
,→ avec uniquement des composants discrets R, L et C)
2. Les filtres actifs
,→ avec des composants discrets R et C + des composants actifs (eg., transistors, AOP)
Famille
Composants
Spécificités
CI logique, µP, DSP
•
•
•
•
Filtre Passifs
Composants passifs : R, C et L
• f élevé
• pas d’alimentation
• non intégrable
Filtre Actifs
Composant passif (R et C) et
actifs (AOP)
• f < 1MHz
• besoin d’alimentation
• tension filtré faible
AOP, Interrupteur, R et C
• f <qq. MHz
• besoin d’alimentation
• fréquence programmable
Filtre Numérique
Filtre à Capacité
commuté
Signaux numérisés,
f < 100MHz
programmable
convient en grande série
Table III.1 – Comparaisons entre les différentes familles
Il existe d’autres types de classifications (par types, fonctions, etc.).
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
III.1.2
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Définitions
Le filtres est un SLI
Un filtre linéaire est un Système Linéaire Invariant (SLI)
dans le temps permettant de diviser le spectre (domaine fréquentiel) afin de conserver une ou plusieurs parties (bandes) Fig. III.1 – Filtres ≡ Système
de celui-ci. Un filtre linéaire est caractérisé par l’existence
d’une fonction linéaire h(.) telle que la réponse du filtre à tout signal d’entrée xin (t) soit
xout (t) = h(xin (t)) :
h(axin (t1 ) + bxin (t2 )) = axout (t1 ) + bxout (t2 )) ∀t1 , t2 ∈ R
xout (t) = h(xin (t)) ⇒
h(xin (t − t0 )) = xout (t − t0 )
∀t0 ∈ R
Dans le domaine temporel, la transformation h(.) du signal d’entrée xin (t) en signal de sortie
xout (t) est définit par une opération de convolution. On distingue alors :
Z t
• Filtres analogiques (eg., passifs et actifs) : xout (t) =
xin (τ )h(t − τ )dτ = xin (t) ~ h(t)
−∞
• Filtres numériques : xout (nT ) =
+∞
X
xin (iT )h((n − i)T )
−∞
Les hypothèses considérées pour l’étude d’un filtre analogique sont les suivantes :
• les signaux électriques à 1 dimension évoluent en fonction du temps t ;
• l’hypothèse de filtre linéaire suppose que la relation h(.) liant xout à xin (t) est linéaire et
invariante dans le temps ;
• si le filtre est linéaire, le contenu spectral de xout (t) ne peut être plus riche que celui de xin (t)
(causalité).
,→ Pour les signaux évoluant en fonction du temps, seuls les filtres causaux sont implémentables en “temps réel ”.
Definition III.1.2 (Causalité : l’effet ne peut précéder la cause). Un système est dit causale
⇔ ∀xin (t) signal d’entrée causal (ie. xin (t) = 0, ∀t < 0), alors la réponse xout (t) = h(xin (t)) est
causale.
Le Filtre est un Quadripôle
La fonction h(t) décrivant le comportement du filtre est
D’autre part le filtre peut être également vue comme
un “quadripôle” caractérisé par sa transmittance (ie. sa
fonction de transfert) :
H(ω) =
Fig. III.2 – Filtres ≡ Quadripôles
Xout (ω)
Xin (ω)
Cette transmittance H(.) peut être obtenu en utilisant la transformation de Laplace :
L {xout (t)} = L {xin (t) ~ h(t)}
©
, David FOLIO
⇔
Xout (p) = H(p)Xin (p)
III.1 Notion de Filtrage
30
H(p) correspond alors à la fonction de transfert du filtre dans le domaine fréquentielle. En
particulier, les filtres analogique sont généralement représenté par la forme canonique de leur
fonction de transfert, c’est-à-dire que leurs numérateurs et dénominateurs sont des polynômes
en p. Ces polynômes sont ordonnés de manière croissante (forme de Bode) ou de manière
décroissante (forme de Laplace) :
p m + . . . + a1 p + a0
• Forme de Laplace : H(p) = n
p + . . . + b1 p + b0
am p m + . . . + a1 p + 1
• Forme de Bode : H(p) =
bn p n + . . . + b1 p + 1
Afin de faciliter l’analyse, le tracé des réponses fréquentielles et la conception des filtres, ces
polynômes sont décomposés en un produit de polynômes d’ordre 1 ou 2. Ainsi toute fonction
de transfert H(p) peut s’écrire par un produit de termes élémentaires décrite selon les formes
de Bode ou de Laplace.
Bode
Ordre 1 :
1 + ωω1
2
Ordre 2 : 1 + Q1 ωω0 + ωω0
⇔
Laplace
ω + ω1
⇔ (ω)2 +
ω0
ω
Q
+ ω02
Table III.2 – Formes canoniques des cellules d’ordre 1 et 2.
,→ ω1 et ω0 sont les pulsations caractéristiques et Q le facteur de qualité.
La fonction de transfert H(ω) peut être interprété comme étant un gain complexe caractériser
par son module G(ω) et son argument ϕ(ω), soit :
G(ω) = |H(ω)|
H(ω) = G(ω) exp (ϕ(ω)) ⇔
(III.1)
ϕ(ω) = arg (H(ω))
On peut ainsi représenter le comportement fréquentiel du filtre par un diagramme de Bode.
Le diagramme de Bode d’un système de réponse fréquentielle H(ω) est composé de deux
tracés :
1. le gain (ou amplitude) G(ω) calculée en décibels : GdB (ω) = 20 log |H(ω)| ;
2. la phase (en degré ou radian) : ϕ(ω) = arg (H(ω)).
,→ Il est d’usage en électronique, de s’intéresser principalement aux tracés asymptotiques.
Enfin un filtre est aussi définit à travers sa fonction d’atténuation (ou fonction de transmission) :
Xin (ω)
A(ω) =
Xout (ω)
Cette représentation permet de caractériser la transmission de l’énergie transportée par le
signal xin (t).
Retard de phase et retard de groupe
On sait que le déphasage ϕ est une mesure du décalage temporel td entre deux signaux
ϕ(ω)
td
périodiques de même nature et que l’on a la relation suivante :
= .
2π
T
De manière équivalente on a :
ϕ(ω) =
2π
td
T
⇔
td =
ϕ(ω)
ω
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Lorsque l’on s’intéresse au retard de phase tϕ (ou temps de propagation) d’un filtre, celui-ci
correspond à un temps de retard et on le définit comme suit :
ϕ(ω)
ω
Le signal d’entrée n’étant pas forcément une sinusoïde pure, il est parfois nécessaire de
connaître le temps mis par l’énergie du signal pour atteindre la sortie. Cette durée τg (ω)
appelée retard de groupe obéit à :
tϕ (ω) = −
dϕ(ω)
dω
Dans le cas d’un filtre idéal, le temps de propagation est indépendant de la fréquence et le
système n’introduit pas de distorsion de phase ; on dit qu’il est à phase linéaire. Cela signifie
que, pour les systèmes à phase linéaire, toutes les composantes spectrales d’un signal sont
retardées du même temps tϕ et que le signal temporel est ainsi peu ou pas déformé.
τg (ω) = −
III.1.3
Le Filtrage Analogique
Objectif : extraire l’information pertinente d’un signal xin (t)
,→ Suppression des signaux indésirable.
Généralement les filtres sont classés selon la forme de leur fonction de transfert. Ainsi les
filtres les plus courants sont l’un des types suivant :
1. filtre passe-haut : ne laisse passer que les fréquences au-dessus d’une fréquence de coupure.
Il atténue les autres (basses fréquences).
2. filtre passe-bas : ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de coupure.
3. filtre passe-bande : ne laisse passer qu’une certaine bande de fréquences (et atténue tout
ce qui est au-dessus ou en dessous).
4. filtre rejecteur ou coupe-bande : le complémentaire du passe-bande, il atténue une plage de
fréquences.
5. filtre passe-tout ou déphaseur : filtre qui a idéalement un gain unitaire sur toute la plage
de fréquence utilisée. Il est utilisé pour modifier la phase d’un système.
Passe Bas
fc
Passe Haut
Passe Bande
Coupe Bande
fc
f cb f 0 f ch
f cb f 0 f ch
Table III.3 – Différents types (ou classes) de filtres.
Le filtre idéal
Un filtre idéale doit transmettre sans distorsion, ni déphasage, avec un gain constant les
composantes utile (eg., bande passante) et “couper ” les signaux indésirables (eg., bande coupée),
avec une transition verticale
En pratique, la synthèse du filtre idéal est impossible. Le gain constant dans la bande
passante, et l’atténuation infinie dans la bande atténuée et des transitions verticales donnent
une caractéristique de réponse physiquement irréaliste.
Pour qu’un filtre soit physiquement réalisable il doit être :
©
, David FOLIO
III.1 Notion de Filtrage
32
1. stable : degrés(Num) < degrés(Den)
2. causale : xin (t) = 0 et xout (t) = 0,
(H(p) =
Num(p)
Den(p) )
∀t < 0
Ainsi, il n’y a pas de “bon filtre” : plus la pente d’atténuation est importante, plus le retard
augmente, de même quand la fréquence diminue.
Il faut alors chercher un compromis entre :
• Transition progressive entre la Bande Passante (BP) et la Bande Coupée (BC) ;
• Irrégularité du gain dans la BP ;
• Affaiblissement dans la BC ;
• Irrégularité du temps de propagation τg (f ) ;
,→ Conception d’un filtre “réalisable” ⇒ spécification d’un gabarit
Filtres réels : spécification d’un gabarit
Le cahier des charges d’un filtre réel est donné dans le domaine des fréquences à l’aide d’un
gabarit. Celui-ci précise :
•
•
•
•
le gain G dans la Bande Passante (BP) : GdB = |H(ω)|dB ;
l’atténuation AdB dans la Bande Coupée (BC) : AdB = |H −1 (ω)|dB ;
|H(fc )|
la (ou les) fréquence(s) de coupure : max
|H(f )|
la largeur de la (des) bande(s) de transition ⇔ raideur k
Passe bas : k = ffap
f
. Passe haut : k = fa
p
Passe bande : k =
. Coup bande : k =
.
.
∆fp
∆fa
∆fa
∆fp
À la donnée du gabarit sont ajoutées des spécifications telles que
l’amplitude de l’ondulation dans les bandes passantes et/ou de coupure ;
l’uniformité du temps de propagation dans la bande passante (phase linéaire).
Amax
Amin
fp
A max
A max
A min
A min
fa
fa
III.3-a Passe bas
III.3-b Passe haut
fp
+
fp
+
fa
III.3-c Passe bande
f p- f a-
f a+ f p+
III.3-d Coupe bande
Fig. III.3 – Gabarit pour la synthèse de filtre réels
Example III.1.3 (Gabarit d’un filtre passe bas). On a
•
•
•
•
•
Amax : atténuation maximale (en dB) dans la BP
Amin : atténuation minimale (en dB) dans la BC
fp : fréquence limite de la BP
fa : fréquence du début de la BC
k = ffap : sélectivité du filtre 7→ largeur de la BT
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Example III.1.4 (Gabarit d’un filtre passe bande). On a
• Largeur de bande : ∆fp = fp+ − fp−
f + −f −
∆fp
• k = ∆f
= fp+ −fp− : sélectivité du filtre
a
a
a
p
• Fréquence centrale : f0 = fp+ fp−
p
• Largeur de bande relative : B = ∆f
f0
,→ Pour la synthèse de filtres, il faut un gabarit symétrique
⇔ fa− fa+ = fp− fp+ = f02
Exercice III.1 (Spécification d’un filtre (ie., le cahier des charges)). On a besoin d’un filtre pour
traiter les signaux provenant d’une cellule d’acquisition, qui sont perturbés par des signaux
de basses fréquences. Le signal que notre système doit transmettre possède une fréquence
de 1000Hz, et une amplitude de 10V. Grâce à un analyseur de spectre, on s’aperçoit que
les fréquences parasites sont inférieure à 500Hz et ont une amplitudes ne dépassant pas 2V.
On veut obtenir à la sortie un signal supérieur à 7V, et les signaux parasites de doivent pas
dépasser 200mV.
,→ Qu’elle est le gabarit du filtre répondant aux spécifications ?
La définition d’un filtre réel s’obtient ainsi en précisant les valeurs du gabarit qui se réduit
généralement à :
• Amax : atténuation maximale (en dB) dans la BP
• Amin : atténuation minimale (en dB) dans la BC
• k = ffap : sélectivité du filtre 7→ largeur de la BT
III.1.4
Le Prototype passe-bas
Il existe différents outils et méthode permettant de concevoir un filtre respectant le cahier
des charges. Notamment, il existe des catalogues (ou abaques) de filtres pré-calcules. Ces
abaques sont généralement réduit à un seul type de filtre : un simple filtre prototype passe
bas. En effet, on montre que tous les types de filtres peut se ramener au prototype passe bas.
L’objectif est alors d’établir le gabarit du prototype passe bas afin de faciliter la synthèse.
Les transformations du gabarit filtre réel ont pour but de ramener tous les gabarits précédemment présentés au prototype passe bas, indépendant de la fréquence, et défini par seulement
3 paramètres : Amax , Amin et k.
Le gabarit du prototype s’obtient alors à la suite de différentes étapes :
1. Normalisation en fréquence : FNormalisée = ffN
Cette étape consiste à choisir comme unité de fréquence non pas le Hz, mais une fréquence
fN associée au gabarit et qui est :
• Passe bas et Passe haut : fN = fp
• Passe bande et Coupe bande : fN = f0
,→ Valeur normalisée de la fréquence : F =
f
fN
(⇔
ω
ωN
=Ω
P 6= 2πF
2. Normalisation en impédance : ZNormalisée = RZN
Cette étape consiste à choisir comme une impédance RN de référence :
• Valeur normalisée d’une résistance : r =
©
, David FOLIO
R
RN
⇒
p
pN
= P = Ω)
III.1 Notion de Filtrage
34
• Valeur normalisée d’une inductance : zL = RZNL = Lω
= Ω`
RN
ZC
1
1
• Valeur normalisée d’une capacité : zC = RN = CωRN = Ωc
ωN
avec ` = L R
N
avec c = CωN RN
3. Normalisation en amplitude :
Cette étape consiste à ramener la synthèse du filtre au prototype ayant un gain unité.
4. Transposition : filtre réel ↔ filtre passe bas
Cette dernière étape consiste à effectuer une transposition de fréquence (ie. changement de
variable) permettant de transformer le filtre réel en un filtre passe bas (et réciproquement).
Cette transformation s’applique à la fois aux gabarits et aux fonctions de transfert.
Transposition passe haut/passe bas
Pour transformer un filtre passe-bas en un filtre passe-haut (et réciproquement), on fait subir
à la variable complexe normalisée P la transformation suivante : p ↔ P = p1
←→ |HHaut (P )| = HB ( P1 )
Fig. III.4 – Transposition passe haut/passe bas
Transformation des gabarits passe bande/passe bas
On applique la relation de transposition : p ↔ P =
bande relative.
1
B
p+
1
p
, où B =
∆fp
,
f0
est la largeur de
←→
P 2 +1 |HBD (P )| = HB ( B·P )
Fig. III.5 – Transposition passe haut/passe bas
On considère uniquement les gabarits symétriques : fa− fa+ = fp− fp+ = f02
Méthodes de conception d’un filtre analogique
Tous les cas que nous venons de traiter montrent que l’on peut généralement ramener la
réalisation d’un filtre réel quelconque à celle de son prototype, c’est-à-dire du filtre passe-bas
possédant les trois mêmes paramètres fondamentaux : Amax , Amin et k.
D’autre part, la synthèse d’un filtre analogique répondant aux spécifications revient à chercher
la fonction de transfert H(ω) “optimisant au mieux ” les contraintes imposées. En particulier,
l’utilisation du prototype passe-bas limite ce problème d’optimisation à la recherche de la
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
fonction de transfert HB (ω) du prototype. Le choix de HB (ω) s’effectue selon certains critères
(ordre du filtre, raideur de coupure, ondulation, distorsion, réponse temporelle, etc.) et passe
par le choix d’une fonction d’approximation qui satisfait la majorité des contraintes.
Une fois la fonction de transfert du prototype obtenu, il suffit d’appliquer la transposition
pour retrouver le schéma du filtre recherché initialement. La figure III.6 décrit les différentes
étapes à suivre pour la conception d’un filtre analogique.
Fig. III.6 – Méthode de synthèse des filtres.
III.2
Fonctions de transfert des filtres
Rappelons que la forme générale de la fonction de transfert d’un filtre est donné par :
H(p) =
am p m + . . . + a1 p + a0
N (p)
=
p n + . . . + b1 p + b 0
D(p)
(III.2)
où n définit l’ordre du filtre, qui doit bien entendu satisfaire à n > m ; et D(p) doit être un
polynôme de Hurwitz.
De plus on sait que :
• le SLI est stable, ssi les pôles de H(p) sont à racines réelles négatives ;
• on a un déphasage minimum, si les zéros de H(p) sont à partie réelle négative.
Ainsi pour respecter les spécifications données sur la fonction de transfert H(p), il s’agit de
rechercher les pôles et les zéros de H(p) en tendant vers les conditions idéales, à savoir : 1
dans la bande passante et 0 dans la bande coupée. Cela revient alors à placer :
• les zéros : dans la bande atténuée
• les pôles : dans la bande passante
Le problème de l’approximation analytique peut donc être posé ainsi : positionner les pôles
et les zéros de H(p) de façon à respecter les spécifications.
Toutefois, de nombreux travaux ont permis de définir des caractéristiques de filtres standards
qui permettent de faire face à la majorité des contraintes de filtrage. Ces fonctions “classiques”
(appelés fonctions d’approximations) ne permettent pas de satisfaire simultanément toutes les
contraintes précédemment présentées, mais ont été définit et optimisées pour certaines d’entre
elles.
©
, David FOLIO
III.2 Fonctions de transfert des filtres
III.2.1
36
Fonction d’approximations
Le but de l’approximation est de transformer des spécifications portant sur l’affaiblissement
ou le déphasage d’un filtre en une fonction de transfert qui les vérifie.
Remarque III.1. Nous nous intéresserons plus particulièrement ici à l’approximation de l’atténuation. Si la phase ou le délai de groupe du filtre doivent également respecter des spécifications précises, il faudra se souvenir de corriger la phase des filtres obtenus, en ajoutant des
cellules correctrices de phase.
)
Pour simplifier le problème, on passe donc plutôt par le calcul d’une fonction K(P ) = D(P
E(P )
appelée fonction caractéristique du filtre, dont on va s’arranger pour que ses zéros et
ses pôles correspondent précisément aux fréquences pour lesquelles |H(P )| vaut 1 ou 0. En
particulier cela revient à poser :
1
|D(P )|2
|N (P )|2
2
=
⇔
|A(P
)|
=
= 1 + |K(P )|2
• |H(P )|2 =
|D(P )|2
1 + |K(P )|2
|N (P )|2
• |K(P )|2 = |A(P )|2 + 1 =
|D(P )|2
|D(P )|2 − |N (P )|2
+
1
=
|N (P )|2
|N (P )|2
• Équation de Feldkeller :
D(P )D(−P ) = E(P )E(−P ) + N (P )N (−P ),
La majorité des familles de réponses sont alors données sous la forme :
p
A(P ) = A0 1 + |K(P )|2 ,
où A(P ) représente l’atténuation en fonction de la fréquence et est aussi vue comme étant la
“fonction d’approximation” (ou à approximer ) ; et le terme A0 est une constante.
On distingue deux familles de fonctions d’approximations qui aboutissent à deux grandes
catégories de filtre :
• Les filtres polynomiaux : fonction de Butterworth ; fonction de Tchebycheff ; fonction de
Bessel ; etc. . .
• Les filtres non-polynomiaux (ou à zéros de transmission)
III.2.2
Filtres de Butterworth
Les filtres de Butterworth ont les courbes de
réponse les plus plates (maximally flat) dans la
bande passante (ie. pas ou peu d’oscillation).
Dans la cas du filtre de Butterworth, la pulsation
caractéristique ω0 est généralement égale à la
pulsation de coupue à −3dB.
La fonction caractéristique d’un filtre de Butterworth est donnée par :
K(Ω) = εΩN
Fig. III.7 – Filtres de Butterworth
et donc sa réponse en atténuation s’écrit :
A(Ω) =
p
1 + ε2 Ω2N
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Dimensionnement du filtre de Butterworth
Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre de Butterworth à partir
des paramètres : Amax , Amin et Ωa du prototype passe bas :
p
• Amplitude d’ondulations (ripple factor) : ε = 10Amax /10 − 1
log 10Amin /10 − 1 − 2 log ε
• Ordre N du filtre : N ≥
2 log Ωa
Détermination de la fonction de transfert
Il s’agit de trouver la fonction de transfert H(Ω) satisfaisant : |H(Ω)| = √
1
1+ε2 Ω2N
,
ce qui conduit à rechercher les pôles du dénominateur de |H(Ω)|2 et revient à résoudre
l’équation : 1 + ε2 (−P )2N = 0. Il vient que les pôles de H(P ) s’obtiennent à partir :
1
2i + N + 1
−N
,
i = {0, .., 2N − 1}
Pi = ε exp π
2N
Seuls les pôles à partie réelle négative sont conservés
En plaçant
les pôles dans le plan complexe on s’aperçoit qu’ils sont situés sur un cercle de
p
N
rayon
1/ε.
Abaque de Butterworth
Il existe des abaques et des tables (pré-calculés) qui permettent de déterminer l’ordre et la
fonction de transfert de Butterworth.
Coefficient de :
D(p) = pn + a1 pn−1 + . . . + a1 p + 1
N a
a2
a3
a4
√1
2
2
3 2
2
4 2.6131 3.4142 2.6131
5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361
.. ..
. .
Fig. III.8 – Abaque et table de Butterworth
©
, David FOLIO
III.2 Fonctions de transfert des filtres
38
Remarque III.2. Les tables sont en général fournies pour ε = 1, c’est-à-dire pour Amax = 3dB.
Elles donnent le polynôme de Butterworth, qui correspond au dénominateur de la fonction
de transfert du prototype passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse (si
nécessaire) et à dénormaliser.
III.2.3
Filtres de Tchebycheff
Dans certaines applications, il n’est pas nécessaire
d’avoir une réponse en amplitude très plate dans la
bande passante. Dans ce cas, on peut préférer la
caractéristique de Tchebycheff (ou Chebycheff). Dans
l’approximation de Tchebycheff les spécifications du
gabarit autorisent une ondulation dans la bande passante du filtre, mais offre une coupure plus raide
dans la bande de transition que la caractéristique de
Butterworth. Notamment, les filtres de Tchebycheff
présentent un grand intérêt pratique car de tous les
Fig. III.9 – Filtres de Tchebycheff
filtres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la
coupure la plus brutale pour un ordre N donné.
Cependant les inconvénients sont un temps de propagation de groupe τg peu constant, et
une réponse transitoire trop agitée, ce qui peut provoquer des distorsions par exemple dans
les cas des signaux impulsionnels.
La fonction caractéristique d’un filtre de Tchebycheff est donnée par :
K(Ω) = εTN (Ω)
et donc sa réponse en atténuation s’écrit :
q
A(Ω) = 1 + ε2 TN2 (Ω)
TN (x) représente le polynôme de Tchebycheff de degré N , défini par :
TN (x) = cos (N acos x) ,
TN (x) = cosh (N acosh x),
pour |x| ≤ 1
pour |x| > 1
On montre que le polynôme de Tchebycheff se défini également par la formule de récurrence
suivante :
TN +1 (x) = 2xTN (x) − TN −1 (x)
avec
T0 (x) = 1, et T1 (x) = x
Dimensionnement du filtre de Tchebycheff
Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre de Tchebycheff à partir des
paramètres : Amax , Amin et Ωa du prototype passe bas :
p
Amax /10 − 1
• Amplitude d’ondulations (ripple
factor)
:
ε
=
q
10
10Amin /10 −1
acosh
10Amax /10 −1
• Ordre N du filtre : N ≥
acosh (Ωa )
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Détermination de la fonction de transfert
Il s’agit de trouver la fonction de transfert H(Ω) satisfaisant : |H(Ω)| = √
1
1+ε2 Ω2N
,
ce qui conduit rechercher les pôles du dénominateur de |H(Ω)|2 et revient à résoudre l’équation : 1 + ε2 TN2 (−P ) = 0. On montre que les pôles de H(P ) sont situés sur une ellipse :
2i − 1
2i − 1
π sinh(q) +  cos
π cosh(q) ,
i = {1, .., 2N }
Pi = sin
2N
2N
avec q = N1 asinh 1ε .
Seuls les pôles à partie réelle négative sont conservés
Abaque de Tchebycheff
Il existe des abaques et des tables (pré-calculés) qui permettent de déterminer l’ordre et la
fonction de transfert de Tchebycheff.
N
2
3
4
5
6
A(P )
pour ∆dB = 1dB
2
0.907P + 0.9957P + 1
2.035P 3 + 2.011P 2 + 2.5206P + 1
3.628P 4 + 3.4568P 3 + 5.2749P 2 + 2.6942P + 1
8.1415P 5 + 7.6271P 4 + 13.75P 3 + 7.933P 2 + 4.7264P + 1
14.512P 6 + 13.47P 5 + 28.02P 4 + 17.445P 3 + 13.632P 2 + 4.456P + 1
Fig. III.10 – Abaque et table de Tchebycheff
©
, David FOLIO
III.2 Fonctions de transfert des filtres
40
Remarque III.3 (cosinus et sinus hyperbolique). La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh
x
−x
. Sa fonction réciproque, noté acosh
(ou ch), est la fonction réelle définit par : cosh(x) = e +e
√ 2 2
(ou arccosh), est définit par : acosh (x) = ln x + x − 1
La fonction sinus hyperbolique, notée sinh (ou sh), est la fonction réelle définit par :
x
−x
sinh(x) = e −e
. Sa fonction réciproque, noté asinh (ou arcsinh), est définit par :
2
√
asinh (x) = ln x + x2 + 1
III.2.4
Filtres de Bessel
L’examen de l’évolution du retard de groupe τg (ω)
des filtres décrits précédentes montre que celui-ci est
loin d’être linéaire, spécialement au voisinage de la
fréquence de coupure du filtre passe-bas. L’approximation dite de Bessel vise à la mise au point d’un
passe-bas normalisé dont le délai de groupe τg (ω) est
constant (on ne s’occupe pas vraiment de l’amplitude).
Ceci conduit à avoir la phase la plus linéaire possible.
Fig. III.11 – Filtres de Bessel.
Remarque III.4. Il n’existe pas de méthode analytique
pour déterminer l’ordre d’un filtre de Bessel répondant
aux paramètres d’un gabarit. Il faut le déterminer par
approximations successives à l’aide de solveurs numériques.
Détermination de la fonction de transfert
L’idée est de construire une fonction de transfert se rapprochant la forme : H(P ) ≈ Ae−τ P .
Ainsi, dans la bande passante, le filtre de Bessel se conduirait comme un retard.
Toutefois, se comportement idéale est difficile à réaliser. Afin de s’en rapprocher, on montre
que, pour obtenir une telle réponse, la fonction de transfert se détermine à partir du polynôme
de Bessel BN (x) défini pour le degrés N par :
BN (x) =
N
X
ai x i ,
avec
ai =
i=0
(2N − i)!
i! (N − i)!
2N −i
qui s’écrit également sous la forme suivante :
BN (x) = (2N − 1)BN −1 (x) + x2 BN −2 (x),
avec
La fonction de transfert est alors donnée par : H(Ω) =
B0 (x) = 1,
B1 (x) = (x + 1)
BN (0)
BN (Ω)
Comparaisons des fonctions d’approximations
Régularité de l’amplitude
Raideur de transition
Régularité du temps de propagation
Disparité des composants
Butterworth
excellente
faible
faible
faible
Bessel
satisfaisante
médiocre
excellente
très faible
Tchebycheff
ondulation
bonne
médiocre
forte
Table III.4 – Critères de sélections des fonctions d’approximations
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
III.3
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Filtrage passifs
Un filtre est passif s’il ne nécessite pour fonctionner aucune source d’alimentation. Il est constitué
essentiellement de résistances, de condensateurs et
d’inductances.
La fonction de transfert d’un filtre passif ne peut
donc être définie qu’en association avec un générateur et une charge d’impédances déterminées.
III.3.1
Fig. III.12 – Filtres passifs.
Filtres élémentaires
Filtres passifs d’ordre 1
Iin
Iout
C
Vin
H(ω) =
1
1 + ω/ω1
H(ω) =
1
1 + ω/ω1
H(ω) =
R
Vout
ω/ω1
1 + ω/ω1
Fig. III.13 – Exemples de filtres passifs élémentaires du 1er ordre.
Hypothèse : circuit à vide
,→ La fonction de transfert correspond ainsi au gain en tension à vide : H(ω) =
Vout Vin ZL =∞
Filtres passifs d’ordre 2
Fig. III.14 – Filtres passifs élémentaires du 2nd ordre
Les expressions des filtres fondamentaux d’ordre 2 à partir d’un circuit RLC sont les suivantes :
1
• Passe-bas : Hb (ω) = G0 1+x/Q+(x)
2
2
(x)
• Passe-haut : Hh (ω) = G0 1+x/Q+(x)
2
x/Q
• Passe-bande : Hbd (ω) = G0 1+x/Q+(x)
2
©
, David FOLIO
GdB
III.3 Filtrage passifs
À partir du 2nd ordre on peut voir apparaître un
phénomène de résonance.
• Coefficient d’amortissement :
1
ξ = 2Q
Gmax • Coefficient de surtension : Q = G0 = √1 2
2ξ
Gmax 42
G0
ω0
1−ξ
Filtres passifs d’ordre supérieur
Comment réaliser des filtres passifs d’ordres supérieur à 2 ?
Par la mise en cascade de cellule élémentaires ?
Fig. III.15 – Mise en cascade de cellule élémentaires ?
La fonction de transfert de l’ensemble du montage n’est pas égale aux produits des cellules
élémentaires : H(p) 6= H1 (p)H2 (p) . . . HN (p) ! ! !
Toutefois, la matrice de transfert T du quadripôle complet reste égale au produit des cellules
élémentaires : T = TN . . . T2 T1 .
On peut alors en déduire la fonction de transfert du montage : H(p) = T122
III.3.2
Synthèse des filtres passifs
Comme évoqué précédemment la synthèse des filtres passifs à partir de l’expression de la
fonction de transfert est de prime abords difficile à résoudre. La difficulté majeure provient
du fait qu’une fonction de transfert n’est souvent réalisable qu’avec une structure particulière
du filtre, c’est-à-dire une configuration des composants qui est inconnue a priori.
Fig. III.16 – Synthèse des filtres passifs
Constitué de composants passifs de valeurs finies un filtre passif à une impédance d’entrée qui
n’est jamais infinie (Zin (ω) 6= ∞) et une impédance de sortie jamais nulle (Zout (ω) 6= 0). De
plus ces impédances varient toujours avec la fréquence.
Exercice III.2. Chercher les impédances d’entrée et sortie d’une cellule du 1er ordre.
Enfin, il ne faut pas confondre la fonction de transfert du quadripôle : HQ (ω) = VVout
, et celle
in
Vout
du filtre : HF (ω) = Vg . En effet, c’est souvent le signal vg (t) du circuit amont que l’on
souhaite filtrer. Or, pour un filtre passif l’impédance d’entrée du quadripôle chargé varie avec
la fréquence. De ce fait, la fonction de transfert du quadripôle est souvent différente de celle
du filtre.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Transfert en puissance
Afin de s’affranchir de cette différence entre HQ (ω) et HF (ω) on préfère introduire la fonction
de transfert en puissance définie par le rapport de la puissance fournie à la charge à la puissance
disponible au niveau de la source.
Fig. III.17 – Transfert en puissance
En considérant un quadripôle non dissipatif, la puissance disponible au niveau de la source
2
s’exprime par : Pinmax = |V4Zing| ; et la puissance effectivement fournie à la charge par : Pout =
|Vout |2
.
ZL
On en déduit la puissance réfléchie : Pr =
Γ=
Zin −Zg
Zin +Zg
Pinmax
− Pout =
2
in −Zg Pinmax ZZin
+Zg = Pinmax |Γ|2 ; où
est appelé coefficient de réflexion.
Vout 2 4Zg
Pout
La fonction de transfert en puissance du filtre est donc : |H(ω)| = max = Pin
Vg ZL
2
,→ On montre que : |H|2 + |Γ|2 = 1
On rappelle que la “fonction de transmission du filtre” est défini par : |A(ω)|2 =
r
1 + PPout
.
max
Pin
Pout
=
Ce qui nous permet de définir le lien avec la fonction caractéristique du filtre, en rappelant
que : |A(ω)|2 = 1 + |K(ω)|2 = |H −1 (ω)|2 ;
|K|2
2
2
et en ré-écrivant le coefficient de réflexion comme suit : |Γ|2 = 1 − |H|2 = 1+|K|
2 = |H| |K| ,
2 −Zg E 2
soit encore : |Γ|2 = ZZin
= D
in +Zg
E
,
et
Zin = Zg E+D
ou
Zin = Zg E−D
.
E−D
E+D
D
À partir de ces deux expressions de l’impédance d’entrée Zin , on peut faire la “synthèse de
filtres passifs non dissipatifs”.
On en déduit finalement : Γ = ±
Synthèse en immittance
On appelle immittance une impédance ou une
admittance.
En particulier, on peut considérer une impédance
Z comme la fonction de transfert d’un quadripôle
linéaire dont la grandeur de sortie est la tension
Vout et la grandeur d’entrée un courant Iin .
Zg
Vg
Iin
Vin
Zin
∝ Z(ω)
Iout
Vout
ZL
Fig. III.18 – Synthèse en immittance
On montre facilement qu’un quadripôle non dissipatif, c’est-à-dire “sans pertes”, a une immittance
dont la partie réelle est nulle. Il alors possible de caractériser les matrices Z(ω) (ou Y(ω))
d’un quadripôle LC à partir d’une fonction de transfert H(ω).
©
, David FOLIO
III.3 Filtrage passifs
44
Méthode de conception d’un filtre passif
1.
2.
3.
4.
Caractérisation du gabarit et de la FT du prototype passe bas
Détermination de l’immittance (eg., à partir de Zin = D±E
D±E Zg )
Synthèse du filtre passif
Synthèse du filtre réel
Fig. III.19 – Rappel : méthode de synthèse des filtres.
III.3.3
Topologie de Cauer
La synthèse d’un filtre passif suivant la topologie
de Cauer fait l’hypothèse d’une “structure en
échelle”.
On montre alors que l’impédance du quadripôle
s’écrit :
Z(P ) =
1
Nz
= Z1 +
Dz
Y2 + Z3 + 1
Fig. III.20 – Topologie de Cauer
1
Y4 +...
Pour identifier les divers composants, il s’agit d’effectuer une division de polynômes :
division Nz par Dz , soit :
1. Nz = Dz Q1 + R1 , soit Z(P ) =
2. Dz = Q2 R1 + R2 , soit Z(P ) =
3. etc. . .
Nz
Dz
Nz
Dz
1
= Q1 + R
= Q1 +
Dz
= Q1 + Q2 + 1 1
1
Dz /R1
R1 /R2
Il ne reste qu’a identifier : Z1 = Q1 , Y2 = Q2 , etc. . .
On s’apperçoit que les quotients sont alternativement des impédances et des admittances.
Les valeurs des différentes immittances sont en “normalisées”.
Exercice III.3. Soit Z(P ) =
8P 4 +24P 3 +17P 2 +12P +4
,
8P 3 +24P 2 +13P +1
trouver le circuit RLC correspondant.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Synthèse de filtres passifs non dissipatif
On a vu précédemment que la synthèse de filtres passifs non dissipatif pouvait se résumer en
Z .
la détermination d’une immittance Z(P ) image de l’impédance d’entrée Zin = D±E
D±E g
Pour synthétiser un filtre passif suivant la topologie de Cauer, on montre que l’on rencontre
deux types de structures : structure en T ou en structure Π. Chacune de ces topologies
est formée de N branches comportant au maximum deux éléments (un condensateur et une
inductance) ; où N correspond à l’ordre de la fonction de transfert du filtre.
Structure en T
On montre que pour une structure en T que
l’impédance ZT (P ) s’écrit comme suit :
ZT (P ) =
D+E
Zin
=
Zg
D−E
ZT (P ) = L1 P +
Fig. III.21 – Structure en T
1
C2 P + L3 P1+...
Structure en Π
On montre que pour une structure en Π que
l’impédance ZΠ (P ) s’écrit comme suit
Zin
D−E
=
Zg
D+E
1
ZΠ (P ) =
C1 P + L2 P + 1
ZΠ (P ) =
Fig. III.22 – Structure en Π
1
C3 P +...
Theorem III.3.1 (Théorème de Kenelly). On
rappel que le théorème de Kenelly permet de transformer une topologie T en une topologie
Π (et réciproquement) :
Z1 =
Z2 =
Z3 =
Zb Zc
Za +Zb +Zc
Za Zc
Za +Zb +Zc
Za Zb
Za +Zb +Zc
≡
Za =
Zb =
Zc =
Z1 Z2 +Z1 Z3 +Z1 Z2
Z3
Z1 Z2 +Z1 Z3 +Z1 Z2
Z2
Z1 Z2 +Z1 Z3 +Z1 Z2
Z1
Synthèse de filtre polynomiaux d’ordre N
On a vu précédemment comment déterminer la
fonction de transfert d’un prototype passe bas à
partir de son gabarit, en utilisant les fonctions
d’approximations de filtres polynomiaux.
Fig. III.23 – Synthèse de filtre polynomiaux
En particulier, on montre que pour les filtres de
Butterworth et de Tchebycheff utilisant la topologies de Cauer, on peut déterminer les composants
comme suit :
©
, David FOLIO
III.3 Filtrage passifs
46
Filtres de Butterworth :
π
,
avec i = 1, 3, 5, . . .
. Ci = 2 sin 2i−1
2N . Li = 2 sin 2i−1
π
,
avec
i = 2, 4, 6, . . .
2N
Filtres de Tchebycheff
.
Gi =
4ai−1 ai
,
bi−1 Gi−1
avec G1 =
2a1
γ
,→ Li = Gi pour i pair,
et Ci = Gi pour i impair
π ,
pour i = 1, 2, 3..n,
. ai = sin 2i−1
2n
2 iπ
2
. bi = γ + sin n ,
pour
i = 1, 2, 3..(n − 1),
.
γ = sinh
III.3.4
1
2N
dB
ln coth 40∆log(e)
Synthèse du filtre (passif) réel
Une fois le filtre passif synthétisé, il reste à retrouver le circuit
correspondant au filtre réel, c’est-à-dire celui correspondant aux
spécifications du cahier des charges.
Si le filtre passif obtenu correspond à la fonction de transfert
du filtre désiré, il ne reste plus qu’à “dénormaliser ” le filtre selon :
Des composants :
En fréquence
,→ Zn impédance de normalisation
,→ FN : fréquence de normalisation
Impédance normalisée :
)
= Rn + Ln P +
Zn = Z(P
Zg
Dénormalisation de la fréquence :
F × FN → f
ou
Ω × ωn → ω
1
Cn P
Dénormalisation des composants :
Rn Zn → R ; Lωn Zn n → L et ZCn ωn n → C
En revanche, si le filtre passif est obtenu à partir du prototype passe bas, il faut également
revenir au filtre réel en effectuant une transposition inverse en fréquence. Cette transposition
inverse, peut s’effectuer soit sur la fonction de transfert du prototype HB (Ω), soit directement
sur le montage obtenu en faisant une transposition sur les composants.
Zb = R
Passe Bas
Passe Haut :
P ↔p=
Zh = R
1
P
Passe Bande :
P ↔p=
1
B
P+
1
P
Zbd = R
Zb = Lb p
Zh =
Lb
p
L0 = Lb /B
et C 0 = B/Lb
Zb =
1
Cb p
Zh =
p
Cb
L0 = B/Cb
et C 0 = Cb /B
Table III.5 – Transposition en fréquence des composants.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
III.4
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Filtrage actifs
La connaissance du cahier des charges permet dans un premier temps de choisir l’ordre et le
type de filtre à réaliser, puis dans un second temps de calculer sa fonction de transfert. On
peut ensuite, choisir entre une synthèse de filtre passif ou de filtre actif.
Les filtres passifs, du fait de l’emploi que de composants passifs, ne souffrent pas (ou très
peu) de problème de saturation et ne nécessite pas de circuit d’alimentation. En outre, on
montre qu’ils ont généralement peu de problème de sensibilité vis-à-vis des composants, sont
peu sensible aux bruits, et peuvent opérer dans des gammes de fréquences importantes. En
revanche, leur principale inconvénient est liés à leurs impédances d’entrée et de sortie mal
conditionné et qui varient selon la fréquence, rendant difficile la synthèse des circuits.
Les filtres actifs sont construits autour d’un ou plusieurs composants actifs associés à des
résistances et condensateurs (eg. les inductances difficiles à intégrer sont exclues). Les composants actifs sont des transistors bipolaires ou FET, mais le plus souvent des amplificateurs
opérationnels (AOP).
L’inconvénient des filtres actifs sont la nécessité d’alimenter les composants actifs ; qu’il faille se
contenter de signaux d’amplitudes limitée par les composants actifs ; le coefficient de surtension
qui peut devenir très élevée (dans ce cas il y a risque d’oscillations spontanées). D’autre
part, le niveau de bruit et la présence de tension d’offset peuvent aussi limiter les domaines
d’applications. Cependant, les filtres actifs sont généralement caractérisés par des impédance
d’entrée très élevées et des impédances de sortie très faibles, ce qui permet la mise en cascade
de plusieurs cellules élémentaire sans se soucier du problème d’adaptation ; ceci constitue
l’avantage majeur des composants actifs.
Ainsi de nombreuses cellules “actives” ont ainsi été décrites qui permettent de résoudre
facilement des problèmes de synthèse de filtres analogiques.
En particulier, tous les filtres analogiques peuvent être décrit à partir de fonctions élémentaires
d’ordre 1 ou 2. Il en est de même pour leur réalisation. Il suffit donc de connaître les circuits
de base pour réaliser n’importe quel filtre d’ordre N .
III.4.1
Z2
Cellules élémentaires du premier ordre
Soit le montage de la figure ci contre qui met en œuvre
un AOP parfait.
La fonction de transfert de se montage s’écrit :
H(ω) =
vout (ω)
Z2
=−
vin (ω)
Z1
Z1
vin
−
+
vout
Fig. III.24 – Cellule active du 1er
ordre
On obtient ainsi les filtres actifs suivant :
• Passe-bas : Z1 = R1 et Z2 = R2 //C
• Passe-haut : Z1 = R1 + C et Z2 = R2
Remarque III.5. On peut procéder de la même manière en considérant un montage amplificateur non-inverseur.
©
, David FOLIO
III.4 Filtrage actifs
III.4.2
48
Cellules élémentaires du second ordre
On rappelle que les cellules du 2nd ordre sont données par les fonctions de transfert suivantes :
• Passe-bas : Hb (x) = G0
• Passe-haut : Hh (x) =
(avec x =
1
1
1+ Q
x+(x)2
2
G0 1+ 1(x)
2
x+(x)
Q
• Passe-bande : Hbd (x) = G0
ω
ω0 )
1
x
Q
1
1+ Q
x+(x)2
,→ avec ω0 : pulsation propre, et Q : facteur de qualité.
Q↗⇔B étroit
−3dB
Dans le cas de cellules actives le coefficient de surtension impacte fortement la qualité du filtre obtenu.
On rappelle également que :
• Coefficient d’amortissement : ξ =
• Coefficient de surtension : Q = GGmax
=
0
Q↘⇔B large
−3dB
1
2Q
∆f=B
√1
2ξ
fcb
1−ξ 2
f0
fch
Fig. III.25 – Importance de Q
III.4.3
Rappel sur la sensibilité
On rappel que la sensibilité Sxfi d’une fonction f par rapport au paramètres xi autour du point
de fonctionnement x0i est définit par (voir définition-I.1.4, page 6) :
∂f xi f
Sxi =
∂xi f x0
i
Dans le cadre des filtres analogiques, les imperfections les plus importantes sont :
•
•
•
•
•
valeurs des composants différents des valeurs nominales ;
gain fini et dépendant de la fréquence ;
dépendance à la température, au vieillissement, dispersion de fabrication ;
influence des capacités parasites,
variation des impédances d’entrée/sortie, etc. . .
En outre on distingue deux types de sensibilités :
1. Sensibilité passive : xi = composants passifs
2. Sensibilité active : xi = paramètres composants actifs
Les composants actifs présentent l’inconvénient d’avoir des performances peu stables dans le
temps et dépendant des variations des grandeurs extérieures telles que la température. Les
éléments passifs sont moins sujets à ce type de variation. Il convient cependant d’étudier
l’influence des variations des éléments passifs sur la courbe de réponse du filtre, afin de tenir
compte notamment des tolérances sur la valeur des composants.
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
III.4.4
Chap. III Le Filtrage Analogiques
Méthodes de synthèse
On rappelle ci-après les différentes étapes pour la
conception d’un filtre analogique.
1. Cahier des charges → Définition d’un Gabarit
2. Normalisation de la fréquence : F = ffn = ωωn = Ω
3. Transposition de fréquence : H(p) ↔ HB (p)
4. Définition du prototype passe-bas HB (p)
5. Synthèse du filtre (eg.,passifs ou actifs), puis du
filtre réel.
Fig. III.26 – Méthodes de synthèse
,→ Il existe différentes méthodes de synthèse d’un filtre actifs.
Transformation d’un filtre passif en filtre actif
La première idée consiste à tirer profit de l’expérience obtenus pour la synthèse de filtres
passifs, et tirer avantages des bonnes propriétés des filtres passifs (eg., très bonne sensibilité).
La stratégie consiste alors à “transformer ” le filtre passif en un filtre actif.
La difficulté majeure provient de l’emploi des inductances qui sont difficilement intégrable
sur un circuit intégré ou embarqué. Le principe consiste à supprimer ou à transformer les
inductances. Une solution simple consiste à remplacer les inductances des filtres passifs par
un montages simulant leur comportement, en utilisant notamment des “gyrateurs”.
Le gyrateur est un quadripôle (cf. symbole ci-contre)
Zin i in
qui reproduit le comportement d’une inductance.
i out
C
On peut ainsi le définir par sa matrice d’impédance
vin
vout
suivante :
vin
0 −Rg
iin
=
Fig. III.27 – Symbole du gyrateur.
vout
Rg
0
iout
dont l’impédance équivalente vu de l’entrée est donnée
R2
par : Zeq = ZCg .
Example III.4.1 (Exemples de gyrateur). Différents circuits
permettent de simuler le comportement d’une inductance.
• Montage à base d’AOP (cf. schéma ci-contre) :
1 Cω
Zeq (ω) = R2 1+R
→ Zeq ≈ L = R2 R1 C
1+R2 Cω
Z in
• Utilisation de G.I.C.
(convertisseur d’impédance généralisé, ou general
impedance converter)
Avec un AOP classique, le gyrateur le plus performant
est celui obtenu à partir d’un G.I.C.
C
vin
©
, David FOLIO
Z1 Z3
Z5
Z2 Z4
Z1
vin
Z2
−
+
Zeq =
R1
vout
−
+
Le Convertisseur d’impédance généralisé (G.I.C.)
Le convertisseur d’impédance généralisé (G.I.C., General Impedance Converter) est un circuit construit
autour d’un AOP. Ce dispositif (cf. schéma ci-contre),
a une impédance d’entrée Zin donnée par la relation :
R2
Z3
Z4
Z5
Fig. III.28 – Le G.I.C.
vout
III.4 Filtrage actifs
50
Ainsi, par exemple, en fixant Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R
1
, on parvient à “simuler une inductance”, et on a Zeq = R2 Cp.
et Z4 = Cp
Toutefois, ce simulateur d’inductance ne marche que pour les filtres ne possèdant pas
d’inductances flottantes.
Les GIC permettent non seulement de réaliser des inductances actives, mais encore des “superrésistances”, plus connues sous le nom de FDNR (frequency dependant negative resistors)
ou aussi appelé des “super-condensateurs”. Le FDNR est éléments n’ayant pas d’équivalent
en circuits passifs et très utilisés dans la synthèse de certains filtres actifs. Il est possible de
réaliser d’excellentes super-résistances à l’aide du GIC, dans lequel deux des impédances Z1 ,
Z3 et Z5 sont des condensateurs C et si les autres impédances sont des résistances R ; alors
on a Zeq = − RC12 ω2 .
La transformation de Bruton
Cette transformation de filtre passif en un filtre actif consiste à multiplier toutes les impédances
du prototype par 1/p, ce qui ne modifie pas la fonction de transfert. Les conséquences
sur les impédances du prototype sont les suivantes :
1/p
Inductances : ZL = Lp 7−→ Résistances
ZR = L
Résistances : ZR = R
7−→ Capacités
ZC = 11p
Capacités : ZC =
(ou FDNR)
1
Cp
7−→
“Super-Capacités”
R
Z=
1
Cp2
Cette transformation est très efficace lorsque le prototype ne comporte pas de condensateurs
dans les branches série, comme c’est le cas pour les filtres passe-bas.
Synthèse en cascade
Très simple et de portée universelle, la synthèse en cascade est basée sur la décomposition
toujours possible de H(p) en termes biquadratiques (et d’un terme du 1er degré dans le cas
où l’ordre n du filtre est impair) :
• si n pair : H(p) =
n/2
Y
i
n/2
Y
b2i p2 + b1i p + 1
=
Bi (p)
Ai
p
p
1 + Q1i ω0i + ( ω0i )2
i
(n−1)/2
(n−1)/2
ci p + 1 Y
ci p + 1 Y
b2i p2 + b1i p + 1
• si n impair : H(p) =
=
Ai
Bi (p)
di p + 1 i 1 + Q1i ωp0i + ( ωp0i )2
di p + 1 i
,→ Bi (p) fonction de transfert biquadratique exprimée sous sa forme canonique faisant apparaître la pulsation de coupure ω0i et le facteur de qualité associé Qi .
Ainsi, pour réaliser le filtre réel, il s’agit de mettre
en cascade n cellules élémentaires biquadratique de
fonction transfert Bi (p).
Mise en cascade possible UNIQUEMENT si chaque
cellules Bi possèdent des impédances Zini et Zouti
H(p) =
convenablement dimensionnées !
vout (p)
vin (p)
= B1 (p)B2 (p) . . . Bi (p)
Cette dernière condition, impossible à réaliser avec des Fig. III.29 – Cascade de n cellules Bi (p)
éléments passifs, s’obtient facilement avec des circuits
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
actifs, grâce à la très faible impédance de sortie des AOP classiques. On présente ci-après les
circuits permettant la synthèse des cellules élémentaires
Malheureusement, la synthèse par mise en cascade ne bénéficie pas d’une bonne sensibilité
par rapport aux variations des valeurs des composants.
©
, David FOLIO
III.4 Filtrage actifs
52
Cellule à contre-réaction simple
On utilise un AOP et deux quadripôles (passifs linéaires) un en entrée et un autre en réaction entre
la sortie et l’entrée inverseuse.
On montre que la fonction de transfert est donnée par :
H(p) =
vout (p)
YA
= − 21
vin (p)
Y12B
Fig. III.30 – Cellule à contre-réaction.
Par conséquent, pour calculer la fonction de transfert H(p) du filtre, il suffit de savoir calculer
des admittances de transfert ; et il ne reste alors qu’à choisir l’association de quadripôles
permettant d’obtenir la fonction de transfert souhaitée.
Example III.4.2 (Filtre passe-bas du 2nd ordre).
Y12 = Y21 =
Exercice :
−1
R(2+RC1 p)
Y12 = Y21 = − R
Retrouver les composants de la matrice d’admittance des quadripôles ci-dessus.
Montrer que la fonction de transfert
du filtre actifs correspondant a pour paramètres :
q
C
1
A0 = −1, ω0 = R√C1 C2 et ξ = C21
Cellule à contre-réaction multiple
Ces cellules biquadratique utilisant un AOP avec réaction négative multiple s’appellent aussi MLF (multiloop feedback), et sont des structures très utilisées.
Elles correspondent à la structure ci-contre, où les impédances Zi (ou de manière équivalente leurs admittances
Yi ) sont constituées de capacités ou de résistances.
Fig. III.31 – Schéma général d’une
On montre que la fonction de transfert dans le cas cellule de Rauch.
d’AOP idéaux est donné par :
H=
−Y1 Y3
Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) + Y3 Y4
Les différents types de filtres (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) sont ainsi réalisables,
selon le choix des composants réalisant les impédances Zi :
Type de filtres
Passe-bas
Passe-haut
Passe-bande
Résistances
Z=R
Z1 , Z3 , Z4
Z2 , Z5
Z2 , Z3 , Z4
Z1 , Z2 , Z5
Capacités
Z = 1/(Cω)
Z2 , Z5
Z1 , Z2 , Z3
Z1 , Z5
Z3 , Z4
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
2C
2 +2RC p
2
2R+R2 C1 p
1 C2 p
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
H(p) = G0
R4
R1
Example III.4.3 (Cellule passe-bas du 2nd ordre de Rauch).
vin
R3
C2
−
+A
C5
vout
Montrer qu
.
AOP idé
.
AOP de
Q≈
√
A C
3AC
Montrer
Example III.4.4 (Cellule passe-bande du
2nd
ordre de Rauch).
Cellule à source contrôlée
Dans ce type de circuits, l’amplificateur est monté en
source contrôlée, c’est-à-dire en amplificateur à gain
constant (sur les schémas présentés ci-après, ce gain
vaut K). Il s’agit de structures connues également sous
le nom de cellules de Sallen-Key.
Une cellule de Sallen-Key correspond à la structure
ci-contre, où les admittances Yi sont constituées de Fig. III.32 – Schéma général d’une
capacités ou de résistances. La fonction de transfert cellule de Sallen-Key.
associée est donnée par l’expression générale, dans le
cas d’AOP idéaux :
H(p) =
KZ1 Z4
Z2 (Z1 + Z3 + Z4 ) + Z1 (Z3 + Z4 (1 − K))
Les différents types de filtres (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) sont ainsi réalisables,
selon le choix des composants réalisant les admittances Yi :
Type de filtres
Passe-bas
Passe-haut
Passe-bande
©
, David FOLIO
Résistances
Z1 , Z3
Z2 , Z4
Z1 , Z2 , Z4
Capacités
Z2 , Z4
Z1 , Z3
Z3 , Z4
Identifie
avec k =
III.4 Filtrage actifs
54
C2
Example III.4.5 (Cellule passe-bas du 2nd ordre de Sallen-Key).
R
vin
B
R
A
+
−
C4
vout
Montrer que H(p) = R2 C2 C4 p2 +R(2CK4 +C1 (1−K))p+1 ;
A
Si AOP de gain fini A ⇒ K = 1+A
Identifier ω0 , Q et G0 .
Exercice : retrouver les sensibilités suivantes :
Sensibilités passives : SRQ = 0, SCQ2 = SCQ4 = 12 ,
SRω0 = −1, et SCω02 = SCω04 = − 12 ,
Sensibilités actives : SAQ ≈ 2Q2 K
, et SAω0 = 0
A
Structure à variables d’état
Le principe des structures à variables d’état repose sur le fait que l’on peut décomposer une
fonction de transfert d’ordre n en une somme de fonctions du premier ordre, ce qui permet
de réaliser un circuit ayant une fonction de transfert biquadratique à l’aide d’intégrateurs et
d’additionneurs-soustracteurs. En particulier, dans la pratique on n’utilise pas de dérivateur.
À titre d’exemple, considérons la fonction passe-haut du second ordre : H(p) =
b1 p2
,
a1 p2 +a2 p+1
qui peut s’écrire sous la forme : V2 =
b1
V
a1 1
−
a2 V1
a1 p
−
V2
V1
=
V2
a1 p2
Remarque III.6 (Additionneurs-soustracteurs). Rappelons qu’il est aisé de réaliser des
additionneurs-soustracteurs au moyen d’un AOP :
Rn
Vn
R1
V1
R
−
+
alors Vout = − ZR1 V1 . . . −
R
V
Zn n
Vout
Remarque III.7. Ces cellules comportant généralement 3 ou 4 AOP sont disponibles sous forme
intégrée. Aussi, l’augmentation du coût et de la consommation liée au nombre d’amplificateurs
est compensée par l’ampleur des séries de fabrication et la simplification de la conception et
des réglages.
1. Cellule de Kerwin, Huelsman, Newcombe (KHN)
Fig. III.33 – Cellule KHN
La cellule universel KHN est une structure de référence, la première utilisée pour réaliser
des filtres universels. Cette cellule possède la particularité de présenter sur le même circuit
simultanément une fonction de transfert de type :
MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques
III. Le Filtrage Analogique
Chap. III Le Filtrage Analogiques
passe-bas en V2 :
V2
= R2 C 2 p2 +1 RC p+1
Vin
Q
passe-haut en V4 : VVin4 = −RCp
passe-bande en V3 : VVin3 = R2 C 2 p2
On reconnaît que Q correspond bien au coefficient de qualité du circuit, qui est alors
réglable par le biais des résistances.
Enfin, en ajoutant ces différentes sorties pondérées, on
peut obtenir n’importe quelle fonction biquadratique. La
fonction de transfert de la cellule universelle de type
KHN est alors simplement donné par :
3
2
2
R C 2
p − RR2C p + RR1
Vout
R3
= 2 2 2 RC
H(p) =
Vin
R C p + Q p+1
Critères pour la conception du filtre
Choix des composants passifs
,→ Sensibilité des paramètres du filtre aux composants passif
La réponse d’un filtre peut être sérieusement altérée par la variation d’un ou plusieurs
éléments entrant dans sa constitution. Les composants passifs entrant dans la réalisation
des filtres doivent être précis et stables en fonction du temps et de la température. Ce
sont donc des éléments coûteux. Les structures nécessitant peu de composants passifs sont
donc avantageuses. Aussi, l’obtention d’un filtre performant est conditionnée par un choix
rigoureux de ses composants.
Choix des composants actifs
Le choix de l’amplificateur tiendra impérativement compte des critères suivants :
Produit gain-bande : celui-ci doit être suffisamment élevé pour que le gain A en boucle
ouverte soit largement supérieur au coefficient de surtension Q autour de la fréquence f0 .
. Slew-rate : pour minimiser les problèmes de distorsion, on rappelle qu’il faut que SR >
max dVdtout
.
Choix des structures :
Souplesse et facilité de réglage : les réglages seront faciles s’ils sont indépendants les uns
des autres
. Nombre de composants requis
. Faible sensibilité vis-à-vis de la variation des éléments passifs et actifs du filtre.
.
Réglage des
paramètres
−−
−−
+++
−−−
+++
−
++
++
−−−
++
Surtension
Sensibilité
Contre-réaction simple
S. Rauch
S. Sallen-Key
−
+
Cellule KHN
(pour K = 1)
©
+++
−−
NB
composants
−
++
Structure
, David FOLIO