cours 3 3 dse

III.3 DEFORMATION DES STRUCTURES ELASTIQUES
LES
THEOREMES
DE
L'ENERGIE
APPLIQUES AUX STRUCTURES.
1.
Théorème de CASTIGLIANO :
Le théorème de CASTIGLIANO établit une
relation entre les déplacements et le potentiel interne.
Pour l’établir, on part de l’égalité de Clapeyron et on
calcule plus explicitement le travail des forces
extérieures.
La dérivée partielle du potentiel interne par
rapport à une action quelconque est égale au
déplacement du point d’application de cette action
mesurée algébriquement sur la ligne d’action de
celui-ci.
Pour une force ponctuelle Fk, le déplacement k
est ainsi :
Pour un moment ponctuel Mk, la rotation
est ainsi :
En conséquence, si l’on souhaite calculer le
déplacement (ou rotation) d’une section ∑ d’une
poutre dans une direction donnée, on applique une
force fictive F∗ (ou moment fictif M∗) dans la section
∑ suivant cette direction. On aura alors :
III.3 DEFORMATION DES STRUCTURES ELASTIQUES
La poutre est considérée composée des matériaux
élastiques linéaires : donc indépendamment de l'ordre
dans lequel les forces :P1, (P2+dP2) et P3 sont
appliquées, l’énergie emmagasinée doit être la même.
Considérons que dp2 est appliquée avant P1, P2 et P3
et si ∆ est le déplacement correspondant dans le
point d’application de dP2 du à dP2 , l’nérgie de
∆ et les forces
déformation est donnée par :
P1, P2 et P3 sont ensuite appliquées causant
respectivement des déplacements additionnels
∆ , ∆ , ∆ dans ces point d’applications
L’énergie emmagasinée pendant l’application de dP2
suivie par P1, P2 et P3 est :
=
1
2
∆ +
∆ +
1
2
∆ +
1
2
∆ +
Puisque dP2 reste constant ; donc
1
1
1
=
∆ +
∆ +
∆ +
2
2
2
De L’équation (1):
=
∆ +
Donc :
+
=
1
2
∆
∆
∆ +
=∆
Qu’est l'énoncé mathématique du second théorème de
Castigliano
Ou
.
Il permet de se passer des calculs mathématiques
lors de l’utilisation du théorème de Müller-Breslau.
Juste en traçant les diagrammes des moments M(x) et
m(x), et grâce à ce formulaire, on détermine très
simplement la valeur du déplacement souhaité.
3. Théorème de Mohr-Maxwell
Soit un barre encastrée-libre sollicitée par des
forces axiales dont on cherche le déplacement à
l’extrémité libre, et dont la sollicitation axiale est
alors N(x).
On va d’abord considérer cette barre subissant
uniquement un effort fictif 1 donnant W21 = 1 x .
L’effort fictif crée une sollicitation axiale n(x) et le
déplacement associé
)=
( )
=#
Par extension,
"( ) ( )
$
Et
5.1. Démonstration du théorème de MaxwellBetti pour une poutre isostatique
Ce théorème se déduit de l’égalité de Clapeyron
en considérant deux systèmes de chargement
appliqués à la même structure.
Le travail produit par un système de chargement
S1 sur une structure dans le champ de déplacement
dû à un système de chargement S2 est égal au travail
du système de chargement S2 dans le champ de
déplacement dû à S1.
Le déplacement (ou la rotation) produit en i par
une force (ou couple) unitaire agissant en j est égal au
déplacement (ou la rotation) produit en j par la force
(ou couple) unitaire agissant en i.
5.2. Conclusion et théorème
2.3. Application aux portiques :
L’énergie totale est :
T.MESSAOUDI
Réciprocité du travail
W11 : le travail produit par
F1 sur les déplacements issus de F1
W22 : le travail produit par
F2 sur les déplacements issus de F2
W12: le travail produit par
F1 sur les déplacements issus de F2
On obtient la relation de réciprocité du travail :
W12 = W21
Comme les efforts fictifs sont adimensionnels
et les deux travaux réciproques, on a :
L’énergie de déformation est donnée par :
+
4.1. Intégrales de Mohr :
C’est un formulaire d’intégrations de la
multiplication de deux équations
Le travail de N(x) avec le déplacement issu
de l’effort fictif donne :
"( ) ( )
= N(x) ∆(dx) =
Ou
=
et
∆(
2.2. Application aux poutres :
=
Quand l’effet de la déformation axiale est négliges :
5. Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti
2. Démonstration du théorème
…..(1)
Calculons ∆ dans le point d’application de P2
L’accroissement de L’énergie de déformation :
et
Méthode grapho-analytique
On cherche à calculer les intégrales de MohrMaxwell sans passer par la lourdeur de l’intégrale.
Cette méthode ne marche que sur des barres droites
puisqu’elle nécessite des sollicitations n(x) issues de
l’effort fictif linéaires Soit :
AM l’aire sous la courbe de M
xG le centre de gravité de l’aire AM
Réciprocité des déplacements
=
D’où :
2.1. Application aux treillis :
Le théorème de Castigliano donne le
déplacement généralisé sous cette forme avec
We : l’énergie de la structure
Fk , Mk :l’effort extérieur généralisé
4.
=
avec k un coefficient dépendant de la forme de la
section.
+
1
T.MESSAOUDI
2
III.3 DEFORMATION DES STRUCTURES ELASTIQUES
6. Exemples
Exemple 01 :
Exercice 04:
En appliquant la méthode de MAXWELL-MOHR
Déterminez la rotation en C
III.3 DEFORMATION DES STRUCTURES ELASTIQUES
8. Tableau donnant les valeurs des Intégrales de Mohr :
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
Déterminez le déplacement vertical (en B)
Exemple 02 :
Exercice 05:
En appliquant la méthode de MAXWELLMOHR
Déterminez le déplacement vertical en A et la
rotation en A
7. Application TD
Exercice 01:
En appliquant la méthode de MAXWELLMOHR
Calculer les déplacements de A et de B.
On donne : P = 30 kN, Q= 150 kN, E= 70 GPa
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
Déterminez la flèche (en C):
E=200 GPa
I=8.108 mm4
Exercice 06:
Exercice 02:
En appliquant la méthode de MAXWELLMOHR, déterminez l’expression littérale du
déplacement vertical et de la rotation en C
P=1425N, E=210 GPa, L=1m, et d=40mm.
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
1. Déterminez le déplacement horizontal (en B)
EI=1,5.105 KN.m2
Exercice 07:
Exercice 03:
En appliquant la méthode de MAXWELLMOHR
Calculez la valeur du déplacement vertical et
horizontal du point C : PD=PE = 50 KN
E=200GPa et A=1500mm2
En appliquant la méthode de CASTIGLIANO
Calculez la valeur du déplacement vertical du point
B
E=200GPa et A=1200mm2
T.MESSAOUDI
3
T.MESSAOUDI
4