Espace vectoriels Définition générale | ou un sousConsidérons un corps commutatif K qui sera dans la pratique IR ou C corps (par exemple Q). Les éléments de K (ici des nombres réels ou complexes) seront appelés scalaires. Ainsi K est le corps des scalaires. Un espace vectoriel sur K est un ensemble E dont les éléments sont appelés vecteurs, satisfaisant aux axiomes (règles) suivants : 1) on peut ajouter les vecteurs, et l’addition fait de E un groupe abélien (c’est-àdire commutatif), d’élément neutre noté 0 (parfois 0E ). 2) on peut multiplier un vecteur par un scalaire, cette multiplication satisfaisant aux propriétés a) λ(x + y) = λx + λy pour λ ∈ K, x, y ∈ E (distributivité par rapport aux vecteurs) b) (λ + µ)x = λx + µx pour λ, µ ∈ K, x ∈ E (distributivité par rapport aux scalaires) c) λ(µx) = (λµ)x pour λ, µ ∈ K, x ∈ E (associativité) d) 1.x = x pour x ∈ E Exemples 1o . Le produit K n , ensemble des n-uples de scalaires (t1 , . . . , tn ) avec l’addition (t1 , . . . , tn )+(s1 , . . . , sn ) = (t1 +s1 , . . . , tn +sn ) et la multiplication λ(t1 , . . . , tn ) = (λt1 , . . . , λtn ). | | . 2o . C est un espace vectoriel sur IR et aussi sur C 3o . L’ensemble noté K T de toutes les fonctions définies sur un ensemble quelconque T et à valeurs dans K. L’addition est définie par (ϕ + ψ)(t) = ϕ(t) + ψ(t) et la multiplication par (λϕ)(t) = λϕ(t). Propriétés On a toujours 0.x = 0E , (−x) = (−1).x. Le produit λx ne peut s’annuler que si l’un des deux facteurs au moins est nul. 1 Proposition : Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K, leur produit E ×F a une structure naturelle d’espace vectoriel sur K définie par (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ), 1 λ(x, y) = (λx, λy) 2 Proposition : Si E est un espace vectoriel sur K, l’ensemble E T de toutes les fonctions définies sur un ensemble quelconque T à valeurs dans E a une structure naturelle d’espace vectoriel sur K définie comme dans l’exemple 3o . Combinaisons linéaires Si x1 , . . . , xn sont des vecteurs, une combinaison linéaire de ces vecteurs est une expression n X x= λi xi i=1 où les coefficients λi sont des scalaires. Le résultat x est évidemment un vecteur. Sous-espaces vectoriels, systèmes générateurs Si E est un espace vectoriel sur K, un sous-espace vectoriel de E est un sousensemble de E contenant 0E , stable par additions, et par les multiplications par les scalaires. Par exemple, le sous-ensemble des (t, t) ∈ K 2 est un sous-espace vectoriel de K 2 . Autre exemple : l’ensemble C[0, 1] des fonctions réelles continues sur le segment [0, 1] est un sous-espace vectoriel de IR[0,1] . Un système générateur G de E est une sous-ensemble de E tel que tout vecteur x ∈ E puisse s’exprimer comme combinaison linéaire (finie) d’éléments de E. 3 Définition : On dit que E est de dimension finie s’ il a un système fini de générateurs. Par exemple K n est de dimension finie sur K, mais si T est un ensemble infini, on montre que K T n’est pas de dimension finie. De même, l’espace des polynômes à coefficients dans K (noté K[X]) est de dimension infinie, mais le sous-espace constitué des polynômes de degré ≤ n est de dimension finie. Systèmes libres, bases Un sous-ensemble L de E est un système libre si 0 ne peut pas s’exprimer en combinaison linéaire d’éléments de E à coefficients non tous nuls : 0= n X λi xi avec xi ∈ E, λi ∈ K ⇒ tous les λi sont nuls i=1 Exemple : dans K n , les n-vecteurs ei = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0) forment un système libre. (Remarquer que le système est aussi générateur). 2 Une base de E est un système à la fois libre et générateur. 4 Théorème de l’échange : Soient L un système libre ayant p éléments et G un système générateur ayant q éléments. Alors p ≤ q, et l’on peut remplacer p éléments de G par les p éléments de L de manière que le système G0 obtenu soit toujours générateur. 5 Corollaire : Tout espace vectoriel de dimension finie possède une base finie, et toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre s’appelle la dimension de E. Rang d’un système de vecteurs C’est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs. Coordonnées Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, et soit e = {e1 , . . . , en } une base de E. Tout vecteur x ∈ E s’exprime de manière unique sous la forme x= n X xi ei i=1 Les scalaires xi s’appellent les coordonnées de x dans la base e. 3 Applications linéaires Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F est K-linéaire (ou plus simplement linéaire) si l’on a a) f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ E (additivité) b) f (λx) = λf (x) pour λ ∈ K, x ∈ E (homogénéité) Exemples : 1) L’application de IR2 dans IR3 définie par f (s, t) = (s, s + t, s − 2t) 2) Si e = {e1 , . . . , en } est une base de E, alors les coordonnées sont des fonctions linéaires de x ∈ E. Une application linéaire est parfois appelée homomorphisme. Si F = E, on dit aussi endomorphisme de E. Si F = K, on dit aussi forme linéaire. L’exemple 2) montre que les coordonnées sont des formes linéaires sur E. L’ensemble des applications linéaires de E dans F sera noté L(E, F ). C’est un sous-espace vectoriel de F E . • Une application linéaire est entièrement déterminée par les valeurs qu’elle prend sur une base e de E. On a en effet f (x) = n X xi f (ei ) i=1 • Le noyau d’une application linéaire f est un sous-espace vectoriel de E, noté ker(f ). • L’ image f (E) est un sous-espace vectoriel de F . La dimension de f (E) s’appelle le rang de f . 6 Proposition : Une application linéaire f est injective si et seulement si son noyau ker(f ) est réduit à {0}. Elle est surjective si et seulement si son rang est égal à la dimension de F . 7 Théorème : Si f : E → F est linéaire, on a dim(E) = dim(ker(f )) + Rang(f ) 8 Corollaire : Pour que f soit bijective, il est nécessaire (mais non suffisant) que dim(E) = dim(F ). 4 Composition des applications linéaires 9 Proposition : Si f : E → F et g : F → G sont linéaires, alors g◦f : E → G est linéaire. Isomorphismes 10 Proposition : Soit f : E → F une application linéaire bijective. Alors E et F ont même dimension, et l’application inverse f −1 : F → E est linéaire. • On dit que f est un isomorphisme de E sur F . Evidemment f −1 est un isomorphisme de F sur E. Endomorphismes Un endomorphisme de E est une application linéaire f : E → E. L’application identique de E est un endomorphisme. Un endomorphisme bijectif de E (donc isomorphisme) s’appelle aussi un automorphisme de E. 11 Proposition : Les automorphismes de E forment un groupe pour la composition. Ce groupe n’est pas commutatif (en dimension > 1). L’ identité de E est l’élément neutre. 5