NOTATIONS ET DEFINITIONS

CONCOURS EXTERNE DE RECRUTEMENT
D’INGeNIEURS DE
L‘ECOLE NATIONALE DE L‘AVIATION CIVILE
(1.E.N.A.C)
Epreuve OPTIONNELLE de MATHEMATIQUES
NOTATIONS ET DEFINITIONS
fog
designe pour deux applications f et g d’un même ensemble E dans lui-même la
fonction compos6e definie pour tout x de E par f O g(x) = f (g(x));
Ker f
designe pour un endomorphisme fd’un espace vectoriel E , le noyau de cet endomorphisme ;
Im f
designe pour un endomorphisme f d’un espace vectoriel E , l’image de cet endomorphisme ;
A
+B
A CBB
tr
(4
designe pour deux sous-espaces vectoriels A et B d’un espace vectoriel E la
somme de ces deux sous-espaces d6finie comme le sous-espace vectoriel de
E constitue des vecteurs pouvant s’ecrire comme la somme d’un vecteur de A et
d’un vecteur de B ;
designe la somme directe de deux sous-espaces vectoriels de E, c’est-&-dire
la somme de deux sous-espaces vectoriels A et B tels que A nB = { O 1 ;
designe pour une matrice carde A d’ordre n sur un corps Ket de terme gbneral uQ,
n
la trace de A definie par t, @) =
1uÜ;
i-1
On rappelle que pour deux matrices carrees A et B d’ordre n sur un corps K commutatif on a t ,
+ B ) = t, (A) + t , (B) et t, (AB) = t, (m).
PROBLEME
Soit E un espace vectoriel sur un corps K,avec K = R ou c.
On appelle projecteur de E tout endomorphisme de E qui verifie f O f = f.
On se propose d’btudier quelques proprietes des projecteurs de E
.
- P R E M ~ R EPARTIE On se donne un projecteur f de E et on se propose de demontrer quelques propribtbs blementairesde f.
1.2. 1.3. 1.1.
1.4.
-
Montrerque E = K e r f e I m f .
Que peut-on dire de la restriction de f Im f?
Montrer que pour tout sous-espace vectoriel A de E on a :
Montrer qu’un sous-espace vectoriel de E est stable par f s i et seulement si il est
somme d’un sous-espace vectoriel du noyau de fet d’un sous-espace vectoriel de
l’image de f.
- D E U X I ~ M EPARTE On recherche ici d’autres caracterisations des projecteurs de E.
2.1.
-
Soit fun endomorphisme de E . Montrer que fest un projecteur de E si et seulement
si il existe deux sous-espaces vectoriels A et B de E tels que :
E=A$B;
V x E A , f(x) = O ;
Vx EB
, f ( x ) = x.
On dira alors que fest la projection sur B paralldlement h A.
2.2.
-
Soit fun endomorphisme de E. I dbsigne l’application identique de E.
- fest un projecteur de E si et seulement si fen est un.
Comparer le noyau et l’image de I - f& ceux de f.
Montrer que I
3
’L..E . N . & . C
2.3. -
Q p f h
Soit fet g deux endomorphismes de E.
Montrer que fet gsont deux projecteurs de même image si et seulement si f
O
g = get
gof=f.
Donner de même une condition nécessaire et suffisante pour que fet
projecteurs de même noyau.
g soient
deux
- TROISIEME PARTIE On se donne deux projecteurs fet gde E . On se propose d’btudier les propri6t6s de f O g, g O f
et f +g.
-
3.1.
Montrer que si f O g = g
O
f on a :
E = (Im f n Im g) C3l (Im f n K e r g) @ (Ker f n Im g) @ (Ker f n Ker g).
Que peut-on dire alors du produit f O g ?
3.2.
-
Montrer que f O g = g O fsi et seulement si ilexiste une dbcompositionde E en somme
directe de 4 sous-espaces vectoriels A B C D tels que f soit la projection sur
A + B parall&ement à C + D et g la projection sur A + Cparall&ement à B + D.
y
3.3.
-
y
y
Montrer I’bquivalence des trois propositions :
a) f+ g est aussi un projecteur de E ;
C)fog= g o f = O .
Quels sont alors le noyau et l’image de f+ g ?
- QUATRIÈME PARTIE On suppose dans cette partie que E est de dimension finie n.
4.1.
-
Soit fun endomorphisme de E. Montrer que la trace de la matrice carrée d’ordre n
associbe B f est indbpendante de la base utilisée.
Cette trace dite alors trace de f est notée t, 0.Quelle relation y a-t-il entre la trace
de f et le rang de f si f est un projecteur ?
4.2.
-
On considbre k projecteurs fi fi
y
y
... , fk
k
de E et on note fleur somme : f =
1fi.
i-1
a) Montrer que si f est aussi un projecteur alors 'image de f e s t la somme directe
des images des fi pour i allant de un a k.
b) Montrer que fest un projecteur si et seulement si on a fi O fi
(i , j)tel que i f j, 1 s i Iket 1 Ij Ik.
4.3.
-
=O
pour tout couple
On suppose que f et g sont deux endomosphismes de E de rang 1.
Montrer que si fet g sont deux projecteurs tels que f O g = g O f alors f = g ou f O g
= gof=O.
- CINQUIÈME PARTIE On revient au cas general OÙ E n'est pas forcement de dimension finie.
5.1.
-
Montrer que si f est un endomorphisme de E et g un projecteur de E , on a :
Ker f O g = Ker g 63 (Ker f n Im g)
5.2.
-
Montrer que si fest un projecteur de E et g un endomorphisme quelconque de E , on
a:
Im f O g = Im f n (Im g + Ker f)
5.3. - Etant donne deux projecteurs f et g de E , montrer que f O g est aussi un projecteur
de E si et seulement si :
Im f n (Im g + Ker f) c Im g 63 (Ker fnKer g)
- SIXIÈME PARTIE On suppose dans cette partie que E est de dimension 3.
f et g &tant deux projecteurs de rang 1 de E , donner les conditions sur les positions relatives
des noyaux et des images de fet g qui sont necessaireset suffisantes pour que f O g soit aussi
un projecteur. Determiner dans ces conditions le noyau et l'image de f O g et g O f.