devoir libre n˚09 - MPSI Saint-Brieuc

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
à rendre le lundi 23 janvier 2012
DEVOIR LIBRE N˚09
PROBLÈME 1 : Diviseurs positifs d’un entier naturel
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, décomposé en produit de facteurs premiers
sous la forme
r
Y
α1
αr
n = p1 × · · · × pr =
pαi i ,
i=1
où les pi sont des nombres premiers distincts et les exposants αi sont des entiers strictement
positifs.
Partie I. Nombre de diviseurs positifs d’un entier
Notation : Soit n ∈ N, on note D(n) le nombre de diviseurs positifs de n.
1.
Donnez l’expression générale d’un diviseur positif de n.
2.
Déduisez-en le nombre de diviseurs positifs de n.
3.
Applications numériques
a. Déterminez un entier n, supérieur ou égal à 2, tel que D(n) = 13.

 n ∧ m = 18
D(n) = 21
b. Déterminez deux entiers naturels n et m tels que

D(m) = 10
4. Montrez que si n et m sont deux entiers naturels premiers entre eux, alors
D(n × m) = D(n) × D(m)
Partie II. Somme des diviseurs positifs d’un entier
Notation : Etant donné un entier naturel n ∈ N, on note S(n) la somme des diviseurs
positifs de n.
1.
Calculez S(6).
2.
Soit n ∈ N tel que n = pα1 1 . Quels sont les diviseurs positifs de n ? Exprimez en fonction
de p1 et α1 la somme de tous ces diviseurs.
3.
Soient n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Montrez que
S(n × m) = S(n) × S(m)
4.
Dans le cas général, montrez par récurrence sur le nombre r de diviseurs premiers de n
que
r
Y
piαi +1 − 1
S(n) =
pi − 1
i=1
5.
Applications numériques
1
a. Calculez S(180).
b. Déterminez un entier n, n’ayant que deux facteurs premiers distincts, tel que S(n) = 847
et D(n2 ) = 3D(n).
Partie III. Nombres parfaits
Définition : On dit qu’un entier naturel n est parfait si S(n) = 2n.
1.
Soit Mn = 2n − 1. Montrez que si Mn est premier, alors n est premier.
2.
Montrez que si Mn+1 est premier, alors 2n Mn+1 est parfait.
3.
Réciproquement, soit N un nombre pair, parfait.
a. Montrez qu’il existe un nombre entier n ∈ N⋆ , et un nombre impair q ∈ N⋆ tels que
N = 2n q.
b. Montrez que Mn+1 divise q, puis que q = Mn+1
c. Enfin, montrez que Mn+1 est premier.
Fin du sujet
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