ds2 2014

Devoir de synthèse 2
Lycée Médenine
Lycée pilote Médenine
04 - 03 - 2014
4°Maths
***
Profs : Guetet Farah
Hadj Salem Habib
Ben Ahmed Nejib
Durée 4h
Exercice 1 ( 2 pts ) :
Répondre par vrai ou faux ( Aucune justification n’est demandée) :
On considère la courbe (C) ci-dessous, la droite D : x = 2 et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On
appelle f la fonction représentée par (C) et g la fonction définie par g(x) = ln(f(x)) . On donne f(-1)=1
8
y
7
(C)
6
D
5
4
e
3
2
1
x
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
a. g est définie sur ] -2, 2 [ .
b. g est strictement croissante sur [0,1[
1
e
c. g est dérivable en 0 et g'(0) = .
d.
f '(x)
dx
-1 f(x)
ò
0
Exercice 2 ( 4 pts) :
uur uur p
$
Dans un plan orienté, on considère un triangle ABC rectangle en A et tel que BC,BA
º [2p] .
3
(
(Voir figure 1 dans l’annexe qui sera complétée et rendue avec la copie).
uur uur
Soit D le point du plan tel que AD = KC et soit K le symétrique de B par rapport à A.
On désigne par O, I et J les milieux respectifs des segments [AC], [BC] et [BD]
)
1. Soit S la similitude directe du plan telle que S(D) = B et S(I) = K
a) Montrer qu’une mesure de l’angle de S est -
p
et que le rapport est 2
3
b) Montrer que C est le centre de la similitude S
2. Soit A’ le symétrique de D par rapport à C
a) Montrer qu’il existe un seul antidéplacement f tel que f(D) = A et f(A )= A’.
b) Montrer que f est une symétrie glissante dont on déterminera l’axe et le vecteur .
c) Montrer que f(B) = C
3. On pose g = f oS
a) Montrer que g est une similitude indirecte dont on précisera le rapport
b) Déterminer g o g(D)
c) Construire le centre W de g et son axe D .
4. On pose h=g-1ofog
a) Vérifier que h=S-1og
b) Montrer que h est une symétrie glissante que l’on caractérisera.
Exercice 3 ( 4 pts) :
Dans la figure 2 de l’annexe ; D est une droite, A est un point n’appartenant pas à D et H son projeté
orthogonal sur D.
1. Déterminer l’ensemble
des foyers F des paraboles de directrice D et passant par A.
2. Soit B le foyer de la parabole de sommet A et de directrice D. On muni le plan du repère orthonormé
r uur
r
A,i,AB où i est un vecteur directeur de D.
(
)
a) Montrer qu’une équation de
est x2 = 4y. Puis la tracer.
tö
æ
b) Soit t > 0. Vérifier que le point G ç t , ÷ est un point de .
4ø
è
c) Ecrire une équation de la tangente
à
en G .
d) Déterminer les coordonnées du point E intersection de la tangente T et la directrice D. Puis montrer
que le triangle BEG est rectangle en B.
r uur
3. Le plan est muni du repère A,i,AB , Soit M ( x,y ) un point et K son projeté orthogonal sur D.
(
)
On considère ℋ l’ensemble des points M tel que MB2 − 5MK2 = 9.
2
a) Montrer qu’une équation de ℋ est
x2 æ
3ö
-çy + ÷ =1
4 è
2ø
b) En déduire que ℋ est une hyperbole dont on déterminera les coordonnées de ses sommets, de ses
foyers et les équations des asymptotes.
c) Construire ℋ dans le même repère par une autre couleur
Exercice 4 ( 5 pts) :
rr
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x ) = e2x - 2ex , et C la courbe de f dans un repère orthonormé O,i, j
(
)
du plan.
1) a. Dresser le tableau de variation de f
b. Construire la courbe C .
2) On désigne par g la restriction de f à [ 0,+¥[
a. Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J que l’on précisera.
b. Etudier la dérivabilité de g -1 sur J et construire sa courbe C ’ dans le même repère.
(
)
c. Démontrer que ∀ ∈J , g -1 ( x ) = ln 1 + 1 + x .
2x f ( t )
ì
dt si x > 0
ïF ( x ) = òx
3) On donne une fonction F définie par : í
t
ï
îF ( 0 ) = -ln2
a. Montrer en utilisant l’inégalité d’accroissement fini que "x Î ]0, +¥[ ; 0 <
f (x) + 1
< f' ( x )
x
b. Montrer que "x Î ]0, +¥[ ; 0 < F ( x ) + ln2 < f ( 2x ) - f ( x )
c. En déduire la continuité et la dérivable de F à droite en 0 et que Fdʹ( 0 )=0
4) a. Vérifier que ∀ >0, F(x) ³ f(x).ln2
b. Etudier la branche infinie de F au voisinage de +¥ .
5) a. Montrer que F est dérivable sur ]0,+¥[ et que pour tout x>0 , F’(x) =
f ( 2x ) - f ( x )
x
b. Dresser alors le tableau des variations de F.
Exercice 5 ( 5 pts ) :
A) Soit g la fonction définie sur ]0,+¥[ par g(x)= 1-x3-2lnx
Etudier les variations de g, calculer g(1) et en déduire le signe de g(x).
B) Soit f la fonction définie sur par f(x)=1-x+
lnx
x2
rr
Et Cf sa courbe représentative dans le repère orthonormé O,i, j .
(
1) Montrer que pour tout x Î ]0, +¥[ , f’(x)=
)
g(x)
et dresser le tableau de variations de f.
x3
2) a) Montrer que Cf admet une asymptote oblique D et étudier la position relative de C f et D.
b) représenter graphiquement f.
3) a) Soient a et b deux réels tels que : 1 £ a < b , calculer : I = ò
b
a
lnx
dx .
x2
lnx
dx ; pour n ³ 2
2 x2
C) Soit (Un) la suite réelle définie par Un= ò
n
1) Montrer que (U n) est croissante.
2) Vérifier que pour tout n ³ 2 ; on a : Un=
1
1
Un .
(1 + ln2) - (1 + lnn ) et calculer nlim
®+¥
2
n
n
lnk
2
k =2 k
3) On pose pour tout n ³ 2 ; Sn= å
a) Etudier le sens de variations de la fonction j : x a
b) Montrer que pour k ³ 2, on a :
c) En déduire que pour tout n ³ 2,
ln ( k + 1 )
(k + 1)
2
Un +
£ò
k +1
k
lnx
x2
lnx lnk
£
x2 k2
lnn
ln2
£ Sn £ Un + 2
2
n
2
d) Montrer que ( S n) est convergente et en déduire un encadrement de sa limite.
BON TRAVAIL
Nom et prénom ………………………………………………………………………………………………………………………………..
4Maths………………….. N°………………..
Figure 1
Figure 2