1 Théorème des catégories de Baire

Département de Mathématiques.
Année 2010-2011.
Année M2- Approfondissement en Analyse.
Autour de la notion de compacité
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Théorème des catégories de Baire
Un espace topologique X est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d’ouverts denses dans
X est une partie dense de X. Une partie Y d’un espace topologique X est dit de première catégorie si
X r Y contient une intersection d’ouverts dense. Si X est un espace topologique, les sous-ensembles de
deuxième catégorie de Baire sont tous les sous-ensembles de X qui ne sont pas de première catégorie. Un
espace topologique est donc de Baire si tout ouvert non-vide est de deuxième catégorie. Ou encore, un espace
topologique est de Baire si toute partie de première catégorie est d’intérieur vide.
Le théorème des catégories de Baire s’énonce alors de la façon suivante. Tout espace métrique complet est
de Baire. Tout espace topologique localement compact est de Baire.
Exercice 1.1. 1. Soit X un espace topologique séparé et a un point de X. Notons V(a) l’ensemble des
voisinages fermés de a. Montrer que
\
V = {a} .
V ∈V(a)
2. Soit X un espace compact (ce qui supposera toujours X séparé ici).
◦
a) Soit a ∈ X et V un voisinage de a. Soit K le complémentaire de V dans X. Montrer que
\
W ∩K = ∅.
W ∈V(a)
b) En déduire que tout point de X admet un système fondamental de voisinages compacts.
c) En déduire que toute partie compacte Y ⊂ X admet un système fondamental de voisinages compacts.
Remarque sur cet exercice. La propriété démontrée en b) prouve que tout point d’un espace compact
admet un système fondamental de voisinages fermés, ce qui fait de X un espace topologique régulier. Enfin,
en c) on prouve que toute partie fermée d’un espace compact X admet un système de voisinages fermés , ce
qui fait de X un espace topologique normal.
Exercice 1.2. En utilisant l’exercice précédent montrer les assertions suivantes.
1. Dans un espace localement compact, toute partie compacte admet un système fondamental de voisinages
compacts.
2. Tout espace localement compact est régulier.
Remarque. En général un espace localement compact n’est pas un espace normal.
Exercice 1.3. Soit X un espace topologique (séparé) localement compact. Soit (On )n∈N une suite d’ouverts
denses dans X et O un ouvert non-vide de X. On va démontrer que
\
O∩
On 6= ∅ .
n∈N
1. En utilisant l’exercice précédent, construite une suite d’ouverts (Ωn )n∈N non-vides et relativement compacts vérifiants les propriétés suivantes.
Ω0 ⊂ O,
et
Ωn+1 ⊂ Ωn ∩ On .
2. Conclure.
1
2
Compactifié d’Alexandroff d’un espace localement compact
Etant donné un espace topologique localement compact X, on va construire un espace compact X ′ , unique
à homéomorphisme près, en adjoignant à X un point à l’infini.
Exercice 2.1. Soir X espace topologique localement compact muni de sa topologie T . Soit ω un ensemble
n’appartenant pas à X. On pose X ′ := X ∪ {ω} et on définit
T ′ := T ∪ {X ′ r K | K partie compacte de X} .
1. Montrer que T ′ définit bien une topologie sur X ′ .
2. Montrer que X ′ est compact pour la topologie T ′ .
On montre maintenant que X ′ est, à homéomorphsime près, l’unique espace compact tel que X soit homéomorphe au complémentaire d’un point ω ∈ X ′ .
3. Soit X1′ et X2′ deux espaces compacts et ω1 ∈ X1′ , ω2 ∈ X2′ . Soient h1 et h2 des homéomorphismes de X
sur X1 := X1′ r {ω1 } et X2 := X2′ r {ω2 }.
a) On définit l’application h : X1′ → X2′ . Telle que h|X1 := h2 ◦ h−1
1 et h(ω1 ) = ω2 . Montrer que h est continue
en tout point de X1 .
b) Montrer que h est continue en ω1 . Conclure.
Application : compactification de Rn . Dans l’espace Rn+1 = Rn × R on note (x1 , . . . , xn , u) les coordonnées du point (x, u). On considère la sphère unité de Rn+1 d’équation
Sn : x21 + . . . x2n + u2 = 1 .
On note N := (0, 1) ∈ Sn le pôle nord de la sphère.
4. Montrer que la projecion stéréographique
p : Sn r {N } → Rn : (x, u) 7→
x
1−u
est un homéomorphisme.
5. En déduire le compactifié d’Alexandroff de Rn .
Le compactifié d’Alexandroff permet une caractérisation simple des applications propres entre espaces localements compacts. Rappelons qu’une application continue f : X → Y définie sur un espace séparé X et à
valeur dans un espace localement compact Y est dite propre si l’image réciproque par f de tout compact de
Y est une partie compacte de X. On dit également de f qu’elle est fermée si l’image directe de tout fermé
de X est une partie fermée de Y .
Exercice 2.2. Soit X un espace séparé et Y un espace localement compact. Soit f : X → Y une application
propre et F une partie fermée de X.
1. Soit V un voisinage compact de a ∈ f (F ) et W = f −1 (V ). Montrer qu’alors f (W ∩ F ) = V ∩ f (F ).
2. Montrer que tout voisinage de a rencontre V ∩ f (F ).
3. En déduire que f est une application fermée.
Exercice 2.3. Soient X1 et X2 des espaces localement compacts. On note X1′ := X1 ∪{ω1 } et X2′ := X2 ∪{ω2 }
leurs compactifiés d’Alexandroff. Montrer qu’une application f : X1 → X2 est propre si et seulement si le
prolongement f˜ : X1′ → X2′ défini par f˜(ω1 ) = ω2 est continu au point ω1 .
3
Théorème d’Urysohn et cube de Hilbert
On rappelle qu’un espace séparé est dit normal si toute partie fermée admet un système fondamental de
voisinages fermés. On a vu que les espaces compacts sont normaux.
Exercice 3.1. Soit X un espace topologique normal. Soient A et B deux fermés disjoints dans X. On note
D l’ensemble des nombres dyadiques de l’intervalle [0, 1]. On écrit cette ensemble comme la réunion des
ensembles disjoints suivants.
1 3
1
, D2 =
,
D0 = {0, 1}, D1 =
2
4 4
2
et pour tout n ≥ 3 :
Dn =
2k + 1
| 0 < 2k + 1 < 2n
2n
.
On pose O(1) = X r B.
1. Prouver l’existence d’un ouvert O(0) tel que
A ⊂ O(0) ⊂ O(0) ⊂ O(1) .
2. Prouver l’existence d’un ouvert O( 12 ) vérifiant :
1
1
O(0) ⊂ O( ) ⊂ O( ) ⊂ O(1) .
2
2
3. En déduire l’existence d’une famille d’ouverts (O(t) t∈D telle que :
A ⊂ O(0),
O(t) ⊂ O(t′ ), pour t < t′ dans D .
O(1) ⊂ X r B,
4. Montrer que les fonctions
f := sup 1 − t)χO(t)
t∈D
g := inf (1 − t + tχO(t)
et
t∈D
sont respectivement semi-continues inférieurement et supérieurement. Montrer que f|A = 1 et f|B = 0.
5. Montrer que f ≤ g.
6. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que f = g.
7. En déduire l’existence d’une fonction continue f := X → [0, 1] telle que f|A = 1 et f|B = 0. Cela démontre
le théorème d’Urysohn.
Ce théorème va nous permettre de prouver que tout espace normal à base de topologie dénombrable est
homéomorphe à un sous-espace d’un espace compact.
Exercice 3.2. Soit X un normal à base de topologie dénombrable (Bn )n∈N . Notons D := {(n, m) ∈ N2 |
Bn ⊂ Bm }
1. Prouver l’existence d’une fonction continue f : X → [0, 1]D telle que pour tout (n, m) ∈ D, fn,m |Bn = 0
et fn,m |XrBm = 1.
2. Soient x 6= y dans X. Montrer que f (x) 6= f (y).
3. En utilisant le fait que [0, 1]D est métrisable, montrer que l’application f −1 : f (X) → X est continue.
4. En déduire que f est un homéomorphisme.
Enfin, on démontre une version du théorème d’Urysohn dans le cas d’espace à priori non normaux, les espaces
localement compacts, en utilisant la compactification d’Alexandroff.
Exercice 3.3. Soit X un espace localement compact. Soient A une partie compacte et B une partie fermée
sans point commun avec A. On note X ′ := X ∪ {ω} le compactifié dAlexandroff de X.
1. Montrer que B ∪ {ω} est fermée dans X ′ .
2. Prouver l’existence d’une fonction continue f : X → [0, 1] telle que f|A = 1 et f|B = 0.
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