Variables aléatoires échangeables et espaces d`Orlicz

Séminaire d’analyse fonctionnelle
École Polytechnique
D. DACUNHA -C ASTELLE
Variables aléatoires échangeables et espaces d’Orlicz
Séminaire d’analyse fonctionnelle (Polytechnique) (1974-1975), exp. no 10, p. 1-10.
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ECOLE
POLYTECHNIQUE
CENTRE LE MATHEMATIQUES
17~
75230
rue
Descartes
Paris Cedex
05
S E M I N A I R E
MAUREY
-
S C H W A R T Z
1974
-
1975
VARIABLES ALEATOIRES ECHANGEABLES ET ESPACES D’ORLICZ
par D.
Exposé N°
X
DACUNHA-CASTELLE
22 Janvier 1975
X.1
Soit
Si Y
un
sont des
1 ...Y
n
In
( sur
de
probabilité, @
variables aléatoires,
espace de
au
dessus de
--
on
°
définit par
de Q.
In
la loi
variables est dite écartable
(Un)nE
Une suite
échangeable)
°
on
sous-a-algèbre
Y1... Yn.
Définition :
(resp. :
une
nl’’
n2’
k
2 ..... nk)’
1
,
si pour tout
tout
tout
toutes variables
(resp.
(nl...
1
, nk)k , nln2
2 ... nk
1
k
hy
1
l8-mesurables,
a :
c-algebre
Si S est la
triviale,
on
simplement écartable (resp. échan-
dira
geable).
On suppose
définies
Soit
à partir
de maintenant que
(01,a1,P1)
sur
un
espace
alors S
un
ultrafiltre
non
(X n)n E est
une
ayant la propriété
trivial
sur
suite de variables
P suivante :t
1N.
L’ensemble de formules
déf init des suites de variables
et
telles que
(2)
En
effet,
le
théorème
de
bien
a
un
n
sens
Kolmogorov à
On identifiera dans la suite
comme
la famille
pour
espace
(c’est-à-dire
et il suffit alors
projective
(X n nE w et
de lois
N et
on
de même
l’ écriture, on
la c-algèbre engendrée par
loi).
°
d’appliquer
1
h
1
k
considérera toujours
( c’ est-à-dire
plongé
o(X)
isonômes
d’après (P)
treinte à 0.). Enf in, pour simplifier
et
N sur un
P = P2
notera
dans
pour
0.
res-
X.2
On dira que
-
n
la suite d’indiscernables construite au-dessus de
n ]B
201320132013201320132013201320132013201320132013
.
On notera
l’ensemble des fonctions continues bornées.
On dira que la variable Z
Définition :
la variable Y si
On
Lemme 1 :
Alors il
approche
si
Comme
e
est
arbitraire,
La suite
Lemme 2 :
X )nE Nest
(3)
(Un)nE
N
Pour
on
a
k = 1,
pour tout
on
près,
e.
a
Soit alors k > 1 ~
sur
ni n2
existemEE,
près en probabilité
tel que
Ilfl1 00
et
des indiscernables construits au-dessus de
écartable au-dessus de
Montrons par récurrence
bles,
e
déduit alors de (2).
se
n
-
probabilité,à
o(X) mesurables.
tout
effet, soit
On a,
en
a
pour tout h,
En
1-
>
approche
6(X),
et formée de variables distinctes.
k que pour tout
...
nk
6(X)
mesura-
X.3
2
(d’après
étroite
1 et la remarque que si
le lemme
IRn)
sur
mr
sur
marginale p m
,
’,n
).
qu e pMt n
alors toute
m est telle
m’
(pour
p - p
(et
toute
la convergence
projection de g n
-
Donc
(par hypothèse
récurrence)
de
Comme
il
résulte de (P) que
p(U.i 1- U.)
est
Proposition 1 :
En utilisant
Démonstration :
on
définit
et
on
un
définit
0 pour tout
échangeable
comme
tel
espace
une
>
J
variable W
sur
au
i/ j, d’où
dessus de
précédemment
que 0 C: C’
6(X)
h,
(Q’,Q’,P’) à partir
Y
Soit
pour tout
nl
...
nk.
par définition de W.
mesurables.
o(X) mesurable,
on
a
o(X).
théorème
et Pl
formules :
pour tout
le
le lemme 2.
de
restreinte
Kolmogorov,
à a soit P
de l’ensemble des
X.4
On
Soit 9
a
donc :
ipprochant à e
Soit
probabilité
On
près
en
.’
a
En faisant tendre
vers -,
nk-1
(lemme 2)
obtient
on
d’où
est
e
d’où
proposition 1 ;
la
indépendantes
nellement
de
arbitraire, et
puisque
o-algèbre engendrée
par
on
proche
plus
rapport à Ml
o(X)
et
q(U),
pour tout
n1
l
ou
n,1
des
Soit alors
Soit
a
f ixé, (OTa
y
=
Soit V
f, 9,
pour tout m,
ou
martingales, (8)
on
avec
vaut aussi
y
la
place
de ffi
le
.
n1
n a) .
6 (xn,
n
une
variable
peut approcher à
m > .
à
,
00
l
n1
m>n) d’après
6(Um,
~
q(U) = n
pour S
sont condition-
comme ?
00
c.
n=l
théorème
(U n)
que les variables
voit de
par
proche
en
e
q(U)
près
en
mesurable.
On
a
probabilité f(V)
par
m
m+K
X.5
On
a
(d’après l’échangeabilité
(9)
On déduit alors de
des
Un
et
(10)
en
déduit
au-dessus de
6(X)).
que
Donc
et par suite
1
Proposition
2 :
,
on
q(U> C q(X)
et
1) les (U n) sont conditionnellement indépendantes par rapport
à q(U),
2) les (U n) sont conditionnellement indépendantes par rapport
à q(X) au-dessus
de
e(X).
échangeables
tionnellement indépendante par rapport à q(X).
En effet,
si(Xn)nE:N est échangeable, la double suite
est échangeable,
Corollaire 1 :
Toute suite de variables
2013201320132013201320132013201320132013
n
Il JB
r1
sont des
de variables dist inctes choisies
q(X) = ~(U)
a
parmi les
(Xn) n E N et
condi-
les
k-uplets
et
X.6
On dit
Déf inition :
tout
toutk,,
Soit F
sur
F(O)
=
l’espace
muni de la
on
(H)F
pour
>
>
par
se
limitera
mesure
de
xx (c’est-à-dire
convexe.
Lévyy
dM
dans
une
1 .
=
par la suite
fonction
sur C
’0 1 telles
équivalente à
F
LF
dP
sur
X.
suivant :
cas
qu’il existe
est telle
une
au
(m)
F
[X,F], l’espace engendré
note
suppose F
on
d’orlicz des fonctions F-sommables
définie
norme
Dans la suite
x
si pour
modère c’est-à-dire une fonction croissante
0, F(~) _ ~ telle que F(x+y) _ C(F(x) + F(y) ) . Dans toutes les
On note
on
s4;ne-invariante
a
on
concernant des espaces de Banach,
questions
Enfin
1 - 1,
k
est
n
n
fonction d’Orlicz
une
w,
’
1’
suite
qu’une
1’00
à
F1
Fi,
que
q
au
des constantes
H-1:a
l
sens
b
des fonctions
d’Orlicz
Les espaces
LF
Remarquons que
et
LF 1
sont alors
F(x)=x P
y
0
p
isomorphes.
2 satisfait à
cette
condi tion,
dt , posant
Supposons d’abord
(sLgne-invariantes)
On a :
N
les variables
du,
(Xn)nE ,indépendantes
et F admettant la
et
représentation (H-2).
N
on
a
en
effet si
pour x > 1 :
symétriques
X.7
où
Supposons
Si
Or
par le
théorème
f(À) = E F (ÀX),
Posons alors
On
a
F’(o)
de Fubini.
=
0,
> 0,
et remarquons que f est
il existe donc
une
convexe
constante
a
si F l’est.
telle que
(A signifiant minimum)
pour 0
Donc
d’où
t
1
X.8
Supposons
pp
1
a
Pour
a
on
(4(x ) ~
E F(Z)
Donc si
On
1
2a2 EF(Z) 2"’
2
(p
f3
ne
dépendant
F, pas
de la loi de
Z)
1.
t t01 ~~z (t) > o.
Choisissons
max(c n)
tel que
petit
assez
n
n
c X ) ~ j3,
Alors si
nulles
en
0, définies
déduit donc de
on
t)
>
0 pour tout
y
sur
(12), qu’il
t E(o,l).
a
LF, il existe 2 fonctions continues
1R+, soit y t telles que
Pour tout espace d’Orlicz
on
que de
existe 2 constantes
mais pas de la loi des
y1
et
croissantes,
~2 dépendant
de F
que
d’où
Théorème
1 :
Si
20132013201320132013201320132013’
et
symétriques,
n
n JBf
si F est
particulier à F(x) =
xp,
5
est
une
une
suite de variables aléatoires
fonction d’Orlicz
1p 2,
convexe
alors il existe
une
indépendantes
satisfaisant (H), en
constante
À(F)
telle
X.9
soit
[X n ,F]
que
de la loi des
pendante
et limitons
la
Notons fi
a
nous
pour
f (u) = E F (u X n) ,
ou
,
0
simplifier
échangeables
au
trace de P
sur
~j
,
et
signe-invariantes,
F(x) ~ xp.
cas
la
6-algéb re q(X.
_
théorème précédent, il existe p ps pour tout w,
f(w) et des constantes ~~, ~2 (indépendantes de w)
le
d’Orlicz
est indé-
Xn
probabilité
donc
D’après
à If,f
maintenant les variables
Supposons
On
Â(F) - isomorphe
y
une
fonction
telles que
donc
Proposition 3 t Si (Xn)n
n n E ltV
est une suite de variables échangeables et
signe invariantes, il existe une application bimesurable (pour q(X) 0 boréliens)
.-.-.-
-
--.
ou
f(W,.)
une
fonction d’ Orlicz et des constantes
y, y
telles que
El], un résultat inexact est énoncé. Un espace [X yp] n’est pas, en
de [1] est faux (l’ensemble
général, un espace d’ Orl icz, le lemme
considéré des mesures de Lévy n’est pas dénombrable 1)
Dans
Depuis
que
nous
nous
sommes
aperçus de cette
Posons alors
une
plusieurs
contre
exemples
(Bretagnolle, Maurey).
peut, par exemple, considérer
cas où les lois 4,’D-conditi,onnelles sont toutes des lois stables d’indice
1 q p(w) 2.
ont été donnés
le
erreur
fonction décroissante de N.
On
y
1
et donc -
est
X.10
Supposons [X n,1J isomorphe à
s’envoie
sur
noter £ . f
On
la base
6N
Notons
a
=
un
canonique
de
l’image
1
espace d’Orlicz
d’un espace
SN
dans
On sait
aef.
f
.
d’Orlicz,
qu’alors
£
que l’on
peut
(X ) nnen
n
1V
1’J
encore
tf.
donc, si l’on pose
=
N,
il existe des
N
constantes
telles que
C~, C2
f étant modérée est déterminée par
equi
’ ’v alence prés et donc
implique
A
effet, notons
Choisissons alors
par
=
F-
e(N)
{m,
q
p(w)
q +
En modifiant
peu la
un
espace réflexif
isomorphe à
un
ce
ui
q
c)
telle que
isomorphe à
~ une
croissante,,
1
>
N1/viog
n’est pas équiintégrable donc
n’est pas
fonction
tel que
exemple
Alors
puisque q >
une
la suite
sur
n’ est pas réflexif.
Or pour p bien choisi
En
à
équivaut
q
xq
est réflexif
que 1 f
valeurs
ses
un
N
1
’
»
n’est pas
réflexif,
donc
espace d’Orlicz.
situation, on a le même contre-exemple
(la seule condition simple pour que
espace d’Orlicz est que Ft soit
atomique
et
pour
un
[X yl] soit
[X n 1] réflexif.
----------..--.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
Bretagnolle
et Dacunha-Castelle :
Formes linéaires aléatoires et
espaces d’Orlicz.
Ann. ENS 4esérie t2 fas4 1969 p437-480