Une caractérisation des fonctions harmoniques dans un

Séminaire Équations aux dérivées
partielles – École Polytechnique
S. A LINHAC
Une caractérisation des fonctions harmoniques dans un ouvert
borné par « certaines propriétés de moyenne »
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1971-1972), exp. no 30,
p. 1-10
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ÉCOLE
POLYTECHNIQUE
CENTRE DE
MATHEMATIQUES
17, RUE DESCARTES PARIS
ft
V
Téléphone :
(633)
.
,
SEMINAIRE
G 0 U L A 0 U I C - S C H W A R T Z
1971-1972
..
UNE CARACTERISATION DES FONCTIONS HARMONIQUES DANS UN OUVERT
BORNE PAR
"CERTAINES
PROPRIETES DE MOYENNE"
par S. ALINHAC
Expo sé N°
31 Mai 1972
XXX
!
XXX.1
f
j
i
INTRODUCTION
1
t
Cet
exposé
fait suite à celui de M. Brunei
[6]. Il présente
quelques résultats sur les propriétés de moyenne des,fonctions harmoniques analogues à ceux de [5], que M. Brunel avait expliqués, mais
t
t
obtenus
par
des méthodes
d’analyse classique et d’éqüations aux dérivées
l’esprit de [1]), très différentes des méthodes
partielles
(un
de théorie
ergodique employées
peu dans
L’essentiel
consiste
dans
en
L2], [3], [4], [5].
l’introduction d’une fonction
moyenne"
donnée ; cette fonction est solution d’une équation
"au-dessus" de l’ouvert
hyperbolique singulière dans un ouvert D de
n de Rn où f est définie, et ses valeurs sur tout le’bord de l’ouvert D
sont connueso Une estimation intégrale met en évidence la "surdétermination" du problème et permet de conclure à l’harmonicité de f.
de la fonction f
§
.
1. L’ESTIMATION INTEGRALE
Soient Q un ouvert borné de
fonction
positive
On désigne
d’un
point
de
0, nulle
sur
sur
R~~
de classe
bQ.
C,
par D le domaine de
Rn+l «x,t)
Rn+l)
considère
une
fonction
u
E
Cl(~)
une
sont les coordonnées
et par S 1 1 ensemble
On
r
>
E
vérifiant
XXX.2
Proposition 1
:
Avec les
hypothèses
et les
notations’précédentes)
a
Preuve ::
l’intégrale
vaut
~n
posant
sur
S? ramenée a
,
une
intégrale
sur 0 par
on;a
la
1
en
effet
carte
on
XXX.3
Si
Corollaire 1:
dans D et
=
Igrad
f(x)
1,
a
dans n, alors
à valeurs réelles,
> 0,
u
Õt
CL
0 dans D et
=
f
est
Pa(u)
=
0
harmonique
,°
dan s
:
inférieur
ou
Si
égal à
r
un,
est
supposée
lipschitzienne de rapport
proposition 1 et son corollaire
seulement
l’estimation de la
restent valables.
Preuve:
r
en
le
Soit
prolongement
r
par 0 hors de
Q;
on
"régularise"
posant
Jn vérifie aisément que
uniformémenit
vers
presque touit
f
r,
et
(grad
proposition ,,
--+
t
-(grad ’
une
( grad
en x
bande latérale
e
1,
(ce qui
r
c
a
converge
lieu pour
(x) .
intégration
par
partieg
mais cette fois dans le domaine D.
limité par 0,
une
(grad r 9.1
E
si rest différentiabl,e
On réa1ise alors
et
de
c
comme
dans la
XXX. 4
passant à
En
grâce
au
mation
théorème
la limite dans les
intégrales lorsque E -
de convergence dominée de
Lebesgue, on
voulue.
/
L
"°
ÏEF MOYENNES A POIDS
La fonction
1
peut s’écrire
(a)
=
.
u(x,t),
"moyenne
en
volume" de
t >
0,
«
un
"noyau", distribution
de
Rn‘
à support
volume de la boule unité de
,
On sait que
N,,
3
en
tant que distribution
0,
avec
,
t >
f, définie par
aussi
est
compact
obtient llesti-
!
j
§
0
0, vérifie
dépendant
du
paramètre
les conditions de bord
façon plus générale,
blune
e
e
possédant des propriétés analogues,
en
on
cherchant
des "noyaux
est conduit à poser
de
moyenne"
XXX.5
On définit ainsi, pour Rep
,
sur R dépendant
y
1)
Pour
+1,
du
paramètre
vérifie,
on
t > 0
(e,
=
distribution intégrable
aire de la sphère unité dans
une
par des calculs
et les convergences écrites
Légalité
-.,
>
prises
élémentaires,
au
sens
que
de
1c
s
2)
Au
Pour
cours
0,
des
on
calculs
obtient,
en
intégrant
par
parties,
qui permettent d’établir 1),
2
on
remarque que pour
"
(on
note
Cette relation,
N J3 se
prolonge donc,
t
jointe à celle
pour t > 0
fixé.
sur
les
n,
en
une
1-’.
fournit
distribution
méromorphe
XXX.6
de
p, ayant des pôles simples
plus, sî p
De
dérivable ep t et
On
Théorème 1
:
début du
prouvé
correspondant a J3
deux
0
=
fois continuement
calculées
le
en
1).
11
correspond
au
0, la distribution
noyau de la moyenne
en
volume
paragraphe).
-1 à celui de la moyenne
p
,
est
pôle,
q entier >
=
au
un
pour
:
(noté Nt
n’est pas
points
dérivées prolongent celles
ses
ainsi
a
aux
-p,
p entier >-
1,
s’ils
en
surface. Les noyaux
existent, ont des distribu~’
tions
portées
par la
sphère
de rayon t.
"
3) Si p
cient
dans
est
Inéquation
un
pôle, 5 =
P 2 p -i- n-4- 1 u
o>
-’/2
-1 -q,
0~ est
un
2P + n + 1, coeffientier impair négatif.
XXX.7
1
Èn intégrant
fermé simple entourant
la distribution
le
pôle,
on
Nt
R
le
long
d!un
petit
contour
obtient pour les distributions
propriété
la
q entier > 0,
’
9 1 ~ 1.
Les notations sont celles de
1;
les
hypothèses
celles du
r
sur
corollaire 1.
f étant donné dans
prolongement régulier,
p
on
une
Si
t >
une
de rayons
f
en
la distribution de
S,
on
dira
que f
Rne
Rn dépendant
qu’elle définit, notée u, a
propriété de j3-moyenne sur les boules
R
.....
a
la
oùR est la carte de 0
en
I.
un
continuement
si
1
définie
étant
.
sur
r
régulière,,et
dîstribution de
1
trace
assez
pose
On définit ainsi
de t,p
Q, déjà
sur
R
XXX.8
Théorème 2
de
fi-moyenne
1
proriété,
Si
:
H~(12) ,
-1, f E
harmoniques
Li
normes
la définition de ," f
a
un
la
a
et si f
sens,
a
propri.été
cette
1
dans O.
intégrable,
Preuve :
et les
>
les boules de rayons r"
sur
f est
13
,
et
,
De
plus
sont bornées
de
de t > 0..
indépendamment
.
~
La
distribution u,
définie par
a
’!
"
se
trouve donc dans
On voit semblablement que
bution
qui coincide
distributions)
/°
et
avec
§fat
U’t
(dérivée
appartient à
2
n
de
,
définit dans
u
L2(Rnx R+);
par
rapport
de même
R nx R+
a
t au
ti
pour u t
car
une
distri-
sens
des
XXX.9
La
de
f;
on
régularité "tangentielle"
en conclut
u
suit immédiatement de celle
Il
que u
.
t
Soit
alors
une
(f n)
suite
.
et posons
de
=
p
de fonctions de
La formule
(f
montre que
.
Grâce à
ce
. Appliquons
qui
a
été dit
alors à
précédemment
sur
u,
l’estimation de I :
u
p
1
on
voit que
XXX.10
l’J
PPar
ar ,
limitre
à la
hypothèse
hypothese
peut
général,
Theorème 3
a
en
passant
obtient
en
prouver d’une manière
"répartissant"
analogue
régularité
la
un
entre
théorème
un
peu
f et
:
.
.
t si f
et
on
.
théorème
On
plus
f dans H
l’inégalité précédente,
dans
n
H3/2(O);
.)
de moyenne,
,
t,
propriété
l
la
dP-moyenne,
de
(3Q
> -
n±1 2
,
:
alor"1
.
t h
f est
harmonique.
4.
1
it
t!
20132013201320132013201320132013
,
1
BIBLIOGRAPHIE
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J.
Restricted
R.
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mean
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harmonic functions,
à paraître.
[4]
Heath :
à
Functions
possessing
restricted
mean
value
properties,
paraître.
[5]
Heath,
[6]
Brunel :
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H.
Orey :
Rhee :
Travail à
Exposé
au
paraître.
séminaire de l’Ecole Polytechnique
A characteristic initial value
Poisson-Darboux
Math. Soc. Vol.
equation
4, avril
in
a
1972.
quadrant
of
(1972)
problem for the EulerRn; Journal of the London